Ztschr. f. anmew. 232 Noe the r , Asymptotische Behandlung stationfirer Ltisungen . Math. und $ecli.

Zur asympfotischen Behandlung der stationaren Losungen im Turbulenzproblem.

Von F. NOETHER in Breslau.

1. mlgemeine Orientierung. Das Tarbulenzproblem ist von einer wirklichen Losung noch weit entfernt, trotz einiger vielleicht weitertragender Fragestellungen, die in der letzten Zeit Qegenstand der Untersuchung wurden. Ich denke hier einerseits an Messnngen von Schi l ler ' ) , die, im AnschluS an Prandt lsche Gedanken, die allmKhliche Entstehung der Turbulenz, 1Lngs der nhlaufstreckec verfolgen. Andererseits sind die neueren Untersuchungen von B u r g e r s z ) und dessen Schuler v. d. H e g g e - Z i j n e n zii nennen, die auf eine statistische Erfassung der turbulenten Stromung hinmielen, in Ver- bindung mit verfeinerten Messnngen der Str6mungsverteiliing in der Ntihe der Wand. Durch diese Untersuchungen ist das Interesse an der Turbulenmfrage etwas verschoben worden, indem sie weniger naoh dem Uebergang von laminarer zu tnrbulenter Strijmung, also dem Gebiet der skritischencc R e y n oldsschen Zahlen, als vielmehr nach dem Charakter der turbulenten Stramung selbst im Gebiete boher Reynoldsscher Zahlen fragen. Zugleich steht hier nicht mehr wie friiher die Stabilittitsfrage im Vordergrund, da es offen gelassen wird, ob sich die einzelnen Wirbel in der turbulenten Stromung entgegen der inneren Reibung durch Energieentnahme ails der Hauptstrijmung erhalten kijnnen, oder ob sie durch lokale LuSere Einflusse, wie Wandrauhigkeit, immer erneut erregt werden.

Trotzdem erscheint ein Zuriickgreifen auf die fruheren Fragen auch heute noch von Wichtigkeit. Wenn nLmlich auch die neueren Ziele eine sozusagen axiomatische Moglichkeit der einzelnen Wirbel voraussetzen, die als gegebene ,Elementarquanta<c in die Rechnungen eingeiiihrt werden, so bleibt doch die Frage bestehen, ob solche Elemente, die z. B. bei B u r g e r s als Lorentxsche reibungslose Wirbel auftreten, mit den zwischen glatten Wtinden geltenden hydrodynamischen Bemiehungen, einschliefilich der Reibungs- g l ider , vertrtiglich sind. Andererseits sind auch vom Standpunkt der Llteren Theorie so viele Fragen angeregt worden, die noch unbeantwortet sind, da l es sich wohi verlohnt, einen gewifien Abschlud wenigstens eines Teils dieser Probleme zu suohen,

Diese Fragestellungen 3, kann man in zwei Gruppen einteilen : Die eine beschtifiigt sich direkt mit der StabilitLt einer gegebenen Strijmungsverteilung bei hohen Werten der Reynoldsschen Zahl, wobei von der Reibung z. T. gPnzlich abgeseben wurde (Rayle igh) . Es ergaben sich so gewisse charakteristische Eigenschaften der Profilformen, die die Ueberlagerung anwachsender Schwingungen zulie%en. Obgleich ein strenger Uebergang von hier zu dem wirklichen Fall der kleinen Reibung niemals ausgefiihrt wnrde, hat man doch Grund zu der Annahme, daI3 wenigstens in einigen Fallen der so gefondenen Labilitlt auch bei Berucksichtigung der Reibung Realitlt znkommt. Aber gerade der eigentlich interessierende Fall von ~)schwingungsfLhigenc( Profilen, die bei sehr kleiner Reibnng die Ueberlagerung s t a t ion i i r e r , d. h. weder anwachsender, noch gedilmpfter Schwingungen gestatten, wurde einen strengeren mathemathischen Qrenzubergang erfordern.

Die zweite Gruppe der Untersuchungen geht davon aus, da5 bei kleiner Reyno lds - scher Zahl (groi3er Reibung) sicher alle Profile stabil sind, wenn sie unter Wirkung tiii6erer KrLfte, etwa tnrbulenter Reibung, als im Gleichwewicht gegenuber der laminaren Reibung vorausgesetzt werden, und dafi man daher zu anwacbsenden Schwingungen nur durch einen gewissen U e b e r g a n g s w e r t der Reynoldsschen Zahl hindnrch gelangen kann, fur den stationtire Schwingungen existieren. Zur Aufsuchnng eines solchen Uebergangs- weites muS natiirlich von vornherein die ICeibung in Rechnung gesetzt werden, und rs wLre verfehlt, auch hier von den reibungslosen Untersuchungen auszugehen. Es handelt sich vielmehr um ein Eigenwertproblem, das zu der vollstLndigen hydrodynamischen Differentialgleichung 4 ter Ordnung gehort.

Das niichste Ziel der folgenden Ausfiibrnngen') war 88, zii zeigen, daB der Umfang der bisherigen Untersuchungen anf dicsem Gebiete wesentlich eingeschriinkt werden kann.

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Ztschr. f. ang. Math. u. Mech., Bd 2 (19221, S. 9 6 f. KOn. Akad. d. Wiss., Amsterdam; Proo. XXVI, 7 u. 8 ; und Verhandl. I. Sekt. XIII, 3 ; 1924 ,

FUr die Literatur vgl. den Bericht des Verfassers: Ztschr. f . ang. Math. u. Mech , Bd. 1 (1921) ,

Im wesentlichen vorgetragen auf der Jlthresversammlung, Marburg 1 9 2 3 .

sowie Dissert., Delft 1924 .

S . 115 f .

Band 6, Heft 3 ,

Juni 1926 N oe t he r , Asymptotische -. ~ Behandlung stationfirer Losungen 233

Diese benntzten nLmlich fast dnrchweg asymptotische Mittel (z. B. Hopf, B l u m e n t h a l ) , anegehend von dem Qesichtspunkt, dad die kritischen R e ynoldsschen Zahlen grofie Werte haben. In noch ntther zit prfzisierenderweise ergibt sich aber, dab die asymptotische Verteilung der in Betracht kommenden nEigenwerte(( (nimlich der Uebergangswerte der R e p oldsschen Zahlen B) niemals die fur wirkliche Wellen erforderliche RealitEte- eigenschaft hat. Daraus folgt, daf3 es ausreichend is), die Untersuchnng in einer aller- dings nur von Fall zu Fall angebbaren Weirie anf kleinere Eigenwerte zu beschrfnken und nur soweit forlzusetzeo, bis die Annaherung au das angebbare asymptotische Ver- halten erkennbar wird. Es fallt damit die Unsicherheit weg, die in der friiher vermuteten Mtiglichkeit . apymptotischer 1.6sungen lag und die eine asymptotische Untersuchung in jedem einzelnen Fall notwendig erscheinen liefi. (Vgl. ferner den Znsatz am Schlusse dieser Arbeit.)

