2. anger. MA&. Meoh. Ed. 89 Nr. 819 AndSeut . 1952 G. Stromungslehre 27 1

Es wird eine neue Reihenentwicklung vorgeschlagen unter Verwendung der unabhangigen Koordinaten a)

(v kinematische Zahigkeit). Die Reihe stellt eine Entwicklung nach Potenzen von F dar mit von r) abhangigen Koeffizientenfunktionen, die wieder auf Linearkombinationen universeller Funk- tionen zuruckgefuhrt werden konnen. Das erste Glied der neuen Reihe erfullt die auBere Rand- bedingung exakt, die weiteren Glieder bringen nur Korrekturen im Inneren der Grenzschicht.

Bereits das erste Glied der neuen Reihe gibt eine brauchbare Approximation der Grenz- schicht vom vorderen Staupunkt (bzw. Vorderkante bei Anstromung von Konturecken oder -spitZen) bis weit stromabwarts, wo das entsprechende erste Glied der B 1 a s i u s schen Reihe uberhaupt keine Approximation mehr liefert. Dieses erste Glied ist im wesentlichen ein H a r - t r e e-Profil, jedoch mit der obigen Variablen r), welche das ortliche U(z ) und die Vorgeschichte berucksichtigt. Die Vertafelungsarbeiten fur die Glieder hoherer Ordnung sind in Angriff ge- nommen.

Aus Raumgrunden mu0 hier darauf verzichtet werden, auf verschiedene im Zusammenhang rnit der neuen Reihe stehenden theoretischen und praktischen Fragen auch nur andeutend ein- zugehen. Ein ausfuhrlicher Bericht wird vorbereitet. Von zentraler Ekdeutung ist eine gewisse

Funktion j!?(S) (deren Entwickelbarkeit in 2 By 5 V vorausgesetzt wird, worin j!?,, der H a r t r e e-

Parameter ist und durch die Verhaltnisse an der Vorderkante bestimmt wird). Als einziger Koeffizient der Differentialgleichung in den neuen Variablen enthalt diese Funktion die Daten des Problems, wahrend die ubrigen Koeffizienten und die Randbedingungen universe11 sind.

bo

v=o

Zur Energieverteilung in str6menden Medien Von G. H e k r i c h in Wien

Die Gleichung fur die stationare Bewegung der homogenen und reibungsfreien Flussigkeit 1 l B t sich bekanntlich auf die Form bringen:

mit P als Druckfunktion und U als Potential der Massenkrafte. Da t die Translation des

Wirbelvektors mi&, sol1 er, nach einem Vorschlag von L. F 1 a m m , als Translator bezeichnet werden. Der Translator spielt hier die Rolle eines Energiedichtegradienten und ist daher fur die homogene und reibungsfreie Flussigkeit wirbelfrei, wahrend er im allgemeinen Wirhel besitzt. Nach dem S t o k e s schen Satz gilt also fur homogene und reibungsfreie Flussigkeiten bei stationarer Bewegung :

DasLinien-Integral $t . dr desTranslators laBt sich aber leicht mit der Zirkulation r = #t, dr in Zusammenhang bringen. Bildet man namlich den substantiellen Differentialquotienten

Wir setzen b x (P x b) = b x tu = t(!u ist Wirbelvektor).

j j ( P x t ) * d o =$&at = o .

so ergibt sich aus der Umformung Dn - = - + P ( J - t an IbP dt at

2) D. M e k s y n [Roc, Roy. SOC. A 192 (1948), S. 546-576 und spiitere Arbeiten indergleichen Zeitschrift] benutzt bei grenzschicbttheoretischen Untersuchungen Koordinaten, die er aus Potential und Stromfunktion der Potentialstromung urn den Korper in bestimmter Weise bildet. Unsere Koordinaten sind im wesentlichen grenzscbichttheoretische Vereinfachungen seiner Koordinaten, hier exakt eingefuhrt, mit dem Vorteil der un- mittelbaren einfachen Berechenbarkeit, wahrend die Berechnung der Me k 8 y n schen Koordinaten bei jedem allgemeineren Horper zuniichst eine erhebliche Aufgabe darstellt. W. M a n g 1 e r (vgl. W. T o 11 m i e n , ,,Laminare Ctrenzschichten", S. 30/31, in FIAT Review of German Science 1939-1946, Band ,,Hydro. und Aerodynamik", 1948) hat Reihenentwicklungen nach unserer Variablen vorgeschlagen, benutzt aber zur Bil. dung der zweiten unabhlingigen Variablen die Stromfunktion der Grenzschicht, die sich erst rnit der Grenz- schichtberechnung ergibt und deren Benutzung entsprechend umstandlicher ist. Den Hinweis auf den M a n g - 1 e r schen Vorschlag verdanke ich Herrn T o 1 1 m i e n.

