Vorbereitende Experimente zum Test

der Riemannschen Hypothese

in offenen Kreisbillards

Pedro Jose Oria Iriarte

Forschungsarbeit

Institut fur Kernphysik

Technische Universitat Darmstadt

Oktober 2006

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit einer experimentellen Untersuchung

des Zerfallsverhaltens eines kreisformigen Mikrowellenbillards mit kleinen an der

Berandung platzierten Absorbern, die eine Offnung des Systems simulieren. Es

wurden Messungen an einer quasi-zweidimensionalen Hohlraumkavitat im normal-

und supraleitenden Zustand durchgefuhrt. Mikrowellen werden in die Kavitat ein-

bzw. ausgekoppelt. Der zeitliche Zerfall wird anhand von Fouriertransformationen

der in den Messungen aufgenommenen Spektren evaluiert. Obwohl die Kavitat

ein elektromagnetisches System darstellt, ist sie aquivalent zu einem”Quanten-

billard“ mit entsprechender Geometrie.

Es wurden offene Quantenbillards mit verschiedenen Offnungen entlang der Be-

randung simuliert. Im Winkeln gemessen betrug die Große der Offnung 5o, 10o,

15o und 20o. Im Fall von 5o und 15o wurden außerdem zwei gegenuberliegenden

Offnungen untersucht. Die Messungen wurden im Quantenchaos-Labor am Insti-

tut fur Kernphysik in Darmstadt bei 77 K und bei 4.2 K durchgefuhrt.

Ziel der durchgefuhrten Messungen ist es, einen von Bunimovich und Dettmann

vorhersagten Zusammenhang zwischen der Riemannschen Hypothese und dem

Langzeitverhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im klassi-

schen Kreisbillard fur das zugehorige Quantenbillard experimentell zu verifizieren.

Dafur wird der Zerfall des simulierten Quantensystems anhand der Betrachtung

der zeitlichen Entwicklung der elektromagnetischen Energie in den Mikrowellen-

kavitaten bestimmt. Ein Vergleich mit einer klassischen, numerischen Simulation

wird gezeigt. Experimentell wird eine Uberlagerung von einem exponentiellen und

algebraischen Zerfall gefunden. Es konnte eine qualitative Ubereinstimmung zu

weiteren numerischen Vorhersagen gefunden werden.

Das Einbringen von Absorptionsmaterial stort das System auf eine entschei-

dende Weise. In Abhangigkeit von ihrer raumlichen Verteilung koppeln einige

Moden sehr stark an das Absorptionsmaterial und konnen deswegen nicht in

den gemessenen Spektra identifiziert werden. Hingegen wird keine bedeutende

Veranderung anderer Moden detektiert. Verschiebungen der Kavitatsmoden wer-

den in Abhangigkeit von der Große des Absorptionsmaterials bezuglich der be-

rechneten theoretischen Werte festgestellt. Statistische Eigenschaften der vermes-

senen Spektren werden ebenfalls ausgewertet. Schließlich wird unter supraleiten-

den Bedingungen eine gewisse Aufhebung der Entartung einiger Moden des si-

mulierten Quantensystems beobachtet.

4

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Theoretische Grundlagen 6

2.1 Billardsysteme und klassisches Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Zweidimensionale Resonatoren und Analogie zur Quantenmechanik 8

2.2.1 Quantenchaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Zweidimensionale Kavitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Dynamik und Wellenfunktionen des Kreisbillards . . . . . . . . . 12

2.3.1 Klassische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Aufenthaltswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3 Quantenmechanisches Billard . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Absorptionsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Dampfung am Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2 Eindringtiefe in die Kavitatswande . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.3 Energieverlust und Qualitatsfaktor der Kavitat . . . . . . 22

3 Experimentelle Methode 24

3.1 Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Verwendete Kavitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Auswahl des Absorptionsmaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Experimentelle Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Ergebnisse und Auswertung 37

4.1 Supraleitende Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Entartete Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Aufspaltung entarteter Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

4.2.2 Dampfung am Absorber und Verschiebung der Dubletts . . 39

4.3 Auswertung der Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Spektrale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4.1 Verteilung benachbarter Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . 45

4.4.2 Langreichweitige Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Bahnlangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6 Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Billard . . . . . . . . . . . . . . 50

4.7 Aquivalenz zur Riemannschen Hypothese . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Schlussbemerkung und Ausblick 56

A Nicht identifizierte Resonanzen 59

Danksagung 67

ii

1 Einleitung

Vor ungefahr 100 Jahren beobachtete der franzosiche Mathematiker Henri Poin-

care zum ersten Mal Bewegungen von Teilchen, die, obwohl sie nicht vollig zufallig

waren, keiner regularen Dynamik entsprachen [1, 2]. Kleine Modifikationen in den

Anfangsbedingungen der Bewegung fuhrten zu enormen Abweichungen im Ver-

lauf der Zeit. In den letzten funfzig Jahren haben chaotische Systeme sowohl vom

theoretischen Standpunkt her [3, 4] als auch in der Praxis eine wichtige Bedeu-

tung bekommen [5, 6]. Zuerst in der Theorie, aber spater auch im Experiment,

spielen die sogenannte Billards eine entscheidende Rolle. Diese entsprechen Ge-

bieten, in denen die Bewegung eines Teilchens nach den klassischen Newtonschen

Gesetzen stattfindet. Wenn das Teilchen auf die Umrandung des Systems trifft,

wird es gemaß den Regeln der Spiegelreflexion an den Wanden reflektiert.

Ein konzeptuell tieferes Verstandnis der Auswirkung chaotischen Verhaltens auf

das korrespondierende Quantensystem wurde mit der Begrundung des Gebie-

tes”Quantenchaos“, anfangs

”Quanten-Chaologie“ genannt, gewonnen [7]. Auf-

grund einer mathematischen Analogie zwischen der Helmholtz- und der zeitun-

abhangigen Schrodingergleichung lassen sich Quantenbillards durch Mikrowellen-

kavitaten simulieren[8]. Dies sind flache Resonatoren von der Ordnung einiger De-

zimeter, in denen bei der Emission bzw. Empfang von Mikrowellen uber Antennen

fur bestimmte Frequenzen (Resonanzen) eine konstruktive Interferenz moglich ist.

Das Verhaltnis zwischen der Ausgangs- und Eingangsleistung der Transmission

zwischen den Antennen in Abhangigkeit von der Frequenz liefert das Spektrum.

Die lokalen Maxima in diesem Spektrum korrespondieren zu den Resonanzen.

Theoretisch entsprechen diese Maxima Delta-Funktionen, die jedoch auf Grund

ohmscher Verluste in den Wanden und die Ankopplung an die Antennen eine

endliche Breite besitzen. Mikrowellenresonatoren sind Gegenstand aktueller For-

schung, da die Dynamik ihrer klassischen Analoga je nach Umrandung regular,

gemischt oder chaotisch gewahlt werden kann und bekannt ist [9]. In den letzten

funfzehn Jahren wurden Messungen unter supraleitenden Bedingungen durch-

gefuhrt, da in diesen Verluste an der Berandung der Kavitat sehr klein sind, und

damit die Spektra eine hohe Auflosung besitzen [10, 11].

Es existieren zwei Arten von Billards. Geschlossene Billards entsprechen einem

1

Gebiet, das durch unendliche hohe Potentialwande von der Umgebung abgegrenzt

ist. Dementsprechend ist die Dynamik des Teilchens auf das Inneren des Systems

eingeschrankt. Im Gegensatz dazu spricht man von einem offenen Billard, wenn

das System durch eine Offnung an die Außenwelt angekoppelt und somit durch

einen Materie- bzw. Energieaustausch charakterisiert ist [12–15].

2

Die vorliegende Arbeit untersucht ein Kreisbillard, an dessen Rand kleine

Stucke eines Mikrowellenabsorbers angebracht wurden. Einerseits storen sie das

System, da sie zu einer Veranderung der Randbedingungen fuhren, wodurch es zu

einer leichten Verschiebung der Resonanzen im Vergleich zum ungestorten Sys-

tem kommt [16, 17]. Andererseits simulieren sie sehr kleine Offnungen, da sie im

Idealfall die auftreffende elektromagnetische Strahlung vollstandig absorbieren.

Bei vier Messungen wurde ein Absorber an der Kavitatsumrandung angebracht.

Zwei Absorptionsmaterialstucke wurden in zwei Messungen gegenuberliegend be-

trachtet. Die Großen der Offnungen entsprechen einem Kreisbogen von 5o, 10o,

15o und 20o. Aufgrund der deutlichen Verbesserung der Identifikation der Reso-

nanzen der Kavitat wurden die Messungen in einem supraleitenden Zustand bei

4.2 K durchgefuhrt.

Die zeitliche Entwicklung des simulierten Quantensystems lasst sich aus der Fou-

riertransformation der Elemente der Streumatrix fur die Transmission von der

Ein- zur Auskopplungsantenne bestimmen. Diese Fouriertransformierte liefert die

zeitliche Entwicklung der aus dem System ausgekoppelten Energie. Die Energie

ist proportional zum Betragsquadrat des elektrischen Feldes, und im simulier-

ten Quantensystem ist die gerade die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen nach einer

gewissen Zeit an einem bestimmten Ort zu finden. Ziel dieser Arbeit ist die Un-

tersuchung des zeitlichen Zerfalls des Systems durch das mit Absorptionsmaterial

simulierte Loch. Klassisch betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil-

chen langer als eine bestimmte Zeit im Billard bleibt (im Folgenden Aufenthalts-

wahrscheinlichkeit genannt) und wurde z.B. in [18] analytisch und numerisch

ausgewertet. Experimentell wurde diese auch fur eine chaotische Geometrie in

[19] bestimmt. Zum Anderen haben L. Bunimovich und C. Dettmann in einer

kurzlich veroffentlichen Arbeit gezeigt [20], dass der Zerfall dieser Wahrschein-

lichkeit im klassischen Kreisbillard in zweiter Ordnung fur sehr lange Zeiten und

kleine Offnungen eine Verbindung mit der sogenannten Riemannschen Hypothese

erlaubt. Die Riemannsche Hypothese gehort zu den altesten ungelosten Proble-

men der Mathematik und ist mit der Primzahlenverteilung und den Nullstellen

der Riemannschen Zeta Funktion verbunden [21, 22]. Die Untersuchung der Kon-

sequenzen eines klassisch Verhaltens fur das Zerfallsverhalten des kreisformigen

Quantenbillards war die ursprungliche Motivation fur die vorliegende Arbeit.

3

Die Arbeit ist wie folgt strukturiert. Die theoretischen Grundlagen sowie einige

mathematischen Aspekte werden in Kapitel 2 behandelt. Die erwahnte Analo-

gie zwischen Mikrowellen- und Quantenbillards wird abgeleitet. Das Zeitentwick-

lungsgesetz, das die Dynamik der Bewegung im Billard bestimmt, wird ebenfalls

beschrieben. Schließlich wird der Effekt des Absorptionmaterials auf die Resonan-

zen betrachtet. Man findet einen exponentiellen Abfall des elektrischen Feldes am

Absorber in Abhangigkeit vom Imaginarteil der Dielektrizitatskonstante.

4

In Kapitel 3 geht es um die experimentellen Methoden, im Besonderen um

den Abkuhlvorgang auf 4.2 K, die Temperatur von flussigem Helium, bei der

die im Rahmen dieser Arbeit benutzten Kavitaten supraleitend sind. Zusatzlich

beschaftigt sich ein Abschnitt mit der Auswahl eines geeigneten Absorptionsmate-

rials fur die Simulation von Offnungen am System. Auch werden die Abmessungen

des Systems sowie der Aufbau des Kreisbillard-Systems ausfuhrlich beschrieben.

