Zur affinen Differentialgeometrie

Mathematische Zeitschrift, Band 54, Heft 2, S. 184--216 (1951).

Zur affinen Differentialgeometrie. Teil II: t)ber zweidimensionale FNchen im vierdimensionalen Raum.

Von

Wilhelm Klingenberg in Kiel.

Einleitung.

Im zweiten Teil wenden wir die allgemeinen Anstttze des ersten Teilst) auf die Affingeometrie zweidimensionaler Fl~tehen F~ im vierdimensionalen Raum A, an. iJber diesen Gegenstand gibt es m.W. nur eine_ Arbeit voa C. BU~ST~N und W, M.~Yr, l~ 2); dort wird das Ein- spannungsproblem mit HiKe der Tatsaehe gelt~st, dal~ die lineare Ab- h~tngigkeit der drei zweiten partiellsn Ablsitungen des 0rtsvektors einer F 2 im A, eine quadratische Form definiert. Die hiermit konstru- ierte Normalenebene stimmt nieht mit der von uns verwandten WE~SE- sehen Normalenebene ttberein~).

In w 1 f~ihren wit die ,,konjugierten" Parameter e~n und geben eine kanonisehe Darstellung der F2 in einem ausgezeiehneten 5rtliehen Vierbein an. Eine geometrisehe Kennzeiehnung dieses kanonisehen Bezugssystems liefert insbesondere aueh eine Kennzeiehnung tier Affinnormalenebene. Es folgen die sieh auf dieses System beziehenden Ableitungsgleiehungsn und Integrabilit~ttsbedingungen, die sieh insbesondere ftir Sehiebfl~tehen sehr vereinfaehen. Am Sehlul~ skizzieren wir einen den Teil I nieht voraussetzenden Zugang zur Affingeometrie der F~ im A, ftir konjugierte Parameter. Damit wird Tell II (bis auf dis in Tsil I gegebenen Ableitungen der kennzeiehnsnden Gleiehungen far eins Minimalfl~tehe und sine Sph~trs) aueh ohne Studium yon TeilI verst~ndlieh.

In w 2 zeigen wir, dag sleh in jedem niehtparabolisehen Punkt 3-dimensionals Quadriken des A 4 erkl/~ren lassen, die die F2 von 3. Ordnung bertihren. Sie sind nieht eindeutig festgslegt; der geo- metrisehs Ort ihrer Mittelpunkte ist ein quadratiseher Kegel des A,, der eine einfaehe geometrisehe Kennzeiehnung der Affinnormalenebene vermittelt : Tangentialebsns und Normalsnebene sind konjugierte

~) Zur affinen Differentialgeometrie, Tell I: 1Dber p-dimensionale Minimal- fl~chen und Sphgren im n-dimensionalen Raum. Math. Z. 54 (195l) S. 65--80.

~) Die Georaetrie zweifach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten F~ im affinen R~, Math. Z. 26 (1927) S. 373--407.

~) im iibrigen wird in jener Arbeit vor allem auf den Zusammenhang der (Tangential-)Ebenensysteme im A~ mit den Geradensystemen im projektiven Pa eingegangen.

W. Klingenbcrg: Zur affinen DiKerentialgeometrie. 185

Ebenen bezfiglich dieses Kegels . - - Es folgen einige B e m e r k u n g e n fiber ausgeze ichne te Schmiegquadr iken .

In w 3 erk l~ren wir die Semisph~iren als solche Fl~chen, ffir die jede K u r v e Krf immungsl in ie ist. Dabei bi lden l~tngs einer Kr i immungs l in ie die Norma lenebenen eine Hyper to r se . Wir bes t immen die semisph~trischen Schiebfl~tchen.

In w 4 machen wir einen Ansatz zur Bes t immung al ler Sph~iren (vgl. Teil I). E r ffihrt fiir e igentl iche Sphliren zu einer durch eine einfache Eigenschaf t gekennze ichne ten Fl~tchenklasse, u n d es gibt ver- mut l ich ke ine wei te ren eigent l ichen Sph~tren. Die uneigent l ichen Sph~tren w e r d e n alle bes t immt . Zu ihnen gehSren die sph~trischen Schiebfl~tchen.

In w 5 bes t immen wir die Minimalschiebfl~ichen - - sie gehSren zu den semisph~trischen S c h i e b f l ~ t c h e n - und die sph~rischen Minimal- filichen - - sie sind mi t den sph~irischen Schiebfl~ichen ident isch. Dami t sind u. a. die Fllichen mit je zwei der E igenscha f t en : Schieb- fl~iche~ Minimalfl~tche, Sph~ire bes t immt.

w

Die konjugierteu Parameter und die kanonische Darstel lung.

1. D i e k o n j u g i e r t e n P a r a m e t e r. Wir spezialisieren die Begriffs- b i ldungen aus I w 1 auf die F 2 im A,4). Wir denken uns also die Fl~che durch einen Or t svek to r ~ = ~ (u ~) beschrieben. Die Tangent ia l -

8~ ebene wird von den Vek to ren ~= ~ 6~ ~ au fgespann t und bes t immt

zwei k o v a r i a n t e N o r m a l e n v e k t o r e n ~ : ~o o ~ = 0. Dami t haben wir in

o ~ d u = duZ =- B= z du ~ duZ;

(1 .1) -2 e2 ~3r Q ~ d ~ - ~ d u = du8 ~ B ~ d u " d u ';3

zwei quadra t i sche Different ia l formen. Sie lassen sieh s imul tan au f Diagona lges t a l t br ingen. Die hiermit fes tge leg ten Rich tungen nennen wir konjugiert. Sie tei len die Nul l r i ch tungen jeder der beiden F o r m e n (1.1} harmoniseh und sind bekann t l i eh aueh als die Nul l r ieh tungen der zu dem Tenso r

(1.2) G7 z 13 ~ 1 ~O1 02 ~ a , a D ~ I ,~ ]

+) Es ist also jetzt p--~ 2, r ~ n - - p = 2. Tangentialraum und Normalenraum sind zweidimensionale Ebenen. Die Indizes a, /L 7, Z, ~ der Parametergruppe und_ q, a, v der Normalenebenengruppe durchlaufen die Werte 1 und 2.

5) Zu den verallgemeinerten KaoNEcK~a-Symbolen ~ f vgl. Teil I Anm. ,o); das Symbol 12 stebt sowohl ftir den 2-stufigen Index bei der Parametergruppe als auch ftir~den 2-stufigen Index bei der Normalenebenengruppe. Auf eine unterschiedliche Bezeichnung haben wir verzichteL

186 W. Klingenberg:

geh0rendcn quadrat isehen Form gekennzeichnet. Diese Form st immt (bis auf einen gewissen hier nieht interessierenden Faktor) mit der quadrat isehen Form

(1.3) ~ ' Ou" ' 8u, ~ du~ du'~

yon BURSTIN und MAYER 6) iiberein; das lesen wit unmit te lbar aus den

02~ ab. Die ,Nul l r ichtungen" Ablei tungsgleichungen I (1.17) 7) ffir a u ~ a ufl

yon BURSTIN und MAYER sind also mit unseren konjugier ten Richtungen identisch.

Die Real i tgt der konjugier ten Richtungen h~tngt yon dem Vor- G 12 zeichen der Determinante Det I 7~2, ---- Det colo~ s~ ~o,o_~

gem~l~ I (i. 4) durch

~ 2 2 [ ]

gegeben ist. Mit S --= Det/r o.~ m >,(~)~) ) nennen wir einen Punk t

elliptisch / IS > 0 / [konjugier t -komplex

p a r a b o l i s c h " wenn i s S T : ] _ hyperbolisch[ , d. h. wenn die konju- /zusammenfa l lend gierten Riehtungen [reell versehieden

sind. - - Wir k6nnen iibrigens ffir die F~ ira A, auf die Bildung der ~.o, ~2,.~3 ~, (vgl. I (1.5)) verziehten und direkt die komplementgren Elemente ~(12) 4

o7o~ zu o(~2), bilden. Deshalb lassen wir S an die Stelle yon T aus I w 1 treten.

2. D i e k a n o n i s c h e D a r s t e l l u n g . Wir setzen S q=0 voraus. Dann ist nach I (1.14) durch die zwei Vektoren rt~ eine Affinnormalen- ebene bestimmt. Beziehen wir die Flliehe auf das 5rtliehe Basissystem ~ , n o im Punkte L , so k0nnen wir sie zungchst in dcr Form

u~ ~ u~ u~ u~ lo) (1.5") ~ : B~'----~--. +C~Jr 3! ~-{4}

annehmen. In diesem Koordina tensys tem wird im Punk t L : O u, Ou~

B~zno, d. h. gem~fi I (1.17): Z~,~ = 0 und damit nach I (1.19):

(1.5**) B~& : C~r.

~) L. c.:) Teil I w 1, w 4; Teil II w 2. 7) Formeln aus Teil I werden mit vorangesetzter I zitiert. s) Diese Gleichung verifiziert man am bequemsten im kanonischen Koordi-

natensystem (s. u.). s 12)~

~) Wir schreiben der Einfachheit halber S start ~(~)~.

,o) {k} bedeutet: Glieder mindestens k-ter Ordnung.

Zur affinen Differentialgeometrie. 187

Beschrgnken wir uns zun~tchst auf hyperbolische Punkte . Fiir g,,L~ wghlen wir die konjugier ten Richtungen : B~, = B~,----- 0. Dann w~thlen wir

(1.6) n~=B~on~; z 1 = B'n, B], = - - 4 S q = O B,, B~,

als neue NormMenvektoren. Damit wird aus (1.5) (mit u, v s ta t t u', u s): u

(1.7) ~ = (u)~ T + { a } ; (v) ~ ~ - + {a}

es ist also je tz t

O. 8)

/o,o0, ,) �9 ~ : g ( 1 2 ) ~

und damit laute t die Apolar i tg tsbedingung I (1.20):

BI*' , ---~ 0; B,*~; = 0; B,*;'.~ = 0; B, .2, = 0.

Biermit erhalten wir aus (1.7) mit den Abkiirzungen

A -- B'~",~; B -- B**,;; C -- B*2',; D --- B,*'=

u u

(1.9) ~ = ~ + ~- (3 B (u) ~ + D (v) ~) + {4} ~ n' (u, v) �9

+ -r (A(u)'+ 3 C(v)') + {,~} ~'(~, v)

(1.9) nennen wit die kanonische Darstellung der F~ im kanonischen Koordinatensystem. Sie ist vor!gufig nur ffir hyperbolische Fl~tchen- punkte erkl~trt. Fassen wir jedoch in (1.9) u und v als konjugier t- komplexe Gr(il~en auf und ebenso A bzw. B als konjugier t -komplex zu D bzw. C, so ist (1.9) die kanonische Darstel lung in einem ellip- t ischen Fl~tchenpunkt. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dat~ die konjugier ten Richtungen in einem elliptischen Fl~tchenpunkt konjugiert- komplex sind und da6 auch die kanonischen NormMenrichtungen Null- r ichtungen einer Form

(1.10) S(~)~ol o3 nO, nO,; Det (S~1~.)I)~. = S-'

sind (wie wir aus (1.8) sofort ablesen), welehe ftir elliptische Punkte definit ist. Da schlieBlich die dureh (1.9) dargestel l te Fl~tche reell ist, mu6 sie gleictl ihrer konjugier t -komplexen Darstel lung sein, woraus sich die Behauptungen ergeben.

