Vortrag:Vortrag:

Luftwiderstand und MagnuseffektLuftwiderstand und Magnuseffekt

Fachdidaktik SeminarFachdidaktik Seminar

Alexander Falger, 6.12.2005Alexander Falger, 6.12.2005

Überblick Motivation (Bilder, Videoclips)

Unterschied: laminare und turbulente Strömung

Herleitung der Luftwiderstandskraft über Energieerhaltung

Alternative mikroskopische Herleitung der Luftwiderstandskraft

Der cw Wert

Beispiel 1: Freier Fall (Kugel und Papierzylinder)

Beispiel 2: Kraftstoffverbrauch einiger Autos

Magnuseffekt

Luftwiderstand im Alltag:Luftwiderstand im Alltag:

Beim Radfahren:(Tour de France)

Am Sternenhimmel:Die Sternschnuppe

Magnuseffekt im Alltag:Magnuseffekt im Alltag:

Beim Fußballspielen:

roberto carlos

vrF 6

laminar

Unterscheidung:Unterscheidung:laminare und turbulente Strömunglaminare und turbulente Strömung

Wenn die Strömungsgeschwindigkeit von einem Medium eine gewisse Grenzeüberschreitet, dann geht die laminare in eine turbulente Strömung über.

?F

turbulent

Stokes Reibung

Diese kritische Geschwindigkeit hängt von der Dichte und der Viskosität des Mediums sowie vom Radius r der Röhre ab. Eine wichtige Kennzahlzur Charakterisierung von Strömungen des Mediumsist die Reynolds-Zahl Re, die durch Re = 2rv/ definiert ist,wobei v die mittlere Stömungsgeschwindigkeit des Mediums ist.

entgegengesetzt rotierende Wirbel

alternierende Wirbelablösung

KarmanscheWirbelstrasse

Bei Außenströmungen, z.B. über einen Tragflügelgeht die laminare Grenzschicht ab Rekrit = 105 – 106

in eine turbulente Grenzschicht über

typischer Radfahrer: vF 4103.1 23.0 vF

Laminar:

Turbulent:

smv l /9Re lvRe

Herleitung der Luftwiderstandskraft:Herleitung der Luftwiderstandskraft:

Für die Strecke, die ein Fahrzeug mit der Querschnittsfläche Amit der Geschwindigkeit v in der Zeit zurücklegt, gilt

Dabei wird von ihm ein Luftvolumen

zur Seite geschoben, welches die Masse

besitzt.

Man nehme an, dass die Luftmoleküle dabei eine Geschwindigkeit werhalten, die der Geschwindigkeit v proportional ist.Für die kinetische Energie W der zur Seite geschobenen Luftmasse mgilt dann:

oder mit w² = cW v² (aus der Annahme w ~ v folgt w² ~ v²)

Zum Beschleunigen der Luft muss das Fahrzeug diese Arbeit aufbringen.Weil das Fahrzeug nun die Luftwiderstandskraft FL erfährt und dieser bei der Geschwindigkeit v das Gleichgewicht halten muss folgt für FL:

ÄÄquivalentequivalente Herleitung der Luftwiderstandskraft: Herleitung der Luftwiderstandskraft:(mikroskopische)

Ein Luftmolekül mit der Masse m0 unddem Impuls pi = - m0•v•ex prallt auf die Sphäre

In unserem vereinfachten Modell nehmenWir an, dass es sich um einen elastischenStoß handelt. pi = pf

oder

Quadrieren wir beide Seiten der GleichungErhalten wir:

Und ausmultipliziert ergibt dies:

oder

Betrachten wir nun die x-Komponenteunserer Ausgangsgleichung:

Setzen wir diese pfx in die vorherigeGleichung ein,so erhalten wir:

Und somit:

Wir haben nun einen möglichen Fall behandelt, aber welchen gemittelten Impuls erfährt unsere Sphäre bei allen Luftmolekülen?

Dazu muss man dieses Integral lösen,wobei da ein Flächenelementstückchen der Sphäre beschreibt:

Ergebnis:

Betrachten wir n Moleküle:

Diese Zeichnung zeigt die reale und die angenäherte Volumenverschiebungder Moleküle, diese beiden können als äquivalent angesehen werden.