Die Analyse der in den Messungen aufgenommenen Daten sowie die statistische

Auswertung befindet sich in Kapitel 4. Zuerst wird die Qualitat der supralei-

tenden und der normalleitenden Messungen verglichen. Auch werden in diesem

Kapitel die durch den Effekt des Absorptionsmaterials verlorenen Resonanzen

sowie die Verschiebung der Resonanzen diskutiert. Eine deutliche Aufspaltung

der ersten entarteten Moden wurde beobachtet. Die spektralen Eigenschaften,

d.h. die Verteilung benachbarter Eigenwerte und die ∆3 Statistik weisen auf eine

regulare Dynamik fur das Kreissystem mit Absorbern hin. Eine andere wichti-

ge Große ist das sog. Langenspektrum, das eine Identifikation klassischer Bah-

nen im Quantensystem erlaubt. Als dritter relevanter Aspekt werden die Auf-

enthaltswahrscheinlichkeiten im Billard berechnet. Zusatzlich wird ein Vergleich

dieser mit einem klassischen System angegeben, das mit Hilfe einer klassischen Si-

mulation realisiert wurde. Die experimentelle Aufenthaltswahrscheinlichkeit zeigt

eine Uberlagerung exponentiellen und algebraischen Verhaltens fur kurze Zei-

ten aber ein algebraisches fur lange Zeiten. Fur das simuliert klassische System

findet man eine algebraische Tendenz. Schließlich wird der Zusammenhang der

Riemannschen Hypothese und das betrachtete Mikrowellenbillard analysiert mit

Hilfe des Produkts von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit der Zeit und dem

Offnungswinkel im Limes fur sehr lange Zeiten und kleine Offnungswinkel. Man

findet eine qualitative Ubereinstimmung mit den numerischen Ergebnissen.

In Kapitel 5 werden einige Schlusse in Bezug auf die wichtigsten Ergebnisse dar-

gelegt. Zum Schluss wird ebenfalls ein Ausblick mit den geplanten Messungen

gegeben.

5

2 Theoretische Grundlagen

2.1 Billardsysteme und klassisches Chaos

Ein Billard wird durch ein Gebiet G ⊂ RNmit Rand ∂G ⊂ RN−1, der G von

seinem Komplement RN \ G trennt, definiert [23]. Ein Teilchen mit Masse m und

Impuls ~p = m~v bewegt sich reibungslos im Inneren des Systems entlang einer

Geraden, bis es die Berandung trifft. Das Teilchen wird dort ohne Anderung der

zum Rand tangentialen Komponente des Impulses und unter Umkehrung der

normalen Komponente reflektiert,

~p′ = ~p− 2(~p · n)n. (2.1)

Hier bezeichnet n den Normalenvektor an den Rand ∂G im Kollisionspunkt. Der

Eingangswinkel ist gleich dem Ausgangswinkel (siehe Abbildung 2.1).

Ein so definiertes Billard stellt ein Hamiltonsystem mit einem 2N -dimensionalen

Phasenraum ~x = (q1, . . . , qN , p1, . . . , pN) und einem Potential V (q) = 0 fur q ∈G, V (q) = ∞ fur q ∈ ∂G dar. Die Bewegung des Massenpunktes hangt nur von

der Form der Berandung des Billards ab. Je nach der Form des Billards erhalt

man eins mit regularer, chaotischer oder gemischter Dynamik.

Ein dynamisches System wird als regular bezeichnet, wenn die Bahnen, denen

die Teilchen folgen, sich nach einer initialen Storung hochstens linear mit der

Zeit voneinander entfernen. Diese Dynamik findet man in einigen sehr bekannten

Systemen wie kreisformigen oder rechteckigen Geometrien [24].

Chaotische Bewegung ist nicht vorhersagbar aufgrund einer extrem empfindlichen

Abhangigkeit von den Anfangsbedingungen obwohl die Dynamik durch die be-

kannten Bewegungsgleichungen beschrieben wird. Ursprunglich benachbarte Tra-

jektorien erfahren im Laufe der Zeit eine exponentielle Divergenz. Beispiele dafur

sind das Sinai Billard oder das Bunimovich Stadion [19].

6

Abbildung 2.1: Reflexion eines Teilchens am Rand des Billards.

Als dritte Charakterisierung muss man in der Klassifizierung die Systeme mit ge-

mischter Dynamik einfuhren, deren Phasenraum regulare Inseln in einem chao-

tischen Meer besitzt. Ovale und nicht-konzentrische Ringbillards (mit Kreisbe-

randungen) sind Systeme, die regulare und chaotische Bahnen enthalten [25]. In

Abb. 2.2 sind typische Bahnen mit regularer, chaotischer und gemischter Dyna-

mik gezeigt.

7

2.2 Zweidimensionale Resonatoren und Analo-

gie zur Quantenmechanik

2.2.1 Quantenchaos

Quantenchaos ist ein interdisplizinares Gebiet der modernen Physik, dessen Ur-

sprung in den sog. semiklassischen Modellen zu finden ist [8]. Eine bedeutende

und sinnvolle Frage der Quantenmechanik ist, wie sich die Gesetze mikroskopisch

kleiner physikalischer Systeme auf die zugehorige klassische Mechanik ubertragen

lassen. Im Rahmen der Quantenmechanik verliert das Konzept der exponentiellen

schnellen Entfernung benachbarter Trajektorien mit der Unscharferelation seinen

Sinn. Zwei große Schritte wurden in den letzten 50 Jahren gemacht. Einerseits

ist Gutzwiller mit der”Periodic Orbit Theory“ eine semiklassische Quantisierung

Abbildung 2.2:Darstellung einer regularen (oben), chaotischen (Mitte) und ge-

mischten (unten) Dynamik mit einfachen Geometrien. Die schnel-

le Divergenz der anfangs benachbarten Bahnen im chaotischen

Fall ist deutlich beobachtbar.

8

RRegular

PPoincaré

QQuantum

Chaotic Systems Quantum Systems

Classical Systems

QuantumChaos

KAMTheorem Bohr Principle

Abbildung 2.3:Chaotische und regulare Dynamik fur ein Klassisch- bzw. Quan-

tensystem. Die Bahnen der klassischen Systemen entsprechen ei-

ner chaotischen und regularen Bewegung. Die Sequenzen der Ei-

genwerte zeigen eine Niveauabstoßung fur den chaotischen Fall

und eine Niveauhaufung fur den regularen Fall.

gelungen [26] und andererseits haben Bohigas, Giannoni und Schmit einen univer-

sellen Zusammenhang zwischen den statistischen Eigenschaften der Spektren von

Quantensystemen mit chaotischer Dynamik des korrespondierenden klassischen

Systems und der”Random Matrix Theory“ entdeckt [27]. Die Skizze in Abb.

2.3 offenbart zwei Beispiele von einem klassisch chaotischen und einem klassisch

regularen System und zwei Eigenwertsequenzen, die zu zwei Quantensystemen

entsprechen, deren zugehorige klassische Dynamik chaotisch und regular ist.

2.2.2 Zweidimensionale Kavitat

In der Quantenmechanik wird die Dynamik eines Billards durch die stationare

Schrodinger Gleichung

(∆ + k2)ψ(x, y) = 0 k =p

~=

√2mE

~(2.2)

9

mit der Randbedingung

ψ|∂G = 0 (2.3)

beschrieben, wobei E die Energie eines freien Teilchens und ψ(x, y) die Wellen-

funktion des Teilchens symbolisiert [28]. Ein zeitliche harmonische Abhangigkeit

der Losung der Schrodinger Gleichung wurde hierbei angenommen. Als Losung

der Gleichung (2.2) erhalt man diskrete Eigenwerte kn und die korrespondieren-

den Eigenfunktionen ψn.

Es wird nun eine flache, zylindrische Mikrowellenkavitat mit ideal reflektierenden

Wanden betrachtet. Die elektromagnetischen Schwingungen folgen der Helmholtz

Gleichung[29]. Diese lautet im Inneren des Resonators fur das elektrische bzw.

magnetische Feld, ~E bzw. ~B

(∆ + k2) ~E(~r) = 0 bzw. (∆ + k2) ~B(~r) = 0, (2.4)

wobei k = 2πf/c die Wellenzahl, f die Frequenz fur die freie Ausbreitung der elek-

tromagnetischen Strahlung und c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnen. Zusatzlich

gelten an der Oberflache der Kavitat die Randbedingungen

n · ~E(~r)|∂G = 0 t · ~B(~r)|∂G = 0. (2.5)

Hier symbolisieren n und t den normierten Normal- bzw. Tangentialvektor an die

Resonatoroberflache. Losungen der Gleichung (2.2) stellen in zylindrischer Geo-

metrie die sog.”transversal magnetische Moden“ (TM) bzw.

”transversal elektri-

sche Moden“ (TE) dar, die aquivalent zu zwei unabhangigen Polarisationsrichtun-

gen der elektromagnetischen Felder sind. Sei die z-Achse senkrecht zum Deckel

und Boden der zylindrischen Kavitat. Dann erhalt man als Losung der Gleichung

(2.4) mit Bedingungen (2.5):

Ez(~r) = E(x, y) cos

(nπz

d

), n = 0, 1, 2, . . . (2.6)

10

Bz(~r) = 0. (2.7)

Setzt man diese Ausdrucke in die Helmholtzgleichungen (2.4) ein, erhalt man fur

das elektrische Feld die Gleichung

[∆ + k2 −

(nπ

d

)2]E(x, y) = 0 (2.8)

mit der Randbedingung E|∂G = 0. Unterhalb einer bestimmten Frequenz fc =

c/2d gibt es nur eine Losung von Gl. (2.8) fur n = 0 (erste TM-Mode). Dies

bedeutet, dass es keine Variation in z-Richtung des elektrischen Feldes gibt und

damit eine zweidimensionale Beschreibung des Systems moglich ist.

Somit lautet die skalare Helmholtzgleichung fur eine quasizweidimensionale Ka-

vitat

(∆ + k2)E = 0 (2.9)

mit der Randbedingung E|∂G = 0 (vgl. Gleichung (2.2)). Frequenzen, die unter fc

liegen, garantieren eine Aquivalenz der Helmholtzgleichung und der Schrodinger

Gleichung eines quantenmechanischen Kastenproblems mit unendlicher Tiefe ist

[28]. Die in dieser Arbeit benutzte Kavitat besitzt eine Hohe von 5 mm, was einer

maximalen Frequenz von 30 GHz entspricht. Unter dieser Bedingung bilden sich

nur fur gewisse Frequenzen zweidimensionale stehende Wellen aus, d.h. nur fur

diese bestimmten Frequenzen interferieren die Mikrowellen konstruktiv miteinan-

der. Man nennt solche Resonanzen Kavitatsmoden, siehe Abschnitt 2.3.3.

11

2.3 Dynamik und Wellenfunktionen des Kreis-

billards

2.3.1 Klassische Dynamik

Es ist gut bekannt, dass die Bewegung eines Teilchens im zweidimensionalen

Kreisbillard klassisch integrabel ist, d.h. die Anzahl der Freiheitsgrade ist gleich

der der Bewegungskonstanten [30]. Der Phasenraum ist 4-dimensional, aber we-

gen Energie- und Drehimpulserhaltung reduziert er sich auf 2 Dimensionen. Zwei

geeignete Koordinaten sind die Komponente α des Impulses, welche im Reflexi-

onspunkt tangential zur Kreislinie ist und der Auftreffpunkt angegeben im Bo-

genmaß, β, bezuglich der positiven horizontalen Achse. Eine Skizze der Phasen-

raumkoordinaten ist in der Abbildung 2.4 dargestellt. Im Folgenden sei sowohl

die Masse als auch der Geschwindigkeitsbetrag des Teilchens auf eins skaliert. Der

Winkel β wird modulo 2π genommen.

