Embed Size (px)
Citation preview
Wahrscheinlichkeit
1. Zufallsversuche Ziehen von Spielkarten, Setzen auf eine Zahl im Roulette, oder die Ziehung der Lottozahlen sind Zufallsversuche. Hierbei kann nicht vorausgesagt werden, welches Ergebnis eintritt. Man kann aber schon vorher alle möglichen Ergebnisse in der Ergebnismenge S angeben.
Foto: molazim in 4teachers
Foto: scheo
Glücksrad: 𝑆 = {𝑟𝑜𝑡; 𝑔𝑒𝑙𝑏; 𝑏𝑙𝑎𝑢; 𝑔𝑟ü𝑛}
Würfeln: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Schnick-Schnack-Schnuck: 𝑆 = {𝑆𝑐ℎ𝑒𝑟𝑒; 𝑆𝑡𝑒𝑖𝑛; 𝑃𝑎𝑝𝑖𝑒𝑟}
Wenn bei Zufallsversuchen Chancengleichheit herrscht, wenn also jedes Ergebnis die gleiche Chance hat einzutreten, spricht man von Laplace-Versuchen (Marquis de Laplace war ein französi-scher Mathematiker). Glücksrad Würfel Münzen
Foto: molazim in 4teachers
Foto: scheo
Die Mittelpunktswinkel der Kreissektoren sind gleich groß.
6 kongruente Quadrate als Seitenflächen.
(Wir gehen von einer gleichmäßigen Dichte des Materials aus)
Selbsterklärend
Der Versuch hat 8 mögliche Ergebnisse => n = 8
Die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses beträgt 1
𝑛=
1
8
Der Versuch hat 6 mögliche Ergebnisse => n = 6
Die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses beträgt 1
𝑛=
1
6
Der Versuch hat 2 mögliche Ergebnisse => n = 2
Die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses beträgt 1
𝑛=
1
2
rot
gelb
blau
grün
5 6 7 8
1
2
3
4 5
6
7
8
Merke: Bei einem Laplace-Versuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses 1
𝑛
1
3
2
1 3
4
4
6
2. Ereignisse Dazu ein Beispiel:
In dem Becher befinden sich nummerierte Kugeln von denen eine Kugel blind gezogen werden soll. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass eine 4 gezogen wird?
1. Zuerst stellen wir die Anzahl n aller möglichen Ergebnisse fest: Es gibt insgesamt 8 Kugeln im Becher d.h., es gibt acht mögliche Ergebnisse
2. Danach stellen wir die Anzahl m der günstigen Ergebnisse fest: Es gibt 2 Kugeln mit der 4 d.h., es gibt zwei günstige Ergebnisse.
Alle günstigen Ergebnisse zusammen nennt man Ereignis.
3. Zuletzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass die 4 gezogen wird.
P(E) =Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse=
2
8=
1
4
Kurz: 𝑃(𝐸) =𝑚
𝑛
Sonderfälle: Wenn 𝑃(𝐸) = 0 spricht man von einem unmöglichen Ereignis Wenn 𝑃(𝐸) = 1 spricht man von einem sicheren Ereignis
3. Zusammengesetzte Ereignisse Auch dazu ein Beispiel: In einer Lostrommel befinden sich 10 rote Kugeln, 8 gelbe Kugeln, 12 blaue Kugeln, 15 grüne Ku-geln und 5 schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote oder eine gelbe Kugel gezogen wird? Dazu bestimmen wir die Einzelwahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑟𝑜𝑡) 𝑢𝑛𝑑 𝑃(𝑔𝑒𝑙𝑏).
P(rot) 1. n = 50 (es sind insgesamt 50 Kugeln in der Lostrommel) 2. m = 10
3. 𝑃(𝑟𝑜𝑡) =10
50
P(gelb) 1. n = 50 (es sind insgesamt 50 Kugeln in der Lostrommel) 2. m = 8
3. 𝑃(𝑔𝑒𝑙𝑏) =8
50
𝑃(𝑟𝑜𝑡 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑔𝑒𝑙𝑏) = 𝑃(𝑟𝑜𝑡) + 𝑃(𝑔𝑒𝑙𝑏)
𝑃(𝑟𝑜𝑡 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑔𝑒𝑙𝑏) = 10
50+
8
50=
18
50= 0,36 𝑜𝑑𝑒𝑟 36%
Die Chance, eine rote oder eine gelbe Kugel zu ziehen liegt bei 36%.
