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Der Chi-Quadrat Test
Beispiele
Theorie
N = (Ni) i=1,...I
N = (Ni) i=1,...I
N multinomialverteilt
N ~ M(n,p)
N = (Ni) i=1,...I
N multinomialverteilt
N ~ M(n,p)
N+= n
N = (Ni) i=1,...I
N multinomialverteilt
N ~ M(n,p)
N+= n
p = (pi)
Beobachtungen B = (Bi)
Beobachtungen B = (Bi)
Nullhypothese H0: p = p°
Beobachtungen B = (Bi)
Nullhypothese H0: p = p°
Ist B mit H0 verträglich?
Beobachtungen B = (Bi)
Nullhypothese H0: p = p°
Ist B mit H0 verträglich?
Der Chi-Quadrat Test:
Beobachtungen B = (Bi)
Nullhypothese H0: p = p°
Ist B mit H0 verträglich?
Der Chi-Quadrat Test:
Ei := npi°
Beobachtungen B = (Bi)
Nullhypothese H0: p = p°
Ist B mit H0 verträglich?
Der Chi-Quadrat Test:
Ei := npi°( Unter H0 gilt: E(Ni)=Ei )
Beobachtungen B = (Bi)
Nullhypothese H0: p = p°
Ist B mit H0 verträglich?
Der Chi-Quadrat Test:
Ei := npi°( Unter H0 gilt: E(Ni)=Ei )
Bi - Ei
Beobachtungen B = (Bi)
Nullhypothese H0: p = p°
Ist B mit H0 verträglich?
Der Chi-Quadrat Test:
Ei := npi°( Unter H0 gilt: E(Ni)=Ei )
Bi - Ei
X2 := S(Bi - Ei)2/Ei
Satz:
Für n ---> ∞ gilt
L(X2) ---> c2I-1
Satz:
Für n ---> ∞ gilt
L(X2) ---> c2I-1
(hängt nicht von p ab!)
Satz:
Für n ---> ∞ gilt
L(X2) ---> c2I-1
(hängt nicht von p ab!)
Sei X2 = X2(B):
Satz:
Für n ---> ∞ gilt
L(X2) ---> c2I-1
(hängt nicht von p ab!)
Sei X2 = X2(B):
falls Ws{ c2I-1 > X2 } < 0.05
Satz:
Für n ---> ∞ gilt
L(X2) ---> c2I-1
(hängt nicht von p ab!)
Sei X2 = X2(B):
falls Ws{ c2I-1 > X2 } < 0.05
wird H auf dem 5%-Niveau abgelehnt.
„n ---> ∞“
„n ---> ∞“
Wann ist n groß genug?
„n ---> ∞“
Wann ist n groß genug?
Konservative Faustregel (R):
„n ---> ∞“
Wann ist n groß genug?
Konservative Faustregel (R):
alle Ei ≥ 5
„n ---> ∞“
Wann ist n groß genug?
Konservative Faustregel (R):
alle Ei ≥ 5
Weniger strenge Faustregel:
„n ---> ∞“
Wann ist n groß genug?
Konservative Faustregel (R):
alle Ei ≥ 5
Weniger strenge Faustregel:
80% der Ei ≥ 5
„n ---> ∞“
Wann ist n groß genug?
Konservative Faustregel (R):
alle Ei ≥ 5
Weniger strenge Faustregel:
80% der Ei ≥ 5
alle Ei ≥ 1
Beispiel 1:
Beispiel 1:
The death dip
Können prominente Menschen
ihren Todestag
bis nach ihrem Geburtstag
hinauszögern?
