Harald Garcke

Mathematische Modellierung

Vorlesung Sommersemester 2020

4. August 2020

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Was ist Modellierung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Infektionsdynamik 3

1.3 Komplexere Ansatze fur die Epidemien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Epidemien ohne Immunisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Epidemien mit Immunisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Das SEIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Verallgemeinerte SEIR-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Entdimensionalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 Populationsmodell mit beschrankten Ressourcen . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Dimensionsanalyse und Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11 Asymptotische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Grundlagen fur die Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Einige Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Teilchenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Von der Teilchenmechanik zum kontinuierlichen Medium . . . . 40

2.6 Grundlagen der Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Erhaltungssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Dichtefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4 Inhaltsverzeichnis

3.2 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Erhaltungsgleichungen fur Mehrkomponentensysteme . . . . . . . 59

4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in derKontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Dissipationsungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Konstitutive Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Die Legendre–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5 Legendre Transformation der freien Energie . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 Beispiele von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.8 Vollstandiges Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.9 Rechnen mit Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.10 Bemerkung (Legendre-Transformation mittelsDifferentialformen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.11 Anwendungen in der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.12 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.13 Die Methode der Lagrange–Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Beobachterunabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Prinzip der Beobachterunabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3 Isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4 Konsequenzen aus Isotropie und Beobachterunabhangigkeit . . 83

5.5 Isotroper Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.6 Konstitutive Theorie fur viskose Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 85

5.7 Grundinvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.8 Satz von Rivlin–Ericksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Stromungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1 Reibungsfreie Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Inhaltsverzeichnis 5

6.2 Inkompressibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.3 Inkompressible reibungsfreie Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4 Eine einfache Losung der Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.5 Das Navier–Stokes–System fur isotherme kompressibleviskose Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.6 Die Navier–Stokes–Gleichungen fur inkompressible viskoseStromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.7 Die Stokes–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.8 Die Couette–Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.9 Die Poiseuille–Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.10 Potentialstromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.11 Satz von Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.12 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.13 Inkompressible Potentialstromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.14 Ebene Potentialstromungen, die Methode der komplexenVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.15 Komplexe Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.16 Komplexe Potentiale und Stromfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.17 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.18 Satz von Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.19 Satz von Kutta–Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.20 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.21 Helmholtz–Hodge Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.22 Eine Minimierungseigenschaft von Potentialstromungen . . . . . 110

6.23 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.24 Dimensionsanalyse zur Navier–Stokes Gleichung . . . . . . . . . . . . 113

6.25 Gesetze fur den Stromungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.26 Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.27 Beispiel 1 zu Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.28 Beispiel 2 zu Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.29 Asymptotische Entwicklungen fur Grenzschichten . . . . . . . . . . . 122

6.30 Die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.31 Zusammenfassung zu den PrandtlschenGrenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 Inhaltsverzeichnis

7 Modellierung elastischer Feststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.2 Veranderung von Abstanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.3 Veranderung von Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.4 Verzerrungstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.6 Linearisierter Deformationstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.7 Wurzel aus C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.8 Struktur der Verzerrungstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.9 Dehnungstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.10 Der Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.11 Die Elastizitatsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.12 Linear elastisches Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.13 Isotropes Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.14 Differentialgleichungen der linearen Elastizitat . . . . . . . . . . . . . 145

7.15 Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.16 Lineare Elastizitatstheorie im statischen Fall . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.17 Linearisierte Starrkorperverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.18 Kornsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.19 Zulassige Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.20 Primale und duale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.21 Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8 Diffusionsprozesse und parabolische Differentialgleichungen157

8.1 Herleitung der Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.2 Entdimensionalisierung der Warmeleitungsgleichung . . . . . . . . 158

8.3 Anfangs- und Randbedingungen fur dieWarmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4 Eindeutigkeit von Losungen, die Energiemethode . . . . . . . . . . . 160

8.5 Verhalten fur große Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.6 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.7 Entdimensionalisierung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.8 Separation der Variablen und Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . 166

8.9 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Inhaltsverzeichnis 7

8.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.11 Die Fundamentallosung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.12 Diffusionszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.13 Invariante Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.14 Allgemeine Anfangswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.15 Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.16 Laufende Wellen -”Travelling Waves“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.17 Reaktions–Diffusions–Gleichung und Laufende Wellen . . . . . . . 181

8.18 Turing–Instabilitat und Musterbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

A.1 Prinzip der linearisierten Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Kapitel 1

Einfuhrung

1.1 Was ist Modellierung?

Mit Modellierung bezeichnet man die Umsetzung konkreter Probleme ausAnwendungswissenschaften wie etwa der Physik, der Technik, der Chemie,der Biologie, den Wirtschaftswissenschaften, oder der Verkehrsplanung in ei-ne wohldefinierte mathematische Aufgabenstellung. Bei der mathematischenAufgabenstellung kann es sich zum Beispiel um eine Gleichung handeln, oderein System aus mehreren Gleichungen, eine gewohnliche oder partielle Diffe-rentialgleichung, oder ein System aus solchen Gleichungen, ein Optimierungs-problem, bei komplizierteren Fallen auch um eine Kombination solcher Pro-bleme. Die Aufgabenstellung ist wohlgestellt, wenn sie eine eindeutige Losungbesitzt, und wenn diese Losung stetig von ihren Daten abhangt. In der Regelsind die zu beschreibenden Phanomene sehr komplex, und es ist nicht moglichoder nicht sinnvoll, alle Aspekte bei der Modellierung zu berucksichtigen, weilzum Beispiel

• nicht alle dafur notwendigen Daten bekannt sind,

• das gewonnene Modell sich nicht mehr losen lasst, oder eine (numerische)Losung zu (zeit- und ressourcen-) aufwandig ist, oder man die Wohlge-stelltheit des Modells nicht nachweisen kann.

Deswegen beinhaltet fast jedes Modell Vereinfachungen und Modellannah-men. Typischerweise werden Einflusse mit unbekannten Daten vernachlassigt,oder nur naherungsweise berucksichtigt, und es werden komplizierte Effektemit kleiner Auswirkung weggelassen oder stark vereinfacht. So ist es etwa beider Berechnung der Flugbahn eines Fußballes sinnvoll, die klassische Newton-sche Mechanik zu verwenden, ohne die Relativitatstheorie zu berucksichtigen.Letztere ist zwar streng genommen genauer, der Unterschied zur Newton-schen Mechanik ist aber fur die typischen Geschwindigkeiten eines Fußballsvernachlassigbar. Dies gilt insbesondere, wenn man sonstige Ungenauigkeiten

1

2 1 Einfuhrung

in den Daten, wie etwa leichte Variationen der Große, des Gewichts, oder derAbschussgeschwindigkeit des Fußballs berucksichtigt. Verfugbare Daten sindtypischerweise gemessene Daten, und daher mit Messfehlern behaftet. Auchmuss man bei diesem Beispiel zwar sicher die Erdanziehungskraft berucksich-tigen, kann aber getrost die Abhangigkeit der Erdanziehung von der Flughohedes Balles vernachlassigen. Ebenfalls vernachlassigen kann man den Einflussder Erdrotation. Nicht vernachlassigbar ist dagegen der Einfluss des Luft-widerstandes. Die vernachlassigbaren Effekte sind idealerweise genau die, diedie Modellgleichungen komplizierter machen und zusatzliche Daten erfordern,aber die Genauigkeit der Ergebnisse nur unwesentlich erhohen.

Bei der Herleitung eines Modells sollte man deshalb abwagen, welche Effektewichtig sind und auf jeden Fall berucksichtigt werden mussen, und welche Ef-fekte vernachlassigbar sind. Die Antworten auf diese Fragen hangen von derZielsetzung bei der Modellierung ab. Beispielsweise sind die oben erwahn-ten Modellannahmen fur die Flugbahn eines Fußballs sinnvoll, jedoch sichernicht fur die Flugbahn einer Rakete in der Umlaufbahn der Erde. Auch wareein exaktes Modell zur Berechnung des Wetters der nachsten sieben Tageaus Eingabedaten des Anfangstages fur Zwecke der Wettervorhersage vollignutzlos, wenn die Losung des Modells auf dem starksten verfugbaren Super-computer neun Tage benotigen wurde. Haufig ist eine Abwagung zwischender gewunschten Genauigkeit von Vorhersagen des Modells und dem Aufwandzur Losung des Modells notwendig. Der Aufwand bemisst sich zum Beispielnach der Zeit, die man zur Losung des Modells benotigt, bei numerischenLosungen auch nach den verfugbaren Rechenkapazitaten; in der Praxis wirdder Aufwand haufig in Kosten gemessen. Es kann aus diesen Grunden keineklare Trennung geben zwischen richtigen oder falschen Modellen, ein gege-benes Modell kann fur bestimmte Anwendungen und Zielsetzungen sinnvollsein, fur andere dagegen nicht.

Eine bei der Konstruktion von Modellen wichtige Frage ist, ob sich durchWeglassen bestimmter Terme diemathematische Struktur des Modells andert.Beim Anfangswertproblem

ε y′(x) + y(x) = 0 , y(0) = 1

mit kleinem Parameter ε fuhrt das Weglassen des Terms εy′ zum offensichtlichunlosbaren algebraischen Gleichungssystem

y(x) = 0 , y(0) = 1 .

Der weggelassene Term ist also fur die mathematische Struktur des Problemsentscheidend, unabhangig davon, wie klein der Parameter ε ist. Man kannalso nicht immer als klein identifizierte Terme einfach weglassen. Bei derKonstruktion eines guten mathematischen Modells sollte man vielmehr auchAspekte der Analysis (Wohlgestelltheit) und Numerik (Aufwand) der Modelleberucksichtigen.