2. Die Randwerfaufgabe. Die Fragestellung ist in dem zitierten Bericht prizisiert (S. 129 f.). Sie nimmt folgende mathematische Qestalt an, wobei wlr uns fur alles Wesenrliche auf den 2-dimensionalen Fall beschranken konnen. . Im Koordinaten- system wird die x-Richtung parallel den Kanalwanden gelegt, die y-Richtung senkrecht dazu und zwar die Achse y = 0 in die Mitte zwischen den Wanden. Die zu Qrundc gelegte laminare Stromungsverteilung ist gegeben durch eine Funktion U (y), von der wir hier Stetigkeit und, soweit erfordeilich, Differenzierbarkeit voraussetzen. (Der Fall von nur abteilnngsweise stetigen Funktionen, den ich friiher gelegentlich verwendet babe, ist damit allerdings formal ausgesohlossen; er wurde aber nur einen Qrenzubergang er- fordern,der keinerlei prinzipielle Schwierigkeiten macht und an den Resultaten nichts ,

iindert 1 Im Falle der Stromung zwischen febten Wanden verschwindet U an beiden Wanden, im Falle relativ zu einander bewegter Wfnde nimmt U am Rande den Wert der Wandgeschwindigkeit an.

In der inkompressibeln Striimung werden nun Wellen gesucht, deren Geschwindigkeits- komponenten u, v nach der x- bzw. y-Richtung durch eine Stromfunklion @ (x, y, t ) gegeben sind, und die im Uebrigen im Sinne der Methode der kleinen Schwingungen als klein i m Vergleich zu U vorausgesetzt werden. Fur die harmonischen Partikularlosungen hat man dann zu setzen:

und erhilt aus den S t o k e 8 schen Qrundgleichungen der Hydrodynamik fur die Ver- teilungsfunktion Q, (y) folgende Aufgabe, die als das Turbulenzproblem im engeren Sinne bezeichnet sei: Es sei 0 die Dichte, j d der Koeffizient der inneren Reibung der Flussigkeit, 2 b die Eanalbreite, 9’ = d y / d y usw. Dann gilt im Qebiet - b < y < + b die Differential- gleichung :

und ferner gelten die Randbedingungen :

@ = q ( y ) e ‘ ( * Z - P ( ) . . . . . . . . . . (1)

p(9”--2a‘dq’’ + ( r ” y i ) = i e ~ ( . ~ - ~ ) ( ~ , ” - i t ~ 2 9 ) - ~ ( U ’ ~ ( j ) , . . (2)

(2’). q = q’ = o fur y = f 2, . . . . . . . . . Die Aufgabe ist 6 0 zu danken, dail sie bei gegebener Konstanten ~ ~ ( r e z i p r o k e

Wellenlange) und gegebener Verteilungsfunktion U (y) fur bestimmte, im Allgemeinen komplexe Werte losbar ist, und zwar sind die Wellen gedilmpft, stationar oder an- wachsend, je nacbdem der ImaginLrteil von negativ, Null oder positiv ist. Fur die gesuchten Uebergsngsffille muf3 also B rein reell sein, was wir weiterhin als zutreffend voranssetzen, so daiJ das VerhLltnis c = SIa eine reine Fortpf ianzungsgeschwindigkeit be- deutet. Es ist dann noch zweckmtifiig, unbenannte Variable zu Qrunde zu legen, indem man als Langeneinheit etwa die halbe Kanalbreite b, als Qeschwindigkeitseinbeit die mittlere, bzw. die Randgeschwindigkeit der Qrundstromung, Urn , einfuhrt und die Zeit- einheit aus beiden bestimmt. Nehmen wir diese MaBbestimmung schon durcbgefiihrt an, so tritt in der Differentialgleichung die Reyno ldssche Zahl: R = U,ii%/p auf, und zwar lautet sie dann:

dazn

Natiirlich sind jelzt auch die Qrtifien U, a, c nach den neuen Einheiten gerechnet. Pa R seiner physikalischen Natur nach reell ist, 60 existieren stationtire Wellen

nor, wenn (3), (3’) durch r e e l l e R und orliisbar ist. Es sei nun allgemein die in (3) vorkommende GrtiOe - i R a = S gesetzt; 60 kann man sagen, daB, bei gegebenem or,

9 IV - 2 aa 9,” + u4 = i R OL {( U - c) (q” - a2 9) - U” 9 } . . . . (3),

91 = I$ = o iiir 9 = rt 1 . . . . . . . . . (3’).

Ztschr. f. an ew. 234 Noether, Asgmptotleche Behandlung stationgrer Losungen Math.nnd &&. solche FBlle gesucht werden, in denen ein r e i n i m a g i n l r e r Eigenwert S fur die Auf- gabe (3), (3’) existiert.

3. Friihere Ergebnisse. Allgemefne Ansiifze. Folgende Ergebnisse liegen iiber ditse Fragestellung bereits vor:

a) Wenn U (3) eine lineare Funktion ist, (Stabilitstsfrage der stationLren C o u e t t e- schen Stromung nach O r r und Sommerfe ld) , so gibt es Beine Lostlng der gesuchten Art (v. Misea , Hopf).

b) Fur den Fall U ( y l = ya, zugleich (r2 = c = 0, der duroh eine vom Verfasser erweiterte Fassung der Slabililtttsfrage angeregt war, existierl gleichfalls keine Liisung (B lnmen th a 1).

c) I n dem Falle einer geraden, unstetigen Funktion U(y), die abteilungsweise die Werte 0 und 1 annimmt, wies der Verfasser dnrch einfache Rechnungen die Moglichkeit einer Liisung mit rein imaginfirem S nach, wobei entweder die GrS0e c oder die Lage der Unstetigkeit geeignet gewLhlt wnrde.

FSir die allgemeine Untersuchung sind zungchst folgende Formulierungen von Vor- teil: Es sei identisch gesetzt:

Wenn die Q1. (3): L (9) = 0 mit den Randbedingungen (3’) eine LBsung mit rein ima- gintirem 8 eulLflt, so existiert auoh die konjugierte LSaung zn dem konjugierten Eigen- wert d = - S. Die konjugierte Form sei als L h) bezeiohnet. Dann ergibt sich dnrch partielle Integrationen, unter Beniitzung der Randbedingungen :

~ ( y 1 ) ~ + ’ - 2 2 ~ 9 ” - 1 - . 4 ~ + - t X ( U - c e ) ( ~ ” - a 2 g l ) - U ” ~ } . . . (4).

-

+_l $1 0 =J[ ‘I L(q) - q z (i)] d y = - AS’/{ 2 ( U - C) (I + [u2 ( U - C) 4- U”] q 91 1 d y ( 5 ) .

-1 ’ - 1

Hierin ist sowohl q’g,’ als auch 991 uberall positiv reell. Sei nun etwa U als gerade, uberall konvexe Funktion (u” < 0) angenommen, so wiren alle Qlieder auf dsr rechten Seite von (5) positiv, falls c gro5er als der Maxirnalwert von U wtire, und daher BSnnte (5) nicbt erfiillt sein. Die W e l l e n g e s c h w i n d i g k e i t Bann also n i c h t g r o d e r als die m a x i m a l e S t r o m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t sein. Wenn U abfr eine ungerade Funklion ist, lP4t sich ein llhnlicher Schlu0 nicht direkt ziehen, au5er im Fall U” = 0. Es zeigt sich aber zugleich in jedem Falle die entscbeidende Bedeutung eines V o r z e i c h e n - w e c h s e l s in dem Fakfor U - c fur die Untersuchnng uber die MSglicbkeit von Lijmngen der geforderten Art. In der Tat Bind die Schwierigkeiten aller Untersuchungen baupt- slchlich darin begriindet, daO man eine Verschwindungsstelle d06 Faktors U - c im Integrationsgebiet, ewischen y = & 1 annehmen mu& Hier versagen die asymptotisohen Darsterlungen, nnd dieser Urnstand machte die Anfslellung komplizierter auebergangs- substitution~ncc zwisohen den partikiilgren Integralen notwendig, die iiberdies von der Fpeziellen Funktion U ( y ) weseritlich abhringig und nur in Ausnahmefillen aufstellbar siod’).

