Zeitreihen

• Gliederung

• Allgemeines zu Zeitreihen

• Techniken zur Aufdeckung von Merkmalen einer Zeitreihe

• Vorhersagen

Allgemeines

• Was ist eine Zeitreihe ?

Eine Zeitreihe ist eine Sammlung von Daten, die in zeitlicher Folge beobachtet wurden.

Beispiele dafür lassen sich in vielen Anwendungsbereichen finden. z.B.: -Ökonomie (Aktienpreise, Exporte)

-Physik (Geophysik, Meteorologie)

-Marktforschung (Vorhersage (!) v. Verkaufschancen)

-Steuerung von Prozessen

-Demografie

-Binäre Prozesse

-Punktprozesse

Terminologie

• Eine Zeitreihe nennt man kontinuierlich, wenn die Beobachtungen fortlaufend gemacht werden, auch dann, wenn gemessene Variablen nur diskrete Werte annehmen können.

• Eine Zeitreihe wird als diskret bezeichnet, wenn Beobachtungen nur zu bestimmten Zeitpunkten durchgeführt werden.

• Eine Zeitreihe nennt man deterministisch, wenn man sie exakt vorhersagen kann

• Zeitreihen nennt man stochastisch, wenn sich die Zukunft nur teilweise aus den vorherigen Daten vorhergesagt werden kann

Behandlung von Zeitreihen

• A) Beschreibung: zeichnerische Darstellung, um eine einfache Vorstellung über die Haupteigenschaften zu

erhalten (Ausreißer erkennen)

• B) Erklärung: gleichzeitig beobachtete Merkmale in einer Zeitreihe, können zur Erklärung ähnlicher Merkmale in einer anderen Zeitreihe dienen

• C) Vorhersage: zukünftige Werte vorhersagen (prediction, forecasting)

• D) Steuerung und Regelung: Steuerung eines Prozesses durch Überwachung der aufgezeichneten

Zeitreihe (Korrektur bei Abweichung)

Merkmale einer Zeitreihe

• Methoden der Zeitreihenanalyse beschäftigt sich hauptsächlich mit der Zerlegung einer Zeitreihe in Trend, Saisonschwankung und andere Fluktuationen

• Variationsursachen

a) Saisoneffekt: zeigt Jahresperiodik

b) andere zyklische Schwankungen: Schwankungen mit fester Periode, die andere physikalische Ursachen haben (z.B. tägliche Temperaturschwankungen)

andere haben Schwankungen ohne feste Periode sind aber trotzdem vorhersagbar

c) Trend: Verweis auf Ernst

d) andere unregelmäßigen Fluktuationen: Reihe von Residuen bleibt erhalten ,nachdem man Trend und zyklische Variationen aus der Datenmenge ausgeschlossen hat

Erste Stufe in der Analyse von Zeitreihen ist die Darstellung in Abhängigkeit von der Zeit.Daraus lassen sich wichtige Eigenschaften ablesen, wie der Trend, Saisonschwankung, Diskontinuität und Ausreißer.

Saisonschwankungen

• Für Reihen mit geringem Trend berechnet man gewöhnlich die Mittel für jeden Monat (oder Quartal, 4-Wochen-Perioden, usw.) und vergleicht sie mit dem Gesamtmittel in Form von Differenzen oder Verhältniszahlen

• (Formel zur Eliminierung des Saisoneffektes):

Sm(xt) = 1/12 { 1/2 xt-6 + xt-5 + … + xt+5 + 1/2 xt+6 }

Abschätzung des Saisoneffektes durch

xt – Sm(xt) (additiv) oder xt/Sm(xt) (multiplikativ) wenn der Saisoneffekt wenn er mit zunehmendem Mittelwert grob gesehen gleich bleibt immer größer u. proportional zum

Mittelwert wird

Autokorrelation

• Wichtige Eigenschaften einer Zeitreihe werden durch den empirischen Autokorrelationskoeffizienten angezeigt (vermittelt Einblick in das Wahrscheinlichkeitsmodell, dass diese Daten erzeugen)

• Gewöhnliche Korrelationskoeffizient zw. N Beobachtungspaaren zweier Variabler x und y ist gegeben durch

• Daraus ergibt sich ein Korrelogramm

22 )()(

))((

yyxx

yyxxr

ii

ii

Interpretation eines Korrelogramms

• Diese ist nicht immer leicht

• Eine Zufallsreihe: -für grosse N: rk rund 0 für alle k ungleich 0

• Kurzzeit-Korrelation: -ziemlich grosser Wert für r1, dem 2 oder 3 signifikant von Null versch. Koeffizienten folgen, die aber sukzessive kleiner sind, während die restlichen rk- Werte nahe bei Null liegen

• Alternierende Reihen: -die aufeinanderfolgenden Werte liegen auf verschiedenen Seiten vom Gesamtmittelwert

• Saisonschwankungen: -wenn Zeitreihen Saisonschwankungen enthalten, dann findet man diese auch im Korrelogramm wieder mit der gleichen Frequenz

Vorhersage

• Bedeutung in der Ökonomie, bei der Produktionsplanung, bei Absatzvorhersage und Lagerhaltung

• Beobachtungen x1 … xN , dann soll xN+q geschätzt werden

• Es gibt keine universelle Vorhersagevorschrift• A) Subjektive Vorhersage: erfolgt auf subjektiver Basis, es fliessen

Urteile, Intuition, kommerzielle Kenntnisse und andere relevanten Informationen ein

• B) Univariate Vorhersage: basiert vollkommen auf vorhergehenden Daten, Anpassung eines Modells und Extrapolation (Vorhersage des künftigen Absatzes)

• C) Multivariate Vorhersagen: Beobachtungen über andere Variablen in Betracht ziehen

• In der Praxis verwendet man Kombinationen der drei Verfahren

Univariate Verfahren

• Extrapolation von Trendkurven

• Exponentielle Glättung

• Schrittweise Autoregression

• Andere Verfahren (z.B. adaptive Filtern, Bayesche Vorhersage)

Multivariate Verfahren

• Multiple Regression: Modell der linearen Regression angewendet, wobei die zu Interessierente Variable y linear abhängig ist von gegenwärtigen und vergangenen Werten (Modelle arbeiten gut in der Marktforschung)

• Ökonometrische Modelle: man nimmt an, dass das System nicht eine einzelne Gleichung ist, sondern durch eine Menge von simultanen Gleichungen beschrieben wird (z.B. Dynamik der Tierpopulation)

Vergleich von Vorhersagemodellen

• Viele Faktoren müssen berücksichtigt werden, wie Zweck d. Vorhersage, geforderte Genauigkeit, vorhandenes Geld

• Es lassen sich keine allgemeingültigen Regeln herausarbeiten• Wichtigste Frage ist, für was die Vorhersage benutzt werden soll• Vorhersage kann als Norm oder Richtschnur dienen (z.B.

Werbekampagne)• Univariaten Vorhersagen werden meist als Norm angesehen• Multivariate Vorhersagen sind meist kostspielig und schwierig