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Infektionsdynamik 3

Die wesentlichen Bestandteile eines mathematischen Modells sind

• ein zu beschreibendes Anwendungsproblem,

• eine Reihe von Modellannahmen,

• eine mathematische Problemstellung, beispielsweise in Form einer mathe-matischen Relation, etwa einer Gleichung, einer Ungleichung, einer Diffe-rentialgleichung, oder mehrerer gekoppelter Relationen, oder eines Opti-mierungsproblems.

Die Kenntnis der Modellannahmen ist wichtig, um den Anwendungsbereichund die Genauigkeit von Vorhersagen des Modells abschatzen zu konnen.Das Ziel eines guten Modells ist es, aus bekannten, oder eventuell auchnur geschatzten, Daten und Naturgesetzen fur ein gegebenes Anwendungs-problem und eine gegebene Fragestellung mit vertretbarem Aufwand einemoglichst gute Antwort zu geben. Ein sinnvolles Modell sollte nur Datenbenotigen, die bekannt sind, oder fur die man zumindest plausible Naherun-gen ansetzen kann. Die Aufgabe besteht also darin, aus bekannten Datenmoglichst viel Information herauszuholen.

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel derInfektionsdynamik

Abweichend von dem fur diese Vorlesung zugrunde liegendem Lehrbuch be-trachten wir nun aus gegebenem Anlass die Ausbreitung der Coronainfek-tionen als biologischen Wachstumsprozess. Wir betrachten zunachst einigeDaten des Robert-Koch-Instituts vom Beginn der Ausbreitung des Corona-virus in Deutschland:

• Coronainfizierte in Deutschland am 6. Marz: 639

• Coronainfizierte in Deutschland am 20. Marz: 13957

Damit ist das Zeitinkrement 2 Wochen und es ergibt sich ein Wachstumsfak-tor von

r =13957

639= 21, 84

pro Infiziertem und Zeitraum ∆t von 2 Wochen. Setzen wir t0 = 6. Marz undt1 = 20. Marz, so erhalten wir fur die Zeitpunkte tn = t0 + n∆t

x(tn+1) = rx(tn) ,

x(tn) = rnx(t0) .

4 1 Einfuhrung

Wir fragen uns nun, wann x(tn) = 80 · 106 eintreten wurde. Aus x(tn) =rnx(t0) ergibt sich

n ln r = lnx(tn)

x(t0)

und somit

n =ln(80·10

6

639 )

ln(21, 84)=

11, 73

3, 08

≈ 3, 84 .

Das heißt, nach circa vier mal 14 Tagen (= 56 Tagen) ware ganz Deutschlandinfiziert.

1.3 Komplexere Ansatze fur die Epidemien

Das exponentielle Wachstum aus Abschnitt 1.2 beschreibt die Entwicklungder Epidemie naturlich nur zu Beginn der Ausbreitung. Großere Werte als 80·106 konnen in Deutschland nicht angenommen werden :-). Um die Entwick-lung von Epidemien realistischer beschreiben zu konnen, haben Kermack undMcKendrick [85, 86, 87] um das Jahr 1930 detailliertere Modelle entwickelt.Diese Modelle wurden stetig weiterentwickelt [4, 19, 73, 100, 120, 126] undVarianten der Modelle werden benutzt, um die Entwicklung der Coronaepide-mie vorherzusagen. Ich verweise hier auf die Arbeiten [2, 10, 106, 156, 157],die uber aktuelle Studien zur Ausbreitung, der durch Corona ausgelostenCOVID-19 Pandemie berichten. Der Artikel [2] druckt deutlich aus, wie Ar-beiten von mathematischen Epidemologen Boris Johnson und Donald Trumpwohl in letzter Minute zum Umdenken brachten. Wenn sie die Worte

”CO-

VID SEIR Model“ googlen, finden Sie viele weitere Artikel zu der Model-lierung, die ich im Folgenden beschreibe. Auf der Seite http://covidsim.eufinden Sie eine Simulationssoftware mittels der Sie einfach berechnen konnen,welche Effekte Kontaktreduzierung und Isolation auf die Krankenhausausla-stung und die Anzahl der Todesfalle haben. Das dazugehorige Modell ist in[157] beschrieben und besteht aus einem komplexen System aus gewohnli-chen Differentialgleichungen. Probieren Sie einmal aus, was passiert, wenndie Kontaktreduzierung und Isolation aus einem lockdown heraus plotzlichkomplett beendet werden wurde.

Wir wollen nun einige Grundbegriffe zur mathematischen Modellierung vonInfektionskrankheiten diskutieren. Nach einer Ansteckung muss man zwi-schen der Inkubationszeit, d.h. der Zeit bis zum Auftreten klinischer Sympto-me und der Phase der symptomatischen Erkrankung unterscheiden. Wichtigsind die Begriffe

1.3 Komplexere Ansatze fur die Epidemien 5

• Inkubationszeit: Zeit nach der Ansteckung bis zum Auftreten von Symp-tomen,

• Latenzzeit: Zeit zwischen Ansteckung und Beginn der Infektiositat.

Wichtig fur COVID-19 ist, dass die Infektiositat bereits wahrend der Inkuba-tionszeit einsetzen kann. Diese Tatsache hat naturlich Auswirkungen auf dieMoglichkeiten einen Ausbruch zu begrenzen, da symptomatische Patientenleicht zu identifizieren sind als asymptomatisch Infizierte.

Ein grundlegendes Modell fur den Ablauf von Infektionen unterteilt die Po-pulation in vier Klassen:

• S : Personen, die keine Immunitat gegenuber dem Erreger haben unddaher anfallig sind (suszeptible Personen, englisch: susceptibles),

• E : Infizierte in der Latenzperiode, d.h. Infizierte, die noch nicht selbstinfizieren konnen (englisch: exposed),

• I : Infektiose (englisch: infectious),• R : Immune, d.h. Individuen, die nicht (mehr) oder infizierend sind

(englisch: removed).

Mittels S(t), E(t), I(t), R(t) bezeichnet man die Anzahl der entsprechen-den Individuen zum Zeitpunkt t. Die Summe S + E + I + R ist die Großeder Gesamtpopulation. Modelle, die auf diesen vier Klassen beruhen, heißenSEIR-Modelle. Es gibt aber viele Varianten dieses Modells. In einigen Model-len tauchen die Klassen E und R nicht auf. Zu R zahlt man auch Infektiosein Quarantane oder Immunisierte.

Zu I gehoren auch Infektiose, die keine Symptome zeigen. Fur diese konnteman eine neue Klasse

P : Infektiose, die asymptomatisch sind (englisch: prodomal period)

hinzufugen. Auch eine weitere Differenzierung ist moglich, etwa die Klassen

M : Infektiose mit mildem Verlauf,H : Infektiose, die ins Krankenhaus mussen (H fur hospitalisiert),D : Todesfalle (englisch: dead individuals).

Jetzt setzt sich I aus P, M und H zusammen.

S E PM

H

R

D

Abb. 1.1 Ein erweitertes SEIR-Modell.

Ein Modell dieser Art wird fur die Simulationen auf covidsim.eu verwendet.Dabei werden aber noch viele andere Aspekte berucksichtigt. So wird etwa die

6 1 Einfuhrung

Latenzperiode in weitere Stadien unterteilt, siehe [157]. Es ist auch moglich,die Anzahl der Individuen in Quarantane einzufuhren wie dies etwa in [122]getan wurde.

1.4 Epidemien ohne Immunisierung

Zu Beginn betrachten wir eine Epidemie ohne Immunisierung mit den An-zahlen

• S(t) Anfallige,• I(t) Infizierte.

Die Variable S nimmt bei Infektion ab und I nimmt um den betreffendenWert zu. Es gilt S′ = −I ′. Wenn wir annehmen, dass die Anderungsrate vonden betreffenden Anzahlen abhangt, so erhalten wir

S′ = f(S, I) , I ′ = −f(S, I)

mit einer gegebenen Funktion f . Wie ist f nun gegeben? Um eine sinnvolleForm fur f zu finden, wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, dassjemand in einem Zeitraum infiziert wird zum einen porportional zu S undzum anderen proportional zu I ist. Doppelt so viele Infizierte stecken doppeltso viele Anfallige an, und wenn es doppelt so viele Anfallige gibt, kommtes zu doppelt so vielen Ansteckungen. Das heißt, die durch Ansteckungengegebenen Abnahmerate von S ist gegeben durch rSI mit einer Konstantenr. Außerdem werden Infizierte wieder gesund, bleiben in unserem Modelldann aber anfallig. Je mehr Infizierte es gibt, je mehr gesunden, und wirnehmen an, dass die Gesundungsrate proportional zu I ist, d.h. wir nehmenan, dass ein a > 0 existiert, so dass die Rate bei der Gesundung durch aIgegeben ist. Schematisch erhalten wir

SrSI−→ I

aI−→ S .

