H. GAJEWSKI: Zur iterativen Liisung der zweidirnensionalen Uoussinrsq-Gleichungen 571

ZAMM 65, 5 7 1 -581 (1975)

HERBERT GAJEWSPI

Zur iterativen Losung der zweidimensionalen B o u s sines q-Gleichungen

I n vorliegender Arbeit begrunden ulir ein Iterationsuerfahren zur Liisung der Boussinesq-Approxinzation der Glei- chungen des gekoppelten Wurme- und Stofftransports im zweidimensionalen Fall.

In thepresent paper we establish an iteration method for the sobution of the Boussinesq-upproxinlation of the equations of coupled heat and mass transfer in the case of two dimensions.

B npennaraewoR pabo~e 060CHOBbIBaeM HeHo-ropbIti mepasHomm8 MeToa nnfi perueHan annpown- Mawm By c c II n e c Ha a n ~ ypaBHenkiR C B R ~ ~ H H O R 3azau~ TennoMacconepemoca B ABymepHoM cnysae.

I n vorliegender Arbeit betrachten wir die zweidiniensionale BoussINEsQ-Approximation (vgl. z. B. [21) der Grundgleichungen des gekoppelten Warme- und Stofftransports, d. h. das folgende System partieller Diffc- rentialgleichungen

vt - vAu + ugradv + Td = g - g r a d p , div v = 0 , T t - xAT +- agrad T = q

zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors v = (vl, v2), des Druckes p und der Temperatur T in einem raumlich zweidimensionalen Gebiet. Fur dieses System, erganzt durch geeignete Rand- und Anfangsbedin- gungen, werden wir Existenz und Einzigkeit einer sogenannten schwachen Losung nachweisen. Das Haupt- anliegen der Arbeit ist es jedoch zu zeigen, dal3 das durch die Vorschrift

(0.2)

( T i ) , - x A T i + zliPl grad Ti = q definierte Iterationsverfahren sowie eine Reihe numerisch einfacher realisierbarer Naherungsverfahren gegen die (schwache) Losung von (0.1) konvergieren.

Die Arbeit besteht aus funf Abschnitten. Im ersten Abschnitt werden notige Begriffe und Bezeichnungen eingefiihrt, und einige funktionalanalytische Hilfsmittel zusammengestellt. Die prazise Problemsbellung und die Voraussetzungen der Arbeit enthalt der zweite Abschnitt. Die Existenz- und Einzigkeitsaussagen beweisen wir in1 dritten Abschnitt. Dort findet sich auch ein Satz iiber die starke Konvergenz des GALERKIN-Verfahrens. Konvergenzaussagen fur das Iterationsverfahren (0.2) und einige seiner Varianten werden im vierten Abschnitt bewiesen. SchlieBlich begrunden wir im funften Abschnitt ein Projektions-Iterationsverfahren, das durch Kombination des GALERRIN-Verfahrens mit dem Iterationsverfahren entsteht.

Unsere Beschrankung auf den zweidimensionalen Fall ist wesentlich. Insbesondere erfordert die Uber- tragung der hier fur das Iterationsverfahren angegebenen Konvergenzaussagen auf den dreidimensionalen Fall eine Voraussetzung uber die ,,dreidimensionale" Losung (vgl. Bemerkung 4. l), die wir nicht durch einen ent- sprechenden Existenzsatz belegen konnen. Erwahnt sei, da13 auch fur den Spezialfall der NAVIER-STOKESSChen Gleichungen eine entsprecheride Existenzaussage bisher nicht bekannt ist (vgl. dazu [5], [7], [lo]).

Die Existenz- und Einzigkeitsaussagen vorliegender Arbeit werden mit der bei der funktionalanalytischen Behandlung der NAVIER-STOKESSchen Gleichungen ublichen Standardtechnik bewiesen (vgl. z. B. [5], [TI). Die Begrundung des Iterationsverfahrens (0.2) und seiner Varianten basiert auf einem bekannten Trick, dern ubergang zu einer zeitlich gewichteten Norm im zugrunde Iiegenden HILBERT-Itaum (vgl. dazu [I]). Meinem Kollegen Dr. GROCER verdanke ich einige Hinweise, die zu einer Vereinfachung der Beweise der Siitze 4.1 und 5.1 und zu einer wesentlichen Abschwachung der Vorausssetzungen der Arbeit fuhrten.

