Topologischo Fragen dor Differentialgeometrie 36.

Zur Invariantentheorie von Difforentialoperatoren.

Von ERICH KAHLER in Rom.

1.

Bei drei Differentialoperatoren in drei Variablen

Ai ~- ail ~ + a i 2 -~-ais 0 (i = 1 2, 3) 0 xs

liefern die Koeffizienten cik der Zusammensetzungsformeln

a2 zi8 -- zl.~ ~1~ ~ ~ clk Ak,

(1) a3 a~ - al A~ ~ ~ c~k Ak,

zusammen mit ihren dutch ein- oder mehrmalige Anwendung der Ai er- haltenen sogen, invarianten Ableitungen ein vollstandiges Invarianten- system ~) gegenfiber topologischen Transformationen

x; = ~i(xl, x~, x3) (i = 1, 2, 3).

Ein solches 0peratorsystem ist also dutch Angabe der cik und deren invarianten Ableitungen topologisch vollkommen beschrieben.

Im Folgenden soll untersucht werden, ob eine beliebig vorgegebene Funktionsmatrix (cik) immer alE Matrix der Zusammensetzungsformeln eines Operatorsystems angesehen werden kanu und wie weit dieses durch die cik festgelegt ist. Aus der Theorie der kontinuierlichen Gruppen ist bekannt, dab ftir konstante c~k gewisse Relationen bestehen miissen, damit ein zugeh(Iriges Operatorsystem existiert, das dann bis auf topo- logische Transformationen auch eindeutig bestimmt ist. Die Vermutung, da~ sich ffir allgemeinere c~k i~hnliche Verhi~ltnisse einstellen, besti~tigt sich nicht. Unter der einzigen Voraussetzung, dal~ gewisse aus Ab- leitungen der cik gebildete Determinanten von Null verschieden sled. beweist sich die Existenz von unendlich vielen (im allgemeinen auch topologisch verschiedenen) zugeh0rigen 0peratorsystemen. Die c~k, die im Falle konstanter Werte ein vollstandiges Invariantensystem liefern, gentigen also im allgemeinen Falle noch nicht zur topologischen Charak- tcrisierung des Operatorsystems.

1) Vgl. BoL und HowE, T27, Hamburg'. hbh. 8 (1930). S. 194---'200.

Invariantentheorie yon Differentialoperatoren. 65

Die zu behandelnde Frage ffihrt auf die Diskussion der mit (1) gleichwertigen partiellen Differentialgleiehungen

a~i 0 a2i ~ a 2 ~ - - a3r - - ~ r ari v 0 xr 0 xr r

axi 0 aai ~ a s J , - - alJ, = ~ c2v a~i ~, 0 Xr 0 Xr u

a a2i 0 ali ~ al, a 2 r - - - - ~ csr a~,i r ~ Xr ~ Xr

(3) (i = 1, 2 ,3)

und der drei aus der Jacobi-Relation

(A 1 (A 2 A3)) .-~ (A 2 (A 3 A1) ) + (A 8 (A 1 A2)) = 0

entspringenden Gleiehungen

(4) ~_~ A,, c~i + c1~ c u - - cls c:i-~ c~3 cu--'c~,l cu + c81 cs i - - cs~ cu = 0

( i = 1, 2 ,3) , welche ausgeschrieben so lauten:

Cri (4') ~ a,,~ ~ + c12 cs i - - C18 C2i -~- zykl. = 0.

In diesen Gleichungen (3) und (4') sind die cik als bekannt und die aik als die Unbekannten anzusehen.

Dutch Anwendung des allgemeinen Existenzsatzes yon RIQEmR fiber partielle Differentialgleichungen stellt sich heraus, daf jene Gleiehungen im allgemeinen, d. h. sofern nicht gewisse aus den Ableitungen der cik

gebildete Determinanten verschwinden, L6sungen a~k besitzen, die noch von gewissen willkfirlichen Funktionen von zwei bzw. einer Variablen abh~ngen.

2.

Um alles beisammen zu haben, sei zunaehst an einige Definitionen und Resultate von RIQUIER erinnerti).