Diese Schreibweise erinnert an die chemische Reaktionskinetik. Insgesamterhalten wir

f(S, I) = −rSI + aI

und somit bei bekannter Ausgangssituation das sogenannte SIS-Modell

S′ = −rSI + aI , t ≥ 0 ,I ′ = rSI − aI , t ≥ 0 ,S(0) = S0 , I(0) = I0

mit gegebenen Anfangswerten S0, I0 ≥ 0. Der Satz von Picard–Lindelof ga-rantiert die Existenz einer lokalen Losung. Wir nehmen in diesem Kapitel

1.4 Epidemien ohne Immunisierung 7

stets an, dass N0 > 0 gilt. Da fur

N(t) = S(t) + I(t)

giltN ′ = S′ + I ′ = −rSI + aI + rSI − aI = 0

folgt N(t) = N0 > 0 fur t > 0. Gilt nun S(t1) = 0 fur ein t1 > 0, so giltzwingend I(t1) > 0 und damit erhalten wir S′(t1) > 0. Dies zeigt, dass Snicht negativ werden kann. Ist I(t1) = 0, so gilt S′(t1) = I ′(t1) = 0 undsomit auch S′(t) = I ′(t) = 0 fur alle t. Dies folgt aus der Eindeutigkeit ausdem Satz von Picard–Lindelof. Wir erhalten insgesamt

0 ≤ I(t) , S(t) ≤ N0

fur alle t aus dem Losungsintervall. Da die Losung beschrankt bleibt, existiertsie nach dem Fortsetzungssatz aus der Theorie gewohnlicher Differentialglei-chungen fur alle Zeiten.

Es ist haufig gunstig die Gleichungen zu entdimensionalisieren. Setzen wir

u =S

N, v =

I

N, τ = at ,

wobei wir als charakteristische Zeitspanne 1a ansetzen, so erhalten wir

u(at) =S(t)

N, v(at) =

I(t)

N, u0 =

S0

N, v0 =

I0N.

Damit ergibt sich

du

dτ(τ) =

1

N

d

dτS(τa

)

=1

aN(−rSI + aI)(

τ

a)

=

(−rN

au v + v

)(τ) .

Definieren wir die Reproduktionsrate R0 = rNa , so erhalten wir

u′ = −(R0u− 1)v , (1.1)

v′ = (R0u− 1)v , (1.2)

u(0) = u0 , v(0) = v0 .

Analog zu oben erhalten wir

(u+ v)′ = 0

8 1 Einfuhrung

und somitu(t) + v(t) = u0 + v0 = 1 fur t ≥ 0 .

Wir bezeichnen nun, wie es auch andere haufig nach der Entdimensionalisie-rung machen, die neue Zeit wieder mit t statt τ . Außerdem folgt wie obenu(t), v(t) ≥ 0 und somit gilt (u, v) verlauft in

D1 = (u, v) ∈ R2 | u, v ≥ 0 , u+ v = 1 .

Setzen wir u = 1− v in (1.2), so erhalten wir

v′ = ((R0 − 1)−R0v)v

= R0

((1− 1

R0

)− v

)v . (1.3)

Diese Gleichung kann mit Hilfe der Trennung der Variablen gelost werden.Wir erhalten mit v∗ = 1− 1

R0fur R0 > 1

v(t) =v0v∗

v0 + (v∗ − v0) exp(−(R0 − 1)t). (1.4)

Satz 1.1. Im SIS-Modell (1.1), (1.2) stirbt die Infektion fur R0 ≤ 1 aus. IstR0 > 1 und v0 > 0 bleibt die Infektion erhalten und konvergiert gegen dasGleichgewicht

(u∗, v∗) =

(1

R0, 1− 1

R0

).

Beweis. Falls R0 ≤ 1 ist, gilt 1− 1R0

≤ 0 und aus (1.3) folgt v′ ≤ 0. Solangev(t) > 0 ist v streng monoton fallend. Der einzige Grenzwert von v(t) furt ր ∞ kann somit 0 sein. Falls R0 > 1 und v0 > 0 ist, folgt aus (1.4), dassv(t) → v∗ fur t→ ∞. Damit konvergiert u(t) gegen 1− v∗ = 1

R0.

Die Reproduktionsrate R0 = rNa ist auch fur komplexere Modelle entschei-

dend. Die Reproduktionsrate wird auch Basisreproduktionszahl genannt undsie gibt an welche Anzahl von weiteren Infektionen eine infizierte Person inder Anfangszeit einer Infektion verursacht. Die Große rN ist die Anzahl derInfizierten, die ein einzelner Infizierter pro Zeiteinheit zu Beginn der Epi-demie verursacht. Außerdem ist a die Rate mit der infizierte Personen inder Zeiteinheit genesen. Der Kehrwert 1

a ist die mittlere infektiose Zeit. Diessehen wir bei einem isolierten Heilungsprozess. Dann gilt

I ′ = −aI

mit LosungI(t) = e−atI0 .

Damit ist e−at = I(t)I0

die relative Haufigkeit der Individuen aus I0, die zurZeit t > 0 noch infektios sind. Das heißt, falls F (t) die Wahrscheinlichkeit

1.5 Epidemien mit Immunisierung 9

ist, zum Zeitpunkt t gesund zu sein, so gilt

F (t) = 1− e−at .

Die ist aber gerade die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung. DieExponentialverteilung hat die Dichte ae−at. Die mittlere Infektionsdauer er-rechnet sich aus dem Erwartungswert der Exponentialverteilung wie folgt

∫ ∞

0

at e−atdt =1

a.

Wir sehen also, dass 1a die mittlere Infektionsdauer ist.

Alle Politiker der Welt treffen zur Zeit hoffentlich Maßnahmen, die die Re-produktionsrate R0 unter 1 halten.

1.5 Epidemien mit Immunisierung

Das Originalmodell von Kermack und McKendrick, das ich jetzt vorstellenmochte, geht davon aus, dass alle Gesundeten immunisiert sind. Das ist etwabei Masern der Fall. Falls ein gewisser Anteil nicht immunisiert ware, mussenandere Modelle betrachtet werden, siehe Ubungsaufgabe.

Das SIR-Modell ist schematisch gegeben durch

SrsI−→ I

aI−→ R ,

wobei R fur die Gesundeten steht. Daraus erhalten wir das System

S′ = −rSI , t ≥ 0 ,I ′ = rSI − aI , t ≥ 0 ,R′ = aI , t ≥ 0 ,S(0) = S0 , I(0) = I0 , R(0) = R0

mit a, r > 0 und S0, I0, R0 ≥ 0. Fur N = S + I + R ergibt sich wie N ′ =(S + I +R)′ = 0 und somit ist N konstant. Wie in Abschnitt 1.4 ergibt sich0 ≤ S(t), I(t), R(t) ≤ N und somit globale Existenz von Losungen. Wie inAbschnitt 1.4 entdimensionalisieren wir. In diesem Fall wahlen wir

u =S

N, v =

I

N, w =

R

N, τ = at .

Mittels

u(at) =S(t)

N, v(at) =

I(t)

N, w(at) =

R(t)

N

erhalten wir

10 1 Einfuhrung

u′ = −R0uv , t ≥ 0 ,v′ = R0uv − v , t ≥ 0 ,w′ = v , t ≥ 0 ,u(0) = u0 , v(0) = v0 , w(0) = w0

wobei R0 = rNa . Da u+ v + w = 1 gilt, reicht es das System

u′ = −R0uv , t ≥ 0 ,v′ = R0uv − v , t ≥ 0 ,u(0) = u0 , v(0) = v0

zu betrachten. Dabei ist u0 =S0

N , v0 = I0N . Die Losung bleibt in

D2 = (u, v) ∈ R2 | u, v ≥ 0, u+ v ≤ 1 ,

falls (u0, v0) ∈ D2. Kennen wir v, so ergibt sich w mittels

w(t) = w0 +

∫ t

0

v(s)ds , t ≥ 0 .

Bei gewohnlichen Differentialgleichungen sollte man zunachst stets die stati-onaren Losungen identifizieren. Aus

0 = −R0uv ,

0 = R0uv − v

ergibt sich, dass Vektoren (u, 0)T mit u ∈ [0, 1] stationare Losungen in D2

sind. Fur (0, v0) ∈ D2 als Anfangswert erhalten wir die Losung

(0

e−tv0

),

die exponentiell schnell gegen (0, 0)T konvergiert. Fur u0 > 0 und v0 > 0bleibt die Losung strikt positiv, da Losungen sich nicht schneiden konnen.

In einigen ausgzeichneten Fallen existiert fur ein System von zwei Differen-tialgleichungen ein sogenanntes erstes Integral H . Dies ist eine Funktion H ,so dass

d

dtH(u(t), v(t)) = 0

fur alle Losungen (u, v) des Differentialgleichungssystems.

In unserem Fall berechnen wir fur u, v > 0 aus den Differentialgleichungen,da u′ 6= 0

v′(τ)

u′(τ)= −1 +

1

R0u(τ).

Multiplikation mit u′(τ) und Integration von 0 bis t liefert nach Substitution

1.5 Epidemien mit Immunisierung 11

v(t)− v0 =

∫ t

0

(−1 +

1

R0u(τ)

)u′(τ)dτ

= u0 − u(t) +1

R0(ln u(t)− ln u0) .

Das heißtH(u, v) = v + u−R−1

0 ln u

ist ein erstes Integral von (1.1) - (1.2). Nichtkonstante Losungen des Differen-tialgleichungssystems durchlaufen Niveaulinien von H . Die Gesamtheit derdurch Losungen eines Differentialgleichungssystems parameterisierten Kur-ven nennt man auch das Phasenportrait der Differentialgleichung. An dieKurven tragt man zusatzlich noch einen Richtungspfeil an. Das Phasenpor-trait vermittelt einen schnellen Uberblick uber das Losungsverhalten.