Unter diesen Bedingungen kann eine Abbildung

(β, α)→ (β + π − 2α, α) (2.10)

definiert werden, wobei α die Werte aus dem Intervall (−π/2, π/2) und β Wer-

te aus (−π, π] annehmen kann, welche die Bewegung eines klassischen Teilchens

im Kreisbillard anhand von nur zwei Großen beschreibt (siehe Abb. 2.4). In

Abhangigkeit von α kann so die dynamische Entwicklung eines Teilchens im Bil-

lard ausgedruckt werden. Dafur werden zwei ganze Zahlen eingefuhrt. Es sind zwei

Klassen von klassischen Bahnen zu erkennen, diejenigen, deren α mit einer ratio-

nalen Zahl i/j verbunden ist (periodische Bahnen) und diejenigen, deren α mit ei-

ner irrationalen Zahl verbunden ist (quasiperiodische Bahnen). Wenn α = 2πi/j,

wobei i der Zahl der Reflexionen am Rand des Billards und j der Zahl der Wieder-

holungen einer bestimmten Bahn um das Billard entspricht, mit i < j/2 und i, j

teilerfremde Zahlen sind, erreicht die Bahn nach i Reflexionen den selben Punkt

im Billard. Daruberhinaus finden die Reflexionen in regelmaßigen Abstanden auf

der Kreislinie statt. Mathematisch ausgedruckt bedeutet das βk+1 − βk = 2π/j.

12

Diese periodischen Trajektorien formen eine Familie von neutral stabilen Bahnen,

die eine Anfangskonfiguration vom Maß Null haben, d.h. sie nehmen kein Volu-

men im Phasenraum ein [30, 31]. Die Lange L einer periodischen Bahn betragt

2iR sin(π ij

). Sternbahnen und Polygone sind typische geometrische Formen, die

den periodischen Bahnen entsprechen (vgl. Abb. 2.5). Wenn α hingegen ein irra-

tionales Vielfaches von π ist, sind die Reflexionspunkte in β gleichmaßig verteilt,

d.h. es werden alle Punkte des Billardrandes irgendwann erreicht. Diese qua-

siperiodischen Bahnen sind fur die vorliegende Arbeit entscheidend, da sie das

zeitliche Verhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im System fur lange Zeiten

bestimmen.

2.3.2 Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Zerfallswahrscheinlichkeit eines Systems wurde in zahlreichen Arbeiten theo-

retisch untersucht [32–35]. Mit der im letzen Abschnitt gezeigten Abbildung ist

es moglich anzugeben, wie lange ein Teilchen in einem offenen Kreisbillard bleibt.

Die Zeit, die zwischen zwei aufeinander folgenden Kollisionen mit der Berandung

vergeht, ist 2R cosα. Es wird angenommen, dass die Teilchendichte im Billard

Abbildung 2.4:Iterative Abbildung des Kreisbillards. Die Tangentialkomponente

des Impulses und das Bogenmaß werden durch α und β symboli-

siert, und sie gelten als generalisierte Koordinaten. Die Offnungen

am Billard werden durch ε bezeichnet. In diesem Fall ε = 20o.

13

anfangs gleichmaßig und auf eins normiert ist. An jeder Stelle des Randes be-

tragt sie somit R cosαdβdα/ (4π). In Abb. 2.4 sind die Offnungen der Lange ε

in der elektromagnetischen Kavitat angedeutet. Hier werden zwei Falle analy-

siert. Derjenige einer einzelnen Offnung und derjenige, in dem zwei Offnungen

gegenuber liegen (Abb. 2.4). Die Zahl der Kollisionen N , nach der ein Teilchen

den Kreis verlasst, ist eine Funktion der Anfangsbedingungen, N(αo, βo), und die

Aufenthaltszeit in der Kavitat ist durch T = 2R cosαN(β0, α0) gegeben. In der

Nahe von Familien der periodischen Bahnen gibt es Regionen des Phasenraumes

mit Volumen > 0, in denen die Teilchen fur sehr lange Zeiten im Billard bleiben.

Die korrespondierenden Bahnen im Billard sind die in Abschnitt 2.3.1 erwahnten

quasiperiodischen Bahnen und sie entsprechen

α = 2πi/j + η (η � ε). (2.11)

Die Dynamik solcher Bahnen ist β′ → β′ − 2η, wobei der Strich bedeutet, dass

der Wert modulo 2π/j genommen wird. Im zwei Loch Fall entkommen Teilchen,

Abbildung 2.5:Beispiel einer periodischen Bahn des Systems. Die Geometrie ent-

spricht dem einfachsten Stern. Die gesamte Lange der Trajek-

torie ist als Funktion der Zahl der Reflexionen i und die Zahl

der Umlaufe um den Kreis j berechnenbar. Der Winkel α ist

gleich 2π ij

und die Lange L = 2iR sin(π ij

). In diesem Fall ist

(i, j) = (5, 2).

14

wenn eine der zwei folgenden Situationen stattfindet: a) Die Bahnen treffen ent-

weder ε oder ε+ π fur η > 0, was zu einer Rotation der periodischen Bahnen im

Uhrzeigersinn entspricht. b) Die Bahnen treffen entweder 0 oder π fur η < 0, was

zu einer Rotation der periodischen Bahnen entgegen dem Uhrzeigersinn (siehe

Abb. 2.4). Startet ein Teilchen mit einer Anfangsbedingung

β′0 ∈ (ε+ηt

cosα, π)⋃

(π + ε+ηt

cosα,2π

j) (2.12)

so wird es das System nach t/2 cos 2πi/j Kollisionen verlassen, wobei t die ver-

gangene Zeit ist. Diese Bahnen beschreiben die zeitliche Entwicklung des Systems

fur sehr lange Zeiten und erfahren eine infinitesimale Rotation, die klein genug

ist, um die Locher zu treffen und somit das Kreisbillard zu verlassen (siehe Abb.

2.6). Dann ist die Wahrscheinlichkeit fur ein Teilchen, bis zu einer bestimmten

Zeit t im System zu bleiben, durch

P∞ = Pt→∞(t) ∼1

4π

∑i,j

j[g(2πj− π − ε) + g(π − ε)]

tsin2 πi

j, (2.13)

g(x) =

x2 x > 0

0 x 6 0(2.14)

gegeben. Die Summe wird auf 0 ≤ i < j < 2π/ε beschrankt, wobei i und

j teilerfremd sind und Summanden, die schneller als 1/t zerfallen, werden ver-

nachlassigt. Sei P1 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Kreissystem mit

einer Offnung und P2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Kreissystem mit

zwei Offnungen . Bunimovich und Dettmann haben ausgehend von (2.13) gezeigt

[20], dass die Riemannsche Hypothese aquivalent zu

limε→0

limt→∞

εδ−1/2[tP1(t)− 2ε] = 0 (2.15)

und zu

limε→0

limt→∞

εδ−1/2[tP1(t)− 2tP2(t)ε] = 0 (2.16)

15

fur jedes beliebige δ ¿ 0 ist [20, 36]. Die Interpretation beider Limes ist dass,

die Konvergenzgeschwindigkeit von tP1(t) − 2ε und von tP1(t) − 2tP2(t)ε gegen

0 schneller als√ε sein muss. Eine experimentelle und numerische Naherung zu

diesem Ausdruck befindet sich in Abschnitt 4.5.

Zahlreiche numerische Ergebnisse haben fur klassische regulare Systeme einen

algebraischen Zerfall der Aufenthaltswahrscheinlichkeit ∝ t−γ gezeigt. Im Ge-

gensatz hierzu ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei chaotischen Systemen

[18, 34, 37] großtenteils exponentiell. Theoretisch wird in [18] bewiesen, dass fur

ein offenes klassisches Billard γ = 1 gilt. Daruberhinaus ist der Exponent un-

abhangig von der Große der Offnung. Wie in [19] dargelegt ist, findet man jedoch

keine universelle Ubereinstimmung mit dem Zerfallsverhalten des analogen Quan-

tensystems. Dieses zeigt eine Abhangigkeit von der Zahl der geoffneten Kanale

und ist fur lange Zeiten durch ein algebraisches Verhalten charakterisiert[35]. Eine

Ubereinstimmung beider Tendenzen sollte sich jedoch im Limes sehr großer Fre-

quenzen ergeben, um die Konsistenz der semiklassischen Modelle zu gewahrleisten.

Eine ausfuhrliche Betrachtung folgt in Abschnitt 4.6, dort werden experimentelle

Ergebnisse mit einer klassischen Simulation verglichen.

2.3.3 Quantenmechanisches Billard

Allgemein stellt das Kreisbillard ein analytisch losbares System dar [28]. Die

Eigenwerte und Wellenfunktionen des Quantenbillards erhalt man aus der Losung

der zeitunabhangigen Schrodinger Gleichung (2.2) mit der Randbedingung (2.3).

Diese lautet in Polarkoordinaten

− ~2

2

(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂θ2

)ψ(r, θ) = Eψ(r, θ). (2.17)

Eine Separation der Variablen ψ(r, θ) = R(r)Θ(θ) liefert eine Gleichung fur die

azimutale

d2Θ(m)(θ)

dθ2= −m2Θ(m)(θ) (2.18)

16

Abbildung 2.6:Quasiperiodische Bahn, die dem langsam rotierenden Funfeck

entspricht. Solche Bahnen bleiben in der Nahe der korrespon-

dierenden periodischen Bahn gefangen, bis sie ein Loch am Rand

nach einer großen Zahl von Kollisionen treffen. Sie bestimmen

das Verhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit fur sehr lange

Zeiten.

und eine fur die radiale Abhangigkeit,

d2R(r)

dr2+

1

r

dR(r)

dr− m2

r2R(r) = −k2R(r). (2.19)

Die resultierende Gleichung fur die radiale Komponente lasst sich mit ρ = kr als

d2R(ρ)

dρ2+

1

ρ

dR(ρ)

dρ+

(1− m2

ρ2

)R(ρ) = 0 (2.20)

schreiben. Sie war zum ersten Mal vom Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel

im 19ten Jahrhundert gelost worden und hat zwei linear unabhangige Losungen

fur jeden |m|-Wert. Eine Familie von Losungen muss verworfen werden, da sie fur

ρ→ 0 divergiert und somit keine fur (2.14) physikalisch sinvolle Losung darstellt.

Somit ist die allgemeine Losung der Schrodinger Gleichung fur das Kreissystem

ψm,n = A sin(mθ)Jm(km,nr) +B cos(mθ)Jm(km,nr), (2.21)

17

wobei Jm die Besselfunktion m-ter Ordnung ist. Die z-komponente der Drehim-

pulsquantenzahl m ist eine beliebige ganze Zahl und n entspricht der Anzahl der

Nullstellen, also der radialen Knoten der Besselfunktionen. Die Großen A und

B symbolisieren zwei Integrationskonstanten. Die Energieniveaus Em,n = ~2k2/2werden durch die Randbedingung Jm(km,nR) = 0 bestimmt. Alle Eigenwerte mit

m 6= 0 besitzen eine doppelte Entartung, da negative und positive Werte von m

den selben Beitrag ergeben. Physikalisch entspricht dies der Aquivalenz zwischen

der Bewegung im und entgegen dem Uhrzeigersinn. Die m = 0 Eigenmoden sind

durch eine Invarianz unter Rotationen charakterisiert. Abbildung 2.7 zeigt einen

Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen fur Eigenmoden mit m = 0 und

m 6= 0. Einige der niedrigsten Eigenwerte sind in Abb. 2.8 zu sehen. Diese sind

nach Werten der Drehimpulsquantenzahl m sortiert.

Abbildung 2.7:Zwei Beispiele fur Wellenfunktionen mit Quantenzahlen (m,n).

Links ist die Mode (0, 5) dargestellt, die durch eine spharische

Symmetrie charakterisiert ist. Rechts ist die Mode (4, 4) gezeigt,

die eine doppelte Entartung besitzt.

18

Abbildung 2.8:Energiespektrum gegen die Drehimpulsquantenzahl m fur die nie-

derenergetischten Niveaus des Kreisbillards.

