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Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik
bime
Vorkurs ”Mathematik fur Ingenieure”im WiSe 2014/15
Soren Boettcher
bime – Bremer Institut fur Strukturmechanik und Produktionsanlagen
7. Oktober 2014
S. Boettcher 1 / 22
Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik
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Inhaltsverzeichnis
1 Organisatorisches
2 Arithmetik
3 Trigonometrie
4 Gleichungen
5 Funktionen
6 Differentialrechnung
7 Integralrechnung
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Zu meiner Person
Dr. rer. nat. Soren BoettcherTechnische Mechanik/Strukturmechanik
bime – Bremer Institut fur Strukturmechanik und ProduktionsanlagenUniversitat Bremen, Am Biologischen Garten 2, 28359 Bremen
Buro Gebaude IW3 – Raum 1220
Telefon 0421 218–64686
E-Mail [email protected]
www http://www.bime.dehttp://www.mechanik.uni-bremen.dehttp://www.math.uni-bremen.de/zetem
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Zum Vorkurs
Termin 29.09.2014 – 09.10.2014
Ablauf Vorlesung vormittags, Ubung nachmittags
Zielgruppe Produktionstechnik, Systems Engineering,Wirtschaftsingenieurwesen Produktionstechnik
Ziel Verstandnis- und Wissensluckenim mathematischen Grundlagenwissenzum Studienbeginn schließen
www http://www.mechanik.uni-bremen.de/vorkurs.html
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Zeitplan
MO DI MI DO DI MI DO
29.09. 30.09. 01.10. 02.10. 07.10. 08.10. 09.10.
V08-10 08-10 08-10 08-10 09-11 10-12 11-13
alle HS 2010 GW1 H0070 HS 2010 HS 1010 MZH 1380 HS 2010 MZH 1380
U
14-16 14-16 14-16 14-16 13:30-15:30 13-15 14-16
Gruppe 1 IW3 0330 IW3 0330 IW3 0330 IW3 0330 SFG 1030 IW3 0330 IW3 0330
Gruppe 2 IW3 0390 IW3 0390 IW3 0390 IW3 0390 FZB 0240 IW3 0390 IW3 0390
Gruppe 3 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2010 SFG 2020
Gruppe 4 SFG 2030 SFG 2030 SFG 2030 SFG 2010 SFG 2030 SFG 2030 SFG 2030
Gruppe 5 SFG 1020 SFG 1020 SFG 1020 SFG 1020 SFG 1020 FZB 0240 FZB 0240
Gruppe 6 SFG 1030 SFG 2010 SFG 1040 SFG 1040 SFG 1040 SFG 1040 SFG 1040
http://www.mechanik.uni-bremen.de/vorkurs.html
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Lageplan
Autobahn-AnschlussHB-Horn/Lehe
31
31
Kleine Wümme
Auto
bahn
zubr
inger
U
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sität
Linz
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tr.
Hochschulring
Robert- Hooke-Straße
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Bio
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Celsiusstr.
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J.-Watt-Str.
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Spittaler Str.
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Otto
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Kremser Str.
Caroline-
Herschel-Str.
Mary-Somerville-Str.
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onway-Str.
Emmy-Noether-Str.
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traße
Hildegard-von-Bingen-Str.Karl-Ferdinand-Braun-Straße
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Barbara-McClintock-Str.
