Wahrscheinlichkeit

1. Wurfeln mit mehreren Wurfeln

(a) Im folgenden wird gleichzeitig mit zwei Wurfeln gewurfelt und das Produkt der beiden Au-genzahlen gebildet. Welches Produkt tritt am wahrscheinlichsten auf und wie gross ist dieWahrscheinlichkeit?

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurfeln mit drei Wurfeln als Produkt 6 entsteht?

2. Gelb und rotEin gelber und ein roter Wurfel werden miteinander geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,dass der gelbe Wurfel eine hohere Zahl zeigt als der rote Wurfel?

3. mindestens 4 Mal die gleiche ZahlWie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem Wurfel in 5 Wurfen mindestens 4 Mal die gleicheZahl erscheint?

4. Zwei WurfelZwei Wurfel haben folgende Augenzahlen:erster Wurfel: 1; 1; 2; 5; 5; 6zweiter Wurfel: 2; 3; 3; 3; 4; 5

(a) Die beiden Wurfel werden miteinander geworfen und ihre Augenzahlen multipliziert. Mit welcherWahrscheinlichkeit ist das Produkt...

i. ...kleiner als 5?

ii. ...grosser als 15?

(b) Wiederum werden beide Wurfel miteinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieSumme der beiden geworfenen Augenzahlen gerade?

5. Verschiedene AugenzahlenMit welcher Wahrscheinlichkeit sind beim dreimaligen Wurfeln eines normalen Wurfelns alle dreiAugenzahlen voneinander verschieden?

6. Wurfeln mit einem normalen Wurfel und zwei TetraederwurfelnIm folgenden wird gleichzeitig mit drei Wurfeln gewurfelt. Bei einem Wurfel handelt es sich um einennormalen Wurfel. Die beiden anderen Wurfel haben die Form eines regularen Tetraeders und liefernmit Wahrscheinlichkeit 1/4 die Augenzahlen 1,2,3 oder 4. Die gewurfelte Augensumme der drei Wurfelzusammen ist also eine Zahl zwischen 3 und 14.

(a) Welche Augensumme wird mit grosster Wahrscheinlichkeit gewurfelt und wie gross ist dieseWahrscheinlichkeit?

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme durch 3 teilbar ist?

7. Wurfeln mit zwei WurfelnIm folgenden wird gleichzeitig mit zwei Wurfeln gewurfelt. Bei einem der beiden Wurfel handelt essich um einen der ublichen Wurfel. Beim zweiten Wurfel handelt es sich um einen gezinkten Wurfel:Anstelle der Augenzahl 3 besitzt er eine zweite Augenzahl 5.

(a) Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten?

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit keinem der beiden Wurfel eine 5 zu wurfeln?

(c) Wieviele Male muss man mindestens wurfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.99% wenig-stens einmal die Augensumme 2 zu werfen?

8. WurfelspielEin Wurfelspiel lauft folgendermassen ab: Mit zwei (unterscheidbaren) Wurfeln wird gleichzeitig gewor-fen. Ist die Summe der Augenzahlen 8, so hat man gewonnen. Anderenfalls hat man eine zweite Chanceund darf nochmals wurfeln. Erscheinen nun zwei aufeinanderfolgende Augenzahlen, so hat man eben-falls gewonnen, wenn nicht hat man das Spiel verloren.

(a) Wie gross ist die Gewinnwahrscheinlichkeit pro Spiel?

(b) Wie oft muss das Spiel gespielt werden, damit man mit der mehr als 99.99% Wahrscheinlichkeitmindestens einmal gewinnt?

9. Wurfeln mit einem normalen Wurfel, einem Tetraederwurfel und einer MunzeIm folgenden wird gleichzeitig mit drei Wurfeln gewurfelt. Bei einem Wurfel handelt es sich umeinen normalen Wurfel. Der zweite Wurfel hat die Form eines regularen Tetraeders und liefert mitWahrscheinlichkeit 1/4 die Augenzahlen 1, 2, 3 oder 4. Die Munze liefert mit Wahrscheinlichkeit 1/2eine 1 oder eine 2. Die gewurfelte Augensumme der drei Wurfel zusammen ist also eine Zahl zwischen3 und 12.

(a) Welche Augensumme wird mit grosster Wahrscheinlichkeit gewurfelt und wie gross ist dieseWahrscheinlichkeit?

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme durch 3 teilbar ist?

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei funfmaligem Werfen der beiden Wurfel undder Munze dreimal eine Augensumme kleiner als 6 und zweimal eine Augensumme grosser als 9erhalt?

10. Wurfeln mit einem TetraederArmin verwendet fur die folgenden Zufallsversuche ein regulares Tetraeder. Er beschriftet die vierSeiten des Tetraeders mit den Ziffern 1, 3, 5 und 7 und benutzt es als Wurfel. Als geworfen gilt jeneZahl, auf der das Tetraeder zu liegen kommt. Armin erstellt nun dreistellige Zufallszahlen, indem erdas Tetraeder dreimal wirft und jeweils die geworfene Ziffer notiert.

(a) Wieviele verschiedene 3-stellige Zahlen kann er so erwurfeln?

(b) Wieviele dieser Zahlen bestehen aus 3 verschiedenen Ziffern ?

(c) Wieviele haben genau 2 gleiche Ziffern?

(d) Wieviele sind durch 5 teilbar?

11. 5 WurfelWurfeln mit 5 (unterscheidbaren) Wurfeln

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt bei einem Wurf mindestens eine Augenzahl mehrmals vor?

(b) Wenn bei einem Wurf eine Augenzahl dreimal und eine andere zweimal vorkommt, wollen wir diesin Anlehnung an das Pokerspiel einen ’Foolhouse-Wurf’ nennen. Mit welcher Wahrscheinlichkeittritt dieses Ereignis ein?

12. BuchstabenwurfelBei einem Wurfel sind zwei Seiten mit dem Buchstaben A beschriftet, eine mit D, eine mit H, eine mitN und eine mit Y. Der Wurfel wird 5 Mal nacheinander geworfen und die Resultate der Reihe nachaufgeschrieben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass...

(a) ... nicht zwei Mal der gleiche Buchstabe erscheint?

(b) ... das Wort HANDY gewurfelt wird?

(c) ... die Buchstabenfolge DNA im Resultat auftaucht?

13. Rote Flachen auf dem WurfelDie sechs Flachen eines Wurfels sind am Anfang eines Spiels alle weiss. Ein Spieler wirft den Wurfelmehrmals und bemalt nach jedem Wurf die obenliegende Flache mit roter Farbe, sofern sie noch weissist. Wurfelt er aber eine bereits rot bemalte Flache, so ist das Spiel zu Ende. Wie gross ist dieWahrscheinlichkeit, dass...

(a) ... das Spiel nach dem zweiten Wurf zu Ende ist?

(b) ... das Spiel spatestens nach dem 5. Wurf zu Ende ist?

14. Wurfel und Augen

(a) Zwei unterscheidbare Wurfel werden miteinander geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,dass die Summe der Augenzahlen mindestens acht ist?

(b) Wie oft muss man zwei unterscheidbare Wurfel miteinander werfen, damit mit 99.99% Sicherheitin mindestens einem Wurf die Summe der Augenzahlen mindestens 8 war?

(c) Ein Wurfel wird achtmal geworfen. Wir gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe allergeworfenen Augenzahlen gerade ist?

15. Zersagter HolzwurfelEin Holzwurfel hat die Seitenlange 3cm. Alle sechs Seitenflachen dieses Wurfels werden blau angemalt.Nun wird der Wurfel in 27 kleinere Wurfelchen zuersagt, die alle die Seitenlange 1cm haben. DieseWurfelchen werden in einen Sack gelegt.

(a) Es wird ein Wurfel aus dem Sack gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser genauzwei blau gefarbte Seiten hat?

(b) Es wird zuerst ein Wurfel gezogen und wieder zuruckgelegt. Anschliessend wird nochmals einWurfel gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtzahl der blauen Seit-enflachen der beiden gezogenen Wurfel grosser als 4 ist?