188 W. Klingenberg;

Anmerkung : In I w 1, 3 haben wir gezeigt, wie sieh bei der Be- sehrgnkung auf inhal ts t reue Affinitgten die Normalenebene dureh I (1.24) normieren l~tBt. Setzen wir in (1.5) diese normier ten Normalenvek to ren voraus, so mtissen wir bei der Normalen t rans format ion (1.6) .4 auf 1 normieren. Wir k{Jnnen jedoeh dureh eine gleiehzeitige geeignete Um- normierung der kanonisehen Tangen t i a lvek to ren dennoeh die Form der Gleiehung (1.7) erreiehen, so daf$ wir aueh bei der Besehrgnkung auf inhal ts t reue Affinitgten zu der Darstellung" (1.9) gelangen. Wir e rkennen gleiehzeitig~ dal~ sieh ffir den Fall a l lgemeiner Affinit~ten dureh eine solehe Umnormierung noeh eine weitere Spezialisierung der Dars te l lung (1. 9) erreiehen l~l~t, z. B. ffir B, D @ 0: B -~- D ~--- 1 11).

3. E i n e g e o m e t r i s e h e C h a r a k t e r i s i e r u n g d e s k a n o n i s e h e n K o o r d i n a t e n s y s t e m s. Zun~tehst ist es Mar, dal~ das kanonisehe Koord ina tensys tem eindeutig fes tgelegt ist. Denn die kanonisehen Tangent ia l - bzw. Normalenr ieh tungen sind ja die Nul l r iehtungen in der Form (1.3) bzw. (1.10). Diese Riehtungen ~ind reell for hyper= bolisehe und konjugier t -komplex ftir elliptisehe Punkte . J ede r kovar i an te Normalenvek to r ~ l~tl~t sieh, da die ~R ~~ eine Basis bilden, in der Form ~ = % ~ o sehreiben. Wir k6nnen ~ als 3-dimensionalen ebenen Raum auffassen. Er enthttlt die 2-dimensionale Tangent ia lebene der Fl~tehe wegen ~l~ o ~ ~ 0. Der Sehnit t yon ~ mit der F~ ist eine in ~R ver laufende Raumkurve .

&" ~ d u r d u~ vo B~z d u ~ d u .8 ~ 0 (1.11) ~ o Ou~Ou~ ~

gibt die Tangen ten r i eh tungen an dieser Sehni t tkurve im Ursprung in Abhttngigkeit yon % an. Diese Riehtungen sind reell, wenn die Deter- minante yon (1.1 1):

(1.12) Det (% B~~ o, o,

nega t iv ist. Ftir geeignete vo lttlSt sieh das immer erreiehen, z. B. mit v oBe,~ = O. Fassen wir (1.12) als quadrat isehe Form in den % auf, so ist sie ftir elliptische Punk te negat iv definit. Das bedeute t , dab fiir e l l i p t i s c h e P u n k t e bei j e d e r Wahl yon {R ~-vo~R -~ der Schni t t yon ~ mit der F, zwei reelle Tangen ten im Ursprung hat. Fiir para- b o l i s c h e P u n k t e gibt es e i n e n ausgezeiehneten kovar i an ten Vektor ~R*,

r ~2 ftir den ~,(,~), % , vo= ~ 0 gilt ; bei einer vollen , ,Drehung" yon ~ um die

Tangent ia lebene fallen daher einmal die beiden Tangen ten r i eh tungen an die Sehni t tkurve zusammen. FOr h y p e r b o l i s c h e P u n k t e dagegen

gibt es z w e i ausgezeiehnete Lagen von ~ m i t c o , o, o(~), vo~ vo. ~ ~ 0, die wir mit 9~*' und 9~ *~ bezeiehnen. Bei einer vollen ,Drehung" von

n) Entsprechend wfirde sieh bei der Zulassung yon beliebigen Affinit~tten in der kanonisehen Darstellung einer .F= im Aa die Konstante c q= 0 zu I normieren lassen. Vgl. BLASCUKE, Differentialgeometrie, Bd. 2, Berlin 19~23~ S. 109.


um die Tangentialebene sind daher die Tangenten an die Schnittkurve nacheinander reell~ zusammenfallend, komplex, zusammenfallend und schliel~lich wieder reell.

Wir beschr~tnken uns auf hyperbolische Punkte - - ffir elliptische verlaufen die (3berlegungen im Komplexen analog. Aus der kanonischen Darstellung (1.9) lesen wir jetzt ab: Die beiden kovarianten kanonischen Normalenvektoren 9~*' und 92"~ sind dadurch gekennzeichnet, dab ihre Schnittkurve mit der F~ im Ursprung eine Doppeltangente besitzt. Die kanonischen (konjugierten) Tangentenrichtungen sind als die Richtungen dieser Doppeltangenten gekennzeichnet. Die ausgezeichneten Vektoren ~*~ und 9~*" werden~ als 3-dimensionale R~ume aufgefal~t, yon der Tangentialebene ~ , ,~ und den kanonischen Normalenvektoren rt* und n* aufgespannt. Es kommt jetzt darauf an, innerhalb dieser 3-dimensionalen R~tume die Vektoren n* und n* zu kennzeichnen. Denn neben diesen Vektoren spannen auch die Vektoren

n~ ~ a ~ = + n *

zusammen mit der Tangentialebene die 92", 92"* auf. Beziehen wir die F, auf das Basissystem ;~, ~ , so wird aus (1.9):

u -- a~ ne (u, v) )

v -- ap

(1 .13 ) ~ = n' (u, v) "

n'(u, ~)

Wir betrachten die Projektionen ,9 und ,t) der F~ in der Darstellung (1.13) in den Raum 92*' l~ngs if, und den Raum 92"~ l~ngs ff~:

( ; - a ~ n ~ ( u , v ) l (1.14) it) = a~ n~ v) ;

n ~ (u, v)

Beschr~tnken wir uns auf ,9 - - l~berlegungen. Die Richtung ~2 Tangente im Ursprung. Die Ebenen durch ~ schneiden aus der Fl~che ,t) ebene Kurven aus (Fig. 1). Nach einem Satz yon TRANSON r~) liegen die Affin- normalen aller dieser ebenen Kurven in einer Ebene. Wir zeigen, dab diese T~ANso~vsche Ebene dann und nur dann yon den Vektoren ~, und 5~ aufgespannt wird, wenn a~ = 0 ist. - - Eine Ebene durch ~ werde yon ~ und Z~2 +

~) Siehe BLASOHKE 1,), S. 128, Aufgabe

/ /u -- a~ n ~ (u, v ) \ ~ = ( v - a~n,~ v ) )

\ n'(u, v)

ftir ~t) gelten die entsprechenden ist

Fig. 1.

~ g~ (mit Z 4= 0) aufgespannt. Die

g.

190 W. Klingenberg:

Schni t tkurve mit it) wird nach (1.14) auf diese Richtungen bezogen: l O 0 tt u - - aon,

(v - a~ n ~ (u, v)l (**) -- a~ no 0. (*) \ n~(u,v ) / mit 1 0 v = 0 )~ n ~

t* Wir best immen aus (**) u als Funkt ion yon v: s ~ y (v ) '~+ {3}.

Wenn die Affinnormate dieser Kurve im Ursprung die Richtung yon )~n~+#~l haben soll, muff sie sich in die kanonische Form

bringen lassen 13). Wegen n~(u, v ) = - - ~ + {3} l~tgt sieh abel" (*) dann

und nur dann in diese Form tiber- ~2 / ~ z ftihren, wenn a: = 0 ist. Ent-

sprechend ist mit Hilfe yon ~t) der 77 '- Fall a~ = 0 gekennzeichnet .

~ / /~- - ~_~_=-~__77 . Um anderersei ts das Verschwin- 7-- -i-7fj / / den yon a~ zu kennzeichnen, suchen

/ , / / \ ~ / / / / wir die E i g e n s c h a t t e n k u r v e yon ,t) J fiir zur ~-Achse parallelesLicht auf,

d.h. diejenige Kurve, deren Punk te Fig. 2. zur ~,-Achse parallele Tangenten

gestat ten. Dazu be t rachten wir die zur Tangent ia lebene parallelen Kurven auf it) (Fig. 2). Sie sind (in Ab- h~Lngigkeit yon einem Parameter c) nach (1.14) durch

(t) a~n~,(u,v) mit (t'~) n2(u, v) =~ -( + 6 ( A ( u ) ~ + 3 C ( v ) ~ ) + { 4 } = c

gegeben, wobei dutch (mr) u eine Funkt ion yon v wird. Aus

d (u ' n~ , (u , v ) )=O, d.h. du _ _ a l u d U d - a o '

erhalten wir den Punkt der Kurve, der eine zur ~-Achse parallele Tangente hat. Die Ablei tung yon (mr) wird hiermit v + C u r + {3} ----- 0, d.h. v = {3}. Indem wir dieses in die Darstel lung (1.14) yon 3) ein- setzen, erhalten wir die E igenscha t tenkurve :

( u - - a l ~ 2 - + { 3 } ; - a ~ + { 3 } ; {3}).

Die Eigenschattenkurve [iir zur ~:2-Achse para!!e!es Licht beriihrt die 2 L-Achse also dann und nur dann yon 2. Ordnung, wenn a, ---- 0 ist.

Entsprechend ist mit Hilfe von j) a ~ - - 0 gekennzeichnet .

~a) Siehe BLASCHKE 11), S. 14.

Zur afflnen Differentialgeometrie. 191

Ebenso wie die Fo rde rung an die TRANS0NSche Ebene ist dieses offensichtlich eine gewisse Symmet r i e fo rde rung (im affinen Sinne) ffir j) bzw. s0 beztiglich der ~.,-Achse bzw. [,-Achse. Unsere ausgezeichneten Normalen des kanonischen Koordinatensystems sind dadurch gekennzeichnet, dab sie gleichzeitig den beiden vorstehenden Forderungen bezi~glich der T~AsWO~schen Ebene und der Eigenschattenkurve ge- ni~gen. Zusammen mit der obigen Kennze ichnung der konjugie r ten Richtungen haben wir damit eine vollst~ndige Charakter i s ie rung des kanonischen Koord ina tensys tems gewonnen.

Die Normalenebene von BUaST~N und MAYER l~) wird, bezogen auf das kanonische Koord ina tensys tem, yon den Vektoren (2c) 10) 0 2', B

1 ; ~/~ = 0

0 1

au fgespann t ; damit l~tgt sieh nicht eine so symmetr isehe Dars te l lung der Fl~tehe erreiehen, wie wir sie mit (1.9) gefunden haben.

4. D i e A b l e i t u n g s g l e i e h u n g e n u n d I n t e g r a b i l i t ~ t t s - b e d i n g u n g e n im k a n o n i s e h e n K o o r d i n a t e n s y s t e m 1 % Wir be t raeh ten nur niehtparabol isehe Punkte , d .h . P u n k t e mit S 4 = 0. Zu- n~tehst sehreiben wir alle Gr6gen so auf, dal~ sie nieht die bei allgemeinen oder inhal t s t reuen Affinit~ten noeh zus~ttzlieh m6gliehen Spezial is ierungen enthalte.n. Die part iel len Ablei tungen naeh u 1 und u' (bzw. u und v) bezeiehnen wir im kanonisehen Koord ina tensys tem dureh die Indizes 1 und 2, wobei wir vor diese Ablei tungsindizes ein Komma setzen. Nur bei den Ablei tungen yon g lassen wir dieses Komma fort.