Ein zweiter Urnstand, der allgemeine Anssagen erschwert, der aber die Moglichkeit von Liisnneen mit irnagirl8rern X uberbrnpt erst ins Aupe fassen llDt ist der, da5 die Forin L ((I) n ich t sel bf i tad jungier t ifit.

Denn setzt man

Ihre adjongirrte Form lantet: M ( V ) EZ yrv- 2 (t2$!f’ + (.i4y -I- S {(U- C ) ($0”- e2v) + 2 u’q’} . . (6).

A ( ~ ) = ( ~ I V - ~ I X ~ ~ ~ ~ + e49) .. . . . . . . . ( 7 ) B ( q l ) s ( U - ~ ) (y”-.‘g)- U ” q . . *. . . . . ( 8 )

B * ( ~ ) ~ ( U - C ) ( ~ ” - ~ ~ ~ ) + ~ U ‘ ~ ) ’ . . . . . . * (8’11

60 folgt mittels der Randbedingungen (3’), die anch fur riplle Trrtaprationen :

anzunehmsn sind, durch par-

+ 1 + 1

-1 - 1 J [ l l l A ( p ) - d ( ? p ) ] d y = ) ( ~ ~ ‘ ” $ 0 ~ ’ ‘ ” C ’ ’ ~ ’ - ~ W t ’ ~ ’ ) - 2 ~ a f 4 ’ P - - ’ ~ ) J= 0 (9)

J [ l r l B ( ( I ) - g ( I , R * ( ~ ) ] d $ = ( ( U - c ) ( c r , g ’ - r p ~ ’ ) - u U ’ 9 ‘ V ’ ~ = O . . . (9’), + l tl

-1 -1

’) Ueber den Versuoh W, B e i 8 e nb e r g 8, diese Schwierigkeit zu umgeben, slehe eine Bemerkung ani S. 2 4 2 .

Band 6, Heft 3 Juni 1926 N o e ther , Asymptotische Behandlung ststionfirer Lijsungen 235

d. h. A (9) ist eine selbstadjnngierte Form, B (g) und B* (tp) sind zu einander adjungierte Formen.

Die mathematischen Schwierigkeiten, die vom Znsammentreffen dieser beiden Um- stiinde herriihren, lassen sich nun, wie mir soheint, auf ein Minimum reduzieren durch eine geeignete schrittweise Anordnung der Untersuchung. Sie liegt darin, dat3 wir ans- gehen von einer mit der vorliegenden Anfgabe znsammenhtlngenden, aber selbstadjnngierten Anfgabe, fur die es nicht schwer ist, die asymptotische Verteilnng der Eigenwerte explizit anzugeben. Der zweite Schritt ist dann der Uebergang zu der wirklichen Eigenwert- verteilnng.

Die gedachte Zerlegung ist der bekannten Zerlegung unsymmetrischer Tensoren in einen %symmetrischen<< und einen ,schiefsymmetrischencc Teil entsprechend. Es soil nlmlich eine Zerlegung

so vorgenommen werden, daB P ( q ) eine selbstadjnngierte Form ist, nnd da% die adjun- gierte Form zn Q (g) sich nnr durch das Vorzeichen von Q ( q ) unterscheidet, also - Q (Q)! lautet. Eine solche Form Q (9) heiff8 ..gegenadjungiertc<. Die adjnngierte Form zu B (cp) wird also

Ans (10) und (10’) erbllt man:

B(q1) P(v) - Q ( ( F ) , . . . . . . . . (101,

B*(cp) = P ( q ) + Q(9) . . . . . . . . . (10’).

U ” P ( r p ) - l ’ l a I B ( ~ ) + ~ * ( r p ) ] ~ ( ~ - ~ ) ( g , ’ ’ - a ~ ~ ) + -9 . ( 1 1 )

2

. (11’).

Die beiden Differentialgleichnngen lauten nach Einfihrung dieser Bezeichnnngen : L ( ~ ) - A A ~ ) + X [ P ( q ) - Q ( v ) ] = O . . . . . . (1 2)

M(Y)fa(~) - tS[P( ly)+Q(y)]=o . . . . . . (12’).

4, Allgemeine SBfze uber die Eigenwerie. Wir knupfen weiterhin an die Formen (12), (12’) der Differentialgleichungen an nnd betrachten dabei zunlchst P und Q als beliebige selbsb bzw. gegenadjungierte Form. Es gelten also neben (9) anch noch die Qleichungen

+ l + 1 J~ryP(cr)-(FP(.ry)) dy = 0 J { ~ Q Q ( F ) + ~ Q ( V ) I a = c . . (13)

-1 -1

fur beliebige Funktionen q, $9, die den Randbedingungen geniigen. Da die Eigenwerte S im Allgemeinen als komplex vorausgesetzt werden miissen, sei X = r + is und der. kon- jngierte Eigenwert S = r - is gesetzt, die zu %’ gehiirige konjugierte Eigenfunktion. Dann ist

-

A(9.) + ( p + G ) [P(T)- Q(to)] = 0 ;

A (G) + (T - i s ) [ P ( &) - Q(G)] = 0 ;

~ ) ( f 1 ) = ~ ’ ( k 1) = 0

rp ( f 1) = ,’ ( f 1) = 0 L

und folglich nach (9), (13):

Analog zn (9) bilden wir ferner noch duroh paflielle Integrationen +1 + I - J { T A ( ~ ~ ) + G A ( Y ) I d y = 2 ~ c y J ’ ~ l J t - 2 c L a ~ ’ 1 7 ; i + a 4 C P ‘ F ) d y . . . (16).

-1 - 1

Pas Integral anf der reohten Seite ist hier ersichtlioh ein wesentlich p o s i t i v e r Wert, der mit + J bezeiohnet mi, und folglioh ergibt das Einsetxen von (14) in (16) unter Berucksichtignng von (1 3) :

+ I + 1 +- 2 ~ = - T/(cpp(& +TP(VN d y + i s J { g , ~ i + G ~ ( p ) } d y . . (17).

-1 -1

Die in (15), (L7) auf der rechten Seite vorkommenden Integrale .haben in unserem speziellen Fall die Bedentmg

Ztschr. f. an ew. Math. nn,j 236 N o e t h er , Asymptotische Behandlung stationlrer Losungen

+ I

2rp= ( q P ( g . ) + i P ( q ) l d y = - 2 I I ( . - c ) p / ~ f + [ a s ( U - c e ) + ~ ] ~ r l l l d y j s’ -1

i (I8). -1

+ I

2 Q = \{rpQ(v)-TQ(y)l d y = fi’(1.1--Tp’’T) d y - 1 -1

Ueber ihr Vorzeicben liii3t sich aber weder allgemein, noch in diesem speziellen Falle etwas anssagen, und desbalb lassen sich anch keine allgemeinen Schliisse iiber r und s aus (15), (17) ziehen.

a) Wenn B ( q ) selbst-adjungiert, d. h. Q 9 ) 0 ist, so ist aizch = 0. Da J vicht verschwindet, SO Bann nach (17) jetzt nicht 0 sein; also folgt aus (15): s = 0; d. h. im selbstadjungierten Fall sind a l l e E i g e n w e r t e r ee l l .