Ist (u0, v0) gegeben, so betrachten wir den Graph der Funktion

v = φc(u) = c− u+1

R0ln u , c = H(u0, v0) , u > 0 .

Auf diesem Graph verlauft die Losung, da H(u, φc(u)) = 0. Kurvendiskussionergibt, dass φc sein Maximum bei u = R−1

0 annimmt.

Außerdem giltlimu→0

φc(u) = −∞ .

Falls R0 < 1 wachst φc auf (0, 1]. Falls R0 > 1 wachst φc auf (0,R−10 ]. Da

u′ ≤ 0 laufen die Kurven von rechts nach links. Die genaue Form sehen wirin Abbildung 1.2.

Abb. 1.2 Phasenportraits fur das SIR-Modell.

12 1 Einfuhrung

Wahlen wir R0 = w0 = 0, so starten wir auf dem oberen Rand des DreiecksD2. Fur u0, v0 > 0, u0 + v0 < 1 besitzen die Losungen (u(t), v(t)) fur t →∞ stets Grenzwerte. Da u(t) monoton fallend ist, gilt limt→∞ u(t) = u∞existiert.

Behauptung: u∞ < 1R0

. Ware u∞ ≥ 1R0

, so wurde v(t) ≥ v0 gelten. Damitware aber

u · v ≥ v0R0

und−R0uv ≤ −R0

v0R0

≤ −v0 .

Dies ist ein Widerspruch zu limt→∞ u(t) = u∞. Somit gilt u(t) < 1R0

furt groß. Damit ist v(t) monoton fallend fur t groß und limt→∞ v(t) = v∞existiert. Wurde v∞ > 0 gelten, so wurden u′ und v′ gleichmaßig von Nullweg beschrankt sein. Ein Widerspruch zur Existenz der Grenzwerte.

Wir erhaltenlimt→∞

(u(t), v(t)) = (u∞, 0) .

Da H(u∞, 0) = H(u0, v0) gelten muss, erhalten wir

u∞ − 1

R0ln u∞ = u0 + v0 −

1

R0ln u0 . (1.5)

Das heißt im epidemischen SIR-Modell verschwindet die Infektion stets. DerWert

1− u∞

ist der Wert der Gesamtbevolkerung, die von der Infektion betroffen seinwird.

Satz 1.2. Es sei R0 wie oben gegeben. Im SIR-Modell konvergiert die Losungstets gegen (u∞, 0) mit u∞ aus (1.5), falls u0 > 0 und u∞ = 0, falls u0 = 0.Die Krankheit stirbt also stets aus.

Ist R0 > 1, v0 > 0 und u0 >1R0

, so wachst die Anzahl der Infizierten biszum Maximalwert

vmax = − 1

R0(1 + ln R0) + u0 + v0 −R−1

0 ln u0

und sinkt danach gegen 0. Ist u0 ≤ 1R0

, so fallt v monoton gegen 0.

Das krankheitsfreie Gleichgewicht (1, 0)T ist fur R0 > 1 in D2 instabil undfur R0 ≤ 1 in D2 stabil.

Beweis. Wir diskutieren die Stabilitatsaussage.

Fall R0 > 1: Es gibt Anfangswerte in D2 nahe bei (1, 0)T , die gegen ein(u∞, 0) mit u∞ 6= 1 konvergieren. Dies zeigt (1, 0)T ist instabil.

1.6 Das SEIR-Modell 13

Der Fall R0 ≤ 1 ergibt sich durch eine genaue Analyse der Funktion H .

Wie kann ich den Epidemiefall verhindern? Versuche R0 > 1 zu verhindern.Das kann ich erreichen, indem ich a,R und N so verandere, dass R0 < 1 gilt.Es gibt folgende Moglichkeiten:

• VerringereN . Wird bei Tieren durch Keulung gemacht. Dies ist wohl keineethische Strategie gegen die Coronaausbreitung.

• Verringere r. Dies kann durch Hygienemaßnahmen oder Kontaktbeschran-kungen erreicht werden.

• Erhohe a. Das kann durch Beschleunigung der Heilung oder Immunisierunggeschehen, oder durch Quarantane.

Im letzteren Fall isoliert man Infizierte mit einer festen Rate (a′ − a)I mita′ > a, so dass sie keine Individuen aus S anstecken konnen. Die Isoliertenwerden dann zur Klasse R gezahlt.

Eine weitere Moglichkeit besteht darin, zu erreichen, dass ein Anteil p ∈ [0, 1]der Population immunisiert ist. Dies kann durch Impfung passieren, oderdadurch, dass man sich einen großen Teil der Bevolkerung bewusst ansteckenlasst. Dann starten wir jetzt mit u0 = 1−p. Um den Ausbruch der Epidemiezu verhindern, muss

1− p <1

R0

sein, also

p > 1− 1

R0=: p .

In diesem Fall spricht man von Gruppen- oder Herdenimmunitat.

1.6 Das SEIR-Modell

Wir zerlegen die Gesamtbevolkerung N jetzt in Klassen S, E, I und R wiein Abschnitt 1.3 diskutiert. Wir gehen davon aus, dass jedes Individuum dieEntwicklung

S −→ E −→ I −→ R

durchlaufen kann. Jetzt geht ein Suszeptibler bevor er infektios wird zunachstin eine latente Phase. Dann wird die Dynamik beschrieben durch

14 1 Einfuhrung

S′ = −rSI , (1.6)

E′ = rSI − bE , (1.7)

I ′ = bE − aI , (1.8)

R′ = aI (1.9)

zusammen mit Anfangsdaten fur S, E, I und R. Hier kommt es nach einerInfektion zunachst zu einer latenten Phase E und somit wird die Anzahl inE mit der Rate rSI erhoht. Die Latenzzeit sei 1/b und wie schon in Ab-schnitt 1.4 beschrieben ist −bE dann eine Modellierung des Ubergangs vonder latenten Phase in die infektiose Phase. Wie in den anderen Abschnittenbetrachten wir N = S + E + I + R und stellen fest N ′ = 0. Fur N > 0 undS,E, I, R ≥ 0 bleiben S, E, I und R stets zwischen 0 und N .

Lemma 1.3. Fur eine Losung von (1.6) - (1.9) mit S0, E0, I0, R0 ≥ 0 gilt

S(t), E(t), I(t), R(t) ≥ 0 .

Beweis. Gilt fur ein t ≥ 0, dass E(t) = I(t) = 0 so ist die Losung konstantund somit nicht-negativ.

Jetzt betrachten wir den Fall (E, I) 6≡ (0, 0). Ist S(t0) = 0 fur ein t0 so losty(t) = S(t) die Gleichung

y′ = −ryI(t) , y(t0) = 0

mit I(t) gegeben. Diese Gleichung hat aber nur die Nulllosung. Also ist SNull oder immer positiv. Jetzt sei t1, so dass I(t1) = 0. Dann gilt E(t1) > 0und I ′(t1) > 0 und somit wird I wieder positiv. Ist E(t1) = 0 so ist I(t1) > 0und S(t1) > 0. Aus (1.7) folgt dann E′(t1) > 0. Dies zeigt die Behauptung.

Es reicht also (S,E, I) zu kennen. Die Losung (S,E, I) bleibt in der Menge

Γ = (S,E, I) ∈ R3 | S,E, I ≥ 0 , S + E + I ≤ N .

Um die Gleichgewichtslosungen zu bestimmen, setzen wir

−rSI = 0 ,

rSI − bE = 0 ,

bE − aI = 0 .

Das heißt, Zustande mit S ∈ [0, N ] und I = E = 0 sind Gleichgewichte.Varianten dieses Modells lassen auch Geburts- und Sterberaten zu. Im Fall,dass die Geburts- und Sterberate gleich sind, erhalten wir

1.6 Das SEIR-Modell 15

S′ = −rSI + µN − µS , (1.10)

E′ = rSI − (µ+ b)E , (1.11)

I ′ = bE − (a+ µ)I , (1.12)

R′ = aI − µR . (1.13)

Das heißt µN gibt die Anzahl der Geburten pro Zeiteinheit an. Die sterben-den Anfalligen pro Zeiteinheit sind µS und entsprechendes gilt fur µE, µI undµR. In einer Ubungsaufgabe sollen Sie zeigen, dass N konstant bleibt undS,E, I und R nicht-negativ bleiben, falls sie anfanglich nicht-negativ sind. DaN konstant ist, ergibt sich, dass wir das System auf die Variablen (S,E, I)reduzieren konnen. Gleichgewichtslosungen von (1.10) - (1.13) erfullen

µN − µS − rSI = 0 ,

rSI − (µ+ b)E = 0 ,

bE − (a+ µ)I = 0 .

Wir haben also stets das krankheitsfreie Gleichgewicht p0 = (N, 0, 0)T . Wei-tere Gleichgewichte bestimmen Sie in den Ubungen. Außerdem zeigen Sie inder Ubung, dass (N, 0, 0)T fur

R0 =Nrb

(b + µ)(a+ µ)< 1

asymptotisch stabil ist. Falls µ = 0 gilt

R0 =Nr

a

also gerade die Reproduktionszahl aus Abschnitt 1.5. Fur die obige Zahl gilt

R0 = Nrb

b+ µ

1

a+ µ.

Dabei ist

Nr : Durchschnittliche Kontakte eines Infizierten,

b

b+ µ: Wahrscheinlichkeit, dass ein Infizierter die Latenzperiode uberlebt,

1

a+ µ: mittlere Infektionszeit.