2.4 Absorptionsmaterial

Offnet man ein Mikrowellenbillard entlang seiner Umrandung, werden die Mi-

krowellen an den Randern der Offnung diffraktiv reflektiert [38]. Diese Reflexio-

nen treten nicht im Einbringen von Absorptionsmaterial in die Kavitat auf, so

dass dieses ein klassisches Loch simuliert, weil jeder ankommende Wellenzug ab-

gedampft wird. Gleichzeitig stort das Absorptionsmaterial das Kreisbillard, da

Dissipation der Mikrowellen stattfindet. Ziel dieses Abschnittes ist es, die Effekte

des Absorptionsmaterials auf die Resonanzen des Kreisbillard theoretisch zu ver-

stehen. Ein genaues Verstandnis des absorbierenden Verhaltens wird durch die

Bestimmung der Dielektrizitatskonstante erlangt.

Ein auf ein Material mit einer sehr hohen Leitfahigkeit treffendes Mikrowellenfeld

erfahrt eine perfekte Reflexion an der Oberflache. Diese Reflexion wird durch den

19

Skineffekt verursacht [39], welcher ein induziertes Stromfeld in den aussersten

Schichten des Metalls beschreibt. Im Gegensatz dazu propagieren Mikrowellen,

die auf eine nichtmetallische Oberflache wie z.B. Absorptionsmaterial auftref-

fen, teilweise ins Innere des Materials. Die Wechselwirkung von diesem mit den

Mikrowellen bewirkt eine Nettopolarisation im Absorber. Fur diese Polarisation

sind mehrere Effekte verantwortlich, z.B. elektrische, ionische oder molekulare

Mechanismen, die im Endeffekt eine Ladungsumverteilung in der Richtung des

angewendeten elektrischen Feldes verursachen [40]. Wenn man eine Antwort des

Materials proportional zum auftreffenden elektrischen Feld annimmt ist die Ver-

schiebungsdichte

~D = εrε0 ~E, (2.22)

wobei εr die relative Dielektrizitatskonstante bezeichnet. Dies ist eine komplexe

Große mit einer starken Frequenz- und Temperaturabhangigkeit, die entscheidend

fur die vorliegende Arbeit ist [41].

Um den Effekt der Dampfung zu beschreiben, wird die in Gl. (2.4) beschriebene

Wellenzahl

k = ω√µ0ε =

2π

λ0

√εr (2.23)

ausgewertet. Hierbei ist µ0 die magnetische Permeabilitat des Vakuums, ω = 2πf

die Kreisfrequenz und λ0 die Wellenlange im Vakuum. Im Folgenden wird die

Dampfung, die im System durch das Absorptionsmaterial und die Wande der

Kavitat verursacht wird, betrachtet.

2.4.1 Dampfung am Absorber

Der Real- und Imaginarteil der Dielektrizitatskonstante hat die folgende physikali-

sche Interpretation. Wenn ein elektrisches Feld vorhanden ist, beschreibt der reelle

Teil ε′ die gespeicherte elektrische Feldenergie pro Volumeneinheit. Die imaginare

Komponente wird als Verlustfaktor beschrieben. Die Dielektrizitatkonstante lasst

sich als

20

ε = ε′ + iσ

ω(2.24)

schreiben [40]. Hierbei ist σ die Leitfahigkeit. In der Tat ist es so, dass fur den

benutzten Absorber im Bereich der Mikrowellenstrahlung ε′ eine oder zwei Ord-

nungen großer als σω

ist [vgl. Tabelle 3.2]. Die Wellenzahl k lasst sich in dieser

physikalischen Situation durch

k ∼=2π

λ0

√ε′

ε0(2.25)

ausdrucken.

2.4.2 Eindringtiefe in die Kavitatswande

Die physikalische Situation kleiner Verluste am Rand ist im supraleitenden Re-

sonator gegeben. In diesem Fall ist der leitende Strom viele Großenordnungen

großer als der durch die dielektrische Verschiebungsdichte erzeugte Strom [42].

Eine approximative Losung fur die Wellenzahl k ist in diesem Fall gerechtfertigt,

wenn man den Imaginarteil von Gl. (2.24) in Gl. (2.22) einsetzt. Dann ist die

Wellenzahl durch

k ∼=√ωµ0σ

2(1− i) (2.26)

gegeben. Diese letzte Relation ist nichts anderes als der erwahnte Skineffekt, da

die so genannte Eindringtiefe

δs =

√2

ωµ0σ(2.27)

ist [39].

21

2.4.3 Energieverlust und Qualitatsfaktor der Kavitat

Die Dissipation der Mikrowellen sowohl an den Wanden der Kavitat als auch

im Absorptionsmaterial folgt gemaß dem letzten Abschnitt einem exponentiellen

Abfall

~E(~r, t) = ~E0e−ω0t/2Q cos(ω0t). (2.28)

In diesem Ausdruck symbolisiert Q den sog. Qualitatsfaktor (auch Gute genannt),

ω0 ist die Frequenz der betrachteten Resonanz. Physikalisch entspricht Q dem

Verhaltnis zwischen der gespeicherten Energie in der Kavitat und der Verlustleis-

tung.

Wenn man eine Fouriertransformation von Gl. (2.25) durchfuhrt und das Betrags-

quadrat bildet, erhalt man einen Ausdruck fur das Leistungsspektrum im Inneren

der Kavitat

|E(ω)|2 ∝ 1

(ω − ω0)2 + (ω0/2Q)2, (2.29)

der eine Lorentzkurve entspricht. Die GuteQ lasst sich auch als Quotient zwischen

der Resonanzfrequenz und ihrer Breite (definiert als das Frequenzintervall, bei

dem |E(ω)|2 seinen halben Wert erreicht, siehe Abbildung 2.9)

Q =ω0

δω=ω0

Γ(2.30)

schreiben, wobei Γ die Breite der Resonanz darstellt. Um Q auszuwerten, be-

rechnet man die im zeitlichen Mittel im System gespeicherte Energie sowie die

Verlustleistung durch die Wande. Dies fuhrt zu

Q =d

κ

1

2(

1 + ξCd4A

) , (2.31)

mit C und A als Umfang und Flache des Kreises [39]. Die Hohe des Resonators ist

22

d und ξ ist ein Faktor, der etwa eins entspricht. Treffen die Mikrowellen auf eine

leitende Wand, ist κ = δs =√

2ωµ0σ

die Skintiefe , treffen sie auf einen Absorber,

so gilt κ = λ02π

1√ε′

.

Abbildung 2.9:Lorentzkurve an der Stelle der Resonanz ω0. Die Breite Γ wird de-

finiert als das Frequenzintervall, bei dem das Betragsquadrat des

elektrischen Feldes seinen halben Wert in der Resonanz annimmt.

23

3 Experimentelle Methode

3.1 Messprinzip

Die Messungen beruhen auf der elektromagnetischen Anregung einer Kavitat.

Dafur koppelt man Energie in Form von Mikrowellen anhand einer Antenne in

das System ein. Diese Antenne stellt einen Dipol mit einem Dipolmoment

µ = µ0 cos(ωt) (3.1)

dar [43]. Das elektromagnetische Signal wird von einem vektoriellen Netzwerk

Analysator (VNA) in einem Bereich von 0.045 bis 20 GHz generiert. Dieses Signal

wird uber Koaxialleitungen zu einer der Antennen gefuhrt und so in das System

eingespeist. Gleichzeitig wird das empfangene Signal an einer anderen Anten-

ne ausgekoppelt. Es wird das Verhaltnis zwischen der Ausgangsleistung und der

Eingangsleistung sowie die Phasendifferenz zwischen beiden Signalen aufgenom-

men. Die konstruktive Interferenz der elektromagnetischen Wellen in der Kavitat

ubersetzt sich in Transmissionsmaxima im Frequenzspektrum (siehe Abschnitt

2.4.3).

3.2 Verwendete Kavitat

Fur die Experimente wurde ein Doppelkreisbillard benutzt. Es besteht aus 5 Kup-

ferplatten von jeweils 5 mm Dicke, die wie in Abbildung 3.1 zusammengefuhrt

werden. Danach wurden die Platten verschraubt. Die Platten 1 und 5 dienen als

Deckel der beiden Billards. In die Deckel wurden jeweils 7 Locher fur die Antennen

gebohrt. Die Anordnung der Antennen ist in Abbildung 3.2 zu sehen, die Positio-

nen der Antennen auf den Deckelplatten sind in Tabelle 3.1 angegebenen. In allen

Experimenten wurden jedoch nur 3 Antennen, namlich die Nummer 1, 5 und 7

verwendet, um die selben Bedingungen in beiden Billards der Doppelkavitat zu

24

ermoglichen. Die Antennen ragen nur 0.5 mm in die Kavitaten hinein. Dies be-

wirkt, dass die Antennen die Feldverteilung wenig storen. Schließlich wurde eine

dunne Bleischicht von etwa 40 µm mit einer Sprungtemperatur Tc ≈ 7.2 K auf

alle Kupferplatten aufgetragen. Auf diese Weise wird ein supraleitender Zustand

des Billards bei der Temperatur des flussigen Heliums (4.2 K) gewahrleistet. Dies

fuhrt zu viel hoheren Resonatorguten im Vergleich zu den in Messungen im nor-

malleitenden Zustand erreichten (siehe Abschnitte 2.4 und 4.1).

1

2

3

4

5

Abbildung 3.1:Skizze des Aufbaus der Doppelkreiskavitat. Die Platten 1 und 5

werden fur die Ein- bzw. Auskopplung der Mikrowellen anhand

der sichtbaren Antennen benutzt und sind spiegelnsymmetrisch.

Die Platten 2 und 4 definieren die Kontur der Kreise und sind

vollig identisch. Die Platte 3 dient beiden Kavitaten als Boden.

Die Platten 2 und 4 definieren die Kontur der Billards, d.h. zwei Kreise von 24

cm Durchmesser. Platte 3 dient beiden Billards gleichzeitig als Boden. Entlang

der Konturen wurden Nuten ausgefrast, um einen guten elektrischen Kontakt

zwischen den verschiedenen Platten zu gewahrleisten. Dafur wird Lotzinn in die

25

Nuten eingebracht. Mit dieser Konfiguration erreicht man im supraleitenden Zu-

stand eine sehr gute Leitung der Oberflachenstrome, was zu sehr schmalen Reso-

nanzen fuhrt und somit eine gute Identifizierung der Kavitatsmoden erlaubt [10].

Eine der wichtigsten Aufgaben bestand in der Auswahl des Absorptionsmaterials.

Ziel der Experimente mit Absorptionsmaterial an den Billardberandungen war,

Offnungen in den Kreisbillards so gut wie moglich zu simulieren. Eine detaillierte

Erklarung dieses Auswahlprozesses ist in Abschnitt 3.3 gegeben. Gemaß [20] sol-

len Billards mit infinitesimal kleinen Offnungen untersucht werden. Experimentell

werden daher moglichst kleine Stucke des Absorptionsmaterials verwendet. Ins-

besondere wurden Absorberstucke mit einer Lange von 10.5, 20.9, 31.4, 41.9 mm

benutzt, die Kreisbogen von 5o, 10o, 15o und 20o entsprechen. Fur 5 und 15 Grad

wurden auch Experimente mit zwei Stucken durchgefuhrt, die gegenuberliegend

im Billard platziert wurden. (Siehe Abbildungen 2.4 und 3.3).

Abbildung 3.2:Platzierung der Antennen im Kreisbillard. Die Mikrowellen wur-

den durch die Antennen 1, 5 und 7 in die Kavitat ein- bzw. aus-

gekoppelt.

26

Abbildung 3.3:Billard ohne Deckel. Zwei Absorbermaterialstucke von 15 Grad

sind gegenuberliegend an der Berandung platziert und simulieren

klassische Offnungen (oben und unten in schwarz).

Tabelle 3.1: Position der Antenne bezuglich des Kreiszentrums.

Antenne Position (mm)

1 (15,15)

2 (-25,25)

3 (-25,-25)

4 (15,-35)

5 (45,-45)

6 (-20,73)

7 (-97,-32)

27

Vor jeder Messung wurden die Flachen und Wande beider Billards mit Aceton

poliert, danach die Absorptionsmaterialen an den richtigen Stellen aufgeklebt,

und schließlich jede der 40 M6-Schrauben mit einem Drehmoment von 16 Nm

verschraubt, um alle Kupferplatten mit den Absorbern zusammenzupressen. Fur

jede der 6 Messungen wurde das Absorptionsmaterial genau an den selben Stellen

platziert. Das Aussehen des Doppelkreisbillards ohne Deckel und im verschraub-

ten Zustand ist in den Abbildungen 3.3 bzw. 3.4 gezeigt.

3.3 Auswahl des Absorptionsmaterials

Es wurden sieben verschiedene Absorptionsmaterialen der Firma ARC getestet

[44]. Die Tests wurden fur jeden Absorber sowohl bei Zimmertemperatur als auch

bei der des flussigen Stickstoffs (77 K) durchgefuhrt. Der experimentelle Prozess

bestand aus direkten Transmissionsmessungen durch Absorber (siehe Abb. 3.5

unten) und Transmissionsmessungen nach einer Reflexion an einer Kupferplatte,

Abbildung 3.4:Billard im verschraubten Zustand. Die drei aufmontierten Anten-

nen, die Energie ins System bzw. aus diesem heraus transferieren,

sind ebenfalls zu sehen.

28

Abbildung 3.5:Direkte Transmissionsmessung (unten) und Transmissionsmes-

sung mit einer Reflexion an einer Kupferplatte (oben) eines Ab-

sorptionsmaterialmusters, von vorn gezeigt (links) und von oben

gezeigt (rechts). Der Messapparat ist der in Abschnitt 3.4 be-

schriebene Netzwerk Analysator. Zwei Kabel wurden fur die

Emission und den Empfang der Mikrowellen im Bereich 0-20 GHz

benutzt. Messungen wurden fur Abstande zwischen den Kabeln

d1 = 76 mm und d2 = 119 mm und bei Zimmertemperatur und 77

K realisiert. Zunachst wurde der Messaufbau ohne Absorptions-

material vermessen. Die Reflexion an einer Kupferplatte wurde

mit einer anderen Kupferplatte zwischen den Kabeln gemessen,

um eine direkte Transmission zu vermeiden. Die Transmission in

Luft wurde ebenfalls gemessen. Danach wurde jeder von den sie-

ben getesteten Absorbern eingebracht.

an die der Absorber angebracht wurde, wie Abb. 3.5 oben zeigt. Letzte Situation

entspricht der im Experiment. Diese Skizze zeigt ebenfalls den Netzwerkanalysa-

tor und zwei Kabel, die an ihn angeschlossen wurden.

29

Fur die Messungen bei 77 K wurden die Materialen zuerst etwa 10 Minu-

ten lang in ein Bad mit flussigem Stickstoff eingetaucht und anschließend an

die Kupferplatten gestellt. Da jede Messung nur 60 Sekunden dauerte, behal-

ten die Materialen die Temperatur des flussigen Stickstoffes wahrend der Mes-

sung. Experimentelle Spektren der Transmissionsmessungen aller Absorber sind

in den Abbildungen 3.6 und 3.7 zum Vergleich dargestellt. Von einer ersten

Messreihe wurden zwei Absorber ausgewahlt, das Urethan UD11091 und der mit

Kohlenstoff impragniert Schaum LS10211. UD11091 besteht aus einem sehr fle-

xiblen Urethangummi mit einem Ferritkern, besonders geeignet zur Modenunter-

druckung in einer geschlossenen Kavitat und fur eine Oberflachenstromdampfung.

H

Abbildung 3.6:Spektren bis 20 GHz der Transmissionsmessungen bei Raumtem-

peratur fur die Materialen DD10214, DD10017, LS10211 und

LS10055 der Firma ARC. Es ist jeweils die Transmission zwi-

schen zwei Antennen ohne und mit Absorptionsmaterial dazwi-

schen dargestellt. Der experimentelle Aufbau entspricht der im

unteren Teil der Abb. 3.5 beschriebenen Situation mit einem Ab-

stand d von 76 mm.

30

H

Abbildung 3.7:Spektren bis 20 GHz der Transmissionsmessungen fur die Mate-

rialen UD11091, UD11554 und ND12142 der Firma ARC. Es ist

nochmals die Transmission zwischen zwei Antennen ohne und mit

Absorptionsmaterial dazwischen dargestellt. Die Messbedingun-

gen entsprechen den von der Abb. 3.6.

Das Material hat eine Dicke von 5.08 ± 0.01 mm. Bei LS10211 handelt es sich um

einen verlustreichen Schaumstoff mit einer sehr niedrigen Dichte von 80 kg/m3.

Nach einer zweiten Reihe von Transmissionsmessungen wie in Abb. 3.5 mit beiden

Materialen wurde das Urethan UD11091 ausgewahlt. Das gesamte absorbierende

Verhalten war im Vergleich zu dem vom Schaum LS10211 besser bei niedrigen

Temperaturen (zumindest bei 77 K). Weitere Eigenschaften des ausgewahlten

Materials sind sowohl in Abbildung 3.8 als auch in Tabelle 3.2 aufgelistet. Sehr

wichtig ist dabei die Abhangigkeit der Dampfung von der Frequenz. Dafur wer-

den der Realteil ε′ und der Imaginarteil ε′′ der relativen Dielektrizitatskonstanten

sowie die Dampfung pro Langeneinheit im Bereich von 1 GHz bis 10 GHz vergli-

chen (siehe auch Abschnitt 2.4). Zu beachten ist der große Unterschied zwischen

dem Real- und Imaginarteil der relativen Diektrizitatskonstanten, was eine Be-

handlung des Systems wie in Abs. 2.4.1 erlaubt. Die Dampfung von Mikrowellen

bei Reflexion an UD11091, sowie die Eindringtiefe in das Material, jeweils als

Funktion der Frequenz, sind in Abb. 3.8 gezeigt. Die Dampfung am Absorber

31

ist in guter Ubereinstimmung mit den gemessenen Werten. Alle Daten fur die

Tabelle 3.2 und Abbildung 3.8 wurden von der Firma ARC importiert [44].

Tabelle 3.2:Absorbierende Eigenschaften des Urethan UD11091 fur die in den

Messungen relevanten Frequenzen [44].

Frequenz (GHz) ε′ ε′′ Dampfung (dB/cm)

1 15.61 0.93 14.37

2 16.34 0.61 27.38

3 16.41 0.63 45.14

4 16.44 0.52 58.03

5 16.39 0.52 67.49

6 16.19 0.52 81.33

7 16.13 0.51 84.59

8 15.99 0.55 91.34

9 15.87 0.56 95.32

10 15.83 0.47 95.10

32

Abbildung 3.8:Darstellung der Eindringtiefe und der Reflexionsdampfung des

Urethan UD11091 als Funktion der in den Messungen relevan-

ten Frequenzen. Das absorbierende Verhalten ist klar frequenz-

abhangig [44].

3.4 Experimentelle Vorbereitung

Es wurden Messreihen bei 4.2 K durchgefuhrt, im Folgenden Kaltmessungen ge-

nannt. Drei entsprechende Messungen bei 77 K, der Temperatur von flussigem

Stickstoff, wurden ebenfalls durchgefuhrt. Eine Abbildung des experimentellen

Aufbaus findet sich in Abb. 3.9. Die Doppelkavitat wurde in einer Kupferbox

im Inneren eines Kryostaten versenkt. Diese Kupferbox besitzt eine hohe ther-

mische Leitfahigkeit und wurde zur Unterdruckung thermischer Fluktuationen

evakuiert. Dafur wurde eine Vakuumpumpe benutzt, mit der ein Druck in der

Großenordnung von 10−2 mbar erreicht wurde. Vor den Kaltmessungen wurden

die Kupferbox und das Billard auf 77 K vorgekuhlt. Dieser Vorkuhlungsprozess

dauerte ungefahr drei Tage, als Kuhlmittel wurde hierfur flussiger Stickstoff ein-

33

gesetzt. Ziel der Vorkuhlung ist, dass die Kupferbox bei der Befullung mit Helium

so kalt wie moglich ist, um nicht zu viel Helium durch Verdampfung zu verlieren.

Das Einfullen von Helium ist der kritischste Moment im ganzen experimentel-

len Prozess. Dafur wurden eine Helium-Kanne, ein Heliumstand-Messgerat und

Abbildung 3.9:Schema des Messaufbaus. Die Kupferbox befindet sich im Inneren

des Kyostaten und wird uber flexible Kabel mit Mikrowellenschal-

tern verbunden, um verschiedene Antennenkombinationen mes-

sen zu konnen. Dann wird das Signal zum Analysator gefuhrt

und in einem Computer gespeichert. Druck- und Temperatursen-

soren werden ebenfalls mit der Kupferbox verbunden.

34

ein Verbindungsschlauch genutzt (siehe Abb. 3.10). Durch Uberdruck in der He-

Kanne wurde das flussige Helium uber den Schlauch in den Kryostat gedruckt.

Wenige Stunden nach der Befullung mit flussigen Helium wurde der supraleitende

Zustand des Billards durch thermisches Gleichgewicht erreicht. Unter diesen Be-

dingungen dauerte der supraleitende Zustand fur jede der drei Messreihen etwa

80 Stunden. Das abgedampfte Helium wurde zunachst in einen 15 m3 fassen-

den Ballon geleitet, danach komprimiert und in Glasflaschen gespeichert. Die

Heliumanlage des Beschleunigers S-DALINAC vom Institut fur Kernphysik in

Darmstadt wurde dafur mitbenutzt. Druck und Temperatur sowohl in der Kup-

ferbox als auch im Kryostat wurden wahrend der Messzeit anhand von Sensoren

kontrolliert.

In Abb. 3.9 ist auch zu sehen, wie die elektromagnetischen Kavitaten uber sechs

Koaxialkabel durch zwei Rohren mit den Mikrowellenschaltern und von dort aus

mit dem Netzwerk Analysator HP 8510 C verbunden wurden. Die Mikrowellen-

schalter ermoglichten es, die drei Antennenkombinationen (zwischen den Anten-

nen 1, 5 und 7) mit nur geringer zeitlicher Verzogerung zu messen. Der Netzwerk-

analysator arbeitete im Bereich von 0.5 bis 20 GHz mit einer Auflosung von 20

kHz fur alle Transmissionsmessungen. Das Zeitintervall, in dem Daten aufgenom-

men wurden, betrug an jedem Kreis ungefahr 17 Stunden. Die Daten wurden zu

einem Rechner ubertragen und fur die spatere Verarbeitung abgespeichert.

35

Abbildung 3.10:Foto einiger in den Experimenten benutzten Elemente. Die große

Kanne (1) enthalt etwa 250 Liter flussiges Helium uber den

Schlauch (2) wurde die Flussigkeit in den Kryostat (3) gedruckt.

Auch der Kryostatdeckel ist zu sehen. Die kleinen Kabel (4)

wurden fur die Transmission des elektromagnetischen Signals

benutzt. Sie verbinden die Kavitaten mit den Mikrowellenschal-

tern.36

4 Ergebnisse und Auswertung

4.1 Supraleitende Messungen

In der bisherigen Messzeit wurden zwei Arten von Messungen durchgefuhrt. Kalt-

messungen bieten aufgrund des Erreichens eines supraleitenden Zustandes eine

sehr hohe Gute im Vergleich zu Warmmessungen (siehe Abschnitt 2.4.3). Der

Qualitatsfaktor eines Spektrums hangt unter anderem von der Leitfahigkeit der

entstandenen Oberflachenstrome ab. Ursprung dieser Strome ist die Wechselwir-

kung zwischen den Mikrowellenstrahlen und den Elektronen der Bleiatome an der

Oberflache der Resonatoren.

Ein Vergleich zwischen Warm- und Kaltmessungen ist in Abb 4.1 gezeigt. Die

Abbildung zeigt nur ein kleines Frequenzfenster des ausgemessenen Spektrums

des Systems mit einem Offnungswinkel von 5o. Die Gute liegt in den normallei-

tenden Messungen bei etwa 103 und in den supraleitenden bei 105.

