Zum Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit von ... · PDF fileuap 80 – 300 upe 80 -240, 300 – 400 ipe 180 – 600 hea 450 – 1000 heb 550 – 1000 hem 700 – 1000 ipea 140

Ruhr-Universität Bochum Fakultät für Bauingenieurwesen

Zum Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit

von Walzprofilen aus hochfestem Stahl

von der Fakultät für Bauingenieurwesen der Ruhr-Universität Bochum

genehmigte

DISSERTATION

zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur

von Holger Grote

geboren am 28.02.1966 in Essen

Bochum 2003

Doktorarbeit eingereicht am: 07. Februar 2003 Tag der mündlichen Prüfung: 22. Mai 2003 Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann, Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr.-Ing. H.-J. Niemann, Ruhr-Universität Bochum

III

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 1998 – 2003 während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Konstruktiven Ingenieurbau der Ruhr-Universität Bochum. Sie wurde von der Fakultät für Bauingenieurwesen als Dissertation angenommen. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann für die Unterstützung meiner Arbeit und die Übernahme des Referates. Herrn Prof. Dr.-Ing. H.-J. Niemann danke ich herzlich für die Übernahme des Koreferates. Meiner Frau Alexia und meinen Eltern danke ich für die außerordentliche Unter-stützung während der Erstellung dieser Arbeit. Weiterhin gilt mein Dank allen Kollegen für die schöne gemeinsame Zeit am Lehr-stuhl für Stahl- und Verbundbau. Mai 2003 Holger Grote

Inhaltsverzeichnis

1 Übersicht ....................................................................................................... 1

1.1 Einleitung ........................................................................................................ 1 1.2 Problemstellung und Zielsetzung .................................................................... 4 1.3 Werkstoff....................................................................................................... 10 1.3.1 Hochfester Stahl ........................................................................................ 10 1.3.2 Gestaltänderungsenergiehypothese.......................................................... 11 1.4 Bezeichnungen ............................................................................................. 12

2 Beultheorie und Tragverhalten .................................................................. 14

2.1 Vorbemerkungen .......................................................................................... 14 2.2 Linearisierte Beultheorie ............................................................................... 14 2.2.1 Grundlagen................................................................................................ 14 2.2.2 Allseitig gelagerte Platte ............................................................................ 15 2.2.3 Dreiseitig gelagerte Platte ......................................................................... 19 2.3 Nichtlineare Beultheorie ................................................................................ 20 2.4 Tragverhalten................................................................................................ 21 2.4.1 Überkritische Tragreserven allseitig gelagerter Platten ............................. 21 2.4.2 Blechbiegung............................................................................................. 23 2.4.3 Plastische Reserven.................................................................................. 28 2.4.4 Überkritische Tragreserven dreiseitig gelagerter Platten........................... 29 2.4.5 Last-Stauchungskurven allseitig und dreiseitig gelagerter Platten ............ 30 2.4.6 Versagensmechanismen ........................................................................... 31 2.5 Zugfeldwirkung schubbeanspruchter Platten ................................................ 32 2.6 Beultragverhalten von I– und U–Profilen....................................................... 33

3 Berechnungsmethoden und Übersicht ..................................................... 36

3.1 Übersicht....................................................................................................... 36 3.2 Beulnachweis................................................................................................ 37 3.3 Grenzwerte b/t .............................................................................................. 45 3.4 Methode der wirksamen Breiten ................................................................... 47 3.5 Beispiele ....................................................................................................... 50 3.6 Zusammenfassung und Fazit ........................................................................ 54

4 Grenzschnittgrößen beulgefährdeter Teilflächen .................................... 56

4.1 Vorbemerkungen .......................................................................................... 56

VI Inhaltsverzeichnis

4.2 Grundlagen ................................................................................................... 56 4.3 Druck- und Biegebeanspruchung.................................................................. 57 4.3.1 Prinzipielle Vorgehensweise...................................................................... 57 4.3.2 Grenzdruckkraft Ngr,min............................................................................... 60 4.3.3 Grenzbiegemoment Mgr............................................................................. 61 4.3.4 Gemeinsame Wirkung von N und M.......................................................... 67 4.3.5 Berechnung elementarer Grenzschnittgrößen........................................... 75 4.4 Schubbeanspruchung ................................................................................... 82 4.4.1 Allgemein................................................................................................... 82 4.4.2 Grenzquerkraft Vgr ..................................................................................... 82 4.4.3 Primäres Torsionsmoment Mxp .................................................................. 82 4.4.4 Gemeinsame Wirkung von V und Mxp ....................................................... 83 4.5 Gleichzeitige Wirkung aller Schnittgrößen .................................................... 84

5 Zur Beulgefahr hochfester Walzprofile ..................................................... 86

5.1 Allgemeines .................................................................................................. 86 5.2 Einfluss der Ausrundungsradien ................................................................... 86 5.3 Auswirkungen einer Stegeinspannung auf die Gurte .................................... 95 5.4 Auswertung ................................................................................................... 98

6 Teilschnittgrößenoptimierung für beulgefährdete I– und U–Profile..... 102

6.1 Übersicht..................................................................................................... 102 6.2 I-Profile........................................................................................................ 102 6.2.1 Beschreibung des Querschnitts............................................................... 102 6.2.2 Gleichgewicht zwischen Schnittgrößen und Teilschnittgrößen................ 103 6.2.3 Grenzschnittgrößen mit Beuleinfluss ....................................................... 104 6.2.4 Gleichzeitige Wirkung aller σ−Schnittgrößen........................................... 105 6.2.5 Empfehlungen und Beschränkungen....................................................... 108 6.2.6 Nachweis unter Berücksichtigung erforderlicher Beschränkungen.......... 117 6.3 U-Profile ...................................................................................................... 119 6.3.1 Einleitung................................................................................................. 119 6.3.2 Grundgleichungen ................................................................................... 119 6.3.3 Anwendungsgrenzen............................................................................... 124 6.3.4 Nachweisbedingungen ............................................................................ 129 6.3.5 Interaktionskurven ................................................................................... 132 6.4 Berücksichtigung der Ausrundungsradien................................................... 135 6.5 Beispiele ..................................................................................................... 136

7 Zusammenfassung ................................................................................... 142

Inhaltsverzeichnis VII

Anhang ................................................................................................................. 144

Literaturverzeichnis............................................................................................. 147

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit wird der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit von Walzprofilen aus hochfestem Stahl erforscht. Eine Gliederung erfolgt in zwei The-menschwerpunkte. Diese werden zum einen durch die Untersuchung einzelner beulgefährdeter Bleche und zum anderen durch die Übertragung der am Einzelblech gewonnen Erkenntnisse auf Walzprofile gebildet. Wesentliche Berechnungsverfahren werden vorgestellt, und deren Vor- und Nachteile analysiert. Zur Berücksichtigung der Ausrundungsradien von Walzprofilen erfolgt die Entwicklung eines Hohlkastenmodells. Eine anschließende Untersuchung mit FE – Programmsystemen zeigt, dass die hohe Torsionssteifigkeit der Ausrundungsradien zu einer Einspannung beulgefährdeter Profilteile führt. Für beulgefährdete U– und I– Profile wird ein schnittgrößenorientiertes Nachweisverfahren hergeleitet. Die Ent-wicklung einer Näherungslösung ermöglicht hierbei die Erfassung von Tragfähig-keiten zwischen der elastischen und plastischen Tragfähigkeit.

1 Übersicht

1.1 Einleitung

Walzprofile haben für den Stahlbau eine herausragende Bedeutung. Der Wunsch nach immer filigraneren Konstruktionen führt zur Verwendung hochfester Stahlsorten. Stabilitätsprobleme oder Gebrauchstauglichkeitsanforderungen ergeben Grenzen für eine wirtschaftliche Erhöhung der Materialgüte. Neben den üblichen Biegeknick– und Biegedrillknickproblemen nimmt für hochfeste Walzprofile die Bedeutung des Beulens zu. Einen ersten Überblick zur Beulgefahr genormter I–Profile zeigt Bild 1.1.

Bild 1.1 Steg– und Gurtbeulgefahr genormter I–Profile aus hochfestem Stahl unter konstanter Druckbeanspruchung nach DIN 18800 T1 Verfahren Elastisch-Elastisch

1 Übersicht 2

IPE– und HEA–Profile sind in einer großen Anzahl und HEB– und HEM–Profile in einer nennenswerten Anzahl stegbeulgefährdet. Eine Gurtbeulgefahr ist nur für wenige HEA–Profile der Materialgüte S690 feststellbar. Grundlage der Diagramme sind die in Bild 1.2 dargestellten Grenzschlankheiten grenz (b/t) der DIN 18800 T1 Elastisch–Elastisch.

Bild 1.2 Grenzwerte grenz (b/t) nach DIN 18800 T1 Verfahren Elastisch–Elastisch,

Druckspannungen schraffiert

Ist die vorhandene Schlankheit b/t größer als die Grenzschlankheit grenz (b/t) muss der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit berücksichtigt werden. Ergänzend zur Untersuchung genormter I–Profile zeigt Tabelle 1.1 eine komplette Übersicht zur Beulgefahr genormter und nicht genormter Walzprofile aus hochfestem Stahl mit I– oder U–Querschnitt. Eine große Anzahl der Profile sind stegbeulgefährdet. HP–Profile sind häufig gurtbeulgefährdet und etliche HEAA– und HD–Profile sind steg- und gurtbeulgefährdet. Die Häufigkeit einer Beulgefahr und die große Bedeutung von Walzprofilen als Konstruktionselement im Stahlbau begründen die nachfolgende Forschungsarbeit zum Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit von Walzprofilen aus hochfestem Stahl.

1.1 Einleitung 3

Tabelle 1.1 Beulgefahr von I– und U– Profilen aus hochfestem Stahl, DIN 18800 T1

Keine Beulgefahr Steg beulgefährdet Gurt beulgefährdet Steg und Gurt

beulgefährdet Werkstoff S 460, gelenkig gelagerte Einzelbleche, konstante Druckbeanspruchung IPE 80 – 160 HEA 100 – 400 HEB 100 – 500 HEM 100 – 650 IPEa 80 – 120 IPEo 180 – 240 HEAA 100 – 160 HL 1000x642–1000x748 HP 200x43 – 260x87,3 305x110 – 305x223 320x103 – 320x184 360x152 – 360x180 400x176 – 400x231 HD 260x68,2 – 260x299 320x97,6 – 400x1086 UAP 80 – 300 UPE 80 -240, 300 – 400

IPE 180 – 600 HEA 450 – 1000 HEB 550 – 1000 HEM 700 – 1000 IPEa 140 – 600 IPEo 270 – 600 IPEv 400 – 600 HEAA 280 – 1000 HL1000AA – 1000x554 1100A – 1100 R HP 360x84,3 HD 320x74,2 UPE 270

HEAA 180 - 360 HP 305x88 – 305x95 320x88,5 360x84,3 – 360x133 400x122 – 400x158 HD 260x54,1, 320x74,2

HEAA 280 - 360 HP 360x84,3 HD 320x74,2

Werkstoff S 690, gelenkig gelagerte Einzelbleche, konstante Druckbeanspruchung IPE 80 - 120 HEA 100 – 180 HEB 100 – 400 HEM 100 – 550 IPEa 80 – 100 HEAA 100 HL 1000x748 HP 260x87,3 305x126 – 305x223 320x117 – 320x184 HD 260x93 – 260x299 320x127 – 320x451 360x162 – 400x1086 UAP 80 – 250 UPE 80 - 160

IPE 140 - 600 HEA 260 – 1000 HEB 450 – 1000 HEM 600 – 1000 IPEa 120 – 600 IPEo 180 – 600 IPEv 400 – 600 HEAA 160 – 1000 HL 1000 AA 1000 A – 1000x642 1100 A – 1100 R HP 360x84,3–360x109 HD 260x54,1–260x68,2 320x74,2-320x97,6 360x134-360x147 UAP 300 UPE 180 – 400

HEA 200 - 320 HEAA 120 - 550 HL 1000 AA HP 220x57,2 – 260x75 305x88 – 305x110 320x88,5 – 320x103 360x84,3 – 400x194 HD 260x54,1–260x68,2 320x74,2-320x97,6 360x134-360x147

HEA 260 - 320 HEAA 160 - 550 HL 1000 AA HP 360x84,3–360x109 HD 260x54,1–260x68,2320x74,2-320x97,6 360x134-360x147

1 Übersicht 4

1.2 Problemstellung und Zielsetzung

Eine Druckbeanspruchung schlanker, flächiger Bauteile verursacht Verformungen senkrecht zur Plattenebene. Es entstehen Beulen, die die Tragfähigkeit reduzieren. Ein Beispiel für das als Plattenbeulen bezeichnete Phänomen zeigt Bild 1.3.

Bild 1.3 Obergurt- und Stegblechbeulen eines I-Profils

Versuche belegen, dass das Versagen schlanker Platten nicht unmittelbar nach einer ersten Beulenbildung erfolgt. Trotz zunehmender Verformungen ist häufig eine weitere erhebliche Laststeigerung möglich. In diesem Zustand ist die Spannungsver-teilung nichtlinear, Bild 1.4.

Bild 1.4 Nichtlineare Spannungsverteilung einer beulenden Platte

1.2 Problemstellung und Zielsetzung 5

Eine Berechung nichtlinearer Spannungsverteilungen infolge Beulen ist bereits für einzelne Platten aufgrund der sehr komplizierten geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten inklusive Vorverformungen, Eigenspannungen und gegebenenfalls Streckgrenzenstreuungen selbst mit FE–Programmen nur näherungsweise möglich. Die Ergebnisse werden häufig bereits durch eine geringfügige Änderung nachfolgen-der Parameter erheblich beeinflusst:

• Elementansatz • Netzgenerierung • Materialgesetz • Imperfektionsannahmen • Lagerungsbedingungen • Lasteinleitung • Erfassung des Nachtraglastbereichs

Aufgrund der vielfältigen Fehlerquellen ist für die Baupraxis eine Bemessung beulge-fährdeter Profile mit FE–Programmen nicht empfehlenswert. Ebenso können theoreti-sche Lösungen in der Fachliteratur für Quadratplatten [129], I–Profile [113] und Kastenträger [57] im Vergleich zu Versuchsergebnissen nur als grobe Näherungen bezeichnet werden. Die folgenden Untersuchungen haben somit das Ziel eine möglichst umfassende und für die Bemessung nutzbare Übersicht zur Grenztragfähigkeit beulgefährdeter Walzprofile aus hochfestem Stahl zu erstellen. Die vielfältigen Variationen möglicher Schnittgrößenkombinationen und beulgefährdeter Querschnittsteile würde hierzu eine Vielzahl von Diagrammen erfordern. Dies ist insbesondere im Hinblick auf eine praktische Anwendung nicht sinnvoll. Aus diesem Grund ist ein einfaches und systematisches Verfahren zur Durchführung eigenständiger Berechnungen notwendig. Hierzu ist wie oben bereits erläutert die Ermittlung nichtlinearer Spannungsverteilun-gen ungeeignet. Wesentlich sinnvoller ist ein schnittgrößenorientiertes Konzept. Vergleichbar mit einer Bemessung nach der Plastizitätstheorie sind hierfür Grenz-schnittgrößen und Interaktionsbedingungen erforderlich. Da jedes beulgefährdete Profil ein individuelles Tragverhalten aufweist, sind jedoch bereits zur Bestimmung einzelner Grenzschnittgrößen mit Beuleinfluss einfache formelmäßige Lösungen für I– und U–Profile nicht bekannt. Das Teilschnittgrößenverfahren zur Berechnung plastischer Grenztragfähigkeiten von Kindmann/Frickel – [50], [51], [52] – hat die Vorteile einer Bemessung mit Teil-schnittgrößen demonstriert. Die Möglichkeit einer einfachen Visualisierung von Interaktionsbeziehungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit für beliebige Schnittgrö-ßenkombinationen und Querschnitte leistet einen erheblichen Beitrag zum vertieften Verständnis einer Bemessung nach der Plastizitätstheorie. Dieses bedeutende Grund-konzept soll nachfolgend auf beulgefährdete Walzprofile übertragen werden. Beson-ders vorteilhaft erweist sich in diesem Zusammenhang das zur Tragfähigkeit einzelner beulgefährdeter Platten umfangreiche Forschungsergebnisse zur Verfügung stehen. Als Resultat soll der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit durch Interaktionsbe-

1 Übersicht 6

ziehungen unterschiedlicher Schnittgrößenkombinationen ermittelt und anschaulich dargestellt werden können. Zwei Beispiele verdeutlichen die Anforderungen an ein solches Berechnungsverfahren. Beult der Steg eines druckbeanspruchten I–Profils, verändert sich die Lastverteilung zwischen den Querschnittsteilen. Der Steg wird anschaulich ausgedrückt „weicher“. Eine weitere Laststeigerung hat zur Folge, dass der „weiche“ Steg einen geringeren und die Gurte einen höheren Anteil der einwir-kenden Druckbeanspruchung aufnehmen, Bild 1.5.

Bild 1.5 Druckspannungsumlagerung infolge Stegblechbeulen

Prinzipiell kann eine Erfassung dieses Phänomens auf zwei Arten erfolgen. Eine einfache, aber unwirtschaftliche Vorgehensweise vernachlässigt das „weicher“ werden des Steges. Aus der Stabstatik ist bekannt, dass die Bauteilbeanspruchung abhängig von der Steifigkeitsverteilung ist. Dieser Grundsatz gilt auch für eine „Statik am Querschnitt“. Wird für eine Teilfläche eine höhere Steifigkeit als vorhanden angesetzt, entfällt auf dieses Element ein zu hoher Lastanteil, Bild 1.6.

Bild 1.6 Vereinfachte Vorgehensweise

1.2 Problemstellung und Zielsetzung 7

Die Tragfähigkeit im Steg wird rechnerisch frühzeitig überschritten, obwohl im Querschnitt noch Tragreserven vorhanden sind. Wirtschaftliche Bemessungen beulgefährdeter Querschnitte sollten Umlagerungen zwischen „weicheren“ und „steiferen“ Querschnittsteilen berücksichtigen. Für dieses sehr einfache Beispiel kann die aufnehmbare Druckkraft Ngr,min ohne weitere Berechnungen direkt aus der Summe der Einzeltragfähigkeiten angegeben werden, Bild 1.7. min,grNN ≤ mit: Ngr,min = Ngr,o,min + Ngr,u,min + Ngr,s,min

Bild 1.7 Vorgehensweise mit Grenztragfähigkeiten der Einzelbleche

Das hier diskutierte Beispiel ist einer der wenigen Fälle, in denen eine Grenztragfä-higkeit sofort angegeben werden kann. Komplizierter wird das Problem für eine Biegebeanspruchung. Beult der Steg eines biegebeanspruchten I-Profils, wird nur der druckbeanspruchte Teil „weicher“. Eine unsymmetrische Beulenbildung im Steg führt zu einem Tragverhalten, das einem einfachsymmetrischen Profil entspricht, Bild 1.8.

Bild 1.8 Unsymmetrische Druckspannungsumlagerung infolge Stegblechbeulen unter reiner Biegebeanspruchung My

1 Übersicht 8

In Bild 1.8 werden zwei mögliche Spannungszustände unterschieden. In der Bildmitte ist die Normalspannungsbeanspruchung der Gurte σx ≤ fy. Für die zugehörige Deh-nung am Druckgurt gilt εx ≤ εy. In diesem Fall kann die bereits vorher beschriebene Verteilung der Beanspruchung auf die Einzelbleche nach der linearen Elastizitätstheo-rie oder nach einer steifigkeitsorientierten Verteilung in Abhängigkeit von der Beulgefahr erfolgen. Auf diese Art und Weise können jedoch keine Tragfähigkeiten oberhalb der elastischen Grenztragfähigkeit berechnet werden. Für überwiegend auf Druck beanspruchte Bauteile z.B. Stützen oder für gering beanspruchte Bauteile ist dies ausreichend. Die Tragfähigkeit biegebeanspruchter Konstruktionselemente z.B. Biegeträger oder eingespannte Stützen kann jedoch je nach Schlankheit der Einzel-bleche zwischen der elastischen und plastischen Grenztragfähigkeit liegen. Im Sinne einer wirtschaftlichen Bemessung sollte ein Bemessungsverfahren mögliche plasti-sche Reserven berücksichtigen. Zur Veranschaulichung ist im Bild 1.8 rechts eine mit dem Programmsystem Abaqus [29] berechnete Spannungsverteilung dargestellt. Im Übergangsbereich zwischen Druckgurt und Steg ist deutlich ein plastizierter Bereich zu erkennen und im Steg die nichtlineare Spannungsverteilung infolge Beulen. Die Tragfähigkeit beulgefährdeter Platten ist maßgeblich abhängig von der Randlage-rung. Eine Überprüfung der Lagerungsbedingungen der Einzelplatten unter Berück-sichtigung der Auswirkungen auf angrenzende Querschnittsteile ist somit von großer Bedeutung. Beispielhaft zeigt Bild 1.9 eine Unterteilung von I– und U–Profilen in dreiseitig und allseitig gelagerte Platten.

Bild 1.9 Einteilung von I– und U–Profilen in rechteckige Platten

Die vorliegende Arbeit hat das Ziel, einen Beitrag zum Verständnis der Beulproble-matik zu leisten und die Umsetzung filigraner Konstruktionen zu erleichtern. Hierzu wird, beginnend mit den Beulphänomenen und Grenztragfähigkeiten einzelner Bleche, der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit hochfester Walzprofile als elementares Konstruktionselement im Stahlbau untersucht.

1.2 Werkstoff 9

Im Einzelnen erfolgt die Bearbeitung nachfolgender Punkte: • Visualisierung und Erläuterung bedeutender Phänomene beulgefährdeter Plat-

ten, I– und U–Querschnitte • Sichtung und Darstellung von Forschungsergebnissen zur Grenztragfähigkeit

beulgefährdeter Platten • Herleitung elementarer Grundgleichungen zur Grenzschnittgrößenberechnung

beulgefährdeter Platten • Untersuchungen zum Einfluss der Torsionssteifigkeit der Ausrundungsradien

auf die Beulgefahr von Walzprofilen • Entwicklung einer Teilschnittgrößenoptimierung zur systematischen und einfa-

chen Berechnung und Visualisierung der Grenztragfähigkeiten beulgefährdeter I– und U– Profile. Nach der Herleitung der allgemeinen Grundbedingungen er-folgt eine direkte Anwendung auf beulgefährdete Walzprofile und filigranere Ausführungen

1 Übersicht 10

1.3 Werkstoff

1.3.1 Hochfester Stahl

Erste Regelungen für hochfeste Feinkornbaustähle StE47 und StE70 waren Gegen-stand der 1974 eingeführten DASt – Richtlinie 011. Mittlerweile erfolgte eine Ablö-sung durch Zulassungsregelungen. Im Wesentlichen sind hier die Zulassungen Z-30.1-1 vom 29. Juni 1999 und Z-30.2-2 vom 10. März 1999 zu nennen. Die Bezeich-nungen haben sich in den Liefernormen in S460 und S690 geändert. Die zugehörigen Werkstoffeigenschaften und rechnerischen Idealisierungen zeigt Bild 1.10.

Bild 1.10 Spannungs−Dehnungsbeziehung und rechnerische Idealisierungen unter-schiedlicher Stahlsorten

Die Bruchdehnung εu beträgt laut Zulassungsbescheid für S460 mindestens 17 % und für S690 mindestens 16 %. Hochfester Stahl hat somit eine deutlich geringere Duktili-tät als z.B. S235. Während für die Materialgüte S460 in der Normung, Eurocode 3, das Ausnutzen plastischer Reserven zulässig ist, besteht für die Materialgüte S690 immer noch eine Beschränkung auf den elastischen Bereich. Untersuchungen zur Rotationskapazität von I – Profilen bis zu einer Materialgüte S885 in [116] bestätigen jedoch auch für höherfeste Stähle Anwendungsmöglichkeiten für den plastischen Bereich, so dass Untersuchungen auch für einen Stahl S690 durchgeführt werden.

1.3 Bezeichnungen 11

1.3.2 Gestaltänderungsenergiehypothese

Materialkennwerte für Baustähle, Streckgrenze fy und Zugfestigkeit fu, werden im einachsigen Zugversuch bestimmt. Beult eine Platte, entsteht ein zweiachsiger Spannungszustand. Der zweiachsige Spannungszustand muss auf den experimentell einfach und sicher zu beherrschenden einachsigen Zugspannungszustand zurückge-führt werden. Dies erfolgt durch die Vergleichsspannung σV. Zur Ermittlung der Vergleichsspannung σV existieren unterschiedliche Festigkeitshypothesen. Eine Übersicht und die Grundlagen sind in [87] zusammengefasst. Im Stahlbau erfolgt eine Anwendung der Festigkeitshypothese von Huber-Mises-Hencky. Die elementaren Beziehungen werden durch eine Gleichsetzung der Gestaltänderungsarbeit des zweiachsigen Spannungszustandes mit der Gestaltänderungsarbeit des einachsigen Spannungszustandes ermittelt. Das Ergebnis zeigt Bild 1.11. σ1 und σ2 sind Haupt-spannungen. Für Hauptspannungen mit gleichen Vorzeichen kann eine der Haupt-spannungen Werte oberhalb der Streckgrenze fy annehmen. Der Maximalwert beträgt

yi f32 ⋅=σ . In diesem Fall ist die zugehörige Hauptspannung 58,0j =σ ⋅fy.

fy

fy

yf32 ⋅

yf32 ⋅

0,58⋅fy

2122

21V σ⋅σ−σ+σ=σ

1σ

2σ

Bild 1.11 Gestaltänderungsenergiehypothese nach Huber-Mises-Hencky

1 Übersicht 12

1.4 Bezeichnungen

Grundlage für die Bezeichnungen sind DIN 1080 und DIN 18800. Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte x Stablängsrichtung y, z Hauptachsen in der Querschnittsebene ω normierte Wölbordinate s Profilordinate S Schwerpunkt M Schubmittelpunkt Schnittgrößen Nx, Ny Längskräfte, Normalkräfte Vy, Vz Querkräfte My, Mz Biegemomente Mx Torsionsmoment Mxp, Mxs primäres und sekundäres Torsionsmoment Mω Wölbbimoment Index el: Grenzschnittgrößen nach der Elastizitätstheorie Index pl: Grenzschnittgrößen nach der Plastizitätstheorie Index d: Bemessungswert (design) der Schnittgrößen Spannungen σx, σy, σz Normalspannungen τxy, τxz, τyz Schubspannungen σv Vergleichsspannung Dehnungen, Gleitungen, Verzerrungen εx, εy, εz Dehnungen γxy, γxz, γyz Gleitungen εxx, εxy, usw. Verzerrungen Werkstoffkennwerte E Elastizitätsmodul G Schubmodul ν Querkontraktion, Poissonsche Zahl fy Streckgrenze (Index d: Bemessungswert) fu Zugfestigkeit εu Bruchdehnung

1.4 Bezeichnungen 13

Teilsicherheitsbeiwerte γM Beiwert für die Widerstandsgrößen (material) γF Beiwert für die Einwirkungen (force) Querschnittskennwerte A Fläche Iy, Iz Hauptträgheitsmomente Iω Wölbwiderstand IT Torsionsträgheitsmoment Wy, Wz Widerstandsmomente Sy, Sz Statische Momente Plattenkennwerte x Achse in Plattenlängsrichtung y Achse in Plattenquerrichtung Ψ Randspannungsverhältnis im untersuchten

Beulfeld bezogen auf die größte Druckspannung

a Länge des untersuchten Beulfeldes b Breite des untersuchten Beulfeldes

b/a=α Seitenverhältnis t Plattendicke

eσ Bezugsspannung kσ, kτ Beulwerte des untersuchten Beulfeldes bei

alleiniger Wirkung von Randspannungen σx und τ

σPi Ideale Beulspannung bei alleiniger Wirkung von Randspannungen σx

τPi Ideale Beulspannung bei alleiniger Wirkung von Randspannungen τ

κ Abminderungsfaktor für das Plattenbeulen (bezogene Tragbeulspannung)

Gelenkig gelagerter Rand Eingespannter Rand Freier Rand

Druckkräfte und Druckspannungen sind negativ definiert. Normalkräfte werden in positiver Wirkungsrichtung eingezeichnet. Alle übrigen Bezeichnungen und Abkürzungen sind jeweils im Text erläutert.

2 Beultheorie und Tragverhalten

2.1 Vorbemerkungen

In Kapitel 2 wird die Beultheorie und das Tragverhalten beulgefährdeter Platten erläutert. Da sich die vorliegende Arbeit auf die Tragfähigkeit hochfester Walzprofile konzentriert, wird die Thematik nur soweit behandelt, wie es für das Verständnis und die Berechnung auf Querschnitts- und Systemebene notwendig ist. Weiterführende Informationen und Herleitungen sind z.B. in [55], [56], [60], [88] und [108] zu finden.

2.2 Linearisierte Beultheorie

2.2.1 Grundlagen

Die linearisierte Beultheorie ist die einfachste aller Beultheorien. Sie wird zur Lösung von Verzweigungsproblemen verwendet und wird auch heute noch als Hilfsmittel zur Tragfähigkeitsberechnung verwendet. Ein Verzweigungsproblem liegt vor, wenn für ein verformbares System neben der idealisierten Ursprungslage eine benachbarte Gleichgewichtslage möglich ist. Das Gleichgewicht wird indifferent. Wichtige Idealisierungen sind:

• ideal ebene Platte • ideal mittige Lasteinleitung • ideal elastischer, isotroper Werkstoff • kleine Verformungen • keine Eigenspannungen

Die am infinitesimalen Plattenelement hergeleitete Differentialgleichung lautet:

y)(x,qww2wtww2wB zy///

x////// =⋅σ+⋅τ⋅+⋅σ⋅++⋅+⋅ ••••••••• )()( xy (2.1)

mit: )(112

tEB 2

3

ν−⋅⋅

= = Plattensteifigkeit

ν = Querkontraktion, Poissonsche Zahl

/ = x∂∂ • =

y∂∂

Der homogene Teil der Differentialgleichung ergibt die gesuchten Verzweigungs-spannungen die als ideale Beulspannungen σPi oder τPi bezeichnet werden.

2.2 Linearisierte Beultheorie 15

Lösungen für das Verzweigungsproblem sind in Abhängigkeit von: • der Plattengeometrie • dem Randspannungsverhältnis • der Beanspruchungsart • den Lagerungsbedingungen

für die wichtigsten Fälle tabelliert oder in Diagrammen aufgetragen. Hierbei sind insbesondere [55] und [56] hervorzuheben. Aufgrund der großen Bedeutung für den Plattenbeulnachweis werden hier einige wichtige Phänomene und Lösungen vorge-stellt. Die zugehörigen FE–Berechnungen sind mit dem am Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau der Ruhr – Universität Bochum entwickelten Programm RUB–Beulen durchgeführt worden.

2.2.2 Allseitig gelagerte Platte

Für die wichtigsten in der Praxis auftretenden Fälle enthält Tabelle 2.1 Beulwerte kσ und kτ als Hilfsmittel zur Berechnung idealer Beulspannungen allseitig gelenkig gelagerter Platten. Tabelle 2.1 Beulwerte allseitig gelenkig gelagerter Platten [118]

Beanspruchung ideale Beulspan-nung

Gültig-keitsbe-reich

Beulwert

Geradlinig verteilte Druckspannungen 0 ≤ ψ ≤ 1

σ1,Pi = kσ σe

α ≥ 1 kσ = 8,2 / (ψ +1,05)

Geradlinig verteilte Druck- und Zug-spannungen -1 ≤ ψ < 0

σ1,Pi = kσ σe

α ≥ 1 kσ = 7,81 – 6,29 ⋅ ψ + 9,78⋅ψ2

Schubspannungen τPi = kτ σe

α ≥ 1 kτ = 5,34 + 4,00/α2

⋅=

ν−⋅⋅π

=σ 2

22

2

2

e cmkN

bt980.18

bt

)1(12E

2 Beultheorie und Tragverhalten 16

Zum besseren Verständnis der Beulwertformeln zeigt Tabelle 2.2 einige Beulfiguren, die den Einfluss der Plattengeometrie und der Beanspruchungsart auf die ideale Beulspannung verdeutlichen. Eine konstante Druckbeanspruchung σx stimmt mit der Richtung der Hauptdruckspannung σ1 überein. Die sich ausbildenden Beulen sind längsorientiert. Für max τ ist die Lage der Hauptspannungen um 45° gedreht. Zusätz-lich zu den Hauptdruckspannungen σ1 sind positiv wirkende Hauptzugspannungen σ2 vorhanden, die den Beulwert und die ideale Beulspannung über den Wert bei reiner Druckbeanspruchung anheben. Beulen infolge Schubbeanspruchung verlaufen diagonal zu den Längsrändern. Tabelle 2.2 Beulfiguren und ideale Beulspannungen druck- oder schubbeanspruchter

allseitig gelenkig gelagerter Platten

Konstante Druckbeanspruchung

Konstante Schubbeanspruchung

Quadratische Platte α = 1, a = 1.000 mm, b = 1.000 mm, t = 10 mm kσ = 4,0 / σPi = 7,6 kN/cm2

kτ = 9,34 / τPi = 17,7 kN/cm2

Rechteckige Platte α = 3, a = 3.000 mm, b = 1.000 mm, t = 10 mm kσ = 4,0 / σPi = 7,6 kN/cm2

kτ = 5,84 / τPi = 11,1 kN/cm2


Anders als ein Knickstab beulen Platten unter konstanter Druckbeanspruchung und bei Seitenverhältnissen a/b > 2 nicht einwellig, sondern mehrwellig. Dieses Phänomen ist im unteren Teil der Tabelle 2.2 dargestellt. Je größer das Verhältnis zwischen Beulfeldlänge und Beulfeldbreite ist, umso größer wird die Anzahl der Beulwellen. Dies hat zur Folge, dass die ideale Beulspannung mit steigender Beul-feldlänge nicht abnimmt, sondern gegen den Beulwert kσ = 4 konvergiert. Es entsteht eine so genannte Girlandenkurve, Bild 2.1.

Bild 2.1 Girlandenkurve einer druckbeanspruchten Platte Für konstant umlaufende Schubbeanspruchungen ist im unteren Teil der Tabelle 2.2 ein ähnlicher Effekt erkennbar. Anders als bei einer konstanten Druckbeanspruchung konvergiert der Wert jedoch erst bei größeren Verhältnissen a/b gegen den Beulwert kτ = 5,34, so dass eine Berechnung kürzerer Beulfelder in Abhängigkeit vom Verhält-nis Plattenlänge zu Plattenbreite erfolgen sollte. Maximale Beulwerte von Platten enthält Tabelle 2.3. Tabelle 2.3 Maximale Beulwerte druckbeanspruchter Platten

α=a/b 2 6 12 20 30 kσx 4,50 4,16 4,08 4,05 4,03

Eine Einspannung der Längsränder bewirkt eine weitere Erhöhung der Beulwellenan-zahl und eine daraus resultierende Verkürzung der Halbwellenlänge. Die ideale Beulspannung wächst an, Tabelle 2.4.


