Brownsche Molekularbewegung -Was hat Einstein daraus gemacht?

Wolfgang PaulInstitut fr Physik

Johannes Gutenberg-Universitt

Was ist die Brownsche Bewegung ?Robert Brown: geb. 21.12.1773 in Montrose gest. 10.06.1858 in London war ein schottischer Botaniker

Entdecker des Zellkernshier: Orchidee

Fettklmpchen inMilch beobachtet durch einen Nachbaudes originalen Mikroskops von Robert Brown

Bild des Mikroskops und Beobachtungen von Brian J. Ford

Weitere Experimente

Moderne Realisierung: Kolloidphysikz.B. vernetzte Kunststoffkgelchenvon 1 m Durchmesser

Streuung an Schwebeteilchen im Zigarettenrauchwww.deutsches-museum.de

Prof. T. Palberg, Institut fr Physik

Wodurch entsteht die Brownsche Bewegung?

Es gab Beobachtungen der Brownschen Bewegung vor Brown. Da diese meist an Pollen gemacht wurden, war eine verbreitete Schlussfolgerung:

Hier sehen wir eine Manifestation einer Kraft,die allem Lebendigen innewohnt!

Brown publizierte 1828 sorgfltige und systematische Experimente an Pollen an alten, gelagerten (toten) Pollen an Staub von allen mglichen Felsen an Staub von einem Stck Stein der Sphinx...? um Effekte von Strmung oder Verdampfung auszuschlieen

Schlussfolgerung: Es ist ein allgemeines Phnomen, das bei kleinen in einerFlssigkeit gelsten Teilchen auftritt.

moderne Erklrung: Diese Bewegung wird hervorgerufen durch Kollisionenmit den Moleklen der Flssigkeit, die auf Grund ihrer thermischen Energiein dauernder Bewegung sind.

Molekulartheorie der Wrme Kinetische Gastheorie - Statistische Mechanik

Ludwig Boltzmanngeb. 20.02.1844 in Wiengest. 5.10.1906 bei Trieste

James Clerk Maxwellgeb. 13.06.1831 in Edinburghgest. 5.11.1879 in Cambridge

Molekulartheorie der WrmeMaterie besteht aus Atomen oder Moleklen. Was wir als Temperatur oderWrme wahrnehmen, ist die andauernde, ungeordnete Bewegung dieser Atome oder Molekle.Die Molekle folgen in ihren Bewegungen den Newtonschen Gleichungender klassischen Mechanik, aber durch die andauernden Ste untereinanderwird eine Art molekulares Chaos erzeugt, ber das man nur noch Wahrscheinlichkeitsaussagen machen kann.

= 2

2

2 2exp

21)(

TTv

vv

vp

Tkmv BT 21

21 2 =

Die Hypothese der Existenz von Atomen

Elektronentheorie des Ladungstransports in Metallen (H. Lorentz)

Theorie der Lsungen (Vant Hoft) in Analogie zu idealen Gasen

Stchiometrie von chemischen Reaktionen

Begrndung von makroskopisch irreversiblem Verhalten trotz reversibler Newtonschen Dynamik durch Boltzmann

Wenn man mittels der kinetischen Gastheorie die mittlere Geschwindigkeit des suspendierten Teilchens ausrechnet, so erhlt man einen Wert, der um Grenordnungen kleiner ist, als man aus Beobachtungen abschtzt!

TkMv BT 21

21 2

Die Opposition

Wilhelm Ostwaldgeb. 2.9.1853 Riga, Litauengest. 4.4.1932 nahe Leipzig

Ernst Machgeb. 18. 2. 1838 Turas (Czechien)gest. 19. 2. 1916 Vaterstetten

Eine Theorie sollte nur Objekteenthalten, die der direkten Sinneserfahrung zugnglich sind.

Das zentrale Konzept in derPhysik ist das der Energie.