Nach (17) kann jetzt nicht 0 sein, also folgt au6 (15): T = 0 ; d. h. im gegenadjungierten Fall sind a l l e E i g e n w e r t e re in imagin i i r .

Der bei uns vorliegende wirkliche Fall liegt offenbar zwischen diesen beiden Grenz- fallen, und man kann die zu beantwortende Frage allgemein so formulieren, welchem von beiden er naher kommt. Bus (15) folgt fur die MBglichkeit rein imaginfirer Eigenwerte ( r e 0) die schon fruher abgeleitele Bedingung (5) in der allgemeinen Form Sp = 0.

rebrigens bat die gegenad jungierte Aufgabe eine direkte Bedeutong fur nnsere Fragestellnng, sie gibt eine un t e r e ’) Qrenze der moglichen rein imaginiiren Eigenwerte von (14).

f J=+ is a. Das Variationsprinzip, das Integral mijglichst gr00 zu machen, wenn so normiert ist, da5 J - 1 wird und die Randbedingungen (3’) erfullt sind, ergibt also eine untere Grenze fur s. Als Differentialgleichung zu dieser, von P nnabhgngigen Variations- aufgabe ergibt sich die gegenadjungierte Gleichung:

A ((1”) -t- is Q(T) = 0% deren kleinster Eigenwert (mit den Randbedingungen) die gesuohte untere Grenze liefert. Wenn also die Aufgabe (14) iiberhanpt rein imaginlre Eigenwerte besitzt, so gibt es fiir diese eine von der Form P unabhtingige untere Grenze, die i m Falle P , 0 wirklich erreicht wird.

Die obige Variationsaufgabe stimmt mit der von O r r und H a m e l (vgl. den zitierten Bericht, 5. 132) im speziellen Fa110 auC anderem Wege abgeleiteten iiberein.

5. Selbstadjungierie Hflfsgleichung. Normierung und Orihogonalitats- beziehungen. Die Ausfuhrnngen der Nr. 4 weisen auf den Weg, auf dem man sich ein Bild uber die wahre Verteilnng der Eigenwerte unserer Aufgabe machen kann. Es ist zwar nicht allgemein anzugeben, welche Lsge die Aufgabe zwischen den beiden Grenz- fallen hat, wohl aber ist dies fur die a s y m p t o t i s c h e Verleilung der Eigenwerte mi&- lich, (asymptotisch im Sinne der Anordnung nach wachsendem Absolutbetrag zu vcr- stehen). Und zwar wird sich folgender Satz ergeben: Aspptotisch uberwiegt in (12) der selbsladjongierte Teil P (QI) uber den gegenadjungierten Teil Q (q). Die asymptotische Eigenwertrerleilung ist daher reell oder niihert sich w enigstens der reellen Achse a D . Der innere Grund dicses Verhaltens ist einfach der, da5 in P (q ) nach (11) der zweite Differentialquotient vorkommt, w&hrend Q (9) nach (1 1’) niir den ersten Differentialquotienten enthllt. Das Umgekehrte wfire der Fall, wenn anch sin Glied mit 9”’ vorkfme, das ein Ueber- wiegen von Q (sp), also eine asymptotisch imaginilre Verteilnng herbeifiihren wurde.

Um dies n&her zu begrunden, ist zunBchst die Diskussion der 8 e l b s t - adjungierten Hilfsgleiahnng erforderlich, die man aus (12) dnrch Fortlassnng des gegenadjungierten Teiles Q erhtilt. Deren Eigenwerte, die I, heiSen sollen, sind nach Satz a) i n Nr. 4 sgmtlich reell. Die Hilfsfunktionen sollen x hei8en. Dann Ist also:

Nur uber 2 wichtige Qrenzfiille geben sie Auskunft:

b) Wenn B (q) gegen-adjungiert, d. h. P(9‘)r 0 ist, so ist auch $3 = 0.

.

Denn wenn man T = 0 annimmt, so ist nach (17)

N(X)==A(X) 4- ;IP(X) = 0, x(&- 1) = x ’ ( & 1) = 0 . . . . (19).

Aa6 (19) erhllt man $1 + I h4X) d! /= - nJXP(x) dy,

-1 -1

’1 Unter der Annahme dafl Q(@ ein Differentialansdrack von niedriger Ordnnog ist, als A ( 9 ) .

Band 6, Heft 3 Juni 1926 N o e the r , Asymptotische Behandlung stationgrer LSsungen 237

oder im speziellen Fall mittels (7), ( I 1) naoh partieller Integration: + 1 + 1

J f p + 2 u y + a 4 f ) d y = ;I [\(v-e)*'a+ CL3(U-c)+ ,p\ U [ d y ( n o ) . -1 - 1

Das Integral anf der linken Seite stimmt, da x jetzt reell ist, mit dem fruher + J ( x ) genannten positiven Integral uberein, das auf der reohten Seite mit - ( x ) und kann positiv oder negativ sein. Die Normierung der Eigenfunktionen x 6011 nun so er- folgen, da5 das Integral

t - 1 + 1

- rp(*) - - -xP(*)dy- -r i (U--c)x '1+ [ CL2(U--C)+- ""3 2 X 2 1 d y = & 1 ( ? I ) , - i - 1

je nachdem, ob das Integral positiv oder negcltiv ist, und ebenso ist dann das Vorzeiohen des betreffenden Eigenwerts nach ( 2 0 ) positiv oder negativ. Das wesentlich positive Integral J nimmt damit den Wert an:

Wir bezeichnen die positiven Eigenwerte mit ;I,, A,, I,, die negativen mit I - ] , J-2, 1-8 . . Zwisohen 2 zu verschiedenen Eigenwerten Am, I, gehorigen Eigenfunktionen be-

steben die allgemeinen Beziehungen (9), (1 3):

J(X)~f(Klla+2aaX's+o14X1)dy = ( I 1 . . . . . . (21,).

+I f l J ( x m A W - X n A ( X m ) d2/ = 0 ; Sixn P(xJ - X 7 8 I'(xs>l d y = 0.

- 1 -1 Dnrch Berucksiohtigung der Differentialgleichungen :

A ( x m ) + L P i X m ) = 0 , A ( X n ) + L P(x9z) = 0 . . * . * (2 2)

folgt daraus, da I,, #. I,, vorau~gesetzt ist: + I + I

J;c.P(z..)dg = 0, JXn,P(X.)dy = 0 . . . . . . (23)

f x . A ( x m ) dy = 0, /x.,,A(,yl2) d y = 0 . . . . . . (23')

-1 -1 oder auch:

$1 + l

-1 - 1 als verschiedene Formen der Orthogonal i t t i t sbedingungen des Systems der Eigen- f nnktionen. Sie nehmen im speziellen, nach partieller Integration, die symmetrische Form an:

fi:U--c)~,~;;c,: + [ (~'(u-c) + %]xmxnl dy = 0 . . . . (23") -1

tl bzw. f (&r,XnO -1- 2 a2 x.l'x: 4- (L4 X r n X n ) d y = 0

-1 Die so definierten Eigenf unktionen bilden nach allgemeinen SZitzen I ) ein nvoll-

stgndiges polares Funktionensystemu:, d. b. es gibt keine stetige, differenzierbare, den Rand- bedingnngen f ( & 1) = f l (& 1 =.O genugende Funktion f ( y ) , die eu a l l e n Eigenfnnbtionen die Orthogonalitltsbedingung in einer der obigen Formen, z. B.

