Berichtigungen zu dem Aufsatz yon J. G. van de r C o r p u t : ~Versch~ffung der

Tei le rproblem" in B a n d 87, S. 39-65.

Es mu6 hei~en:

Seite 40, Zeile 15 v. o.: (2 ) s t a r t 2).

, 40, ,

Abseh~tzung beim

5 v. u. : G6tt . N a c h r i c h t e n 1914, S. 984--244 start Aota Ma- t h e m a t i o a 87, S. 155-191 und 198--239.

, 43, , 1 v. o. : Olme B e s c h r f m k u n g der Allgemeinheit wird voraus- g e s e t z t , daf t f ' ( u ) im Interval] a ~ _ ~ u ~ b stets

0 o d e r s tets ~ 0 ist. 47, FormeI (20) : ~ s t a r t ~ .

, 48, Zeile 5 v . o . : g t g , " - . . �9 g r stat t g l , g~, �9 � 9 gq.

, 48, , 5 v. u~: ~ s t a r t ~ / - . 1

, 51, , 1 v. u . : 1~=~1 s t a t t l r ~ .

, 5s, , 1 v. start

, 63, , 6 v. o.: Satz 2 s t a r t Satz 3. 1 1

1 1 - ~ , 63, , 1I v. o.: a r s t a r t a r

162 R. Courant.

sich zwanglos der zweiten Methode a;nschliellt. Abgesehen vonde r prin- zipiellen Bedeutung, die bei jedem Problem der Analysis solche Stetigkeits- fragen besitzen, bildet ihre positive Beantwortung bier die theoretische Grundlage flit alle Verfahren zur numerischen Behandlung eiaer Integral- gleiehung, welche auf Ersetzung des Kernes durch einen einfacheren ap- proximierenden beruhen.

Wit beschriinken uns der Kiirze halber auf das Problem der LSsung der Integralgleichung yon der Form

(1) f(s) = ~ ( n ) - f K(s, t)q~(t)dt und fiir den Fall des symmetrisehen Kernes K (s, t) = K(t, s) auf die :Diskussion des dureh die Gleiehung

(2) q~(s)--- 2 f _K(s, t)q~(t)dt gestellten Eigenwer~problems. Dabei wollen wir flits erste den Kern als stetige Funktion yon s und t annehmen und im iibrigen das ein fiir alle- real feste endliche Integrationsgebiet der Variablen und Definitionsgebiet der auftretenden, durehweg als stetig oder stiiekweise stetig vorausgesetzten Funlrtionen nieht besonders bezeiehnen.

I. Vorbemerkungen.

Es sei gestattet, vorweg einige bekannte Tatsachen zusammenzustellen. Wir verstehen unter einem ausgearteten Kern A(s, t) einen solchen, der sich als Summe yon endlich vielen Produkten je einer Funktion yon 8

mit einer yon .t darstellt: A = )_7 a, (s)/?, (t). Wir diirfen und wollen in

dieser Darstellung die p Funktionen ~ ( s ) und ebenso die /L (s) als von- einander linear unabhiingig annehmen. Indem man sich die 2p Funktionen a,(s) , fl,(s) durch eine gewisse Anzahl m linear unabh~ngiger, zueinander orthogonal mad normiert 4) wiihlbarer Funktionen o~ (s), o.~ (s), . . . , o m (s) linear ausgedriiekt denkt, kann man dem ausgearteten Kern die Gestalt

#?l

(8) A(,, t)---- ~ , p = l

geben. Ist der Kern A symmetrisch, so folgt fiir die Koeffizienten a,u die Symmetriebedingung a,~ ~ a t , .

Jeder stetige Kern K ( s , t ) liil~t sich gleichmiiBig durch eine Folge ~usgear~ter Kerne approximieren, da jedes Polynom in s und t einen solchen ausgearteten Kern darstellt und naeh dem Satze von Weierstral~

a) Wir verstehen unter d e r Norm einer Funktion f ( s ) den Ausdruck N [f] •ffi f f ( s ) 8 ds und nennen die Funktion normiert, wenn ihre Norm den Wert 1 hat.

Lineare Integralgleichungen. 163

jede in einem abgeschlossenen Gebiete stetige Funktion / ; ( s , t) sieh dort gleiehmh~ig durch Polynome approximieren l~i[~t.

Fiir ausgeartete Kerne reduzieren sich die Probleme der Integral- gleichungstheorie unmittelbar auf solche der Theorie der linearen Glei- chungen und quadratischen Formen. Setzt man n~mlich

I = y (t) (t) dt (4) ] f , = f f ( s l f l , ( s )ds

(C,~,--- f a , (s) f l , , (s)ds , so geht (1) fiber in

V

f ( 8 ) =

woraus sich nach Multiplikation mit fl..(s) und Integration ergibt P

(5) f~, = x~, - Z C,. ,x, (/~ -- 1 ,2 , . . . , p).

Dieses System yon p linearen Gleichungen Iiir die p Unbekannten x~, x~ , . . . , xp ist mit der Integralgleichung ~quivalent; denn ist umgekehrt x~, x.~, . . . , x~ eine LSsung des Gleichungssystems, so stellt die ~'unktion

q~(s)-- f ( s ) -~ z~,x~a~(s) eine L6sung der Integralgleiehung dar; linear

unabhiingigen L6sungen des Gleichungssystems miissen dabei immer eben- solche LSsungen der Integralgleichung entsprechen. Diese /~quivalenz er- laubt uns ohne weiteres, aus den Haupts~tzen der Theorie der linearen Gleiehungen das Bestehen der Fredholmschen Siitze flit ausgear~ete Kerne zu schliei]en:

1. Entweder besitzt die Integralgleichung (1) bei beliebig gegebenem f(s) eine und nut eine LSsung; oder die homogene, d.h. liar f ( s ) = 0 aus (1)entstehende Gleichung besitzt eine positive Anzahl r yon nicht trivialen, normierten, linear unabhginyigen L58'ungen v21 ( s ) , . . . , Y~r (8), ,,Null- 16sungen".