Das kanonisehe Koord ina tensys t em ist gekennze iehnet dureh

(1.15) B{,, = B',_ = B~, = B~, = o.

Insbesondere erhal ten wir filr ~1= aus den Able i tungsgle iehungen I (1.17) :

(1.16) L2 = Z~,{x.

Wir kOnnen n u n ~1 und ~ in der Form ansetzen

Hieraus ergibt sich wegen B~,~ : B -~ ~ 9~ -~ e a u"a~a u~

(1.18) BI, = B~ = ~ l t , , ~ , ~,,, ~ l ,

~) L.c. 2) Teil I, w 1 (8). ~5) Wegen B _~ B ~ = - - GZ~, C ---- BI~ = -- G Z~ (vgl. (1.21)) stimmt diese

NormMenebene also genau ftir Schiebfl~ichen (1.28) mit derjenigen von W~Iss tiberein. ~6) Von jetzt ab lassen wir bei den auf das kanonische System beziiglichen

Gr0gen den * fort. -- Statt u ~, u -~ schreiben wir auch u, v.

192 W. Klingenberg:

SO dal~ wi r die A b k t i r z u n g G ~ B]I ~ - - B ~ e in f i ih ren k6nnen . F a r die y o n uns b e t r ~ c h t e t e n n i c h t - p a r a b o l i s c h e n P u n k t e ist G 4= 0. Aus (1.15) bis (1 .17) u n d den A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n I (1.17) e r g i b t s ich

~ o ~ l , ~ = G ( G + z~,) = ~ O ~ l , ~ = 0 ;

(1 .19) f l~o~, l = G(t]l + Z~,) = 9210~2l.~ = O.

D a m i t e r h a l t e n wi r aus I (1.13) fiir die GrOl~en Zz, z : Z~,:

(1 .20) (b) GZ~ --~ ~ 'O~u~ GZ~, = ~o~2~,

(c) G z',, = ~t 1 o ~,2, = o G z~I = ~t ' o ~2,, = o.

Fi i r die B~& e r h a l t e n wi r aus I (1.19) mi~ (1.20):

B ' m = 0 ; ' - - ' - - ' - - ' ' B m - - - - ~ ' o ~1~ = -- G Z~2; B,2~ - - 0; B ~ - - ~ o ~ m_ G t~ (1 .21) , __ , , __ . , , 2

B ~ - - 0; B~ 1 ~----~-- ~ o ~ l ~--- - GZ~l; B m - - 0 , B i n = ~ o ~ n l = Gt, I

u n d a u s I (1 .14) e r h ~ l t e n wi r mi t (1.15), (1.18) und (1.20) fiir n l , n~:

(L ~2)

I m Fa t l e a l l g e m e i n e r A f f i n i t g t e n k S n n e n wi r

( 1 . 2 2 A) z --- l~l, ~,, ~l, , ~, , I - ' ; O = l

se tzen . Bei i n h a l t s t r e u e n Af f in i tg t en e r h a l t e n wi r aus I (1 .24):

Mit (1.15), (1.18), (1.19), (1.20) w e r d e n die A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n I (1.17):

(1 .23)

n,.i = G no + ~ , ~ z ~,i = G n , + Z'I,~,

~ = G n~ + Z~2 ~2 0 Z ,

Aus der e r s t e n u n d d r i t t e n G l e i c h u n g k S n n e n wi r schliel~en:

, = , 3. G Z ~ .

H i e r a u s e rg ib t s ich mi t ( 1 . 2 0 a ) :

(1 .24 ) (Ig G)., = 2 ZI,, - t~l ; (lg G).2 -~- 2 Z].~ - - t2,2.

Die v o r s t e h e n d e n G l e i c h u n g e n l a s s en sich al le zu P a a r e n z u s a m m e n - f a s sen , die be i de r V e r t a u s c h u n g der I nd i ze s 1 u n d 2 i n e i n a n d e r f iber- gehen . W e n n w i t d a h e r im f o l g e n d e n e ine G l e i c h u n g mi t Ind izes i und k sch re iben , so r e p r ~ s e n t i e r t sie zwei G l e i c h u n g e n , die d u r c h die

Zur affinen Dffferentialgeometrie. 193

Subst i t ionen i ~- 17 k ----- 2 und i ~ 2, k = I aus der gegebenen her- vorgehen. Insbesondere sind also i und k keine Summationsindizes.

Zusammen mit den Gle ichungen (1.15), (1.18), (1.19) und (1.24), die wir unter ( 1 . 2 5 e ) zusammenstel len, werden die Integrabil i t~ts- bed ingungen I (1.18):

G t2~k i Z i Z k Z ~

(a) G n ~ ~ ~ ~ z~ z ~

(b) t~ = Z~k - (lg G),k ; t '~~ = 0 i i i i i

(1.25) (e) ~ ~ , t t ~ k . , t tk , n ~ t2~i ,~- t2~k,~+t2i iZ~- ~k~i~+~i~ ~k--tik ~ - - ~ 0

- h~ {~k + tie tu ( a ) 6 ~ r t i t ~ "~

(e) B~. G; B~ B ~ - = O ; Z ~ ,~ = ~ - ~ 0 ; ~ . - ~ 2Z~-

Far inhMtstreue Affinit~ten kommt I (1 .29b) (mit (1.2I)) h inzu~) :

(1 .25 I) Z~ + 3 tg~ = 0.

Bei al lgemeinen Affiuit~ten setzen wir gemN~ (1 .22A) :

(1 .25 A) G = 1.

In jedem Falle lassen sich mit ttilfe yon (1.25 b) und (1.25 e) noch t~ und t~ aus den Gleichungen (1.25) eliminieren. Das ergibt, indem wir die erw~thnten Gleichungen (1 .25b) und (1 .25e) unter (1 .26g) zusammenfassen:

(a, b) G t2~ - Zi~,~ + Zie,, + Z ~ Z' Z ~ Z' ' ~

(d) G t2t, t ~ ~ '

(f) ~ ~ t2~"Z ~ ~ "~ 2 ~2.,~ - $t~,~ + ~ ~ ~.ik + ~ S2~.~ +

Z; ~. . - - ( ~ - 0 g G ) , ~ ) ~ , = 0

t~ = z ~ - (~g G),~; t ~ , ~ = o

(1.26 I) 2 ~ i Z~ + 3 Z~ = 3 (lg G),~

In elliptischen Punk ten sind die hierin v o r k o m m e n d e n GrSglen komplex. Da jedoch die Fl~tche reell ist, mug die Re ihenen twick lung

~) Diese Gleichung erhiilt man auch direkt, indem man (1.22 I) differenziert und (1.25) verwendet.

~lathema~isehe Zei tsehrif t Bd. 54. 1 3

194 W. Klingenberg:

im kanonisehen Koord ina tensys tem mit der konjugier t -komplexen Reihenentwieklung ~ibereinstimmen. Hieraus ergeben sieh folgende weitere Beziehungen zwisehen den Koeffizienten der Ableitungs- gleiehungen :

B~i ---= B~k = G; Z~ = 2-~; Z~k ~ Z~;

(1.26") t2~ ~ k ; ~ g i ~ -k , ~k �9 = i ~ = ki; ~ 2 k k ~ q U ; -qi~---- ki;

t ; 71 .

5. E i n d i r e k t e r Z u g a n g z u r T h e o r i e d e r F~ im A 4. Unab- h~tngig yon den al lgemeinen Entwick lungen in Tell I kSnnen wir den Zugang zur affinen Fl~tchentheorie einer F~ im A 4 und damit zum Inhal t des vor l iegenden Teils II folgendermafien gewinnen: Wir beziehen uns ausschliel~lich auf die konjugier ten Paramete r , die wir als die Nullinien der Form (l. 3) definieren. Sie sind also durch

(*) = 0 ; = 0

gekennzeiehnet , w~thrend wit [~,, ~,, gl,, ~,] q= 0 vorausse tzen wollen. L und ~ nennen wir aueh kanonisehe Tangen tenr ieh tungen . Kanonisehe kovar ian te Normalenvek to ren 9~'~ g~' erkl~ren wir dutch (1.17) und

0~ d .h . dureh (1.15) und (1.18). hiermit die GrOgen B~r dureh 9~ o 0 u~ ~ u--------7,

Die GrSl~en B~B7 erkl~tren wir dutch die skalaren P roduk te in (1.21) ~). Die kanonisehen kon t r ava r i an t en Normalenvek to ren n,,t t~ und damit die Aff innormalenebene definieren wir dutch (1.22) mit (1 .22A) oder (1.22I) , je naehdem wir allgemeine Affini taten zulassen oder uns auf inhal ts t reue besehr~tnken. Diese Vektoren sind offenbar bei Um- normierungen der konjugier ten Pa ramete r bis auf einen F ak to r oder absolut invariant . Aus (*) entnehmen wit g~, ---= 0 (g~, g~) und zusammen mit (1.22) ergibt sieh das erste Tripel der Ablei tungsgle iehungen (1.23), in denen wit die Bezeiehnungen ftir die Koeffizienten als Abkt i rzungen tibernehmen. Aus ~ o ~ = ~ o ~ = 0 und gt' o ~ = ~ ' o ~_~ = 0 folgt 9 ~ ' o n ~ , , = - ~ o n ~ , ~ - ~ 0 und damit die Form der le tz ten vier Gleiehungen (1.23). Es folgen wie oben (1.24)ff. Ebenso folgt die Gtiltigkeit yon (1.15) ft. und wir gelangen so zum Versti~ndnis v o n w 1.1 und aller folgenden Absehnitte.

6. S e h i e b f l~t e h e n. Unter einer Schiebfl@he vers tehen wir eine F1/~ehe, die sieh in der Form

(1.27) $ = tt(u)A- ~ (v)

darstel len l~tl3t, wobei die Pa rame te r auch konjugier t -komplex sein kSnnen. Die in (1.27) verwende ten Pa ramete r sind offenbar die konjugier ten Pa ramete r der Fl~tche: Es ist BI, ---- B~ = 0 wegen ;~, = 0.

z8) Diese Definitionen gelten _~attirlich nur fiir unsere speziellen Parameter und kovarianten Normalenvektoren.


Umgekehrt kennzeichnet diese Gleichung auch die Schiebfl~tchen, so da~ ihre Differentia]gleichung ftir konjugier te Paramete r durch

(1.28) Z',~ = Z'~ = 0

gegeben ist (vgl. (1.16)). Fiir al lgemeine Parameter sind sie dureh

Pv~Deq[~,7iDa~.fl,7, Do~ Oa ,-~ = 0 gekennzeiehnet , wie man dureh den r ins kanonische Sys tem leicht nachpriift .

Betrachten wi t insbesondere Schiebfl~tchen mit ebenen Erzeugenden:

(1.29) = u (u ) + , (~) =

(P) (o) s~(~) o

0 + Q,(v) '

0 Q~(v)

so erhal ten wir unmit te lbar aus (1.22) ffir die Normalen:

1 d 1 d r . ~ ~) t , ~ ii n, ~-- u" lg (P', P ; - P'2 P;') u , n~ Ig (Q, Q, - o ' o'q t)' 3 d u 3 d v "~2"~zJ �9

Die Af f innormalenebene einer Schiebfl~iche mi t ebenen Erzeugenden wird also yon den Af f innormalen der ebenen Erzeugenden aufgespannt .

