Wölbkrafttorsion von Durchlaufträgern mit konstantem Querschnitt unter Berücksichtigung sekundärer Schubverformungen

Die Analogie zwischen der Theorie der Wölbkrafttorsion und derTheorie II. Ordnung für den Biegestab mit Längszug gilt auchdann noch, wenn bei der Wölbkrafttorsion die Schubverformun-gen der sekundären Torsion und beim Biegestab die Querkraft-verformungen zusätzlich berücksichtigt werden. Auf der Basisdieser Analogie wird die Dreimomentengleichung zur Berech-nung von Durchlaufträgern mit konstantem Querschnitt angege-ben. Es wird gezeigt, daß die sekundären Schubverformungen beioffenen Querschnitten in der Regel vernachlässigbar sind, beigeschlossenen Querschnitten aber stets berücksichtigt werdenmüssen. Ebenso wird gezeigt, daß bei diesen geschlossenenQuerschnitten die Wölbkrafttorsion i. w. nur an „Störstellen“ auf-tritt, dort aber Spannungen hervorruft, die gegenüber jenen derprimären Torsion nicht vernachlässigbar sind.

Warping torsion of continuous beam with constant cross-sectionconsidering shear deformation. The analogy between the theoryof warping torsion and second order theory of a bending memberwith tensile force is also valid, if shear-deformations in both casesare additionally included. On the basis of this analogy the three-moment equation for continuous beam with constant cross-sec-tion is given. It is demonstrated, that shear-deformations for opensections can normally be neglected but must be encluded in thecase of hollow-sections. It is also shown, that for these sectionswarping-torsion occurs only in ranges of discontinuity, but causesstresses which are in the same order as the stresses of primarytorsion.

1 Einleitung

Bei der Berechnung der Wölbkrafttorsion von offenenQuerschnitten (z. B. I- und U-Profile) können in der Regeldie sekundären Schubverformungen vernachlässigt wer-den. Bei geschlossenen Querschnitten dagegen (z. B. Recht-eckkasten), sofern sie nicht wölbfrei sind und deshalbüberhaupt keine Wölbkrafttorsion aufweisen, müssen diesekundären Schubverformungen berücksichtigt werden, dasonst die Ergebnisse völlig unbrauchbar sind. Dieser Sach-verhalt äußert sich u. a. dadurch, daß viel zu große Wölb-normal- und auch Wölbschubspannungen erhalten wer-den würden; darüber hinaus würden diese beim Grenz-übergang zum wölbfreien Querschnitt nicht gegen Nullgehen.

In der Literatur wird zwar vielfach darauf hingewie-sen, daß bei geschlossenen Querschnitten die sekundärenSchubverformungen berücksichtigt werden sollten, nach

Kenntnis des Verfassers sind aber die dafür erforderlichenFormeln für konkrete Querschnitte kaum verfügbar. An-dererseits ist der oft zu lesende Hinweis, daß bei geschlos-senen Querschnitten die Wölbkrafttorsion ganz vernach-lässigt werden kann, also die St. Venant-Torsion allein aus-reichend ist, im allgemeinen nicht zutreffend. Allerdingsist einzuräumen, dass Wölbspannungen „notfalls“ durchPlastizieren abgebaut werden können, wenn sichergestelltist, daß es sich um vorwiegend ruhende Lasten handelt,der Werkstoff ausreichend duktil ist und die betreffendenQuerschnittsteile nicht beulgefährdet sind.

Ein weiterer Umstand, der nur bei geschlossenenQuerschnitten auftritt, ist zu beachten: Es ergeben sichStabkennzahlen e mit einer Größenordnung von etwa 20;diese führen als Argument der auftretenden hyperbolischenFunktionen zu großen Zahlen, die je nachdem, welcheFormeln verwendet werden, zu numerischen Schwierig-keiten führen können. Dieser Sachverhalt trifft jedenfallsfür die Übertragungsbeziehung zu, die alle interessieren-den Zustandsgrößen an beliebiger Stelle x in Abhängigkeitder Anfangswerte (bei x = 0) liefert. Diese Beziehung wirdbereits ab Stabkennzahlen von etwa 7 zunächst ungenauund dann unbrauchbar (Differenz sehr großer, nahezugleicher Zahlen).

Im folgenden Beitrag werden nur Formeln angegeben,die für alle üblichen Stabkennzahlen von geschlossenenQuerschnitten keine numerischen Probleme aufweisen.

2 Analogie zwischen Wölbkrafttorsion und Biegetheorie II. Ordnung

Gemäß [1] besteht die Analogie zwischen Wölbkrafttor-sion und Biegetheorie II. Ordnung (mit Längszugkraft N)auch dann noch, wenn die sekundären Schubverformungenbei der Wölbkrafttorsion bzw. die Querkraftverformungenbei der Biegetheorie zusätzlich berücksichtigt werden. Ta-belle 1 enthält die Gegenüberstellung der analogen Grö-ßen, wo nötig mit Angabe der positiven Richtung. Größenmit Strich stellen deren Ableitung nach x dar.

Es sei darauf hingewiesen, daß allgemeine EDV-Pro-gramme, die eine Berechnung von Stäben nach TheorieII. Ordnung mit Berücksichtigung von Querkraftverfor-mungen erlauben, im Fall von geschlossenen Querschnit-ten – trotz strenger Gültigkeit der Analogie – nicht un-bedingt zur Berechnung der Wölbkrafttorsion verwendetwerden können. Beispielsweise haben sich beim Stabwerks-

Wölbkrafttorsion von Durchlaufträgern mit konstantem Querschnitt unter Berücksichtigungsekundärer Schubverformungen

Helmut Rubin

Fachthemen

826 © Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · Stahlbau 74 (2005), Heft 11

827

H. Rubin · Wölbkrafttorsion von Durchlaufträgern mit konstantem Querschnitt unter Berücksichtigung sekundärer Schubverformungen

Stahlbau 74 (2005), Heft 11

programm IQ 100 [2] (entwickelt am Institut des Verfassers)bereits für Stabkennzahlen e > 7 die erwähnten numeri-schen Schwierigkeiten gezeigt. Dieses Programm wurde dar-aufhin auf Basis der nachfolgend angegebenen Formeln soerweitert, daß auch die Wölbkrafttorsion geschlossenerQuerschnitte problemlos berechnet werden kann.