Die Wichtigkeit der Reproduktionszahl in der heutigen Coronadiskussionzeigt die Abbildung 1.3. Ein Infizierter zum Anfang lost in den folgenden60 Tagen eine Epidemie aus. In den ersten Tagen ist die Reproduktionsrate2,2. Nach 60 Tagen wird die Politik aktiv und verhangt einen Shutdown. Wir

16

1Einfuhru

ng

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.01

0.02

rela

tive

va

lue

in

%

0

5

10

15

ab

so

lute

va

lue

105with R

0=1.3 after intervention on day 60

E - exposed

I - infectious

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.005

0.01

rela

tive

va

lue

in

%

0

2

4

6

8

ab

so

lute

va

lue

105with R

0=1.2 after intervention on day 60

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

rela

tive

va

lue

in

%

10-3

0

1

2

3

ab

so

lute

va

lue

105with R

0=1.1 after intervention on day 60

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.5

1

rela

tive

va

lue

in

%

10-3

0

2

4

6

8

ab

so

lute

va

lue

104with R

0=0.9 after intervention on day 60

Abb.1.3

Entw

icklungder

Epidem

iebei

untersch

iedlich

enShutdow

n-Stra

tegien

,Numerik

vonDen

nis

Trautw

ein.

1.7 Verallgemeinerte SEIR-Modelle 17

sehen, dass abhangig von der Reproduktionszahl der Shutdown mehr oderweniger effektiv ist.

Diese Rechnungen zeigen verschiedene Szenarien mit einer unterschiedlichenEffektivitat eines Shutdowns. Fur weitere Analysen mit Hilfe des SEIR-Modells uber die COVID-19 Ausbreitung verweisen wir auf [10, 125, 157].Im nachsten Abschnitt stellen wir noch kurz mogliche Verallgemeinerungenvor.

1.7 Verallgemeinerte SEIR-Modelle

Wie schon weiter vorne diskutiert kann man auch weitere Klassen, die diePopulation aufteilen, einfuhren. Es sei jetzt P die Klasse der Infektiosen,aber noch asymptomatisch Infizierten.

Weiter sei rp die Rate mit der ein Asymptomatischer einen Anfalligen an-steckt und 1

f sei die durchschnittliche Zeit in der asymptomatischen infek-tiosen Phase. Weiter sei D die Klasse der Toten und ps der Anteil der Infi-zierten, die krank werden und p0 die Anzahl der Kranken, die sterben. Dannerhalten wir das folgende System

S′ = −S(rpP + rI) ,

E′ = S(rpP + rI)− bE ,

P ′ = bE − fP ,

I ′ = fP − aI ,

R′ = a(1− psp0)I ,

D′ = apsp0I .

Jetzt sei pH die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kranker auch ins Krankenhausmuss und pICU die Wahrscheinlichkeit, dass einer im Krankenhaus einen In-tensivbehandlungsplatz braucht (eine intensive care unit ICU). Weitere wich-tige abgeleitete Großen sind:

erkrankte Falle zum Zeitpunkt t : psI ,

Kranke im Krankenhaus zum Zeitpunkt t : pspHI ,

Kranke in ICU : pspHpICUI .

Damit konnte man berechnen, wann die Kapazitaten an ICUs knapp werden.Dabei mussen die Daten des Problems aber sehr gut geschatzt werden. Dieeinzelnen Klassen kann man weiter aufteilen. Etwa I in

I11 , . . . , I1n, . . . , I

m1 , . . . , I

mn ,

18 1 Einfuhrung

wobei 1, . . . , n unterschiedliche zeitliche Phasen der Krankheit bezeichnenund 1, . . . ,m Altersstrukturen bezeichnen. Jetzt konnen die Raten etwa vonder Altersgruppe und der Phase der Krankheit abhangen, siehe etwa [125,157].

Außerdem werden R0 und damit r oder a zeitabhangig sein. Die Große rwird voraussichtlich von der Jahreszeit und von den Maßnahmen zur Kon-taktbeschrankung und zur Effizienz der Quarantane abhangen.

1.8 Entdimensionalisierung

Die Großen in mathematischen Modellen haben in der Regel eine physikali-sche Dimension. In der Modellgleichung

x′(t) = p x(t) mit p ∈ R (1.14)

fur das Wachstum einer Population haben wir eine Zahl und eine Zeiteinheit.Wir bezeichnen mit [f ] die physikalische Dimension einer Große f , mit A eineAnzahl und mit T eine Zeit. Es gilt

[t] = T ,

[x(t)] = A ,

[x′(t)] =A

T,

[p] =1

T.

Die Angabe einer physikalischen Dimension ist noch keine Entscheidung uberdie physikalische Maßeinheit, in der man die Große beschreiben mochte. AlsZeiteinheit kann man etwa Sekunden, Minuten, Stunden, Tage, Wochen oderJahre nehmen. Wenn man die Zeit in Jahren misst, wird t in Jahren, x(t)durch eine Zahl, x′(t) in 1/Jahre und p ebenfalls in 1/Jahre angegeben.

Um einerseits moglichst einfache Modelle zu erhalten, und andererseits cha-rakteristische Großen in einem Modell zu ermitteln, kann man Modellglei-chungen entdimensionalisieren. Dazu definiert man fur jede auftretende Di-mension eine charakteristische Große, entsprechend einer Maßeinheit. Manwahlt dafur aber keine der ublichen Einheiten wie etwa Sekunde oder Stun-de, sondern wahlt problemangepasste Einheiten. Beim Populationsmodell hatman zwei Dimensionen, man benotigt also zwei charakteristische Großen,die charakteristische Anzahl x und die charakteristische Zeit t. Diese wer-den zunachst so gewahlt, dass die Anfangsdaten t0 und x0 = x(t0) moglichsteinfach sind. Als Zeitmaß bietet sich demnach

1.8 Entdimensionalisierung 19

τ =t− t0t

mit einer noch zu spezifizierenden Zeiteinheit t an, als Maß fur die Anzahl

x = x0 .

Setzt many =

x

x

und druckt y als Funktion von τ aus,

y(τ) =x(tτ + t0)

x,

so erhalt man

y′(τ) =t

xx′(t)

und damit das Modellx

ty′(τ) = p x y(τ) .

Dieses Modell wird am einfachsten fur

t =1

p. (1.15)

Man erhalt dann das Anfangswertproblem

y′(τ) = y(τ) ,

y(0) = 1 .(1.16)

Dieses Modell hat die Losung

y(τ) = eτ .

Man kann aus dieser Losung durch Rucktransformation alle Losungen desursprunglichen Modells (1.14) gewinnen:

x(t) = x y(τ) = x0 y(p(t− t0)) = x0 ep(t−t0) .

Der Vorteil der Entdimensionalisierung ist hier also, dass man die Losung allerPopulationsmodelle vom beschriebenen Typ durchWahl der Einheiten auf eineinziges Problem zuruckfuhren kann. Man beachte, dass dies unabhangig vomVorzeichen von p gilt, obwohl das Verhalten der Losung fur p > 0 und p < 0unterschiedlich ist. Fur p < 0 ist die Losung von (1.14) gegeben durch dieLosung von (1.16) auf dem Zweig τ < 0.

Die Skalierungsbedingung (1.15) kann man auch mit Hilfe einer Dimensi-onsanalyse gewinnen. Man stellt dazu die gesuchte charakteristische Zeit t

20 1 Einfuhrung

dar als Produkt von Potenzen der anderen charakteristischen Parameter imModell,

t = pnxm0 mit n,m ∈ Z .

Durch Berechnung der Dimension folgt

[t] = [p]n[x0]m und damit T =

(1

T

)n

Am .

Diese Gleichung hat die einzige Losung n = −1,m = 0, wenn man die Anzahlals eigenstandige Dimension interpretiert. Wir erhalten also gerade (1.15).

Bei komplexeren Modellen kann man durch Entdimensionalisierung das Mo-dell typischerweise nicht auf ein einziges Problem reduzieren, man kann aberdie Anzahl der relevanten Parameter stark reduzieren und charakteristischeParameter identifizieren. Dies ist insbesondere fur Experimente wichtig, zumBeispiel kann man aus den Ergebnissen einer Entdimensionalisierung vonGleichungen fur Luftstromungen herauslesen, wie man die Umstromung ei-nes Flugzeugs an einem viel kleineren (physikalischen) Modell experimentellmessen kann. Wir werden die Dimensionsanalyse in einem der nachsten Ab-schnitte an einem aussagekraftigeren Beispiel noch einmal erlautern.