2. Ira letzteren Falle besitzt auch die zum Kerne A(t , s) geh6rige ,,transponierte" homogene Integralgleichung genau r linear voneinand.er unabMingige LSsungen g~ ( s ) , . . . , %,. ( s ), und die unhomogene Integral. gleichung (1) hat dann und nur dann L6sungen, wenn f(s) die r'Or~ho- gona~'tdtsbedingungen

erli~llt, f f(s)Z,(~)d8 -- 0 ( i - - 1, 2 , . . . , r)

Die LSsu~g der inhomogenen Integralgleichung (1) ist dann nur" bis au/ eine willkqxliche additive LSsung der homogenen bestimmt; sie kann und so~ dutch 'die Porderung /ixiert. werden, daft sie zu den Punktionen

11*

164 R. Courant.

Die Eigenwerttheorie flit einen symmetrischen ausgearteten Kern A(s, t) erledigt sich unmittelbar durch Zuriicldlibrung auf das Haupt- achsenproblem einer gewShnlichen quadratischen Form unter Zugrunde- legung der Darstellung (3) flit den Kern. Ist niimlich ~ ein Eigenwert des ausgearteten Kemes A (s, t), r die zugehSrige normierte Eigeniunktion, ist also

m

qg(s)=~ f A(s,t)q~(t)dt=;~ s a~,,x,,o,(s), ,u, , , = 1

(6) wobei hier

(4a)

�9 gesetzt ist, so folgt durch Multiplikation mit o,(s) und Integration fiir die GrSl]en x~ das Gleichungssystem

m

(7) x , - - ,~ Z a,,,x~,, p----I

in welchem die x, nicht siimtlich verschwinden k6nnen, weil sonst wegen (6) aueh q (s) identisch verschwinden wiirde. Umgekehrt erhalten wir aus einer nicht trivialen LSsung yon (7) eine LSsung der Integralglei- chang (6). Die Eigenwerto der Integralgleichung sind also identisch mit den Eigenwerten der quadratisc]~en Form

/a, I,-----1

und lassen sieh daher vormSge unmittelbarer ~3bertragung der bekannten charakteristischen Eigenschaften dieser Eigenwerte folgendermaflen deft- nieren: Der kleinste positive Eigenwert ~x yon A(s, t) ist der reziproke Weft des Maximums der ,,quadratischen Integralform"

Jiq~, ( p ] - ff A(s, t)rp(s)cp(t)dsdt,

wobei diejenigen Funktionen ~(s) zum Vergleich herangezogen werden, f ~ welche die Nebenbedingung

besteht. Die Funktion ~(8) , fiir welche das Maximum angenommen wird, ist die zugehSrige Eigenfunktion. Die weiteren, naeh wachsender GrSl~e geordneten positiven Eigenwerte and Eigenfunktionen erh/ilt man ebenso, indem man zu der Nebenbedingung (8) noch weitere Neben- bedingungen f r162 ffi 0 ( i - - 1, 2 , . . . , h 1) hinzufiigt. Statt dessen kann man den h-ten positiven Eigenwert ~h und die zugohSrige Eigenfuntrtion ca auch independent dutch eine Minimum-Maximum-Eigen- schaft folgendermaflen charakterlsieren- Es sei k{vx, v~, . . . , vh_i} die

Lineare Integralgleiohungen. 165

obere Grenze yon J[q~, 9~], wenn die ~mkt ion au~ev der Bedinqunq (8) noc, k den Be, diruyungen

(9) f ~ (s)v,(,) ds---~ 0 (i ----- 1,2, ..., i~ -- 1)

unterwor/en ist, wobei die vx(o),...,v~_~(s)ir~endwelche I~--1 e~e.~ioe Funktionen bedeuten; dann be~tz# dieze ~ k{~, ..., ~_~) ~/n M/ni-

l welches erreicht wird /fir v, f , ( s ) , ~ o - - ~ ( s ) ; die gabl

~ -- (J[ q~, ~])-~ ist der h-re ~a~sitive ~igenwer~. . Ebenso erhitle man die negativen FJgenwerte und mageh6rigen Eigen- tunktionen, indem man yon dem eatspmehenden Minimumpmblem oder Maximnm-Minimumproblem aeegeht. Dahei ~etamn wit die Reihe der die positiven bzw. negativen Eigenwerte detiniemnden Extremumsprobleme naturgemii~ nur so lange fort, wie bei ihnen wirklich ale L68ungen Werte fiir ~Y[~, q~] von dem vorgeschriebenen Vorzeichen auftreten.

IL Erste Methode.

w

Hntlbetrtehteagen. Es sei h(~) irgendeine sttiekweiae etetige Funktion, fiir welehe ledi 8-

lich eine Beziehung

(10) N[~] = $ [h (,)]' d, ~ vorsusgeset~t eel, wobei M eine ieste Sohranke bedeutet. Die v e ~ m ~ eolcher Funktionen h (~) ,,quellenm~,l~ig dLrgmtellten" l~aktionen

( i i) g(a)- f X (a, t) a (t)~t" sind bei gegebenem E nicht, nut 8elbBtvemt~Ixdlich stetig, sondern alle lhmktionen der so definierten Funktionenmenge der g(8) aind such 81eieh- miiflig besohr~n~ und gleichm~l~ig stetig, in dem Sinne, dal~ ea zu jede m positiven e eine nut yon e, nieht yon dem Individu~am g(s) a b h ~ g e mad mlt e gegen NulI strebende Zdd 6(e) gibt, so daft sue [ t / ]< �9 die Beziehung ]g(~q-~) f ( * ) ] < ~ f o l g t . - I s der Tat wild intolge der Schwaxzschen Ungleichm~g

[~(~§ ~) ~ (~) '1~ [x(~ +~, ~) - x~,, ~)] ~ (~)~t) ~

woraus die Behaupt-ang,,~,oh mit Rtlr anf Stetigkeit de, Kena~

k~.'~:~ir~e Fm~kti~~fn~ bleibt.-.emiehtlioh be~ehen; w~-,~man z~ �9 Menge such noch sUe die Funktionen hiazunimmt, walehe ~aumh.Kerne

166 R. Courant.

einer Folge K1 (s, t), Kg(s, t j , . . . mit den obigen Funktionen h(t) quellen- miillig dargestellt werden, sobald die Kerne K,,(s, t) mit waehsendem n gleichmiillig gegen K (s, t) konvergieren.