1. Bezeichnungcn. Begriffe Sei G ein beschranktes Gebiet des zweidimensionalen EUKLIDischen Raumes R2 mit LIPscHmz-stetigem Rand I' (vgl. z. B. [3], [9]). Wir bezeichnen durch x = (zl, z2) kartesische Koordinaten in G und setzen zur Abkurzung

D, = G, 01 = 1,2. Unter Verwendung der ublichen Suninienkonvention verabreden wir, iiber in einem Aus-

druck doppelt auftretende griechische Indizes a, /? und p s teh zu summieren und zwar derart, da13 r( und bzw. p grundsatzlich die Werte 1,3 bzw. 1.2,3 durchlaufen.

Wir bezeichnen mit B(G), C ( G ) , LP(G), H k ( G ) , HA(G) und H-I(G) die iiblichen Funkt'ionenraume (vgl. Z. B. [3], "7-91). Fur einen Rauin E bezeichnet (E)" das m-fache kartesische Produkt von E mit sich. Fur

a

y = (yl, ... , y m ) E ( H W ) ) " gilt dy = (Llyl,' ... , AyrZL) E (H-l(G))m . (1.1)

572 H. GAJEWSKI : Zur iterativen Losung der zweidimensionalen BoussinesqGleichuiigen

Das Skalarprodukt im HILBERT-Rauin (L2(G))" bezeichnen wir ebenso wie das Skalarprodukt zwischen (H-l(G))m und (H;(G))" durch (.,.). ZurBezeichnung der Normenin (L2(G))", (Hi(G))m und (H-l(G))" benutzen wir die Symbole I . 1, j 1 . 1 I und j I . 1 I*. Wir konnen von der Gultigkeit der Beziehung

nu figellen ([3]). SchlieRlich schreiben wir

fur die Norm in (L4(G))". Bemerkung 1.1. Wir verwenden jedes der Symbole (., .), 1.1, l.14, 11.11 und 11.11* mit mehrfacher Bedeutung. Da jedoch

ilus dem jeweiligen Zusammenhang eindeutig hervorgehen wird, welche aktuelle Bedeutnng diese Symbole haben, wird rinser der ubersichtlichkeit dienendes Vorgehen nicht zu Miherstindnissen fiihren.

Der Raum H1(G) ist stetig in den Raum L4(G) eingebettet. Genauer gilt (vgl. z. B. [5], [GI)

dahei bezeichnet A, den kleinsten Eigenwert des &Operators bei homogenen DIRICHLETschen Randbedingungen auf I'. Ini weiteren spielen die Riiume

= {y I Y E (H1(G))3, D,Y, = 01 , F = {y 1 y E I' n ( H ; ( G ) ) 3 } , H = {y ( y E (La(G))3J 3 z E V , y = A,} ,

T'* = {y 1 y E (H-1(G))3, 3 z E F, y = A z } eine Rolle,diewirniit denvon (H1(G))3, (HA(G))3, (L2(G))3bz~. (H-1(G))3 induziertenNornien ]I - 1 1 ~ = I j - Il(nrr(c))a 1 1 - 1 1 , 1 . 1 bzw. 1 1 . 1 (* (sowie den entsprechenden Skalarprodnkten) versehen und somit zu HILBERT-Itiiumen machen. Der Raum F* ist der zu V duale Rauni, und es gilt V c H c V*. Dabei sind die Einbettungsoperatoren von V in H und von H in V * stetig und konipakt ([3], [5-91). AuBerdem liegt V in H und H in T'* dicht. Wegen (1.2) ist noch ( I y ( l ~ = llyll fur alle y E V .

Sei S = [0, to] ein besehranktes Zeitintervall und

Q = 10, to[ x G J 2 = 10, to[x r . Wir betrachten im folgenden auf S definierte Funktionen, die Werte in den oben eingefuhrten Riiumen an- nehmen. Fur einen beliebigen BmAcH-Raum E bezeichnen wir durch:

C(S; E') - den Raum der stetigen Funktionen u E (S -+ E ) , LP(B; E ) - den Raum der BocHNER-mefibaren Funktionen u E (S -+ E ) , fur die J Ilu(t)ll$ dt < 00 ist,

H 1 ( S ; E') - den Raum der Funktionen u E L2(S; E ) , deren Ableitung u', verstanden als Ableitung im Raum

Zur Abkurzung setzen wir Lkil(&) = L'(S; L'"(G)). Offenbar gilt Lk(Q) = Lkik(Q). Nach [8 ] , Chap. I, Theorem 3.1 und 12.4, ist der Raum 2 = L2(S; W ( G ) ) n H1(X; H-l(G)) stetig in den

Raum C(S; L2(G)) eingebettet. Wegen (1.3) gilt daher Z c C(S; L2(G)) n L4(Q) und mit nur von G abhiingenden Konstnnten c, und c,

S

a*(#; E ) der Distributionen auf 10, to[ mit Werten in E , zu L2(S; E ) gehoren ([3], [7], [8]).

