Zug und Biegespannungen in Langbögen Flächenmomente

Flächenmomente zusammengesetzter Flächen (Satz von Steiner):Flächenmomente von verschiedenen Flächen, dürfen addiert oder subtrahiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind.Die Momente von beliebigen Flächen berechnet man, in dem einzelne Teilflächen nach dem Satz von Steiner, zuerst auf das gemeinsame Achsenpaar umrechnet und dann addiert werden. Dieses gemeinsame Achsenpaar ist in der Regel der Flächenschwerpunkt der Gesamtfläche.

Gegeben sind 2 rechtwinkelige Koordinatensysteme, eines (ψ ζ, ) im Schwerpunkt S der Fläche und das zweite ( , )y z dazu parallel verschoben. Dann gilt,

mit sz z ζ= + 2( 2y s s sI z dA z dA z dA dAζ ζ ζ 2= + ) = + +∫ ∫ ∫ ∫

und sy y ψ= + 2( 2z s s sI y dA y dA y dA dAψ ψ ψ 2= + ) = + +∫ ∫ ∫ ∫20 y sdA I I z Aψζ = → = +∫ und entsprechend 2

z sI I y Aζ= + (Satz von Steiner)

Teilflächen können parallel zu Bezugsachsen verschoben werden, ohne das auf diese Achse bezogene axiale Flächenmoment zu verändern.

Auf diese Weise sind wir in der Lage das Flächenmoment unseres Wurfarmes ziemlich genau zu bestimmen.

Beispiel 1:

Flatbow, Osage Orange (Maclura pomifera), Robinie (Robinia pseudoacacia) oder Ulme (Ulmus glabra). Üblicherweise sind die Wurfarme eines solchen Bogens stark verrundet.

Damit lässt sich das axiale Flächenmoment yGesamtI nicht direkt berechnen.

Wir zerlegen den Wurfarm in zwei halbkreisförmige und einen rechteckigen Abschnitt.

Die halbrunden Abschnitte lassen sich zu einem Vollkreis vereinigen. Vorraussetzung ist allerdings, dass das Flächenmoment 1yI bezüglich der

Verschiebung sy invariant ist, dies ist hier gegeben. Außerdem haben die Flächenschwerpunkte der Gesamtfläche und der rechteckigen Teilfläche dieselben Koordinaten.

Damit ist 1 2yGesamt y yI I I= +

4

1 64yhI π=

3

2( )12y

b h hI −=4 3( )

64 12yGesamth b h hI π −= +

y

z

z1 z2 z1

y

ys ys

h

b

h

b-h

d/2

S

S2 S

Zug und Biegespannungen in Langbögen Flächenmomente

Beispiel 2:

Englischer Langbogen (D-Shape) aus Eibe (Taxus baccata). Wir führen den tatsächlichen Querschnitt auf zwei einfache Teilflächen zurück, einem Rechteck und einem Halbkreis

Wir bestimmen zunächst die Fläche 1A und 2A

2 2

112 4 8b bA π π= = Halbkreis 2

12

A b h b = − Rechteck

sodann experimentell, die Z-Koordinate sz des Flächenschwerpunktes der Gesamtfläche. Die Koordinate 0sy = (Wurfarm symmetrisch bezüglich Z-Achse).

4

1 0,10982ybI =

Halbkreis

3

22

12y

bb hI

− =Rechteck

0.57562Rundbz = 1s s Rundz z z= −

224s s

b hz z += −

Wir benutzen den Steinerschen Satz (umrechnen der Flächenmomente der Teilflächen, auf den Flächen-schwerpunkt der Gesamtfläche).

21 1 1 1y S y sI I z A= + 2

2 2 2 2y S y sI I z A= +

1 2yGesamt y S y SI I I= + (Addition der einzelnen Flächenmomente).

Sind die Querschnitte sehr unregelmäßig (z.B bei Primitives), ist die Bestimmung der Flächenmomente auf diese Weise, sozusagen zu Fuß, recht ineffektiv. Der Einsatz eines Rechners und der geeigneten Software wird dann unverzichtbar.

Wir müssen außerdem beachten das der Satz von Steiner nur angewendet werden darf, wenn der Querschnitt homogen ist, d.h. einen einheitlichen E-Modul aufweist. Also nicht bei Hölzern die mit dem Splint verwendet werden (z.B. Eibe), oder Bögen mit Backings.

Zu welchem Verhalten solche Inhomogenitäten führen und wie sie sich zum Teil gezielt ausnutzen lassen, werden wir dann im übernächsten Kapitel (Spannungen und die neutrale Faser) kennenlernen.Zunächst wenden wir uns aber der Frage zu, wie viel Energie in unser Bogen eigentlich steckt.

z

zs

y

yS

zS

z

y

yS

zS

S

y1

y2

S1

S2

zs1

zs2

zszRund

b

h