Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin
19.1.2006
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Spezielle Tests
• Test auf einen Anteilswert (Binomialtest)
• Vergleich zweier Anteilswerte
• Test auf einen Mittelwert(Ein-Stichproben Gauss bzw. t-Test)
• Vergleich zweier Mittelwerte (t-Test)
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Test auf einen Anteilswert (Binomialtest)
Beispiel:Untersucht werden soll ein Präparat zur Rückbildung von Tumoren
Dabei:Weiterentwicklung des Präparats bei Rückbildungin mindestens 40% der Fälle
H0: ≤ 40%H1: > 40%
: Anteil der Fälle, in denen sich der Tumor zurückbildet
„Erfolgswahrscheinlichkeit“
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Exakter Binomialtest
Y: Anzahl der ErfolgeLehne H0 zugunsten von H1 ab, falls
Y > c
Berechnung des kritischen Wertes
Hier: = 0.05,H0: ≤ 40% vs. H1: > 40%
n = 10: c = 7
n = 20: c = 12
n = 100: c = 48
%48
%60
%70
nc
nc
nc
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Berechnung des Fehlers 2. Art
Signifikanzniveau: = 0.05, = P(H0 wird beibehalten | H1): wahre Erfolgswahrscheinlichkeit1- : Teststärke (Power)
n = 10: = 0.45 = 0.97 = 0.6 = 0.83 = 0.8 = 0.32
n = 20: = 0.45 = 0.94 = 0.6 = 0.58 = 0.8 = 0.03
n = 100: = 0.45 = 0.75 = 0.6 = 0.01 = 0.8 = 0.000
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Beachte:
Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art abhängig von
• wahrer Erfolgswahrscheinlichkeit, d.h. der Abweichung von H0
• Stichprobenumfang
Für große N:Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
approximativer Binomialtest
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Vergleich zweier Anteilswerte
Beispiel:Verglichen werden soll ein neues Präparat zur Rückbildung von Tumoren mit einem Standardpräparat.
1: Erfolgswahrscheinlichkeit Standardpräparat2: Erfolgswahrscheinlichkeit neues Präparat
Zweiseitiger Test:
H0: 2 = 1 vs. H1: 2 ≠ 1
Randomisierte Studie mit je n = 30 für Standardpräparat und m=30 für neues Präparat.
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Ergebnis wird in Form einer Vierfeldertafel dargestellt:
Erfolgsanteile:
Erfolg kein Erfolg Summe
Standardpräparat 10 20 30
neues Präparat 15 15 30
25 35 60
60
25
60
1510ˆ:
ˆ%50:Präparat
ˆ%33:äparatStandardpr
0
2
1
30
1530
10
HUnter
neues
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Es gibt 2 Möglichkeiten zur Berechnung der Testgröße:
1. Verwendung des approximativen Binomialtests. Testgröße Z ist approximativ N(0,1)-verteilt:
mn
Z11
)ˆ1(ˆ
ˆˆ 21
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Im Beispiel:
Z = 1.31
Kritischer Wert (zweiseitig) für α=0.05 ist 1.96.
Also |Z| < 1.96. Damit kann H0 nicht abgelehnt werden!
2. Möglichkeit (äquivalent zu Möglichkeit 1).
H0 ist äquivalent zur Hypothese, dass die Merkmale Erfolg und
Präparat unabhängig sind! Berechne Pearsons Chi-Quadrat (siehe Vorlesung vom 8.12.2005!) und führe einen Chi-Quadrat-Test durch. Im Beispiel:
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!:
84.371.1:
.84.305.0
.1
71.1
0
2
220
2
ablehnennichtHDamit
Also
ist
fürWertkritischeDerradFreiheitsgmit
verteiltivapproximatistHUnter
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Es gilt:
Deshalb sind beide Möglichkeiten äquivalent.