IIUIIL'(Q) 5 c ~ ( l l ~ [ l ~ , s ( , ~ ; ~ ~ l ( ~ ) ) f l ~ ~ ~ l ~ C ' ( S ; L a ( ( c ) ) ) 5 c2 ~~~~~2 (1.6) fiir jedes z E 2.

Zur Abkurzung setzen wir u = LyS; V ) .

Der Zuni Rauin U duale Rauin U * kann mit La(&'; V*) identifiziert werden, und es gilt U c L 2 ( S ; H ) c U*. Zur Bezeichnung des Skalarprodukts zwischen U* und U verwenden wir das Symbol (.,.). Es gilt dann

( f , h ) = J ( f ( t ) , h( t ) ) dt fiir alle f E U* und allo h E U , S

SchlieRlich benotigen wir noch den Raum IY = { u I u E t7, u' E U * > ;

versehen niit der Norm

(1 A)

H. GAJEWSKI: Zur iterativen Losung der zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungcn 573

und dem entsprechenden Skalarprodukt, ist W ein HUBERT-hum. Wegen (1.5) ist W stetig in den Raum C(S; H ) II (L4(Q)) , eingebettet. Genauer gilt mit nur von G abhangenden Konstanten c1 und c,

l /ull(L4(Q))3 5 .ci(llullU + Ilul lC(S;E)) 5 CzlIullW fur alle u E * (1.7)

2. Formulierung des Problems. Voraussetzungen Wir betrachten das folgende Rand- Anfangswertproblem

v‘ - VAU + vaDav; f T d , = gs - DBp in Q , T - x J T + v,DaT = q in Q , Dav, = 0 in Q , v, = v, auf Z , T = t auf Z , zl,(O, X) = vaa(.) , T(0, X) = T,(x) , a x E G .

Dabei sind: v = (vl, v2), p und T die gesuchten Funktionen, v und x gegebene, positive Konstanten, d = (al, d,) auf Q gegebene Funktionen, g = (ql, 9,) und q auf Q gegebene rechte Seiten, Q; = (q1, 9,) und z auf Z gegebene Randwerte, v, = ( V a l , v,2) und T , auf-C gegebene Anfangswerte.

(2.1)

Wir setzen im folgenden stets voraus: A,) Die Funktionen d, gehoren zu L2p4(Q). A,) Die rechten Seiten ga und q gehoren zu L2(S; H-l(G)) . A,) Es existiert ein Vektor r = (rl, r,, r3) E La(&’; Y ) mit folgenden Eigenschaften: r; E L2(S; H - l ( G ) ) , ra = qcI,

Bemerkung 2.1. Viele der im folgenden fur (2.1) durchgefuhrten Untersuchungen lassen sich ltuf andere Rand-An-

r3 = z auf Z, ua = (vol, v,2, T,) - r(0) E H .

fangswertprobleme iibertragen. Wir nennen einige denkbare Modifikationen: - Die skalare Funktion T kann durch eine Vektorfunktion ersetzt werden. - Die Operatoren - Y A und - x A konnen durch geeignete niohtlineare Operatoren ersetzt werden. - Die Kopplungsterme Tdp und vaDaT konnen durch andere Terme ersetzt werden. (Insbesondere kann an die Stelle von Tdp ein nichtlinearer Ausdruck der Form d,q( T) mit LrPscmTz-stetigen Funktionen dp treten).

- Die DmIcmFl”l’chen Randbedingungen konnen durch NEuMaNxsche oder gemischte ersetzt werden.

