Versuch einer analytischen Beschreibung des Zahnbogens 1

A. Masztalerz, Wroclaw, (Breslau)

Abteilung ftir Kieferorthop/idie (Leiter: Prof. Dr. habil. A. Masztalerz) des I.nstituts fiir Stomatologie (Direktor: Prof. Dr. habil. S. Potoczek) der Medizinischen Akademie in Wroc~'aw (Breslau)

Mit 8 Abbildungen

In Forschungen der Gebigentwicklung, und dies sowohl der ontogenetischen als auch der phylogenetischen, ist die Bewertung der Zahnbogenform von groger Be-

deutung. Wichtig ist sie auch in der kieferorthop/adischen Diagnostik. Die allgemein angewandte beschreibende Bewertung gentigt jedoch nicht immer, und die in der Anthropologie und Primatologie gebrauchte Einteilung in lemuroidale, pithekoida- le und hominidale BOgen ist wenig pr~izise. Die Bezeichnung des menschlichen

Zahnbogens als Parabel oder halbe Ellipse gent~gt weder for das Untersuchen der Entwicklungsvariabilitat dieser Bogenform noch ftir Populationsuntersuchungen.

Das Ziel dieser Arbeit ist der Versuch einer analytischen Beschreibung des Zahnbo- gens als einer einfachen Vergleichsmethode.

Von Gipsmodellen des Oberkiefers und Unterkiefers wurden Fotos angefertigt,

auf denen die Zahnb6gen Kurven aus charakteristischen Punkten bilden, die die ein- zelnen Z/~hne repr/asentieren. Diese Punkte liegen an den Schneidekanten (am Uber- gang in die Mesialfl~tche) und an den H6ckern (Abb. 1 und 2). Einen so gebildeten Bogen halbiert die Normale n, die vom Bertihrungspunkt der Z~ihne 11 - 21 und 31 - 41 zur Geraden a gezogen wird, die die hintersten Punkte auf den Distalfl/~chen der

1 Der Autor dankt Herrn Doz. Dr. Ing. habil. E. S. Burka, Institut far StrOmungsmaschinen der Polni- schen Akademie der Wissenschaften, Gdafisk (Danzig), ftir die Mithilfe bei der mathematischen Bearbei- tung dieses Problems.

Abb. 1 Abb. 2

Abb. 1. Punkte, die den oberen Zahnbogen repr/~sentieren und Linien (a und n) des Koordinatensystems. Abb. 2. Punkte, die den unteren Zahnbogen repr/~sentieren und Linien (a und n) des Koordinaten- systems.

388 Fortschr. Kieferorthop. 40 (1979), 388--391 (Nr. 5)

Beschreibung des Zahnbogens

Z a h n p u n k t e b e i m Z u s a m m e n d r t i c k e n n ich t zu sammenpa l3 t en ) . Es k a n n sich a u c h

e rwe i sen (was bei d e m da rges t e l l t en Beisp ie l s i ch tba r ist - - A b b . 3, 5 u n d 7), dab die

l i nken u n d r ech t en Se i ten b e i d e r Z a h n b 0 g e n n ich t v011ig s y m m e t r i s c h s ind. D e r

Z a h n b o g e n w i r d n~tmlich idea l w e d e r v o n d e r G a u m e n n a h t n o c h v o n den N o r m a l e n

zu G e r a d e n , die die h i n t e r e n Fl~ichen der l e t z t en M o l a r e n v e r b i n d e n . In so lch e i n e m

Fa l l k a n n m a n ana log , wie es ftir die l inke Sei te gezeig t w u r d e , die W e r t e der M -

K e n n z a h l ft~r die r ech te H~ilfte des Z a h n b o g e n s b e s t i m m e n u n d so ihre vol ls t~indige

ana ly t i s che B e s c h r e i b u n g b e k o m m e n . Ft~r V e r g l e i c h s u n t e r s u c h u n g e n gent ig t es

aber , sich a u f eine gew~ihlte H~ilfte des Z a h n b o g e n s zu beschr~inken, u m d a m i t ein

repr~isentat ives E r g e b n i s m a t e r i a l zu e r r e i chen . Das a u f d ie sem W e g e e r r e i ch te Ge ra -

denb f inde l (sie c h a r a k t e r i s i e r e n a n h a n d der M - K e n n z a h l die e inze lnen Z a h n b 0 g e n )

e r le ich te r t b e d e u t e n d die A n a l y s e u n d I n t e r p r e t i e r u n g des Ve rg l e i chsma te r i a l s .

Zusammenfassung

Um die Form des Zahnbogens zu beschreiben, schl~gt der Verfasser vor, auf einem Foto des Gips- modells das Koordinatensystem zu zeichnen, das durch die Sagittalebene und die Verbindungslinie der letzten Molaren gebildet ist. Die H~ilften des Zahnbogens beinhalten im logarithmischen Koordinaten- system die Geraden vonder Formel lg Y = m " lg x. Der Exponent ,,m" bestimmt die Form des Zahn- bogens.

Summary In order to describe the form of the dental arch, the author draws - - on the outline of the plaster

model - - a system of coordinates, formed by the sagittal plane and the tangent to the last molars. The halves of the dental arch form a straight line in the logarithmic system according to the formula ig Y = m " lg x. The exponent ,,m" describes the form of the dental arch.