Bemerkungen:1. Bei kleinen Stichprobenumfängen sollte der exakte Test nach Fisher verwendet werden.2. Der obige Test lässt sich auf einseitige Fragestellungen übertragen, z.B. H0: 1 ≥ 2 vs. H1: 1 < 2
84.396.1:
71.131.12
222
WerteKritische
Z
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Test auf einen bestimmten Mittelwert
Beispiel:Ist Mittelwert eines Laborparameters in behandelter Population größer als Standardwert 0 = 15.5?
Gauss-Test: Hypothesen: H0: ≤ 0 vs. H1: > 0
Annahme: Laborparameter normalverteilt mit Standardabweichung = 2.0 (bekannt)
Daten: y1, …, yn mit Mittelwert
Testvorschrift: Lehne H0 ab, falls ≥ cc = 0 + z1- x
für = 0.05 bzw. 1.64
iyn1y
y
n
10 zn
y
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In der Praxis ist die Annahme bekannter Streuung häufig unrealistisch
Schätzung der Streuung aus den Daten
t-Test (Ein-Stichproben-Fall)
Hypothesen: H0: ≤ 0 vs. H1: > 0
Annahme: Laborparameter normalverteiltDaten: y1, …, yn mit
Lehne H0 ab, falls T > t1-(n-1)t1-(n-1): (1-)-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
ns
yT
yy1n
1²s
0
n
1i
2i
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Daten aus dem Beispiel:
t-Test:
= 0.05t0.95(10) = 1.813.29 > 1.81 H0 wird abgelehnt
p-Wert: 0.019
Gauss-Test: Annahme = 5
= 21.39 > 17.97 H0 wird abgelehnt
26.2310.1027.2715.2686.2333.2007.1607.2884.1992.1343.261110987654321 yyyyyyyyyyy
29.3ns
5.15yt
24.35s ,39.21y 2
97.1764.11155.15c
y
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Bemerkungen:• Häufig wird die zweiseitige Fragestellung
verwendet.
Testvorschrift (Gauss-Test)Lehne H0 ab, falls
• Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) sind t-Test und Gauss-Test praktisch identisch.
• Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) ist die Normalverteilungsannahme nicht erforderlich.
• Das Auftreten von Ausreißern kann zu falschen Testentscheidungen führen.
0100 :H vs. :H
0.05für 96.1z
zny
21
21
0
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Vergleich zweier Mittelwerte
Beispiel: Vergleich zweier FuttermittelZielgröße: Gewichtszunahme2 unabhängige Stichproben (jeweils n = 6)
Futtermittel A: 22, 21, 18, 16, 22, 17Futtermittel B: 20, 22, 17, 13, 17, 18
1: Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 12: Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 2
Fragestellung: Gibt es Unterschiede zwischen den Futtermitteln?
211210 :H vs. :H
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Zwei-Stichproben t-Test
Annahme: Unabhängige normalverteilte Stichproben mit gleicher Varianz
Hypothesen:
Teststatistik:
Lehne H0 ab, falls
211210 :H vs. :H
m ..., 1, ,N~Y
n ..., 1, ,N~Y2
2B
21A
l
k
l
k
2mn
s1ms1ns mit
m1
n1
s
yyT
2yB
2yA2
p
p
BA
2mntT2
1
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Im Beispiel:
t = 0.9064
Kritischer Wert: 2.28
0.9064 < 2.28 H0 wird nicht abgelehnt
p-Wert: 0.3865
5.1YY
83.17181713172220Y
33.19172216182122Y
BA
61
B
61
A
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Zusammenfassung I (was Sie können müssen)
• Beide Möglichkeiten für Tests zum Vergleich zweier Anteilswerte (zweiseitige Fragestellung)
• Ein-Stichproben Gauss-Test und Ein-Stichproben t-Test (ein –und zweiseitige Fragestellung)
• Zwei-Stichproben t-Test (zweiseitige Fragestellung)• Die kritischen Werte werden Ihnen vorgegeben
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Bestimmung der erforderlichen Tierzahl
• Allgemeines Vorgehen
• Exakter Binomialtest
• t-Test
• Fisher-Test zum Vergleich zweier Anteile
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Festlegung der wissenschaftlichen Fragestellung