272 G. Stromungsbhre 8. angea. mth. Ye&. Bd. $8 Nr. 8/9 AUd8eDt. 1962

fur stationare Stromung:

- - f [ v ( !$) - t] . ar + f a (w) = -$ t . at. + $ a (lbp) . a t 2

Das zweite Integral verschwindet langs eines geschlossenen Weges, daher verbleibt :

Das Linienintegral des Translators Iangs einer geschlossenen Kurve ist also gleich dem negativen substantiellen Differentialquotienten der Zirkulation Iangs derselben Kurve. Daraus kann man auch sofort auf den T h o m s o n schen Satz von der Konstanz der Zirkulation langs einer geschlossenen fliissigen Linie bei reibungsfreien homogenen Fliissigkeiten schlieaen. Bei inhomogenen Flussigkeiten folgt aus dem Satz von B j e r k n e s :

1 P x t =v(-) x V p . e

Der Translator t = b x tn hat die Form des bekannten P o y n t i n g schen Vektors der Elektrodynamik :

c Q = = ( G X @ ) . 4n

Dies legt die Frage nach einem Energietransportvektor der stromenden Flussigkeit nahe. Der Vektor b x tn hat jedoch nicht die Bedeutung eines Transportvektors der Energie. Ein solcher ist, soweit mir bekannt, fur den Fall einer Fliissigkeit, die den S t o k e s - N a v i e r schen Glei- chungen genugt, noch nicht eingefuhrt worden. Der Energietransportvektor G sol1 so definiert werden, daB dE = (G - do) dt die in der Zeit a t durch das Flachenelement do transportierte mechanische Energie ist. Diese setzt sich zusammen aus der durch do hindurchtretenden Be- wegungsenergie, der potentiellen Energie und der mechanischen Arbeit, die von der durchtreten- den Flussigkeit wahrend dt geleistet wird.

Nach dem S t o k e s - N a v i e r schen Ansatz ist der Spannungsaffinor p gegeben durch :

p = - 8 p + q ( V , b + b, V ) -A8(V ‘ b ) .

8 ist hierin der Einheitsaffinor, V , b und b, bedeuten dyadische Produkte. Nach S t o k e s ist

1 = -7, doch wollen wir diese etwas problematische Annahme hier nicht einfiihren. Das

Skalarprodukt p do ist somit der Spannungsvektor der im Element do auftretenden Schnitt- spaanung. Die Arbeit, die die durch do hindurchtretende Flussigkeit wiihrend dt leistet, ist gegeber durch d A = - (p - do) b dt, oder, wegen der Symmetrie von p: dA = -(p . b) - do dt. Die gesamte durch do transportierte Energie ist daher :

2 3

d E = L + U ( $ 2 ) e b . d o d t - ( p * b ) . d o d t

und daher der Energietransportvektor :

Durch Einsetzen des Wertes von p ergibt sich

.(v, b + b, V)+Ab(V. b ) .

Fur die reibungsfreie Flussigkeit (7 = 0 und 1 = 0) hat somit G die Richtung von b, f u i

Bildet man div so erhalt man, bei Benutzung der S t o k e s - N a v i e r schen Gleichung die zahe Flussigkeit schlieBt Q i. a. einen Winkel mit b ein.

in der Form

V p -VU -VV8b + ab 1 - + ( y) - b X (V X b) = - - at e

den Ausdruck:

G. Stromungslehre 273 2. angew. Math. Ywb. Bd. 32 Nr. 8/9 Aug./Sept. 1959

div EI stellt aber die Quellung der Energie pro Volums- und Zeiteinheit dar, und diese ist gleich der Abnahme der Bewegungs- und der potentiellen Energie, ferner einem von der Volumsdilata- lion abhangigen Glied, das von einer thermodynamischen Umsetzung herruhrt und der Encrgie- dissipation durch innere Reibung.

Literatur G. H e i n r i c h , Zur Theorie der stationiiren, reibungefreien Wirbelstromung, Anzeiger der oaterr. A M . d.