P(E) = P(E1) + P(E2)
SUMMENREGEL Bei zusammengesetzten Ereignissen werden die Einzelereignisse addiert:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man
P(E) =Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse=
m
n
W
B
S
G R
4. Zweistufiger Zufallsversuch mit Reihenfolge a) Versuche mit Zurücklegen Beispiele:
Foto: scheo
Ziehen einer Kugel mit an-schließendem Zurücklegen
Zweimaliges Drehen des Glücksrades
Gleichzeitiges Werfen zweier Münzen
Das Beispiel „Münzen werfen“ soll ein Baumdiagramm verdeutlichen:
1. Stufe 2. Stufe Mögliche Ergebnis- se
(W;W)
(W;Z)
(Z;W)
(Z;Z)
Dieser Wahrscheinlichkeitsbaum weist 4 Pfade auf wovon jeder zu einem möglichen Ergebnis , einem geordneten Paar, führt. Es gibt demnach 4 mögliche, in unserem Fall sogar gleich wahr-scheinliche Möglichkeiten.
𝑃(𝑊; 𝑊) =1
2∙
1
2=
1
4
𝑃(𝑊; 𝑍) =1
2∙
1
2=
1
4
𝑃(𝑍; 𝑊) =1
2∙
1
2=
1
4
𝑃(𝑍; 𝑍) =1
2∙
1
2=
1
4
Die Wahrscheinlichkeit eines zweistufigen Zufallsversuches mit Zurücklegen berechnet man entlang dem Pfad.
𝑃(E) = P(1. Stufe) ∙ P(2. Stufe)
Produktregel (auch Pfadregel genannt)
Sum
men
regel
nach der Produktregel
b) Versuche ohne Zurücklegen Beispiel:
Es wird zweimal hinterei-nander eine Kugel gezogen und nicht zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlich-keit, dass zweimal eine rote Kugel gezogen wird?
1. 𝑆𝑡𝑢𝑓𝑒: 𝑃(𝑅) =𝑛
𝑚=
2
5
Jetzt muss berücksichtigt werden, dass diese blaue Kugel nicht mehr zurückgelegt wird. Somit än-dert sich die Gesamtzahl der Kugeln auf m = 4 und die Anzahl der günstigen Ergebnisse n sinkt von 2 auf .
2. 𝑆𝑡𝑢𝑓𝑒: 𝑃(𝑅) =𝑛
𝑚=
1
4
Nach der Produktregel lässt sich die Frage beantworten: 𝑃(𝑅; 𝑅) =2
5∙
1
4=
2
20= 0,1 = 10%
Die Wahrscheinlichkeit eines zweistufigen Zufallsversuches ohne Zurücklegen berechnet man auch entlang dem Pfad.
𝑃(E) = P(1. Stufe) ∙ P(2. Stufe) Zu beachten ist aber hierbei, dass sich sowohl m als auch n verändert.
R
R
B
B B
5. Zweistufiger Zufallsversuch ohne Reihenfolge Beispiel:
Es werden Kugeln gleichzei-tig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine blaue Kugel dabei sein wird?
Wenn zwei Zufallsversuche gleichzeitig durchgeführt werden, erhält man als Ergebnis ungeordnete Paare. Das ist so zu verstehen, dass Paare wie (R;B) und (B;R) nicht zu unterscheiden sind. Aus die-sem Grund werden die Wahrscheinlichkeiten der Paare addiert. In unserem Beispiel erhalten wir folgende Lösungspaare {(𝐵; 𝐵); (𝐵; 𝑅); (𝑅; 𝐵)} Somit gilt: 𝑃(𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑏𝑙𝑎𝑢𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙) = 𝑃(𝐵; 𝐵) + 𝑃(𝐵; 𝑅) + 𝑃(𝑅; 𝐵)
𝑃(𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑏𝑙𝑎𝑢𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙) =3
5∙
2
4+
3
5∙
2
4+
2
5∙
3
4=
18
20= 90%
Die Wahrscheinlichkeit eines zweistufigen Zufallsversuches ohne Reihenfolge berechnet man indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten der geordneten Paare addiert.
R
R
B
B B
Beispielaufgaben zu „Daten und Zufall“
Aufgabe 1:
Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen.
Erstellen Sie ein Baumdiagramm.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Wappen geworfen wird?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Wappen geworfen wird?