Funktionenmengen mit der geschilderten Gleichm/iBigkeit der Stetigkeit und Besekriinktheit besitzen die Hiiufungsstelleneigensehaft, die sich in folgendem bekannten Konvergenzprinzip ausspricht:

Aus ~eder gleichmdflig beschrdnkten und gleichmdflig stetigen Funk- tionenmenge ldflt sich eine gleichmdflig konvergente Folge auswdhlen.

W i r bemerken noch folgende selbstverstiindliche Ergiinzung des Prin- zipes: Wenn es in der Funktionenmenge unendlich viele Gruppen yon je r zueinander orthogonalen normierten Ftinktionen gibt, so 1/il~t sich eine Teilfolge yon Gruppen auswiihlen, die gleichmiillig gegen eine Gruppe yon r orthogonalen normierten Funktionen konvergiert.

w

Die F r e d h o l m s e h e n Siitze.

Indem wit die Fredholmschen S/~tze fiir ausgeartete Kerne als be- wiesen voraussetzen diirfen, k6nnen wit sie nunmehr leicht fiir einen be- liebigen Kern K (s, t) iibertragen. Wir denken uns K (s, t) gleichm/il~ig dutch eine Folge A 1 (s, t), A~ (s, t), A s (s, t), . . . yon ausgearteten Kernen approximiert, und betrachten mit der Integralgleiehung (1) die approxi- mierenden Integralgleichungen

(12) f(s) = ~(s) -- f A, (s, t)q~(t)dt.

Dann sind zwei Fiille mSglich:

Fall I : Gleiehung (12) besitzt fiir unendlich viele n (wir diirfen dann iibrigens unter Weglassung nicht passender Approximationsgleichungen and Umnumerierung annehmen- fiir alle n) eine LSsung e. (s), so dab

8 N[q , ] = c , = f [q,(s)] ds .< M bleibt, unt~r M eine feste Schranke ver- standen.

FalI II : Die obige Annahme ist nicht richtig. Dann ist entweder ~ Cx~, oder s) lira c n

b) ffir unendlieh viele n ( w i r diirfen wieder annehmen: fiir alle n) hat -- auf Grund der flit ausgeartete Kerne giiltigen Fredholmschen Siitze - - die homogene Integralgleichung

(18) 0 = ~ (s) - - f A n (s , t ) q~ ( t ) d t

eine normierte LSsung o~(s), was wir durch die Formel c ~ = 0o sinnge- marl symbolisieren kfnnen.

Line.re Integrslgleiohungen. 167

Im Falle I sind die Funktionen On(S),--f(a) quellenmii~ig-dureh die Kerne A, dargestellt; dabei sind die dargestellten Funktionen naeh w 1 gleichmiil~ig beschriinkt und stetig und definieren daher nach unserem Konvergenzprinzip als Limes einer gleiehmiil!ig konvergenten Teilfolge eine stetige Grenzfunktion ~ (s). Indem wit erlaubterweise den Grenziibergang in der Integralgleichung (12) direkt vornehmen, erkennen wit fiir diese Grenzfunktion q0 (8) das Bestehen der Integralgleiehung (1); diese Integral. gleichung ist also im Falle I auflSsbar.

8 endlieh ist, die Integral- ]m Falle II dividieren wit entweder, falls c n

gleiehung (12) fiir ~-----~, durch c n and setzen ~ - - o , , so dall die Glei, Cn

chung f(s) c. -----%(s)- f A.(s, t)%(t)dt

gilt, oder wir beachten im Falle I Ib) das Bestehen der Oleichung (13) fiir q = %. Beide Male ist jedenfalls o n (s) normiert; somit gilt wiede~m fiir die quellenmiillig dargestellten Funktionen %(s) f(s) bzw. %(s) ,

Cn

alas sie gleichm~iBig stetig und besehr~nkt sind, mithin als gleiehmr~lligen Limes einer Teilfolge eine Grenzfunktion ~(s ) definieren, welche not- wendigerweise der homogenen Integralgleichung

(14) ~(s)= f K(s, t)v,(t)dt geniigt und normiert ist. Im Falle II besitzt also die homogene Integral- gleichung nieht-triviale L6sungen, die wit Null6sungen nennen.

Um hieraus die Fredholmschen Sii.tze ab~:uleiten, sehieken w~ in be- kannter Weise die Bemerkung voraus, dall die homogene Gleiehung jeden- falls nur eine endliche Anzahl r yon linear unabhiingigen normierten Lf- sungen V'~ (s), . . . , V,r(S) besitzen kann; wit diirfen d i e t Funktioneri W~(s) als zueinander orthogonal annehmen, und erhalten dann aus der Bessel- sehen Ungleichung, angewandt auf dieses Orthogonalsystem-

f r

f K(s, t)~ > .7_y(f K(s, t)v,~Ct)dt)~= ~V,~(s) ~, i.----- 1 i = 1

und nach nochmaliger Integration

f f K(s, t)~dsdt > r, womit fiir r eine Schranke gegeben ist. Sei jetzt also r die genaue An- zahl tier linear unabhiingigen Lfsungen yon (14). Dann ist entweder r = 0 oder r > 0 . Im Falle r - - 0 kann aber offenbar nie der obige Fall II eintreten, d a e r stets zu einer normiertenLSsung Yon (14) fiihrt; also befinden wit uns im Falle I, d .h . flit jede linke Seite f ( s ) b ~ i t z t die Integralgleichung (1) eine L6sung; diese L Ssung ist eindeutig bestimmt,

168 ft. Coursnt.

well die nicht identisch verschwindende Differenz zweier L~sungen eine nioht-triviale L6sung yon (14) gegen die Voraussetzung ergeben wiirde'. D&mit ist der crate Fredholmsche Satz bewiesen.

