Z. angew. Math. Mecii. Bd. 35 Nr. 7 Juli 1953 Kleine Mitteilungen

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Fuhrt man rechts den Grenzubergang n 4 a3 glied- weise durch, unbeschadet der Frage, ob dies erlaubt sci, so erhiilt man

1 . . . (7 ) , + + q q Z + = q l 1 1 O 0 l

v = 1

wo x # 0, &l, 1 2 , . . . sei. Diese Reihe konvergiert fur jedes solche x, und sogar gleichmiil3ig in jedem beschrankten abgeschlossenenGebiet, das jene Punkte nicht enthiilt; ihre Summe sei C(x). Dann ist C(x) an jeder Stelle x # 0, -fl, &2,. . . stetig. Zu zeigen ist

( S t . ctg 7L 2 = c (2).

2. Dieser Nachweis erfolgt nun so: Man zeigt sofort, da13 C(x) genau wie ctgn x die

Periode 1 hat, und derselben Frnktionalgleichung (3) genugt :

alle Fiille brauchbares Stra hlbiischel und eine Parallenschar gezeichnet vorliegen, die auf eine mit einer reguliiren Skala versehene Achse senkrecht steht.

Um /(x) ES a, - xn + a, - m--l + - . .+ G - ~ x + a,

zu berechnen, bedient man sich des bekannten Sche- mas :

a, a, a, . . . an-, a, - x’a, x - p l . . . x - p , - , x*p,-,-

PI PZ - + 1 ~ n - 1 Pn = f ( ~ ) 9

wobei die pk auf die aus der Abbildung ersichtliche Weise graphisch gebildet werden. Es ist dort OE, 4 OE, = 1, ferner mit Berucksichtigung des Vorzeichens Amok = ak, also O O k = pk und fur z =E,Psollf(x) (n =4) gefundenwerden:j(x)=0O4.

Mithin gilt dasselbe fur die Differenz h ( x ) = c t g n x - C(x):

h ( z + 1) = h ( x ) . . . . . . . . . . . (10)

h ( r ) = + ( h ( ; ) + h ( Y ) } . . (11);

frrner gilt

und also infolge der Periodizitiit von i (5) auch h(x)-+Ofiir s + l - . O . . . . (13).

In 0 < E x 2 1 - E ist h(x) stetig, und also auf Grund von (12) und (13) zu einer in 0 x 5 1 ste- tigen Funktion h( x) erqlnzbar. Infolge der Periodizi. tiit ist damit h(x) als stetige Funktion f i i r alle x ge- geben; speziell ist h( x) integrierbar. Dieselbe uber- legung, die Ton (3) zu (5) fuhrte, ergibt, angewandt auf irgcndoin x, aus ( 11)

h ( x ) + O I u r x + + O . . . . (1%

Wur VL+ a, ergibt sich gemaB der Definition des Integrals

1 h , z ) = / h ( t ) d t , d. h. h(x) -- const . . (16)

und, da h ( 0 ) = 0, mithin h(x) EZ 0, c tgnx = G(x) oder

0

z c t g z x = - + 1 2 w 1 {- -1 1 (16). X x + v 2 - Y

v = l

Berlin-Charlottenburg. E r n s t M o h r .

Zur graphischen Berechnung von Polynomen. Das Verfahren von H. B e h m a n n 1) kommt mit

einem Minimum an Hilfslinien &us, die grtr nicht ge- zeichnet zu werden brauchen, sondern deren Schnitt- punkte bloB mit einer dem gewiihlten Argument ent- sprechenden Gerade eu markieren sind. Man kann aber eine schon von A. W i n c k l e r a) ~ U R dem Mesolabium des E r a t o s t h e n e s hergeleitete Konstruktion, die vor einigen Jahren F. W. P a 1 m s, eingehend untersucht hat, durch Verwendung von Pauspapier noch so vereinfachen, daB man auf diesem fur einen gegebenen Argumentwert nur e i n e e i n z i g e G e r a d e zu ziehen hat, sobald ein fur