3 Grundlegende Formeln, Differentialgleichung

Bild 1 zeigt zunächst die bereits in Tabelle 1 enthaltenenZustandsgrößen J, MTp, MTs, MT sowie die Einwirkungenm und Me

T mit ihren positiven Richtungen. Das nicht dar-gestellte Wölbmoment Mw ist durch Gl. (7) definiert.

Ohne Herleitung seien folgende grundlegende Bezie-hungen angegeben (vgl. [1]):

(1)

(2)

(3)

J¢ = J¢M + J¢Q (4)

MT = MTp + MTs (5)

M¢T = –m (6)

M¢w = MTs (7)

Hilfsgrößen

(8)

(9)l 0 = EIGI

nur querschnittsabhängigT

wk

k =+ -

11 1I I

nur querschnittsabhängigT Ts

¢¢ = -J w

wM

MEI

¢ = = -JQTs

Ts

TsTs

MGI

MG

I 1

¢ =JM

GITp

T

Stabkennzahl

(10)

Differentialgleichung für Mw

(11)

Beim sekundären Torsionsträgheitsmoment wird grund-sätzlich der Kehrwert ITs

–1 verwendet, damit im SonderfallderVernachlässigung der sekundären Schubverformungenin den Formeln

ITs–1 = 0 (12)

gesetzt werden kann – eine Näherung, die, wie erwähnt,allenfalls bei offenen, nicht aber bei geschlossenen Quer-schnitten zulässig ist. Für den Hilfswert k ergibt sich danngemäß Gl. (8) k = 1. Werden die sekundären Schubverfor-mungen berücksichtigt, so liegt bei offenen Querschnittenk in der Nähe von 1, stellt also lediglich einen Korrektur-faktor dar, während bei geschlossenen Querschnitten ksehr viel kleiner ist und demnach auch zu einer wesentlichkleineren Stabkennzahl e führt.

Beispiel: Für einen Kastenquerschnitt gemäß Tabelle 2mit t = s und h = 1,5 b ergibt sich k = 0,0327, �0 = 0,429 hund e = 2,33 �/h, während man bei Vernachlässigung dersekundären Schubverformungen k = 1, �0 = 0,0775 h und e = 12,9 �/h erhalten würde. Anhand dieser Zahlen wird

¢¢ - = -M M mw w k1

02l

e = ll

l0

, Stablänge

Tabelle 1. Analoge Größen bei der Wölbkrafttorsion und der Biegetheorie II. Ordnung, ggf. mit positiver RichtungTable 1. Analogous values at warping-torsion and at second-order theory for a bending member with tensile force, ifnecessary with positive direction

Bild 1. Zustandsgrößen J, MTp, MTs, MT und Einwirkungenm, Me

TFig. 1. State variables J, MTp, MTs, MT and loadings m, Me

T

828



Tabelle 2. Querschnittswerte und Spannungen von doppeltsymmetrischen Kasten- und I-QuerschnittenTable 2. Quantities of section and stresses of double symmetric box- and I-sections

829



deutlich, daß die genannte Vernachlässigung hier zu völligunbrauchbaren Ergebnissen führen würde.

Abschließend sei noch auf einen wichtigen Sachver-halt hingewiesen: Als Maß für die Verwölbung eines Quer-schnitts ist nicht die Verdrillung J¢ anzusehen, sondernnur der Anteil J¢M aus den Wölbnormalspannungen. Ausdiesem Grund gilt für einen Querschnitt mit starrer Ein-spannung oder mit einer starren Kopfplatte die Randbe-dingung J¢M = 0, was bedeutet, daß dort im allgemeineneine Verdrillung J¢ = J¢Q vorhanden ist. Andererseits giltbeispielsweise für einen über ein Gabellager durchlaufen-den Träger die Bedingung, daß sich dort J¢M nicht ändert,während die Verdrillung J¢ an dieser Stelle i. d. R. einenSprung aufweist.

Die Beziehungen (1) bis (11) werden bei der Berech-nung von Durchlaufträgern nicht unmittelbar benötigt; siesind dargestellt, um die angewendete Theorie eindeutig zudefinieren, um zu einem besseren Verständnis des Trag-verhaltens beizutragen und um gleichzeitig die analogenFormeln der Biegetheorie II. Ordnung bestimmen zu kön-nen, wo das Verstehen der Zusammenhänge leichter fällt.Schließlich lassen sich alle angegebenen Beziehungen nachAbschluß der Berechnung auch als Kontrollen verwenden.

4 Formeln zur Berechnung von Querschnittswerten undSpannungen für bestimmte Querschnitte

Tabelle 2 enthält für den doppeltsymmetrischen Kasten-und I-Querschnitt, Tabelle 3 für den U- und einfachsym-metrischen I-Querschnitt alle erforderlichen Formeln zurBerechnung der Querschnittswerte, der Normalspannun-gen aus Mw, der primären Schubspannungen aus MTp undder sekundären Schubspannungen aus MTs. Allen Formelnliegt der idealisierte Querschnitt mit derAnnahme „Blech-dicke << Blechbreite“ zugrunde. In Profiltabellen findensich für gewalzte I- und U-Profile Zahlenwerte für IT undIw, die wegen vorhandener Ausrundungen u. ä. etwas vonden Werten des idealisierten Querschnitt abweichen. Daaber weitere Querschnittswerte zur Berechnung der Nor-mal- und Schubspannungen in den Profiltabellen i. d. R.nicht angegeben sind, empfiehlt sich, die Rechnung kon-sequent nach Tabelle 2 bzw. 3 für den idealisierten Quer-schnitt durchzuführen. Bei den Rechteck-Hohlprofilenfinden sich in den Profiltabellen überhaupt keine Quer-schnittswerte für die Wölbkrafttorsion.