Typ der Studie:
• Orientierungsstudie• Vergleichsstudie• Äquivalenzstudie
Festlegung der
• Hauptzielgrößen• Nebenzielgrößen
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Festlegung der statistischen Auswertungsstrategie
Häufig:Bestimmung des Stichprobenumfangs durch primäreFragestellungDazu sind folgende Angaben notwendig:
• Art des statistischen Tests
-Fehler (meist 1% oder 5%)
-Fehler (meist 0.2)
• Größe des nachzuweisenden Effekts
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Beispiel: Präparat zur Rückbildung von Tumoren
Vergleichsstudie (mit Standardwert = 40%)Hauptzielgröße: Anteil der rückgebildeten TumorenTestverfahren: Exakter Binomialtest
H0: = 40% vs. H1: > 40%Biol. rel. Unterschied: d = 20%PunkteSignifikanzniveau: = 0.05Fehler 2. Art: 0.20
Wahl des Stichprobenumfangs N:N = 20, = 60%, = 0.58 zu kleinN = 100, = 60%, = 0.01 zu groß
Wähle kleinstes N, dass 0.20 erfülltN = 42, = 60%, = 0.197
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Bestimmung des Stichprobenumfangs beim t-Test
Vergleich zweier Futtermittel (Daten aus Beispiel werden als Vorstudie verwendet)Typus: VergleichsstudieZielgröße: GewichtszunahmeBiol. rel. Unterschied: d = 2Signifikanzniveau: = 0.05Fehler 2. Art: = 0.2
Test:Annahme Streuung aus Vorstudie: = 3
Relevante Größe:
Aus Tabelle (Bock, 1998): N = 74
Gruppengröße: n1 = n2 = 37
BA1BA0 :H vs. :H
32d
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Nötige Angaben zur Fallzahlberechnung
• Signifikanzniveau • Fehler 2. Art • biologisch relevante Differenz d• Annahme zur Streuung
Einige Werte für Stichprobenumfang N unter = 0.05, = 0.2(zweiseitige Fragestellung Zwei-Stichproben t-Test)
d/ n1 = n2
3.08 3
2.0 5
1.13 10
1 17
0.66 37
0.58 50
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Bestimmung der Stichprobenumfangs
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten
Vergleich zweier Behandlungen
Typus: VergleichsstudieZielgröße: Behandlungserfolg (Ja/Nein)Biol. rel. Untersch.: 10% 80%
40% 60%Signifikanzniveau: = 0.05Fehler 2. Art: = 0.2
Test:
Aus Tabelle (Bock, 1998)Umfang pro Gruppe n10% 80% n = 840% 60% n = 84
2121 p vs. ppp
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Wichtig:
Erforderliche Tierzahl ist in jedem Einzelfall neu zu bestimmen und zu begründen
also:
allgemeingültige Angaben von erforderlichen Tierzahlen nicht sinnvoll
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Zusammenfassung II (was Sie wissen müssen für den zweiseitigen t-Test)
• Für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1.Art und 2.Art hängt der erforderliche Stichprobenumfang von dem nachzuweisenden Unterschied (der biologisch relevant sein sollte) und der Streuung ab
• Je kleiner der nachzuweisende Unterschied, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus)
• Je größer die Streuung, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus)
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Literaturhinweise:
1. Bock, J. (1998): Bestimmung des Stichprobenumfangs.R. Oldenbourg Verlag, München Wien
2. Cavalli-Sforza, L. (1969): Biometrie: Grundzüge biologisch-medizinischer Statistik.Gustav Fischer Verlag, Stuttgart
3. Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I., Tutz, G. (2003): Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.Springer Verlag Berlin – Heidelberg
4. Lorenz, R.J. (1996): Grundbegriffe der Biometrie. 4. Auflage.Gustav Fischer Verlag, Stuttgart – New York
5. Mead, R., Curnow, R.N. (1983): Statistical Methods in Agriculture and Experimental Biology.Chapman and Hall, London – New York
6. www.stat.uiowa.edu/~rlenth/Power