f [x) i 4 ~ 6 x 4 ~ 0 , 8 x 3 - b 4 x ’ - 0 , 4 x ~ 0 , 6 f (0,4) =O.Jf

Zur PraktischenDurchfuhrung zieht man auf Paus- pspier eine Gerade q‘, triigt auf ihr von einem Punkt 0’ aus mit der Laageneinheit OE, die Koeffizienten ak ab, und zwar die positiven nach unten und die negativen nach oben. Die Endpunkte dieser Strecken seien A;, A;, A‘, . . . . DasPauspapier leg$ man dann so auf das Blatt mit dem Buschel, dessen Strahlen nttch x beziffert sind, da13 die Cerade r]‘ mit der q-Achse und der Punkt 0‘ mit E, zusammenfallen, und zieht durch 0‘ die Gerade x’ nach dem Schnitt- punkt des Strahles x mit der q-Parallelen durch 5. Nun verschiebt man das Pauspapier so, dal3 q’ stets iiber r ] bleibt und zuniichst A: sich mit 0 deckt. Mittels der &Parallenschar sucht man - eventuell durch Interpolation nach dem AugenmaB - den auf gleicher H6he wie Po = (x, x’) liegenden Punkt A, der q-Skala, den man sich aber nur fur den folgenden Schritt zu merken braucht. Auf A, legt man denn A:, merkt sich wieder den auf gleicher Hohe wie PI = (2, x’) liegenden Punkt A, der q-Skala, auf den man A’, legt usw. Die Ordinate des Punktes -4; liefert BchlieBlich beim letzten Schritt den gesuchten Wert von j(z).

1 ) Zur graphischen Behandlung der ganzen rationalen Funk- tion. Z. angew. Xath. Yech. 11 (1991), 8. 463.

1) Cteometrische Konstruktion rationaler Polynome. Sit% Ber. d . Wiener Akad. d. Wiss. IIa, 65 (1866), 9. 326.

8 ) Anwendung und Verallgemeinerung des graphhchen Ver- fahrens von Winckler. S1tz.- Ber. d . Osterr. Akad. d . Wiss. IIa 167, (IQCQ), S. 276.

2. mgew. Math. Mech. Bd.33 Nr.7 Juli 186s Kleine Mitteilungen 249

Wegen

braucht man das universale Strahlbiischel nur fur - 1 s 2 1 zu zeichnen und hat beim Vbergang von x zu 1/x bloB die Reihenfolge der Punkte A, auf dem Pauspapier umzukehren.

Fiir variables z bescbreibt der Punkt P((, 0 ) eine Kurve mit der Parameterdarstellung

aus der folgt : r] = f 4 . Sie ist a190 rational von der ( n + l)-ten Ordnung und hat im Ursprung einen n-fechen Punkt mit den Tangenten q = Xk * 4, wobei

Wien. A. H u b e r .

(0 f (%) = 0.

Zur Diisenstromung mit Reibung. Bei der thermodyntlmischen Berechnung von

Stromungsmaschinen wird i. a. die Reibung an den Kanalwiinden durch Einfiihrung eines sog. Ge- schwindigkeitsbeiwertes unter der Annahme beriick- sichtigt, daB bei konstantem Druckim Spelt zwischen Duse und Laufrad eine dem Geschwindi keitsverlust entsprechende Enthalpiezunahme und Entropie- vermehrung des Arbeitsmittels eintritt ; der Be- stimmung des Durchaatzes werden ublicherweise unter Verwendung eines sog. Sicherheitsfaktors die- jenigen ZustandsgroBen im engsten Querschnitt zugrunde gelegt, die sich bei isentropischer Stromung unmittelbar aus den kritischen Werten ergeben. - In der vorliegenden b m e n Notiz ist versucht worden, nach Ableitung der fur die Diisenstromung mit Rei- bung giiltigen Beziebungen eine fur technische Zwecke geeignete Niiherungslosung aufzustellen.