Beim Kastenquerschnitt gemäß Tabelle 2 ist zu be-achten, daß im Sonderfall h/s = b/t ein wölbfreier Quer-schnitt vorliegt, ein Querschnitt also, der nur primäre Tor-sion aufweist. Hier sind nur die Formeln für IT, Tp, tG,pund tS,p anzuwenden. Zu dem in Tabelle 2 links untendargestellten Verlauf des sekundären Schubflusses ist zubemerken, daß nicht ein realer Verlauf, sondern der Ver-lauf mit positiven Ordinaten gezeigt ist. Wenn T1,s positivist, muß T2,s negativ sein, und das Moment der Gurtquer-kräfte dreht im Gegenuhrzeigersinn, jenes der Stegquer-kräfte im Uhrzeigersinn.

Diese Querkräfte als Resultierende der sekundärenSchubspannungen im Gurt bzw. Steg sind in Bild 2 mitzugehörigen Formeln dargestellt. Im Sonderfall s = t ergibtsich QGs = QSs. Diese Formeln dienen dem besseren Ver-ständnis des etwas komplexen Tragverhaltens, sie werdenzur Spannungsberechnung nicht benötigt, können aber

sehr wohl zu Kontrollzwecken verwendet werden. ZumVergleich sind in Bild 2 auch die Gurt- und Stegquerkräfteder primären Torsion angegeben.

5 Verdrillungen JJ¢M,ik und JJ¢M,ki an den Stabenden zurFormulierung der Dreimomentengleichung

Die Verdrillungen J¢M (als Maß für die Querschnittsver-wölbungen) an den Endpunkten i und k eines Stabes wer-den in Abhängigkeit derWölbmomente Mw,i, Mw,k und derEinwirkungen formuliert. Die Verträglichkeitsbedingungenfür J¢M an Gabellagern von Durchlaufträgern liefern danndie Drei(wölb)momentengleichungen, welche ein Glei-chungssystem für die unbekannten Wölbmomente an denKnoten (und ggf. an den Endeinspannungen) bilden. DieseGleichungen stehen in voller Analogie zu den Dreimo-mentengleichungen für Durchlaufträger nach der Biege-theorie II. Ordnung.

Die für den einzelnen Stab berücksichtigten Einwir-kungen sind in Bild 3 dargestellt; dabei sind für die Last-stellungen alle denkbaren Sonderfälle a = 0, a = 1, b = 0,b = 1, g = 0 und g = 1 zulässig.

Zur Schreiberleichterung werden quergestricheneGrößen verwendet, die wie folgt definiert sind:

J— = GITJ (13)

J—¢ = GITJ¢ (14)

Diese Vereinbarung gilt auch für die Anteile mit Index Mbzw. Q.

Die Formeln für die quergestrichenen VerdrillungenJ—¢M an den Enden eines Stabes ik lauten:

J—¢M,ik = l1Mw,i + l2Mw,k + Lik (15)

–J—¢M,ki = l1Mw,k + l2Mw,i + Lki (16)

Bild 2. Gegenüberstellung der Gurt- und Stegquerkräfte desKastenquerschnitts bei primärer und sekundärer TorsionFig. 2. Comparison of shear forces in flange and web of abox section in the case of primary and secondary torsion

830



Tabelle 3. Querschnittswerte und Spannungen von U-Querschnitten und einfachsymmetrischen I-QuerschnittenTable 3. Quantities of section and stresses of U-sections and single symmetric I-sections

831



mit den Lastgliedern

Lik = l3m� + l4mi� + l5mk� + l6MeT + l7mD� (17)

Lki = r3m� + r4mk� + r5mi� + r6MeT + r7mD� (18)

Die Koeffizienten l1 bis l7 und r3 bis r7 sind in Tabelle 4angegeben, wobei folgende Lagerungsfälle unterschiedenwerden:Lagerungsfall 1: beidseitige Gabellagerung Æ Ji = 0, Jk = 0Lagerungsfall 2: Gabellagerung nur rechts Æ MT,i = 0, Jk = 0Lagerungsfall 3: Gabellagerung nur links Æ Ji = 0, MT,k = 0

Lagerungsfall 2 kann für das erste Feld, Lagerungsfall 3für das letzte Feld eines Durchlaufträgers vorliegen, wäh-rend Lagerungsfall 1 bei allen Innenfeldern vorhanden ist,aber auch bei den Außenfeldern vorhanden sein kann.

Unabhängig davon können an den Endpunkten derAußenfelder frei verwölbbare Querschnitte mit Mw = 0oder starre Wölbeinspannungen (z. B. durch starre Kopf-platten) mit J¢M = 0 vorliegen. Im letzteren Fall treten dort(wie an den Zwischenlagern) Wölbmomente als Unbe-kannte des Gleichungssystems auf.

6 Dreimomentengleichung

Eine Drei(wölb)momentengleichung ist für jeden Zwi-schenknoten (stets mit Gabellager) zu formulieren und –

unabhängig vom Lagerungsfall der Endfelder – auch fürdie Endpunkte des Durchlaufträgers, wenn dort eine Wölb-einspannung (J¢M = 0) mit unbekanntem WölbmomentMw,i bzw. Mw,k vorhanden ist. Im Regelfall der freien Ver-wölbbarkeit der Endpunkte ist Mw,i = 0 bzw. Mw,k = 0, undes gibt keine entsprechende Gleichung.

