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Vorlesung 3b
Der Erwartungswert:
Wiederholung, Ausblick, Beispiele.
1
Der
Erwartungswert
Der
Erwartungswert
X
Der
Erwartungswert
Xeine Zufallsgroße
Der
Erwartungswert
Xeine Zufallsgroße
EX
Der
Erwartungswert
Xeine Zufallsgroße
EXeine Zahl
EX :=∑
x P{X = x}
EX :=∑
x P{X = x}
EXISTENZ
EX :=∑
x P{X = x}
EXISTENZ
∞ − ∞: sinnlos
EX :=∑
x P{X = x}
EXISTENZ
∞ − ∞: sinnlos
Also entweder∑
x>0 x P{X = x} < ∞
EX :=∑
x P{X = x}
EXISTENZ
∞ − ∞: sinnlos
Also entweder∑
x>0 x P{X = x} < ∞
oder∑
x<0 x P{X = x} > −∞
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
BEISPIEL
0 1 2 3
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Eine faire Munze wird dreimal geworfen.
0 1 2 3
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 0}= P{ZZZ} = 18
0 1 2 3
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 0} = P{ZZZ}= 18
0 1 2 3
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 0} = P{ZZZ} = 18
0 1 2 3
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 0} = P{ZZZ} = 18
0 1 2 3
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 1}= P{KZZ, ZKZ,ZZK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 1} = P{KZZ,ZKZ, ZZK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 1} = P{KZZ, ZKZ,ZZK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 1} = P{KZZ, ZKZ,ZZK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 2}= P{KKZ, KZK, ZKK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 2} = P{KKZ, KZK, ZKK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 2} = P{KKZ, KZK, ZKK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 2} = P{KKZ, KZK, ZKK} = 3 · 18
0 1 2 3
18
38
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 3}= P{KKK} = 18
0 1 2 3
18
38
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 3} = P{KKK}= 18
0 1 2 3
18
38
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 3} = P{KKK} = 18
0 1 2 3
18
38
38
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P{X = 3} = P{KKK} = 18
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
EX = ?
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
EX :=∑
x P{X = x}
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
EX = 0 · 18
+ 1 · 38
+ 2 · 38
+ 3 · 18= 12
8= 1.5
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
EX = 0 · 18
+ 1 · 38
+ 2 · 38
+ 3 · 18
= 128
= 1.5
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
EX = 0 · 18
+ 1 · 38
+ 2 · 38
+ 3 · 18
= 128
= 1.5
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
EX 6= erwarteter Wert
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Was denn?
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Wie erlebt man den Erwartungswert?
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Durch wiederholtes Werfen der drei Munzen
0 1 2 3
18
38
38
18
x = Anzahl Kopf
P{X
=x}
12345678912345678980 Wiederholungen: X1, X2, ..., X80123456789123456789
0 20 40 60 80
01
23
n
Xn
123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789
0 20 40 60 80
01
23
n
Xn
123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789
0 20 40 60 80
01
23
n
Xn
123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789
0 200 400 600 800
01
23
n
Xn
123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789
0 200 400 600 800
01
23
n
Xn
123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789
0 2000 4000 6000 8000
01
23
n
Xn
123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789
0 2000 4000 6000 8000
01
23
n
Xn
123456789123456789123456789Mn → EX123456789123456789123456789
0 2000 4000 6000 8000
01
23
n
Xn
123456789123456789123456789Warum?123456789123456789123456789
0 2000 4000 6000 8000
01
23
n
Xn
123456789123456789123456789Mn =∑
x #{x}/n123456789123456789123456789
0 2000 4000 6000 8000
01
23
n
Xn
123456789123456789123456789Mn =∑
x #{x}/n →∑
x P{X = x}123456789123456789123456789
0 2000 4000 6000 8000
01
23
n
Xn
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.
Seien X1, X2, ... unabhangige Kopien von X.
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.
Seien X1, X2, ... unabhangige Kopien von X.
Dann gilt
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.
Seien X1, X2, ... unabhangige Kopien von X.
Dann gilt
X1+...+Xnn → EX
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.
Seien X1, X2, ... unabhangige Kopien von X.
Dann gilt
X1+...+Xnn → EX
Zu klaren
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.
Seien X1, X2, ... unabhangige Kopien von X.
Dann gilt
X1+...+Xnn → EX
Zu klaren1. Was heißt
”unabhangig “?
DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.
Seien X1, X2, ... unabhangige Kopien von X.
Dann gilt
X1+...+Xnn → EX
Zu klaren1. Was heißt
”unabhangig “?
2. Was heißt”
→ “?
Zwei Vorstellungen von EX
Zwei Vorstellungen von EX
1. Gewichtetes Mittel
der moglichen Werte:
Zwei Vorstellungen von EX
1. Gewichtetes Mittel
der moglichen Werte:
EX :=∑
xP{X = x}
Zwei Vorstellungen von EX
1. Gewichtetes Mittel
der moglichen Werte:
EX :=∑
xP{X = x}
2. Langzeitmittelwert
bei unabhangigen Wiederholungen:
Zwei Vorstellungen von EX
1. Gewichtetes Mittel
der moglichen Werte:
EX :=∑
xP{X = x}
2. Langzeitmittelwert
bei unabhangigen Wiederholungen:
EX = limn→∞X1+...+Xn
n
BEISPIEL A
BEISPIEL A
Zeitpunkt des ersten Erfolgs
BEISPIEL A
Zeitpunkt des ersten Erfolgs
Ein Versuch hat zwei Ausgange:
BEISPIEL A
Zeitpunkt des ersten Erfolgs
Ein Versuch hat zwei Ausgange:
P{X = 1} = p > 0 Erfolg
BEISPIEL A
Zeitpunkt des ersten Erfolgs
Ein Versuch hat zwei Ausgange:
P{X = 1} = p > 0 Erfolg
P{X = 0} = q := 1 − p < 1 Misserfolg
BEISPIEL A
Zeitpunkt des ersten Erfolgs
Ein Versuch hat zwei Ausgange:
P{X = 1} = p > 0 Erfolg
P{X = 0} = q := 1 − p < 1 Misserfolg
Der Versuch wird wiederholt durchgefuhrt:
BEISPIEL A
Zeitpunkt des ersten Erfolgs
Ein Versuch hat zwei Ausgange:
P{X = 1} = p > 0 Erfolg
P{X = 0} = q := 1 − p < 1 Misserfolg
Der Versuch wird wiederholt durchgefuhrt:
X1, X2, X3, ...
Sei T der Zeitpunkt des ersten Erfolgs:
Sei T der Zeitpunkt des ersten Erfolgs:
T := inf{ t | Xt = 1}
Sei T der Zeitpunkt des ersten Erfolgs:
T := inf{ t | Xt = 1}
Wann tritt
im Schnitt
der erste Erfolg ein?
Sei T der Zeitpunkt des ersten Erfolgs:
T := inf{ t | Xt = 1}
Wann tritt
im Schnitt
der erste Erfolg ein?
ET = ?
Die Verteilung von T :
Die Verteilung von T :
P{T = 1}= P{E} = p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E}= p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2}= P{ME} = qp
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME}= qp
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3}= P{MME} = q2p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3} = P{MME}= q2p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3} = P{MME} = q2p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3} = P{MME} = q2p
P{T = k}= P{M...ME} = qk−1p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3} = P{MME} = q2p
P{T = k} = P{M...ME}= qk−1p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3} = P{MME} = q2p
P{T = k} = P{M...ME} = qk−1p
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3} = P{MME} = q2p
P{T = k} = P{M...ME} = qk−1p
Ist es sicher,
dass der Erfolg
irgendwann mal eintritt?
Die Verteilung von T :
P{T = 1} = P{E} = p
P{T = 2} = P{ME} = qp
P{T = 3} = P{MME} = q2p
P{T = k} = P{M...ME} = qk−1p
Ist es sicher,
dass der Erfolg
irgendwann mal eintritt?
P{T < ∞} = 1?
P{T < ∞} = 1 ?
P{T < ∞} = 1 ?
P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...
P{T < ∞} = 1 ?
P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...
P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...
P{T < ∞} = 1 ?
P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...
P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...
P{T < ∞} = p(1 + q + q2 + q3 + ...)
P{T < ∞} = 1 ?
P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...
P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...
P{T < ∞} = p(1 + q + q2 + q3 + ...)
P{T < ∞} =p
1 − q
P{T < ∞} = 1 ?
P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...
P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...
P{T < ∞} = p(1 + q + q2 + q3 + ...)
P{T < ∞} =p
1 − qP{T < ∞} = 1
P{T < ∞} = 1 ?
