Wachstum einer Fichte

Durch die Funktion f mit 2 0,1tf(t) 0,02 t e wird das Wachstum einer Fichte in

Abhängigkeit von der Zeit t (gemessen in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) nicht die

Höhe, sondern die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr (zum Zeitpunkt t) an.

Zum Zeitpunkt t = 0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.

Fichte (Längenwachstum in Meter/Jahr)

a) Berechnen Sie den Funktionswert von f an der Stelle t = 30 und interpretieren Sie das

Ergebnis im Sachzusammenhang.

Beschreiben Sie anhand des Graphen von f, wie sich die Fichte im Laufe der Jahre

entwickelt.

b) Bestimmen Sie rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst.

Geben Sie zudem die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.

Es gilt: 2 0,1tf (t) 0,0002 t 40t 200 e . Nachweis nicht erforderlich!

c) Begründen Sie anhand des Graphen von f, dass die Fichte nach 20 Jahren weniger als

20 Meter hoch ist.

d) Zeigen Sie, dass 2 0,1tF(t) 0,2 t 20t 200 e eine Stammfunktion von f ist.

Berechnen Sie die zu erwartende Höhe der Fichte nach 20 Jahren.

e) Begründen Sie durch Eigenschaften der Funktion f, dass F eine Wendestelle hat.

f) In einem Lexikon steht, dass bestimmte Fichtenarten bis zu 60 m hoch werden können.

Ermitteln Sie, welche Höhe eine Fichte, deren Wachstum durch die Funktion f

beschrieben wird, maximal erreichen kann (gerundet auf ganze Meter).

a) 2 0,130 3f(30) 0,02 30 e 18 e 0,896

Eine 30-jährige Fichte wächst mit einer Geschwindigkeit von ca. 90 cm pro Jahr.

Der Baum wächst die ganze Zeit (f(t) > 0).

Zu Beginn ist die Wachstumsgeschwindigkeit gleich 0.

Sie nimmt in den ersten 15 Jahren sehr schnell zu

und erreicht nach ungefähr 20 Jahren ihren größten Wert von ca. 1,1 m/a.

Danach nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit wieder ab und konvergiert gegen 0.

Nach 100 Jahren ist sie nur noch unwesentlich größer als 0.

Mit 100 Jahren ist der Baum also praktisch ausgewachsen.

b) 0,1t 2 0,1t 0,1t 2 2 0,1tf '(t) 0,02 2t e t e 0,1 0,02 e 2t 0,1t 0,002 t 20t e

2 0,1t 2f '(t) 0 0,002 t 20t e 0 t 20t t t 20 0 t 0 t 20

Wegen f(0) = 0 kommt hier nur t = 20 als mögliche Hochstelle in Betracht.

2 0,120 2 3f (20) 0 f (20) 0,0002 20 40 20 200 e 200 e 5,4 10 0

2 0,120 220 ist Hochstelle , f(20) 0,02 20 e 8 e 1,08 , H 20/ 1,08

Eine 20-jährige Fichte wächst am stärksten, nämlich etwa 1,08 m pro Jahr.

c) Der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f gibt den Längenzuwachs der Fichte an.

Abschätzen der Fläche unter der Kurve zwischen 0 und 20:

Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit über diesen

Zeitraum beträgt ca. w 0,65 m/Jahr . Einzeichnen!

20 Jahre 0,65 m/Jahr 13 m

Die Fläche eines Kästchens entspricht dem

Längenzuwachs 5 Jahre 0,2 m/Jahr 1 m .

Die Fläche unter der Kurve zwischen 0 und 20 hat ca.

die Größe von 13 Kästchen.

Ihr entspricht ein Längenzuwachs von ca. 13 m.

In den ersten 20 Jahren wächst die Fichte ca. 13 m.

Eine 20-jährige Fichte ist also ca. 13 m hoch.

Die Anfangshöhe von 0,2 m kann dabei vernachlässigt werden.

d) 0,1t 2 0,1tF (t) 0,2 2t 20 e t 20t 200 e 0,1

0,1t 2 0,1t 2 2 0,1t0,2 e 2t 20 0,1t 2t 20 0,2 e 0,1t 0,02 t e f(t) qed.

0F(0) 0,2 200 e 40

2 0,120 2F(20) 0,2 20 20 20 200 e 200 e 27,07

20

0

f(t)dt F(20) F(0) 27,07 ( 40) 40 27,07 12,93

20

0

h(20) 0,2 f(t)dt 0,2 12,93 13,13

Für eine 20-jährige Fichte ist eine Höhe von ca. 10,13 m zu erwarten.

(Dabei ist die Anfangshöhe von 20 cm = 0,2 m berücksichtigt.)

e) 20 ist Extremstelle von f F und somit Wendestelle von F.

(Wendestellen sind Extremstellen der 1. Ableitung.)

f) Für die Höhe der Fichte zum Zeitpunkt z (z > 0) gilt:

z

2 0,1z

0

h(z) 0,2 f(t)dt 0,2 F(z) F(0) 0,2 0,2 z 20z 200 e ( 40)

2 0,1z40,2 0,2 z 20z 200 e

2 0,1z

e-Funktionz z

setzt sich durch!

limh(z) 40,2 lim 0,2 z 20z 200 e 40,2 0 40,2

Bei angemessener Rundung kann man sagen, dass eine Fichte, deren Wachstum durch

die vorliegende Funktion f beschrieben wird, etwa 40 m hoch werden kann.