Zum AbschluB schreiben wir die Integrabil i t~ttsbedingungen und Folgerungen aus der Wahl des kanonischen Koord ina tensys tems auf, wie sie sich aus (1.26) mit (1.28) for Schiebfl~tehen ergeben. Zun~tchst lesen wir aus (1 .26a, b) wegen (1.28) ab: Z~i,k = Z~ , i . Wir setzen daher Z~=_H.~. Dann folgt aus (1 .26a, b): ~ { ~ - ~ 2 ~ - - 1 , so dal~ wir damit erhal ten:

(a)

(b) (r

(1.30) (e) (f)

s ~--- 1 ;

Z~i : - H,~ ;

u,k -- l i + ii (lg G),k +

t k t2 ~ ,

GI = -- H,,~

tik/, k + 2 H,k ti~ + G t2~i = 0

I ( H , - (lg ~),~) + t~ tz~. = 0 ~k (lgG),k u = 0

i B~'k i ~ t/.. B ~ i = G ; = B ~ , ~ 0 ; Z , k = 0 ; * * = 2 H # - ( l g G ) , ~

(g) t~ - - - 0gG) ,~ ; t~----- o; z ~ = o

(1.30 I) H,~ = (lg G),~

(1.30A) G ~- 1.

w

D i e S e h m i e g q u a d r i k e n .

1. D ie a l l g e m e i n e S c h m i e g q u a d r i k . Basissystem ~ , n~ der F~ sei

(2. 1") al,, x I x m + 2 alo x ~ § aoo = 0

In einem 5rtlichen

(l, m ---- 1, 2, 3, 4) 13"

196 W. Klingenberg:

oder, indem wir eine Zerlegung in tangent ia le (Indizes a, fl, 7) und normale (Indizes Q, ~, v) Terme vornehmen,

(2. 1"*) cqo y~ y~ + 2 b~ x ~ y~ + a ~ x ~ x~ + 2 c~o y~ + 2 a~o x ~ + aoo ~ 0

(~ ; (x ' ) = y.o) mit (a~o)=(a~o, Coo); ( a im)= b~# c or

die Gleichung einer Quadrik. Die F~ werde durch (1.5) dargestellt~S). Wir erhalten eine die F. yon 3. Ordnung berfihrende Quadrik ~o), wenn wir ihre Koeffizienten so w~thlen, dab die Gleichung (2. 1"*) ftir

(2.2) x ~ u ~ + {4} ; yO ,)o u ~ uZ , u- u~ur = = D ~ f l - - ' ~ - - ~- Be, fir 3! + (4}

mit geeigneten Termen {4} identiseh erftillt ist. Wie man dureh Koeffi- zientenvergleieh sieht, mul~ gelten

(a) aoo = 0 Bert thrung 0. Ordnung,

(b) a~o = 0 Bertihrung 1. 0rdnung, (2.3)

(c) a~z + %oB~j = 0 Bertthrung 9,. Ordnung,

(d) b ~ B ~ r + b a o B e 7cr + broB~z+ cooB$~r ~- 0 Bertihrung 3. 0 rdnung.

Wir fassen die Coo als Parameter auf. Dann ergeben sieh unmit te lbar die Werte yon aoo, aao~ a~a. Die Determinante yon (2. 3d) ist gleieh - 3 6 S , so da~ ftir nichtparabolische Punkte auch die b~.o best immt sind. Wir erhalten

a0o = 0; a~o = 0; a~# ~ --cooB~ ~. (2. a)

wobei G ~ das komplement~re Element yon G ~e ~'~ 1.2 (vgl. (1. 9,)) ist.

Falls die Coo beide versehwinden~ verschwinden auch die Koeffi- zienten aus (2. 4) und damit ftir eine Beriihrung 3. Ordnung aueh die co o, d. h. es verschwinden alle Koeffizienten der Quadrik (9,. 1). Diesen Fall mtissen wir also ausschliel~en.

Falls die %o nieht beide versehwinden, sind die %~ beliebig. Denn jetzt lassen sich die Terme {4} yon yq in (2.2) immer so wghlen, dab

19) Diese Darstellung bedeutet ffir unsere Zwecke eine nur unwesentliche Spezialisierung; die Gleichungen (2. 3) lauten im allgemeinen Fall ebenso.

so) Eine Bertihrung 4. Ordnung ist mit den vierzehn Konstanten i.a. nicht zu erreichen.

21) Dieses verifiziert man am bequemsten im kanonischen Koordinatensystem, ffir das sich (2. 3) sehr vereinfacht (vgl. (2. 7)).


die Terme (4} yon Co-oy ~ und co-~yOy~ sieh in (2. 1"*) herausheben: Die Gleichungen (2.4) best immen bei beliebiger Wahl der Co-o (die nur nicht beide gleich Null sein di~rfen) zusammen mit beliebig gewdihlten co o eine die F~ yon 3. Ordnung beri2hrende Quadrik (2. 1).

2. D e r K e g e l f i i r d ie M i t t e l p u n k t e d e r S e h m i e g q u a d r i k e n . Wir haben also rait den Coo und coo vier wesentliehe Parameter in unserer Schmiegquadrik. Die Mi t te lpunkte sind jedoeh bereits bis auf drei Parameter festgelegt. Denn:

x~ d ~ a,~ o ~) (mit ~'~ m - - a a ~ , ~ ~ , )

ergibt den Mit telpunkt der Quadrik (2. 1). Hieraus folgt wegen (2.4):

x~ az~ ~-~ -- a~ o ~ 0, d. h. y ~ bo~ + x~ az~ = 0.

Das bedeutet aber mit den Werten aus (2.4):

(2.5) Coo (y~ K ~ + XZM B~) = 0.

Die Coo diirfen nicht beide verschwinden. Es muB also z Bo~ (2. 6) Det (y~ K~,~ + XM z,] = 0

gelten. Der geometrisehe Ort der Mittelpunkte der Schmiegquadriken ist also ein 3-dimensionaler quadrat ischer Kegel. Das Besondere ist

o nun~ dal~ die Koeffizienten yon Y'MXM herausfallen. Wir erkennen dies bequem im kanonischen Koordinatensys tem. (2.4) lautet dort

oo:o (coo)(:co co:l (2.7) (a,z) = ; (b,o-) =

a~ o = 0 0 -- c2 o cl o B -- cl o--g-/

und die Gleiehungen (2. 5) und (2.6) erhalten die Form

(1 ( 2 . 8 ) Cl o XM + C2 0 yM --~- + yM C = 0 ; c2 o XM + Cl 0 yM B + yM = 0

XM XM -- yM ~ q- yM C yM B + yM ~ .~- 0

Durch eine Basis t ransformation innerhalb der T a n g e n t i a l - u n d Nor- malenebene bringen wir (2.9) flit hyperbolisehe Punkte auf die Form 24)

(2. 10 I~) (Xl) 2 - - (X2) 2 dr ~1 (Yl) 2 - - 82 (y2) 2 ~ - 0

und fiir elliptisehe Punkte auf die (jetzt reelle) Form

(2 . l o E ) + - ( y l ) - = o ,

~2) Hierfi ir mtissen wir Det (az~)q= 0 vorausse tzen ; diese und die folgenden Gleichungen gel ten aber auch im Fal le Det (at,,,) = 0~ wenn wir s ta t t x~ : Det (a~)x~, betrachten.

~3) Der Kegel schneidet die Tangen t ia lebene also in den konjugie r ten Rich- tungen.

~) Wir bezeichnen die neuen Koordina ten mit y~., x~,.

198 W. Klingenberg:

worin e~, ~e in Abh~ngigkei t von den 3. Ablei tungen von ~ die Wer te 1 oder 0 ~nnehmen kOnnen. Wit e rkennen : Jedem nichtparabolischen Flgchenpunkt ist ein 3-dimensionaler quadratischer Kegel (2. 6) bzw. (2.10) zugeordnet. Er ld[3t sich /iir Det (a~,~) 4= 0 als geometrischer Ort tier eigentlichen Mittelpunkte der Schmiegquadriken (2. 1), (2.4) charakteri- sieren - - fiir D e t ( a l m ) = 0 enthiilt er die zulgissigen Durchmesser- richtungen dieser Schmiegquadriken. Tangentialebene und Normalen- ebene sind konjugierte Ebenen beziiglich dieses Kegels. Wir haben damit eine geometr ische Kennzeichnung der Normalenebene als ganzer gewonnen.

3. D i e ~ u s g e z e i c h n e t e n S c h m i e g q u a d r i k e n . Beschr~nken wir uns auf hyperbol ische Punkte , so hat dcr Mit te lpunktskegel (2. 10H) i. ~. zwei reelle Geraden mit der Normalenebene gemeinsam ; auf diesen Geraden kann der Mit te lpunkt beliebig gew~hlt werden. Solche Schmieg- quadr iken sind also durch

1 2 (2. 11 a) XM ~ O; XM ~ - 0

gekennzeichnet . Damit folgt aus (2. 8):

(2. 12) C2o yM"~--t-yMC = 0; C10 y l u B + y M y = O.

C10 =- Ceo~---0 ist ausgeschlossen. Clo=~0, C2o:4 = 0 ist nur mSglich AD

ftir 9 B C = O, was jedoch i. a. nicht zu gelten braucht . Wir

kiinnen aber jedenfal ls den Gleichungen (2. 12) immer gentigen, und i. a. ist es auch notwendig, wenn wir

(2 .11b ) (I) C ~ o = 0 ; C2o4=0 oder (II) C~o~=0; C 2 o = 0 25)

setzen. Wenn die Beziehungen (2. l l a ) und (2. l i b ) beide gelten, sprechen wi t yon einer ausgezeichneten Schmiegquadrik. Wir finden z. B. flit die ausgezeichnete Schmiegquadr ik (I) mit (2. l l a , b) aus (2. 7):

A 0 0 C

a o o = 0 0 - -1 0 0 (al o) = (0~ O, O, c2 o); (az~) ~-~ .4 .4 ; a, e~-2-~ bel.

3 0 a --~ aC C~o

- - C 0 ~ C c~, ~ 0

A (A c,, a(C) ~) folgt, dallI die ausgezeichneten Aus Det(at~) = - g - 3 C~o

Schmiegquadr ikcn (I) dann und nur dann notwendig ein Paraboloid

~5) Da der 3-dimensionale Tangentialraum an die Schmiegquadrik im Ursprung durch f,C,oo = 0 gegeben ist, haben diese Quadriken die kennzeichnende Eigen- schaft, dal3 ihr Tangentialraum (y~-= 0 bzw. y~= 0) die Normalenebene in einer kanonischen Normalen schneidet.

Zur affinen Differentia|geometrie. 199

sind (d. h. Det (a~) = 0 gilt), wenn A = 0 ist. Andernfal ls l~tl~t sich

n~tmlich e~ immer so w~hlen, dab Det (at,~)q= 0 ist. c~o

Unter einer paraboloidischen Fleiche vers tehen wir eine Flgche, ffir die die ausgezeichneten Schmiegquadr iken (I) und (If) immer no twendig Paraboloide sind. Wir zeigen: Die paraboloidischen Schiebflgchen sind die Schiebfl~ichen mit ebenen Erzeugenden 26). Sie sind auch durch das Verschwinden der Koe/fizienten Be, z./ der kubischen Differentialformen gekennzeichnet. Die paraboloidisehen Flgchen sind n~tmlich naeh den obigen Bemerkungen im kanonischen Sys tem dureh A ~ B~,, = 0, D ~ B ~ = 0, d. h. mit (1.21) du tch t:~ : t~ ~-- 0 gekennzeichnet . Damit folgt fiir Schiebfl~tchen aus (1.30) mit (1 .30A):

D. h. insbesondere H = eonst, bei geeigneter Normierung ~7). Es gilt also

z:~ = z ~ = o ; < , = t: , = o ; t<~ = U ( u ) ; t < , = V ( v )

und mit dem Ansatz ~ = u (u) + ~ (v) werden die Ablei tungsgle ichungen

und damit n , , , = u " : U ( u ) u ' ; rt~,~ = , '" = V ( v ) , ' .