P{T < ∞} = 1 ?
Kurzer:
P{T < ∞} = 1 ?
Kurzer:
P{T > k}= P{M...M}= qk → 0
P{T < ∞} = 1 ?
Kurzer:
P{T > k} = P{M...M}= qk → 0
P{T < ∞} = 1 ?
Kurzer:
P{T > k} = P{M...M} = qk→ 0
P{T < ∞} = 1 ?
Kurzer:
P{T > k} = P{M...M} = qk → 0
ET = ?
ET = ?
ET =∑
kP{T = k}
ET = ?
ET =∑
kP{T = k}
ET =∑
k qk−1 p
ET = ?
ET =∑
kP{T = k}
ET =∑
k qk−1 p
ET = p∑
kqk−1
ET = ?
ET =∑
kP{T = k}
ET =∑
k qk−1 p
ET = p∑
kqk−1
ET = pd
dq
∑qk
ET = ?
ET =∑
kP{T = k}
ET =∑
k qk−1 p
ET = p∑
kqk−1
ET = pd
dq
∑qk
ET = pd
dq
(
1
1 − q
)
ET = ?
ET =∑
kP{T = k}
ET =∑
k qk−1 p
ET = p∑
kqk−1
ET = pd
dq
∑qk
ET = pd
dq
(
1
1 − q
)
ET = p1
(1 − q)2
ET = ?
ET =∑
kP{T = k}
ET =∑
k qk−1 p
ET = p∑
kqk−1
ET = pd
dq
∑qk
ET = pd
dq
(
1
1 − q
)
ET = p1
(1 − q)2
ET = 1p
ERSTE HERLEITUNG
ERSTE HERLEITUNG
ET =∑
k P{T = k}
ERSTE HERLEITUNG
ET =∑
k P{T = k}
ZWEITE HERLEITUNG
ERSTE HERLEITUNG
ET =∑
k P{T = k}
ZWEITE HERLEITUNG
ET = lim T1+...+Tmm
n Versuche (n >> 1)
n Versuche (n >> 1)
MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM
n Versuche (n >> 1)
MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM
T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...
n Versuche (n >> 1)
MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM
T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...
m = np(1 + o(1))
n Versuche (n >> 1)
MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM
T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...
m = np(1 + o(1))
T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))
n Versuche (n >> 1)
MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM
T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...
m = np(1 + o(1))
T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))
(T1 + ... + Tm)/m = (n/(np))(1 + o(1))
n Versuche (n >> 1)
MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM
T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...
m = np(1 + o(1))
T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))
(T1 + ... + Tm)/m = (n/(np))(1 + o(1))
= (1/p)(1 + o(1))
n Versuche (n >> 1)
MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM
T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...
m = np(1 + o(1))
T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))
(T1 + ... + Tm)/m = (n/(np))(1 + o(1))
= (1/p)(1 + o(1))
ET = 1/p
BEISPIEL B
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche
P{X1 = 1} = 12
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche
P{X1 = 1} = 12
P{X2 = 1} = 13
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche
P{X1 = 1} = 12
P{X2 = 1} = 13
P{X3 = 1} = 14
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche
P{X1 = 1} = 12
P{X2 = 1} = 13
P{X3 = 1} = 14
P{Xt = 1} = 1t+1
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche
P{X1 = 1} = 12
P{X2 = 1} = 13
P{X3 = 1} = 14
P{Xt = 1} = 1t+1
T = Zeitpunkt des ersten Erfolges:
BEISPIEL B
Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen
X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche
P{X1 = 1} = 12
P{X2 = 1} = 13
P{X3 = 1} = 14
P{Xt = 1} = 1t+1
T = Zeitpunkt des ersten Erfolges:
T := inf{t | Xt = 1}
Wie ist T verteilt?
Wie ist T verteilt?
P{T = 1} = P{E} = 12
Wie ist T verteilt?
P{T = 1} = P{E} = 12
P{T = 2} = P{ME} = 12
13
Wie ist T verteilt?
P{T = 1} = P{E} = 12
P{T = 2} = P{ME} = 12
13
P{T = 3} = P{MME} = 12
23
14 = 1
314
Wie ist T verteilt?
P{T = 1} = P{E} = 12
P{T = 2} = P{ME} = 12
13
P{T = 3} = P{MME} = 12
23
14 = 1
314
P{T = 4} = P{MMME} = 12
23
34
15 = 1
415
Wie ist T verteilt?