(c) Von den 27 Wurfeln werden nun 6 gleichzeitig aus dem Sack gezogen. Wie gross ist die Wahrschein-lichkeit, dass sich unter den 6 gezogenen Wurfeln genau 2 mit drei blauen Seiten, genau 3 mitzwei blauen Seiten und genau 1 mit einer blauen Seiten befinden?

(d) In den Sack mit den 27 Wurfeln werden nun ungefarbte Wurfel gleicher Grosse dazugegeben.Wie viele Wurfel muss man zugeben, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 7

65 bei zweimaligemZiehen eines Wurfels ohne Zurucklegen genau eine blaue Flache vorhanden sein soll?

16. Schwarze und weisse KugelnIn einem Sack hat es n schwarze und n + 2 weisse Kugeln (n = 0, 1, 2, 3, · · ·).

(a) Man zieht gleichzeitig blind zwei Kugeln aus dem Sack. Es soll gezeigt werden, dass fur dieWahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln diesselbe Farbe haben, gilt:

p(n) =n2 + n + 1

2n2 + 3n + 1

(b) Fur welche Werte von n ist die Wahrscheinlichkeit p(n) minimal bzw. maximal?

17. 2 gleicheIn einer Urne befinden sich 10 schwarze, 6 weisse und 4 rote Kugeln. Es werden nacheinander zweiKugeln ohne zurucklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt man 2 Kugeln der gleichenFarbe?

18. Die zweite KugelIn einem Gefass befinden sich 3 rote und 5 schwarze Kugeln. Es wird eine erste Kugel gezogen, dieFarbe notiert und die Kugel beiseite gelegt. Anschliessend wird eine zweite Kugel gezogen. Mit welcherWahrscheinlichkeit ist diese Kugel rot?

19. Immer wieder KugelnIn einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weisse Kugeln.

(a) Man zieht so lange blindlings eine Kugel nach der andern heraus, ohne die gezogene(n) Kugel(n)zuruckzulegen, bis man eine weisse Kugel erwischt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diesgenau im zweiten Zug (spatestens beim dritten Zug) der Fall ist?

(b) Nun werden der Urne mit einem Griff vier Kugeln entnommen. Wie gross ist die Wahrschein-lichkeit, dass von jeder Farbe gleich viele Kugeln gezogen werden (mindestens eine schwarze Kugelgezogen wird)?

20. Farbige Kugelnn einer Urne liegen 5 rote, 8 gelbe und 7 blaue Kugeln.

(a) Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel anschliessend wieder indie Urne zuruckgelegt wird. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass...

i. ... die gezogenen Kugeln alle die gleiche Farbe haben?

ii. ... die gezogenen Kugeln alle verschiedene Farben haben?

iii. ... die zweite gezogene Kugel gelb ist?

(b) Wie viele Kugeln musste man mindestens ziehen, damit mit mehr als 99.5% Wahrscheinlichkeitmindestens eine rote dabei sein wird? Jede gezogene Kugel wird wiederum sofort in die Urnezuruckgelegt.

(c) Es werden nacheinander, wiederum mit Zurucklegen, 7 Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrschein-lichkeit befinden sich genau 3 rote Kugeln darunter?

(d) Zu den vorhandenen 20 Kugeln werden noch eine Anzahl rote Kugeln dazugelegt. Jetzt nimmtman mit einem Griff 2 Kugeln heraus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln rotsind betragt 1

3 . Wie viele rote Kugeln wurden noch dazugegeben?

21. Kugeln und Urnen...

(a) In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 5 weisse Kugeln. Man zieht zwei Kugeln miteinander.Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass

i. ...eine weisse und eine schwarze gezogen werden?

ii. ...zwei weisse gezogen werden.

(b) Man zieht so lange blindlings eine Kugel nach der andern heraus, ohne die gezogene(n) Kugel(n)zuruckzulegen, bis man eine weisse Kugel erwischt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dassdies...

i. ...bereits beim ersten Zug der Fall ist?

ii. ...beim zweiten Zug der Fall ist?

iii. ...spatestens beim dritten Zug der Fall ist?

22. 5er FolgeIn einem Sack befinden sich Kartchen mit den Nummern 1 bis 100. Es werden mit einem Griff5 Kartchen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um 5 aufeinanderfolgendeNummern handelt?

23. 99 gewinntIn einer Tombola werden Lose mit den Nummern 1’000 bis 2’000 verkauft. Alle durch 9 teilbarenNummern gewinnen einen Trostpreis, alle Lose mit der Endzahl 99 erhalten einen grossen Preis. Wiegross ist die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von 10 Losen weder einen grossen, noch einen Trostpreiszu gewinnen?

24. 1 bis 9999Wie viele der Zahlen von 1 bis 9999 haben lauter verschiedene Ziffern?

25. RubbelnAuf einem Rubbel-Los sind 12 Felder. Von diesen durfen genau 2 aufgerubbelt werden. Wenn beideaufgerubbelten Felder den gleichen Betrag zeigen, dann erhalt man diesen Betrag als Gewinn aus-bezahlt, ansonsten geht man leer aus. In jedem Los befinden sich - zufallig verteilt - folgende Felder:5 x 5 Euro; 3 x 10 Euro; 2 x 20 Euro; 2 x 0 Euro.

(a) Wie viele verschiedene Lose konnen hergestellt werden?

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit fur einen Gewinn von 5 Euro?

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nichts gewinnt?

(d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Kauf von 5 solchen Losen mindestens 2 Malgewinnt?

26. EuromunzenRenate hat vor sich auf dem Tisch neun 1-Euro Munzen. Funf Munzen stammen aus Osterreich undzeigen auf der Ruckseite den Komponisten Wolfgang Amadeus Mozart. Die restlichen Munzen sind ausSpanien. Deren Ruckseite ziert der spanische Konig Juan Carlos. Die Vorderseite aller neun Munzenist identisch. Renate legt die Munzen mit der Vorderseite nach oben vor sich hin.

(a) Ihre Freundin Uschi darf nun drei der Munzen umdrehen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,dass...

i. ...genau drei Mal Juan Carlos erscheint?

ii. ...genau zwei Mal Juan Carlos erscheint?

iii. ...mindestens ein Mal Juan Carlos erscheint?

(b) Renate verspricht Uschi, dass sie ihr ein Eis spendiert, wenn beim Umdrehen von vier Munzenmindestens drei Mal der Kopf des spanischen Konigs erscheint. Wie gross ist die Wahrschein-lichkeit, dass Uschi das Eis gewinnt?

27. Fair oder nicht fair?Anna und Claudia werfen eine Munze mit den Seiten K (“Kopf”) und Z (“Zahl”) solange, bis inder entstehenden Folge von K’s und Z’s entweder das Wort KKK oder das Wort ZZK auftritt. Trittzuerst KKK auf, hat Anna gewonnen; tritt zuerst ZZK auf, gewinnt Claudia. Wie gross sind dieGewinnchancen von Anna und Claudia?

28. Gefalschte MunzeEine gefalschte Munze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit p Kopf. Wie gross musste p sein, wenn dieWahrscheinlichkeit mit der Munze in 5 Wurfen mindestens 1 Mal Kopf zu werfen 99.968% betragt?

29. KartenspielEin franzosisches Jasskartenspiel besteht aus 36 Karten, aufgeteilt in 4 Farben (Herz, Karo, Pik undKreuz) zu je 9 Karten. Pro Farbe existieren 4 Figuren (As, Konig, Dame, Bube) und 5 Zahlen (Zehner,Neuner, Achter, Siebner und Sechser). Das Kartenspiel wird gut gemischt und mit einem Griff werden4 Karten aus dem Stapel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden...

(a) ... nur Zahlen gezogen?

(b) ... alle Karten von der gleichen Farbe sein?

(c) ... mindestens 2 Zehner dabei sein?

(d) ... alles Figuren gezogen, darunter das Herz-As und genau ein weiteres As?

30. KartenspielEin Kartenspiel enthalt 10 rote und 10 schwarze Karten. Funf rote und funf schwarze Karten tragendie Zahl 0, drei rote die Zahl 1, zwei rote die Zahl 4 und funf schwarze die Zahl 2.