Aufgabe 2:
Aus der Urne werden nacheinander
zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei blaue Kugeln gezogen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine der Kugeln rot?
Aufgabe 3:
Aus der Urne werden
nacheinander zwei Kugeln
mit Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei gleichfarbige Kugeln gezogen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine der Kugeln blau?
Aufgabe 4:
Zwei Spielwürfel werden geworfen.
Stellen Sie die möglichen Versuchsergebnisse in einer Tabelle dar.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die beiden Augenzahlen gleich (Pasch)?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme kleiner als 12?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Würfelergebnis ein Pasch oder ist die Augensumme
größer als 10?
w r r b b b
g s s s b b b b b b
g...grün s...schwarz b...blau
w...weiß r...rot b...blau
Wappen Zahl
Aufgabe 5:
Aus der Urne werden nacheinander
zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei blaue Kugeln gezogen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei weiße Kugeln gezogen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine der Kugeln rot oder weiß?
Aufgabe 6:
a) Das Glücksrad wird einmal gedreht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt
das Rad auf gelb oder weiß stehen?
b) Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Rad zweimal hintereinander
auf blau stehen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Rad auf unterschiedlichen
Farben stehen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich hintereinander blau und rot
oder umgekehrt?
w r r b b b
w...weiß r...rot b...blau
weiß
blau
rot
gelb
Aufgabe 7:
Schüler einer Sportgruppe erzielten beim Weitsprung folgende Werte:
Berechnen Sie den Mittelwert (arithmetisches Mittel) und den Zentralwert (Median).
Stellen Sie die Sprungweiten in aufsteigender Folge in einem geeigneten Säulendiagramm
dar.
Kennzeichnen Sie den Mittelwert und den Zentralwert.
Wie ändern sich Mittelwert und Zentralwert, wenn der weiteste Springer nur 5,00 m erzielt
hätte? Begründen Sie das Ergebnis.
Aufgabe 8:
Folgende Tabellen zeigen die Gehälter zweier Firmen mit 7 bzw. 9 Mitarbeitern:
Um wie viel Prozent liegt in Firma I das niedrigste Gehalt unter dem Durchschnittsgehalt?
Um wie viel Prozent liegt der Zentralwert der Firma II unter dem der Firma I?
Schüler 1 2 3 4 5 6 7
Weite 4,45 3,80 6,20 3,60 4,00 3,90 4,70
[m]
Mitarbei-ter
Gehalt (€)
Mitarbei-ter
Gehalt (€)
1 2 650 1 1 160
2 676 2 1 050
3 12 500 3 980
4 3 680 4 1 200
5 676 5 970
6 2 250 6 1 800
7 1 760 7 6 600
8 1 180
9 1 090
Firma I Firma II
Lösungen zu den Beispielaufgaben „Daten und Zufall“
Zu Aufgabe 1:
Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Wappen beträgt 4
1.
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Wappen beträgt 1 - 4
1 =
4
3.
Zu Aufgabe 2:
Die Wahrscheinlichkeit für zweimal blau beträgt 4
1.
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal rot beträgt 9
5.
Zu Aufgabe 3:
Die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln beträgt 100
46.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine der Kugeln blau ist, beträgt 100
16.
Zu Aufgabe 4:
Tabelle
Die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch beträgt 6
1.
Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme kleiner als 12 beträgt 36
35.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch oder für die Augensumme größer als 10
beträgt 9
2.
(1;1) (1;2) (1;3) ...... (1;6)
(2;1) (2;2) ...... (2;6)
(3;1) ......
(4;1) ......
(5;1) ......
(6;1) ...... (6;6)
Zu Aufgabe 5:
Die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Kugeln beträgt 5
1.
Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Kugeln beträgt 0 (0%).
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine der Kugeln
rot oder weiß ist, beträgt 5
4.
r
w
b
w
b
b
r
r
5
1
5
1
5
1
5
1
5
3
5
2
5
2
5
2
5
3
w
r
b
6
3
6
2
6
1
Zug 1
Zug 2
Zu Aufgabe 6:
a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Rad auf gelb oder auf weiß
stehen bleibt, beträgt 8
5.
b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Rad zweimal hintereinander
auf blau stehen bleibt, beträgt 64
1.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Rad auf unterschiedlichen Farben
stehen bleibt, beträgt 32
21.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich hintereinander blau und rot
oder umgekehrt ergibt, beträgt 64
1.