Bild 4 zeigt einen allgemeinen Zwischenknoten k, fürden die Dreimomentengleichung zu formulieren ist, mitden angrenzenden Stäben s und t sowie den benachbartenKnoten i und j. Die stabbezogenen Größen (l, r, �) sindnun zusätzlich mit dem Stabindex s bzw. t zu versehen.

Die Verträglichkeitsbedingung für den Knoten k lau-tet:

–J—¢M,ki + J—¢M,kj = 0 (19)

Nach Einsetzen der Gln. (15) und (16) erhält man als Drei-momentengleichung für den Knoten k:

l2,sMw,i + (l1,s + l1,t)Mw,k + l2,tMw,j = –(Lki + Lkj) (20)

Die Lastglieder sind durch die Gln. (17) und (18) festge-legt.

Ist s der erste Stab eines Durchlaufträgers und hat daslinke Ende i eine starre Wölbeinspannung, so gilt dort we-gen J—¢M,ik = 0 die Gleichung:

l1,sMw,i + l2,sMw,k = –Lik (21)

Andernfalls ist in Gl. (20) Mw,j = 0 zu setzen, und dieGl. (21) entfällt.

Ist andererseits t der letzte Stab eines Durchlaufträ-gers und hat das rechte Ende j eine starre Wölbeinspan-nung, so gilt dort:

l2,tMw,k + l1,tMw,j = –Ljk (22)

Andernfalls ist in Gl. (20) Mw,j = 0 zu setzen, und dieGl. (22) entfällt. Wie bereits erwähnt, gelten vorstehendeGleichungen unabhängig davon, ob in den RandfeldernLagerungsfall 1, 2 oder 3 vorliegt.

Bild 3. Berücksichtigte Einwirkungen für den Einzelstab ikFig. 3. Considered loadings of the individual bar ik

Bild 4. Stabzug i k j zur Formulierung der Dreimomenten-gleichung für den Knoten kFig. 4. Continuous beam i k j for definition of the three-moment equation

7 Funktionen der Zustandsgrößen für den Einzelstab

Nach Auflösung des durch die Dreimomentengleichungengebildeten Gleichungssystems sind die Wölbmomente Mw,iund Mw,k an den Endpunkten jedes Stabes bekannt.

Nach Tabelle 5 können daraus und aus den Einwir-kungen m, mi, mk, Me

T und mD bereits die Funktionen vonMw und MTs durch Superposition der entsprechenden Zei-len bestimmt werden. Das Torsionsmoment MT und dieHilfsgröße HT (Integral von MT) sind für Lagerungsfall 1

mit J—i = 0 und J—k = 0 in gleicher Weise bestimmbar. LiegtLagerungsfall 2 mit J—i π 0 oder Lagerungsfall 3 mit J—k π 0vor, so ist J—i bzw. J—k vorweg noch zu bestimmen (vorletztebzw. letzte Zeile von Tabelle 5).

Für Lagerungsfall 2 erhält man aus der BedingungMT,i = 0 aus der letzten Spalte von Tabelle 5:

(23)

Analog erhält man aus MT,k = 0 für Lagerungsfall 3:

(24)

Die noch fehlenden Funktionen für MTp, J und J¢ ergebensich schließlich aus:

J

a g b

w wk i k i k

Te

M M m m m

M m

= - + + + +

+ + ¢ -

, ,12

16

13

2

2 2 2

2 22

l l l

l lD

J

a b g

w wi i k i k

Te

M M m m m

M m

= - + + + + +

+ ¢ + ¢ -

, ,12

13

16

2

2 2 2

2 22

l l l

l lD

MTp = MT – MTs (25)

(26)

J¢ nach Gl. (1)

8 Rechengang und Formeln für verschiedene Lagerungeneines Einzelstabes

Tabelle 6 zeigt die Bestimmung der Zustandsgrößen Mw,i,Mw,k, J—i und J—k an den Stabenden für 12 unterschiedlicheLagerungen eines Einzelstabes. Damit lassen sich dannauch die Funktionen aller Zustandsgrößen aus Tabelle 5und den Gln. (25), (26) berechnen.

Bemerkenswert ist, daß bei den ersten drei Systemfäl-len (trotz verschiedener Lagerung) die Funktionen von Mwund MTs identisch sind.

J w= -H MGI

T

T

832



Tabelle 4. Koeffizienten l1 bis l7 und r3 bis r7Table 4. Coefficients l1 to l7 and r3 to r7

833



Tabe

lle

5.Fu

nkt

ionen

der

Zust

ands

größ

en M

w,M

Ts,M

Tund

des

Hilfs

wer

tes

HT,E

inw

irku

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,mi,

mk,

Me T

und

mD

sieh

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ble

5.Fu

nct

ions

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Ts,M

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lue

HT,l

oadi

ngs

m,m

i,m

k,M

e Tan

d m

Dse

efig.

2

9 Allgemeines Tragverhalten bei geschlossenen (nicht wölbfreien) Querschnitten

Geschlossene Querschnitte unterscheiden sich von offenendadurch, daß1. die primäre Torsionssteifigkeit GIT wesentlich größer istals die sekundäre GITs und2. die Schubverformungen der sekundären Torsion nichtvernachlässigt werden dürfen.

Daraus ergibt sich, daß im wesentlichen die primäreTorsion vorliegt, die sekundäre Torsion nur an „Störstel-len“ vorhanden ist und von dort aus rasch abklingt. AlsStörstelle ist in erster Linie ein Einzeltorsionsmoment(Last- oder Auflagergröße) zu verstehen, welches nicht aneinem frei verwölbbaren Stabende angreift. Daneben be-wirkt aber auch ein Streckentorsionsmoment im Bereichseiner Wirksamkeit sekundäre Torsion, welche außerhalbdieses Bereichs auch wiederum rasch abklingt.