Da U(u) und V(v) beliebige Funk t ionen sind, bedeuten diese Gleiehun- gen welter nichts, als dais n(u) und ~(v) beliebige ebene Kurven sind. - - Da sehliefSlieh f~ir paraboloidisehe Schiebfl~tehen neben B~, und B~,, naeh (1.21) auch B~ , : - G Z~ und B~=, = - G Z~, versehwinden, gilt ,o B~a7 -- 0~ q. e. d.

w

Semisph~iren. 1. D e f i n i t i o n u n d a l l g e m e i n e E i g e n s e h a f t e n . In I w

haben wir for einen Punk t ~ die Gesamthei t der Schni t tpunkte be- nachbar te r Normalenebenen mit der Normalenebene in diesem Punk t be t raehte t . Die Koordina ten ~ dieser sog. Kri~mmungsspur in der

o 3. Normalenebene sind naeh I (3.3) du tch Det (~z + 4, t2o~)= 0 gegeben. Ftir eine F,. im A, ist die Kr t immungsspur also ein in der Normalen- ebene ver laufender Kegelschnit t . Ftir jedes Paa r ).e(o (i----- 1, 2) kon- jug ie r te r Punk te auf diesem Kegetsehni t t erhal ten wir aus

( ~ + ~,~;~ ~ ) d no = o

28) Vgl. das S. 195 fiber diese Fl~chen Gesagte. 27) Zungchst k6nnen wir jedenfalls H : u q - v und damit H , ~ : Z:~ = 1 und

H~=Z2~2= 1 anuehmen. Dann lgl~t sich aber immer mit der Transformation u * = e U ; v * = e " Z * ~ - - Z * ~ : 0 , d.h. / / * = H ~ 0 erreichen.

200 W. Klmgenberg:

zwei Riehtungen in der Tangentialebene; sie entsprechen denjenigen Naehbarpunkten ~ + ~adu ~, deren Normalenebene mit der Normalen- ebene in ~ gcrade die Punkte Z,~ gemeinsam hat. Ausgezeiehneten Punkten auf dem Kegelschnitt werden aueh ausgezeiehnete Riehtun- gen in der Tangentialebene entsprechen. Als solche bieten sieh die unendlich fernen Punkte an. Die diesen Punkten entsprechenden Riehtungen sind dureh

(3.1) Z Q ~ d u ~ ---- 0

gegeben. Wir bezeichnen sie als [Iauptkri immungsrichtungen. Durch Elimination yon ZQ erhalten wir in

5 "12 .fZ~I (3.2) Det ($2Z~gu ~) ~-- O, d. h. = ~ .-1~ ~2~ d u ~ du~ = 0

die Differentialgleichung der Hauptkri~mmungslinien. Verstehen wir unter dem Normalenbi ld unserer F~ das aus dem

Schnitt des Normalenebensystems mit dem den A, begrenzenden projektiven 3-dimensionalen Raum entstehende Geradensystem

(3.3) Zr no,

so lassen sich unsere Hauptkrtimmungslinien auch als die Torsal- linien dieses Geradensystems auffassen. Denn (3.2) li~l~t sich auch in der Form

~ 8 n ~ r . (3.4) ,n~, 0u~, au~ du ~du~ = 0

schreiben. Indem wir (in naheliegender Analogie) in einem (2-para- metrigen) Ebenensystem des A~ die dutch (3.4) ausgezeichneten Ebenen- scharen als Hypertorsen ~s) bezeichnen, kSnnen wit auch sagen: Die Hauptkriimmungslinien sind diejenigen Kurven, l~ngs derer die Nor- malenebenen eine t typertorse bilden.

Wir nennen eine Fl~tche Semisphdire~ wenn jede Kurve der Fl~che Hauptkrtimmungslinie ist. Die Koeffizienten yon (3. 2) mtissen dann identisch verschwinden :

(3 .5) + + = o

ist die Differentialgleichung der Semisph~tren. Deutet man diese Glei- chung im Normalenbild, so besagt sie, dal~ das Geradensystem (3.3) singul~tr ist, d.h. dais es in ein Geradenbiindel oder Geradenfeld entartet~). Es gilt also fiir je zwei Normalenebenen (111, n:) und (n*, n*):

I11. n*, te l = o.

~s) Dieser Begriff ist umfassender als der yon BURSTIN und MAYER 2) eingefiihrte Begriff.

~~ Vgl. etwa S.~cnn, Projektive Liniengeometrie, Berlin 1937, S. 96.

Zur affinen Differentiaigeometrie. 201

Eine Semisphdre ist also dadurch gekennzeichnet, da/3 entweder ]ede Normalenebene eine zu einer festen Geraden parallele Gerade enthdlt oder die Richtungen aller Normalenebenen in einem A~ liegen.

2. D i e s e m i s p h ~ r i s c h e n S c h i e b f t i ~ c h e n . Die kennzeich- nenden Gleichungen (3.5) erhalten ffir Schiebfi~chen mit (1.30) die Form

(3.6) ~2:~1 = 0; ~2"~o + (1)~--~2~2"~ = 0; ~T~._ l --~ O.

Da diese FRtchen ftir beliebige Affinit~ten erkl~rt sind, k6nnen wir in (1.30) G = 1 setzen. Wir diskutieren zuni~chst den Fall I = 0 und zeigen im Anschluf~ daran, dab es zu I =]= 0 keine Fl~chen gibt.

I = 0 bedeutet nach (1.30a): H ~ = 0, d. h. H = c0nstS~ bei geeigneter Normierung. Aus (1.30b) und (3.6) wird

1) t:~ = 0. Es folgt aus (1.30d): t2:~ = 0 und damit aus (3.7): (A) tT,~ = 0. An wesentlichen Gleichungen bleiben aus (1.30) damit

iibrig (1.30d) t : ~ , , + $ ~ : ~ = 0 ; (1 .30e) tT~, ,~=0;

(1.30f) ~ , ~ + t : , ~ - ~ - O . D h.

(3. s) t t : ~ = v ( v ) , t: . . . . - v ( v ) t:~ = o .

Wir kSnnen ~ ~---u(u)+V(v) ansetzen; dann lauten die vier nicht identisch erftillten Ableitungsgleichungen unter Verwendung der (durch Berii.eksichtigung unserer obigen Annahmen entstehenden) Gleichungen (1.3o):

~i~ = I t " = 111; ~ = t f ' ~ 11~

und damit

(3.9) (a) n,,,=u'"=t~l,"-t~,,,,' (b) n~,, = ~ " ' = V(~) , ' .

V(v) ist beliebig. Dann bedeutet (3. 9b), dag D' und damit aueh t~ eine beliebige ebene Kurve besehreibt. Sie darf nur keine Gerade sein, da dann die Fl~ehe ausgeartet ist (s. u.):

~(v) = Q,(v)b,+Q~(v)fi,; Q',Q;'-Q;Q; =~ O.

Die rechte Seite yon (3.9a) ist wegen (3.8) in der Tat unabh~ngig von v, so dal~ wir sie in der Form P* (u) t}~ + P* (u) b~ schreiben k0nnen.

Die homogene Gleichung (3.9a) ftir u hat die L5sungen u a~+ ~ a,,

so dal~ wit (unter Verwendung neuer Abktirzungen)

3o) Vgl. Anm. 27.

202 W. Klingenberg:

erhalten. Damit haben wir f/Jr die erste Klasse semisphgrischer Sehieb- fli~ehen die Darstellung

(3.10) ~ = ; n~----- ; Pl(u) + Ql(v) P;

\ P~(u) + Q2 (v) P; o) (o) 0 1 Q; Q;"-- Q; Q'I" 0 n2 = Q~, - Y Q; Q;" - Q; QI' Q~ '

Q; Q~

wobei wir die Affinnormalen n, und n~ aus (1.22) erhalten. Wit erhalten alle Fl~chen yore Typ (3.10), wenn wit in einer (52, 5,)-

Ebene zwei beliebige Kurven (P~(u), P~(u)) und (Q~(v), Q.~(v)) (jedoch (Q~(v), Q~(v)) keine Gerade) vorgeben. L~ngs der Kurve (P~(u), P,(u)) t ragen wir dann in einer yon (b,, I)~) unabh~ngigen Ebene (a,, ct~) eine Parabel ab. Verschieben wir die hierdurch ents tandene Kurve K l~ngs der Kurve (Q,(v), Q~(v)) parallel, so wird durch K die Flache (3. 10) beschrieben. - - Die Richtungen der Affinnormalen liegen ganz in dem yon (a , 51, b~) aufgespannten Raum, das Normalenbild ist also in ein Geradenfeld entartet , n~ stimmt mit der Affinnormalen der ebenen Kurve (Q~(v), Q,(v)) fiberein.

(B) ~q:, = 0. Es bleiben an wesentliehen Gleiehungen yon (1.30) damit tibrig :

(1.30d) t : , , , + ~ 2 ~ 1 = 0 ; (1.30e) ~q1,i,~=0;

(1.30 f) ~2~,,,~ ~-= 0. D. h.

~:~=V(u); t: . . . . = o .

Wir erhalten mit demselben Ansatz wie oben

(a) u"' - U(u) u' = t : , , " - t L , , ~' (3.11) (b) ~" '~- 0.

(~)~ ~ . Hieraus folgt zun~chst ~ ~-~ vS~-t- 2 ~ ' die reehte Seite yon (3.11 a)

ist wieder eine beliebige~ nur yon u abh~ngige Kurve in der (w ~)~)- Ebene, Darnit wird

n (u) = L,(u) a~ § L, (u) a~ + /~1 (U) t~ 1 "~ P~ (u) b2, d . h .

[ LI(u) \ [ L,(u) \

(3.12) ~ = I P~(u) + v I ;


(d) (3. 13)

(e)

(f)

und (3.6) wird

(h)

___ [ L~' 1 L[ L;" -- Z; L'~" L (3. 12) n, ~ p,, 3 LIL'~' - - Z ; Z ' ( P ' ] ; 1t, = .

\ p, , p ;

Wir erhalten alle Flgchen yore Typ (3. 12), wenn wir llings einer bel iebigen Kurve u ( u ) e i n e feste Parabe l parallel verschieben, n, hat die Durchmesserr ichtung dieser Parabe l ; alle Affinnormalen haben also diese Richtung gemeinsam, das Normalenbild ist ein Geradenbtindel. Bet rachten w i r d i e Pro jek t ion der Kurve u(u) in die yon der Parabel- ebene unabh~tngige Ebene (at~ %), so st immt ihre Affinnormale mit der proj izierten AffinnormaIen n~ iiberein.

2) t',, = 0. Dieser Fall ftihrt offenbar auf dieselben Flgchen; denn in den Bet rach tungen werden nur u und v ver tauscht .