Nach RIQUmR nennt man ein nach gewissen Ableitungen der un- bekannten Funktionen aufgel6stes System yon partiellen Differential- gleichungen harmonisch, wenn

1. auf der rechten Seite jeder Gleichung niemals h6here Ableitungen vorkommen als die auf der linken Seite stehende,

2. es m0glich ist, den Variabldn und Unbekannten solche p-gliedrige Gewichte (,,Cotes") zu erteilen, daft die Ableitung auf der linken Seite einer Gleichung lexikographisch stets vor den Ableitungen gleicher 0rdnung auf der rechten Seite rangiert,

1) RIQUIER, Ann. de l']~c. Norm., 1893.

66 E. Kithler.

3. die links stehenden Ableitungen siimtlieh yon den auf den rechten Seiten vorkommenden Ableitungen und deren Derivierten ver- schieden sind. Was die in der zweiten Voraussetzung genannte Indexverteilung

betrifft, so ist folgendes zu sagen. Man ordne jeder Variablen und unbekannten Funktion einen p-dimensionalen Vektor (p eine passende ganze Zahl) mit ganzzahligen (positiven oder negativen und nicht sitmtlich versehwindenden) Komponenten zu. Das zu einer Ableitung einer Un- bekannten gehClrige p-gliedrige Gewicht (Vektor) berechne man so, da~ man zu dem Vektor der Unbekannten so oft j'eden Vektor der un- abhi~ngigen Variablen addiert, wie ihre Differentiatio~nsordnung beztiglich jener Variablen angibt. Ein Vektor a steht dann ,,lexikographisch" vor einem anderen b, wenn die erste nicht verschwindende Komponente yon a - - 5 positiv ist.

Die auf den linken Seiten eines harmonischen Systems auftretenden Ableitungen zusammen mit den durch Differenzieren daraus entstehenden, die sogen, prinzipalen Ableitungen, lassen sieh durch die tibrigen, die ,,parametrischen" Ableitungen darstellen. Wenn diese Darstellung, wie man auch jene unendlich vielen Gleichungen miteinander kombiniert, ftir alle prinzipalen Ableitungen eindeutig ist, heiBt das System passiv, und es gilt dann der allgemeine Existenzsatz, daft unter gewissen trivialen Regulariti~tsbedingungen die Werte der parametrisehen Ableitungen in einem Punkte beliebig vorgeschrieben werden k(Innen, so nattirlich, daft sie, mit passenden Fakulti~tenfaktoren versehen, Koeffizienten eines konvergenten Potenzreihenausschnitts sind.

Um ein harmonisehes System als passiv zu erkennen, sind nur ge- wisse yon RIQUIER genau angegebene Integrabilitittsbedingungen zu unter- suehen. Es gentigt ftir unseren Fall, wo es sich ja um ein System mit lauter Gleichungen 1. Ordnung handelt, folgendes zu wissen. Ein solches System ist dann und nur dann passiv, wenn" die Berechnung der prin- zipalen Ableitungen 2. 0rdnung aus den Gleichungen des Systems und deren ersten Derivierten eindeutige Ausdrticke in den parametrischen Ableitungen liefert.

,

Von den zu untersuchenden Gleichungen (3) und (4') sind die letzteren endliche Gleichungen, die gestatten, drei von den neun Un- bekannten a~k durch die seehs fibrigen linear darzustellen, vorausgesetzt natiirlich, dab die mafigebende Determinante nicht verschwindet. Bezeich- hen wir diese drei a~, um uns in den Indizes vorltiufig nicht festzulegen, mit a~l, as~, ass. Durch Substitution dieser drei Ausdrticke in (3) ergibt sich ein System (S) yon neun partiellen Differentialgleichungen zur

Invariantentheorie yon Differentialoperatoren. 67

Bestimmung der fibligen sechs Unbekannten aik. Dieses kann man durch Aufl0sung nach neun passend gewi~hlten Ableitungen zu einem har- monischen und passiven System im Sinne yon RIQUIER maehen.

MaR 10se n~tmlich auf nach den sechs Ableitungen beztiglieh xl und drei weiteren nach x~ genommenen Ableitungen. Diejenigen Un- bekannten aik, yon denen sowohl die nach xl wie die nach x2 genommenen Ableitungen bei der Aufl0sung berticksichtigt werden, seien mit a~l, a2~, a~3, die tibrigen mit al~, a12, of 18 bezeichnet.