Tabelle 7 zeigt den Sachverhalt für ein Einzeltorsions-moment Me

T in einem (ungestörten) Stabbereich, an einemStabende mit starrer Wölbeinspannung und an einem freiverwölbbaren Stabende, wo es keine sekundäre Torsionhervorruft. Zur Berechnung der angegebenen Ordinatenvon Mw und MTs werden k gemäß Gl. (8) und �0 gemäßGl. (9) benötigt; diese Werte sind nur querschnittsabhän-gig. Bei den hier vorliegenden geschlossenen Querschnit-ten gilt i. d. R. k << 1 und �0 << � (Stablänge).

Tabelle 8 gibt analog den Sachverhalt für ein kon-stantes Streckentorsionsmoment m wieder.

Die Verläufe von Mw und MTs klingen in allen Fällender Tabellen 7 und 8 gemäß der Funktion

f = f0 e–x/�0 (27)

rasch ab, so daß dann außerhalb der Einwirkungen MeT

bzw. m nur noch die primäre Torsion vorliegt. Der Verlaufvon f ist in Bild 5 dargestellt; im Abstand von 3�0 sindetwa noch 5 %, im Abstand von 4�0 etwa noch 2 % derAnfangsordinate vorhanden (�0 << �).

Die Tangente im Anfangspunkt von f schneidet dieAbszisse bei x = �0 (Bild 5). Die Ableitung von f lautet:

(28)

Daraus ergibt sich z. B., daß MTs = M¢w das gleiche Ab-klingverhalten hat wie Mw (s. a. Bild 6).

¢ = -f f1

0l

834



Tabelle 6. Bestimmung von Mw,i, Mw,k, J—i und J—k für verschiedene Lagerungen eines EinzelstabesTable 6. Calculation of Mw,i, Mw,k, J—i and J—k for various supports of a single beam

Bild 5. Abklingfunktion fFig. 5. Fading function f

835



Tabelle 7. Abklingverhalten der sekundären Torsion für ein Einzeltorsionsmoment MeT (eingeprägt oder als Lagerreaktion) bei

geschlossenen QuerschnittenTable 7. Fading of secondary torsion for a single moment of torsion Me

T for closed sections

Tabelle 8. Abklingverhalten der sekundären Torsion für ein Streckentorsionsmoment m = konst. bei geschlossenenQuerschnittenTable 8. Fading of secondary torsion for a distributed moment of torsion m = const. for closed sections

10 Berechnung der Wölbmomente an den Knoten undStabenden eines Durchlaufträgers mit geschlossenemQuerschnitt

Aus �0 << � ergibt sich gemäß Gl. (10) für die Stabkennzahl

(29)

Für die Koeffizienten l1 und l2 nach Tabelle 4 erhält mandaraus und mit k << 1 näherungsweise:

(30)

und

c2 = 0 Æ l2 = 0 (31)

c1 10

1 1= Æ = =l ek kl l

e = >>ll 0

1

für alle Lagerungsfälle. l1 ist wieder nur querschnittsab-hängig, also für alle Stäbe eines Durchlaufträgers gleich.

Aus der Dreimomentengleichung (20) erhält man fürden allgemeinen Knoten k gemäß Bild 4 hier für Mw,k dieBestimmungsgleichung

(32)

Für das linke Ende i mit starrer Wölbeinspannung (erstesFeld ik) erhält man aus Gl. (21):

Mw,i = –k�0Lik (33)

Analog ergibt sich für das rechte Ende j mit starrer Wölb-einspannung (letztes Feld kj) aus Gl. (22):

Mw,j = –k�0Ljk (34)

Die zugehörigen sekundären Torsionsmomente betragen:am Knoten k:

(35)

am linken Ende i des ersten Feldes:

MTs,i = kLik (36)

und am rechten Ende j des letzten Feldes:

MTs,j = –kLjk (37)

falls in i und j starre Wölbeinspannungen vorliegen.Die Formeln für die Lastglieder selbst erhält man

durch entsprechende Vereinfachung der Koeffizienten l3bis l7 und r3 bis r7 nach Tabelle 4 für e >> 1 und Einsetzenin die Gln. (17) und (18). Die Endformeln sind in Tabelle 9wiedergegeben.

M M L LTs kj Ts ki ki kj, , ( )= - = +12

k

M L Lk ki kjw k, ( )= - +12 0l

836



Bild 6. Beispiel für Abklingfunktion: Verlauf von Mw undMTs im Bereich des Beginns von m = konst. (vgl. Tabelle 8)Fig. 6. Example for fading functions: curve of Mw and MTsin the range of the begin of m = const. (see table 8)

Tabelle 9. Lastglieder Lik und Lki als Näherung bei geschlossenen QuerschnittenTable 9. Load values Lik and Lki as approximation for closed sections

837



Tabelle 10. Verläufe von M0w und M0

Ts für Lastfälle m, MeT

und mD bei geschlossenen QuerschnittenTable 10. Curves of M0

w and M0Ts for load cases m, Me

T andmD for closed sections

Tabelle 11. Verlauf von MT für Lagerungsfälle 1 bis 3 jeweils für Lastfälle m, MeT und mD bei geschlossenen Querschnitten

Table 11. Curve of MT for support conditions 1 to 3 for load cases m, MeT and mD for closed sections

Damit ist eine sehr einfache und unmittelbare Be-rechnung der Schnittgrößen Mw und MTs an den Knotenund Stabenden eines Durchlaufträgers (oder auch Einzel-stabes) möglich.