P{T = 1} = P{E} = 12
P{T = 2} = P{ME} = 12
13
P{T = 3} = P{MME} = 12
23
14 = 1
314
P{T = 4} = P{MMME} = 12
23
34
15 = 1
415
P{T = t} = 1t
1t+1
Wie ist T verteilt?
P{T = 1} = P{E} = 12
P{T = 2} = P{ME} = 12
13
P{T = 3} = P{MME} = 12
23
14 = 1
314
P{T = 4} = P{MMME} = 12
23
34
15 = 1
415
P{T = t} = 1t
1t+1
P{T = t} = 1t − 1
t+1
Wie ist T verteilt?
P{T = 1} = P{E} = 12
P{T = 2} = P{ME} = 12
13
P{T = 3} = P{MME} = 12
23
14 = 1
314
P{T = 4} = P{MMME} = 12
23
34
15 = 1
415
P{T = t} = 1t
1t+1
P{T = t} = 1t − 1
t+1
Wie lang im Schnitt muss man
auf den ersten Erfolg warten?
Wie lang im Schnitt muss man
auf den ersten Erfolg warten?
ET = ?
Wie lang im Schnitt muss man
auf den ersten Erfolg warten?
ET = ?
Kommt er uberhaupt,
der erste Erfolg?
Wie lang im Schnitt muss man
auf den ersten Erfolg warten?
ET = ?
Kommt er uberhaupt,
der erste Erfolg?
P{T < ∞} = 1?
P{T ≤ k} → 1?
P{T ≤ k} → 1?
P{T ≤ k}
P{T ≤ k} → 1?
P{T ≤ k}
=
P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}
P{T ≤ k} → 1?
P{T ≤ k}
=
P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}
=
(1 − 12) + (1
2 − 13) + (1
3 − 14) + ... + (1
k − 1k+1)
P{T ≤ k} → 1?
P{T ≤ k}
=
P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}
=
(1 − 12) + (1
2 − 13) + (1
3 − 14) + ... + (1
k − 1k+1)
=
1 − 1k+1
P{T ≤ k} → 1?
P{T ≤ k}
=
P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}
=
(1 − 12) + (1
2 − 13) + (1
3 − 14) + ... + (1
k − 1k+1)
=
1 − 1k+1
P{T < ∞} = 1
Der Erfolg kommt sicher.
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
ET = ?
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
ET = ?
ET =∑
t P{T = t}
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
ET = ?
ET =∑
t P{T = t}
ET =∑
t 1t
1t+1
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
ET = ?
ET =∑
t P{T = t}
ET =∑
t 1t
1t+1
ET =∑ 1
t+1
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
ET = ?
ET =∑
t P{T = t}
ET =∑
t 1t
1t+1
ET =∑ 1
t+1
ET = ∞
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
ET = ?
ET =∑
t P{T = t}
ET =∑
t 1t
1t+1
ET =∑ 1
t+1
ET = ∞
Der Erfolg kommt sicher
Der Erfolg kommt sicher.
Aber wann?
ET = ?
ET =∑
t P{T = t}
ET =∑
t 1t
1t+1
ET =∑ 1
t+1
ET = ∞
Der Erfolg kommt sicher
aber manchmal muss man lange warten.
Additivitat
Wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts:
Wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts:
Additivitat
Wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts:
Additivitat
E(X + Y) = EX + EY
Wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts:
Additivitat
E(X + Y) = EX + EY
1n((X1 + Y1) + ... + (Xn + Yn))
Wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts:
Additivitat
E(X + Y) = EX + EY
1n((X1 + Y1) + ... + (Xn + Yn))
= 1n(X1 + ... + Xn) + 1
n(Y1 + ... + Yn)
Wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts:
Additivitat
E(X + Y) = EX + EY
1n((X1 + Y1) + ... + (Xn + Yn))
= 1n(X1 + ... + Xn) + 1
n(Y1 + ... + Yn)
→ EX + EY
BEISPIEL 1
BEISPIEL 1
Hypergeometrische Verteilung
BEISPIEL 1
Hypergeometrische Verteilung
Eine Urne enthalt r rote und b blaue Kugeln.