Wir setzen jetzt I=[--0 voraus. Dann mug wegen (3.6) gel ten: ~2~1 ~ t2~ ~ 0. Damit erhglt (1.30) die Form

(a,b) I - ~ - H,~ , ; t~,t'~, -~- - - 3 H, ,~

t~l, ~ + 2 t~ H,~ + ~ = 0; tL, ~ + 2 t;, H ~ + P.;~ = 0

1 , , - - H , 1 1 = t : , $ 2 ; ~ ; I . . - - H . ~ l = t ~ o l 2 : ~

~L ~:, = (I) ~

Wegen 1--4= 0 gilt also auch, wie wir hieraus entnehmen,

t~, t'11, H . , , ~ , , ~ : ~ ~= 0.

Wir zeigen, da$ dies zu einem Widersprueh ftihrt, wenn wit einige Fo lgerungen aus (3. 13) ziehen: (3. 13f) bedeute t

~:~ = v ( u ) e - " --I= o; ~z;~ = v ( v ) e - " # o.

Mit (3. 13h) und (3. 13a) erhalten wir

I = - - H , ~ = V ~ V e -n, d.h. el. " [ lge - ' ] , , , - -V ~ V .

Die allgemeine Ltisung dieser LIOUVmLE'schen Differentialgleichung ist 3~)

2 U' V I r~l e - ~ = V ~ [ ~ - + V]' ; (u), v'(v) ~ o bel.

Dureh geeignete Normierung k(innen wir U = u, V = v erreiehen und damit

2 1 2 1 2 H , _ u + ~ + ~ (lgU)'; H,~-- u + v + ~(lgV)'; H , , , - - - - ( ~ + ~ ) , .

al) Vgl. JORDAN, Cours d'analyse III, Paris 1887, Kap. 3, Nr. 277.

9,04 W. Klingenberg:

Aus (3.13 b, h) und (3 .13a) erhalten wir hiermit 24

~2~ ~2:, t~ t:, --~ (I) ~(- 3 H,, ~) ---- -- 3 (H,1 ~)8 = (u ~- V) s "

Die Gleichungen (3.13e) werden damit

(~ + v) ~ (u + ~)~ + Jg u)' = t:~ ~ o

24 Das P roduk t dieser Gleichungen kSnnen wir gleich (ud-v) ~ se tzen:

(3 .14) (s + (u + v) 0g ~)') (s + (u + v)(lg v)') = 24.

Dies mul~ identisch erftillt sein ; daraus ergibt sich nun ein Widerspruch. Denn zun~tchst folgt (lg U)' d = const, (lg V)' =4= const. Wir differenzieren (3.14) nach u und v und erhalten durch Subt rak t ion

(Ig u)" (s + (u + v) 0g v)') - - (Ig v)" (s + (u + v)(lg ~)') und daraus mit (3. 14)

24 (lg u)" = (1 g v)" (s + (u + v) 0g u)')~; 24 (lg v)" = 0g u)" (s + (u + ~)(lg v)') ~.

Weil (lgU)" ~ 0, (lgV)" =]= O, kOnnen wir die gemischte logari thmische Able i tung bilden :

8 8 (lg U)" = (Ig U) ': (Ig U)' - - a - -u (a bel.)

d . h . 8 8(lgV)" = (IgV) ''~ ( I g V ) ' - - b--v (b bel.).

womit aus (3. 14) 64 (a + v) (b + u) : ( a - u) (b -- v) folgt, was sicher nicht identisch erfiillbar ist, q. e. d.

Wir haben das Ergebnis : Die semispMirischen Schiebfl(ichen werden durch Gleichungen yon der Form (3. 10) (das Normalenbi ld ist ein Geradenfeld) und yon der Form (3.12) (das Normalenbi ld ist ein Geradenbiindel) dargestel l t 3~).

w

Die Sph~/ren.

1. D i e a l l g e m e i n e n S p h / ~ r e n . Naeh Teil I w vers tehen wir unter Sph~iren solche F1/~chen, bei denen alle Normalenebenen eine feste Gerade gemeinsam haben33). Sie sind naeh I (3 .6) durch

(4.1) t2zo~= c~6~, d .h . ~2 ~-. k ~ = t2~ ** ~ t 2 i k ; ~2~k i~ ----- 0

82) Die einzige unter (3.10) und (3. 12) enthaltene elliptische F1/~che wird wegen der Gleichungen (1.26*) durch (4. 6) dargestellt. Vgl. die dortige Diskussion.

as) Die Sph/~ren sind offenbar Spezialf~tlle der Semisph~ren; denn das Krfim- mungsbild einer Sph/~re ist ein Geradenbfindel.


gekennzeiehnet. Wir sehreiben zunlichst die Integrabilit~tsbedingungen und Folgerungen aus der Wahl des kanonischen Koordinatensystems (1.26) auf, wie sie sieh mit (4. 1) ftir Sphliren ergeben. Dabei stellen wit (1.26 g) und (4.1) unter (4.2 g) zusammen. - - Zun~tehst folgt mit (4.1) aus (1.26a, b), dal~ wir Z~-----K~ und Z~ = H~ setzen k(Snnen. Wir erhalten damit aus (1.26):

(a) H ~ = K , ~ + K , ~ K , ~ ; Z~1~=K#

(b) K , ~ - 2 H , ~ = t ~ t ~ ; Z ~ = - H ~

(e) G~Q~ : K, i i + K ~K ~ - K, iH, i

(d) ~ , k = t~i(K,~ -- 2 H,k) (4 .2) (e) ~,,,~ = w:~. (K,~ - (lg G),~)

B ~ = G; B~k B ~ 0; i ': ---- ~--- Z ~ = 0 ; t i ~ : 2 H , ~ - - ( i g G ) , ~

2 (4.2I) H,,: : (lg G),i- -gK,,

(4. 2 A) G = ~.

Dieses System kennzeiehnet also die Sphgren. Wir wollen zeigen, wie es sich bis auf einen Fall vollst~ndig durehdiskutieren l~[tt. Es ist zu vermuten, dal~ dieser Fall auf einen Widerspruch ffihrt, so dal~ wir dann mit den im folgenden angeffihrten Typen a l l e Sph~ren erhalten. Wir verwenden die bei allgemeinen AffiniS~tten mSgliche Vereinfachung G ~ 1 und diskutieren naeheinander die alle MSglieh- keiten erschSpfenden F~tlle

(B) ~2',, ~= 0; n2~,

(D) $2~, = 0; S~

(E) w,, = o; eg~

Aus (4.2 d) folgt

# o ; t ' . # o ; t ~ , # o ~=0; t ~ = 0 ; t~,bel.

= 0 ; tt2~ = 0 ; t~, bel. ~)

: o ; t~2 + o; t~,,=~ o = 0 ; t'~ = 0 ; t~, be l .

; t~ , t~, + 0.

t~, --~ U* (u) e K-2u =@ 0 ; t~, = V* (v) e K - 2 " 4= 0.

Aus (4. 2b) ergibt sich damit die LIOUVILLEsche Differentialgleichung

(K - - 2 H), , , = U* V* e ~ ( K - 2 . ) , d.h.

C2(K--2H) ~ U t V t

8*v*[ f f+ p]2 4= 0.

8,) t[, q= 0 l~l~t sich sofort ausschliel~en (~. u.).

206 W. Klingenberg:

Wir wlihlen U und V als neue Paramete r ss) und erhal ten so

1 1 (K-2H),~-- ~+~ ~0g~*)'; 1

~- (lg V*)'; (K -- 2 H),,~ - - 1 (A1) ( K - 2 H),~-- u+v (u+v) ~"

Aus (4. 2 e) erhal ten wir

(A 2) tt~, ~ U (u) e ~ + o; t~ L = V(v) e K + o.

Damit wird (4. 2 f) unter Verwendung yon (A 1):

UK, I+U I U( 1 1 ) 2 - K , , + ( l g U * ) ' + ~ - ~ - t , , V

(A 3) VK,~+V' -V g,~+ ( l g V * ) ' + ~ = t',~U.

Das Produkt dieser Gleiehungen wird wegen (4.2b) und (A 1)

(1 + (u + v) �89 (lg U* U-2) ') (1 + (u + v) �89 (ig V*. V-2) ') = 1.

Diese Gleiehung mug identiseh erffillt sein. Diskutieren wir sie ebenso wie Gleiehung (3.14), so erhal ten wir

(A4) lg'U*U-2) '~-- a - u ; 2- (lg V* V-~)' - - _ a _ v ,

wobei die rechten Seiten auch Null sein kSnnen, was wir durch -- co <_ a ~ c~ ausdrticken. (A 4) bedeutet , je naehdem die rechten Seiten ungleich oder gleich Nu]l sind~

Uc Vd U * ~ (~--~)w; V * - - oder U* ~-Uc; V * = Vd.

- (a + v) ~

Wie man sich leicht an Hand yon (A 3) iiberlegt, m u $ c ~---d sein. Dann reduziert sich (4.2) (nach Elimination yon H mit Hilfe yon (A 1)) auf die Gleichungen (4. 2 a) und (4.2 c):

1 1 ( 1 1 ) K , , , ~ - U e K - ~ K ~ K , , + ~ K , ~ ( l g U ) ' + ~ - + T ~ u _ u

( - ~ < _ a < ~ + ~ )

(4.3) 1 K ,~ - - (u + v) ~ 2 K , K~ (U (u), V(v) ~ 0 bel.)

12 1 ( 1 1 ) K,~ .~-Ve K - K,~K,,+~K,,~ (lg V)' + ~ + v- § ~ - a _ v .

Die Diskussion der Integrabilit~ttsbedingungen ffihrte bisher zu keinem Ergebnis. Es ist jedoch zu vermuten (auch im Hinblick auf alas wider- spruchsvolle System (4.4)), dal~ sie auf einen Widerspruch fiihrt.

(B) -q~,, t2~ :l= 0; t'~2 = 0, t~, beliebig. Damit folgt aus (4. 2 b):

(B1) K , , , - - 2 H,,, ~-~-0 ; S - - 2 H = U ( u ) + P ( v ) .

85) Wegen U' V '~ 0 ist das immer m6glich.


Hiermit erhal ten wir aus (4, 2 a) und (4. 2 e) mit (4. 2 e) bzw. (A 2):

K,H = U e K - � 8 9 1 8 9 '

(4. 4) K ,~ = -- 2 K,, K,~

K , , , - - - V e K - � 8 9 K , , V '.

Die Integrabil i t~ttsbedingungen liefern K , K,, = U e K ; K .~ K,,, = V e K. Da-

mit ~rgibt ~i~h ~us K, , = } V ~ ~ " n d K, , = - e K , K , = -- 2VU-V ~ ein Widerspruch gegen unsere Annahme (B).

(C) t2',, ~ 0, ~ , = 0. Dann folgt aus (4. 2f) notwendig t~ ~---0, t~, beliebig und damit (B 1). Es ist je tz t in (4.4) V ~ 0 zu setzen. K , a = K~,x liefert K,, K= K,, ~--- 0, d.h. K,, = 07 denn K , ---- 0 ist wegen St~, ~ - U e K 4= 0 ausgeschlossen. Aus (4 .2a) folgt hiermit H,,, = 0, d .h . H----const86). Damit bleiben an wesent l ichen G l e i c h u n g e n a u s (4. 2):

( 4 . 2 c ) : ~2~, : K , ~ K , , + K , ~ , ; ( 4 . 2 d ) : t~,,,~ 0;

(4.~e): a' , . ,=o; (4.~f): ~ , , , = o . Hieraus folgt: t',, ---- U* (u), ~21~ ----- -- c ~ O, so dab wir (c) ~ = 1 wtthlen k6nnen, und

Die Ablei tungsgle ichungen ergeben sich hiermit zu

~11 ~ l~l

~. = Vc Ctg K u ~.~ ~t.2, 1 : V T e t g g c u n,

~ ~ It_, 11,, ~ ~ O.