(a) Aus dem verdeckten Stapel werden zwei Karten gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,dass....

i. ... beide Karten die gleiche Zahl tragen?

ii. ... das Summe der beiden Zahlenwerte grosser als 0 ist?

iii. ... das Produkt der beiden Zahlenwerte 4 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die 4 durch2 schwarze Karten zustande gekommen?

(b) Es werden zwei Karten gezogen, wobei die Farbe gewahlt werden kann. Mussen zwei roteKarten, zwei schwarze Karten, oder eine rote und eine schwarze Karte gezogen werden, damitdie Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Zahlenwerte 4 oder grosser ist, maximal wird?

(c) In einer Ziehung werden eine rote und eine schwarze Karte gezogen. Es werden 20 solche Ziehungendurchgefuhrt, wobei die Karten zwischen den Ziehungen immer wieder in den Stapel zuruckgelegtwerden und dieser neu gemischt wird. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in hochstenszwei der 20 Ziehungen das Produkt der Zahlenwerte von Null verschieden ist?

31. PokerspielEinfaches Pokerspiel: Es wird mit einem Set Pokerkarten gespielt. Dieses besteht aus den vier FarbenHerz, Karo, Pik und Kreuz mit jeweils den Karten 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, Konig, As. Diebeiden Spieler ziehen nacheinander eine Karte. Sieger ist, wer die hohere Karte gezogen hat. Zeigenbeide Karten den gleichen Wert, so endet das Spiel untentschieden.

(a) Spieler eins hat eine 4 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er das Spiel?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet ein (beliebiges) Spiel unentschieden?

(c) Spieler 1 zieht einen Konig. Wie viele Konige und Asse musste ein unehrlicher Gegner denrestlichen Karten mindestens hinzufugen, damit er mit der Wahrscheinlichkeit p = 1

2 nicht verliertund mit der Wahrscheinlichkeit q > 1

3 sogar gewinnt?

32. Taxi bitte!Fur die 12 Personen einer Reisegruppe stehen 3 Taxis bereit. Taxi I hat 3 Passagierplatze, Taxi IIderen 4 und Taxi III deren 5. Auf wie viele Arten konnen sich die 12 Personen auf die Taxis verteilen?(Die Sitzordnung innerhalb der Taxis ist nicht zu berucksichtigen)

33. Herr G. und sein BusHerr G. verlasst sich beim Weg auf die Arbeit darauf, dass sein Bus am Morgen an der Abfahrthal-testelle verspatet abfahrt. In 90% aller Falle kommt er so rechtzeitig zur Haltestelle. In 10% der Falleverpasst er seinen Bus, weil er keine Verspatung hat. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass HerrG. seinen Bus innerhalb von 5 Arbeitstagen

(a) an keinem Tag verpasst?

(b) an genau drei Tagen verpasst?

(c) an drei aufeinander folgenden Tagen erwischt?

34. SchwarzfahrerIn den Morgenstunden bestehen 90% der Fahrgaste eines Verkehrsunternehmens aus Stammkunden, dieWochen- oder Monatskarten besitzen. Die anderen Fahrgaste benutzen andere Fahrscheine. Wahrendnur 0,1% der Stammkunden ihre Fahrscheine vergessen, sind von den anderen 2% ohne Fahrscheinunterwegs. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer morgendlichen Fahrkartenkontrolle

(a) einen Fahrgast ohne Fahrschein anzutreffen?

(b) einen Stammkunden anzutreffen, der ohne Fahrschein ist?

35. BrunigbahnIn Sarnen steigen 18 Personen in den Zug Richtung Luzern. 8 Personen finden noch einen freienSitzplatz, 10 Personen mussen stehen. Beim ersten Halt des Zuges in Alpnach steigen 12 der in Sarnenzugestiegenen Personen wieder aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass...

(a) ...alle 8 in Sarnen belegten Sitzplatze wieder frei werden.

(b) ...mindestens 4 der 8 in Sarnen belegten Sitzplatze wieder frei werden.

36. Ticketkontrolle im BusIm Durchschnitt wird auf 100 Bus-Passagiere einer kontrolliert. Wie wahrscheinlich ist es, dass dumindestens zweimal kontrolliert wirst, wenn du den Bus in einem Monat 40 Mal benutzst?

37. Gelieferte Apfeln einer Lieferung von Apfeln befinden sich 5% Ausschuss. Von den brauchbaren Apfeln weisen 25%eine Druckstelle auf, der Rest ist einwandfrei. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei zufalligemHerausnehmen eines Apfels ein einwandfreies Exemplar zu erwischen?

38. HuhnereierHanna Guggi mochte sich ein Dutzend Huhner anschaffen. Fur sie ist die pEi sehr wichtig. Die pEi istdie Wahrscheinlichkeit, dass ein Huhn an einem Tag ein Ei legt. Hanna weiss zudem, dass kein Huhnmehr als ein Ei pro Tag legt. Hanna kauft sich am Donnerstagabend 2 Testhuhner und beobachtetwahrend 7 Tagen deren Legeverhalten. Resultat: jeden Tag 2 Eier - ausser am Sonntag, da gab eskeine.

(a) Bestimme daraus pEi.

(b) Was fur eine Warscheinlichkeit hatte das geschilderte Sonntagsereignis?

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Testhuhner in den folgenden 7 Tagen wiedernur 12 Eier legen?

39. Weisse, schwarze und braune TruffesIn einer Praline-Tute hat es drei weisse, zwei schwarze und vier braune Truffes. Man entnimmt derTute blind drei Truffes.

(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, von jeder Sorte genau ein Truffe zu erwischen?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle drei Truffes die gleiche Farbe?

(c) Man hat drei Truffes herausgenommen und alle haben die gleiche Farbe. Mit welcher Wahrschein-lichkeit sind alles weiss?

40. Knapp daneben ist auch vorbeiEin Schutze trifft ein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit 0.3. Wie oft muss der Schutze abdrucken, damitdie Wahrscheinlichkeit, dass er sein Ziel nie trifft kleiner als 10% ist?

41. Tells GeschossEs wird berichtet, dass Wilhelm Tell beim Schuss auf den Apfel auf Walterlis Kopf noch einen zweitenPfeil im Kocher gehabt hatte. Auf die Frage Gesslers, wozu ein zweiter Pfeil, antwortete Tell: ’Hatteder erste Pfeil meinen Buben getroffen, so hatte dieser zweite Pfeil dich auch nicht verfehlt!’.Nehmen wir an, Tells Trefferwahrscheinlichkeit fur grosse und auch fur kleine Ziele sei p. Fur welchesp ware die Lebensgefahr fur Gessler maximal gewesen?

42. Wilhelm TellWilhelm Tell soll der Uberlieferung nach ein sehr guter Schutze gewesen sein. Nehmen wir einmalan, dass das nicht ganz stimmt und er (nur) mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 80% den Apfelgetroffen hatte.

(a) Tell ubt seine Schiesskunste jeden Tag. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 4 Schussen...

i. ...genau viermal trifft?

ii. ...mindestens einmal nicht trifft?

iii. ...genau einmal nicht trifft?

(b) Wie oft muss Tell schiessen, damit die Wahrscheinlichkeit dass er das Ziel immer verfehlt kleinerals 1 Promille ist?

(c) Die Sage berichtet, dass Tell beim Apfelschuss einen zweiten Pfeil bei sich gehabt hat, den er,hatte er mit dem ersten seinen Sohn getroffen, auf Gessler abgeschossen hatte. Mit welcherWahrscheinlichkeit war Gessler in Gefahr? (Es kann angenommen werden, dass bei verfehlen desApfels der Pfeil Walterli trifft)

43. GeburtstagsproblemeIst es wahrscheinlicher, dass von sieben Leuten alle an verschiedenen Wochentagen (d. h. jemandam Montag, jemand am Dienstag, jemand am Mittwoch usw. ) oder alle am gleichen WochentagGeburtstag haben? Wie gross sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten?

44. GeburtstagsproblemWie gross ist die Wahrscheinlichkeit, das mindestens zwei Schuler/innen einer 23-kopfigen Klasse amgleichen Tag Geburtstag haben?

45. Alle Jahre wieder - der GeburtstagFur die Beantwortung der folgenden Fragen kann davon ausgegangen werden, dass fur jeden Monatdes Jahres die Wahrscheinlichkeit gleich gross ist, dass der Geburtstag einer Person in diesen Monatfallt.