Ist zweitens r > 0, dann gilt wegen A, ----) / / 5) fiir die Funktionen

,5,,.,(s)--V,,(s)--fA,(s,t)v,,(t)dt ( /=1 , 2 , . . . , r; n - - l , 2, 8, . . .)

die Relation lira ~,, ~ (s) --) 0. Setzen wit nun

r

t )= t) + i=1

,o ,ind .eh t) .gea oto K rne, wel.h den K( . , t) gleichmii, llig approximieren. Die Kerne A ' ( s , t) besitzen, wie man sofort sieht, siimtlieh die r Funktionen ~o~(s) zu Null6sungen. Mehr linear unsbhi~ngige Null6sungen k6nnen bei hinreiehend grollem n nieht auftreten; denn wi~re %+~. . (s) eine solche, die wir als normiert und auf Wt, . . . , W, orthogonal snnehmen diirfen, so wiirden wit auf Grund unseres Konvergerm- prir~ipes elne auf Wa,... , % orthogonale, also yon diesen Funktionen linear unabhiingige Nullfsung yon (14) erhalten, entgegen der Voraus- setzung, daft r die genaue Anzahl der Nullfsungen war.

Zufolge der Giiltigkeit der Fredholmschen Siitze fiir ausgeartete Kerne besitzt nun die homogene transponierte Integralgleiehung

(15) X(s) = f A',,(t, s )x( t )dt ebenfslls genau r voneinander unabhiingige und als normiert und zu- einander orthogonsl wiihlbare Null~sungen X,,~(s) (i - - 1, 2, . . . , r) . Da die susgearteten Kerne A',,(t, s) gleiehmi~llig gegen den Kern K(t, s) kon- vergieren, so erhalten wir such fiir diesen r zueinander orthogonale Null- 16sungen Xl ( s ) , . . . ,Z r ( s ) , indem wir auf Grund unseres Konvergenz- prinzipes den Grenziibergsng mit Hilfe der gleichmiillig stetigen mad be- s c a n Funktionen Z~.~(s) vornehmen. Mehr sis r Lfsungen kann die transponierte Integralgleiehung

(16) Z(s)= f K(t, s)z(t)dt nieht haben, da sonar riickw/irts such die Existenz yon mehr als r L~- sungen yon (14) folgen wiirde.

Endlich be~ehten wit, daft fiir die L6sbarkeit der Integrslgleiehung (1) im Falle r > 0 sieherlich die Bedingungen

( i 7 ) " ' ' l ~ l f f(s)X,(s)ds = 0 ( i= 1, 2, . . , r)

no~wendig sind, wie man unmittelbsr erkennt, wenn man (1) mit Zt(s)

�9 t)Itqlt dem Zeiohen - - ) wollen w i t stets die GleichmgBigkeit der Konvergenz ~ o ~ i . �9 ~- :

Lineare Intogralgleiohungen. 169

multiplizier$, integrier$ und dann reehts unter Bsaehtung yon (16) die Integrationsfolge umkehrt. Um die Bedingungen (17) als hinreiehend zu erkennen, besehrgnken wit uns zun/iehst -- sofern dies nStig ist -- auf solche Indizes n, fiir welehe lira ~:,.~(s) -- Zi(s) (i - - 1, 2, . . . , r) gilt,

f t - - ~ ov

und bilden mit den dann sicher bei waehsendem n gegen Null konver- gierenden Zahhn 8,, i = f f(s) Z,., (s) ds die Funktionen

tt

f. ( ~ ) = f(~) - 27 ~,., z , . , ( , , ) .

r:s i~t; f f . ( , , ) z , , . , ( ~ ) , ~ = o (i = 1, 2, . . . , ,.). A.ho besi~,~; die ~tnt%cal- gleiehung

(~s) f. (~)= ~(~) - f ~'.(~, t)~,(t)dt wegen der Giiltigkeit der Fredholmsehen Siitze flit ausgearte~e Kerne ~ieher sine zu V,l(s) , . . . ,%.(s) ortAogonale L6sung e,(s) . Mit diese.n LSsungen 0,(s) miissen wir uns im Falls I befinden, weil sis andernfalls zu e~er auf ~ (s), . . . , % (s) orthogonahn LSsung yon (14) fiikren wiirde, was naeh Voraussebzung unmSglieh ist. Also ki~nnen wit wieder suf Grund des Konvergenzprinzipss den Orenziibergang in der In~egralgleichung aus- fiihren und somi~ wegen f . (s) --) f(s) auf die LSsbarkeit yon (1) sehliellen. Hiermit sind die siimtliehen Fredholmsehen S/ttze fiir unseren Kern ag (s, t) bewiesen.

w

Die Eigenwerttheorie bei symmetrisch'en,Kernen~.'

ausgear~ete Kerne A(s, t) gleiehmiil3ig approxim!erenu. WJ~ zeigen zungchst, d ~ jeder symmetrisehe Kern (sofern er nieht, id~ntisch Versehwindet 6))

�9 b . . , ' . . , : . J . ' ~ - -

Eigenwet~oe und Eigenfunktionen besitzen mttl~. Zu diesem Zweeke be- trschten wit die ,,Integralformen"

�9 J [~ , ~ , ] = f f K ( s , t > ~ ( , ) , r { t ) d , dt.,

mad stellen uns das Problem, J[~o, ~o] zum Maximum zu machen unter der Nebenbedingung (8).

Hierbei setzen wit voraus, dal~ J positiver Werts fiihig ist. Andern- fails wiirden wit start des Marlmumproblema das en~sprechende Minimum- problem betrachten.

0) Das identisohe Versohwinden eines Kemee is~ gleiohbedeutend mit dem iden- tischen Versohwinden d'er zugehSrigea Integralform.

170 R. Courant.

Nach der Schwarzschen Ungleichung ist fiir jede solche Funktion

( g [ ~ , ~] - ] ~ [ ~ , ~])~=< ff(K-- A.)~

wegen der Konvergenz der A. gegen K unterscheidet sich also der Werte- vorrat der Integralformen J. bei hinreichend grol3em n von dem der Integralform J beliebig wenig, gleichviel, welche zuliissige Funktion T wir einsetzen. Mithin konvergieren die Maxima ~ , . - - - - J . [ ~ , ~ , ~1,,,] der GrSl3en J. gegen einen Weft xl, n~imlich die obere Grenze der Wer~e J[q~, T]. Diese obere Grenze mu] positiv sein.