+I Jf- ~ ( x ) dy = o . . . . . . . . . . ( 2 3 e )

-1 erlullte.

6. Allgemeine Form der determinierenden Gleichung fur die Eigenwerte 8. Wir nehmen jetzt das System der Funktionen xm als gegeben an. Urn zu der eigentlichen Aufgabe, der Bestimmung der Funktionen 9, uberzugehen, verwenden wir den S a h (Hi1 b e r t 1. c.), daf3 sich jede der Funktionen Q, in eine Reihe mittels des polaren Funktionen. systems der x,,, entwickeln l&Bt. Es sei also gesetzt:

~ ( 9 ) = Cixi + C-12-1 + Cg~a + C-ax-a + . . . . . . . . . . (241,

I ) H i l b e r t : Gruiidatige einer allg. Theorie d. lin. Integralgleichungen, Kapitel XV, XVI

Ztschr. I. 4n ew. 238 Noether , Asymptotische Behandlung stationgrer Losungen Math. und&;eoh.

wodaroh die Randbedingungen fur q~ von selbst erfiillt sind. Die Differentialgleichung in der Form (12) ergibt jetzt:

00

- s,,, C,,, (A(zsJ + x[P(Xm)-Q&(Xm)I) = 0 1

und damns entsteht mittels der f iir xm gultigen Difterentialgleichung (22): m

Um nun zu Gleichungen fur die Koeffizienten C, zu kommen, multiplizieren wir diese Differeniialgleichungen je mit einer der Funktionen xm und integrirren dann von -1 bis + I . Dabei beachten wir die Normierung der 2, naoh (2 1) nnd die OrthogonalitEtsbeziehongen (23) und setzen ferner

J' 3-1 Qmn =JxnQ(Xm)dyi Qnm = X n & ( X m ) d y . . . . . . (26).

-1 -1 .

Wegen des gegenadjnngierten Cbaraktera von Q ( x ) ist also nach (13):

d . b. die Gr85en qmn bilden einen sohiefsymmetrischen Tensor. Es ergibt sich somit ein System von unendlicb vielen linearen Gleichungen fur die Unbekannten C,,,, von denen die zum Index n gehorige lautet:

qnm = - q,.> qrnm = 0 . . . . . . . . * ( 2 5 7 ,

a0

G ( S - 2,) E , + X >", q., C, = 0 . . . . . . . (26). I

1 Der Faktor E , ist hier + 1 oder - 1, j e nachdem n positiv oder negativ ist.

endlichen Determinante D, die wir in folgender Form nnd Anordnung schreiben Bonnen : Damit findet man fiir S die d e t e r m i n i e r e n d e Qleichung in Qestalt einer un-

1 = O . . (27)

Der Ban der Determinante D ist durchsinhtip; Rie setzt sich ans den Diagonalgliedern und der schiefsymmrt.risi.hrn Us t r rwii ianie ner q.,. zu.;amnien. wohei in der n-trn Rethe ZII

jedem q nooh der Faktor &'/A,, hinzukcimmt. Dab die Deiermlnmte in diesrr Form fur alie 8 konvergiert, ergibt sich &us den nachfolpenden asymptotrschen AbscliLitzungen.

2. Extremaleigenschsfien der Hilfsfunktionen x . Asympto#irche Verteilung der Eigenwerte 1. Ute Ueieimiila.#ie D btdh e81twil-kelt rille Powureihe in S dar. Solche Potenzrdhen fur die determini* rende Qleichung lassen Rich in manchen FBllen anch auf anderen Wrgen findeli und sind dann gerignet, um kleinere Eigenwerte durch NLherungsberechnung zu finden. Dagegen ist die Determinantenform der Gleichung gerade fur die asymptorisah- A hscbftmvg rfer gl olen Eigenwerte angemessen, wenn man die asymptotischeii ki~en-ahafieti tier Eiprn wrrte

Za dem Zweck kalln man \on den Nitrrnierungen nnd OrthoBonalrtLr,~bezi.hnun~~n 'der Nr. 5 ansgehen iind fu1g.i d. h&krrint..n Extremnleipenfictiafren der Eigenwerte 1 urrd Eigenfonktionen 2 in Brtrltohl zicheii:

a) Der Blei. ste podlive bzw. negative Eiienwert I t l ifit nacb (21') seinem Betrage nach der kleinste Wert, den dafi Integral J ( x ) annehmen kann, wenn die Nehen- bedingung (21): !$ ( 2 ) = + 1 bzw. - 1 erfullt ist. Znm Vergleiob sind dabei alle stetigen, 4 ma1 differenzierbaren Funktionen zagelassen, die die Randbedingongen in (1 9) erfullen.

und der Korflizienien q kerint.

Baud 6. Heft 3 Junl 1936 N o 8 t h er , Asymptotische Behandlung stationPrer L66llngen 239

b) Die hijheren Eigenwerte und -funktionen argeben sich dann aus den nllmliohen Eigenschaften, je unter Hinzofugung der Orthogonalittit gerntifi (23) zu allen voran- gehenden Eigenfunktionen von gleichem Vorzeichen des Index. Da diem Bedingnngen schon zu der Differentialgleichang (9) fiihren, ist damit die Orthogonalitlt zu den Eigen- funktionen von entgegengesetztem Vorzeichen des Index von selbst gewfihrleistet.

c) Man kann schliedlich im AnschluD an R. Courant ’ ) die hijheren Eigenwerte auch independent von den vorangehenden definieren : Der 12- te positive bzw. negative Eigenwert ist seinem Betrage naoh der gro5te Wort, den das Minimum von J(x) annimmt unter der Nebenbedinguog (2) = + 1 bzw. - 1 und n - 1 weiteren in x linearen Neben- bedingungen, die nun selbst in ihrer Form beliebig zu variieren sind.

Die Eigenschaft c) liefert nach Couran t die asymptotische Verteilung der Eigen- werte 13. Man Bann nKmlich, von der Maximum-Minimum-Definition ausgehend, die gesuchten Eigenwerte in Vergleich setrren mit den Eigenwerten vereinfachter Aufgaben, die man erhiilt, indem man erstens das ganze Interval1 von - 1 bis + 1 einteilt in eine Anzahl Teilintervdle; zweitens in jedem Teilintervall die Koeffizienten in ‘$I ( x ) , nlmlich U - c und U”, durch gr6Bere oder kleinere Eonstanten ersetzt; und drittens die Stetigkeit an den Grenzen der Teilintervalle aufhebt und hier dnrch Randbedin,gmgen er6e1ztl die eine sthkere oder schwtlcbere Bindung bedeuten. Fur den Betrag der Eigenwerte erhfilt man auf diem Weise obere und ontere Qrenzen. Dabei bedingt nur der Vorzeichenwechsel von U - c eine kleine Modifikation. Die Bestimmnng einer unteren Grenze fur die positiven Eigenwerte erfordert nfimlich eine VergrSBerung von U - c, solange diese GrijDe positiv ist, dagegen eine Verkleinerung des Betrages, soweit die Qrol3e negativ ist. Man kann dann im letsteren Gebiet U - c durch die Konstante o ersetzen und analog bei der Bestimmnng der negativen % im positiven Bereich von U - c.