R+sum~

Pour d6terminer la forme de l'arcade dentaire, l'auteur propose de tracer sur la photographie du mo- d61e en pl~tre, un syst6me de coordon6es, form6 du plan sagittal et d'une tangente aux derni6res molaires. On peut prbsenter les moiti6s des arcades dentaires dans un syst~me logarithmique tel la droite lg Y = m " lg x. L'exposant , ,m" d6termine la forme de l'arcade dentaire.

Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. habil. A. Masztalerz, Cieszyfiskiego 17, 50-136 Wroctaw, Polen.

Fortschr. Kieferorthop. 40 (1979), 388--391 (Nr. 5) 391

A. Masztalerz

eindeut ig die F o r m des Zahnbogens . Diesen Exponen ten bezeichne ich als F o r m -

kennzahl des Z a h n b o g e n s und kennzeichne ihn mit dem Buchs taben M.

Die so def inier te d imens ions lose Kennzahl des Z a hnboge ns M kann daher sowohl

zum Kr i te r ium der Ube re in s t immung des Zahnbogens im Oberk ie fe r (O) und Unter -

kiefer (U) als auch zum Verg le ichsparamete r der ZahnbOgen bei verschiedenen Per-

sonen werden. Wie es an dem dargeste l l ten Beispiel zu sehen is t (Abb . 7 und 8), un-

terscheidet sich der Mi t te lwer t der F o r m e n k e n n z a h l M, also M, nicht viel (e twa 1%)

von dem W e r t dieser Kennzahl fiar den Oberk ie fe r und Unte rk ie fe r , was von der

geometr i schen 2i, hnl ichkei t be ider BOgen zeugt (obwohl die oberen und unteren

/ ~=

0 1 2 3 4 5 6 7

- - L

Abb. 6

91 2

Abb. 7

1

Abb. 8

2 3 4 5 6 7 8 g 1

Abb. 6. Die Kurve aus der Abb. 4 (Unterkiefer) auf das logarithmische Koordinatensystem fiber- tragen. - - Abb. 7. Die durchschnittliche Kurve der oberen und unteren ZahnbOgen. - - Abb. 8. Die Kurve aus der Abb. 7 (Ober- und Unterkiefer) auf das logarithmische Koordinatensystem t~bertra- gen.

390 Fortschr. Kieferorthop. 40 (1979), 388--391 (Nr. 5)

Beschreibung des Zahnbogens

Z a h n p u n k t e b e i m Z u s a m m e n d r a c k e n n ich t z u s a m m e n p a l 3 t e n ) . Es kann sich a u c h

e rwe i sen (was bei d e m da rges t e l l t en Beispie l s i ch tba r ist - - A b b . 3, 5 u n d 7), dab die

l i nken u n d r ech t en Se i t en be ide r Z a h n b 6 g e n n ich t v611ig s y m m e t r i s c h sind. Der

Z a h n b o g e n wi rd n ~ m l i c h idea l w e d e r y o n de r G a u m e n n a h t n o c h v o n den N o r m a l e n

zu G e r a d e n , die die h i n t e r e n Fl f ichen der l e t z t en M o l a r e n v e r b i n d e n . In so lch e inern

Fal l k a n n m a n a n a l o g , wie es fiir die l inke Sei te geze ig t w u r d e , die W e r t e der M -

K e n n z a h l ftir die r ech te H ~ l f t e des Z a h n b o g e n s b e s t i m m e n u n d so ihre volls t~indige

ana ly t i s che B e s c h r e i b u n g b e k o m m e n . FOr V e r g l e i c h s u n t e r s u c h u n g e n g e n 0 g t es

aber , sich a u f eine gewf ih l te Hf i l f t e des Z a h n b o g e n s zu beschr~inken, urn d a m i t ein

r ep rg sen t a t i ve s E r g e b n i s m a t e r i a l zu e r r e i chen . Das a u f d i e sem W e g e e r r e i ch te Ge ra -

d e n b t i n d e l (sie c h a r a k t e r i s i e r e n a n h a n d der M - K e n n z a h l die e inze lnen Z a h n b 6 g e n )

e r l e i ch te r t b e d e u t e n d die A n a l y s e u n d I n t e r p r e t i e r u n g des V e r g l e i c h s m a t e r i a l s .

Zusammenfassung

Um die Form des Zahnbogens zu beschreiben, schl~gt der Verfasser vor, auf einem Foto des Gips- modells das Koordinatensystem zu zeichnen, das durch die Sagittalebene und die Verbindungslinie der letzten Molaren gebildet ist. Die H~tlften des Zahnbogens beinhalten im logarithmischen Koordinaten- system die Geraden vonder Formel lg Y = m " lg x. Der Exponent , ,m" bestimmt die Form des Zahn- bogens.

Summary In order to describe the form of the dental arch, the author draws - - on the outline of the plaster

model - - a system of coordinates, formed by the sagittal plane and the tangent to the last molars. The halves of the dental arch form a straight line in the logarithmic system according to the formula lg Y = m • lg x. The exponent , ,m" describes the form of the dental arch.

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Pour d~terminer la forme de l'arcade dentaire, l'auteur propose de tracer sur la photographie du mo- dule en pl~tre, un syst~me de coordon6es, form~ du plan sagittal et d'une tangente aux derni~res molaires. On peut pr6senter les moiti6s des arcades dentaires dans un syst6me logarithmique tel la droite lg Y = m " lg x. L'exposant , ,m" d6termine la forme de l'arcade dentaire.

Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. habil. A. Masztalerz, Cieszyfiskiego 17, 50-136 Wroctaw, Polen.

Fortschr. Kieferorthop. 40 (1979), 388--391 (Nr. 5) 391