Phillips berechnete
für 1251 verstorbeneprominente Amerikaner
die Verzögerung
V = Todesmonat - Geburtsmonat
Nullhypothese H0
Nullhypothese H0
pi° = 1/12 = 0.08333
Nullhypothese H0
pi°= 1/12 = 0.08333
s (Ni/n) = √(pi° (1-pi°)/n)
Chi-Quadrat Test
Chi-Quadrat Test
Ei = npi° = 1251/12
Chi-Quadrat Test
Ei = npi° = 1251/12
X2 := S(Bi - Ei)2/Ei
Chi-Quadrat Test
Ei = npi° = 1251/12
X2 := S(Bi - Ei)2/Ei
R:
Chi-Quadrat Test
Ei = npi° = 1251/12
X2 := S(Bi - Ei)2/Ei
R:
B<-c(90,100,87,96,101,86,119,118,121,114,113,106)
Chi-Quadrat Test
Ei = npi = 1251/12
X2 := S(Bi - Ei)2/Ei
R:
B<-c(90,100,87,96,101,86,119,118,121,114,113,106)chisq.test(B)
Chi-Quadrat Test
Ei = npi = 1251/12
X2 := S(Bi - Ei)2/Ei
R:
B<-c(90,100,87,96,101,86,119,118,121,114,113,106)chisq.test(B)# Wenn man nichts sagt, nimmt R an, # dass H0: alle pi gleich
Der Chi-Quadrat Test
testet H0
Der Chi-Quadrat Test
testet H0
gegen die Welt.
Der Chi-Quadrat Test
testet H0
gegen die Welt.(Z.B. für ihn ist jede Permutation von B gleich auffällig.)
Der Chi-Quadrat Test
testet H0
gegen die Welt.(Z.B. für ihn ist jede Permutation von B gleich auffällig.)
Uns interessiert
eine viel engere Alternative:
Der Chi-Quadrat Test
testet H0
gegen die Welt.(Z.B. für ihn ist jede Permutation von B gleich auffällig.)
Uns interessiert
eine viel engere Alternative:
wenige Todesfälle vor dem Geburtsmonat
Der Chi-Quadrat Test
testet H0
gegen die Welt.(Z.B. für ihn ist jede Permutation von B gleich auffällig.)
Uns interessiert
eine viel engere Alternative:
wenige Todesfälle vor dem Geburtsmonatviele Todesfälle nach dem Geburtsmonat
Nehmen wir an,das Todessenkung-Phänomen
in einer Vorstudieentdeckt wurde.
Nehmen wir an,das Todessenkung-Phänomen
in einer Vorstudieentdeckt wurde.
Die vorliegende Untersuchunghat zum Ziel,
die schon vorher bestehendeTodessenkung-Hypothese
zu testen.
Dann sollte manden Chi-Quadrat Test
nicht benutzen,
Dann sollte manden Chi-Quadrat Test
nicht benutzen,sondern
einenauf die anvisierte Alternative abgestimmten
Test,
Dann sollte manden Chi-Quadrat Test
nicht benutzen,sondern
einenauf die anvisierte Alternative abgestimmten
Test,der nur auf Abweichungen von H0
in die gegebene Richtungreagiert,
Dann sollte manden Chi-Quadrat Test
nicht benutzen,sondern
einenauf die anvisierte Alternative abgestimmten
Test,der nur auf Abweichungen von H0
in die gegebene Richtungreagiert,
und deswegengrößere Macht hat.
R:
R:
b<-c(370,585)
R:
b<-c(370,585)# 370 Todesfälle in den 4 Monaten vor dem Todesmonat
R:
b<-c(370,585)# 370 Todesfälle in den 4 Monaten vor dem Todesmonat# 585 Todesfälle im Todesmonat und 4 folgenden Monaten
R:
b<-c(370,585)# 370 Todesfälle in den 4 Monaten vor dem Todesmonat# 585 Todesfälle im Todesmonat und 4 folgenden Monaten chisq.test(b,p=c(4,5)/9)
Der Chi-Quadrat Test (II)
Der Chi-Quadrat Test (II)
N ~ M(n,p(q))
Der Chi-Quadrat Test (II)
N ~ M(n,p(q))
q in Mannigfaltigkeit Q
Der Chi-Quadrat Test (II)
N ~ M(n,p(q))
q in Mannigfaltigkeit Q
dim(Q) = r
Der Chi-Quadrat Test (II)
N ~ M(n,p(q))
q in Mannigfaltigkeit Q
dim(Q) = r(D.h. es gibt r unabhängige Parameter.)