Die ~l,n sind die zu den Eigenwerten 21,.-- 1 fiir den Kern ;gl~ n

An(s, t) gehSrigen normierten Eigenfunktionen, so dab gilt

~l ,~(s) = 2~,.fA.(s,t)q~j,.(t)dt.

Diese Relationen lehren uns wegen 2~,.--* 2~-- --,1 sofort, dal3 die Funl~. x 1

tionen ~,~(8) gleickmiiilig beschriinkt und stetig sind. Unser Konvergenz- prinzip, liefert uns nu'n unmittelbar eine Funktion r welche als gleich- miiBiger Limes einer Teilfolge der ~1,~ (s) der Relation

q~(s) = ~tfg(s,t)rp,(t)dt geniigt mad somit, da sie normiert ist, eine zum Eigenwert ~ gehSrige Eigenfunktion des Kernes K(s, t) darsteUt.

Genau in derselben Weise kSanen wit die weiteren positiven Eigen- werte ~g, 2s, . . . , ~h, " - (and natiirlich analog die negativen) mit den Eigenfunktionen ~2(8) , . . . , ~(-s),~.. ~erhalten, indem wir z.B. yon dem in der Vorbemerkung gekennzeiehne~en Minimum-l~taximnm-Problem fiir tinse~e tntegralform ausgehen.

Es h~t~6 keine Schwierigkeite/~i die lfie~-im ersten Teile be nu~z~'f/ kllgemehlen Konv6rgenzaussagen zu priizisieren, indem man naehtr/iglieh di~ Uberttiissigkeit einer komplizierten Auswahl zeigt. Die nunmehr darzu-: stellende zweite Methode erlaubt uns, auf cIiese Ausfiitmmgen zu verzieh- ten, indem sie yon vornherein die fragliehen Konvergenztatsachen mit yeller Pr~izision liefert.

Lineare Integralgloichungen. 171

I lL Zwei te Methode.

w

Unabh/ingigkeitsmall und asymptotische DimensionenzahlT).

Um ein Mall fiir die lineare Unabhiingigkeit yon m Funktionen f~ (s), fo (s), . . . , fm (s) zu erhalten, bilden wir die quadratische Form in

~1~ X~: . . . ~ X m

Q(x, x ) = N(x~f~ 4 - . . . @ zmf,,,)= f (x~f, + . . . + x,,f,,,)~'ds m

__ __ ~ v x, x k f f~fkd s t , k = t

Wit nennen dann das unter der Nebenbedingung ~ x ? , ~- 1 angenommene, t=1

bei linearer Abhiingigkeit der fi and sonst nieht versehwindende Minimum u yon Q (x, x) das ,,Unabhdngigkeitsmafl" der Funktionen fx (s), . . . , f~ (s).

Wenn man eine lineare Kombination ~Y'yi f i (s )= f (s) yon m Funk- i=1

tionen f,, f~, . . . , f~ bildet, welehe normiert ist, so kSnnen alle Koeffizien- ten y~ absolut genommen nieht oberhalb tier lediglich von dem Unabhii, ngig-

1 keitsmal~ u der f~ abh~ngenden Sehranke-~, liegen. Denn es ist zufolge

Y/:=_= �9 der Definition yon u Iiir x~- -1 /P , .~

V,z= lY,

f ( z ' )' ' f (s) d s = - ; , , - - _

~=t Z y~ t - - 1 " "

Wenn man daher" ein System yon m Funk~ionen mit einem oberhalb der positiven Schranke r liegenden Unabh~ngigkeitsmal~ orthogonalisier~, d.h. durch geeignete normierte lineare Kombinationen ersetzt, so kSnnen dabei

1 niemats hbsolut~erte der Koeffizienten oberhalb der Schranke ~ auftreeen.

Ist (pl(s.), ~ ( s ) , ~ 8 ( s ) , . . . eine tmendliehe Funk~onenfolge, so sagen wit, sie habe die asymptotische Dimensionenzahl r, wean lolgend9 Be" dingungen erfiillt sind: Bei noeh so kleinem positivem e ist nseh Weg- tasstmg einer hinreiehend groflea Anfangszahl der Ftmktionen d~t~ Falge das Unabh~ingigkeitsmal3 yon je r q- 1 tier iibrigbleibenden ldaimir als,s;. es gibt jedoch.nneh Weglasstmg yon beliebig vielen der Fun~ioIien noeh immer r Fatd~ionen, deren Unabhiingigkeitsmal~ oherhalb ehaer fosten

7) Vgl. Anm. 3.

172 R. Cour~nt.

positiven Schranke a ~ bleibt. Speziell werden wir sagen, daft r = 0 ist, wenn lira N[qgn] = 0 wird. Wit woIlen dabei der Einfachheit halber vor-

aussetzen, dari aUe Funktionen ~n der Folge entweder normiert sind, oder dari doch das In tegra l f q ~ (s)~ d 8 = N[~n] unterhalb einer festen, von n unabh~ingigen Schranke liegt.

Die innere Bedeutung der eingefiihrten Begriffsbildung beraht darin, daft eine Funktionenfolge der asymptotischen Dimensionenzahl r als Grenz- gebilde eine lineare Funktionenschar mit r Komponenten definiert. Dies gilt allgemein und ist sehr leicht zu zeigen, wenn man unter Zugrunde- legung des Lebesgueschen Integralbegriffes und der zugehSrigen Theorie

"alle auftretenden Funktionen nur bis auf eine Menge vom Marie Null als definiert ansieht und alle Integrale im Sinne von Lebesgue versteht. Will man aber, wie wir es hier tun, auf unserem elementaren Standpunkte verharren, so mu• man zum Beweise dez obigen Aussage noch gewisse einschriinkende Voraussetzungen fiber die Funktionenfolge ~1, ~ , ~s, ".- machen. In dieser Absicht definieren wir:

Eine gleichmiiriig beschriinkte Funktionen/olge q~l , q~, q~3, . . . heist glatt, wenn aus einer zwischen irgendeiner Anzahl j ihrer Funktionen be- stehenden Relation

2

folgt, da~ auch I xl ~n~ (*) + . . - + x~ ~ j (8) 1 < J ist, wobei J = J (e) eine nur yon e abhiingende, mit e zugleich gegen Null konvergierende Zahl bedeutet. Dann gilt der Satz: Ist ~x, ~ , ~ a , . . - eine glatte Funktionen- folge der asymptotischen Dimensionszahl r, so gibt es r linear voneinander unabhiingige (normiert und orthogonal wiihlbare) Funktionen ~x, ~ , �9 " ", ~r derart, daft fiir hinreichend grories n jede der Funk~ionen ~ sich yon einer Funktion der ]inearen Schar x~ ~x + x 2 ~ + . . . + x ~ fiberall um weniger als eine beliebig kleine GrSBe , unterscheidet, w~hrend es l~eine ]ineare Schar yon weniger a]s r Komponenten mit derselben Eigen- schdt gibt.