Im Hinblick auf eine fur unsere Zwecke geeignete funktionalanalytische Formulierung des Problems (2.1) treffen wir jetzt einigevorbereitungen. Zunachst definieren wir fur fast alle t E S und beliebige y = (yl, y2, y,), :: = (zl, z,, z3) E Y , h = (hl, h,, h,) E B Formen

4 ~ ) h) = S (VDuypDahp + ~ D a ~ 3 D a b ) dx 9

b(ti 2, y, h ) = S (ZaDayphp + da(t) z3ha) d~ *

(2.2)

(2-3) G

U L e m m a 2.1. Die durch (2.2) und (2.3) definierten Formen genugen auf Y x V bzw. S X Y X Y X V

den Abschatzunqen la(y, h)l 4 a,llyjly llhll , a, = ma= (v, x ) , lb(t, 2, Y , h\ 1 5 Iz/4 I ~ ~ ( I I Y I I P + Id(t)l) 9

IW, “c, Y7 h)l 5 1214 Ilhll (lYl4 + y IW I ) - M Y , k)l 5 a1 S IDaYpDabI ds

(2.4)

(2.5)

Beweis. Es gilt

U

574 H. GAJEWSKI: Zur iterativen Losung der zweidimensionalen BoussinesqGleichungen

Auf Grund von Lenima 2.1 werden durch die Darstellungen

(Ay, 12) = a(y, h ) fur alle y und alle ?L E Y ,

(B(t) (z, y), h ) = b(t , z , y, h ) fiir alle z , alle y E Y und alle h E V

(2.6)

(2‘7)

stetige Operatoren A E (V 4 V * ) und B(t) E ( Y x Y -+ V*) definiert.

Lenima 2.2. Der lineare Operator A genugt der Abschatzung

Leninia 2.3. Der Operafcr A biklet dcn RaunL U stetfq ,in, U* ab. Der durch die Darstellwq

(B7(w> u) ) ( t ) = B!t) ( w ( t ) + r ( t ) , u ( f ) + r ( t ) )

dejinierte Oprrafor B, bildet den Raum W x W sfetig in U* ab. Schlieplich existiert Pin f E IJ* rnit

<f, I r ) = f ((yo, - ri + vdrJ 7 2 , $- ( q - r$ + d r , ) h.) dQ fiir alle h, E U M

Beweis. Aus (2.ti) und (2.4) erhalten wir fiir u,, h E U

KAu, h)l = I S 4 % h ) dtl 5 a1 s l l ~ l l llhll df 5 a1 ll,7~llu llhllu - S S

U’eiter gilt wegen (1.3) und (2.5) fiir u’, u E W, h E U

I(B,(w, u), 1t)I = ! S b( t , w + r , u + r , h) dt I5 c1 S Iw + TI4 (lu + rI4 + Idl) llhll dt LS AS

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Auf Grund der Voraussetzungen A, und A, sowie (1.5) und (1.7) folgt daraus die zweite Behauptung. Die letzte Behauptung ergibt, sich unter Benutzung von (1.1) aus den Voraussetzungen A, und A,. Dainit ist Leriirna 2.3 bewiesen.

Wir komnien nun zur angekundigten funktionalanalytischen Formulierung des Problems (2. I). Analog den1 bei der funktionalanalytischen Formulierung der NAVIER-STOKESSchen Gleichungen ublichen Vorgehen (vgl. [ 5 ] , 171, [lo]), fuhren wir den folgenden Losungsbegriff ein.

Def in i t ’ ion 2-1. Ein Vektor (vl, v2, T) niit der Darstellung

2la = u, + r e , 1’ s ug + r, (2.14)

heifit (achwache) Losung von (2.1), wenn darin derVektor u = (ul, u2, u,) Losung des folgenden Anfangswert- problenis ist :

(2.15) B e m e r k u n g 2.1. Wegen Lemma 2.3. der stetigen Einbettung von It’ in C(S; 11) und u, E €I hat die Differenhlglei-

U‘ + Au + B7(u, U) = f , U E w , chung in (2.15) als Gleichung in U* und die Anfangsbedingung als Gleichung in H rinen wohldefinierten Sinn.

u(0) = u, .

