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Zum Restglied der Newton-Gregoryschen Quadraturformel

Von

J61m M. WILLS

H. BIL]~A~Z untersucht in [1] u.a. das asymptotische Verhalten des RestgliedeS der Newton-Gregoryschen Quadraturformel. Bei dieser Formcl enth/~lt das Restglied ffir fallende Differenzen den Faktor B(~n)(1)/n! und das Restglied fiir steigende Oiffe" renzen den Fak tor B}~O(n)/n!. Dabei sind B~)(1) und B(nn)(n) die Werte der n-re, Bernoullischen Polynome n-ten Grades an den Stellen 1 und n. Das asymptotische Verhalten dieser •aktoren ffihrt in [1] ffir fa]lende Differenzen auf die BeziehungeU (6.1) und (6.3). In (6.1) und (6.3) fehlen Vorzeiehen, wit in [3], aber nicht in [5] erw/ihnt wird. Mit korrigiertem Vorzeichen und mit N = logn lautet (6.3)

(__ 1)n+ 1 R(n) 1 .-,~ (1)In! ~ n J I ( N ) ,

WO 1 I

J1 (N) = -- fe-~V~]~( - x ) - l d x = fe-Y~:x.F(1 -- x ) - l d x . 0 0

(Hier und sp&ter: ~ immer ftir n -~, co bzw. N --> or Mit ge/indertem Vorzeiehen existieren die in (6.3) folgenden uneigentHehen Integrale

f e - ' V z F ( - - x ) - l d x und ~e-~x/'(1 - - x ) - l d x 0

nieht. Dennoch k~nn der Taubersatz yon Hardy-Lit t lewood, mit dessen Hilfe die weitercn Ergebnisse gewonnen werden, angewandt werden. ])enn mit

le-~VxxF(1 - x ) - l , 0 g x < 1, / ( x ) = [ o , ~ <= x < oo

oo

ist J1 (N) -~ .~ [ (x)dx, und man erh/flt wie verlangt: J1 (N) ~ N -2. Dasselbe gil~ bei 0

st, eigenden Differenzen. Aus (2.4) folgt analog zu (6.3): B(n n) (n)]n! ,.-, J2 (N) mit 1 1

J2(N) = 1 fe~ .~F(x)_ ldx = f e _ ~ F ( I _ x )_ ldx . ?~' 0 0

Aueh hier folgt wie verlangt J2 (N) N N - l , wenn der Integrand in 1 < x < oo Null gesetzt wird.

Diese Ergebnisse erhi~lt man ohne Taubersatz mit elementaren Eigenschaften der _F-Funktion. In

O < x < l ist O < J Y ( 2 - - x ) < l < _ P ( 1 - - x ) .

u XIX, 1 9 6 8 Newton-Gregorysche Quadraturformel

Mit (1 ~ x) f ' (1 - - x) = / ' ( 2 - - x) folgt daraus

(1)

Multipliziert man (1)

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0 < i - - x < F(1 - - x ) -1 < 1.

mit N e -N~: bzw. mit N2xe-NX(x > 0) und integriert, so folgt

1 -- N -1 + e-Z~'N -1 < N J2 (N) < 1 -- e -~ Dzw.

I -- 2 N -1 ~- e-N(1 + 2 N -1) < N 2 J I ( N ) < 1 -- e-~V(N-~- 1),

also J I ( N ) ~ N-2 und J2 (N) ~ N -1.

Ein drit ter Weg zu diesen Ergebnissen s teht in [2]. Denn das In tegra l in [2] (7) Wird mit z = - - x und log (n - - 1) = N zu J1 (N).

ft. K~v,s~,~ benutz t die Potenzreihenentwieklung yon F(x) -1. Diese Methode 1/~Bt sieh aueh au f Je (N) anwenden.

Abschlie~end eine Bemerkung zu [2], S. 32. Der Koeffizient des Cotesschen Rest- gliedes in der hier benStigten F o r m ist

Am - 1 b m : ~'zm+a(2m + 2)! ~ 2(Iogm) 2 m-2m-4"

I)er Iioeffizient des GaufJschen Restgliedes in der hier ben6tigten Form ist

b, 22m+3 (m + 1)l 4 V~z / e \')m _- _-.-

Die ansehliel]ende Folgerung bleibt unver/indert .

Literaturverzeichnis

[1] HH" BILrIARZ, Bemerkung zur geni~herten Quadratur. Arch. Math. 3, 251--256 (1952). [2] �9 K~Es~a, Das Restglied der Cotesschen Formel zur numerischen Integration. J.-Ber.

I)eutseh. Math-Verein 42 27--32 (1933). I:] J" SCI~OI~SlIER~, Math "Rev 14, 958--959 (1953).

J.F. STEYl~ENSE~, Das" Restglied der Cotessehen Formel zur numerischen Integration. J.-Ber. Deutsch. Math.-Vcrein. 42, 141--143 (1933).

[5] $'.A WILL,aS Zbl Math 47 115 (1953).

AaSchrift des Autors: J6r- ~ - ~ g lVl. Wills ~atheraatisehes Institut, H 1066 ~hnische Universitiit Berlin " ~erlin 12 ftarder~bergstr. 34

Eingegangen am 16. 1. 1967