Der Chi-Quadrat Test (II)
N ~ M(n,p(q))
q in Mannigfaltigkeit Q
dim(Q) = r(D.h. es gibt r unabhängige Parameter.)
q* = Maximum-Likelihood Schätzer von q
Der Chi-Quadrat Test (II)
N ~ M(n,p(q))
q in Mannigfaltigkeit Q
dim(Q) = r(D.h. es gibt r unabhängige Parameter.)
q* = Maximum-Likelihood Schätzer von q
Ei = npi(q*)
Der Chi-Quadrat Test (II)
N ~ M(n,p(q))
q in Mannigfaltigkeit Q
dim(Q) = r(D.h. es gibt r unabhängige Parameter.)
q* = Maximum-Likelihood Schätzer von q
Ei = npi(q*)
X2 := S(Bi - Ei)2/Ei
SatzFür n ---> ∞
giltL(X2) ---> c2
I-1-r
SatzFür n ---> ∞
giltL(X2) ---> c2
I-1-r
„Man verliert einen Freiheitsgradfür jeden geschätzten Parameter.“
WICHTIGSTE ANWENDUNG
WICHTIGSTE ANWENDUNG
Test auf Homogenität(oder Unabhängigkeit)
in Kontingenztafeln:
WICHTIGSTE ANWENDUNG
Test auf Homogenität(oder Unabhängigkeit)
in Kontingenztafeln:
N = (Nij) i=1...I, j=1...J
WICHTIGSTE ANWENDUNG
Test auf Homogenität(oder Unabhängigkeit)
in Kontingenztafeln:
N = (Nij) i=1...I, j=1...J
H0: pij = ui vj
WICHTIGSTE ANWENDUNG
Test auf Homogenität(oder Unabhängigkeit)
in Kontingenztafeln:
N = (Nij) i=1...I, j=1...J
H0: pij = ui vj
pij* =(Bi+/n) (B+j/n)
WICHTIGSTE ANWENDUNG
Test auf Homogenität(oder Unabhängigkeit)
in Kontingenztafeln:
N = (Nij) i=1...I, j=1...J
H0: pij = ui vj
pij* =(Bi+/n) (B+j/n)
X2 ~ c2(I-1)(J-1)
R:
R:
# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.dat
R:
# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))
R:
# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))
R:
# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))chisq.test(tafel)
R:
# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))chisq.test(tafel)# R nimmt an: Test auf Unabhängigkeit
R:
# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))chisq.test(tafel)# R nimmt an: Test auf Unabhängigkeit# FG = (I-1)(J-1)
Beispiel 2
Beispiel 2
Beispiel 2
Wer schrieb die Paulusbriefe?
A. Q. Morton
zählte die Anzahl der Sätze
in den 10 längsten Paulusbriefen
bei denen das Wort kai (und)
0 mal, 1 mal, 2 mal, ≥3 mal
vorkam.
Ean tais glwssais twn anqrwpwn lalwkai twn aggelwn,
agaphn de mh ecw,gegona calkos hcwn
h kumbalon alalazon.
Ean tais glwssais twn anqrwpwn lalwkai twn aggelwn,
agaphn de mh ecw,gegona calkos hcwn
h kumbalon alalazon.
Wenn ich mit Menschenund mit Engel zungen redet
und hette die Liebe nichtSo were ich ein donend Ertzoder eine klingende Schelle.
i.Cor.13
Ean tais glwssais twn anqrwpwn lalwkai twn aggelwn,
agaphn de mh ecw,gegona calkos hcwn
h kumbalon alalazon.
Wenn ich mit Menschenund mit Engel zungen redet
und hette die Liebe nichtSo were ich ein donend Ertzoder eine klingende Schelle.
i.Cor.13
Ean tais glwssais twn anqrwpwn lalwkai twn aggelwn,
agaphn de mh ecw,gegona calkos hcwn
h kumbalon alalazon.
