Wellen in Plasma

Einziger Wellentyp in MHD-Theorie: Alfvén-Wellen

Dispersionsrelation: aus linearisierter MHD-Kraftgleichung:

010

100

11

0

11BBBBp

t

v

Auslenkung 01 Bv

100

100

11

0

11BBBBp

t

v

Alle Gleichgewichtsgrößen als homogen angenommen

homogene Kompression des GG-Feldes 10 || BB

t

BB

t

p

t

v

1

00

121

2

0

1

Adiabatengleichung: 101 vpt

p

Faradaysches Gesetz: 101 vBt

B

Wellengleichung: 100

20

0

021

2

vBp

t

v

Kompressionale Alfvén-Wellen

Kompressionale Alfvén-Wellen

Kompressions-Energie

Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

0

0

00

20

pB

vph Charakteristische Geschwindigkeit:

keine Kompression des GG-Feldes 101 ,0 BBv

t

BB

t

p

t

v

1

00

121

2

0

1

Adiabatengleichung: 01 t

p

Faradaysches Gesetz: 101 vBt

B

Wellengleichung:

100

2

021

2

vB

t

v

Scher- Alfvén-Wellen

Scher- Alfvèn-Wellen

Magnetfeld-Energie

Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

00

0

B

vv Aph Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit

Wellen in Plasma

• Bisher Schallwellen und Alfvén-Wellen (MHD)

• Plasmawellen wichtig für Plasmaheizung und -diagnostik

• viele weitere Wellentypen, wenn volle Plasmadynamik berücksichtigt

x

z

t=t0 t=t1

)(0

trkieEE

Ebene Welle (homogenes Pasma):

k: Wellenzahl

k: Wellenvektor

Kreisfrequenz

Phasengeschwindigkeit:

kph

v

Brechungsindex:ckc

Nph

v

N

N

z

1

Vakuum Medium A

N 0

N

z

1

Vakuum Medium B

Resonanz: cut-off:

N ph ;0v;

k;0

;v;0 N ph

0; k

Spezialfälle:

Wellengleichungen

• liefern Dispersionseigenschaften N() und k()

Maxwell-Gleichungen:

tjDH

BE

/

0000 EjE EEE )(

“Plasmawirkung“Spezialfall:Longitudinal-

welle (E||k)

Ec

jE 200

1/

Transversalwellen im homogenen Plasma

2222 / kt

ik

/ it

Ec

jiEk2

2

02

)(0

trkieEE

Ec

jE 200

1/

Transversalwellen ohne Magnetfeld

Beziehung zwischen j und E aus Ohmschem Gesetz:

dt

jd

ne

mp

enBj

enjBuE

e

e

ee

2

11

hier ohne Magnetfeld

vernachlässige Stöße

nur ungleich Null für k||E

/ it

Ei

m

nej

e

e

2

Ei

m

nej

e

e

2

Ec

jiEk2

2

02

Wellengleichung: Ec

Ei

m

neiEk

e

e

2

22

00

0

2

2

0

2

2

222 1

e

e

m

nekcN

e

epe m

ne

0

2

2

22 1

peN

komplexer Brechungsindex:

Dispersionsrelation eines magnetfeldfreien Plasmas

Transversalwellen ohne Magnetfeld

N2 < 0N=1

ne=ne, crit

dzE

alle Elektronenin Phase!

tizztzki eeEeEE z 0/0

)(0

1

/

2

20

pe

cz

12

2

pe

Für überkritische Dichte fällt E-Feld exponentiell ab:

Wellenausbreitung im Plasma nur für

Transversalwellen ohne Magnetfeld

12

2

pe

Wellen mit Frequenz kleiner als Plasmafrequenz werden am Plasma reflektiert(bzw. vom Plasma abgeschirmt)

Wellenausbreitung ohne Magnetfeld

2222pekc

Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit nur von der Dichte kann zur Dichtemessung verwendet werden (Interferometrie)