Die neun resultierenden Gleichungen haben dann folgende Form: Auf den linken Seiten stehen die Ableitungen

(5) 0 ~lk O a2k 0 a2k (k -~ 1, 2, 3) 0 X 1 ~ ~ X 1 ' 0X$

und reehts (lineare) Ausdrticke in den neun Ableitungen

0 ~tlk 0 alk 0 a2k - - , (k = 1, 2, a).

0x~ ' 0xa Oxa

Ob die vorausgesetzten algebraischen Aufltisungen fiberhaupt mtiglich sind, soll spater untersucht werden; zuni~chst wollen wir uns tiberzeugen, dab das so erhaltene System (S') harmonisch und passiv ist.

Die Forderungen 1 und 3 ftir harmonische Systeme sind offenbar erftillt und der Bedingung 2 wird mit p : 1 durch folgende Wahl der Gewichte gentigtl) :

(xl) > >

_ - ( . . ) _ - ( . . ) _-- . , ,

o <

Um die Passiviti~t des Systems S' zu beweisen, haben wit zu zeigen, dag die Gleichungen yon S' und die dureh einmaliges Differenzieren daraus hervorgehenden ftir die 3 .8 ~ 24 prinzipalen Ableitungen 2. Ordnung

0x21 ' Oxl ~x2 ' ~x l ~x a

(6) ~ a2~ O2 a~i ~ a2i O~ a~i @~ a2i

O ~ ' 0x 1 0 x : ' ~x 10x a ' Ox~ ' ~x 2ox a

eindeutige Ausdrfieke liefern. Zu diesem Zwecke gehen wir zurfick zu dem System S, aus dem

S' durch Aufl0sung entstanden ist. Dieses System S wurde erhalten, indem man zwischen (3), (4') und den Gleiehungen

1) Die Gewichte sind durch Einklammerung der betreffenden GrSl~en bezeichnet.

68 E. Kiihler.

02 Cvi (7) ~ Oa~ox, Oc~iO -4- a,~/~ Ox u Oxr -4- . . . . 0, (i, r = 1, 2, 3)

die sieh aus (4') dureh Differenzieren ableiten, die GrOgen ask und deren neun Ableitungen eliminierte. Zur Bestimmung der AbleitUngen (6) denken wir uns si~mtliche Gleiehungen hingesehrieben, die dabei in Frage kommen. Das sind auger (3), (4') und (7) die 9 .3-4-9.3 ~ 54 Gleichungen, die sieh aus (3) und (7) dureh einmaliges Differenzieren ergeben. Zwisehen allen diesen Gleiehungen sind die ask und deren Ableitungen bis zur 2. 0rdnung zu eliminieren, und die danaeh fibrig- bleibenden Gleiehungen mtissen, damit das System 8 ' passiv ist, die 24 Ableitungen (6) eindeutig festlegen.

Wir werden nun zeigen, dag yon jenen 54 Gleiehungen 12 tiber- fltissig sind, so dalt nach Elimination der 18 Ableitungen 2. 0rdnung der asi htiehstens 5 4 - - 1 2 - - 1 8 = 24 zur Bestimmung der (6) fibrig- bleiben, womit dann alles bewiesen sein wird.

Zuni~chst einmal sind yon den 9 . 3 aus (7) durch Differenzieren ent- stehenden Gleiehungen nut 2 7 - 9 versehiedene, well die (7) selbst sehon durch Differenzieren der drei Gleiehungen (4') hervorgegangen waren. Drei weitere Gleichungen yon jenen 54 sind wegen (4') tiberfltissig. Statt namlieh die Gleiehungen (3) direkt zu differenzieren, kann man aueh die durch Anwendung der Operatoren Ak resultierenden betrachten. Wendet man aber auf die drei Zeilen yon (3) der Reihe nach A1, A~, As an und addiert, so ergibt sieh zufolge (3) und (4) ~ (4') eine identisehe Gleichung. Denn man erhi~lt:

A 1 A~ aai-- AI A8 a2i

,+A2 As a u - - A~ AI au (i = 1, 2, 3) "4" Aa At a 2 i - As As ali -~- ~ a~,i A~ ctt u -4- ct~v A~ a,,i.