H. GAJEWSKI: Zur iterativen Losung der zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungen 575

3. Einzigkeit. Xxistenz. Galerkin -Verfahrcn S a t z 3.1. Das Problem (2.15) hat hochstens eine Losung.

(2.5) und (1.3) fur jedes t E X Beweis. Seien u und U zwei Losungen von (2.15). Wir setzen w = u - U. Dann gilt wegen (2.8). (2.0),

t

0 = f (ui' + Aw + B(s) (u + r , u + T ) - B(s) (ii + r , U + r ) , w) ds 0

t

= f lu;(t)I2 + S (Aw + B(s) (w, u + r ) , w) ds 0

t = $ luWI2 + S ((Aw, w) + Ws, w, u + r , w)) ds

0 t

2 <- Iw(t)I2 + f (a0 11w1I2 - Iwl; (llu + ~ I Y + Id/)) ds

2 - -:- iw(t ) !2 + f (a,, ( ; w I / ~ - el julI liwll (\lull + I I T \ \ ~ + I d / ) ) ds

2 f Iw(t)i2 - ~ e f !w12 (IiuII' + I I ~ I I ? ~ + ldt2) ds .

0 t

0 t

0 Mit Hilfe des GRoNwALLschenLemmas (vgl. z. B. [a], Seite 183) folgt daraus w = 0. Damit ist Satz 3.1 be- wiesen.

Den Existenzbeweis fur das Problem (2.15) werden wir mit dem GALERKIN-Verfahren fuhren. Sei dazu (71,) c I.' ein in F' vollstandiges System linear unabhiingiger Basiselemente und

V m = span ( A l , ... , k,) . Versehen niit der von 1/ induzierten Topologie, ist v, ein n-diniensioaaler aILBERT-Raum. Da B in H diclit liegt, existiert eine Folge (uU,) mit

U u n E J', 7 uun -+ uu stark in H . D e f i n i t i o n 3.1. Ein Vektor ti, E H 1 ( S ; V ) mit der Darstellung

71

un(t) = S a n k ( t ) h k (3.1)

(3.2)

k = l

heifit n-te GALERKIN-&wng desYrobleins (2.15), wenn er Losung des folgenden Anfangswertproblenis ist (uC(t) + Aun(t) + (BJ,un, un)) ( t ) , h,) = (f( t) , J L ~ ) , j = 1, ** . , n 3 utt(0) = u u n *

Lemma 3.1. Zu jedem n existiert genau eine n-te Galerkin-Losung. B ew ei s. Die Einzigkeitsaussage des Lemmas beweist man genauso wie Satz 3.1. Hinsichtlich des Existenz-

beweises benierken wir zunachst, dafi (3.2) als ein System gewohnlicher Differentialgleichungen zur Bestim- niung des Koeffizientenvektors a, angesehen werden kann. Auf Grund des Existenzsatzes von CARATHEODORY geniigt es daher, eine a-priori Abschatzung fur u, in S anzugeben. Wegen (2.9), (2.8), (2.5), (1.3) und Voraussetzung A, bzw. A, gilt

I(&) (an+ r , a,+ r ) , % ) I = I(B(4 (21, + r> r ) , %)I ,

= Ib(s, 21% + r , rl un)l 5 Cl llulrll (lunl + Irlr) (IlrIlI. + 14) 5 a0 IIU,II~ + c , (/U,I~ + Irl3 ( I I ~ I I ~ + W12)

= 2 llu,Il2 + ( 1 % 1 2 + I.yE, k * 4 Dabei wurde gesetzt: k = k ( s ) = c2 ( I [ T ( S ) ~ ~ $ + ld(s)I2). Unter Benutzung der eben hewiesenen Abschatzung finden wir aus (,3.2) und (2.10)

0 = (4 + A&, + B(s) (u, + r , u, + r ) - f , un) ds 0 s 4

1 = 3 (lun(t)12 - / u , n ) 2 ) + (Aum + B(s) (u, + r: U, + r ) - f , un) ds

t

576 H. GAJEWSKI: Zur iterativen Losung der zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungen

oder

Mit Hilfe des GRoNwALLschen Lemmas erhalten wir daraus die gesuchte a-priori Abscliatzung JIU~IIC(S;B) + I I ~ n l I ~ ~ ~ 9 (3.4)

niit einer nicht von t und n abhangenden Konstanten C . Damit ist Lemma 3.1 bewiesen. Zuin angekundigten Existenzbeweis fur (2.15) benotigen wir noch zwei Lemmata.

Lemma 3.2. Sei U , = P ( X ; Vn). Dann gilt mit einer volz n und t unabhungigen Konstanlen C (3.5)

Beweis. Wcgen (3 .2) gilt fur jedes It, E U ,

(u;,, h) 1 (f - Aun - BAuw an), h ) * Ruf Urund der Beziehungen f E U*, (3.4), (2.12), (2.13) und (1.7) folgt daraus die Behauptung.