Mary- A
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Achterstraße
Achterstraße
Achterstraße
Achterstraße
Universitätsallee
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weg
Uni
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llee
ACB
Innenstadt
Horn
Findorff /Walle
Stadtwald
Campingplatz
Richtung:HH, H, OSRichtung:
BRHV
Mensasee
4
3
2
1
© Universität Bremen Stand: 23.05.2014
A B C D E
Kleingärten
6 2821 3122
6 3121
6 2821 3122
2231
22 28
28
22 28 6 21
6 21
22
6
21
Haltestelle
StraßenbahnBuslinie
= Gebäude in Planung
Bremer Forum
Container
IFAM
WiWi
BEGO BioG IW3 BIBA
ZARM
TAB AIBHGW
KPKSporthalle Horn
IFAM
MPI
FH I/II
BITZ
ZMT
GW1
MST
NW1
CeVis
FVG ZHG
UFT
EZ OEG
BH
NW2NW2
SZL
GEO
AkademieMensa
ZB
SuUB
BIAS IWT
IW
RSGSpH SpT
GW2
MZH
GH StH
SFG
VWG
B o u l e v a r d
LFM
SH
FZB
GW1 HS
HS
LMT
Seekamp
WING
MARUMODP
PTB
DFKI
ISL
Cartesium
Sportplätze
unicom
Universum®Science Center Bremen
Atlantic Hotel Universum
Cognium
FUCHSGruppeGH-L
KITA
Achter
Uni-Bad
Siemens
Studenten-wohnheim
Fallturm
Turm derLüfte
SchauBox
BIMAQ
LION
Hotel“Munte am Stadtwald”
Neurobiologie
FH III
KITATechnol.park
GalileoResidenz
Mar
um II
DLR
Internationale Schule
7 ThingsHotel
Studentenhaus“The Fizz”
oas
oas
DFKI
NMR
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Literatur
Bucher
Bosch, Bruckenkurs Mathematik, Oldenbourg
Erven/Erven/Horwick, Vorkurs Mathematik, Oldenbourg
Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, Vieweg
Marti/Groger, Bruckenkurs Mathematik, Peikert Verlag
Schafer/Georgi/Trippler, Mathematik-Vorkurs, B.G. Teubner
Schirotzek/Scholz, Starthilfe Mathematik, B.G. Teubner
van de Craats/Bosch, Grundwissen Mathematik, Springer
. . .
Online Mathematik Bruckenkurs
http://www.om-bridge.de/omb/public/index.html
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Literatur
Aufgabensammlungen
Postel, Aufgabensammlung zur Ubung und Wiederholung:Mathematik Broschure, Schroedel, 2011
Jonczyk/Schneider, Aufgabensammlung Mathematik:Sekundarstufe II: Analysis Taschenbuch, Schroedel, Nachdruck 1999
Buck/Gailun/Mendler, Aufgabensammlung Mathematik:Sekundarstufe II: Lineare Algebra Taschenbuch, Schroedel,Nachdruck 2000
. . .
Internet
Bibliothek
. . .
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Bezeichnungen
Summenzeichen
n∑k=1
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an
Produktzeichen
n∏k=1
ak = a1 · a2 · a3 · . . . · an
Absolutbetrag
|a| =
{+ a fur a ≥ 0
− a fur a < 0
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Grundlegende RechenregelnPunktrechnung vor Strichrechnung
a + b · c = a + (b · c)
a− b : c = a− (b : c)
Potenzrechnung vor Punktrechnung
a · b2 = a ·(b2)
Es gilt also ab2 6= (ab)2.
Beispiele
a : b2 − 3 · 23 =
4 · 53 − 7 · 42 =
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Grundgesetze der Addition und MultiplikationKommutativgesetz
a + b = b + a
a · b = b · aAssoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · cDistributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c(a + b) · c = a · c + b · c
Neutrales Element
a + 0 = 0 + a = a
1 · a = a · 1 = a
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Grundregeln der KlammerrechnungWichtige Regeln der Klammerrechnung
+ (a + b) = a + b
− (a + b) = −a− b
− (a− b) = −a + b
Vorzeichenregeln
+ (a + b) = a + b
− (a + b) = −a− b
Beispiele
(3 + 5− 2) + (5 + 8) =
(4 + 7)− (−6 + 3− 8) =
3a− (4b + 2c − 6d) + (3a− 5c)− (6a + 3b − d) =
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Grundregeln der KlammerrechnungMultiplikation und Division mit Klammern
a · (b + c) = ab + ac
(a− b) : c = a : c − b : c
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a− b)(c − d) = ac − ad − bc + bd
Es gilt also (a · b) · c 6= ac · bc und (a + b)2 6= a2 + b2.