Tabelle 2.4 Auswirkung eingespannter Längsränder

Rechteckige Platte α = 3, a = 3.000 mm, b = 1.000 mm, t = 10 mm Allseitig gelenkig gelagerte Platte

Allseitig gelagerte Platte mit eingespannten Längsrändern

kσ = 4,0 / σPi = 7,6 kN/cm2

kσ = 7,06 / σPi = 13,4 kN/cm2

Allseitig gelenkig gelagerte Platte

Allseitig gelagerte Platte mit eingespannten Längsrändern

kτ = 5,84 / τPi = 11,1 kN/cm2

kτ = 9,49 / τPi = 18,0 kN/cm2


2.2.3 Dreiseitig gelagerte Platte

Für die wichtigsten in der Praxis auftretenden Fälle enthält Tabelle 2.5 Beulwerte kσ zur Berechnung idealer Beulspannungen dreiseitig gelenkig gelagerter Platten. Tabelle 2.5 Beulwerte dreiseitig gelenkig gelagerter Platten [118]

Beanspruchung Beul-spannung

Gül-tigkeit

Beulwert

Größte Druckspannung am gelagerten Rand Geradlinig verteilte Druckspannungen 0 ≤ ψ ≤ 1

σx,Pi = kσ σe

α ≥ 1 kσ = 0,578/ (ψ + 0,34)

Geradlinig verteilte Druck- und Zug-spannungen -1 < ψ < 0

σx,Pi = kσ σe

α ≥ 1 kσ = 1,70 – 5 ⋅ ψ + 17,1⋅ψ2

Größte Druckspannung am freien Rand Geradlinig verteilte Druckspannungen 0 ≤ ψ ≤ 1

σx,Pi = kσ σe

α ≥ 1 kσ = 0,57 – 0,21 ⋅ ψ + 0,07⋅ψ2

ψ=1=> 21

425,0kα

+=σ

Geradlinig verteilte Druck- und Zug-spannungen -1 < ψ < 0

σx,Pi = kσ σe

α ≥ 1 kσ = 0,57 – 0,21 ⋅ ψ + 0,07⋅ψ2

Tabelle 2.6 Druckbeanspruchte dreiseitig gelagerte Platte

Rechteckige Platte α = 4, a = 1.000 mm, b = 250 mm, t = 10 mm Längsrand gelenkig gelagert

Längsrand eingespannt

σPi = 14,8 kN/cm2 σPi = 40,6 kN/cm2


Eine dreiseitig gelenkig gelagerte Platte beult unter konstanter Druckbeanspruchung einwellig aus. Erst durch eine Längsrandeinspannung geht die Beulfigur in eine mehrwellige Beulfigur über, Tabelle 2.6. Angaben zu idealen Beulspannungen schubbeanspruchter, dreiseitig gelagerter Platten sind dem Verfasser nicht bekannt. Eine Untersuchung mit dem Programm RUB – Beulen, Bild 2.2, ergibt in Analogie zur allseitig gelagerten Platte Gleichung (2.2) zur Berechung von kτ.

2466,0kα

+=τ (2.2)

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

α

x = Programm RUB-Beulen

τk

Bild 2.2 Beulwert kτ in Abhängigkeit von der Randlagerung 2.3 Nichtlineare Beultheorie

Zur rechnerischen Erfassung des nichtlinearen Tragverhaltens beulender Platten war es notwendig, eine nichtlineare Beultheorie zu entwickeln. Die einfachste Theorie ist die von Kármán’sche nichtlineare Beultheorie. Das gekoppelte Differentialglei-chungssystem zeigen Gleichung (2.3) und Gleichung (2.4).

y)(x,qww2wtww2wB zy///

x////// =⋅σ+⋅τ⋅+⋅σ⋅++⋅+⋅ ••••••••• )()( xy (2.3)

)www(E2 /////

y/

xyx2 •••••• ⋅−=σ+τ−σ (2.4)

Die Anwendung der nichtlinearen Beultheorie ist aufgrund des hohen Aufwands nicht im Bereich von Handrechnungen sondern als Grundlage für FE–Programme zu sehen. Aus diesem Grund wird an dieser Stelle nur auf die grundlegenden Arbeiten in [37], [57], [58], [60], [113], [114] und [130] hingewiesen.

2.4 Tragverhalten 21

2.4 Tragverhalten

2.4.1 Überkritische Tragreserven allseitig gelagerter Platten

Versuche zeigen, dass das Versagen allseitig gelagerter Platten nicht unmittelbar nach einer ersten Beulenbildung erfolgt. Eine weitere Laststeigerung ist häufig möglich. Zur Verdeutlichung dieses Phänomens ist mit dem Programmsystem Abaqus ein Versuch aus [47] an einer druckbeanspruchten, spannungsarm geglühten Platte mit Vorverformung aus hochfestem Stahl S460 nachgerechnet worden. Bild 2.3 zeigt den Versuchskörper, die Versuchsdaten, den 1. Eigenwert und die zugehörige Eigenform.

Abmessungen: a = 2x380 = 760 mm b = 380 mm t = 8,15 mm Streckgrenze: fy = 54,5 kN/cm2 Vorverformung: wo = 1,3 mm

Bild 2.3 Versuch Nr. 59 aus [47], Versuchskörper, Versuchsdaten, 1. Eigenwert und

zugehörige Eigenform


σx = σLx = σPi = 34,78 kN/cm2 σLx,cal=35,73 kN/cm2; σLx;exp=35,30 kN/cm2 Bild 2.4 Rechnerische Spannungszustände der Versuchsplatte im Bereich x = 0 bis x

= a/2 nach einer Berechnung mit dem Programmsystem Abaqus

Aufgrund der zweiwelligen, symmetrischen Beulfigur ist es ausreichend eine Hälfte der Platte zu betrachten. Bild 2.4 zeigt für die linke Hälfte der Platte den Spannungs-verlauf σLx = σPi nach der linearisierten Beultheorie ohne Vorverformung und rechts den Traglastzustand mit Vorverformung. Als Vorverformung ist die 1. Eigenform mit dem im Versuch gemessenen Stich angesetzt worden. Für σLx = σPi verläuft die Spannung σx konstant über die Plattenbreite und ist gleich der idealen Beulspannung σPi. σy ist gleich Null. Beult eine Platte, nimmt im mittleren Teil die Spannungsauf-nahme ab. Beanspruchungen werden zu den steiferen Randbereichen umgelagert. Aufgrund der Faserlängung infolge der Durchbiegung w entstehen nichtlinear verlaufende Spannungen σx und σy. Im stärker verformten Mittelbereich der Platte ist σy eine Zugspannung und aus Gleichgewichtsgründen im geringer verformten Randbereich eine Druckspannung. Zugspannungen σy ergeben am verformten System Komponenten, die der Durchbiegung w entgegen wirken. Anschaulich ausgedrückt entsteht im Mittelteil der Platte eine Unterspannung der in Längsrichtung gedrückten Fasern, Bild 2.5.

Bild 2.5 Unterspannungseffekt durch Zugspannungen σy


Eine Aktivierung der σy−Zugspannungen ergibt im ausgelenkten Zustand Beanspruchbarkeiten, die oberhalb der idealen Beulspannung liegen können. Diese Spannungszustände werden als überkritisch bezeichnet. Die Differenz zwischen idealer Beulspannung und einer höheren Tragfähigkeit ist die überkritische Tragreser-ve einer Platte. Je näher die ideale Beulspannung an der Streckgrenze liegt, um so geringer ist die überkritische Tragreserve, d. h. gedrungene Platten haben eine wesentlich geringere überkritische Tragreserve als schlanke Platten. Geometrische und strukturelle Imperfektionen reduzieren überkritische Tragreserven. In dem durchgerechneten Beispiel ist aus diesem Grund die zulässige Beanspruchbarkeit nur geringfügig höher als die ideale Beulspannung.

2.4.2 Blechbiegung

Beult eine Platte, entsteht eine Biegebeanspruchung. Die Spannungsverteilung über die Blechdicke ist nicht mehr konstant sondern veränderlich. Am Beispiel der Ver-suchsnachrechnung aus 2.4.1 werden im Folgenden Phänomene der Blechbiegung verdeutlicht. Abaqus teilt Schalenelemente in einzelne Schichten auf, Bild 2.6.

Bild 2.6 Schichtweise Aufteilung von Schalenelementen in Abaqus

An den Schichtgrenzen werden Spannungen elementweise an den so genannten Section Points ausgegeben. Standardmäßig sind 5 Section Points vorgegeben. Für den Traglastzustand erfolgt in Tabelle 2.7 eine Visualisierung der σx - Spannungen für die äußere Randfaser, Section Point 1, und die Mittellinie, Section Point 3. Das Ergebnis der anderen äußeren Randfaser ist spiegelbildlich. Die Spannungsverläufe σy und τ sind in Anlage 3 und 4 dargestellt. Zusätzlich zur Spannungsverteilung ist die resultie-rende Normalkraft, SF = Section Force, für jedes Element dargestellt, Tabelle 2.7 unten. In der äußeren Randfaser sind die Auswirkungen der Blechbiegung sehr gut zu erkennen, Tabelle 2.7 oben. Auf der linken Seite muss aufgrund der Druckbeanspru-chung ein Beulental und auf der rechten Seite aufgrund der Zugbeanspruchung in Feldmitte ein Beulenberg sein.


Tabelle 2.7 Visualisierung der Berechungsergebnisse

S11 (Section Point 1) = Normalspannung σx auf der Plattenoberfläche

S11 (Section Point 3) = Normalspannung σx in der Plattenmittelebene

SF1 = Kraft pro cm Blechdicke (44,20 [kN/cm] / 0,815 [cm] = 54,23 kN/cm2)


Die Oberfläche in einem Beulental wird zweiachsig auf Druck beansprucht. Die resultierende Spannung beträgt in x-Richtung aufgrund der Gestaltänderungsenergie-hypothese ca. 2

x cm/kN93,625,5432 −=⋅−≈σ und ist damit größer als die Streckgrenze. Auf einem Beulenberg besteht der zweiachsige Spannungszustand aus einer Druckspannung in x-Richtung und einer Zugspannung in y-Richtung. Die zulässige Spannung der einzelnen Hauptspannungen liegt unterhalb der Streckgrenze. In der Mittelfaser, Section Point 3, ist sehr gut zu erkennen, dass über die gesamte Plattenbreite die Blechbiegung nie so groß wird, dass eine Zugbeanspruchung entsteht. Der Spannungsverlauf in der Mittelfläche stimmt mit dem Ergebnis der Integration über die Blechdicke, Tabelle 2.7 unten, bereits sehr gut überein. Der endgültige Verlauf der Beanspruchungen zeigt in den beulenden Bereichen sehr deutlich die Spannungsumlagerung zum gelagerten Längsrand. Außerhalb der maximalen Beulverformungen nähern sich die Spannungswerte in Feldmitte und am Längsrand wieder an. Zur weiteren Verdeutlichung der Blechbiegung sind σx-Spannungen (lokal S11) für die Elemente 637 bis 646, Tabelle 2.8, und σy-Spannungen (lokal S22) für die Elemente 466 bis 646 (Inkrement 20), Tabelle 2.9, optisch und zahlenmäßig ausge-wertet worden. Die Lage der Elemente im Bezug zur Gesamtplatte zeigt Bild 2.7. Des weiteren soll durch die detaillierte Untersuchung der Zusammenhang zwischen Spannungen an den Section Points und den von Abaqus ausgegebenen Section Forces und Section Moments geklärt werden. Bei der Auswertung sind die Spannungen an den Section Points linear verbunden worden.

Bild 2.7 Elementnummerierung


Tabelle 2.8 σx-Spannungen (lokal S11) für die Elemente 637 bis 646 und resultierende Elementkräfte

El S. P. S11[kN/cm2] N(S11)[kN] M(S11)[kNcm] SF1[kN] SM2[kNcm]637 1 -57,38 -84,02 0,71 -84,06 0,71

2 -56,013 -54,424 -52,625 -50,61


2 -58,533 -54,414 -48,745 -41,73


2 -60,133 -49,874 -37,485 -25,09


2 -59,493 -43,084 -26,675 -10,26


2 -57,703 -37,604 -17,505 2,60


2 -56,263 -32,954 -9,635 13,68


2 -54,753 -28,824 -2,905 23,00


2 -53,583 -25,504 2,595 30,01


2 -52,563 -23,054 6,475 34,53


2 -52,053 -21,804 8,455 36,75

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40


Tabelle 2.9 σy-Spannungen (lokal S22) für die Elemente 466 bis 646 (Inkrement 20) und resultierende Elementkräfte


2 -10,533 -7,914 -5,295 -2,68


2 -15,473 -8,084 -0,695 6,70


2 -18,873 -6,924 5,035 16,98


2 -20,903 -4,814 11,285 27,37


2 -22,513 -2,434 17,655 37,73

El S. P. S22[kN/cm2] N(S22)[kN] M(S22)[kNcm] SF2[kN] SM1[kNcm]566 1 -40,08 1,52 9,44 1,08 9,53

2 -23,383 0,134 23,645 47,15


2 -23,603 2,634 28,855 55,08


2 -23,433 4,794 33,015 61,23


2 -23,153 6,424 35,995 62,55


2 -22,943 7,314 37,555 62,61

12345

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -30 -10 10 30 50 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70


Tabelle 2.8 und Tabelle 2.9 zeigen die Veränderung der Blechbiegung vom gelagerten Rand zur Plattenmitte. Während das Randelement überwiegend auf Druck bean-sprucht wird, ist in Plattenmitte eine erhebliche Biegebeanspruchung vorhanden. Bei der Überprüfung der Zusammenhänge zwischen den aus Spannungen in den Section Points berechneten Elementkräften und den Section Forces der Abaqusausgabe ist mit zunehmender Biegebeanspruchung ein Unterschied feststellbar. Offensichtlich berücksichtigt Abaqus Plastizierungen genauer. Weitere Auswertungen erfolgen aus diesem Grund in Abhängigkeit von den Section Forces. 2.4.3 Plastische Reserven

Für eine allseitig gelagerte Platte mit einer linear veränderlichen Randspannung, Randspannungsverhältnis ψ = 0, zeigt Bild 2.8 den im Versuch gemessenen Span-nungsverlauf σx.

Bild 2.8 Membranspannungsverlauf einer linear veränderlich beanspruchten Platte [47]

Die maximale Dehnung ε ist am stärker gedrückten Rand größer als εy. Im Versuch gemessene Traglasten biegebeanspruchter Platten enthalten unabhängig davon ob das Ergebnis durch eine Beulenbildung oberhalb oder unterhalb einer rechnerischen, linearelastischen Tragfähigkeit liegt, Plastizierungen. Eine auf Versuchen basierende Bemessung biegebeanspruchter, beulgefährdeter Platten nutzt somit in jedem Fall plastische Reserven aus. Für den hier dargestellten Versuch liegt z.B. die Tragfähig-keit zwischen der linearelastischen und der vollplastischen Tragfähigkeit.


2.4.4 Überkritische Tragreserven dreiseitig gelagerter Platten

Eine grundlegende Aufbereitung zum Tragverhalten beulgefährdeter dreiseitig gelagerter Platten erfolgt in [61]. Experimentelle Untersuchungen wählen häufig den in Bild 2.9 dargestellten Versuchsaufbau kreuzweise angeordneter Platten.

Bild 2.9 Spannungsverlauf σx unter konstanter Randverschiebung u

Im Versuch werden die Platten durch eine Randverschiebung u konstant gestaucht. Durch Verformungen senkrecht zur Plattenebene entzieht sich der freie Rand der Beanspruchung. Druckspannungen werden vom beulenden zum gelagerten Rand umgelagert. In der Platte entsteht eine unsymmetrische, nichtlineare Spannungsvertei-lung, die eine resultierende Normalkraft und ein resultierendes Biegemoment ergibt, Bild 2.10.

Bild 2.10 Spannungsverlauf σx und Schnittgrößen unter konstanter Randverschiebung u

Für symmetrisch angeordnete Bleche hebt sich die zusätzliche Biegebeanspruchung auf. Bei einzelnen Platten muss das Biegemoment durch den gelagerten Querrand aufgenommen und bei der Bemessung angrenzender Bauteile berücksichtigt werden. Im Vergleich zur idealen Beulspannung können insbesondere bei schlanken Platten erhebliche Tragreserven vorhanden sein.


2.4.5 Last-Stauchungskurven allseitig und dreiseitig gelagerter Platten

Das Tragverhalten beulgefährdeter Platten kann im Wesentlichen als gutartig be-zeichnet werden. Nach überschreiten des Maximums der Last−Stauchungskurve fällt die Tragfähigkeit nicht schlagartig ab, sondern bleibt auf sehr hohem Niveau über einen größeren Dehnungsbereich erhalten. Für eine konstant gestauchte, allseitig gelagerte Platte zeigt Bild 2.11 Berechnungsergebnisse aus [20].

Bild 2.11 Bezogene Druckkraft allseitig gelagerter Platten nach [20]

Das Maximum der Last−Stauchungskurve allseitig gelagerter Platten wird ungefähr bei ε = εy erreicht. Für symmetrisch angeordnete, dreiseitig gelagerte Platten zeigt Bild 2.12 Last−Stauchungskurven aus Versuchen nach [32]. Auch hier ist das gutarti-ge Tragverhalten über einen großen Dehnungsbereich zu erkennen.

Bild 2.12 Last−Stauchungskurven symmetrisch angeordneter, dreiseitig gelagerter Platten, Versuchsergebnisse aus [32]


2.4.6 Versagensmechanismen

Beulgefährdete Platten versagen durch die Ausbildung von Fließlinien. Versagensme-chanismen für unterschiedlich gelagerte Platten zeigt Tabelle 2.10. Tabelle 2.10 Versagensmechanismen beulgefährdeter Platten [11]

Platte mit freien Längsrändern

Dreiseitig gelagerte Platte

Allseitig gelagerte Platte

Flip-disc Mechanismus

Roof-shaped Mechanismus


Die Ausbildung von Fließlinien beginnt, wenn an einem Punkt der Platte unter wachsender Beanspruchung die Fließspannung fy erreicht wird. Ausgehend von diesem Punkt breitet sich der Fließvorgang aus, so dass je nach Lagerungsbedingun-gen durch eine Ausbildung von Fließlinien eine Kinematik entsteht, die zum Versagen einer Platte führt. Die grundlegenden Zusammenhänge in der Fließlinie sind in Bild 2.13 dargestellt. Da sich nur im einfachsten Fall senkrechte Fließlinien ausbilden, muss auch der Fall einer schräg liegenden Gelenklinie erfasst werden.

Bild 2.13 Fließlinie mit β = 0° und β ≠ 0°, β1/cosMM '

P'''

p ⋅= [11]

Fließlinienmodelle können zur Berechnung von Grenztragfähigkeiten verwendet werden. An dieser Stelle wird nur auf die Arbeiten zu dieser Thematik in [49], [76], [77], [80], [81], [82], [102] und [131] hingewiesen.

2.5 Zugfeldwirkung schubbeanspruchter Platten

Das Tragverhalten schubbeanspruchter Platten ist überwiegend an Stegblechen dünnwandiger Vollwandträger untersucht worden. Im Versuch gemessene Traglasten liegen insbesondere für sehr schlanke Bleche oberhalb der idealen Querkraft VPi = τPi⋅(b⋅t). Dieses Phänomen ist durch den Übergang von einem Schubfeld zu einem Zugfeld zu erklären. Schubbeulen führt zu einer Änderung des Spannungszustandes im Blech. Die Hauptzugspannungen σ2 wachsen wesentlich schneller an als die Hauptdruckspannungen σ1. Es erfolgt eine Drehung der Hauptspannungen, so dass die Hauptzugspannungen in Richtung der sich ausbildenden Falte zeigen. Im schubbean-spruchten Steg entsteht eine resultierende Zugkraft, Bild 2.14.

2.6 Beultragverhalten von I– und U–Profilen 33

Bild 2.14 Zugfeldwirkung beim leichten Vollwandträger ohne Zwischensteifen [86]

Eine Tragfähigkeitsteigerung darf nur berücksichtigt werden, wenn eine Zugfeldwir-kung zweifelsfrei gewährleistet ist. Für die Verankerung der Zugkraft ist somit die konstruktive Ausbildung der Endauflager von größter Bedeutung. Weitere Erläute-rungen können z.B. [86] entnommen werden.

2.6 Beultragverhalten von I– und U–Profilen

Ergänzend zum Tragverhalten einzelner Platten werden nachfolgend nichtlineare Spannungsverläufe und Phänomene beulgefährdeter I– und U–Profile visualisiert. Die zugehörigen Berechnungen sind mit dem Programmsystem Abaqus durchgeführt worden. Eine Übersicht zum Beultragverhalten konstant druckbeanspruchter I–Profile zeigt Tabelle 2.11. Wie bereits erläutert besitzen symmetrisch angeordnete dreiseitig gelagerte Platten überkritische Tragreserven. Diese können für Druckgurte von I–Profilen ausgenutzt werden. Tabelle 2.11 Konstant druckbeanspruchte, beulgefährdete I–Profile

Steg beulgefährdet Gurte beulgefährdet


Zur Bestätigung zeigt Bild 2.15 einen in [101] gemessenen Membranspannungsver-lauf. Durch die Untersuchung extremer Schlankheiten ist an den Flanschenden sogar eine Zugspannung vorhanden.

Bild 2.15 Beulgefährdetes I–Profil unter konstanter Druckbeanspruchung [101]

Tabelle 2.12 zeigt unterschiedliche Phänomene konstant druckbeanspruchter, beulge-fährdeter U–Profile. Beult der Steg, entsteht in den Gurten eine zusätzliche Biegebe-anspruchung. Beulen die Gurte, wird durch Verformungen senkrecht zur Plattenebene die Spannungsaufnahme am beulenden, freien Rand reduziert. Der Querschnitt verdreht sich um die z–Achse. Tabelle 2.12 Konstant druckbeanspruchte, beulgefährdete U–Profile

Steg beulgefährdet Gurte beulgefährdet

2.6 Beultragverhalten von I– und U–Profilen 35

Tabelle 2.13 Spannungsverteilung biegebeanspruchter, beulgefährdeter I– und U–Profile

My, Steg beulgefährdet Mz, Gurte beulgefährdet

My, Steg beulgefährdet Mz, Gurte beulgefährdet

My < Mel,y

Spannungsverteilungen biegebeanspruchter, beulgefährdeter I– und U–Profile zeigt Tabelle 2.13. Im Vergleich zu I–Profilen ist das Tragverhalten beulgefährdeter U–Profile wesentlich komplizierter. Beult der Steg eines U–Profils unter einer Biegebe-anspruchung My, wird durch die unsymmetrische Beulenbildung nur der druckbean-spruchte Steg „weicher“. Zum Ausgleich erfährt der gedrückte Rand eine größere Dehnung als der gezogene Rand. In den Gurten entstehen unterschiedlich große Normalkräfte. Aus Gleichgewichtsgründen muss in diesem Fall im Steg ebenfalls eine Normalkraft vorhanden sein und daraus folgend eine resultierende Biegebeanspru-chung in den Gurten. Beulen die Gurte unter einer Biegebeanspruchung Mz, wird die Spannungsaufnahme am beulenden, freien Rand durch Verformungen senkrecht zur Plattenebene reduziert. Die Spannungsnulllinie verlagert sich vom Gurt zum Steg. Der Querschnitt verdreht sich um die z–Achse.

3 Berechnungsmethoden und Übersicht

3.1 Übersicht

Für den Nachweis beulgefährdeter Konstruktionen zeigt Tabelle 3.1 aus [50] eine Übersicht über Vorschriften, Richtlinien und Berechnungsmethoden. Größte Bedeu-tung haben:

• Tragbeulspannungen • Grenzwerte b/t • Wirksame Breiten • Zugfeldtheorie

Weniger bekannte und verwendete Verfahren sind die Methode der wirksamen Schnittgrößen [36] und die Methode der wirksamen Steifigkeiten [103]. Aufgrund der eher geringen Bedeutung soll an dieser Stelle der Hinweis auf die zugehörige Literatur genügen. Tabelle 3.1 Vorschriften und Methoden für den Nachweis beulgefährdeter Konstruktionen

[50]

Vorschrift Methode Bemerkungen 1 DIN 18800 Teil 1

Tabellen 12, 13, und 14

Beulnachweis mit b/t-Verhältnissen

Grenzwerte b/t für Einzelbleche oder auch max. Druckspannungen, nach DIN 18800 Teil 3 können sich höhere Beanspruchbarkeiten ergeben

2 DIN 18800 Teil 3 Beulnachweis Ausgesteifte und unausgesteifte Rechteckplatten unter Druck- und Schubbeanspruchungen

3 DIN 18800 Teil 2 Abschnitt 7

wirksame Breiten

Einfluss des Beulens auf das Knicken; Ermittlung wirksamer Breiten bei Druckbeanspruchungen (Einzelbleche)

4 EC 3 Teil 1 – 1 Tabelle 5.3.1

Beulnachweis mit b/t-Verhältnissen

maximale b/t-Verhältnisse für druckbeanspruchte Querschnitte; vergleichbar mit DIN 18800 Teil 1

5 EC 3 Teil 1 – 1 Abschnitt 5.3.5

wirksame Quer-schnitte

wirksame Breiten druckbeanspruchter Quer-schnittsteile (Einzelbleche)

6 EC 3 Teil 1 – 1 Abschnitt 5.6.4

Zugfeldmethode Nachweise gegen Schubbeulen (Stegbleche)

7 EC 3 Teil 1 – 5 Abschnitt 4

wirksame Quer-schnitte

Druckbeanspruchte Querschnitte mit und ohne Längssteifen; Schubbeulen

8 DASt-Ri 012

Beulnachweis wie DIN 18800 Teil 3, aber auf Gebrauchs-lastniveau

9 DASt-Ri 015 Zugfeldtheorie wirksame Quer-schnitte

für Träger mit schlanken Stegen

10 DASt-Ri 016 wirksame Quer-schnitte

für dünnwandige kaltgeformte Bauteile

3.2 Beulnachweis 37

3.2 Beulnachweis

Ein Beulnachweis nach DIN 18800 T3 basiert auf Beulkurven und der linearisierten Beultheorie. Die einwirkende Beanspruchung wird nach der linearen Elastizitätstheo-rie ermittelt. Für jedes druckbeanspruchte Querschnittsteil muss nachgewiesen werden, dass die vorhandene Spannung geringer als die zulässige ist. Ein Nachweis für Normalspannungen σx erfolgt in den Schritten: • Normalspannungen σx nach der linearen Elastizitätstheorie berechnen

• ideale Beulspannung σxPi = x

kσ ⋅ σe ermitteln; 2

2

2

e bt

)1(12E

⋅

µ−⋅⋅π

=σ

• bezogenen Plattenschlankheitsgrad xPik,yP /f σ=λ bestimmen • Abminderungsfaktor ( )Pλκ mit der zugehörigen Beulkurve und Grenzbeulspan-

nung σP,R,d = κ⋅fy,k / γM berechnen

• Nachweis mit 1d,R,P

x ≤σ

σ für jedes druckbeanspruchte Querschnittsteil führen

Beulkurven

Die geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten inklusive Vorverformungen, Eigenspannungen und gegebenenfalls Streckgrenzenstreuungen sind beim Beulprob-lem theoretisch nahezu nicht erfassbar. Aus diesem Grund enthält Tabelle 1 der DIN 18800 Teil 3 für unterschiedliche Beanspruchungsarten, Normalspannungen und Schubspannungen, sowie unterschiedliche Lagerungsbedingungen, allseitig und dreiseitig gelagerte Platten, Beulkurven zur Ermittlung von Abminderungsfaktoren κ. Eine Auswertung der Beulkurven zeigt Bild 3.1. Dargestellt sind folgende Fälle:

allseitige Lagerung , Normalspannung , ψ = 1 " , " , ψ ≤ 0

dreiseitige Lagerung, " " , " , konstante Randverschiebung u allseitige Lagerung , ohne Längssteifen , Schubspannungen " , mit " , " Euler-Hyperbel

3 Berechnungsmethoden und Übersicht 38

Bild 3.1 Abminderungsfaktoren κ nach DIN 18800 Teil 3 für Teil- und Gesamtfelder Allseitig gelagerte Platte

Die Vorgehensweise zur Ermittlung von κ allseitig gelagerter Platten zeigt Bild 3.2. Ein Vergleich mit der Euler−Hyperbel verdeutlicht die Ausnutzung überkritischer Tragreserven ab einem bezogenen Schlankheitsgrad 3,1p >λ .

Bild 3.2 Abminderungsfaktor κ allseitig gelagerter Platten

3.2 Beulnachweis 39

Der Imperfektionseinfluss gedrungener Platten ist größer als die ohnehin geringe überkritische Reserve, d.h. die reale Tragfähigkeit liegt unterhalb der Verzweigungs-spannung. Die verwendete Beulkurve entspricht der Winterkurve. Für Randspan-nungsverhältnisse Ψ < 1 wird die Winterkurve durch den Faktor c modifiziert, um in Versuchen gemessene höhere Tragfähigkeiten auszunutzen. Dieser Effekt ist bereits in der DASt–Richtlinie 012 durch unterschiedliche Sicherheiten berücksichtigt worden.

Herleitung von Beulkurven

Ausgangspunkt zur Herleitung von Beulkurven ist die linearisierte Beultheorie, Gleichung (3.1).

22

2

ePi )t/b)(1(12Ekkν−

π⋅⋅=σ⋅=σ σσ (3.1)

Aus Gleichung (3.1) ergibt sich der Vergleichsschlankheitsgrad λ, Gleichung (3.2), so dass die Darstellung von Gleichung (3.1) der Eulerhyperbel entspricht, Gleichung (3.3).

ν−

=λσ t

bk

)1(12 22 (3.2)

2

2

PiEλπ

=σ (3.3) Mit dem auf die Streckgrenze bezogenen Bezugschlankheitsgrad λa, Gleichung (3.4), wird der Schlankheitsgrad λ als bezogener Schlankheitsgrad Pλ ausgedrückt, Glei-chung (3.5).

ya f

Eπ=λ (3.4)

Pi

y

ap2

py

Pi f1f σ

=λλ

=λ=>λ

=σ (3.5)

Für Schubbeanspruchungen erfolgt die Definition sinngemäß nach Gleichung (3.6).

Pi

yp2

py

Pi

3f1

f3

τ⋅=λ=>

λ=

τ⋅ (3.6)

Der bezogene Schlankheitsgrad Pλ berücksichtigt somit Einflüsse wie z.B. Platten-geometrie, Randlagerung und Randbeanspruchung. Der Einfluss von geometrischen und strukturellen Imperfektionen wird durch eine Kombination von Pλ mit Versuchs-ergebnissen berücksichtigt. Die prinzipielle Vorgehensweise zeigt Tabelle 3.2.


Tabelle 3.2 Vorgehensweise bei der Kombination von pλ mit Versuchsergebnissen

Versuchsaufbau Zentrische Lasteinleitung

e=0 =>Ψ = 1 Exzentrische Lasteinleitung

e=b/6 => Ψ = 0

pλ e

y

e

y

4f

kf

σ=

σ⋅σ

e

y

e

y

81,7f

kf

σ=

σ⋅σ

Versuchsergebnis Traglast (gemessen) Nexp (e=0) Nexp (e=b/6)

Versuchsauswertung Fiktive lineare Spannungsverteilung A

)0e(Nexpgrenz

==σ

+==σ

w6/b

A1)6/be(Nexpgrenz

)( pλκ y

grenz

f)0e( =σ

y

grenz

f)6/be( =σ

Die im Versuch gewählte Lasteinleitungsexzentrizität e ergibt das Randspannungs-verhältnis Ψ zur Berechnung von pλ . Als Versuchsergebnis wird eine Traglast Nexp

gemessen. Hiermit wird in Abhängigkeit von der Plattengeometrie und der vorgege-benen Lastexzentrizität eine fiktive Grenzspannung σgrenz nach der linearen Elastizi-tätstheorie berechnet. Der fiktive lineare Verlauf und die Größenordnung der Grenz-spannung stimmt insbesondere im Bereich schlanker Platten nicht mit den real in Platten auftretenden nichtlinearen Spannungsverteilungen überein, Bild 3.3.

Versuchsergebnis

ψ = -0,2

nichtlinearer

Spannungsverlauf

Lineare Näherung

1MM

NN

f el

exp

el

exp

y

grenz ≤+=σ

=κ

Bild 3.3 Vorgehensweise zur Grenzspannungsberechnung am Vollquerschnitt

3.2 Beulnachweis 41

Aus den fiktiven Grenzspannungen können jedoch die im Versuch gemessenen Tragschnittgrößen zurückgerechnet werden, in denen sämtliche Einflüsse wie Werk-stoffverfestigungen, Imperfektionen und Plastizierungen enthalten sind. Durch den Bezug der fiktiven Grenzspannung σgrenz auf die Streckgrenze ergeben sich Abminde-rungsfaktoren κ. Das Ergebnis sind Wertepaare pλ und κ. Ist eine ausreichende Anzahl an Versuchsergebnissen vorhanden, können aus den Wertepaaren Beulkurven entwickelt werden. Die Beulkurve mit der auch international größten Bedeutung ist die Winterkurve, Gleichung (3.7).

pp

22,01λ

−λ

=κ (3.7) Zur Herleitung erfolgte in [108] eine Auswertung von internationalen Veröffent-lichungen, Versuchsberichten, Kommissionsberichten u.ä. Die ausgewerteten Versu-che können in folgende Gruppen unterteilt werden

• 415 Versuche an unversteiften Platten • 95 Versuche an ausgesteiften Platten • 141 Versuche an Kastenträgern mit und ohne Torsionsbeanspruchung

Bild 3.4 zeigt die Wertepaare pλ und uσ=κ nach Entfernung aller Versuche, die bestimmten Anforderungen nicht genügen. Als Grenzkurve ist die Winterkurve, Gleichung (3.7), eingezeichnet. In [108] wird die Winterkurve als geeignet eingestuft, die untere Begrenzungslinie der Punktwolke zu bilden.

Bild 3.4 Auswertung internationaler Plattenbeulversuche [108]


In den Versuchsergebnissen sind nicht nur Einzelplatten sondern auch Querschnitte mit beulgefährdeten Einzelblechen enthalten. Insbesondere druckbeanspruchte Stützen und biegebeanspruchte Träger wurden untersucht, um die Interaktion einzel-ner Bleche untereinander zu erfassen und um bei Einzelplatten nicht herstellbare Lastexzentrizitäten wie eine reine Biegebeanspruchung zu erzeugen. Durch den Bezug zur linearisierten Beultheorie und die Verwendung bezogener Schlankheitsgrade ist es möglich, sämtliche Versuche mit unterschiedlichen Randbedingungen unabhängig von der Streckgrenze in einem Diagramm auszuwerten. Dreiseitig gelagerte Platte

Zur Grenztragfähigkeitsberechnung dreiseitig gelagerter Platten stehen in der DIN 18800 T3 zwei unterschiedliche Beulkurven zur Verfügung, Tabelle 3.3. Tabelle 3.3 Abminderungsfaktor κ dreiseitig gelagerter Platten

DIN 18800 T3 Tabelle 1 Zeile 5 Konstante Randverschiebung u

DIN 18800 T3 Tabelle 1 Zeile 4 Normalspannung σ

pd,y

grenz 7,0f λ

=σ

=κ , Pi

k,yp

fσ

=λ ; Ψ = 1 51,0

1f 2

pd,y

grenz

+λ=

σ=κ ,

Pi

k,yp

fσ

=λ ; Ψ = 1

Bild 3.5 zeigt Versuchsergebnisse symmetrisch angeordneter, dreiseitig gelagerter Platten unter konstanter Randverschiebung u. Zum Vergleich sind die Beulkurven der DIN 18800 T3 Zeile 4 und Zeile 5, die Euler-Hyperbel und die Winterkurve einge-zeichnet.

Bild 3.5 Versuchsergebnisse symmetrisch angeordneter, dreiseitig gelagerter Platten

unter konstanter Randverschiebung u (Ψu = 1),

3.2 Beulnachweis 43

Symmetrisch angeordnete, konstant gestauchte Platten können durch Umlagerungen Tragfähigkeiten erreichen, die deutlich oberhalb der idealen Beulspannung liegen. Dieser Fall wird durch die Beulkurve der DIN 18800 T3 Zeile 5 abgedeckt. Die meisten Versuchsergebnisse liegen nicht nur oberhalb der Beulkurve nach Zeile 5, sondern auch oberhalb der Winterkurve. Die Verformungen am freien Rand sind jedoch sehr groß, so dass die Wahl der Beulkurve nicht nur an Tragfähigkeitsgrenzen, sondern zusätzlich an Gebrauchstauglichkeitskriterien orientiert worden ist. Sofern keine Umlagerungen möglich sind, muss die Resultierende der Spannungsverteilung in der Platte mit der Wirkungsrichtung der äußeren Beanspruchung zusammenfallen. Dieser Fall wird durch die Beulkurve der DIN 18800 T3 Zeile 4 abgedeckt. Es ist gut zu sehen, dass die Beulkurve an keiner Stelle oberhalb der Euler – Hyperbel liegt. Selbst unter Berücksichtigung von geometrischen und strukturellen Imperfektionen kann bei der Anwendung der Beulkurve nach Zeile 4 davon ausgegangen werden, dass die Spannungsverteilung in der Platte näherungsweise linear bleibt. Schubbeanspruchte, allseitig gelagerte Platten

Die Vorgehensweise zur Berechnung von κτ schubbeanspruchter, allseitig gelagerter Platten nach DIN 18800 T3 zeigt Tabelle 3.4. Tabelle 3.4 Abminderungsfaktor κτ schubbeanspruchter, allseitig gelagerter Platten

DIN 18800 T3 Tabelle 1 Zeile 6

P

84,0λ

=κτ

mit: Pi

k,yp

3f

τ⋅=λ

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

κ

Basler (starr)

Nishino-Okumura(starr)Höglund (starr)

Frey-Anslijn (starr)

Bergfeit-Hövik (weich)

Carskaddan (weich)

Granholm (weich)

Höglund (weich)

Frei-Anslijn (weich)

DIN 18800 T3 Zeile 6

Euler-Hyperbel

pλ Bild 3.6 Versuchsergebnisse schubbeanspruchter Stegbleche dünnwandiger Voll-

wandträger mit starren oder weichen Auflagersteifen [88]


Im Bild 3.6 ist sehr gut zu erkennen, dass die verwendete Beulkurve an Versuchser-gebnisse angepasst worden ist. Im Bereich höherer Schlankheiten sind Tragfähigkei-ten oberhalb der idealen Beulspannungen zulässig. Dies liegt an der bereits beschrie-benen Zugfeldwirkung. Die Beulkurve nach DIN 18800 T3 ist über den gesamten Schlankheitsbereich nur anwendbar, wenn zweifelsfrei die Zugkraft aus einer Zug-feldwirkung am Endauflager verankert werden kann. Ist dies nicht der Fall, sollte für Schlankheitsgrade 19,184,01P =>λ auf die Ausnutzung von Tragfähigkeiten oberhalb der Euler-Hyperbel verzichtet werden.

Normal− und Schubspannungen

Gleichzeitig auftretende Normal- und Schubspannungen müssen in der DIN 18800 T3 mit der Interaktionsformel nach Gleichung (3.8) nachgewiesen werden. Für Erläute-rungen zu Gleichung (3.8) wird auf [71] verwiesen.

1V321 e

dR,P,dR,yP,dR,xP,

yx

e

dR,yP,

ye

dR,xP,

x ≤

ττ

+

σ⋅σ

σ⋅σ⋅−

σ

σ+

σσ

(3.8)

Hierin bedeuten: 4x1 1e κ+= (3.9) 4y2 1e κ+= (3.10) 4y2 1e κ+= (3.11)

2yx3 1e τκ⋅κ⋅κ+= (3.12)

6yx )(V κ⋅κ= (3.13)

V ist nach Gleichung (3.13) zu bestimmen, wenn beide Normalspannungen σx und σy Druckspannungen sind. Andernfalls gilt für V Gleichung (3.14).

yx

yxVσ⋅σ

σ⋅σ=

(3.14)

Die in den Gleichungen (3.9) bis (3.13) verwendeten Abminderungsfaktoren κ und Grenzbeulspannungen gelten für alleinige Wirkung der entsprechenden Spannungen. Sofern einzelne Spannungen nicht vorhanden oder σx bzw. σy Zugspannungen sind, ist der zugehörige Abminderungsfaktore κ = 1 zu setzen. Ein neuer Vorschlag zur Berücksichtigung gleichzeitig wirkender Spannungen wird in [107] vorgestellt, Gleichung (3.15). Zur Berechnung der Abminderungsfaktoren κ* wird der bezogene Schlankheitsgrad Pλ für die jeweilige Beulkurve in Abhängigkeit von der idealen Beulvergleichsspannung σVPi verwendet und ein Nachweis im Format einer Vergleichsspannung geführt.

3.3 Grenzwerte b/t 45

d,y**y

y*x

x

2

*y

y2

*x

x f3 ≤

κτ

+κ

σ⋅

κσ

−

κ

σ+

κσ

τ

mit:

σ=λκ

VPi

k,yP

* f

(3.15)

Eine auf der sicheren Seite liegende Interaktion ist immer durch eine Addition der Einzelwirkungen möglich. Es entsteht die so genannte Dunkerley−Gerade nach Gleichung (3.16), Bild 3.7.

1D,R,PD,R,P

≤τ

τ+

σσ

(3.16)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

σ/σP,R,d

τ/τ P

,R,d

Dunkerleygerade

Vergleichs-spannung

Bild 3.7 Linearisierte Interaktion zwischen Normal− und Schubbeanspruchung

3.3 Grenzwerte b/t

In der Bemessungspraxis kann durch die Begrenzung der Schlankheit (b/t) einzelner Bleche ein vereinfachter Beulnachweis geführt werden. Die Herleitung erfolgt z.B. aus den Beulkurven für den Fall κ = 1,0. Grenzwerte grenz (b/t) zum Tragsicherheits-nachweis Elastisch−Elastisch haben somit prinzipiell keine eigenständige Bedeutung. Sie dienen lediglich zur Vereinfachung der Bemessung. Grenzwerte b/t zum Tragsi-cherheitsnachweis Elastisch−Plastisch und Plastisch−Plastisch basieren auf Versuchs-ergebnissen.


Eine Auswertung der Grenzwerte grenz (b/t) nach DIN 18800 T1 ist in Abhängigkeit von der Lage der plastischen Nulllinie α in Bild 3.8 und Bild 3.9 dargestellt. Eine Bemessung nach dem Verfahren Plastisch–Plastisch erfordert große Rotationen in den Fließgelenken. Grenzwerte grenz (b/t) für das Nachweisverfahren Plastisch–Plastisch müssen aus diesem Grund strenger als Grenzwerte grenz (b/t) für das Nachweisver-fahren Elastisch–Plastisch formuliert werden. Für die Materialgüte S690 ist auf eine Auswertung verzichtet worden, da eine Gültigkeit der Regelungen noch nicht zwei-felsfrei bewiesen ist.

0

10

20

30

40

50

60

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

α

gren

z (b

/t)

S460

Elastisch - Plastisch

0

10

20

30

40

50

60

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

α

S460

Plastisch - Plastisch Bild 3.8 Grenzwerte grenz (b/t) allseitig gelagerter Platten nach DIN 18800 T1

0

5

10

15

20

25

30

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

α

gren

z (b

/t)

S460 Druck am gelagerten Rand

S460 Druck am freien Rand

Elastisch - Plastisch

0

5

10

15

20

25

30

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

α

S460 Druck am gelagerten Rand

S460 Druck am freien Rand

Plastisch - Plastisch

Bild 3.9 Grenzwerte grenz (b/t) dreiseitig gelagerter Platten nach DIN 18800 T1

3.4 Methode der wirksamen Breiten 47

3.4 Methode der wirksamen Breiten

Die Methode der wirksamen Breiten versucht das Tragverhalten beulgefährdeter Platten wirklichkeitsnäher durch eine Beanspruchungsumlagerung von beulenden zu weniger beulgefährdeten Querschnittsteilen zu erfassen.

Bild 3.10 Wirksamer Querschnitt bei Biegebeanspruchung nach EC 3 [50]

Beulende Querschnittsteile gehen bei der Querschnittswerteberechnung mit reduzier-ten Flächen ein, Bild 3.10. Durch die Verwendung wirksamer Querschnitte in Abhän-gigkeit von der Beulgefahr erfolgt eine steifigkeitsabhängige Verteilung der Bean-spruchungen auf die Einzelbleche, Bild 3.11.

Bild 3.11 a) Bruttoquerschnitt und Spannungsverteilung

b) Abminderung des Obergurtes und Spannungsverteilung

c) Wirksamer Querschnitt (Obergurt und Steg abgemindert) [50] Eine Übersicht über wirksame Breiten zeigt Bild 3.11. Die genauen Regelungen können den angegebenen Literaturstellen entnommen werden. Eine ausführliche Untersuchung wirksamer Breiten ist z.B. in [90] zu finden. Darüber hinaus enthält die Fachliteratur insbesondere für dreiseitig gelagerte Platten unter Biegebeanspruchung ([15], [21]) und für das Ausnutzen plastischer Reserven ([16], [19], [20], [97], [99]) neue Entwicklungen wirksamer Breiten.


Tabelle 3.5 Wirksame Breiten

Nachweisverfahren „Elastisch – Elastisch“ Allseitig gelagerte Platte Dreiseitig gelagerte Platte DIN 18800 T2, DASt−Ri 015, DASt−Ri 016

Parameterstudien mit der Verallgemeinerten Techni-schen Biegetheorie [103]

Beulkurve DIN 18800 T3 Tabelle 1 Zeile 5

Eurocode 3 Teil 1-5 Winterkurve [108] Winterkurve [108] Brune, B. - Parameterstudien mit einem

nicht veröffentlichten Programm NIPL, Randdeh-nung ε = εy [15]

Klöppel, K., Bilstein, W. Parameterstudien mit der von Kármán’schen nichtlinearen Beultheorie [54]

Parameterstudien mit der von Kármán’schen nichtlinearen Beultheorie [54]

Nachweisverfahren „Elastisch – Plastisch“ DIN 18800 T2 Herleitung aus Grenzwerten

b/t nach DIN 18800 T1 [31] Herleitung aus Grenzwerten b/t nach DIN 18800 T1 [31]

Brune, B. Parameterstudien mit einem nicht veröffentlichten Pro-gramm NIPL, vorgegebene Randdehnung ε = 4εy [20]

Parameterstudien mit einem nicht veröffentlichten Programm NIPL, vorgegebe-ne Randdehnung ε = 4εy [20]

Lindner, J., Rusch, A. Versuche an beulgefährdeten I-Profilen mit Biegung um die z-Achse [97],[99]

Zum besseren Verständnis zeigt Bild 3.12 die Vorgehensweise bei der Herleitung wirksamer Breiten in [54] und [57]. Im Vergleich zur realen, nichtlinearen Span-nungsverteilung am Vollquerschnitt soll eine Spannungsberechnung nach der linearen Elastizitätstheorie am reduzierten Querschnitt identische Randspannungen und resultierende Schnittgrößen ergeben. Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich eine quadratische und eine kubische Gleichung, (3.17) und (3.18), zur Bestim-mung wirksamer Plattenbreiten bm1 und bm2.

Bild 3.12 Herleitung wirksamer Breiten in [54]

3.4 Methode der wirksamen Breiten 49

tb

bb2

bbtb

bb2

bb)(2

tb 21m

22m

2mu,x

22m

21m

1mo,xu,Lxo,Lx

+−σ+

+−σ=σ+σ

⋅ (3.17)

[ −−⋅⋅σ−−⋅σ=σ−σ⋅ )bb(b)bb(b

21)(

12tb

2m2mu,x1,m1mo,xu,Lxo,Lx

−+

−

⋅σ−σ 2m

22m

1m

21m

u,xo,x b32

2b

2bb

32

2b

2b)(

(3.18)

Zur Ermittlung wirksamer Breiten müssen somit die Randspannungen σx,o, σx,u, die zugehörige Resultierende Druckkraft R und die Exzentrizität e bekannt sein. Ist eine ausreichende Anzahl an Daten vorhanden, kann versucht werden einfache Rechenvor-schriften für bm1 und bm2 herzuleiten.

Methode der wirksamen Breite für das Verfahren Elastisch-Plastisch

Die bisher vorgestellte Methodik wird in Normen und Richtlinien prinzipiell dem Nachweisverfahren „Elastisch−Elastisch mit Beuleinfluss“ zugeordnet, da in die Nachweise Spannungen eingehen, die nach der Elastizitätstheorie ermittelt werden. Abschnitt 7.4 der DIN 18800 Teil 2 enthält eine Methode, die für das Nachweisver-fahren Elastisch−Plastisch (mit Beuleinfluss) vorgesehen ist. Als Grundidee wird der beulende Druckbereich aus dem Blech herausgelöst und auf wirksame Breiten soweit reduziert, dass die Grenzwerte b/t für das Nachweisverfahren Elastisch−Platisch allseitig gelagerter Platten eingehalten werden, Bild 3.13.

Allseitig gelagerte Platte:

grenz (b/t) k,yf2405,182⋅

α⋅

=

k,y

//1 f240t5,18b ⋅⋅=

k,y

//2 f240t5,18b ⋅⋅=

Bild 3.13 Wirksame Breiten für das Verfahren Elastisch–Plastisch DIN 18800 T2

In [20] wird eine dehnungsorientierte Vorgehensweise zur Herleitung wirksamer Breiten für ein Nachweisverfahren Elastisch−Plastisch gewählt. Parameterstudien in [20] ergeben, dass die Beanspruchbarkeit in einem Bereich von 4εy bis 10εy nur noch geringfügig abnimmt. Als Randdehnung wird aus diesem Grund 4εy auf einer Seite vorgegeben und für unterschiedliche Randdehnungsverhältnisse mit einem unveröf-fentlichten Programm NIPL zugehörige Schnittgrößen nach der nichtlinearen Beul-theorie berechnet. Wie oben beschrieben sind hiermit alle erforderlichen Parameter


bekannt, so dass Formeln zur Berechnung wirksamer Breiten hergeleitet werden konnten. Anstelle der in Bild 3.12 dargestellten Spannungsverteilung nach der linearen Elastizitätstheorie ist zur Auswertung der Ansatz einer plastischen Span-nungsverteilung notwendig. Die Gleichungen (3.17) und (3.18) müssen somit an eine plastische Spannungsverteilung angepasst werden, und für σx,o und σx,u kann direkt fy eingesetzt werden. In [97] und [99] erfolgen Versuche an I-Profilen mit einer Biegbeanspruchung um die z-Achse, d.h. eine Untersuchung dreiseitig gelagerter, beulgefährdeter Platten. Eine Auswertung mit den wirksamen Breiten aus [20] zeigt, dass die Versuchstraglasten rechnerisch nicht erreicht werden. Aus diesem Grund wird für diesen Spezialfall eine neue Beulkurve entwickelt, Gleichung (3.19).

p2pp

05,022,01λ+

λ−

λ=ρ (3.19)

Auf den ersten Blick ist erkennbar, dass die neue Beulkurve eine weitere Modifizie-rung der Winterkurve darstellt. Mit der neuen Beulkurve und den wirksamen Breiten aus [20] werden die Versuchstraglasten aus [97] und [99] sehr gut nachvollzogen.

3.5 Beispiele

An Beispielen wird die Vorgehensweise bekannter Methoden und Vorschriften zur Bemessung beulgefährdeter Querschnitte verdeutlicht und verglichen. In Tabelle 3.6 erfolgt die Berechnung einer Grenzdruckkraft Ngr,min. Die Querschnittsabmessungen entsprechen einem HEB 800. Für die Gurte, b/t = 3,37, kann ein Beulen ausgeschlos-sen werden. Ein Grenzbiegemoment Mgr,y wird in Tabelle 3.7 ermittelt. Die Quer-schnittsabmessungen entsprechen einem modifizierten HEA 1000, d.h. die Stegdicke ist auf tS = 8 mm reduziert. Die gedrungenen Gurte, b/t = 4,84, sind nicht beulgefähr-det. Die einfachste und schnellste Methode ist eine Berechnung mit Tragbeulspan-nungen nach DIN 18800 T3. Durch die Verteilung der Beanspruchung auf die einzelnen Bleche nach der linearen Elastizitätstheorie ist das Randspannungsverhält-nis für alle Querschnittsteile sofort bekannt. Die Berechnung mit wirksamen Breiten nach Eurocode 3 ist wesentlich aufwändiger. Das Randspannungsverhältnis ψ und der wirksame Querschnitt sind nicht mehr unabhängig voneinander, d.h. in den meisten Fällen ist eine Iteration notwendig. Eine Berechnung mit wirksamen Breiten nach DIN 18800 T2 Nachweisverfahren Elastisch−Plastisch ist relativ einfach in der Anwendung. Eine Anwendung ist jedoch nur für überwiegend auf Biegung bean-spruchte Querschnitte sinnvoll.

3.5 Beispiele 51

Tabelle 3.6 Ngr,min mit Beuleinfluss für ein druckbeanspruchtes HEB 800

Material: S460 Querschnitt: HEB 800 tg = 33 mm b = 300 mm ts = 17,5 mm hs = 674 mm ag = 707 mm Nel = 15.364 kN

DIN 18800 T3: Gurte: κ = 1 Steg: kσ (ψ = 1) = 4

2

2

e cmkN80,12

6745,17980.18 =

⋅=σ

95,0

8,12446

p =⋅

=λ

81,0

95,022,0

95,01

2S =−=κ

kN445.12364.1581,0N min,gr −=⋅−=

Eurocode 3: Gurte: Keine Beulgefahr

Steg: 95,0

8,12446

p =⋅

=λ

81,0

95,022,0

95,01

2 =−=ρ

hS,eff = 0,81 ⋅ 674 = 546 mm Ngr,min = − 15.364 + (67,4 – 54,6) ⋅ 1,75 ⋅ 46 = − 14.333,6 kN


Tabelle 3.7 Mgr,y mit Beuleinfluss für ein biegebeanspruchtes HEA 1000 (modifiziert)

Querschnitt: tg = 31 mm / b = 300 mm / ts = 8 mm / hs = 928 mm / ag = 959 mm Material: S460 / Mel = 461.372 kNcm / Mpl = 489.489 kNcm

DIN 18800 T3: Steg: kσ (ψ= -1) = 23,9

2

2

e cmkN41,1

9288980.18 =

⋅=σ

17,1

41,19,2346

p =⋅

=λ

87,0

17,122,0

17,1125,1 2 =

−⋅=κ

kNcm393.401461.37287,0M y,gr =⋅=

Eurocode 3: Schritt 1: ψ = -1 Wo,eff = -9.670,5 cm3 Wu,eff = 10.229,3 cm3 Wo,eff/wu,eff = -0,945 Schritt 2: ψ = -0,945 Wo,eff = -9.648,5 cm3 Wu,eff = 10.238,3 cm3 Wo,eff/wu,eff = -0,942 Mgr,y = 443.831 kNcm

DIN 18800 T2:

Steg: cm7,10

4602408,05,18b//

1 =⋅=

cm7,10

4602408,05,18b//

2 =⋅=

cm4,217,102b//3 =⋅=

kNcm767.446

229.799288

4652,3629,951,33046M y,gr

=

⋅⋅+⋅⋅⋅=

3.5 Beispiele 53

Nachweise für weitere Beanspruchungen und Querschnitte

Mögliche Nachweisführungen für U–Profile mit beulgefährdeten Stegen und Bean-spruchungen N oder My zeigt qualitativ Tabelle 3.8. Tabelle 3.8 Druck- und biegebeanspruchtes U–Profil mit einem beulgefährdeten Steg

DIN 18800 T3 Eurocode 3

AfN ymin,gr ⋅⋅κ=

+=

z,eff

N

effymin,gr W

eA

1/fN

eN = Schwerpunktverschiebung für den effektiven Querschnitt

AfM yy,gr ⋅⋅κ=

α

⋅=

cosWf

M effyy,gr

α = Hauptachsendrehwinkel


Tabelle 3.9 I–Profil mit beulgefährdeten Gurten und Biegebeanspruchung Mz

DIN 18800 T3 Eurocode 3 DIN 18800 T2

zyz,gr wfM ⋅⋅κ= z,effyz,gr wfM ⋅= z,eff,plz,gr MM =

Nulllinie im Steg Ergänzend zur Darstellung beulgefährdeter U–Profile zeigt Tabelle 3.9 für I–Profile mit beulgefährdeten Gurten und Biegebeanspruchung Mz qualitativ das Ergebnis einer Grenzschnittgrößenberechnung nach DIN 18800 T3 und Eurocode 3.

3.6 Zusammenfassung und Fazit

Zum Nachweis beulgefährdeter Stäbe stehen prinzipiell zwei Verfahren zur Verfü-gung:

• Beulnachweis • Methode der wirksamen Breiten

Der grundlegende Unterschied liegt in der Verteilung einwirkender Beanspruchungen auf die einzelnen Teilflächen. Ein Tragbeulspannungsnachweis verteilt Schnittgrößen nach der linearen Elastizitätstheorie am Vollquerschnitt, während die Methode der wirksamen Breiten eine Verteilung in Abhängigkeit von der Beulgefahr der Einzel-bleche am wirksamen Querschnitt vornimmt, d.h. beulgefährdete Bleche werden entlastet und Bleche mit Tragreserven stärker belastet. Die Methode der wirksamen Breiten ermöglicht somit eine Ausnutzung höherer Tragfähigkeiten. Definitionen für wirksame Breiten liegen in unterschiedlicher Form vor:

• Linearelastische Spannungsverteilung am wirksamen Querschnitt • Plastische Spannungsverteilung am wirksamen Querschnitt

3.6 Zusammenfassung und Fazit 55

Eine Differenzierung ist nur für überwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile sinnvoll. In Tabelle 3.7 zeigt sich, dass der Unterschied zwischen Mgr,y beider Verfah-ren gering sein kann. Dies gilt auch für eine Berechnung nach [20]. Anders als für Querschnitte ohne Beulgefahr ergibt eine Berechnung mit „plastischen“ wirksamen Breiten nicht zwangsläufig höhere Beanspruchbarkeiten als eine Berechnung mit „elastischen“ wirksamen Breiten. Dies ist auf eine stärkere Querschnittsreduzierung der wirksamen Breiten im plastischen Bereich zurückzuführen. Aufgrund größerer Querschnittsrotationen wird die Möglichkeit berücksichtigt, dass einzelne Bleche den Scheitelpunkt der Last–Verformungskurve überschreiten und sich bereits auf dem abfallenden Ast befinden. Wirksame Breiten die eine plastische Spannungsverteilung am wirksamen Querschnitt zulassen, zwingen den Querschnitt rechnerisch in einen Zustand, der die maximal aufnehmbare Beanspruchung häufig bereits überschritten hat. Für Beulnachweise ist eine starre Einteilung in Nachweisverfahren Elastisch–Elastisch und Elastisch–Plastisch offensichtlich nicht zweckmäßig. Wünschenswert ist ein Verfahren, das durchgängig für alle Schnittgrößenkombinationen Traglasten berechnet. Ebenso stellt sich die Frage nach der Notwendigkeit einer aufwändigen iterativen Verteilung der einwirkenden Schnittgrößen auf effektive Querschnitte. Für stegbeulgefährdete, biegebeanspruchte U−Profile muss sogar eine Drehung der Hauptachsen berücksichtigt werden. Angesichts der vielen vereinfachenden Annah-men, die Berechnung des Randspannungsverhältnis ψ wird z.B. nicht im Sinne der Beulkurven am Vollquerschnitt des Einzelblechs durchgeführt, steht die Genauigkeit der Ergebnisse in keinem Verhältnis zum Arbeitsaufwand, der zusätzlich noch eine nicht vorhandene Genauigkeit suggeriert. Die folgenden Abschnitte liefern einen der ersten Beiträge zu einem schnittgrößen-orientierten Bemessungskonzept beulgefährdeter Stäbe. Durch die Ausbildung nichtlinearer Spannungsverteilungen ist eine exakte Aufteilung der einwirkenden Schnittgrößen auf die Einzelbleche wie bei der linearelastischen oder idealplastischen Theorie nahezu unmöglich. Die bisherigen Versuche mit wirksamen Breiten können nur als grobe Näherung bezeichnet werden. Zur Nachweisführung ist die genaue Kenntnis der Verteilung jedoch nicht notwendig. Es reicht aus, den Nachweis zu führen, dass der Querschnitt die einwirkenden Schnittgrößen aufnehmen kann. Hierzu wird die Annahme getroffen, dass die Querschnittstragfähigkeit nicht überschrit-ten wird, wenn alle Einzelbleche ihre Grenztragfähigkeit einhalten. Unabhängig von der realen Spannungsverteilung ist eine Optimierungsaufgabe durch Variationen von Grenzzuständen zu lösen. Mit dieser Vorgehensweise werden zwar die realen Spannungsverteilungen nicht erfasst, grundsätzlich sollte jedoch durch Umlagerungen aufgrund der großen Duktilität des Materials automatisch eine zulässige Verteilung im Querschnitt entstehen.

4 Grenzschnittgrößen beulgefährdeter Teilflächen

4.1 Vorbemerkungen

Aufbauend auf den Erkenntnissen aus Kapitel 2 und 3 werden nachfolgend Grenz-schnittgrößen beulgefährdeter, rechteckiger Teilflächen hergeleitet. Eine Unterschei-dung erfolgt in allseitig und dreiseitig gelagerte Platten. Grundlage sind Beulkurven, Grenzwerte b/t und wirksame Breiten. Die hier zusammengestellten Beziehungen sind Ausgangspunkt für ein teilschnittgrößenorientiertes Verfahren zur Berechnung von Grenztragfähigkeiten beulgefährdeter Querschnitte.

4.2 Grundlagen

Rechteckige Teilflächen dünnwandiger Stabquerschnitte werden in der Schnittebene durch die Schnittgrößen N, M, V und Mxp beansprucht, Bild 4.1. Ein Blechbiegemoment wird vernachlässigt.

Bild 4.1 Beulgefährdete Teilfläche und Schnittgrößen in der Schnittebene

Der Bezugspunkt ist der Schwerpunkt S der Schnittfläche. Aufgrund der Symmetrie-eigenschaften sind y und z Hauptachsen und der Bezugspunkt ist gleichzeitig der Schubmittelpunkt M.

4.3 Druck- und Biegebeanspruchung 57

4.3 Druck- und Biegebeanspruchung

4.3.1 Prinzipielle Vorgehensweise

Forschungsergebnisse zur Grenztragfähigkeit einzelner beulgefährdeter Bleche sind in unterschiedlicher Form aufbereitet worden. Im Einzelnen sind bekannt:

• Maximal zulässige Druckspannungen am Vollquerschnitt • Wirksame Breiten am reduzierten Querschnitt, lineare Spannungsverteilung • Plastische Spannungsverteilung am Vollquerschnitt (Grenzwerte grenz (b/t)) • Wirksame Breiten am reduzierten Querschnitt, plastische Spannungsverteilung

Zum Vergleich bekannter Forschungsergebnisse und zur Anwendung bekannter Beziehungen in einem teilschnittgrößenorientierten Verfahren werden nachfolgend allgemeingültige Formeln zur Schnittgrößenberechnung aus vorliegenden Daten hergeleitet. Druckspannungen und Druckkräfte sind negativ definiert. Maximale Druckspannung am Vollquerschnitt Tragbeulspannungen oder Grenzwerte b/t geben eine maximal zulässige Druckspan-nung am Vollquerschnitt vor. Einen fiktiven linearen Spannungsverlauf und die daraus resultierenden Schnittgrößen zeigt Bild 4.2.

Bild 4.2 Fiktiver Spannungsverlauf am Vollquerschnitt und resultierende Schnittgrößen

In Abhängigkeit vom Randspannungsverhältnis ψ können zulässige Schnittgrößen-kombinationen berechnet werden. Die Herleitung erfolgt aus den Gleichungen (4.1) und (4.2). Auflösen nach M und N ergibt die Gleichungen (4.3) und (4.4).

d,yoy

grgro fz

IM

AN

⋅κ−=⋅+=σ (4.1)

4 Grenzschnittgrößen beulgefährdeter Teilflächen 58

d,yuy

grgru fz

IM

AN

⋅κ⋅ψ−=⋅+=σ (4.2)

d,yelel

gr fbtNmit1)1(21

NN

⋅⋅=≤κ⋅ψ+⋅−= (4.3)

d,y

2

elel

gr f6btMmit1)1(

21

MM

⋅⋅

=≤κ⋅ψ−⋅= (4.4)

Wirksame Breiten am reduzierten Querschnitt, lineare Spannungsverteilung Eine Schnittgrößenberechung am wirksamen Querschnitt ist wesentlich aufwändiger als am Vollquerschnitt. Beispielhaft zeigt Bild 4.3 den zugehörigen Spannungsverlauf. Die zulässigen Schnittgrößenkombinationen Mgr und Ngr können am wirksamen Querschnitt nach Gleichung (4.5) und (4.6) berechnet werden.

Bild 4.3 Spannungsverlauf am wirksamen Querschnitt und resultierende Schnittgrößen

1)1(bb2

bb)1(

bb2

bb

f2NN 2211

y

D

el

gr ≤

ψ−+ψ+

ψ−−

σ= (4.5)

1

)1(bb4)31(

bb36

bb

)1(bb4)3(

bb36

bb

f2MM

2

2222

2

2111

y

D

el

gr ≤

ψ−−ψ−+ψ+

ψ−+ψ−−−

σ= (4.6)


Plastische Spannungsverteilung am Vollquerschnitt (Grenzwert grenz (b/t)) Grenzwerte b/t für das Nachweisverfahren Elastisch–Plastisch ermöglichen die Berechnung einer plastischen Nulllinienlage α, für die kein Einfluss lokaler Beulen auf die Tragfähigkeit berücksichtigt werden muss. Ausgehend von der bekannten N–M–Interaktionsgleichung für den Rechteckquerschnitt, Gleichung (4.7), ergeben sich die Schnittgrößen Ngr und Mgr nach Gleichung (4.8) und (4.9).

1M

|M|NN

pl

gr2

pl

gr ≤+

(4.7)

d,yplpl

gr fbtNmit1)21(NN

⋅⋅=≤α−= (4.8)

d,y

2

plpl

gr f4btMmit1)1(4

MM

⋅⋅

=≤α−⋅α⋅= (4.9)

Wirksame Breiten am reduzierten Querschnitt, plastische Spannungsverteilung Den zugehörigen Spannungsverlauf und die resultierenden Schnittgrößen für eine plastische Spannungsverteilung am reduzierten Querschnitt zeigt Bild 4.4.

Bild 4.4 Spannungsverlauf am wirksamen Querschnitt und resultierende Schnittgrößen

Die resultierenden Schnittgrößen Ngr und Mgr können am reduzierten Querschnitt aus den Schnittgrößen am Vollquerschnitt durch Abzug der Fehlfläche hergeleitet werden, Gleichung (4.10) und (4.11). Die Lage der Nulllinie wird durch den Parameter α festgelegt.


d,ypl21

pl

gr fbtNmit1b

bb)1(2NN

⋅⋅=≤+

−α−= (4.10)

d,y

2

pl2211

pl

gr f4btMmit1

bb1

bb2

bb1

bb2)1(4

MM

⋅⋅

=≤

−−

−+αα−= (4.11)

4.3.2 Grenzdruckkraft Ngr,min

Allseitig gelagerte Platten Grenzdruckkräfte allseitig gelagerter Platten werden mit der national, DIN 18800, und international, Eurocode 3, anerkannten Winterkurve berechnet. Die Herleitung von Gleichung (4.12) erfolgt aus Gleichung (4.3). Da die Winterkurve in vielen Versuchen und Berechnungen bestätigt worden ist, erübrigen sich weitere Untersuchungen.

⋅⋅=

≤⋅

+⋅

−= σσ

2y

d,yel

k,y2

2

k,yel

min,gr

cmkNinf

fbtN

1fk

bt6,4175

fk

bt77,137

NN

(4.12)

Bild 4.5 Nichtlinearer Spannungsverlauf einer beulgefährdeten, allseitig gelagerten Platte und die resultierende Schnittgröße Ngr,min mit der Winterkurve

Dreiseitig gelagerte Platten Das Tragverhalten dreiseitig gelagerter Platten ist bereits hinreichend diskutiert worden. Ist eine Spannungsumlagerung infolge Beulen zum gelagerten Rand nicht möglich, ergibt nur die in DIN 18800 T3, Tabelle 1, Zeile 4 angegebene Beulkurve eine reine Druckkraft Ngr,min, Bild 4.6.


⋅⋅=

≤

⋅⋅+

⋅⋅

−=

σ

σ

2y

d,yel

2

k,y

2

el

min,gr

cmkNinf

fbtN

1

btk8,679.9f

btk980.18

NN

(4.13)

Bild 4.6 Näherungsweiser Spannungsverlauf einer beulgefährdeten, dreiseitig ge-lagerten Platte und die resultierende Schnittgröße Ngr,min nach DIN 18800 T3

Für dreiseitig gelagerte Platten sind betragsmäßig größere Druckkräfte als Ngr,min möglich. Dieses Phänomen wird später in Zusammenhang mit der N−M−Interaktion diskutiert.

4.3.3 Grenzbiegemoment Mgr

Allseitig gelagerte Platte Tragbeulspannungen ermöglichen auf einfachste Art und Weise Grenzbiegemomente mit Beuleinfluss zu berechnen. Für ein Randspannungsverhältnis ψ = -1 kann aus Gleichung (4.4) und der mit dem Faktor c modifizierten Winterkurve eine Berech-nungsformel für Mgr hergeleitet werden, Gleichung (4.14).

Grenzbiegemoment aus Tragbeulspannungen nach DIN 18800 T3:

⋅⋅

=

≤⋅

−⋅

= σσ

2y

d,y

2

el

k,y2

2

k,yel

gr

cmkNinf

f6btM

1fk

bt5,219.5

fk

bt21,172

MM

(4.14)

Bild 4.7 Grenzbiegemoment Mgr beulgefährdeter, allseitig gelagerter Platten nach DIN 18800 T3


Grenzbiegemoment aus wirksamen Breiten Verfahren Elastisch–Plastisch nach DIN 18800 T2:

1bt

f52,362

MM

k,ypl

gr ≤⋅=

d,y

2

pl f4btM ⋅⋅

=

2y cmkNinf

(4.15)

Bild 4.8 Grenzbiegemomente allseitig gelagerter Platten nach DIN 18800 T2 EL-PL

Klassische Verfahren, Tragbeulspannungen und die Methode der wirksamen Breiten Elastisch−Elastisch, orientieren sich an dem früher üblichen Spannungsnachweis. Die Tragfähigkeit einer beulgefährdeten Platte wird durch die elastische Grenztragfähig-keit ohne Beuleinfluss nach oben begrenzt. Moderne Bemessungsverfahren verwen-den Grenzschnittgrößen und Tragfähigkeiten die auch oberhalb der elastischen Grenztragfähigkeit liegen können. Im Vergleich zu klassischen Verfahren ist ausge-hend von Gleichung (4.11) und den Regelungen der DIN 18800 T2 eine Berechnung von Mgr mit wirksamen Breiten für das Verfahren Elastisch–Plastisch, Gleichung (4.15), oder nach [20] möglich. Einen Vergleich der unterschiedlichen Methoden zeigt Bild 4.9.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 25,0 50,0 75,0 100,0 125,0b/t

Mgr

/Mpl

DIN 18800 T2 EL-PL

[20]

DIN 18800 T3

M

Bild 4.9 Mgr allseitig gelenkig gelagerter Platten nach DIN 18800 T2 Elas-tisch−Plastisch, DIN 18800 T 3 und [20], Materialgüte S460


Tabelle 4.1 grenz (b/t) biegebeanspruchter, allseitig gelagerter Bleche

Werkstoff DIN 18800 T1 ψ= -1 Elastisch−Elastisch

DIN 18800 T1 α= 0,5 Elastisch−Plastisch

[20]

S 460 96,1 53,5 33,9 Auffällig ist der große Unterschied zwischen dem Beginn der Kurven nach DIN 18800 T2 Elastisch−Plastisch und [20]. Die genauen Werte zeigt Tabelle 4.1. Dieses Phänomen ist in einem gesonderten Forschungsvorhaben untersucht und in [100] veröffentlicht worden. Gegen die Verwendung der Grenzwerte grenz (b/t) nach DIN 18800 T1 bestehen demnach, gestützt auf experimentelle Untersuchungen, keinerlei Bedenken. Ebenso können zu dieser Fragestellung [22] und [116] herangezogen werden, so dass im weiteren Verlauf auf die Regelungen nach DIN 18800 T1 zurück-gegriffen wird. Der Sprung zwischen den Kurven nach DIN 18800 T2 und DIN 18800 T3 ist unbe-friedigend. Da gegen die Modifikation der Winterkurve mit dem Faktor c grundsätz-lich keine Bedenken bestehen, erscheint es sinnvoll bis zur Entwicklung einer einheit-lichen Kurve, den jeweils höheren Wert zu verwenden.

Dreiseitig gelagerte Platte, größte Druckbeanspruchung am freien Rand Die Biegetragfähigkeit Mgr dreiseitig gelagerter Platten mit der größeren Druckbean-spruchung am freien Rand kann auf der Basis von Tragbeulspannungen nach DIN 18800 T3 nach Gleichung (4.16) berechnet werden, Bild 4.10. Die Herleitung erfolgt aus Gleichung (4.4).

Grenzbiegemoment aus Trag-beulspannungen nach DIN 18800 T3

⋅⋅

=

≤

⋅⋅+

⋅⋅

=

σ

σ

2y

d,y

2

el

2

y

2

el

gr

cmkNinf

f6btM

1

btk8,679.9f

btk980.18

MM

(4.16)

Bild 4.10 Grenzbiegemoment dreiseitig gelagerter Platten nach DIN 18800 T3

Ebenso kann eine Ermittlung von Mgr aus wirksamen Breiten nach DIN 18800 T2 Elastisch–Plastisch nach Gleichung (4.17) erfolgen, Bild 4.11. Die Grundlage der Beziehung ist Gleichung (4.11).


Wirksame Breiten für das Verfah-ren Elastisch–Plastisch nach DIN 18800 T2, größte Druckbeanspru-chung am freien Rand:

2

ypl

gr

bt

f616.11

MM

⋅=

d,y

2

pl f6btM ⋅⋅

=

2y cmkNinf

(4.17)

Bild 4.11 Grenzbiegemomente dreiseitig gelagerter Platten nach DIN 18800 T2

Neue wirksame Breiten zur Bestimmung von Mgr sind in [15] und [20] veröffentlicht worden. Der entscheidende Unterschied zu anderen Herleitungen ist die Anordnung einer wirksamen Breite am gedrückten, freien Rand. Aufgrund der unbekannten Randdehnung ist eine formelmäßige Angabe nicht möglich. Eine Auswertung der Gleichungen (4.5) und (4.6) bzw. Gleichung (4.10) und (4.11) mit einem Tabellenkal-kulationsprogramm ergibt für die Forderung 0N =∑ jedoch sehr schnell das gesuchte Randdehnungsverhältnis ψε.

Wirksame Breiten nach [15]: Auswertung von Gleichung (4.5) und (4.6) erforderlich: εD = - εy

εψ⇒=∑ 0N

(4.18)

Wirksame Breiten nach [20]: Auswertung von Gleichung (4.10) und (4.11) erforderlich: εD= - 4 εy

10für1

01für1

1

≤ψ≤=α

<ψ≤−ψ−

=α

ε

εε

εψ⇒=∑ 0N

(4.19)

Bild 4.12 Grenzbiegemomente dreiseitig gelagerter Platten nach [15] und [20]


Bild 4.13 Mgr nach DIN 18800 T2 Elastisch−Plastisch, DIN 18800 T 3, Eurocode 3, [15] und [20], Materialgüte S460, Druck am freien Rand

Einen Vergleich der Verfahren für die Materialgüte S460 zeigt Bild 4.13. Auffällig ist erneut der große Unterschied zwischen dem Beginn der Kurven nach DIN 18800 T2 Elastisch−Plastisch und [20]. Die genauen Grenzwerte zeigt Tabelle 4.2. Ebenso ist es sehr überraschend, dass die Grenzwerte b/t nach DIN 18800 T1 Elastisch−Elastisch für ψ=−1 geringere Werte ergeben als die Grenzwerte b/t nach DIN 18800 T1 Elastisch–Plastisch für α= 0,5. Tabelle 4.2 grenz (b/t) biegebeanspruchter, dreiseitig gelagerter Bleche, Druckbeanspru-

chung am freien Rand



[20]

S 460 13,1 15,9 6,4 Bei der Überprüfung der Grenzwerte b/t in [100] sind keine Untersuchungen für α = 0,5 durchgeführt worden. Eine Aussage über die Richtigkeit der Lösungen ist somit abschließend nicht möglich. In diesem Fall erscheint es sinnvoller auf konservativere Lösungen zurückzugreifen, d.h. entweder auf die Ausnutzung von Tragfähigkeiten zwischen der elastischen und plastischen Grenztragfähigkeit zu verzichten oder Lösungen nach [20] anzuwenden.


DIN 18800 T1 kσ = 0,85 DIN 18800 T3 kσ = 0,425

Bild 4.14 Widerspruch zwischen DIN 18800 T1 und DIN 18800 T3

Eine weitere Auffälligkeit ist der Widerspruch zwischen dem Grenzwert b/t nach DIN 18800 T1 Elastisch–Elastisch und der rechnerischen Tragfähigkeit nach DIN 18800 T3, Bild 4.14. Während nach DIN 18800 T3 der Beulwert dreiseitig gelagerter Platten in jedem Fall nur für ψ = 1 zu berechnen ist, fehlt diese Einschränkung in der DIN 18800 T1. Bild 4.13 zeigt zusätzlich zur vorschriftsmäßigen Kurve kσ (ψ = 1) = 0,425 eine Kurve für kσ (ψ = - 1) = 0,85. Es ist sehr gut zu erkennen, dass die Kurve für kσ = 0,85 im Bereich der Lösung nach [15] liegt. Da Lösungen nach [15] und [20] auf der sicheren Seite liegen, ist die Vorgabe kσ = 0,425 für alle Randspannungsverhältnisse unnötig. Beulwerte können auch für die Beulkurve nach DIN 18800 T3 Tabelle 1 Zeile 4 mit dem rechnerischen Randspannungsverhältnis ψ berechnet werden.

Dreiseitig gelagerte Platte, Druckbeanspruchung am gelagerten Rand Biegebeanspruchte, dreiseitig gelagerte Platten mit der größten Druckbeanspruchung am gelagerten Rand sind für die hier untersuchten Schlankheiten nicht beulgefährdet. Grenzwerte b/t für diesen Fall zeigt Tabelle 4.3. Tabelle 4.3 grenz (b/t) biegebeanspruchter, dreiseitig gelagerter Bleche, Druckbeanspru-

chung am gelagerten Rand



[20]

Druck am gelagerten Rand S 460 69,4 22,5 33,9 Überraschend niedrig sind die Grenzwerte b/t nach DIN 18800 T1 Elastisch–Plastisch. Da das Tragverhalten einer dreiseitig gelagerten Platte unter reiner Biege-beanspruchung und einer Druckbeanspruchung am gelagerten Rand eher dem Trag-verhalten einer allseitig gelagerten Platte ähnelt, Beulwert kσ (ψ =−1) = 23,8, befindet man sich hier, im Gegensatz zur Druckbeanspruchung am freien Rand, offensichtlich unnötig deutlich auf der sicheren Seite. Eine abschließende Beurteilung zur Tragfä-higkeit dreiseitig gelagerter Platten mit der größeren Druckbeanspruchung am gelagerten Rand erfolgt nach einer Diskussion der N–M–Interaktion.


4.3.4 Gemeinsame Wirkung von N und M

Im folgenden Abschnitt wird die N–M−Interaktion beulgefährdeter, allseitig und dreiseitig gelagerter Platten diskutiert. Aufgrund der unterschiedlichen Berechnungs-konzepte ist eine Unterscheidung für den Bereich unterhalb der elastischen Grenztrag-fähigkeit und für den Bereich zwischen der elastischen und plastischen Grenztragfä-higkeit notwendig. Allseitig gelagerte Platte Die Grenzschnittgrößenermittlung Ngr,min und Mgr hat für allseitig gelagerte Platten gezeigt, dass die Regelungen der DIN 18800 T2 Elastisch – Plastisch und der DIN 18800 T3 Tragbeulspannungen zur Zeit die einfachsten und besten Lösungen sind. N–M−Interaktionskurven mit Beuleinfluss der beiden Lösungen zeigt Bild 4.15. Unterhalb der Geraden der elastischen Grenztragfähigkeit sind die Kurven nach Gleichung (4.3) und (4.4), DIN 18800 T3 Tragbeulspannungen, und im Bereich zwischen der elastischen und plastischen Grenztragfähigkeit nach Gleichung (4.10) und (4.11), DIN 18800 T2 wirksame Breiten Elastisch–Plastisch ermittelt worden.

Bild 4.15 N−M−Interaktion allseitig gelagerter Platten, S460


Bild 4.16 Näherung für eine N–M–Interaktion allseitig gelagerter Platten, S460

Zwischen den Kurven gleicher Schlankheit ist an der Grenze zur elastischen Tragfä-higkeit ein deutlicher Versatz zwischen den einzelnen Methoden zu erkennen. Dies ist kein befriedigendes Ergebnis. Für die Zukunft wäre eine durch Versuche abgesicherte, durchgängige N–M–Interaktionskurve wünschenswert. Eine erste mögliche Näherung kann durch eine lineare Erweiterung zwischen der elastischen und der plastischen Tragfähigkeit erfolgen, Bild 4.16.

Dreiseitig gelagerte Platten Die Untersuchungen in den Kapiteln 4.3.2 und 4.3.3 haben gezeigt, dass die Regelun-gen der DIN 18800 T3, Tabelle 1, Zeile 4 in Abhängigkeit von einem Randspan-nungsverhältnis 1 ≤ ψ ≤ -1 zweifelsfreie Resultate liefern. Ebenso ergeben [15] und [20] sichere Lösungen. Aus diesem Grund erfolgt eine Analyse der N–M–Interaktion weitgehend für diese Methoden. Eine erste vergleichende Darstellung zeigt Bild 4.17.


Bild 4.17 Vergleich DIN 18800 T3 und [20], größte Druckbeanspruchung am freien

Rand, Materialgüte S460

Bereits für die geringe Schlankheit b/t = 10 wird deutlich, dass die wirksamen Breiten nach [20] nur für eine überwiegende Biegebeanspruchung geringfügig höhere Tragfä-higkeiten als die Beulkurve nach DIN 18800 T3 ergeben. Ebenso ist nach [20] bereits für eine Schlankheit b/t = 8 eine Abminderung der Tragfähigkeit infolge Beuleinfluss notwendig. Dies steht im Widerspruch zu den nach [100] abgesicherten Grenzwerten b/t der DIN 18800 T1, grenz b/t (α = 1) = 7,95 (Elastisch–Plastisch). Die Festlegun-gen nach [20] sind offensichtlich sehr konservativ gewählt worden. Da ein Vergleich von [20] und der Beulkurve nach DIN 18800 T3 kaum nennenswert neue Erkenntnisse ergeben hat, wird ergänzend ein Vergleich mit den Regelungen im Eurocode 3 und [15] durchgeführt, Bild 4.18. Der Einmündungspunkt in die elastische Gerade beträgt nach DIN 18800 T3 7,0P =λ und nach Eurocode 3 und [15]

673,0P =λ .


Bild 4.18 Vergleich DIN 18800 T3, Eurocode 3 und [15], Materialgüte S460, größte

Druckbeanspruchung am freien Rand

Zwei Effekte sind erkennbar. Für Mgr/Mel > 0 ergeben DIN 18800 T3 und [15] vergleichbare und der EC 3 bereichsweise niedrigere Ergebnisse. Eine Steigerung der Druckbeanspruchung bei gleichzeitiger Beachtung der bereits diskutierten Span-nungsumlagerung zum gelagerten Rand wird nur durch den EC 3 und [15] berücksich-tigt. Es ist gut zu sehen, dass die aufnehmbare Druckkraft in diesem Fall nur durch ein gleichzeitig wirkendes Biegemoment ansteigen kann. Für b/t = 13,15 (S460) beträgt der Unterschied zwischen der maximal aufnehmbaren Druckkraft zwischen [15] und DIN 18800 T3 bereits ca. 15 % mit steigender Tendenz bei höheren Schlankheiten. Eine Erweiterung von Bild 4.18 zeigt für den Fall einer größeren Druckbeanspru-chung am gelagerten Rand Bild 4.19. Durch einen höheren Beulwert wird das Niveau

7,0P =λ oder 673,0P =λ erheblich früher erreicht. Besonders interessant ist der Verlauf der Kurven nach EC 3 und [15]. Es stellt sich die Frage inwiefern die höheren Druckbeanspruchbarkeiten im Vergleich zur Kurve nach DIN 18800 T3 in einer Bemessung berücksichtigt werden dürfen. Exemplarisch wird für ψ = 1 das Berech-nungsergebnis nach EC 3 diskutiert. Die aufnehmbare Normalkraft ist Ngr/Nel = -0,79 und das zugehörige Biegemoment Mgr/Mel = - 0,5.


Bild 4.19 Vergleich DIN 18800 T3 mit Eurocode 3 und [15], Materialgüte S460

Wie bereits optisch zu erkennen ist, liegen die Schnittgrößen deutlich oberhalb der elastischen Grenztragfähigkeit. Für ein Einzelblech ist dies unbedeutend, da dem Anwender bereits vor einer Berechnung wirksamer Breiten die Überschreitung auffallen muss. Schwieriger ist der Fall bei zusammengesetzten Querschnitten. Eine Berechnung am Vollquerschnitt ergibt möglicherweise Spannungen unterhalb der Streckgrenze. Erst durch eine weitere Querschnittsreduktion kommt es zum Grenzfall. Für ein gurtbeulgefährdetes U–Profil verdeutlicht Tabelle 4.4 diesen Effekt. Als Beanspruchung wirken eine Druckkraft N und ein positives Biegemoment Mz, d.h. der gelagerte Rand der dreiseitig gelagerten Gurtplatte wird stärker auf Druck beansprucht als der freie Rand. Nach einer Querschnittsreduktion wirken die Biegebeanspruchung Mz und das Zusatzmoment infolge Schwerpunktverschiebung N ⋅ eNy entgegengesetzt. Schlimmstenfalls heben sich beide Anteile auf, so dass die Tragfähigkeit für ψ = 1 ermittelt wird.


Tabelle 4.4 Dreiseitig gelagerte Platte, größte Druckbeanspruchung am gelagerten Rand

Spannungsverteilung am Vollquerschnitt N < 0 und Mz > 0

Spannungsverteilung am eff. Querschnitt

effeff

Nyz

eff AN

weNM

AN

=⋅+

+

eNy = Verschiebung der y–Achse am wirksamen Querschnitts

Am effektiven Querschnitt des U–Profils wird bei diesem Nachweis die zulässige Spannung eingehalten. Die resultierenden Teilschnittgrößen der Gurte können jedoch deutlich oberhalb der elastischen Grenzschnittgrößen liegen. Die Definition wirksa-mer Breiten kann offensichtlich zu Fehlern auf der unsicheren Seite führen. Ebenso muss für hohe Schlankheiten auch bei der DIN 18800 T3 beachtet werden, dass der Betrag von min,grM,el NN ≥ sein kann. Dies resultiert aus der Entlastung des freien Rands durch eine positive Biegebeanspruchung. Eine Ausnutzung dieses Phänomens kann nur erfolgen, wenn die Schnittgrößen M und N in jedem Fall gleichzeitig wirken. Ein weiterer, bereits mehrfach angesprochener Fall ist die symmetrisch angeordnete dreiseitig gelagerte Platte z.B. als Gurt von I-Profilen. Für eine überwiegende Druck-beanspruchung kann es zu einem Beulen beider Platten kommen, so dass die Biegebe-anspruchung infolge Spannungsumlagerung sich gegenseitig aufhebt. Dieser Fall wird durch einen Vergleich von [15] und DIN 18800 T3 verdeutlicht, Bild 4.21. Anders als in den bisherigen Diagrammen ist die etwas günstigere Beulkurve nach DIN 18800 T3, Tabelle 1, Zeile 5, konstante Randverschiebung u, verwendet worden. Dabei ist die in der Norm vorgeschriebene Beschränkung, Beulwerte in jedem Fall mit ψ = 1 berechnen zu müssen, unberücksichtigt geblieben. Da die zulässige Beanspruchbarkeit nach [15] immer oberhalb der Beanspruchbarkeit nach DIN 18800 T3 liegt, kann diese Vernachlässigung als gerechtfertigt angesehen werden. Insgesamt ist der Unterschied zwischen beiden Verfahren jedoch abgesehen von dem Bereich einer überwiegenden Druckbeanspruchung gering.


Bild 4.20 Vergleich DIN 18800 T3 Zeile 5 mit [15], Materialgüte S460

Größere Abweichungen zwischen beiden Verfahren beginnen, wenn eine überwie-gende Druckbeanspruchung ein Beulen beider Platten hervorruft. Nach [15] wird offensichtlich eine wesentlich stärkere Spannungsumlagerung infolge Beulen berück-sichtigt als nach DIN 18800 T3. An der Größenordnung der Tragfähigkeiten nach [15] für überwiegende Druckbeanspruchung gibt es aufgrund einer Vielzahl von Versu-chen keinen Zweifel. Die Beulkurve nach DIN 18800 T3 ist offensichtlich nicht nur an Traglasten, sondern auch an Gebrauchstauglichkeitsanforderungen orientiert worden. Während für eine überwiegende Druckbeanspruchung nach [15] eine Tragfähigkeits-steigerung im Vergleich zur Beulkurve nach DIN 18800 T3 festgestellt werden kann, wird ergänzend eine überwiegende Biegebeanspruchung im Vergleich zu [20] untersucht. Für symmetrisch angeordnete, dreiseitig gelagerte Platten ist offensichtlich eine deutlich höhere Biegebeanspruchung möglich, Bild 4.21. Da sich in diesem Fall jedoch eine Spannungsumlagerung nur für eine Platte ergibt, stellt sich eine resultie-rende Zugkraft ein. Wirkt gleichzeitig eine äußere Druckkraft, sinken die Tragfähig-keiten nach [20] sehr schnell unter die Tragfähigkeiten nach DIN 18800 T3.


Bild 4.21 Vergleich DIN 18800 T3 Zeile 5 mit [20], Materialgüte S460

Wie diese kurze Diskussion gezeigt hat, ist zur Anwendung bekannter Verfahren erhebliche Sorgfalt notwendig. Dies gilt insbesondere für den Eurocode 3. Die kompletteste und sicherste Lösung über den gesamten Tragfähigkeitsbereich bietet für einzelne Platten eindeutig die DIN 18800 T3, wenn die Beulwerte für Randspan-nungsverhältnisse 1 ≤ ψ ≤ -1 berechnet werden. Nennenswerte Tragfähigkeitssteige-rungen gegenüber dieser Beulkurve sind nur in Einzelfällen möglich. Dies erfordert jedoch einen sehr hohen Kenntnisstand der Beulproblematik, d.h. diese Bereiche sollten dem Fachmann vorbehalten bleiben, der die Anwendbarkeit im Einzelfall genau prüfen kann. In diesem Sinne wird für allgemeine Lösungen nachfolgend auf die Beulkurve der DIN 18800 T3 zurückgegriffen. Ein Teilschnittgrößenverfahren ist jedoch unabhängig von einer Beulkurve anwendbar, so dass der versierte Anwender selbstverständlich auch Lösungen nach [15] und [20] problemlos ergänzen kann. Hierfür sind jedoch häufig sehr aufwändige und fehleranfällige Iterationen notwendig.


4.3.5 Berechnung elementarer Grenzschnittgrößen

Im folgenden Abschnitt werden Gleichungen zur Berechnung der elementaren Grenzschnittgrößen

• Npl,M und Mpl,N, Grenzschnittgrößen Nachweisverfahren Elastisch–Plastisch • Nel,M und Mel,N, Grenzschnittgrößen Nachweisverfahren Elastisch–Elastisch • Ngr und Mgr, Grenzschnittgrößen mit Beuleinfluss,

hergeleitet und tabellarisch zusammengefasst. Zur Auswirkung der Ausrundungsra-dien von Walzprofilen erfolgt für Stege und für Gurte von U–Profilen eine gesonderte Untersuchung. Die Grenzschnittgrößen Npl,M und Mpl,N sind abhängig von der Lage der plastischen Nulllinie α. Mit der Bedingung b/t = grenz (b/t) wird α mit den Grenzwerten b/t nach DIN 18800 T1 Verfahren Elastisch–Plastisch berechnet, Tabelle 4.5. Tabelle 4.5 Npl,M und Mpl,N für den Fall b/t = grenz (b/t) Elastisch–Plastisch

)1(4M

M),21(

NN

pl

N,pl

pl

M,pl α−α=α−= mit d,y

2

pld,ypl f4btM,ftbN ⋅

=⋅⋅= ,

2y cmkNinf


1f2437

tb

k,y=α=>⋅≤

k,yk,y f24

bt37

f2437

tb

⋅⋅=α=>⋅>

max. Druck am freien Rand:

1f2411

tb

k,y=α=>⋅≤

k,yk,y f24

bt11

f2411

tb

⋅⋅=α=>⋅>


max. Druck am gelagerten Rand:

1f2411

tb

k,y=α=>⋅≤

3y

2

k,y f24

bt11

f2411

tb

⋅

⋅=α=>⋅>

Dreiseitig gelagerte Platte, symmetrisch

1f2411

tb

k,y

G =α=>⋅≤

ZugkrafteineistNf2411

tb

M,plk,y

G =>⋅>


Die Grenzschnittgrößen Nel,M und Mel,N sind abhängig von dem Randspannungsver-hältnis Ψ. Grenzwerte b/t nach DIN 18800 T1 berücksichtigen keine eingespannten Einzelbleche. Aus diesem Grund erfolgt die Herleitung direkt aus den Beulkurven nach DIN 18800 T3 mit der Bedingung κ = 1, Gleichung (4.20).

λ

−λ

⋅==κpp

22,01c1 mit c=1,25−0,25⋅Ψ≤1,25 und tb

980.18kf k,y

p ⋅⋅

=λσ

(4.20)

Einsetzen von c und pλ und auflösen nach b/t ergibt Gleichung (4.21).

k,yf980.18k)c22,0c25,02/c()t/b(grenz ⋅

⋅⋅−⋅+= σ (4.21)

Die zugehörigen Beulwerte kσ sind in Tabelle 4.6 zusammengefasst. Tabelle 4.6 Beulwerte kσ allseitig gelagerter Platten

Gelenkig gelagert: Eingespannte Längsränder:

0 ≤ Ψ ≤ 1 05,12,8k

+ψ=σ

05,13,14k

+ψ=σ

-1 ≤ Ψ ≤ 0 278,929,681,7k ψ⋅+ψ⋅−=σ 20,140,1256,13k ψ⋅+ψ⋅−=σ Einsetzen von kσ nach Tabelle 4.6 in die Gleichung (4.21) ergibt eine nach Ψ nicht auflösbare Formel. Aus diesem Grund ist die Entwicklung ausreichend genauer Näherungslösungen erforderlich. In Tabelle 4.7 und Tabelle 4.8 erfolgt eine grafische Auswertung von Gleichung (4.21) für fy,k = 24 kN/cm2. Gleichzeitig sind am Verlauf der Kurven entwickelte Näherungslösungen eingezeichnet. Die Übereinstimmung der Kurven ist nahezu exakt. Nur im Bereich zwischen 0 ≤ ψ ≤ 0,05 sind geringe Abwei-chungen feststellbar. Eine Zusammenfassung der Näherungslösungen erfolgt in Tabelle 4.9. Tabelle 4.7 Näherungslösungen zur Berechnung von Ψ (grenz b/t) allseitig gelenkig

gelagerter Platten

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 15 30 45 60 75 90grenz (b/t)

3013,6)t/bln(4581,1 +⋅−=ψ

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

60 75 90 105 120 135grenz (b/t)

5485,7)t/bln(7482,1 +⋅−=ψ


Tabelle 4.8 Näherungslösungen zur Berechnung von Ψ (grenz b/t) allseitig gelagerter Platten mit eingespannten Längsrändern

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

30 45 60 75 90 105grenz (b/t)

7107,6)t/bln(4581,1 +⋅−=ψ

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

80 100 120 140 160 180grenz (b/t)

405,8)t/bln(8285,1 +⋅−=ψ

Tabelle 4.9 Nel,M und Mel,N allseitig gelagerter Platten für den Fall b/t = grenz(b/t) Elas-

tisch–Elastisch

)1(21

MM

),1(21

NN

el

N,el

el

M,el ψ−=ψ+−= , mit d,y

2

eld,yel f6btM,ftbN ⋅⋅

=⋅⋅= ,

2y cmkNinf

1f248,37

tb

k,y=ψ=>⋅≤

k,yk,y f248,75

tb

f248,37 <<⋅

3013,624f

tbln4581,1 k,y +

⋅⋅−=ψ

k,yk,y f24133

tb

f248,75 ≤≤⋅

5485,724f

tbln7482,1 k,y +

⋅⋅−=ψ

1f2450

tb

k,y=ψ=>⋅≤

k,yk,y f24100

tb

f2450 <<⋅

7107,624f

tbln4581,1 k,y +

⋅⋅−=ψ

k,yk,y f24170

tb

f24100 ≤≤⋅

405,824f

tbln8285,1 k,y +

⋅⋅−=ψ


Tabelle 4.10 Nel,M und Mel,N dreiseitig gelagerter Platten, b/t = grenz(b/t) Elastisch–Elastisch

)1(21

MM

),1(21

NN

el

N,el

el

M,el ψ−=ψ+−= , mit d,y

2

eld,yel f6btM,ftbN ⋅

=⋅⋅= ,

2y cmkNinf


1f249,12

tb

k,y=ψ=>⋅≤

k,yk,y f242,18

tb

f249,12 ⋅≤<⋅

k,y

23 f

tb10534,1893,55,1 ⋅

⋅⋅+−−=ψ −


1f243,22

tb

k,y=ψ=>⋅≤

k,yk,y f248,28

tb

f243,22 ⋅≤<⋅

k,y

23 f

tb10534,1995,13071,3 ⋅

⋅⋅+−−=ψ −


1f249,12

tb

k,y=ψ=>⋅≤

k,yk,y f247,25

tb

f249,12 ⋅≤<⋅

2

k,y bt

f5384340,0

+−=ψ

k,yk,y f241,96

tb

f247,25 ⋅≤<⋅

k,y

26 f

tb103,6078,0146,0 ⋅

⋅⋅+−−=ψ −


1f243,22

tb

k,y=ψ=>⋅≤

k,yk,y f248,47

tb

f243,22 ⋅≤<⋅

2

k,y bt

f242.15278,0

⋅+−=ψ

k,yk,y f24124

tb

f248,47 ⋅≤<⋅

k,y

26 f

tb10365,7028,0658,0 ⋅

⋅⋅+−=ψ −

1f249,12

tb

k,y

G =ψ=>⋅≤

k,y

G

k,y f242,18

tb

f249,12 ⋅≤<⋅

⋅−−=ψ

2

Gk,yG bt

f5384340,1

bb1

1f243,22

tb

k,y

G =ψ=>⋅≤

k,y

G

k,y f248,28

tb

f243,22 ⋅≤<⋅

⋅−−=ψ

2

Gk,yG bt

f15242278,1

bb1


Die Herleitung zur Berechnung von Nel,M und Mel,N dreiseitig gelagerter Platten erfolgt analog zur allseitig gelagerten Platte. Die Grundgleichung ist:

p/7,01 λ==κ mit t/b)18980k/(f k,yp ⋅⋅=λ σ (4.22) Einsetzen der Beulwerte kσ nach Tabelle 4.11 ergibt die gesuchten Lösungen, Tabelle 4.10. Tabelle 4.11 Beulwerte kσ dreiseitig gelagerter Platten

Gelenkig gelagert: Eingespannte Längsränder: maximale Druckbeanspruchung am freien Rand -1 ≤ Ψ ≤ 1 207,021,057,0 ψ⋅+ψ⋅− 207,043,064,1 ψ⋅+ψ⋅− maximale Druckbeanspruchung am gelagerten Rand 1 ≤ Ψ ≤ 0 )34,0/(578,0 +ψ )6,31/(9,5 ψ⋅+ 0 < Ψ ≤ -10 21,1757,1 ψ⋅+ψ⋅− 26,142,199,5 ψ⋅+ψ⋅− Zur Vervollständigung der elementaren Grenzschnittgrößen werden nachfolgend Beziehungen zur Berechnung von Ngr und Mgr mit Beuleinfluss hergeleitet. Der typische Verlauf der Interaktionskurve ist in Bild 4.22 dargestellt. Grundlage sind die im vorhergehenden Abschnitt hergeleiteten Grundbedingungen:

κ⋅ψ+⋅−= )1(21

NN

el

gr (4.23)

κ⋅ψ−⋅= )1(21

MM

el

gr (4.24)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00Ngr/Npl

max

Mgr

/Mel

LineareNäherung

Abweichung

1,grMN,elM0,grM −=ψ≤<=ψ0,grMN,elM =ψ≤

Bild 4.22 Lineare Näherung zur Berechnung von Ngr und Mgr mit Beuleinfluss allseitig

gelagerter Platten


Prinzipiell erfolgt eine Unterscheidung in drei Bereiche. Für Mel,N ≤ Mgr,Ψ=0 ist die Kurve mit Beuleinfluss in etwa eine Gerade. Ist Mgr,Ψ=0 < Mel,N ≤ Mgr,Ψ=-1 ergeben sich zwei näherungsweise lineare Abschnitte mit einem Knickpunkt an der Stelle ψ = 0 und einem Schnittpunkt mit der Geraden der elastischen Genztragfähigkeit. Für den Fall, dass el1,gr MM <−=ψ ist, bleibt der qualitative Verlauf erhalten, es gibt jedoch keinen Schnittpunkt mit der Geraden der elastischen Grenztragfähigkeit. Zur exakten Berechnung der N–M–Interaktionskurve müsste eine direkte Berechnung von ψ hergeleitet werden. Ausreichend genau ist bereits eine lineare Näherung. Zusammen-fassend zeigt Tabelle 4.12 die Berechnungsmethodik. Die N–M–Interaktionskurve beulgefährdeter, dreiseitig gelagerte Platten, Bild 4.23, weist keinen Knick auf. Der Verlauf ist über den gesamten Bereich nahezu linear. Aus diesem Grund vereinfacht sich die empfohlene Näherung zu einer Geradengleichung. Eine Zusammenfassung zeigt Tabelle 4.13. Tabelle 4.12 Ngr und Mgr beulgefährdeter, allseitig gelagerter Platten

κψ−=κψ+−= )1(21

MM

,)1(21

NN

el

gr

el

gr , mit d,y

2


=⋅⋅= ,

2y cmkNinf


25,125,025,1cmit

1bt

fk6,4175

bt

fk8,137c

2

k,yk,y

≤ψ⋅−=

≤

⋅⋅−⋅⋅⋅=κ σσ

Näherung inklusive Interpolation zwischen Nel,M und Npl,M

1,gr2,gr

1,gr1,gr2,gr1,grgr NN

NN)MM(MM

−

−⋅−+=

1,gr2,gr

1,gr1,gr2,gr1,grgr MM

MM)NN(NN

−

−⋅−+= (Bei der Einstufung N durch M ersetzen)

Einstufung Mgr,1 Ngr,1 Mgr,2 Ngr,2 N < Nel,M 0 Ngr,min Mel,N Nel,M Nel,M < Ngr,ψ=0 Nel,M ≤ N ≤ Npl,M Mel,N Nel,M Mpl,N Npl,M

N < Ngr,ψ=0 0 Ngr,min Mgr,ψ=0 Ngr,ψ=0 Ngr,ψ=0 ≤ N < Nel,M Mgr,ψ=0 Ngr,ψ=0 Mel,N Nel,M Nel,M ≤ N < Npl,M Mel,N Nel,M Mpl,N Npl,M Nel,M ≥ Ngr,ψ=0

N ≥ Npl,M und Npl,M > 0 Mgr = (−fy – N/Nel) ⋅ Mel Ngr = (−fy + M/Mel) ⋅ Nel

Rechenwerte: Mpl,N und Npl,M nach Tabelle 4.5, Mel,N und Nel,M nach Tabelle 4.9

)1(N

N

el

min,gr =ψκ= , )0(5,0N

N

el

0,gr =ψκ⋅−==ψ , )0(5,0M

M

el

0,gr =ψκ⋅==ψ

Beulwerte kσ ψ=1 ψ=0 ψ=-1 Gelenkige Lagerung 4 7,81 23,9 Eingespannte Längsränder 6,97 13,56 39,6


-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00Ngr/Nel

max

Mgr

/Mel

Abweichung

LineareNäherung

Bild 4.23 Lineare Näherung zur Berechnung von Ngr und Mgr mit Beuleinfluss dreiseitig gelagerter Platten

Tabelle 4.13 Ngr und Mgr beulgefährdeter, dreiseitig gelagerter Platten

κψ−=κψ+−= )1(21

MM

,)1(21

NN

el

gr

el

gr , mit d,y

2


=⋅⋅= ,

2y cmkNinf


1)b/t(k8,9679f

)b/t(k189802

k,y

2≤

⋅⋅+⋅⋅

=κσ

σ

Dreiseitig gelagerte Platte, symmetrisch

1bt

fk44,96

Gk,y≤⋅⋅=κ σ

Näherung dreiseitig gelagerte Platte Ngr,min < Nel,M Mgr,Ψ=-1 < Mel Mgr,1 = Mgr,Ψ=-1, 0N 1,gr =

Mgr,Ψ=-1 = Mel Mgr,1 = Mel,N, Ngr,1 = Nel,M

)NN(M/MNN min,gr1,gr1,grmin,grgr −⋅+= )NN/()NN(MM min,gr1,grmin,gr1,grgr −−⋅=

Rechenwerte:

Mel,N und Nel,M nach Tabelle 4.10, )1(N

N

el

min,gr =ψκ= , )1(M

M

el

1,gr −=ψκ=−=ψ ,

Beulwerte kσ max. Druck am freien Rand max. Druck am gel. Rand: ψ=1 ψ=-1 ψ=1 ψ=-1

Gelenkige Lagerung 0,425 0,85 0,425 23,9 Eingespannte Längsränder 1,28 2,14 1,28 39,6


4.4 Schubbeanspruchung

4.4.1 Allgemein

Rechteckige Platten können als Teilfläche dünnwandiger Stäbe durch Querkräfte V und primäre Torsionsmomente Mxp beansprucht werden. Die Tragfähigkeit ist abhängig von der konstruktiven Endauflagerausbildung. Aus diesem Grund wird zur Herleitung allgemeingültiger Beziehungen auf den Ansatz der in Kapitel 3 beschrie-benen Zugfeldwirkung verzichtet.

4.4.2 Grenzquerkraft Vgr

Grenzquerkräfte Vgr allseitig gelagerter Platten können bis zum Schnittpunkt mit der Euler−Hyperbel auf einfache Art und Weise aus der Beulkurve nach DIN 18800 T3 berechnet werden. Nach einer kurzen Umformung ergibt sich Gleichung (4.25).

≤=≤ τ

2yk,ypl

gr

k,y cmkNinf1

bt

fk3,152

VV

f6,498

tb (4.25)

≤

=> τ

2y

2

k,ypl

gr

k,y cmkNinf1

bt

fk3,32874

VV

f6,498

tb (4.26)

Der Schnittpunkt mit der Euler−Hyperbel wird durch yf6,498t/b = gekennzeich-net. Grenzquerkräfte von Blechen mit größeren Schlankheiten für die keine zweifels-freie Zugfeldwirkung angesetzt werden darf, sollten unter Ansatz der Euler−Hyperbel als Beulkurve nach Gleichung (4.26) berechnet werden. Für dreiseitig gelagerte Platten unter Schubbeanspruchung wird unter Hinweis auf die vereinfachenden Annahmen im Kapitel 3 davon ausgegangen, dass für Schlankheiten b/t < 15 keine Schubbeulgefahr vorhanden ist.

4.4.3 Primäres Torsionsmoment Mxp

Dünnwandige, rechteckige Querschnitte sind nicht wölbfrei. Das Wölbbimoment Mω und das sekundäre Torsionsmoment Mxs sind jedoch unbedeutend. Zum besseren Verständnis wird ein gabelgelagerter Einfeldträger betrachtet. Der Querschnitt ist rechteckig und als Einwirkung greift ein Einzeltorsionsmoment MLx in Feldmitte an. Bild 4.24 zeigt das statische System und den zugehörigen Schnittgrößenverlauf. Die Berechnung ist mit dem am Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau entwickelten Programm KSTAB 2002 [63] durchgeführt worden.

4.4 Schubbeanspruchung 83

MLx = 10.000 kNcm

-60-40-20

0204060

0,0 0,5 1,0

x/l

Mxp Mxs

050

100150200

0,00 0,50 1,00x/l

Bild 4.24 Gabelgelagerter Einfeldträger mit einem Einzeltorsionsmoment MLx

Abgesehen von geringen Störungen im Lasteinleitungsbereich ergibt die Berechnung ein reines primäres Torsionsmoment Mxp. Auch eine Untersuchung mit dem Pro-grammsystem Abaqus und einer Diskretisierung mit Schalenelementen ergibt in keinem Stabbereich eine nennenswerte Druckbeanspruchung. Für einen dünnwandi-gen Rechteckquerschnitt unter reiner Torsionsbeanspruchung Mxp wird somit sowohl global wie auch lokal eine Stabilitätsgefahr ausgeschlossen. Die Tragfähigkeit ist identisch mit der Querschnittstragfähigkeit. 4.4.4 Gemeinsame Wirkung von V und Mxp

Unter Berücksichtigung der Erkenntnisse aus den vorangehenden Kapiteln wird im Folgenden eine Interaktion zwischen der Querkraft V und dem primären Torsions-moment Mxp diskutiert. Dreiseitig gelagerte Platte Aufgrund der vereinfachenden Annahmen vorangehender Kapitel kann für dreiseitig gelagerte Platten mit Schlankheiten b/t < 15 eine Schubbeulgefahr ausgeschlossen werden. In diesem Fall kann eine Interaktion zwischen V und Mxp nach dem von Kindmann/Frickel entwickelten Hohlkastenmodell erfolgen. Detaillierte Herleitungen sind in [50], [51] und [52] zu finden.


Aus den grundlegenden Beziehungen ergeben sich nach [50] Gleichung (4.27) und Gleichung (4.28).

1MM

VV

xp,pl

xp2

pl≤+

(4.27)

2

pl

2

xp,pl

xp

xp,pl

xp

R VV

M2M

M2|M|

+

⋅+

⋅=

ττ (4.28)

Mit: )tb2(b41M 2

Rxp,pl −⋅⋅⋅τ⋅= , tbV Rpl ⋅⋅τ= und 3

fyR =τ

Allseitig gelagerte Platte Eine Schubbeulgefahr allseitig gelagerter Platten ist abhängig von der Querkraft V. Wird die Grenzquerkraft Vgr erreicht, ist eine weitere Lastaufnahme nicht mehr möglich. Andererseits kann bei einer reinen Torsionsbeanspruchung die Querschnitts-tragfähigkeit Mxp,pl erreicht werden. Eine Interaktionsbeziehung zwischen V und Mxp schubbeulgefährdeter Bleche ist nicht bekannt. Eine lineare Beziehung nach Glei-chung (4.29) sollte jedoch in jedem Fall auf der sicheren Seite liegen.

1MM

VV

xp,pl

xp

gr≤+ (4.29)

4.5 Gleichzeitige Wirkung aller Schnittgrößen

Interaktionsbeziehungen zwischen Druck- und Schubbeanspruchungen beulgefährde-ter Bleche sind kompliziert und verschachtelt. Da in dieser Arbeit der Schwerpunkt auf einer schnittgrößenorientierten Berechnungsmethodik liegt, wird an dieser Stelle die Verwendung der einfachen und auf der sicheren Seite liegenden Dunker-ly−Linearisierung empfohlen, Gleichung (4.30).

1SS ≤+ τσ (4.30) Eine schrittweise Vorgehensweise zur Nachweisführung zeigt Tabelle 4.14.

4.5 Gleichzeitige Wirkung aller Schnittgrößen 85

Tabelle 4.14 Grenztragfähigkeit beulgefährdeter Platten für N, M, V und Mxp

Schritt Nachweis

==⋅⋅== 2yd,y

2

eld,y

2

pld,yelpl cmkNinf,f

6tbM,f

4tbM,ftbNN

1 1VV

gr≤

1bt

fk3,152

VV

f6,498

tb

k,ypl

gr

k,y≤=≤ τ

1bt

fk3,32874

VV

f6,498

tb 2

k,ypl

gr

k,y≤

=> τ

2 1S ≤τ xp,pl

xp2

plplgr M

MVVSVV +

=⇒= τ

1MM

VV

SVVxp,pl

xp

grplgr ≤+=⇒< τ

Allseitig gelagerte Platte: min,grN nach Tabelle 4.12

3 min,grNN ≤ Dreiseitig gelagerte Platte:

min,grN nach Tabelle 4.13

4 M ≤ Mgr

NN M,el ≤

grM nach Tabelle 4.12 oder Tabelle 4.13

M,plM,el NNN ≥> und 0N pl,gr ≤

)MM(NN

NNMM N,elN,pl

M,elM,pl

M,elN,elgr −⋅

−−

+=

Mpl,N und Npl,M nach Tabelle 4.5 Mel,N und Nel,M nach Tabelle 4.9 oder Tabelle 4.10

5 τ−≤ S1MM

gr

5 Zur Beulgefahr hochfester Walzprofile

5.1 Allgemeines

Einen Überblick zur Beulgefahr hochfester Walzprofile zeigt Tabelle 1.1 in Kapitel 1. Der Untersuchung hat die in Normen, [1] und [7], und Richtlinien, [4], [5] und [6], übliche Annahme gelenkig gelagerter Einzelbleche zu Grunde gelegen. Im Folgenden wird gezeigt, dass durch die Berücksichtigung der hohen Torsionssteifigkeit der Ausrundungsradien eine wesentlich geringere Anzahl an Walzprofilen beulgefährdet ist. Hierzu erfolgen Berechnungen mit dem Programmsystem Abaqus an zusammen-gesetzten Querschnitten und vergleichende Untersuchungen mit dem Programm RUB–Beulen an Einzelblechen mit Randaussteifungen.

5.2 Einfluss der Ausrundungsradien

Beulwerte allseitig und dreiseitig gelagerter Platten sind abhängig von der Geometrie, Randlagerung und Beanspruchungsart. Die wesentlichen Zusammenhänge sind in Kapitel 2 verdeutlicht worden. Für zusammengesetzte Profile wird in der Berechnung vereinfachend von einer gelenkigen Lagerung der Einzelteile ausgegangen. Bild 5.1 und Bild 5.2 zeigen beispielhaft ideale Beulspannungsberechnungen mit dem Pro-grammsystem Abaqus [29] für ein druckbeanspruchtes I–Profil mit gelenkig gelager-ten Einzelblechen. Zur Simulation einer gelenkigen Lagerung sind zwischen den Schalenelementen der Einzelbleche Volumenelemente in Form eines Ausrundungsra-dius diskretisiert worden. Die Volumenelemente sind mit den Schalenelementen in den Verschiebungsfreiheitsgraden fest verbunden, während die Rotationsfreiheitsgra-de frei bleiben. In Bild 5.1 sind die Querschnittsabmessungen so gewählt worden, dass die ideale Beulspannung für den Steg geringer als die ideale Beulspannung der Gurte ist. Bild 5.2 zeigt den umgekehrten Fall. Die Beanspruchung ist mit 1 kN/cm2 vorgegeben, so dass der 1. Eigenwert der idealen Beulspannung entspricht. Die Eigenformen entsprechen exakt den Erwartungen. Für den Steg entsteht eine mehr-wellige Beulfigur und die Gurte beulen einwellig. Die ideale Beulspannung für den Steg, σPi = 7,69 kN/cm2, und für die Gurte, σPi = 13,10 kN/cm2, stimmen sehr gut mit den theoretischen Werten allseitig gelenkig gelagerter Platten, σPi = 7,59 kN/cm2, und dreiseitig gelenkig gelagerter Platten, σPi = 13,04 kN/cm2, überein.

5.2 Einfluss der Ausrundungsradien 87

Bild 5.1 Eigenform und Eigenwert für ein druckbeanspruchtes I–Profil mit „gelenkig“ gelagerten Einzelblechen, σPi,Steg < σPi,Gurt, L=4,0 m

Bild 5.2 Eigenform und Eigenwert für ein druckbeanspruchtes I–Profil mit „gelenkig“

gelagerten Einzelblechen, σPi,Steg > σPi,Gurt, L=4,0 m

5 Zur Beulgefahr hochfester Walzprofile 88

Bild 5.3 Eigenform und Eigenwert für ein druckbeanspruchtes, monolithisches I–Profil,

σPi,Steg < σPi,Gurt, L = 4,0 m

Im Vergleich zur gelenkigen Lagerung der Einzelbleche zeigt Bild 5.3 den ersten Eigenwert und die zugehörige Eigenform für ein monolithisches I–Profil unter konstanter Druckbeanspruchung. Die Schlankheiten der Einzelbleche sind überein-stimmend nach Bild 5.1 gewählt worden. Im Vergleich zur gelenkigen Lagerung wächst die ideale Beulspannung von σPi = 7,69 kN/cm2 auf σPi = 9,14 kN/cm2 an. Dies ist damit zu erklären, dass der beulgefährdete Steg in die Gurte elastisch einge-spannt wird. Der Grad der Einspannung und die daraus resultierende Verdrehung der Gurte sind im Wesentlichen abhängig von der Torsionssteifigkeit der Gurte. Im Plattenprogramm RUB–Beulen können Steifen unter Berücksichtigung der jeweiligen Torsionssteifigkeit IT eingegeben werden. Durch eine Idealisierung der Gurte als Randsteifen kann die ideale Beulspannung für das Profil aus Bild 5.3 prinzipiell auch mit dem Programm RUB–Beulen berechnet werden. Das Ergebnis lautet σPi = 10,70 kN/cm2. Im Vergleich zu Abaqus, σPi = 9,14 kN/cm2, ist die ideale Beulspannung um ca. 17 % größer. Weitere Untersuchungen zeigen, dass die Abweichungen für größere Torsionsträgheitsmomente IT geringer werden. Beide Programme konvergieren gegen den Wert für eine Volleinspannung der Längsränder, σPi = 13,25 kN/cm2. Die Unter-schiede sind offensichtlich darauf zurückzuführen, dass die positiv wirkende Stegein-spannung gleichzeitig eine Zusatzbeanspruchung der Gurte hervorruft. Im Gegensatz zu Abaqus berücksichtigen Programme wie RUB–Beulen, die „Steifen“ als Stabele-mente diskretisieren, diesen Effekt nicht. Andererseits kann mit RUB–Beulen eine Optimierung der Steifen / Gurtabmessungen vorgenommen werden, so dass für den Steg eine Volleinspannung der Längsränder angesetzt werden darf. In diesem Fall ist RUB–Beulen zur Berechnung völlig ausreichend und aufgrund seiner einfachen Handhabung anderen Programmen vorzuziehen.


Tabelle 5.1 Torsionsträgheitsmoment IT für Walzprofile unter Berücksichtigung der Ausrundungsradien

I–Profile: 43

sgg3

gT D2t)t2h(31

bt

63,01tb312I ⋅α+−+

−⋅=

)tr2(4trt)rt(

Ds

ss

2g

+

+++

=

g

s

g tt145,0

tr1,0

+=α

UPE– und UAP–Profile: 4

g

3sg3

gT D2)t2h(3t

bt

315,01tb32I ⋅α+−+

−⋅=

rt16rt16tt8r32r6t2t2D gsgs2

gs +++⋅−++=

g

s

g tt07,0

tr075,0

+=α

Ausrundungsradien von Walzprofilen ergeben einen nennenswerten zusätzlichen Anteil zum Torsionsträgheitsmoment IT. Die Vorgehensweise bei der Berechnung zeigt Tabelle 5.1. Weitere Erläuterungen können [123] entnommen werden. Untersuchungen mit dem Programmsystem Abaqus, den Ausrundungsradius von Walzprofilen mit Volumenelementen zu diskretisieren, ergaben aufgrund der Proble-matik eine biegesteife Verbindung zwischen Volumen- und Schalenelementen herzustellen, wenig brauchbare Ergebnisse. Aus diesem Grund erfolgt eine Idealisie-rung durch Schalenelemente. In einer ersten Untersuchung wird eine Stegverbreite-rung im Bereich der Ausrundungsradien angeordnet, Bild 5.4. Die Stegdicke tsA ergibt sich aus der Forderung, dass das Torsionsträgheitsmoment IT beider Querschnitte gleich sein muss.

)r2t(t61I g

3sA

sT ⋅+⋅⋅=

AT

sT II =

=> 3g

AT

sA r2tI6t

⋅+⋅=

mit ATI = Torsionsträgheitsmoment der

Ausrundungsradien Bild 5.4 Idealisierung der Ausrundungsradien von Walzprofilen durch eine Stegver-

stärkung


)r2t(t31I s

3gA

gT ⋅+⋅⋅=

AT

gT II =

=> 3s

AT

gA r2tI3t

⋅+⋅=

mit A

TI = Torsionsträgheitsmoment der Ausrundungsradien

Bild 5.5 Idealisierung der Ausrundungsradien von Walzprofilen durch eine Gurtverstär-kung

Ist die ideale Beulspannung σPi für den Gurt geringer als für den Steg, wird die Schlankheit der Gurte im Falle einer Idealisierung durch eine Stegverstärkung ungünstig hoch. In diesem Fall ist es sinnvoller eine Gurtverstärkung anzuordnen, Bild 5.5. Eine Vorgehensweise, die beide Fälle direkt erfasst, ist die Idealisierung durch einen dreieckigen Hohlkasten, Bild 5.6.

bH = 2⋅r + ts hH = r + tg/2

2H

2HH

H2

HH

i i

i2m

HT

h)2/b(2b

t)hb(ts/A4I

+⋅+

⋅⋅=

⋅= ∑

AT

HT II =

=> 2HH

2H

2HH

AT

H )hb(

h)2/b(2bIt

⋅

+⋅+⋅

=

mit A

TI = Torsionsträgheitsmoment der Ausrundungsradien

Bild 5.6 Idealisierung der Ausrundungsradien von Walzprofilen durch einen dreiecki-gen Hohlkasten aus Schalenelementen

Für das Beispiel aus Bild 5.1 ist anstelle des Volumenkörpers eine Stegverstärkung, Bild 5.7, und in einer zweiten Rechnung ein biegesteif verbundener Dreieckshohlkör-per aus Schalenelementen eingesetzt worden, Bild 5.8. Basis für die Idealisierung ist näherungsweise der Ausrundungsradius eines HEA 1000. Es wird deutlich, dass die ideale Beulspannung σPi = 12,38 kN/cm2 (Stegverstärkung) und σPi = 12,62 kN/cm2 (dreieckiger Hohlkastenkörper) aufgrund der großen Torsionssteifigkeit der idealen Beulspannung für eine Volleinspannung, σPi = 13,25 kN/cm2, rückt. Ebenso ist die Verformungsfigur der Gurte erheblich schwächer ausgebildet.


Bild 5.7 Eigenform und Eigenwert für ein konstant druckbeanspruchtes I–Profil,

Idealisierung der Ausrundungsradien durch eine Stegverstärkung, σPi,Steg < σPi,Gurt, L= 4,0 m

Bild 5.8 Eigenform und Eigenwert für ein konstant druckbeanspruchtes I–Profil,

Idealisierung der Ausrundungradien durch einen dreieckigen Hohlkasten, σPi,Steg < σPi,Gurt, L= 4,0 m


Eine Berechnung mit dem Programm RUB–Beulen unter Berücksichtigung der Torsionssteifigkeit der Gurte und Ausrundungsradien ergibt σPi = 12,68 kN/cm2. Im Vergleich zur Berechnung mit Abaqus, σPi = 12,38 bzw. 12,62 kN/cm2, ist der Unterschied gering. Dies ist auf den hohen Einspanngrad der Ausrundungsradien zurückzuführen. Die lokalen Gurtauslenkungen sind so gering, dass die ideale Beulspannung für das Gesamtprofil alleine durch den eingespannten Steg bestimmt wird. In diesem Fall ist eine Berechnung mit einem reinen Plattenprogramm voll-kommen ausreichend. Eine Zusammenfassung der Eigenwertberechnung zeigt Tabelle 5.2. Tabelle 5.2 Ideale Beulspannungen σPi für eine konstante Druckbeanspruchung σx

Gesamtprofil (Berechnung mit Abaqus) Einzelplatte (Berechnung mit RUB–Beulen) Beschreibung σPi [kN/cm2] Beschreibung σPi [kN/cm2]

Steg gelenkig h/t = 100/1 7,68 Allseitig gelenkig gelagert

h/t = 100/1 7,59

Gurt gelenkig (b/2)/t = 25/1 13,10 Dreiseitig gelenkig gelagert,

(b/2)/t = 25/1 13,04

Monolithisch Steg h/t = 100/1 Gurt (b/2)/t = 25/1 9,14

Querränder gelenkig, h/t = 100/1 2 Längsrandsteifen IT = 16,7 cm4

10,70

Monolithisch mit Ausrundungsradius als Stegverbreiterung Steg h/t = 100/1 Gurt (b/2)/t = 25/1

2t

r g+ /tsA= 4,55/3,78

12,38

Monolithisch mit Ausrundungsradius als Hohlkasten Steg h/t = 100/1 Gurt (b/2)/t = 25/1 bH/hH/tH = 7,6/4,5/1

12,62

Querränder gelenkig, h/t = 100/1 2 Längsrandsteifen IT = 79,9 cm4

Querränder gelenkig, h/t = 100/1 Längsränder eingespannt

12,68

13,25

Die Auswirkungen einer elastischen Längsrandeinspannung beulgefährdeter Gurte zeigen Bild 5.9 und Bild 5.10. Beispielhaft ist ein I–Profil mit Ausrundungsradius unter einer Biegebeanspruchung Mz untersucht worden. Eine Idealisierung erfolgt als Gurtverstärkung und durch einen dreieckigen Hohlkasten. An der Eigenform ist durch die erhöhte Beulwellenanzahl die einspannende Wirkung sofort erkennbar. Der Unterschied zwischen beiden Vorgehensweisen, σPi = 45,32 kN/cm2 (Gurtverstär-kung) und σPi = 46,47 kN/cm2 (dreieckiger Hohlkastenkörper) kann als gering bezeichnet werden.


Bild 5.9 Eigenform und Eigenwert für ein biegebeanspruchtes (Mz) I–Profil, Idealisie-rung der Ausrundungsradien durch eine Gurtverstärkung, L= 4,0 m

Bild 5.10 Eigenform und Eigenwert für ein biegebeanspruchtes (Mz) I–Profil, Idealisie-rung der Ausrundungradien durch einen dreieckigen Hohlkasten, L= 4,0 m


Zum Vergleich ist der druckbeanspruchte Gurtteil als Einzelplatte mit dem Programm RUB–Beulen untersucht worden. Die Querrandlagerung ist gelenkig und am Längs-rand wird eine Steife angeordnet. Die Querschnittswerte der Steife berechnen sich aus einem Ausrundungsradius und dem halben Steg. Das Randspannungsverhältnis ist durch den Ausrundungsradius nicht ψ = 0 sondern ψ = 0,125. Während am Gesamt-profil Abaqus σPi = 45,32 bzw. 46,47 kN/cm2 ermittelt, ist das Ergebnis mit RUB–Beulen σPi = 45,83 kN/cm2. Zum Vergleich beträgt die theoretische Lösung einer gelenkigen Längsrandlagerung σPi = 17,48 kN/cm2 und die einer eingespannten Längsrandlagerung σPi = 47,67 kN/cm2. Eine Berechnung ohne idealisierten Ausrun-dungsradius ergibt für ein monolithisches I-Profil mit Abaqus σPi = 41,48 kN/cm2 und für eine Einzelplatte mit RUB–Beulen σPi = 41,22 kN/cm2. Eine Zusammenfassung der Berechnungsergebnisse für eine Biegebeanspruchung Mz zeigt Tabelle 5.3. Tabelle 5.3 Ideale Beulspannungen σPi für eine Biegebeanspruchung Mz

Gesamtprofil (Berechnung mit Abaqus) Einzelplatte (Berechnung mit RUB–Beulen) Beschreibung σPi [kN/cm2] Beschreibung σPi [kN/cm2]

Dreiseitig gelenkig gelagert, (b/2)/t = 25/1, ψ = 0

17,48 Monolithisch Steg h/t = 100/1 Gurt (b/2)/t = 25/1 41,48 Querränder gelenkig, h/t = 100/1

1 Längsrandsteife IT = 16,7 cm4, ψ =0

41,22

Monolithisch mit Ausrundungsradius als Gurtverbreiterung Steg h/t = 100/1 Gurt (b/2)/t = 25/1

str2 +⋅ /tsA=7,65/2,92

45,32

Monolithisch mit Ausrundungsradius als Hohlkasten Steg h/t = 100/1 Gurt (b/2)/t = 25/1 bD/hD/tD = 7,6/4,5/1

46,47

Querränder gelenkig, 1 Längsrandsteife, IT = 79,9 cm4 (b/2)/t = 25/1, ψ = 0,125 Querränder gelenkig, Längsrand eingespannt, (b/2)/t = 25/1, ψ = 0,125

45,83

47,68

Untersuchungen monolithischer I–Profile mit dem Programmsystem Abaqus und einzelner Platten mit dem Programm RUB–Beulen zeigen, dass die rechnerische Annahme gelenkig gelagerter Ränder zur Berechnung idealer Beulspannungen erheblich unter den Werten elastisch eingespannter Querschnittsteile liegen. Insbe-sondere für Walzprofile erscheint es ratsam, die hohe Torsionssteifigkeit der Ausrun-dungsradien auszunutzen. Bei der Anwendung von Programmen für Einzelplatten ist zu beachten, dass die Interaktionen zwischen einspannenden und elastisch einge-spannten Elementen ideale Beulspannungen reduzieren. Eine sichere Anwendung ist somit nur bei einer annähernden Volleinspannung oder für Lastfälle bei denen keine nennenswerte Interaktion auftritt, z.B. Biegebeanspruchung Mz, möglich.

5.3 Auswirkungen einer Stegeinspannung auf die Gurte 95

5.3 Auswirkungen einer Stegeinspannung auf die Gurte

Wie die vorherigen Untersuchungen gezeigt haben, ist es bei der Bemessung von Walzprofilen mit schlanken Stegen ratsam, eine Stegeinspannung zu berücksichtigen. Für den einspannenden Gurt entsteht in diesem Fall für die Länge einer Beulwelle eine Torsionsbeanspruchung mT, Bild 5.11.

Bild 5.11 Torsionsbeanspruchung der Gurte durch eine Stegeinspannung

Der regelmäßige Wechsel von Beulental und Beulenberg ergibt eine abschnittsweise gegenläufige Beanspruchung, Bild 5.12. Die genaue Größe und der genaue Verlauf kann nur durch ein EDV–Programm ermittelt werden. Auf der sicheren Seite liegt die Annahme einer vollen Plastizierung über die Stegdicke. Eine Berechnung von mT und MT kann dann näherungsweise mit Gleichung (5-1) und (5-2) erfolgen.

y

2s

T f4tm ⋅= (5-1)

2lmM BW

TT ⋅= mit lBW = Länge einer Beulwelle (ψ = 1 => lBW = 0,65⋅ hs) (5-2)

Bild 5.12 Torsionsbeanspruchung in Trägerlängsrichtung für einen einspannenden Gurt


-30-20-10

0102030

0,0 0,5 1,0

x/l

Mxp Mxs

lBW lBW lBW lBW

Mxp,g

Bild 5.13 Näherungsweiser Verlauf einer Torsionsbeanspruchung für einen einspan-nenden Gurt

Die Beulwellenlänge lBW ist abhängig von dem Randspannungsverhältnis ψ und von der Plattengeometrie. Der ungünstigste Fall ist eine druckbeanspruchte Platte, ψ = 1. Mit eingespannten Längsrändern ist die Beulwellenlänge lBW ca. das 0,65 – fache der Plattenbreite. Unter Berücksichtigung vorhergehender Annahmen wird für den ungünstigsten Fall eine Vorgehensweise zur Berechnung und zum Nachweis einer Zusatzbeanspruchung für nicht beulgefährdete, einspannende Gurte hergeleitet, Tabelle 5.4. Die Berechung einer reduzierten Spannung red fy wird aus [50] über-nommen. Eine Darstellung erfolgt in Bild 5.14. Tabelle 5.4 Zusatzbeanspruchung nicht beulgefährdeter, einspannender Gurte

y

2s

T f4tm ⋅=

lBW = 0,65 ⋅ [h – 2 ⋅ (tg + r)]

yg

2sBW

Tg,xpT f160

)]rt(2h[t132

lmMM ⋅+⋅−⋅⋅

=⋅==

4/)tb2(t3

fM g

2g

yg,xp,pl −⋅⋅⋅= [50]

[ ])M4/(M1f)/(1ffred g,xp,plg,xpy

2Rgyy ⋅−⋅=ττ−⋅= [50]

)tb2(t160

)]rt(2h[t3131ffred

g2g

g2s

yy −⋅⋅⋅

+⋅−⋅⋅⋅−⋅= und in

Beispiel: Profil: HEA 1000 Geometrie: h = 990 mm, b = 300 mm, ts = 16,5 mm, tg = 31 mm, r = 30 mm

yy f97,0)1000HEA(fred ⋅= 25,0R<

ττ τ vernachlässigbar Bild 5.14

5.3 Auswirkungen einer Stegeinspannung auf die Gurte 97

Bild 5.14 Ermittlung einer reduzierten Streckgrenze red fy [50]

Mit den Beziehungen aus Tabelle 5.4 sind alle Walzprofile mit einem beulgefährdeten Steg, Tabelle 5.6, untersucht worden. Das Profil mit der größten Gurtbeanspruchung ist ein HEA 1000. Die Untersuchungen ergeben, dass selbst im ungünstigsten Fall eine Zusatzbeanspruchung infolge Stegeinspannung vernachlässigbar ist, HEA 1000 => red fy = 0,97 ⋅ fy. Dies gilt selbstverständlich nur, wenn nicht gleichzeitig eine weitere Schubbeanspruchung berücksichtigt werden muss. Zur Verifizierung der Erkenntnisse ist eine Berechnung mit dem Programmsystem Abaqus durchgeführt worden. Das statische System ist ein konstant auf Druck beanspruchter Einfeldträger mit l = 5⋅lBW und der Querschnitt ein HEA 1000. Die Berücksichtigung der Ausrun-dungsradien erfolgt mit dem Hohlkastenmodell und die Vorverformung wird affin zur 1. Eigenform mit einem Stich von wo = lBW/250 vorgegeben. Die Berechnung der idealen Beulspannung mit Abaqus für das Gesamtprofil, σPi = 45,06 kN/cm2, zeigt eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Programm RUB–Beulen, σPi = 45,64 kN/cm2. Der Verlauf der Torsionsbeanspruchung SM2 [kNcm/cm] für einen einspan-nenden Gurt ist im Verhältnis zur angenommenen Größe mT in Bild 5.15 dargestellt. Die getroffenen Annahmen liegen deutlich auf der sicheren Seite.

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

x/l

SM2/

mT

Annahmefür mT

Abaqus

Bild 5.15 Verlauf einer Torsionsbeanspruchung für einen einspannenden Gurt


Tabelle 5.5 Visualisierung der Einspannwirkung, HEA 1000, Materialgüte S460

σy – Spannungen Gesamtansicht

σy – Spannungen Seitenansicht

τ - Spannungen Draufsicht Obergurt Tabelle 5.5 zeigt eine Visualisierung der Abaqus Berechnungsergebnisse. An der Gesamtansicht und noch besser in der Seitenansicht ist die Stegeinspannung in die Gurte und die wechselnde Beanspruchung in Abhängigkeit von einem Beulenberg oder von einem Beulental sehr gut erkennbar. Die resultierende Schubbeanspruchung der Gurte wird durch eine Obergurtdraufsicht dargestellt. Im Bereich des Hohlkas-tenmodells sind die Beanspruchungen höher als außerhalb. Insgesamt zeigt sich jedoch, dass die Schubspannungen im Traglastzustand maximal 4 – 6 kN/cm2 betra-gen, so dass eine Vernachlässigung gerechtfertigt ist.

5.4 Auswertung 99

5.4 Auswertung

In den vorhergehenden Abschnitten konnte gezeigt werden, dass die hohe Torsions-steifigkeit der Ausrundungsradien die ideale Beulspannung von Walzprofilen durch eine einspannende Wirkung beulgefährdeter Profilteile positiv beeinflusst. Eine Untersuchung aller stegbeulgefährdeten Profile mit dem Programm RUB–Beulen belegt, das die maximale Abweichung zur idealen Beulspannung einer Volleinspan-nung 4,5 % beträgt. Ausnahmen sind die Profile HEAA 600 bis 1000 und UPE 300 – 400 mit einer Abweichung von 6 – 10 % zur Volleinspannung. Aufgrund der auf einfache Art und Weise nicht abschätzbaren Auswirkungen auf die Gurttragfähigkeit sollte für diese Profile auf den Ansatz einer Stegeinspannung verzichtet werden. Profile mit beulgefährdeten Gurten sind ebenfalls mit dem Programm RUB–Beulen und mit dem Programmsystem Abaqus unter Ansatz des Hohlkastenmodells unter-sucht worden. Anders als bei beulgefährdeten Stegen liegt der Einspanngrad nur bei ca. 70 – 90 %. Aufgrund der geringen Anzahl gurtbeulgefährdeter Profile und der in diesem Fall nicht zu vernachlässigenden Interaktion zwischen Gurt und Steg sollte auf den Ansatz einer Einspannung verzichtet werden. Die Berücksichtigung einer Stegeinspannung reduziert die Anzahl stegbeulgefährdeter Walzprofile. Nachfolgend sollen die Fragen beantwortet werden:

• Welche Walzprofile aus hochfestem Stahl sind nach Berücksichtigung einer Stegeinspannung stegbeulgefährdet?

• Für welches Randspannungsverhältnis ψ muss der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit stegbeulgefährdeter Walzprofile berücksichtigt werden?

Hierzu zeigt Bild 5.16 die Querschnittsgeometrie und den qualitativen Verlauf einer linearen Spannungsverteilung im Steg von Walzprofilen mit I− oder U−Querschnitt.

Bild 5.16 Querschnittsgeometrie und Spannungsverteilung

Eine Spannung σ(z) kann in jedem Punkt des Steges nach Gleichung (5-3) berechnet werden.

−⋅

ψ−⋅=σ 1z

h1f)z( d,y mit z = 0 OK Obergurt (5-3)


Für einen Beulnachweis müssen die Spannungen σo nach Gleichung (5-4) und σu nach Gleichung (5-5) bekannt sein.