Einsteins Arbeiten vor 1905

Kinetische Theorie des Wrmegleichgewichtesund des zweiten Hauptsatzes der ThermodynamikAnnalen der Physik, 9, S. 417, 1902

Eine Theorie der Grundlagen der ThermodynamikAnnalen der Physik, 11, S. 170, 1903

Zur allgemeinen molekularen Theorie der WrmeAnnalen der Physik, 14, S. 354, 1904

Eine neue Bestimmung der MolekldimensionenDissertation ETH Zrich, 30.04.1905

In diesen Arbeiten hat Einstein einen theoretischen Zugang zurBeschreibung von Phnomenen entwickelt, die weder mikroskopisch (klassische Mechanik) noch makroskopisch (Thermodynamik) sondern mesoskopisch sind.

Annalen der Physik, 17 (1905), Seiten 549-560

ber die von der molekularkinetischen Theorie der Wrme geforderteBewegung von in ruhenden Flssigkeiten suspendierten Teilchen

In dieser Arbeit soll gezeigt werden, da nach dermolekularkinetischen Theorie der Wrme in Flssigkeiten suspendierte Krper von mikrosko-pisch sichtbarer Gre infolge der Molekularbewe-gung der Wrme Bewegungen von solcher Greausfhren mssen, da diese Bewegungen leicht mit dem Mikroskop nachgewiesen werden knnen.Es ist mglich, da die hier zu behandelndenBewegungen mit der so genannten BrownschenMolekularbewegung identisch sind; die mirerreichbaren Angaben ber letztere sind jedoch soungenau, da ich mir hierber kein Urteil bildenkonnte.

als Patentamtsangestellteroder: ehrwrdiger eidgenssischer Tintenscheissermit ordentlichem Gehalt

Annalen der Physik, 19 (1906), Seiten 371-381Zur Theorie der Brownschen Bewegung

Kurz nach dem Erscheinen meiner Arbeit ber die durch die Molekulartheorie der Wrme geforderteBewegung von in Flssigkeiten suspendierten Teilchen teilte mir Herr Siedentopf (Jena) mit, da erund andere Physiker zuerst wohl Herr Prof. Gouy(Lyon) durch direkte Beobachtung zu der ber-zeugung gelangt seien, da die so genannte Brownsche Bewegung durch durch die ungeordneteWrmebewegung der Flssigkeitsmolekle verursachtsei. Nicht nur die qualitativen Eigenschaften derBrownschen Bewegung, sondern auch die Gren-ordnung der von den Teilchen zurckgelegten Wegeentspricht durchaus den Resultaten der Theorie.im Patentamt

M. Gouy, Journ. de Phys. (2) 7, S. 561. 1888

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegungber den suspendierten Teilchen zuzuschreibenden osmotischen Druck

V*

Semipermeable Membran

Gesamtvolumen V, z Gramm gelste Molekle

Osmotischer Druck cN

RTnNV

RTzVRTP === **

N ist die Anzahl der Molekle pro Grammn die Gesamtanzahl gelster Moleklec = n/V* ist die Konzentration

Weshalb soll das nur fr Molekle gelten und nicht auch fr suspendierte Teilchen ?

Einsteins Theorie der Fluktuationen basierend auf der molekularkinetischen Theorie der Wrme liefert das gleiche Ergebnis.

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung

Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln

Sedimentationsgleichgewicht: c = c(z)Virtuelle Verrckung z aller Teilchen

K

z0

L

Gleichgewicht: F = E - TS = 0

Energienderung

Entropienderung

=L

dzzzcKE0

)(

dzzdz

zdcNRS

L

=0

)(

dzdp

dzdc

NRTzcK ==)(Kraftgleichgewicht

Einsteins Behandlung der Brownschen BewegungTheorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln

Mechanik makroskopischer Krper: Wenn man Fallschirm springt, fllt man nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit. Schwerkraft und Reibungskraft kompensieren sich.

BBvrK 6=Hierin sind: die Viskositt des Lsungsmittels

rB der Radius des Brownschen TeilchensvB die Geschwindigkeit des Brownschen Teilchens

BB r

Kv6

=Also:

Einsteins Behandlung der Brownschen BewegungTheorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln

Makroskopisches Ficksches Diffusionsgesetz

j(z,t) ist der Teilchenstrom auf Grund der Diffusion

Gleichgewicht der Strme:

ztzj

ttzc

=

),(),(

ztzcDtzj

=),(),(

0),(6

),(0),(),( =

=+

ztzcD

rKtzctzjvtzcB

B

RTtzNKc

ztzc ),(),(=

Aus dem Gleichgewicht der Krfte:

Stokes-Einstein-GesetzBrN

RTD61

=

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegungber die ungeordnete Bewegung von in einer Flssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

Es werden (auch) die Bewegungen eines und desselben Teilchens inverschiedenen Zeitintervallen als voneinander unabhngige Vorgnge aufzufassen sein, solange wir diese Zeitintervalle nicht zu klein gewhlt denken.