Man erhtllt so f u r den n ten positiven Eigenwert I + , die asymptotische Formel (das Zeichen bedeutet asymptotische Aunfiherung mit wachsendem Index n):

. . . . . . ‘ ( 2 8 )

und fur den n-ten negativen Eigenwert L,,: n n jcjr 11 - - . . . . . . . . . (2s’)

- J d c - - d d y

f u n d f sol1 hier andeuten, da5 jeweils nur uber den Bereich zu iotegrieren ist., in dem t U - c yositiv bzw. negativ ist. Die a~ymptotische Verteilong ergibt also sowohl far die pnsitiven, als auch f u r die negativen Eimnwerte die Quadrat,e einer harmoniscben Zahlen- reihe, aber mit verschiedrnem lntervallbetrag irl beiden FBllen.

8, Der asymptotische Charakter der Hilfsfunktionen x. Wir unterscheiden sowohl fiir die positiven als auch fur die negativen Eigenwerta ?. je ein Hanptgebiet und ein Nebengebiet des Intervalls y von - 1 bis + 1; das erstere ist dadurch bestimmt, daR h (LT - c) poRitiv int, im letzteren ist I ( U - c) negat,iv. Die vier partikuliiren Integral0 der DifferenIialgleic?hung

A ( x ) + A P (x) = x ~ v - 2 aa x” +- 054 + 1 1 ( u - c )

zerfallen rnit a6VmptO%iRCh wachsendem h in j d e m der Teilint.ervalle in zwei Paare von je zwei InLegralen. Die zwei crsteir davon ntlhain slob asympt, tis4.h den Losungen der Differentialaleichung 2ter Ordnnng: P ( x ) = 0, die man duich Nullsetem des Faktors von 1 in (19) erttlilt, und kijnnen aus diesen durch erne Enrwicklung nach fallenden Pot,enzen von % abpeleitpt werden. Die anderen beiden nllbel n sich asyn ptotiich zwei rasch verfli,dnilii.hrn Liisungm der Qlaichungen

und werden ails dimen durch eine asyrnptotische Entwickliing gewonnm. Sie baben rasch oscillatorisohen Charakter im Hauptgebiet. dagegen exponenttellen Charakler Im Neben- gahiet und miigen *rasche Losungrna heii3rn.

-

- (La x> + U’ - - x = o (1 9) zi” 2 1

Sie fiollen nlanpfiame Losungen<< heiBen.

p - t - 1 ( U - c ) ~ ” = 0

‘1 Ztschr. f. ang. Math. u. Mech., Bd 2 (1922), S. 278 f. Siehe auch dessen Buch: Methoden der mathemotischen Physik I (Springer 19241, S. 1 1 5 f.

Die Einzelhsiten der Abschlitzung ktinnen hier wie i m Folgenden nur mehr ihrem Sfnne nach mitgeteilt werden, ohne vollstlndige Durchfllbrnng in der Ublichen Form der mathematischen Technik.

Ztschr. I. angew. Math. und Mech.

In welcher Weise beim Durchgang durch die Stellen U - c = 0 diese Partikular- lSsungen sich gegenseitig substituieren (Uebergangssubstitutionen), kann nicht allgemein erortert werden. Doch kann man uber die Eigenfunktionen x. selbst, die an6 den Partikular- losungen znsammengesetzt sind, aasreiohende Angaben auf Brund der definierenden Eigenschaften a), b) in Nr. 7 und der Beziehungen von Nr. 5 machen.

a) Das Integral q ( x ) = -+ 1 setzt sich in jedem Fall wegen des Vorzeiohenwechels von U - c nach (2 I) ans positiven nnd negativen Teilen zusammen. Es ist aber nicht miiglich, daf) etwa die positiven und negativen Teile des Integrals fur sich mit wachsendem n eu nnendlich gehen, nnd nur ihre Differenz endlich bliebe. Denn dann konnte man durch geringe Variationen der Funktion xn , unter Beibehaltung der Nebenbedingungen, solche Funktionen I* bilden, bei denen sich positiver nnd negativer Anteil nicht mehr aufheben, Iur die also ( I * ) 5u nnendlich gehen wiirde. Dnrch proportionale Verkleinerung 1IBt sich wieder $ (1") = & 1 herstellen, aber dann wiirde damit J(x*) kleiner als J h), im Widerspruch zur Minimumdefinition b) von Nr. 7. Es folgt also der Sa tz : In dem Integral !# (1) = f 1 ist der vcm Hauptgebiet berruhrende Anteil fur sich endlich (wir sagen: von der Ordnung I), nicht nur die Differenz der vom Hauptgebiet und Neben- gebiet herruhrenden Anteile. Insbegondere folgt daraus, da% die im Nebengebiet vor- kommenden raschen Pal tiknlarlosungeu von expcnentiellem Charakter mit wachsendem n nioht exponentiell zu m anwachsen kiinnen, sondern nur von einem endlichen Maximal- wert ab exponen t i e l l zu 0 abnehmen konnen.

b) Es mu% weiterhin asymptotisch der Anteil der langsamen zu den raschen Partikularliisungen abgeschltzt werden, wobei man sich, wegen Satz a), auf das Haupt- gebiet beschrLnken kann.

Durch das Zeichen - sei nur die aleichheit der asymptotischen BrGbenordnung ausgedruckt, und es bezeichne X , den raschen und ll den langsamen Anteil der Eigen- losung vom Index n. Dann ist folgendes Verhfiltnis der Gr GRenordnnngen cbarakteristisch :

Wenn nun einer der Rltnder y = f 1 in das Hauptgebiet fgllt, so mu6 wegen der Rand- bedingung x = x, + x i = 0 im Allgemeinen die asymptotische Ordnunp x l - 2,. bestehen. Dann ist aber wegen (29) 2.' - 72 x; , nnd dies in Verbindung mit der Normierung in der Form (21) ergibt:

als den allgemeinen Fall. In besonderen Fallen kGnnte auch x1 von geringeier Ordnung sein. Dagegen kann X I nitht von groderer Ordnung werden; denn dies konnte nur ein-

treten, wenn die Randbedingnug x c = 0 allein eriullt w&e, und zwar fur die asymptotische Reibe der Eigenfunktionen. Unter dieser Voranssetzung turden sich aber alle Eigen- funktionen asymptotisch der ntimlichen Funktion annabern, da die asymptotische Form der x l von I unabhlngig ist. Diese Funktion muflte zu allen im Index vorangehenden Eigen- funktionen x , d. h. zu allen Eigenfunktionen des Systems, die OrthogonalitLtsbedingung im Sinne der Q1. (23 a) erfiillen, im Widerspruch zur VollstLndigkeit des Systems.