1.9 Populationsmodell mit beschrankten Ressourcen

Fur große Populationen in der Natur ist eine konstante Wachstumsrate nichtmehr realistisch. Durch Beschrankung des Lebensraums, der verfugbarenNahrungsmittel oder andere Mechanismen sind dem unbeschrankten Wachs-tum Grenzen gesetzt. Um ein fur solche Situationen geeignetes Modell zukonstruieren, nehmen wir an, dass es eine gewisse Kapazitat xM > 0 gibt,fur die die Ressourcen des Lebensraums gerade noch ausreichen. Fur Popu-lationsgroßen x kleiner als xM kann die Population noch wachsen, fur Wertegroßer als xM nimmt die Population ab. Dies bedeutet, dass die Wachstums-rate p nun von der Population x abhangt, p = p(x), und dass

p(x) > 0 fur 0 < p < xM ,

p(x) < 0 fur p > xM

gelten soll. Als einfachsten Zusammenhang kann man einen linearen Ansatzfur p wahlen,

p(x) = q(xM − x) fur alle x ∈ R

mit einem Parameter q > 0. Mit diesem Ansatz erhalten wir das Differenti-algleichungsmodell

x′(t) = q xM x(t)− q x(t)2 . (1.17)

1.10 Dimensionsanalyse und Skalierung 21

Der zusatzliche Term −q x(t)2 ist proportional zur Wahrscheinlichkeit fur dieAnzahl der Kontakte zweier Exemplare der Population pro Zeiteinheit. Erbeschreibt also die zunehmende Konkurrenzsituation bei zunehmender Po-pulationsgroße, die sogenannte

”soziale Reibung“. Die Gleichung (1.17) wur-

de vom hollandischen Biomathematiker Verhulst vorgeschlagen und wird alslogistische Differentialgleichung oder als Gleichung des beschrankten Wachs-tums bezeichnet. Eine Losung kann mit Hilfe der Methode der Separation derVariablen gewonnen werden.

1.10 Dimensionsanalyse und Skalierung

Wir wollen nun die Dimensionsanalyse an Hand eines etwas aussagekrafti-geren Beispiels erlautern. Wir betrachten einen Korper der Masse m, derim Gravitationsfeld eines Planeten (zum Beispiel der Erde) senkrecht nachoben geworfen wird. Die Bewegung des Korpers wird beschrieben durch dasNewtonsche Gesetz

a =F

m,

wobei a die Beschleunigung des Korpers und F die auf den Korper wirkendeKraft ist. Letztere wird beschrieben durch das Gravitationsgesetz

F = −G mE m

(x+R)2,

wobei G ≈ 6,674 · 10−11N ·m2/kg2 die Gravitationskonstante ist, mE dieMasse des Planeten, R der Radius des Planeten und x die Hohe des Korpers,gemessen von der Oberflache des Planeten. Dabei wird der Stromungswider-stand in der Atmosphare vernachlassigt und der Planet als Kugel betrachtet.Definiert man die Konstante g als

g =GmE

R2,

so erhalt man

F = − gR2m

(x+R)2.

Fur die Erde ist g = 9,80665m/s2 die Erdbeschleunigung. Die Bewegung desKorpers wird damit beschrieben durch die Differentialgleichung

x′′(t) = − gR2

(x(t) +R)2. (1.18)

Diese wird erganzt durch zwei Anfangsbedingungen,

22 1 Einfuhrung

x(0) = 0 , x′(0) = v0 ,

wobei v0 die Anfangsgeschwindigkeit bezeichnet.

Fur Wurfe auf der Erde wird typischerweise der Term x(t) im Nenner von(1.18) weggelassen, weil er, verglichen mit dem Erdradius, sehr klein ist. Wirwollen diesen Ansatz systematisch untersuchen. Dazu fuhren wir zunachsteine Entdimensionalisierung durch. Als Beispiel benutzen wir die Daten

g = 10m/s2, R = 107m und v0 = 10m/s ,

deren Großenordnungen etwa denen eines Wurfes auf der Erde entsprechen.

Die auftretenden Dimensionen sind L fur die Lange und T fur die Zeit. Diegegebenen Daten sind die Anfangsgeschwindigkeit v0 mit Dimension [v0] =L/T , die

”Planetenbeschleunigung“ g mit Dimension [g] = L/T 2 und der

Radius R mit Dimension [R] = L. Die unabhangige Variable ist die Zeit tmit Dimension [t] = T , die gesuchte Große ist die Hohe x mit Dimension[x] = L. Wir suchen zunachst alle Darstellungen der Form

Π = va0 gbRc ,

die entweder dimensionslos sind (Fall (i)), oder die Dimension einer Langehaben (Fall (ii)), oder die Dimension einer Zeit haben (Fall (iii)). Aus

[Π ] =

(L

T

)a(L

T 2

)b

Lc = La+b+cT−a−2b

folgt:

Fall (i): Es ist a+ b+ c = 0, −a− 2b = 0, also a = −2b, c = b und damit

Π =

(gR

v20

)b

.

Als charakteristischen dimensionslosen Parameter kann man also zum Bei-spiel

ε =v20gR

(1.19)

identifizieren; alle anderen dimensionslosen Parameter sind eine Potenzdieses Parameters.

Fall (ii): Es ist a + b + c = 1, a + 2b = 0 und damit a = −2b, c = 1 + b.Als charakteristische Langeneinheit erhalt man

ℓ = v−2b0 gbR1+b = Rε−b ,

mit noch nicht spezifizierter Konstante b.

1.10 Dimensionsanalyse und Skalierung 23

Fall (iii): Es ist a+b+c = 0, a+2b = −1 und damit a = −1−2b, c = b+1.Eine charakteristische Zeiteinheit ist demnach

τ = v−1−2b0 gbRb+1 =

R

v0ε−b.

Wir werden nun versuchen, Gleichung (1.18) zu entdimensionalisieren. Dazubetrachten wir eine Langeneinheit x und eine Zeiteinheit t und stellen x(t)dar als

x(t) = x y(t/t) .

Aus (1.18) folgtx

t2 y

′′(τ) = − gR2

(x y(τ) +R)2

oderx

t2gy′′(τ) = − 1

((x/R) y(τ) + 1)2.

Diese Gleichung wird erganzt durch die Anfangsbedingungen

y(0) = 0 und y′(0) =t

xv0 .

Wir wollen nun x und t so wahlen, dass moglichst viele der auftretendenParameter gleich Eins sind. Es gibt hier jedoch mehr Parameter als Skalie-rungseinheiten, namlich die drei Parameter

x

t2g,

x

Rund

t

xv0 .

Man kann daher nur jeweils zwei Parameter auf Eins setzen und hat somitdrei verschiedene Moglichkeiten:

a)x

t2g= 1 und

x

R= 1 folgt aus x = R, t =

√R

g, der dritte Parameter ist

dannt

xv0 =

v0√Rg

=√ε mit dem ε aus (1.19). Das Modell reduziert sich

zu

y′′(τ) = − 1

(y(τ) + 1)2, y(0) = 0 , y′(0) =

√ε . (1.20)

b)x

R= 1 und

t

xv0 = 1 erhalt man fur x = R und t =

R

v0, der dritte

Parameter ist dannx

t2g=

v20Rg

= ε, das dimensionslose Modell ist

ε y′′(τ) = − 1

(y(τ) + 1)2, y(0) = 0 , y′(0) = 1 .

24 1 Einfuhrung

c)x

t2g= 1 und

t

xv0 = 1 folgt fur t =

v0g

und x =v20g. Der dritte Parameter

istx

R=

v20gR

= ε. Das dimensionslose Modell ist also

y′′(τ) = − 1

(ε y(τ) + 1)2, y(0) = 0 , y′(0) = 1 . (1.21)

Wir wollen nun die drei entdimensionalisierten Gleichungen fur das obenerwahnte Anwendungsbeispiel bewerten und vergleichen. Fur R = 107 m,g = 10m/s2 und v0 = 10m/s ist der Parameter ε sehr klein,

ε =v20Rg

= 10−6 .

Wir werden daher Terme der Großenordnung ε in den Gleichungen ver-nachlassigen.

Modell a) ist dann

y′′(τ) = − 1

(y(τ) + 1)2, y(0) = 0 , y′(0) = 0 .

Wegen y′′(0) < 0 und y′(0) = 0 liefert dieses Modell negative Losungen,es ist damit vollkommen ungenau und unbrauchbar. Der Grund liegt in derSkalierung innerhalb der Entdimensionalisierung: Die Parameter t und x sindhier

t =

√R

g= 103 s und x = 107m ,

beide Skalen sind fur das untersuchte Problem viel zu groß. Die maximalerreichte Hohe und der Zeitpunkt, zu dem sie erreicht wird, sind viel kleinerals die Skalen x fur Lange und t fur Zeit und daher im entdimensionalisiertenModell

”kaum zu erkennen“.

Modell b) wird zu

0 = − 1

(y(τ) + 1)2, y(0) = 0 , y′(0) = 1 .

Dieses Problem ist nicht gut gestellt, es hat keine Losung. Hier sind diegewahlten Zeit- und Langenskalen ebenfalls viel zu groß,

t =R

v0= 106 s und x = R = 107 m .

Modell c) wird zu

1.11 Asymptotische Entwicklung 25

y′′(τ) = −1 , y(0) = 0 , y′(0) = 1 . (1.22)

Dieses Modell hat die Losung

y(τ) = τ − 1

2τ2

und beschreibt damit die typische parabelformige Weg–Zeit–Kurve einesWurfes im Schwerefeld der Erde ohne Berucksichtigung des Luftwiderstandes.Die Rucktransformation

x(t) = x y(t/t) =v20gy(gt/v0)

liefert

x(t) = v0t−1

2gt2 .

Dies entspricht der Losung von (1.18), wenn man dort den Term x(t) imNenner vernachlassigt. Die Skalen in der Entdimensionalisierung haben hiersinnvolle Werte,

t =v0g

= 1 s , x =v20g

= 10m .

Fur die betrachtete Anwendung ist also die Entdimensionalisierungsversion c)die

”richtige“. Versionen a) und b) sind zwar ebenfalls mathematisch korrekt,

man kann aber dort den kleinen Parameter ε nicht vernachlassigen, weil seinEinfluss durch die (zu) großen Skalierungsparameter t und x verstarkt wird.