1 /8
1 /8
1 /8
1 /8
1 /8
g r b w
g r b w
g r b w
g r b w
Zu Aufgabe 7:
Mittelwert 4,38 m
Zentralwert 4,00 m
Diagramm
Mittelwert 4,12 m
Zentralwert 4,00 m
Begründung
Zu Aufgabe 8:
um 80% unter dem Durchschnittsgehalt
um 48,4% unter dem Zentralwert der Firma I
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiten beruhen immer auf Zufallsversuchen, bei denen jedes mögliche Ergeb-
nis gleich wahrscheinlich ist Laplace-Experiment
Für die Wahrscheinlichkeit P, dass ein Ereignis E eintritt, gilt:
P (E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Dabei ist immer: 0 P 1
0 % P 100%
z.B.: a) Zufallsversuch Werfen einer Münze Ereignis E: Zahl
P(E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse = 1 = 0,5 = 50%
Anzahl der möglichen Ergebnisse 2
b) Zufallsversuch Werfen eines Würfels Ereignis E: Gerade Augenzahl
P(E) = 3 = 1 = 0,5 = 50%
6 2
Ereignis E: Augenzahl größer als 4
P(E) = 2 = 1 = 33,33%
6 3
Laplace-Wahrscheinlichkeit (P)
Haben alle möglichen Ergebnisse eines Zufallversuchs die gleiche Chance, so sagt man, dass jedes
Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Der Wert, mit dem ein bestimmtes Ergebnis erwartet wird,
heißt Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses und wird als Bruch geschrieben.
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses = ErgebnissemöglichenallerAnzahl
1
Je mehr Möglichkeiten es gibt, desto geringer sind die Gewinnchancen.
Bei vielen Spielen können mehrere mögliche Ergebnisse zum Erfolg führen. Diese Ergebnisse hei-
ßen günstige Ergebnisse. Alle günstigen zusammen bilden ein Ereignis. Wir können also sagen:
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = ErgebnissemöglichenderAnzahl
ErgebnissegünstigenderAnzahl
Aufgaben:
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) eine Eins zu würfeln?
b) von 5 Streichhölzern das kurze zu ziehen?
c) von 98 Losen den Hauptgewinn zu ziehen?
d) aus einem Skatspiel das Herzass zu ziehen?
e) beim Roulette die 12 zu erhalten?
2) In einem Strumpf sind 8 verschieden farbige Kugeln, darunter eine gelbe.
a) Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen und zur Seite gelegt. Darunter befindet sich
die gelbe Kugel nicht. Wie groß ist die WS, als Nächstes die gelbe Kugel zu ziehen?
b) Wie groß ist die WS, im vierten Zug die gelbe zu ziehen, wenn die drei zuvor gezogenen
Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden?
3) In einem Musikgeschäft werden zum Jubiläum CDs verlost. Man kann an 78 Fäden ziehen. An
11 Fäden hängt ein Gewinn. Wie groß ist die WS zu gewinnen?
4) Beim Schulfest fand eine Verlosung statt. Dabei wurde eine Kugel aus einem Eimer mit 65
schwarzen, 18 roten und 3 weißen Kugeln gezogen. Wie groß ist die WS, eine schwarze (rote,
weiße) Kugel zu ziehen?
5) In einem Hut befinden sich 100 Lose. Davon sind 30 kleine Gewinne, 10 große Gewinne und 2
Hauptgewinne. Wie groß ist die WS, überhaupt etwas zu gewinnen?
6) Bei einer Tombola ist die WS etwas zu gewinnen 10023 . Ein Hauptgewinn hat die WS
1003 . Wel-
che WS haben die restlichen Gewinne?
Lösungen:
321 ;
61 ;
51 ;
51 ;
7811 ;
5021 ;
8665 ;
51 ;
8618 ;
863 ;
981 ;
361 ;
81
Wahrscheinlichkeit
1) In einer Schachtel sind Kärtchen mit folgenden Buchstaben:
RRE E i S
Überlege, welche Wörter mit drei Buchstaben du aus diesen Kärtchen bilden kannst.
Suche dir ein Wort aus und berechne die Wahrscheinlichkeit, dieses Wort zu erhalten, wenn du
blind drei Kärtchen aus der Schachtel nimmst. Die Buchstaben müssen dabei in der richtigen Rei-
henfolge gezogen werden!