Der letztere SchluB auf die Unmijglichk eit des asymptotischen UebwwiegenR von X I gilt mit unwesentlicher Modifikation auch dann, wenn keiner der RInder y = f 1 ins Hauptgebiet ftlllt. Also mussen in allen Fallen die asymptotischen Ordnungen nach (30) bes'ehen. I m Hauptgebiet haben dann der rasche Anteil xr nnd der langsame Anteil x1

240 N 0 ether , Asymptotische Behandlung stationiirer Liisungen

x: -. nxr) dagegen - 21 . . . . . . . (29).

x.' - 1 , 1; - 1/72, %. - XL - l /n . . . . . * (30)

9. AbschUzung der Griifjen qnm. Nach Bl. (25') ist qltnz = - qmn. Also kann man anch setzen

1 + I q n n = 112 (qnm - q m n ) = j i 2 f i x n Q (xm) - x m Q (xn 1 d y = '12fu' (1. 1; - Xm d y (32).

-1 -1

Fur die Funktionen x gilt nnn die Zerlegnng in langsamen und raschen Anteil;

In dem Integral (32) kommen zunlchst Produkte aus In[ und x,,,~ vor, die hochstens von der GrGBenordnung limn sind und im ubrigen, da alle langsamen Fnnktionen der ntim- lichen, von 72 unabhfingigen sich anntihern, sich in (32) gegenseitig aufhebon. Soweit ferner Prodakte von ynl und xmr in Betracht kommen, ergeben sie nach der Integration Qlieder der Orofle l l m n nnd (m - n) / (m + n) mn.

I n = x>Lt + X m r ; Xrn = x m ~ + x m r .

Band 6, Heft 3 Jnni 1926 Noe the r , Asymptotiscbe Behandlung stationLrer LFsungen ‘24 1

Endlich ist der Anteil in qmn zu berechnen, der nur aus den x,,, und xmr gebildet ist. Er ergibt asymptotisoh ein Integral der Form: fir[’ s indIL(U- c)lycos1/I1,(U- c ) l l ! - -~s in l / l~m(U- -c ) lyC061 / /~ . (U-~) l~ ] 1 dy

1 I?., l/l-l

112-2 4- l l la

oder, nach Umordnung und Ansfiihrung der Integration, Qlleder der obigen Art und noch s%lche von der Ordnung: ( m + n ) / ( m - n ) mn. Die letzteren sind die im Qanzen am ineisten ins Gewicht fallenden.

Bei den vorangehenden Abschtllzungen war ubrigens vorausgesetzt, dai3 b, und I n

gleiches Vorzejcben, daher die Funktionen xm und xn gleiches Hauptgebiet haben. Haben dagegen 1, und 1, verscbiedenesVorzeichen, so ist jedes Qebiet nnr fiir eine der beiden Funktionen Hanptgebiet, fur die andere Nebengebiet, und eine der Funktionen xr geht daher dort exponentiell zu 0. Die Qriii3en qmfi nehmen dann in stiirkerem MaBe ab, als die vorstebend berechneten Qrii%enordnungen.

10. Die asympioiischen Wurzeln der Deierminaniengleichung D = 0. Die voretehenden Abscbltzungen geben die Grundlage fur die Abschltung der Determinante 1) (2 7). Zn dem Zneck ist der Hadamardsche Determinatensatz heranzuziehen, der aussagt, dail der Betrag folgender Determinante:

1 ( I t , - 1 q i , a qi, --a

Q - 1 , l ---I 4-1 1 q - 1 , - 2

q 2 , 1 q 2 , - 1 1 q , - a

q - 2 , 1 q--?,-1 q 4 , 2 - 1 . . . . ( 3 4 )

Ztschr. I. angew. Math. und Mech. 242 N o e the r , Asympto tische Behandlung staiionilrer Ltisungen

Innerhalb dieser Qrenzen nLhern sich, mit wachsendem Index k, die Determinante d,, nnd gleichzeitig die Unterdeterminanten, je einem bestimmten Wert. Und zwar ist dieser Qrenzwert fur alle der gleiche, K, wenn mit k auch zugleich die Zeiger r , s, USW. (die nattirlich immer kleiner als 2k bleiben), unbegrenzt anwaohsen, nnd ihre Aneahl, d. h. die Ordnnng der Unterdeterminante, hinreiohend klein ist neben k. Sohreibt man also die aus Dk hervorgehf nde Potenzreihe in der Qestalt: -

2 k-2 ( S Z k f A 2 k - 1 S2k-1 -I- A 2 k - 2 8 1- . . . .> . (35), K

L 1 L I h L - 3 . . . . . . R k L - k

SO nlhern sich die Koeffizienten A, den Werten:

D =

bis auf BetrHge, die bei wachsendem Index klein daneben bleiben, wlhrend die A, selbst proportional mit k 9 gro0 werden.

Es folgt also im gleicben Sinn, da.8 sich fur die 2 k Wurzeln der Gleichung Dk = 0 die Snmme der Wurzeln an E l k ,., die Summe der Produkte zu zweien an El+ r I+ 8 an- nahert usw. Da das Entsprecheude fur die Determinante &+I gilt, so nlhern sich die beim Uebergang von Dk z u D k f i neu hinzukommenden Wurzeln gerade an i + ( k + i ) an. Man schlieDt so forifahrend auf die a s y m p t o t i s c h e Annl lherung d e r Wnrzeln X von D = 0 a n d i e a s y m p t o t i s c h e R e i h e d e r A. Es ist damit nicht gesagt, daf3 die X wirklich reell sind, aber ihre Realteile miisscn in der Nahe der reellen I. liegen, und die Imaginlr- teile mussen klein sein im Vergleich zu den Realtrilen. Jedenfalls gibt es a sympto t i sch k e i n e r e i n i m a g i n a r e n S, wie es die Ltisung dcr physikalischen Anfgabe ge- fordert hltte.

Wenn ein gegebenes Profil U (y), z. B. ein parabolisches vorliegt, 60 kann nian meist die partikultlren Integrale der DifEerentialgleichnngen durch einfache Methoden, insbesondere Potenzentwicklungen nach der QrtiSe S, aulstellen. Die Randbedingungen ergeben d a m eine charakteristische QleichuDg, die ale eine Potenzreihe nach S erscheint, und deren Wurzeln man durch naherungsweise Aufliisung, nach dem absoluten Betrag von S geordnet, erbalt. Der im Voraogehenden bewiesens Satz sagt aus, da13 hochstens die k l e i n e r e n Wurzeln in dieser Reihe die !iir die Labjlittit des Profils erforderliche Eigenscbaft haben konnen, rein imaginLr zu Bein, wabrend sich mit wachsendem Absolutbetrag die Wurzeln immer groDen Werten auf der reellen Aohse an- nllhern. Man hat dsher, um Sicherheit iiber die Existenz oder Nichtexistenz rein imagintirer Wurzeln zu bekommen, nur soweit mit den Potenzreihen zu rechnen, bis die AnnLherung an das asymptotische Verhalten erkenntlich wird, wogegen neue asyinptotische Unter- suchungen iru einzelnen Fall nicht erforderlich sind. Darin liegt ein auf allgemeiner Grundlage beruhender Beweis z. B. fur Ergebnisse von Hopf, v. Mises und B l n m e n t h a l , wenn man noch einfache NLherongsrechnungen mit den Potenzreiben fur kleinere X hinzufugt. Es ist dabei keineswegs nolig, in diesen Potenzreihen R bis en der durch die wirklichen R e y n o l d s schen kritischen Zahlen gegebenen Hohe anwachsen zu lassen, d a die Realitat der Eigenwerte X schon bei kleinerem Absolutbetrag erkenntlich wird.