Hieraus ergibt sich, bezogen auf ein Basissys tem a,, a,, b , , 15~: (sin u) r 1/c u ~

~ - ~ v ( V c u ) + s i n V c u ( ~ ;

o (4.5)

- ~ ~o~ V~u ~ o

- - c v sin I /c u 0

Die Brennfl~tche einer Sph~tre ist in die allen Normalebenen gemeinsame feste Gerade entar tet . Diese , ,Mi t te lgerade" ist gemi*15 I (3.4) u n d I ( 3 . 7 ) d u r c h ~ + ) 2 n o m i t aoc o + l = 0 7 d.h . w e g e n c ~ $ 2 ] ~ = - - c

36) V g l . 27).

208 W. Klingenberg:

1 und c~ = ~ = 0 dureh g + c n, + )~' n2 gegeben ; wegen (4. 5) k6nnen

wir hierftir sehreiben : ~ rt~ ~--- ~ sin Vcu fi, (mit). =-- P + c-' P" + )3). Man erkennt, wie man sieh die Sph~tre aus einer (mit ver~ndertem u iihnlieh veri~nderten) Parabel aufgebaut denken kann, die entlang einer auf einem elliptisehen oder hyperbolisehen Zylinder (je naehdem c = 1 oder c = -- 1 ist) beliebig verlaufenden Raumkurve parallel versehoben wird. Die Aehse dieses Zylinders ist die Mittelgerade der Sphere. n~ hat die Riehtung dieser Aehse. Die Projektion der Sph~tre in die yon der Parabelebene unabh~tngige Ebene (a,, a~) ist eine Ellipse bzw. Hyperbel, und n, geht dabei in die Affinnormale dieses Kegelsehnitts fiber.

Die 3-dimensionalen Hyperebenen, die die Mittelgerade der Sph~tren enthalten, bilden eine 2-parametrige Sehar. Wit betraehten den Sehnitt to tier Sph~tre mit einer solehen I-Iyperebene, die dutch (a, + fl~ b,, a~ +/~.. I)o, 155) aufgespannt werde. Nit dieser Darstellung sind Hyperebenen, die lb2 enthalten, ausgesehlossen. Wit erhalten die Sehnittkurve ro aus

mit

1 0 0 sin Vcu

o 1 o cosVcu

0 0 1 P + ~ - s i n l / c u

fl~ fl.. 0 v sinVcu

----0 : to----

sin V c u \

c o s 1/cu I P* (u) /

P* (Vc~) =- e (Vcu) + ~ , ~i, V~ V~.)~ sin l, ~/-c u.

Der Schnitt der Sphdre (4.5) mit einer beliebigen die Mittelgerade I)~ der SpMire enthaltenden (aber nicht ~ enthaltenden) Hyperebene ist eine auf einem elliptischen bzw. hyperbolischen Zylinder beliebig ver- laufende Raumkurve. Die zu einem Punkt tier Sehnittkurve geh6rende Affinnormalenebene wird yon diesem Punkt und der Achse des Zylinders aufgespannt.

Betrachten wir schliel31ich die einparametrige Schar yon Hyper- ebenen, die neben der Mittelgeraden b~ auch b~ enthalten. Sie werden

von (sin Vc~a, + cos Vc~ a~, 15~, 5~) aufgespannt. Wir erhalten aus

s inVca o o s inVcu

cosVc~ o o cos/cu

o ~ o e+ sinVcu 0 1 v s inVcu

t0=- P (~)+ 2 sinV c~ .

v sin Vc~

--= sinV c ( a - u ) = 0 :


Wir erhalten also zwei kongruente entgegengeriehtete Parabeln, die speziell ftir ~ = 0 in ein Punktepaar entarten.

(D) S2',, = 5Z~, : 0; t~ 4 = 0; t~, 4= 0. Diese Annahme ftihrt auf einen Widersprueh: Wit erhalten zun~.chst wieder die Gleichung (A 1) S. 206 und damit an wesentl iehen Gleiehungen das aus (4 .2a) und (4. 2 e) gebildete System (K, und K , sind ungleieh Null):

- ( K - 2 H) ,~ = K ~ + 9, (lg K,~),, 1

<D1) - - ( K - 2 H ) , , ~ = (u+v)= = K,,, + g K,, K,,

- - ( K - - 2 H), . , = K : + 2 ( l g K , , ) , ~ ;

dami t

(D 2)

dami t

oder

(lg K,,),,~ -~ K , K .

(lg K,,), ,, = K,, K,~ ;

K,11 lg~,~J,,~ = O, d .h . K,~ e s(€ + K,,~ e ~(~) :~ 0

�9 ' = Vc ( ~ i . V~*)-'; Wir setzen

1/c f ~ e u d .h .

ezP = _ _ . B '

Hiermit wird aus (D 2): (lg O')" = q)", d, h.

a," = - c ~ V c , ~ i . 1/~-~)-~; c 4= 0 bel. aT).

= lgA(u) ; + V c f e S d v -~- lgB(v),

VC e R = A ' B r ~ - 4: o; ++_Vces=-g~o und erhalten damit aus der mitt leren Gleiehung (D 1):

(D 3) 1 _ _ A2 (u + ~)~ - - + eR+S(O" + 2 r 2 A' B' - - (A 2 - - B~)~ ( 4 A B - - - B2) .

Diese Gleiehung enth~tlt aber einen Widersprueh: Wir bilden die ge- misehte logari thmisehe Ableitung und finden

1 2A 'B ' A" - -3A~B- t -15A4B2- -34AaBa- l -15A2B*- -3AB~+B6 ( u + v ) 2 - - (A S - B ~ ) ~' = ( 4 A B - - A ~ - B 2 ) z

Zusammen mit (D 3) ergibt sieh ein homogenes Poiynom 6. Grades in A und B, was nur fiir A ' = B ' ~ 0 identisch erfiillbar ist.

(E) t2',1 = t2]~ ----- 0; t~ = 0, t~, beliebig. Dann gilt wieder (B 1) und in (4.4) ist U = V ~ 0 zu setzen. Die Integrabil i t~tsbedingungen fiihren

a~) Ftir lira c = 0 wird 4, = #-' ; auch dieser Fall ftihrt analog zu dem Fall e + 0 auf einen Widerspruch.

Mathematische Zeitschrift. Bd. 54. 14

210 W. Klingenberg:

au f K,,K,,K,~ = K,2K, o K, , -~-0 , d . h . auf die F~tlle

(I)

( I I )

( I I I )

(I) K,t ~ O, K,~ = O. Wi r h a b e n u n d e r h a l t e n dami t u n m i t t e l b a r die

1

H i e r a u s e rg ib t s i ch so fo r t

( ~ . 6 ) ~ = P(u) + u

0

K , 1 =#5 = O, g , 2 : O;

K,I = 0 ; K,2 ~ 0 ;

K,I~---0 ; K,~ = 0.

den Fa l l (C) mit lim c = 0 v o r uns A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n

n,., = u* (u) n~

n~,~ = 0 1

n2,~ = 0 .

\ v / 0 0

(II) K, 1 ~ 0, K, 2 =P 0. Es fo lg t mi t H 1 ~ = 0, d. h. H = cons t aus (4. 2 c):

1 K,.~2+K,~K,~=O, d . h . K , 2 = Z ~ 0

u n d aus (4. 2 d)

t?,,2--t,,2 T1 ~ _ 0 , d . h . t~,, = vU*(u) .

D a m i t fo lg t aus

Itl, 1 = v U * l l 2 ~la = l i t 1

1 121,3 : v l l t

n2, ~ = 0

~22 : - 112 1t2, ~ = 0

ohne we i t e r e s die F1/~chendars te l lung

( 4 . 7 ) ~ = v + �9 ;

. v .

II 1 -~- V , ; 113 =

(o) 0

1 "

0

(III) K,I = 0~ K,2 ~ 0. In den A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n u n t e r (II) is t j e t z t also w e g e n K , 2 ~ Z ~ , ~ - - t ~ = 0 und t ~ . - U*(u) an Stel le y o n

Zur affinen Differentialgeometrie.

V-' :O und an Stelle von v U * : U * zu setzen. Wir erhalten damit

((i)(i) (4.8) ~ = + ; n , = , ; n~----

0

211

meter dargestellt dureh

(4. 9) ~ - - (~)2--(v)~ ; n , = ; n ~ = . 2 0

u v 0 1

Die uneigentlichen Sph~tren sind durch ~ , ~- t2~.~ = 0 (vgl. I (3.8)) gekennzeichnet; sie werden also durch die vollstgndig diskutierten Falle (D) und (E) reprasentiert: Mit (4.6), (4.7), (4. 8) und (4.9) haben wir alle uneigentlichen Sphdiren bestimrnt. Ob (4. 5) auch alle eigentlichen Sphdren ersch6pft, h~ingt yon der Diskussion des Systemes (4.3) ab. Dieser Fall ist der einzige noch offene Fall, in dem wegen t2',, # 0, t2~2 # 0 die Mittelgerade nicht zu einer kanonischen Normalen parallel ist. Die Frage nach a l l e n eigentlichen Sph~tren ist also gleichbedeutend mit der Frage, ob bei einer eigentlichen Sphare die Mittelgerade die Richtung einer kanonischen Normalen hat.

14"

In allen drei F~tllen (4.6), (4.7) und (4.8) sind die Normalenebenen in den versehiedenen Punkten der Flliche zueinander parallel, d.h. sie haben eine uneigentliehe Gerade gemeinsam. Von diesen sog. uneigentlichen Sph~tren ist (4.6) ein Gegensttick zu (4.5), indem an die Stelle des elliptischen bzw. hyperbolischen Zylinders ein paraboliseher Zytinder tritt. Die uneigentliche Achse dieses Zylinders ist die allen Normalenebenen gemeinsame Gerade. Aueh die Fl~tehen (4. 7) und (4. 8) bauen sich in einsiehtiger Weise aus einer auf einem solchen para- bolischen Zylinder verlaufenden Raumkurve und einer Parabel auf.

Die obigen ~3berlegungen gelten zuni~chst nur ftir hyperbolische Flgehen. Ftir elliptische Fl~tchen sind sie auf Grund der zusgtzlichen Beziehung (1.26*) folgendermal~en zu modifizieren:

(A) Dieser Fall bleibt often. (B) Es ist auch t~,-~--t~.~ ~ 0. Ein Widerspruch ergibt sieh jedoch

ebenso wie oben. (C) Es ist auch t21n-----tB~,~ ~ 0. Wir kommen damit notwendig zu

(D) bzw. (E). (D) Dies ftihrt wie oben auf einen Widerspruch. (E) Dies f[ihrt wegen ' -' ' ~ tl,~--- t ~ : 0 und wegen Z,_~----- K,, : Z 2 , -= K,, ~ 0

auf den Typ (4.8) mit P(u)=--O. Die einzige den oben aufgeftihrten hyperbolischen Typen ent-

sprechende elliptische Sph~tre wird also nach Einftihrung reeller Para-

212 W. Klingenberg:

2. D i e s p h g r i s e h e n S e h i e b f l g e h e n . Die Sehiebflgehen sind naeh (1.28) dureh Z i~= 0, d.h. far Sph~tren naeh (4. 2) dureh K , ~-- K~ = 0 gekennzeiehnet . Die einzigen Sph~tren mit dieser Eigensehaf t sind in der obigen Diskussion die hyperbotisehe Flgehe (4.8) und die elliptisehe Ftgehe (4.9). Damit haben wir ein Gegenstt iek zu einem Satz der klassisehen affinen Fl~tehentheorie yon REIDEMEISTER und ARTINSS): E8 gibt keine eigentlichen sphfirischen Schiebfl~ichen. Die uneigentlichen haben die Gestalt (4.8) oder (4.9).

w

Minimalflilehen.