1.11 Asymptotische Entwicklung

Wir werden nun eine Technik einfuhren, mit der man das vereinfachte Mo-dell verbessern kann. Die Grundidee dazu ist, im exakten Modell (1.21) denTerm der Großenordnung ε nicht komplett zu vernachlassigen, sondern eineReihenentwicklung fur die Losung von (1.21) bezuglich ε zu versuchen, umgenauere Losungen zu erhalten. Die Terme hoherer Ordnung in ε bestimmtman, indem man die Reihenentwicklung in (1.21) einsetzt und dann die Glei-chungen lost, die sich zu jeder Ordnung in ε ergeben.

Wir wollen dieses Vorgehen, das man als Methode der asymptotischen Ent-wicklung bezeichnet, zunachst an einem einfachen algebraischen Beispiel dis-kutieren. Wir betrachten die Gleichung

x2 + 0,002 x− 1 = 0 . (1.23)

26 1 Einfuhrung

Der zweite Summand hat einen kleinen Vorfaktor. Setzen wir ε = 0,001 ≪ 1,so erhalten wir

x2 + 2εx− 1 = 0 . (1.24)

Wir wollen nun Losungen x dieser Gleichung durch eine Reihenentwicklungder Form

x0 + εαx1 + ε2αx2 + · · · mit α > 0 (1.25)

annahern.

Wir werden nun aber zunachst allgemein definieren, was wir unter einerasymptotischen Entwicklung verstehen. Es sei x : (−ε0, ε0) → R, ε0 > 0,

eine gegebene Funktion. Eine ReiheN∑

k=0

φk(ε)xk heißt asymptotische Ent-

wicklung von x(ε) zur Ordnung N ∈ N ∪ ∞ bzgl. der Reihe (φn(ε))n∈N0 ,falls fur M = 0, 1, 2, 3, . . . , N

x(ε)−M∑

k=0

φk(ε)xk = o(φM (ε)) fur ε→ 0

gilt. Ist N = ∞, so schreiben wir in diesem Fall

x(ε) ∼∞∑

k=0

φk(ε)xk fur ε→ 0 .

Ist φk(ε) = εk, so sprechen wir von einer asymptotischen Entwicklung vonx(ε) nach Potenzen von ε. An dieser Stelle sei ausdrucklich darauf hingewie-sen, dass die asymptotischen Entwicklungen zu beliebiger Ordnung existierenkonnen, obwohl die entsprechenden unendlichen Reihen fur jedes ε 6= 0 di-vergieren. Insbesondere kann eine asymptotische Entwicklung nach Potenzenvon ε zur Ordnung ε existieren, obwohl die Taylorentwicklung fur x(ε) furkein ε 6= 0 konvergiert, siehe Holmes [76]. Wir bemerken, dass die reellenZahlen R in der Reihenentwicklung auch durch einen Banachraum ersetztwerden konnen.

Wir setzen nun die asymptotische Entwicklung (1.25) in (1.24) ein und er-halten

x20 + 2εαx0x1 + · · ·+ 2ε(x0 + εαx1 + · · · )− 1 = 0 .

Wenn diese Identitat richtig sein soll, muss sie insbesondere fur kleine ε richtigsein. Alle Terme, die keinen Faktor ε (oder εα) besitzen, mussen sich zuNull addieren. Solche Terme sind von der Ordnung 1. Wir schreiben O(1)beziehungsweise O(ε) und sammeln dabei nur die Terme, die genau von derOrdnung 1 beziehungsweise ε sind. Die Gleichung zur Ordnung 1 ist

O(1) : x20 − 1 = 0 .

1.11 Asymptotische Entwicklung 27

Die Losungen sind x0 = ±1. Insbesondere hat die Gleichung zur OrdnungO(1) genau so viele Losungen wie das ursprungliche Problem. Dies ist eineVoraussetzung, um von einem regular gestorten Problem zu sprechen. Spaterwerden wir sehen, wann wir von regularen und wann wir von singularenStorungen sprechen.

Jetzt betrachten wir die Terme zur nachsthoheren Ordnung in ε. Welche dassind, hangt davon ab, ob α < 1, α > 1 oder α = 1 gilt. Ist α < 1, so folgtaus den Termen der Ordnung εα zunachst x1 = 0, und aus den Termen derOrdnung εjα sukzessive xj = 0 fur 1 ≤ j < 1/α. Damit der Term 2εx0balanziert werden kann, muss α = 1/k mit k ∈ N gelten. Fur den Term derOrdnung kα = 1 folgt

2x0xk + 2x0 = 0

und damit xk = −1. Im weiteren Verlauf der asymptotischen Entwicklungstellt man fest, dass fur die Terme der Ordnung j mit αj /∈ N immer xj = 0herauskommt, da der Term der Ordnung εαj durch 2x0xj gegeben ist. Somitbleiben nur die Terme xkn mit n ∈ N ubrig. Fur die entsprechenden Potenzenεknα gilt knα ∈ N. Der Potenzreihenansatz mit α < 1, α = 1/k, k ∈ N, fuhrtalso auf dasselbe Ergebnis wie der Ansatz α = 1, und ist somit unnotigkompliziert. Falls α 6= 1/k fur alle k ∈ N gilt, dann folgt aus dem Term derOrdnung ε

2x0 = 0 ,

was im Widerspruch zu den bereits berechneten Losungen x0 = ±1 steht.Der Ansatz α < 1 ist demnach nicht sinnvoll. Im Fall α > 1 fuhrt auch derTerm der Ordnung ε auf 2x0 = 0; dies ist aber, wie wir gerade gesehen haben,nicht moglich. Somit bleibt als einzige sinnvolle Wahl α = 1 und wir erhaltenzur Ordnung ε die Gleichung

O(ε) : 2x0x1 + 2x0 = 0 .

Die einzige Losung ist x1 = −1.

Berucksichtigen wir auch Terme der nachsthoheren Ordnung ε2, so erhaltenwir

x20 + 2εx0x1 + ε2x21 + 2ε2x2x0 + 2ε(x0 + εx1 + ε2x2)− 1 = 0

und die Terme der Ordnung ε2 ergeben die Identitat

O(ε2) : x21 + 2x2x0 + 2x1 = 0 .

Damit gilt

x2 =1

2(x0)

−1 = ±1

2.

Gleichung (1.23) entspricht (1.24) fur ε = 10−3. Wir erwarten daher, dass dieZahlen

x0 , x0 + εx1 , x0 + εx1 + ε2x2

28 1 Einfuhrung

gute Naherungen der Losungen von (1.23) sind, falls wir ε = 10−3 setzen.Tatsachlich gilt

x0 x0 + εx1 x0 + εx1 + ε2x2 exakte Losungen1 0,999 0,9990005 0,9990005 · · ·

−1 −1,001 −1,0010005 −1,0010005 · · ·

Die Reihenentwicklung liefert also fur dieses Beispiel schon bei der Beruck-sichtigung weniger Terme sehr gute Naherungen.

Interessant wird dieses Vorgehen naturlich erst bei komplexen Problemenohne analytische Losung. Wir wollen die Methode der asymptotischen Ent-wicklung nun am Beispiel (1.21) des Wurfes im Schwerefeld eines Planetendiskutieren. Anwendung der Taylorentwicklung um z = 0

1

(1 + z)2= 1− 2z + 3z2 − 4z3 ± · · ·

auf die rechte Seite der Differentialgleichung

y′′ε (τ) = − 1

(1 + ε yε(τ))2(1.26)

lieferty′′ε (τ) = −1 + 2ε yε(τ)− 3ε2y2ε(τ) ± · · · . (1.27)

Wir nehmen an, dass die Losung yε eine asymptotische Entwicklung besitzt,und zwar von der Form

yε(τ) = y0(τ) + εαy1(τ) + ε2αy2(τ) + · · · (1.28)

mit zu bestimmenden Koeffizientenfunktionen yj(τ) und einem noch nichtspezifizierten Parameter α. Dieser Ansatz wird in (1.27) eingesetzt, dannwerden die Koeffizienten derselben Potenzen von ε zusammengefasst. Zielist es, einen sinnvollen Wert des Parameters α zu ermitteln, und losbareGleichungen fur die Koeffizientenfunktionen yj(τ), j = 0, 1, 2, . . ., zu erhalten.

Einsetzen von (1.28) in (1.27) liefert

y′′0 (τ) + εαy′′1 (τ) + ε2αy′′2 (τ) + · · ·= −1 + 2ε

(y0(τ) + εαy1(τ) + ε2αy2(τ) + · · ·

)

− 3ε2(y0(τ) + εαy1(τ) + ε2αy2(τ) + · · ·

)2 ± · · · .(1.29)

Entsprechend kann man die Reihenentwicklung in die Anfangsbedingungeneinsetzen und erhalt

y0(0) + εαy1(0) + ε2αy2(0) + · · · = 0 ,

y′0(0) + εαy′1(0) + ε2αy′2(0) + · · · = 1 .

1.11 Asymptotische Entwicklung 29

Hieraus folgt durch Vergleich der Koeffizienten von εkα, k ∈ N, sofort

yj(0) = 0 fur j ∈ N ∪ 0 , y′0(0) = 1 und y′j(0) = 0 fur j ∈ N . (1.30)

Der Koeffizientenvergleich in (1.29) ist etwas komplizierter. Die niedrigsteauftretende Potenz von ε ist ε0 = 1, der Vergleich der Koeffizienten von ε0

lieferty′′0 (τ) = −1 .