Ira Widerspruch dazu scheinen mir dagegen Ergebnisse zu stehen, die Herr W. H e i s e n b erg') ver6ffentlicht hat. Denn e8 wird dort auf rein asymptotisoher Orund- lage, die in der Entwicklung nicht weitergeht als unsere asymptotischen NLherungen, Z. B. das Parabelprofil als aschwinguogsillhig<c hingestellt, d. h. rein imaginlrer Wurzeln X fLhig (1. c. S. 604). Ein solches Resnltat kann nach unserem Satz auf dieser Grundlage nicht abgeleitet werden. Ohne auf die Einzelheiten der H e i s e n b ergschen Ueberlegungen hier einzugehen, miichte ich nur erwtihnen, daO er mit einer sehr bedenklichen Ueber- tragnng der von H o pf im speziellen Fall aufgestellten xUebergangssubstitulionencc arbeitet, und daO er gewisse Ansltze von den R a y l e i g hschen reibungslosen Untersuchungen iibernimmt, die schon bei R a y l e i g h nicht als erwiesen betrachtet werden ktinnen. Denn wie schon eingangs erwahnt, erfordert gerade die Frage der reibungslosen, schwingungs- fLhigen Profile in Wirklichkeit einen genanen Qrenzubergang von dem Fall kleiner Reibung her, der bei Ray1 e igh durch Annahme einer wilikurlichen Uebergangsgleichung ersetzt ist.

11. Schluljfolgerung.

') Annden d. Pbysik. Bd. 7 4 ( 1 9 2 4 ) , S . 6 7 7 R .

Band 6, Heft 3 Jnni 1926 N o e the r , Asymptotischc Behandlung stationLrer L6sungen 243

Erwlhnt sei noch, dafi die von B l u m e n t h a l im speziellen Fall durchgefuhrten asymptotischen Nlherungen weitergehen, indem sie strenge Fehlerabschltzungen hinzu- fugen, die es gestatten, diese Rechnungen auch auf kleinere Werte der Variabeln S aus- zudehn en.

Z u I a t s . Fur die Poisseui l lesche Stromung mit Parabelprofil ergibt sich aus der Be-

rechnung rnit Potenzreihen, dai? schon fiir kleine Absolutbetrlge nur reelle Wurzeln S existieren nnd folglich nach unserem Ergebnis immer S t ab i l i t t i t herrscht. Ich babe die numerischen Rechnnngen allerdings bisher nur unter Vemachllssigung der aa durch- gefiihrt, wie dies auoh in einer im AnschlufJ an L. P r a n d t l ] ) ausgefuhrten Unlersuchung von 0. T ie t j ensa ) geschieht, nehme aber nicht an, dai3 die aa-Glieder das numerische Resultat Lndern kSnnen, da sie eher im entgegengesetzten Sinne wirken.

In der Zwisohenzeit seit der Fertigstellung dieses Aufsatzes ist auch der Vortrag von v. E(hrmiins) im Druck erschienen, in dem ein erster Ansatz zur statistischen Be- r e c h u n g der turbulenten StrSmung durchgefuhrt wird. Und zwar wird hier eine Wirbel- verteilung im Innern des Kanals auf statistischer Orundlage aufgestellt; urn aber die Elemente, auf die sich die Statistik bezieht, nIher festzulegen, mu6 naturlich auf die hydrodynamisohe Qrundlage, also dieRandwertanfgabe, zuruckgegriffen werden. v. K ti r m An stiitzt sich in diesem Sinne auf die genannte Arbeit von T i e t j e n s nnd gelangt damit, wenigstens der QrSOenrechnnng nach, zu einer bemerkenswerten Uebereinstimmung hin- sichtlich des Wideretandskoeffizienten mit den empirisohen Werten. Um nun diese Unter- suchungen gegeniiber meiner obigen zu orientieren, ist hierzu folgendes zu bemerken : P r a n d t l und T i e t j e n s gelangten auf Grond asymptotischer Berechnungen in der ),Qrenz- schichta, zu dem, dem meinigen scheinbar widersprechenden Ergebnis, dab unter UmstInden fur beliebig grode, reelle €2, d. h. rein imagingre S, station5i.e und auch zeitlich anwachsende LSsungen der Aufgabe existieren. Dieses Ergebnis ist aber, in unserer Ausdrucksweise, auf folgendem Wege abgeleitel: Es wird ausgegangen von den Fllleu, in denen eine *laugsamecc LSsung sich, rnit R a y l e i g h , so bestimmen IBt , dai3 an beiden RZindern 9 = 0 wird, d. h. die normale Qescbwindigkeitskomponente v verschwindet, wtihrend d cpldy, d. h. die Qleitgeschwindigkeit u, dann nicht verschwinden kann. Dorch Zusatz einer vaschencc Losung von der asymptotischen Form % e+I’s(u-c)(s--l) an der Wand CE = + I , (und

einer entsprechenden -%- e- I’s(u--c) ( 4 - 1 ) an der Wand z = - l), die vom Rand nach dem

Innern hin rasch abklingt, kann man erreicben, da8 die Qleitgeschwindigkeit mit d q / d y verschwindet; es ist aber dann Q, nicht mehr 0, sondern eine BrSde von der Ordnung 1/Js, nnd die verfugbaren Konsthnten reichen nicht am, um somit an beiden Wtinden die Qaergeschwindigkeit v exakt zum Verschwinden zu bringen. Da unter diesen Um- NtIlnden Energie von der Wand an die Flussigkeit ubeitragen wird, scheint mir die Tat- sache, dai3 jelzt anwachsende Schwingungen existieren kijnnen, nicht verwunderlich. Das steht auch vollig rnit meinem Resultat im Einklang, da eben, wenn nicht exakt 0 iet, nicht mehr eine homogene, sondern eine inhomogene Anfgabe vorliegt., die gerade deshalb fur groi3e reelle R lSsbar ist, weil die homogene Aufgabe hier keine LSsnng besitzt.

Es handelt sich dann aber nicht mehr um die StrSmung zwischen ideal glatten und starren Wlnden, sondern nur zwischen praktisoh glatten WZlnden, die kleine Quer- bewegungen znlassen. Eine tihnlicbe Feststellung war auch fruher schon von L. Hopf ‘) gemacht worden. Wenn ich alles dies zusammenfasse, glaube ich sagen zu kiinnen, dai3 im i d e a l g l a t t e n Rohr k e i n e t u r b u l e n t e S t r S m u n g mogl ioh i s t , in dem Sinne, daS sioh einer mittleren Parallelstrtimung kleine stationlre Scbwingungen uberlagern. Auch die statistischen Berechnungen, sofern sie sich auf die angefuhrten oder Lhnliche Rechnnngen stiitzen, beziehen sich nicht auf ideal glatte, sondern nur auf praktisch glatte WBnde. 537

Tls

v s

I) Bemerknngen llber die Entstehung der Turbulenz, d. Ztsohr. Bd. 1 (19251, S. 436. 2, Beitrf&e znr Entstehung der Turbulene, d. Ztschr. Bd. 5 (1925), S. 200. 3, Ueber die Stabillitit der Laminarstromung nud die Theorie der Turbulenz: Berichte d. 1. inter-

‘1 Zur Theorie der Turbulenz; Ann. d. Physik, Bd. 56 (1919), S. 538. nationalen Kongresses filr angew. Meohanik, Delft 1924, s. 97.