11 Überlagerung der Verläufe M0ww und M0

Ts im Feld eines Stabes mit geschlossenem Querschnitt

Gemäß Tabelle 5 sind für die Schnittgrößen Mw und MTsdie Einflüsse Mw,i, Mw,k, m, mi, mk, Me

T und mD zu überla-

gern. Die Verläufe aus Mw,i und Mw,k sind im vorigen Ab-schnitt 10 beschrieben. Die Verläufe aus den weiteren Ein-flüssen werden mit M0

w und M0Ts bezeichnet; diese sind für

die Lastfälle m, MeT und mD (s. Bild 3) in Tabelle 10 ange-

geben. Sie sind stets unabhängig von den Lagerbedingun-gen der Stabenden.

Bei den Lastfällen MeT und mD werden aus erwähnten

Gründen Randabstände a�, a¢� bzw. b� und g� (s. Bild 3)von mindestens etwa 3 �0 vorausgesetzt. Ist dies nicht er-füllt, so können immer noch, ebenso wie bei den Lastfällenmi und mk, die genauen, allgemeingültigen Formeln derTabelle 5 angewendet werden. In den Sonderfällen a� = 0und a¢� = 0 (Me

T am linken bzw. rechten Stabende) gilt M0

w ∫ 0 und M0Ts ∫ 0.

12 Verläufe von MT für Lagerungsfälle 1 bis 3 jeweils für dieLastfälle m, Me

T und mDD bei geschlossenen Querschnitten

Wegen �0 << � darf bei der Berechnung von MT (vgl. Ta-belle 5) der Einfluß von Mw,i und Mw,k vernachlässigt wer-den. Damit ist MT nur von der Belastung des betrachtetenFeldes und dessen Lagerungsfall abhängig; somit hat MTdenselben Verlauf, wie wenn nur primäre Torsion vorliegenwürde. Tabelle 11 zeigt die Verläufe von MT für die Last-fälle m, Me

T und mD.MT ist im Lagerungsfall 1 statisch unbestimmt, die

Verträglichkeitsbedingung fordert, daß die Fläche der MT-Linie Null sein muß. Die Lagerungsfälle 2 und 3 sind sta-tisch bestimmt, MT folgt allein aus den Gleichgewichts-bedingungen und ist damit grundsätzlich unabhängig vonMw,i bzw. Mw,k.

Sind MT und MTs bekannt, erhält man MTp schließ-lich aus:

MTp = MT – MTs (38)

13 Verlauf von Mww, MTs und MT für verschiedene Lagerungeneines Einzelstabes mit geschlossenem Querschnitt

Tabellen 12 und 13 zeigen für den Lastfall m bzw. MeT die

Verläufe von Mw, MTs und MT bei verschiedenen Lagerun-gen eines Einzelstabes. Alle Verläufe von Mw und MTs las-sen sich mit der Abklingfunktion f gemäß Bild 5 beschrei-

ben. Die Randabstände a� bzw. a¢� von MeT in Tabelle 13

sollten wieder nicht kleiner sein als etwa 3 �0; der Fall a¢� = 0 dagegen ist (wo nicht trivial) explizit dargestellt.Nicht enthaltene Systemfälle ergeben sich aus vorhande-nen durch Spiegelung.

14 Formeln für den Kastenquerschnitt gemäß Tabelle 2,Sonderfall s = t

Bei gleicher Wanddicke s = t des Rechteckkastens nachTabelle 2 lassen sich die allgemeinen Formeln wesentlichvereinfachen. Die größere Seitenlänge des Rechtecks sei h.

838



Tabelle 12. Verlauf von Mw , MTs und MT für m = konst. bei verschiedenen Lagerungen eines Einzelstabes und bei geschlos-senen QuerschnittenTable 12. Curve of Mw , MTs and MT for m = const. at various supports of a single beam and for closed sections

839



(Für b = h würde ein wölbfreier Querschnitt vorliegen).Mit dem Parameter

(39)

und dem Hilfswert

(40)m h h= + +3 2 32

h = <bh

1

erhält man

(41)

(42)

(43)e = ll 0

l l0 0800180= =E

Gh bei Stahl hm m, ,

k hm

= -ÊËÁ

ˆ¯̃

53

12

Tabelle 13. Verlauf von Mw , MTs und MT für MeT bei verschiedenen Lagerungen eines Einzelstabes und bei geschlossenen

QuerschnittenTable 13. Curve of Mw , MTs and MT for Me

T at various supports of a single beam and for closed sections

Die Berechnung der Spannungen gemäß Tabelle 2 verein-facht sich wie folgt:

(konstant über Querschnitt) (44)

(Eckpunkte) (45)

(Eckpunkte) (46)

(47)

(Mitte der kleineren Rechteckseite)

(48)

(Mitte der größeren Rechteckseite)

t0,s und t1,s wirken in Richtung von MTs, t2,s entgegen MTs.t1,s ist die betragsmäßig größte sekundäre Schubspannung.

Gemäß Bild 2 ergeben sich hier wegen s = t bei dersekundären Torsion die für Steg und Gurt gleichen Quer-kräfte:

(49)

Bild 7 zeigt maßstäblich den Verlauf der sekundären Schub-spannungen ts für den Fall h = 1,5 b, d. h. für h = 2/3, wo-bei ein Viertel des Querschnitts betrachtet wird.

Q QMh bGs Ss

Ts= =-

t t2 02

, ,/

s sb hh b

= - +-

t t1 02

, ,/

s sh bh b

= +-

t0,sTsM

bht=

s wR

Mbht h b

=-

6( )

t pTpM

bht=

2

15 Beispiel 1: 5feldriger Durchlaufträger mit U-Querschnitt

Bild 8 zeigt den 5feldrigen Durchlaufträger mit unterschied-lichen Lastfällen in den einzelnen Feldern. Das linke Ende aist frei verdreh- und verwölbbar, das rechte Ende f ist eben-falls frei verdrehbar, jedoch mit starrer Wölbeinspannung(starre Kopfplatte). Im ersten Feld liegt Lagerungsfall 2, imletzten Feld Lagerungsfall 3, in den übrigen Feldern Lage-rungsfall 1 vor.