Klammern auflosen
a (b + c(d + e)) = a (b + cd + ce) = ab + acd + ace
Beispiele
(x + 2)(x − 5)− (x − 3)(x − 7) =
5(x − 2(x − y − 3y − 6x − 3y) + 2y) =
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Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bilder: Mikue – Lizenz: Creative Commons by-sa 3.0 de
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Binomischer LehrsatzFakultaten
0! = 1
k! = 1 · . . . · k fur jede positive ganze Zahl k
Binomialkoeffizienten (n
k
)=
n!
k!(n − k)!
Binomischer Lehrsatz
(a + b)n =n∑
k=0
(n
k
)an−kbk
Beispiele
(2x − 5y)2 =
(3x + 4y)(3x − 4y) =
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Bruchrechnung
Definition
m
n= m : n, n 6= 0
mn – Bruch (Quotient), m – Zahler (Dividend), n – Nenner (Divisor)
Begriffe
Echte Bruche: m < n Unechte Bruche: m > n
Stammbruche: m = 1 Gemischte Bruche ���
Kehrwert
1mn
=n
m
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BruchrechnungErweitern und Kurzen
a
b=
a · cb · c
=ac
bc, b, c 6= 0
a
b=
a : c
b : c, b, c 6= 0
Hinweis
Vorzeichen von Zahler und Nenner stets beachten!
Niemals aus Summen kurzen!
Beispiele
a · b + c
a,
a
a · b + c; Kurzen nicht moglich!
Abera · b + a · c
a · d=
a · (b + c)
a · d=
b + c
d
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Addition und SubtraktionGleichnamige Bruche
a
c± b
c=
a± b
c, c 6= 0
Ungleichnamige Bruche
a
c± b
d=
i · a± j · bk
, c , d 6= 0
k ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), schlimmstenfallsk = c · d , i = d , j = c . GgT und kgV kann man uber diePrimfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen, z.B.:
3528 = 23 · 32 · 72
3780 = 22 · 33 · 51 · 71 ; ggT(3528, 3780) = 22 · 32 · 71 = 252
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Multiplikation und Division
Fur b, c , d 6= 0
a
b· cd
=a · cb · d
=ac
bd
a · bc
=a · bc
=ab
c
a
b:c
d=
a
b· dc
=a · db · c
=ad
bc
a :b
c= a · d
c=
a · cb
=ac
b
a
b: c =
a
b· 1
c=
a
b · c=
a
bc
Beispiele
a2 − 1
2b· 12b
ac − c=
22ax2y2
27brs2:
66x2y
18r2s=
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Ungleichungen∗(a = b oder a < b oder a > b)
Eigenschaften
a ≤ a (Reflexivitat)
a ≤ b und b ≤ c =⇒ a ≤ c (Transitivitat)
a ≤ b und b ≤ a =⇒ a = b (Antisymmetrie)
Rechenregeln
a < b ⇐⇒ b > a
a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c
a ≤ b und c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d
a ≤ b, c ≥ 0 =⇒ ac ≤ bc
a ≤ b, c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc (a < b =⇒ −a > −b)
a ≤ b =⇒ 1a ≥
1b
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Losungen der Beispielaufgaben
Seite 10 ab2 − 24 338
Seite 12 19 22 −7b − 7c − 7d
Seite 13 7x − 31 55x + 80y
Seite 15 4x2 − 20xy + 25y2 9x2 − 16y2
Seite 19 6(a+1)c
2ary9bs
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Kontakt
bime | Universitat BremenFachbereich 4 – ProduktionstechnikFachgebiet 15 – Technische Mechanik/
StrukturmechanikAm Biologischen Garten 228359 Bremen
Dr. rer. nat. Soren Boettcher
Telefon 0421 218–64686E-Mail [email protected] http://www.bime.de
S. Boettcher 22 / 22