Ein weiterer zu beobachtender Effekt ist die Verschiebung aller Resonanzen hin zu

hoheren Frequenzen in Bezug auf deren Frequenzen im normalleitenden System.

Die geometrischen Maße des Billards andern sich mit der Temperatur und mussen

korrigiert werden. Ein Ausdruck dafur bei so niedrigen Temperaturen wie die in

den Experimenten erreichten ist schwer zu geben, da der Ausdehnungskoeffizient

beim Ubergang zum supraleitenden Zustand von der Ubergangstemperatur, dem

kritischen magnetischen Feld und ihren Ableitungen abhangt [45]. Dieser Effekt

ist aber deutlich beobachtbar im Spektrum in Abbildung 4.1. Die Verschiebungen

liegen im Bereich von einigen MHz.

37

Abbildung 4.1:Vergleich zwischen einem supraleitenden und normalleitenden

Spektrum, gemessen in dem Kreissystem mit 5o Absorptionsma-

terial.

4.2 Entartete Niveaus

Als Entartung wird die physikalische Situation in einem Quantensystem bezeich-

net, in der die Gesamtenergien zweier verschiedener Zustande gleich groß sind

[28]. Jeder Quantenzustand des Kreisbillards mit m 6= 0 ist doppelt entartet.

Drei Effekte im Bezug auf die entartete Niveaus werden deutlich beobachtet:

die Aufspaltung niederenergetischer entarteter Niveaus, die Dampfung einer Re-

sonanz des Dubletts am Absorber und die Verschiebung der Resonanzen eines

Dubletts. Die Abbildung 4.2 fuhrt diese drei Effekte zusammen. Es sind die Mo-

den (1,1) und (2,1) fur die Kavitaten mit den 5o, 10o und 15o entsprechenden

Absorberkonfigurationen abgebildet und dabei fur jedes Dublett zwei lokale Ma-

38

xima erkennbar, die sich mit zwei komplexen Breit Wigner Funktionen anpassen

lassen.

4.2.1 Aufspaltung entarteter Niveaus

Kleine Storungen der Kreissymmetrie, wie sie durch das Einbringen des Absorbers

verursacht werden, fuhren zu einer Aufhebung der Entartung. Die so entstande-

nen Dubletts lassen sich in supraleitenden Messungen, bei genugend hoher Fre-

quenzauflosung, unterschneiden. Fur die niederenergetischen Moden konnte diese

Aufspaltung im Experiment beobachtet werden. Zwei Beispiele sind im oberen

Teil der Abb. 4.2 gezeigt. Theoretisch ist die Erklarung fur die Entartung im

oszillierenden Verhalten der Losungen der Schrodingergleichung zu finden (sie-

he Abschnitt 2.3). Jeder Zustand mit m 6= 0 enthalt zwei linear unabhangige

Losungen, die sich nur in einer Phase unterscheiden (siehe Abschnitt 2.3.3 und

Abbildung 4.3).

4.2.2 Dampfung am Absorber und Verschiebung der Du-

bletts

In Abbildung 4.2 ist eine große Dampfung in der Amplitude der linken Mo-

de des Dubletts ersichtlich. Eine Resonanz wird durch das Absorptionsmateri-

al gedampft, wenn die zugehorige elektrische Feldstarke am Ort des Absorbers

nicht verschwindet. Deswegen ist die Breite des ersten aufgespaltenen Niveaus

stark gedampft, wahrend die Breite und Amplitude der rechten Resonanz des

Dubletts beim Vergleich der drei Konfigurationen praktisch nicht variiert. Wie

erwartet ist die Dampfung grosser, je mehr Absorptionsmaterial vorhanden ist,

wie Abb. 4.2 hervorhebt.

Eine weitere experimentelle Beobachtung ist, dass das Maximum des kleineren

Peaks um so weiter zu kleineren Frequenzen hin verschoben wird, je großer

die Offnungen sind. Anders ausgedruckt erfahren nur die durch die Absorber

gestorten Moden eine gewisse Verschiebung hin zu kleineren Frequenzen wobei

diese stark von der Große der simulierten Offnungen abhangt. Die Anderung

der Randbedingung an der Stelle des Absorbers bewirkt eine Modifikation der

39

Resonanzfrequenzen. Gemaß Gl. (2.5) muss das elektrische Feld an der Beran-

dung der Kavitat verschwinden. Mit dem Einbringen des Absorptionsmaterials

ist jedoch an dieser Stelle eine exponentielle Dampfung des elektrischen Feldes

zu erwarten (siehe Abschnitt 2.4 und Abb. 4.4), d.h. das Feld wird nicht auf

Null gezwungen. Dies fuhrt zu langeren Wellenlangen bzw. kleineren Frequenzen.

Abbildung 4.2:Vergleich der ersten zwei aufgespaltenen Moden (1, 1) und (2, 1)

fur die Kavitaten mit einem Absorber von 5o, 10o und 15o. Es

ist die Abdampfung und Verschiebung des linken aufgespaltenen

Peaks des Dublettes in Abhangigkeit vom Absorptionsmaterial zu

beachten. Die Amplitude des rechten Peaks bleibt hingegen fast

invariant.

40

Abbildung 4.3:Theoretische Feldverteilung der zwei linear unabhangigen Moden

mit |m| = 2. Beide unterscheiden sich in der Phase, so dass die

Feldverteilungen um 45o gegeneinander verschoben sind.

Diese Argumentation erklart die beobachteten Verschiebungen in Abb. 4.2. Der

Abstand zwischen beiden Peaks eines Dubletts vergroßert sehr deutlich mit der

Große der simulierten Offnung. Das Absorptionsmaterial hat keinen Effekt mehr

auf den hohen Peak der aufgespaltenen Moden, da seine maximale Feldvertei-

lung im Billard um 45o in Bezug auf ihre gestorten Partner verdreht ist (vgl.

Abb. 4.3). In Abb. 4.2 sieht man besonders gut, dass die Amplitude des rechten

Peaks der aufgespaltenen Moden praktisch unabhangig von der Anwesenheit des

Absorptionsmaterials ist.

4.3 Auswertung der Spektren

Im Jahr 1912 entwickelte Weyl eine Formel, die die Eigenmoden fur die Wellen-

gleichung in einem endlichen Gebiet mit einer Randbedingung beschreibt [46].

Diese Formel hangt von den Systemabmessungen ab. Sie gibt die gesamte Zahl

der Kavitatsmoden bis zu einer gewissen Frequenz an. Fur ein zweidimensionales

System lasst sie sich als

41

Abbildung 4.4:Elektrische Konfiguration einer m = 2 Mode im Kreisbillard mit

Absorber. Durch die exponentielle Dampfung am Absorber wird

die Wellenlange der Mode vergroßert. Die zweite Losung fur den

m = 2 Fall ist um 45o gedreht und wird durch den Absorber kaum

beeinflusst.

Nw(f) =πA

c2f 2 − C

2cf + const., (4.1)

schreiben wobei A und C die Flache und den Umfang des Systems bezeichnen.

Die Lichtgeschwindigkeit wird mit c bezeichnet [47]. Obwohl die Kaltmessun-

gen bis zu einer maximalen Frequenz von 20 GHz realisiert wurden, konnte die

Identifizierung der Resonanzen nur bis 10 GHz durchgefuhrt werden. Durch das

Einbringen kleiner Absorber werden die Resonanzen stark verbreitert (siehe Ab-

schnitt 2.4). Diese Verbreiterung zeigt eine starke Abhangigkeit von der Lange des

Absorptionsmaterialstuckes. Daher konnte das Spektrum des Systems mit einem

Absorber oberhalb 20o Offnung nicht mehr vermessen bzw. ausgewertet werden.

Fur die Maße des Kreisbillard-Systems werden gemaß Gl. (4.1) etwa 145 Resonan-

zen bis 10 GHz erwartet. Im Anhang A sind diejenigen Resonanzen angegeben,

die theoretisch erwartet werden, in den gemessenen Spektren jedoch nicht iden-

tifiziert werden konnten. Fur diese verlorenen Resonanzen gibt es zwei Ursachen.

42

Es gibt einerseits Moden, die so dicht beieinander liegen, dass eine experimentelle

Beobachtung nicht moglich ist. Zum Anderen gibt es Moden, die aufgrund einer

starken Ankopplung an das Absorptionsmaterial so stark verbreitert sind, dass

sie sich nicht mehr vom Untergrund der Messung unterscheiden lassen.

In der Liste der nicht identifizierten Moden (Anhang A) fehlen zwei Sequen-

zen von Moden besonders haufig, (0, n) mit beliebigen n und (m, 1) mit großen

m. Beide Familien besitzen in der Nahe der Berandung der Kavitat ein stark

lokalisiertes Feld. Dies ist der Grund fur die starke Ankopplung an den Absor-

ber. Hingegen wurden Eigenmoden beobachtet, die minimal durch den Absorber

gestort wurden. Simulierte Feldverteilungen beider Falle sind in Abb. 4.5 neben

den experimentellen Resonanzen gezeigt.

4.4 Spektrale Eigenschaften

Die Zufallsmatrixtheorie (kurz RMT, Random Matrix Theory) wurde in den 60er

Jahren entwickelt und beschaftigt sich mit der analytischen Beschreibung der

statistischen Eigenschaften von Ensembles von Zufallsmatrizen [26]. Die RMT

wurde eingefuhrt, um die Statistik der Energieniveaus von Kernspektren zu be-

schreiben. Spater wurde sie auch auf mesoskopische Quantensysteme und Wel-

lenphanomene angewendet [48]. Das statistische Verhalten von Systemen sowie

Korrelationen zwischen ihren Eigenwerten und Eigenzustanden konnen anhand

von Matrixensembles mit vollig unkorrelierten, zufalligen Elementen quantitativ

modelliert werden.

Im Rahmen dieser Theorie werden nun statistische Analysen der fur die vorlie-

gende Arbeit gemessenen Daten gezeigt. Ziel dieser Betrachtung ist eine Charak-

terisierung des betrachteten Systems als ein regulares, ein chaotisches oder eines

mit gemischter Dynamik und eine Identifizierung der klassischen Trajektorien aus

dem Quantensspektrum anhand des sog. Bahnlangenspektrums. Wie in Abschnitt

2.3.1 erwahnt wurde, stellt das geschlossene Kreisbillard ein perfekt integrables

System dar. Man muss hier zwischen den gebundenen Zustanden und den Streu-

zustanden unterscheiden. Die gebundenen Zustande sind diejenigen, die nach Gl.

43

(4.1) in einem aquivalenten geschlossenen Kreisbillard zu finden sind. Hingegen

sind die Streuzustande diejenigen, die an die angebrachte Storung des Systems,

Abbildung 4.5:Darstellung einiger experimenteller Resonanzen im Spektrum fur

den Fall von einem Absorber und 10o neben den zugehorigen Feld-

verteilungen im simulierten geschlossenen Quantensystem. Die

Abdampfung in den beiden oberen Fallen ist offensichtlich, da

die maximale Feldverteilung am Rand des Billards liegt. Hinge-

gen ist die Mode (2,5) nur geringfugig von dem Absorber gestort,

hier liegt das Absorbermaterial wahrscheinlich auf einer Knoten-

linie in der Feldverteilung und die korrespondierende Resonanz

ist deutlich erkennbar.

44

d.h. an das Absorptionsmaterial, angekoppelt sind [15]. Fur das Auswerten der

statistischen Eigenschaften werden nur die gebundenen Zustande berucksichtigt.

Die Frage ist, ob sich das hier simulierte offene System ebenfalls wie ein regulares

System verhalt [49]. Fur die Analyse ist es notwendig, die Anzahl der Resonan-

zen, sowie deren Abstand untereinander zu bestimmen. Die Zustandsdichte (auch

Niveaudichte genannt) erhalt man durch Ableitung der Anzahl der Resonanzen

N(f) nach der Frequenz

ρ(f) =∑fn<f

δ(fn − f), (4.2)

wobei n die gesamte Zahl der gefundenen Resonanzen beschreibt.