1. D i e D e f i n i t i o n s g ] e i c h u ng. Besehrgnken wir uns auf inhalts- t reue Affinit~tten, so kGnnen wir nach I w 1 eine Affinoberfl~tche

dureh f l T l , ~ d u ~ f �88 12 IS],2du ~ erklgren. Wenn die erste Variat ion des 2 2

Oberfl~ehenintegrals versehwindet , spreehen wir yon einer Minimal- flgiche. Spezialisieren wir die sieh daraus ergebenden Gleiehungen I (2.21) auf das kanonisehe Koordina tensys tem, so erhalten wir naeh einiger Reehnung unter Verwendung yon (t. 26) und (1. g6I) :

(s2~k + 3~q~z) - Z~kZik = 0. (5.1) 3 G k k k

2. D i e M i n i m a l s e h i e b f l g c h e n . Wir gehen yon den Gleichungen (1.30) und (1.30 I) ftir Sehiebfl~ehen bei inhal ts t reuen Affinit~ten aus. Die kennzeichnende Bedingung (5.1) ftir Minimalfl~chen wird damit

(5.2) S ~ , = 0 ; ~ = 0

und wir erhal ten an wesentl iehen Gleiehungen aus (1.30) mit (1.30 I):

(a) G I = -- (lg G),,,

(b) t'~, t~, = - 3 0 g G),,~

(5.3) (d) t~,., + 2 t~, (lg G),, + G ~ , ~- 0 ; ta~,, + 2 t'~ (lg G),, + G t2~= ---- 0

Of) ~ = + 9 n-:1 (lg o),~ = o; ~{, . , + 2 a{.~ 0g O),, = 0.

Wir diskut ieren die Fglle (A) S~ =4= O,

(c ) a~, = o,

t2'2~ 4= 0;

s~ , = o ;

a2~ = O.

(A) t2~114 =0, ~ ; 2 4 = 0 ; d .h . auch 1 4 =0 wegen (5.3e) und (5.3d). Damit ftihrt diese Annahme auf einen Widersprueh, denn es folgt aus (5.3 f):

~', , = g (u) G-'; -% = v(,~) G-'

~8) Siehe BLASCHKE ll), S. 236.

332 N. Stuloff:

Auf diese kann also der Satz 1 angewendet werden und man kann mit

(3) :(x) = ~(x) - v(x)

schreiben :

n - - + c o - - ~ n ( n ) e n l i ~ (-- ~-)~ /(') (-]-) = lim ( _4 ) ~ ( - ] - ) - 2 i r a ( - 7 ) ~b( ')(~),

da ja wegen Satz 1 die beiden reehts s tehenden Limites existieren und die GrOl3en a~ bzw. fl, ergeben. Somit liefert der links stehende Grenzwert die Koeffizienten a,, mit den dazugehSrigen Exponenten A - - Z~. Insbesondere versehwindet er far alle A =[= ,l v und damit das ganze hinter dem Summenzeiehen in der Behauptung stehende Produkt , Die in e -ax zu verbleibenden A ~ 0 werden (lurch den ersten Fak to r vorgesehrieben und bilden also gem~t!3 Satz 1 eine hSchstens abz~thl- bare Menge, so dab wir den Ausdruek in der Behauptung wieder als eine fiber alle 0 < A < co zu ers t reekende Summe stehen lassen kSnnen. Damit ist der Satz 3 bewiesen.

Beschr~tnkt man sich z. B. auf solehe Funkt ionen, die durch die sog. gewShnlichen Dmm~LET'sehen Reihen

c o

(ffir x > o abs. konvergent)

darstel lbar sind, so lautet die Entwieklung, nachdem man in Satz 3 ~t~ = lg v (v = 2, 3, 4, .. .) gesetzt hat:

1 /(x) ~ ... lim - /(~)

, = 2 ~

Ebenso einfach l~tgt sich der Satz 2 auf das erweiter te Momenten- problem fibertragen. Bezeichnet nach wie vor # die Sprungste]le und a(O) die evtl. negat ive Sprunggr61~e der schwankungsbeschrdnkten Belegungsfunkt ion Z(u), so erhalten wit den

S a t z 4. Ist ~(x) das Moment einer in O ~ u ~ 1 schwankungsbeschr~inkten Belegungs:unkt ion Z(u),

1

(4) ~ (x) = f : dz(~), 0

so gilt

( a(~) ~ lira ~(~) n [i~r 0 < e < 1. t t ~ - o o

B e w e is . Naeh Voraussetzung gibt es zwei in [0, 1] monoton wachsende Funkt ionen V(u) und W(u) derart, dag

(5) z(u) =- V(u) - - W(u)

ist. Daher gilt auch mit 1 1

(6) v(x) =- f u~dV(u) und w(x) = f ~ , a W ( u ) 0 0

332 N. Stuloff:

Auf diese kann also der Satz 1 angewende t werden und man kann mit

(3) f(x) = ~ (x ) - v(x) schreiben :

da ja wegen Satz 1 die beiden reehts s tehenden Limites exis t ieren und die GrSl3en a~ bzw. fl~ ergeben. Somit l iefert der links s tehende Grenzwert die Koeffizienten a,, mit den dazugehSrigen Exponen ten A - - Z~. Insbesondere versehwindet er far alle A =[= a~ und damit das ganze hinter dem Summenzeiehen in der Behauptung s tehende Produkt , Die in e -a~ zu verbleibenden A q= 0 werden dureh den ersten F ak to r vorgesehr ieben und bilden also gemi*i3 Satz 1 eine hSehstens abz~thl- bare Menge, so dab wir den Ausdruek in der Behauptung wieder als eine fiber alle 0 < A < 0o zu ers t reekende Summe stehen lassen kSnnen. Damit ist der Satz 3 bewiesen.

Besehr~tnkt man sieh z. B. auf solehe Funkt ionen, die dureh die sog. gewOhnlichen DIa~e~LE'r'sehen Reihen

c o

~ ~ - (ffir x ~ 0 abs. konvergen t )

darstel lbar sind, so laute t die Entwieklung, naehdem man in Satz 3 ~v ~ lg v (v = 2, 3, 4, . . .) gesetzt hat :

f(x) ~ ~ lim - (~) .-~-.

Ebenso einfaeh lEl~t sieh der Satz 2 auf das erwei ter te Momenten- problem tibertr~gen. Bezeiehnet naeh wie vor ~ die Sprtmgstel le und a(l~) die evtl. negat ive Sprunggr613e der schwankungsbeschr~inkten Belegungsfunkl ion Z(u), so erhal ten wir den

S a t z 4. Ist l*(x) das Moment einer in O<~u<_ 1 schwankungs- besehriinkten Belegungs/unktion Z(u),

1

(4) ~ (x) = f ~ dz(~) , 0

so gilt

B e w e is . Naeh Voraussetzung gibt es zwei in [0, 1] monoton wachsende Funkt ionen V(u) und W(u) derart , dag

(5) z(u) =- V(u)-- W(u) ist. Daher gilt auch mit

1 1

(6) v(x) =- f u*dV(u) und w(x) = f u'dW(u) 0 0

332 N. Stuloff:

Auf diese kann also der Satz 1 angewende t werden und man kann mit

(3) / ( x ) = ~ ( x ) - v(x) schreiben :

n - ~ oo - - ~ n ( n ) e n

da ja wegen Satz 1 die beiden rechts s tehenden Limites exis t ieren und die GrOl3en a~ bzw. fl~ ergeben. Somit l iefert der links s tehende Grenzwert die Koe[fizienten a,, mit den dazugehSrigen Exponen ten Z - - ~ . Insbesondere verschwindet er ftir alle Z =[= ,:~ und damit das ganze hinter dem Summenzeichen in der Behauptung s tehende Produkt , Die in e -a~ zu verbleibenden A ~ 0 werden (lurch den ersten F ak to r vorgeschr ieben und bilden also gemaft Satz 1 eine hSchstens abz~thl- bare Menge, so dab wir den Ausdruek in der Behauptung wieder als eine fiber alle 0 < Z < cx~ zu ers t reckende Summe stehen lassen kSnnen. Damit ist der Satz 3 bewiesen.

Beschr~tnkt man sich z. B. auf solehe Funkt ionen, die dureh die sog. gewShnlichen Dmm~LET'sehen Reihen

O<9

x > o abs. konvergent)

darstel lbar sind, so laute t die Entwieklung, naehdem man in Satz 3 ~ = lg v (v = 2, 3, 4, . . .) gesetzt hat :

1 /(x) ~ ... lim - /(~)

n - - ~ o o * " ~ - "

Ebenso einfach l~tl~t sich der Satz 2 auf das erwei ter te Momenten- problem fibertragen. Bezeichnet nach wie vor & die Sprungste]le und a(O) die evtl. negat ive SprunggrSl~e der schwanku~gsbeschrdnkten Belegungsfunkt ion Z(u), so erhal ten wit den

S a t z 4. Ist ~*(x) das Moment einer in O ~ u ~ I schwankungsbeschr~inkten Belegungs/unktion Z(u),

1

0

so gilt

( a ( ~ ) ~ lira ~L(~ ) n fi~r O < e < 1.

B e w e is . Naeh Voraussetzung gibl, es zwei in [0, 1] monoton wachsende Funkt ionen V(u) und W(u) derart , dag

(5) z ( u ) = - V(u)- W(u) ist. Daher gilt auch mit

1 1

(6) v(x) -= f u~dV(u) und w(x) = f u 'dW(u) 0 0

216 W. Klingenberg: Zur affincn Differentialgeometrie.

(B) K ~ : 0 , K,~=4=0. D . h . wegen (5.5): $ 2 ' , , = 0 , 3 2 ] ~ 0 . Dann wird g'em~il~ (4. 2 a) (lg G),,~ = 0, d .h . G ~-- U V ~- 0.

Wir k0nnen (4. 2 e) und (4.2 f) integrieren und erhalten

(B1) ~].~----aVU-'e - ~ K , d.h . G ~ ] ~ : a ( V ) ~ e - ~ ~.

Aus (5.5) erhalten wir damit

(B 2) K,2K,~ ~-- 21 a(V)~e - ~ K

Gehen wir mit (B 1) und (B 2) in die Gleichung, (4.2 c)~ so ergibt sich ein Widerspruch gegen unsere Annahn/en.

(C) K,, --~ 0~ K~ ----- 0. D.h. Z~, z Z~ ~ 0. Damit ist bewiesen: Die Minimalsphdren sind Schiebfldchen. Anderersei ts war in w 5. 2 gezeigt~ dab jede sph~irische Schiebflliche Minimalfi~iche ist. Die Minimalsphdren bestehen also aus den spMirischen Schiebfl~ichen (4. 8) und (4.9).

Bericht igung zu Teil I.

In Formel I (2.22), S. 76 lies d~ statt 6~ und - - 1 1

statt p (r -~ p) r (r -~ p) "

(Eingegangen am 5. Januar 1951.)

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Zur affinen Differentialgeometrie