(a) Wie gross ist bei einer zufallig ausgewahlten Gruppe von sechs Personen die Wahrscheinlichkeit,dass ...

i. ... niemand im Dezember Geburtstag hat?

ii. ... die einzigen drei Herren in der Gruppe alle im gleichen Monat Geburtstag haben?

iii. ... genau drei der sechs Personen im letzten Vierteljahr Geburtstag haben?

iv. ... mindestens zwei Personen im gleichen Monat Geburtstag haben?

(b) Mit einer Gruppe von Personen, deren Geburtstage nicht bekannt sind, wird folgende Wetteabgeschlossen:’Mindestens eine Person ist im Marz geboren.’Wie viele Personen muss die Gruppe mindestens umfassen, damit die Gewinnchancen grosser als90% sind?

46. Internationaler WettkampfAn einem internationalen Wettkampf uber 110m Hurden nehmen zwei Amerikaner, zwei Deutsche, zweiEnglander und zwei Schweizer (Schneider und Wild) teil. Die Bahnnummern 1 bis 8 werden zufalligausgelost. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass...

(a) ...beide Schweizer gerade Nummern erhalten?

(b) ...die Schweizer die Nummern 1 und 2 erhalten?

(c) ...dass Wild eine hohere Nummer als Schneider erhalt?

(d) ...mindestens ein Schweizer eine gerade Nummer erhalt?

47. EishockeyspielEin Eishockeyspiel endet mit dem Schlussresultat 8 : 5. Wie viele Moglichkeiten gibt es fur dieAufteilung der Tore in die drei Drittel des Spiels?

48. Nummer 1 der WeltranglisteDie Weltnummer 1 im Tennis ubersteht die 1. Runde eines Turniers in 80% aller Falle.

(a) Wieviele Turniere muss die Nummer 1 mindestens spielen, damit die Gefahr, dass sie mindestenseinmal bereits in der 1. Runde auscheidet grosser als 99% ist?

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei 10 gespielten Turnieren genau an 2 aufeinan-derfolgenden Turnieren in der ersten Runde scheitert und in den restlichen Spielen die 1. Rundeunbeschadet ubersteht?

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es die Nummer 1 in mehr als 17 von 20 gespieltenTurnieren in die 2. Runde schafft?

49. Rauchen schadet der Gesundheitn einer Bevolkerungsgruppe sind 35% Raucher. Von 1000 Todesfallen von Rauchern aus dieserBevolkerungsgruppe wurden 150 durch Lungenkrebs verursacht, bei Nichtrauchern waren es nur 21von 1000 Todesfallen.

(a) Es werden zufallig 10 Personen ausgewahlt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dieHalfte der Personen rauchen?

(b) Man wahlt zufallig mehrere Personen aus. Wie gross muss die Auswahl mindestens sein, damitsich mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit wenigstens ein Raucher darunter befindet?

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person aus der Bevolkerungsgruppe anLungenkrebs stirbt?

(d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit war jemand der an Lungenkrebs gestorben ist Raucher?

50. BlutspendeZum Blutspenden werden nur gesunde Menschen zugelassen. 4% der Bevolkerung leiden jedoch untereiner nicht diagnostizierten Diabetes. Deswegen wird bei allen Blutspendern ein Schnelltest angewen-det, der jedoch nicht vollstandig sicher ist. So werden an Diabetes Erkrankte nur zu 95% erkannt,wahrend 2% der gesunden Personen als Diabetiker eingestuft werden.

(a) Ein zufallig ausgewahlter Spender erscheint zum Schnelltest. Mit welcher Wahrscheinlichkeitlautet das Testergebnis ’keine Diabetes’?

(b) Ein Spender wird vom Test als Diabetiker ausgewiesen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dasser dennoch keine Diabetes hat?

(c) Der Test wird verbessert, dass Diabetiker immer noch mit einer Wahrscheinlichkeit von95% erkannt werden, gesunde Personen werden aber mit einer kleineren Wahrscheinlichkeit pfalschlicherweise als krank eingestuft. Nun hat eine als Diabetiker eingestufte Person nur nochmit einer Wahrscheinlichkeit von 13% keine Diabetes. Wie gross ist p?

51. DopingkontrolleDie Leistungsgruppe des Turnvereins Kerns hat 25 Spitzenturner. Von diesen werden jeden Monat 5Turner zufallig ausgewahlt und auf Doping getestet. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...

(a) ...ein bestimmter Turner in den nachsten 2 Monaten nicht getestet wird.

(b) ...ein bestimmter Turner im Laufe eines Jahres mindestens einmal getestetwird.

(c) ...ein bestimmter Turner im Laufe von 2 Jahren hochstens zweimal getestetwird.

52. BrandmelderDas Hotel Pacific Inn besitzt eine Brandmeldeanlage, welche bei Feuerausbruch mit einer WS von99.5% Alarm gibt. Gelegentlich gibt die Anlage Fehlalarm; nach Aussage des Nachtportiers kommtdas etwa zweimal pro Jahr vor. Die WS, dass in einer bestimmten Nacht Feuer ausbricht sei 0.01%Jemand verbringt eine Nacht im Pacific Inn und hort den Feueralarm. Mit welcher WS brennt eswirklich?

53. GerateausfallEin Gerat besteht aus zwei Bauteilen I und II. Das Teil I fallt mit der Wahrscheinlichkeit 0.1 aus. DasTeil II fallt nach einem Ausfall von I mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6 ebenfalls aus. Bei intaktemTeil I fallt das Teil II mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.05 aus. Das ganze Gerat arbeitet noch, solangemindestens eines der beiden Bauteile in Ordnung ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dasGerat nicht ausfallt?

54. Zuverlassigkeit von SystemenEin System besteht aus vier unabhangigen, gleich zuverlassigen Komponenten gemass untenstehenderAbbildung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Komponente ein Jahr lang funktioniert, sei p.

(a) Z(p) bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass das System wahrend eines Jahres nicht ausfallt. Esist zu zeigen, dass

Z(p) = p4 − 3p3 + 2p2 + p

(b) Fur welche Werte von p funktioniert das System wahrend eines Jahres mit mindestens 95-prozentiger Sicherheit?

55. SockenIn einer Schublade liegen sechs blaue, zehn schwarze, drei weisse und funf graue Paar Socken. ImDunkeln werden zwei Paar aus der Schublade genommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dabei

(a) ? je ein Paar schwarze und weisse

(b) zwei gleichfarbige Paare

(c) keine grauen Socken

herauszugreifen?

56. passende HandschuheIn einer Kiste befinden sich 5 verschiedene Paar Handschuhe. Es werden zufallig 4 Handschuhe her-ausgenommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 1 zusammengehorendesPaar ist?

57. Schmuggler....Aus einer Gruppe von 20 Personen werden beim Grenzubertritt vier vom Zoll kontrolliert. In derGruppe befinden sich genau zwei Schmuggler. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter denkontrollierten Personen

(a) die beiden Schmuggler der Gruppe kontrolliert werden?

(b) einer der beiden Schmuggler kontrolliert wird?

(c) keiner der beiden Schmuggler kontrolliert wird?

58. Besserwisser und ChancenlosEine Firma beschaftigt drei Mitarbeiter, die telefonische Anfragen von Kunden beantworten sollen.Herr Alleskonner kann 95% aller Frage zur Zufriedenheit der Kunden beantworten, Frau Besserwisser90% und Herr Chancenlos noch gerade 70%. Berechnen Sie unter der Annahme, dass alle drei Mitar-beiter gleich viele Telefonate beantworten, die Wahrscheinlichkeiten, dass

(a) ein Kunde mit der Antwort, die er erhalt, nicht zufrieden ist?

(b) ein unzufriedener Kunde an Frau Besserwisser geraten ist?

(c) ein Kunde an Herrn Alleskonner gerat und eine zufriedenstellende Antwort bekommt?

59. HolzklotzeBeat und David haben je einen Sack mit vier Wurfeln der Kantenlange 5cm und drei quadratischenPyramiden mit Grundkante 5cm und Hohe 5cm. Jeder zieht zufallig vier Klotze aus seinem Sack. Werden hoheren Turm als der andere bauen kann, hat gewonnen.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Beat einen Turm der Hohe 20cm bauen?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt David das Spiel?