Erstelle dazu ein Baumdiagramm!
Vergleiche dann in der Klasse: Welches Wort hat die höchste Wahrscheinlichkeit?
2) Nun wird der Buchstabe jeweils aufgeschrieben, das Kärtchen zurückgelegt und neu ge-
mischt. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit, das Wort „Eis“ zu erhalten. Wieder sollen die
Buchstaben in der richtigen Reihenfolge gezogen werden!
3) In einer Tüte sind 5 rote, 7 gelbe und 3 grüne Gummibärchen. Du nimmst 2 Gummibärchen
heraus. Berechne die Wahrscheinlichkeit,
a) zwei rote Gummibärchen zu erhalten
b) zwei gleichfarbige Gummibärchen zu erhalten
c) verschiedenfarbige Gummibärchen zu erhalten
Erstelle wieder ein Baumdiagramm.
Lösungsmuster:
1) Mögliche Wörter: IRR, IRE, EIS, SIE, REI (Schleichwerbung), SEI, SIR, SEE, REE
Beispiel-Baumdiagramm zu IRR:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt:
1 2 1 2 1· ·
6 5 4 120 60
Die wahrscheinlichsten Wörter sind alle Wörter, in denen R und E jeweils
einfach vorkommen (1
30).
2) EIS
2 1 1 2 1
· ·6 6 6 216 108
Die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen ist höher, nämlich 1
60
3) Es sind 15 Gummibärchen. Man rechnet wie mit 2 Zügen ohne Zurücklegen.
a) 5 4 1 2 2
· ·15 14 3 7 21
b) Komplizierter zu berechnen
rot-rot + gelb-gelb + grün-grün
5 4 7 6 3 2 1 1 1 29
· · ·15 14 15 14 15 14 21 5 35 105
c) Das sind die restlichen Möglichkeiten, also
29 105 29 76
1105 105 105
Statistische Kennwerte Statistische Kennwerte dienen dazu, dass du dir ganz einfach einen Überblick über eine Menge an
Daten verschaffen kannst. Wenn du beispielsweise alle einzelnen Noten einer Klassenarbeit vor dir
siehst und deine eigene im Vergleich, wird es schwierig für dich, dich mit dem Rest der Klasse zu
vergleichen. Daher wertet man die Ergebnisse aus, um in möglichst wenigen Zahlen (am besten
sogar in nur einer Zahl) einen Überblick über die Daten zu bekommen und eine Aussage treffen zu
können. Daher bildet man bei Klassenarbeiten beispielsweise den Durchschnitt. Statistisch gesehen
ist das eigentlich falsch – dazu später mehr – aber dir hilft es bei der Einschätzung, wie gut du abge-
schnitten hast.
Als Beispiel für die folgenden Auswertungen nehmen wir eine Klassenarbeit in einer sehr kleinen
Klasse mit nur zehn Ergebnissen. Die Noten sind: 2, 1, 2, 3, 2, 4, 5, 1, 4, 3. Die statistischen Kenn-
werte, die wir im Folgenden berechnen wollen, sollen uns einen ersten Überblick über diese Werte
verschaffen.
Die wichtigsten statistischen Kennwerte
Häufigkeit
Der Begriff der Häufigkeit ist dir natürlich aus dem Alltag bekannt, und statistisch gesehen bedeutet
er genau das, was du darunter verstehst: Man zählt einfach aus, wie oft eine bestimmte Ausprägung
in der Erhebung oder in den Grunddaten vorkommt. Dabei kannst du noch zwischen absoluter und
relativer Häufigkeit unterscheiden. Als absolute Häufigkeit wird die Anzahl des Vorkommens be-
zeichnet. Relative Häufigkeit ist der Anteil an der Gesamtmenge, entweder in Prozent ausgedrückt
oder als relative Zahl. Für die Klassenarbeit gelten die folgenden Häufigkeiten:
absolute Häufigkeit relative Häufigkeit
sehr gut (1) 2 20%
gut (2) 3 30%
befriedigend (3) 2 20%
ausreichend (4) 2 20%
mangelhaft (5) 1 10%
ungenügend (6) 0 0%
Minimum und Maximum
Einen guten ersten Eindruck einer Verteilung geben auch Minimum und Maximum. Die beste Note,
die in dieser Arbeit erreicht wurde, war die 1, die schlechteste die 5. Wenn du die Größen aller
Schülerinnen und Schüler deiner Klasse misst, können Minimum und Maximum dir auch einen ers-
ten Eindruck davon vermitteln, wie unterschiedlich groß deine Mitschüler sind. Allerdings werden
sogenannte Ausreißer – Werte, die sehr stark von allen anderen Werten abweichen – hier besonders
betont. Wenn zum Beispiel alle bis auf einen in der Klasse exakt 1,60m groß sind und dieser 1,90m
ist das Maximum 1,90m. Dass diese Zahl sehr stark von allen anderen abweicht, fällt gar nicht auf.