Wir k~nnen diese lineare Grenzschar auch folgendermarien charak- terisieren: Sind Gi, Gg, G s, . . . , G~, . . . Gruppen yon j e r Funktionen ~ , ~m,, . . . , ~ der Folge, deren Unabhiingigkeitsmafl oberhalb der festen positiven Schranke a ~ liegt und deren Indizes m~ ( i - - 1 , 2 , . . . , r) mlt wachsendem m eben~alls fiber alle Grenzen wachsen, so konvergieren die dutch die Funktionen yon G~ definierten linearen Funktionenscharen 8~ mit wachsendem m gleichmiiriig gegen eine durch r linear unabhiingige Funktionen ~x, ~ , . . . , ~r definierte Grenz~char S in dam Sinne, daft bei hinreichend grol~em m iede normierte Funktion yon 8~ sich yon einer Funktion yon 8 beliebig wenig unterscheidet.

Lineare Integmlgleiohungen. 173

Um den naheliegenden Beweis dieser Tatsachen becluem zu formu- lieren, sagen wir, eine Funktion f habe yon einer linearen Funktionen- sehar S eine Distanz kleiner als die positive GrSBe h, wenn f sich yon einer geeigneten Funktion yon S absolut genommen urn weniger als h unterscheidet; ebenso sagen wit, dal] zwei lineare Funktionenscharen $1, S~ eine Distanz kleiner als h besitzen, wenn jede normierte Funktion dot einen Schar sich yon einer solchen der .anderen Schar absolu~ genommen um weniger als h unterseheidet.

Nun gilt sofort" Bei hinreichend groBem m u n d n hat die Funktion ~o n yon der Schar S,~ eine beliebig kleine Distanz. Denn das Unabh~ingigkeits- mall von ~p,,, 7~,n~, ~ , , . . . , 7~,~. ist bei hinreichend grol]en m u n d n sicher beliebig klein; es gibt also r + 1 Zahlen xo, xx, x , , . . . , z r, fiir die x~ -b x~ + z~ -F . . . + x~ = 1 ist und fiir die I zo ~ , -b zl 9~, + - . . + x , ~ , , I beliebig klein wird. Hierbei kann, mit waehsendem m, n die Zahl x o absolut genommen nieht beliebig klein werden, da sonst entgegen der Voraussetzung das Unabhiingigkeitsmal] yon q~,, . . . , q ~ beliebig klein

wiirde; also kennen wir, indem wit dutch z o dividieren und ~

setzen, den Sehlul] ziehen, dab bei hinreichend grol]em m u n d n, die Funktion ~o, sich von der Funktion y~ ~%~ + . . . q - y r ~ 0 der Sehar S~ um beliebig wenig unterscheidet. Daher haben auch ffir hiareichend grebes m und n die beiden 1/nearen ]?unktionenscharen ~ und B, eine beliebig kleine Distanz.

e

Nunmehr sei e eine spiiter als geniigend klein zu fixierende positive

Zahl, e~, %, es , . ' - eine 1%lge positiver Zahlen, so da~ Z e~.----, ist. E's j = l

sei ferner m~ eine ganze positive Zahl, so dab f"ur n > rn~ und m > m~ die Distanz yon S, und S~ kleiner a]s e~ ist. Wir gehen yon irgend- welchen normierten, linear unabh~ingigen Funktionen Z~,~, Z~,~, . - . , X~,~ der Schsr S~, aus und bestimmen, was nach Voraussetzung mSglich ist, in S,,s die normierten Funktionen ~.~, Z~,,, . . . , 2~,~ so, dal] ] Z~,~-- ;~a,,] < ~ (i -- 1, 2 , . . . , r) wird. Ebonso bestimmen wit in S m die normierten Funktionen ~s,~, -. -, Zs.~ ~so, dal] I Z~,~-- Zs.~I < e~ wird, usw. Wegen I Z~,~ -- Z~, ~1 < e~ ~ - . . . -+- ~ (h < k) konvergiert mit wach- sendem n die Funkt~onenfolge Z,.~ (i ~ 1, , . . , r) gIeichmiiBig gegen eine Grenzfunktion ~ , und es ist ferner [~--Z~,~[ < * . Wird also $ h/n- reichend klein gew~ihlt, so werden sicherlich auch die Funktionen ~ , . . . , % zugleich mit Z~,x, �9 .., Z~, ~" ein v0n Null Ver$chiedenes Unabhiingigkeitsma$ hsben, also,,]j~ear ~unabhiingig s ein,. ~ Die ~unktionen W.i,..-,'~Pr :erfiitlen ofIenbar alle gest~lten Anford.erungen,~ . ,., .-

174 R. Courant.

w Anwendung au! die Integralgleichungstheorie.

Die Anwendung der obigen Begriffe in der Integralgleichungstheorie beruht auf folgendem Hilfssatz" Es sei VJ~ (s), y~ (s), ~8 (s), . . . eine Folge yon Funktionen, deren Norm unter einer Iesten Schranke M bleibt, und flit welche im Sinne der gleiehmiil]igen Konvergenz die Relation

(20) lira {W.(s ) -- f K(s, t)y).(t)dt}=)O

gilt. Dann bilden die Funktionen yJ.(s) eine glatte Funktionenfolge von " endlicher asymptotiseher Dimensionenzahl r.