BEISPIEL 1
Hypergeometrische Verteilung
Eine Urne enthalt r rote und b blaue Kugeln.
ooooooooooooo r = 8 b = 5
BEISPIEL 1
Hypergeometrische Verteilung
Eine Urne enthalt r rote und b blaue Kugeln.
ooooooooooooo r = 8 b = 5
Aus der Urne werden ohne Zurucklegen n Kugeln gezogen.
BEISPIEL 1
Hypergeometrische Verteilung
Eine Urne enthalt r rote und b blaue Kugeln.
ooooooooooooo r = 8 b = 5
Aus der Urne werden ohne Zurucklegen n Kugeln gezogen.
ooooooooo n = 9
BEISPIEL 1
Hypergeometrische Verteilung
Eine Urne enthalt r rote und b blaue Kugeln.
ooooooooooooo r = 8 b = 5
Aus der Urne werden ohne Zurucklegen n Kugeln gezogen.
ooooooooo n = 9
R := Anzahl der gezogenen roten Kugeln
BEISPIEL 1
Hypergeometrische Verteilung
Eine Urne enthalt r rote und b blaue Kugeln.
ooooooooooooo r = 8 b = 5
Aus der Urne werden ohne Zurucklegen n Kugeln gezogen.
ooooooooo n = 9
R := Anzahl der gezogenen roten Kugeln
ER = ?
Verteilung von R
Verteilung von R
P{R = k} = ?
Verteilung von R
P{R = k} = ?
P{R = k} =
(
r
k
)(
b
n − k
)
/
(
r + b
n
)
Verteilung von R
P{R = k} = ?
P{R = k} =
(
r
k
)(
b
n − k
)
/
(
r + b
n
)
ER =∑
k k
(
r
k
)(
b
n − k
)
/
(
r + b
n
)
Verteilung von R
P{R = k} = ?
P{R = k} =
(
r
k
)(
b
n − k
)
/
(
r + b
n
)
ER =∑
k k
(
r
k
)(
b
n − k
)
/
(
r + b
n
)
Es geht so.
Verteilung von R
P{R = k} = ?
P{R = k} =
(
r
k
)(
b
n − k
)
/
(
r + b
n
)
ER =∑
k k
(
r
k
)(
b
n − k
)
/
(
r + b
n
)
Es geht so.Aber es geht auch einfacher.
R = K1 + K2 + ... + Kn
R = K1 + K2 + ... + Kn
Ki = 1 falls i-te Kugel rot Ki = 0 falls i-te Kugel blau
R = K1 + K2 + ... + Kn
Ki = 1 falls i-te Kugel rot Ki = 0 falls i-te Kugel blau
ooooooooooooo r = 8 b = 5
P{Ki = 1} = ?
R = K1 + K2 + ... + Kn
Ki = 1 falls i-te Kugel rot Ki = 0 falls i-te Kugel blau
ooooooooooooo r = 8 b = 5
P{Ki = 1} = rr+b
R = K1 + K2 + ... + Kn
Ki = 1 falls i-te Kugel rot Ki = 0 falls i-te Kugel blau
ooooooooooooo r = 8 b = 5
P{Ki = 1} = rr+b
EKi = rr+b
R = K1 + K2 + ... + Kn
Ki = 1 falls i-te Kugel rot Ki = 0 falls i-te Kugel blau
ooooooooooooo r = 8 b = 5
P{Ki = 1} = rr+b
EKi = rr+b
ER = EK1 + EK2 + ... + EKn
R = K1 + K2 + ... + Kn
Ki = 1 falls i-te Kugel rot Ki = 0 falls i-te Kugel blau
ooooooooooooo r = 8 b = 5
P{Ki = 1} = rr+b
EKi = rr+b
ER = EK1 + EK2 + ... + EKn
ER = nrr+b
BEISPIEL 2
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p
Run: ein Teilblock maximaler Lange: 0....0 oder 1....1
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p
Run: ein Teilblock maximaler Lange: 0....0 oder 1....1
R := Anzahl Runs in M
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p
Run: ein Teilblock maximaler Lange: 0....0 oder 1....1
R := Anzahl Runs in M
00000000 R = 1
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p
Run: ein Teilblock maximaler Lange: 0....0 oder 1....1
R := Anzahl Runs in M
00000000 R = 1
11100011 R = 3
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p
Run: ein Teilblock maximaler Lange: 0....0 oder 1....1
R := Anzahl Runs in M
00000000 R = 1
11100011 R = 3
10101010 R = 8
BEISPIEL 2
Runs beim Munzwurf
M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n
P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p
Run: ein Teilblock maximaler Lange: 0....0 oder 1....1
R := Anzahl Runs in M
00000000 R = 1
11100011 R = 3
10101010 R = 8
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
A1 ≡ 1
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
A1 ≡ 1
{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
A1 ≡ 1
{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)
P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
A1 ≡ 1
{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)
P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)
EAi = 2pq (i > 1)