In einem Zeitintervall werden sich die X-Koordinaten der einzelnen Teilchenum W vergrern, wobei W fr jedes Teilchen einen anderen (positiven odernegativen) Wert hat.

Wahrscheinlichkeitsverteilung fr W:

=1)( dWW)()( WW =

Wie hngt der Diffusionskoeffizient von ab?

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegungber die ungeordnete Bewegung von in einer Flssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

f(x,t): Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit

+=+ dWWtWxfdxdxtxf )(),(),(

x x+dx ist klein und nur kleine W haben eine signifikant von 0 verschiedene Wahrscheinlichkeit

),(),(),( txtftxftxf

+=+

),(2

),(),(),( 222

txxfWtx

xfWtxftWxf

+

+=+

t t+

f(x,t)

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegungber die ungeordnete Bewegung von in einer Flssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

+

+=

+ dWWWxfdWWW

xfdWWf

tff )(

2)()(

2

2

2

=1 =0

dWWWD )(2

1 2

=Definiere:

2

2

xfD

tf

=

Ficksches Diffusionsgesetz

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegungber die ungeordnete Bewegung von in einer Flssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

denken wir uns den Ursprung des Koordinatensystems in die Position eines Teilchens zur Zeit t=0 gelegt alle Teilchen bewegen sich unabhngig

Es folgt: f(x,t) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in der Zeit t eine Distanz zwischen x und x+dx zurckgelegt hat.

== 1),(00)0,( dxtxfundxfrxfBedingungen:

=

Dtx

Dttxf

4exp

41),(

2

Lsung:

Dtdxtxfxtxtx 2),()()(|| 22 ===

Damit:

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung

Formel fr die mittlere Verschiebung suspendierter Teilchen. Eine neue Methode zur Bestimmung der wahren Gre der Atome.

Wenn man das Stokes-Einstein-Gesetz in die Gleichung fr die mittlerequadratische Verschiebung einsetzt, erhlt man:

BrNRTttx

31)(|| ==

BrNRTD

61

Abschtzung fr ein Teilchen von 1 m Radius in Wasser von 17C:ca. 1 m pro Sekunde

Messung der Anzahl der Atome pro Gramm des Stoffes mittels der mittleren VerschiebungKeine Messung der Geschwindigkeit des Brownschen Teilchens mglich!

Experimentelle Besttigung der Existenz von Atomen

Jean Perringeb. 30.09.1870 in Lillegest. 17.04.1942 in New York

11.11.1909 Einstein an Perrin

Ich htte es fr unmglich gehalten, die Brownsche Bewegung so przis zu untersuchen;es ist ein Glck fr diese Materie, da Sie sichihrer angenommen haben.

Diese Arbeiten wurden 1926 mit dem Nobelpreis fr Physik ausgezeichnet.

Alternative Beschreibung

Marian von Smoluchowskigeb. 28.05.1872 in Wiengest. 05.08.1917 in Krakau

Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen, Annalen der Physik 756-779 (1906)

Seine Arbeit beinhaltet eine detaillierte Analyse der vorhandenen Literatur zur Brownschen Molekularbewegung und der Versuche, diese mittels der kinetischen Gastheorie zu verstehen. Ausgehend von einer statistischen Beschreibung der Stoprozesse leitet er dann das gleiche Resultat wie Einstein ab.

Eine kleine ZahlenspielereiDer menschliche Krper enthlt ca. 40 Kg WasserDie gesamte Wassermenge auf der Erde ist ca. 1.4 1021KgAvogadro Zahl: 6.022 1023 Teilchen / Mol1 Mol Wasser wiegen 18 g

2.86 10-20

1.34 1027

Wieviele Wassermolekle aus dem Krper von Jesus Christus sind in uns?