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel unentschieden endet?

(d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Beat mindestens 8 von 10 Spielen?

60. 6 Ziegen und zwei AutosEine Verallgemeinerung des klassischen Turenspiels besteht darin, mehr als zwei Ziegenund mehrere Autos hinter den Turen zu verstecken. Wir betrachten als Beispiel den Fallvon acht Turen. Hinter sechs Turen steht je eine Ziege, hinter zwei Turen je ein Auto.Im Unterschied zum klassischen Turenspiel offnet der Showmaster zwei Ziegenturen. DieKandidatin hat wiederum die Moglichkeit, ihre erstgewahlte Ture zu wechseln, nachdemder Showmaster zwei “Ziegenturen” geoffnet hat. Wie gross ist die Gewinnwahrschein-lichkeit bei der Strategie ohne Turwechsel, wie gross bei der Strategie mit Turwechsel?

61. Vier Ziegen und zwei AutosEine Verallgemeinerung des klassischen Turenspiels besteht darin, mehr als zwei Ziegen und mehrereAutos hinter den Turen zu verstecken.

(a) Wir betrachten als Beispiel den Fall von sechs Turen. Hinter vier Turen steht je eine Ziege,hinter zwei Turen je ein Auto. Die Kandidatin hat wiederum die Moglichkeit, ihre erstgewahlteTure zu wechseln, nachdem der Showmaster eine Ziegenture geoffnet hat. Wie gross ist dieGewinnwahrscheinlichkeit bei der Strategie ohne Turwechsel, wie gross bei der Strategie mitTurwechsel?

(b) Wir betrachten den Fall von 3n Turen. Hinter 2n Turen steht je eine Ziege, hinter den restlichen nTuren je ein Auto. Die Kandidatin hat wiederum die Moglichkeit, ihre erstgewahlte Ture zu wech-seln, nachdem der Showmaster eine Ziegenture geoffnet hat. Wie gross ist die Gewinnwahrschein-lichkeit bei der Strategie ohne Turwechsel, wie gross bei der Strategie mit Turwechsel? Wie grosssind die Gewinnwahrscheinlichkeiten fur sehr grosse Werte von n?

62. Affengluck und anderes

(a) Was ist wahrscheinlicher: Ein Funfer im Zahlenlotto (6 Zahlen aus 1 bis 45 werden gezogen) oderdass ein Affe, der zufallig auf einer Schreibmaschine hintereinander 4 Tasten druckt, das Wort“Affe” schreibt. (Die Schreibmaschine habe 50 Tasten.)

(b) Drei Spieler A, B, C und D wurfeln reihum. Es gewinnt, wer zuerst eine Sechs wurfelt. Spatestensnach 12 Wurfen wird das Spiel abgebrochen. Wie gross sind die Gewinnchancen der vier Spieler,wenn A beginnt, dann B, als Dritter C und zuletzt D an die Reihe kommt?

63. Multiple-Choice und anderes

(a) Ein Multiple-Choice-Test fur Mediziner besteht aus 300 Fragen mit je funf Auswahlantworten.Bei jeder Frage ist nur eine Antwort richtig. Ein Student beantwortet alle Fragen rein zufallig.Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student keine einzige Frage richtig beantwortet?Wie gross die Wahrscheinlichkeit, dass er genau einen Drittel der Fragen richtig beantwortet?

(b) Es gibt 6 verschiedene Moglichkeiten, die Augensumme 16 zu werfen. Bei zwei dieserMoglichkeiten ist die erste Augenzahl eine 5; die Wahrscheinlichkeit betragt also 1/3.

64. Werbung in einer ZeitschriftDie aktuelle Ausgabe einer Fachzeitschrift besteht aus 30 Seiten. 10 Seiten davon sind fur Werbungreserviert. Auf jeder dieser Werbeseiten ist Platz fur 3 Anzeigen. Die Zuteilung der Anzeigenplatzeerfolgt nach dem Zufallsprinzip.

(a) Auf wie viele verschiedene Arten konnen 30 unterschiedliche Anzeigen in der Zeitschrift platziertwerden?

(b) Auf wie viele Arten konnen 30 Anzeigen angeordnet werden, wenn immer 3 der Anzeigen identischsind?

(c) Eine Firma hat drei verschiedene Anzeigen in der Zeitschrift in Auftrag gegeben. Wie gross istdie Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Anzeigen auf ein und derselben Seite erscheinen?

65. Herrentoilette im Wiener PraterFur die Benutzung der Herrentoilette in einem Restaurant des Wiener Praters mussen der anwesendenPutzfrau 50 Eurocent bezahlt werden. Innerhalb einer Viertelstunde benutzen 15 Personen die Toilette.9 Personen haben eine 50 Cent Munze bei sich, die restlichen Personen haben nur ein 1-Eurostuck dabei.Die Putzfrau hat als Wechselgeld vier Munzen zu 50 Cent. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beizufalligem Erscheinen der 15 Personen keine Finanzprobleme beim Toilettenbesuch auftreten.

66. GlucksradAuf dem untenstehenden Glucksrad sind die Zahlen 2, 3 und 6 aufgedruckt. Die Wahrscheinlichkeitenfur die einzelnen Sektoren sind ebenfalls angegeben.

(a) Das Glucksrad wird 5 Mal gedreht und die Ziffern der Reihe nach notiert. Wie viele verschiedene5-stellige Zahlen konnen so erhalten werden?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese 5-stellige Zahl grosser als 30’000?

(c) Das Rad wird zweimal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal dieselbe Ziffererscheint?

(d) Das Rad wird viermal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal die 3vorkommt?

(e) Wie oft muss das Rad gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99%die 6 mindestens einmal vorkommt?

67. BatterienEin Handler kann gratis einen Posten von 5000 Batterien ubernehmen, welche mit einer Wahrschein-lichkeit von 10% defekt sind. Anstatt die defekten Batterien auszusortieren plant er folgende Aktion:Er verkauft die Batterien im 5-er Set zu 7.50 Euro. Er nimmt keine defekten Batterien zuruck, aberwenn ein Kunde in einem Set mehr als eine defekte Batterie findet, so erstattet er ihm den Preis furdas ganze Set zuruck. Mit welchen Einnahmen kann der Handler rechnen?

68. Benford’s GesetzFrank Benford (Physiker bei General Electric) beobachtete 1938, dass bei im Alltag auftretenden Zahlendie erste Ziffer mit grosster Wahrscheinlichkeit (namlich rund 30%) eine 1 ist. Genauere Untersuchun-gen haben zum sog. Gesetz von Benford gefuhrt. Das Gesetz besagt, dass die Ziffer i, i = 1, . . . , 9 mitWahrscheinlichkeit

log10

(1 +

1

i

)als erste Ziffer auftritt. Dieses Gesetz wurde empirisch fur viele Datensatze uberpruft, eingeschlossendie Zahlen auf den Titelseiten der New York Times und zufallig ausgewahlte Aktienkurse. Benford’sGesetz kann benutzt werden, um manipulierte Daten zu erkennen. Die Zahlen in Bill Clintons Steuer-erklarungen entsprechen beispielsweise ziemlich genau Benford’s Gesetz.Es werden zufallig hintereinander 8 Zahlen aus einem statistischen Jahrbuch gewahlt. Wie gross istgemass Benford’s Gesetz die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier der gewahlten Zahlen mit der Ziffer1 beginnen und diese zudem gerade hintereinander gewahlt wurden?

69. Peinliche FragePeinliche Fragen beantwortet niemand gerne. Gibt man hingegen zu einem Fragebogen mitAuswahlantworten zum Ankreuzen einen Wurfel dazu mit der Anweisung:’Wurfle einmal vor dem Ankreuzen. Wenn dabei eine Sechs erscheint, kreuze die Wahrheit an, sonstdas Gegenteil.’so ist das Problem entscharft. Bei der Auswertung einer Frage stellt man 80% Ja-Antworten fest.Wieviele waren tatsachlich dieser Ansicht?