22 /1

pe

ph

c

kv

Longitudinalwellen ohne Magnetfeld

Transversalwellen Longitudinalwellen

ieie vvkv ,||,

Raumladungen

Bewegungen von Elektronen und Ionen betrachten

Longitudinalwellen ohne Magnetfeld

Dispersionsrelation:

0000 EjE

0)( 12

2

0,0,00, Ec

vveni eie

Wellengleichung:

Longitudinalwellen:

Geschwindigkeiten aus Kraftgleichung und Adiabatengleichung:

2

22

1

1,

1

e

ee ck

Emei

v

2

22

1

1,

1

i

ii ck

Emei

v

2222epe ck

Longitudinalwellen ohne Magnetfeld

Wellenausbreitung mit Magnetfeld

Neue ausgezeichnete Richtung: B, kein Einfluss des Magnetfeldes für BE

||

Druck spielt keine Rolle Näherung: kaltes Plasma

Transversalwelle, Ausbreitung parallel zum Magnetfeld

Ausbreitung senkrecht zum Magnetfeld:Transversal- und Longitudinalwellen gekoppelt

/2

Wellenausbreitung mit Magnetfeld

Ohmsches Gesetz: dt

jd

ne

mp

enBj

enjBuE

e

e

ee

2

11

vernachlässige Stöße

kaltes Plasma

Wegen Hall-Term: Leitfähigkeits-Tensor: Ej

......

y

zxzyxyxxxx

j

EEEj

Ec

EiEkk2

2

0

Wellengleichung:

Wellenausbreitung mit Magnetfeld

Ec

EiEkk2

2

0)( Wellengleichung:

Ec

Ekk 2

2

)(

0

1i

Wellenausbreitung mit Magnetfeld

P

SiD

iDS

00

0

0

)(2

1;)(

2

1LRDLRS

i ci

pi

ce

peR

/1

)/(

/1

)/(1

22

i ci

pi

ce

peL

/1

)/(

/1

)/(1

22

i

pipeP22

1

e

epe m

ne

0

22

i

iipi m

neZ

0

22 )(

ece m

eB

i

ici m

eBZ

Stix, Kapitel 1

Wellenausbreitung mit Magnetfeld

Man findet aus Ec

Ekk 2

2

)(

mit ck

N Ec

ENN 2

2

)(

024 CNBNA

LRPC

SPLRB

PSA

)cos1(sin

cossin22

22

A

FBN

22

2,1

222422 cos4sin)( DPPSRLF

N1 : “langsame Welle“ ("slow wave")

N2 (<N1) : “schnelle Welle“ ("fast wave")

Wellenausbreitung mit Magnetfeld

Transversalwellen parallel zum Magnetfeld

=0

SPB

PA

2

A

FBN

22

2,1

PDF 2

)(2

1

)(2

1

LRD

LRS

LRN ,22,1

R

L

/1

)/(1

2

ce

peR

i ci

pi

ce

peL

/1

)/(

/1

)/(1

22

Resonanz: mit Gyrationsbewegung ce ci R: L:

Resonanz: mit Gyrationsbewegung

ce

ci

R:

L:

Transversalwellen parallel zum Magnetfeld

Mit MF Ausbreitung mit erlaubt

pl

cut-off:

ce

ci

R:

L:

R: 2

2

1

pece

Transversalwellen parallel zum Magnetfeld

ceMagnetfeld

1 20

1

0

R- cut off L-cut-off

pe /22 (=Dichte)

ci 12

2

peceL: für

Wellen senkrecht zum Magnetfeld

A

FBN

22

2,1

=

SPLRB

SA

PSRLF

PN 2

)(2

1

)(2

1

LRD

LRS

2

1

peP

“ordentliche Welle” (O-Mode) E || B

SRLN /1

Magnetfeld spielt keine Rolle

E

“außerordentliche Welle” (X-Mode) E B

“außerordentliche Welle” (X-Mode) E B

Untere Hybridfrequenz

falls cepe

-

E~ B0

+

E x B - Drift

Polarisations-drift

Obere Hybridfrequenz

Zusammenfassung: Wellenausbreitung mit Magnetfeld