Wenn ich mit Menschenund mit Engel zungen redet
und hette die Liebe nichtSo were ich ein donend Ertzoder eine klingende Schelle.
i.Cor.13
Die einzelnen Bücher
im Vergleich
zu den restlichen.
Test auf Homogenität
alle 10 Briefe
Test auf Homogenität
alle 10 Briefe
Pearson's Chi-squared test
data: m X-squared = 185.0114, df = 27, p-value = < 2.2e-16
Welche Paare
von Briefen
sind miteinander
verträglich?
p-Wertevon paarweisen Chi-Quadrat Testen
der einzelnen Bücher
p-Wertevon paarweisen Chi-Quadrat Testen
der einzelnen Bücher
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 1.000 0.969 0.157 0.386 0.000 0.000 0.000 0.000 0.018 0.000 [2,] 0.969 1.000 0.064 0.416 0.000 0.000 0.000 0.000 0.008 0.000 [3,] 0.157 0.064 1.000 0.040 0.000 0.000 0.000 0.028 0.460 0.034 [4,] 0.386 0.416 0.040 1.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.000 [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.274 0.237 0.143 0.154 0.152 [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.274 1.000 0.032 0.026 0.016 0.005 [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.237 0.032 1.000 0.205 0.024 0.017 [8,] 0.000 0.000 0.028 0.001 0.143 0.026 0.205 1.000 0.422 0.549 [9,] 0.018 0.008 0.460 0.003 0.154 0.016 0.024 0.422 1.000 0.782[10,] 0.000 0.000 0.034 0.000 0.152 0.005 0.017 0.549 0.782 1.000
p-Wertevon paarweisen Chi-Quadrat Testen
der einzelnen Bücher
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 1.000 0.969 0.157 0.386 0.000 0.000 0.000 0.000 0.018 0.000 [2,] 0.969 1.000 0.064 0.416 0.000 0.000 0.000 0.000 0.008 0.000 [3,] 0.157 0.064 1.000 0.040 0.000 0.000 0.000 0.028 0.460 0.034 [4,] 0.386 0.416 0.040 1.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.000 [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.274 0.237 0.143 0.154 0.152 [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.274 1.000 0.032 0.026 0.016 0.005 [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.237 0.032 1.000 0.205 0.024 0.017 [8,] 0.000 0.000 0.028 0.001 0.143 0.026 0.205 1.000 0.422 0.549 [9,] 0.018 0.008 0.460 0.003 0.154 0.016 0.024 0.422 1.000 0.782[10,] 0.000 0.000 0.034 0.000 0.152 0.005 0.017 0.549 0.782 1.000
p-Wertevon paarweisen Chi-Quadrat Testen
der einzelnen Bücher
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 1.000 0.969 0.157 0.386 0.000 0.000 0.000 0.000 0.018 0.000 [2,] 0.969 1.000 0.064 0.416 0.000 0.000 0.000 0.000 0.008 0.000 [3,] 0.157 0.064 1.000 0.040 0.000 0.000 0.000 0.028 0.460 0.034 [4,] 0.386 0.416 0.040 1.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.000 [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.274 0.237 0.143 0.154 0.152 [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.274 1.000 0.032 0.026 0.016 0.005 [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.237 0.032 1.000 0.205 0.024 0.017 [8,] 0.000 0.000 0.028 0.001 0.143 0.026 0.205 1.000 0.422 0.549 [9,] 0.018 0.008 0.460 0.003 0.154 0.016 0.024 0.422 1.000 0.782[10,] 0.000 0.000 0.034 0.000 0.152 0.005 0.017 0.549 0.782 1.000
{1,2,3,4} {5,8,9,10} {6} {7}
{1,2,3,4} = Römer1 Korinther2 KorintherGalater
{1,2,3,4} = Römer1 Korinther2 KorintherGalater
{5,8,9,10} = Epheser1 Timotheus2 TimotheusHebräer
{1,2,3,4} = Römer1 Korinther2 KorintherGalater
{5,8,9,10} = Epheser1 Timotheus2 TimotheusHebräer
{6} = Philipper
{1,2,3,4} = Römer1 Korinther2 KorintherGalater
{5,8,9,10} = Epheser1 Timotheus2 TimotheusHebräer
{6} = Philipper
{7} = Kolosser
R:
Zwei Fälle „automatisch“
p = po
pij = ui vj
Andere „per Hand“
Andere „per Hand“
# b = Beobachtungsvektor
Andere „per Hand“
# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen
Andere „per Hand“
# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgrade
Andere „per Hand“
# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)
Andere „per Hand“
# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)# p-Wert nicht trauen! Freiheitsgrade falsch!