L e m m a 3.3. Die Folge (u,) ist in L2(S; H ) kompakt. Beweis. Wegen der Kompaktheit der Einbettung v o ~ i V in H , (3.4) und (3.5) folgt die Behauptung aus

S a t z 3.2. Das Problem (2.15) hat genau eine Liisung. Beweis. Wegen (3.4), Lemma 3.3, (2.13) und (1.7) existieren eine Teilfolge (u,) der Folge (u,) der GALER-

einer in 141 bcwiesenen Verschiirfung des Theorems 5.1, Chap. I in [GI.

KIN-Losungen und Eleniente u E U , w E U * derart, daB gilt u, - u schwacti in 77 , u, .j u stark in L2(S; 13) , u , , ~ - up schwach in L4(Q) , Br(uz, u,) - w schwach in U* .

u,,uip - up,, schwach in La(&) .

(3.6) (3.7) (3.8) (3.9)

(3.10)

(Wtxen (3.8) gilt nlimlich ) I U ~ ~ U ~ ~ / J L Z ( Q ) 5 C . Nach einem bekannten Kriterium fur schwache Konvergenz in U A N A C H - ~ ~ ~ L I ~ ~ ~ (vgl. Z. B. [3]) f d g t (3.10) daher aus der fur bcliebige y E B(Q) geltenden Beziehung

Aus (3.6) und (3.7) erhalt nian fur p, p = 1, 2, 3

S ( u c u ~ w - UaUJ y dQ I II?/J/IC(Q) S (luzul l u i p - up1 + l u p l luiu -- uul) dQ -to.) u Q

Entsprechend gilt auch uierp - uer, schwach in L2(Q) .

Sei nun h E U . Wegen A, und (1.3) ist dab, E L"I"(Q). Damit ergibt sich aus (3.8) und (3.11)

(w, h ) = lim (B,(ui, ui), h ) i - tm

(3.11)

d. h., B,(u, u) = w und B,(u,, u,) - &(u, u) scliwach in U*. Weiter folgt aus (3.5) Au, - Au schwach in U*. Insgesamt crgibt sich somit

f - Au, - B,(u,, up) - f - ,4u - B,(u, u) schwach in U * . (3.12)

Da andererseits (u;) wegen (3.7) iinliaum B*(s; V * ) gegen u' konvergiert (vgl. z. B. [3]), erhalten wir mittels der ublichen SchluBweise (vgl. z. B. [3), Seite 207) aus (3 .2) und A,

U' = - AU - B,.(u, U ) E U * , u(0) = 21,.

Folglich ist u E FV und Losung von (2.15). Daniit ist Satz 3.1 bewiesen.

H. GAJEWSXI: ZUL. iterativen Losung der zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungen 577

S a t z 3.3. Die Polge (u,) der Calerkin-LBsungen konvergiert in C(S ; H ) und U stark gegen die Lijsung u

Beweis. Nach [3] (Lenima 1.5, Kap. VI) existiert eine Folge (w,) niit

von (2.15).

w, E C1(S; V,,), w,, --f u stark in W . (3.13)

Damit finden wir aus (2.15), (3.2) (2.9) (2.5), (3.4) und (2.13) fur jedes t E S

t

0 = f (u; - u' + A(u, - u) + B(s) (u, + r, u,, + r ) - B(s) (u + r , u + r ) , u, - w,) ds

= f (G - u' + A(u, - u) + B(s) (u, + r , 'u,, + r ) - B(s) (u + r , u + r ) , u, - u) + 0

1

0

+ (ul, - u' + A(u, - u ) + B(s) (u, + r , us + r ) - B(s ) (u + r , u + r ) , u - wd) ds 1 2 0

t = -(Iun(t) - u(t)12 - ~ u a , - uu12) + f ( A h -. u) + B(s) (us - u, u + r ) , un - G ) ds +

1 + (u&) - u(t), u(t) - w&)) - (Ua, - ua, ua - wn(0)) - s (u, - u, u' - w;) ds + 0

t + f (A(ufi - u) + B(s) (u?I + r J u f I + r ) - B(s) (u + r l + r ) 7 - w,) ds 0

4. Iterationsverfahreii

Wir forniulieren jetzt unser Hauptergebnis.