Zum Beweise beachten wit, dal3 die Relation (20) auch bestehen bleibt, wenn wir die Funktionen ~p.(s) ersetzen dutch irgendwelche Funk- tionen ;(. (s), wobei Z. (s) = x I Y~., q - . . �9 q- xp Wnp eine lineare Kombination mit absolut beschriinkt bleibenden Koeffizienten x~, x~., . . . , xp aus irgend- einer Anzahl p von solchen Funktionen YJn,, Y~.,, . . . , ~'np der Folge ~. ist, dal~ dabei die Indizes n~ mit n zugleich ins Unendliche wachsen. Gibt es nun unter den Funktionen y~.(s) Gruppen yon j e r mit beliebig grol3en Indizes n~, so dab das Unabh/ingigkeitsma$ dieser Gruppe oberhalb einer festen Schranke ~ bleibt, ist also mit andern Worten die Dimensionen- zahl der Folge mindestens gleich r, so kSnnen wir diese Gruppen jede fiir sich orthogonalisieren, wobei naeh w 4 die auftretenden Koeffizienten absolut

1 genommen unterhalb d~r Schranke )-a-~ bleiben. So erhalten wit Gruppen

von je r zueinander orthogonalen normierten Funktionen

oo,,,(s), (i-----1, 2, . . . , r; n = 1 , 2 , 3 , . . . ) ,

fiir welche die Limesgleichung

(21) l i m { c o , , . , ( s ) - - f K ( s , t ) w , , . i ( t ) d t } = 0 , ( i= l, 2, ..., r)

boateht. Nach der Besselschen Ungleichung ist

f t) dt j : ( f t) (t) dr) i = t

1" o

i = 1

mad infolge yon (21) claher

f f K( s , t )~dsd t>r .

Somit haben wir eine Sehranke fiir dis Dimensionenzahl der Folge erhalten mad daher diese Zahl als endlieh erwiesen. Dalt die Folge glatt ist, er- gibt sieh unmittelbar aus der angeniihert quellenmiilligen Darstelhng (20).

Lineare Integralgleichungen. 175

Erstens ist n~imlich, wenn wir unter e, eine mit wachsendem n gegen Null strebende Zahl bezeichnen, nach der Schwarzsehen Ungleichung

y,,(8) ~ s f K(s, t) ~ dt.M--]- ~,,,

was die absolute Beschr~inktheit der y~, bedeutet. Zweitens folgt ebenso aus f (x~,, , ~ . . . -+- xp~np)~ds < e die Relation

(~:1~1 11371,j.

Wir wenden den bewiesenen Hilfssatz zuniiehst an, um die Eigen- funktionen eines sYmmetrisehen Kernes K(8, t) zu erhalten, der dutch die

ausgearteten symmetrischen Kerne A~ (s, t) gleiehmiil~ig approximiert werde. Es seien ~'~' 2~ n~, ~ ) , . . . die positiven Eigenwerte, /~,ln), ~r /~,, r , , 1 :, :, ~ . . . die negativen Eigenwerte yon A, (s, t); ferner y~ n' (8), V~ "1 (s), . . . bzw. Z~n)(e), ~s r (8), Z2' (s), . . . die zugehSrigen Eigenfunktionen. Mehrfaehe Eigenwerte sind dabei entsprechend mehrfaeh angefiihrt. Es seien wieder

f f A.(8, t)q~(s)q~(t)dsdt und g [~ , qo] = f f g(s, t)cp(s) p(t)dsdt die zu den Kernen A, bzw. K gehSrigen Integralformen, und es sei, wie

1 ist das Maximum wir voraussetzen diirfen, J positiver Werte fiihig. ~)

1 yon J, unter der Nebenbedingung (8); ~ sei die obere Grenze yon J

unter derselben Nebenbedingung. Da die Werte von J und J~ sich bei hinreichend grof~em n um weniger als eine feste beliebig kleine Zahl unter- scheiden, so muI~ lim 2~'*)~ 21 sein. Es folgt also aus

Vi ") (s)- 2~'*) f A,,(s, t)v,i")Ct)dt= 0 wegen A.=) K:

(22) lira ~ i,,i n - - l . oo

Mithin bilden die Funktionen W~ n) gem~i[~ unserem Hilfssatz, bei dessen An- wendung K durch 21 K zu ersetzen ist, eine glatte Folge yon endlicher, often- bar positiver Dimensionenzah! r. s) und defmieren somit nsoh w 4 eiae lineare Funktionenschar mit den normierten Komponenten YJx. 1 (8), . . . , Wl, r(s), welehe notwendig LSsungen der homogenen Integralgleichung

V,~,,(8)--21fg(8, t)Wl,(t)dt~O ( i = 1 ,2 , . , . , r),

also zum Eigenwert 2 x geh6rige Eigenfunktioaen yon K sin& Genau ebenso erhiilt man die iibrigen Eigenwerte mad Eigenfunktio~/en

des K~rnes K(8, t). Es ist n~imlieh z.B. 2~ n~ das durch geeignete Wahl

s) Das Verschwinden yon r wfirde mit tier Normierung der Funk tionen Y~l,~, im Widerspruch stehen.

176 R. Cour~nt.

der % , . . . , vh_ ~ zu erreichende Minimum des Maximums yon J, unter der lqebenbeding~mg (8) und den weiteren Nebenbedingungen (9). Definieren

1 wir wieder ~ als die entsprechende untere Grenze der oberen Grenze yon J,

so is~ wegen der Nachbarsehaf~ des Wertevorrats yon J~ zu dem yon J wiederum 2~"~--* 2n. Hieraus schliellen wit auf die Relation

lira te~ ~' -- 2~ f Is (s, t)W~")(t)dt=) O,

wonach die weiteren Folgerungen wie oben verlaufen. Um die negativen Eigenwerte mad zugehi~rigen Eigenfunktionen zu bekommen, haben wir die en~sprechenden Minimum- bz~r. Maximum-Minimum-Probleme zu be~racht~n. Tre~en- m~ endlich viele Eigenwerte des einen oder des andern Yorzeichens auf, so is~ bei der Aufsuehung derselben an der betreffenden Stelle ab- zubreehen, was keiner weiteren Ausfiihrungen bedarf.