Mittelwert
Der Mittelwert einer Verteilung wird gebildet, indem alle einzelnen Werte zusammengezählt wer-
den und die Summe dann durch die Anzahl der Werte geteilt wird. Du kennst das von Klassenarbei-
ten, und wir tun jetzt zunächst mal so, als wüssten wir nicht, dass das mathematisch gesehen falsch
ist und machen es auch mit den Ergebnissen unserer fiktiven Klassenarbeit.
Allerdings darf man das so eigentlich nicht machen, denn um die einzelnen Werte addieren zu kön-
nen, müssen sie auch zahlenmäßig miteinander vergleichbar sein, und zwar nicht nur im Hinblick
auf die Größe, sondern im Hinblick auf die Abstände zwischen den einzelnen Werten. Eine 2 ist
aber nicht doppelt so gut wie eine 4 und halb so gut wie eine 1, und der Unterschied zwischen einer
1 und einer 2 sowie einer 2 und einer 3 ist auch nicht identisch. Daher darf man einen Mittelwert für
Noten eigentlich nicht bilden, weil er mathematisch nicht sinnvoll ist. Es gibt aber andere Werte,
die man heranziehen kann.
Median
Der Medien sagt auch etwas über die mittlere Tendenz einer Verteilung aus. Konkret sagt er, wel-
cher Wert in der Mitte der Verteilung liegt, und zwar genau dann, wenn man die Werte nach der
Größe aufsteigend sortiert hat. Bei einer ungeraden Anzahl an Werten nimmt man den, der exakt in
der Mitte liegt, bei einer geraden Anzahl nimmt man den Durchschnitt aus den beiden mittleren
Werten. Der Vorteil hieran ist, dass Ausreißer keinerlei Einfluss auf den Median haben. Der Median
für die Verteilung ergibt sich also aus der sortierten Reihe {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5} und liegt ge-
nau zwischen dem 5. und 6. Wert, also zwischen 2 und 3 und beträgt damit 2,5.
Modus
Der Modus einer Verteilung ist noch einfacher zu berechnen. Es ist einfach der am häufigsten vor-
kommende Wert. In unserer Verteilung ist die 2 also der Modus, weil 3 Zweien geschrieben wurden
und von den anderen Noten jeweils weniger.
Aufgaben Trigometrie
Bearbeite folgende Aufgaben auf dem Arbeitsblatt und im Schulbuch und vergleiche deine Lösun-
gen mit dem Aushang. Bei Schwierigkeiten sprich zunächst mit deinen Nachbarn und dann mit der
Lehrkraft!
1 Markiere die zum gegebenen Winkel gehörende Ankathete grün, die Gegenkathete rot und die
Hypotenuse blau.
Stelle zwischen dem gegebenen Winkel und den betreffenden Seitenlängen trigonometrische
Beziehungen auf. a)
Trigonometrische Beziehungen:
b)
Trigonometrische Beziehungen:
2 Berechne jeweils den Sinus, Kosinus und Tangens des Winkels aus Aufgabe 1.
a) AD = 5 cm; AC = BC = 13 cm; DC = 12 cm
b) AB = 4 cm; BC = 3 cm
Hinweis: Die Strecke AC lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
- Seite 169 Aufgabe 2
- 3 Berechne die Werte für α mithilfe eines Taschenrechners.
Runde auf vier Stellen nach dem Komma.
α sin α cos α tan α
a) 32°
b) 120°
c) 75°
d) 90°
e) 150°
f) 45°
g) 320°
- 4 Bestimme jeweils die zugehörigen spitzen Winkel α.
a) sin α = 0,7071
b) cos α = 0,9659
c) tan α = 0,0349
d) sin α = 0,8910
e) tan α = 8,1443
f) cos α = 0,9205
- 5 Welche Winkel haben denselben Sinuswert?
