X. Übungsblatt – Aufgabe X

Die Zahlendarstellung im IEEE Standard 754 (single precision):

Allgemein gilt: Z = (-1)V * (1 + M) * 2(E - BIAS)

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 0002 II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 0002

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 0002

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 0002

V = 0

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 0002

V = 0E = 1001 10012 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 0002

V = 0E = 1001 10012 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153BIAS = 2#E-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 0002

V = 0E = 1001 10012 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153BIAS = 2#E-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127M = 1001 1001 1001 0000 0000 0002

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 0002

V = 0E = 1001 10012 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153BIAS = 2#E-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127M = 1001 1001 1001 0000 0000 0002

(1 + M) = 1 + 2-1 + 2-4 + 2-5 + 2-8 + 2-9 + 2-12 = 1+ 2457/212

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

DD 1073643522) 40962457 (1 (-1) )127153(0

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 0002

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 0002

V = 1

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 0002

V = 1E = 0001 10012 = 1 + 8 + 16 = 25

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 0002

V = 1E = 0001 10012 = 1 + 8 + 16 = 25BIAS = 2#E-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 0002

V = 1E = 0001 10012 = 1 + 8 + 16 = 25BIAS = 2#E-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127M = 1001 1001 0000 0000 0000 0002

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

a) Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt:II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 0002

V = 1E = 0001 10012 = 1 + 8 + 16 = 25BIAS = 2#E-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127M = 1001 1001 0000 0000 0000 0002

(1 + M) = 1 + 2-1 + 2-4 + 2-5 + 2-8 = 1 + 153 / 28

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

DD30)12725(1 103151.02)

256153 (1 (-1)

X. Übungsblatt – Aufgabe X

b) Wandeln Sie folgende Zahlen in die 32 Bit IEEEGleitkommadarstellung um:I) 6,25 * 10-3

D

II) 3,14159D

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

I) 6,25 * 10-3D = 0,00625D

0,00625 * 2 = 0,01250 | 00,0125 * 2 = 0,025 | 00,025 * 2 = 0,05 | 00,05 * 2 = 0,1 | 00,1 * 2 = 0,2 | 00,2 * 2 = 0,4 | 00,4 * 2 = 0,8 | 00,8 * 2 = 1,6 | 10,6 * 2 = 1,2 | 10,2 * 2 = 0,4 | 0. . .

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

I) 6,25 * 10-3D = 0,00625D

→ 0,0000 0001 1001 1001 1001 100

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

I) 6,25 * 10-3D = 0,00625D

→ 0,0000 0001 1001 1001 1001 100→ 1,1001 1001 1001 1001 1001 100 * 2-8

→ M = 1,1001 1001 1001 1001 1001 100

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

I) 6,25 * 10-3D = 0,00625D

→ 0,0000 0001 1001 1001 1001 100→ 1,1001 1001 1001 1001 1001 100 * 2-8

→ M = 1,1001 1001 1001 1001 1001 100

→ E + BIAS = -8 + 127 = 119→ E = 0111 0111

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

119 : 2 = 59 R1

59 : 2 = 29 R1

29 : 2 = 14 R1

14 : 2 = 7 R0

7 : 2 = 3 R1

3 : 2 = 1 R1

1 : 2 = 0 R1

X. Übungsblatt – Aufgabe X

I) 6,25 * 10-3D = 0,00625D

→ 0,0000 0001 1001 1001 1001 100→ 1,1001 1001 1001 1001 1001 100 * 2-8

→ M = 1,1001 1001 1001 1001 1001 100

→ E + BIAS = -8 + 127 = 119→ E = 0111 0111

→ 6,25 * 10-3D

= 0 | 0111 0111 | 1001 1001 1001 1001 1001 100B

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

119 : 2 = 59 R1

59 : 2 = 29 R1

29 : 2 = 14 R1

14 : 2 = 7 R0

7 : 2 = 3 R1

3 : 2 = 1 R1

1 : 2 = 0 R1

X. Übungsblatt – Aufgabe X

II) 3,14159D

0,14159 * 2 = 0,28318 | 00,28318 * 2 = 0,56636 | 00,56636 * 2 = 1,13272 | 10,13272 * 2 = 0,26544 | 00,26544 * 2 = 0,53088 | 00,53088 * 2 = 1,06176 | 10,06176 * 2 = 0,12352 | 00,12352 * 2 = 0,24704 | 00,24704 * 2 = 0,49408 | 00,49408 * 2 = 0,98816 | 0. . .

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

II) 3,14159D

→ 11,0010 0100 0011 1111 0011 110

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

II) 3,14159D

→ 11,0010 0100 0011 1111 0011 110→ 1,1001 0010 0001 1111 1001 111 * 21

→ M = 1,1001 0010 0001 1111 1001 111

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

II) 3,14159D

→ 11,0010 0100 0011 1111 0011 110→ 1,1001 0010 0001 1111 1001 111 * 21

→ M = 1,1001 0010 0001 1111 1001 111

→ E + BIAS = 1 + 127 = 128→ E = 1000 0000

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

128 : 2 = 64 R0

64 : 2 = 32 R0

32 : 2 = 16 R0

16 : 2 = 8 R0

8 : 2 = 4 R0

4 : 2 = 2 R0

2 : 2 = 1 R0

1 : 2 = 0 R1

X. Übungsblatt – Aufgabe X

II) 3,14159D

→ 11,0010 0100 0011 1111 0011 110→ 1,1001 0010 0001 1111 1001 111 * 21

→ M = 1,1001 0010 0001 1111 1001 111

→ E + BIAS = 1 + 127 = 128→ E = 1000 0000

→ 3,14159D = 0 | 1000 0000 | 1001 0010 0001 1111 1001 111B

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

128 : 2 = 64 R0

64 : 2 = 32 R0

32 : 2 = 16 R0

16 : 2 = 8 R0

8 : 2 = 4 R0

4 : 2 = 2 R0

2 : 2 = 1 R0

1 : 2 = 0 R1

X. Übungsblatt – Aufgabe X

b) Auf wie viele dezimale Nachkommastellen genau kann die Zahl Pi angegebenen werden?

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

b) Auf wie viele dezimale Nachkommastellen genau kann die Zahl Pi angegebenen werden?

Von der Mantisse werden 22 Bit zur Speicherung der Nachkommastellen verwendet.

Der maximale Fehler ist in diesem Fall 2-22 = 0.24 * 10-6

→ Pi kann also auf 6 dezimale Nachkommastellen genau angegeben werden

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

c) Warum kann einer float-Variablen der Wert 1*10-42, nicht aber der Wert 1*1042 zugewiesen werden?

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

X. Übungsblatt – Aufgabe X

c) Warum kann einer float-Variablen der Wert 1*10-42, nicht aber der Wert 1*1042 zugewiesen werden?

Durch den Exponent kann das Komma um 127 Stellen nach links (E=0) oder um 128 Stellen nach rechts (E=255) geschoben werden. 210 ≈ 103 --> 1042 ≈ 2140 bzw. 10-42 ≈ 2-140.Sollen in der Gleitkommadarstellung kleinere Zahlen als 2-126

dargestellt werden, so greift man auf die sogenannte denormalisierte Darstellung zurück. Diese erlaubt die Darstellung kleinerer Zahlen durch Schieben und Auffüllen von Nullen der Mantisse nach rechts. Dieses Verfahren verringert allerdings die Genauigkeit. Eine Expansion in positiver Richtung kann so nicht erreicht werden, so dass eine Variable den Wert 1*10-42, nicht aber den Wert 1*1042 besitzen kann.

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik