Zum Pfadverhalten vonMarkovschen Prozessen, die mitLevy-Prozessen vergleichbar sind

von

Rene Leander Schilling

aus Dillingen a. d. Donau

Zum Pfadverhalten vonMarkovschen Prozessen, die mitLevy-Prozessen vergleichbar sind

Den Naturwissenschaftlichen Fakultatender Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg

zur

Erlangung des Doktorgrades

vorgelegt von

Rene Leander Schilling

aus Dillingen a. d. Donau

Als Dissertation genehmigt von den NaturwissenschaftlichenFakultaten der Universitat Erlangen-Nurnberg

Tag der mundlichen Prufung: 26. 7. 1994

Vorsitzender der Promotionskommission: Professor Dr. Klaus Brodersen

Erstberichterstatter: Privatdozent Dr. Niels Jacob

Zweitberichterstatter: Professor Dr. Heinz Bauer

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 2

1 Grundlagen 161.1 Zur Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Halbgruppen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Levy–Prozesse und negativ definite Funktionen . . . . . . . . . . . . 25

2 Subordination und Bernstein–Funktionen 31

3 Elementare Pfadeigenschaften Levyscher und mit diesen vergleich-barer Prozesse 493.1 Ein Reflexionsprinzip fur Levy–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Vergleichbare Prozesse und ihre Ubergangswahrscheinlichkeiten . . . . 59

4 Pfadeigenschaften vergleichbarer Prozesse: Variation und Haus-dorffsche Dimension 704.1 Die Variation vergleichbarer Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Die Hausdorff–Dimension vergleichbarer

Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Eine Darstellungsformel fur die Erzeuger subordinierter Halbgrup-pen 1065.1 Stieltjes–Funktionen und vollstandige

Bernstein–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Eine Integraldarstellung des Erzeugers . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3 Zum Definitionsbereich des Erzeugers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Literaturverzeichnis 141

1

Einleitung

Die vorliegende Arbeit behandelt einige Aspekte des Pfadverhaltens von Levy–Typ Prozessen mit Werten in Rd, die mit d–dimensionalen Levyschen Prozessenvergleichbar sind. Das Augenmerk gilt dabei vornehmlich Fragen der Regularitat,der λ–Variation und der Hausdorffschen Dimension der Pfade.

Eine zentrale Rolle in unseren Ausfuhrungen wird der Begriff der Vergleichbarkeitvon Prozessen spielen. Vom analytischen Standpunkt aus konnte man zwei Prozessevergleichbar nennen, wenn die Erzeuger der zu den Prozessen gehorenden Halbgrup-pen vergleichbar sind, genauer, wenn die Symbole der Erzeuger sich gegeneinanderabschatzen lassen. Fur probabilistische Belange bietet sich jedoch eher ein Vergleichder Prozesse auf der Ebene der Ubergangswahrscheinlichkeiten an. Beide Konzeptewerden wir im folgenden darstellen.

Ein stochastischer Prozeß (Ω,A,P,Rd, Xt, t ≥ 0) mit stationaren und unabhangi-gen Zuwachsen, der stetig in Wahrscheinlichkeit ist, heißt d–dimensionaler Levy–Prozeß. Levy–Prozesse sind auf Grund ihrer Definition translationsinvariante Fel-ler–Prozesse, deren Ubergangswahrscheinlichkeiten eine stark stetige Faltungshalb-gruppe Ttt≥0 bilden. Die Verteilung P0

Xtder ZufallsvariableXt ist somit unbegrenzt

teilbar, ihre Fourier–Transformierte

P0Xt

(ξ) :=

∫

Rdei(ξ,x) P0

Xt(dx) = e−ta(ξ)

durch die Angabe des charakteristischen Exponenten a eindeutig bestimmt. Als cha-rakteristische Exponenten kommen genau die stetigen negativ definiten Funktionenmit a(0) = 0 in Frage, siehe [6] Theorem 8.3, fur die Definition, fur elementareEigenschaften und die Levy–Khinchine–Darstellung negativ definiter Funktionenvgl. auch Abschnitt 1.4. Da fur Testfunktionen u ∈ C∞c (Rd)

(Ttu− u

t

)∧(ξ) =

(P0Xt? u− ut

)∧(ξ) =

e−ta(ξ) − 1

tu(ξ)

t↓0−→ −a(ξ)u(ξ)

im Sinne der Konvergenz im Mittel gilt, erhalten wir fur den Erzeuger A des Pro-zesses bzw. der Halbgruppe

Au(x) = −(2π)−d∫

Rda(ξ)u(ξ)e−i(x,ξ) dξ (u ∈ C∞c (Rd)),

2

d. h. wir konnen A als Pseudodifferentialoperator −a(D) mit Symbol −a(ξ) betrach-ten.

Es bietet sich nunmehr an, zu Pseudodifferentialoperatoren uberzugehen, derenSymbole (x, ξ) 7→ p(x, ξ), x, ξ ∈ Rd, auch vom Aufenthaltsort x abhangen und somitaus dem bisherigen translationsinvarianten Kontext fallen. Notwendig dafur, daß derOperator

−p(x,D)u(x) := −(2π)−d∫

Rdp(x, ξ)u(ξ)e−i(x,ξ) dξ (u ∈ C∞c (Rd)),

einen Feller–Prozeß erzeugt, ist die Forderung, daß das Symbol p(x, ξ) stetig undfur jedes x in der Variablen ξ negativ definit ist (vgl. Courrege [17]). HinreichendeBedingungen an p(·, ·) gaben Jacob [47]–[49], Hoh und Jacob [42] und, uber dieLosung des Martingalproblems zu p(x,D), Hoh [39]–[41].

Die wesentliche Forderung ist dabei, daß das Symbol p(x, ξ) mit einer stetigennegativ definiten Funktion a vergleichbar ist, daß also

ca(ξ) ≤ p(x, ξ) ≤ Ca(ξ) (x, ξ ∈ Rd, |ξ| groß)(1)

mit zwei Konstanten 0 < c ≤ C erfullt ist.

Dieser analytisch motivierten Vergleichbarkeit von Prozessen tritt die Vergleich-barkeit auf der Ebene der Ubergangswahrscheinlichkeiten zur Seite. Zwei Markov–Prozesse (Ω,A, Pxx∈Rd ,Rd, Xt,Ft, t ≥ 0) und (Ω, A, Pxx∈Rd ,Rd, sXt, Ft, t ≥ 0),die zum Zeitpunkt t = 0 im selben Punkt x ∈ Rd starten und sich dann im weiterenZeitverlauf gemaß

kt,x Px(Xt ∈ B) ≤ Px(Xt ∈ B) ≤ Kt,x Px(Xt ∈ B) (t ≥ 0, B ∈ B)(2)

mit nur vom Startpunkt und der Zeit abhangenden Konstanten 0 < kt,x ≤ Kt,x <∞entwickeln, nennen wir vergleichbar . Gilt fur die Prozesse die erste Ungleichungin (2), dann schreiben wir Xtt≥0 ≺ Xtt≥0, ist die zweite Ungleichung erfullt,Xtt≥0 ≺ Xtt≥0. Im folgenden werden wir haufig eine der folgenden Annahmenan die Vergleichskonstanten benotigen:

(A.1) Es gilt 0 < c ≤ kt,x gleichmaßig in t und x;

(A.2) Es gilt Kt,x ≤ C <∞ gleichmaßig in t und x;

(A.3) Es gilt lim infn→∞

supx∈Rd

k−1/δnδn,x

<∞ fur eine Nullfolge δnn∈N.

Im weiteren sei Xtt≥0 stets ein Levy–Prozeß mit Erzeuger −a(D) und Xtt≥0

der von −p(x,D) erzeugte Prozeß. Bezeichnet T (x, dy) = PxXt(dy) die zum Opera-tor −p(x,D) korrespondierende Operatorenhalbgruppe, dann finden wir fur u ∈D(p(x,D)) wegen

−p(x,D)Ttu(x) = −p(x,D)

∫

Rdu(y) Tt(x, dy) =

d

dt

∫

Rdu(y) Tt(x, dy)

3

auch

Ttu(x)− u(x) =

∫ t

0

(−p(x,D))Tsu(x) ds,

d. h. Tt ist eine Fundamentallosung des Operators ∂∂t

+ p(x,Dx). Diese Beobach-tung laßt erwarten, daß die Konzepte der Vergleichbarkeit von Erzeugern und vonUbergangswahrscheinlichkeiten eng zusammenhangen. Fur einen gleichmaßig starkelliptischen—und damit im Sinne von (1) mit a(ξ) = |ξ|2 vergleichbaren—Differ-entialoperator p(x,D) in Divergenzform mit C2

b –Koeffizienten, zeigte Aronson [1]die Vergleichbarkeit der Fundamentallosungen

c(cπ)d/2 (cπt)−d/2e−|x−y|2ct ≤ T (x, y) ≤ C(Cπ)d/2 (Cπt)−d/2e−

|x−y|2Ct ,(3)

x, y ∈ Rd, t ≥ 0, mit nur von der Elliptizitatskonstanten abhangigen Konstan-ten C, c > 0. Durch Integration nach y erhalten wir aus (3) unmittelbar (2); dievon −p(x,D) erzeugte Diffusion ist also nach oben und unten jeweils mit einerBrownschen Bewegung vergleichbar. Mit Hilfe von Subordination im Sinne vonBochner (s. u.) konnen wir uns von der lokalen Situation losen und erhalten so dieVergleichbarkeit der entsprechenden subordinierten Prozesse (Beispiel 3.17).

Fixiert man im Symbol des Erzeugers −p(x,D) eines Levy–Typ Prozesses dieOrtsvariable x, dann erzeugt −p(x0, D) einen Levyschen Prozeß. Levy–Typ Pro-zesse verhalten sich daher, jeweils in Abhangigkeit von ihrer Position, wie Levy–Prozesse. (Mit Hilfe dieser Uberlegung gelang es Roth [69], die Ubergangshalbgrup-pen von Diffusionen vom Levyschen Typ durch die von translationsinvarianten Dif-fusionen zu approximieren). Da beide Prozesse die Markov–Eigenschaft besitzenund immer wieder neu gestartet werden konnen, besagt in diesem Zusammenhangdie Vergleichbarkeit im Sinne von (2), daß ein fester Levy–Prozeß als Referenz-prozeß ausgezeichnet ist. Insbesondere sollte sich daher das Pfadverhalten des nichttranslationsinvarianten Prozesses von dem des Referenzprozesses nicht allzusehr un-terscheiden.

Die Eigenschaften der Pfade Levyscher Prozesse sind eingehend untersucht wor-den. Einen Einblick in die Breite und Variationen dieses Themas geben die Uber-blicksartikel von Fristdedt [25] und Taylor [74]. Gegenstand der Untersuchungenwaren u. a. das Wachstumsverhalten der Pfade fur t→ 0 und t→∞, Transienz undRekurrenz des Prozesses, Mehrfachpunkte und Selbstuberschneidungen, λ–Variationund Hausdorffsche Dimension der Pfade. Im Rahmen dieser Arbeit beschrankenwir uns auf die letzten beiden Themenkreise, sowie die Regularitat der Pfade.

Bereits 1947 untersuchte Bochner [12] (insbesondere pp. 1031–1037, Section7 & 8) fur eindimensionale additive Prozesse Xtt≥0, unter welchen BedingungenVariationssummen der Art

varΦ(·)(X(·, ω),Πn, [0, 1]) =n∑j=0

Φ(X(tj+1, ω)−X(tj, ω))

4

fur eine positive, subadditive Funktione Φ und immer feiner werdende PartitionenΠn des Intervalls [0, 1] einen endlichen Grenzwert besitzen, d. h. unter welchen Be-dingungen der Prozeß Pfade von endlicher Lange besitzt. Bochner konnte dafurnotwendige und hinreichende Kriterien mit Hilfe der zum Prozeß assoziierten negativdefiniten Funktion a angeben, vgl. auch [13] p. 131–132, Theorem 5.3.5.

Die von Bochner entwickelten Methoden wendete McKean [55] auf reellwer-tige symmetrisch α–stabile Prozesse an, deren negativ definite Funktionen durchξ 7→ |ξ|α, 0 < α ≤ 2 gegeben sind. Die starke λ–Variation VARλ := supvar|·|

λ:

Π endliche Partition ist P-fast sicher

VARλ(X(·, ω), [0, 1]) <∞, falls α < λ < 1VARλ(X(·, ω), [0, 1]) =∞, falls 0 < λ ≤ α < 1

(P0–f. s.),(4)

([55] p. 568, Theorem (3.3)). Die Verallgemeinerung von (4) fur d–dimensionale(symmetrisch) stabile Prozesse gelang Blumenthal und Getoor [8], die (4) zu-nachst fur stabile Subordinatoren (das sind positive Prozesse mit f. s. wachsen-den Pfaden) und dann, mittels Subordination und der Holder–Stetigkeit einerBrownschen Bewegung, fur stabile Prozesse zeigten ([8], pp. 269–271, Theorem4.1).

Um eine großere Klasse von Levy–Prozessen untersuchen zu konnen, fuhrtenBlumenthal, Getoor in [10] die folgenden Indices fur Levysche Prozesse ohneGaussschen Anteil und mit nicht dominierender Drift (siehe Definition 1.19) ein,

β := infλ > 0 :

∫|x|<1 |x|λ ν(dx) <∞

β′ := supλ ≥ 0 :

∫Rd |ξ|λ−d 1−exp(−Re a(ξ))

Re a(ξ)dξ <∞

,

wobei a der charakteristische Exponent und ν das Levy–Maß (Sprungmaß) desProzesses ist. Fur α–stabile Prozesse findet man β = β′ = α. In Analogie zu (4)zeigten Blumenthal, Getoor ([10], pp. 498–500, Theorem 4.1 & 4.2)

VARλ(X(·, ω), [0, 1]) <∞, falls β < λ < 1VARλ(X(·, ω), [0, 1]) =∞, falls 0 < λ < β < 2

(P0–f. s.).(5)

Der Beweis beruht auf der Analyse des Verhaltens der Pfade t→ Xt(ω) fur t→ 0: inAbhangigkeit vom Index β erhalt man fur λ > β bzw. λ < β fast sicher Xt = o(t1/λ)bzw. lim supt→0 t

−1/λXt = ∞. Die Einschrankung β < 1 in der ersten Zeile von (5)konnte Monroe [58] aufheben. Sein Beweis stutzt sich auf die Tatsache, daß jedesMartingal—und damit auch zentrierte Levy–Prozesse—durch eine (stochastische)Zeittransformation aus einer Brownschen Bewegung erhalten werden kann undman dann auf diese Weise Holder–Bedingungen nahe t = 0 zur Verfugung hat.

Untersuchungen, die das Konvergenzverhalten einer Folge von Variationssummenbetreffen, finden sich bei z. B. bei Millar [57], Greenwood [27] und Greenwoodund Fristedt [28].

Die Hausdorffsche Dimension von Mengen

X(E, ω) := X(t, ω) ∈ Rd : t ∈ E,

5

E ⊂ [0,∞) Borelsch, wurde zuerst von McKean [56] fur eine d–dimensionaleBrownsche Bewegung Xtt≥0 untersucht, [56] p. 231, Theorem (3.1):

dimX(E, ω) ≤ 2 dimEdimX(E, ω) ≥ (2 dimE) ∧ d (P0-f. s.).(6)

Die Abschatzung der Dimension nach oben folgt dabei aus der Holder–StetigkeitBrownscher Pfade und dem Transformationsverhalten des Hausdorff-Maßes un-ter Holder–stetigen Funktionen (siehe Lemma 4.42). Die Abschatzung nach untenberuht auf dem Ergebnis von Frostman, daß eine Menge von positiver λ–Kapazitatauch positives λ–dimensionales Hausdorff–Maß besitzt.

In Verbindung mit Subordination folgt unmittelbar, daß (6) auch fur symme-trische α–stabile Prozesse—mit α an Stelle von 2—gilt, vgl. [8]. Bereits fur stabileProzesse benotigt man andere Techniken, vgl. [9]. Fur allgemeinere Levy–Prozessezeigten Blumenthal, Getoor in [10] p. 507, Theorem 8.1, wiederum mit Hilfeder Indices β und β′,

dimX(E, ω) ≤ β dimE (β < 1)dimX(E, ω) ≥ (β′ dimE) ∧ d (P0–f. s.),(7)

wobei die Einschrankung β < 1 spater von Millar [57] p. 69, Theorem 5.1 aufge-hoben werden konnte.

Die Abschatzung nach unten verwendet wiederum McKeans Kapazitatsargu-ment, wobei jedoch an Stelle der Holder–Stetigkeit nun E0(|Xt|−λθ) = o(t−θ) furt → 0 mit 0 < λ < β′ ∧ d und 0 < θ ≤ 1 tritt. Fur die Abschatzung nach obenbenotigen Blumenthal und Getoor die Subadditivitat gebrochener Potenzen≤ 1, was die Beschrankung β < 1 erklart. Wir skizzieren daher den allgemeine-ren Ansatz Millars: subtrahiert man vom Prozeß Xtt≥0 alle Sprunge, die be-tragsmaßig großer als eine vorgegebene Konstante c sind, dann erhalt man wieder-um einen Levy–Prozess X(c)(t, ·)t≥0, der auf Grund der stochastischen StetigkeitLevyscher Prozesse nahe t = 0 fast sicher mit dem ursprunglichen Prozeß uberein-stimmt. Da bei der Berechnung des Hausdorffschen Maßes von X(E, ω) wegen derStationaritat der Zuwachse von Xtt≥0 nur das Verhalten der Pfade bei t = 0 inter-essiert, erhalt man P0–f. s. dimX(E, ω) = dimX(c)(E,ω) fur alle c > 0. Zusammenmit der Abschatzung

E0(|X(c)(t, ·)|λ) ≤M(c, ν, λ) t (0 ≤ t ≤ 1, λ > β),

vgl. Millar [57] pp. 55–58, Theorem 2.1 & 2.2—die Konstante M(c, ν, λ) hangtdabei nur von λ, c und dem Levy–Maß ν des Prozesses Xtt≥0 ab—folgt dann dieBehauptung mittels eines Uberdeckungsarguments. Den Fall dimE = 1 behandeltMillar gesondert, was aber nicht notwendig ist, wie unser Beweis von Satz 4.40zeigt.

Scharfere Dimensions-Abschatzungen gewinnt man mit der Methode von Pruitt[65], wenn E = [0, 1] ist. Dazu benotigen wir einen weiteren Index

γ := supλ ≥ 0 : lim supr→0 r

−λ ∫ 1

0P0(|Xt| ≤ r) dt <∞

,

6

der ein Maß fur die durchschnittliche Verweildauer des Prozesses in kleinen Kugelnum den Ursprung ist. Auf Grund der Stationaritat laßt sich dann aus dem (mar-ginalen) Verhaltnis von Aufenthaltsdauer pro Durchmesser die im Mittel erwarteteAnzahl von Kugeln errechnen, die den Pfad gerade uberdecken. Diese Uberlegung,zusammen mit dem density theorem fur Maße ([68] pp. 6–8, Lemma 3), zeigt dann

dimX([0, 1], ω) = γ (P0-f. s.).(8)

Uber die bisher skizzierten Resultate hinausgehend zeigten Hawkes [32] fur α–stabile Prozesse

P0(dimX(E, ω) ≥ α dimE ∀ Borel-Mengen E) = 1,

und fur beliebige Levy–Prozesse Pruitt und Hawkes [35]

P0(dimX(E, ω) ≤ β dimE ∀ Borel-Mengen E) = 1.

Den Mittelpunkt des Beweises bildet die Bemerkung, daß die Menge X(E, ω) fureine ganze Familie von Mengen E gleichmaßig mit einer nicht zu schnell wachsen-den Anzahl immer kleiner werdender Kugeln bzw. Wurfel uberdeckt werden kann.Der Beweis dieses Uberdeckungslemmas (vgl. [35] p. 280, Lemma 3.1) verwendeteinerseits Stoppzeiten, andererseits die Tatsache, daß fur solche Stoppzeiten τ dieZufallsvariablen Xτ+s −Xτ und Xs dieselben Verteilungen besitzen.

Da fur Stoppzeiten unsere Vergleichsabschatzungen (2) nicht ubertragbar sind,mussen wir auf gleichmaßige Dimensionsabschatzungen verzichten.

Die Behandlung nicht translationsinvarianter Prozesse ohne stationare Zuwach-se—im folgenden bezeichnen wir diese zur Unterscheidung vom Levy–Prozeß Xtt≥0

mit Xtt≥0—erfordert modifizierte Methoden. Insbesondere muß die Definition derIndices der neuen Situation angepaßt werden. Argumente, die sich direkt auf diePfade des Prozesses beziehen, etwa Millars Abschneidetrick, konnen nicht di-rekt ubernommen werden, da der Vergleich endlich–dimensionaler Verteilungen nochnicht pfadweise Vergleichbarkeit zulaßt.

Im ersten Kapitel sind einige im weiteren immer wieder auftretende Begriffe undNotationen zusammengestellt. Neben der analytischen Theorie von stark stetigenOperatoren–Halbgruppen (C0–Halbgruppen) auf einem Banach–Raum gehen wirkurz auf den Zusammenhang von Halbgruppen und stochastischen Prozessen ein.Insbesondere betrachten wir Levy–Prozesse, fur die wir sowohl probabilistische (Pf-adverhalten, Ito–Darstellung) als auch analytische (Halbgruppe, charakteristischeFunktion) Kennzeichnungen angeben. Ferner finden sich hier einige Eigenschaftennegativ definiter Funktionen sowie die Definitionen der Indices β, β′, β′′ und γ.

Auch das zweite Kapitel hat vorbereitenden Charakter. Wir untersuchen Subor-dinatoren, das sind fast sicher wachsende Levy–Prozesse mit Werten in [0,∞). Das

7

hier zusammengestellte Material ist nicht neu, jedoch scheint die Art der Prasentati-on neuartig: Subordinatoren werden konsequent als spezielle Levy–Prozesse behan-delt. Vornehmlich analytische Betrachtungen finden sich bei Bochner [13] Chapter4.4 ff. und Berg, Forst [6] §9, wahrend Karatzas, Shreve [52] pp. 405–411,Section 6.2.C, Blumenthal, Getoor [10] oder Huff [43] eine weitgehend proba-bilitsitsche Darstellung wahlten.

Zunachst zeigen wir, daß Subordinatoren Stt≥0 und vag stetige Faltungshalb-gruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen µtt≥0 mit Trager in [0,∞) durch die Be-ziehung P0

St= µt einander entsprechen. Daraus folgt schon die besondere Gestalt

der Levy–Khinchine–Formel der negativ definiten Funktion a eines Subordinators(Satz 2.5). Anders als bei allgemeinen Levy–Prozessen erklaren wir den charakteri-stischen Exponenten f eines Subordinators mit Hilfe der Laplace–Transformation.Wir finden insbesondere, daß f(x) = a(ix), x ≥ 0, gilt. Die Menge der charakte-ristischen Exponenten von Subordinatoren sind genau die Bernstein–Funktionenmit f(0) = 0.

Den Ubergang vom Prozeß X(t, ω) zu X(t, ω) := X(St(ω), ω) nennt man Subor-dination im Sinne von Bochner. Dabei werden die Prozesse Xtt≥0 und Stt≥0

als unabhangig angenommen. Bezeichnen Ttt≥0 und T ft t≥0 die den Prozessenentsprechenden C0–Kontraktionshalbgruppen, dann ist

T ft = Bochner–

∫

[0,∞)

Ts µt(ds)(9)

die analytische Entsprechung der stochastischen Zeittransformation. Ist Xtt≥0 einLevy–Prozess mit stetiger negativ definiter Funktion a, dann wird Xtt≥0 durchdie stetige negativ definite Funktion f a beschrieben. In der Tat gilt auch dieUmkehrung: die einzigen auf den stetigen negativ definiten Funktionen operieren-den Funktionen sind die Bernstein–Funktionen (Satz 2.9). Den ursprunglichenBeweis dieses Satzes von Harzallah [31] konnten wir fur stetige negativ defi-nite Funktionen auf Rd etwas vereinfachen. Neu hingegen scheint ein Kriterium zusein, unter welchen Umstanden Subordination (9) auch fur nicht kontrahierende C0–Halbgruppen moglich ist: kann die Bernstein–Funktion f des Subordinators linksdes Ursprungs bis zum großten Eigenwert des Erzeugers der zu subordinierendenHalbgruppe Ttt≥0 als C∞–Funktion fortgesetzt werden, so ist T ft t≥0 wohldefi-niert (Satz 2.13).

In Kapitel drei zeigen wir vorab ein Reflexionsprinzip fur symmetrische Levy–Prozesse. In Analogie zum Reflexionsprinzip fur eine reelle Brownsche BewegungBtt≥0,

P0(

sup0≤s≤t

Bs ≥ a) ≤ 2P0

(Bt ≥ a

)(t ≥ 0, a ∈ R)

(Gleichheit gilt fur positive a), erhalten wir fur einen reellen Levy–Prozeß Xtt≥0

2P0(Xt > Xτ

) ≤ P0(

sup0≤s≤t

Xs > a) ≤ 2P0

(Xt ≥ Xτ

)(t ≥ 0, a ∈ R),

8

wobei τ fur die erste Eintrittszeit in das offene Intervall (a,∞) steht (Satz 3.2);Gleichheit gilt fur stark Fellersche Prozesse. Der Beweis beruht im wesentlichenauf der ursprunglichen Idee Desire Andres, wonach die Zahl der Pfade, die nachUberspringen der Schranke a zum Zeitpunkt τ oberhalb oder unterhalb von Xτ

verlaufen, gleich groß ist. Fur einen symmetrischen Prozeß mit Werten in Rd findenwir mit Hilfe der Dreiecksungleichung

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| > a) ≤ 2dPx

(|Xt −Xr| ≥ a/d),(10)

r, t, a ≥ 0, und fur nicht notwendig symmetrische Prozesse

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| > a+ b) ≤ 4d

1− 2δPx(|Xt −Xr| ≥ a/(2d)

),(11)

r, t, a, b ≥ 0, wobei die Konstante von der Wahl von b und der Lange des Zeitintervalls[r, t] abhangt (Satz 3.13).

Im Anschluß daran wird der Begriff der Vergleichbarkeit (2) zweier MarkovscherProzesse entwickelt. Insbesondere wird die Vergleichbarkeit hoherdimensionaler Ver-teilungen untersucht. Die wichtigste Aussage ist dabei, daß die Vergleichskonstantenaus (2) beim Vergleich m–dimensionaler Verteilungen in der m-ten Potenz einge-hen (Lemma 3.18). Im Hinblick darauf ist es bedeutsam, ein Reflexionsprinzip furProzesse Xtt≥0 zu besitzen, die mit symmetrischen Levy–Prozessen vergleichbarsind. Ist der Prozeß Xtt≥0 stark Markovsch (selbst aber nicht notwendig sym-metrisch), dann gelten fur diesen die Beziehungen (10) und (11). Die dort auftreten-den Konstanten hangen dann aber noch vom Verhaltnis der Vergleichskonstanten,supKs,x/ks,x : r ≤ s ≤ t, x ∈ Rd, ab (Satz 3.23 & 3.28).

Relativ einfach lassen sich fur d–dimensionale Prozesse aus der VergleichbarkeitXtt≥0 ≺ Xtt≥0 Regularitatsaussagen fur die Pfade des Prozesses Xtt≥0 ablei-ten: erfullt Xtt≥0 das Kolmogorovsche Kriterium (3.34), das Dynkin-Kinney–Kriterium (3.35) oder Dynkins Kriterium (3.36), und hat somit f. s. Holder–stetige bzw. stetige bzw. cadlag Pfade, so trifft das auch auf Xtt≥0 zu (Satz 3.22).

Weitergehende Pfadeigenschaften, λ–Variation und Hausdorffsche Dimensionder Pfade auf kompakten Zeitintervallen, sind Inhalt des vierten Kapitels. Grund-satzlich kann man sagen, daß sich die oben angegebenen Resultate fur Levy–Prozesse unter einer der Annahmen (A.1) bis (A.3) an die Vergleichskonstantenauf die Situation vergleichbarer Prozesse ubertragen lassen. Von nun an sei Xtt≥0

ein Rd–wertiger Levy–Prozeß mit den Indices β, β′, γ und Xtt≥0 ein (stark) Mar-kovscher Prozess mit demselben Zustandsraum.

Fur Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 mit (A.1) gilt

Px(VARλ(X(·, ·), [0, 1]) =∞) = 1 (0 < λ < β ≤ 2).

Der Beweis basiert auf einer Abschatzung

Ex(

exp(−var|·|λ

(X(·, ·),Π, [0, 1])))→ 0

9

fur immer feiner werdende endliche Partitionen Π des Intervalls [0, 1]. Dabei gehtauch das Verhalten des Levy–Prozesses nahe t = 0 ein (Satz 4.2). Umgekehrt geltenunter der Annahme Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 mit (A.3)

Px(VARλ(J

X(·, ·), [0, 1]) <∞) = 1 (0 < β < λ < 2)(12)

Px(VARλ(X(·, ·), [0, 1]) <∞) = 1 (0 < β < λ < 1).(13)

Hier steht J X fur den zu Xt gehorenden Sprungprozeß (Satz 4.4, 4.6 & Korollar4.9). Der Beweis von (12) stutzt sich auf die Ungleichung

∑0<s≤1

|J X(s, ω)|λ ≤ lim infΠ

var|·|λ

(X(·, ω),Π, [0, 1]),

worin der Limes inferior uber eine Folge von Partitionen Π gebildet wird, die gegeneine dichte Teilmenge von [0, 1] aufsteigen. Es sollte angemerkt werden, daß (12) furLevy–Prozesse, d. h. wenn Xt = Xt, mit Index β < 1 bereits Aussagen uber dieEndlichkeit der starken Variation zulaßt. Dazu beachte man, daß sich in diesem Falldie Ito–Darstellung des Prozesses zu X(t, ω) = c t+

∑0<s≤t J

X(s, ω) vereinfacht.

(13) wird zunachst fur Prozesse Xtt≥0 gezeigt, die mit einem symmetrisch α-stabilen Levy–Prozeß vergleichbar sind (0 < α < 1). Diese Prozesse lassen sichmit Hilfe geeigneter Subordinatoren aus einer Brownschen Bewegung darstellen,so daß der Beweis im Kern auf die Holder–Stetigkeit der Pfade einer BrownschenBewegung zuruckgreift. Die Einschrankung α < 1 ist notwendig, um bei Verfeinerungder Partitionen monoton wachsende Variationssummen zu erhalten. Nach einemErgebnis von Monroe [59] lassen sich zentrierte Levy–Prozesse als rechtsstetigeMartingale in eine Brownsche Bewegung einbetten. Somit gilt der oben skizzierteBeweis zunachst fur zentrierte und dann—mittels eines Abschneidetricks (vgl. Satz4.8 und die anschließende Bemerkung)—fur beliebige Levy–Prozesse.

Unter ahnlichen Voraussetzungen wie bei (13), jedoch mit dem limes inferioreiner Folge von Variationssummen an Stelle der starken Variation, kann (13) ohnedie Einschrankung λ < 2 gezeigt werden (Korollar 4.10).

Um die Hausdorff–Dimension der Pfade des Prozesses Xtt≥0 zu bestimmen,wird in ublicher Weise das λ-dimensionale Hausdorff–Maß Λλ(·) eingefuhrt undan den Zusammenhang zwischen Hausdorffscher Dimension und λ-Kapazitat er-innert, der in dieser Form auf Frostman zuruckgeht. Dabei ist die λ–Kapazitateiner Borel–Menge B ⊂ Rd durch

capλ(B) :=

(inf

∫

B

∫

B

|x− y|−λ µ(dx)µ(dy) : µ ∈M1+(B)

)− 1λ

(λ > 0)

gegeben.In Analogie zu den Indizes fur Levy–Prozesse werden fur einen Mar-kovschen Prozeß Ytt≥0 die folgenden verallgemeinerten Indices eingefuhrt (De-finition 4.20):

β′(Y, x) := supλ ≥ 0 : Ex

(|Yt − Ys|−λ)

= O (|t− s|−1)

fur s− t→ 0,

10

γδ(Y, x) := sup

λ ≥ 0 :

∫ δ

0

Ex(|Yt − Ys|−λ

)dt <∞ ∀s ∈ [0, δ]

= sup

λ ≥ 0 : lim sup

r0

1

rλ

∫ δ

0

Px(|Yt − Ys| ≤ r) dt <∞ ∀s ∈ [0, δ]

,

δ > 0, die der fehlenden Stationaritat der Zuwachse und TranslationsinvarianzRechnung tragen. Fur kleine δ gilt stets γδ(Y, x) ≥ β′(Y, x). Ist Yt selbst ein d-dimensionaler Levy-Prozeß, dessen Indices β, β′ und γ seien, dann findet man

β′ ∧ d ≤ β′(Y, x) = β′(Y, 0) ≤ β und γ ≤ γδ,

fur symmetrische Prozesse sogar

γ = β′ ∧ d = γδ(Y, x) = β′(Y, x).

Vergleichbare Prozesse Xtt≥0 ≺ Ytt≥0 ≺ Xtt≥0 erfullen unter den Annahmen(A.1) und (A.2) β′(X, x) = β′(X, x) und γδ(X, x) = γδ(X, x).

Es sei Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 mit (A.1). Zusammen mit Satz 4.25 und Korollar 4.26finden wir

Px(

dim X(E, ·) ≥ (β′ ∧ d) dimE)

= 1

fur Borelsche Zeitmengen E und alle Startpunkte x (Korollar 4.27). Dabei besagenSatz 4.25 bzw. Korollar 4.26, daß fur Markovsche Prozesse Ytt≥0

Px(

dimY (E, ·) ≥ β′(Y, x) dimE)

= 1

gilt.Da der Index γδ(X, x) die mittlere Verweildauer des Prozesses Xtt≥0, Xtt≥0 ≺

Xtt≥0 mit (A.1), in einem Wurfel kleiner Kantenlange angibt, erhalten wir mitPruitt und Hawkes’ Idee der optimalen Uberdeckung eines Pfades bessere Ab-schatzungen fur Zeitintervalle E = [0, δ]

Px(

dim X([0, δ], ·) ≥ limδ→0

γδ(Y, x) ≥ γ)

= 1

(Satz 4.29 & Korollar 4.32). Ein wesentliches Hilfsmittel ist dabei ein maßtheore-tischer Satz von Rogers und Taylor (Satz 4.28), der, richtig interpretiert, eineAussage uber die Moglichkeit (gleichmaßiger) endlicher Uberdeckungen eines Pfadesdurch kleine Kugeln macht.

Abschatzungen der Dimension von X([0, δ], ω) nach oben ergeben sich bereitsaus den Aussagen uber die Endlichkeit der (starken) Variation der Pfade diesesProzesses. Die Idee dabei ist, daß das λ-dimensinale Hausdorff–Maß in gewisserWeise die λ-Variation verallgemeinert (Lemma 4.33 & Satz 4.34). Dieser Ansatz istdaher auf Zeitintervalle, somit auf Mengen der Dimension 1 beschrankt.

Mit Hilfe eines Abschneidetricks kann man aus Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 ≺ Xtt≥0,Xtt≥0 symmetrisch, mit (A.1) und (A.2) bereits auf

Px(

dim X(E, ·) ≤ β dimE)

= 1 (0 < β ≤ 2)

11

fur Borelsche E ⊂ [0, 1] schließen (Satz 4.40 & 4.43). Der Beweis (β < 2) kom-biniert drei Elemente: erstens, daß es genugt, den Prozeß Xtt≥0 auf den MengenΩR := ω ∈ Ω : supt≤1 |Xt| ≤ R zu betrachten, was Sprunge großer als 2R aus-schließt, zweitens das Reflexionsprinzip, das die Verteilung der Durchmesser vonzufalligen Mengen X([r, t], ω) durch endlich–dimensionale Verteilungen zu beherr-schen erlaubt, und schließlich die Abschatzung

Ex(|X(t, ·)|λ 1ΩR

) ≤ C(R, λ, ν) t (λ > β)

fur kurze Zeiten t > 0 mit einer nur von R, λ, dem Levy–Maß ν des ProzessesXtt≥0 und den Vergleichskonstanten abhangenden Konstante.

Der Fall β = 2 bedarf einer gesonderten Behandlung. Da dannXt im wesentlicheneine Brownsche Bewegung ist, besitzt auch der Prozeß Xtt≥0 fast sicher Holder–stetige Pfade bis zur Ordnung 1/2. Die Behauptung folgt daher aus dem bekanntenVerhalten des Hausdorff–Maßes unter Holder–stetigen Transfomationen.

Wahlt man—wie oben—als Ausgangspunkt der Betrachtungen einen gleichmaßigstark elliptischen Differentialoperator, dann finden wir mit Hilfe der Aronson–Abschatzungen (3), daß der zugehorige Diffusionsprozeß gegen zwei (unterschiedlichschnelle) Brownsche Bewegungen vergleichbar ist und daß die Vergleichskonstan-ten (A.1) und (A.2) erfullen. Die nur einseitige Vergleichbarkeit nach oben oderunten mit einer jeweils anderen Brownschen Bewegung kann durch eine elementareAbschatzung (siehe Beispiel 3.17 & Bemerkung 3.27) behoben werden; das gilt auchfur die subordinierten Prozesse. Somit gelten z. B. alle Dimensionsaussagen fur dieseKlasse von Beispielen.

Das letzte Kapitel kommt nochmals auf die Subordination von C0–Halbgruppenzuruck. Wie oben seien a eine stetige negativ definite Funktion und p(·, ·) das Sym-bol eines Pseudodifferentialoperators, der eine (nicht translationsinvariante) C0–Halbgruppe erzeugt. Beginnend mit der analytischen Vergleichbarkeit der Symbolea und p(·, ·) zeigte Jacob u. a. in [49] mit Hilfe von Storungsargumenten

D(p(x,D)) = D(a(D)) = H1,a(Rd) = u ∈ L2(Rd) : ‖u‖1,a <∞,(14)

wobei die Norm des anisotropen Sobolev–Raums H1,a(Rd) durch

‖u‖1,a =

∫

Rd|1 + a(ξ)|2|u(ξ)|2 dξ

gegeben ist.Subordiniert man die von −p(x,D) bzw. −a(D) erzeugten Halbgruppen, dann

findet man fur den Definitionsbereich des Erzeugers −a(D)f

D(a(D)f ) = H1,fa(Rd),

was mit Hilfe der Identitat −a(D)f = −f a(D) gezeigt wird, vgl. Berg, Forst[6] p. 92, Theorem 12.16. Da p(x,D) als Storung des Operators a(D) behandelt

12

werden kann, sollte das auch auf die Operatoren p(x,D)f und a(D)f zutreffen, undinsbesondere (14) eine Entsprechnung in

D(p(x,D)f ) = D(a(D)f ) = H1,fa(Rd)(15)

finden. Doch scheitert die bisherige Vorgehensweise bereits daran, daß zwar f adas Symbol von a(D)f , nicht aber f p(·, ·) das Symbol von p(x,D)f ist. Auch solltebemerkt werden, daß wegen der mangelnden Differenzierbarkeit von ξ 7→ p(x, ξ) keinsymbolischer Kalkul wie fur klassische Pseudodifferentialoperatoren zur Verfugungsteht.

Im folgenden zeigen wir, daß im Falle selbstadjungierter Erzeuger A,B von C0–Halbgruppen, die

D(B) ⊂ D(A) und ‖Au‖ ≤ c(‖Bu‖+ ‖u‖) fur u ∈ D(B)

erfullen, die Definitionsbereiche der Erzeuger der subordinierten Halbgruppen derBeziehung

D(Bf ) ⊂ D(Af ) (f ∈ CBF)(16)

genugen (Satz 5.21 & Korollar 5.24). Hierbei mussen wir uns aus technischen Grun-den auf die vollstandigen Bernstein–Funktionen CBF beschranken, einer Teilklasseder Bernstein–Funktionen, die u. a. alle gebrochenen Potenzen xα, 0 < α < 1enthalt. Insbesondere konnen wir dieses Ergebnis auf die oben skizzierte Situationanwenden und erhalten fur selbstadjungierte Operatoren p(x,D) (15).

Der Schlussel zu diesem Ergebnis liegt einerseits in einer Darstellungsformelfur den Erzeuger Af und der Verfugbarkeit eines Operatoren–Kalkuls (Dunford–Kalkul bzw. Spektralkalkul) fur diese Erzeuger und andererseits in Techniken ausder Storungstheorie selbstadjungierter Operatoren, die auf E. Heinz zuruckgehen(Heinz–Kato–Theorem).

Vorab werden daher die vollstandigen Bernstein–Funktionen, die im Ursprungverschwinden, CBF0, untersucht. Eine Moglichkeit, diese Klasse von Funktionen zucharakterisieren, ist die Darstellung als Stieltjes–Transformierte,

f(x)

x= b+

∫

(0,∞)

1

t+ xρ(dt)(17)

mit b ≥ 0 und∫

(0,1)ρ(dt) +

∫[1,∞)

t−1 ρ(dt) <∞. Daß die vollstandigen Bernstein–

Funktionen z. B. mit den monotonen Matrixfunktionen (Loewner [54]) oder denoperator monotone functions (Stone [72], Berg et. al. [7]) ubereinstimmen,und an sich gut bekannte Objekte sind, wird durch eine Reihe von aquivalentenKennzeichnungen gezeigt (Satz 5.6). Neben anderen Eigenschaften ist fur die wei-teren Untersuchungen vor allem von Interesse, daß mit f auch x 7→ [f(xα)]1/α,−1 ≤ α ≤ 1, α 6= 0, eine vollstandige Bernstein–Funktion ist.

Ist der charakteristische Exponent eines Subordinators eine vollstandige Bern-stein–Funktion, dann folgt aus der Darstellung (17) mit Hilfe eines Resultats von

13

Phillips (Satz 2.16), daß der Erzeuger Af der subordinierten Halbgruppe die Dar-stellung

Afu = bAu+

∫

(ω0,∞)

A(λ− A)−1u ρ(dλ) (u ∈ D(A))(18)

mit ω0 ≥ großter Eigenwert von A besitzt—A ist der Erzeuger der ursprunglichenHalbgruppe (Korollar 5.11). Im Falle kontrahierender Halbgruppen ist stets ω0 = 0.Ein Spezialfall dieser Darstellung ist die Integralformel (5.1) fur gebrochene Po-tenzen eines Erzeugers A einer C0–Kontraktionshalbgruppe. Die Berechnung derResolvente von Af (Satz 5.13) ergibt dann, daß

−f(−A) = Af und Afg = (Ag)f

fur alle vollstandigen Bernstein–Funktionen f, g gilt.Beschranken wir uns auf den Fall von C0–Halbgruppen auf einem Hilbert–

Raum mit selbstadjungierten Erzeugern A,B mit D(B) ⊂ D(A), dann impliziert

(B2u− A2u, u) ≥ 0 die Beziehung (B2(λ+B2)−1u− A2(λ+ A2)2u, u) ≥ 0

auf D(B) (Lemma 5.19), woraus mit der Darstellungsformel (18)

((B2)gu− (A2)gu, u) ≥ 0 (u ∈ D(B2))

fur g ∈ CBF0 folgt. Mit der speziellen Wahl g(x) = f 2(√x), f ∈ CBF0, erhalt man

((Bf )2u− (Af )2u, u) ≥ 0

zunachst fur u ∈ D(B2) und mit dem ublichen Dichtheitsargument—D(B2) ⊂D(Bf ) ist ein definierender Bereich (core) des Operators Bf (Lemma 2.17)—furalle u ∈ D(Bf ). Elementare Storungsargumente zeigen schließlich, daß die Voraus-setzung (B2u − A2u, u) ≥ 0 zu ‖Au‖ ≤ c(‖Bu‖ + ‖u‖) abgeschwacht werden kann(Korollar 5.24).

Die genaue Kenntnis des Definitionsbereiches von −p(x,D)f sollte es ermogli-chen, von der Vergleichbarkeit der Operatoren auf die Vergleichbarkeit der Funda-mentallosungen und der Ubergangswahrscheinlichkeiten zu schließen. Das Verhal-ten der Definitionsbereiche unter Subordination legt es nahe, daß das Symbol von−p(x,D)f tatsachlich eine Entwicklung der Art −f(p(x, ξ)) + Restterme niedrigerOrdnung besitzt, was fur klassische Pseudodifferentialoperatoren, etwa bei gebro-chenen Potenzen, mit Hilfe des symbolischen Kalkuls gezeigt wird.

Innerhalb der Arbeit verweist Satz (Definition, ...) x.yz auf Satz (Definition,...) yz in Kapitel x und entsprechend (x.yz) auf die Formelzeile yz in Kapitel x .Literatur, der wir Ideen etc. entlehnt haben oder die ahnliche Resultate in einemanderen Kontext zeigt, zitieren wir vgl. [...] , wahrend [...] fur wortliche Ubernahmensteht.

14

Mein Dank gilt meinen Forderern und Lehrern, allen voran Herrn PrivatdozentDr. Niels Jacob, der diese Arbeit anregte und betreute, und Herrn Professor Dr.Heinz Bauer. Beide unterstutzten auch meine Bemuhungen um Stipendien.

Wahrend der Arbeit an dieser Dissertation wurde ich nach dem Gesetz zur Forde-rung des wissenschaftlichen und kunstlerischen Nachwuchses aus Mitteln des Frei-staats Bayern und von der Studienstiftung des deutschen Volkes gefordert.

Erlangen, im Mai 1994

15

Kapitel 1

Grundlagen

1.1 Zur Notation

Wie ublich verwenden wir die Symbole ⊂, ∪, ∩, \, und c fur die Teilmengenbezie-hung, den Schnitt, die Vereinigung, die Differenz und das Komplement von Mengen.Fur die Indikatorfunktion (charakteristische Funktion) einer Menge A schreiben wir1A. In einer topologischen Situation steht A fur den Abschluß, A das Innere und∂A := A \ A fur den Rand einer Menge A.

Mit N, N0, Z, Q, R und C bezeichnen wir die Mengen der (strikt positiven)naturlichen, nicht negativen naturlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexenZahlen. Die Symbole C−, H und E stehen fur die aufgeschnittene komplexe EbeneC \ (−∞, 0], die obere komplexe Halbebene z ∈ C : Rez > 0 und den offenenEinheitskreis z ∈ C : |z| < 1. Fur die erweiterte Zahlengerade −∞ ∪ R ∪ ∞,versehen mit der naturlichen Topologie, schreiben wir R. Wie ublich sind (a, b), [a, b],(a, b] und [a, b), a, b ∈ R, offene, abgeschlossene und halbseitig offene Intervalle. DasMinimum bzw. Maximum der Zahlen a, b ∈ R notieren wir als a ∧ b bzw. a ∨ b.

Fast immer bezeichnet d ∈ N die Raumdimension, Rd den d–dimensionalenEuklidischen Raum mit Skalarprodukt (·, ·) und Norm | · |. Fur x ∈ Rd und r > 0ist Br(x) := y ∈ Rd : |x− y| < r die offene Kugel um x mit Radius r.

Es seien X eine (offene) Teilmenge von Rd und q ∈ N. Dann bezeichnen C(X,Rq),Cb(X,Rq), C0(X,Rq) und Cc(X,Rq) die Raume von Funktionen f : X → Rq, diestetig, stetig und beschrankt, stetig und im Unendlichen Null, und stetig mit kom-paktem Trager sind. Entsprechend stehen Ci

···(X,Rq) bzw. C∞··· (X,Rq) fur die i–malbzw. beliebig oft stetig differenzierbaren (beschrankten . . .) Funktionen. Die Su-premumsnorm bezeichnen wir mit ‖ · ‖∞. Die Borel–meßbaren und beschranktenBorel–meßbaren Funktionen bezeichnen wir mit B(X,Rq) und Bb(X,Rq), Raume(von Aquivalenzklassen) p–fach µ–integrierbarer Funktionen mit Lp(X,µ,Rq). Istq = 1, so unterdrucken wir die Angabe von Rq in den oben aufgefuhrten Bezeich-nungen.

Familien von Teilmengen einer Menge Ω bezeichnen wir mit Frakturbuchstaben.

16

Insbesondere verwenden wir A, B und Ft fur σ–Algebren, B = B(Ω) ist dabei stetsdie Borelsche oder topologische σ–Algebra. Fur die Potenzmenge von Ω schreibenwir 2Ω.

Die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf einer Menge Ω ist M1+(Ω).

Unter einem Wahrscheinlichkeitsraum verstehen wir ein Tripel (Ω,A,P) beste-hend aus dem Ereignisraum Ω, dessen Elemente wir im folgenden stets mit ω be-zeichnen werden, der σ–Algebra A ⊂ 2Ω und einem Wahrscheinlichkeitsmaß P aufA; mit E (·) :=

∫Ω· dP bezeichnen wir den Erwartungswert . Ist x ∈ Rd, so schreiben

wir εx fur die Einheitsmasse (Punktmaß, Dirac–Maß) in x. Im Falle von Markov–Prozessen ist Pµ das Wahrscheinlichkeitsmaß, das den Prozeß mit Startverteilung µbeschreibt, insbesondere setzen wir Px := Pεx und entsprechend Eµ bzw. Ex.

Ist X eine Zufallsvariable, d. h. eine meßbare Abbildung X : Ω → E, E ein to-pologischer Raum, so bezeichnet σ(X) ⊂ 2E die von X erzeugte σ–Algebra, das istdefinitionsgemaß die kleinste σ–Algebra, bezuglich der X noch meßbar ist. Entspre-chend zu verstehen ist σ(Xt, t ∈ I) fur eine Familie Xtt∈I von Zufallsvariablen.An Stelle von X−1(F ) = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ F, F ⊂ E, schreiben wir kurz X ∈ F.Das Bildmaß von P unter X—also die Verteilung von X—bezeichnen wir mit PXoder P(X ∈ ·).

Die Faltung zweier Maße µ, ν auf Rd ist durch

µ ? ν(B) :=

∫

Rdµ(B − x) ν(dx) =

∫

Rdν(B − x)µ(dx) (B ∈ B)

erklart; sprechen wir von der Faltung einer Funktion f ∈ L1(Rd, dx) mit dem Maßµ, so verstehen wir darunter die Faltung des (signierten) Maßes (f∨0) dx−(f∧0) dxmit µ. Entsprechend ist die Faltung zweier Funktionen f, g ∈ L1(Rd, dx) erklart.

Fur die Fourier–Transformation eines Maßes µ auf Rd schreiben wir µ(·). Sieist gegeben durch

µ(ξ) :=

∫

Rdei(x,ξ) µ(dx) (ξ ∈ Rd).

Wie oben verstehen wir unter der Fourier–Transformation einer Funktion f ∈L1(Rd, dx) die des (signierten) Maßes (f ∨ 0) dx − (f ∧ 0) dx und schreiben dafurkurz f(·). Ist auch f integrierbar, so erhalten wir folgende Umkehrformel:

f(x) = (2π)−d∫

Rde−i(x,ξ) f(ξ) dξ (x ∈ Rd)

Die bedingte Erwartung bezuglich einer Unter–σ–Algebra C ⊂ A bezeichnen wirmit E (X|C). Wird C von einer Zufallsvariablen Y erzeugt, so schreiben wir kurzE (X|Y ) := E (X|C). Ist X = 1A, A ∈ A, eine Indikatorfunktion, so sprechen wirvon der bedingten Wahrscheinlichkeit und schreiben P(A|C) := E (1A|C).

Schließlich bezeichne in allen Rechnungen c eine nicht negative, reelle Konstante,deren Wert sich von Zeile zu Zeile andern darf.

17

1.2 Halbgruppen von Operatoren

In diesem Abschnitt sei (X , ‖ · ‖) stets ein reeller Banach–Raum mit Norm ‖ · ‖.1.1 Definition. Eine Familie Ttt≥0 beschrankter Operatoren Tt : X → X heißt

stark stetige Halbgruppe oder C0–Halbgruppe, wenn fur alle u ∈ X die Bedingungen

(1) TtTsu = TsTtu = Ts+tu (s, t ≥ 0)

(2) T0 = id

(3) limt→0 ‖Ttu− u‖ = 0

erfullt sind.Wir sprechen von einer stark stetigen Kontraktionshalbgruppe, wenn außerdem

(4) ‖Ttu‖ ≤ ‖u‖ (t ≥ 0),

gilt.

Da t 7→ log ‖Tt‖ subadditiv ist, existiert der Limes ω0 := limt→∞ t−1 log ‖Tt‖.Ist Ttt≥0 zudem stark stetig, dann gibt es zu jedem ω0 > ω0 eine KonstanteM = M(ω0) ≥ 1, so daß

eω0t ≤ ‖Tt‖ ≤M eω0t (t ≥ 0)(1.1)

gilt, vgl. Yosida [79], p. 232. Fur Kontraktionshalbgruppen gilt ω0 ≤ 0 und wirkonnen stets ω0 = 0 und M = 1 wahlen. In Zusammenhang mit Halbgruppenwerden wir die Großen ω0, ω0 und M stets wie in (1.1) verstehen.

1.2 Definition. Der (infinitesimale) Erzeuger A einer C0–Halbgruppe Ttt≥0

auf X ist der durch den starken Limes

Au := limt0

Ttu− ut

(1.2)

auf der Menge

D(A) := u ∈ X : der starke Limes (1.2) existiert(1.3)

erklarte lineare Operator.

Wir stellen im folgenden einige Eigenschaften des Erzeugers A einer HalbgruppeTtt≥0 auf X zusammen, die z. B. in Davies [18] Kapitel 1.1–1.3 und Kapitel 2.1–2.2bewiesen werden.

Der Operator (A,D(A)) ist dicht definiert und abgeschlossen, d. h. fur jede Folgeunn∈N ⊂ D(A) mit un → u und Aun → v gelten u ∈ D(A) und v = Au. Auf D(A)kommutieren A und Tt, und es gilt

d

dtTtu = ATtu = TtAu (t ≥ 0, u ∈ D(A)).

18

Die Resolventenmenge ρ(A) des Operators A, das ist die (stets offene) Mengealler λ ∈ C, fur die λ − A invertierbar ist, enthalt eine rechte komplexe Halbebenez ∈ C : Re z > ω0. Mit σ(A) := ρ(A)c bezeichnen wir das Spektrum von A.

Die Resolvente R(λ,A)λ∈ρ(A), R(λ,A) := (λ − A)−1, des Operators A ist perdefinitionem eine Familie beschrankter Operatoren auf X mit Werten in D(A); dieOperatoren genugen der Resolventenabschatzung

‖R(λ,A)u‖ ≤M (Reλ− ω0)−1‖u‖ (λ ∈ ρ(A),Reλ > ω0, u ∈ X )(1.4)

und erfullen die erste

R(λ,A)−R(λ′, A) = (λ′ − λ)R(λ,A)R(λ′, A) (λ, λ′ ∈ ρ(A))(1.5)

und zweite Resolventengleichung

AR(λ,A)−BR(λ,B) = λ(R(λ,A)−R(λ,B)) (λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B)),(1.6)

wobei B ein weiterer abgeschlossener Operator auf X ist. Es gilt die folgende Inte-graldarstellung

R(λ,A)u =

∫ ∞0

e−λtTtu dt (λ ∈ ρ(A), u ∈ X ),(1.7)

wobei die Integration im Sinne von Bochner zu verstehen ist. Da A und Tt aufD(A) vertauschen, gilt

AR(λ,A)u = R(λ,A)Au (λ ∈ ρ(A), u ∈ D(A)).

Man beachte aber, daß der Operator AR(λ,A) auf ganz X erklart ist und somitR(λ,A)A fortsetzt. Es gilt

‖AR(λ,A)u‖ = ‖λR(λ,A)u− (λ− A)R(λ,A)u‖ ≤(

M |λ|Reλ− ω0

+ 1

)‖u‖(1.8)

fur alle u ∈ X und λ ∈ ρ(A), Reλ > ω0.

Hinreichende und notwendige Bedingungen dafur, daß der Abschluß eines ab-schließbaren Operators A auf X der Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe ist,gibt der folgende Satz von Hille-Yosida.

1.3 Satz. (Ethier, Kurtz [23] p. 16, Theorem 2.12) Es sei A ein abschließ-barer Operator auf X . Der Abschluß A ist genau dann der Erzeuger einer C0–Kontraktionshalbgruppe, wenn die Bedingungen

(1) D(A) ist dicht in X ;

(2) (0,∞) ⊂ ρ(A);

(3) ‖(λ− A)−1‖ ≤ λ−1 fur alle λ > 0;

19

(4) (λ− A)(D(A)) ist dicht in X fur ein λ > 0;

erfullt sind.

Ein Operator, der den Bedingungen (2) und (3) genugt, wird dissipativ genannt.

Wir wollen nun auf einige spezielle Halbgruppen eingehen. Dazu sei E ein belie-biger metrischer Raum.

1.4 Definition. Eine Halbgruppe Ttt≥0 von Operatoren auf Bb(E) heißt sub–Markovsch, wenn

(1) 0 ≤ f ≤ 1 impliziert 0 ≤ Ttf ≤ 1 (t ≥ 0, f ∈ Bb(E))

(2) fn ↓ 0 impliziert Ttfn ↓ 0 (t ≥ 0, fn ∈ Bb(E))

gelten.Die Halbgruppe heißt Markovsch, wenn außerdem

(3) Tt1 = 1 (t ≥ 0)

erfullt ist.

Die Familie Ttt≥0 sei (sub)–Markovsch. Durch die Zuordnung

Tt(x,B) := Tt1B(x) (t ≥ 0, x ∈ E,B ∈ B(E))

erhalten wir eine Halbgruppe von (sub)–Wahrscheinlichkeitskernen. Die Halbgrup-peneigenschaft laßt sich dann in Form der Chapman–Kolmogorov–Gleichungenschreiben:

Ts+t(x,B) =

∫

E

Tt(y,B)Ts(x, dy) =

∫

E

Ts(y,B)Tt(x, dy) (s, t ≥ 0).(1.9)

Umgekehrt kann man aus einer Halbgruppe Tt(·, ·)t≥0 von (sub)–Wahrscheinlich-keitskernen durch

Ttf(x) :=

∫

E

f(y)Tt(x, dy) (t ≥ 0, f ∈ Bb(E))

eine (sub)–Markovsche Halbgruppe von Operatoren gewinnen.

Wir nennen eine Familie von Kernen auf (Rd,B) translationsinvariant , wenn

Tt(x,B) = Tt(0, B − x) (t ≥ 0, x ∈ Rd, B ∈ B)

gilt. Wegen (1.9) sprechen wir dann von einer Faltungshalbgruppe.

1.5 Definition. Eine Markovsche Halbgruppe Ttt≥0, die den Raum C0(E)in sich abbildet, heißt Feller–Halbgruppe.

20

Die Eigenschaft Tt(C0(E)) ⊂ C0(E) heißt Feller–Eigenschaft. Sie impliziertinsbesondere Tt(Cb(E)) ⊂ Cb(E), was manchmal auch als Feller–Eigenschaft be-zeichnet wird: sicherlich gilt Tt(Cb(E)) ⊂ Bb(E). Fur jedes n ∈ N sei φn ∈ Cc(E)eine Funktion mit 1Bn(0) ≤ φn ≤ 1Bn+1(0). Nach dem Satz von Dini konvergiertdann Ttφn lokal gleichmaßig gegen die konstante Funktion Tt1. Ist f ∈ Cb(E), sogilt fφn ∈ C0(E), also Tt(fφn) ∈ C0(E), und wir finden

|Ttf(x)− Tt(fφn)(x)| ≤ ‖f‖∞ Tt(1− φn)(x)→ 0

lokal gleichmaßig in x wenn n→∞, was schließlich Ttf ∈ Cb(E) zeigt.

1.6 Definition. Eine Markovsche Halbgruppe Ttt≥0 die den Raum Bb(E)in Cb(E) abbildet, heißt starke Feller–Halbgruppe.

Wie oben sieht man, daß die Forderung Ttf ∈ C0(E) fur alle f ∈ Bb(E), die imUnendlichen verschwinden, die starke Feller–Eigenschaft impliziert.

1.3 Stochastische Prozesse

In diesem Abschnitt wollen wir die fur unsere Ausfuhrungen wesentlichen Definitio-nen und Grundlagen aus der Theorie der stochastischen Prozesse kurz vorstellen.

Es sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Rd,B) der mit der Borel-schen σ-Algebra B = Bd = B(Rd) versehene Euklidische Raum. Ist Xtt≥0 eineFamilie von A–B meßbaren Zufallsvariablen auf Ω mit Werten in Rd, so heißt dasTupel (Ω,A,P,Rd, Xt, t ≥ 0) d–dimensionaler stochastischer Prozeß . Es ist ublich,die Indexmenge [0,∞) als Zeitmenge zu deuten; infolgedessen sprechen wir voneinem Zeitpunkt t ≥ 0 und einem Zeitintervall I ⊂ [0,∞).

Eine Filtration ist eine isotone Familie Ftt≥0 von Unter–σ–Algebren Ft ⊂ A.Sind die Zufallsvariablen Xt fur alle t ≥ 0 sogar Ft–B meßbar, so heißt der ProzeßXtt≥0 der Filtration Ftt≥0 adaptiert . Wir schreiben dann (Ω,A,P,Rd, Xt,Ft, t ≥0) oder abkurzend Xt,Ftt≥0. Offensichtlich ist ein Prozeß genau dann einer Fil-tration Ftt≥0 adaptiert, wenn die kanonische Filtration FXt t≥0 des Prozesses,

FXt := σ (Xs : s ≤ t) (t ≥ 0),

fur jedes t ≥ 0 eine Unter–σ–Algebra FXt ⊂ Ft von Ft ist. Wird keine Filtration ex-plizit erwahnt, so wahlen wir stets die kanonische Filtration. Eine Filtration Ftt≥0

heißt rechtsseitig stetig , wenn

Ft = Ft+ :=⋂s>t

Fs (t ≥ 0)

gilt.Unter einer Ft–Optionszeit verstehen wir eine Abbildung τ : Ω→ [0,∞] mit der

Eigenschaftτ < t ∈ Ft fur alle t ≥ 0.

21

Eine Ft–Optionszeit τ , die zudem

τ ≤ t ∈ Ft fur alle t ≥ 0

erfullt, nennen wir strenge Ft–Optionszeit . Jeder strengen Ft–Optionszeit τ wird dieσ–Algebra

Fτ := A ∈ σ(Fs : s ≥ 0) : A ∩ τ ≤ t ∈ Ft fur alle t ≥ 0

und jeder Ft–Optionszeit τ die σ–Algebra

Fτ+ := A ∈ σ(Fs : s ≥ 0) : A ∩ τ < t ∈ Ft fur alle t ≥ 0

zugeordnet. Falls die Filtration Ftt≥0 rechtsstetig ist, ist jede Optionszeit bereitseine strenge Optionszeit. Schon jetzt sei bemerkt, daß fur einen linksseitig quasi-stetigen cadlag Prozeß Xt,Ftt≥0, siehe Definition 1.7, die Zeit des ersten TreffersτB einer Menge B ∈ B

τB(ω) := inft > 0 : Xt(ω) ∈ B

und die Eintrittszeit τ 0B in die Menge B ∈ B

τ 0B(ω) := inft ≥ 0 : Xt(ω) ∈ B

typische Beispiele fur Optionszeiten sind. Ist B eine offene Menge, dann konnen wirauf die Quasi-Stetigkeit von links verzichten. Im allgemeinen sind diese Optionszei-ten keine strengen Optionszeiten.

Fur festes ω ∈ Ω heißt die Abbildung [0,∞) 3 t 7→ Xt(ω) Pfad des ProzessesXtt≥0. Wir schreiben auch X(t, ω) = Xt(ω); insbesondere setzen wir fur Zeit-mengen E ⊂ [0,∞)

X(E, ω) :=Xt(ω) ∈ Rd : t ∈ E

und schreiben dafur abkurzend X(E) = X(E, ·). Die einseitigen Limiten eines Pfa-des im Punkte t > 0 bezeichnen wir mit

Xt+(ω) := limst

Xs(ω)

Xt−(ω) := limst

Xs(ω),

wobei wir X0+ entsprechend verstehen. Einen Pfad, der in jedem Zeitpunkt links-seitige Limiten besitzt und rechtsseitig stetig ist, nennen wir cadlag1.

1.7 Definition. Ein stochastischer Prozeß (Ω,A,P,Rd, Xt, t ≥ 0) heißt cadlag–Prozeß, wenn fast alle Pfade rechtsseitig stetig sind und endliche linksseitige Limitenbesitzen.

1continu a droite et admettant des limites a gauche

22

Ein cadlag–Prozeß heißt linksseitig quasi–stetig , wenn fur jede isotone Folge vonFt-Optionszeiten τnn∈N mit Grenzwert limn→∞ τn = τ und fur alle x ∈ Rd

limn→∞

Xτn = Xτ Px-f. s. auf τ <∞

gilt. Dabei verstehen wir unter Xτ (ω) die Zufallsvariable Xτ(ω)(ω).

Da wir an wahrscheinlichkeitstheoretischen Fragestellungen interessiert sind, dur-fen wir fortan ohne Einschrankung annehmen, daß jeder cadlag–Prozeß ausschließ-lich cadlag–Pfade besitzt. Es bezeichne DRd die Menge aller rechtsseitig stetigenFunktionen auf Rd mit endlichen linksseitigen Limiten. Dann gibt es stets eine ka-nonische Realisierung (DRd , σ(FYt , t ≥ 0),P′,Rd, Yt,FYt , t ≥ 0) des ursprunglichenProzesses (Ω,A,P,Rd, Xt,F

Xt , t ≥ 0), d. h. die endlich-dimensionalen Verteilungen

dieser Prozesse stimmen uberein.

1.8 Definition. Der Prozeß (Ω,A, Pxx∈Rd ,Rd, Xt,Ft, t ≥ 0) heißt Markov–Prozeß , wenn

(1) fur alle x ∈ Rd das Tupel (Ω,A,Px,Rd, Xt,Ft, t ≥ 0) ein stochastischer Prozeßist,

(2) fur alle A ∈ A die Abbildung Rd 3 x 7→ Px(A) B–meßbar ist,

(3) fur alle x ∈ Rd Px(X0 = x) = 1 gilt,

(4) fur alle s, t ≥ 0, x ∈ Rd und B ∈ B die (schwache) Markov–Eigenschafterfullt ist

Px(Xs+t ∈ B|Fs) = Px(Xs+t ∈ B|Xs) = PXs(Xt ∈ B) (Px-f. s.).(1.10)

Gilt (1.10) nicht nur fur feste Zeiten s ≥ 0, sondern auch fur beliebige Ft–Optionszeiten σ auf der Menge σ <∞,

Px(Xσ+t ∈ B|Fσ+) = Px(Xσ+t ∈ B|Xσ+) = PXσ(Xt ∈ B) (Px-f. s.),(1.11)

dann wird der Prozeß starker Markov–Prozeß genannt. Die Eigenschaft (1.11)heißt starke Markov–Eigenschaft .

Fur spatere Anwendungen wird sich folgende aquivalente Formulierung der star-ken Markov–Eigenschaft als hilfreich erweisen:

Px(A ∩ Xσ+t ∈ B) =

∫

A

PXσ(ω)(Xt ∈ B)Px(dω) (B ∈ B, A ∈ σ <∞ ∩ Fσ+).

Die Ubergangskerne eines Markov–Prozesses bilden eine Halbgruppe von Wahr-scheinlichkeitsmaßen; umgekehrt kann aus jeder Halbgruppe von Wahrscheinlich-keitsmaßen ein Markov–Prozeß konstruiert werden, siehe z. B. Bauer [5] pp.

23

320–323, Satz 36.4. Hinreichend dafur, daß ein Markovscher Prozeß die starkeMarkov–Eigenschaft besitzt, ist die Gultigkeit von

Rd 3 x 7→ Ex(f(Xt)) ∈ C0(Rd) fur alle f ∈ C0(Rd).(1.12)

Bedingung (1.12) wird Feller–Eigenschaft genannt (vgl. hierzu auch die Bemer-kung nach Definition 1.5).

1.9 Definition. Jeder Markovsche Prozeß (Ω,A, Pxx∈Rd ,Rd, Xt,Ft, t ≥ 0),welcher der Bedingung (1.12) genugt, heißt Feller–Prozeß .

Man kann zeigen,—vgl. Williams [78] pp. 117–123, Sections III.11–III.15, ins-besondere fur die starke Markov–Eigenschaft Section III.15 in Verbindung mitpp. 73–74, Section II.45—daß Feller–Prozesse genau die Prozesse sind, die vonFellerschen Halbgruppen erzeugt werden.

1.10 Definition. Ein Hunt–Prozeß ist ein stark Markovscher, linksseitigquasi-stetiger cadlag–Prozeß (Ω,A, Pxx∈Rd ,Rd, Xt,Ft, t ≥ 0).

Die Zuwachse Xt − Xs, (0 ≤ s < t), eines Prozesses Xtt≥0 heißen stationar ,wenn ihre Verteilungen nur von der zeitlichen Differenz t− s abhangen, d. h. wenn

PXt−Xs = PXt−s−X0 (0 ≤ s ≤ t)

gilt. Die Zuwachse heißen unabhangig , wenn fur jede Wahl von Zeitpunkten u > v ≥t > s ≥ 0 die Zufallsvariablen Xu −Xv und Xt −Xs stochastisch unabhangig sind.

1.11 Definition. Ein Levy–Prozeß Xt,Ftt≥0 ist ein an die Filtration Ftt≥0

adaptierter Prozeß mit stationaren und unabhangigen Zuwachsen, der stetig inWahrscheinlichkeit ist, d. h. der fur alle ε > 0 der Beziehung

lims→tP0 (|Xt −Xs| > ε) = 0 (t ≥ 0)

genugt.

Man beachte, daß derart definierte Levy–Prozesse eindeutig bestimmte cadlag–Modifikationen besitzen, die wiederum Levy–Prozesse sind (Protter [63] pp. 21–22, Theorem 30 oder Doob [20] pp. 388–390, Section 12 (b)), und daß diese dannauch stark Markovsch (Ito [44] p. 162, p. 163 unten) und quasi-linksstetig (Bauer[3] p. 88, Satz 3.1.1 oder Blumenthal, Getoor [11] p. 50, letzter Schritt im Be-weis von Theorem 9.4) sind. Insbesondere sind derartige Modifikationen LevyscherProzesse Hunt–Prozesse.

Im folgenden werden wir daher stets mit Modifikationen von Levy–Prozessenarbeiten, die ausschließlich cadlag–Pfade aufweisen.

24

1.4 Levy–Prozesse und negativ definite Funktio-

nen

Da Levy–Prozesse stationare und unabhangige Zuwachse haben, sind die Vertei-lungen P0

Xt, t ≥ 0, unbegrenzt teilbar , d. h. daß jedes n ∈ N gilt

P0Xt = P0

Xt/n? . . . ? P0

Xt/n︸ ︷︷ ︸n Faktoren

.

Die Fourier–Transformierte einer unbegrenzt teilbaren Verteilung besitzt die Ge-stalt

P0Xt

(ξ) := E0(ei(Xt,ξ)

)= e−ta(ξ) (ξ ∈ Rd)

mit dem eindeutig bestimmten charakteristischen Exponenten a : Rd → C, vgl.Courrege [16] pp. 20–22, Theoreme 3 und Theoreme 4, oder im eindimensionalenFall Doob [20] p. 132, Theorem 4.1.

1.12 Definition. Eine Funktion a : Rd → C heißt negativ definit , wenn fur alle

n ∈ N und alle ξj ∈ Rd, 1 ≤ j ≤ n, die Matrix(a(ξi) + a(ξj)− a(ξi − ξj)

)i,j=1...n

positiv hermitesch ist, d. h. falls fur jede Wahl komplexer Zahlen λ1, λ2, . . . , λn ∈ Cn∑

i,j=1

(a(ξi) + a(ξj)− a(ξi − ξj)

)λiλj ≥ 0

gilt.Die Menge der negativ definiten Funktionen bezeichnen wir mitN (Rd,C), die der

stetigen negativ definiten Funktionen mit CN (Rd,C) und wir setzen CN 0(Rd,C) :=CN (Rd,C) ∩ a : a(0) = 0.

Offenbar ist a(0) ≥ 0 und, sofern a reellwertig ist, a(ξ) ≥ a(0) ≥ 0 fur alleξ ∈ Rd.

Beispiele negativ definiter Funktionen Rd 3 ξ 7→ a(ξ) sind die Funktionen ξ 7→|ξ|α mit α ∈ [0, 2], ξ 7→ log(1 + |ξ|α) mit α ∈ [0, 2], und ξ 7→ c mit einer positivenKonstanten c ≥ 0, aber auch ξ 7→ i(a, ξ) mit a ∈ Rd.

1.13 Satz. (Berg, Forst [6] p. 40, Proposition 7.5) Eine Funktion a : Rd → Cist genau dann negativ definit, wenn

(1) a(0) ≥ 0;

(2) a(ξ) = a(−ξ) (ξ ∈ Rd);

(3) fur jede Wahl von n ∈ N, ξ1, . . . , ξn ∈ Rd und λ1, . . . , λn mit∑n

i=1 λi = 0

n∑i,j=1

a(ξi − ξj)λiλj ≤ 0;

25

gelten.

1.14 Satz. (Berg, Forst [6] p. 41, Theorem 7.8) Eine Funktion a : Rd → Cist genau dann negativ definit, wenn a(0) ≥ 0 gilt, und die Funktion ξ 7→ e−ta(ξ) furjedes t ≥ 0 positiv definit ist.

Fourier–Transformierte von Maßen sind positiv definite Funktionen. Somit sinddie charakteristischen Exponenten genau die stetigen negativ definiten Funktionen amit a(0) = 0, die wir nunmehr mit Hilfe der Levy–Khinchine–Formel beschreibenkonnen.

1.15 Satz. (Berg, Forst [6] p. 75, Theorem 10.8) Eine Funktion a : Rd → Cist genau dann der charakteristische Exponent eines Levy–Prozesses, wenn

(1) ein Vektor ` ∈ Rd,(2) eine symmetrische, positiv definite Matrix S : Rd → Rd, S ≥ 0

(3) ein Borel–Maß ν auf Rd mit ν0 = 0 und∫Rd

|x|21+|x|2 ν(dx) <∞

existieren, so daß fur alle ξ ∈ Rd die Darstellung

a(ξ) = −i(`, ξ) +1

2(Sξ, ξ) +

∫

Rd

(1− ei(x,ξ) +

i(x, ξ)

1 + |x|2)ν(dx)(1.13)

gilt. Die Funktion a ist durch die Angabe des Tripels (`, S, ν) und durch die Formel(1.13) eindeutig bestimmt.

Das Maß ν aus Satz 1.15 heißt Levy–Maß des Prozesses Xtt≥0. Das Levy–Maß gibt Auskunft uber das Sprungverhalten des zu Grunde liegenden Prozesses.Bezeichnen wir mit

JXt (ω) := Xt(ω)−Xt−(ω)

den dem Prozeß Xtt≥0 zugeordneten Sprungprozeß, und ist

NXT,λ(ω) := #JXt (ω) : t ≤ T, 0 < |JXt (ω)| < λ (T ≥ 0, λ > 0),

so gilt, vgl. Ito [44] pp. 149, 153–155 oder Doob [20] p. 423,

E0NXT,λ = T ·

∫

Bλ(0)

ν(dx).

Mit Hilfe der Ito–Darstellung des Prozesses Xtt≥0 laßt sich eine direkte Ver-bindung zwischen dem Levy–Tripel (`, S, ν) und dem Prozeß herstellen, vgl. fur deneindimensionalen Fall Ito [44] p. 145, Theorem in Verbindung mit den Anmerkun-gen zu zeitlich homogenen Prozessen pp. 153–155, und im mehrdimensionalen Fallpp. 168–169 (mit Beweisskizze) oder auch Fristedt [25] p. 249 (2.4) (ohne Beweis).Es gilt

Xt(ω) = `t+Wt(ω)+limε→0

( ∑

s≤t,|JXs |>εJXs (ω)−t

∫

Bε(0)c

y

1 + |y|2 ν(dy)

)(t ≥ 0)(1.14)

26

Px-fast sicher mit einer zentrierten und in X0 = x startenden Brownschen Bewe-gung Wt mit Kovarianzmatrix t S. Daruber hinaus sind die Prozesse Wtt≥0 undXt −Wtt≥0 stochastisch unabhangig.

1.16 Definition. Es sei Xtt≥0 ein Levy–Prozeß mit Werten in Rd. Dannheißt fur jedes c > 0

X(c)(t, ω) := X(t, ω)−∑

s≤t;|JX(s,ω)|>cJX(s, ω)(1.15)

gestrippter Prozeß.

1.17 Bemerkung. Jeder gestrippte Prozeß X(c)(t, ·)t≥0 ist wiederum einLevy–Prozeß, dessen Levy–Maß die Einschrankung des Levy–Maßes ν von Xtt≥0

auf die Kugel Bc(0) ist. Mithin besitzt ein gestrippter Prozeß alle Momente, vgl.Protter [63] pp. 25–26, Theorem 34.

Da der Prozeß Xtt≥0 ausschließlich cadlag–Pfade und daher auch nur endlichviele Sprunge JX(t) > c auf einem kompakten Zeitintervall besitzt, gibt es fur jedesω ∈ Ω eine Zahl ε(ω) > 0, so daß

X(c)(t, ω) = X(t, ω) (t ≤ ε(ω))(1.16)

fur jedes feste ω ∈ Ω gilt.Auf dem Kompaktum [0, 1] hat Xtt≥0 fast sicher nur beschrankte Sprunge.

Daher besagt (1.16) gerade, daß es fur jedes δ > 0 eine Teilmenge Ω′ ⊂ Ω mitP(Ω \ Ω′) ≤ δ gibt, so daß

X(c)(t, ω) = X(t, ω) (ω ∈ Ω′, 0 ≤ t ≤ 1)(1.17)

fur hinreichend großes c = cδ,[0,1] > 0 gilt.

Wir nennen einen Markov–Prozeß symmetrisch, wenn fur alle Mengen B ∈ B

P0(Xt ∈ B) = P0(−Xt ∈ B) (t ≥ 0)

gilt. Offenbar ist ein Levy–Prozeß genau dann symmetrisch, wenn sein charakte-ristischer Exponent a(·) reellwertig ist. In diesem Fall vereinfacht sich die Levy–Khinchine–Formel zu

a(ξ) =1

2(Sξ, ξ) +

∫

Rd(1− cos(x, ξ)) ν(dx).(1.18)

Der charakteristische Exponent a(·) eines Levy–Prozesses beschreibt den Er-zeuger A des Prozesses , worunter wir stets den Erzeuger A der zugeordneten Ope-ratorenhalbgruppe verstehen. In Berg, Forst [6] pp. 92–93, Theorem 12.16 wirdgezeigt, daß

Au(x) = −a(D)u(x) = −(2π)−d∫

Rda(ξ)u(ξ)e−i(x,ξ) dξ (u ∈ Cc(Rd))(1.19)

27

gilt und daß der Definitionsbereich des Operators A der anisotrope Sobolev–Raum

H1,a(Rd) := u ∈ L2(Rd) : ‖u‖1,a <∞(1.20)

mit der Norm

‖u‖21,a :=

∫

Rd|1 + a(ξ)|2|u(ξ)|2 dξ(1.21)

ist. Anisotrope Sobolev–Raume dieses Typs wurden u. a. von Jacob [46] pp. 333–336, Section 4 verwendet. Dort wird auch die Idee, A = −a(D) als Pseudodifferen-tialoperator mit Symbol −a(·) zu deuten, konsequent entwickelt und ausgebaut.

Wir kennzeichnen schließlich eine fur uns wichtige Klasse von Levy–Prozessen.

1.18 Definition. Ein Levy–Prozeß heißt stabil , wenn es fur jeden Zeitpunktt > 0 Konstanten ct > 0 und γt ∈ R derart gibt, daß

P0Xt = P0

ctX1+γt

gilt. Fur γt = 0 heißt der Prozeß strikt stabil .

Eine Charakterisierung der stabilen Prozesse findet man bei Fristedt [25] pp.262–264, allerdings ohne Beweis. Der eindimensionale Fall ist bei Feller [24] pp.166–168 und pp. 540–542 ausfuhrlich dargestellt; auf den Fall d = 2 wird dort pp.559–560 kurz eingegangen.

Die Konstante ct ist notwendig von der Form tdα mit einer Zahl 0 < α ≤ 2, dem

Index des Prozesses. Die charakteristischen Exponenten strikt stabiler Prozesse sindfur α = 1

a(ξ) = −i(`, ξ) +λπ

2|ξ|∫

Sd−1

1

|ξ| |(θ, ξ)|µ(dθ),

und fur α < 2, α 6= 1,

a(ξ) = −λΓ(−α) cosπα

2|ξ|α

∫

Sd−1

1

|ξ|α |(θ, ξ)|α(

1− i sgn(θ, ξ) tanπα

2

)µ(dθ),

wobei λ eine beliebige reelle Konstante und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf derEinheitssphare Sd−1 ⊂ Rd sind.

Durch Addition eines deterministischen Driftterms tκ, κ ∈ Rd, erhalten wir auseinem strikt stabilen Prozeß Xtt≥0 den stabilen Prozeß Xt + tκt≥0. Dieser Ope-ration entspricht im charakteristischen Exponenten die Addition von −i (κ, ξ). Allesonstigen stabilen Prozesse haben charakteristische Exponenten der Form

a(ξ) = −i(κ, ξ) +cπ

2|ξ|∫

Sd−1

1

|ξ| |(θ, ξ)|(

1 + i sgn(θ, ξ)2

πlog |(θ, ξ)|

)µ(dθ)

mit beliebigen Konstanten κ ∈ Rd und c ∈ R und einem Wahrscheinlichkeitsmaß µauf der Einheitssphare Sd−1 ⊂ Rd.

Ahnlich wie den strikt stabilen Prozessen kann man einer großen Klasse vonLevy–Prozessen Indices zuordnen. Diese Idee geht auf Blumenthal und Getoor[10] zuruck. Wir betrachten dabei nur normierte Prozesse, worunter wir Prozesseverstehen, die

28

(1) keinen Gaußschen Anteil haben, d. h. Prozesse mit verschwindender quadra-tischer Form S = 0 im charakteristischen Exponenten,

und die

(2) keinen Driftterm haben, wenn∫|x|<1 |x| ν(dx) <∞ ist, d. h. deren charakte-

ristischer Exponent die Form

a(ξ) =

∫

Rd(1− ei(x,ξ)) ν(dx)

annimmt.

1.19 Definition. Es sei Xtt≥0 ein normierter Levy–Prozeß mit Werten inRd und charakteristischem Exponenten a. Dann heißt

β := inf

λ > 0 :

∫

|x|<1|x|λ ν(dx) <∞

(1.22)

Index des Prozesses. Die unteren Indices β′ und β′′ sind durch

β′ := sup

λ ≥ 0 :

∫

Rd|ξ|λ−d 1− exp(−Re a(ξ))

Re a(ξ)dξ <∞

(1.23)

und

β′′ := sup

λ ≥ 0 : lim

|ξ|→∞Re a(ξ)

|ξ|λ =∞

(1.24)

gegeben. Der Index γ ist durch

γ := sup

λ ≥ 0 : lim sup

r→0r−λ

∫ 1

0

P0(|Xt| ≤ r) dt <∞

(1.25)

erklart.

Wir werden diese Indices im folgenden stets mit β, β′, β′′ und γ oder,wenn notwendig, mit βX usw. bezeichnen.

Die Standardreferenz fur die Indices β, β′, β′′ ist Blumenthal, Getoor [10],fur γ die Arbeit von Pruitt [65].

Ohne die Einschrankung S = 0 ware stets β′′ = β′ = β = γ = 2, da derquadratische Term die Asymptotik fur |ξ| → ∞ dominierte. Entsprechend ware furβ < 1 der Driftterm beherrschend.

Ohne Beweis seien hier einige Tatsachen zusammengestellt: Stets gelten

0 ≤ β′′ ≤ β′ ≤ β ≤ 2

und0 ≤ β′′ ∧ d ≤ β′ ∧ d ≤ γ ≤ β ≤ 2,

29

dabei ist in jedem Fall auch die strikte Relation “<” moglich. Genugt der Realteildes charakteristischen Exponenten der Bedingung Re a(x) ≥ 2 log |x| fur große |x|,oder ist a reellwertig, dann gilt

γ = β′ ∧ d.Oben genannte Bedingungen sind stets erfullt, wenn β′′ > 0 oder Xtt≥0 symme-trisch ist. Die Gleichheit β′′ = γ = β = α ist genau fur die strikt α–stabilen Prozesseerfullt.

30

Kapitel 2

Subordination undBernstein–Funktionen

Der Begriff der Subordination von Operatorenhalbgruppen und stochastischen Pro-zessen geht auf S. Bochner zuruck, [13] pp. 91–99. Unter Subordination verstehtman die Integration einer Halbgruppe von Operatoren Ttt≥0 gegen eine Faltungs-halbgruppe µs(dt) von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf [0,∞). Wir werden uns dahervorab mit solchen Faltungshalbgruppen beschaftigen.

2.1 Definition. Ein Subordinator ist eine Faltungshalbgruppe von Wahrschein-lichkeitsmaßen µtt≥0 auf [0,∞), die in der vagen Topologie stetig ist, d. h. die

limt→0

∫

[0,∞)

u dµt =

∫

[0,∞)

u dε0 = u(0) (u ∈ Cc(R))

erfullt.

Wir wollen diese Definition in die Sprache der Prozesse ubertragen.

2.2 Lemma. Eine Faltungshalbgruppe µtt≥0 von Wahrscheinlichkeitsmaßenist genau dann ein Subordinator, wenn der zugehorige reelle Levy–Prozeß fast sicherin 0 startet und fast sicher isotone Pfade besitzt.

Beweis. Wir haben im vorausgehenden Abschnitt bereits festgestellt, daß durch

P0Xt = µt (t ≥ 0)

Levy–Prozesse und translationsinvariante Markovsche Halbgruppen in eindeutigeBeziehung gesetzt sind. Es bleibt, die behaupteten Pfadeigenschaften nachzuweisen.

Dazu sei µtt≥0 ein Subordinator. Offenbar gilt X0 = 0 fast sicher, und wegen

P0(Xr −Xs < 0) = P0(Xr−s < 0) = µr−s((−∞, 0)) = 0

gilt außerhalb der P0–Nullmenge N :=⋃s<r,r,s∈Q+

Xr − Xs < 0 daß der Prozeß

Xrr∈Q+ fast sicher isotone Pfade hat. Da Levy–Prozesse cadlag–Pfade haben,besitzt Xtt≥0 fast sicher isotone Pfade.

31

Umgekehrt gilt µ0 = PX0 = ε0 und wegen

µt((−∞, 0)) = P0(Xt ∈ (−∞, 0)) = P0(Xt < 0) = 0 (t ≥ 0)

auch suppµt ⊂ [0,∞). ////

Auf Grund von Lemma 2.2 bezeichnen wir auch fast sicher in 0 startende, wach-sende reelle Levy–Prozesse als Subordinatoren.

2.3 Lemma. Es sei Stt≥0 ein Subordinator mit E0St < ∞ fur alle t ≥ 0.Dann ist die Familie 1

tStt>0 ein rechtsstetiges Martingal mit inverser Zeitmenge

(reversed martingale), fur das

limt→0

1

tSt = E0S1 (P0–f. s.)

gilt.

Beweis. Da der Prozeß t 7→ 1tSt rechtsstetig ist, folgt die Existenz des Grenz-

werts aus dem zweiten Doobschen Konvergenzsatz, Doob [20], p. 354, (Theorems4.2, 4.2s) bzw. pp. 328–329, Theorem 4.2.

Es bleibt zu zeigen, daß

1tStt>0

ein Martingal mit umgekehrter Zeitmenge ist.Als ersten Schritt bemerken wir

E0St = tE0S1 (t ≥ 0).(2.1)

Auf Grund der identisch verteilten Zuwachse des Prozesses Stt≥0 gilt fur n ∈ N

E0Sn = E0( n∑j=1

(Sj − Sj−1))

=n∑j=1

E0(Sj − Sj−1) = nE0S1

und entsprechend E0S1 = nE0S 1n, was (2.1) fur t ∈ Q und schließlich wegen der

Rechtsstetigkeit fur alle t ≥ 0 beweist.Der Prozeß Rt := S 1

tist ein FRt := σ(Rs : s ≤ t)–Martingal: fur t < s gilt wegen

(2.1)

E0(sRs|FRt ) = E0(sRs − tRt|FRt ) + E0(tRt|FRt ) = (sE0Rs − tE0Rt) + tRt = tRt,

und die Behauptung ist bewiesen. ////

Wir benotigen noch folgendes Lemma, das sich bei Berg, Forst [6] p. 172,Proposition 18.2 findet.

2.4 Lemma. Es sei Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß. Dann ist dasLevy–Maß ν durch

ν = limt→0

1

tP0Xt

∣∣0c

gegeben. Der Grenzwert ist im Sinne der vagen Topologie zu verstehen.

32

Der folgende Satz kann aus dem Vergleich der Levy–Khinchine–Formel mitder (in diesem Falle gesondert zu beweisenden) Darstellungsformel fur Bernstein–Funktionen und der Eindeutigkeit dieser Darstellungen gefolgert werden. Vgl. Berg,Forst p. 76, Remark 10.9 und die dort angefuhrten Satze. Im Rahmen der bisherangesprochenen Zusammenhange bietet sich jedoch ein anderer Beweis an.

2.5 Satz. Ein reeller Levy–Prozeß Stt≥0 ist genau dann ein Subordinator,wenn der charakteristische Exponent a die Gestalt

a(ξ) = −i`ξ +

∫

(0,∞)

(1− eixξ)µ(dx) (ξ ≥ 0)(2.2)

hat mit ` ≥ 0 und dem Levy–Maß µ auf (0,∞) mit∫

(0,∞)x

1+xµ(dx) <∞.

Die Forderung∫

(0,∞)x

1+xµ(dx) < ∞ ist gleichbedeutend mit

∫(0,1)

xµ(dx) < ∞und

∫[1,∞)

µ(dx) <∞.

Beweis von Satz 2.5. Nehmen wir zunachst an, daß a(ξ) die Darstellung (2.2)besitzt. Wir mussen zeigen, daß der Prozeß Stt≥0 fast sicher in 0 startet undisotone Pfade hat. Da

∫

(0,∞)

x

1 + x2µ(dx) ≤

∫

(0,1)

xµ(dx) +

∫

[1,∞)

µ(dx) <∞

gilt, konnen wir (2.2) auch in der Form

a(ξ) = −i(`+

∫

(0,∞)

x

1 + x2µ(dx)

)ξ +

∫

(0,∞)

(1− eixξ +

ixξ

1 + x2

)µ(dx)(2.3)

schreiben. Somit ist wegen

E(eiξX0

)= e−ta(ξ)

∣∣t=0

= 1

X0 = 0 f. s. klar. Die Darstellung (2.3) zeigt, daß der Prozeß Stt≥0 nur positiveSprunge und positive Drift besitzt, somit fast sicher positive Pfade und wegen

P0(St − Ss < 0) = P0(St−s < 0) = 0

fast sicher isotone Pfade hat.Sei nun umgekehrt ein Subordinator Stt≥0 gegeben. Dann wissen wir bereits,

daß das Sprungmaß µ in der Levy–Khinchine–Formel (1.13) von (0,∞) getragenwird.

Wir zeigen nun, daß µ nicht nur x 7→ x2

1+x2 , sondern auch x 7→ x1+x2 integriert.

Hierzu genugt es zu zeigen, daß

∫

(0,1)

xµ(dx) <∞

33

gilt. Ohne Einschrankung konnen wir annehmen, daß St nur Sprunge besitzt, diekleiner als 1 sind, daß also ESt stets existiert. Nach Lemma 2.4 gilt

∫

(0,1)

xµ(dx) = limt→0

∫

(0,1)

x1

tP0St(dx) = lim

t→0

∫

0≤St≤1

1

tSt dP0

≤ limt→0

1

tE0St = E0S1 < ∞,

wobei wir im letzten Schritt Lemma 2.3 verwendeten. Somit konnen wir a als

a(ξ) = −i(`−

∫

(0,∞)

x

1 + x2µ(dx)

)ξ + d2ξ2 +

∫

(0,∞)

(1− eixξ)µ(dx)

schreiben und finden fur den charakteristischen Exponenten der Laplace–Trans-formierten E0

(e−ξSt

)

a(iξ) =

(`−

∫

(0,∞)

x

1 + x2µ(dx)

)ξ − d2ξ2 +

∫

(0,∞)

(1− e−xξ)µ(dx).

Da St fast sicher positiv ist, gilt

1 ≥ E0(e−ξSt

)= e−ta(iξ) (t ≥ 0, ξ > 0)

und daher a(iξ) ≥ 0 fur alle ξ > 0. Insbesondere ist

0 ≤ lim infξ→∞

a(iξ)

ξ2= −d2 + lim inf

ξ→∞

∫

(0,∞)

1− e−xξ

ξ2µ(dx)

≤ −d2 + lim infξ→∞

1

ξ

∫

(0,∞)

x ∧ 1µ(dx)

= −d2,

d. h. d = 0. Schließlich existiert wegen∫

(0,1)xµ(dx) < ∞ zu jedem ε > 0 eine Zahl

δ > 0, so daß∫

(0,δ)xµ(dx) < ε. Somit folgt

0 ≤ lim infξ→∞

a(iξ)

ξ=

(`−

∫

(0,∞)

x

1 + x2µ(dx)

)+ lim inf

ξ→∞1

ξ

∫

(0,∞)

(1− e−xξ)µ(dx)

≤(`−

∫

(0,∞)

x

1 + x2µ(dx)

)+

∫

(0,δ)

xµ(dx) + lim infξ→∞

1

ξµ([δ,∞))

≤(`−

∫

(0,∞)

x

1 + x2µ(dx)

)+ ε,

was `− ∫(0,∞)

x1+x2 µ(dx) ≥ 0 beweist. ////

Wie wir im Beweis von Satz 2.5 sahen, existiert fur Subordinatoren die Laplace–Transformation und es gilt

LP0St(ξ) = E0

(e−Stξ

)= e−tf(ξ) (t ≥ 0, ξ > 0)(2.4)

34

mit dem charakteristischen Exponenten

f(ξ) := a(iξ) = `ξ +

∫

(0,∞)

(1− e−xξ)µ(dx) (ξ > 0),(2.5)

wobei ` ≥ 0 und∫

(0,∞)x

1+xµ(dx) <∞. Offensichtlich laßt sich f holomorph auf die

rechte komplexe Halbebene z ∈ C : Re z > 0 und stetig bis zum Rand fortsetzen.

2.6 Definition. Die Menge der charakteristischen Exponenten von Subordina-toren bezeichnen wir mit BF0. Die Funktionen aus

BF := [0,∞) + BF0 = c+ f : c ≥ 0, f ∈ BF0heißen Bernstein–Funktionen.

2.7 Bemerkung. Ublicherweise, vgl. Berg, Forst [6] p. 61, Definition 9.1,erklart man die Menge der Bernstein–Funktionen mit Hilfe des Differentiations-verhaltens ihrer Elemente: genau dann ist f ∈ BF , wenn

f ≥ 0 und (−1)kdk

dxkf ≤ 0 (k ∈ N)

gilt. Eine Standardreferenz fur Bernstein–Funktionen ist das Buch von Bergund Forst [6]. Dort findet sich eine andere Herleitung der Darstellungsformel furBernstein–Funktionen (pp. 64–66, Theorem 9.8). Eher auf probabilistische Be-lange zugeschnitten ist der Zugang von Karatzas und Shreve [52] pp. 405–408,Theorem 2.7.

Im Hinblick auf unsere Ausfuhrungen in Kapitel 4 geben wir einige Bernstein–Funktionen an.

2.8 Beispiel. In der untenstehenden Tabelle ist f eine Bernstein–Funktion,µt die zugehorige Faltungshalbgruppe auf [0,∞) und µ das Darstellungsmaß derBernstein–Funktion. Fur die Definition der inversen Stieltjes–TransformiertenSF−1

x→ξ(f(x)/x)[ξ] verweisen wir auf Kapitel 4. Die Konstanten a, b, c, α sollen stets0 ≤ α ≤ 1, 0 < a < b ≤ ∞ und c ≥ 0 erfullen.

f(x), x ≥ 0 µt(dλ) µ(dλ) SF−1x→ξ(f(x)/x)[ξ]

c e−ctε0(dλ) 0 cε0(dξ)

cx εct(dλ) 0 c

1− e−cx∑∞

j=0 e−t tj

j!εcj(dλ) εc(dλ) 6 ∃

xα Lµt(ξ) = e−tξα α

Γ(1−α)λ−α−1 sin(απ)

πξα−1

√x 1√

4πtλ−3/2e−t

2/4λ 1√4πλ−3/2 1

πξ−1/2

xa+x

? ae−aλ εa(dξ)

1a− 1

a+x? e−aλ 1

ξεa(dξ)

√x arctan b√

x?

∫ b0y2e−y

2λ dy 1(0,b2)(ξ)1

2√ξ

35

f(x), x ≥ 0 µt(dλ) µ(dλ) SF−1x→ξ(f(x)/x)[ξ]

log(baa+xb+x

)? 1

λ

(e−aλ − e−bλ

)1ξ1(a,b)(ξ)

log(a+xa

)1

Γ(t)atλt−1e−aλ 1

λe−aλ 1

ξ1(a,∞)(ξ)

log(1 + x) 1Γ(t)

λt−1e−λ 1λe−λ 1

ξ1(1,∞)(ξ)

b log(b+xb

)

− a log(a+xa

)? 1

λ2

(e−aλ − e−bλ

)1ξ((ξ − a) ∨ (b− a)) ∧ 0

+ log(b+xa+x

)

(x+ b) log(x+ b)

− x log x ? 1λ2

(1− e−bλ

)1ξ(ξ ∨ b) ∧ 0

(x+ 1) log(x+ 1)

− x log x ? 1λ2

(1− e−λ

)1ξ(ξ ∨ 1) ∧ 0

Fur unsere Absichten ist folgende Charakterisierung der Menge BF0 hilfreich.

2.9 Satz. Eine Funktion f gehort genau dann zur Klasse BF0, wenn f die Men-gen CN 0(Rd,C), d ∈ N, invariant laßt, d. h. wenn f(CN 0(Rd,C)) ⊂ CN 0(Rd,C) furalle d ∈ N gilt.

2.10 Bemerkung. Daß die in Satz 2.9 angegebene Bedingung notwendig ist, istseit Bochner [13] p. 92, Theorem 4.3.1 bekannt. Wir geben einen kurzen Beweis,der sich an die Arbeit von Huff [43] anlehnt.

Der Beweis der Hinlanglichkeit stutzt sich wesentlich auf die von Harzallah[31] p. 456, Theoreme 1 verwendeten Techniken, vgl. auch [29] und [30]. Der hiervorgestellte Beweis geht im Kern auf diese Arbeiten zuruck.

Beweis von Satz 2.9. Notwendigkeit: Es seien f ∈ BF0 mit

f(t) = bt+

∫

(0,∞)

(1− e−st)µ(ds) (t ≥ 0)

und a ∈ CN 0(Rd,C) mit

a(ξ) = −i(`, ξ) + (Sξ, ξ) +

∫

Rd

(1− ei(x,ξ) +

i(x, ξ)

1 + |x|2)ν(dx) (ξ ∈ Rd)

gegeben. Wir approximieren nun f mit einer Folge fn ∈ BF0

fn(t) = bt+

∫

(1/n,∞)

(1− e−st)µ(ds) (t ≥ 0),

36

wobei µn := µ∣∣(1/n,∞)

ein endliches Levy–Maß ist.

Als Komposition stetiger Funktionen ist f a wiederum stetig. Es genugt daherzu zeigen, daß f a ∈ N ist. Die Menge N ist abgeschlossen unter punktweiserKonvergenz, und somit genugt der Nachweis, daß fn a ∈ N . Bezeichnet ps(dy) dasWahrscheinlichkeitsmaß, welches

e−sa(ξ) =

∫

Rdei(y,ξ) ps(dy)

erfullt, so finden wir fur alle n ∈ N

fn a(ξ) = ba(ξ) +

∫

(0,∞)

(1− e−sa(ξ))µn(ds)

= ba(ξ) +

∫

(0,∞)

∫

Rd(1− ei(y,ξ)) ps(dy)µn(ds)

= ba(ξ) +

∫

Rd(1− ei(y,ξ))

∫

(0,∞)

ps(dy)µn(ds).

Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge ist wegen der Endlichkeit des Pro-duktmaßes pt⊗µn moglich; das auf Rd vag erklarte Maß

∫(0,∞)

ps(dy)µn(ds) genugt

daruber hinaus der Beziehung

∫

Rd

|y|21 + |y|2

∫

(0,∞)

ps(dy)µn(ds) =

∫

(0,∞)

∫

Rd

|y|21 + |y|2 ps(dy)µn(ds)

≤∫

(0,∞)

µn(ds) <∞,

was fn a ∈ N beweist.Mit einer ahnlichen Argumentation kann man zeigen, daß das Levy–Maß νf der

Funktion f a durch

νf (dy) =

∫

(0,∞)

ps(dy)µ(ds) + bν(dy)

gegeben ist; dabei ist das Integral im Sinne der vagen Topologie zu verstehen. Siehedazu Huff [43] pp. 408–409, Theorem 3 oder Berg, Forst p. 175, Proposition18.8.

Hinlanglichkeit: Um die Notation zu vereinfachen, fuhren wir fur diesen Teildes Beweises einige neue Bezeichnungen ein:

CN+(Rd,K) := CN (Rd,K) ∩ a : Rd → K : a(0) > 0,O+[K] := f : K→ K : f(CN+(Rd,K)) ⊂ CN (Rd,K) ∀d ∈ N,O0[K] := f : K→ K : f(CN 0(Rd,K)) ⊂ CN 0(Rd,K) ∀d ∈ N,

wobei jeweils K fur R oder C steht.

37

Mit Hilfe dieser Notation laßt sich die Behauptung des Satzes als BF0 = O0[C] =O0[R] schreiben.

Folgende Uberlegung zeigt, daß wir die Behauptung auf die Aussage

O+[R] ⊂ BF(2.6)

zuruckfuhren konnen.Es sei f ∈ O+[C]. Jede konstante Funktion a ∈ CN+(Rd,C), a(ξ) = c ist not-

wendig positiv. Nach Annahme ist auch die Funktion ξ 7→ f(a(ξ)) = f(c) konstantund negativ definit, mithin reellwertig mit f(c) ≥ 0. Wir schließen daraus

O+[C] ⊂ O+[R].

Um einzusehen, daß O0[K] ⊂ O+[K] gilt, wahlen wir ein f ∈ O0[K] und a ∈CN+(Rd,K). Dann ist die Funktion

Rd × R 3 (ξ, γ) 7→ f(a(ξ)− a(0) + |γ|)

in CN 0(Rd×R,K), somit sind die Funktionen f(a(·) + γ′) fur γ′ := γ − a(0) ≥ 0 inCN (Rd,K) enthalten und damit f ∈ O+[K].

Aus den soeben angestellten Uberlegungen folgt zusammen mit (der noch zuzeigenden) Inklusion (2.6)

BF0 = BF0 ∩ BF ⊂ O0[K] ∩ O+[K]

⊂ f : K→ K : lim

z→0Re z>0

f(z) = 0 ∩ O+[R]

⊂ f : R→ R : lim

x0f(x) = 0

∩ BF= BF0

und somitBF0 = O0[K] ∩ O+[K] = O0[K].

Dabei haben wir nicht zwischen Bernstein–Funktionen auf (0,∞) und deren (ein-deutigen) kanonischen Fortsetzungen auf die rechte komplexe Halbebene unterschie-den.

Um (2.6) zu zeigen, benotigen wir den folgenden Hilfssatz, den wir im Anschlußbeweisen werden.

2.11 Lemma. Fur alle f, g ∈ O+[R] gilt

(1) O+[R] ist abgeschlossen unter lokal–gleichmaßiger Konvergenz;

(2) λf + (1− λ)g ∈ O+[R] (0 ≤ λ ≤ 1);

(3) f∣∣(0,∞)

ist stetig;

(4) τcf := f(·+ c)− f(c) ∈ O+[R] (c > 0);

38

(5) f − τcf ∈ O+[R] (c > 0);

(6) f ist isoton, subadditiv und konkav.

Fortsetzung des Beweises von Satz 2.9. Nach Lemma 2.11 ist O+[R] einkonvexer Kegel, der auf Grund der Konkavitat seiner Elemente in L1((0,∞), e−x dx)enthalten ist. Daher bildet die Menge

B :=f ∈ O+[R] :

∫

(0,∞)

f(x)e−x dx = 1

eine konvexe Basis dieses Kegels. Fur alle f ∈ B gilt

f(x)e−x = f(x)

∫

(x,∞)

e−ξ dξ ≤∫

(x,∞)

f(ξ)e−ξ dξ ≤ 1.

Nach einer einfachen Verallgemeinerung des Satzes von Kolmogorov uber Kom-paktheit in den Raumen Lp(R, dx) ist B relativ kompakt in L1 := L1((0,∞), e−x dx):es gilt

supf∈B‖f‖L1 = 1,(2.7)

und fur alle x, y ≥ 0 aus einer beschrankten Menge mit |x− y| → 0

‖f(·+ x)− f(·+ y)‖L1 =

∫

(0,∞)

|f(ξ + x)− f(ξ + y)| e−ξ dξ(2.8)

= ex∧y∫

(x∧y,∞)

|f(ξ + x ∨ y − x ∧ y)− f(ξ)| e−ξ dξ

≤ ex∧y∫

(0,∞)

(f(ξ + |x− y|)− f(ξ)

)e−ξ dξ

= ex∧y(

e|x−y|∫

(|x−y|,∞)

f(ξ)e−ξ dξ − 1

)

≤ ex∧y(e|x−y| − 1

)→ 0,

und fur alle R > 1

‖f1BcR(0)‖L1 =

∫

(R,∞)

f(x)e−x dx ≤ f(1)

∫

(R,∞)

xe−x dx ≤ e1−R(R + 1).(2.9)

Dabei besagen (2.7) und (2.9) wegen der Isotonie der Funktionen aus B gerade,daß die Familie B gleichgradig integrierbar ist, vgl. Bauer [4] p. 146, Satz 21.8 (iii),d. h. die Begriffe der punktweisen Konvergenz und der Konvergenz im Mittel fallenin B zusammen. Mithin ist B abgeschlossen und somit kompakt.

Nach dem Satz von Krein–Mil’man ist B die abgeschlossene konvexe Hulleseiner Extremalpunkte. Diese werden wir nun bestimmen:

Es sei f ∈ B extremal. Ist dann

λc :=

∫

(0,∞)

τcf(x)e−x dx =

∫

(0,∞)

(f(x+ c)− f(c))e−x dx ≤∫

(0,∞)

f(x)e−x dx = 1

39

von 0 und 1 verschieden, so folgt λ−1c τcf ∈ B und (1 − λc)−1(f − τcf) ∈ B. Mithin

istf = λc[λ

−1c τcf ] + (1− λc)[(1− λc)−1(f − τcf)].

Nach Annahme war f extremal. Daher ist λ−1c τcf = (1− λc)−1(f − τcf) oder τcf =

λcf fur ein λc ∈ (0, 1).Wegen τcf ≤ f (Lemma 2.11 (6)) folgern wir im Falle λc = 1 aus

∫

(0,∞)

(f(x)− τcf(x))e−x dx =

∫

(0,∞)

f(x)e−x dx− λc = 0,

daß f = τcf gelten muß. Entsprechend finden wir fur λc = 0 wegen der Isotonie derFunktion f und wegen

∫

(0,∞)

τcf(x)e−x dx =

∫

(0,∞)

(f(x+ c)− f(c))e−x dx = 0,

daß τcf = 0 gelten muß.Zusammenfassend erhalten wir somit

τcf = λcf fur ein λc ∈ [0, 1].(2.10)

Fall 1: f ist unbeschrankt. Wegen der Isotonie von f ist dann fur alle c > 0

τcf(x) = f(x+ c)− f(c) = λcf(x) ≤ λcf(x+ c)

und daher(1− λc)f(x+ c) ≤ f(c) <∞,

fur alle x > 0, was λc = 1 impliziert. Somit ist f stetig und additiv, damit linearund wegen der Normierung in B notwendigerweise f(x) = x.

Fall 2: f ist beschrankt und konstant. Dann sind f(x) = 1 und λc = 0.Fall 3: f ist beschrankt, aber nicht konstant. In diesem Fall setzen wir m :=

‖f‖∞ und finden aus (2.10)

m− f(c) = sup0<x<∞

f(x+ c)− f(c) = λc sup0<x<∞

f(x) = λcm (c > 0).

Fur die Funktion (0,∞) 3 c 7→ λc ∈ (0, 1) gilt

λc+d = 1− 1

mf(c+ d) = 1− 1

m

(λcf(d) + f(c)

)

=(

1− 1

mf(c)

)− 1

mλcf(d)

= λc

(1− 1

mf(d)

)

= λcλd.

Da daruber hinaus c 7→ λc = 1− 1mf(c) stetig und strikt positiv ist, finden wir, daß

c 7→ λc = e−γc (c, γ > 0),

40

alsof(x) = fγ(x) = m(1− e−γx) (γ > 0)

gilt. Wegen der Normierung in B finden wir fur m = mγ

1

m=

∫

(0,∞)

(1− e−γξ)e−ξ dξ =γ

1 + γ.

Somit haben wir gezeigt, daß die Extremalpunkte von B in der Menge E :=1, x, 1+γ

γ(1− e−γx) : 0 < γ <∞

enthalten sind. Nach dem Satz von Krein–

Mil’man folgt, daß

O+[R] ⊂ rf : r ∈ (0,∞), f ∈ ch(E)

gilt, wobei ch(E) fur die (punktweise bzw. lokal–gleichmaßig bzw. im Mittel) ab-geschlossene, konvexe Hulle von E steht. Das sind aber gerade die Funktionen derGestalt

f(x) = r

(α + βx+

∫

(0,∞)

1 + γ

γ(1− e−γx)µ(dγ)

)(r > 0, x ≥ 0)

mit einem endlichen Maß µ auf (0,∞) und Koeffizienten α, β ≥ 0, so daß α + β +µ((0,∞)) = 1 gilt, also die Bernstein–Funktionen. ////

Beweis von Lemma 2.11. Die Aussagen (1) und (2) folgen unmittelbar ausden entsprechenden Aussagen fur die Kegel CN (Rd,R), d ∈ N.

Zu (3): Fur jedes ε > 0 ist [ξ 7→ |ξ| + ε] ∈ CN+(Rd,R), also [ξ 7→ f(|ξ| + ε)] ∈CN (Rd,R), was f

∣∣(ε,∞)

∈ C((ε,∞),R) zeigt.

Zu (4): Fur jede Wahl von c > 0 ist [ξ 7→ |ξ|+ c] ∈ CN+(Rd,R). Ist f ∈ O+[R],so finden wir, daß

f(c) ≤ f(|ξ|+ c)

fur alle ξ ∈ Rd und alle c > 0 gilt, d. h. die Funktionen in O+[R] sind isoton.Es seien nun f ∈ O+[R], a ∈ CN+(Rd,R) und c > 0 beliebig vorgegeben. Dann

gilt

τcf(a(ξ)) = f(a(ξ) + c)− f(c)

=(f(a(ξ) + c)− f(a(0) + c)

)+(f(a(0) + c)− f(c)

)

fur alle ξ ∈ Rd. Die in der ersten Klammer stehende Funktion ist negativ definit, diezweite Klammer enthalt wegen der Isotonie der Funktion f eine positive Konstante.Somit folgt τcf a ∈ CN (Rd,R) bzw. τcf ∈ O+[R].

Zu (5): Es genugt zu zeigen, daß fur a ∈ CN+(Rd,R) die Funktion

ξ 7→ f(a(ξ)) + f(c)− f(a(ξ) + c) (c ≥ 0)

41

in CN (Rd,R) enthalten ist. Wir wollen das Kriterium aus Satz 1.13 anwenden.Dazu wahlen wir beliebige Vektoren ξ1, . . . , ξn ∈ Rd und Zahlen λ1, . . . λn ∈ C mit∑n

j=1 λj = 0. Die Hilfsfunktion

R 3 c 7→ φ(c) :=n∑

i,j=0

(f(a(ξi − ξj) + |c|)− f(a(ξi − ξj))

)λiλj

ist reellwertig und negativ definit. Die zweite Behauptung ergibt sich leicht mitHilfe des Kriteriums von Satz 1.13: φ(0) = 0, φ(c) = φ(−c) und fur jede Wahl vonc1, . . . , cm ∈ R und µ1, . . . , µm ∈ C mit

∑mp=1 µp = 0 gilt

m∑p,q=1

φ(cp − cq)µpµq =

=m∑

p,q=1

n∑i,j=1

f(a(ξi − ξj) + |cp − cq|)λiλjµpµq −m∑

p,q=1

n∑i,j=1

f(a(ξi − ξj))λiλjµpµq

=n∑

i,j=1

m∑p,q=1

f(a(ξi − ξj) + |cp − cq|)λiµp λjµq ≤ 0

denn die Funktion Rd × R 3 (ξ, c) 7→ f(a(ξ) + |c|) ist negativ definit, und es gilt∑n,mi,p=1 λiµp = 0.Da nach Konstruktion φ(c) reellwertig ist, gilt φ(c) ≥ φ(0) = 0, also

n∑i,j=1

(f(a(ξi − ξj) + |c|)− f(a(ξi − ξj))

)λiλj ≥ 0.(2.11)

Wenden wir nun das Kriterium 1.13 auf die Funktion

Rd 3 ξ 7→ g(ξ) := f(a(ξ)) + f(a(0) + c)− f(a(ξ) + c)− f(a(0)) (c ≥ 0)

an, so finden wir wegen g(0) = 0, g(ξ) = g(−ξ) und

n∑i,j=1

g(ξi − ξj)λiλj =n∑

i,j=1

(f(a(ξi − ξj))− f(a(ξi − ξj) + c)

)λiλj ≤ 0,

mit ξi, λi wie oben, daß g ∈ CN 0(Rd,R) fur jede Wahl von a ∈ CN+(Rd,R). Insbe-sondere gilt

f(a(ξ) + c) ≤ f(a(ξ)) + f(a(0) + c)− f(a(0)) ≤ f(a(ξ)) + f(a(0) + c) (c > 0).

Fur a(ξ) := |ξ| + ε, ε > 0, zeigt das fur ε → 0 die Subadditivitat von f , also istf(a(0) + c)− f(a(0)) ≤ f(c), somit g − f(a(0) + c) + f(a(0)) + f(c) ∈ CN (Rd,R),und die Behauptung folgt.

Zu (6): Die Isotonie wurde bereits im Beweis von (4), die Subadditivitat imBeweis von (5) gezeigt. Es bleibt das Krummungsverhalten zu untersuchen.

42

Es seien c, d > 0. Mit f − τdf ∈ O+[R] ist auch τc(f − τdf) ∈ O+[R] und dahergilt

0 ≤ τc(f − τdf)(d) = 2f(c+ d)− f(c+ 2d)− f(c),

was wegen der Stetigkeit von f und

1

2

(f(c+ 2d) + f(c)

) ≤ f(c+ d)

die behauptete Konkavitat zeigt. ////

Es seien µtt≥0 ein Subordinator mit charakteristischem Exponenten f ∈ BF0

und Ttt≥0 eine Halbgruppe von Operatoren auf einem Banach–Raum X . Nachdem Satz von Banach–Steinhaus ist dann das Riemann–Stieltjes–Integral

T ft u :=

∫

[0,∞)

Tsuµt(ds) := limn→∞

∫

[0,n)

Tsuµt(ds) (u ∈ X )(2.12)

wiederum eine Halbgruppe von Operatoren, vorausgesetzt der Limes existiert imSinne der Normtopologie auf X .

2.12 Bemerkung. Hinreichend fur die Existenz des starken Limes in (2.12)ist die Forderung

∫[0,∞)‖Tsu‖µt(ds) < ∞ fur jedes u ∈ X , d. h. daß s 7→ Tsu im

Sinne von Bochner integrierbar ist: s 7→ Tsu ist stetig, nach dem Kriterium vonPettis—vgl. Yosida [79] p. 131, Theorem 1—stark meßbar; daher ist s 7→ Tsugenau dann Bochner–integrierbar, wenn s 7→ ‖Tsu‖ Lebesgue–integrierbar ist(Yosida [79] p. 133, Theorem).

Insbesondere impliziert∫

[0∞)‖Ts‖µt(ds) < ∞, daß der Grenzwert in (2.12) exi-

stiert. Somit ist Subordination stets dann wohldefiniert, wenn die ‖Tt‖ gleichmaßigbeschrankt sind, oder wenn µt eine Funktion s 7→ eω0s mit ω0 > ω0 und ω0 :=limt→∞ t−1 log ‖Tt‖ wie in (1.1) integriert.

2.13 Satz. Es sei µtt≥0 eine Faltungshalbgruppe von Maßen auf [0,∞), die imSinne der vagen Topologie stetig ist. Die zugehorige Bernstein–Funktion sei durch

f(x) = a+ bx+

∫

(0,∞)

(1− e−sx)µ(ds) (x ≥ 0)

gegeben. Dann sind fur jedes γ ≥ 0 folgende Aussagen aquivalent:

(i) Fur alle t ≥ 0 gilt∫

[0,∞)esγ µt(ds) <∞.

(ii) f kann zu einer C∞–Funktion auf (−γ,∞) und stetig bis zum Rand fortgesetztwerden.

(iii) f kann holomorph auf die Halbebene z ∈ C : Re z > −γ und stetig bis zumRand fortgesetzt werden.

(iv) Es gilt∫

(1,∞)esγ µ(ds) <∞.

43

Beweis. (i) ⇒ (ii): Fur x ≥ γ gilt

Lµt(x− γ) =

∫

[0,∞)

e−s(x−γ) µt(ds) = e−tf(x−γ) (t ≥ 0).

Das in der Mitte stehende Integral konvergiert wegen∫

[0,∞)esγ µt(ds) < ∞ fur alle

x ≥ 0. Somit ist

f(x− γ) := −1

tlog

(∫

[0,∞)

e−s(x−γ) µt(ds)

)(t ≥ 0)

fur alle x ≥ 0 erklart und setzt f in der gewunschten Weise fort.

(ii) ⇒ (iii): Es sei z = x+ iy ∈ C mit x ≥ −γ. Da

|∫

[0,∞)

e−sz µt(ds)| ≤∫

[0,∞)

|e−sz|µt(ds) =

∫

[0,∞)

e−sx µt(ds) <∞

gilt, ist die Funktion z 7→ ∫[0,∞)

e−sz µt(ds) fur z ∈ C,Re z > −γ holomorph und

stetig bis zum Rand. Mithin ist

f(z) := −1

tlog

(∫

[0,∞)

e−sz µt(ds))

(t ≥ 0)(2.13)

die gesuchte Fortsetzung.

(iii)⇒ (iv): Durch Differentiation unter dem Integral (2.13) finden wir fur reelleArgumente x

(−1)kdk

dxkf(x) ≤ 0 (x > 0, k ∈ N).

Nach Bemerkung 2.7 ist daher die Funktion

(0,∞) 3 x 7→ f(x− γ)− f(−γ)

eine Bernstein–Funktion mit Levy–Tripel (0, b, µ),

f(x− γ)− f(−γ) = bx+

∫

(0,∞)

(1− e−sx) µ(ds) (x ≥ 0).(2.14)

Insbesondere finden wir fur x = y + γ, y ≥ 0

f(y) = (f(−γ) + bγ) + by +

∫

(0,∞)

(1− e−sye−sγ) µ(ds)

= (f(−γ) + bγ) + by +

∫

(0,∞)

(1− e−sγ) µ(ds) +

∫

(0,∞)

(1− e−sy) e−sγµ(ds).

Aus (2.14) folgt die Gleichheit∫

(0,∞)(1− e−sγ) µ(ds) = f(0)− f(−γ)− bγ, also

f(y) = f(0) + by +

∫

(0,∞)

(1− e−sy) e−sγµ(ds) (y ≥ 0).

44

Auf Grund der Eindeutigkeit der Levy–Darstellung von f folgern wir µ(ds) =e−sγµ(ds); die Behauptung ergibt sich nun aus

∫

(1,∞)

esγ µ(ds) =

∫

(1,∞)

µ(ds) <∞.

(iv) ⇒ (i): Wie oben finden wir, daß durch

(0,∞) 3 x 7→ f(x− γ)− f(−γ)

eine Bernstein–Funktion gegeben ist. Nach dem Satz von Bernstein, vgl. Berg,Forst [6] p. 62, Theorem 9.3, gibt es eine eindeutig bestimmte, vag stetige Faltungs-halbgruppe von Maßen νtt≥0 auf [0,∞), so daß

Lνt(x) =

∫

[0,∞)

e−sx νt(ds) = etf(−γ)e−tf(x−γ)

fur alle x ≥ 0 und t ≥ 0 gilt.Fur die durch e−tf(−γ)νtt≥0 gegebene Faltungshalbgruppe gilt somit

∫

[0,∞)

e−sx e−tf(−γ)νt(ds) = e−tf(x−γ) (t, x ≥ 0),

und insbesondere ist fur x = y + γ, y ≥ 0

∫

[0,∞)

e−sy e−sγe−tf(−γ)νt(ds) = e−tf(y) (t, y ≥ 0).

Wir schließen µt(ds) = e−sγe−tf(−γ)νt(ds) aus der Eindeutigkeit der Laplace–Transformation, und somit auch

∫

[0,∞)

esγ µt(ds) =

∫

[0,∞)

e−tf(−γ) νt(ds) = e−tf(−γ)Lνt(0) <∞.

////

2.14 Definition. Existiert der Grenzwert (2.12) im Sinne der Normtopologie,dann nennen wir den Subordinator zulassig .

Die in diesem Falle durch (2.12) erklarte Halbgruppe von Operatoren T ft t≥0

auf X heißt die der Halbgruppe Ttt≥0 subordinierte Halbgruppe.

2.15 Korollar. Es seien Ttt≥0 eine C0–Halbgruppe von Operatoren auf X mitErzeuger A und µtt≥0 ein Subordinator mit Bernstein–Funktion f .

(1) Der Subordinator ist zulassig, wenn fur ein ω0 > ω0 die Funktion f auf dasIntervall (−ω0,∞) fortgesetzt werden kann.

(2) Ist der Subordinator zulassig, so kann die Funktion f auf das Intervall[−ω0,∞) fortgesetzt werden.

45

Alle wesentlichen Eigenschaften der Halbgruppe Ttt≥0 ubertragen sich auf diesubordinierte Halbgruppe: es gilt der folgende Satz von Phillips [62] pp. 362–363,Theorem 4.3 und pp. 366–367, Theorem 4.4, den wir in etwas veranderter Formnotieren, da Phillips nicht die Bernstein–Funktion f(x), sondern −f(ω0 − x)betrachtet.

2.16 Satz. Es seien Ttt≥0 eine C0–Halbgruppe mit Erzeuger A, ω0 wie obenund µtt≥0 ein zulassiger Subordinator mit Bernstein–Funktion f .

Dann existiert die subordinierte Halbgruppe T ft t≥0, ist wiederum aus der KlasseC0, der Definitionsbereich ihres Erzeugers Af erfullt

D(Af ) ⊃ D(A)

und auf D(A) hat Af die Darstellung

Afu = bAu+

∫

(0,∞)

(Ttu− u)µ(dt) (u ∈ D(A)).

Dabei ist (0, b, µ) das Levy–Tripel der Funktion f ∈ BF0.Weiterhin gilt

‖T ft ‖ ≤∫

[0,∞)

‖Ts‖µt(ds),

insbesondere ist eine einer Kontraktionshalbgruppe subordinierte Halbgruppe wieder-um kontraktiv.

Fur das Spektrum von Af gilt

σ(Af ) ⊃ −f(−σ(A)).

Im allgemeinen kann der Definitionsbereich D(Af ) des Erzeugers Af der subor-dinierten Halbgruppe nicht angegeben werden. Es gilt jedoch Af |D(A) = Af , wiedas folgende Lemma zeigt.

2.17 Lemma. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.16 gilt, daß D(Ak) fur allek ∈ N ein definierender Bereich (core) des Erzeugers (Af , D(Af )) der subordiniertenHalbgruppe T ft t≥0 ist.

Beweis. Wir zeigen, daß T ft (D(Ak)) ⊂ D(Ak) gilt, woraus nach Davies [18] p.8, Theorem 1.9, die Behauptung folgt.

Die Folge ∫

[0,n)Tsuµt(ds)

n∈N konvergiert fur jedes u ∈ D(Ak) im Sinne der

Normtopologie gegen T ft u =∫

[0,∞)Tsuµt(ds).

Wegen der Abgeschlossenheit des Operators A finden wir auf D(Ak)

‖Ak∫

[n,m)

Tsuµt(ds)‖ = ‖∫

[n,m)

TsAkuµt(ds)‖

≤∫

[n,m)

‖TsAku‖µt(ds)

≤∫

[n,m)

‖Ts‖µt(ds) ‖Aku‖,

46

woraus folgt, daßAk∫

[0,n)Tsuµt(ds)

n∈N fur u ∈ D(Ak) eine Cauchy–Folge ist.

Die Abgeschlossenheit des Operators A impliziert dann T ft u ∈ D(Ak). ////

Abschließend wollen wir das Konzept der Subordination auf der Ebene der Pro-zesse diskutieren. Das folgende Ergebnis ist u. a. implizit bei Blumenthal undGetoor [8], [9] in den preliminaries erwahnt, ein Beweis scheint sich aber erst beiHuff [43] pp. 404–405, Theorem 1 zu finden.

2.18 Satz. Es seien Xtt≥0 ein d–dimensionaler Markov–Prozeß, Ttt≥0 diezugehorige Markovsche Halbgruppe und Stt≥0 ein davon unabhangiger Subordi-nator, dessen korrespondierende Faltungshalbgruppe µtt≥0 und Bernstein–Funk-tion f seien. Dann gilt

Px(X(St) ∈ B) = T ft 1B(x) = Px(Xft ∈ B) (t ≥ 0, x ∈ Rd, B ∈ B),

d. h. der zu T ft t≥0 korrespondierende Prozeß Xft t≥0 und der durch eine Zeit-

transformation hervorgegangene Prozeß X(St)t≥0 stimmen uberein.

Beweis. Auf Grund der Unabhangigkeit der Prozesse Xt und St finden wir nachden Rechenregeln fur bedingte Wahrscheinlichkeiten

Px(X(St) ∈ B) =

∫ ∞0

Px(Xs ∈ B|St = s) ds

=

∫ ∞0

Px(Xs ∈ B)P0St(ds)

=

∫ ∞0

Px(Xs ∈ B)µt(ds)

=

∫ ∞0

Ts1B(x)µt(ds)

= T ft 1B(x).

fur alle B ∈ B und x ∈ Rd. ////

2.19 Korollar. Ist Xtt≥0 ein d–dimensionaler Markov–Prozeß mit Uber-gangsdichten p(t, x, y) und Stt≥0 ein davon unabhangiger Subordinator, so besitztauch der subordinierte Prozeß Xf

t t≥0 Ubergangsdichten. Diese sind durch

pf (t, x, y) =

∫ ∞0

p(s, x, y)P0St(ds) (t ≥ 0, x, y ∈ Rd)

gegeben.

2.20 Korollar. Ist in der Notation von Satz 2.18 Xtt≥0 ein Feller–Prozeßbzw. starker Feller–Prozeß so auch Xf

t t≥0.Mit Xtt≥0 ist auch Xf

t t≥0 ein Levy–Prozeß, dessen negativ definite Funktionf a ist; dabei ist a die Xtt≥0 entsprechende negativ definite Funktion.

47

Beweis. Ohne Verlust an Allgemeinheit beschranken wir uns auf den Fall, woXtt≥0 stark Fellersch ist. Nach Voraussetzung sind fur jedes u ∈ Bb(Rd) undalle s ≥ 0 die Funktionen Tsu ∈ Cb(Rd). Weil

|Tsu(x)| ≤ ‖Ts‖∞‖u‖∞ = ‖u‖∞ <∞

eine integrierbare Majorante besitzt, gilt nach dem Konvergenzsatz von Lebesgue

limy→x

∫ ∞0

Tsu(y)µt(ds) =

∫ ∞0

Tsu(x)µt(ds),

und somit ist T ft u stetig.Daß f a der charakteristische Exponent des—damit notwendig Levyschen—

Prozesses Xft t≥0 ist, folgt entweder aus der Darstellungsformel von Satz 2.16 oder

wie in Berg, Forst [6] p. 69, Abschnitt 9.20. ////

48

Kapitel 3

Elementare PfadeigenschaftenLevyscher und mit diesenvergleichbarer Prozesse

3.1 Ein Reflexionsprinzip fur Levy–Prozesse

Das Reflexionsprinzip fur eine reelle Brownsche Bewegung Btt≥0 besagt, daß

P0(sups≤t

Bs ≥ a) ≤ 2P0(Bt ≥ a) (t ≥ 0)

fur alle a ∈ R gilt—Gleichheit erhalten wir fur positive a, vgl. Bauer [5] pp. 467–468. Mit einer modifizierten Beweistechnik konnen wir ein ahnliches Resultat fursymmetrische Levy–Prozesse zeigen.

3.1 Lemma. Es seien Xt,Ftt≥0 ein symmetrischer Levy–Prozeß mit Wertenin R, a ∈ R, I ⊂ (−∞, a] ein unbeschranktes Intervall, und Ia = 2a − I das amPunkt a gespiegelte Intervall. Dann gilt fur alle x ≥ a

Px(Xt ∈ I) ≤ Px(Xt ∈ Ia) (t ≥ 0).

Beweis. Ohne Einschrankung durfen wir annehmen, daß I = (−∞, b) fur einb ≤ a ist. Dann finden wir

Px(Xt ∈ I) = Px(Xt < b) = P0(Xt < b− x) = P0(Xt > x− b)= Px(Xt > 2x− b) = Px(Xt > (2x− 2a) + 2a− b).

Wegen 2x− 2a ≥ 0 gilt schließlich

Px(Xt ∈ I) ≤ Px(Xt > 2a− b) = Px(Xt ∈ Ia),womit die Behauptung gezeigt ist. ////

3.2 Satz. Es seien Xtt≥0 ein symmetrischer Levy–Prozeß mit Werten in Rund τ = τ(a,∞) die erste Eintrittszeit in das offene Intervall (a,∞). Fur alle a ∈ R

49

bestehen die Ungleichungen

P0(sups≤t

Xs > a) ≤ P0(Xt ≥ Xτ ) + P0(Xt > Xτ ) (t ≥ 0)(3.1)

und2P0(Xt > Xτ ) ≤ P0(sup

s≤tXs > a) (t ≥ 0).(3.2)

Beweis. Fur ε ≥ 0 bezeichne τ ε = τ(a+ε,∞) die erste Eintrittszeit in das Intervall(a+ ε,∞), wobei τ = τ 0 gilt.

Ist sups≤tXs(ω) > a+ ε, so gibt es ein s0 ≤ t mit Xs0(ω) > a+ ε, also τ ε(ω) ≤ t.Umgekehrt folgt aus τ ε(ω) ≤ t sofort sups≤tXs(ω) ≥ a + ε. Somit erhalten wir dieInklusionen

sups≤t

Xs > a+ ε ⊂ τ ε ≤ t ⊂ sups≤t

Xs ≥ a+ ε(3.3)

fur alle a ∈ R und ε ≥ 0.Im folgenden sei ein ε > 0 fest vorgegeben. Die Eintrittszeit τ ε ist wegen der

Rechtsstetigkeit der Pfade des Prozesses eine FXt –Optionszeit. Die erste Inklusionaus (3.3) und die starke Markov–Eigenschaft ergeben dann

P0(sups≤t

Xs > a+ ε,Xt ≤ Xτε) ≤ P0(τ ε ≤ t,Xt ≤ Xτε)

=

∫

τε≤tPXτε (ω)(Xt−τε(ω) ≤ Xτε(ω))P0(dω)

=

∫

τε≤tP0(Xt−τε(ω) ≤ 0)P0(dω)

=

∫

τε≤tP0(Xt−τε(ω) ≥ 0)P0(dω)

=

∫

τε≤tPXτε (ω)(Xt−τε(ω) ≥ Xτε(ω))P0(dω)

= P0(τ ε ≤ t,Xt ≥ Xτε)

≤ P0(τ ≤ t,Xt ≥ Xτε).

Die letzte Abschatzung resultiert aus der Tatsache, daß τ ≤ τ ε und somit τ ε ≤t ⊂ τ ≤ t gilt.

Verwenden wir an Stelle der ersten Inklusion von (3.3) die zweite, so erhaltenwir mit einer analogen Rechnung

P0(sups≤t

Xs ≥ a+ ε,Xt < Xτε) ≥ P0(τ ε ≤ t,Xt < Xτε)

= P0(τ ε ≤ t,Xt > Xτε)

≥ P0(sups≤t

Xs > a+ ε,Xt > Xτε)

= P0(Xt > Xτε),

50

wobei im letzten Schritt Xτε ≥ a+ ε einging.Wir finden also

P0(sups≤t

Xs > a+ ε) =(3.4)

= P0(sups≤t

Xs > a+ ε,Xt ≤ Xτε) + P0(sups≤t

Xs > a+ ε,Xt > Xτε)

= P0(sups≤t

Xs > a+ ε,Xt ≤ Xτε) + P0(Xt > Xτε)

≤ P0(Xt ≥ Xτε , τ ≤ t) + P0(Xt > Xτε)

und

P0(sups≤t

Xs ≥ a+ ε) =(3.5)

= P0(sups≤t

Xs ≥ a+ ε,Xt < Xτε) + P0(sups≤t

Xs ≥ a+ ε,Xt ≥ Xτε)

= P0(sups≤t

Xs ≥ a+ ε,Xt < Xτε) + P0(Xt ≥ Xτε)

≥ P0(Xt > Xτε) + P0(Xt ≥ Xτε)

fur jedes fest gewahlte ε > 0.Die Pfade des Prozesses sind rechtsseitig stetig. Somit folgt aus τ = infε>0 τ

ε

auch Xτ = infε>0Xτε fast sicher und wir erhalten die folgenden Inklusionen:

⋃ε>0

Xt > Xτε = Xt > Xτ

undXt > Xτ ⊂

⋃ε>0

Xt ≥ Xτε ⊂ Xt ≥ Xτ.

Der Grenzubergang ε 0 in (3.4), (3.5) ergibt schließlich

P0(sups≤t

Xs > a) ≤ P0(Xt ≥ Xτ , τ ≤ t) + P0(Xt > Xτ )(3.6)

bzw.P0(sup

s≤tXs > a) ≥ 2P0(Xt > Xτ ),(3.7)

womit die Behauptung des Satzes folgt. ////

Fur jedes Maß µ und jede reelle meßbare Funktion f gilt

∫|f | dµ =

∫ ∞0

µ(|f | ≥ t) dt =

∫ ∞0

µ(|f | > t) dt,

vgl. hierzu Bauer [4] p. 161, (23.10) und Hewitt, Stromberg [38] p. 421, The-orem (21.71).

51

Damit finden wir fur reelle Levy–Prozesse und alle t ≥ 0 und M ∈ N∫ ∞

0

P0(|Xt| ∧M = a) da =

∫ ∞0

(P0(|Xt| ∧M ≥ a)− P0(|Xt| ∧M > a)

)da

= E0(|Xt| ∧M)− E0(|Xt| ∧M) = 0.

Das heißt, daß fur jeden festen Zeitpunkt t ≥ 0 wenigstens eine dichte, von t abhangi-ge Teilmenge D(t) ⊂ R existiert, so daß

P0(Xt = a) = 0 (t ≥ 0, a ∈ D(t))

gilt.Besitzt der Prozeß Xtt≥0 zusatzlich zu den Voraussetzungen von Satz 3.2 fast

sicher stetige Pfade, so gilt wegen Xτ = a, a ≥ 0,

P0(sups≤t

Xs > a) = 2P0(Xt > a) = 2P0(Xt ≥ a)

zunachst fur positive a ∈ D(t); mittels eines einfachen Approximationsargumentszeigt man diese Identitat dann fur beliebige a ≥ 0.

Allgemeiner erhalten wir fur stark Fellersche Levy–Prozesse Gleichheit in(3.1), (3.2). Dazu verwenden wir den folgenden Hilfssatz, der sich bei Hawkes [34]findet.

3.3 Lemma. ([34] p. 341, Theorem 2.2) Ein d–dimensionaler Levy–Prozeß mitUbergangshalbgruppe Ttt≥0 ist genau dann stark Fellersch, wenn die Ubergangs-kerne Tt Dichten bezuglich des Lebesgue–Maßes auf Rd besitzen.

Zusatzlich zu den Voraussetzungen von Satz 3.2 sei nun Xtt≥0 stark Fel-lersch. Aus Lemma 3.3 und der starken Markov–Eigenschaft folgt dann

P0(Xt ≥ Xτ , τ ≤ t)− P0(Xt > Xτ , τ ≤ t) =

=

∫

τ≤tPXτ (ω)

(Xt−τ(ω) = Xτ (ω)

)P0(dω)

=

∫

τ≤tP0(Xt−τ(ω) = 0

)P0(dω) = 0

fur alle t ≥ 0. Zusammen mit (3.6) aus dem Beweis von Satz 3.2 ergibt sich

P0(sups≤t

Xs > a) ≤ P0(Xt > Xτ ) + P0(Xt ≥ Xτ , τ ≤ t)

= P0(Xt > Xτ ) + P0(Xt > Xτ , τ ≤ t)

= 2P0(Xt > Xτ ).

3.4 Korollar. Es seien Xtt≥0 ein stark Fellerscher, symmetrischer Levy–Prozeß mit Werten in R und τ = τ(a,∞) die erste Eintrittszeit in das offene Intervall(a,∞). Dann gilt

P0(sups≤t

Xs > a) = 2P0(Xt > Xτ ) (t ≥ 0)(3.8)

52

fur alle a ∈ R.

Das folgende Korollar stellt eine formale Analogie zum Reflexionsprinzip fur einenormale Brownsche Bewegung her; wir werden daher (3.9) als Reflexionsprinzip furLevy–Prozesse bezeichnen.

3.5 Korollar. Es sei Xtt≥0 ein symmetrischer Levy–Prozeß mit Werten inR. Fur alle a ∈ R gilt

P0(sups≤t

Xs > a) ≤ P0(Xt ≥ a) + P0(Xt > a) ≤ 2P0(Xt ≥ a) (t ≥ 0).(3.9)

Beweis. Wir verwenden die Bezeichnungen aus dem Beweis von Satz 3.2.Nach Definition ist τ = infs ≥ 0 : Xs > a und somit Xτ ≥ a. Wir erhalten

daher Xt > Xτ ⊂ Xt > a bzw. Xt ≥ Xτ ⊂ Xt ≥ a. Die Behauptung folgtdann aus (3.1). ////

3.6 Korollar. Es sei Xtt≥0 wie in Korollar 3.5. Dann gilt

Px(sups≤t|Xs − x| > a) ≤ Px(|Xt − x| ≥ a) + Px(|Xt − x| > a) (t ≥ 0)(3.10)

fur alle x ∈ R und a ∈ R.

Beweis. Es genugt, die Behauptung fur a ≥ 0 zu zeigen. Wenden wir Korollar3.5 auf die Prozesse Xtt≥0 und −Xtt≥0 an, erhalten wir einerseits

Px(sups≤t

(Xs − x) > a) = P0(sups≤t

Xs > a)

≤ P0(Xt ≥ a) + P0(Xt > a)

= Px(Xt − x ≥ a) + Px(Xt − x > a)

und andererseits

Px(sups≤t

(x−Xs) > a) = Px(sups≤t

(−(Xs − x)) > a)

= P0(sups≤t

(−Xs) > a)

≤ P0(−Xt ≥ a) + P0(−Xt > a)

= Px(x−Xt ≥ a) + Px(x−Xt > a).

Daraus folgt

Px(sups≤t|Xs − x| > a) =

= Px(sups≤t

(Xs − x) > a) + Px(sups≤t

(x−Xs) > a)

≤ Px(Xt − x ≥ a) + Px(Xt − x > a) + Px(x−Xt ≥ a) + Px(x−Xt > a)

= Px(|Xt − x| ≥ a) + Px(|Xt − x| > a),

53

also die Behauptung. ////

3.7 Korollar. Es sei Xtt≥0 wie in Korollar 3.5. Dann gilt

Px( supr≤s≤t

|Xs−Xr| > a) ≤ Px(|Xt−Xr| ≥ a)+Px(|Xt−Xr| > a) (t ≥ r ≥ 0)(3.11)

fur alle x ∈ R und a ∈ R.

Beweis. Der durch Ys := Xs+r − Xr erklarte Prozeß Ytt≥0 ist wiederum einsymmetrischer Levy–Prozeß. Die Behauptung folgt somit unmittelbar aus Korollar3.5 und dem Beweis von Korollar 3.6. ////

3.8 Bemerkung. Der Beweis von Satz 3.2, und damit auch die Beweise derKorollare 3.4, 3.5 bis 3.7 ubertragen sich auf reellwertige symmetrische Markov–Prozesse mit diskreter Zeitmenge. Dazu muß man lediglich beachten, daß jeder (re-ellwertige) Markovsche Prozeß Xtt≥0 bezuglich einer Optionszeit τ mit Wertenin einer diskreten Teilmenge M der Zeitmenge [0,∞) bereits stark Markovsch ist:es seien B ∈ B und C ∈ FXτ+ (= FXτ da τ diskret). Fur alle t ≥ 0 und x ∈ R giltdann

Px(Xt+τ ∈ B ∩ C) = Px( ⋃m∈MXt+m ∈ B ∩ τ = m ∩ C

).

Gemaß Voraussetzung ist τ = m∩C ∈ FXm, und mit Hilfe der einfachen Markov–Eigenschaft folgt

Px(Xt+τ ∈ B ∩ C) =∑m∈M

∫

τ=m∩CPXm(ω)(Xt ∈ B)Px(dω)

=∑m∈M

∫

τ=m∩CPXτ (ω)(Xt ∈ B)Px(dω)

=

∫

C

PXτ (ω)(Xt ∈ B)Px(dω),

d. h. die starke Markov–Eigenschaft fur Optionszeiten mit diskreter Wertemenge.Diese Beobachtung erlaubt es, mit einem Approximationsargument Satz 3.2 und

die daraus resultierenden Folgerungen fur reelle rechtsstetige (allgemeiner: separa-ble) symmetrische Markov–Prozesse zu zeigen.

Wir werden nunmehr ein Korollar 3.5 entsprechendes Ergebnis fur nicht not-wendig symmetrische Levy–Prozesse zeigen. Eine Moglichkeit ist dabei die Sym-metrisierung. Hier werden wir jedoch einen anderen Weg beschreiten. Das folgendeLemma ist implizit in der Ubungsaufgabe (10.25) bei Blumenthal–Getoor [11]pp. 60–61 enthalten.

3.9 Lemma. Es sei Xtt≥0 ein d–dimensionaler stark Markovscher Prozeßmit rechtsseitig stetigen Pfaden. Dann gilt

Px( sup0≤s≤t

|Xs − x| ≥ a) ≤ 2 supy∈Rd

sup0≤s≤t

Py(|Xs − y| ≥ a/2) (t ≥ 0)

54

fur alle x ∈ Rd und a ∈ R.

Beweis. Auf Grund der Rechtsstetigkeit der Pfade des Prozesses ist

τ(ω) := inft ≥ 0 : |Xt(ω)− x| > a (ω ∈ Ω)

eine Optionszeit.Die starke Markov–Eigenschaft zeigt

Px(τ ≤ t, |Xt − x| < a/2) =

∫

τ≤tPXτ (ω)(|Xt−τ(ω) − x| < a/2)Px(dω),

und weil |Xt−τ(ω) − x| < a/2

|Xt−τ(ω) −Xτ (ω)| ≥ |Xτ (ω)− x| − |Xt−τ(ω) − x| ≥ a

2

impliziert, folgt

Px(τ ≤ t, |Xt − x| < a/2) ≤∫

τ≤tPXτ (ω)(|Xt−τ(ω) −Xτ (ω)| ≥ a/2)Px(dω)

≤ supy∈Rd

sup0≤s≤t

Py(|Xs − y| ≥ a/2)Px(τ ≤ t)

≤ supy∈Rd

sup0≤s≤t

Py(|Xs − y| ≥ a/2).

Aus

Px( sup0≤s≤t

|Xs − x| > a) ≤ Px(τ ≤ t, |Xt − x| < a/2) + Px(τ ≤ t, |Xt − x| ≥ a/2)

≤ Px(τ ≤ t, |Xt − x| < a/2) + Px(|Xt − x| ≥ a/2)

folgt schließlich die Behauptung. ////

3.10 Satz. Es sei Xtt≥0 ein translationsinvarianter reeller, stark Markov-scher Prozeß mit rechtsseitig stetigen Pfaden. Dann gilt

Px( sup0≤s≤t

|Xs − y| ≥ a+ b) ≤ 4Px(|Xt − z| ≥ a/2)

Px(sup0≤s≤t |Xs − y| ≤ b)(t ≥ 0)

fur jede Wahl von x, y, z ∈ R und a, b ≥ 0.

Beweis. Mit Ytt≥0 bezeichnen wir einen von Xtt≥0 unabhangigen Prozeß,der jedoch dieselben endlich–dimensionalen Verteilungen wie Xtt≥0 besitzt.

Wegen

sup0≤s≤t

|Xs − Ys| ≥ sup0≤s≤t

(|Xs − y| − |Ys − y|) ≥ sup0≤s≤t

|Xs − y| − sup0≤s≤t

|Ys − y|

55

finden wir

Px( sup0≤s≤t

|Xs − Ys| ≥ a) ≥ Px( sup0≤s≤t

|Xs − y| − sup0≤s≤t

|Ys − y| ≥ a)

≥ Px( sup0≤s≤t

|Xs − y| ≥ a+ b, sup0≤s≤t

|Ys − y| ≤ b)

= Px( sup0≤s≤t

|Xs − y| ≥ a+ b)Px( sup0≤s≤t

|Ys − y| ≤ b)

= Px( sup0≤s≤t

|Xs − y| ≥ a+ b)Px( sup0≤s≤t

|Xs − y| ≤ b).

Die Behauptung folgt nun aus einer Anwendung des Reflexionsprinzips 3.5 aufden symmetrischen Prozeß Xt − Ytt≥0. ////

3.11 Korollar. Jeder reelle Levy–Prozeß Xtt≥0 ist raumlich und zeitlichgleichmaßig stochastisch beschrankt, d. h. es gilt

supy∈R

sup0≤s≤t

Py(|Xs − y| ≥ b) ≤ δ <1

2(0 ≤ t ≤ Tb)

fur ein geeignetes Tb > 0. Insbesondere ist dann

Px( sup0≤s≤t

|Xs − x| ≥ a+ b) ≤ 4

1− 2δPx(|Xt − x| ≥ a/2) (0 ≤ t ≤ Tb)(3.12)

fur alle x ∈ R und a, b > 0.

Beweis. Fur Levy–Prozesse gilt

sup0≤s≤t

supy∈R

Py(|Xs − y| ≥ a) = sup0≤s≤t

P0(|Xs| ≥ a) (t ≥ 0),

und die Behauptung folgt aus der gewohnlichen stochastischen Stetigkeit bzw. Be-schranktheit.

Nach Lemma 3.9 ist

Px( sup0≤s≤t

|Xs − x| ≤ b) = 1− Px( sup0≤s≤t

|Xs − x| > b)

≥ 1− 2 supy∈R

sup0≤s≤t

Py(|Xs − y| ≥ b)

≥ 1− 2δ.

Somit ergibt sich (3.12) unmittelbar aus Satz 3.10. ////

Ehe wir das Reflexionsprinzip 3.5 fur mehrdimensionale Prozesse beweisen, er-innern wir an einige elementare Ungleichungen.

3.12 Lemma. Fur beliebige reelle Zahlen x1, x2, . . . , xn, n ∈ N, gelten die fol-genden Ungleichungen:

√x2

1 + . . .+ x2n ≤ |x1|+ . . .+ |xn| ≤ n max

1≤j≤n|xj|

56

und

max1≤j≤n

|xj| ≤ |x1|+ . . .+ |xn| ≤√n√x2

1 + . . .+ x2n.

Die Koordinatenprozesse eines d–dimensionalen symmetrischen Levy–ProzessesXtt≥0 genugen dem Reflexionsprinzip von Korollar 3.5. Lemma 3.12 erlaubt uns,eine ahnliche Abschatzung fur den Prozeß |Xt|t≥0 zu zeigen.

3.13 Satz. Es sei Xtt≥0 ein symmetrischer Levy–Prozeß mit Werten in Rd.Fur alle x ∈ Rd und alle a ∈ R gilt

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| > a)≤ 2d · Px

(|Xt −Xr| ≥ a

d

)(t ≥ r ≥ 0).(3.13)

Ist der Prozeß Xtt≥0 nicht symmetrisch, so gibt es Zahlen T = Tb > 0 undδ < 1

2, so daß

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| > a+ b)≤ 4 d

1− 2δPx(|Xt −Xr| ≥ a

2d

)(3.14)

fur alle 0 ≤ r ≤ t mit t− r ≤ Tb gilt.

Beweis. Wir bemerken zunachst, daß alle KoordinatenprozesseX

(j)t

t≥0

, 1 ≤j ≤ d, ebenfalls symmetrische Levy–Prozesse sind. Ist namlich a(ξ) der (reellwer-tige) charakteristische Exponent des Levy–Prozesses, so gilt fur alle 1 ≤ j ≤ d undξ = (ξ1, . . . , ξd) ∈ Rd

logE0(

eiX(j)1 ξj)

= a((0, . . . , ξj, . . . , 0)) ≥ 0.

Somit konnen wir Korollar 3.7 auf die Koordinatenprozesse anwenden und findenfur x ∈ Rd, t ≥ r ≥ 0 und a ∈ R

Px( supr≤s≤t

|X(j)s −X(j)

r | > a) ≤ 2Px(|X(j)t −X(j)

r | ≥ a).(3.15)

Auf Grund der Isotonie des Maßes Px ergeben sich aus Lemma 3.12 folgende Ab-schatzungen:

Px( supr≤s≤t

|X(j)s −X(j)

r | ≥ a) ≤ Px( supr≤s≤t

|Xs −Xr| ≥ a),(3.16)

Px(

d∑j=1

supr≤s≤t

|X(j)s −X(j)

r | ≥ a

)≤ Px

(d⋃j=1

supr≤s≤t

|X(j)s −X(j)

r | ≥a

d

)(3.17)

≤d∑j=1

Px(

supr≤s≤t

|X(j)s −X(j)

r | ≥a

d

),(3.18)

Px(

supr≤s≤t

d∑j=1

|X(j)s −X(j)

r | ≥ a

)≤ Px

(d∑j=1

supr≤s≤t

|X(j)s −X(j)

r | ≥ a

),(3.19)

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| ≥ a

)≤ Px

(supr≤s≤t

d∑j=1

|X(j)s −X(j)

r | ≥ a

).(3.20)

57

Die Abschatzung (3.13) folgt dann direkt aus den Ungleichungen (3.15) und (3.16)bis (3.20).

Verwendet man an Stelle von (3.15) die Ungleichung (3.12), so findet man mitderselben Uberlegung die Abschatzung (3.14). ////

3.14 Korollar. Es sei Xtt≥0 ein symmetrischer d-dimensionaler stochasti-scher Prozeß wie in Satz 3.13. Dann gilt

Ex(

supr≤s≤t

(|Xs −Xr|λ)) ≤ 2d1+λ Ex

(|Xt −Xr|λ)

(t ≥ r ≥ 0)(3.21)

fur alle x ∈ Rd und alle λ ≥ 0.Ist der Prozeß nicht symmetrisch, so gilt fur alle λ ≥ 0, b > 0 und kurze Zeit-

spannen t− r ≤ T

Ex(

supr≤s≤t

(|Xs −Xr|λ)) ≤ (4d)λ+1

1− 2δEx(|Xt −Xr|λ

)+ b (t ≥ r ≥ 0).(3.22)

Dabei ist T = Tb1/λ/2 wie in Satz 3.13.

Beweis. Ohne Einschrankung sei λ > 0. Fur jedes Maß µ und jede reelle meßbareFunktion f gilt

∫f ∨ 0 dµ =

∫ ∞0

µ(f ≥ t) dt =

∫ ∞0

µ(f > t) dt,

vgl. hierzu Bauer [4] p. 161, (23.10) und Hewitt, Stromberg [38] p. 421, The-orem (21.71). Somit folgt aus (3.13)

Ex(

supr≤s≤t

(|Xs −Xr|λ))

=

∫ ∞0

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| > a1λ

)da

≤∫ ∞

0

2dPx(|Xt −Xr| ≥ a

1λ

d

)da

=

∫ ∞0

2d1+λ Px(|Xt −Xr| ≥ α

1λ

)dα

= 2d1+λ Ex(|Xt −Xr|λ

).

Im nicht–symmetrischen Fall verwenden wir statt (3.13) die Abschatzung (3.14)und rechnen fur festes b > 0 ahnlich wie im symmetrischen Fall:

Ex(

supr≤s≤t

(|Xs −Xr|λ − b)) ≤ Ex

(supr≤s≤t

(|Xs −Xr|λ − b) ∨ 0

)

=

∫ ∞0

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| > (a+ b)1λ

)da

≤∫ ∞

0

Px(

supr≤s≤t

|Xs −Xr| > a1λ + b

1λ

2

)da.

58

Bei der letzten Abschatzung ging (α + β)λ ≤ 2λ(αλ + βλ) mit α = a1λ und β = b

1λ

ein. Somit gilt

Ex(

supr≤s≤t

|Xs −Xr|λ)− b ≤ 4d

1− 2δ

∫ ∞0

Px(|Xt −Xr| ≥ a

1λ

4d

)da

=(4d)1+λ

1− 2δ

∫ ∞0

Px(|Xt −Xr| ≥ α

1λ

)dα

=(4d)1+λ

1− 2δEx(|Xt −Xr|λ

),

woraus die Behauptung des Korollars folgt. ////

3.15 Bemerkung. Die Aussage von Korollar 3.5 gilt auch fur den Prozeß−Xtt≥0. Wir erhalten daher fur b = −a ∈ R

P0(infs≤t

Xs < b) ≤ P0(Xt ≤ b) + P0(Xt < b),

und entsprechend gelten (3.10), (3.11) und (3.13), wenn wir (sup . . . > . . .) durch(inf . . . < . . .) und auf den rechten Seiten (. . . ≥ . . .) durch (. . . ≤ . . .) ersetzen.Insbesondere gilt (3.21) nunmehr fur alle λ ∈ R.

3.2 Vergleichbare Prozesse und ihre Ubergangs-

wahrscheinlichkeiten

3.16 Definition. Zwei Markovsche Prozesse (Ω,A, Pxx∈Rd ,Rd, Xt,Ft, t ≥ 0)und (Ω, A, Pxx∈Rd ,Rd, Xt, Ft, t ≥ 0) heißen halbseitig vergleichbar , wenn fur jedenStartpunkt x ∈ Rd eine der beiden Bedingungen

(≺) PxXt(B) ≤ Kt,x PxXt(B) (B ∈ B, t ≥ 0)

bzw.

() PxXt(B) ≥ kt,x PxXt(B) (B ∈ B, t ≥ 0)

mit strikt positiven Konstanten 0 < kt,x ≤ Kt,x <∞ erfullt ist. Wir schreiben dannXtt≥0 ≺ Xtt≥0 bzw. Xtt≥0 Xtt≥0 und sagen, daß Xtt≥0 nach untenbzw. nach oben mit Xtt≥0 vergleichbar ist.

Wir nennen die Prozesse vergleichbar , wenn sowohl (≺) als auch () gelten.Abkurzend schreiben wir dafur Xtt≥0 ∼ Xtt≥0.

Wir vereinbaren noch folgende Notation: fur Mengen E ⊂ [0,∞) bzw. B ⊂ Rdsei stets

kE,x = k(E, x) := inft∈E

kt,x bzw. kt,B = k(t, B) := infx∈B

kt,x

59

undKE,x = K(E, x) := sup

t∈EKt,x bzw. Kt,B = K(t, B) := sup

x∈BKt,x.

3.17 Beispiel. (1) Durch

A(x,D)φ(x) :=d∑

i,j=1

∂

∂xi

(aij(x)

∂

∂xjφ(x)

)(x ∈ Rd, φ ∈ C2(Rd))

ist ein gleichmaßig stark elliptischer Differentialoperator in Divergenzform mit ei-ner symmetrischen Koeffizientenmatrix aij(·)di,j=1 mit C2

b –Eintragen aij : R →R erklart. Dabei verstehen wir unter gleichmaßig stark elliptisch, daß die Matrixaij(·)di,j=1 die Ungleichungen

κ−1|ξ|2 ≤d∑

i,j=1

aij(x)ξiξj ≤ κ|ξ|2 (x, ξ ∈ Rd)(3.23)

mit einer von x unabhangigen Elliptizitatskonstante κ ∈ [1,∞) erfullt.Der Operator A(x,D) ist dann der infinitesimale Erzeuger eines Diffusionspro-

zesses , d. h. eines d–dimensionalen stark Markovschen Prozesses Xtt≥0 mit ste-tigen Pfaden, vgl. Ito, McKean [45] pp. 302–303. Dieses Ergebnis gilt auch dann,wenn die Funktionen aij(·) nur als meßbar vorausgesetzt werden—wie ublich istdann die Differentiation im schwachen Sinne zu verstehen—, vgl. Stroock [73] p.341, Theorem II.3.1. Stroock zeigt weiterhin, daß der Prozeß Xtt≥0 die starkeFeller–Eigenschaft im Sinne der Definition 1.6 besitzt.

Im Fall von C2b –Koeffizienten existiert ein Fundamentalkern p(t, x, y). Aronson

zeigte in [1] folgende Abschatzungen des Fundamentalkerns

c(cπ)d/2 (ctπ)−d/2e−|x−y|2ct ≤ p(t, x, y) ≤ C(Cπ)d/2 (Ctπ)−d/2e−

|x−y|2Ct ,(3.24)

fur alle x, y ∈ Rd und t ≥ 0 mit nur von der Raumdimension d und der Elliptizitats-konstanten κ abhangenden Konstanten c := C−1 und C, C ∈ [1,∞); siehe [1] p. 891,Theorem 1, fur die Unabhangigkeit der Konstanten von der Zeit p. 895, Remark 5.Ein ausfuhrlicher Beweis findet sich bei Stroock [73] §§ I.1 und I.2.

Offensichtlich stehen auf der linken bzw. rechten Seite von (3.24) die Ubergangs-dichten von Levy–Prozessen X tt≥0 bzw. X tt≥0, deren Erzeuger durch Vielfachedes Laplace–Operators ∆, c

4∆ bzw. C

4∆, gegeben sind. Wir finden somit

k−1 Px(X t ∈ B) ≤ Px(Xt ∈ B) ≤ K−1 Px(X t ∈ B)(3.25)

fur alle x ∈ Rd, t ≥ 0 und B ∈ B mit K = C−1(Cπ)−d/2 und k = K−1. Mithingilt X tt≥0 ≺ Xtt≥0 ≺ X tt≥0. Da offensichtlich X t = X c

Ct in Verteilung gilt,

konnen wir auch X cCtt≥0 ≺ Xtt≥0 ≺ X tt≥0 schreiben.

Durch Subordination mit einer Faltungshalbgruppe µtt≥0, die durch die Bern-stein–Funktion f gegeben ist, konnen wir uns von lokalen Erzeugern losen. Auf

60

Grund von Satz 2.18 ubertragen sich die Abschatzungen (3.25) auf die subordinierten

Prozesse Xft t≥0, Xf

t t≥0, und Xft t≥0: Fur alle B ∈ B, x ∈ Rd und t ≥ 0 gelten

k−1Px(Xft ∈ B

)=

∫ ∞0

k−1Px(Xs ∈ B

)µt(ds)(3.26)

≤∫ ∞

0

Px(Xs ∈ B

)µt(ds)

= Px(Xft ∈ B

)

und

Px(Xft ∈ B

)=

∫ ∞0

Px(Xs ∈ B

)µt(ds)(3.27)

≤∫ ∞

0

K−1Px(Xs ∈ B

)µt(ds)

= K−1Px(Xf

t ∈ B).

Die Feller–Stetigkeit bleibt gemaß Korollar 2.20 erhalten.Ist f(x) = |x|α, 0 < α < 1, d. h. ist der Subordinator ein α-stabiler Prozeß, dann

kann, ggf. durch Vergroßerung der Konstante C, stets Xft = X

f

t erreicht werden,vgl. Selmi [71] pp. 27–28, Theoreme 4.

(2) Der Operator

A(x,D)φ(x) :=d∑

i,j=1

∂

∂xi

(aij(x)

∂

∂xjφ(x)

)+

d∑i,j=1

bi(x)aij(x)∂

∂xjφ(x)

−d∑

i,j=1

∂

∂xi

(bj(x)aij(x)φ(x)

)+ c(x)φ(x) (x ∈ Rd, φ ∈ C2(Rd)),

wo aij, bj, bj, c ∈ C2b (R), i, j = 1, . . . , d, mit der symmetrischen und gleichmaßig stark

strikt positiv definiten Koeffizientenmatrix (aij(·))di,j=1, erzeugt einen (i. allg. nicht

symmetrischen) Feller–stetigen Diffusionsprozeß Xtt≥0, dessen Ubergangskernep(t, x, y) fur alle x, y ∈ Rd und t ∈ [0, T ] den Abschatzungen (3.25) genugen. Da-bei hangt die dort auftretende Vergleichskonstante C auch von T ab, genauer giltC = m emT mit einem geeigneten m > 0; vgl. Stroock [73] pp. 335–338, fur dieAbhangigkeit der Konstanten C insbesondere pp. 338 oben, in Step 3.

Man beachte, daß in diesem Fall Subordination nicht moglich ist, es sei denn mitbeschrankten—und damit bereits konstanten—Subordinatoren, fur die suppµt ⊂[0, T ] ist.

3.18 Lemma. Es seien (Ω,A,P,Rd, Xt,Ft, t ≥ 0) und (Ω, A, P,Rd, Xt, Ft, t ≥ 0)vergleichbare Markov–Prozesse. Fur die gemeinsamen Verteilungen von Xt0 , Xt1 ,. . . , Xtn und Xt0 , Xt1 , . . . , Xtn, 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn, und fur alle Mengen Ej ∈ B,

61

0 ≤ j ≤ n, gelten folgende Abschatzungen

PxNnj=0Xtj

(E0 × . . .× En) ≥(3.28)

≥ k(t0, x)n∏j=1

k(tj − tj−1, Ej) PxNnj=0 Xtj

(E0 × . . .× En)

und

PxNnj=0Xtj

(E0 × . . .× En) ≤(3.29)

≤ K(t0, x)n∏j=1

K(tj − tj−1, Ej) PxNnj=0 Xtj

(E0 × . . .× En).

Beweis. Offensichtlich genugt es, den Beweis fur den Fall n = 2, s := t0 undt := t1 zu fuhren. Auf Grund der Chapman-Kolmogorov–Gleichungen und wegender Vergleichbarkeit der Prozesse gilt

PxXs⊗Xt(E × F ) =

∫

z∈E

∫

y∈FPyXt−s(dz)PxXs(dy)

≤∫

z∈E

∫

y∈FKt−s,y PyXt−s(dz)Ks,x PxXs(dy)

≤ Ks,xKt−s,F

∫

z∈E

∫

y∈FPyXt−s

(dz) PxXs

(dy)

= Ks,xKt−s,F PxXs⊗Xt(E × F ).

Ahnlich zeigt man (3.28). ////

3.19 Korollar. Es seien Xtt≥0 und Xtt≥0 zwei vergleichbare Markov–Prozesse wie in Lemma 3.18. Dann gilt fur alle t ≥ s ≥ 0, alle B ∈ B und allex ∈ Rd

PxXt−Xs(B) ≥ ks,xkt−s,Rd PxXt−Xs(B)(3.30)

undPxXt−Xs(B) ≤ Ks,xKt−s,Rd PxXt−Xs(B).(3.31)

Insbesondere gilt dann fur jede reelle B–meßbare Funktion f : Rd → R

Ex (|f (Xt −Xs) |) ≥ ks,xkt−s,Rd Ex(|f(Xt − Xs

)|)

(3.32)

undEx (|f (Xt −Xs) |) ≤ Ks,xKt−s,Rd Ex

(|f(Xt − Xs

)|).(3.33)

Insbesondere besagt Korollar 3.19, daß fur jede Zahl r ≥ 0 aus Xtt≥0 ≺ Xtt≥0

auch Xr+t − Xrt≥0 ≺ Xr+t − Xrt≥0 folgt. Die neue Vergleichskonstante krt,xberechnet sich als

krt,x = kr,xkt,Rd .

62

Interessiert man sich fur Differenzen von Zufallsvariablen, erlaubt diese Bemerkung,Aussagen der Art k[0,T ],· > 0 fur ein T > 0 auf k[0,ε],· > 0, ε > 0 klein, zuruckzufuhren.

Beweis von Korollar 3.19. Aus Lemma 3.18 folgt

PxXt−Xs(B) =

∫ ∫1B(z − y)PxXt⊗Xs(dz × dy)

≤ Ks,xKt−s,Rd∫ ∫

1B(z − y) PxXt⊗Xs(dz × dy)

= Ks,xKt−s,Rd PxXt−Xs(B).

Ebenso zeigt man (3.30). Die Abschatzungen (3.32) und (3.33) folgen aus den schonbewiesenen Beziehungen und

∫|f | dµ =

∫ ∞0

µ(|f | ≥ t) dt =

∫ ∞0

µ(|f | > t) dt,

wobei µ ein positives Maß ist—vgl. auch den Beweis zu Korollar 3.14. ////

3.20 Korollar. Es seien Xtt≥0 und Xtt≥0 zwei vergleichbare Markov–Prozesse wie in Lemma 3.18. Hat der Prozeß Xtt≥0 stationare Zuwachse, danngilt fur alle t ≥ s ≥ 0, jede Wahl von x, y ∈ Rd und alle B ∈ B

k(t− s, x)

K(s, y)K(t− s,Rd) PxXt−s−x(B) ≤ Py

Xt−Xs(B) ≤ K(t− s, x)

k(s, y)k(t− s,Rd) PxXt−s−x(B).

Als erste Anwendung der Vergleichbarkeit von Prozessen werden wir einige ele-mentare Regularitatseigenschaften der Pfade untersuchen.

3.21 Satz. Es seien Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 zwei halbseitig vergleichbare Markov–Prozesse mit Werten in Rd. Ist lim infs→t k|t−s|,Rd > 0 fur alle t ≥ 0, dann impliziert

die stochastische Stetigkeit des Prozesses Xtt≥0 die des Prozesses Xtt≥0.

Beweis. Auf Grund von (3.30) finden wir fur alle s, t ≥ 0, x ∈ Rd und ε > 0

Px(|Xt − Xs| > ε) ≤ (k−1s,x ∨ k−1

t,x ) k−1|t−s|,Rd P

x(|Xt −Xs| > ε).

Nach Voraussetzung sind die Familien k−1s,xs→t und k−1

|t−s|,Rds→t beschrankt; daher

gilt

lim sups→t

Px(|Xt − Xs| > ε) ≤

≤ lim sups→t

((k−1s,x ∨ k−1

t,x ) k−1|t−s|,Rd P

x(|Xt −Xs| > ε))

≤(k−1t,x ∨ lim sup

s→tk−1s,x

)lim sups→t

k−1|t−s|,Rd lim sup

s→tPx(|Xt −Xs| > ε),

63

woraus die Behauptung folgt. ////

Fur das folgende erinnern wir an einige Regularitatskriterien fur die Pfade Mar-kovscher Prozesse mit Werten in Rd.

Kolmogorovs Kriterium (vgl. Bauer [5] pp. 341–342, Satz 39.1): Jeder ProzeßXtt≥0, der

Ex(|Xs −Xt|α) ≤ C |t− s|1+β (s, t ≥ 0)(3.34)

fur reelle Zahlen α, β > 0 und eine von der Zeit unabhangige Konstante C > 0genugt, hat fast sicher Holder–stetige Pfade bis zur Ordnung β

α.

Dynkin und Kinneys Kriterium (vgl. Dynkin [22] 136–139, Satz 6.5 und [70]):Jeder Prozeß Xtt≥0, der

limh→0

1

hsup

y∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

Py(|Xt − y| ≥ ε) = 0(3.35)

fur alle x ∈ Rd, ein δ = δx > 0 und jedes beliebige ε > 0 genugt, hat fast sicherstetige Pfade. Ist der Prozeß Fellersch, so konnen wir (3.35) abschwachen zu

limt→0

1

tPx(|Xt − x| ≥ ε) = 0(3.36)

fur alle x ∈ Rd und ε > 0—siehe Ethier, Kurtz p. 171, Proposition 2.9 oder auch[70].

Dynkin ([22] p. 127, Satz 6.3): Ein Prozeß Xtt≥0 hat fast sicher cadlag–Pfade,wenn

limh→0

supy∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

Py(|Xt − y| ≥ ε) = 0(3.37)

fur alle x ∈ Rd, ein δ = δx > 0 und jedes beliebige ε > 0 genugt.

Auf Grund ihrer Invarianz unter Translationen erfullen alle Levy–Prozesse dasKriterium (3.37), Levy–Prozesse mit stetigen Pfaden (3.35) und (3.36).

Die drei oben angefuhrten Regularitatskriterien vererben sich auf halbseitig ver-gleichbare Prozesse, deren Vergleichskonstanten gleichmaßig von 0 und ∞ wegbe-schrankt sind. Insbesondere erfullen die Prozesse aus Beispiel 3.17 (1) diese Anfor-derung.

3.22 Satz. Es seien Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 zwei halbseitig vergleichbare Markov–Prozesse mit Werten in Rd.

(1) Erfullt Xtt≥0 das Kolmogorovsche Kriterium, und ist k[0,T ],Rd ≥ c > 0fur einen festen Zeitpunkt T > 0 und k[0,n],x ≥ cn,x > 0 fur alle n ∈ N, so genugt

auch Xtt≥0 diesem Kriterium.(2) Erfullt Xtt≥0 das Dynkin–Kinney Kriterium, und ist k[0,h],Bδ(x) ≥ cx > 0

fur einen festen Zeitpunkt h > 0, alle x ∈ Rd und nur von x abhangenden Zahlenδ = δx > 0, so genugt auch Xtt≥0 diesem Kriterium.

64

Ist zudem Xtt≥0 ein Feller–Prozeß, dann genugt die Forderung, daß k[0,h],x ≥cx > 0 fur ein h > 0 und alle x ∈ Rd gilt.

(3) Erfullt Xtt≥0 Dynkins Bedingung, und ist k[0,h],Bδ(x) ≥ cx > 0 fur einenfesten Zeitpunkt h > 0, alle x ∈ Rd und nur von x abhangenden Zahlen δ = δx > 0,so genugt auch Xtt≥0 dieser Bedingung.

Ist zudem Xtt≥0 ein Feller–Prozeß, dann genugt die Forderung, daß k[0,h],x ≥cx > 0 fur ein h > 0 und alle x ∈ Rd gilt.

Beweis. Die Beweise der Kriterien (1) bis (3) stutzen sich ausnahmslos aufKorollar 3.19 (3.30) bzw. (3.32); wir greifen daher exemplarisch den Fall (2) heraus.

Es seien x ∈ Rd, δ = δx > 0 und ε > 0 vorgegeben. Dann gilt

supy∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

Py(Xt ∈ Bε(y)c) ≤ supy∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

(k−1t,y Py(Xt ∈ Bε(y)c)

)

≤(

supy∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

k−1t,y

)sup

y∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

Py(Xt ∈ Bε(y)c)

≤ c−1x sup

y∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

Py(Xt ∈ Bε(y)c)

= c−1x o(h) fur h→ 0

Ist der Prozeß Xtt≥0 Feller–stetig, dann gilt limy→x Ey(f Xt) = Ex(f Xt)fur alle f ∈ C0(Rd). Insbesondere konvergiert Py

Xtfur y → x vag gegen Px

Xt. Beachten

wir noch, daß Py(Xt ∈ Bε(y)c) ≤ Py(Xt ∈ Bε/2(x)c) fur alle |x − y| ≤ ε/2 gilt, sofinden wir

lim supy→x

Py(Xt ∈ Bε(y)c) ≤ lim supy→x

Py(Xt ∈ Bε/2(x)c)

≤ Px(Xt ∈ Bε/2(x)c).

Analog zur oben angestellten Rechnung ergibt sich somit—ggf. nach Verkleine-rung von δ = δx—

1

hsup

y∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

Py(Xt ∈ Bε(y)c) ≤ 1

hsup

0≤t≤hPx(Xt ∈ Bε/2(x)c)

≤ 1

hsup

0≤t≤h

(k−1t,x Px(Xt ∈ Bε/2(x)c)

)

≤(

sup0≤t≤h

k−1t,x

)sup

0≤t≤h

(1

tPx(Xt ∈ Bε/2(x)c)

)

= c−1x sup

0≤t≤h

(1

tPx(Xt ∈ Bε/2(x)c)

)

Durch den Ubergang zum Infimum uber alle h > 0, erhalten wir

limh→0

(1

hsup

y∈Bδ(x)

sup0≤t≤h

Py(Xt ∈ Bε(y)c))≤ c−1

x lim supt→0

(1

tPx(Xt ∈ Bε/2(x)c)

)

= c−1x lim

t→0

(1

tPx(Xt ∈ Bε/2(x)c)

)

= 0,

65

was den Beweis von (2) beschließt. ////

Im vorausgehenden Abschnitt 3.1 zeigten wir ein Reflexionsprinzip fur (symme-trische) Levy–Prozesse; damit vergleichbare stark Markovsche Prozesse genugenebenso diesem Prinzip. Man beachte, daß auf Grund von Satz 3.22 (2) diese Prozessefast sicher cadlag–Pfade besitzen.

3.23 Satz. Es seien Xtt≥0 ein symmetrischer Levy–Prozeß mit Werten in Rund Xtt≥0 ein damit vergleichbarer stark Markovscher Prozeß. Fur jedes a ∈ Rgilt

Px(sups≤t

(Xs − x) > a) ≤ (C ′ + 1) Px(Xt − x ≥ a) (t ≥ 0),(3.38)

wobei die Konstante C ′ durch

C ′ := sup

K(t− τx(a,∞)(ω), X(τx(a,∞)(ω), ω)

)

k(t− τx(a,∞)(ω), X(τx(a,∞)(ω), ω)

) : ω ∈ τx(a,∞) < t≤ K[0,t],Rd

k[0,t],Rd(3.39)

gegeben und τx(a,∞) := inft : Xt − x > a ist.

Beweis. Analog zum Beweis von Korollar 3.5 setzen wir I := (−∞, a + x],Ia+x = [a+ x,∞) und τx := τx(a,∞) = τ(a+x,∞).

Aus der Vergleichbarkeit der Prozesse erhalten wir mit Lemma 3.1 fur alle s ≥ 0und alle y ∈ R mit y ≥ a+ x

ks,y Py(Xs ∈ I) ≤ Py(Xs ∈ I) ≤ Py(Xs ∈ Ia+x) ≤ Ks,y Py(Xs ∈ Ia+x).

Wir wahlen s = t− τx(ω) und y = Xτx(ω) fur ω ∈ τx < t und finden

PXτx (ω)(Xt−τx(ω) ∈ I) ≤ K(t− τx(ω), Xτx(ω)

)

k(t− τx(ω), Xτx(ω)

) PXτx(ω)(Xt−τx(ω) ∈ Ia+x).

Eine ahnliche Uberlegung wie im Beweis von Satz 3.2 ergibt

Px(Xt ∈ I, sups≤t

(Xs − x) > a) ≤∫

τx<tPXτx (ω)(Xt−τx(ω) ∈ I) Px(dω)

≤ C ′∫

τx<tPXτx (ω)(Xt−τx(ω) ∈ Ia+x) Px(dω)

≤ C ′ Px(Xt ∈ Ia+x, sups≤t

(Xs − x) ≥ a)

= C ′ Px(Xt ∈ Ia+x),

wobei C ′ die durch (3.39) gegebene Konstante ist. Schließlich sieht man wie imBeweis von Satz 3.2 (z. B. in (3.4))

Px(sups≤t

Xs > a+ x) ≤ (C ′ + 1) Px(Xt ≥ a+ x),

66

was die Behauptung beweist. ////

Wie schon im Abschnitt 3.2 ergeben sich aus dem Reflexionsprinzip eine Reihevon Folgerungen.

3.24 Korollar. Es seien Xtt≥0 und Xtt≥0 wie in Satz 3.23. Fur alle a ∈ Rund x ∈ R gilt

Px(sups≤t|Xs − x| > a) ≤ (C ′ + 1) Px(|Xt − x| ≥ a) (t ≥ 0),(3.40)

wobei C ′ die Konstante (3.39) ist.

Beweis. Da mit Xtt≥0 auch der Prozeß −Xtt≥0 mit −Xtt≥0 vergleichbarist, zeigt eine offensichtliche Modifikation von Satz 3.23, daß einerseits

Px(sups≤t

Xs > a+ x) ≤ (C ′ + 1) Px(Xt ≥ a+ x)

und andererseits

Px(sups≤t

(−Xs) > a− x) ≤ (C ′ + 1) Px(−Xt ≥ a− x)

gilt. Die Behauptung folgt nun mit dem Argument aus dem Beweis von Korollar3.6. ////

3.25 Korollar. Es seien Xtt≥0 und Xtt≥0 wie in Satz 3.23. Fur alle a ∈ Rgilt

Px( supr≤s≤t

|Xs − Xr| > a) ≤ (C ′r + 1) Px(|Xt − Xr| ≥ a) (t ≥ r ≥ 0),(3.41)

wobei C ′r das Analogon zur Konstanten (3.39) bezuglich der Vergleichskonstantenkrt,x = kr,xkt,R und Kr

t,x = Kr,xKt,R ist.

Beweis. Der Beweis verlauft analog zu dem des Korollars 3.7: Xtt≥0 ∼ Xtt≥0

impliziert Xr+t − Xrt≥0 ∼ Xr+t − Xrt≥0 fur jede Wahl von h ≥ 0 mit den imSatz angegebenen Vergleichskonstanten krt,x und Kr

t,x, vgl. auch die Bemerkung nachKorollar 3.19. ////

3.26 Korollar. Es seien Xtt≥0 ein symmetrischer Levy–Prozeß mit Wertenin Rd und Xtt≥0 ein damit vergleichbarer stark Markovscher Prozeß. Fur jedesa ∈ R und alle x ∈ Rd gilt

Px(

supr≤s≤t

|Xs − Xr| > a)≤ d(C ′r + 1) Px

(|Xt − Xr| ≥ a

d

)(t ≥ r ≥ 0),(3.42)

wobei C ′r die Konstante aus Korollar 3.25 ist. Insbesondere ist

Ex(

supr≤s≤t

(|Xs − Xr|λ))≤ d1+λ(C ′r + 1) Ex

(|Xt − Xr|λ

)(t ≥ r ≥ 0)(3.43)

67

fur alle λ ≥ 0.

3.27 Bemerkung. Die Aussage von Satz 3.23 kann in der vorliegenden Formnoch nicht fur unser Standardbeispiel 3.17 verwendet werden, da der Prozeß Xtt≥0

mit zwei verschiedenen Prozessen, X tt≥0, X tt≥0 verglichen wird.Beachten wir jedoch, daß X C

ct = X t fur alle t ≥ 0 gilt—die Konstanten C, c und

K, k sind dieselben wie in Beispiel 3.17—, so finden wir fur alle y ≥ a+x und s ≥ 0(o. E. durfen wir d = 1 annehmen)

k Py(Xs ∈ (−∞, a+ x]

) ≤ Py(Xs ∈ (−∞, a+ x]

)

≤ Py(Xs ∈ [a+ x,∞)

)

= Py(X C

cs ∈ [a+ x,∞)

)

=

√c

C

∫ ∞a+x

1√csπ

exp

(− |y − z|

2

(C/c) cs

)dz

=

∫ ∞√c/C (a+x−y)+y

1√csπ

exp

(−|y − z|

2

cs

)dz

≤∫ ∞a+x

1√csπ

exp

(−|y − z|

2

cs

)dz

= Py(Xs ∈ [a+ x,∞)

)

≤ K Py(Xs ∈ [a+ x,∞)

).

Da das gerade die Stelle im Beweis von Satz 3.23 ist, wo die beidseitige Vergleich-barkeit benutzt wurde, erhalten wir das Reflexionsprinzip (3.38) auch fur unserStandardbeispiel.

Die soeben angestellte Rechnung zeigt insbesondere, daß

Py(Xs ∈ (−∞, a+ x]

) ≤ Py(Xs ∈ [a+ x,∞))

gilt. Aus Satz 2.18 bzw. Lemma 2.19 folgt dann fur einen beliebigen Subordinatorµtt≥0 mit Bernstein–Funktion f

Py(Xf

s ∈ (−∞, a+ x]) ≤ Py(Xf

s ∈ [a+ x,∞))

Da aus der halbseitigen Vergleichbarkeit von Xtt≥0 mit X tt≥0 bzw. X tt≥0 auchdie der subordinierten Prozesse folgt, vgl. Beispiel 3.17 (3.26) und (3.27), erhaltenwir wie oben das Reflexionsprinzip (3.38) fur die Prozesse, die durch Subordinationaus unserem Standardbeispiel hervorgehen.

Betrachten wir abschließend den nicht–symmetrischen Fall. Im Gegensatz zuden bisherigen Ausfuhrungen zum Reflexionsprinzip sei Xtt≥0 nun ein beliebi-ger reeller Levy–Prozeß und Xtt≥0 ein damit vergleichbarer, stark Markov-scher und—a fortiori—cadlag–Prozeß. Mit Ytt≥0 und Ytt≥0 bezeichnen wir vonden oben genannten Prozessen unabhangige Prozesse, die jedoch dieselben endlich–dimensionalen Verteilungen wie Xtt≥0 bzw. Xtt≥0 haben.

68

Die symmetrisierten Prozesse Xt−Ytt≥0 und Xt− Ytt≥0 sind dann wiederumvergleichbar, und die Vergleichskonstanten berechnen sich aus

PxXt−Yt = Px

Xt? Px−Yt ≤ k−1

t,xk−1t,x PxXt ? P

x−Yt = k−1

t,x PxXt−Yt .

Satz 3.10—die Translationsinvarianz in der Voraussetzung wurde lediglich furdas Reflexionsprinzip benotigt—und die Version 3.23 des Reflexionsprinzips zeigendaher

Px(

sup0≤s≤t

|Xs − y| ≥ a+ b) ≤ 2(C ′2 + 1)

Px(

sup0≤s≤t |Xs − z| ≥ a/2)

Px(

sup0≤s≤t |Xs − y| ≤ b)

fur alle x, y, z ∈ R, a, b > 0 und t ≥ 0 mit der Konstanten C ′ aus (3.39).Wegen der Vergleichbarkeit der Prozesse ist Xtt≥0 mit Xtt≥0 raumlich und

zeitlich gleichmaßig stochastisch stetig (vgl. den Beweis von Satz 3.21), und es geltennach Lemma 3.9 die Entsprechungen von (3.12) und (3.22) (Notation siehe dort).

3.28 Satz. Es sei Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß und Xtt≥0 ∼Xtt≥0 ein damit vergleichbarer stark Markovscher Prozeß. Dann gilt fur allex ∈ Rd und alle a, b ≥ 0

Px(

sup0≤s≤t

|Xs − x| ≥ a+ b) ≤ 2(C ′2 + 1)

1− 2δPx(|Xt − x| ≥ a

2d

)(T ≥ t ≥ 0),(3.44)

wobei T = T (b, k(·, ·), K(·, ·)) > 0 wie in Korollar 3.11 gewahlt und C ′ die Konstante(3.39) ist. Fur kurze Zeitspannen t − r ≤ T , T = T (b, k(·, ·), K(·, ·)) > 0, und alleλ ≥ 0 gilt

Ex(

supr≤s≤t

|Xs− Xr|λ)≤ (4d)1+λ(C ′2r + 1)

1− 2δEx(|Xt− Xr|λ

)+ b (t ≥ r ≥ 0),(3.45)

mit der C ′ entsprechenden Konstanten C ′r aus Korollar 3.25.

69

Kapitel 4

Pfadeigenschaften vergleichbarerProzesse: Variation undHausdorffsche Dimension

In diesem Kapitel zeigen wir, daß einige fur Levysche Prozesse bekannte Eigen-schaften der Pfade auch fur Markov–Prozesse gelten, die im Sinne von Definition3.16 mit Levy–Prozessen vergleichbar sind. Die von uns getroffene Auswahl derThemen kann—und will auch nicht—umfassend sein. Einen Uberblick uber Brei-te und Variationen des Themas Pfadeigenschaften von Levy–Prozessen bieten dieUbersichtsartikel von Fristedt [25] und Taylor [74].

Unsere Beweise knupfen an Ideen aus Arbeiten uber das Pfadverhalten vonLevy–Prozessen aus den spaten vierziger bis zu den fruhen siebziger Jahren an:allen voran seien die grundlegenden Arbeiten von Bochner [12] (1947), McKean(Jr.) [55] (1955) und Blumenthal und Getoor [8], [9], [10] (1960/61) erinnert.

Keinesfalls von geringerer Bedeutung sind—wegen des originaren Charakters derdort verwendeten Methoden—die Arbeiten von Hawkes [32], [33] und Hawkesund Pruitt [35]. Die Beweise fur die dort erzielten gleichmaßigen—und damitoptimalen—Abschatzungen fur die Hausdorff–Dimension der Pfade stutzen sichwesentlich auf strukturelle Besonderheiten Levyscher Prozesse, so z. B. die Un-abhangigkeit der Zuwachse und damit verbundene Konsequenzen fur erste Ein-trittszeiten. Weil wir im Augenblick uber kein Aquivalent derartiger Strukturenbei vergleichbaren Prozessen verfugen, mussen wir auf eine Verbesserung unsererErgebnisse im Sinne von Hawkes verzichten.

Da jeder Levy–Prozeß mit sich selbst vergleichbar ist—die Vergleichskonstantensind in diesem Fall kx,t = Kx,t = 1 fur alle x ∈ Rd und t ≥ 0—, gelten alle untenaufgefuhrten Ergebnisse insbesondere fur diese Klasse von Prozessen. Wenn daherdie hier gezeigten Resultate nicht von den fur Levy–Prozesse bekannten Ergebnissenabweichen, erwahnen wir diese nicht gesondert.

Literaturangaben beziehen sich stets auf den Levy–Fall.

70

4.1 Die Variation vergleichbarer Prozesse

Es seien I ⊂ [0,∞) ein Zeitintervall und Π eine Partition des Intervalls I, d. h.Π = t0 < t1 < . . . < tn ⊂ I, n ∈ N. Fur eine auf I erklarte Funktion f mit Wertenin Rd bezeichne

varλ(f,Π, I) :=n∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|λ

die Variationssumme zur Partition Π mit dem Exponenten λ > 0.Als Feinheit der Partition Π bezeichnen wir max1≤j≤ntj − tj−1.Wir sagen, daß eine Familie P von Partitionen des Intervalls I dicht in I ist,

wenn die Familie der Feinheiten der Elemente in P gegen 0 absteigen. Stets seiendie Elemente in P durch ihre Feinheiten angeordnet.

4.1 Definition. Es seien f : [0,∞)→ Rd eine Funktion, I ⊂ [0,∞) ein Intervallund P eine Familie von Partitionen, die dicht in I ist. Fur λ > 0 ist die untere bzw.obere λ–Variation von f auf I durch

varλ,P(f, I) := lim infΠ∈P

varλ(f,Π, I).

bzw. durchvarλ,P(f, I) := lim sup

Π∈Pvarλ(f,Π, I).

erklart. Stimmen varλ,P(f, I) und varλ,P(f, I) uberein, so sprechen wir von der λ–Variation und schreiben dafur varλ,P(f, I). Die starke λ–Variation VARλ(f, I) istdas Supremum uber alle moglichen Partitionen von I.

Offensichtlich gilt

0 ≤ varλ,P(f, I) ≤ varλ,P(f, I) ≤ VARλ(f, I) ≤ ∞(4.1)

fur jede Familie von Partitionen P eines Intervalls I und alle λ > 0.Im folgenden werden wir die Frage nach der Endlichkeit der (starken) λ–Variation

von stochastischen Prozessen untersuchen, die mit Levy–Prozessen vergleichbarsind. Dabei bezeichnet Xtt≥0 stets einen Levy–Prozeß .

Ist Yt,Gtt≥0 ein beliebiger stochastischer Prozeß, so ist i. allg. weder die unterenoch die obere noch die starke λ–Variation eines Pfades

ω 7→ varλ,P(Y (·, ω), I), ω 7→ varλ,P(Y (·, ω), I) bzw. ω 7→ VARλ(Y (·, ω), I)

eine meßbare Funktion in ω. Im Falle halbseitig stetiger Prozesse, also insbesonderebei cadlag–Prozessen, konnen wir uns jedoch auf Partitionen mit Stutzstellen in I∩Qbeschranken, und daher die Variation als GI := σ

(⋃t∈I Gt

)–meßbare Zufallsvariable

betrachten.Die Variation der Pfade von reellwertigen Levy–Prozessen wurde bereits 1947

von Bochner [12] pp. 1031–1037, Section 7, Section 8, insbesondere pp. 1035–1036,

71

Theorem 14, vgl. auch [13] pp. 127–133, Section 5.3, studiert. In einer Reihe nachfol-gender Arbeiten verschiedener Autoren, wurden immer wieder Bochners Beweis-ideen aufgegriffen, verallgemeinert und variiert. McKean [55] p. 568, Theorem (3.3)betrachtete die starke λ–Variation eindimensionaler (symmetrisch) stabiler Prozesse,Blumenthal und Getoor die mehrdimensionaler symmetrisch stabiler Prozesse[8] p. 269, Theorem 4.1 und, mit der Einschrankung λ < 1, die einer großen Klassevon Levy–Prozessen [10] p. 499, Theorem 4.1 und 4.2. Den noch verbleibenden Fallbehandelten Millar [57] p. 59, Theorem 3.1 fur die λ–Variation, und fur die starkeλ–Variation Monroe [58] p. 1218, Theorem 2. Weiterhin sei noch auf die Arbeitvon Greenwood [27] hingewiesen, wo Konvergenzeigenschaften von λ–Variationenstabiler Prozesse behandelt werden.

4.2 Satz. (Vgl. [10] p. 499, Theorem 4.1) Es sei Xtt≥0 ein Levy–Prozeß mitIndex 0 < β ≤ 2 und charakteristischem Exponenten a. Ferner sei Xtt≥0 ein damiteinseitig vergleichbarer Prozeß mit Xtt≥0 Xtt≥0. Dann gilt

varλ,P(X(·, ω), [0, 1]) = VARλ(X(·, ω), [0, 1]) =∞ (Px-f. s.)(4.2)

fur alle 0 < λ < β, x ∈ Rd und jede Familie P aquidistanter Partitionen von [0, 1].

Beweis. Wir beschranken uns auf den Nachweis von VARλ(X(·, ω), [0, 1]) =∞.Aus unserem Beweis folgt dann unmittelbar die Behauptung fur die λ–Variation.

Wie wir oben bemerkt haben, konnen wir VARλ als meßbar voraussetzen. Furdie aquidistante Partition Πn := 0 = tn,0 < tn,1 < . . . < tn,πn = 1 mit Feinheitδn, δn := πn

−1, finden wir mit der verallgemeinerten Holderschen Ungleichung‖f1 · . . . · fπn‖L1 ≤ ‖f1‖L1/δn · . . . · ‖fπn‖L1/δn

Ex(

exp(−VARλ(X, [0, 1])

))≤ Ex

(exp

(−

πn∑j=1

|X(tn,j)− X(tn,j−1)|λ))

= Ex(

πn∏j=1

[exp

(−πn|X(tn,j)− X(tn,j−1)|λ

)]δn)

≤πn∏j=1

[Ex(

exp(−πn|X(tn,j)− X(tn,j−1)|λ

))]δn.

Wir schatzen nun jeden Faktor mit Hilfe von (3.32) ab und verwenden die Tatsache,daß Xtt≥0 stationare Zuwachse hat:

Ex(

exp

(−

πn∑j=1

|X(tn,j)− X(tn,j−1)|λ))

≤

≤πn∏j=1

[1

k(tn,j, x) k(δn,Rd)Ex(

exp(− πn|X(tn,j)−X(tn,j−1)|λ

))]δn

≤ 1

k([0, 1], x) k(δn,Rd)

πn∏j=1

[Ex(

exp(− πn|X(δn)−X(0)|λ

))]δn

72

=1

k([0, 1], x) k(δn,Rd)Ex(

exp(− πn|X(δn)−X(0)|λ

))

=1

k([0, 1], x) k(δn,Rd)E0

(exp

(−[|X(δn)| δn−

1λ

]λ)),

wobei wir die Translationsinvarianz des Prozesses Xtt≥0 ausnutzten. Blumen-thal und Getoor haben in [10] p. 498, Theorem 3.3

lim supt→0

t−1λ |X(t)| =∞ (P0-f. s.)

fur alle λ < β gezeigt. Ihr Beweis zeigt sogar die Existenz einer Nullfolge δnn∈N,

so daß P0–fast sicher lim infn→∞ δ− 1λ

n |X(δn)| =∞ gilt. Zusammen erhalten wir

limt→0

t−1λ |X(t)| =∞ (P0-f. s.).

Wir wahlen nun eine derartige Folge als Folge der Feinheiten unserer Partitionen.Aus dem Lemma von Fatou folgt schließlich

lim supn→∞

E0

(exp

(−[|X(δn)| δn−

1λ

]λ))≤

≤ E0

(lim supn→∞

exp

(−[|X(δn)| δn−

1λ

]λ))

= E0

(exp

(−[

limn→∞

|X(δn)| δn−1λ

]λ))

= 0

und daraus die Behauptung. ////

4.3 Bemerkung. Das soeben gezeigte Resultat gilt fur symmetrisch β–stabileProzesse auch, wenn λ = β ist, vgl. Blumenthal, Getoor [8] p. 269, Theorem4.1. Wegen der etwas groberen Abschatzung mit der Holderschen Ungleichungmussen wir den Fall λ = β fur vergleichbare Prozesse offen lassen.

Fur beliebige, nicht symmetrisch stabile Levy–Prozesse mit Index β ist die Fragenach dem Verhalten der Variation im Falle λ = β noch offen.

4.4 Satz. Es sei Xtt≥0 ein Levy–Prozeß mit Index 0 < β < 2 und charakteri-stischem Exponenten a. Ferner sei Xtt≥0 ein damit einseitig vergleichbarer Prozeßmit Xtt≥0 Xtt≥0 und

lim infn→∞

k(δn,Rd)−1δn <∞ fur eine Nullfolge δnn∈N .

Dann gilt

VARλ(JX(·, ω), [0, 1]) <∞ (Px-f. s.)(4.3)

fur alle λ > β, wobei wir J Xt := Xt − Xt− setzen.

73

Insbesondere ist dann

varλ,P(J X(·, ω), [0, 1]) ≤ varλ,P(J X(·, ω), [0, 1]) <∞ (Px-f. s.)(4.4)

fur alle λ > β und jede Familie P von Partitionen des Intervalls [0, 1].

4.5 Bemerkung. Die Aussage von Satz 4.4 ist von besonderem Interesse furLevy–Prozesse ohne Gaußsche Komponente und mit einem Levy-Maß ν, das

∫

0<|y|≤1|y| ν(dy) <∞

erfullt. Legen wir die Definition der Indices, Definition 1.19 (1.22), zugrunde, sinddas gerade die Prozesse mit β < 1. In diesem Fall vereinfacht sich namlich ItosDarstellung (1.14) des Prozesses zu

X(t, ω) =

(`−

∫

Rd

y

1 + |y|2 ν(dy)

)t+∑s≤t

JX(s, ω) (t ≥ 0),

vgl. Fristedt [25] pp. 259–260. In diesem Fall finden wir dann, daß

VARλ(JX(·, ω), [0, 1]) = VARλ(ΣJ

X(·, ω), [0, 1])

mit ΣJXt :=∑

s≤t JXt gilt, und wir erhalten aus Satz 4.4 bereits Informationen uber

die Variation des Prozesses selbst.

Beweis von Satz 4.4. Die Ungleichungen (4.4) folgen mit Hilfe von (4.1) sofortaus (4.3). Offenbar gilt

VARλ(JX(·, ω), [0, 1]) =

∑t≤1

|J X(t, ω)|λ (Px-f. s.).

Da der Prozeß Xtt≥0 o. B. d. A. ausschließlich cadlag–Pfade besitzt, hat jederPfad auf dem Intervall [0, 1] hochstens endlich viele Sprunge, die großer als ε > 0sind. Die dazu korrespondierenden Sprungzeiten bezeichnen wir mit τ1(ω) < . . . <τN(ω), wo N = N(ω) ∈ N ist. Wahlen wir eine Folge aquidistanter PartitionenΠn := 0 ≤ tn,1 < . . . < tn,πn ≤ 1, die in [0, 1] dicht ist, so gilt fur hinreichendgroße n ∈ N τj(ω) ∈ (tn,kj , tn,kj+1] bzw. τ1(ω) ∈ [0, tn,k1 ], und wir erhalten

∑

s≤1;|JXs |>ε|J Xs (ω)|λ =

N(ω)∑j=1

lim infn→∞

|Xtn,kj+1(ω)− Xtn,kj

(ω)|λ

≤ lim infn→∞

N(ω)∑j=1

|Xtn,kj+1(ω)− Xtn,kj

(ω)|λ

≤ lim infn→∞

varλ(X(·, ω),Πn, [0, 1]).

74

Die rechte Seite dieser Ungleichung ist unabhangig von ε. Da fur jede Wahl vonM > 0ω : lim inf

n→∞varλ(X(·, ω),Πn, [0, 1]) =∞

⊂ lim inf

n→∞

ω : varλ(X(·, ω),Πn, [0, 1]) ≥M

gilt, finden wir mit dem Lemma von Fatou

Px(∑s≤1

|J Xs |λ =∞)≤ Px

(lim infn→∞

varλ(X,Πn, [0, 1]) =∞)

≤ Px(

lim infn→∞

varλ(X,Πn, [0, 1]) ≥M

)

≤ lim infn→∞

Px(

varλ(X,Πn, [0, 1]) ≥M).

Wir wahlen nun die Folge der Feinheiten der Partitionen δnn∈N, wo δn = π−1n ist,

wie in der Voraussetzung des Satzes. Mit Hilfe von Ungleichung (3.28) sehen wirdann

Px(∑

s≤1

|J Xs |λ =∞)≤

≤ lim infn→∞

(k(π−1

n ,Rd)−πn Px (varλ(X,Πn, [0, 1]) ≥M))

≤ lim infn→∞

k(π−1n ,Rd)−πn lim sup

n→∞Px (varλ(X,Πn, [0, 1]) ≥M)

≤ lim infn→∞

k(π−1n ,Rd)−πn Px

(lim supn→∞

varλ(X,Πn, [0, 1]) ≥M

),

wobei die letzte Abschatzung wiederum das Fatousche Lemma verwendete. Beach-ten wir noch, daß einerseits

lim supn→∞

ω : varλ(X(·, ω),Πn, [0, 1]) ≥M

⊂ω : lim sup

n→∞varλ(X(·, ω),Πn, [0, 1]) ≥M

gilt und andererseits fur λ > β die Folge der Variationssummen varλ(X,Πn, [0, 1])in Wahrscheinlichkeit gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert—siehe Millar[57] p. 62, Theorem 3.2 in Verbindung mit Theorem 3.3—, so folgt

Px(∑s≤1

|J Xs |λ =∞)≤

≤ lim infn→∞

k(π−1n ,Rd)−πn Px

(lim supn→∞

varλ(X,Πn, [0, 1]) ≥M

)

→ 0,

fur M →∞. ////

75

4.6 Satz. (Vgl. [8] p. 269, Theorem 4.1) Es sei Xtt≥0 ein symmetrisch stabilerLevy–Prozeß mit Index 0 < β < 1 und charakteristischem Exponenten a. Fernersei Xtt≥0 ein damit einseitig vergleichbarer Prozeß mit Xtt≥0 Xtt≥0 und

lim infn→∞

k(δn,Rd)−1δn <∞ fur eine Nullfolge δnn∈N .

Dann geltenVARλ(X(·, ω), [0, 1]) <∞ (Px-f. s.)(4.5)

undvarλ,P(X(·, ω), [0, 1]) ≤ varλ,P(X(·, ω), [0, 1]) <∞ (Px-f. s.)(4.6)

fur alle β < λ < 1, x ∈ Rd und jede Familie von Partitionen P des Intervalls [0, 1].

Beweis. Wegen (4.1) folgt (4.6), sobald (4.5) bewiesen ist.Die grundlegende Idee zum Nachweis von (4.5) ist, den Beweis mit Hilfe von

Subordination auf den Fall einer Brownsche Bewegung zuruckzufuhren. Sei dazuBtt≥0 eine Brownsche Bewegung, also ein symmetrisch stabiler Prozeß mit Index2, und Stt≥0 ein einseitig stabiler Subordinator mit Index β

2. Dann ist auch der

ProzeßY (t, ω) := B(S(t, ω), ω) (t ≥ 0, ω ∈ Ω)

ein symmetrisch stabiler Levy–Prozeß mit Index β, vgl. Feller [24] p. 336, Ex-ample (c). Wir konnen daher die Prozesse Xtt≥0 und Ytt≥0 identifizieren. DiePfade einer Brownschen Bewegung Btt≥0 sind fast sicher Holder–stetig fur alleExponenten η < 1

2. Genauer gilt, vgl. Bauer [5] p. 344, Satz 39.4 in Verbindung

mit p. 351, Satz 40.5,

|B(t, ω)−B(s, ω)| ≤ C|t− s|η (Px-f. s.)

fur alle η < 12, alle Startpunkte x ∈ Rd, alle s, t ∈ [0, T ] mit |t− s| < δ(ω) und mit

einer geeigneten, nur von η abhangenden Konstanten C.Wir durfen nach Ubergang zu einer Menge Ωε ⊂ Ω mit P(Ω \ Ωε) ≤ ε

δ(ω) > δ > 0 (ω ∈ Ωε)

fur ein hinreichend kleines δ annehemen, wie der Beweis von Satz 39.3 bei Bauer[5] p. 341, Formel (39.3) zeigt.

Levy–Prozesse sind fast sicher beschrankt auf beschrankten Zeitintervallen. Da-her gibt es ein Ω2ε ⊂ Ωε mit Px(Ω \ Ω2ε) ≤ 2ε, so daß fur geeignete KonstantenK,L > 0

S(1, ω) ≤ K (ω ∈ Ω2ε)

undsupt≤K|B(t, ω)| ≤ L (ω ∈ Ω2ε)

gelten.

76

Es sei nun Π := 0 = t0 < . . . < tn = 1 eine Partition von [0, 1]. Auf Ω2ε habenwir dann

K ≥ S(1, ·) =n∑j=1

(S(tj, ·)− S(tj−1, ·)) ≥ #A δ

wobei A := j : 1 ≤ j ≤ n, S(tj, ·)− S(tj−1, ·) ≥ δ gesetzt wurde.Schließlich sei η < 1

2so gewahlt, daß λη > β

2ist. Das ist wegen λ > β stets

moglich. Daraus erhalten wir fur alle M > 0

Px(

n∑j=1

|X(tj, ·)−X(tj−1, ·)|λ ≥M

)=

= Px(

n∑j=1

|B(S(tj, ·), ·)−B(S(tj−1, ·), ·)|λ ≥M

)

≤ Px(∑

j 6∈ACλ|S(tj, ·)− S(tj−1, ·)|λη ≥ M

2

∩ Ω2ε

)+

+ Px(∑

j∈A|B(S(tj, ·), ·)−B(S(tj−1, ·), ·)|λ ≥ M

2

∩ Ω2ε

)+ 2ε

≤ Px(Cλ

n∑j=1

|S(tj, ·)− S(tj−1, ·)|λη ≥ M

2

)+

+2

M

∫

Ω2ε

∑j∈A|B(S(tj, ·), ·)−B(S(tj−1, ·), ·)|λ dPx + 2ε

≤ Px(CλVARλη(S, [0, 1]) ≥ M

2

)+

2 (2L)λK

M δ+ 2ε

Die rechte Seite dieser Ungleichung ist unabhangig von der Wahl der Partition desIntervalls [0, 1]. Nach Konstruktion ist λη > β

2und daher ist die starke λη–Variation

des β2–stabilen Subordinators Stt≥0 fast sicher endlich, vgl. Blumenthal, Ge-

toor [8] pp. 266–267, Theorem 3.1.Ohne Einschrankung konnen wir wegen β < 1 auch λ ≤ 1 wahlen. Da dann die

Variationssummen varλ(X,Π, [0, 1]) bezuglich der Inklusion der Partitionen aufstei-gend sind, durfen wir eine Folge Πnn∈N aquidistanter und dicht in [0, 1] liegenderPartitionen wahlen, deren Feinheiten die Glieder der Folge δnn∈N sind. Somit fin-den wir fur alle M > 0 unter Verwendung des Satzes von der monotonen Konvergenzfur aufsteigend filtrierende Familien und von (3.28)

Px(VARλ(X, [0, 1]) > M

) ≤(4.7)

≤ supΠ∈P

Px(varλ(X,Π, [0, 1]) > M

)

= supn∈N

Px(varλ(X,Πn, [0, 1]) > M

)

77

≤ k(0, x)−1 lim infn→∞

k(δn,Rd)−1δn lim sup

n→∞Px(varλ(X,Πn, [0, 1]) > M

)

≤ k(0, x)−1 lim infn→∞

k(δn,Rd)−1δn Px

(VARλη(S, [0, 1]) >

M

2Cλ

)+

+2 |2L|λKM δ

+ 2ε

→ 0,

wenn wir zuerst zum Limes M →∞ und dann zu ε→ 0 ubergehen. ////

Um uns in der Situation von Satz 4.6 von der Annahme, daß Xtt≥0 symmetrischstabil sei, zu befreien, benotigen wir die folgende Hilfsuberlegung.

4.7 Lemma. Es sei Ptt≥0 ein (reellwertiger) Poisson–Prozeß mit Intensitatρ > 0. Dann gilt

varλ,P(P (·, ω), [0, 1]) = VARλ(P (·, ω), [0, 1]) = P (1, ω) (P0-f. s.)

fur alle λ > 0 und jede Familie von Partitionen P, die in [0, 1] dicht liegt.

Beweis. Es bezeichne P = Πnn∈N eine Familie von Partitionen, die dicht in[0, 1] liegt. Da ein Poisson–Prozeß mit Wahrscheinlichkeit 1 in jedem beschranktenZeitintervall hochstens endlich viele Sprunge besitzt, gibt es fur jedes ω ∈ Ω einN(ω) ∈ N, so daß die Sprungzeiten des Prozesses τ1(ω) < . . . < τn(ω)(ω) von denStutzstellen der Partition ΠN(ω) = 0 = tN,0 < tN,1 < . . . < tN,πN = 1 getrenntwerden, d. h. daß

τj(ω) ∈ (tN,kj , tN,kj+1] (k1 < k2 < . . . < kn(ω) < πN(ω))

fur j = 1, . . . , n(ω) gilt.Da die Sprunge stets die Hohe 1 haben, finden wir

varλ(P (·, ω),ΠM , [0, 1]) =

πM∑j=1

|P (tM,j, ω)− P (tM,j−1, ω)|λ

=

πM∑j=1

P (tM,j, ω)− P (tM,j−1, ω)

= P (1, ω)

fur P0-fast alle ω und alle M ≥ N(ω). Der Grenzubergang M →∞ zeigt daher dieBehauptung. ////

Im Beweis von Satz 4.6 ging die Forderung, daß Xtt≥0 symmetrisch und β–stabil sei, nur bei der Darstellung X(t, ·) = B(S(t, ·), ·) ein. Monroe zeigt in [59]eine entsprechende Darstellungsformel fur zentrierte Levy–Prozesse Xtt≥0.

4.8 Satz. ([59] pp. 1300–1301, Theorem 11) Fur jedes Martingal Mtt≥0 mitWerten in Rd und fast sicher rechtsseitig stetigen Pfaden gibt es eine d–dimensionale

78

Brownsche Bewegung Bt,Ftt≥0 und eine Familie Stt≥0 von Ft–Optionszeiten,so daß die Prozesse Mt(·)t≥0 und B(S(t, ·), ·)t≥0 dieselben endlichdimensionalenVerteilungen besitzen.

Die Pfade des Prozesses Stt≥0 sind fast sicher rechtsseitig stetig und isoton.Besitzt Mtt≥0 unabhangige und stationare Zuwachse, so trifft dies auch fur Stt≥0

zu.

Daruber hinaus zeigt Monroe, daß der Prozeß Stt≥0 eindeutig ist: ist Rtt≥0

eine weitere Familie von Optionszeiten, die die Aussage von Satz 4.8 erfullen, dannimpliziert Rt ≤ St (f. s.) schon Rt = St (f. s.) fur alle t ≥ 0.

Im allgemeinen ist der im Satz 4.8 konstruierte Prozeß Stt≥0 nicht von derBrownschen Bewegung Bt,Ftt≥0 unabhangig; d. h. daß Stt≥0 im Sinne der Lem-ma 2.2 folgenden Bemerkung zwar ein Subordinator ist, daß aber Mtt≥0 nicht derBrownschen Bewegung Bt,Ftt≥0 subordiniert ist.

Jeder zentrierte Levy–Prozeß ist ein rechtsstetiges Martingal. Gemaß Satz 4.8finden wir X(t, ·) = B(S(t, ·), ·) (f. s.) fur einen geeigneten Subordinator Stt≥0

(und eine geeignete Filtration Ftt≥0, was aber im weiteren unerheblich ist).Im Fall E0(Xt) 6= 0 schließen wir wie Monroe [58] p. 1219, Beweis von The-

orem 2: es sei Yt :=∑

s≤t,|JXs |>1 JXs . Die Pfade dieses Prozesses haben nur end-

lich viele Sprunge im Intervall [0, 1]. Daher ist die λ–Variation von Xt genau dannendlich, wenn die des gestrippten Prozesses X(1)(t) = Xt − Yt endlich ist. WegenE0(X(1)(t)

)< ∞ durfen wir sogar E0

(X(1)(t)

)= 0 annehmen, anderenfalls sub-

trahieren wir einen d–dimensionalen Prozeß Ptt≥0, dessen Komponenten Pois-sonsche Sprungprozesse mit Intensitaten E0

(X(1)(1)

)und Erwartungswerten

E0(X(1)(t)

)= tE0

(X(1)(1)

)sind. Der daraus resultierende Prozeß ist wiederum ein

Levy–Prozeß, und es gilt fur jede Partition Π von [0, 1]

varλ(X(1)(·, ω)− P (·, ω),Π, [0, 1]) =

=n∑j=1

|X(1)(tj, ω)− P (tj, ω)−X(1)(tj−1, ω) + P (tj−1, ω)|λ

≤ 2λn∑j=1

(|X(1)(tj, ω)−X(1)(tj−1, ω)|λ + |P (tj, ω)− P (tj−1, ω)|λ)

= 2λ(varλ(X(1)(·, ω),Π, [0, 1]) + varλ(P (·, ω),Π, [0, 1])

)

und ebenso

varλ(X(1)(·, ω),Π, [0, 1]) ≤≤ 2λ

(varλ(X(1)(·, ω)− P (·, ω),Π, [0, 1]) + varλ(P (·, ω),Π, [0, 1])

).

Gemaß Lemma 4.7 ist daher die (starke bzw. obere bzw. untere) Variation des Pro-zesses X(1)(t, ·)t≥0 genau dann endlich, wenn die des Differenzprozesses X(1)(t, ·)−P (t, ·)t≥0 endlich ist.

79

4.9 Korollar. Die Aussage von Satz 4.6 gilt fur alle Levy–Prozesse Xtt≥0

mit Index 0 < β < 1.

4.10 Korollar. Es seien Xtt≥0 ein Levy–Prozeß mit Index 0 < β < 2 undXtt≥0 ein damit einseitig vergleichbarer Prozeß mit Xtt≥0 Xtt≥0. Gilt fur dieFolge der Feinheiten δnn∈N einer Familie aquidistanter Partitionen P = Πnn∈N,die dicht in [0, 1] ist,

lim infn→∞

k(δn, [0, 1])−1δn <∞,

so istvarλ,P(X(·, ω), [0, 1]) <∞ (Px-f. s.)(4.8)

fur alle λ > β.

Beweis. Ist Xtt≥0 ein symmetrisch stabiler Prozeß, so verwenden wir in (4.7)an Stelle des Satzes von der monotonen Konvergenz das Lemma von Fatou.

Im Falle allgemeiner Levy–Prozesse Xtt≥0 argumentieren wir wie in Korollar4.9. ////

4.11 Bemerkung. Es bezeichne N ⊂ Ω die Nullmenge, fur die (4.8) nicht gilt,d. h. es ist

varλ,P(X(·, ω), [0, 1]) <∞ fur alle ω ∈ Ω \N.Der Beweis von Satz 4.6 zeigt, daß N nur von den Ausnahmemengen fur die Hol-der–Stetigkeit der Brownschen Pfade und fur das Wachstumsverhalten des Sub-ordinators abhangt, nicht aber von der Wahl der Folge der Partitionen P .

Insbesondere finden wir also

varλ,P(ω)(X(·, ω), [0, 1]) <∞ fur alle ω ∈ Ω \N,(4.9)

fur vom Pfad abhangende aquidistante Folgen von Partitionen P(ω) = Πn(ω)n∈N,wenn die Bedingung an die Vergleichskonstanten

lim infn→∞

k(δn, [0, 1])−1δn <∞

fur jede Nullfolge δnn∈N erfullt ist.

4.12 Bemerkung. Ohne weitere Anderungen lassen sich die hier gefuhrtenBeweise fur die Variation auf [0, 1] auch auf Zeitintervalle der Form [0, T ], T > 0,ubertragen; ist der Prozeß Xtt≥0 Markovsch, so gelten die Aussagen auch furdie Variation auf beliebigen Intervallen [S, T ], 0 ≤ S < T .

4.2 Die Hausdorff–Dimension vergleichbarer

Prozesse

Eine Uberdeckung Snn∈N einer beliebigen Teilmenge B ⊂ Rd mit Mengen Snnennen wir (Borelsche) δ–Uberdeckung , δ > 0, wenn Sn ∈ B und diamSn ≤ δ fur

80

alle n ∈ N gilt. Dabei bezeichnet diamSn den Durchmesser der Menge Sn ⊂ Rd,also

diamSn := supx,y∈Sn

|x− y|.

Fur jede Kombination von Zahlen λ > 0 und δ > 0 definieren wir auf derPotenzmenge von Rd die Mengenfunktion

Λλδ (B) := inf

∞∑n=1

|diamSn|λ : Snn∈N ist δ–Uberdeckung von B

.

Offenbar wachst Λλδ fur δ 0.

4.13 Definition. Die fur λ > 0 durch

Λλ(B) := supδ>0

Λλδ (B) (B ⊂ Rd)

auf der Potenzmenge von Rd erklarte Funktion mit Werten in [0,∞] heißt λ–dimensionales Hausdorff–Maß .

Wahlt man in der Definition der Funktion Λλδ nicht Borelsche Uberdeckungen,

sondern offene, abgeschlossene oder beliebige Uberdeckungen oder Ausschopfungen,fuhrt das auf dasselbe λ–dimensionale Hausdorff–Maß, vgl. hierzu Rogers [67]p. 51, Theorem 28.

Daß Λλ wohldefiniert ist, haben wir bereits gesehen. Das Hausdorff–Maß istein von außen regulares, metrisches, translationsinvariantes außeres Maß (bezuglichdes Meßbarkeitsbegriffes von Caratheodory), und seine Einschrankung auf dieBorelschen Teilmengen von Rd ist ein (σ–additives) Maß—vgl. Rogers [67] p.50, Theorem 27 und p. 51 Theorem 28. Rogers zeigt in [67] p. 97, Theorem 48,daß die Einschrankung auf die analytischen Teilmengen—und damit auch die Ein-schrankung auf die Borelschen Mengen—sogar von innen kompakt regular ist. Un-ter einer analytischen Menge (oder auch Souslin–Menge bzw. Souslin–F–Menge)verstehen wir eine Menge, die durch die Souslin–Operation, vgl. Carleson [14]p. 1, aus den abgeschlossenen Mengen hervorgeht. Fur unsere Zwecke genugt jedochfolgende schwachere Regularitatsaussage, die auf R. O. Davies zuruckgeht:

4.14 Lemma. ([19] p. 489, Corollary) Es sei A ⊂ Rd eine analytische Teilmengemit unendlichem Hausdorff–Maß Λλ(A) = ∞, λ > 0. Dann findet sich zu jederZahl r > 0 eine abgeschlossene Teilmenge Fr ⊂ A mit Hausdorff–Maß Λλ(Fr) ≥r.

Gilt Λλ(B) < ∞ fur eine Menge B ⊂ Rd und ein λ > 0, so sieht man mitHilfe der Holderschen Ungleichung, daß Λλ′(B) = 0 fur alle λ′ > λ ist, vgl. auchRogers [67] p. 79, Corollary. Mithin haben wir fur alle Mengen B ⊂ Rd

supλ > 0 : Λλ(B) =∞ = inf

λ > 0 : Λλ(B) = 0

.(4.10)

81

4.15 Definition. Die fur jede Menge B ⊂ Rd durch (4.10) eindeutig erklarteZahl aus [0,∞] heißt Hausdorffsche Dimension der Menge B. Wir schreiben dafurdimB.

Man beachte, daß sowohl 0 < ΛdimB(B) < ∞ als auch ΛdimB(B) = ∞ oderΛdimB(B) = 0 moglich ist. Offensichtlich ist die Hausdorff–Dimension positiv ,isoton, und es gelten dim ∅ = 0 und dimG = d fur alle offenen Mengen G ⊂ Rd.(Letzteres folgt aus der Tatsache, daß das eindimensionale Lebesguesche Maß λ1

und das Hausdorff–Maß Λ1 auf den Borelschen Mengen, oder bei Vervollstandi-gung von λ1 auf den Lebesgue–meßbaren und damit auch den analytischen Men-gen, bis auf eine Konstante ubereinstimmen. Mit Hilfe der Produktbildung ubertragtman dieses Ergebnis auf Raume der Dimension d ∈ N.) Die Translationsinvarianzdes Hausdorffschen Maßes ubertragt sich auf die Hausdorff–Dimension.

4.16 Lemma. Fur jede Folge Bjj∈N von Mengen Bj ⊂ Rd gilt

dimB = supj∈NdimBj ,

wobei B :=⋃j∈NBj ist.

Beweis. Da B ⊃ Bj fur alle j ∈ N gilt, ist auch dimB ≥ dimBj fur alle j, undes folgt die Richtung “≥”.

Fur λ < dimB ist Λλ(B) = ∞, und auf Grund der σ–Subadditivitat des λ–dimensionalen Hausdorff–Maßes folgt, daß Λλ(Bj′) > 0 fur ein j′ ∈ N gilt, d. h.daß λ ≤ dimBj′ ≤ supj∈N dimBj ist. ////

Auskunft uber das Hausdorff–Maß einer Bildmenge gibt der folgende Hilfssatz,der sich fur den Spezialfall f = id bereits bei Frostman [26] p. 89, Theoreme 2findet.

4.17 Lemma. (Vgl. Blumenthal, Getoor [8] pp. 265–266, Theorem 2.2) Esseien f : X → Rd eine meßbare Funktion auf einem metrischen Raum (X , d(·, ·))und E ⊂ X eine Borelsche Teilmenge. Existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ aufX mit µ(E) = 1 und

∫

E

∫

E

|f(x)− f(y)|−λ µ(dx)µ(dy) <∞(4.11)

fur ein λ > 0, so gilt Λλ (f(E)) > 0.

Beweis. Blumenthal und Getoor zeigten das Lemma fur den Fall X = [0, 1].Ihr Beweis laßt sich fast wortlich ubertragen: wegen (4.11) gibt es eine BorelscheTeilmenge X ⊂ E mit strikt positivem Maß µ(X) > 0 und eine Konstante M > 0,so daß

supx∈X

∫

E

|f(x)− f(y)|−λ µ(dy) < M(4.12)

gilt.

82

Wir wahlen nun zu festem δ > 0 eine beliebige Borelsche δ–UberdeckungΞjj∈N der Menge f(X). Offenbar ist X ∩ f−1(Ξj)j∈N eine Borelsche Uber-deckung von X. Fur jedes j ∈ N und alle x ∈ X ∩ f−1(Ξj) finden wir

µ(X ∩ f−1(Ξj)) =

∫1X∩f−1(Ξj)(y)µ(dy)

≤∫

X∩f−1(Ξj)

( |f(x)− f(y)|diam Ξj

)−λµ(dy)

= (diam Ξj)λ

∫

X∩f−1(Ξj)

|f(x)− f(y)|−λ µ(dy).

Zusammen mit (4.12) ergibt sich

µ(X ∩ f−1(Ξj)) ≤M (diam Ξj)λ

und nach Summation uber j ∈ N

0 < µ(X) ≤M

∞∑j=1

(diam Ξj)λ .

Die Behauptung folgt nach Ubergang zum Infimum uber alle moglichen δ–Uber-deckungen Ξjj∈N durch den Grenzwert δ → 0. ////

Mit Hilfe des Begriffs der λ–Kapazitat laßt sich das Lemma teilweise umkehren.

4.18 Definition. Die λ–Kapazitat , λ > 0, einer Borelschen Menge B ⊂ Rdist durch

capλ(B) :=

(inf

∫

B

∫

B

|x− y|−λ µ(dx)µ(dy) : µ ∈M1+(B)

)− 1λ

(4.13)

erklart.Insbesondere sagen wir, B ∈ B sei von positiver Kapazitat , wenn fur ein Wahr-

scheinlichkeitsmaß µ mit µ(B) = 1

∫

B

∫

B

|x− y|−λ µ(dx)µ(dy) <∞

gilt.

Den Zusammenhang zwischen Hausdorff–Maß und Kapazitat zeigt ein Satzvon Frostman.

4.19 Satz. ([26] pp. 86–88, Theoreme 1) Ist F ⊂ Rd eine abgeschlossene Mengemit positivem Hausdorff–Maß Λλ(F ) > 0, λ > 0, so gilt

capλ′(F ) > 0

83

fur alle λ′ < λ.

Verallgemeinerungen der Aussagen von Lemma 4.17 und Satz 4.19 findet manbei Carleson [14] pp. 28–39, § iv, insbesondere pp. 28–29, Theorem 1, wo dieAussage des Satzes 4.19 fur analytische und die des Lemmas 4.17 (f = id) furalle beschrankten Mengen gezeigt wird. Wir bemerken, daß fur eine unbeschrankteanalytische Menge f(E) = B ⊂ Rd mit strikt positiver Kapazitat capλ(B) > 0ein Kompaktum K ⊂ B mit capλ(K) > 0 existiert; somit gilt Carlesons Satzallgemein fur analytische Mengen.

Wir erklaren nun analog zur Hausdorff–Dimension eine kapazitare Dimension

dimcB := inf λ > 0 : capλ(B) = 0 .Andere Definitionen sind ebenfalls moglich, fuhren aber bei kompakten Mengen zumselben Begriff, vgl. Kahane [50] p. 394, (F) bzw. p. 395, (F’).

Lemma 4.17 und Satz 4.19 besagen, daß

dimF = dimc F

fur jede abgeschlossene (sogar σ–kompakte) Menge F—und nach unserer Bemerkungsogar fur alle analytischen Mengen F—gilt, vgl. dazu Frostman [26] p. 90, Section48, und fur σ–kompakte Mengen Kahane [51] p. 133, Theorem 2 und Remark 1.

Im folgenden interessieren wir uns fur die Hausdorffsche Dimension von Teil-mengen der Pfadmenge gewisser stochastischer Prozesse. Vorab benotigen wir einigeneue Begriffe.

4.20 Definition. Es sei Ytt≥0 ein beliebiger Markov–Prozeß auf dem Wahr-scheinlichkeitsraum (Ω,A,P) mit Werten in Rd. Dann heißen

β′(Y, x) := supλ ≥ 0 : Ex

(|Yt − Ys|−λ)

= O (|t− s|−1)

fur s− t→ 0

(4.14)

(verallgemeinerter) unterer Index und

γδ(Y, x) := sup

λ ≥ 0 :

∫ δ

0

Ex(|Yt − Ys|−λ

)dt <∞ ∀s ∈ [0, δ]

(δ > 0)(4.15)

(verallgemeinerter) γ–Index des Prozesses.

4.21 Lemma. (Vgl. Pruitt [65] p. 374, Theorem 1) Der verallgemeinerteγ–Index γδ(Y, x) eines d–dimensionalen Markovschen Prozesses Ytt≥0 ist auchdurch

γδ(Y, x) = γδ(Y, x) (δ > 0, x ∈ Rd)(4.16)

gegeben, wobei

γδ(Y, x) = sup

λ ≥ 0 : lim sup

r0

1

rλ

∫ δ

0

Px(|Yt − Ys| ≤ r) dt <∞ ∀s ∈ [0, δ]

,

ist.

84

Beweis. Fur jedes s ∈ [0, δ] gilt∫ δ

0

Ex(|Yt − Ys|−λ

)dt =

∫ δ

0

∫ ∞0

Px(|Yt − Ys|−λ ≥ ρ

)dρ dt(4.17)

=

∫ ∞0

∫ δ

0

Px(|Yt − Ys| ≤ ρ−

1λ

)dt dρ

= λ

∫ ∞0

∫ δ

0

r−1−λ Px (|Yt − Ys| ≤ r) dt dr.

Ist λ < γδ(Y, x), so gilt fur λ < λ′ < γδ(Y, x) und kleine Zahlen r ≤ ε = εs∫ δ

0

Px (|Yt − Ys| ≤ r) dt ≤ cs rλ′ ,

woraus∫ ∞

0

∫ δ

0

r−1−λ Px (|Yt − Ys| ≤ r) dt dr ≤

≤ cs

∫ ε

0

r−1+(λ′−λ) dr + δ

∫ ∞ε

r−1−λ dr < ∞

fur alle s ∈ [0, δ] folgt, was λ ≤ γδ(Y, x) und damit γδ(Y, x) ≤ γδ(Y, x) zeigt.Nehmen wir andererseits λ < γδ(Y, x) an, so finden wir in (4.17) fur jede Wahl

von s ∈ [0, δ] und ε > 0 wegen der Isotonie der Funktion r 7→ Px(|Yt − Ys| ≤ r)∫ δ

0

Ex(|Yt − Ys|−λ

)dt ≥ λ

∫ ∞ε

r−1−λ∫ δ

0

Px (|Yt − Ys| ≤ r) dt dr

≥∫ δ

0

Px (|Yt − Ys| ≤ ε) dt λ

∫ ∞ε

r−1−λ dr

=1

ελ

∫ δ

0

Px (|Yt − Ys| ≤ ε) dt.

Mithin ist λ ≤ γδ(Y, x), also auch γδ(Y, x) ≤ γδ(Y, x). ////

4.22 Lemma. Fur jeden Markovschen Prozeß Ytt≥0 mit Werten in Rd gilt

β′(Y, x) ≤ γδ(Y, x) (0 < δ ≤ δ0)(4.18)

mit einem geeignet gewahlten δ0 > 0.

Beweis. Gemaß der Definition des unteren Index gibt es eine Zahl δ0 > 0, sodaß fur jedes λ < β′(Y, x)

Ex(|Yt − Ys|−λ

) ≤ C|t− s|−1 (|t− s| ≤ δ0)

mit einer geeigneten Konstanten C = C(δ0) > 0 gilt. Die Jensensche Ungleichungfur konkave Funktionen—den analogen Beweis fur konvexe Funktionen findet manbei Bauer [5] pp. 22–23, Satz 3.9—zeigt nun fur jedes θ < 1

Ex(|Yt − Ys|−λθ

) ≤ (Ex (|Yt − Ys|−λ))θ ≤ Cθ |t− s|−θ (|t− s| ≤ δ0),

85

woraus fur alle δ ≤ δ0 und s ∈ [0, δ]

∫ δ

0

Ex(|Yt − Ys|−λθ

)dt ≤ Cθ

∫ δ

0

|t− s|−θ dt

= Cθ

∫ s

0

(s− t)−θ dt+ Cθ

∫ δ−s

s

(t− s)−θ dt

≤ 2Cθ

∫ δ

0

r−θ dr < ∞

folgt. Da θ < 1 beliebig gewahlt war, erhalten wir fur alle λ′ < β′(Y, x)

∫ δ

0

Ex(|Yt − Ys|−λ′

)dt <∞ (s ∈ [0, δ]),

d. h. λ′ < γδ(Y, x), und daraus die Behauptung. ////

4.23 Bemerkung. Ist insbesondere Ytt≥0 ein d-dimensionaler Levy–Prozeßmit den in Definition 1.19 erklarten Indices β, β′, β′′ und γ, dann sind die Indicesβ′(Y, x) und γδ(Y, x) vom Startpunkt x ∈ Rd unabhangig, und es gilt einerseits

β′ ∧ d ≤ β′(Y, x) ≤ β(4.19)

und andererseitsγ ≤ γδ(Y, x) (δ ≤ 1).(4.20)

Ist außerdem der charakteristische Exponent des Prozesses (1) reellwertig—unddamit der Prozeß symmetrisch—, so ist

γδ(Y, x) ≤ β′ ∧ d (δ ≤ 1),(4.21)

also insbesondere

γ = β′ ∧ d ≤ β′(Y, x) ≤ γδ(Y, x) ≤ β′ ∧ d = γ.(4.22)

Schließlich sei noch bemerkt, daß im Falle von Levy–Prozessen β′∧d ≤ γδ(Y, x)fur jede Wahl von δ > 0 gilt.

Zu (4.19) Fur λ < β′∧d zeigten Blumenthal, Getoor [10] p. 501, Theorem5.3 (a),

lim supt0

tE0(|Yt|−λ

)= 0.

Insbesondere folgt dann

lim supt−s→0

|t− s|Ex (|Yt − Ys|−λ)

= lim supt−s→0

|t− s|E0(|Y|t−s||−λ

)= 0,

mithin λ ≤ β′(Y, x).

86

Fur λ > β gilt, vgl. Blumenthal, Getoor [10] p. 497, Theorem 3.1,

limt0

t−1λ Yt = 0 (P0–f. s.).

Das Lemma von Fatou impliziert daher

lim inft0

tE0(|Yt|−λ

)=∞

also auchlimt−s→0

|t− s|Ex (|Yt − Ys|−λ)

=∞,also λ ≥ β′(Y, x).

Zu (4.20) Fur alle 0 < δ ≤ 1 und s ∈ [0, δ] finden wir

∫ δ

0

Px (|Yt − Ys| ≤ r) dt =

∫ δ

0

P0 (|Yt − Ys| ≤ r) dt

=

∫ s

0

Px (|Ys−t| ≤ r) dt+

∫ δ−s

s

Px (|Yt−s| ≤ r) dt

=

∫ δ−s

0

Px (|Yθ| ≤ r) dθ +

∫ s

0

Px (|Yθ| ≤ r) dθ

≤ 2

∫ 1

0

Px (|Yθ| ≤ r) dθ.

Ist nun λ < γ, so gilt, nach Division mit rλ und Ubergang zum Limes superior furr → 0,

lim supr→0

1

rλ

∫ δ

0

Px (|Yt − Ys| ≤ r) dt <∞ (s ∈ [0, δ]),

was λ ≤ γδ(Y, x) impliziert und damit γ ≤ γδ(Y, x) fur δ ≤ 1.

Zu (4.21) Nun sei der charakteristische Exponent des Prozesses Ytt≥0 reell-wertig. Eine ahnliche Rechnung wie in Pruitt [65] p. 375, Lemma 3 (dort ist θ = 1)ergibt, daß

∫ θ

0

E0(|Xt|−λ

)dt = θ

∫ ∞0

∫

Rdpλ(t, ξ)

1− e−θa(ξ)

θa(ξ)dξ dt(4.23)

gilt, wobei pλ(t, ξ) die Ubergangsdichte eines symmetrisch λ–stabilen, 0 ≤ λ ≤ 2,d–dimensionalen Prozesses ist.

Da mit a(ξ) ≥ 0 auch 1−e−θa(ξ)

θa(ξ)≥ 0 ist, konnen wir die Reihenfolge der Integration

auf der rechten Seite von (4.23) vertauschen.Beachten wir noch, daß

∫ ∞0

pλ(t, ξ) dt =

Γ(

(d−λ)/2)

2λπd/2Γ(λ/2) |ξ|λ−d, falls λ < d

∞, falls λ ≥ d

87

gilt, vgl. Berg, Forst [6] pp. 135–136, Example 14.30, dann finden wir fur λ ≥ d

∫ θ

0

E0(|Xt|−λ

)dt =∞ (λ ≥ d, 0 < θ ≤ 1).

Im anderen Fall, λ < d, erhalten wir, wenn wir die Abschatzung

1− e−θa(ξ) ≥ θ(1− e−a(ξ)

)(0 ≤ θ ≤ 1, ξ ∈ Rd)

—sie folgt auf Grund der Konkavitat der Funktion θ 7→ 1− e−θa(ξ)—verwenden

∫ θ

0

E0(|Xt|−λ

)dt = cλ,d θ

∫

Rd|ξ|λ−d Re

(1− e−θa(ξ)

θa(ξ)

)dξ,

≥ cλ,d θ

∫

Rd|ξ|λ−d Re

(1− e−a(ξ)

a(ξ)

)dξ.

Nach der Definition des Index β′ divergiert dieses Integral fur alle λ > β′.Daher folgt fur alle s ∈ [0, δ] und λ > β′ ∧ d∫ δ

0

Ex(|Yt − Ys|−λ

)dt =

∫ s

0

E0(|Ys−t|−λ

)dt+

∫ δ

s

E0(|Yt−s|−λ

)dt

=

∫ δ−s

0

E0(|Yθ|−λ

)dθ +

∫ s

0

E0(|Yθ|−λ

)dθ

= ∞,

was λ ≥ γδ(Y, x) und damit γδ(Y, x) ≤ β′ ∧ d beweist.Die Beziehungen (4.22) sind nunmehr offensichtlich, der Zusatz folgt im wesentli-

chen aus dem Beweis von (4.20), wo man die Obergrenzen der Integrale entsprechendmodifiziert und wie in Blumenthal, Getoor [10] p. 501, Theorem 5.2 schließt.

4.24 Lemma. Es sei Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß und Xtt≥0

ein damit halbseitig vergleichbarer Markov–Prozeß.Ist Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 mit K(|t− s|,Rd) = O(1) fur |t− s| → 0, so gilt

β′(X, x) ≤ β′(X, x) (x ∈ Rd).(4.24)

Genugen die Vergleichskonstanten K([0, δ],Rd) <∞ fur ein δ > 0, dann gilt auch

γδ(X, x) ≤ γδ(X, x) (x ∈ Rd).(4.25)

Ist Xtt≥0 Xtt≥0 mit k(|t− s|,Rd)−1 = O(1) fur |t− s| → 0, so gilt

β′(X, x) ≤ β′(X, x) (x ∈ Rd).(4.26)

Genugen die Vergleichskonstanten k([0, δ],Rd) > 0 fur ein δ > 0, dann gilt auch

γδ(X, x) ≤ γδ(X, x) (x ∈ Rd).(4.27)

88

Insbesondere stimmen dann diese Indices fur vergleichbare Prozesse uberein.

Beweis. Aus Korollar 3.19 (3.33) folgt fur alle λ > 0

|t− s|Ex (|Xt −Xs|−λ) ≤ Ks,xK|t−s|,Rd |t− s| Ex

(|Xt − Xs|−λ).(4.28)

Diese Ungleichung und die Definition des Index β′(·, ·) zeigen, daß λ < β′(X, x)auch λ ≤ β′(X, x) impliziert, was (4.24) beweist. Mit Hilfe von (3.32) sieht manentsprechend (4.26).

Um (4.25) einzusehen, integrieren wir (4.28) nach Division durch |t − s| in tuber den Bereich [0, δ] gegen dt, schatzen die Vergleichskonstanten in offensichtlicherWeise ab und schließen wie im Beweis von (4.24). Entsprechend zeigt man (4.27).////

Nach diesen Vorbereitungen sind wir in der Lage, die Hausdorff–Dimensionvon gewissen Pfadmengen abzuschatzen. Die grundlegenden Ideen der folgendenBeweise sind den Arbeiten von Blumenthal und Getoor [10], insbesondere pp.507–509, Beweis von Theorem 8.1, und Pruitt [65] pp. 375–376 entlehnt.

4.25 Satz. Es seien Ytt≥0 ein Markovscher Prozeß mit Werten in Rd, δ0 > 0die Konstante aus Lemma 4.22 und E ⊂ [0, δ0] eine Menge von HausdorffscherDimension dimE. Dann gilt

dimY (E, ω) ≥ β′(Y, x) dimE(4.29)

fur Px–fast alle ω ∈ Ω.

Noch vor dem Beweis des Satzes notieren wir einige einfache Folgerungen. Wirerinnern nochmals daran, daß β′ den unteren Index fur Levy–Prozesse—vgl. Defi-nition 1.19—und β′(·, x) den in Definition 4.20 fur Markovsche Prozesse erklartenverallgemeinerten unteren Index bezeichnet.

4.26 Korollar. Die Aussage von Satz 4.25 gilt fur beliebige Teilmengen E ⊂[0,∞).

Beweis. Die Mengen [jδ0, (j + 1)δ0), j ∈ N0, uberdecken die Zeitmenge [0,∞).Daher gilt fur Ej := E ∩ [jδ0, (j + 1)δ0)

E =∞⋃j=0

Ej und Y (E) =∞⋃j=0

Y (Ej).

Die durchZ(j)(t, ω) := Y (t+ jδ0, ω) (j ∈ N0, t ≥ 0)

definierten und wiederum Markovschen Prozesse besitzen offensichtlich dieselbenverallgemeinerten unteren Indices

β′(Z(j), x) = β′(Y, x)

89

und auch dieselbe Konstante δ0 aus Lemma 4.22. Ferner gilt

Z(j)(Ej − jδ0, ω) = Y (Ej, ω) (j ∈ N0),

und wegen Ej − jδ0 ⊂ [0, δ0] und der Translationsinvarianz der HausdorffschenDimension zeigt Satz 4.25

dimY (Ej, ω) = dimZ(j)(Ej − jδ0, ω) ≥ β′(Y, x) dimEj (j ∈ N0)

Px–fast sicher. Nach Lemma 4.16 gilt

dimE = supj∈N0

dimEj und dimY (E, ω) = supj∈N0

dimY (Ej, ω),

was die Aussage des Korollars zeigt. ////

Als Spezialfall von Satz 4.25 ergibt sich aus (4.26) und mit (4.19) das folgendeKorollar:

4.27 Korollar. (Vgl. Blumenthal, Getoor [10] p. 507, Theorem 8.1) Essei Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß, Xtt≥0 ein Markovscher Prozeß,der Xtt≥0 Xtt≥0 mit k(|t− s|,Rd)−1 = O(1) fur |t− s| → 0 erfullt. Fur alleTeilmengen E ⊂ [0,∞), von Hausdorffscher Dimension dimE gilt dann

dim X(E,ω) ≥ β′(X, x) dimE ≥ (β′ ∧ d) dimE(4.30)

Px–fast sicher.

Beweis von Satz 4.25. Wir wahlen λ < β′(Y, x) und α < α′ < dimE. Wieim Beweis von Lemma 4.22 finden wir wegen λ < β′(Y, x) mit der JensenschenUngleichung fur konkave Funktionen fur kleines δ0 > 0 und eine Konstante C =C(δ0)

Ex(|Yt − Ys|−λα

) ≤ (Ex (|Yt − Ys|−λ))α ≤ C |t− s|−α (|t− s| ≤ δ0).(4.31)

Wegen α′ < dimE ist Λα′(E) =∞, und die innere Regularitat des Hausdorff–Maßes, vgl. Davies Satz, Lemma 4.14, garantiert die Existenz einer abgeschlossenenTeilmenge F ⊂ E mit positivem Maß Λα′(F ) > 0. Frostmans Satz, Satz 4.19, zeigt,daß fur α < α′

capα(F ) > 0

gilt. Entsprechend der Definition der Kapazitat existiert daher ein Wahrscheinlich-keitsmaß µ mit Trager in F und

∫

F

∫

F

|t− s|−α µ(dt)µ(ds) <∞.

Daraus und mit (4.31) finden wir nach einer Anwendung des Satzes von Fubini

Ex(∫

F

∫

F

|Yt − Ys|−αλ µ(dt)µ(ds)

)<∞,

90

und somit ∫

F

∫

F

|Yt − Ys|−αλ µ(dt)µ(ds) <∞ (Px–f. s.).

Lemma 4.17 zeigt schließlich

Λαλ(Y (E, ω)) ≥ Λαλ(Y (F, ω)) > 0

Px–fast sicher. Da α < dimE und λ < β′(Y, x) bliebig gewahlt waren, folgt dieBehauptung durch den Ubergang zu den Limiten αn dimE und λn β′(Y, x)fur n→∞. ////

Mit der Methode von Pruitt [65] p. 372, Theorem 1 erhalten wir scharfereAbschatzungen fur die Dimension des Bildes eines Zeitintervalls. Zunachst benotigenwir das von C. A. Rogers und S. J. Taylor [68] pp. 6–8, Lemma 3 bewiesenedensity theorem, das wir in einer fur unser Vorhaben adaptierten Version angeben.

4.28 Satz. (Ciesielski, Taylor [15] p. 435, Theorem B) Es seien m einendlich–additives Maß auf B(Rd), α > 0 und

E 1n

:=

y ∈ Rd : lim sup

r→0

m(Br(y))

rα>

1

n

(n ∈ N).

Dann sind die Mengen E 1n

Borelsch, und fur jede Menge E ∈ B(Rd) mit E∩E 1n

=

∅ giltΛα(E) ≥ C nm(E)(4.32)

mit einer nur von der Raumdimension abhangenden Konstanten C = Cd > 0.

Die Aufenthaltszeit der Zuwachse eines d–dimensionalen Prozesses Ytt≥0 ineiner Kugel Br(0) bis zum Zeitpunkt δ bezeichnen wir mit

T (δ, r, Ys(ω))(ω) =

∫ δ

0

1Br(0)(Yt(ω)− Ys(ω)) dt (s ∈ [0, δ]).

Ist Ytt≥0 stetig in Wahrscheinlichkeit, dann gilt

Ex(∫ δ

0

1Br(0)(Yt − Ys) dt)

=

∫ δ

0

Px(Yt − Ys ∈ Br(0)) dt > 0

fur alle s ∈ [0, δ], r > 0 und x ∈ Rd. Das besagt, daß Ex(T (δ, 2r, Ys)) > 0 fur alles ∈ [0, δ]. Daher genugen diese Prozesse der Ungleichung

Px(T (δ, r, Ys) ≥ ελ Ex

(T (δ, 2r, Ys)

)) ≤ ε−λ (λ > 0, s ∈ [0, δ]),(4.33)

die man mit Hilfe der Chebychev–Markov–Ungleichung und aus Ex(T (δ, r, Ys)

) ≤Ex(T (δ, 2r, Ys)

)gewinnt.

91

4.29 Satz. Es seien Ytt≥0 ein d–dimensionaler Markovscher Prozeß mitcadlag–Pfaden und δ′0 = δ′0(x) die durch

δ′0(x) := sup δ > 0 : β′(Y, x) ≤ γδ(Y, x)

gegebene Konstante. Dann gilt

dimY ([0, δ], ω) ≥ γδ(Y, x) ≥ γδ′0(Y, x) (0 ≤ δ ≤ δ′0)(4.34)

fur Px–fast alle ω ∈ Ω.

4.30 Bemerkung. Bezeichnet δ0 die Konstante aus Lemma 4.22, dann gilt δ′0 ≥δ0. Fur den Beweis des Satzes ist die Konstante δ′0 unwesentlich; sie gibt lediglichan, fur welche Intervalle eine Verscharfung der Aussage von Satz 4.25 vorliegt.

Beweis von Satz 4.29. Im Falle γδ(Y, x) = 0 ist nichts zu zeigen. Wir nehmendaher γδ(Y, x) > 0 an, wahlen 0 < α < α′ < γδ(Y, x) und setzen in Ungleichung(4.33) λ > 1, ε = n ∈ N und r = rn = n−2λ/(α′−α). Damit erhalten wir

Px(T (δ, rn, Ys) ≥ nλ Ex

(T (δ, 2rn, Ys)

)) ≤ n−λ,

und aus dem Borel–Cantelli–Lemma folgt

lim supn→∞

T (δ, rn, Ys)

nλ Ex(T (δ, 2rn, Ys)

) <∞ (Px–f. s.).

Nach Lemma 4.21 gilt aber fur α′ < γδ(Y, x) und s ∈ [0, δ]

lim supn→∞

Ex(T (δ, 2rn, Ys)

)

rα′n<∞,

und mit einer geeigneten Konstanten C > 0 folgt

C lim supn→∞

T (δ, rn, Ys)

nλ rα′n≤ lim sup

n→∞

T (δ, rn, Ys)

nλ Ex(T (δ, 2rn, Ys)

) <∞ (Px–f. s.).

Aus

lim supn→∞

(T (δ, rn, Ys)

rαnn−λ rα−α

′n

)<∞ (Px–f. s.)

und aus der Tatsache, daß

limn→∞

n−λ rα−α′

n = limn→∞

n−λ n2λ =∞

gilt, schließen wir

lim supn→∞

T (δ, rn, Ys)

rαn= 0 (Px–f. s.).

92

Da die Funktion r 7→ T (δ, r, Ys)(ω) isoton und die Folge

rnrn+1

n∈N

beschrankt ist,

gilt sogar

lim supr→0

T (δ, r, Ys)

rα= 0 (Px–f. s.),

und wir konnen die Argumentation von Ciesielski und Taylor [15] p. 448 uber-nehmen: um Satz 4.28 anwenden zu konnen, setzen wir fur y ∈ Rd

mω(Br(y)) :=

∫ δ

0

1Br(y)(Yt(ω)) dt (ω ∈ Ω),

insbesondere ist alsomω(Br(Ys)) = T (δ, r, Ys)(ω).

Fur die in Satz 4.28 auftretenden Mengen E 1n, n ∈ N, gilt nach Konstruktion Px–fast

sicher E 1n∩ Y ([0, δ], ω) = ∅ fur jede Wahl von n, und wir finden somit

Λα(Y ([0, δ], ω)) ≥ C nmω(Y ([0, δ], ω)) = C n

∫ δ

0

1Y ([0,δ],ω)(Yt(ω)) dt = C δ n,

woraus α ≤ dimY ([0, δ], ω) Px–fast sicher und mithin γδ(Y, x) ≤ dimY ([0, δ], ω)Px–fast sicher folgt. ////

4.31 Korollar. Es seien Ytt≥0 ein d–dimensionaler Markovscher Prozeßmit cadlag–Pfaden und I ⊂ [0,∞) ein Intervall mit 0 ∈ I. Dann gilt

dimY (I, ω) ≥ supδ>0

γδ(Y, x) = limδ→0

γδ(Y, x)(4.35)

fur Px–fast alle ω ∈ Ω.

Beweis. Das Intervall I enthalt den Nullpunkt und somit gilt fur hinreichendgroße n ∈ N auch [0, 1

n] ⊂ I. Aus Satz 4.29 wissen wir, daß dann

dimY (I, ω) ≥ dimY ([0, 1n], ω) ≥ γ 1

n(Y, x)

Px–f. s. gilt. Der Ubergang zum Supremum uber alle n ∈ N zeigt daher

dimY (I, ω) ≥ supn∈N

γ 1n(Y, x) = lim

n→∞γ 1n(Y, x),

was wiederum Px–f. s. gilt. ////

Da der Index γδ(Y, x) nicht ausschließlich von der Zeitdifferenz |t − s| abhangt,scheint i. allg. keine Entsprechung von Korollar 4.26 moglich zu sein. Fur Levy–Prozesse gilt jedoch γδ(Y, x) ≥ β′ ∧ d fur alle δ > 0; daher gibt es in diesem Fall einAnalogon zu Korollar 4.27.

4.32 Korollar. (Vgl. Pruitt [65] p. 373, Theorem 1) Es sei Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß, Xtt≥0 ein Markovscher Prozeß, der Xtt≥0

93

Xtt≥0 mit k(|t−s|,Rd) = O(1) fur |t−s| → 0 erfullt. Fur alle Intervalle I ⊂ [0,∞)mit 0 ∈ I und alle hinreichend kleinen δ > 0 gilt dann

dim X(I, ω) ≥ γδ(X, x) ≥ γ ≥ β′ ∧ d(4.36)

Px–fast sicher.

Beweis. Die Behauptung folgt aus Satz 4.29, Lemma 4.24 (4.27) und Bemerkung4.23 (4.20) bzw. der Definition 1.19 folgenden Bemerkung, daß γ ≥ β′ ∧ d gilt. ////

Nunmehr wenden wir uns Abschatzungen der Hausdorffschen Dimension nachoben zu.

Fragen nach der Dimension gewisser Bildmengen und nach der Variation auf denentsprechenden Urbildmengen sind eng verwandt, wie uns folgendes Lemma zeigt.

4.33 Lemma. Die Funktion f : [0,∞) → Rd sei in jedem Punkt rechtsseitigstetig und besitze endliche Limiten bei Annaherung von links. Dann gilt fur jedeWahl von δ > 0 und λ > 0 und jede Familie P von endlichen Partitionen, die imIntervall [0, δ] dicht ist,

Λλ(f([0, δ])) ≤ 2λvarP(f, [0, δ]) ≤ 2λVAR(f, [0, δ]).(4.37)

Daruberhinaus existiert eine von f abhangende Folge P(f) =

Πfn

n∈N von Par-

titionen, die im Intervall [0, δ] dicht ist, so daß

Λλ(f([0, δ])) ≤ 2λ lim infn→∞

varλ(f,Πfn, [0, δ]) + 1 = 2λvarP(f)(f, [0, δ]) + 1(4.38)

gilt.

Beweis. Es sei Ejnj=1 eine Uberdeckung des Intervalls [0, δ] durch rechtsseitighalboffene Intervalle der Lange ≤ η. (Dabei sei das Intervall, welches δ enthalt,abgeschlossen.) Fur jedes 1 ≤ j ≤ n wahlen wir einen festen Zeitpunkt tj ∈ Ejderart, daß |tj − tj−1| ≤ 2η erfullt ist. Wir finden dann

n∑j=1

sups,t∈Ej

|f(s)− f(t)|λ ≤n∑j=1

(sups∈Ej|f(s)− f(tj)|+ sup

t∈Ej|f(t)− f(tj)|

)λ

= 2λn∑j=1

supt∈Ej|f(t)− f(tj)|λ

Da die Funktion f cadlag ist, existieren zu jedem fest vorgegebenen ε > 0 Zahlenτj = τn,εj ∈ Ej, so daß

supt∈Ej|f(t)− f(tj)|λ ≤ |f(τj)− f(tj)|λ +

ε

n

fur alle 1 ≤ j ≤ n gilt. Da auch Πn,ε :=

0, τn,ε1 , t1, . . . , τn,εn , tn, δ

eine Partition von

[0, δ] ist, gilt

Λλη(f([0, δ])) ≤

n∑j=1

sups,t∈Ej

|f(s)− f(t)|λ ≤ 2λ(varλ(f,Πn,ε, [0, δ]) + ε

).(4.39)

94

Bezeichnen wir mit P2η die Menge aller Partitionen von [0, δ] mit Feinheit ≤ 2η,dann erhalten wir

Λλη(f([0, δ])) ≤ 2λ

(sup

Π∈P2η

varλ(f,Π, [0, δ]) + ε),

und aus η → 0 und danach ε→ 0 folgt dann (4.37).Wahlen wir in (4.39) η ≤ 2δ

n, ε = 2−λ und Πn := Πn,2−λ , n ∈ N, so finden wir

Λλ2δn

(f([0, δ])) ≤ 2λ var(f,Πn, [0, δ]) + 1.

Die Beziehung (4.38) folgt daher aus dem Ubergang zum Limes inferior uber n ∈ N.Da wir spater in einem etwas anderen Zusammenhang auf diese Konstruktion

zuruckkommen werden, bemerken wir an dieser Stelle, daß fur alle aufeinanderfol-genden Punkte sj, sj+1 ∈ Πn stets |sj − sj+1| ≤ diamEj ∨ 2η ≤ 4δ

ngilt. Somit

ist

maxj|sj − sj+1| ≤ 12δ

#Πn

.(4.40)

////

Das soeben gezeigte Lemma 4.33 laßt sich insbesondere auf die Pfade von ver-gleichbaren Prozessen oder die der zugeordneten Sprungprozesse anwenden. In Ver-bindung mit Satz 3.22 (cadlag–Pfade) und Satz 4.6 bzw. Satz 4.4 (Endlichkeit derstarken Variation) erhalten wir aus (4.37) Abschatzungen fur die HausdorffscheDimension eines Intervalls.

4.34 Satz. Es seien Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß mit Index 0 <β < 2 und Xtt≥0 ein Markovscher Prozeß mit Xtt≥0 Xtt≥0 und

lim infn→∞

k(δn,Rd)−1δn <∞ fur eine Nullfolge δnn∈N .

Dann gilt

dim J X([0, 1], ω) ≤ β(4.41)

fur Px–fast alle ω ∈ Ω. Ist zudem β < 1, so finden wir

dim X([0, 1], ω) ≤ β(4.42)

fur Px–fast alle ω ∈ Ω.

Mit Hilfe von Lemma 4.33 (4.38) und Korollar 4.10 laßt sich (4.42) ohne dieEinschrankung β < 1 zeigen.

4.35 Satz. Es seien Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß mit Index 0 <β < 2 und Xtt≥0 ein Markovscher Prozeß mit Xtt≥0 Xtt≥0. Gilt

lim inft→0

k(t,Rd)−1t <∞

95

dann istdim X([0, 1], ω) ≤ β(4.43)

fur Px–fast alle ω ∈ Ω.

Beweis. Korollar 4.10 und die darauffolgende Bemerkung 4.11 besagen, daß

varλ,P(ω)(X(·, ω), [0, 1]) <∞ (λ > β)

fur fast alle ω ∈ Ω gilt. Hierbei ist P(ω) eine vom betrachteten Pfad abhangende,aquidistante Partition des Intervalls [0, 1].

Der Beweis von Satz 4.6 (auf den sich Korollar 4.10 stutzt) laßt sich fast wortlichfur beliebige Partitionen Π = 0 = t0 < t1 < . . . < tn+1 = 1 von [0, 1] mit Feinheitδ ubertragen. Dabei andern sich lediglich die Vergleichskonstanten: an Stelle von

k(0, x)−1 k(δn,Rn)−1δn erhalten wir in (4.7) nunmehr

k(0, x)−1(k(t0 − t1,Rd) . . . k(tn+1 − tn,Rd)

)−1.

Aus der Konstruktion der Partitionen Πn, vgl. Lemma 4.33 (4.40), finden wir, daß

max0≤j≤n

|tj − tj+1| ≤ C

n+ 2

fur eine Konstante C > 0 gilt. Mithin folgt

(k(t0 − t1,Rd) · · · k(tn+1 − tn,Rd)

)−1 ≤(

max0≤j≤n

(k(tj − tj+1,Rd)−1))n+1

≤(

(k(tj0 − tj0+1,Rd)−1)) C′tj0−tj0+1

fur den Index j0 = j0(Πn), fur den das Maximum angenommen wird.Da nach Voraussetzung tj0 − tj0+1 → 0 fur n → ∞ gilt, folgt die Behauptung

des Satzes aus der Abschatzung (4.38) in Lemma 4.33, der Bemerkung 4.11 und derwie oben angegeben modifizierten Fassung von Satz 4.6 bzw. Korollar 4.10. ////

Da die Hausdorff–Dimension isoton ist, erhalten wir ohne weiteren Beweisfolgende Verallgemeinerung:

4.36 Korollar. Die Aussagen der Satze 4.34 und 4.35 gelten fur alle TeilmengenE ⊂ [0, 1].

Im Falle dimE < 1 ergibt Korollar 4.36 keine scharfe Abschatzung der Dimensiondes Bildes X(E, ω). Um bessere Schranken fur derartige Mengen zu erhalten, wendenwir eine Version von des Reflexionsprinzips fur vergleichbare Prozesse, Korollar 3.23in der Form von Korollar 3.25, an. Schon hier sei bemerkt, daß wir uns auf ProzesseXtt≥0 beschranken werden, die mit symmetrischen Levy–Prozessen vergleichbarsind, obschon Verallgemeinerungen mit Hilfe von Symmetrisierung im Sinne derBemerkung vor Lemma 3.9 ohne methodischen Mehraufwand moglich sind.

96

Vorab notieren wir noch einige Hilfssatze.

4.37 Lemma. Es sei Xtt≥0 ein Levy–Prozeß mit Werten in Rd und Levy–Maß ν. Fur alle R > 0 gilt

1

tP0(|Xt| > R) ≤ cR (t ≤ 1)

mit einer von t ∈ [0, 1] unabhangigen Konstanten cR, die limR→∞ cR = 0 erfullt.

Beweis. Wir zerlegen Xt in zwei Levy–Prozesse Xt := X ′t +X ′′t ,

X ′t(ω) :=∑

0<s≤tJX(s, ω) 1|JX(s,·)|>c(ω), X ′′t (ω) := Xt(ω)−X ′t(ω) = X(c)(t, ω),

wobei c > 0 so groß gewahlt ist, daß fur ein beliebig vorgegebenes ε > 0

ν(Rd \Bc(0)) ≤ ε

gilt.Mit diesen Bezeichnungen finden wir fur alle R > 0 und t > 0

P0(|Xt| > 2R) = P0(|X ′t +X ′′t | > 2R)

≤ P0(|X ′t|+ |X ′′t | > 2R)

≤ P0(|X ′t| > R) + P0(|X ′′t | > R).

Da einerseits X ′t seinen Wert nur durch Sprunge verandern kann—diese sind Pois-son–verteilt mit Intensitat ν(Rd \ Bc(0))—und andererseits X ′′t als Prozeß mit be-schrankten Sprungen alle Momente besitzt, finden wir

P0(|Xt| > 2R) ≤ P0(X ′t hat mindestens 1 Sprung) +1

R2E0(|X ′′t |2)

= 1− e−tν(Rd\Bc(0)) +1

R2

(E0(|X ′′t − E0(X ′′t )|2) + |E0(X ′′t )|2)

≤ t ν(Rd \Bc(0)) +t

R2

(E0(|X ′′1 − E0(X ′′1 )|2) + |E0(X ′′1 )|2),

wobei wir bei der letzten Abschatzung 1−e−α ≤ |α|, eine Folgerung aus der Identitatvon Bienayme—Varianz (X ′′t ) = tVarianz (X ′′1 )—und E0(X ′′t ) = tE0(X ′′1 ) verwen-deten.

Da ε > 0 unabhangig von R gewahlt war, erfullt

cR := ν(Rd \Bc(0)) +1

R2

(E0(|X ′′1 − E0(X ′′1 )|2) + |E0(X ′′1 )|2)

≤ ε+1

R2

(E0(|X ′′1 − E0(X ′′1 )|2) + |E0(X ′′1 )|2)

die Behauptung des Lemmas. ////

Das folgende Lemma findet sich fur reelle Prozesse bei Feller [24] p. 292,Lemma. Der Beweis laßt sich jedoch fur hohere Dimensionen nicht ohne weiteresubertragen.

97

4.38 Lemma. Es sei Xtt≥0 ein d–dimensionaler Levy–Prozeß mit Levy–Maß ν. Fur alle Funktionen f ∈ Cb(Rd), die in einer Umgebung des Ursprungsverschwinden, gilt

limt→0

1

t

∫f dP0

Xt =

∫f dν.(4.44)

Insbesondere gilt

limt→0

1

tP0(Xt ∈ B) = ν(B)(4.45)

fur alle ν–randlosen Mengen B ∈ B(Rd) mit 0 6∈ B.

Beweis. Da nach (4.44) 1tP0Xt|Bc

1/n(0) → ν|Bc

1/n(0) fur t → 0 im Sinne der schwa-

chen Konvergenz auf Bc1/n(0) von Maßen gilt, folgt mit den ublichen Argumenten

(4.45), siehe Bauer [4] p. 228, Satz 30.12.Um (4.44) zu zeigen, erinnern wir zunachst an die bekannte Beziehung

1

tP0Xt |0c → ν|0c vag fur t→ 0,

siehe Berg, Forst [6] pp. 172–173, Proposition 18.2.Das Levy–Maß ν ist außerhalb einer Umgebung des Ursprungs ein endliches

Maß. Wegen Lemma 4.37 existiert daher zu jedem ε > 0 ein R0 > 0, so daß

ν(Rd \BR(0)) + supt≤1

1

tP0(Xt ∈ Rd \BR(0)) ≤ ε (R > R0)

gilt. Mit Hilfe einer Abschneidefunktion χ ∈ Cc(Rd), 1BR(0) ≤ χ ≤ 1BR+1(0) findenwir fur f ∈ Cb(Rd) mit 0 6∈ supp f

|∫

Rdu d(t−1P0

Xt − ν)| ≤ |

∫

Rduχ d

(t−1P0

Xt − ν)|+

∫

Rd|u|(1− χ) d

(t−1P0

Xt + ν)

≤ |∫

Rduχ d

(t−1P0

Xt − ν)|+ ‖u‖∞ε → ‖u‖∞ε,

fur t → 0, da der Trager von uχ nach Konstruktion kompakt ist. Die Behauptungfolgt mit ε→ 0. ////

4.39 Lemma. Es sei Xtt≥0 ein symmetrischer Levy–Prozeß mit Werten inRd und Levy–Maß ν. Dann gibt es zu jedem R > 0 eine Zahl R′ > R und ein δ > 0,so daß

P0(

sups≤t|Xt| > ρ

) ≤ cP0(R′ ≥ sup

s≤t|Xt| > ρ

)(ρ ≤ R)

fur alle Zeiten 0 < t ≤ δ gilt. Die Konstante c hangt dabei nur von R, R′, δ und derRaumdimension ab.

Beweis. Da 1+|x|2|x|2 ν(dx) ein endliches Maß auf Rd \ 0 ist, sind fur Lebesgue–

fast alle R > 0 die Kugeln BR(0) ν–randlos. Wir durfen daher im folgenden anneh-men, daß die Radien R und R′ stets zu ν–randlosen Kugeln gehoren.

98

Zu fest vorgegebenem R > 0 bestimmen wir R′ > R derart, daß

ν(Rd \BR′/d(0))

ν(Rd \BR(0))≤ 1

8d

ist. Nach dem Reflexionsprinzip (3.13) fur Levy–Prozesse gilt fur alle ρ ≤ R

P0(

sups≤t |Xs| > R′)

P0(

sups≤t |Xs| > ρ) ≤ 2dP0

(|Xt| > R′/d)

P0(|Xt| > ρ

) ≤ 2dP0(|Xt| > R′/d

)

P0(|Xt| > R

)

≤ 4d ν(Rd \BR′/d(0))

ν(Rd \BR(0))≤ 1

2.

Die vorletzte Abschatzung folgt dabei fur hinreichend kleine t aus Lemma 4.38.Wir erhalten somit

P0(

sups≤t|Xs| > ρ

)= P0

(R′ ≥ sup

s≤t|Xs| > ρ

)+ P0

(sups≤t|Xs| > R′

)

≤ P0(R′ ≥ sup

s≤t|Xs| > ρ

)+

1

2P0(

sups≤t|Xs| > ρ

),

woraus die Behauptung mit c = 2 folgt. ////

Der folgende Satz wurde fur allgemeine Levy–Prozesse im Fall β < 1 von Blu-menthal, Getoor [10] p. 507, Theorem 8.1 bewiesen. Millar konnte in [57] dieBeschrankung β < 1 aufheben. Seinen Abschneidetrick werden wir nun geeignet furdie Situation vergleichbarer Prozesse modifizieren.

4.40 Satz. (Vgl. Millar [57] pp. 69–70, Theorem 5.1) Es seien Xtt≥0 eind–dimensionaler symmetrischer Levy–Prozeß mit Index 0 < β < 2 und Xtt≥0

ein damit vergleichbarer stark Markovscher Prozeß derart, daß fur die KonstantenC ′r aus Korollar 3.25 C := sup0≤r≤1C

′r <∞ ist. Dann gilt

dim X(E, ω) ≤ β dimE(4.46)

Px–fast sicher fur alle Borelschen Mengen E ⊂ [0, 1].

4.41 Bemerkung. Die Forderung sup0≤r≤1C′r < ∞ mit C ′r aus Korollar 3.25

ist offenbar gleichwertig zu C ′ <∞, wobei C ′ die Konstante (3.39) zu t = 1 ist.In der Situation und mit den Bezeichnungen von Beispiel 3.17 (1) gilt wegen

Bemerkung 3.27 stets C ′ ≤ K2/k2 <∞.

Beweis. Wir zeigen die Behauptung in drei Schritten. Zunachst beweisen wirfur beliebige R > 0 und kurze Zeitspannen t− r ≤ δ die Ungleichung

Ex((diam X([r, t]))λ 1sups≤1 |Xs|≤R

) ≤ C(R, λ, ν) (t− r) (λ > β)(4.47)

mit einer nur von R, λ, dem Levy–Maß ν des Prozesses Xtt≥0 und der Vergleichs-konstante C abhangenden Konstanten.

99

In einem zweiten Schritt zeigen wir die Dimensionsabschatzung fur ZeitmengenE von Hausdorffscher Dimension dimE < 1 und schließlich fur Mengen mitDimension dimE = 1.

Schritt 1. Es seien 0 ≤ r ≤ t ≤ 1 und t − r ≤ δ, wobei δ kleiner als die inLemma 4.39 benotigte kurze Zeitspanne ist. Im folgenden bezeichnen

ΩR :=ω ∈ Ω : sup

s≤1|X(s, ω)| ≤ R

∆rtΩR :=ω ∈ Ω : sup

r≤s,s′≤t|X(s, ω)− X(s′, ω)| ≤ 2R

.

Offensichtlich gilt ΩR ⊂ ∆rtΩR fur alle R > 0 und r, t ∈ [0, 1]. Wir finden daher

Ex((diam X([r, t]))λ 1ΩR

) ≤ Ex((diam X([r, t]))λ 1∆rtΩR

)

=

∫ ∞0

Px(

(diam X([r, t]))λ > ρ ∩∆rtΩR

)dρ

=

∫ 2R

0

Px(

2R ≥ supr≤s,s′≤t

|X(s)− X(s′)|λ > ρ)dρ

≤∫ 2R

0

Px(

supr≤s,s′≤t

|X(s)− X(s′)|λ > ρ)dρ

≤∫ 2R

0

Px(

2λ supr≤s≤t

|X(r)− X(s)|λ > ρ)dρ.

Verwenden wir das Reflexionsprinzip fur vergleichbare Prozesse in Form von (3.42),dann erhalten wir

Ex((diam X([r, t]))λ 1ΩR

) ≤

≤ d(C + 1)

∫ 2R

0

Px(|X(r)− X(t)| > ρ1/λ/(2d)

)dρ

≤ d(C + 1)k−1r,xk

−1t−r,Rd

∫ 2R

0

Px(|X(r)−X(t)| > ρ1/λ/(2d)

)dρ,

wobei wir im letzten Schritt die Vergleichbarkeit der Prozesse ausnutzten. Weitergilt mit C := d(C + 1)k−1

[0,1],xk−1[0,δ],Rd und den Bezeichnungen von Lemma 4.39—δ sei

hinreichend klein—

Ex((diam X([r, t]))λ 1ΩR

) ≤ C

∫ 2R

0

P0(|X(t− r)| > ρ1/λ/(2d)

)dρ

≤ C

∫ 2R

0

P0(

sups≤t−r

|X(s)| > ρ1/λ/(2d))dρ

≤ 2C

∫ 2R

0

P0(R′ ≥ sup

s≤t−r|X(s)| > ρ1/λ/(2d)

)dρ.

100

Auf der Mengeω ∈ Ω : R′ ≥ sups≤t−r |X(s, ω)| hat X(s, ω) hochstens Sprunge der

Hohe 2R′, stimmt also dort mit dem (ebenfalls symmetrischen) gestrippten ProzeßX(2R′)(s, ω) uberein. Nochmalige Anwendung des Reflexionsprinzips (3.13) ergibt

Ex((diam X([r, t]))λ 1ΩR

) ≤ 2C

∫ 2R

0

P0(R′ ≥ sup

s≤t−r|X(2R′)(s)| > ρ1/λ/(2d)

)dρ

≤ 2C

∫ 2R

0

P0(

sups≤t−r

|X(2R′)(s)| > ρ1/λ/(2d))dρ

≤ 2dC

∫ 2R

0

P0(|X(2R′)(s)| > ρ1/λ/(2d2)

)dρ.

Indem wir ggf. R′ vergroßern, konnen wir stets R′ > (2R)1/λ/(2d2) erreichen. NachLemma 4.37 gilt dann

P0(|X(2R′)(t− r)| > ρ1/λ/(2d2)

) ≤ 2(t− r) ν(Rd \Bρ1/λ/(2d2)(0)) (t− r ≤ δ)

fur Lebesgue–fast alle ρ ∈ [0, 2R]. Zusammen mit den oben hergeleiteten Abschatz-

ungen ergibt dies fur λ > θ > β und mit S := (2R)1/λ

2d2

Ex((diam X([r, t]))λ 1ΩR

) ≤ 4dC (t− r)∫ 2R

0

ν(Rd \Bρ1/λ/(2d2)(0)) dρ

= 8λd3C (t− r)∫ S

0

ηλ−1 ν(Rd \Bη(0)) dη

= 8λd3C (t− r)∫ S

0

ηλ−(1+θ) ηθν(Rd \Bη(0)) dη.

Blumenthal und Getoor zeigten ([10] p. 495, Theorem 2.1), daß fur alle θ > β

limη→0

ηθ ν(Rd \Bη(0)) = 0

gilt, woraus schließlich wegen (θ + 1)− λ < 1

Ex((diam X([r, t]))λ 1ΩR

) ≤(

8λd3CSλ−θ

λ− θ supη≤S

ηθ ν(Rd \Bη(0)))

(t− r),

und somit (4.47) folgt.

Schritt 2. Sei nun 1 ≥ α > dimE. Dann existiert zu jedem n ∈ N eine 1n–

Uberdeckung der Menge E durch abgeschlossene Intervalle En,j = [rn,j, tn,j], j ∈ N,mit der Eigenschaft, daß ∑

j∈N|tn,j − rn,j|α < 1

n(4.48)

ist. Ist 2 ≥ λ > β, so finden wir aus (4.47) mit Hilfe der Jensenschen Ungleichungfur konkave Funktionen

Ex(

(diam X(En,j))λα 1ΩR

)≤

(Ex(

(diam X(En,j))λ 1ΩR

))α(4.49)

≤ C(R, λ, ν)α |tn,j − rn,j|α

101

fur hinreichend feine Uberdeckungen mit einer nur von R, λ, vom Levy–Maß ν desProzesses Xtt≥0 und den Vergleichskonstanten, aber nicht von der Uberdeckungabghangenden Konstanten.

Fur die weiteren Uberlegungen bezeichne En die Gesamtheit aller 1n–Uberdeckun-

gen der Menge E, die aus abgeschlossenen Intervallen [rn,j, tn,j] bestehen. Zusammenmit (4.48), (4.49) und dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt fur alle R > 0und hinreichend große n ∈ N

Ex(

Λλα1n

(X(E, ·) 1ΩR

)) ≤

≤ Ex(

inf

∞∑j=1

(diam X(Ej, ·)

)λα1ΩR

(·) : Ejj∈N ∈ En)

≤ inf

∞∑j=1

Ex((

diam X(Ej, ·))λα

1ΩR(·))

: Ejj∈N ∈ En

≤ C(R, λ, ν)α∞∑j=1

|tn,j − rn,j|α

≤ C(R, λ, ν)α1

n.

Gehen wir nun auf beiden Seiten dieser Ungleichung zum Grenzwert n → ∞ uber,so finden wir mit Hilfe des Satzes von der monotonen Konvergenz

Ex(

Λλα(X(E, ·) 1ΩR

))= lim

n→∞Ex(

Λλα1n

(X(E, ·) 1ΩR

))

≤ limn→∞

(C(R, λ, ν)α

1

n

)= 0.

Daraus folgt λα ≥ dim X(E, ω) fur Px–fast alle ω ∈ ΩR und R > 0; betrachten wirschließlich Folgen λnn∈N, λn > β, λn β, und αnn∈N, αn > α, αn dimE,dann finden wir, daß auch

β dimE = limn→∞

λnαn ≥ dim X(E, ω)

fur Px–fast alle ω ∈ ΩR, R > 0, gilt und die Behauptung folgt aus R → ∞, dalimR→∞ Px(ΩR) = 1 ist.

Schritt 3. Nunmehr sei dimE = 1. Da wir eine obere Schranke fur die Dimensionsuchen, durfen wir auf Grund der Isotonie der Hausdorff–Dimension

dim X(E, ω) ≤ dim X([0, 1], ω) (ω ∈ Ω)

ohne Einschrankung E = [0, 1] annehmen. Mit den Bezeichnungen von oben wahlenwir z. B. En,j = [rn,j, tn,j] mit rn,j := j

nund tn,j := rn,j+1, j = 0, 1, . . . , n − 1, als

spezielle 1n–Uberdeckung von [0, 1], auch andere Uberdeckungen durch sich nicht

uberschneidende abgeschlossene Intervalle waren moglich.

102

Fur λ > β, α = 1 und hinreichend feine Uberdeckungen folgt aus (4.47)

Ex(

(diam X(En,j, ·))λ 1ΩR

)≤ C(R, λ, ν)

1

n. (R > 0)

Wie in Schritt 2 finden wir dann

Ex(

Λλ1n

(X([0, 1], ·) 1ΩR

)) ≤

≤ inf

∞∑j=0

Ex(

diam (X(En,j, ·))λ 1ΩR(·))

: Ejj∈N ∈ En

≤ C(R, λ, ν)n−1∑j=0

1

n= C(R, λ, ν).

Die rechte Seite dieser Ungleichung hangt nicht von n ∈ N ab. Gehen wir daherauf der linken Seite zum Grenzwert n → ∞ uber, so erhalten wir mit Hilfe desSatzes von der monotonen Konvergenz

Ex(

Λλ(X([0, 1], ·) 1ΩR

)) ≤ C(R, λ, ν) <∞.

Mithin folgt Λλ(X([0, 1], ω)

)<∞ fur Px–fast alle ω ∈ ΩR, somit λ ≥ dim X([0, 1], ω)

fur Px–fast alle ω ∈ ΩR. Wahlen wir eine Folge λnn∈N, λn > β, λn β, dannfinden wir schließlich

β = limn→∞

λn ≥ dim X([0, 1], ω)

fur Px–fast alle ω ∈ ΩR und die Behauptung folgt wie in Schritt 2 aus R→∞. ////

In Satz 4.40 wurden nur vergleichbare Prozesse mit Index β strikt kleiner 2betrachtet. Der Fall β = 2 bedarf einer gesonderten Behandlung. Dazu schicken wirden folgenden Hilfssatz voraus, der ein Spezialfall von Theorem 29 in Rogers [67]ist.

4.42 Lemma. ([67] pp. 53–54, Theorem 29) Die Funktion f : [0,∞) → Rderfulle lokal eine Holder–Bedingung von der Ordnung α > 0,

|f(s)− f(t)| ≤ c |s− t|α (s, t ≥ 0, |s− t| < δ)

mit von s und t unabhangigen Konstanten δ, c > 0. Dann gilt fur alle TeilmengenE ⊂ [0,∞) und alle λ > 0

Λλ/α(f(E)

) ≤ cΛλ(E),

wobei c die Konstante aus der Holder–Bedingung ist.

Ist Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 nach oben mit einem symmetrischen Levy–Prozeß Xtt≥0

mit Index β = 2—also im wesentlichen mit einer Brownschen Bewegung—ver-gleichbar, und genugen die Vergleichskonstanten den im Satz 3.22(1) genannten Be-dingungen, so erfullt der Prozeß Xtt≥0 das Kolmogorovsche Kriterium (3.34)

103

ebenso wie Xtt≥0 . Fur die Brownsche Bewegung Xtt≥0 besteht die Unglei-chung (3.34) fur alle Kombinationen α = 2n bzw. β = n − 1, n ∈ N, mit von nunabhangigen Konstanten—vgl. Bauer [5] p. 348, Lemma 40.2—und somit auchfur den Prozeß Xtt≥0. Der Satz von Kolmogorov–Chentsov, [5] p. 345, Ko-rollar 39.5, besagt in diesem Fall, daß die Pfade von Xtt≥0 fast sicher (lokal)Holder–stetig bis zur Ordnung

β

α=n− 1

2n→ 1

2fur n→∞

sind.Ohne weitere Rechnung erhalten wir daher aus Lemma 4.42 folgende Aussage.

4.43 Satz. Es seien Xtt≥0 ein d–dimensionaler symmetrischer Levy–Prozeßmit Index β = 2 und Xtt≥0 ≺ Xtt≥0 ein damit vergleichbarer MarkovscherProzeß. Gilt dann fur die Vergleichskonstanten

k([0, T ],Rd) ≥ c > 0 fur ein T > 0

undk([0, n], x) ≥ cn,x > 0 fur alle n ∈ N,

so ist fur alle E ⊂ [0,∞)

dim X(E, ω) ≤ 2 dimE(4.50)

Px–fast sicher erfullt.

Mit Hilfe von Lemma 4.33 konnten wir aus der Endlichkeit der λ–Variation einerFunktion f uber [0, δ] auf die Endlichkeit des λ–dimensionalen Hausdorff–Maßesvon f([0, δ]) schließen. Die im zweiten Teil des Beweises von Satz 4.40—wo dimE = 1vorausgesetzt war—verwendeten Abschatzungen erlauben eine teilweise Umkehrungdieser Schlußweise.

Das folgende Korollar benotigt daher auch keine Wachstumsbedingungen an dieVergleichskonstanten, wie sie etwa bei der entsprechenden Aussage in Satz 4.6 (4.6)oder Korollar 4.10 (4.8) gefordert wurden; insbesondere gilt die Aussage in der Si-tuation von Beispiel 3.17(1).

4.44 Korollar. Der Prozeß Xtt≥0 genuge den in Satz 4.40 getroffenen An-nahmen. Dann gilt fur jede Folge von Partitionen P = Πnn∈N, die im Intervall[0, 1] dicht wird,

varλ,P(X(·, ω), [0, 1]) <∞ (λ > β)(4.51)

fur Px–fast alle ω ∈ Ω.

Beweis. Im folgenden sei Πn = tn,0 = 0 < tn,1 < . . . < tn,πn = 1, n ∈ N, und

ΩR :=ω ∈ Ω : sup

s≤1|X(s, ω)| ≤ R

104

wie in Satz 4.40. Wir bestimmen dabei R derart, daß zu fest vorgegebenem ε > 0Px(Ω \ ΩR) ≤ ε gilt.

Wahlen wir im zweiten Schritt des Beweises von Satz 4.40 als spezielle Uber-deckung En,jπnj=1 die Intervalle, deren Endpunkte mit den Punkten von Πn uber-einstimmen, so finden wir

varλ(X(·, ω),Πn, [0, 1]

)=

πn∑j=1

|X(tn,j, ω)− X(tn,j−1, ω)|λ

≤πn∑j=1

sups,t∈En,j

|X(s, ω)− X(t, ω)|λ

=πn∑j=1

(diam X(En,j, ω)

)λ.

Fur hinreichend große n ∈ N finden wir dann nach Integration uber die Menge ΩR

mit Hilfe von (4.47)

Ex(varλ

(X,Πn, [0, 1]

)1ΩR

) ≤πn∑j=1

Ex((

diam X(En,j, ω))λ

1ΩR

) ≤ C(R, λ, ν),

wobei die auf der rechten Seite stehende Konstante nicht von der Wahl der Uber-deckung abhangt. Eine Anwendung des Fatouschen Lemmas zeigt schließlich

Ex(varλ,P

(X, [0, 1]

)1ΩR

) ≤ lim infn→∞

Ex(varλ

(X,Πn, [0, 1]

)1ΩR

)

≤ C(R, λ, ν) < ∞,

und damitvarλ,P

(X(ω), [0, 1]

)<∞

fur Px–fast alle ω ∈ ΩR. Da ε beliebig klein gewahlt werden kann, folgt die Behaup-tung. ////

105

Kapitel 5

Eine Darstellungsformel fur dieErzeuger subordinierterHalbgruppen

Wir wollen nun den Definitionsbereich der Erzeuger Af gewisser subordinierterHalbgruppen T ft t≥0 studieren. Da wir uns in erster Linie fur Erzeuger nicht–translationsinvarianter Halbgruppen interessieren, mussen wir die ublichen Tech-niken—vgl. Berg, Forst, pp. 85–96, §12, insbesondere Theorem 12.16—modifizie-ren.

Um Aussagen uber den Definitionsbereich von Af zu erhalten, beschreiten wireinen Umweg, indem wir uns zunachst eine Integraldarstellung fur die Erzeuger einerKlasse von subordinierten Halbgruppen verschaffen.

Ausgangspunkt unserer Uberlegungen ist dabei die bekannte Integralformel furgebrochene Potenzen eines Erzeugers A einer Halbgruppe Ttt≥0 auf dem Banach–Raum X ,

−(−A)αu =sin(απ)

π

∫

(0,∞)

λα−1R(λ,A)Audλ (u ∈ D(A), 0 < α < 1),(5.1)

die auf Balakrishnan [2] p. 420 (2.1) bzw. p. 423 (2.7) zuruckgeht. Dort, pp. 429–431, Theorem 5.1, wird auch −(−A)α als Erzeuger einer subordinierten Halbgruppeerkannt. Siehe hierzu auch Yosida [79] pp. 259–268, Section IX.11.

Fur Subordinatoren, deren charakteristischer Exponent f eine vollstandige Bern-stein–Funktion ist (siehe Definition 5.5), konnen wir eine (5.1) entsprechende Dar-stellung angeben.

In einer 1993 erschienenen Arbeit von Chr. Berg, Kh. Boyadzhiev und R.deLaubenfels [7] wird dieselbe Klasse von charakteristischen Exponenten unter-sucht und—auf etwas anderem Wege—die hier hergeleitete Darstellungsformel (5.10)bewiesen. In [7] finden sich daruber hinaus Resultate, die Satz 5.6, Satz 5.8, Beispiel5.9 und Bemerkung 5.14 (teilweise) entsprechen.

106

5.1 Stieltjes–Funktionen und vollstandige

Bernstein–Funktionen

5.1 Definition. (1) Eine Funktion g : (0,∞) → R heißt Stieltjes–Funktion,wenn eine Zahl b ≥ 0 und eine Maß µ auf [0,∞) existieren, so daß

S(µ)(x) =

∫

[0,∞)

1

t+ xµ(dt) (x > 0)(5.2)

erklart ist, und g die Darstellung

g(x) = b+ S(µ)(x) = SF(b, µ)(x)(5.3)

besitzt. Existiert die Inverse von SF , dann schreiben wir dafur SF−1.(2) Die durch (5.2) erklarte Integraltransformation heißt Stieltjes–Transfor-

mation. Besitzt das Maß µ eine Dichte m bezuglich des Lebesgueschen Maßes, soschreiben wir S(m) statt S(µ). Die inverse Transformation bezeichnen wir mit S−1.

5.2 Bemerkung. (1) (Vgl. Berg, Forst p. 127) Das Paar (b, µ) aus Definition5.1 ist eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist die Funktion g durch die Angabe von (b, µ)eindeutig charakterisiert. Genauer gilt

b = limx→∞

g(x) und S(µ) = L L(µ),

wobei L fur die Laplace–Transformation steht.(2) Integralformeln zur Inversion der Stieltjes–Transformation scheinen nicht

bekannt zu sein. Inversionsformeln in Form komplexer Limiten bzw. reeller Limitenvon Ableitungen finden sich bei Widder [77] pp. 126–128, Theorem 14.1 bzw. p.144, Theorem 14.4.

Ohne Beweis erwahnen wir noch folgendes Analogon zur Charakterisierung derBernstein–Funktionen aus Bemerkung 1.7.

5.3 Satz. (Widder [76] p. 364, Theorem 17c, p. 366, Theorem 18b) Eine Funk-tion g : (0,∞) → R ist genau dann eine Stieltjes–Funktion, wenn fur alle x > 0und k ∈ N

g(x) ≥ 0 und (−1)k−1

(d

dx

)2k−1 (xkg(x)

) ≥ 0

gelten.Das Darstellungsmaß aus Formel (5.2) ist genau dann endlich, wenn der Grenz-

wert limx→∞(x(g(x)− b)) <∞ existiert.

5.4 Beispiel. Fur Beispiele von Stieltjes–Funktionen verweisen wir auf dieTabelle in Beispiel 1.8. Dort ist jeweils die inverse Funktion bzw. das Darstellungs-maß angegeben.

107

Fur die weiteren Untersuchungen benotigen wir eine Teilklasse der Bernstein–Funktionen. Die folgende Definition ist dem Buch von Pruss [64] entnommen.

5.5 Definition. ([64], p. 94, nach Definition 4.4) Eine Funktion f : (0,∞)→ Rheißt vollstandige Bernstein–Funktion, wenn sie sich in der Form

f(x) = x2Lφ(x) (x > 0)

mit einem φ ∈ BF darstellen laßt. Fur die Menge der vollstandigen Bernstein–Funktionen schreiben wir CBF und setzen CBF0 := CBF ∩ BF0.

Es gilt CBF ⊂ BF ; mit einer kurzen Rechung findet man, daß sich die Funktionf(x) = x2Lφ(x), wobei φ ∈ BF mit Levy–Tripel (a, b, µ) ist, auch als

f(x) = b+ ax+

∫

(0,∞)

(1− e−tx)∫

(0,∞)

s2e−st µ(ds) dt

schreiben laßt, d. h. es ist f ∈ BF mit Levy–Tripel(b, a,

∫(0,∞)

s2e−st µ(ds) dt).

Die Klasse der vollstandigen Bernstein–Funktionen und damit verwandterFunktionen wurde—unter verschiedenen Aspekten und mit verschiedenen Bezeich-nungen—von einer Reihe von Autoren untersucht, z. B. Herglotz [37], Lowner[54], Stone [72] pp. 570–573, Heinz [36] und die schon oben zitierten Pruss [64]und Berg, Boyadzhiev und deLaubenfels [7] (und dort aufgefuhrte neuereLiteratur).

Der folgende Satz gibt verschiedene aquivalente Charakterisierungen der MengeCBF ; insbesondere konnen wir die in den o. g. Quellen betrachteten Funktionenklas-sen mit CBF identifizieren.

5.6 Satz. Fur eine Funktion f : (0,∞)→ R sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) f ist eine vollstandige Bernstein–Funktion.

(ii) Die Funktion x 7→ f(x)x

ist eine Stieltjes–Funktion, deren Darstellungsmaßρ die Bedingung ∫

(0,1)

ρ(dt) +

∫

[1,∞)

1

tρ(dt) <∞

erfullt.

(iii) f ist holomorph fortsetzbar auf die langs der negativen reellen Halbachse auf-geschnittene komplexe Ebene C−, positiv auf der positiven Halbachse (0,∞)und rechtsseitig (reell) stetig in 0,

f(0+) := limx→0x>0

f(x) ≥ 0.

Weiterhin gilt f(z) = f(z) und Im z Im f(z) ≥ 0 fur alle z ∈ C−.

108

(iv) f besitzt die eindeutig bestimmte Darstellung

f(z) = α + βz +

∫

[0,∞)

tz − 1

t+ zσ(dt) (z ∈ C− ∪ 0)

mit einem endlichen Maß σ auf [0,∞), das der Beziehung∫

[0,1)

1

tσ(dt) +

∫

[1,∞)

σ(dt) <∞

genugt, und positiven Konstanten α, β mit α ≥ ∫[0,∞)

1tσ(dt).

(v) f besitzt die eindeutig bestimmte Darstellung

f(x) = α + βx+

∫

[0,∞)

tx− 1

t+ xσ(dt) (x ≥ 0)

mit einem endlichen Maß σ auf [0,∞), das der Beziehung∫

[0,1)

1

tσ(dt) +

∫

[1,∞)

σ(dt) <∞

genugt, und positiven Konstanten α, β mit α ≥ ∫[0,∞)

1tσ(dt).

(vi) f ist eine Bernstein–Funktion mit der Levy–Darstellung

f(x) = a+ bx+

∫

(0,∞)

(1− e−sx)µ(ds) (x ≥ 0)

mit positiven Konstanten a, b und dem Levy–Maß µ(ds) = m(s)ds. Die Dichtem(s) ist durch

m(s) :=

∫

(0,∞)

e−ts ρ(dt) (s > 0)

als Laplace–Transformierte eines Maßes ρ auf (0,∞) gegeben, das die Be-dingung ∫

(0,1)

1

tρ(dt) +

∫

[1,∞)

1

t2ρ(dt) <∞

erfullt.

Fur den Beweis der Implikation (iii) ⇒ (iv) benotigen wir folgenden, auf Her-glotz [37] zuruckgehenden Satz.

5.7 Satz. ([37] pp. 508–511, §3) Eine Funktion f : E → C auf dem komplexenEinheitskreis E ist genau dann holomorph in E mit positivem Realteil Re f ≥ 0,wenn f eine Integraldarstellung

f(z) = ic+

∫

(−π,π]

eiψ + z

eiψ − z τ(dψ) (z ∈ E)(5.4)

109

mit einem endlichen Maß τ auf (−π, π] und der Konstanten c = Im f(0) ∈ Rbesitzt.Diese Darstellung ist eindeutig.

Beweis von Satz 5.6 Wir zeigen die Aquivalenz der Behauptungen (i)–(vi)nach folgendem Schema

(iii) ⇒ (iv) ⇒ (v) ⇒ (vi) ⇒ (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii).

Der Beweis der ersten Implikation verwendet eine Verallgemeinerung von Satz 5.7,die sich bei Stone [72] pp. 573–575, Theorem 10.35 findet und Techniken von Heinz[36] p. 423, Hilfssatz 5. Im folgenden wiederholen wir diese Argumente.

(iii) ⇒ (iv) (Stone & Heinz) Die Cayley–Abbildung h : H→ E

h : z 7→ z − iz + i

bzw. h−1 : w 7→ i1 + w

1− wist eine biholomorphe Abbildung der oberen komplexen Halbebene H = z ∈ C :Im z > 0 auf den Einheitskreis E, die stetig fortsetzbar bis zum Rand ist. Es gilth(∂H) = ∂E. (Vgl. Remmert [66] pp. 60–61.)

Ist f eine Funktion, die (iii) genugt, so ist

E 3 w 7→ φ(w) :=1

if(h−1(w))

eine holomorphe Funktion auf E, deren Realteil

Reφ(w) = Re(1

if(h−1(w))

)= Im f(h−1(w)) ≥ 0

positiv ist, da Imh−1(w) > 0 gilt.Fur w = h(z), z ∈ H, erhalten wir mit Hilfe von Satz 5.7

f(z) = iφ(h(z)) = −c+

∫

(−π,π]

ieiψ + h(z)

eiψ − h(z)τ(dψ).

Wir fuhren nun gemaß eiψ = h(t), t ∈ R, neue Koordinaten ein; setzen wir g(ψ) :=h−1(eiψ), dann erhalten wir nach kurzer Rechnung

f(z) = −c+ g(τ)(+∞)z +

∫

(−∞,∞)

tz + 1

t− z g(τ)(dt).

Mit den Bezeichnungen α := −c, β := g(τ)(+∞) und σ(dt) := g(τ)(dt) gilt also

f(z) = α + βz +

∫

(−∞,∞)

tz + 1

t− z σ(dt) (z ∈ H)(5.5)

zunachst fur z ∈ H und wegen f(z) = f(z) auch fur z ∈ C \ R.

110

Die Eindeutigkeit der Darstellung (5.5) ergibt sich aus der Eindeutigkeitsaussageim Herglotzschen Satz 5.7 und der Bijektivitat der Cayley–Transformation.

Wir zeigen nun, daß supp σ ⊂ (−∞, 0] gilt. Dazu wahlen wir zwei Punkte q ≥p ≥ 0, die keine Atome des Maßes σ sind. Fur z = x+ iy ∈ H finden wir

∫

[p,q]

Im f(x+ iy) dx =

= βy +

∫

[p,q]

∫

(−∞,∞)

Imtz + 1

t− z σ(dt) dx

= βy +

∫

[p,q]

∫

(−∞,∞)

t2y + y

(t− x)2 + y2σ(dt) dx

= βy +

∫

(−∞,∞)

(t2 + 1)

∫

[p−t,q−t]

y

x2 + y2dx σ(dt)

= βy +

∫

(−∞,∞)

(t2 + 1)(

arctanq − ty− arctan

p− ty

)σ(dt).

Der Ubergang zum Grenzwert y → 0 und das Fatousche Lemma—der Integrandauf der rechten Seite ist positiv—zeigen

limy→0

∫

[p,q]

Im f(x+ iy) dx =

= lim infy→0

∫

(−∞,∞)

(t2 + 1)(

arctanq − ty− arctan

p− ty

)σ(dt)

≥(∫

(−∞,p)+

∫

[p,q]

+

∫

(q,∞)

)(t2 + 1) lim

y→0

(arctan

q − ty− arctan

p− ty

)σ(dt)

=

∫

[p,q]

π(t2 + 1) σ(dt).

Da die Funktion (x, y) 7→ Im f(x+ iy) stetig und [p, q] ⊂ [0,∞) kompakt ist, findenwir schließlich

0 ≤ π

∫

[p,q]

(t2 + 1) σ(dt) ≤∫

[p,q]

limy→0

Im f(x+ iy) dx = 0.(5.6)

Als endliches Maß besitzt σ hochstens abzahlbar viele Atome; daher gilt (5.6) furalle p, q in einer dichten Teilmenge von [0,∞) und somit σ|(0,∞) = 0.

Bezeichnen wir das am Ursprung gespiegelte Maß σ mit σ, so erhalten wir

f(z) = α + βz +

∫

[0,∞)

tz − 1

t+ zσ(dt) (z ∈ C \ R).(5.7)

Wegen der Endlichkeit von σ gilt diese Darstellung auch fur z ∈ (0,∞).Fur x ∈ (0, 1) finden wir

|f(x)− βx− α| = |∫

[0,∞)

tx− 1

t+ xσ(dt)|

111

≥ |∫

[0,1)

1− txt+ x

σ(dt)| − |∫

[1,∞)

tx− 1

t+ xσ(dt)|

≥∫

[0,1)

1− txt+ x

σ(dt)−∫

[1,∞)

|tx− 1

t+ x| σ(dt).

Berucksichtigt man, daß fur t ≥ 1 und 0 < x < 1 die Abschatzungen

|tx− 1

t+ x| ≤ tx+ 1

t+ x≤ tx+ t

t+ x≤ (t+ x)(x+ 1)

(t+ x)= x+ 1

bestehen, so ist

|f(x)− βx− α| ≥∫

[0,1)

1− txt+ x

σ(dt)− (x+ 1)

∫

[1,∞)

σ(dt).

Mit x→ 0 und dem Lemma von Fatou erhalten wir daher

|f(0+)− α| ≥ lim infx→0

∫

[0,1)

1− txt+ x

σ(dt)−∫

[1,∞)

σ(dt)

≥∫

[0,1)

lim infx→0

1− txt+ x

σ(dt)−∫

[1,∞)

σ(dt)

=

∫

[0,1)

1

tσ(dt)−

∫

[1,∞)

σ(dt)

und damit auch∫

[0,1)1tσ(dt) +

∫[1,∞)

σ(dt) < ∞. Da f(0+) ≥ 0 ist, folgt aus (5.7)

unmittelbar α ≥ ∫[0,∞)

1tσ(dt) ≥ 0, und somit (iv).

(iv) ⇒ (v) Offensichtlich.

(v) ⇒ (vi) Wir setzen

a := α−∫

[0,∞)

1

sσ(ds) ≥ 0, b := β ≥ 0

und

µ(dt) := m(t) dt :=

∫

[0,∞)

e−st(s2 + 1)σ(ds) dt,

wobei α, β die Konstanten und σ das Darstellungsmaß aus (v) sind.Das Maß µ ist per definitionem absolutstetig bezuglich des Lebesgue–Maßes;

die Dichte m(t) ist die Laplace–Transformierte des Maßes ρ(ds) := (s2 + 1)σ(ds)auf [0,∞). Weiter gilt

∫

(0,1)

t µ(dt) +

∫

[1,∞)

µ(dt) =

=

∫

(0,1)

∫

[0,∞)

te−st(s2 + 1)σ(ds) dt+

∫

[1,∞)

∫

[0,∞)

e−st(s2 + 1)σ(ds) dt

112

=

∫

[0,∞)

∫

(0,1)

te−st(s2 + 1) dt σ(ds) +

∫

[0,∞)

∫

[1,∞)

e−st(s2 + 1) dt σ(ds)

=

∫

[0,∞)

[−(st+ 1)

e−st

s2

]t=1

t=0

(s2 + 1) σ(ds) +

∫

[0,∞)

[−e−st

s

]t=∞

t=1

(s2 + 1)σ(ds)

=

∫

[0,∞)

s2 + 1

s2(1− e−s)σ(ds).

Im Bereich 1 ≤ s < ∞ ist der Integrand s2+1s2

(1 − e−s) stetig, mithin wegen

lims→∞ s2+1s2

(1 − e−s) = 1 durch eine Konstante c > 0 beschrankt. Fur 0 ≤ s < 1finden wir

(s2 + 1)1− e−s

s2≤ 2

s

s2=

2

s

und somit∫

(0,1)

t µ(dt) +

∫

[1,∞)

µ(dt) ≤ 2

∫

[0,1)

1

sσ(ds) + c

∫

[1,∞)

σ(ds) <∞.

Es bleibt zu zeigen, daß das Levy–Tripel (a, b, µ) die Funktion f darstellt. NachVoraussetzung gilt

f(x) = α + βx+

∫

[0,∞)

sx− 1

s+ xσ(ds)

=

(α−

∫

[0,∞)

1

sσ(ds)

)+ βx+

∫

[0,∞)

x(s2 + 1)

s(s+ x)σ(ds)

=

(α−

∫

[0,∞)

1

sσ(ds)

)+ βx+

∫

[0,∞)

(1

s− 1

s+ x

)(s2 + 1)σ(ds)

= a+ bx+

∫

(0,∞)

∫

[0,∞)

(e−st − e−(s+x)t) (s2 + 1)σ(ds) dt

= a+ bx+

∫

(0,∞)

(1− e−xt) (s2 + 1)m(t)dt

= a+ bx+

∫

(0,∞)

(1− e−xt) (s2 + 1)µ(dt)

Die Integrationseigenschaften des Maßes ρ(ds) := (s2 + 1)σ(ds) ergeben sichschließlich aus

∫

[0,1)

1

sρ(ds) +

∫

[1,∞)

1

s2ρ(ds) =

∫

[0,1)

s2 + 1

sσ(ds) +

∫

[1,∞)

s2 + 1

s2σ(ds)

≤ 2

∫

[0,1)

1

sσ(ds) + 2

∫

[1,∞)

σ(ds)

< ∞.

Insbesondere gilt ρ(0) = 0 und wir identifizieren ρ mit ρ|(0,∞).

113

(vi) ⇒ (i) Auf Grund der in (vi) vorausgesetzten Eigenschaften des Maßes ρgilt ∫

(0,1)

s( 1

s2ρ)

(ds) +

∫

[1,∞)

( 1

s2ρ)

(ds) <∞,

d. h. (b, a, s−2ρ(ds)) ist ein Levy–Tripel und

φ(x) := b+ ax+

∫

(0,∞)

(1− e−sx)1

s2ρ(ds)

eine Bernstein–Funktion. Weiterhin gilt

x2Lφ(x) =

= x2

∫

(0,∞)

(b+ at+

∫

(0,∞)

(1− e−st)1

s2ρ(ds)

)e−tx dt

= x2

∫

(0,∞)

b e−tx dt+ x2

∫

(0,∞)

ate−tx dt+ x2

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

(1− e−st)e−tx dt1

s2ρ(ds)

= bx+ a+ x2

∫

(0,∞)

(1

x− 1

s+ x

) 1

s2ρ(ds)

= a+ bx+

∫

(0,∞)

(1

s− 1

s+ x

)ρ(ds)

= a+ bx+

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

(1− e−tx)e−st ρ(ds) dt

= a+ bx+

∫

(0,∞)

(1− e−tx)m(t) dt

= f(x),

woraus f ∈ CBF folgt.

(i) ⇒ (ii) Fur jede differenzierbare Funktion g : (0,∞)→ R, deren Laplace–Transformierte existiert, erhalten wir durch partielle Integration

xL(g)(x) = g(0+) + L(g′)(x).

Insbesondere gilt fur φ aus Punkt (i)

f(x)

x= xL(φ)(x) = φ(0+) + L(φ′)(x) = b+ L(φ′)(x).

Nach Voraussetzung ist φ eine Bernstein–Funktion, somit ist φ′ eine vollstandigmonotone Funktion und nach dem Satz von Bernstein die Laplace–Transfor-mierte eines geeigneten Maßes ρ auf [0,∞) (Berg, Forst [6] p. 62, Theorem 9.3).

Hier gilt ρ(ds) = s−1ρ(ds) + aε0, und damit

f(x)

x= b+

∫

[0,∞)

1

s+ xρ(ds) =

a

x+ b+

∫

(0,∞)

1

s(s+ x)ρ(ds),

114

d. h. x 7→ f(x)x

ist eine Stieltjes–Funktion.Die Integrationseingenschaften des Maßes ρ(ds) folgen aus der Tatsache, daß

s−2ρ(ds) ein Levy–Maß ist:

∫

[0,1)

ρ(ds) +

∫

[1,∞)

1

sρ(ds) = a+

∫

(0,1)

1

sρ(ds) +

∫

[1,∞)

1

s2ρ(ds)

= a+

∫

(0,1)

s( 1

s2ρ)

(ds) +

∫

[1,∞)

( 1

s2ρ)

(ds)

< ∞.

(ii) ⇒ (iii) Entsprechend unserer Annahme besitzt f die Darstellung

f(x) = a+ bx+

∫

(0,∞)

x

s(s+ x)ρ(ds) (x > 0).(5.8)

Fur z = x+ iy ∈ C− ∪ 0 gilt

| z

s(s+ z)| = 1

s

√x2 + y2

(s+ x)2 + y2.

Es sei ε > 0 fest vorgegeben. Ist z in einer kompakten Teilmenge K ⊂ C− ∪ 0mit dist(K, (−∞, 0)) > ε enthalten, so gelten fur x ≥ 0 und y ∈ R die folgendenAbschatzungen:

1

s

√x2 + y2

(s+ x)2 + y2≤ 1

s(0 ≤ s ≤ 2ε),

1

s

√x2 + y2

(s+ x)2 + y2≤ 1

s

√x2 + y2

(s+ x)2=

√x2 + y2

s(s+ x)≤ c(K)

s(s+ x)(s > 2ε)

und fur x ≤ 0 und y 6= 0 erhalten wir

1

s

√x2 + y2

(s+ x)2 + y2≤ 1

s

√x2 + y2

y2≤ c′(K, ε)

s(0 ≤ s ≤ 2|x|)

1

s

√x2 + y2

(s+ x)2 + y2≤ 1

s

√x2 + y2

(s/2)2 + y2≤ 2

s

√x2 + y2

(s2 + y2)≤ c′′(K)

s(s+ |y|) (s > 2|x|).

Wegen dist(z, (−∞, 0)) > ε konvergiert fur z ∈ K das Integral

∫

(0,∞)

| z

s(s+ z)| ρ(ds),

und es ist—da ε > 0 und K beliebig gewahlt waren—f(z) eine holomorphe Funktionauf C−.

115

Die mit x indizierte Familie von Funktionen s 7→ xs(s+x)

= 1s− 1

s+xsteigt mit

x→ 0 gegen 0 ab; somit erhalten wir aus dem Satz von der monotonen Konvergenz,daß

f(0+) = limx→0+

f(x) = a ≥ 0

gilt, was die rechtsseitige (reelle) Stetigkeit von f im Ursprung zeigt.Schließlich gilt

f(z) = bz +

∫

[0,∞)

z

s+ zρ(ds) = bz +

∫

[0,∞)

z

s+ zρ(ds) = f(z),

und aus

Im f(z) = b Im z +

∫

[0,∞)

Im( z

s+ z

)ρ(ds) = b Im z +

∫

[0,∞)

s Im z

|s+ z|2 ρ(ds)

folgt Im z Im f(z) ≥ 0 und auch (iii).

Damit ist der Beweis des Satzes erbracht. ////

Mit

Sφ :=

z ∈ C : z = reiψ, r ≥ 0, 0 ≤ ψ ≤ φ fur φ ∈ [0, π)z ∈ C : z = reiψ, r ≥ 0, φ ≤ ψ ≤ 0 fur φ ∈ (−π, 0)

bezeichnen wir einen Kegel in C mit Offnungswinkel φ zur positiven reellen Halb-achse.

5.8 Satz. (1) Die Menge der vollstandigen Bernstein–Funktionen ist ein kon-vexer Kegel, der unter der Komposition von Abbildungen und unter punktweisenLimiten von Funktionenfolgen abgeschlossen ist.

(2) Fur f ∈ CBF und φ ∈ [0, π) gilt f(Sφ) ⊂ Sφ.(3) Es sei h : (0,∞)→ [0,∞] eine stetige Funktion, deren rechtsseitiger Grenz-

wert in 0 (ggf. uneigentlich) existiert.Laßt sich h fur einen Winkel |φ| ∈ (0, π) zu einer biholomorphen Funktion h :

H → Sφ fortsetzen, so gilt fur alle f ∈ CBF , daß auch die Funktion h−1 f h inCBF enthalten ist.

Beweis. Zu (1): Per definitionem besitzen Funktionen f ∈ CBF eine Dar-stellung f(x) = x2Lφ(x) mit einem geeigneten φ ∈ BF . Mithin ist die Funktionx 7→ x−2f(x) vollstandig monoton (im Sinne der Defintion 9.1 in Berg, Forst [6]p. 61). Da die vollstandig monotonen Funktionen einen konvexen Kegel bilden ([6]p. 61), der unter punktweiser Konvergenz abgeschlossen ist ([6] p. 63, Proposition9.5), ubertragen sich diese Eigenschaften auch auf die Menge CBF .

Sind f, g ∈ CBF , so ist wegen Re g ≥ 0 die Komposition f g wohldefiniert underfullt mit f und g die in Satz 5.6 (i) genannten Kriterien, d. h. f g ∈ CBF .

116

Zu (2): Nach Satz 5.6 (vi) besitzt jede Funktion f ∈ CBF eine Darstellung

f(z) = bz +

∫

[0,∞)

z

s+ zρ(ds) (z ∈ C−).

mit einem positiven Maß ρ auf [0,∞) und b ≥ 0.Offensichtlich gilt fur die Funktion

H ∪ [0,∞) 3 z 7→ bz,

daß Punkte aus Sφ wieder auf solche abgebildet werden. Wegen

Im( z

s+ z

)=

sy

(s+ x)2 + y2bzw. Re

( z

s+ z

)=sx+ x2 + y2

(s+ x)2 + y2

und

| arctan(

arg( z

s+ z

))| = |Im

(zs+z

)

Re(

zs+z

) | = |yx| s

s+ x+ y2/x≤ |y

x| = | arctan(arg z)|

gilt das auch fur die Funktion z 7→ zs+z

, und somit fur f .

Zu (3): Mit Hilfe des Schwarzschen Spiegelungssatzes, vgl. Remmert [66] p.254, laßt sich h durch

h(z) :=

h(z), z ∈ H ∪ (0,∞)h(z), z ∈ H ∪ (0,∞)

holomorph nach C− fortsetzen. Im folgenden werden wir wieder h fur diese Fortset-zung schreiben.

Nach Voraussetzung gilt fur ein φ ∈ (−π, 0) ∪ (0, π)

h(±H ∪ (0,∞)) ⊂ S±φ,

und nach Teil (2)f(S±φ) ⊂ S±φ.

Somit ist fur z ∈ C− die Funktion g : z 7→ h−1 f h(z) wohldefiniert und es giltg(±H) ⊂ ±H, d. h.

Im z Im g(z) ≥ 0 (z ∈ C−).

Auf Grund der rechtsseitigen Stetigkeit in 0 finden wir

limx→0x>0

g(x) = limx→0x>0

h−1 f h(x) = h−1 f h(0+) ≥ 0.

Da im Falle h(0+) = +∞ und f(+∞) = +∞ auch h−1(+∞) = 0+ gilt, ist dieserLimes stets endlich.

117

Somit erfullt g die in Satz 5.6 (i) genannten Kriterien, d. h. g ∈ CBF . ////

5.9 Beispiel. (1) Fur Beispiele von vollstandigen Bernstein–Funktionen ver-weisen wir auf Kapitel 1, Beispiel 1.8.

(2) Mit f ∈ CBF sind auch die Funktionen

x 7→ 1

f(

1x

) , x 7→ (f(√x))2, x 7→ (

f(xα))1/α

(−1 ≤ α ≤ 1, α 6= 0)

vollstandige Bernstein–Funktionen.Bei gebrochenen Potenzen komplexer Zahlen wahlen wir dabei stets den Haupt-

zweig , d. h. fur z = |z|eiφ ∈ C− ist

zα := |z|αeiαφ (−1 ≤ α ≤ 1).

5.2 Eine Integraldarstellung des Erzeugers einer

subordinierten Halbgruppe

In diesem Abschnitt werden wir uns mit Funktionen f(−A) eines infinitesimalen Er-zeugers A einer C0-Halbgruppe beschaftigen, die wiederum Operatoren–Halb-grup-pen erzeugen. Daher beschranken wir uns auf die Betrachtung von f ∈ CBF0, alsoauf vollstandige Bernstein–Funktionen mit f(0+) = 0. Da f(0+) > 0 der Dar-stellungsformel von Satz 1.16 nur den Term f(0+)u, u ∈ D(A), hinzufugen wurde—siehe hierzu die Originalarbeit von Phillips [62] pp. 362–363, Theorem 4.3—istdiese Annahme aus funktionalanalytischer Sicht keine echte Einschrankung. In derSprache der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt f(0+) > 0, daß f der charakteristi-sche Exponent einer Halbgruppe von Sub–Wahrscheinlichkeitsmaßen ist.

Vorab erinnern wir nochmals an einige Begriffe aus Kapitel 1. Mit Ttt≥0 be-zeichnen wir im folgenden eine C0–Halbgruppe von Operatoren auf einem Banach–Raum (X , ‖ · ‖); fur ihren infinitesimalen Erzeuger schreiben wir (A,D(A)). DieHalbgruppe genuge der Beziehung (1.1),

eω0t ≤ ‖Tt‖ ≤M eω0t (t ≥ 0)

mit ω0 = limt→∞ t−1 log ‖Tt‖, ω0 > ω0 und M = M(ω0). Fur Kontraktionshalb-gruppen ist stets ω0 := 0 und M := 1. Fur die Resolventenmenge von A giltρ(A) ⊃ z ∈ C : Re z > ω0, fur die der Erzeuger von Kontraktionshalbgruppenρ(A) ⊃ z ∈ C : Re z > 0.

5.10 Satz. Es seien Ttt≥0 eine C0–Halbgruppe von Operatoren mit Erzeuger Aund µtt≥0 ein zulassiger Subordinator, der fur ein ω0 > ω0 die Funktion s 7→ esω0

integriert.

118

Ist der charakteristische Exponent f des Subordinators eine vollstandige Bern-stein–Funktion mit der Darstellung

f(x) = bx+

∫

(0,∞)

(1− e−λx)m(λ) dλ (x > 0),

m(λ) =

∫

(0,∞)

e−tλ ρ(dt) (λ > 0),

wo b ≥ 0 und ρ ein Maß auf (0,∞) ist mit∫

(0,1)1tρ(dt) +

∫[1,∞)

1t2ρ(dt) <∞, dann

gilt bereits

ρ|(0,ω0] = 0 und

∫

(ω0,ω0+1]

1

t− ω0

ρ(dt) +

∫

(ω0+1,∞)

1

(t− ω0)2ρ(dt) <∞,(5.9)

und der Erzeuger der subordinierten Halbgruppe T ft t≥0 laßt sich durch das Integral

Afu = bAu+

∫

(ω0,∞)

1

λAR(λ,A)u ρ(dλ) (u ∈ D(A))(5.10)

darstellen.

Beweis. Zunachst untersuchen wir die Integrationseigenschaften des Maßes ρ.Da der Subordinator µtt≥0 die Funktion λ 7→ eλω0 integriert, gilt nach Satz

5.13(iv)∫

(1,∞)eλω0m(λ) dλ <∞. Fur das Maß ρ finden wir daher

∞ >

∫

(1,∞)

eλω0m(λ) dλ

=

∫

(1,∞)

∫

(0,∞)

eλ(ω0−t) ρ(dt) dλ

=

∫

(0,∞)

∫

(1,∞)

eλ(ω0−t) dλ ρ(dt)

≥(∫

(0,ω0]

+

∫

(ω0,ω0+1]

)[1

ω0 − teλ(ω0−t)

]λ=∞

λ=1

ρ(dt),

was einerseits ρ|(0,ω0] = 0 und andererseits∫

(ω0,ω0+1)1

t−ω0ρ(dt) <∞ impliziert.

Fur t ≥ ω0 + 1 besteht die Ungleichung

1

t− ω0

≤ ω0 + 1

t(t ≥ ω0 + 1).(5.11)

Damit finden wir∫

[ω0+1,∞)

1

(t− ω0)2ρ(dt) ≤ (ω0 + 1)2

∫

[ω0+1,∞)

1

t2ρ(dt) <∞,

woraus (5.9) folgt.

119

Mit Hilfe der Resolventenabschatzung (1.4) und der Ungleichung (1.8) finden wirfur u ∈ D(A)

‖∫

(ω0,∞)

1

λAR(λ,A)u ρ(dλ)‖ ≤

≤∫

(ω0,ω0+1]

1

λ‖AR(λ,A)u‖ ρ(dλ) +

∫

(ω0+1,∞)

1

λ‖AR(λ,A)u‖ ρ(dλ)

≤∫

(ω0,ω0+1]

( M

λ− ω0

+1

λ

)‖u‖ ρ(dλ) +

∫

(ω0+1,∞)

M

λ(λ− ω0)‖Au‖ ρ(dλ)

≤∫

(ω0,ω0+1]

M + 1

λ− ω0

ρ(dλ) ‖u‖+

∫

(ω0+1,∞)

M

(λ− ω0)2ρ(dλ) ‖Au‖ < ∞;

bei der letzten Abschatzung ging (5.9) ein. Diese Uberlegung zeigt, daß der in (5.10)auf der rechten Seite stehende Ausdruck (als Bochner–Integral) wohldefiniert ist.

Um die behauptete Gleichheit zu sehen, verwenden wir Phillips Darstellungdes Operators Af aus Satz 1.16

Afu = bAu+

∫

(0,∞)

(Tλu− u)m(λ) dλ

= bAu+

∫

(0,∞)

∫

(ω0,∞)

(Tλu− u)e−tλ ρ(dt) dλ,(5.12)

wobei wir die Darstellung von f ∈ CBF0 und ρ|(0,ω0] = 0 ausnutzten. Wir wollen nundie Reihenfolge der Integration in (5.12) vertauschen. Dazu weisen wir die absoluteKonvergenz der iterierten Integrale nach. Wegen

Tλu− u =

∫

(0,λ)

ATtu dt (λ ≥ 0, u ∈ D(A))

gilt

‖Tλu− u‖ ≤M

∫

(0,λ)

etω0 dt ‖Au‖ ≤Mλetω0 ‖Au‖

und wir finden∫

(0,∞)

∫

(ω0,∞)

‖(Tλu− u)‖ e−tλ ρ(dt) dλ =

=

∫

(ω0,ω0+1]

∫

(0,∞)

‖(Tλu− u)‖ e−tλ dλ ρ(dt) +

+

∫

(ω0+1,∞)

∫

(0,∞)

‖(Tλu− u)‖ e−tλ dλ ρ(dt)

≤∫

(ω0,ω0+1]

∫

(0,∞)

(1 +Meλω0) e−tλ dλ ρ(dt) ‖u‖+

+

∫

(ω0+1,∞)

∫

(0,∞)

Mλ e(ω0−t)λ dλ ρ(dt) ‖Au‖

=

∫

(ω0,ω0+1]

(1

t+

M

t− ω0

)ρ(dt) ‖u‖+

∫

(ω0+1,∞)

M

(t− ω0)2ρ(dt) ‖Au‖ < ∞,

120

wobei wir wiederum (5.9) verwendeten.Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge in (5.12) ergibt unter Beachtung

der Integralformel (1.7) der Resolvente

Afu = bAu+

∫

(ω0,∞)

∫

(0,∞)

(Tλu− u)e−tλ dλ ρ(dt)

= bAu+

∫

(ω0,∞)

(R(t, A)− 1

t

)u ρ(dt).

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung, da fur u ∈ D(A) und t ∈ ρ(A)

(R(t, A)− 1

t

)u =

1

t

(tR(t, A)− 1

)u

=1

t

(tR(t, A)− (t− A)R(t, A)

)u

=1

tAR(t, A)u

gilt. ////

Mit Hilfe der verschiedenen Integralformeln fur f ∈ CBF0 aus Satz 5.6 konnenwir eine weitere Darstellung fur den Operator Af angeben.

5.11 Korollar. Unter den Voraussetzungen von Satz 5.10 gilt

Afu = bAu+

∫

(ω0,∞)

AR(λ,A)u S−1x→λ(f(x)

x− b)

(λ) dλ(5.13)

fur alle u ∈ D(A).

Beweis. Mit den Bezeichnungen aus Satz 5.6 ist S−1x→λ(f(x)x− b)

(λ) dλ das Dar-

stellungsmaß ρ(dλ) der Stieltjes–Funktion x 7→ f(x)x

,

f(x)

x= b+

∫

(0,∞)

1

λ+ xρ(dλ) (x > 0).

Der Beweis von Satz 5.6 (v) ⇒ (vi) zeigt, daß ρ(dλ) = λ−1ρ(dλ) gilt, wobei ρ(dλ)mit dem in Satz 5.10 verwendeten Darstellungsmaß ubereinstimmt. Insbesonderefolgt also ρ|(0,ω0] = 0. ////

Mit den Daten aus der Tabelle in Beispiel 1.8 erhalten wir sofort einige konkreteIntegraldarstellungen fur subordinierte Erzeuger.

5.12 Beispiel. In den folgenden Beispielen ist Ttt≥0 stets kontraktiv , d. h. esist M = 1 und ω0 = 0.

(1) Subordination mit fα(x) = xα, (0 < α < 1).

121

Es gilt

fα(x)

x= xα−1 =

∫

(0,∞)

1

λ+ x

sin(απ)

πλα−1 dλ (x > 0),

und somit

Afαu =sin(απ)

π

∫

(0,∞)

λα−1AR(λ,A)u dλ (u ∈ D(A)).(5.14)

Die Integraldarstellung (5.14) stimmt mit (5.1) uberein, woraus wir

Afα|D(A) = −(−A)α|D(A) = −fα(−A)|D(A)

folgern.

(2) Subordination mit fa,b(x) = log(baa+xb+x

), (0 < a <∞), 0 < b ≤ ∞.

Es giltfa,b(x)

x=

∫

(0,∞)

1

λ+ x

1

λ1(a,b)(λ) dλ (x > 0),

und somit

Afa,bu =

∫

(a,b)

1

λAR(λ,A)u dλ (u ∈ D(A)).

Insbesondere finden wir fur a = 1 und b =∞, daß f1,∞(x) = log(1 + x) und

Af1,∞u =

∫

(1,∞)

1

λAR(λ,A)u dλ (u ∈ D(A)).(5.15)

gelten. Formel (5.15) besagt gerade, daß

Af1,∞|D(A) = − log(1− A)|D(A) = −f1,∞(−A)|D(A)

gilt—zur Definition des Logarithmus von Operatoren auf Banach–Raumen verwei-sen wir auf Nollau [61] p. 163, Satz 1.

Fur 0 ≤ γ < 1 finden wir auf D(A)

(A+ γ)f1,∞u =

∫

(1,∞)

1

λ(A+ γ)R(λ,A+ γ)u dλ(5.16)

=

∫

(1−γ,∞)

1

λ+ γ(A+ γ)R(λ,A)u dλ

= − log((1− γ)− A),

und durch den Grenzubergang γ → 1 erhielten wir formal die Integraldarstellungfur den Logarithmus des Operators (−A)—vgl. Nollau [61] p. 163, Formel (2.4).

Da jedoch fur γ → 1 auch ω0 → 1 strebt, ist die fur Subordination hinreichen-de Integrabilitatsbedingung aus Bemerkung 1.12 verletzt; wir benotigen daher ein

122

gesondertes Approximationsargument, das wir hier nur skizzieren wollen: Zunachstzeigt man mit Hilfe von (1.4) und (1.8), daß

‖AαR(λ,A)‖ ≤ 2sin(πα)

πα

λα−1

1− α (λ > 0)

fur alle α ∈ (0, 1) gilt, vgl. Nollau [60] p. 109, Lemma 2. Fur u ∈ D(Aβ) ∩Aα(D(Aα)) mit α, β ∈ (0, 1] und β > α kann man dann fur γ → 1 die absoluteKonvergenz des (Riemannschen) Integrals auf der rechten Seite von (5.16) zeigen.

(3) Subordination mit fa(x) = 1a− 1

a+x, a > 0.

Es giltfa(x)

x=

∫

(0,∞)

1

λ+ x

1

λεa(dλ),

und daher

Afau =

∫

(0,∞)

1

λAR(λ,A)u εa(dλ)(5.17)

=1

aAR(a,A)u

=(R(a,A)− 1

a

)u

= −fa(−A)u

zunachst fur u ∈ D(A), und, wegen der Beschranktheit des Operators AR(a,A), furalle u ∈ X .

(4) Wie oben sei f ∈ CBF0 der charakteristische Exponent eines Subordinators.Ist A der Erzeuger einer translationsinvarianten Markovschen Kontraktionshalb-gruppe in L2(Rd) mit charakteristischem Exponenten a ∈ CN , so konnen wir A alsPseudodifferentialoperator mit Symbol −a(ξ) auffassen, vgl. (1.19),

Au(x) = −a(D)u(x) = −(2π)−d∫

Rda(ξ)u(ξ)ei(ξ,x) dξ (u ∈ C∞c (Rd)).

Der Operator AR(λ,A) ist ebenfalls ein Pseudodifferentialoperator, dessen Symboldurch −a(ξ)(λ+ a(ξ))−1 gegeben ist. Somit erhalten wir fur u ∈ C∞c (Rd)

−Afu(x) = b(2π)−d∫

Rda(ξ)u(ξ)ei(ξ,x) dξ +

+ (2π)−d∫

(0,∞)

∫

Rd

1

λ

a(ξ)

λ+ a(ξ)u(ξ)ei(ξ,x) dξ ρ(dλ)

= b(2π)−d∫

Rda(ξ)u(ξ)ei(ξ,x) dξ +

+ (2π)−d∫

(0,∞)

∫

Rd

(1

λ− 1

λ+ a(ξ)

)u(ξ)ei(ξ,x) dξ ρ(dλ)

123

= b(2π)−d∫

Rda(ξ)u(ξ)ei(ξ,x) dξ +

+(2π)−d∫

(0,∞)

∫

Rd

∫

(0,∞)

e−tλ(1− e−ta(ξ)) dt u(ξ)ei(ξ,x) dξ ρ(dλ)

Vertauschen wir nun die Reihenfolge der Integrationen—daß die iterierten Integraleabsolut konvergieren zeigen wir im Anschluß an diese Rechnung—so finden wir

−Afu(x) =(5.18)

= b(2π)−d∫

Rda(ξ)u(ξ)ei(ξ,x) dξ +

+ (2π)−d∫

Rd

∫

(0,∞)

(1− e−ta(ξ))

(∫

(0,∞)

e−tλρ(dλ)

)dt u(ξ)ei(ξ,x) dξ

= (2π)−d∫

Rd

(ba(ξ) +

∫

(0,∞)

(1− e−ta(ξ))m(t) dt

)u(ξ)ei(ξ,x) dξ

= (2π)−d∫

Rdf(a(ξ))u(ξ)ei(ξ,x) dξ,

das besagt, daß Af ein Pseudodifferentialoperator mit Symbol −f a(ξ) ist.Es bleibt, die absolute Konvergenz des Dreifachintegrals zu zeigen. Fur u ∈

C∞c (Rd) gilt∫

(0,∞)

∫

Rd

∫

(0,∞)

|e−tλ(1− e−ta(ξ))u(ξ)ei(ξ,x)| dt dξ ρ(dλ) =

=

∫

Rd

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

e−tλ|(1− e−ta(ξ))||u(ξ)| dt ρ(dλ) dξ

≤ 2

∫

Rd

∫

(0,1]

∫

(0,∞)

e−tλ dt ρ(dλ)|u(ξ)| dξ +

+

∫

Rd

∫

(1,∞)

∫

(0,∞)

te−tλ dt ρ(dλ)|a(ξ)||u(ξ)| dξ

= 2

∫

(0,1]

1

λρ(dλ)

∫

Rd|u(ξ)| dξ +

∫

(1,∞)

1

λ2ρ(dλ)

∫

Rd|a(ξ)||u(ξ)| dξ.

Die Behauptung folgt nun einerseits aus den Integrationseigenschaften (5.9) desMaßes ρ und andererseits aus der Tatsache, daß fur u ∈ C∞c (Rd) die Fourier–Transformierte u im Schwartz–Raum der schnell fallenden Funktionen ist, und aals stetige, negativ definite Funktion hochstens quadratisch wachst.

Der durch die Integralformel (5.10) erklarte Operator ist abschließbar in D(A),wie folgende Uberlegung zeigt:

‖R(ω0 + 1, A)

(bAu+

∫

(ω0,∞)

1

λAR(λ,A) ρ(dλ)

)u‖ =

= ‖bAR(ω0 + 1, A)u+

∫

(ω0,∞)

1

λAR(ω0 + 1, A)R(λ,A)u ρ(dλ)‖

124

≤ b‖AR(ω0 + 1, A)u‖+

∫

(ω0,ω0+1]

1

λ‖AR(ω0 + 1, A)R(λ,A)u‖ ρ(dλ) +

+

∫

(ω0+1,∞)

1

λ‖R(λ,A)AR(ω0 + 1, A)u‖ ρ(dλ)

≤ b(M(ω0 + 1) + 1)‖u‖+

∫

(ω0,ω0+1]

1

λ

( Mλ

λ− ω0

+ 1)ρ(dλ)‖R(ω0 + 1, A)u‖+

+

∫

(ω0+1,∞)

1

λ

M

λ− ω0

‖AR(ω0 + 1, A)u‖ ρ(dλ)

≤(bM(ω0 + 2) +M2

∫

(ω0,ω0+1]

( 1

λ− ω0

+1

λ

)ρ(dλ) +

+M2(ω0 + 1)

∫

(ω0+1,∞)

1

λ(λ− ω0)ρ(dλ)

)‖u‖.

Es sei unn∈N ⊂ X eine in X gegen 0 ∈ X konvergente Folge, so daß der Grenzwert

limn→∞

(bAu+

∫

(ω0,∞)

1

λAR(λ,A) ρ(dλ)

)un = v

im Sinne der Normtopologie auf X existiert. Dann finden wir mit der oben durch-gefuhrten Rechnung

R(ω0 + 1, A)v = 0,

und wegen der Injektivitat der Resolvente auch v = 0. Das zeigt die behaupteteAbschließbarkeit.

Da daruber hinaus D(A) ein definierender Bereich dieses Operators ist, vgl.Lemma 1.17, gilt—wie wir in Beispiel 5.12 (1)–(3) sahen—nicht nur Af |D(A) =

−f(−A)|D(A), sondern auch Af = −f(−A), wobei −f(−A) fur die Abschließungdes Operators −f(−A) uber D(A) steht.

Tatsachlich gilt dieses Resultat nicht nur fur die in Beispiel 5.12 abgehandeltenFalle; fur eine allgemeinere Behandlung benotigen wir eine Darstellung der Resol-vente von Af .

5.13 Satz. Es seien Ttt≥0 eine C0–Halbgruppe von Operatoren auf X mit Er-zeuger A und µtt≥0 ein zulassiger Subordinator mit charakteristischem Exponentenf ∈ CBF0.

Dann gilt fur die Resolvente des subordinierten Erzeugers Af und alle u ∈ X

R(λ,Af )u =1

2πi

∫

Γ

1

f(−z) + λR(z, A)u dz +

1

f(∞) + λu (λ > −f(−ω0)).(5.19)

Dabei ist ∞ der unendlich ferne Punkt der Einpunkt-Kompaktifizierung von C, Γeine Integrationskontur, die σ(A) umschließt mit Γ\ω0 ⊂ ρ(A). Dementsprechendist das Integral fur z = ω0 als Grenzwert im Sinne der Normkonvergenz zu verstehen.

125

Beweis. Um das Integral auf der rechten Seite von (5.19) zu berechnen, gehenwir mit Hilfe des Homoomorphismus

Φα(ζ) =1

ζ − α, Φα(α) =∞, Φα(∞) = 0,

α ∈ ρ(A) fest, vgl. Dunford, Schwartz [21] pp. 600–602, zum Spektralkalkul furbeschrankte Operatoren uber ([21] pp. 566–577).

Sei ε > 0 fest vorgegeben. Dann umschließt Γ die Menge σ(A − ε) und es giltΓ ⊂ ρ(A− ε). Beachten wir, daß fur alle u ∈ X und ζ ∈ Γ, x = Φα(ζ)

−ζ−2(Φ−1α (ζ) + ε− A)−1u = −x−2(x−1 + α + ε− A)−1u

= −(x+ (α + ε− A)x2)−1u

= (x+ (α + ε− A)−1)−1u− x−1u

gilt, so finden wir mit dem Dunford–Kalkul, vgl. Dunford, Schwartz [21] p.601, Theorem 4,—man beachte, daß der Integrand z 7→ (f(−z) + λ)−1 in einerUmgebung von σ(A− ε) und auf Γ holomorph ist—

R(λ,−f(ε− A))u =

=1

2πi

∫

Γ

1

f(−z) + λ(z + ε− A)−1u dz +

1

f(∞) + λu

=1

2πi

∫

Φ−1α (Γ)

1

f(−ζ−1 − α) + λ(ζ + (α + ε− A)−1)−1u dζ

− 1

2πi

∫

Φ−1α (Γ)

1

f(−ζ−1 − α) + λζ−1u dζ +

1

f(∞) + λu

=1

2πi

∫

Φ−1α (Γ)

1

f(−ζ−1 − α) + λ(ζ + (α + ε− A)−1)−1u dζ.

Bei dieser Rechnung verwendeten wir die Cauchysche Integralformel, vgl. Dun-ford, Schwartz [21] p. 568, Definition 9. Da f der charakteristische Exponentder Halbgruppe µtt≥0 ist, finden wir

R(λ,−f(ε− A))u =

=1

2πi

∫

Φ−1α (Γ)

∫

(0,∞)

e−t(f(−ζ−1−α)+λ)(ζ + (α + ε− A)−1)−1u dt dζ

=1

2πi

∫

Φ−1α (Γ)

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

e−tλes(ζ−1+α)(ζ + (α + ε− A)−1)−1uµt(ds) dt dζ.

Um hier die Reihenfolge der Integrationen vertauschen zu konnen, beachten wir, daßRe (ζ−1 + α) ≤ 0 fur ζ ∈ Φ−1

α (Γ) ist, und daß wegen

(ζ + (α + ε− A)−1)−1u = ζ−1(1− ζ−1(α + ε+ ζ−1 − A)−1)u

126

und der Resolventenabschatzung fur den Operator A der Term (ζ+(α+ε−A)−1)−1uhochstens polynomial in ζ wachst. Daher gilt

R(λ,−f(ε− A))u =

=1

2πi

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

∫

Φ−1α (Γ)

es(ζ−1+α)(ζ + (α + ε− A)−1)−1u dζ e−tλµt(ds) dt

=

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

e−tλe−sεTsuµt(ds) dt

unter Verwendung des Dunford–Kalkuls.Durfen wir unter dem Integralzeichen zum Limes ε→ 0 ubergehen, so ist wegen

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

e−tλTsuµt(ds) dt =

∫

(0,∞)

e−tλT ft u dt = R(λ,Af )u

der Beweis erbracht.Da aber

‖e−tλe−εsTs‖ ≤ e−tλ‖Ts‖eine µt(ds) dt–integrierbare Majorante besitzt, konnen wir den Satz von der majo-risierten Konvergenz verwenden. ////

5.14 Bemerkung. (1) Satz 5.13 besagt insbesondere, daß im Sinne desDunford–Kalkuls

R(λ, (A− ε)f ) = R(λ,−f(ε− A)) (ε > 0, λ > −f(−ω0)),

und somit(A− ε)f = −f(ε− A) (ε > 0)

gilt.Beide Seiten dieser Identitat konvergieren fur ε→ 0 im Sinne der starken Resol-

ventenkonvergenz, d. h. in Erweiterung des Dunford–Kalkuls gilt

Af = −f(−A),

wobei f(−A) := limε→0 f(ε− A) gesetzt wurde.

(2) Tatsachlich gilt die Aussage von (1) fur u ∈ D(A2) sogar im Sinne derNormkonvergenz in X , wenn der Subordinator µtt≥0 nicht nur zulassig ist, sondernsogar eine Funktion s 7→ esω0 fur ein ω0 > ω0 integriert (das ist im Falle vonKontraktionshalbgruppen stets erfullt, da hier ω0 = 0 gewahlt werden kann) undaußerdem fur ein φ ∈ (0, π)

∫(1,∞)

|f(ω0 + reiφ)|r−2 dr <∞ ist: fur δ, ε > 0 erhalten

wir aus den Abschatzungen (1.4) und (1.8)

‖Afu− (A− ε)fu‖ =

= ‖∫

(ω0,∞)

1

λ

(AR(λ,A)− (A− ε)R(λ+ ε, A)

)u ρ(dλ)‖

127

≤∫

(ω0,ω0+δ]

[( M

λ− ω0

+1

λ

)+( M(λ+ ε)

λ(λ+ ε− ω0)+

1

λ

)]ρ(dλ)‖u‖+

+

∫

(ω0+δ,∞)

1

λ‖λεR(λ,A)R(λ+ ε, A)u‖ ρ(dλ)

≤ 2

∫

(ω0,ω0+δ]

M + 1

λ− ω0

ρ(dλ)‖u‖+ ε

∫

(ω0+δ,∞)

M2

(λ− ω0)2ρ(dλ)‖u‖

Gehen wir zuerst zum Limes ε → 0 und dann zum Grenzwert δ → 0 uber, so folgtauf Grund der Integrationseigenschaften (5.9) des Maßes ρ die Behauptung fur dieFamilie (ε− A)fε>0

Im folgenden bezeichne Ac := A − c. Nach dem Dunford–Kalkul (vgl. [21], p.601, Proof of Theorem 4) gilt fur beliebig gewahlte δ, ε, γ > 0 mit dem in negativerRichtung zu durchlaufenden Integrationsweg Γφ = z ∈ C : z = ω0 + re±iφ, r ≥ 0

2π‖(f(γ − Aε)− f(γ − Aδ))(Aδ − ω0)(Aε − ω0)u‖ =

=

∥∥∥∥∫

Γ

f(γ − z)((z − Aε)−1 − (z − Aδ)−1

)(Aδ − ω0)(Aε − ω0)u dz

∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∫

(0,∞)

f(γ − ω0 − reiφ)(δ − ε)×

× (ω0 + reiφ − Aε)−1(ω0 + reiφ − Aδ)−1(Aδ − ω0)(Aε − ω0)u eiφ dr

−∫

(0,∞)

f(γ − ω0 − re−iφ)(δ − ε)×

× (ω0 + re−iφ − Aε)−1(ω0 + re−iφ − Aδ)−1(Aδ − ω0)(Aε − ω0)u e−iφ dr

∥∥∥∥

≤ |δ − ε|∫

(0,1]

|f(γ − ω0 − reiφ)| ×

×∥∥(ω0 + reiφ − Aε)−1(Aε − ω0)(ω0 + reiφ − Aδ)−1(Aδ − ω0)u

∥∥ dr +

+

∫

(0,1]

|f(γ − ω0 − re−iφ)| ×

×∥∥(ω0 + re−iφ − Aε)−1(Aε − ω0)(ω0 + re−iφ − Aδ)−1(A− δ − ω0)u

∥∥ dr +

+

∫

(1,∞)

|f(γ − ω0 − reiφ)| ×

×∥∥(ω0 + reiφ − Aε)−1(ω0 + reiφ − Aδ)−1(Aδ − ω0)(Aε − ω0)u−

+ (ω0 + re−iφ − Aε)−1(ω0 + re−iφ − Aδ)−1(Aδ − ω0)(Aε − ω0)u∥∥ dr

.

Da die Operatoren A−ω0− ε = Aε−ω0 bzw. A−ω0− δ = Aδ−ω0 gleichmaßig be-schrankte C0–Halbgruppen erzeugen, finden wir mit Hilfe der Resolventenabschatz-ung

‖(f(γ + ε− A)− f(γ + δ − A))(A− δ − ω0)(A− ε− ω0)u‖ ≤

128

≤ (M + 1)2

π cosφ|δ − ε|

∫

(0,1]

|f(γ − ω0 − reiφ)| dr‖u‖+

+M2

π|δ − ε|

∫

(1,∞)

|f(γ − ω0 − reiφ)| 1

r cosφ+ ε

1

r cosφ+ δdr ×

× ‖(A− δ − ω0)(A− ε− ω0)u‖.Nach Voraussetzung konvergieren die (reellwertigen) Integrale, und die Behauptungfolgt aus den Grenzubergangen ε+ δ → 0 und anschließend γ → 0.

(3) Mit einer ahnlichen Uberlegung wie in (2) finden wir, daß fur eine Folgekommutierender infinitesimaler Erzeuger Ann∈N mit limn,m→∞ ‖Anu− Amu‖ = 0auch limn,m→∞ ‖f(−An)u− f(−Am)u‖ = 0 folgt.

Wenden wir diesen Schluß auf die Familie von Operatoren (A − ε)g, g ∈ CBF0,ε > 0, an, so finden wir fur ein weiteres f ∈ CBF0 zunachst mit dem Dunford–Kalkul ([21], p. 602, Theorem 5(d))

−f g(ε− A) = −f(−(A− ε)g) (ε > 0),

und daraus fur ε→ 0 die fur uns wichtige Identitat

Afg = −f g(−A) = −f(−Ag) = (Ag)f .(5.20)

(4) Die IdentitatAfg = (Ag)f(5.21)

folgt unabhangig von den in (2), (3) angestellten Uberlegungen bereits aus derTatsache, daß Subordination eine transitive Operation ist, vgl. Bochner [13] p. 98,Theorem 4.4.3. Daher gilt

T fgt = (T gt )f (t ≥ 0),

woraus unmittelbar (5.21) folgt.

5.15 Beispiel. Es sei A der Erzeuger einer C0–Kontraktionshalbgruppe; mitf(z) = zα mit α ∈ (0, 1), z ∈ C−, bezeichnen wir den Hauptwert der gebrochenenα-ten Potenz. Die Funktion z 7→ (f(−z) + λ)−1 ist fur alle λ > 0 holomorph inC \ [0,∞). Als Integrationsweg wahlen wir Γφ = z ∈ C : z = re±iφ, r > 0 miteinem festen Winkel 0 ≤ φ ≤ π.

Aus (5.19) ergibt sich bei negativer Durchlaufrichtung des Integrationswegs

(λ+ (−A)α)−1 =1

2πi

∫

Γφ

1

(−z)α + λ(z − A)−1 dz

=−e−iφ

2πi

∫

(0,∞)

1

rα(−e−iφ)α + λ(re−iφ − A)−1 dr +

+eiφ

2πi

∫

(0,∞)

1

rα(−eiφ)α + λ(reiφ − A)−1 dr.

129

Auf Grund der Analytizitat des Integranden ist der Wert des Integrals nicht von derWahl des Winkels φ abhangig. Insbesondere finden wir daher fur φ = 0

(λ+ (−A)α)−1 =1

2πi

∫

(0,∞)

1

λ− rαe−iπα(r − A)−1 dr +

+1

2πi

∫

(0,∞)

1

λ− rαeiπα(r − A)−1 dr

=1

2πi

∫

(0,∞)

2irα sin(απ)

λ2 − 2λrα cos(απ) + r2α(r − A)−1 dr

=sin(πα)

π

∫

(0,∞)

rα

λ2 − 2λrα cos(απ) + r2α(r − A)−1 dr.

Wir haben somit Katos Darstellung der Resolvente einer gebrochenen Potenz(−A)α gefunden, vgl. Yosida [79] p. 260, Formula (6).

5.3 Zum Definitionsbereich des Erzeugers einer

subordinierten Halbgruppe

In Kapitel 1, Lemma 1.17 haben wir bereits gesehen, daß D(A) ⊂ D(Af ) ein defi-nierender Bereich (core) des Operators Af ist. In einigen Fallen gilt sogar D(Af ) =D(A).

5.16 Lemma. Es seien Ttt≥0 eine C0–Halbgruppe von Operatoren auf X mitErzeuger A und µtt≥0 ein Subordinator, der fur ein ω0 > ω0 die Funktion s 7→ esω0

integriert.Gilt fur den charakteristischen Exponenten f des Subordinators limx→∞

f(x)x> 0,

d. h. ist das Levy–Tripel der Funktion f von der Form (0, b, µ) mit b > 0, dann giltD(Af ) = D(A).

5.17 Bemerkung. (1) Die Aussage von Lemma 5.16 gilt auch fur Bernstein–Funktionen f ∈ BF mit Levy–Tripel (a, b, µ), a, b > 0. Dazu verweisen wir auf dieVorbemerkung zum vorausgehenden Abschnitt 5.2.

(2) Die Aussage, daß fur b > 0 bereits D(Af ) = D(A) gilt, wird von Berg,Boyadzhiev, deLaubenfels [7] p. 250, Theorem 2.2 Phillips zugeschrieben. Inder dort zitierten Arbeit [62] findet sich jedoch kein Beweis.

Beweis von Lemma 5.16. Es bezeichne B die Abschließung des durch

(B|D(A))u :=

∫

(0,∞)

(Ttu− u)µ(dt) (u ∈ D(A))

auf D(A) erklarten Operators. Offensichtlich ist B wiederum der Erzeuger einerTtt≥0 subordinierten Halbgruppe, die Bernstein–Funktion des zugehorigen Sub-ordinators ist durch das Levy–Tripel (0, 0, µ) gegeben.

130

Zunachst zeigen wir, daß der Operator B A–beschrankt ist, d. h. daß

‖Bu‖ ≤ c‖Au‖+ c‖u‖ (u ∈ D(A))(5.22)

mit geeigneten Konstanten c, c > 0 gilt. Insbesondere folgt aus (5.22) die InklusionD(A) ⊂ D(B). Fur u ∈ D(A) gilt

‖Bu‖ = ‖∫

(0,∞)

(Ttu− u)µ(dt)‖

≤∫

(0,1]

‖Ttu− u‖µ(dt) +

∫

(1,∞)

(‖Ttu‖+ ‖u‖)µ(dt)

≤∫

(0,1]

∫

(0,t)

‖TsAu‖ ds µ(dt) +

∫

(1,∞)

(‖Ttu‖+ ‖u‖)µ(dt)

≤∫

(0,1]

∫

(0,t)

‖Ts‖ ds µ(dt)‖Au‖+

∫

(1,∞)

‖Tt‖µ(dt)‖u‖+

∫

(1,∞)

µ(dt)‖u‖

≤ sup0≤s≤1

‖Ts‖∫

(0,1]

t µ(dt)‖Au‖+

∫

(1,∞)

‖Tt‖µ(dt)‖u‖+

∫

(1,∞)

µ(dt)‖u‖

= c‖Au‖+ c‖u‖.Die Konstanten c, c > 0 sind endlich, da

∫(0,1]

t µ(dt) +∫

(0,∞)µ(dt) < ∞ und der

Subordinator zulassig ist (vgl. Definition 1.14).Mit Hilfe von

‖T ft u‖ = ‖∫

[0,∞)

Tsuµt(ds)‖

≤∫

[0,∞)

‖Ts‖µt(ds)‖u‖

≤∫

[0,∞)

Mesω0 µt(ds)‖u‖

= Me−tf(−ω0)‖u‖erhalten wir fur alle λ > −f(−ω0), vgl. Davies [18] pp. 38–39, Beweis von Theorem2.8,

‖R(λ,Af )u‖ = ‖∫

(0,∞)

e−tλT ft u dt‖

≤ M

∫

(0,∞)

e−tλe−tf(−ω0) dt‖u‖

=M

λ+ f(−ω0)‖u‖.

Wir finden damit fur alle λ > −f(−ω0)

‖λu− Afu‖ ≥ 1

M(λ+ f(−ω0))‖u‖ (u ∈ D(A)).(5.23)

131

Wir fixieren λ > −f(−ω0) ≥ b ω0. Aus (5.22) und (5.23) folgt dann

‖B(λ− bA)−1u‖ ≤ c‖bA(λ− bA)−1u‖+ c‖(λ− bA)−1u‖≤ c‖λ(λ− bA)−1u− u‖+

Mc

λ− b ω0

‖u‖

≤( Mcλ

λ− b ω0

+ c+Mc

λ− b ω0

)‖u‖,

m. a. W. die Beschranktheit des Operators B(λ − bA)−1. Da der Wertebereich vonλ− bA fur λ > −f(−ω0) den gesamten Raum X ausmacht, folgt aus

λ− Af = λ− (bA+B) = (1−B(λ− bA)−1)(λ− bA) (λ > −f(−ω0))

die Surjektivitat von (λ− Af , D(A)).Es bleibt, die Abgeschlossenheit von (Af , D(A)) zu zeigen. Dazu wahlen wir eine

Folge unn∈N ⊂ D(A) mit limn→∞ un = u, so daß limn→∞Afun = v.Fur alle λ > −f(−ω0) gilt somit limn→∞(λ − Af )un = λu − v, und wegen der

Surjektivitat von λ − Af existiert ein u ∈ D(A), so daß (λ − Af )u = λu − v, alsolimn→∞Afun = Af u. Mit (5.23) sehen wir

0 = limn→∞

‖(λ− Af )un − (λ− Af )u‖ ≥M−1(λ+ f(−ω0)) limn→∞

‖un − u‖,

mithin u = u, woraus die Behauptung folgt. ////

Fur den Rest dieses Kapitels beschranken wir uns auf Halbgruppen Ttt≥0 vonOperatoren auf einem Hilbert–Raum (H, (·, ·)).

5.18 Definition. Es sei A : D(A) → H ein dicht definierter Operator. Wirnennen A positiv und schreiben A ≥ 0, wenn die von A erzeugte quadratische Formnur positive Werte annimmt, d. h. wenn (u,Au) ≥ 0 fur alle u ∈ D(A) gilt. Fur−A ≥ 0 schreiben wir auch A ≤ 0.

Ist B ein weiterer, auf H dicht definierter, symmetrischer Operator mit D(B) ⊂D(A), dann schreiben wir B ≥ A, falls B − A ≥ 0 gilt.

A heißt halbbeschrankt nach unten (nach oben), wenn fur ein c ∈ R A ≥ c(A ≤ c) gilt.

5.19 Lemma. Es seien Ttt≥0 eine C0–Halbgruppe von Operatoren auf H mitErzeuger A, µtt≥0 ein zulassiger Subordinator mit charakteristischem Exponentenf ∈ CBF0 und B : D(B) → H ein dicht definierter abgeschlossener Operator mitD(B) ⊂ D(A) und ρ(A) ∩ ρ(B) 6= ∅.(1) Ist A selbstadjungiert, so auch Af .

(2) Es gilt −B ≥ −A ≥ 0 genau dann, wenn fur λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) ∩ (0,∞)0 ≤ R(λ,B) ≤ R(λ,A) oder BR(λ,B) ≤ AR(λ,A) ≤ 0 ist.

(3) Ist A selbstadjungiert, so gilt A ≤ ω0, Tt ≤ etω0, (t ≥ 0) und Af ≤ −f(−ω0).Insbesondere gilt dann σ(A) ⊂ (−∞, ω0] und σ(Af ) ⊂ (−∞,−f(−ω0)] =−f(−(−∞, ω0]).

132

Beweis. Zu (1): Mit A sind auch die Operatoren (λ − A)−1 und (λ − A)−n,λ > ω0, n ∈ N, selbstadjungiert. Da im Sinne der Normkonvergenz

limn→∞

(1− t

nA)−n

u = Ttu (u ∈ H)

gilt, vgl. Davies [18] p. 39, Formula (2.7), erhalten wir

(Ttu, u) = limn→∞

((1− t

nA)−n

u, u)≥ 0 (u ∈ H, t ≥ 0).

Auf Grund der Beschranktheit der Operatoren Tt folgt daraus bereits Tt = T ∗t .Mit derselben Argumentation finden wir wegen

(T ft u, u) =

∫

[0,∞)

(Tsu, u)µt(ds) ≥ 0 (u ∈ H, t ≥ 0)

auch T ft = (T ft )∗ = (T ∗t )f .Mit Hilfe der Integraldarstellung der Resolvente von Af folgern wir

((λ− Af )−1u, u

)=

∫

(0,∞)

e−tλ(T ft u, u) dt ≥ 0 (u ∈ H, λ ∈ ρ(Af )),

woraus wir zunachst (λ− Af )−1 = ((λ− Af )−1)∗ und dann Af = (Af )∗ schließen.

Zu (2): Da A(λ − A)−1 = λ(λ − A)−1 − 1 bzw. B(λ − B)−1 = λ(λ − B)−1 − 1fur λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) gilt, genugt es, die Aquivalenz der Aussagen

−B ≥ −A ≥ 0 und (λ− A)−1 ≥ (λ−B)−1 ≥ 0, (λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) ∩ (0,∞))

nachzuweisen.Wir beginnen mit −B ≥ −A ≥ 0. In diesem Fall ist ρ(A) ⊃ (0,∞), und wir

finden fur λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) ∩ (0,∞) und mit u = (λ− A)v ∈ (λ− A)(D(A)) = H((λ−B)−1u, u

)2=

((λ−B)−1u, (λ− A)v

)2

=((λ− A)1/2(λ−B)−1u, (λ− A)1/2v

)2

≤ ((λ−B)−1u, (λ− A)(λ−B)−1u

) (v, (λ− A)v

)

≤ ((λ−B)−1u, (λ−B)(λ−B)−1u

) ((λ− A)−1u, u

)

=((λ−B)−1u, u

) ((λ− A)−1u, u

),

woraus (λ− A)−1 ≥ (λ−B)−1 ≥ 0 folgt.

Umgekehrt finden wir fur die Yosida–Approximationen von A und B, vgl.Ethier, Kurz [23] p. 12, Lemma 2.4, mittels der Resolventen–Abschatzung

((λ− A)−1u, u

) ≤ ‖(λ− A)−1u‖‖u‖ ≤ λ−1‖u‖2

133

fur hinreichend große λ > 0

0 ≤ λ(−A)(λ− A)−1 = λ− λ2(λ− A)−1 ≤ λ− λ2(λ−B)−1 = λ(−A)(λ− A)−1

und daher auch

0 ≤ (−Au, u) = limλ→∞

(λ(−A)(λ−A)−1u, u

) ≤ limλ→∞

(λ(−B)(λ−B)−1u, u

)= (−Bu, u).

Zu (3): Mit Eλλ∈σ(A) bezeichnen wir die zum Operator A gehorende Spek-tralschar. Da σ(A) ⊂ z ∈ C : Re z ≤ ω0 gilt, finden wir fur u ∈ D(A)

(Au, u) =

∫

(−∞,ω0]

λ d(Eλu, u) ≤ ω0

∫

(−∞,ω0]

d(Eλu, u) = ω0‖u‖2.

Mit einer analogen Rechnung zeigt man

(Ttu, u) =

∫

(−∞,ω0]

eλtd(Eλu, u) ≤ etω0

∫

(−∞,ω0]

d(Eλu, u) = etω0‖u‖2.

Aus der Darstellungsformel (5.10) fur Af folgt wegen (2)

(−Afu, u) = b(−Au, u) +

∫

(ω0,∞)

1

λ

(− A(λ− A)−1u, u)ρ(dλ)

≥ −bω0‖u‖2 −∫

(ω0,∞)

1

λ

ω0

λ− ω0

ρ(dλ)‖u‖2

= −(ω0‖u‖2 +

∫

(ω0,∞)

1

λ

ω0

λ− ω0

ρ(dλ)

)‖u‖2

= −f(−ω0)‖u‖2.

Im letzten Schritt verwendeten wir Satz 1.13 und die Darstellung von f aus undSatz 5.6 (vi), (5.8). ////

Der folgende Satz findet sich bei Heinz [36]. Wir geben jedoch einen etwasanderen Beweis.

5.20 Satz. ([36] p. 425, Satz 2) Es seien Ttt≥0, Stt≥0 zwei C0–Halbgruppenvon Operatoren aufH mit selbstadjungierten Erzeugern A,B, D(B) ⊂ D(A), µtt≥0

ein zulassiger Subordinator mit charakteristischem Exponenten f ∈ CBF0 und ωA0 :=limt→∞ t−1 log ‖Tt‖.

Dann impliziert

B ≤ A ≤ ωA0 die Relation Bf ≤ Af ≤ −f(−ωA0 ).

Beweis. Wegen −B ≥ −A ≥ −ωA0 folgt aus Lemma 5.19 (2), (3) auch

B(λ−B)−1 ≤ A(λ− A)−1 ≤ ωA0λ− ωA0

(λ > ωA0 ).

134

Aus den Integraldarstellungen von Af bzw. Bf finden wir daher fur u ∈ D(B)—manbeachte daß gemaß Lemma 5.19(2), (3) ωB0 ≤ ωA0 und gemaß Satz 5.10 ρ|(0,ωA0 ] = 0gilt—

(Bfu, u) = b(Bu, u) +

∫

(ωA0 ,∞)

1

λ

(B(λ−B)−1u, u

)ρ(dλ)

≤ b(Au, u) +

∫

(ωA0 ,∞)

1

λ

(A(λ− A)−1u, u

)ρ(dλ)

= (Afu, u)

≤ −f(−ωA0 )‖u‖2.

Da D(B) ein definierender Bereich des Operators Bf ist, sieht man mit den ublichenDichtheitsargumenten, daß die fur u ∈ D(B) hergeleitete Beziehung auch auf D(Bf )(und sogar fur u ∈ D((Bf )1/2)) gilt. ////

Es seien A und B wie in Satz 5.20. Die Operatoren A2 und B2 sind selbstad-jungiert und positiv. Mit Hilfe des Spektralkalkuls finden wir, daß −A2 und −B2

C0–Halbgruppen e−tA2t≥0 und e−tB2t≥0 erzeugen. Fur u ∈ H finden wir

∥∥e−tA2

u∥∥2

=

∫

(−∞,ωA0 ]

e−2λ2t d‖Eλu‖2 ≤ e−2t(ωA0 )2‖u‖2,

und somit ‖e−tA2‖ ≤ e−t(ωA0 )2

.

5.21 Satz. Es seien Ttt≥0 und Stt≥0 zwei C0 Halbgruppen von Operatorenauf H, deren Erzeuger A und B, D(B) ⊂ D(A), selbstadjungiert sind. Ferner seiµtt≥0 ein Subordinator mit charakteristischem Exponenten f ∈ CBF0. Dann folgtaus

−B2 ≤ −A2 ≤ −(ωA0 )2 die Relation − (Bf )2 ≤ −(Af )2 ≤ −f 2(ωA0 ).

Insbesondere finden wir D(Bf ) ⊂ D(Af )

Beweis. Beispiel 5.9 (2) besagt, daß mit f ∈ CBF0 auch die Funktion g(x) :=f 2(√x) in CBF0 enthalten ist. Aus Satz 5.20 folgt daher, daß

(−B2)g ≤ (−A2)g ≤ −g((ωA0 )2) = −f 2(ωA0 )

gilt. Gemaß Bemerkung 5.14 (3) oder (4) durfen wir diese Beziehung auch in derForm

−f 2(√B2) ≤ −f 2(

√A2) ≤ −f 2(ωA0 )

bzw. als−(f(−B))2 ≤ −(f(−A))2 ≤ −f 2(ωA0 )

oder−(Bf )2 ≤ −(Af )2 ≤ −f 2(ωA0 )

135

schreiben. Diese Relationen gelten zunachst fur u ∈ D(B2). Da aber D(B2) fur denOperator Bf ein definierender Bereich ist, folgt die Behauptung aus

‖Afu‖ ≤ ‖Bfu‖ (u ∈ D(B2))

mit dem ublichen Dichtheitsschluß. ////

5.22 Korollar. Es sei (A,D(A)) der selbstadjungierte Erzeuger einer C0–Halb-gruppe Ttt≥0 von Operatoren auf H und µtt≥0 ein zulassiger Subordinator mitcharakteristischem Exponenten f ∈ CBF0.

Dann gilt fur alle c > 0 D(Af ) = D((cA)f ) = D(Af(c·)).

Beweis. Ohne Einschrankung durfen wir c ≥ 1 annehmen, anderenfalls betrach-ten wir den selbstadjungierten Operator 1

cA.

Wegen ‖Au‖ ≤ c‖Au‖ = ‖cAu‖ gilt −(cA)2 ≤ −A2 ≤ 0. Satz 5.21 besagt, daßdann D((cA)f ) ⊂ D(Af ) folgt.

Um die noch fehlende Inklusion zu sehen, beachte man, daß fur g ∈ CBF0 mitLevy–Tripel (0, b, µ) und c > 1 die Funktion

g(cx) = bcx+

∫

(0,∞)

(1− e−tcx)µ(dt)

= bcx+

∫

(0,∞)

∫

(0,∞)

(1− e−λx) εtc(dλ)µ(dt)

= bcx+

∫

(0,∞)

(1− e−λx)∫

(0,∞)

εtc(dλ)µ(dt)

= bcx+

∫

(0,∞)

(1− e−λx)µ(d(cλ))

in CBF0 enthalten und ihr Levy–Tripel durch (0, bc, µ(d(cλ))) gegeben ist.Gemaß Lemma 5.19(2) ist fur c ≥ 1 und B := −A2 die Relation −c2B ≥ −B ≥ 0

aquivalent zu c2B(λ − c2B)−1 ≤ B(λ − B)−1 ≤ 0. Zusammen mit ω0 := ωB0 undc ω0 = ωc

2B0 folgt daher fur u ∈ D(B)

((c2B)gu, u) = (Bg(c2·)u, u)

= c2(bBu, u) +

∫

(ω0,∞)

1

λ

(B(λ−B)−1u, u

)ρ(d(c2λ))

= c2(bBu, u) +

∫

(c2ω0,∞)

c2

θ

(B(θ/c2 −B)−1u, u

)ρ(dθ)

= c2(bBu, u) + c2

∫

(c2ω0,∞)

1

θ

(c2B(θ − c2B)−1u, u

)ρ(dθ)

≤ c2(bBu, u) + c2

∫

(c2ω0,∞)

1

θ

(B(θ −B)−1u, u

)ρ(dθ)

= c2(Bgu, u),

wobei wir im letzten Schritt ρ|(0,c2ω0] = 0 verwendeten.

136

Wahlen wir g(x) = f 2(√x) und machen wir die Substitution B = −A2 wieder

ruckgangig, so erhalten wir auf D(A2)

((cA)f

)2 ≤ c2(Af)2,

woraus dann—D(A2) ist definierender Bereich von Af—

‖(cA)fu‖ ≤ c‖Afu‖ (u ∈ D(Af ))

und somit D(Af ) ⊂ D((cA)f ) folgt. ////

5.23 Lemma. Es seien A,B abgeschlossene Operatoren auf H und D(B) ⊂D(A). Ist 0 ∈ ρ(B), dann gibt es eine Konstante c > 0 derart, daß

‖Au‖ ≤ c‖Bu‖ (u ∈ D(B))

gilt.

Beweis. Da 0 ∈ ρ(B) ist, existiert eine Konstante c > 0, so daß

c‖u‖2 ≤ ‖Bu‖2 (u ∈ D(B))

gilt.Die Bedingung D(B) ⊂ D(A) impliziert fur die abgeschlossenen Operatoren A,B

die Ungleichung

‖Au‖2 ≤ c′(‖Bu‖2 + ‖u‖2

)(u ∈ D(B)),

mit einer geeigneten Konstanten c′ > 0, vgl. Yosida [79] p. 79, Theorem 2, woraus

‖Au‖2 ≤ c′(1 + c−1)‖Bu‖2 (u ∈ D(B)),

und damit die Behauptung folgt. ////

5.24 Korollar. Es seien A,B und f ∈ CBF0 wie in Satz 5.21.Gilt

‖Au‖ ≤ c(‖Bu‖+ ‖u‖) (u ∈ D(B))

mit einer Konstanten c > 0, so folgt D(Bf ) ⊂ D(Af ).

Beweis. Wie oben bezeichne ωB0 = limt→∞ t−1 log ‖etB‖. Da B eine C0–Halb-gruppe erzeugt, ist fur alle ε > ωB0 schon ε ∈ ρ(B), und Lemma 5.23 zeigt, daß

‖Au‖ ≤ c‖(B − ε)u‖ (u ∈ D(B))

fur eine Konstante c > 0 gilt. Satz 5.21 besagt in dieser Situation

D((B − ε)f ) ⊂ D((c−1A)f ) (ε > ωB0 ),

137

was nach Korollar 5.22 gleichbedeutend mit

D((B − ε)f ) ⊂ D(Af ) (ε > ωB0 ),

ist.Bezeichnet Eλλ∈σ(B) die zum selbstadjungierten Operator B gehorende Spek-

tralschar, dann finden wir auf Grund der Subadditivitat der Bernstein–Funktionf

‖Bfu− (B − ε)fu‖2 = ‖f(−B)u− f(ε−B)u‖2

=

∫

(−∞,ωB0 )

|f(−λ)− f(ε− λ)|2 d‖Eλu‖2

≤∫

(−∞,ωB0 )

f 2(ε) d‖Eλu‖2

= f 2(ε)‖u‖2,

und somit D(Bf ) = D((B − ε)f ), was den Beweis beschließt. ////

5.25 Beispiel. Fur die folgenden Beispiele benotigen wir eine Skala von aniso-tropen Sobolev–Raumen Hr,a(Rd), r ≥ 0, a ∈ CN 0(Rd,R):

Hr,a(Rd) = u ∈ L2(Rd) : ‖u‖r,a <∞mit der Norm

‖u‖2r,a :=

∫

Rd|1 + a(ξ)|2r|u(ξ)|2 dξ,

vgl. (1.21) und Jacob [48] Section 2. Fur die spezielle Wahl von a(ξ) = |ξ|2 erhal-ten wir die klassischen L2–Sobolev–Raume H2r(Rd) = Hr,|·|2(Rd), fur die wir dieubliche Bezeichnung Hs(Rd) beibehalten.

(1) (Jacob [47]) Es seien bj : Rd → R, 1 ≤ j ≤ d, C∞b –Funktionen, die nachunten beschrankt sind

bj ≥ c > 0 (1 ≤ j ≤ d)

und die nur von x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xd, nicht aber von xj abhangen, d. h.

∂

∂xjbj = 0 (1 ≤ j ≤ d).

Weiterhin setzen wir a2j(ξ) := |ξj|2r und a2(ξ) :=

∑dj=1 a

2j(ξ) =

∑dj=1 |ξj|2r ∼ |ξ|2r

fur ein r ∈ (0, 1] .Dann ist

p(x, ξ) :=d∑j=1

bj(x)a2j(ξ)

das Symbol des Pseudodifferentialoperators

p(x,D)u(x) := (2π)−d∫

Rdp(x, ξ)u(ξ)ei(ξ,x) dξ (u ∈ C∞c (Rd)).

138

Die von p(x,D) erzeugte Bilinearform B(·, ·) := (p(x,D)·, ·)L2(Rd) kann auf den

Raum H1/2,a2(Rd) = Hr(Rd) fortgesetzt werden ([47] p. 223, Proposition 3.2) und

genugt dort der Garding–Ungleichung

(p(x,D)u, u)L2(Rd) ≥ c‖u‖2Hr(Rd) − c′‖u‖2

L2(Rd) (u ∈ Hr(Rd)),

vgl. [47] pp. 223–224, Theorem 3.1. Somit besitzen die Operatoren pµ(x,D) :=p(x,D) + µ, µ ≥ 0, Friedrichssche Erweiterungen (pµ(x,D), D(pµ(x,D))) mitD(pµ(x,D)) ⊂ L2(Rd), die entsprechend ihrer Konstruktion selbstadjungiert sind.Ist µ > c′, so erzeugt −pµ(x,D) eine C0–Kontraktionshalbgruppe.

Erfullen daruber hinaus die Koeffizientenfunktionen die Bedingung

‖bj − bj(x0)‖∞ ≤ cd,rd0 (1 ≤ j ≤ d)

fur ein x0 ∈ Rd, dann gilt, [47] p. 227, Theorem 4.2,

D(p(x,D)) = D(pµ(x,D)) = H2r(Rd) [= H1,a2

(Rd)].

Weiterhin gelten die folgenden Abschatzungen, vgl. [47] p. 227, Theorem 5.1,und pp. 229–230, Theorem 5.2,

‖u‖1,a2 = ‖u‖H2r(Rd) ≤ c(‖pµ(x,D)u‖L2(Rd) + ‖u‖L2(Rd)

)(u ∈ H2r(Rd))(5.24)

und‖pµ(x,D)u‖L2(Rd) ≤ c′‖u‖H2r(Rd) = c′‖u‖1,a2 (u ∈ D(p(x,D))).(5.25)

Mit Hilfe von Korollar 5.24 erhalten wir daher fur f ∈ CBF0

D(pµ(x,D)f ) = D(f a2(D)) = H1,fa2

(Rd) = H1,f(|·|2r)(Rd).(5.26)

Die letzte Gleichheit folgt aus |ξ|2r ∼ |ξ1|2r + . . .+ |ξd|2r und der Isotonie von f .Insbesondere finden wir fur f(x) = xα, 0 < α ≤ 1

D(pµ(x,D)f ) = D([pµ(x,D)]α) = Hrα(Rd).(5.27)

(2) (Hoh, Jacob [42] und Jacob [48]) Ersetzen wir in der Konstruktion vonBeispiel (1) die speziellen negativ definiten Funktionen |ξj|2r durch beliebige reelleaj ∈ CN 0(R), die nur von der Koordinate ξj abhangen, dann ubertragen sich die in(1) getroffenen Aussagen wortlich, wenn man konsequent mit den Normen ‖ · ‖1,a2

und ‖ ·‖1/2,a2 und den entsprechenden Funktionenraumen arbeitet. Die Abschatzun-gen (5.24) und (5.25) folgert man mit den Vorbereitungen aus [42] mittels der Tech-niken aus [47] oder wie in [48] p. 384, Theorem 5.1 bzw. p. 384, Proposition 5.1.

(3) (Jacob [49]) Es sei p : Rd ×Rd → R, (x, ξ) 7→ p(x, ξ) eine stetige Funktion,die fur jedes x ∈ Rd in der ξ–Variablen negativ definit ist. Fur ein fest gewahltesx0 ∈ Rd setzen wir

p(x, ξ) = p(x0, ξ) + (p(x, ξ)− p(x0, ξ)) =: p1(ξ) + p2(x, ξ).

139

Sind dann fur eine Funktion a2 ∈ CN 0(Rd) die Bedingungen

|p1(ξ)| ≤ γ1(1 + a2(ξ)),(5.28)

p2(·, ξ) ∈ Cq(Rq,R) fur q > d+ 1|∂αx p2(x, ξ)| ≤ φα(x)(1 + a2(x)) fur alle α ∈ Nd0, |α| ≤ q

(5.29)

mit geeigneten Funktionen φα ∈ L1(Rd),

p1(ξ) ≥ γ0a2(ξ) (ξ ∈ Rd groß)(5.30)

und ∑

|α|≤q‖φα‖L1(Rd) klein im Vergleich zu γ0(5.31)

erfullt, dann gelten ([49] p. 159, Lemma 3.1 und p. 162, Theorem 4.2)

‖p(x,D)u‖L2(Rd) ≤ c‖u‖1,a2 (u ∈ H1,a2

)(5.32)

und‖u‖1,a2 ≤ c′

(‖p(x,D)u‖L2(Rd) + ‖u‖L2(Rd)

)(u ∈ D(p(x,D))).(5.33)

Insbesondere entnehmen wir diesen Abschatzungen H1,a2(Rd) = D(p(x,D)).

Schließlich fordern wir, daß p(x,D) ein symmetrischer Operator (in L2(Rd)) ist.Wie schon in (1), (2) erhalten wir dann aus der Garding–Ungleichung fur dieassoziierte Bilinearform

(p(x,D)u, u)L2(Rd) ≥ c‖u‖21/2,a2 − c′‖u‖2

L2(Rd),

vgl. [49] p. 161, Theorem 3.1, daß die Operatoren pµ(x,D) := p(x,D) + µ, µ ≥ 0,Friedrichssche Erweiterungen zulassen und daß (pµ(x,D), D(p(x,D))) insbeson-dere selbstadjungiert sind. Weiterhin findet man, daß fur große Werte von µ derOperator −pµ(x,D) eine C0–Kontraktionshalbgruppe erzeugt. Mit Hilfe von Korol-lar 5.24 folgern wir nun

H1,fa2

(Rd) = D(p(x,D)f )(5.34)

fur f ∈ CBF0.

140

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