Für den vorliegenden U-Querschnitt werden die For-meln der Tabelle 3 verwendet; bei diesem offenen Quer-schnitt sind die sekundären Schubverformungen vernach-lässigbar, d. h. es wird mit ITs

–1 = 0 und k = 1 gerechnet (mitSchubverformungen würde man k = 0,995 erhalten).

Die Wölbmomente Mw,b bis Mw,f werden mit dem ausden Dreimomentengleichungen für die Punkte b bis f her-vorgehenden Gleichungssystem bestimmt. Die Belastun-gen der einzelnen Felder werden dabei als getrennte Last-fälle behandelt.

Querschnittswerte nach Tabelle 3:

AS = 0,012 m2, AG = 0,004 m2, A = 0,02 m2

w1 = 0,02 m2, w2 = 0,04 m2, Iw = 4,8 · 10–6 m6

Stabkennzahlen

e1 = e5 = 1,666, e2 = e4 = 2,222, e3 = 2,777

Die Koeffizienten l und r werden nach Tabelle 4 und dieLastglieder nach Gl. (17) bzw. (18) bestimmt.

Getrennt für die Lastfälle MeT,1, m, mD, Me

T,4 und MeT,5

erhält man folgendes Gleichungssystem:

0 7628 01068 0 0 0

01068 0 5654 01089 0 0

0 01089 0 5654 01068 0

0 0 01068 0 7628 01814

0 0 0 01814 0 4972

1 0 6623 0 0

, ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

,

,

,

,

,

,

--

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

◊

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

=

- -

M

M

M

M

M

b

c

d

e

f

w

w

w

w

w

00

0 0 6623 0 6071 0 0

0 0 0 6071 0 2125 0

0 0 0 01703 1

0 0 0 0 1

1

4

5

- -- -

- -

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

◊

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

, ,

, ,

,

,

,

,

M

m

m

M

M

Te

Te

Te

D

I m I mT Ts= ª Æ = =- -83

10 0 1 21606 4 10, , ,k l

e e m= = = =13

13

13

115

, , ,a b

840



Bild 8. Beispiel 1: 5feldriger Durchlaufträger mit U-QuerschnittFig. 8. Example 1: Continuous beam with 5 fields and with U-section

Bild 7. Verlauf der sekundären Schubspannungen ts fürKastenquerschnitt mit s = t und h = 1,5 bFig. 7. Curve of secondary shear stresses ts for a box sectionwith s = t and h = 1,5 b

841



mit der Lösung

Die Funktionen Mw und MTs für die einzelnen Felder las-sen sich nun mit Tabelle 5 bestimmen. Für alle weiterenZustandsgrößen sind zunächst J—a nach Gl. (23) und J—fnach Gl. (24) zu berechnen:

J—a = Mw,b + MeT,1�1

J—f = Mw,e – Mw,f + MeT,5�5

Zahlenwerte:

Die letzten beiden Spalten von Tabelle 5 liefern die Funk-tionen für den Hilfswert HT und für das TorsionsmomentMT; die Gln. (25) und (26) ergeben schließlich MTp und J.

Bild 9 zeigt exemplarisch für den Lastfall MeT,4 =

1 kNm die Verläufe von Mw, MT, MTp und MTs. Beim hier

JJ

a

f

Te

Te

Te

M

m

m

M

M

È

ÎÍ

˘

˚˙ =

- -- -

È

ÎÍ

˘

˚˙ ◊

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

2 2519 0 7175 01288 0 0098 0 0051

0 0051 0 0208 0 0899 01209 0 9914

1

4

5

, , , , ,

, , , , ,

,

,

,

D

M

M

M

M

M

b

c

d

e

f

w

w

w

w

w

,

,

,

,

,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

,

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

=

- - -- - -

- - -- - --

1 3481 0 7175 01288 0 0098 0 0051

0 2647 1 0769 0 9203 0 0699 0 0365

0 0525 0 2135 0 9232 0 3534 01846

0 0080 0 0327 01415 01903 0 9402

0 0029 00 0119 0 0516 0 0694 1 6684

1

4

5, , , ,

,

,

,-

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

◊

È

Î

ÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙

M

m

m

M

M

Te

Te

Te

D

vorliegenden U-Querschnitt wird das Torsionsmoment MTüberwiegend durch sekundäre Torsion abgetragen. AlleZustandsgrößen klingen mit zunehmendem Abstand vombelasteten Feld ab, nennenswerte Einflüsse sind i.w. nurnoch in den Nachbarfeldern vorhanden.

Spannungen für den Lastfall MeT,4 = 1 kNm:

Wegen des angenommenen Einheitslastfalls ist nur das Ver-hältnis der Spannungen, nicht aber deren absolute Größevon Interesse. Alle Spannungen aus primärer und sekundärerTorsion lassen sich mit den Formeln derTabelle 3 berechnen.

Primäre Schubspannungen:

max MTp = 0,123 kNm (0,65 m rechts von d)

Wölbnormalspannungen:

max Mw = 0,647 kNm2 (Stelle von MeT,4)

Sekundäre Schubspannungen:

max MTs = 0,614 kNm (links von MeT,4)

16 Beispiel 2: 5feldriger Durchlaufträger mit Kastenquerschnitt

Bild 10 zeigt die Aufgabenstellung; sie entspricht der vonBeispiel 1, jedoch liegt nun ein Kastenquerschnitt vor, fürden die sekundären Schubverformungen berücksichtigtwerden müssen.