~,.~t Hier braucht man nur links A1 A2 au--A2 A1 asi dm'eh z~,ca,, A,. aai, usw. zu ersetzen (was ja nur eine Bertieksichtigung von (3) bedeutet) und die Gleichungen (4) zu verwenden, um die Ubereinstimmung mit der rechten Seite zu erkennen. Da der Index i die Werte 1, 2, 3 durch- laufen kann, sind in der Tat drei weitere fiberfiiissige Gleichungen unter jenen 54 aufgefunden.

Nachdem das System S' als passiv und harmonisch erkannt ist, ktinnen wit den Existenzsatz yon RIQUIER anwenden, wonach die Un-

o bekannten a~k fiir xl ~ konst. ~ xi als willktirliche Funktionen yon x~, xs,

o o die a2k ftir x~ ~---x~, x2 ~--x2 als willkfirliche Funktionen yon xn vor- geschrieben werden kOnnen. Unter gewissen Regularit:~ttsbedingungen, die wegen ihrer Trivialiti~t nicht erst genannt werden sollen, und unter der Voraussetzung, dal3 das System S' fiberhaupt hergestellt werden

Invariantentheorie von Differentialoperatoren. 69

kann, gibt es also zu gegebenen ci~ unendlich viele, nilmlich von drei willktirlichen Funktionen zweier Variablen und drei willkfirlichen Funk-

tionen einer Variablen abhangige Operatorsysteme ~ a ~ ~-~ --, die im k 0 Xk

allgemeinen aueh topologiseh verschieden sein werden.

,

Es fehlt noch der Nachweis, dal~ die yon S zu S' fiihrenden algebraischen Prozesse im allgemeinen durchffihrbar sind. Dabei handelt es sich, wie gesagt, um die Elimination tier ask und deren neun Ableitungen aus (3), (4') und (7) und nachherige Aufltisung nach den Ableitungen (5). Es genfigt dazu, zu zeigen, dai~ die Gleiehungen (3), (4') und (7) nach den ask und den Ableitungen (5) zusammen mit denen von ask aufgel0st werden ktinnen.

Damit zuni~chst die ask aus (4') bestimmt werden ktinnen, mui~ eine gewisse aus Ableitungen der cik gebilde~e Determinante, wir wollen sie C nennen, von Null verschieden sein.

Unter den weiteren Unbekannten finden sich alle nach Xl genommenen Ableitungen der aik. Ltisen wir darum die 2. und 3. Gruppe

der Gleichungen (3) nach ~ all ~ a2~ auf. Es ergibt sich

O au al~ O asi ass O ali ._l_ al~ O asi § O xl as~ ~ x~ aa~ ~ x,_ " aal ~ x~

(8) O a 2 i _ a~l ~asi jr a~,,a81--a~1as~ Oali al~ Oa2~ Oxl as~ OXl alla3~ Ox~ aH Ox~

a lka l i Oaai ~_.. . , an as~ ~ x~

wobei hier, wie auch fernerhin, nur die Glieder hingeschrieben sind, die ftir die weiteren Uberlegungen yon Interesse sind.

Tri~gt man dies in die 1. Gruppe jener Gleiehungen (3) ein, so hebt O aai ( ) sich ~ weg, u n d e s bleibt bis auf den Faktor 1

611

(9) a~l as1 0 all _~_ aal all 0 a2i aH a~l 0 aai -4- a~ a.~l 0x---2- ass al~ ~ -]- al~ a~ ~ . . . . 0.

Diese Gleiehungen (8) und (9) sind also den Gleiehungen (3) i~qui- valent. Man trage nun die Ausdrticke (8) in die 1. Gruppe (r = 1) der Gleichungen (7)

0 a~& 0 c~i 2, 3) 0x~ 0x~ + . . . . 0 (i = 1,

70 E. Ki~hler.

ein. Es entsteht

1 ( ~ c u _ ~ ~cul ~a,~ -~X - j- u,~ C2i . . . . ~ .