Aueh im l~alle ~ler unsymmetrisehen Integralgleiehung (1) liefer~ die jetzige Methode gegeni~her w 2 eine Vereinfaehung und Vertiefung. Es, geniigt hier ein kurzer Hinweis mater Benutzung der dortigen Bezeiehnungen. Im Falle I niSgen die d. und c. so besehaffen sein, da~ fiir alle n die

2 Norm en unterhalb der.Sehranke M bleibt. Dann gilt fiir die Di~erenz. ~ - ~ ~-~.,, . ebenfalls, dal~ ihre bTorm unterhalb einer Sehranke 4~lr bleib~. Ferner ist

lira t)r

und daher erzeugen die r ~ naeh unserem Hilfssatz eine glatte Funktionen- folge beschriinlrter Dimensionenzahl r, welehe eine Grenzsclaar mit den orthogonalen Komponenten Wl (s), ...', ~v~(s) definieren mSge, sofern nich~

---0, a/so ~. ~-~)0 ist. Im letzteren Falle r ~ 0 konvergieren einfach die ~, (s) gleichmiil~ig gegen eine LSsung yon (1). Im Falle r > 0 sind die ~v~(s) LSsungen der homogenen Gleiehung. Wi~ ersetzen p, durcti eine Funkfiori ~. ( ,) -- e. (s) + x x Wx (s) + . . . + x. V. (8), welche orthogonal zu %, . . . . , W~ ist, Fiir diese Funktionen gilt sieherlich

lina 0?,.(s)-- f K(s, t)~r (t) dr- - f(s)---)O.

Wir kSnnen, d~z~:~ ~u/, die Di/~erenzen r / . - - ~M ~" Ca,,~ wieder .,unseren H,i/fssatz anwe.nd~nzan d, leicht schlie~en, .dal3, .die, Dimension'enzaht,.~lies~ ~Folge bTull sein mu~, dab also die r/. gleiehmiil]ig gegerL eine zu den w,(s) ~ho~gonale Lis~ng ' ~ h ' (i) ' k0nvergiere/~. . . . .

Lineare Integralgleichungen. 177

Im Falle II erhalten wir ebenfalls auf Grund unseres Hilfssatzes als

Grenzgebilde der Funktionenfolge o,,(s) = e~ (s) eine lineare Funktionen- Cn

schar yon LSsungen der homogenen Integralgleichung. Auf diese Art ergibt sich nach unserer Methode ein genauerer Ein-

blick in die Natur der bier waltenden Konvergenzverhhltnisse.

w

Stetigkeitstragen.

Die Entwieklungen des vorigen Paragraphen enthalten implizit auch eine vollst~indige Beantwortung der Frage, inwieweit sich die LSsungen eines Integralgleichungsproblemes mit dem Kern stetig ~,ndern. Wir be- gniigen uns bier mit der Ausiiihmng fiir das Eigenwertpioblem bei einem symmetrischen Kern K. Der Kern K ( s , t) mSge der gleichm~iBige Limes anderer symmetrischer Kerne K~ (s, t), (n -- 1, 2, 3, . . .) sein. Wenn wit uns auf die Funktionen 9 beschr~inken, welche de~ Bedingung (8) geniigen, so unterscheiden sich die Werte der zu den Kernen gehSrigen Integralformen Jn [9 , 9] und J [ 9 , 9] bei hinreichend grol]em n beliebig wenig. Daher gilt dies auch fiir die Minima oder Maxima dieser Kerne unter den :Nebenbedingungen (8), (9), und ebenso flit die Maxima derMinima oder die Minima der Maxima. Mit anderen Worten: Der h. te podZive und der h-re negative Eigenwert dindert sich 8tetig mi t dem Kern. Hinsieht- lich der Eigenfunktionen kSnnen wir mit Riicksicht auf das bei ihnen willkiir]iche Vorzeichen und das Auftreten mehrfaeher Eigenflmktionen eine regelrechte Stetigkeit nicht r Dafiir tritt bier Iolgendes u auI: Es sei 2 h ein ~'-/acher Eigenwert des Kernes K(s, t), es ~ei also 211 lira ~h (n) lira ~(n) lira ~(') == "-- aa+ x = . . . = a+~,-~ , dagegen gelte diese

Relat ion nicht /i~r 2~_)_1 und 2~)+r. Dann konvergiert mi t wachsendem n die lineare Schar aus den Eigen/unkt ionen ~(h n) ~n) �9 , � 9 �9 YJh + r - . de~ Kernes

K,, ]i~r n----, cx) gleichmd[3ig gegen die lineare Schar der Eigen]unktionen

yon ,K ]i~r den EigenwerZ 2 h. P

Diesen Satz, welcher ein vollst~ndiger &usdruck der fraglichen Stetig- keitseigensehaften der Eigenfunktionen ist, beweist man auf Grund unseres Hilfssatzes fast unmittelbar aus der Bemerkung, dab flit die Eigen-

~") r) die Limesgleichung ~uul~tionen ~h+k (0 ~ k <

r (n) lim ~ W + k ( s ) - 2~,y K ( s , t) V i ~ ( t ) dr}.=) 0

besteht.

Mathematische Annalen. 89. I ~

178 R. Courant. Lineare Integralgleichungen.

Schlullbemerkung. Die Ausfiihrungen dieser Arbeit treffen natiirlich nicht nur den hier

de~ BequemIichkeit hatber vorausgesetzten Fall stetiger Kerne; vietmehr gelten sie aueh im allgemeinsten prinzipiell zag~ingliehen Falle, bei dem nut folgende Voraussetzungen erfiillt zu sein brauehen: klle auftretenden Funktionen sind im Lebesgueschen Sinne integrierbar; iasbesondere exis~ieren aueh die In~egrale f K(8, $)3 ds und f g ( s , t)~dt in diesem Sinne und liegen unterhalb fester Sehranken. Alle Integrale sind dabei naeh Lebesgue zu verstehen, alle Fanktionen nut his auf Nullmongen definiert.

Auf weitero Anwendungen der hier dargelegten Begriftsbildungen hofte ieh bei anderer Gelegenheit zuriiekkommen zu k6nnen.

(Eiageg~ngen am 17. I. 1923.)