70. Clochards90% aller Clochards tragen einen Zapfenzieher bei sich. Bei der ubrigen Bevolkerung gilt dies nur fur5%. Der Anteil der Clochards an der ganzen Bevolkerung betragt 0.1%.Bei einem Einbruch in ein Wochenendhaus wurde ein Zapfenzieher gefunden, welchen der Dieb offen-sichtlich verloren hatte. Inspektor Grumm schloss deshalb haarscharf, beim Einbrecher musste es sichum einen Clochard handeln.Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Schlussfolgerung falsch war?

71. KunstausstellungEine jahrlich wiederkehrende Kunstaustellung wird erfahrungsgemass zu einem Drittel von Einheimis-chen und zu zwei Drittel von Auswartigen besucht. Bei dem einheimischen Besuchern sind 4 von 5Besuchern Frauen, bei Auswartigen 50%.

(a) Wie gross ist der Anteil der weiblichen Ausstellungsbesuchern?

(b) Der tausendste Besucher, es war eine Frau, erhielt einen grossen Blumenstrauss. Mit welcherWahrscheinlichkeit kam die Gewinnerin von auswarts?

72. Trio Tetra CrapBeim Trio Tetra Crap - einem neuen Wurfelspiel - wurfelt man gleichzeitig mit zwei Tetraederwurfelnund einer Munze. Die beiden Tetraederwurfel liefern je mit Wahrscheinlichkeiten 1/4 die Augenzahlen1,2,3 oder 4. Die Munze liefert mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine 1 oder eine 2. Die gewurfelte Summeist also eine Zahl zwischen 3 und 10. Wurfelt man die Augensumme 7, so hat man sofort gewonnen.Mit der Augensumme 3 oder 4 oder 10 hat man sofort verloren. Andernfalls wird die gewurfelteAugensumme S notiert und es wird so lange weiter gewurfelt, bis die zu Beginn notierte AugensummeS oder die Augensumme 7 gewurfelt wird. Wiederholt sich die Augensumme S, so hat man gewonnen.Bei der Augensumme 7 hat man verloren.Es soll der Spielverlauf wahrend der ersten 5 Runden untersucht werden:

(a) Gewinnt oder verliert man langfristig beim Trio Tetra Crap?

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau beim 5. Wurf gewinnt?

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel langer als vier Runden dauert?

(d) Welchen Naherungswert fur die mittlere Spieldauer erhalt man aufgrund der Untersuchung desSpielverlaufs in den ersten 5 Runden?

73. KostenoptimierungEine Schaltung besteht aus n parallel geschalteten, identischen Bauteilen. Die Schaltung funktion-iert, sobald einer der Bauteile funktioniert. Jeder Bauteil kostet Fr. 1.– Ein Versagen der Schaltungverursacht einen Schaden von Fr. 10’000.–. Mit Wahrscheinlichkeit 0.9 versagt ein einzelner Bauteilinnerhalb der geplanten Nutzungsdauer. Fur welche Anzahl n der verwendeten Bauteile werden die zuerwartenden Kosten minimal?

Losung zu: Wahrscheinlichkeit

1. Wurfeln mit mehreren Wurfeln

(a) Eine tabellarische Aufstellung leifert, dass die Produkte 6 und 12 am haufigsten auftreten, namlichmit der Wahrscheinlichkeit 4/36.

(b) Eine tabellarische Aufstellung liefert die Wahrscheinlichkeit 9/216 = 1/24.

2. Gelb und rotP = 5

12Gunstige Falle: 15, Mogliche Falle: 36

3. mindestens 4 Mal die gleiche Zahl

P = P4 + P5 =5 · 6 · 5 + 6

65≈ 0.02

4. Zwei Wurfel

(a) i. mogliche Kombinationen sind: 1/2; 1/3; 1/4; 2/2P = 11

36 ≈ 30.56%

ii. mogliche Kombinationen sind: 5/4; 5/5; 6/3; 6/4; 6/5P = 0.25 = 25%

(b) mogliche Kombinationen sind: 2/2; 2/4; 6/2; 6/4; 1/3; 1/5; 5/3; 5/5P = 5

9 ≈ 55.56%

5. Verschiedene Augenzahlen1 · 56 ·

46 = 5

9

6. Wurfeln mit einem normalen Wurfel und zwei TetraederwurfelnAm effizientesten ist es es, zuerst eine Wahrscheinlichkeitstabelle zu erstellen.

(a) Augensummen 8 und 9 mit Wahrscheinlichkeit 15/96 = 5/32

(b) 32/96 = 1/3

7. Wurfeln mit zwei Wurfeln

(a) Augensumme 7 mit Wahrscheinlichkeit 1/6

(b) 5/9

(c) (35/36)n < 0.0001 liefert n = 327.

8. Wurfelspiel

(a) 0.387Es empfiehlt sich ein Wahrscheinlichkeitsbaum

(b) 10

9. Wurfeln mit einem normalen Wurfel, einem Tetraederwurfel und einer MunzeMittels eines Baumdiagrammes erhalt man fur alle moglichen Augensummen die zugehorigenWahrscheinlichkeiten.

(a) Augensumme 7 und 8 je mit Wahrscheinlichkeit 1/6.

(b) 1/3

(c)(53

) (948

)3 ( 948

)2= 10

(316

)5

10. Wurfeln mit einem Tetraeder

(a) 43 = 64

(b) 24

(c) 3 · 4 · 3 = 36

(d) 16 - Durch 5 teilbar bedeutet zwingend Endziffer 5.

11. 5 Wurfel

(a) 0.907

(b) 0.0462Es mussen die Verteilung der gleichen Augenzahlen auf die 5 Wurfel berucksichtigt werden undauf wieviele Arten 3 gleiche und 2 gleiche vorhanden sein konnen.

12. Buchstabenwurfel

(a) 5! ·(

1

6

)4

· 1

3≈ 0.03

(b)1

6· 1

3· 1

6· 1

6· 1

6=

1

3888

(c)1

6· 1

6· 1

3· 3 ≈ 0.0277

13. Rote Flachen auf dem Wurfel

(a) P = 16

Es muss zwingend die im ersten Wurf angemalte Flache im zweiten Wurf erscheinen.

(b) P(spatestens nach 5 W.) = P2 + P3 + P4 + P5 = 16 + 5

6 ·26 + 5

6 ·46 ·

36 + 5

6 ·46 ·

36 ·

46 = 49

54 ≈ 0.9074

14. Wurfel und Augen

(a) P≥8 = P8 + P9 + P10 + P11 + P12 = 536 + 4

36 + 336 + 2

36 + 136 = 5

12

(b) (P<8)n< 0.0001⇒

(712

)n< 0.0001⇒ n =

log(0.001)

log(0.58333)≈ 17.0879⇒18 Wurfe

(c) P = 0.58 +

(86

)0.58 +

(84

)0.58 +

(82

)0.58 + 0.58 ≈ 0.5

Es mussen alle 8 oder 6 oder 4 oder 2 oder 0 der Einzelresultate gerade sein.

15. Zersagter Holzwurfel

(a) 49

(b) 0.3511

(c) 0.1248

(d) 13Bezeichne die zusatzlichen Wurfelchen mit x. Zeichne einen Wahrscheinlichkeitsbaum und wendedie Pfadregeln an. Von der entstehenden quadratischen Gleichung ist nur die eine Losung ganz-zahlig.

16. Schwarze und weisse Kugeln

(a) Man kann die beiden Kugeln auch nacheinander aus dem Sack ziehen und die moglichen Abfolgenin einem einfachen Baumdiagramm darstellen.

(b) Es sind verschiedene Losungen denkbar. Das Minimum bei n = 3 und das Maximum bei n = 0kann aus dem Graph der Funktion p(n) abgelesen oder mittels der Ableitung der Funktion p(n)bestimmt werden. Fur die Ableitung erhalt man den Ausdruck

p′(n) =n2 − 2n− 2

. . .

17. 2 gleicheP = 1

2 ·919 + 3

10 ·519 + 2

10 ·319 = 33

95 ≈ 0.3473Idealerweise mit Baumdiagramm zu losen.

18. Die zweite KugelP(2. Kugel rot) = 3

8 ·27 + 5

8 ·37 = 3

8 = 0.375Idealerweise mit einem Baum zu losen.