Wise. Jahra. 1960. Nr. 4. G. H e i n r i c-h , Der Energietransport in stromenden Medien, erscheint demniichst in dieser Zeitschrift. G. H e i n r i c h , Ergiinzungen zu dem Aufsatz ,,&r Energietransport in stromenden Medien", sol1 ebenfalls

in dieser Zeitschrift erscheinen.

Indirekte Bestirnmung von Lufterkennlinien Von W. Richter in Frankenthal

Wenn in einem einfachen geschlossenen Leitungssystem mit einer Querverbindung zwei Lufter arbeiten, so konnen drei wesentlich voneinander verschiedene Aufgaben vorliegen : voll- standige Hintereinanderschaltung, Parallelschaltung und teilweise Hintereinanderschaltung. Wenn im passiven Teil des Leitungssystems verschiedene Drosselzustande eingeslellt werden konnen und einer der beiden Lufter zumindest in einem begrenzten Bereich regelbar ist, so kann man aus einer Messung dieses Lufters auf die Kennlinie des zweiten Lufters schliel3en. Die Auf- gabe fuhrt jeweils auf eine gewohnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Fur deren graphische Losung kann eine Leitkurve (E. C z u b e r , Z. Math. Phys. 44 (1899), S. 4 1 4 9 ) ver- wendet werden, deren Parameterdarstellung angegeben wurde. Aus der Moglichkeit, im normalen Liifterarbeitsbereich die Kennlinie eines Liifters gut durch eine Parabel zu ersetzen, wurden rech- nerische Naherungslosungen hergeleitet, Diese graphischen und rechnerischen Verfahren wurden an praktischen Beispielen erlautert und deren Ergebnisse miteinander verglichen. Eine prak- tische Verwendung empfiehlt sich wohl nur dann, wenn man die Kennlinie des zweiten Lufters direkt nicht bestimmen kann. Insbesondere erhalt man auf diese Weise zwei verschiedene Mog- lichkeiten, den naturlichen Auftrieb einer Grube durch Messungen am Hauptgrubenliifter zu be- stimmep. Ihre Anwendung setzt voraus, da13 die Messungen am Hauptgrubenlufter mit hin- reichender Genauigkeit moglich sind.

Ein neues Verfahren zur Berechnung turbulenter Grenzschichten Von J. Rottain Gbttingen

Das neue Berechnungsverfahren, dessen theoretische Grundlagen in vorausgegangenen Veroffentlichungen l) niedergelegt wurden, gilt fur turbulente Grenzschichten inkompressibler StrBmungen mit beliebigem Druckverlauf. Fur die Bestimmung der Impulsverlustdicke wird die bekannte Impulsgleichung benutzt. Fur die dabei in dem Verhdtnis HlP der Verdrangungsdicke dl zur Impulsverlustdicke 6, ausgedruckte Profilform und den ortlichen Reibungsbeiwert G; sind noch weitere Beziehungen erforderlich. Eine dieser Beziehungen liefert die Energiegleichung, die das Gleichgewicht zwischen der der Grundstromung entzogenen Energie, der dissipierten Energie und der mit der Grundstromungsgeschwindigkeit fortgefuhrten Turbulenzenergie beschreibt. Die iibrigen Zusammenhange werden im wesentlichen durch drei grundsatzliche Annahmen vermittelt, die fur das Verfahren kennzeichnend sind:

1. Die Grenzschicht kann aus einem wandnahen und einem aul3eren Teil zusammengesetzt werden.

2. Die Pul3eren Teile der Geschwindigkeitsprofile k6nnen als einparametrige Familie auf- gefal3t werden.

3. Der Zusammenhang zwischen den Profilen der Grundstromungsgeschwindigkeit und den Verteilungen der statistischen Schwankungen kann als eindeutig angesehen werden.

Auf Grund der ersten und zweiten Annahme Ia13t sich der Reibungsbeiwert G; als Funktion des gebrauchlichen Profilparameters Hiss der R e y n o 1 d s zahl und der Wandrauhigkeit dar- stellen. Fiir den Reibungsbeiwert bei glatten und sandrauhen Oberfltichen wurden Kurven- tafeln angefertigt.

1) J. R o t t a , Mitteilungen aus dem Max-Planck-htitut fiirlStrbmungBfOrBChUng, Nr. 1, GBttingen 1960. - J. R o t t a schubspnnungeverteilung und Energiedissiption bei turbulenten Grenzschichten, hg . - Arch. 20 (1962), S. 196.

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