Wenn man an die Auferstehung des Fleisches glaubt: 0

Wenn man an die Auferstehung der Seele glaubt oder kein Christ ist:

ca. 4 107

Zur Beruhigung: das gilt genau so fr Buddha oder Mohammed oder Jack the Ripper oder

(vernachlssigt ist hier die Tatsache, dass der Mensch trinken muss)

Eine EinschtzungWenn in einem Kataklysmus alles wissenschaftliche Wissen vernichtet wrde und nur ein Satz knnte an die nchste Generation von Kreaturen weitergegeben werden, welche Aussage enthielte dann die meiste Information in den wenigsten Worten?

Alle Dinge bestehen aus Atomen kleinen Teilchen, die in bestndiger Bewegung sind, die sich anziehen, wenn sie eine gewisse Distanz voneinander entfernt sind und sich abstoen, wenn man sie ineinander presst.

Richard P. Feynmangeb. 11.05.1918 in New York Citygest. 15.02.19881954: Albert Einstein award

MEHR BROWNSCHE BEWEGUNG NACH DER PAUSE

Die seltsamen Pfade der Brownschen Teilchen

Newtonsche Mechanik Brownsche Bewegungdx = v dt dx = dW(t); dW(t) ~ (dt)1/2dv = (K / m) dt v existiert nicht!konservativ (Energie erhaltend) dissipativ

Einstein: physikalisch muss die Annahme, dass die Verschiebungen einesTeilchens zu zwei Zeiten t und t+dt unabhngig sind fr kleinedt ungltig werden.

Neue mathematische Disziplin: Theorie stochastischer Prozesse

Die Brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess mit stetigenaber nicht differenzierbaren Pfaden.

Wie kann man sich das veranschaulichen?

Der random walk wird geboren

Letter to Nature, 1905

A man starts from a point 0 and walks l yards in a straight line: he then turnsthrough any angle whatever and walksanother l yards in a straight line. He repeats this process n times.I require the probability that after these nstretches he is at a distance between r and r+r from his starting point 0.

=

nr

nrrpn

2

exp2)(Karl Pearsongeb. 27.03.1857 in Londongest. 27.04.1936 in Coldharbour

Der random walk wird geboren

usw.

Der random walk geht in diskreten Schritten in der Zeit.

Die Brownsche Bewegung ist selbsthnlich (fraktal). Sie ist derGrenzwert eines random walks, bei der die Schrittweite gegen Null geht und das Zeitintervall zwischen zwei Schritten auch, aber soda gilt:

.2

2

constlD ==

Anwendungen der Brownschen Bewegung

Transportprozesse

Physik: Wrmeleitung, Ladungstransport, Diffusion in Flssigkeiten

Chemie: Lsungen, Reaktionskinetik

Biologie: Transport in Zellen: Molekulare Motoren

Gesellschaft: Verkehr

Finanzmarkt

Quantenmechanik

Molekulare Motoren

Eine molekulare Pumpe, die fr Transport durch die Zellmembransorgt. Der Rotor dreht sich in 120 Sprngen.

Die Molekle sind dauerndenthermischen Schwankungen ausgesetzt, erzeugen aber trotzdemgerichteten Transport unterVerbrennung von ATP

Direct Observation of theRotation of F1-ATPase H. Noji, R. Yasuda, M. Yoshida, K. Kinosita Jr., Nature 386, 299 (1997).

Molekulare Motoren

Ein molekularer Pickup-Truck: Kinesin

Kinesin ist ein Motor-Protein, das eine gerichtete Bewegung lngs in der Zelle vorhandener Faserbndel, so genannter Microtubulenausfhrt. Es luft auf 2 Beinen die Faser entlang.

Figuren von Prof. Steven Block,Department of Applied Physics andBiological SciencesStanford Universitywww.stanford.edu/group/blocklab

Brownsche Bewegung im Finanzmarkt

Louis Bacheliergeb. 11.03.1870 in Le Havregest. 28.04.1946 in St-Servan-Sur-Mer

Doktorarbeit am 19.03.1900Theorie de la Spculation

Doktorvater: Henri Poincar

Eine bemerkenswerte Arbeit!