−⋅

ψ−⋅==σ=σ 1c

h1f)cz( d,yo (5-4)

−−⋅

ψ−⋅=−=σ=σ 1)ch(

h1f)chz( d,yu (5-5)

Gleichung (5-4) verdeutlicht, dass die Spannung σo nur für ein Randspannungsver-hältnis ψ = 1 gleich –fy,d ist. In allen anderen Fällen ist der Betrag der Druckspannung geringer. Zur Ausnutzung der vollen elastischen Tragfähigkeit muss also nicht die Bedingung κ = 1 gelten, sondern es ist ausreichend die Bedingung (5-6) zu erfüllen.

1)(1ch

1 * ≤ψκ≤

−⋅

ψ−− mit

o

u*

σσ

=ψ (5-6) Der Zusammenhang zwischen ψ und ψ* kann durch einsetzen von σo und σu und auflösen nach ψ durch Gleichung (5-7) berechnet werden.

h)1(ch)1(c

*

*

−ψ+⋅⋅ψ−ψ+⋅

=ψ (5-7) Eine Auswertung der Bedingung (5-6) und Gleichung (5-7) unter Berücksichtigung einer möglichen Stegeinspannung ergibt als Resultat eine Übersicht der stegbeulge-fährdeten Walzprofile, Tabelle 5.6. Tabelle 5.6 Stegbeulgefährdete Walzprofile unter Berücksichtigung einer Stegeinspan-

nung

Werkstoff S460, Steg beulgefährdet Werkstoff S690, Steg beulgefährdet IPE 330 – 600 IPEa 240 – 600 HEA 600 – 1000 HEAA 500 – 1000 (* HEB 800 – 1000 HL 1000 A – 1000M 1100 A – 1100 R HEM 900 – 1000

IPE 220 – 600 IPEa 140 – 600 IPEo 300 – 600 IPEv 450 – 500 HEA 450 - 1000 HEAA 400 – 1000 (* HEB 600 - 1000 HL 1000 A – 1000x477 1100 A – 1100 R HEM 800 – 1000 UPE 300 – 400 (*

(* Bei den Profilen HEAA 600 bis 1000 und UPE 300 – 400 erfolgte keine Berücksichti-gung einer Stegeinspannung Für die Profile nach Tabelle 5.6 muss der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit berücksichtigt werden. Ab welchem Randspannungsverhältnis Ψ eine Reduktion der Tragfähigkeit erfolgen muss, zeigt Tabelle 5.7.

5.4 Auswertung 101

Tabelle 5.7 Randspannungsverhältnis Ψ für das keine Reduktion der elatischen Grenz-schnittgrößen notwendig ist

HEA HEAA (* HEB HEM

Profil Material ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

S460 - - - 0,69 -0,85 0,15 - - - - - - 450

S690 0,99 -0,99 0,01 0,41 -0,71 0,29 - - - - - - S460 - - - 0,58 -0,79 0,21 - - - - - -

500 S690 0,87 -0,94 0,06 0,30 -0,65 0,35 - - - - - - S460 - - - 0,54 -0,77 0,23 - - - - - -

550 S690 0,77 -0,89 0,11 0,27 -0,64 0,36 - - - - - - S460 0,95 -0,98 0,02 0,46 -0,73 0,27 - - - - - -

600 S690 0,68 -0,84 0,16 0,18 -0,59 0,41 0,92 -0,96 0,04 - - - S460 0,88 -0,94 0,06 0,38 -0,69 0,31 - - - - - -

650 S690 0,60 -0,80 0,20 0,11 -0,56 0,44 0,83 -0,92 0,08 - - - S460 0,86 -0,93 0,07 0,31 -0,66 0,34 - - - - - -

700 S690 0,57 -0,79 0,21 0,05 -0,53 0,47 0,80 -0,90 0,10 - - - S460 0,70 -0,85 0,15 0,21 -0,61 0,39 0,91 -0,96 0,04 - - -

800 S690 0,42 -0,71 0,29 -0,04 -0,48 0,52 0,63 -0,82 0,18 0,88 -0,94 0,06 S460 0,60 -0,80 0,20 0,13 -0,57 0,46 0,80 -0,90 0,10 0,98 -0,99 0,01

900 S690 0,32 -0,66 0,34 -0,16 -0,42 0,58 0,52 -0,76 0,24 0,70 -0,85 0,15 S460 0,47 -0,74 0,26 0,00 -0,50 0,50 0,67 -0,84 0,16 0,80 -0,90 0,10

1000 S690 0,20 -0,60 0,40 -0,26 -0,37 0,63 0,39 -0,70 0,30 0,53 -0,77 0,23

IPE IPEa IPEo IPEv

Profil Material

ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

ψ

Ngr

/Nel

Mgr

/Mel

S460 - - - - - - - - - - - - 220

S690 0,97 -0,99 0,01 0,75 -0,88 0,12 - - - - - - S460 - - - 0,98 -0,99 0,01 - - - - - -

240 S690 0,94 -0,97 0,03 0,71 -0,86 0,14 - - - - - - S460 - - - 0,86 -0,93 0,07 - - - - - -

270 S690 0,84 -0,92 0,08 0,58 -0,79 0,22 - - - - - - S460 - - - 0,83 -0,92 0,08 - - - - - -

300 S690 0,77 -0,89 0,11 0,55 -0,78 0,22 0,93 -0,97 0,03 - - - S460 - - - 0,80 -0,90 0,10 - - -

330 S690 0,72 -0,86 0,14 0,52 -0,76 0,24 0,89 -0,95 0,05 - - - S460 0,95 -0,98 0,02 0,69 -0,85 0,15 - - - - - -

360 S690 0,68 -0,84 0,16 0,41 -0,71 0,29 0,87 -0,94 0,06 - - - S460 0,91 -0,96 0,04 0,63 -0,82 0,20 - - - - - -

400 S690 0,63 -0,82 0,18 0,35 -0,68 0,35 0,80 -0,90 0,10 - - - S460 0,85 -0,93 0,07 0,55 -0,78 0,22 - - - - - -

450 S690 0,57 -0,79 0,21 0,28 -0,64 0,39 0,79 -0,90 0,10 0,95 -0,98 0,02 S460 0,80 -0,90 0,10 0,53 -0,77 0,23 - - - - -

500 S690 0,52 -0,76 0,24 0,25 -0,63 0,37 0,75 -0,88 0,12 0,97 -0,99 0,01 S460 0,79 -0,90 0,10 0,50 -0,75 0,25 0,97 0,99 0,11 - - -

550 S690 0,51 -0,76 0,24 0,22 -0,61 0,39 0,69 -0,85 0,15 - - - S460 0,76 -0,88 0,12 0,48 -0,74 0,26 - - - - -

600 S690 0,48 -0,74 0,26 0,20 -0,60 0,40 0,79 -0,90 0,10 - - -

(*Gelenkige Steglagerung

6 Teilschnittgrößenoptimierung für beulgefährdete I– und U–Profile

6.1 Übersicht

Aufgrund der vielfältigen Variationen möglicher Schnittgrößenkombinationen und beulgefährdeter Querschnittsteile ist ein einfaches und systematisches Verfahren zur Ermittlung des Beuleinflusses auf die Tragfähigkeit notwendig. Hierzu ist die Berech-nung nichtlinearer Spannungsverteilungen ungeeignet. Wesentlich sinnvoller ist ein schnittgrößenorientiertes Konzept. Ein Teilschnittgrößenverfahren wurde von Kind-mann/Frickel erstmals in [52] für nicht beulgefährdete I−Querschnitte und anschlie-ßend in [51] für weitere nicht beulgefährdete Querschnittsformen vorgestellt. Eine Übersicht erfolgt in [50]. Grundgedanken des Teilschnittgrößenverfahrens sind:

• Gleichgewicht zwischen Schnittgrößen und Teilschnittgrößen bilden („Statik am Querschnitt“)

• Teilschnittgrößen in den möglichen Grenzen variieren, so dass die Grenztrag-fähigkeit erreicht wird

Für beulgefährdete I– und U–Profile wird nachfolgend eine vergleichbare Vorge-hensweise unter Berücksichtigung erforderlicher Beschränkungen verfolgt. 6.2 I-Profile

6.2.1 Beschreibung des Querschnitts

Eine Idealisierung doppeltsymmetrischer I−Profile zeigt Bild 6.1.

Bild 6.1 Idealisierung doppeltsymmetrischer I−Querschnitte [50]

6.2 I-Profile 103

Eine Unterteilung erfolgt in drei Bleche, Obergurt, Steg und Untergurt. Aufgrund der Dünnwandigkeit ist eine näherungsweise Erfassung durch ein Linienmodell mit Überlappung möglich.

6.2.2 Gleichgewicht zwischen Schnittgrößen und Teilschnittgrößen

Die Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Teilschnittgrößen werden aus [50] übernommen. Eine Unterscheidung erfolgt in τ−Schnittgrößen und σ−Schnittgrößen. Weitere Erläuterungen sind in [50] zu finden.

Bild 6.2 Schnittgrößen und Teilschnittgrößen für den doppeltsymmetrischen

I-Querschnitt [50]

a) τ−Schnittgrößen ∑ = :0Vy Vy = Vo + Vu (6.1)

∑ = :0Vz Vz = Vs (6.2)

∑ = :0Mxs Mxs = Vo ⋅ ag/2 – Vu ⋅ ag/2 (6.3)

∑ = :0Mxp Mxp = Mxp,o + Mxp,s + Mxp,u (6.4)

b) σ−Schnittgrößen ∑ = :0N N = Nu + Ns + No (6.5)

∑ = :0My My = Nu ⋅ ag/2 + Ms – No ⋅ ag/2 (6.6)

∑ = :0Mz Mz = Mu + Mo (6.7)

∑ =ω :0M Mω = Mu ⋅ ag/2 – Mo ⋅ ag/2 (6.8)

6 Teilschnittgrößenoptimierung für beulgefährdete I– und U–Profile 104

6.2.3 Grenzschnittgrößen mit Beuleinfluss

Einen ersten Einblick in die Zusammenhänge zwischen Schnittgrößen und Teil-schnittgrößen ergibt eine Ermittlung ausgewählter Querschnittsgrenzschnittgrößen Sgr für den Fall, dass die betrachtete Schnittgröße maximal ist und alle anderen Schnitt-größen gleich Null sind. Der einfachste Fall ist eine Grenzdruckkraft Ngr,min, Bild 6.3. Für diesen Fall ist ohne weitere Erläuterungen sofort zu erkennen, dass Ngr,min gleich der Summe der Grenzdruckkräfte der Einzelbleche entspricht.

min,u,grmin,s,grmin,o,grmin,gr NNNN ++=

Bild 6.3 Grenzdruckkraft Ngr,min

Unter der Annahme, dass Gurte doppelsymmetrischer I–Profile unter Biegebeanspru-chung My gedrungen ausgebildet werden, zeigt Bild 6.4 die zugehörige Verteilung der Teilschnittgrößen und die Berechnungsformel für Mgr,y,max.

max,s,grgmin,o,grmax,u,grmax,y,gr M2/a)NN(M +⋅−=

Bild 6.4 Grenzbiegemoment Mgr,y,max, Gurte nicht beulgefährdet

6.2 I-Profile 105

6.2.4 Gleichzeitige Wirkung aller σ−Schnittgrößen

Mit der Anzahl unabhängig wirkender Schnittgrößen erhöht sich der Schwierigkeits-grad. Umso wichtiger ist eine einfache und systematische Vorgehensweise bei der Berechnung. Nachfolgend werden die einzelnen Schritte einer Teilschnittgrößenopti-mierung mit Beuleinfluss beschrieben. Dabei ist folgende Schreibweise definiert:

• min Ngr => zusätzlich zur Biegebeanspruchung zulässige Druckkraft

• Ngr,min => maximal zulässige Druckkraft (M = 0) Schritt 1

Die Gleichgewichtsbedingungen ∑ = 0Mz und ∑ =ω 0M ergeben eine Aufteilung der einwirkenden Schnittgrößen Mz und Mω auf die Biegeteilschnittgrößen der Gurte, Gleichung (6.9) und (6.10). Mo = Mz/2 – Mω/ag (6.9)

Mu = Mz/2 + Mω/ag. (6.10)

Der stärker auf Druck beanspruchte Gurt erreicht im Grenzzustand der Tragfähigkeit in jedem Fall seine Grenztragfähigkeit. Ist My ≥ 0, gilt für den Obergurt Gleichung (6.11). My ≥ 0 => No = min Ngr,o (6.11)

Dieser Fall wird nachfolgend weiterentwickelt. Für den Fall My < 0 ist aufgrund der Symmetrie die Vorgehensweise identisch. Eine Berechnung von min Ngr,o erfolgt aus der N−M−Interaktionsbeziehung für den Gurt nach Tabelle 4.5 oder Tabelle 4.13.

Schritt 2

Ist der zulässige Betrag der Gurtdruckkräfte berechnet, kann die zusätzlich zu Mz und Mω aufnehmbare Druckkraft min Ngr ermittelt und mit der einwirkenden Normalkraft verglichen werden.

min,s,gro,grgr NNmin2NminN +⋅=≤ (6.12) Ist die Bedingung (6.12) erfüllt, erfolgt eine weitere Berechnung mit Schritt 3.

Schritt 3

Weiterhin unbekannt sind die drei Teilschnittgrößen Ns, Ms und Nu. Zur Verfügung stehen jedoch nur die beiden Gleichgewichtsbedingungen ∑ = 0N und ∑ = 0My . Die Lösung des Problems erfolgt durch eine Variation möglicher Grenzzustände. Prinzipiell wird das zusätzlich zu den Beanspruchungen Mz, Mω und N maximal


aufnehmbare Biegemoment My gesucht. Diese Vorraussetzung wird durch die größtmögliche Zugkraft am Untergurt erfüllt, Gleichung (6.13). Nu = max Ngr,u (6.13)

Eine Berechnung von max Ngr,u erfolgt aus der N−M−Interaktionsbeziehung für den Untergurt. Eine Zugkraft am Untergurt erhöht die Druckbeanspruchung für den Steg. Für Ns muss nun die Überprüfung erfolgen, dass die Stegbeanspruchung die Grenz-tragfähigkeit nicht überschreitet, Gleichung (6.14). Ngr,s,min ≤ Ns = N – min Ngr,o – max Ngr,u ≤ 0 (6.14)

Ist die Bedingung (6.14) erfüllt, wird der Grenzzustand Gurt (Fall 1) maßgebend. Andernfalls erfolgt eine weitere Berechnung mit dem Grenzzustand Steg (Fall 2). Fall 1: Grenzzustand Gurt 0NNmaxNNmin ugr,mins,gr,ogr, ≤<++

Der Grenzzustand Gurt wird für geringe Druckkräfte N maßgebend. Am Untergurt kann zusätzlich zur Biegebeanspruchung Mu die Zugkraft max Ngr,u angesetzt werden. Die Berechnung von Ns erfolgt aus der Gleichgewichtsbedinung ∑ = 0N , Gleichung (6.15). Ns = N – min Ngr,o – max Ngr,u (6.15)

Anschließend wird max Mgr,s aus der N−M−Interaktionsbeziehung für den Steg ermittelt. Damit sind alle Teilschnittgrößen bekannt. Zusätzlich zu den Beanspru-chungen Mz, Mω und N kann das Biegemoment max My nach Gleichung (6.16) aufgenommen werden. max My = (max Ngr,u – min Ngr,o) ⋅ ag/2 + max Mgr,s (6.16)

Fall 2: Grenzzustand Steg ugr,mins,gr,ogr, NmaxNNminN ++≤

Der Grenzzustand Steg wird bei größeren Druckkräften maßgebend. Anders als beim Grenzzustand Gurt kann keine der beiden Teilschnittgrößen Ns und Ms direkt vorge-geben werden. Durch eine Optimierung sollen nachfolgend Ns und Ms so bestimmt werden, dass die einwirkenden Schnittgrößen einen maximalen Wert annehmen. Hierzu werden die Gleichgewichtsbedingungen ∑ = 0N und ∑ = 0My verwendet.

N = Nu + Ns + No => Nu = N – Ns – No My = Nu ⋅ ag/2 + Ms – No ⋅ ag/2

in einsetzen =>

My – N ⋅ ag/2 = Ms – Ns ⋅ ag/2 – No ⋅ ag

=> My = Ms – Ns ⋅ ag/2 – No ⋅ ag + N ⋅ ag/2

6.2 I-Profile 107

Die Teilschnittgröße No = min Ngr,o ist bekannt und für N kann die einwirkende Normalkraft eingesetzt werden. In diesem Fall wird My maximal, wenn die Bedin-gung Ms – Ns ⋅ ag/2 maximal wird.

max (Ms – Ns ⋅ ag/2) => max My Mit der N–M−Interaktionskurve für den Steg kann die gesuchte Schnittgrößenkombi-nation Ms und Ns ermittelt werden.

els,gr N)1(21N ⋅κ⋅ψ+⋅−=

els,gr M)1(21M ⋅κ⋅ψ−⋅=

Einsetzen von in =>

⋅⋅κ⋅ψ+⋅+⋅κ⋅ψ−⋅

2a

N)1(21M)1(

21max g

elel

g

elel a6MN ⋅≈ =>

)]2(M[maxM)1(23M)1(

21max elelel ψ+⋅⋅κ=

⋅κ⋅ψ+⋅+⋅κ⋅ψ−⋅

Für Bleche, die nicht beulgefährdet sind, ist die Lösung ψ = 1 und daraus folgend Ms=0 und Ns = Ngr,s,min sofort erkennbar. Für beulgefährdete Bleche ist an sehr gut eine gegenläufige Entwicklung zu erkennen. κ wird mit ansteigendem ψ kleiner. Bild 6.5 zeigt eine Funktionsauswertung für den veränderlichen Teil )2( ψ+⋅κ von .

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

b/t =95

b/t =60

b/t =40

)2( ψ+⋅κ

1=κ

ψ Bild 6.5 Auswertung der Funktion )2( ψ+⋅κ für unterschiedliche Schlankheiten,

Materialgüte S460


Für geringe Schlankheiten, d.h. κ (-1 ≤ ψ ≤ 1) = 1, ist die Funktion eine monoton ansteigende Gerade. Eine Vergrößerung der Schlankheit zeigt, dass das Maximum der Funktion für κ (ψ=0) < 1 bei ψ = 0 oder, wenn keine Beulgefahr für ψ=0 vorliegt, am Schnittpunkt mit der Geraden für κ = 1 liegt. Die Neigung der Kurven ist sehr flach, so dass im Sinne einer zum Teilschnittgrößenverfahren nach [50] kompatiblen Lösung die Abweichung zur Annahme Ns = Ngr,s,min für beulgefährdete Bleche untersucht worden ist. Die Differenz zwischen der vereinfachenden Annahme ψ = 1 und den Maximalwerten ist sehr gering. Bei einer Schlankheit b/t = 90 beträgt der Unterschied ca. 10 %. Wird zusätzlich berücksichtigt, dass der Anteil beulgefährdeter Stege an der Gesamttragfähigkeit mit zunehmender Schlankheit abnimmt, ist die Annahme Ns = Ngr,s,min und Ms = 0 zur Maximierung der Bedingung max (Ms – Ns ⋅ ag/2) auch für beulgefährdete Bleche völlig ausreichend. Durch diese Vereinfachung ist das in [50] entwickelte Teilschnittgrößenverfahren auf I−Profile mit beulgefährdeten Stegen prinzipiell übertragbar. Die fehlende Teilschnittgröße Nu kann nun aus der Gleichge-wichtsbedingung ∑ = 0N berechnet werden, Gleichung (6.17).

u,grs,gro,gruu,gr NmaxNminNminNNNmin ≤−−=≤ (6.17) Liegt Nu zwischen den Schnittgrößen min Ngr,u und max Ngr,u kann zusätzlich zu den Beanspruchungen Mz, Mω und N das Biegemoment My nach Gleichung (6.16) aufgenommen werden. max My = (N – 2 ⋅ min Ngr,o – min Ngr,s) ⋅ ag/2 (6.18)

Vor einer tabellarischen Zusammenfassung aller Bedingungen werden nachfolgend beulspezifische Phänomene untersucht. Hieraus resultieren Empfehlungen und Beschränkungen zur Anwendung der Teilschnittgrößenoptimierung. 6.2.5 Empfehlungen und Beschränkungen

In Abhängigkeit von der Beulgefahr werden bei einem Teilschnittgrößenverfahren plastische Grenztragfähigkeiten und Tragfähigkeiten mit Beuleinfluss gleichzeitig verwendet. Zum Ausnutzen plastischer Reserven sind je nach Beanspruchung große Dehnungen erforderlich, so dass in zusammengesetzten Querschnitten eine beulge-fährdete Platte möglicherweise das Maximum der Last−Stauchungskurve überschrei-tet. Dies hat eine Reduktion der Beanspruchbarkeit zur Folge. Im Extremfall erfolgt die Ausbildung einer Fließlinienkinematik. Aus diesem Grund wird nachfolgend für stegbeulgefährdete, gurtbeulgefährdetet und steg− und gurtbeulgefährdete I−Profile die Notwendigkeit von Verfahrensbeschränkungen überprüft. Stegbeulgefährdete I–Profile

Walzprofile aus hochfestem Stahl sind häufig stegbeulgefährdet. Für das Profil mit der größten Stegschlankheit, HEA 1000, sind in Bild 6.6 N–My–Interaktionskurven

6.2 I-Profile 109

mit Beuleinfluss unterschiedlicher Verfahren dargestellt. Zusätzlich zur Teilschnitt-größenoptimierung mit Beuleinfluss sind zum Vergleich die Lösungen nach Eurocode 3 und DIN 18800 T2 Elastisch–Plastisch ergänzt worden. Der Berechnung nach Eurocode 3 und der Teilschnittgrößenoptimierung liegen bis zum Ereichen von κ = 1 die mit dem Faktor c modifizierte Winterkurve und die Annahme eingespannter Längsränder zugrunde.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,0

Ngr/Npl

Mgr

/Mpl

Teilschnittgrößen-optimierung mitBeuleinfluss

DIN 18800 T2 EL - PL

EC3

Elastisch

Plastisch

HEA 1000

Bild 6.6 N−My−Interaktionsbeziehung Teilschnittgrößenoptimierung, Eurocode 3 und DIN 18800 T2 Elastisch−Plastisch, Profil HEA 1000, Materialgüte S460

Die Teilschnittgrößenoptimierung und der Eurocode 3 ergeben im Bereich unterhalb der elastischen Tragfähigkeit nahezu identische Ergebnisse. Der Unterschied beträgt maximal 2,7 % und liegt letztendlich an der vereinfachten Modellierung durch ein Überlappungsmodell. Untersuchungen an anderen Profilen bestätigen die gewonnen Erkenntnisse. Tragfähigkeiten zwischen der elastischen und plastischen Tragfähigkeit können bisher nach DIN 18800 T2 und [20] berechnet werden. Die Regelungen der DIN 18800 T2 basieren auf [31]. Ein Zitat aus [31] lautet „.... Bei diesen Kurven handelt es sich um erste, aufgrund von Überlegungen konservativ festgelegte Nähe-rungen....“. Der Schnittpunkt zwischen der elastischen Geraden und den Interaktions-kurven nach Eurocode 3 / Teilschnittgrößenoptimierung auf der einen Seite und nach


DIN 18800 T2 Elastisch−Plastisch auf der anderen Seite weichen deutlich voneinan-der ab. Ein Grund für diese Abweichung liegt in den starren Vorgaben der DIN 18800 T2. Es kann weder eine Einspannung der Längsränder berücksichtigt werden, noch ist eine wirkliche Anpassung an die Beanspruchung erkennbar. Die Größe der wirksamen Breiten im Druckbereich ist unabhängig von der Lage der plastischen Nulllinie. Der Übergang von einer reinen Biegebeanspruchung zu einer reinen Druckbeanspruchung wird nur durch eine Verkleinerung der Zugzone erreicht, Bild 6.7.

Bild 6.7 Aufteilung wirksamer Breiten nach DIN 18800 T2 EL – PL

Eine überwiegende Biegebeanspruchung kann auf diese Art und Weise ausreichend genau ermittelt werden. Mit zunehmender Druckbeanspruchung wird das Ergebnis jedoch unwirtschaftlicher. Für den Fall einer reinen Druckbeanspruchung zeigt Tabelle 6.1 einen Vergleich der zulässigen Stegtragfähigkeit für ein HEA 1000 nach DIN 18800 T2 und der Winterkurve. Tabelle 6.1 Stegtragfähigkeit mit Beuleinfluss für ein HEA 1000

Geometrie: b = 86,8 cm, t = 0,8 cm Werkstoff: S460 Winterkurve

DIN 18800 T2 Elastisch– Plastisch

295,1)8,86/65,1(980.184

46f2

Pi

yp =

⋅⋅=

σ=λ

64,0295,1

22,0295,1122,01

22 =−=λ

−λ

=κ

kN223.4468,8665,164,0N min,gr −=⋅⋅⋅−=

cm05,22462465,15,18

f24t5,18bb

y

//2

//1

=⋅⋅=

⋅⋅==

kN347.34605,2265,12N min,gr −=⋅⋅⋅−=

Im Vergleich zur Winterkurve ist bereits ohne Berücksichtigung einer Stegeinspan-nung das Ergebnis nach DIN 18800 T2 Elastisch–Plastisch deutlich geringer. Erneut

6.2 I-Profile 111

wird klar, dass die aktuellen Methoden beulgefährdeter Querschnitte eher „Insellö-sungen“ entsprechen. Während der Eurocode 3 für eine überwiegende Druckbean-spruchung gute Ergebnisse liefert, erweist sich die DIN 18800 T2 Elastisch– Plastisch für eine überwiegende Biegebeanspruchung günstiger. Noch extremer sind die Lösungen nach [20]. Die maximale Randdehnung ist unabhängig von der Beanspru-chung mit ε = 4 ⋅ εy vorgegeben. Für allseitig gelagerte Platten unter konstanter Druckbeanspruchung bedeutet dies, dass der üblicherweise an der Stelle ε ≈ εy liegende Scheitelpunkt der Last−Verformungskurve bereits deutlich überschritten ist. Dieser Fall wäre für beulgefährdete Gurte biegebeanspruchter Kastenträgern denkbar. Große Druckgurtdehnungen sind nur dann zum Erreichen der Traglast notwendig, wenn der Steg nicht beulgefährdet ist. Ein hochbeanspruchter Biegeträger mit beulge-fährdetem Druckgurt und nicht beulgefährdetem Steg ist jedoch eher akademisch. Erneut wird deutlich, dass die starre Einteilung in Nachweisverfahren Elastisch–Elastisch und Elastisch–Plastisch für beulgefährdete Querschnitte ungeeignet ist. Abgesehen von der einfachen Systematik ergibt eine Teilschnittgrößenoptimierung eine über den gesamten N–M–Interaktionsbereich sinnvolle Lösung. Dies wird deutlich an der Übereinstimmung mit den jeweiligen „Insellösungen“ am Anfang und am Ende, sowie im Abstand der Kurve zur plastischen Grenztragfähigkeit. Da eine reine Druckbeanspruchung der ungünstigste Beanspruchungsfall ist, sollte an diesem Punkt die Differenz zwischen der Grenztragfähigkeit mit Beuleinfluss und der Grenztragfähigkeit ohne Beuleinfluss maximal sein. Mit zunehmender Biegebean-spruchung ist eine Annäherung der Kurven bis zum Schnittpunkt zu erwarten. Wie Bild 6.6 zeigt, ist die Teilschnittgrößenoptimierung offensichtlich noch auf der sicheren Seite. Dies liegt an der fehlenden Interaktionskurve für Stegbleche zwischen der elastischen und plastischen Grenztragfähigkeit. Die Entwicklung der Winterkurve erfolgte für überwiegend auf Druck beanspruchte Bleche, während andere Lösungen für überwiegende Biegebeanspruchungen entwickelt worden sind. Wünschenswert und an moderne, schnittgrößenorientierte Bemessungsverfahren angepasst, wäre ein Aufbau nach (6.19).

κ⋅α−= )21(NN

pl

gr

κ⋅α−⋅α⋅= )1(4MM

pl

gr mit κ in Abhängigkeit von α (6.19)

Damit könnte auch die aus dem klassischen Spannungsnachweis resultierende Umrechung gemessener Traglasten in Spannungen und die für einen Nachweis erforderliche Rückrechung der Traglasten aus Tragbeulspannungen entfallen. Hier zeigt sich erneut der enorme Vorteil eines Teilschnittgrößenverfahrens. Zukünftige Forschungsergebnisse beulgefährdeter Einzelbleche können ohne Aufwand nur durch die Entwicklung einer N–M−Interaktionsbeziehung integriert werden. Für Profile mit nicht beulgefährdeten Gurten ist Mgr,z = Mpl,z. In diesem Fall ist die resultierende Stegbeanspruchung unter Vernachlässigung einer Blechbiegung gleich


Null. Dieser Zustand ist unabhängig von einer Stegbeulgefahr in jedem Fall möglich. Als Ergebnis kann somit für stegbeulgefährdete I−Profile mit nicht beulgefährdeten Gurten eine Teilschnittgrößenoptimierung ohne Einschränkungen angewendet werden.

Gurtbeulgefährdete I–Profile

Eine Untersuchung im Kapitel 4 zur Anwendung von Beulkurven und wirksamen Breiten auf beulgefährdete Gurte von I–Profilen hat gezeigt, dass die Beulkurven nach DIN 18800 T3 unter Vernachlässigung der Beschränkung ψ = 1 sehr einfache, sichere und im Vergleich zu anderen Methoden ausreichend wirtschaftliche Lösungen ergeben. Da durch die Anwendung der Beulkurve nach DIN 18800 T3 die Tragfähig-keit durch die elastische Grenztragfähigkeit nach oben beschränkt wird, ist diese Lösung trotzdem insgesamt eher unbefriedigend. Tragfähigkeiten zwischen der elastischen und der plastischen Grenztragfähigkeit können in Ermangelung geeigneter Regelungen nicht oder nur für Grenzfälle ermittelt werden. Während der Grenzzustand einer reinen Druckbeanspruchung eindeutig ist, müssen mögliche Biegegrenzzustände genauer untersucht werden. Eine Biegetragfähigkeit Mgr,z setzt sich nur aus den Tragfähigkeiten der beiden beulgefährdeten Gurte zusam-men. Dieser Zustand ist ohne jeden Zweifel möglich. Eine zusätzlich wirkende Normalkraft, die kleiner oder gleich der zulässigen Stegdruckkraft ist, verändert die zulässige Biegebeanspruchung Mgr,z nicht. Dieser Grenzzustand ist fraglich, da dies nur unter Berücksichtigung von Plastizierungen möglich ist. Für b/t ≤ 15 und eine Materialgüte S460 hat die Untersuchung in Kapitel 4 gezeigt, dass die Tragfähigkeiten mit Beuleinfluss plastischer wirksamer Breiten nach [20] und nach DIN 18800 T3 für eine reine Biegebeanspruchung in etwa übereinstimmen. Damit kann durch die Beschränkung auf baupraktisch übliche Schlankheiten auch dieser Grenzzustand als ausreichend abgesichert angesehen werden. Im Fall einer reinen Biegebeanspruchung My sind zur Ausnutzung der vollen plasti-schen Stegtragfähigkeit Randdehnungen ε > εy notwendig. Große Stauchungen am Druckgurt können eine Reduktion der zulässigen Beanspruchbarkeit bewirken. Schlimmstenfalls entsteht am Druckgurt eine Fließlinienkinematik bevor der Steg und der Untergurt die Grenztragfähigkeit erreicht haben. Zur Vermeidung dieser Effekte sollte die Ausnutzung des Restquerschnitts auf der Zugseite beschränkt werden. Ebenso sollte für den Steg nur die elastische N–M–Interaktionsbeziehung verwendet werden. Im Folgenden wird ein Kriterium zur Begrenzung der Untergurtkraft Ngr,u,max hergeleitet. Unter Voraussetzung einer elastischen Spannungsverteilung im Steg ergibt sich nachfolgend Bedingung . Die größten Querschnittsrotationen treten für Mgr,y auf, d.h. es gilt N = 0. Daraus folgen die Bedingungen und . Alle weiteren Herleitungsschritte sind selbsterklärend.

umin,o,grs NNN −−=

6.2 I-Profile 113

1MM

NN

s,el

s

s,el

s −=−

u,el

u

s,el

s

s,el

s

NN

MM

NN

=+

u,elomin,o,gr NN ⋅κ= mit o,el

min,o,gro N

N=κ

, und in einsetzen =>

)NN2(

N)NN2(N

s,elu,el

u,els,elu,elou +⋅⋅+⋅κ⋅=

yGurtu,el fAN ⋅=

yStegs,el fAN ⋅=

StegGurt

Steg

ges

Steg

AA2A

AA

+⋅==δ

, und in einsetzen => u,eloomax,u,gru N)(NN ⋅δ−κ−δ⋅κ−==

Bild 6.8 zeigt eine Auswertung der Funktion zur Beschränkung der Untergurttragfä-higkeit. Für δ = 0 liegt ein Sandwichquerschnitt vor, d.h. Ngr,u,max ist gleich Ngr,o,min. Je größer der Anteil der Stegfläche an der Gesamtfläche ist, umso geringer fällt die Beschränkung der Untergurttragfähigkeit aus. Dies liegt an der zunehmenden Bedeu-tung der Stegbiegetragfähigkeit.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

1=κ

8,0=κ

6,0=κ

δ

)(

δ−

κ−δ⋅

κ−

Bild 6.8 Auswertung zur Beschränkung der Zuggurtkraft


Unter Berücksichtigung der vorhergehenden Erläuterungen wird nachfolgend eine Teilschnittgrößenoptimierung für die Einwirkungskombinationen N−My und N−My−Mz beispielhaft an einem IPE 400 Profil mit reduzierten Gurtabmessungen b x tg = 24 x 0,8 ausgewertet. Bild 6.9 zeigt die N–My Interaktion. Ebenso ist die N–My Interaktionsbeziehung nach DIN 18800 T2 Verfahren Elastisch– Plastisch dargestellt.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0Ngr/Npl

max

Mgr

,y/M

el,y

Elastisch


DIN 18800 T2 EL-PLmit Beuleinfluss

Dehnungs-beschränkung

IPE 400

Gurtdicke: red tg = 0,8 cm

Bild 6.9 Auswertung der N–My Interaktionsbeziehung für ein IPE 400 mit reduzierten Gurtabmessungen b x tg = 24 x 0,8, Material S460

Im Vergleich zur N–My Interaktion nach DIN 18800 T2 Verfahren Elastisch–Plastisch ergibt eine Teilschnittgrößenoptimierung größere zulässige Druckbeanspruchungen und geringere zulässige Biegebeanspruchungen. Dies ist auf die unterschiedliche Ermittlung der aufnehmbaren Druckbeanspruchung dreiseitig gelagerter Platten und die Beschränkung der zulässigen Untergurtkraft bei der Teilschnittgrößenoptimierung zurückzuführen. Ziel der vorgeschlagenen Teilschnittgrößenoptimierung ist es, eine sichere und einfache Bemessung für sämtliche Schnittgrößenkombinationen zu ermöglichen. Wie bereits erläutert, sind in Grenzfällen höhere Tragfähigkeiten vorhanden. Die daraus resultierenden zusätzlichen Fallunterscheidungen würden ein Verfahren jedoch unnötig erschweren. In den Endbereichen der N-M-Interaktionskurve ist die Teilschnittgrößenoptimierung durch anerkannte Verfahren ausreichend abgesichert. Ebenso ist der Verlauf der Kurve plausibel. Mit einer ansteigenden Biegebeanspruchung entfällt eine Berück-sichtigung von Beuleinflüssen am Untergurt. Die Kurve nähert sich der elastischen Grenztragfähigkeit abzüglich der Beuleinflüsse am Obergurt. Für große Biegebean-spruchungen treten immer stärkere Druckgurtstauchungen auf. Die Beanspruchbarkeit

6.2 I-Profile 115

für den Druckgurt fällt infolge Beulen ab, und der Kurvenverlauf wird flacher. Der Punkt, an dem die Kurve flacher wird, ist in Ermangelung an Versuchsergebnissen fraglich. Eine Dehnungsiteration für das vorgeführte Beispiel ergibt Druckgurtdeh-nungen, die deutlich oberhalb von εy liegen, so dass eine weitere Abflachung der Kurve notwendig ist. Um die abgesicherten Endpunkte der Kurve zu erhalten, wird eine variable Reduktion von Ngr,u,max in Abhängigkeit von der einwirkenden Druck-kraft eingeführt. Dem Zuggurt wird mindestens der Anteil der Druckkraft zugewiesen, der sich nach der linearen Elastizitätstheorie ergibt. Daraus folgt Gleichung (6.20).

)1(NN)(Nmax u,eloou,gr δ−⋅+⋅δ−κ−δ⋅κ−= ges

Steg

AA

=δ (6.20) Für N = 0 oder für große Druckkräfte ändert sich dadurch nichts an der Interaktions-kurve. Im Mittelbereich wird die Grenztragfähigkeit reduziert, so dass über den gesamten Tragfähigkeitsbereich keine zu großen Dehnungen am Druckgurt hervorge-rufen werden und die Teilschnittgrößenoptimierung auf der sicheren Seite liegt. Bild 6.10 zeigt die N–My–Mz–Interaktion. Eine einwirkende Biegebeanspruchung Mz wird zu gleichen Teilen auf die Gurte aufgeteilt. Aus der N–M Interaktionsbeziehung der Gurte können die zulässigen Gurtnormalkräfte ermittelt werden. Zur Berechnung von Ngr,u,max ist eine Fallunterscheidung notwendig. Entweder wird die Dehnungsbe-schränkung maßgebend, oder die Biegebeanspruchung infolge Mz ist so groß, dass die zulässige Zugkraft bereits geringer ist.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0Ngr/Npl

max

Mgr

,y/M

el,y

Mz/Mgr,z = 0

Mz/Mgr,z = 0,3

Mz/Mgr,z = 0,6

IPE 400

Gurtdicke: red tg = 0,8 cm

Bild 6.10 Auswertung der N–My–Interaktionsbeziehung für ein IPE 400 mit reduzierten Gurtabmessungen b x tg = 24 x 0,8, Material S460


Steg− und gurtbeulgefährdete I–Profile

Das Tragverhalten von steg− und gurtbeulgefährdeten I–Profilen ist nur sehr schwer vorherzusagen. Wie bereits bei der Beulwertberechnung gezeigt worden ist, kommt es zu einer Interaktion zwischen einspannenden und elastisch eingespannten Bauteilen. Dieses Phänomen wird in der aktuellen Berechnungsmethodik durch die Annahme einer gelenkigen Lagerung der Einzelbleche unterdrückt. Für beide Bauteile werden der Beulwert und die Traglast zwar nicht korrekt berechnet, aber in der Summe sollte das Ergebnis auf der sicheren Seite liegen. Eine Überprüfung, ob diese vereinfachende Annahme richtig ist, kann nur mit Versuchen belegt werden. In [26] ist zur Verifizie-rung der Regelungen im Eurocode 3 ein Versuch an einem Biegeträger aus hochfes-tem Stahl S460 dokumentiert. Der Querschnitt ist ein steg− und gurtbeulgefährdetes I–Profil. Tabelle 6.2 zeigt eine Übersicht über die Querschnittsgeometrie, das Ver-suchsergebnis, das Resultat der FE–Berechnung und das Ergebnis einer Teilschnitt-größenoptimierung. Im Sinne einer einheitlichen und einfachen Lösung ist zur Teilschnittgrößenoptimierung die Vorgehensweise gurtbeulgefährdeter I–Profile übernommen worden. Damit wird die Annahme getroffen, dass die Größe der Zug-gurtkraft maßgeblich von der aufnehmbaren Druckgurtkraft bestimmt wird. Tabelle 6.2 Vergleich Versuchsergebnis aus [26] und Teilschnittgrößenoptimierung

fy [kN/cm2]

b [cm]

tg [cm]

b/tg h [cm]

ts [cm]

h/ts My [kNm]

Versuch [26]

My [kNm] FEM [26]

My [kNm]

Teilschnittgrößen-optimierung

46 36 1,2 15 84 0,6 140 1.639 1.705 1.328 Ergänzend sind in [26] mit einem an der Versuchsauswertung kalibrierten FE–Modell neun weitere Querschnitte der Materialgüte S460 und sieben weitere Querschnitte der Materialgüte S690 untersucht worden. Bei der Querschnittsgeometrie wurde die Stegschlankheit variiert, während die Gurtabmessungen und Profilhöhe konstant blieben. Da die Ergebnisse ohne eine zahlenmäßige Auflistung nur in Form von Last–Verformungskurven dargestellt sind, wird auf eine exakte Auswertung verzichtet. Tendenziell ist das Verhältnis zwischen dem Ergebnis der Teilschnittgrößenoptimie-rung und den FE–Berechnungen vergleichbar mit dem Ergebnis aus Tabelle 6.2. Aufgrund der Unterschreitung der Versuchstraglast und der FE–Traglasten in allen Fällen um mindestens 19 % kann die vorgeschlagene Teilschnittgrößenoptimierung für eine Biegebeanspruchung My als ausreichend sicher angesehen werden. Ergänzend wird in Bild 6.11 für den Versuchsquerschnitt aus [26] eine N–My−Interaktion mit der Methode der Teilschnittgrößenoptimierung berechnet. Zur Verifizierung wird eine lineare Verbindung zwischen dem Versuchsergebnis Mgr,y und Ngr,min nach Eurocode 3 eingezeichnet. Die Interaktionskurve der Teilschnittgrößenoptimierung überschreitet an keiner Stelle die lineare Verbindung. Damit ist auch die N–My–Interaktion und aufgrund der verwendeten Beulkurve die N–My–Mz–Interaktion ausreichend abgesi-chert. Wie bereits mehrfach angesprochen, ist die größere Grenzdruckkraft Ngr,min nach Eurocode 3 auf die Anwendung unterschiedlicher Beulkurven zurückzuführen.

6.2 I-Profile 117

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0Ngr/Npl

max

Mgr

,y/M

el,y

Elastisch


Mgr,y Versuchs-ergebnis [119]

Ngr,min EC3

Lineare Verbindung

Bild 6.11 Auswertung der N–My Interaktionsbeziehung, steg- und gurtbeulgefährdetes

I−Profil, Versuchsquerschnitt aus [26]

6.2.6 Nachweis unter Berücksichtigung erforderlicher Beschränkungen

In den vorhergehenden Abschnitten erfolgte eine systematische Untersuchung der Grenzzustände beulgefährdeter I−Profile. Eine Zusammenfassung der Nachweisbe-dingungen für die gleichzeitige Wirkung aller σ−Schnittgrößen unter Berücksichti-gung der gewonnenen Erkenntnisse und erforderlichen Beschränkungen erfolgt in Tabelle 6.3. Für k,yG f/2411t/b ⋅≤ ist eine Berechnung der Gurttragfähigkeit nach

der plastischen N−M−Interaktionsbeziehung möglich. Ist k,yG f/2411t/b ⋅> muss eine Gurtbeulgefahr berücksichtigt werden und die Berechung der Gurtteilschnittgrö-ßen erfolgt nach der Elastizitätstheorie. In Abhängigkeit von der Schlankheit muss gegebenenfalls eine Beulgefahr berücksichtigt werden. Anschließend wird der Nachweis geführt, dass die einwirkende Normalkraft aufgenommen werden kann. Zum Abschluss wird die zusätzlich zu den Beanpsruchungen N, Mz und Mω aufnehm-bare Biegebeanspruchung My ermittelt und mit der vorhandenen Beanspruchung My verglichen.


Tabelle 6.3 Teilschnittgrößenoptimierung mit Beuleinfluss für die gleichzeitige Wirkung aller σ−Schnittgrößen (N<0 und My > 0)

ωz MundMgGurtbiegun

g

zo a

M2

MM ω−= , g

zu a

M2

MM ω+=

N-M-Interaktion der Gurte Fall Schlankheit min Ngr,o max Ngr,u

PL k,y

G

f2411

tb

⋅≤

o,pl

oo,pl M

M1N −⋅−

u,pl

uu,pl M

M1N −⋅

EL k,y

G

f2411

tb

⋅>

In Abhängigkeit von Mo nach Tabelle 4.13

Minimum von: a) )1(NN)( u,eloo δ−⋅+⋅δ−κ−δ⋅κ− b) In Abhängigkeit von Mu nach Tabelle 4.13

Grenzdruckkraft grNmin

0NNNmin2Nmin min,s,gro,grgr ≤≤+⋅= Grenzbiegemoment yMmax

Fall Normalkraft N =yMmax

1

grNminN ≥

u,grmin,s,gro,gr NmaxNNminN ++< 2a

)NNmin2N( gmin,s,gro,gr −⋅−

2 u,grmin,s,gro,gr NmaxNNminN ++≥

0N ≤

s,grg

o,gru,gr M2a

)NminN(max +⋅−

u,gro,grs NmaxNminNN:mit −−=

max Mgr,s nach Tabelle 4.12 Rechenwerte: r2/t2/bb sG −−= , yu,elo,el ftbNN ⋅⋅== , y

2u,plo,pl f4/tbMM ⋅⋅==

Ngr,o,min, nach Tabelle 4.13, Ngr,s,min nach Tabelle 4.12

o,el

min,o,gro N

N=κ ,

ges

Steg

AA

=δ

6.3 U-Profile 119

6.3 U-Profile

6.3.1 Einleitung

In der Baupraxis haben U–Profile große Bedeutung. Eine Idealisierung erfolgt durch drei Bleche, Obergurt, Steg und Untergurt, Bild 6.12. Aufgrund der Dünnwandigkeit ist eine näherungsweise Erfassung durch ein Linienmodell möglich. Die erforderli-chen Angaben zur Geometrie müssen durch as, Lage des Gesamtschwerpunktes, und aM, Lage des Schubmittelpunktes, ergänzt werden.

Bild 6.12 Idealisierung einfachsymmetrischer U−Querschnitte

6.3.2 Grundgleichungen

Die Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Teilschnittgrößen werden prinzipiell aus [50] übernommen. Eine Unterscheidung erfolgt in τ−Schnittgrößen und σ−Schnittgrößen.

Bild 6.13 Schnittgrößen und Teilschnittgrößen für ein U−Profil


a) τ-Schnittgrößen ∑ = :0Vy Vy = Vo + Vu (6.21) ∑ = :0Vz Vz = Vs (6.22) ∑ = :0Mxs Mxs = Vo ⋅ ag/2 – Vu ⋅ ag/2 (6.23) ∑ = :0Mxp Mxp = Mxp,o + Mxp,s + Mxp,u (6.24)

b) σ-Schnittgrößen ∑ = :0N N = No + Ns + Nu (6.25) ∑ = :0My My = (Nu – No)⋅ag/2 + Ms (6.26) ∑ = :0Mz Mz = (Nu + No) ⋅ (b/2 – as) – Ns ⋅ as + Mo + Mu (6.27) ∑ =ω :0M Mω= (Nu – No) ⋅ (b/2 – aM) ⋅ ag/2 + (Mu – Mo) ⋅ ag/2 – Ms ⋅ aM (6.28)

Nachfolgend werden für die Biegemomente My und Mz und für die Normalkraft N Grundbedingungen für ein Teilschnittgrößenverfahren hergeleitet. Vorraussetzungs-gemäß soll Mω = 0 sein. Aus den Gleichgewichtsbedingungen (6.25) und (6.26) werden durch Auflösen nach Ns und Ms die Gleichungen (6.29) und (6.30) ermittelt. Ns = N − Nu − No (6.29)

Ms = My − (Nu – No)⋅ag/2 (6.30)

Einsetzen von (6.29) und (6.30) in (6.27) und (6.28) ergibt nach einigen Umformun-gen die Gleichungen (6.31) und (6.32). Mz + N ⋅ as = Nu ⋅ b/2 + Mu + No ⋅ b/2 + Mo (6.31)

2 ⋅My ⋅ aM / ag = Nu ⋅ b/2 + Mu − (No ⋅ b/2 + Mo) (6.32)

Aus den Gleichungen (6.31) und (6.32) können je nach Auflösung die Gleichungen (6.33) und (6.34) ermittelt werden. No ⋅ b/2 + Mo = Mz/2 + N ⋅ as/2 − My ⋅ aM/ag (6.33)

Nu ⋅ b/2 + Mu = Mz/2 + N ⋅ as/2 + My ⋅ aM/ag (6.34)

Da im weiteren Verlauf zur Berücksichtigung einer Beulgefahr die Beulkurve nach DIN 18800 T3 verwendet wird, erzeugen die Schnittgrößen My und N keine Gurtbie-gemomente Mo oder Mu. Wie an den Gleichungen (6.33) und (6.34) zu erkennen ist, gilt in diesem Fall: Mu = Mo =Mg (6.35)

Mit dieser Bedingung vereinfacht sich die (6.28) zu Gleichung (6.36).

6.3 U-Profile 121

∑ =ω :0M 0 = (Nu – No) ⋅ (b/2 – aM) ⋅ ag/2 − Ms ⋅ aM

Nu – No = Ms ⋅ aM / [(b/2 – aM) ⋅ ag/2] (6.36)

Durch einsetzen von Nu – No in Gleichung (6.30) ergibt sich Gleichung (6.37). Ms = My ⋅ (1 – 2 ⋅ aM/b) (6.37)

Als Hilfswert für spätere Fallunterscheidungen wird aus Gleichung (6.36) und (6.37) Nu-o hergeleitet. Nu – No = Nu-o = My ⋅ 4⋅aM/(b⋅ag) (6.38)

In Abhängigkeit von der größeren Druckbeanspruchung der Gurte ist eine Unterschei-dung von Mz notwendig. Folgende Definition wird festgelegt:

• max Mz => größere Druckbeanspruchung am gelagerten Rand

• min Mz => größere Druckbeanspruchung am freien Rand Ein Biegemoment max Mz reduziert die Druckbeanspruchung der Gurte. Für gurt-beulgefährdete Profile kann dies durch einen Nachweis Mz ≤ max Mz zu einer Überschätzung der Normalkrafttragfähigkeit führen. Das gleiche gilt im umgekehrten Fall für eine Stegbeulgefahr und min Mz. Aus diesem Grund sollte in jedem Fall der Nachweis erfolgen, dass der Querschnitt die Beanspruchungen N und My bei alleini-ger Wirkung aufnehmen kann.

My

Für den Steg kann aus der einwirkenden Biegebeanspruchung My die Teilschnittgröße Ms direkt berechnet werden. Ein Nachweis erfolgt nun durch den Vergleich mit der maximal zulässigen Teilschnittgröße Mgr,s,max, Gleichung (6.39). Ms = My ⋅ (1 – 2 ⋅ aM/b) ≤ Mgr,s,max (6.39)

Die Beschränkung von Mgr,s,max auf Mel,s resultiert aus der Forderung Mω = 0. Für nicht gurtbeulgefährdete U−Profile ist der Nachweis mit der Bedingung (6.39) erbracht. Andernfalls muss noch eine Überprüfung der Gurttragfähigkeit erfolgen. Die Differenz der Gurtkräfte No und Nu wird nach Gleichung (6.38) ermittelt. Die Ober-gurtdruckkraft beträgt für eine Biegebeanspruchung My genau die Hälfte von Nu-o. Daraus resultiert die Bedingung (6.40). Nu-o = My ⋅ 4⋅aM/(b⋅ag) ≤ min,o,grN2 ⋅ (6.40)

Sind die Bedingungen (6.39) und (6.40) erfüllt, kann die Beanspruchung My von dem Querschnitt aufgenommen werden.


N

Die zulässige Druckkraft N wird entweder durch eine Steg- oder Gurtbeulgefahr beschränkt. Eine zusätzlich zur Biegebeanspruchung Ms aufnehmbare Stegdruckkraft min Ngr,s kann aus der N−M−Interaktionsbeziehung für den Steg nach Tabelle 4.12 ermittelt werden. Dem gegenüber steht die maximal zulässige Druckgurtkraft Ngr,o,min nach Tabelle 4.13. Aus der Gleichgewichtsbedingung (6.27) mit Mz = 0 ergibt sich nun eine Bedingung welches Querschnittsteil die Tragfähigkeit massgebend be-schränkt, Bedingung (6.41).

−

⋅⋅+⋅≥ − 1

a2b)NN2(Nmin

soumin,o,grs,gr => Gurtbeulgefahr

−

⋅⋅+⋅< − 1

a2b)NN2(Nmin

soumin,o,grs,gr => Stegbeulgefahr

(6.41)

Eine Verdeutlichung der Fallunterscheidung erfolgt für eine reine Druckbeanspru-chung in Tabelle 6.4. Tabelle 6.4 Druckkraft Ngr,min in Abhängigkeit von einer Steg- oder Gurtbeulgefahr

Gurtbeulgefahr Stegbeulgefahr

Fall 1: Gurtbeulgefahr

Ist eine Gutbeulgefahr massgebend, gilt für die Teilschnittgrößen No und Mg (6.42). min,o,gro NN =

0Mund g = (6.42)

Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen (6.25) und (6.27) ergibt für Mz = 0 die Nachweisbedingung (6.43).

0Nab

2NN

s

oumino,gr, ≤≤⋅

+ − (6.43)

6.3 U-Profile 123

Fall 2: Stegbeulgefahr

Ist eine Stegbeulgefahr massgebend, gilt für die Teilschnittgröße Ns (6.44). Ns = min Ngr,s (6.44)

Die Gurtteilschnittgrößen No und Nu können dann nach (6.45) berechnet werden. )NNminN(5,0N ous,gro −−−⋅= )NNminN(5,0N ous,gru −+−⋅= (6.45)

Der Nachweis ist erbracht, wenn die Teilschnittgrößen No und Nu betragsmäßig geringer als die Grenzschnittgrößen der Gurte sind. Dies wird automatisch im nächs-ten Schritt durch die Berechnung eines Gurtbiegemomentes Mg aus der N−M−Inter-aktionsbeziehung überprüft. max Mz

Ein Biegemoment Mz > 0 reduziert die Druckbeanspruchung und damit die Beulge-fahr der Gurte. Da die Querschnittstragfähigkeit für N−My bereits nachgewiesen ist und No = Ngr,g,max und Ns < min Ngr,s nur für N > 0 auftreten kann, gilt zur Berechnung von max Mz in jedem Fall:

s,grs NminN = (6.46) Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen (6.25) und (6.27) ergibt die Nachweis-bedingung (6.47).

gsgr,sz M22bNmina

2bNMmax max⋅+⋅−

−⋅=

(6.47)

min Mz

Ist der Nachweis für N−My erfüllt, wird die Biegebeanspruchung min Mz nicht mehr durch eine Stegbeulgefahr begrenzt. Maßgebend ist in jedem Fall die Tragfähigkeit der gedrückten Gurte. Aus diesem Grund wird die Nachweisbedingung für min Mz in Abhängigkeit von den Gurtteilschnittgrößen ermittelt, (6.48).

gogr,ousz Mmin2bNmin2bNaNMmin ⋅+⋅+⋅+⋅−= −

(6.48)

In Gleichung (6.48) sind die einzigen unbekannten Größen min Ngr,o und min Mg. Vergleichbar mit der für I−Profile beschriebenen Vorgehensweise ergibt die Lösung der Optimierungsbedingung min (No ⋅ b + 2 ⋅ Mg) die gesuchten Teilschnittgrößen. Für nicht beulgefährdete Gurte ist das Ergebnis )M2bN(min go ⋅+⋅ = Ngr,o,min sofort erkennbar. Die Tragfähigkeit beulgefährdeter Gurte wird für eine Druckkraft stärker reduziert als für eine Biegebeanspruchung. Aus diesem Grund ist eine weitergehende Untersuchung notwendig.


Einsetzen der N–M–Interaktionsbeziehung einer beulgefährdeten, dreiseitig gelager-ten Platte ergibt:

)M2bN(min go ⋅+⋅

elo,gr N)1(21N ⋅κ⋅ψ+⋅−=

elg,gr M)1(21M ⋅κ⋅ψ−⋅=

Einsetzen von in und b6MN elel ⋅= =>

)]21(M2[min el ψ⋅+⋅⋅κ⋅− Die Auswertung der Funktion - κ(1+2ψ) zeigt Bild 6.14. Der minimale Wert wird immer für ψ = 1 erreicht. Es gilt somit: min (No ⋅ b + 2 ⋅ Mg) = Ngr,o,min.

-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,02,53,0

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

b/t =15

b/t =12,5

)21( ψ⋅+⋅κ−

ψ

b/t =grenz (b/t)

Bild 6.14 Auswertung der Funktion - κ (1+2ψ) für unterschiedliche Schlankheiten,

Materialgüte S460, κ nach DIN 18800 T3, Zeile 4 mit -1 ≤ Ψ ≤ 1

6.3.3 Anwendungsgrenzen

Analog zur Untersuchung beulgefährdeter I−Profile müssen auch für U−Profile die Anwendungsgrenzen eines Teilschnittgrößenverfahrens geprüft werden. Hierzu erfolgt eine Betrachtung steg- und gurtbeulgefährdeter U−Profile.

6.3 U-Profile 125

Stegbeulgefährdete U-Profile

Stegbeulgefährdete U–Profile werden besonders ungünstig durch ein Biegemoment max Mz beansprucht. Abgesehen von der konstanten Stegdruckbeanspruchung sind zur Ausnutzung plastischer Gurttragreserven große Querschnittsrotationen erforder-lich. In Bild 6.15 wird ausgehend von dem Zustand , reine Zugkraft, die Auswir-kung einer anwachsenden Biegebeanspruchung abgebildet. In wird die Grenze der elastischen Tragfähigkeit erreicht, in erreicht die Druckseite ebenfalls die Streck-grenze und im Zustand ist sowohl die Zug- wie auch die Druckseite teilplastiziert.

Bild 6.15 Elastische und teilplastische Spannungsverteilungen


Nach der Plastizitätstheorie müssen theoretisch die Randdehnungen der Gurte gegen unendlich tendieren. In Wirklichkeit wird bereits bei relativ geringen Randdehnungen, ε = 2 ⋅ εy, M = 1,375 ⋅ Mel erreicht. Ausführliche Erläuterungen zur plastischen Grenztragfähigkeit rechteckiger Teilquerschnitte sind in [50] zu finden. Die in Kapitel 2 dargestellte Last−Stauchungskurve beulgefährdeter, allseitig gelagerter Platten verdeutlicht, dass die Tragfähigkeit mit zunehmender Stauchungen abnimmt, d.h. die Ausnutzung plastischer Gurttragreserven ist für stegbeulgefährdete U−Profile nur beschränkt möglich. Nach einer Überprüfung der Last-Stauchungskurven beulgefähr-deter, allseitig gelagerter Platten ist bis ca. εD = − 1,5 εy kein nennenswerter Trag-kraftverlust infolge Beulen feststellbar. Werden die Dehnungen im Steg auf εD = − 1,5 εy beschränkt, ist eine Modifizierung der N–M−Interaktionsbeziehung der angrenzen-den Gurte notwendig. Durch die Vorgabe einer Randdehnung und einer Normalkraft N kann aus der Geometrie das zugehörige Biegemoment berechnet werden, Gleichung (6.49) bis (6.51). Der Quotient plM/M∆ , Gleichung (6.51), gibt die Differenz zur plastischen N–M−Interaktionsbeziehung, Gleichung (6.52), an. Die Auswirkungen einer Deh-nungsbeschränkung εD = − 1,5 εy zeigt Tabelle 6.5.

( )( )pl

plDZ N/N1

N/N1−

+⋅ε=ε (6.49)

−⋅

ε

ε=

plD

yel

NN1

bb (6.50)

( ) 2el

pl

y2el

2el

pl bb

31

Mf6/bt4/bt

MM

⋅=

⋅⋅−⋅=

∆ (6.51)

2

plpl NN1

MM

−= (6.52)

Tabelle 6.5 Auswirkungen einer Dehnungsbeschränkung auf der Druckseite

plNN εD εZ b

bel

Abweichung zur plasti-schen N–M−Interaktion

plMM∆

N–M−Interaktion ohne Dehnungsbeschränkung

plMM

-0,2 - 1,5 εy 1,0 εy 0,8 0,21 0,96 -0,1 - 1,5 εy 1,23 εy 0,73 0,18 0,99

0 - 1,5 εy 1,5 εy 0,67 0,15 1 0,1 - 1,5 εy 1,83 εy 0,60 0,12 0,99 0,2 - 1,5 εy 2,25 εy 0,53 0,09 0,96 0,3 - 1,5 εy 2,79 εy 0,47 0,07 0,91 0,4 - 1,5 εy 3,5 εy 0,40 0,05 0,84

6.3 U-Profile 127

Die Randdehnung muss mit zunehmender Normalkraft von εD = − 1,5 εy zu εD = − εy übergehen, d.h. die Querschnittsrotation wird geringer. Im Vergleich zur plastischen N–M−Interaktionsbeziehung sind Abweichungen vorhanden. Aufgrund der Deh-nungsbeschränkung auf der Druckseite ist für eine geringe Druckkraft der Unterschied deutlicher als für eine Zugkraft. Eine Visualisierung der Berechnungsergebnisse ist auf der linken Seite von Bild 6.16 dargestellt.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4N/Npl

M/M

pl

Plastisch

Elastisch

Dehnungs-beschränkt

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4N/Npl

M/M

pl

1plN

N

plMM =+

8,0plM

M ≤

Bild 6.16 Auswirkung einer Dehnungsbeschränkung εD = − 1,5 εy für einen Rechteck-

querschnitt und Vorschlag einer einfachen Näherung

Unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus Tabelle 6.5 wird eine Beschränkung auf Mg = 0,80 Mpl,g vorgeschlagen. Dies entspricht dem 1,25–fachen des elastischen Grenzbiegemomentes. Durch die Begrenzung des Gurtmomentes kann eine sehr einfache und ausreichend genaue Interaktionsbeziehung aufgestellt werden, Gleichung (6.53).

8,0MMmit1

NN

MM

plplpl≤=+ (6.53)

In Bild 6.16 rechts ist die vereinfachte Interaktionskurve und ein Vergleich mit der dehnungsbeschränkten Interaktionskurve dargestellt. Die Näherung ist ausreichend genau.

Gurtbeulgefährdete U-Profile

Gurte von UPE− und UAP−Profilen aus hochfestem Stahl sind nicht beulgefährdet. Zur möglichen Modifizierung von Walzprofilquerschnitten und einer problemlosen Übertragung einer Teilschnittgrößenoptimierung auf gekantete und geschweißte Profile wird dieser Fall dennoch untersucht. Gurtbeulgefährdete U–Profile werden


besonders ungünstig durch ein Biegemoment min Mz beansprucht. Die Optimierungs-bedingung für den Fall min Mz ist min (No ⋅ b + 2 ⋅ Mg) = Ngr,o,min. Für den Fall Mgr,z,min zeigt Bild 6.17 links einen Vergleich der Spannungsverteilungen an der Grenze einer näherungsweise linearen Spannungsverteilung und Bild 6.17 rechts für den Fall No = Ngr,o,min und Mg = 0.

Näherungsweise lineare Spannungsverteilung

No = Ngr,o,min, Mg = 0

Bild 6.17 Spannungsverteilungen für Mgr,z,min gurtbeulgefährdeter U-Profile

Werden die zu einer näherungsweise linearen Grenzspannungsverteilung zugehörigen Dehnungen überschritten, wachsen die Verformungen senkrecht zur Plattenebene an. Ist eine Steigerung der Dehnungen ohne die Ausbildung einer Fließlinienkinematik möglich, ergibt sich im Extremfall der in Bild 6.17 rechts dargestellte nichtlineare Spannungszustand. Der dargestellte nichtlineare Spannungszustand hat nichts mehr mit den Grundlagen der zur Optimierung verwendeten Beulkurve gemeinsam. Falls dieser Zustand überhaupt ohne die Ausbildung einer Fließlinienkinematik erreicht werden kann, ist Ngr,o,min durch die großen Stauchungen vorraussichtlich deutlich geringer. Zur Verwendung der Beulkurve nach DIN 18800 T3 ist eine Beschränkung der Bedingungen zur Teilschnittgrößenoptimierung notwendig. Letztendlich muss im rechnerischen Grenzzustand die Spannungsverteilung näherungsweise elastisch bleiben. Damit ist klar, dass die Druckgurtkraft Ngr,g aus den elastischen Anteilen von My und N und zusätzlich aus dem unbekannten Anteil von Mgr,z besteht. Dieser Anteil wird in Bedingung mit X bezeichnet.

Xaba2MN)1(N

g

Myg,gr +

⋅⋅

⋅−⋅δ−= mit ges

Steg

AA

=δ

Die N–M−Interaktionsbeziehung beulgefährdeter, dreiseitig gelagerter Platten aus Tabelle 4.13 ergibt die Bedingung .

min,g,gr

g,grmin,g,gr1,g,grg,gr N

NNMM

−⋅=

6.3 U-Profile 129

Durch die Annahme einer näherungsweise elastischen Spannungsverteilung entspricht das Verhältnis zwischen Mgr,g und X Bedingung .

)1(6)1(bXM g,gr ψ+⋅

ψ−⋅⋅= mit

s

s

aba−

−=ψ

Auflösen von nach X und Einsetzen in ergibt .

)a2b(6

baba2MN)1(NM

s

2

g

Myg,grg,gr ⋅−⋅

⋅

⋅⋅

⋅−⋅δ−−−=

Einsetzen von in und Auflösen nach Ngr,g ergibt die gesuchte Grenzdruckkraft .

β+⋅

β+⋅⋅= −

min,g,gr2

MyN2

min,g,grg,gr NbNb

NN

mit g

MyMyN ab

a2MN)1(N⋅⋅

⋅−⋅δ−=−

( )s1,g,gr a2bM6 −⋅⋅=β Mgr,g1 = Mel ⋅ κ (ψ = −1) Mit Ngr,g ist auch das Grenzbiegemoment Mgr,g bekannt. 6.3.4 Nachweisbedingungen

Nachfolgend wird eine systematische Nachweisführung unter Berücksichtigung erforderlicher Beschränkungen zusammengestellt. Vorraussetzungsgemäß sind Mω = 0, N ≤ 0 und My ≥ 0. Aufgrund der Symmetrie ist der Nachweis für My < 0 analog und für N > 0 ist eine Beulproblematik eher unbedeutend. Eine tabellarische Auflistung der Nachweisbedingungen erfolgt in Tabelle 6.6. Zur Berechnung der Gurtbiegemo-mente max Mg und min Mg sind in Abhängigkeit von der Beulgefahr unterschiedliche Interaktionsbeziehungen zu verwenden. Eine tabellarische Zusammenstellung zeigt Tabelle 6.7. max Mg

Die Gurtteilschnittgrößen No und Nu sind bekannt, (6.54). )NNminN(5,0N ous,gro −−−⋅= )NNminN(5,0N ous,gru −+−⋅= (6.54)

Ist min Ngr,s ≥ Npl,M,s und o,M,plo NN ≥ ist weder der Steg noch der Gurt beulgefähr-det. Ein Nachweis kann nach dem Teilschnittgrößenverfahren nach [50] erfolgen.


Tabelle 6.6 Interaktion N ≤ 0 − My ≥ 0 − Mz beulgefährdeter U–Profile mit der größeren Druckbeanspruchung am gelagerten Gurtrand

yM

max,s,grM

ys Mba21MM ≤

⋅−⋅=

min,o,grg

Myouou N2

aba4MNNN ⋅≤⋅⋅

⋅==− −

N

1

−

⋅⋅+⋅≥ − 1

a2b)NN2(Nmin

soumin,o,grs,gr 0N

ab

2NN

s

oumin,o,gr ≤≤⋅

+ −

2

−

⋅⋅+⋅< − 1

a2b)NN2(Nmin

soumin,o,grs,gr

Nachweis ist in der Berechnung von max Mg > 0 enthalten

zM

gs,grsz Mmax22bNmina

2bNMmax ⋅+⋅−

−⋅=

gogr,ousz Mmin2bNmin

2bNaNMmin ⋅+⋅+⋅+⋅−= −

Gurtbiegemoment max Mg und min Mg nach Tabelle 6.7

max,s,grM , ,12.4TabellenachNmin s,gr min,o,grN nach Tabelle 4.13

o,M,plN , s,M,plN nach Tabelle 4.5, yg,pl ftbN ⋅⋅= , y

2

g,pl f4

tbM ⋅⋅

= Ist s,M,pls,gr NNmin < und o,M,plo NN ≥ , muss aufgrund der Stegbeulgefahr die vereinfachte Interaktionsbeziehung unter Beachtung einer Dehnungsbeschränkung verwendet werden. Ist zusätzlich zur Stegbeulgefahr die Bedingung zur Berechnung plastischer Tragfähigkeiten o,M,plo NN < nicht erfüllt, ist die Anwendung der Interak-tionsbeziehung nach Tabelle 4.13 erforderlich.

min Mg

Hier ist eine Unterscheidung in zwei Fälle notwendig. Eine Berechnung der Teil-schnittgröße No erfolgt nach Gleichung (6.55).

)NNmaxN(5,0N ous,gro −−−⋅= (6.55) Für o,M,plo NN ≥ ist die plastische N−M−Interaktionsbeziehung anwendbar. Andern-falls muss die im vorhergehenden Kapitel hergeleitete Beschränkung für beulgefähr-dete Gurte angewendet werden. In diesem Fall ist Ns < Ngr,s,max.