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
A1 ≡ 1
{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)
P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)
EAi = 2pq (i > 1)
ER = EA1 + EA2 + EA3 + ... + EAn
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
A1 ≡ 1
{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)
P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)
EAi = 2pq (i > 1)
ER = EA1 + EA2 + EA3 + ... + EAn
ER = 1 + 2pq(n − 1)
Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs
Ai := 0 sonst12345678901234567
R = A1 + A2 + ... + An
A1 ≡ 1
{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)
P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)
EAi = 2pq (i > 1)
ER = EA1 + EA2 + EA3 + ... + EAn
ER = 1 + 2pq(n − 1)
BEISPIEL 3
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:
X1, X2, ...Xn
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:
X1, X2, ...Xn
Kollision
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:
X1, X2, ...Xn
Kollision
(i < j) : Xi = Xj
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:
X1, X2, ...Xn
Kollision
(i < j) : Xi = Xj
K := Anzahl Kollisionen
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:
X1, X2, ...Xn
Kollision
(i < j) : Xi = Xj
K := Anzahl Kollisionen
K :=∑
i<j I{Xi=Xj}.
BEISPIEL 3
Das Geburtstagproblem
Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.
n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:
X1, X2, ...Xn
Kollision
(i < j) : Xi = Xj
K := Anzahl Kollisionen
K :=∑
i<j I{Xi=Xj}.
EK = ?
K :=∑
i<j I{Xi=Xj}
K :=∑
i<j I{Xi=Xj}
EK =∑
i<j EI{Xi=Xj}
K :=∑
i<j I{Xi=Xj}
EK =∑
i<j EI{Xi=Xj}
EK =∑
i<j P{Xi = Xj}
K :=∑
i<j I{Xi=Xj}
EK =∑
i<j EI{Xi=Xj}
EK =∑
i<j P{Xi = Xj}
EK =∑
i<j1r
K :=∑
i<j I{Xi=Xj}
EK =∑
i<j EI{Xi=Xj}
EK =∑
i<j P{Xi = Xj}
EK =∑
i<j1r
EK =
(
n
2
)
/ r
1
2
r = 365 n = 2
1
2
r = 365 n = 2
1
2
r = 365 n = 2
1
2
1 Paar
r = 365 n = 2
1
2
1 Paar
EK = 1 / 365 = 0.0027
r = 365 n = 2
1
2
3
r = 365 n = 3
1
2
3
r = 365 n = 3
1
2
3
r = 365 n = 3
1
2
3
3 Paare
r = 365 n = 3
1
2
3
3 Paare
EK = 3 / 365 = 0.0082
r = 365 n = 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r = 365 n = 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r = 365 n = 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r = 365 n = 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
45 Paare
r = 365 n = 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
45 Paare
EK = 45 / 365 = 0.1233
r = 365 n = 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
r = 365 n = 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
r = 365 n = 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
r = 365 n = 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
190 Paare
r = 365 n = 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
190 Paare
EK = 190 / 365 = 0.521
r = 365 n = 20
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
r = 365 n = 30
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
r = 365 n = 30
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
r = 365 n = 30
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
435 Paare
r = 365 n = 30
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
435 Paare
EK = 435 / 365 = 1.1918
r = 365 n = 30
Zusammenfassung
1.
1.
Was ist der Erwartungswert?
1.
Was ist der Erwartungswert?
EX =∑
xP{X = x}
1.
Was ist der Erwartungswert?
EX =∑
xP{X = x}
und
EX = lim X1+...+Xnn
2.
2.
Wie rechnet man EX am besten?
2.
Wie rechnet man EX am besten?
Oft dadurch,
dass man X als Summe schreibt:
2.
Wie rechnet man EX am besten?
Oft dadurch,
dass man X als Summe schreibt:
X = Y1 + ... + Yn
2.
Wie rechnet man EX am besten?
Oft dadurch,
dass man X als Summe schreibt:
X = Y1 + ... + Yn
EX = EY1 + ... + EYn
ENDE