Die Gln. (40) bis (43) ergeben mit t = s und h = 1,5 b:

h = 2/3m = 2,380k = 0,03268�0 = 0,2571 me1 = e5 = 14,00, e2 = e4 = 18,67, e3 = 23,34

Lastglieder nach Tabelle 9:

Wölbmomente an den Knoten bzw. am Stabende f nachGl. (32) bzw. (34):

L M

L L m m

L L m m

L M M

L M M

L M

ba Te

bc cb

cd dc

de Te

Te

ed Te

Te

ef T

=

= = -ÊËÁ

ˆ¯̃

=

= = -( ) =

= =

= =

=

,

, ,

, ,

,

, , ,

,,

,,

,

1

22 2

2 23 3

4 4

4 4

12

1 0 4464

12

0 7 0 3 0 2

34 8

0 625

1 84 8

0 375

el l

l lD D

,, ,,5 5e

fe TeL M= -

S m

SkN m Stelle s Tabs

12 4 4

1 61 2

0 040 020 6

1 63

10

0 6144 8 10 0 02

341 3

= =

=◊

=

-

-

,,,

,

,, ,

/ ( . . ),t

s2 620 647

4 8 100 04 5390=

◊=-

,,

, / ( )kN m freieRänder

t p kN m Blechränder= =-

012383

100 02 922

6

2,, / ( )

Bild 9. Verlauf von Mw und MT = MTp + MTs für LastfallMe

T,4 = 1 kNm von Beispiel 1Fig. 9. Curve of Mw and MT = MTp + MTs for load case Me

T,4 = 1 kNm of example 1

Die Wölbmomente klingen mit Faktor e–x/�0 ab, Mw,b bis Mw,enach beiden Seiten, Mw,f nach links. Am Punkt a ist Mw,a = 0.

Zugehörige sekundäre Torsionsmomente:Diese werden nach Gl. (35) an den Knoten bzw. nach

Gl. (37) am Stabende f berechnet. Ihre Beträge sind je-weils Mw/�0.

Zu überlagernde Schnittgrößen M0w und M0

Ts in denFeldern:

In den Feldern 1 und 5 gilt gemäß Abschn. 11 M0w ∫ 0

und M0Ts ∫ 0. Die in den Feldern 2, 3 und 4 zu überlagern-

den Funktionen M0w und M0

Ts können unmittelbar der Ta-belle 10 entnommen werden; sie hängen nur von der Bela-stung des betrachteten Feldes ab. Die erforderlichen Rand-abstände von 3�0 = 0,771 m sind sowohl bei mD im Feld 3als auch bei Me

T,4 im Feld 4 eingehalten.Verläufe von MT:Die Tabelle 11 liefert für alle 5 Felder direkt die Ver-

läufe von MT. Lagerungsfall 1 liegt in den Feldern 2, 3 und 4,Lagerungsfall 2 im Feld 1 und Lagerungsfall 3 im Feld 5 vor.

Die primären Torsionsmomente MTp werden schließ-lich aus Gl. (38) erhalten.

Bild 11 zeigt wieder für den Lastfall MeT,4 = 1 kNm die

Verläufe von Mw, MTs und MT. Die Werte von Mw und MTsklingen überall mit dem Faktor e–x/�0 ab. MTs ist zwar anallen Stellen wesentlich kleiner als MT, dennoch sind diesekundären Schubspannungen, wie nachfolgend gezeigt,nicht vernachlässigbar. Die primären Schubspannungenkönnen generell mit MTp ª MT berechnet werden, da MTs << MT und in „ungestörten“ Bereichen sogar Null ist.

Spannungen für den Lastfall MeT,4 = 1 kNm:

Wegen des angenommenen Einheitslastfalls ist nurdas Verhältnis der Spannungen, nicht aber deren absoluteGröße von Interesse. Maßgebend sind die Gln. (44) bis (48).

Primäre Schubspannungen:max MTp ª max MT = 0,625 kNmtp = 65,10 kN/m2 (konstant über Querschnitt)

Wölbnormalspannungen:max Mw = 0,00420 kNm2

sR = 26,25 kN/m2 (in Eckpunkten)

M L L

M L L

M L L

M L L

M L

b ba bc

c cb cd

d dc de

e ed ef

f fe

w

w

w

w

w

k

k

k

k

k

,

,

,

,

,

( )

( )

( )

( )

= - +

= - +

= - +

= - +

= -

12121212

0

0

0

0

0

l

l

l

l

l

842



Bild 10. Beispiel 2: 5feldriger Durchlaufträger mit KastenquerschnittFig. 10. Example 2: Continuous beam with 5 fields with box-section

Bild 11. Verlauf von Mw , MTs und MT für Lastfall Me

T,4 = 1 kNm von Beispiel 2Fig. 11. Curve of Mw , MTs and MT for load case Me

T,4 = 1 kNm of example 2

Sekundäre Schubspannungen:max MTs = 0,0163 kNmt0,s = 3,40 kN/m2 (in Eckpunkten)t1,s = 13,6 kN/m2 = max ts (in Gurtmitten)t2,s = –11,9 kN/m2 (in Stegmitten)

Die Ergebnisse zeigen, daß sowohl die Normal- als auchdie Schubspannungen der sekundären Torsion gegenübertp nicht vernachlässigbar sind. Dies bedeutet, daß dieWölbkrafttorsion bei geschlossenen Querschnitten keines-falls generell vernachlässigt werden darf.

Literatur

[1] Roik, K., Sedlacek, G.: Theorie der Wölbkrafttorsion unterBerücksichtigung der sekundären Schubverformungen – Ana-logiebetrachtung zur Berechnung des querbelasteten Zug-stabes. Stahlbau 35 (1966), H. 2, S. 43–52.

[2] IQ 100, Programm zur Berechnung ebener Stabwerke,August 2004, erhältlich beim Werner Verlag, 56564 Neuwied.

Autor dieses Beitrages:O. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Helmut Rubin, Institut für Baustatik, TechnischeUniversität Wien, Karlsplatz 13, A – 1040 Wien

Documents

Wölbkrafttorsion von Durchlaufträgern mit konstantem Querschnitt unter Berücksichtigung sekundärer Schubverformungen