Die Arbeit enthielt alle mathematischen Ideen fr eine Theorie derBrownschen Bewegung, wie sie spter systematisiert wurden.Sie wurde vollkommen ignoriert.

Selbst Poincar hat nicht bemerkt, dass sein Doktorand das Problem derBrownschen Bewegung gelst hatte.

Brownsche Bewegung im Finanzmarkt

Der S&P 500 ist ein Aktienindex aus den 500 grten Firmen in den USA.

Geometrische Brownsche Bewegung [H. It (Mathematiker) M.F. Osborne (Physiker), P. Samuelson (konom)]

[ ])()()( tdWdttStdS +=

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik

In der Quantenmechanik kann ich nur noch Wahrscheinlichkeitsaussagen zu Ort und Impuls eines Teilchens machen.Ein Quantenobjekt wird beschrieben durch eine Wellenfunktion (x,t), die eine Lsung der Schrdingergleichung ist.

Max Born postulierte: Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall [x,x+x] zu finden ist gegeben durch | (x,t)|2 x.

Einstein in einem Brief an Max Born: Der (liebe Gott) wrfelt nicht!

Einstein hat natrlich nicht daran gezweifelt, da die Quantenmechanik richtige Vorhersagen ausrechnet. Seine Kritik richtete sich gegen die philosophische Interpretation der Kopenhagener Schule, die man so formulieren knnte: Du sollst dir kein Bildnis machen!

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik

2h

px

Ein berhmtes Gedankenexperiment zur Unschrferelation, das -Strahlen Mikroskop:

Aber: Das ist nicht nur richtig, wenn ich absichtlich mit dem Elektron wechselwirke. Kein Quantenteilchen ist jemals von seiner Umgebung isoliert; nur dass wir die genauen Einflsse nicht kennen!

Werner Heisenberggeb. 5.12.1901 in Wrzburggest. 1.02.1976 in Mnchen

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik

Edward Nelsongeb. 4.5.1932 in GeorgienProfessor fr Mathematik inPrinceton

60 Jahre nach Einsteins berhmter Arbeit ber die Brownsche Bewegung:Physical Review 150, 1179 (1966):

Herleitung der Schrdingergleichung aus der Newtonschen Mechanik

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik

Die Brownsche Bewegung ist nicht notwendig dissipativ, man kann eine konservative Brownsche Bewegung konstruieren. Hierzu folgt man im Wesentlichen Newtons Ableitung der klassischen Mechanik.

Newton: Die Krmmung der Teilchenbahn (zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit, erste Ableitng der Geschwindigkeit nach der Zeit) ist durch die uere Kraft gegeben.

Nelson: Der Erwartungswert der Krmmung der Teilchenbahn ist durch die uere Kraft gegeben.

K dxxdVK )(=

x(t)

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik

Bewegungsgleichung:

[ ] )(),(),()( tdWmdttxutxvtdx h++=Hierin ist

dxtxdS

mtxv ),(1),( =

dxtxdR

mtxu ),(),( h=

Um die Teilchenbahnen berechnen zu knnen, brauche ich R(x,t) und S(x,t),aber fr diese Funktionen gilt:

+= ),(),(exp),( txSitxRtx

herfllt die Schrdinger-Gleichung

),()(),(2

),(2

22

txxVx

txmt

txi +

=

hh

Einstein und die Brownsche Bewegung

Auf der Suche nach einer vereinheitlichten Feldtheorie hat Einstein in seinen spten Lebensjahren seine Theorie der Brownschen Bewegung als nicht so wichtig angesehen. Da irrte er aus verschiedenen Grnden, wie dieser Vortrag zeigen wollte. Dank seiner Arbeit wurde die Existenz von Atomen allgemein akzeptiert.Die Theorie der Brownschen Bewegung ist in fast allen Wissenschaftsbereichen anwendbar.Daher ist seine Arbeit ber die Brownsche Bewegung auch die am meisten zitierte seiner Arbeiten aus dem Jahr 1905.Eine weitere Beschftigung mit dieser Theorie htte auch seinem (und unserem) Verstndnis der Quantenmechanik gut getan.

Brownsche Molekularbewegung -Was hat Einstein daraus gemacht?