25°; 115°; 765°; 385°; 45°; 123°; 0°; 1203°; 1467°; 33°; 405°; 86°; 246°; −90°; −180°
- 6 Welche Winkel haben denselben Kosinuswert?
25°; 115°; 765°; 385°; 45°; 123°; 0°; 1203°; 1467°; 33°; 405°; 86°; 246°; −90°; −180°
-
- 7 Die Nebelhornbahn bei Oberstdorf hat eine Gesamtlänge von 4860 m.
Die Talstation liegt 828 m, die Bergstation 1932 m hoch.
Wie groß ist im Durchschnitt der Steigungswinkel?
- Seite 171 Aufgabe 3 und 4 rot und blau
- Seite 180 Aufgabe 1
- Seite 181 5, 6, 7 blau
- Seite 183 Aufgabe 14 rot
Lösungen Trigometrie
1 Markiere die zum gegebenen Winkel gehörende Ankathete grün, die Gegenkathete rot und die
Hypotenuse blau.
Stelle zwischen dem gegebenen Winkel und den betreffenden Seitenlängen trigonometrische
Beziehungen auf. a)
Trigonometrische Beziehungen:
Ankathete AD ; Gegenkathete DC ; Hypotenuse AC
sin α=
AC
DC; cos α=
AC
AD; tan α=
AD
DC
b)
Trigonometrische Beziehungen:
Ankathete BC ; Gegenkathete AB ; Hypotenuse AC
sin β=
AC
AB; cos β=
AC
BC; tan β=
BC
AB
2 Berechne jeweils den Sinus, Kosinus und Tangens des Winkels aus Aufgabe 1.
a) AD = 5 cm; AC = BC = 13 cm; DC = 12 cm sin α =
cm 13
cm 12 ≈ 0,92
cos α =cm 13
cm 5 ≈ 0,38
tan α =cm 5
cm 12 = 2,4
b) AB = 4 cm; BC = 3 cm
Hinweis: Die Strecke AC lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
AC = 5 cm
sin β =cm 5
cm 4 = 0,8
cos β =cm 5
cm 3 = 0,6
tan β =cm 3
cm 4 ≈ 1,33
Seite 169
3 Berechne die Werte für α mithilfe eines Taschenrechners.
Runde auf vier Stellen nach dem Komma. α sin α cos α tan α
a) 32° ≈ 0,5299 ≈ 0,8480 ≈ 0,6249
b) 120° ≈ 0,8660 −0,5 ≈ −1,7321
c) 75° ≈ 0,9659 ≈ 0,2588 ≈ 3,7321
d) 90° 1 0 gibt es nicht
e) 150° 0,5 ≈ −0,8660 ≈ −0,5774
f) 45° ≈ 0,7071 ≈ 0,7071 1
g) 320° ≈ −0,6428 ≈ 0,7660 ≈ −0,8391
4 Bestimme jeweils die zugehörigen spitzen Winkel α.
a) sin α = 0,7071 α ≈ 45°
b) cos α = 0,9659 α ≈ 15°
c) tan α = 0,0349 α ≈ 2°
d) sin α = 0,8910 α ≈ 63°
e) tan α = 8,1443 α ≈ 83°
f) cos α = 0,9205 α ≈ 23°
5 Welche Winkel haben denselben Sinuswert?
25°; 115°; 765°; 385°; 45°; 123°; 0°; 1203°; 1467°; 33°; 405°; 86°; 246°; −90°; −180°
sin 25° = sin 385°; sin 45° = sin 405° = sin 765°; sin 123° = sin 1203°; sin (−180°) = sin 0°
6 Welche Winkel haben denselben Kosinuswert?
25°; 115°; 765°; 385°; 45°; 123°; 0°; 1203°; 1467°; 33°; 405°; 86°; 246°; −90°; −180°
cos 25° = cos 385°; cos 45° = cos 405° = cos 765°;
cos 123° = cos 1203°
7 Die Nebelhornbahn bei Oberstdorf hat eine Gesamtlänge von 4860 m.
Die Talstation liegt 828 m, die Bergstation 1932 m hoch.
Wie groß ist im Durchschnitt der Steigungswinkel?
sin α =4860
828-1932 =4860
1104 ≈ 0,23
α ≈ 13,1°
- Seite 171 Aufgabe 3 und 4 rot und blau
- Seite 180 Aufgabe 1
- Seite 181 5, 6, 7 blau
- Seite 183 Aufgabe 14 rot