Zusammen mit den Anfangsbedingungen y0(0) = 0 und y′0(0) = 1 erhaltenwir das bereits bekannte Problem (1.22) mit der Losung

y0(τ) = τ − 1

2τ2.

Der nachste Exponent hangt nun von der Wahl von α ab. Fur α < 1 ist diesεα, Vergleich der Koeffizienten liefert

y′′1 (τ) = 0 .

Zusammen mit den Anfangsbedingungen y1(0) = y′1(0) = 0 erhalt man dieeindeutige Losung y1(τ) = 0. Der Term 2εy0 in (1.29) kann nur kompensiertwerden durch einen Term der Form εkαy′′k , k ∈ N, kα = 1. Wie im Fall vony1 folgern wir yj ≡ 0 fur 1 ≤ j ≤ k − 1. Analog erhalt man im weiterenVerlauf der asymptotischen Entwicklung, dass die Terme yk mit kα /∈ N alleNull sind, so dass man von vornherein mit dem Ansatz α = 1 starten kann.

Fur α > 1 ist der nachste Exponent ε1, durch Koeffizientenvergleich folgtdann y0(τ) = 0. Dies ist ein Widerspruch zur oben berechneten Losung, alsoist α > 1 sicher die falsche Wahl.

Wir betrachten also den Exponenten α = 1. Die Koeffizienten von ε1 sinddann

y′′1 (τ) = 2 y0(τ) = 2τ − τ2 .

Zusammen mit den Anfangsbedingungen y1(0) = y′1(0) = 0 erhalt man dieeindeutige Losung

y1(τ) =1

3τ3 − 1

12τ4 .

Die Koeffizienten von ε2 ergeben das Problem

y′′2 (τ) = 2 y1(τ)− 3 y20(τ) =2

3τ3 − 1

6τ4 − 3τ2 + 3τ3 − 3

4τ4

und die Anfangsbedingungen y2(0) = y′2(0) = 0. Die Losung ist

y2(τ) = − 11

360τ6 +

11

60τ5 − 1

4τ4 .

30 1 Einfuhrung

1

1

2

y0

y0 + ε y1

yε

Abb. 1.4 Asymptotische Entwicklung beim senkrechten Wurf fur ε = 0,2

Entsprechend kann man die weiteren Koeffizienten y3(τ), y4(τ), · · · ausrech-nen, wobei der Aufwand mit zunehmender Ordnung immer großer wird. Dieersten drei Terme der Reihenentwicklung sind also

yε(τ) = τ − 1

2τ2 + ε

(1

3τ3 − 1

12τ4)+ ε2

(−1

4τ4 +

11

60τ5 − 11

360τ6)+O

(ε3).

Abbildung 1.4 zeigt die Graphen der Approximationen y0(τ) der Ordnung 0,y0(τ) + ε y1(τ) der Ordnung 1 und die exakte Losung fur ε = 0,2. Man sieht,dass die Approximation der Ordnung 1 von der exakten Losung optisch kaumzu unterscheiden ist, wahrend die Approximation der 0–ten Ordnung einendeutlich sichtbaren Fehler aufweist.

Wir mochten nun mit Hilfe der Reihenentwicklung eine bessere Approxima-tion fur die Hohe des Wurfes ausrechnen. Dazu berechnen wir zunachst eineApproximation fur den Zeitpunkt τ = τε, zu dem diese Hohe erreicht wird,aus der Gleichung

y′ε(τ) = 0 .

Mit yε(τ) = y0(τ) + ε y1(τ) + ε2y2(τ) + · · · folgt

y′0(τ) + ε y′1(τ) + ε2y′2(τ) +O(ε3)= 0 .

Wir losen die Gleichung wieder naherungsweise mit dem Reihenansatz

τε = τ0 + ε τ1 + ε2τ2 + · · · .

Die Koeffizienten von ε0 liefern

y′0(τ0) = 1− τ0 = 0 ,

und damit τ0 = 1. Aus den Koeffizienten von ε und der Entwicklung y′i(τε) =y′i(τ0) + ε y′′i (τ0)τ1 + · · · , i = 1, 2, erhalt man

1.11 Asymptotische Entwicklung 31

y′′0 (τ0)τ1 + y′1(τ0) = −τ1 + τ20 − 1

3τ30 = 0

und somit τ1 = 2/3. Die Naherung erster Ordnung von τε ist damit

1 +2

3ε .

Die entsprechende Hohe ist

hε = yε(τε) = y0(τ0) + ε(y′0(τ0)τ1 + y1(τ0)

)+O

(ε2)

= y0(τ0) + ε y1(τ0) +O(ε2) =1

2+

1

4ε+O(ε2) .

Wenn man die Abnahme der Gravitationskraft mit der Hohe berucksichtigt,wird die Hohe des Wurfes also etwas großer. Fur unser ursprungliches Beispielmit ε = 10−6 macht sich dieser Effekt aber erst in der siebten Nachkomma-stelle bemerkbar.

Die Existenz einer Reihenentwickung der Form (1.28) ist a priori nicht gesi-chert. Fur eine mathematisch abgesicherte Modellbildung ist es daher notig,das Ergebnis der Reihenentwicklung zu rechtfertigen, zum Beispiel durch Her-leitung einer Fehlerabschatzung der Form

∣∣∣∣∣∣yε(τ)−

N∑

j=0

εjyj(τ)

∣∣∣∣∣∣≤ CNε

N+1 . (1.31)

Wir formulieren eine solche Abschatzung fur N = 1, also

|yε(τ)− y0(τ) − ε y1(τ)| ≤ Cε2 , (1.32)

und zwar fur τ ∈ (0, T ) mit einer geeigneten Zeit T , falls ε klein genug ist,also ε < ε0 mit einem geeigneten, noch zu spezifizierenden ε0 gilt.

Satz 1.4. Es sei yε die Losung von (1.26) und y0 sowie y1 wie oben berechnet.Dann existieren T ≥ 2, ε0 > 0 und C > 0, so dass fur alle ε < ε0 undτ ∈ [0, T ] gilt

|yε(τ)− y0(τ) − ε y1(τ)| ≤ Cε2 .

Beweis. (Idee) Wir bestimmen eine Differentialgleichung fur den Fehler

zε(τ) = yε(τ) − y0(τ)− ε y1(τ) .

Aus den Differentialgleichungen fur yε, y0, y1 folgt:

z′′ε (τ) = y′′ε (τ)− y′′0 (τ)− ε y′′1 (τ)

= − 1

(1 + ε yε(τ))2+ 1− 2ε y0(τ) .

32 1 Einfuhrung

Eine Taylorentwicklung mit Restglied liefert

1

(1 + y)2= 1− 2y + 3

1

(1 + θ(y)y)4y2

mit θ(y) ∈ (0, 1). Wir erhalten somit

z′′ε (τ) = −1 + 2ε yε(τ) − 3ε21

(1 + ε θ yε(τ))4y2ε(τ) + 1− 2ε y0(τ) .

Da yε = zε + y0 + ε y1 folgt

z′′ε (τ) = 2ε zε(τ) + ε2Rε(τ)

mit

Rε(τ) = − 3y2ε(τ)

(1 + ε θ yε(τ))4+ 2y1(τ) .

Als Anfangsbedingungen erhalten wir

zε(0) = 0 und z′ε(0) = 0 .

Falls Rε = 0 ware, wurde

z′′ε (τ) = 2ε zε(τ) , zε(0) = 0 , z′ε(0) = 0

die Null als Losung haben. Fur den Fehlerterm ε2Rε(τ) mussen wir nunzeigen, dass der Fehler zur Nulllosung wie ε2 geht. Die Details dazu findenSie im Buch [37].

Anhang A

A.1 Prinzip der linearisierten Stabilitat

Es sei ein System von Differentialgleichungen

x′ = f(x) mit f ∈ C2(Ω;Rn

)fur eine offene Menge Ω ⊂ R

n (A.1)

gegeben. Uns interessiert in diesem Abschnitt die Stabilitat von stationarenLosungen, das sind die zeitunabhangigen Losungen x∗ von (A.1). Es gilt daherf(x∗) = 0.

Definition A.1. Eine stationare Losung x∗ der Differentialgleichung x′ =f(x) heißt

(i) stabil, wenn zu jeder Umgebung U von x∗ eine Umgebung V von x∗ exi-stiert, so dass fur jede Losung der Anfangswertprobleme

x′ = f(x) , x(0) = x0 ∈ V

gilt:x(t) ∈ U fur alle t > 0 ,

(ii) instabil, falls sie nicht stabil ist.

(iii) Eine stabile stationare Losung heißt asymptotisch stabil, falls eine Umge-bungW von x∗ existiert, so dass fur jede Losung der Anfangswertprobleme

x′ = f(x) , x(0) = x0 ∈W

gilt:limt→∞

x(t) = x∗ .

197

198 A

Definition A.2. Die stationare Losung x∗ ist linear stabil (linear instabiloder linear asymptotisch stabil), falls 0 stabile (instabile oder asymptotischstabile) Losung der linearisierten Gleichung ist.

Das Prinzip der linearisierten Stabilitat lautet nun:

(i) Ist x∗ linear asymptotisch stabil, dann ist x∗ asymptotisch stabil.

(ii) Besitzt Df(x∗) mindestens einen Eigenwert λ mit Reλ > 0, dann ist x∗

instabil.

Satz A.3. Das Prinzip der linearisierten Stabilitat ist in der oben formulier-ten Form gultig.

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