19. Immer wieder Kugeln

(a) 25 ·

23 = 4

15 fur genau im zweiten Zug.35 + 4

15 + 110 = 29

30 fur spatestens beim dritten Zug.

(b)

(42

)·

(62

)(

104

) = 37 fur gleichviele Kugeln jeder Farbe.

1−

(64

)(

104

) = 1314 fur mindestens eine schwarze Kugel.

20. Farbige Kugeln

(a) i.

(5

20

)3

+

(8

20

)3

+

(3

20

)3

= 0.1225

ii.5 · 8 · 7

203· 6 = 0.21

iii. 1 · 8

20· 1 = 0.4

(b) Pnicht rot =3

4

Palle nicht rot =

(3

4

)n

< 0.005

n =log 0.005

log 34

≈ 18.417⇒ 19 Mal ziehen

(c)

(73

)(1

4

)3 (3

4

)4

≈ 0.173

(d)5 + x

20 + x· 4 + x

19 + x=

1

3Fuhrt auf die quadratische Gleichung x2 − 6x − 160 = 0 mit den beiden Losungen x1 = 16 undx2 = −10.Es wurden somit 16 rote Kugeln dazugegeben.

21. Kugeln und Urnen...

(a) i.3 · 5(

82

) =15

28≈ 0.5357

ii.

(52

)(

82

) =5

14≈ 0.3571

(b) i. p = 58

ii. p = 38 ·

57 = 15

56 ≈ 0.2678

iii. p = 58 + 15

56 + 38 ·

27 ·

56 = 55

56 ≈ 0.9821

22. 5er Folge

Mogliche Falle:

(100

5

); Gunstige Falle: 1..5/2..6/...../96..100 - 96 Falle

P =96(100

5

) ≈ 1.275 · 10−6

23. 99 gewinnt

P(10xNiete) =

(88110

)(

100110

) ≈ 0.277

Anzahl Zahlen durch 99 teilbar: 10Anzahl Zahlen durch 9 teilbar: 111, davon aber 1 auch durch 99 teilbarSomit Anzahl Preise: 10 + 110 = 120, Nieten: 881

24. 1 bis 999952741-stellig: 9 / 2-stellig: 9 · 9 = 81 / 3-stellig: 9 · 9 · 8 = 648 / 4-stellig: 9 · 9 · 8 · 7 = 4536

25. Rubbeln

(a)12!

5! · 3! · 2! · 2!= 166′320

(b)

(52

)(

122

) =5

33≈ 15.15%

(c) Kein Gewinn:1−G5 −G10 −G20 = 1−

(52

)+

(32

)+

(22

)(

122

) =26

33≈ 78.78%

(d) PGewinn = 733

Pmind. 2x Gewinn = 1− P0 − P1 = 1−(2633

)5 − 5 ·(

733

)·(2633

)4 ≈ 0.2877 ≈ 28.77%

26. Euromunzen

(a) i. P =

(43

)·

(50

)(

93

) =1

21

ii. P =

(42

)·

(51

)(

93

) =5

14

iii. P = 1−

(40

)·

(53

)(

93

) =37

42

(b) P =

(44

)·

(50

)+

(43

)·

(51

)(

94

) =1

6

27. Fair oder nicht fair?Zur Losung dieser Aufgabe eignet sich eine Simulation mittels eines kleinen Programms oder die Mod-ellierung als dynamisches System (Startvektor und Ubergangsmatrix). Anna gewinnt mit Wahrschein-lichkeit ≈ 0.416

28. Gefalschte MunzeP5·Z = (1− p)5 = 0.00032⇒ p = 0.8

29. Kartenspiel

(a)

(204

)·(

160

)(

364

) ≈ 0.082

(b)

4 ·(

94

)(

364

) ≈ 0.00855

(c)

(42

)·(

322

)(

364

) +

(43

)·(

321

)(

364

) +

(44

)·(

320

)(

364

) ≈ 0.0527

(d)

(11

)·(

31

)·(

122

)(

364

) ≈ 0.00336

30. Kartenspiel

(a) i.

(102

)+

(32

)+

(22

)+

(52

)(

202

) =59

190≈ 0.3105

ii.

(102

)+

(101

)·(

101

)(

202

) =145

190≈ 0.7631

iii.

(52

)+

(21

)·(

31

)(

202

) =16

190≈ 0.08421

Von den 16 Moglichkeiten den Wert 4 zu erhalten stammen 10 nur von schwarzen Karten,also 10

16 = 62.5%

(b) 2 Mal rot: P4 + P8 = 645 + 1

45 = 745

2 Mal schwarz: P4 + P8 = 1045 + 0 = 10

45schwarz/rot: P4 + P8 = 0 + 10

100 = 110

Maximal, wenn 2 schwarze Karten gezogen werden.

(c) ≈ 0.09126

P(nicht 0) =

5 · 510 · 10

=1

4P0 + P1 + P2 = 0.7520 + 20 · 0.25·0.7519 + 190 · 0.252 · 0.7518 ≈ 0.09126

31. Pokerspiel

(a) 651

(b) 117

(c) 37 Karten wovon 26 AsseEs kann mit der ersten angegebenen Wahrscheinlichkeit die total beizufugenden Asse und Konigeberechnet werden.

32. Taxi bitte!(123

)·(

94

)·(

55

)= 27′720 Moglichkeiten

33. Herr G. und sein Bus

(a) 0.95

(b)(53

)0.130.92

(c) 3 · 0.930.12

34. Schwarzfahrer

(a) 0.9 · 0.001 + 01. · 0.02

(b) 0.9·0.0010.9

35. Brunigbahn

(a)

(88

)·

(104

)(

1812

) ≈ 0.0113

(b) 1−

(82

)·

(1010

)(

1812

) −

(83

)·

(109

)(

1812

) ≈ 0.968

36. Ticketkontrolle im Bus0.607Rechne mit dem Komplement.

37. Gelieferte ApfelP (brauchbar und keine Druckstelle) = 0.95 · 0.75 = 0.7125Idealerweise mit einem Baumdiagramm zu losen.

38. Huhnereier

(a) 67

(b) 0.00321

(c) 0.292Teilaufgabe kann mit der Formel der Binomialverteilung gelost werden.

39. Weisse, schwarze und braune TruffesEs ist zweckmassig in einem Baumdiagramm alle moglichen Ziehungen zu erfassen.

(a) 2/7

(b) 5/84

(c) Bedingte Wahrscheinlichkeit:184584

=1

5

40. Knapp daneben ist auch vorbei0.7n ≤ 0.1⇒ 7 Schusse

41. Tells GeschossPGesslertot = (1− p) · p = maximal ⇒ p− p2 = maximalP ′Gesslertot = 1− 2p = 0⇒ p = 0.5 ist Maximum, weil P ′′ = −2 < 0 ist.

42. Wilhelm Tell

(a) i. 0.4096

ii. 0.5904

iii. 0.4096

(b) 5

(c) 0.16

43. GeburtstagsproblemeVerschiedene Wochentage:

7!

77≈ 0.006

Gleicher Wochentag:1

76≈ 0.000008

44. Geburtstagsproblem≈ 0.507

Palle verschieden =365!

(365−23)!

36523 ≈ 0.4927Pmind. 2 gleich = 1− Palle verschieden ≈ 0.507

45. Alle Jahre wieder - der Geburtstag

(a) i.116

126≈ 0.593

ii.12

123≈ 0.069

iii.

(63

)(1

4

)3 (3

4

)3

≈ 0.132

iv. 1− Palle verschieden = 1− 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7126

≈ 0.777

(b) Pniemand im Marz =

(11

12

)n

< 0.1

n =log 0.1

log 1112

≈ 26.46 Personen ⇒ 27 Personen

46. Internationaler Wettkampf

(a) 1256 = 3

14

(b) 156 · 2 = 1

28

(c) 12

(d) 1114 ; Sinnvollerweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide ungerade Nummern haben. DieseWahrscheinlichkeit von 1 subtrahieren.

47. Eishockeyspiel945Das Verteilen der Tore einer Mannschaft auf die drei Drittel lasst sich als ’Kombinationen mit Wieder-holung’ auffassen.