4.4.1 Verteilung benachbarter Eigenwerte

Um eine Bestimmung der kurzreichweitigen Korrelationen zwischen den Eigenfre-

quenzen durchzufuhren, wird zuerst die sog. Verteilung benachbarter Eigenwerte

P (s) ausgewertet, die die relative Haufigkeit der Abstande (s = fn − fn−1) von

zwei benachbarten Eigenfrequenzen beschreibt. Der mittlere Abstand ist auf eins

skaliert. Die Abb. 4.6 zeigt experimentelle Ergebnisse fur P (s) fur die Kavitaten

mit 5o, 10o und 15o Absorptionsmaterial. Um eine Verfalschung der Statistik zu

vermeiden, wurde die Entartung abgezogen, d.h. an jeder Resonanzfrequenz mit

m 6= 0 wurden die Dubletts nur einmal gezahlt. Es ist lange bekannt, dass die

NND der Eigenwertverteilung quantenmechanischer Billards, deren zugrundelie-

gendes klassisches System regular ist, durch die Poissonsche Statistik P (s) = e−s

beschrieben wird [8]. In diesen Systemen sind die Eigenwerte also unkorreliert.

Die Verteilung benachbarter Eigenwerte in den betrachteten Fallen zeigt, dass

P (s) fur s = 0 nicht verschwindet, was eine Charakteristik regularer Systeme

darstellt. Es ist dabei zu betonen, dass ein großer Teil der Eigenwerte, besonders

in den Fallen mit 10o und 15o, nicht gefunden wurde, was zu großen statistischen

Fehlern fuhrt [50].

45

Abbildung 4.6:Verteilung benachbarter Eigenwerte fur die drei Konfigurationen

mit einem Absorber. Daneben ist die Poissonsche Vorhersage ge-

geben, die der Verteilung eines regularen klassischen Systemes

entspricht. Bei 10o und 15o sind große statistische Fehler wegen

der hohen Zahl der in den Spektren nicht identifizierten Resonan-

zen vorhanden (siehe Anhang A).

4.4.2 Langreichweitige Korrelationen

Um Korrelationen zwischen nicht direkt benachbarten Eigenwerten zu untersu-

chen, wurde die sog. Dyson-Metha Statistik (auch Steifheit des Spektrums ge-

nannt) betrachtet [48]. Diese beschreibt die Fluktuationen der Zahl von Eigen-

frequenzen in einem Intervall der Lange L

46

∆3(L) =⟨

mina,b

1

L

∫ L2

−L2

df [(N(f − f0)− a− bf))]2⟩

(4.3)

wobei a und b die Parameter einer angepassten geraden Linie auf dem Intervall

der Große L sind. Die Mittelung dieses Ausdruckes findet uber viele Intervalle

der Lange L mit Zentrum f0 statt. Da ρ(f) fur entfaltete Frequenzen gemaß Gl.

(4.1) eine Summe uber Delta-Funktionen mit einem mittleren Abstand von eins

ist, stellt N(f) eine Treppenfunktion mit einer mittleren Steigung von eins dar.

Theoretisch findet man fur den reinen Poissonschen Fall eine universelle gerade

Abbildung 4.7:∆3-Statistik fur die drei Konfigurationen mit einem Absorber.

Die gepunktete Linie entspricht dem Poissonschen Fall. Die Ab-

weichungen in Bezug auf diese Linie fur große Langen deuten auf

ein nicht mehr universelles Verhalten hin.

47

Linie wie in Abb. 4.7 zu sehen ist. In dieser Abbildung sind die experimentellen

Ergebnisse ebenfalls eingetragen. Es ist zu erkennen, dass die Messung ab einer

gewissen Grenzlange deutliche Abweichung von der Poisson-Vorhersage zeigt, sie

weist auf ein nicht mehr universelles Verhalten hin.

4.5 Bahnlangen

Die semiklassische Formel von Gutzwiller druckt die Niveaudichte eines Quanten-

spektrums als eine Summe uber klassische periodische Bahnen aus (vgl. Abschnitt

2.3) [26]. Das sog. Langenspektrum, die Fouriertransformierte des fluktuierenden

Anteils der Niveaudichte ist als

ρfluc(x) =

∫ fmax

fmin

ei2πcfx[ρ(f)− ρw(f)]df (4.4)

definiert, wobei ρ(f) in (4.4) eingefuhrt wurde und ρw(f) die Ableitung der

Weyl Formel (Gl. (4.2)) ist. Das Integrationsintervall wird durch [fmin, fmax] ent-

spricht dem Frequenzintervall, in dem die Daten aufgenommen wurden. In den

gemessenen Spektren wurde diese Integration von 0.5 bis 10 GHz ausgefuhrt.

Daruberhinaus ist es notwendig, eine Reskalierung der Langenspektren durch-

zufuhren, da der Betrag des fluktuierenden Anteils der Niveaudichte direkt pro-

portional zur gesamten Zahl der Resonanzen ist. Experimentelle Ergebnisse fur

die funf analysierten Konfigurationen sind in Abb. 4.8 zum Vergleich dargestellt.

Die sehr gut erkennbaren Peaks entsprechen den Bahnlangen klassischer periodi-

scher Bahnen. Einige der Bahnen werden im Langenspektrum fur einen Absor-

ber von 5o gezeigt. Die Große der Peaks steigt mit dem Winkel der simulierten

Offnungen an. Diese Tendenz stellt genau einen Gegensatz zur Erwartung: je mehr

Absorptionsmaterial im System anwesend sind, desto mehr periodische Bahnen

sollten aufgehoben werden. Eine physikalisch uberzeugende Erklarung dafur wur-

de noch nicht gefunden.

48

Abbildung 4.8:Bahnlangenspektren fur die funf analysierten Falle und die je-

weils in den Figuren angegebenen Absorberkonfigurationen. In

der oben linken Figur sind einige periodischen Bahnen, die den

Peaks in den Spektren entsprechen, angedeutet: (2,1) ist der

Durchmesser des Kreises, (5,2) der erste Stern und (7,3) das ro-

tierte Siebeneck. Große Abweichungen in den Amplituden fur die

verschiedenen Falle sind deutlich zu erkennen. Eine Erklarung

hierfur ist noch zu finden.

49

4.6 Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Billard

Experimentell lasst sich der zeitliche Zerfall eines Quantenzustandes aus der Fou-

riertransformation der Elemente der Streumatrix fur die Transmission von der

Ein- zur Auskopplungsantenne ausdrucken. Die Streumatrix lasst sich als

Sab(ω) = eiδa(δab − iΓ1/2µa Γ

1/2µb

ω − ωµ + i2Γµ

)eiδb (4.5)

schreiben. Die Positionen der Antennen werden durch a und b bezeichnen. Hierbei

stellt δa und δb eine beliebige Phase dar und Γµ = Γµa+Γµb ist die gesamte Breite

einer bestimmten Resonanz [9]. Die Breite der Dissipation am Rand der Kavitat

wurde in dieser letzten Summe vernachlassigt. Die Fouriertransformierte von Gl.

(4.5) ist proportional zur zeitlichen Entwicklung der aus dem System ausgekop-

pelten Energie. Diese ist gleichzeitig proportional zum Produkt der elektrischen

Felder an den Stellen a und b und deshalb, entsprechend der in Abschnitt 2.2

erwahnten Analogie, zur Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen nach einer bestimmten

Zeit an einem gewissen Punkt zu finden

Energie = |∫Sab(ω)e−iωtdω|2 ∝ E(xa, ya, t) · E∗(xb, yb, t) = |ϕ(x, y, t)|2. (4.6)

Hierbei stellt |ϕ(x, y, t)|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte dar. Der zeitliche Zerfall

durch ein kleines Loch in einem Billiard wurde sowohl im klassischen als auch im

Quantenfall in den letzten Jahren berechnet [19, 33, 51]. In Abschnitt 2.3.2 wur-

de bereits erwahnt, dass die periodischen Bahnen fur die zeitliche Entwicklung

nach langen Zeiten verantwortlich sind [52, 53]. Gemaß des letzten Abschnittes

ist nun zu verstehen, warum der Effekt solcher Bahnen eine so entscheidende Rol-

le bei quantenmechanischen und klassischen Systemen spielt. Die Abbildung 4.9

zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der funf verschiedenen Absorptionsmate-

rial Konfigurationen. In diesem Fall entsprechen die Positionen der Antennen a

und b in der Abb. 3.2 den Nummern 5 und 7. Dabei sind die Zeiten in Radius-

einheiten ausgedruckt und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf eins fur t = 0

50

Abbildung 4.9:Aufenthaltswahrscheinlichkeit im System fur die funf Konfigu-

rationen mit Absorptionsmaterial. Gleichzeitig sind klassische Si-

mulationen gezeigt. Im klassischen Fall liegt ein algebraisches Zer-

fallsverhalten vor im Gegensatz zum Quantenfall, bei dem es zu

einer Uberlagerung von einem exponentiellen und einem algebrai-

schen Verhalten kommt.

normiert. Eine numerisch simulierte angepasste Kurve ist ebenfalls zum Vergleich

gezeigt. Dafur wird ein C-Programm benutzt und die Entwicklung von 106 klas-

sischen Teilchen mit zufalligen Anfangsbedingungen und den Randbedingungen

51

des Kreisbillards verfolgt. Obwohl das klassische und quantenmechanische Verhal-

ten fur kleine Zeiten bzw. kleine Abstande unterschiedlich ist, sind asymptotisch

algebraische Tendenzen fur sehr lange Zeiten zu erkennen.

4.7 Aquivalenz zur Riemannschen Hypothese

Es wird in [5] nachgewiesen dass, fur lange Zeiten und kleine Offnungen im klas-

sischen Limes

t · P∞ = 1/ε (4.7)

mit P∞ = limt→∞ P (t) sein muss (vgl. Abschnitt 2.3.2). Das Verhalten dieses

Limes wird vollstandig beschrieben durch die Bahnfamilien, deren Anfangsbe-

dingungen neben den neutralstabilen Bahnen liegen und mit irrationalen Zah-

len verbunden sind (siehe Abschnitt 2.3.1). Der mathematische Nachweis dieses

Ausdruckes kann in der vorliegenden Arbeit nicht gefuhrt werden, er ist in [36]

ausfuhrlich erklart und beruht auf der Theorie der Primzahlen. Experimentelle

Ergebnisse von t · P∞ sind in der Abbildung 4.10 und 4.11 gegeben. In Abb.

4.10 ist ε · t · P (t) als Funktion von ε · t fur ε = 10o dargestellt. Die drei Kurven

entsprechen den moglichen Antennenkombinationen der Transmissionsmessun-

gen (siehe Abschnitt 3.2). Es ist zu beachten, dass die Lage des Maximums von

der Antennenkombination abhangt. Ein gewisses Plateau bildet sich aber fur alle

Kombinationen im Zeitbereich. Die Interpretation dieses Plateaus hat einen engen

Zusammenhang mit dem Limes (2.15). Konvergiert der Abstand vom ε · t · P (t)

zu seinem Grenzwert [tP∞(t) − 2ε] schneller als ε1/2 gegen 0, ist die Riemann-

sche Hypothese erfullt. In der Abb. 4.11 sind die experimentellen Ergebnisse von

ε · t ·P (t) fur jede der gemessenen Konfigurationen mit einem Absorber aufgetra-

gen. Die Zeiten, bei denen die Bildung des Plateaus stattfindet, sind je zu umso

hoheren Frequenzen verschoben je großer die Offnung des Systems ist. Nach den

Plateaus ist ebenfalls ein Abfall (vor Allem in den Konfigurationen mit 15o und

20o Absorptionsmaterial) zu erkennen. Dieser entspricht der Dissipation von Mi-

krowellen am Rand der supraleitenden Kavitat (siehe Abschnitt 2.4.3). Im Fall

52

von 20o Absorptionsmaterial ist noch ein Aufstieg nach dem erwahnten Abfall

zu sehen, was zum Rauschen in den durchgefuhrten Messungen korrespondiert.