Daraus ergibt sich:

oder

In vorangegangener Gleichung einsetzen:

So erhalten wir:

und

Der cDer cww Wert: Wert:

Wie bestimmt man diesen cWie bestimmt man diesen cww Wert: Wert:

221 vAcF w

22vAF

wc

Beispiel freier Fall mit Luftwiderstand:Beispiel freier Fall mit Luftwiderstand:

Link

Freier Fall der Kugel:

Wir vernachlässigen den Luftwiderstand, da FL = 7,5 • 10-4 • v2

bei einer Geschwindigkeit v = 13,3 m/s entspricht FL = 0,01 • Fg

Die Kugel fällt auf der ganzen Strecke gleichmäßig beschleunigt mit der Fallbeschleunigung g = 10 m/s2.

Für sie gelten die bekannten Gleichungen für den "Freien Fall":

• s = 1/2 • g • t2

• v = g • t

Fall des Papiertrichters:

Der Papiertrichter fällt zunächst ebenfalls beschleunigt.Je größer seine Fallgeschwindigkeit v wird,desto mehr nimmt die Luftwiderstandskraft FL zu.

Sie wirkt der Gewichtskraft Fg entgegen, so dass die Gesamtkraft Fges

auf den Papiertrichter im Verlauf der Fallbewegung immer kleiner wird.Daher nimmt die Beschleunigung a immer mehr ab.

Ist die Luftwiderstandskraft FL betragsmäßig gleich der Gewichtskraft Fg,

wird die Gesamtkraft Fges und damit auch die Beschleunigung a null.

In diesem Augenblick bleibt der Papiertrichter nicht etwa stehen,sondern er fällt ab diesem Zeitpunkt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.(Dies ist etwa am Ende der Animation erfüllt)

smv Acwmg /142

FW = FG

mgvAcw 221

Das s-t-Diagramm ist die bekannte (nach unten geöffnete) Parabel.

Nach t = 2 s ist die Kugel z.B. bei s = 1/2 • -10 m/s2 • (2 s)2 = -20 m.

Das v-t-Diagramm ist eine Ursprungsgerade mit negativer Steigung.

Der Betrag der Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu.Nach t = 2 s hat die Kugel z.B. die Geschwindigkeit

v = -g • t = -10 m/s2 • 2 s = -20 m/s.

Diagramme:

Berechnung des KraftstoffverbrauchsBerechnung des Kraftstoffverbrauchseiniger Modelle:einiger Modelle:

Audi A4:

BMW 740i:

Porsche 911:

Motorrad:

Dazu benötigen wir:

sowie:

Dichte der Luft: = 1,29 kg/m3

Wirkungsgrad der Fahrzeuge: = 30% = 0,3 Heizwert des Kraftstoffes: H = 32,6 MJ/Liter

Berechnung der Kraft zur Überwindung des Luftwiderstandes:

Berechnung der daraus resultierenden Verschiebungsarbeit auf s = 100 km:

Die Verschiebungsarbeit entspricht der genutzten Energie:

Berechnung der notwendig zugeführten Energie:

Die zugeführte Energie entspricht der Energie; die durch Verbrennung frei wird:

Berechnung der Kraftstoffmenge:

v [m/s]

Verbrauch [l]

Porsche 911

Audi A4

BMW 740i

Motorrad

22 vF H

Acs w

Der Magnuseffekt:Der Magnuseffekt:

Benannt nach seinem Entdecker Heinrich Gustav Magnus (1802-1870)

1) Ein Ball wird von Luft umströmt

2) Ein rotierender Ball versetzt Luftschichten in seiner Umgebung Ebenfalls in Rotation. Es entsteht eine Zirkulationsströmung.

3) Treten beide Fälle gleichzeitig auf, überlagern sich diese. Dabei werden die Stromlinien auf einer Seite zusammengedrängt Unterdruck.Auf der entgegengesetzten Seite sind die Stromlinien auseinander gezogen Überdruck.Dadurch entsteht eine Kraft, die quer zur Strömung gerichtet ist. Diese wird als Querkraft bezeichnet.