wobei die nicht hingeschriebenen Glieder nur Ableitungen nach x~ und xs

enthalten. Diese drei Gleichungen mtissen nach den ~ aufl0sbar 0 x~

sein, weil die iibrigbleibenden Gleichungen (7) (r = 2, 3) keine nach x~ genommenen Ableitungen mehr enthalten. Also muff die Determinante

c~_ A ~ ~ cu ~ cat (10) an ~ Xk a~ ~ -4- as~ ~ ~= 0

sein. (i, k Zeilen- und Spaltenindizes.)

a2k ~ ask 11111~ mall Zur Bestimmung der sechs Ableitungen O x~ ' O x~

die Gleichungen (9) und

~ a,,~ 0 c,,i + . . . . 0 (Gle ichungen ( 7 ) f a r r = 2) 0x~ 0 x~

heranziehen. Bezeichnen wir der Kiirze halber die drei in (9) auftretenden Unterdeterminanten yon [a/~] mit Xt, ~,, Xs, so muff also die den Un-

bekannten ~ a2k ~ ask , entsprechende sechsreihige Determinante des 0x, ~ x~

Koeffizientenschemas

(11)

an Oan ~asl Oa~, ~a2, ~as, ~als Oa,s Oass Ox, ~ x2 Ox~ Ox~ ~ ~x~ O x~ ~ x~ Ox~

~1 ~ ~s 0 0 0 0 0 0

0 0 0 ~1 ~ ~s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ ~2 ~s

Cli ~C2i ~Csi ~ eli ~c2i O Csi ~Cli O c2i O Csi

yon Null verschieden sein.

Schlie~lich lassen sich die noch fehlenden drei Ableitungen - -

aus den letzten drei Gleichungen yon (7)

a3k

~xs

I O aru 0 Cvt Ox~ ox~, ~- . . . . o (i = 1, 2, 3)

berechnen, wenn die entsprechende Determinante nicht verschwindet. Diese aber ist die schon oben bei der Bestimmung der a~ aufgetretene Determinante C.

Invariantentheorie yon Differentialoperatoren. 71

Die gewiinschte algebraische Aufl(isung ist also dann und nur dann durchftihrbar, wenn die Determinante C, die der Wahl der a2~, ask ent- sprechende Determinante aus (11), und die Determinante (10) yon Null verschieden sind. Man sieht, daft bei nicht spezieller Wahl der cik diese Bedingung erftillt ist. Bei gegebenen ciu hat man noch reichlich freie Wahl in den aik; denn diese sind ftir ein festes Wertsystem x I ~ - x ~ x 2 ~ x ~ x 8 ~- x ~ bis auf die Vorschrift, der Gleichung (4') und gewissen Ungleichungen, z .B. all ~: 0, as1 4 0, (vgl. (8)), laikl 4 0 zu gentigen, frei wi~hlbar. Dies auBert sich darin, daii man die in (10) und (11) auf- tretenden Grti~en a~l, )u im allgemeinen als freie Variable betraehten kann, wenn man die wirklichen, d. h. die yon der zufalligen Wahl der hnfangswerte der a~k unabhangigen Ausnahmefalle haben will.

Es ist mir nicht gelungen, die genauen erschtipfenden Bedingungen des Versagens tier Methode in invarianter Form aufzustellen. Ich muff reich mit obigen Angaben begnfigen, mit deren Hilfe die Frage in jedem Einzelfalle leieht entschieden werden kann.

Aus (10) ist z. B. zu ersehen, dab das Verfahren stets versagt, wenn sich durch eine topologische Transformation erreichen li~t, da~ die Matrix (c~) nur yon zwei oder weniger Variablen abh~tngt, da in diesem Fall die Funktionaldeterminante (10) verschwindet.

Die zu einer gegebenen Matrix (cik) erhaltenen 0peratorensysteme sind im allgemeinen auch alle topologisch versebieden; denn liel]e sich das eine in ein anderes durch eine Transformation

' ~i (xl , xs) (i = 1 , 2 , 3) X i --~- X~

fiberfiihren, so miiflte wegen der Invarianz der cik

cik (xi, x'~, x~) ~ cik (x~, x , , xs) (i, k ~ 1, '2, 3)

sein. Diese Gleichungen haben aber, abgesehen yon dem eben be- sprochenen Spezialfall, nur die eine Ltisung x~ ~ xi.

Rom, den 23 .0k tober 1931.