In der Abb. 4.12 sind die Ergebnisse der numerischen Simulation aufgetragen.

In diesem Fall wurde der exponentielle Zerfall an der Wand des Billards in der

Simulation hinzugefugt, was dem deutlichen Abfall fur Zeiten oberhalb der des

Plateaus entspricht. Zum anderen liegen Hohe und Lage des Maximums der Gra-

phiken bei einer niedrigeren Großenordnung als das ε · t · P (t), dass man aus den

Simulationen der klassischen Dynamik erhalt. Eine Erklarung dieser Abweichung

ist noch zu finden.

Abbildung 4.10:Experimentelle Ergebnisse von ε·t·P (t) fur die Konfiguration mit

10o Absorptionsmaterial. Die drei Kurven stellen die Transmis-

sionsmessungen mit den Antennenkombinationen 1-7, 1-5 und

5-7 dar. Die Bildung eines Plateaus im selben Zeitbereich bei

ca. 103 ist erkennbar.

53

Abbildung 4.11:Experimentelle Ergebnisse von ε · t ·P (t) fur die Konfigurationen

mit 5o, 10o, 15o und 20o Absorptionsmaterial. In diesem Fall

ist nur die Antennenkombination 5-7 abgebildet. Die Werte der

Abszisse, bei den die Bildung des Plateaus stattfindet, sind zu

umso hoheren Frequenzen verschoben je großer die simulierte

Offnung des Systems ist.

54

Abbildung 4.12:Numerische gewonnene Ergebnisse von ε·t·P (t) fur das klassische

offene Kreisbillard in zweiter Ordnung fur die Konfigurationen

mit 5o, 10o, 15o und 20o Absorptionsmaterial.

55

5 Schlussbemerkung und Ausblick

Die Betrachtung einer Doppelkreis-Mikrowellenkavitat mit kleinen eingebrachten

Absorptionsmaterialien hat im Rahmen der vorliegenden Arbeit dazu beigetra-

gen, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in der Kavitat und einige

Aspekte in Bezug auf die Verschiebung der Kavitatsmoden qualitativ zu verste-

hen.

Ein Zusammenhang zwischen der Riemannschen Hypothese und der Aufenthalts-

wahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem offenen Kreisbillard, welchen Buni-

movich und Dettmann theoretisch vorhergesagt haben [20], war die ursprungliche

Motivation der durchgefuhrten Experimente. Theoretisch lasst sich das Produkt

des Offnungswinkels ε mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit P (t) im klassischen

Billard durch einen Grenzwert ausdrucken. Stimmt dieser mathematische Grenz-

wert fur sehr lange Zeiten bzw. sehr kleine Offnungen, ist die Riemannsche Hypo-

these erfullt. Von rein experimentellen Standpunkt ausgesehen ist das naturlich

eine Idealisierung. Einerseits erlaubt die Frequenzauflosung, die in den Expe-

rimenten realisiert werden kann, keine beliebig langen zeitlichen Betrachtun-

gen und andererseits storen die Absorber, die die Offnungen ideal simulieren,

auf eine entscheidende Weise das System. Auf jeden Fall wurde eine qualitati-

ve Ubereinstimmung zwischen numerischen und experimentellen Ergebnisse von

ε ·t ·P (t) als Funktion der Zeit gefunden. Neue Kaltmessungen mit noch kleineren

Offnungsgroßen sowie eine prazise experimentelle Bestimmung der Eigenmoden

der ungestorten Kavitat auch im supraleitenden Zustand sind geplant. Auf diese

Weise ist auch eine genauere Untersuchung der verschobenen Resonanzen moglich.

Eine andere Frage, die noch offen bleibt, ist die Suche nach einer Erklarung fur

die großen Abweichungen in den Maximalamplituden der Langenspektren in den

funf analysierten Fallen. Schließlich wird der Zerfall eines Quantensystems in

Abhangigkeit von den offenen Kanalen durch eine Funktion, die exponentielle

und algebraische Terme enthalt, charakterisert [19]. Das Verhalten des analogen

klassischen Systems muss aber nicht unbedingt direkt auf das quantenmechani-

sche ubertragbar sein und dies wurde im Abschnitt 4.6 herausgefunden.

Andererseits hat die Realisierung supraleitender Messungen zusammen mit der

einhergehenden Verbesserung der Resonatorgute es erlaubt, eine teilweise Auf-

56

hebung der Entartung der energiearmsten Niveaus zu beobachten. Eine der bei-

den aufgespaltenen Moden koppelt sehr stark an das Absorptionsmaterial. Dies

ermoglicht eine Verschiebung solcher Moden zu kleineren Frequenzen, was durch

eine exponentielle Abdampfung der interferierenden stehenden Wellen an der Stel-

le des Absorptionsmaterial verursacht wird. Die genaue Abhangigkeit der Ver-

schiebungen der Kavitatsresonanzen von der Große des Absorptionsmaterials in

Abhangigkeit als Funktion der Frequenz sind zur Zeit nicht vollig verstanden aber

es scheint, dass die globale Tendenz der Resonanzverschiebung im Durchschnitt

großer wird je mehr Absorptionsmaterial im System ist. Fur hohe Werte der

Drehimpulsquantenzahl verstarkt sich diese Tendenz weiter. Die Ursache dieses

Phanomens konnte sein, dass die geometrischen Parameter der Weyl Formel durch

das Anbringen des Absorptionsmaterials geandert werden. Daruber hinaus ist das

absorbierende Verhalten des Urethans frequenzabhangig, was zu einer Komplika-

tion des Problems fuhrt. Zum Anderen ist die Starke der Dampfung bestimmter

Moden, deren maximale Wahrscheinlichkeit am Rand des Billards liegt, durch

das Absorptionsmaterial ein sehr deutlicher Effekt. Die Dampfung verstarkt sich

mit zunehmender Große der Absorberstucke und ist besonders ausgepragt fur die

(0,n) und (m,1), mit m groß, Moden. Zusatzlich wird der Qualitatsfaktor auf-

grund des Anbringens der Absorber reduziert.

57

58

A Nicht identifizierte Resonanzen

In Tabellen A.1 und A.2 sind die Moden aufgelistet, die im Laufe der Analyse

der Spektren nicht identifiziert werden konnten. Es gibt zwei Ursachen fur den

”Modenverlust“ (siehe Abs. 4.3): fur die Moden, die aufgrund eine nicht genugend

hohen Auflosung nicht identifiziert werden konnten, werden die beiden moglichen

Kandidaten aufgelistet (durch A in den Tabellen bezeichnet). Andererseits werden

Moden, die sehr stark an das Absorptionsmaterial koppeln, mit B bezeichnet. Die

letzte Zeile zeigt die gesamte Zahl der nicht identifizierten Resonanzen an.

59

Tabelle A.1:Nicht identifizierte Moden in der Analyse der Spektren, die aus Mes-

sungen im Kreissystem mit nur einem Absorberstuck mit 5,10 oder

15 Grad gewonnen wurden. Die mit A bezeichneten Moden konnten

aufgrund einer nicht genugend hohen Auflosung nicht unterschieden

werden. Die mit B bezeichneten Moden sind diejenigen, die sehr

stark an das Absorptionsmaterial koppeln. Besonders oft sind hier-

bei die Sequenzen (0, n) und (m, 1) fur große m anzutreffen, die in

der Nahe des Rands des Billards eine große Wahrscheinlichkeitsdich-

te besitzen.

5 Grad (1 Absorber) 10 Grad (1 Absorber) 15 Grad (1 Absorber)

A (12,2) oder (9,3) (4,2) oder (7,1) (1,6) oder (11,2)

(18,1) oder (4,5) (5,4) oder (14,1) (12,2) oder (9,3)

(15,2) oder (2,7) (1,6) oder (11,2) (16,1) oder (2,6)

(19,1) oder (0,8) (16,1) oder (2,6) (9,4) oder (15,2)

(9,3) oder (4,5) (17,1) oder (5,5) (19,1) oder (0,8)

(18,1) oder (11,3) (18,1) oder (11,3)

(15,2) oder (2,7) (15,2) oder (2,7)

B (12,3) (0,6) (0,2), (14,1)

(13,1) (4,1), (15,1)

(0,7) (11,1), (0,7)

(8,4) (5,3), (7,4)

(0,8) (12,1), (17,1)

(15,1) (13,1), (8,4)

(4,3) (0,6), (12,3)

(10,1) (10,2)

Gesamt 10 27 38

60

Tabelle A.2:Nicht identifizierte Moden in der Analyse der Spektren, die aus Mes-

sungen im Kreissystem mit zwei Absorberstucke mit 5 oder 15 Grad.

5 Grad (2 Absorber) 15 Grad (2 Absorber)

A (12,2) oder (9,3) (1,6) oder (11,2)

(12,2) oder (9,3) (18,1) oder (11,3)

(15,2) oder (2,7) (4,5) oder (9,3)

(2,7) oder (9,4) (9,4) oder (15,2)

(9,3) oder (4,5) (2,4) oder (7,2)

(15,2) oder (2,7)

(16,1) oder (2,6)

B (0,5) (0,2), (0,3)

(8,2) (0,4), (4,1)

(8,3) (4,2), (7,1)

(8,4) (8,1), (10,1)

(0,8) (0,2), (0,3)

(4,3), (11,3)

(13,1), (0,6)

(15,1), (0,7)

(17,1), (8,4)

(12,3), (12,1)

(4,4), (8,3)

(18,1), (6,5)

(10,3), (14,1)

(0,8), (19,1)

Gesamt 16 65

61

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66

Danksagung

Erstens bedanke ich mich bei Herrn Professor Dr. Dr. h.c. mult. A. Richter, dass

er mir eine so spannende Aufgabe ubertragen hat sowie fur die Aufnahme in

seine Forschungsgruppe. Ehrlich dankbar bin ich den Mitgliedern dieser Gruppe.

Frau Dr. Barbara Dietz-Pilatus fur die guten Ratschlage und die theoretische

Perspektive, die sie zur Arbeit beigetragen hat. Besonders dankbar bin ich auch

Herrn Dipl.-Phys. Thomas Friedrich fur die ausgezeichnete Betreuung, die Leh-

re der Abkuhlungsmethode und die interessanten Diskussionen und Vorschlage

der Interpretation der experimentellen Ergebnisse. Fur die unendliche Geduld

im Korrekturprozess der vorliegenden Arbeit bin ich Herrn Dipl.-Phys. Florian

Schafer herzlich dankbar. Daruber hinaus hat er ein sehr leistungsfahiges Pro-

gramm fur die Analyse der Spektren entwickelt und, neben Herrn Majid Taheri

Gelevarzi, mir eine gute Einfuhrung ins Programm gegeben. Damit ist die Arbeit

immer leichter gewesen. Stefan Bittner hat mir im Labor mit dem experimentellen

Aufbau und der Uberwachung der Kaltmessungen geholfen. Fur die Kooperation

und Hilfe bedanke ich mich ebenfalls bei Herrn Doktorand Maksim Miski-Oglu.

Ich danke der wissenschaftlichen Abteilung der Stiftung”La Caixa“ in Zusam-

menarbeit mit dem Deutschen Akademischen Austauschdienst (DAAD) fur das

Interesse und die Unterstuzung der jungen spanischen Forscher sowie fur das Sti-

pendium.

Dem ganzen Team aus der Mechanikwerkstatt des Instituts fur Kernphysik in

Darmstadt danke ich fur die Vorbereitung und Konstruktion der Mikrowellenka-

vitaten. Auch Herrn Freytag, der fur eine punktliche Auslieferung des flussigen

Heliums immer gesorgt hat, und allen Mitarbeitern des S-DALINAC fur die tech-

nische Unterstutzung.

Schließlich wurde ich auch gern meiner Familie und Frau Gisela Aranda Casas

fur die Unterstutzung meinen herzlichen Dank ausdrucken.

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