Andere „per Hand“
# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)# p-Wert nicht trauen! Freiheitsgrade falsch!x2<-chi2test$statistic
Andere „per Hand“
# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)# p-Wert nicht trauen! Freiheitsgrade falsch!x2<-chi2test$statisticpWert<-1-pchisq(x2,FG)
BEISPIEL:
Selektion
bei der Tangfliege
Coelopa frigida
Die Tangfliege
Coelopa frigida
Im faulenden Tang
gärt es stark.
Im faulenden Tang
gärt es stark.
Ethanol ist giftig.
Enzym
Alkohol dehydrogenase
ADH
Gen
Adh
Gen
Adh
Drei Allele
B, C, D
Gen
Adh
Drei Allele
B, C, D
Sechs Genotypen
BB BC BD CC CD DD
Sechs Genotypen
BB BC BD CC CD DD
Sechs Genotypen
BB BC BD CC CD DD
Bei Zufallspaarung
Sechs Genotypen
BB BC BD CC CD DD
Bei Zufallspaarung
pB2 2pBpC 2pBpD pC
2 2pCpD pD2
pB = Häufigkeit von B, usw.
Sechs Genotypen
BB BC BD CC CD DD
Bei Zufallspaarung
pB2 2pBpC 2pBpD pC
2 2pCpD pD2
pB = Häufigkeit von B, usw.
Hardy-Weinberg Gleichgewicht
Eine Stichprobe von n = 646 adulten Fliegen
aus Portsmouth, England (1980)
Eine Stichprobe von n = 646 adulten Fliegen
aus Portsmouth, England (1980)
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Eine Stichprobe von n = 646 adulten Fliegen
aus Portsmouth, England (1980)
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Sind diese Datenmit Hardy-Weinberg Gleichgewicht
verträglich?
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Parameter des Modells:
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Parameter des Modells:
pB, pC, pD
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Parameter des Modells:
pB, pC, pD
Maximum-Likelihood Schätzer
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Parameter des Modells:
pB, pC, pD
Maximum-Likelihood Schätzer
pB*
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Parameter des Modells:
pB, pC, pD
Maximum-Likelihood Schätzer
pB*=
( 2(104)+36+334 )/(2n)
b = (104, 36, 334, 12, 50, 110) BB BC BD CC CD DD
Parameter des Modells:
pB, pC, pD
Maximum-Likelihood Schätzer
pB*=
( 2(104)+36+334 )/(2n)= 0.447
pB* = 0.447
pB* = 0.447
Analog
pC* = 0.086
pB* = 0.447
Analog
pC* = 0.086
pD* = 0.467
pB* = 0.447
Analog
pC* = 0.086
pD* = 0.467
Für die Genotypen
pB* = 0.447
Analog
pC* = 0.086
pD* = 0.467
Für die Genotypen
p* = ( 0.200, 0.076, 0.418, 0.007, 0.080, 0.219 )
Warumkein Hardy-Weinberg Gleichgewicht?
Warumkein Hardy-Weinberg Gleichgewicht?
Eine mögliche Erklärung:
Warumkein Hardy-Weinberg Gleichgewicht?
Eine mögliche Erklärung:
Selektion
Warumkein Hardy-Weinberg Gleichgewicht?
Eine mögliche Erklärung:
Selektion
Einige Genotypen überleben besser.
Um diese Möglichkeit zu prüfen,
erhob man zur selben Zeit
eine Stichprobe
von präadulten Fliegen.
