Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 1 Spezielle Tests Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Anteilswerte

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

19.1.2006

1

Spezielle Tests

• Test auf einen Anteilswert (Binomialtest)

• Vergleich zweier Anteilswerte

• Test auf einen Mittelwert(Ein-Stichproben Gauss bzw. t-Test)

• Vergleich zweier Mittelwerte (t-Test)


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Test auf einen Anteilswert (Binomialtest)

Beispiel:Untersucht werden soll ein Präparat zur Rückbildung von Tumoren

Dabei:Weiterentwicklung des Präparats bei Rückbildungin mindestens 40% der Fälle

H0: ≤ 40%H1: > 40%

: Anteil der Fälle, in denen sich der Tumor zurückbildet

„Erfolgswahrscheinlichkeit“


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Exakter Binomialtest

Y: Anzahl der ErfolgeLehne H0 zugunsten von H1 ab, falls

Y > c

Berechnung des kritischen Wertes

Hier: = 0.05,H0: ≤ 40% vs. H1: > 40%

n = 10: c = 7

n = 20: c = 12

n = 100: c = 48

%48

%60

%70

nc

nc

nc


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Berechnung des Fehlers 2. Art

Signifikanzniveau: = 0.05, = P(H0 wird beibehalten | H1): wahre Erfolgswahrscheinlichkeit1- : Teststärke (Power)

n = 10: = 0.45 = 0.97 = 0.6 = 0.83 = 0.8 = 0.32

n = 20: = 0.45 = 0.94 = 0.6 = 0.58 = 0.8 = 0.03

n = 100: = 0.45 = 0.75 = 0.6 = 0.01 = 0.8 = 0.000


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Beachte:

Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art abhängig von

• wahrer Erfolgswahrscheinlichkeit, d.h. der Abweichung von H0

• Stichprobenumfang

Für große N:Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

approximativer Binomialtest


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Vergleich zweier Anteilswerte

Beispiel:Verglichen werden soll ein neues Präparat zur Rückbildung von Tumoren mit einem Standardpräparat.

1: Erfolgswahrscheinlichkeit Standardpräparat2: Erfolgswahrscheinlichkeit neues Präparat

Zweiseitiger Test:

H0: 2 = 1 vs. H1: 2 ≠ 1

Randomisierte Studie mit je n = 30 für Standardpräparat und m=30 für neues Präparat.


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Ergebnis wird in Form einer Vierfeldertafel dargestellt:

Erfolgsanteile:

Erfolg kein Erfolg Summe

Standardpräparat 10 20 30

neues Präparat 15 15 30

25 35 60

60

25

60

1510ˆ:

ˆ%50:Präparat

ˆ%33:äparatStandardpr

0

2

1

30

1530

10

HUnter

neues


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Es gibt 2 Möglichkeiten zur Berechnung der Testgröße:

1. Verwendung des approximativen Binomialtests. Testgröße Z ist approximativ N(0,1)-verteilt:

mn

Z11

)ˆ1(ˆ

ˆˆ 21


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Im Beispiel:

Z = 1.31

Kritischer Wert (zweiseitig) für α=0.05 ist 1.96.

Also |Z| < 1.96. Damit kann H0 nicht abgelehnt werden!

2. Möglichkeit (äquivalent zu Möglichkeit 1).

H0 ist äquivalent zur Hypothese, dass die Merkmale Erfolg und

Präparat unabhängig sind! Berechne Pearsons Chi-Quadrat (siehe Vorlesung vom 8.12.2005!) und führe einen Chi-Quadrat-Test durch. Im Beispiel:


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!:

84.371.1:

.84.305.0

.1

71.1

0

2

220

2

ablehnennichtHDamit

Also

ist

fürWertkritischeDerradFreiheitsgmit

verteiltivapproximatistHUnter


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Es gilt:

Deshalb sind beide Möglichkeiten äquivalent.