6.3 U-Profile 131

Tabelle 6.7 Gurtbiegemoment Mg

max Mz Fall Beulgefahr Gurtbiegemoment Mg

1-max s,M,pls,gr NNmin ≥

o,M,plous,gr N)NNminN(5,0 ≥−−⋅ −Teilschnittgrößenverfahren nach [50]

0NminN s,gr ≤− :

8,0N2

NNminN1

MMmax

g,pl

ous,gr

g,pl

g ≤

⋅

−−−= −

2-max s,M,pls,gr NNmin <

o,M,plous,gr N)NNminN(5,0 ≥−−⋅ −

0NminN s,gr >− :

8,0N2

NNminN1

MMmax

g,pl

ous,gr

g,pl

g ≤

⋅

+−−= −

0NminN s,gr ≤−

)NNminN(5,0N ous,gro −−−⋅= max Mg (No) nach Tabelle 4.13

3-max s,M,pls,gr NNmin <

o,M,plous,gr N)NNminN(5,0 <−−⋅ −

0NminN s,gr >−

)NNminN(5,0N ous,gru −+−⋅= max Mg (Nu) nach Tabelle 4.13

min zM Fall Beulgefahr Gurtbiegemoment Mg

1-min

pl,o,grous,gr N)NNmaxN(5,0 ≥−−⋅ − Teilschnittgrößenverfahren nach [50]

2-min

pl,o,grous,gr N)NNmaxN(5,0 <−−⋅ −

β+⋅

β+⋅⋅=

−

min,o,gr2

MN2

min,o,gro,gr Nb

NbNNmin y

)N(minMmin o,grg nach Tabelle 4.13

max,s,grM , ,12.4TabellenachNmin s,gr min,o,grN nach Tabelle 4.13

pl,o,grN , pl,s,grN nach Tabelle 4.5, yg,pl ftbN ⋅⋅= , y

2

g,pl f4

tbM ⋅⋅

= , ges

Steg

AA

=δ

,aba2MN)1(N

g

MyMN y ⋅

⋅⋅−⋅δ−=− ),a2b(M6 s1,g,gr −⋅⋅=β Mgr,g,1 nach Tab. 4.13


6.3.5 Interaktionskurven

Zur Verdeutlichung des Beuleinflusses auf die Tragfähigkeit von U−Profilen werden nachfolgend Interaktionskurven ausgewählter Querschnitte und Schnittgrößenkombi-nationen visualisiert. Zu Beginn erfolgt eine Auswertung für ein stegbeulgefährdetes UPE 400 Profil der Materialgüte S460. Zur Betonung der auftretenden Effekte wird der Steg zusätzlich auf ts = 0,8 cm reduziert. Das Ergebnis zeigt Bild 6.18.

g,plg,pl

s,grsgr,sz M

N2NminN

12b/2)Nmin(NaNMmax ⋅

⋅

−−⋅+⋅−+⋅−=

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0Ngr/Npl

max

Mgr

,z/M

pl

Plastisch

Elastisch


BeschränkungMg = 0,8 Mpl,g

UPE 400

Stegdicke: red ts = 0,8 cm

Bild 6.18 Auswertung der N-max Mz-Interaktionsbeziehung für ein UPE 400 mit reduzierter Stegdicke ts = 0,8 cm, o,M,plo NN ≥

Am oberen Rand von Bild 6.18 ist unter Verwendung der vereinfachten Interaktions-beziehung, Gleichung (6.53), die Grundgleichung zur Berechnung von max Mgr,z mit Beuleinfluss angeführt. Die Abflachung der Interaktionskurve resultiert aus der Beschränkung Mg ≤ 0,8 Mpl,g. Im Vergleich zur Kurve mit Beuleinfluss sind die plastische und die elastische N–M−Interaktionsbeziehung ohne Beuleinfluss einge-zeichnet. Die plastische Interaktionskurve ergibt sich, wenn anstatt der vereinfachten Gurtinteraktion die plastische Interaktionsbeziehung ( )2g,plmin,s,gr N/NN1 −− verwendet wird.

6.3 U-Profile 133

−

⋅⋅+⋅< − 1

a2b)NN2(Nmin

soumin,o,grs,gr , o,M,plo NN ≥

)a2b/(bNminMN2

NNminN14N ss,grg,pl

g,pl

ous,gr ⋅−

⋅−⋅

⋅

−−−⋅= −

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0Ngr/Npl

max

Mgr

,y/M

el,y

Elastisch


UPE 400


Bild 6.19 Auswertung der N-My-Interaktionsbeziehung für ein UPE 400 mit reduzierter Stegdicke ts = 0,8 cm,

Die Biegetragfähigkeit Mgr,y wird bereits für nicht beulgefährdete U–Profile durch die Forderung Mω = 0 auf die elastische Grenztragfähigkeit Mel,y beschränkt. Bild 6.19 zeigt die N–My−Interaktion, die zugehörigen Grundgleichungen und eine Auswertung für das modifizierte, stegbeulgefährdete UPE 400 Profil. Bei der Herleitung der Gleichungen ist ebenfalls die vereinfachte N–M−Gurtinteraktionsbeziehung verwen-det worden. Zum Abschluss der Untersuchungen wird die N–My–max Mz−Interaktion betrachtet. In Abhängigkeit vom Verhältnis der einwirkenden Beanspruchungen wird zusätzlich zum Grenzzustand Steg min Ngr,s entweder am Druckgurt oder am Zuggurt die Grenztragfähigkeit erreicht. Überwiegt im Vergleich zur Biegebeanspruchung My eine Druckbeanspruchung N, wird der Grenzzustand Druckgurt maßgebend. Im umgekehr-ten Fall der Zuggurt. Mit der vereinfachten Gurtinteraktionsbeziehung ergeben sich je nach Grenzzustand zwei Gleichungen zur Berechnung von max Mgr,z. Die Grundglei-chungen und eine Auswertung für das modifizierte, stegbeulgefährdete UPE 400 Profil zeigt Bild 6.20. Für My = 0,3 Mel,y ist sehr gut zu erkennen, dass keine Be-schränkung des Gurtmomentes notwendig ist.


0NminN s,gr ≤− , undM8,0M g,plg ⋅≤ o,M,plo NN ≥

⋅

−−+⋅⋅+⋅−

−⋅= −

gpl,

ousgr,gpl,sgr,sz N2

NNminN1M2

2bNmina

2bNMmax

0NminN s,gr >− , undM8,0M g,plg ⋅≤ o,M,plo NN ≥

⋅

+−−⋅⋅+⋅−

−⋅= −

gpl,

ousgr,gpl,sgr,sz N2

NNminN1M2

2bNmina

2bNMmax

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0Ngr/Npl

max

Mgr

,z/M

pl

BeschränkungMg = 0,8 Mpl,g

My/Mel,y =0

My/Mel,y =0,3

UPE 400


Bild 6.20 Grundgleichungen und beispielhafte Auswertung der N–My–max Mz–Inter-aktionsbeziehung stegbeulgefährdeter U–Profile

Gurtbeulgefährdete U–Profile

Walzprofile aus hochfestem Stahl sind nicht gurtbeulgefährdet. Aus diesem Grund erfolgen an dieser Stelle nur einige Erläuterungen zur Teilschnittgrößenoptimierung gurtbeulgefährdeter U−Profile. Für die N−My−Interaktion und die N−My−min Mz−Interaktion entspricht das Ergebnis der Teilschnittgrößenoptimierung exakt einem Nachweis nach DIN 18800 T3. Durch eine Reduktion der Gurtdruckbeanspruchung infolge Mz > 0 ist die N−My−max Mz−Interaktion auf jeden Fall auf der sicheren Seite, wenn vorab nachgewiesen worden ist, dass die Schnittgrößen N und My aufgenommen werden können.

6.4 Beispiele 135

6.4 Berücksichtigung der Ausrundungsradien

Ist ein Querschnittsteil beulgefährdet, ergibt eine Idealisierung von Walzprofilquer-schnitten durch ein Überlappungsmodell ungünstig hohe Schlankheiten der Einzelble-che. Ein wirtschaftlicher Nachweis sollte die Reduzierung der Schlankheit durch Ausrundungsradien berücksichtigen. Für Gurte von Walzprofilen ist dies bereits in den Tabellen zur Einzeltragfähigkeit berücksichtigt. Gurte von U−Profilen sind nicht beulgefährdet, so dass nachfolgend ausschließlich beulgefährdete Stege behandelt werden. Die Reduzierung der Stegschlankheit durch Ausrundungsradien zeigt Bild 6.21.

Bild 6.21 Reduzierung der Stegschlankheit durch Ausrundungsradien (Überlappungs-

modell)

Die reduzierte Steghöhe wird nach Gleichung (6.56) ermittelt. r2tab gg

* ⋅−−= (6.56)Nachfolgend werden alle Größen, die sich auf die reduzierte Steghöhe beziehen, mit einem * gekennzeichnet. Bei einem Nachweis ist entweder die Teilschnittgröße Ns oder Ms bekannt. Der Anteil von Ns oder Ms, der auf die reduzierte Steghöhe entfällt, kann nach (6.57) berechnet werden.

sg**

s Na/bN ⋅= oder s3

g**

s M)a/b(M ⋅= (6.57)

Die Ermittlung der zusätzlich zu den Teilschnittgrößen *sN oder *

sM zulässigen Grenzschnittgrößen *

s,grM oder *s,grN erfolgt nach Tabelle 4.12.

*s,grM oder *

s,grN nach Tabelle 4.12 mit b = b* (6.58)Mit den Grenzschnittgrößen für die reduzierte Steghöhe können die zusätzlich zu den Teilschnittgrößen Ns oder Ms aufnehmbaren Grenzschnittgrößen s,grM oder s,grN nach (6.59) berechnet werden.

el,s,gr3*

g*

s,grs,gr M)b/a(MM ≤= oder

el,s,gr*

g*

s,grs,gr Nb/aNN ≤⋅= (6.59)


6.5 Beispiele

Nachfolgend verdeutlichen drei Beispiele den Verfahrensablauf einer Teilschnittgrö-ßenoptimierung. Ebenso soll ein Vergleich der Ergebnisse mit den zulässigen Beanspruchbarkeiten aktueller Normen zeigen, dass der Verzicht auf die starre Einteilung in Nachweisverfahren oder Querschnittsklassen teilweise erheblich günstigere Ergebnisse liefert. Beispiel 1: N–My−Interaktion / Querschnitt HEA 1000

In Beispiel 1 wird die N−My−Interaktion für ein HEA 1000 untersucht. Zum Ver-gleich der Teilschnittgrößenoptimierung mit den Beanspruchbarkeiten nach DIN 18800 und Eurocode 3 wird eine Normalkraft vorgegeben und das zusätzlich auf-nehmbare Biegemoment max My berechnet. Beanspruchung: N = −1.000 kN, max My =? Querschnitt: HEA 1000 Material: S460, γM = 1,1 Geometrie: Gurt tg = 31 mm / b = 300 mm

Steg ts = 16,5 mm / ag = 959 mm, r = 30 mm Teilschnittgrößenoptimierung nach Tabelle 6.3: Zuerst erfolgt die Berechnung der Grenzschnittgrößen für den Obergurt und den Untergurt. Da Mz und Mω gleich Null sind, ist Mo = Mu = 0 und die Grenznormalkräf-te können ohne Berücksichtigung einer N−M−Interaktion ermittelt werden. Vorab ist die Möglichkeit einer Gurtbeulgefahr zu überprüfen.

• min Ngr,o und max Ngr,u

k,y

G

f2411

tb

⋅≤ => 9,76,31,32,11

<= mit 2

3025,1630bG⋅−−

=

Die Gurte sind nicht beulgefährdet. kN889.31,1/461,330ftbNminNmin d,ygu,gro,gr −=⋅⋅−=⋅⋅−==

kN889.31,1/461,330ftbNmaxNmax d,ygo,gru,gr =⋅⋅=⋅⋅==

Um den Nachweis zu führen, dass die Druckkraft N aufgenommen werden kann, ist eine Berechnung der zulässigen Stegdruckkraft Ngr,s,min notwendig. Aufgrund der hohen Stegschlankheit ist die Beachtung einer Beulgefahr notwendig. Der Abminde-rungsfaktor κ wird unter Ansatz einer Stegeinspannung nach Tabelle 4.12 berechnet. Die verwendete Beulkurve basiert auf den Regelungen der DIN 18800 T3. Die Berücksichtigung der Ausrundungsradien erfolgt durch eine Berechnung von κ mit der verringerten Steghöhe b* nach Kapitel 6.4.

6.5 Beispiele 137

• Ngr,s,min

8,86321,39,95bbund125,025,1cmit

1791,08,86

65,14697,66,175.4

8,8665,1

4697,68,137

bt

fk6,4175

bt

fk8,137c

*

2

2

k,yk,y

=⋅−−===ψ⋅−=

≤=

⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅⋅=κ σσ

(Tabelle 4.12)

kN234.51,1

469,9565,1791,0N)1(21N s,elmin,s,gr −=⋅⋅⋅−=⋅κ⋅ψ+−=

Mit min Ngr,o und Ngr,s,min sind die Grenzdruckkräfte der Einzelbleche bekannt. Eine Addition der Einzeltragfähigkeiten ergibt die Grenzdruckkraft für den Querschnitt.

• Grenzdruckkraft grNmin 0NNNmin2Nmin min,s,gro,grgr ≤≤+⋅=

0000.1kN012.13234.5)889.3(2 <−<−=−−⋅ Nachdem eine ausreichende Normalkrafttragfähigkeit nachgewiesen werden konnte, erfolgt die Berechnung eines zusätzlich aufnehmbaren Biegemomentes My. Hierzu ist eine Fallunterscheidung notwendig.

• Grenzbiegemoment My 0NNmaxNNmin u,grmin,s,gro,gr ≤≤++

0000.1234.5 ≤−≤− => Fall 2 ist maßgebend Die Druckkraft ist so gering, dass der Untergurt die Untergurttragfähigkeit max Ngr,u erreichen kann und der beulgefährdete Steg in der Lage ist einen Gleichgewichtszu-stand herzustellen. Damit ergibt sich die Stegdruckkraft Ns.

u,gro,grs NmaxNminNN −−= kN000.1889.3889.3kN000.1Ns −=−+−=

Nachfolgend muss das zusätzlich zu Ns maximal aufnehmbare Biegemoment Ms ermittelt werden. Die Berechnung erfolgt aus der N-M-Interaktionsbeziehung für den Steg. Aufgrund einer möglichen Beulgefahr ist vorab eine Überprüfung der Zulässig-keit notwendig. Nach Tabelle 4.5 kann die Schnittgröße Npl,M,s ermittelt werden, so dass die plastische Interaktionsbeziehung gerade noch anwendbar ist.

51,04624

*bt37*7,26

4624376,52t/*b =⋅⋅=α=>=⋅>= (Tabelle 4.5)

kN000.1NkN8,119N*)21(N s*

s,pl*

s,M,pl −=>−=⋅α⋅−= Die plastische Interaktion darf nicht verwendet werden.


Nach Tabelle 5.7 ist für ein HEA 1000 die Elastizitätstheorie ohne Beuleinfluss anwendbar, wenn das Randspannungsverhältnis ψ ≤ 0,47 ist. Damit ergeben sich für ψ = 0,47 die Grenzschnittgrößen Nel,M,s und Mel,N,s.

kN000.1NkN6,863.4N)1(5,0N ss,els,M,el −=<−=⋅ψ+⋅−=

kNcm027.28M)1(5,0M s,els,N,el =⋅ψ−⋅= Die Grenztragfähigkeit liegt zwischen der elastischen und plastischen Interaktions-kurve. Auf der sicheren Seite ist eine Berechnung von Ms nach der Elastizitätstheorie. An dieser Stelle wird die in Kapitel 4 eingeführte Interpolation zwischen der elasti-schen und plastischen Interaktionskurve gewählt. Hierzu ist eine Übertragung der auf die verringerte Steghöhe b* bezogenen Größen auf die gesamte Steghöhe notwendig.

kN8,119NN *s,M,pls,N,pl −==

51,0)5,0(bb5,0 *

*=−α⋅+=α

kNcm582.158M)1(4M s,pls,N,pl =⋅α−⋅α⋅=

kNcm358.134NN

NN)MM(MMmax

s,M,els,M,pl

s,M,elss,N,els,N,pls,N,els,gr =

−

−⋅−+=

Mit den Teilschnittgrößen kann das zusätzlich zur Druckkraft N maximal aufnehmba-re Biegemoment My berechnet werden.

kNcm313.507M2a

)NminN(maxMmax s,grg

o,gru,gry =+⋅−=

Nach DIN 18800 T1 ist aufgrund der hohen Stegschlankheit ein Nachweisverfahren Elastisch−Plastisch nicht zulässig. Ebenso muss der Querschnitt nach Eurocode 3 in die Querschnittsklasse 3 eingestuft werden. Das zulässige Biegemoment

kNcm640.435Mmax y = muss nach der Elastizitätstheorie berechnet werden. Die Teilschnittgrößenoptimierung ergibt ein um ca. 16,5 % größeres max My.

Beispiel 2: N–My−Mz−Interaktion / Querschnitt HEA 1000

In Beispiel 2 wird die N−My−Mz−Interaktion untersucht. Der Querschnitt ist ebenfalls ein HEA 1000. Gesucht ist das zusätzlich zu einer vorgegebenen Beanspruchung N und Mz aufnehmbare Biegemoment max My. Beanspruchung: N = −6.000 kN, Mz = 38.890 kNcm, My = ? kNcm Querschnitt: HEA 1000 Material: S460, γM = 1,1 Geometrie: Gurt tg = 31 mm / b = 300 mm

Steg ts = 16,5 mm / ag = 959 mm, r = 30 mm

6.5 Beispiele 139

Teilschnittgrößenoptimierung nach Tabelle 6.3: Zuerst erfolgt die Berechnung der Teilschnittgrößen für den Obergurt und die maxi-mal zulässige Untergurtzugkraft.

• Grenzschnittgrößen der Gurte

kNcm445.192890.38MM uo ===

k,y

G

f2411

tb

⋅≤ => 9,76,31,32,11

<=

Die Gurte sind nicht beulgefährdet.

kN245.2MM1ftbNmaxNmin

o,pl

od,ygu,gro,gr −=−⋅⋅⋅−=−=

Die Berechnung der zulässigen Stegdruckkraft ist identisch mit Beispiel 1.

• Ngr,s,min

kN234.51,1

469,9565,1791,0N)1(21N s,elmin,s,gr −=⋅⋅⋅−=⋅κ⋅ψ+−=

Eine Addition der Einzeltragfähigkeiten ergibt die Grenzdruckkraft min Ngr. • Grenzdruckkraft grNmin

0NNNmin2Nmin min,s,gro,grgr ≤≤+⋅= 0kN000.6kN724.9234.5)245.2(2 <−<−=−−⋅

Nachdem eine ausreichende Normalkrafttragfähigkeit nachgewiesen werden konnte, erfolgt die Berechnung eines zusätzlich aufnehmbaren Biegemomentes My. Hierzu ist eine Fallunterscheidung notwendig.

• Grenzbiegemoment My u,grmin,s,gro,grgr NmaxNNminNNmin ++<≤

234.5000.6724.9 −<−<− => Fall 1 ist maßgebend Die Stegdruckkraft ist Ns = Ngr,s,min und max My kann direkt berechnet werden.

kNcm566.1782a

)NNmin2N(Mmax gmin,s,gro,gry =−⋅−=

Nach DIN 18800 T1 ist aufgrund der hohen Stegschlankheit bereits für die Beanspru-chungen N und Mz das Verfahren Elastisch−Plastisch nicht mehr zulässig. Das Gleiche gilt für einen Nachweis nach Eurocode 3. Da Mz ≈ Mel,z entspricht, kann selbst ohne Berücksichtigung einer Beulgefahr die Schnittgröße N nicht mehr aufge-nommen werden. Die Teilschnittgrößenoptimierung ergibt somit durch den Verzicht auf die starre Einteilung in Nachweisverfahren und Querschnittsklassen eine erheblich höhere Beanspruchbarkeit.


Beispiel 3: N–Mz−Interaktion / Querschnitt UPE 400 mit red ts = 0,8 cm

In Beispiel 3 wird für ein UPE 400 mit reduzierter Stegdicke die N−Mz−Interaktion untersucht. Gesucht ist das zusätzlich zu einer vorgegebenen Beanspruchung N aufnehmbare Biegemoment max Mz. Beanspruchung: N = −100 kN, Mz = ? kNcm Querschnitt: UPE 400 (modifiziert) Material: S460, γM = 1,1 Geometrie: Gurt tg = 18 mm / b = 114,6 mm

Steg ts = 8 mm, ag = 382 mm, as = 32,9 mm, aM = 46,4 mm, r= 18 mm Nachweis nach Tabelle 6.6: Für My = 0 ist die Stegteilschnittgröße Ms = 0, und für die Differenz der Gurtnormal-kräfte gilt ebenfalls Nu-o = 0. Zum Nachweis der Druckkraft N ist die Berechnung der Grenzdruckkraft für den Steg und der Gurte erforderlich.

• min Ngr,s

k,y

G

f2411

tb

⋅≤ => 9,76,48,135,8

<=

Die Gurte sind nicht beulgefährdet. kN6,8621,1/468,146,11ftbNmin d,ygo,gr −=⋅⋅−=⋅⋅−=

Aufgrund der hohen Stegschlankheit muss für den Steg eine Beulgefahr berücksichtigt werden. Der Abminderungsfaktor κ wird nach Tabelle 4.12 berechnet. Die verwende-te Beulkurve basiert auf den Regelungen der DIN 18800 T3. Bei der Ermittlung von kσ wird keine Stegeinspannung berücksichtigt. Aufgrund der Ausrundungsradien erfolgt eine Berechnung von κ mit der verringerten Steghöhe b* nach Kapitel 6.4.

• min Ngr,s cm8,328,128,12,38b* =⋅−−=

775,0)8,32/8,0(46/46,175.48,32/8,046/48,137 2 =⋅⋅−⋅⋅=κ (Tab. 4.12) kN9901,1/462,388,0775,0Nmin s,gr −=⋅⋅⋅−=

Zum Nachweis der Grenzdruckkraft ist eine Fallunterscheidung notwendig. Da der Steg beulgefährdet ist und die Gurte nicht beulgefährdet sind, ist sofort erkennbar, dass der Fall 2 maßgebend wird. In diesem Fall ist Ns = min Ngr,s und der Nachweis für die Normalkraft N ist erfüllt, wenn es ein Gurtbiegemoment Mg gibt, dass die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt. Das Gurtbiegemoment Mg kann in Abhängigkeit von der Beulgefahr der Einzelbleche nach Tabelle 6.7 berechnet werden. In diesem Fall ist der Steg beulgefährdet, und für die Gurte gilt o,M,plo NN < .

6.5 Beispiele 141

• Gurtbiegemoment Mg:

g,plg,pl

ous,grg,plg M8,0

N2NNminN

1MMmax ⋅≤

⋅

−−−= −

⋅ (Tabelle 6.7)

kNcm977.1kNcm197.18632

09901001471.2Mmax g ≤=

⋅

−+−−⋅=

Zum Schluss wird aus den bekannten Teilschnittgrößen das zusätzlich zur Beanspru-chung N aufnehmbare Biegemoment max Mz ermittelt.

• max Mz

gs,grsz Mmax22bNmina

2bNMmax ⋅+⋅−

−⋅=

kNcm823.7197.12246,1199029,3

246,11100Mmax z =⋅+⋅+

−⋅−=

Durch den beulgefährdeten Steg ist nach DIN 18800 T3 ein Verfahren Elastisch-Plastisch nicht zulässig. Ebenso muss der Querschnitt nach Eurocode 3 in die Quer-schnittsklasse 4 eingeteilt werden. Bei einem Nachweis stellt sich heraus, dass die Querschnittstragfähigkeit durch Erreichen der Streckgrenze auf der Zugseite be-schränkt wird. Das zusätzlich zur Normalkraft N aufnehmbare Biegemoment beträgt max Mz = 5.262 kNcm. Die Teilschnittgrößenoptimierung ergibt ein um ca. 48,7 % größeres max Mz. DIN 18800 T2 Zum Abschluss erfolgt ein Vergleich der Teilschnittgrößenoptimierung mit einer Berechnung nach DIN 18800 T2 Verfahren Elastisch−Plastisch (mit Beuleinfluss):

• Beispiel 1: max My = 485.619 kNcm (mod. TSV 507.313 kNcm) • Beispiel 2: max Mz = 73.459 kNcm (mod. TSV 178.566 kNcm) • Beispiel 3: max Mz = 8.169 kNcm (mod. TSV 7.823 kNcm)

In Beispiel 1 und Beispiel 2 ergibt die Teilschnittgrößenoptimierung höhere Tragfä-higkeiten. Dies ist auf die bereits beschriebene ungünstige Ermittlung der Stegtragfä-higkeit nach DIN 18800 T2 zurückzuführen. Da der Steg in Beispiel 2 konstant auf Druck beansprucht wird, ist hier der Unterschied besonders groß. In Beispiel 3 ist die Beanspruchbarkeit nach DIN 18800 T2 geringfügig größer. Der Unterschied resultiert aus der Verwendung einer linearisierten N−M−Interaktionsbeziehung bei der Teil-schnittgrößenoptimierung. Die aus einer Dehnungsbeschränkung auf der Druckseite resultierende Linearisierung ist in Abschnitt 6.3.3 ausführlich erläutert worden. Aktuell muss der in der Praxis tätige Ingenieur aus mehreren möglichen Verfahren das für den jeweiligen Querschnitt und Beanspruchung beste Verfahren herausfinden. Durch eine Teilschnittgrößenoptimierung ist eine Unterscheidung in Nachweisverfah-ren oder Querschnittsklassen nicht mehr notwendig. Bei der Bemessung wird automa-tisch die rechnerisch größte Tragfähigkeit ermittelt.

7 Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit hochfester Walzprofile erforscht. Eine Gliederung erfolgt in zwei Themenschwer-punkte. Diese werden zum einen durch die Untersuchung beulgefährdeter Einzelble-che und zum anderen durch die Übertragung der am Einzelblech gewonnen Erkennt-nisse auf hochfeste Walzprofile gebildet. Die linearisierte Beultheorie ist auch heute noch eine unverzichtbare Hilfe zur Berechnung realer Tragfähigkeiten beulgefährdeter Platten. Hierzu erfolgt eine Übersicht zur Ermittlung idealer Beulspannungen und eine Zusammenstellung, Visualisierung und Erläuterung maßgebender Phänomene. Im Einzelnen werden die Form der Beulen in Abhängigkeit von der Beanspruchung, – Druck oder Schub – , der Einfluss der Geometrie, die Auswirkung einer Einspannung im Vergleich zu einer gelenkigen Längsrandlagerung und der Unterschied zwischen dreiseitig und vierseitig gelagerten Platten veranschaulicht. Versuche belegen, dass das Versagen schlanker Platten nicht unmittelbar nach einer ersten Beulenbildung erfolgt. Trotz zunehmender Verformungen ist häufig eine weitere erhebliche Laststeigerung möglich. Dieses Phänomen wird durch eine Versuchsnachrechnung mit dem FE–Programmsystem Abaqus untersucht. Eine Darstellung der Spannungsverteilungen im Traglastzustand demonstriert die Aus-bildung eines zweiachsigen Spannungszustands und erklärt eine daraus resultierende Tragfähigkeitssteigerung. Ebenso wird der zugehörige Verlauf der Blechbiegung in Plattenlängs- und in Plattenquerrichtung visualisiert und erläutert. Weitere Untersu-chungen folgen für dreiseitig gelagerte Bleche. Eine Zusammenstellung der Versagensmechanismen unterschiedlich gelagerter Bleche schließt die Analyse maßgebender Beulphänomene ab. Beulkurven sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung realer Tragfähigkeiten beulgefährdeter Bleche. Nach einer Sichtung bekannter Versuchs- und Forschungser-gebnisse wird durch eine neue schnittgrößenorientierte Darstellungsform ein Beitrag zum besseren Verständnis geleistet, Widersprüche an Übergängen einzelner Regelun-gen aufgedeckt und missverständliche Bestimmungen erläutert. Eine einfache Nähe-rung erweitert die Berechnungsmöglichkeiten allseitig gelagerter Platten bis zur plastischen Tragfähigkeit. Für dreiseitig gelagerte Platten wird gezeigt, dass die in der DIN 18800 T1, Tabelle 1, Zeile 4 und 5 vorgegebene Beschränkung auf ein Rand-spannungsverhältnis ψ = 1 nicht notwendig ist und eine Diskussion der Regelungen im Eurocode 3 deckt Probleme beim Ansatz wirksamer Breiten auf. Die fundamenta-len Erkenntnisse bilden die Grundlage zur Herleitung elementarer Gleichungen zur Grenzschnittgrößenberechnung mit Beuleinfluss rechteckiger Bleche. Eine Beulgefahr zusammengesetzter Querschnitte wird nach DIN 18800 T1 durch einen Vergleich der vorhandenen Schlankheit (b/t) mit dem Grenzwert der Schlank-heit grenz (b/t) überprüft. Grenzwerte grenz (b/t) werden unter der Annahme gelenkig

7. Zusammenfassung 143

gelagerter Einzelbleche hergeleitet. Zur Berücksichtigung der Ausrundungsradien von Walzprofilen erfolgt die Entwicklung eines Hohlkastenmodells. Eine anschließende Untersuchung aller stegbeulgefährdeten Profile mit den FE–Programmsystemen Abaqus und RUB–Beulen zeigt, dass die hohe Torsionssteifigkeit der Ausrundungsra-dien zu einer Einspannung beulgefährdeter Profilteile führt. Die maximale Abwei-chung der idealen Beulspannung zur Volleinspannung beträgt 4,5 %. Ausnahmen sind die Profile HEAA 600 bis 1000 und UPE 300 – 400 mit einer Abweichung von 6 – 10 %. Profile mit beulgefährdeten Gurten sind ebenfalls mit dem Programm RUB–Beulen und mit dem Programmsystem Abaqus unter Ansatz des Hohlkastenmodells untersucht worden. Anders als bei beulgefährdeten Stegen liegt der Einspanngrad nur bei ca. 70 – 90 %. Die gleichzeitige Prüfung der Zusatzbeanspruchung einspannender Bauteile ergibt, dass der Einfluss bei druck- und biegebeanspruchten Walzprofilen vernachlässigt werden kann. Als Ergebnis kann im Vergleich zur DIN 18800 T1 eine größere Anzahl hochfester Walzprofile als nicht beulgefährdet eingestuft werden. Ebenso zeigt sich für die verbleibenden Profile, dass eine Beulgefahr nur für eine überwiegende Druckbeanspruchung auftritt. Zur Untersuchung des Beuleinflusses auf die Tragfähigkeit von Walzprofilen aus hochfestem Stahl erfolgt eine Zusammenstellung und Darstellung möglicher Beulphä-nomene beulgefährdeter I– und U–Profile und eine Übersicht bekannter Berech-nungsmethoden. Es zeigt sich, dass kein bekanntes Verfahren geeignet ist, Tragfähig-keiten mit Beuleinfluss für sämtliche N–My–Mz−Schnittgrößenkombinationen einfach und ausreichend wirtschaftlich zu ermitteln. Abgesehen von den vielfach sehr auf-wändigen Iterationen sind in den meisten Fällen Lösungen für Einzelprobleme optimiert worden, ohne über den gesamten Tragfähigkeitsbereich sinnvolle Lösungen zu ergeben. Aktuell muss der in der Praxis tätige Ingenieur in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie und der Beanspruchung das beste Verfahren herausfinden. Durch die Entwicklung einer Teilschnittgrößenoptimierung für beulgefährdete I– und U–Profile wird diese Lücke geschlossen. Zuerst erfolgt eine Herleitung elementarer Grundgleichungen und nachfolgend werden für unterschiedliche Schnittgrößenkom-binationen und wechselnde beulgefährdete Einzelelemente systematische Nachweis-bedingungen unter Berücksichtigung erforderlicher Beschränkungen hergeleitet. Eine Unterscheidung in Nachweisverfahren oder Querschnittsklassen ist nicht mehr notwendig. Bei der Bemessung wird automatisch die rechnerisch größte Tragfähigkeit ermittelt. Beispielhaft wird an hochfesten Walzprofilen der Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit durch Interaktionskurven der Grenzschnittgrößen veranschaulicht. Einen Vergleich der Ergebnisse mit bekannten Methoden, Versuchstraglasten und mit an Versuchen kalibrierten FE-Berechnungen verifizieren die gewonnenen Erkenntnis-se. Im Hinblick auf eine praktische Anwendung kann eine Teilschnittgrößenoptimie-rung den Einfluss des Beulens auf die Tragfähigkeit von I– und U–Profilen auf einfache Art und Weise visualisieren und eine Optimierung der Profilgeometrie unterstützen. Durch die Untersuchung aller möglichen Kombinationen beulgefährde-ter Profilteile ist eine Übertragung der gewonnenen Erkenntnisse auf geschweißte oder gekantete Profile problemlos möglich.

Anhang Elementare Bedingungen des Teilschnittgrößenverfahrens nach [50] für doppelsym-metrische I – Profile. Tabelle A.1 Nachweisbedingungen für die τ-Schnittgrößen Mxp, Vy, Vz und Mxs nach [50]

Nachweisbedingungen:

1VV

M2M

M2M 2

g,pl

o2

g,xp,pl

g,xp

g,xp,pl

g,xp

R

o ≤

+

⋅+

⋅=

ττ

1VV

M2M

M2M 2

s,pl

s2

s,xp,pl

s,xp

s,xp,pl

s,xp

R

s ≤

+

⋅+

⋅=

ττ

1VV

M2M

M2M 2

g,pl

u2

g,xp,pl

g,xp

g,xp,pl

g,xp

R

u ≤

+

⋅+

⋅=

ττ

mit: gxsyo aM2VV += gxsyu aM2VV −=

Tg,Txpg,xp IIMM ⋅= Ts,Txps,xp IIMM ⋅=

Rechenwerte: Vpl,g = τR ⋅ b ⋅ tg

Vpl,s = τR ⋅ hs ⋅ ts

Mpl,xp,g = 4/)tb2(t g

2gR −⋅⋅⋅τ

Mpl,xp,s = 4/)th2(t ss2sR −⋅⋅⋅τ

IT,g = 3/tb 3

g⋅ 3fyR =τ

IT,s = 3/th 3ss ⋅ IT = 2 ⋅ IT,g + IT,s

Tabelle A.2 Ermittlung von Mpl,o,τ, Mpl,u,τ, Ngr,o und Ngr,u nach [50]

|Mo| ≤ Mpl,o,τ = ( )2Roy

2g 1f4bt ττ−⋅⋅⋅

mit: Mo = Mz / 2 - Mω / ag |Mu| ≤ Mpl,u,τ = ( )2Ruy

2g 1f4bt ττ−⋅⋅⋅

mit: Mu = Mz / 2 + Mω / ag ( ) τ−⋅ττ−⋅⋅⋅= ,o,plo

2Roygo,gr MM11fbtN

( ) τ−⋅ττ−⋅⋅⋅= ,u,plu

2Ruygu,gr MM11fbtN

(τo/τR) und (τu/τR) siehe Tabelle A.1

Vorzeichen der Schnittgrößen beachten!

Anhang 145

Schichtweise Visualisierung der σy – Spannungen einer beulenden Platte Oberfläche

Mittelfläche

Integration über die Plattendicke

Anhang 146

Schichtweise Visualisierung der Schubspannungen einer beulenden Platte Oberfläche:

Integration über die Plattendicke

Literaturverzeichnis

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Teil 1: Bemessung und Konstruktion, Teil 2: Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken Teil 3: Stabilitätsfälle, Plattenbeulen Teil 5: Verbundtragwerke aus Stahl- und Beton (Entwurf 01.99)

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