48. Nummer 1 der Weltrangliste

(a) (0.8)n < 0.01⇒ n =log(0.01)

log(0.8)≈ 20.6377⇒21 Turniere.

(b) 9 · 0.22 · 0.88 ≈ 0.06039

(c) P>17 = P18 + P19 + P20 =

(2018

)· 0.818 · 0.22 + 20 · 0.819 · 0.21 + 0.820 ≈ 0.2060

49. Rauchen schadet der Gesundheit

(a)

(105

)· 0.355 · 0.655 = 0.15357 ≈ 15.36%

(b) 0.65n > 0.01⇒ n >ln 0.01

ln 0.64≈ 10.69⇒11 Personen

(c) 0.35 · 0.15 + 0.65 · 0.021 = 0.06615 ≈ 6.62%

(d) 0.35 · 0.15 = 0.0525⇒ 0.0525 : 0.06615 ≈ 0.7936 ≈ 79.36%

50. Blutspende

(a) 0.04 · 0.05 + 0.96 · 0.98 = 0.9428 = 94.28%

(b) als Diabetiker angezeigt: 0.04 · 0.95 + 0.96 · 0.02 = 0.0572 = 5.72%davon effektiv nicht Diabetiker: 0.96 · 0.02 = 0.0192⇒ 0.0192 : 0.0572 = 0.33566 ≈ 33.57%

(c) als Diabetiker angezeigt: 0.04 · 0.95 + 0.96 · pdavon effektiv nicht Diabetiker: 0.96 · palso

0.96 · p0.04 · 0.95 + 0.96 · p

= 0.13⇒ p ≈ 0.005914 ≈ 0.59%

51. Dopingkontrolle

(a) 0.8 · 0.8 = 0.64 = 64%

(b) Pmehr als einmal getestet = 1− P0 = 1− 0.812 ≈ 0.93128 ≈ 93.13%

(c) P0 + P1 + P2 = 0.824 + 24 · 0.2 · 0.823 +

(242

)· 0.22 · 0.822 ≈ 0.11451 ≈ 11.45%

52. Brandmelder0.0178bedingte Wahrscheinlichkeit!

53. GerateausfallP(Ausfall) = 0.1 · 0.6 = 0.06⇒ P(kein Ausfall) = 1− 0.06 = 0.94Idealerweise mit einem Baumdiagramm zu losen.

54. Zuverlassigkeit von Systemen

(a) Mit q = 1− p erhalt man Z(p) = 1−[1−

(1− q2

)p]q.

(b) p > 0.79

55. SockenEin Baumdiagramm verschafft eine gute Ubersicht.

(a) 1024 ·

323 + 3

24 ·1023

(b) 624 ·

523 + 10

24 ·923 + 3

24 ·223 + 5

24 ·423

(c) 1924 ·

1823

56. passende HandschuheP = 13

21Losung uber Komplement: ’keine passenden Handschuhe’

Mogliche Falle:

(104

)= 210; Gunstige Falle: 24 · 5 = 80

P(keine passenden) = 821 ⇒ P(mind. 2 passende) = 1− 8

21 = 1321 ≈ 0.619

57. Schmuggler....Berechnung der Anzahl gunstiger Falle zur Anzahl moglicher Falle:

(a)(22)(

182 )

(204 )

(b)(21)(

183 )

(204 )

(c)(18

4 )(20

4 )

58. Besserwisser und Chancenlos

(a) 13

(5

100 + 10100 + 30

100

)(b)

13 ·

10100

13 ( 5

100+10100+

30100 )

(c) 13

95100

59. HolzklotzeEine einfache und sichere Losung der Aufgabe besteht darin, alle moglichen Varianten in einem Baum-diagramm aufzuzeichnen.

(a) 13/35

(b) 358/1225

(c) 509/1225

(d) Binomialverteilung liefert ≈ 0.0013

60. 6 Ziegen und zwei AutosOhne Wechsel betragt die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4. Die Situation beim Wechsel lasst sich ambesten mittels eines Baumdiagrammes beschreiben. Die Gewinnwahrscheinlichkeit steigt auf 7/20.

61. Vier Ziegen und zwei Autos

(a) Gewinnwahrscheinlichkeit ohne Turwechsel: 1/3Gewinnwahrscheinlichkeit mit Turwechsel: 5/12

(b) Gewinnwahrscheinlichkeit ohne Turwechsel: 1/3Gewinnwahrscheinlichkeit mit Turwechsel: 3n−1

9n−6Fur grosse Werte von n spielt es keine Rolle, welche Strategie gewahlt wird.

62. Affengluck und anderes

(a) Die beiden Wahrscheinlichkeiten berechnen sich gemass(65

)(391

)(456

) und

(1

50

)4

Ein Funfer im Zahlenlotto ist wahrscheinlicher.

(b) Als Beispiel wird der Spieler betrachtet. Er kann im ersten Wurf, im funften Wurf oder imneunten Wurf gewinnen. Gewinnt er erst im neunten Wurf, wurde vorher wahrend acht Wurfenkeine Sechs gewurfelt. Die Gewinnwahrscheinlichkeit von A lautet also:

1

6+

(5

6

)41

6+

(5

6

)81

6≈ 0.28

B gewinnt mit Wahrscheinlichkeit ≈ 023., C mit ≈ 0.19 und D mit ≈ 0.16.

63. Multiple-Choice und anderes

(a) Wahrscheinlichkeit fur keine einzige richtige Antwort:(4

5

)300

Wahrscheinlichkeit genau einen Drittel der Fragen richtig zu beantworten(300

100

)(1

5

)100 (4

5

)200

(b) Es gibt genau 6 verschiedene Moglichkeiten, die Augensumme 16 zu wurfeln. Bei 2 dieser 6Moglichkeiten zeigt der erste Wurf eine 5. Die Wahrscheinlichkeit betragt also 1/3.

64. Werbung in einer Zeitschrift

(a) 30!

(b) 30!(3!)10 ≈ 4.386 · 1024

(c) 27!·10·630! = 1

406

65. Herrentoilette im Wiener Prater4990 der total 5005 moglichen Schlangen sind problemlos. Dies entspricht 99.7%.

66. Glucksrad

(a) 243

(b) 0.5

(c) 718

(d) 881

(e) 26Es vorteilhaft mit dem Komplement zu rechnen.

67. Batterien6885 EuroAls erster Schritt muss berechnet werden, wie viele Sets wahrscheinlich zuruckerstattet werden mussen.

68. Benford’s Gesetzp = log10 2, q = 1− pInsgesamt gibt es 5 mogliche Anordnungen der vier Ziffern 1, jede Anordnung hat die Wahrschein-lichkeit p4q4. Damit folgt 5p4q4 ≈ 1%.

69. Peinliche FrageDie gesuchte Wahrscheinlichkeit sei x.Die Gleichung x · 16 + (1− x) · 56 = 0.8 liefert x = 1

20 .

70. ClochardsP(Clochard und Zapfenzieher) = 0.001 · 0.9 = 0.0009P(Nichtclochard und Zapfenzieher) = 0.999 · 0.05 = 0.04995Von allen potentiell gefundenen Zapfenziehern (0.0009 + 0.04995) stammen 1.77% von den Clochards.Der Inspektor irrt sich als mit Wahrscheinlichkeit 98.23%

71. Kunstausstellung

(a) P = 13 ·

45 + 2

3 ·12 = 3

5

(b) Von den 60% aller Besucherinnen sind 44.444% einheimisch und 55.555% (= Losung) auswartig.

72. Trio Tetra CrapZuerst mussen die Wahrscheinlichkeiten der moglichen Augensummen bestimmt werden:

3 4 5 6 7 8 9 101/32 3/32 5/32 7/32 7/32 5/32 3/32 1/32

Modellierung als dynamisches System mit

Ubergangsmatrix A und Startvektor ~x liefert

(a) zum Beispiel mit A100~x eine Gewinnwahrscheinlichkeit ungefahr 55%

(b) mit A5~x−A4~x ungefahr 2%

(c) mit A4~x ungefahr 11%

73. KostenoptimierungKosten K(n) = n + 10000 · 0.9n, 66 Bauteile