Bei dcr hier vorausgesetzten Expansionsstromung m8ge die an der Kanalwand durch Reibung erzeugte Wiirme dem Gas verlustlos wieder zugefiihrt werden; der Kanal moge die Gestalt einer Lavalduse haben, das Druckgefiille zwischen Diiseneintritt und -&us- tritt sei als iiberkritisch vorausgesetzt. Der gas- dynrtmische Zustand im engsten Querscbnitt und somit auch der Massendurchsatz ist infolge der adiabatischen nichtisentropischen Strbmung zu- niichst unbekannt; die Bestimmung dieser Werte kann nicht durch die Losung einer einfachen Extre- maIa,ufgs;be erfolgen, wie dies bei der Betracbtung der reibungsfreien Stromung geschieht.

Wird f i i r die von der Diisenoberfliiche dO = nD - d x (kreisformiger Querscbnitt, D : Diisen- durcbmesser, x: Diisenabzisse, in Stromungsricbtung positiv gerechnet) herriihrende Reibungskraft d R der Ansatz

d R = c B n D g W a . d x

(CR: Reibungsbeiwert, p : Dichte, w : Geschwindigkeit) gemacht, so gilt wegen drn = pF * d x (m: Masse des Mediums, F: Dusenquerschnitt) fur die der Massen- einheit durch die Reibung zugefiihrte Energie de:

2

daher ist nech dem 2. Hauptsatz der Wiirmelehre n D 2 F T * d 5 = ~ ~ - ~ * - - . d x . . . . (1)

soll die in der Zeiteinheit durch einen Kanalquer- schnitt stromende Masse rh, die bei gegebenem Aus- gangszustand vom Zustand im engsten Diiseo- querschnitt (Index ,,mint') abhiingt, durch den Ver- Iustfaktor ( auf die leicht berechenbare isentropiscbe Stromung bezogen worden. Die thermische Zustands- gleichunp;, in den Variablen p, T und 8 geschrieben

1

( c ~ , ,,: spezifische Wiirmen j e Masseneinheit, der In- dex ,,O" bezieht sich auf den Ausgangszustand) und die Energiebeziehung

t 9 - w , a = 2 c p . ( T o - T ) . . . . .(4), vervollstiindigen das zur Bestimmung der Unbe. kannten T , e, 8 und u) notwendige Qleichungssystem.

Die Dusenabmessungen sollen auf den engsten Querschnitt bezogen werden.

Ferner soll die sog. Kesseltemperetur (Ruhezustand) eingefiihrt

und Too = To + w02P cs

6 = T/TO, , u = ( 5 - s 0 ) / ( c p - c,,) gesetzt werden. Dann nehmen die aus (1) und (4) bzw. (2) und (4) sich ergebenden Reziehungen die Form an:

4% 1-8 1 du -CR--.-=- x - 1 6 6 df . * . . ( 5 ) ,

Nach (5) und (6) gehorcht die Temperatur im Kanal der fur einen vorgegebenen Diisenquerschnitt nu- mensch zu losenden Gleichung

I 1

6' 4% =2---

in welcher der Abwertungsfaktor 5 nicht auftritt (6' = ds/d(). Am (8) ergeben sich nacbstehende Folgerungen :

a) Da die ortliche Schrtllgeschwindigkeit c lediglich von der Temperatur und die Stromungsgeschwindig- keit nach (4) nur vom Temperaturgefiille abhiingt, wird die kritische Temperatur

durch die Reibung nicht beeinflu&; daher wird nach (8) der kritische Zustand (c = to) hinter dem engsten Diisenquerschnitt - in Stromungsricbtung gereohnet - an der Stelle 5kr erreicht, an der

bzw. d ' = X C R a . . . . . (10)

( T : Temperatur, 8 : Entropie je Masseneinheit). In der Kontinuitiitsbeziehung

P p w = ri, (Tmin, amin) = ( * lia ( C R = 0) . (2)