Bemerkungen:1. Bei kleinen Stichprobenumfängen sollte der exakte Test nach Fisher verwendet werden.2. Der obige Test lässt sich auf einseitige Fragestellungen übertragen, z.B. H0: 1 ≥ 2 vs. H1: 1 < 2

84.396.1:

71.131.12

222

WerteKritische

Z


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Test auf einen bestimmten Mittelwert

Beispiel:Ist Mittelwert eines Laborparameters in behandelter Population größer als Standardwert 0 = 15.5?

Gauss-Test: Hypothesen: H0: ≤ 0 vs. H1: > 0

Annahme: Laborparameter normalverteilt mit Standardabweichung = 2.0 (bekannt)

Daten: y1, …, yn mit Mittelwert

Testvorschrift: Lehne H0 ab, falls ≥ cc = 0 + z1- x

für = 0.05 bzw. 1.64

iyn1y

y

n

10 zn

y


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In der Praxis ist die Annahme bekannter Streuung häufig unrealistisch

Schätzung der Streuung aus den Daten

t-Test (Ein-Stichproben-Fall)

Hypothesen: H0: ≤ 0 vs. H1: > 0

Annahme: Laborparameter normalverteiltDaten: y1, …, yn mit

Lehne H0 ab, falls T > t1-(n-1)t1-(n-1): (1-)-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden

ns

yT

yy1n

1²s

0

n

1i

2i


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Daten aus dem Beispiel:

t-Test:

= 0.05t0.95(10) = 1.813.29 > 1.81 H0 wird abgelehnt

p-Wert: 0.019

Gauss-Test: Annahme = 5

= 21.39 > 17.97 H0 wird abgelehnt

26.2310.1027.2715.2686.2333.2007.1607.2884.1992.1343.261110987654321 yyyyyyyyyyy

29.3ns

5.15yt

24.35s ,39.21y 2

97.1764.11155.15c

y


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Bemerkungen:• Häufig wird die zweiseitige Fragestellung

verwendet.

Testvorschrift (Gauss-Test)Lehne H0 ab, falls

• Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) sind t-Test und Gauss-Test praktisch identisch.

• Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) ist die Normalverteilungsannahme nicht erforderlich.

• Das Auftreten von Ausreißern kann zu falschen Testentscheidungen führen.

0100 :H vs. :H

0.05für 96.1z

zny

21

21

0


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Vergleich zweier Mittelwerte

Beispiel: Vergleich zweier FuttermittelZielgröße: Gewichtszunahme2 unabhängige Stichproben (jeweils n = 6)

Futtermittel A: 22, 21, 18, 16, 22, 17Futtermittel B: 20, 22, 17, 13, 17, 18

1: Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 12: Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 2

Fragestellung: Gibt es Unterschiede zwischen den Futtermitteln?

211210 :H vs. :H


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Zwei-Stichproben t-Test

Annahme: Unabhängige normalverteilte Stichproben mit gleicher Varianz

Hypothesen:

Teststatistik:

Lehne H0 ab, falls

211210 :H vs. :H

m ..., 1, ,N~Y

n ..., 1, ,N~Y2

2B

21A

l

k

l

k

2mn

s1ms1ns mit

m1

n1

s

yyT

2yB

2yA2

p

p

BA

2mntT2

1


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Im Beispiel:

t = 0.9064

Kritischer Wert: 2.28

0.9064 < 2.28 H0 wird nicht abgelehnt

p-Wert: 0.3865

5.1YY

83.17181713172220Y

33.19172216182122Y

BA

61

B

61

A


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Zusammenfassung I (was Sie können müssen)

• Beide Möglichkeiten für Tests zum Vergleich zweier Anteilswerte (zweiseitige Fragestellung)

• Ein-Stichproben Gauss-Test und Ein-Stichproben t-Test (ein –und zweiseitige Fragestellung)

• Zwei-Stichproben t-Test (zweiseitige Fragestellung)• Die kritischen Werte werden Ihnen vorgegeben


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Bestimmung der erforderlichen Tierzahl

• Allgemeines Vorgehen

• Exakter Binomialtest

• t-Test

• Fisher-Test zum Vergleich zweier Anteile


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Festlegung der wissenschaftlichen Fragestellung

Typ der Studie:

• Orientierungsstudie• Vergleichsstudie• Äquivalenzstudie

Festlegung der

• Hauptzielgrößen• Nebenzielgrößen


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Festlegung der statistischen Auswertungsstrategie

Häufig:Bestimmung des Stichprobenumfangs durch primäreFragestellungDazu sind folgende Angaben notwendig:

• Art des statistischen Tests

-Fehler (meist 1% oder 5%)

-Fehler (meist 0.2)

• Größe des nachzuweisenden Effekts


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Beispiel: Präparat zur Rückbildung von Tumoren

Vergleichsstudie (mit Standardwert = 40%)Hauptzielgröße: Anteil der rückgebildeten TumorenTestverfahren: Exakter Binomialtest

H0: = 40% vs. H1: > 40%Biol. rel. Unterschied: d = 20%PunkteSignifikanzniveau: = 0.05Fehler 2. Art: 0.20

Wahl des Stichprobenumfangs N:N = 20, = 60%, = 0.58 zu kleinN = 100, = 60%, = 0.01 zu groß

Wähle kleinstes N, dass 0.20 erfülltN = 42, = 60%, = 0.197


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Bestimmung des Stichprobenumfangs beim t-Test

Vergleich zweier Futtermittel (Daten aus Beispiel werden als Vorstudie verwendet)Typus: VergleichsstudieZielgröße: GewichtszunahmeBiol. rel. Unterschied: d = 2Signifikanzniveau: = 0.05Fehler 2. Art: = 0.2

Test:Annahme Streuung aus Vorstudie: = 3

Relevante Größe:

Aus Tabelle (Bock, 1998): N = 74

Gruppengröße: n1 = n2 = 37

BA1BA0 :H vs. :H

32d


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Nötige Angaben zur Fallzahlberechnung

• Signifikanzniveau • Fehler 2. Art • biologisch relevante Differenz d• Annahme zur Streuung

Einige Werte für Stichprobenumfang N unter = 0.05, = 0.2(zweiseitige Fragestellung Zwei-Stichproben t-Test)

d/ n1 = n2

3.08 3

2.0 5

1.13 10

1 17

0.66 37

0.58 50


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Bestimmung der Stichprobenumfangs

Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten

Vergleich zweier Behandlungen

Typus: VergleichsstudieZielgröße: Behandlungserfolg (Ja/Nein)Biol. rel. Untersch.: 10% 80%

40% 60%Signifikanzniveau: = 0.05Fehler 2. Art: = 0.2

Test:

Aus Tabelle (Bock, 1998)Umfang pro Gruppe n10% 80% n = 840% 60% n = 84

2121 p vs. ppp


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Wichtig:

Erforderliche Tierzahl ist in jedem Einzelfall neu zu bestimmen und zu begründen

also:

allgemeingültige Angaben von erforderlichen Tierzahlen nicht sinnvoll


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Zusammenfassung II (was Sie wissen müssen für den zweiseitigen t-Test)

• Für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1.Art und 2.Art hängt der erforderliche Stichprobenumfang von dem nachzuweisenden Unterschied (der biologisch relevant sein sollte) und der Streuung ab

• Je kleiner der nachzuweisende Unterschied, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus)

• Je größer die Streuung, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus)


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Literaturhinweise:

1. Bock, J. (1998): Bestimmung des Stichprobenumfangs.R. Oldenbourg Verlag, München Wien

2. Cavalli-Sforza, L. (1969): Biometrie: Grundzüge biologisch-medizinischer Statistik.Gustav Fischer Verlag, Stuttgart

3. Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I., Tutz, G. (2003): Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.Springer Verlag Berlin – Heidelberg

4. Lorenz, R.J. (1996): Grundbegriffe der Biometrie. 4. Auflage.Gustav Fischer Verlag, Stuttgart – New York

5. Mead, R., Curnow, R.N. (1983): Statistical Methods in Agriculture and Experimental Biology.Chapman and Hall, London – New York

6. www.stat.uiowa.edu/~rlenth/Power

http://www.stat.uiowa.edu/~rlenth/Power




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