S a t z 4.1. Bei beliebigem uo E U n C(S; H ) konvergiert d ie durch

u'i + Auf + B2'(%-1, ui) = f J ui(0) = ua 3 U i E w , i = l J 2 , ... (4.1) ,

definierte Iterationsfolge (ut) in U und C(S; H ) stark gegen die Losung u vm (2.15).

B ew ei s. Zuniichst bemerken wir, daO auf Grund der in Lemma 2.2 und Lemma 2.3 nachgewiesenen Eigen- schaften der Operatoren A und B, zu jedem ui-1 E W genau eine Losung ut des Problems (4.1) existiert. (Man vergleiche etwa den Beweis von Satz 1.1, Kap. VI in [3].) Wir versehen den Raum X = U n C(S; H ) mit der Norm

Dabei ist : 11412x,k = IlZ l l& + a0 I l 4 l " v k *

39

578 H. GAJEWSKI: Zur iterativen Losung der zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungen

u die Losung von (2.15) und 7 ein positiver Parameter, uber den wir spiiter verfugen. Mit den Bezeichnungen z i = f i t - u, z i -1 = ui-1 - u finden wir unter Benutzung von (2.5) und (2.9) aus (2.15) und (4.1)

(L4zL + B(s) (ui-1 + T , uf + r ) - B(s) (u + r , u + T ) , z l ) ds Y

0 t

1 2 = - l&(t)12 + [ (Ax, + B(s) u + r ) , z,) ds

J 0

t

t

t t

t

a; 64 Wir setzen 6 = - , q = -? und finden so 8 a0

0 ) ( 2

t e--k(t) (iz,(t)12 + a o J 11;.(,112 ds 5 + (1 - e-k(t)) I I z i - ~ l / % , k + a, e-k(i))flgi-IIIZ ds)

0

5 + ~l l~ i - l l l&& + ~OlIZi-l11ZU,k) = + l l ~ i - l I l X , k *

Da die rechte Seite nicht von t abhtingt, folgt daraus 2

l lZ l l /%,k 6 + l l z i - l l l ~ Y , k ,

l lZll lX,k 5 f \ \ % - 1 I l Y , A 5 * . 5 (7) l1~OIlX,k - t o fur i -+a *

oder

Daniit ist Satz 4.1 bewiesen. Die folgende Bemerkung nennt einen der wesentliohen Grunde dafiir, da13 wir das Gebiet G als zweidi-

mensional vorausgesetzt haben. Bemerkung 4.1. Beim Beweis von Satz 4.1 wurde wesentlich benutzt, daD die Komponenten up der Losung u von

(2.15) auf Grund von (1.7) zu I,*(&) gehoren. Um einen analogen Beweis im dreidimensionalen Ball zu fuhren, miiDten wir

up E LkJ(&) mit k > 3, - + - < 1 voraussetzen (vgl. [7], [lo]). Einen entspreohenden Existenzsatz konnen wir jedoch nicht

Wegen Definition 2.1 kann man Satz 4.1 auch wie folgt forrnulieren: Sei (u,) die durch (4.8) gegebene

(4.2) 1 t

3 2 beweisen. k 1 -

Iterationsfolge. Dann konvergiert die durch

definierte Folge ((vil, vi2, TL)) in C(S; (L2(G))3) und L2(S; Y ) stark gegen die (schwache) Losung von (2.1). vi, = ui, + r, , T, = ui3 + r3 , i = 1 ,2 , . . . ,

Mit dem Ansatz

ui, = via - r, , ui3 = Ti - r, konnen wir die Iterationsvorschrift (4.1) in der folgenden Form schreiben

(v& - VAUip + Vi-laDaViP + dpTi-1 - gg, hp) = 0 >

( T i - x A T ~ + vi-laDaTi - 4, h3) = 0 ,

h E V , fur alle t E S ; ( V i l , vi2, Ti) - r E , via(0, X) =z vaa(0, Z) , !Z',(O, 2) = Ta(0, Z) , z E G, i = 1, 2, .

(4.3)

(4.4)

(4.5)

H. GAJEWSKI: Zur iterativen Losung dor zwoidimensionalen Boussinesq-Gleichungen 579

Es liegt nun nahe, das ,,Gesamtschrittverfahren" (4.1) bzw. (4.3-5) dadurch zu ,,Einzelschrittverfahren" zu modifizieren, daO man entweder (4.3) durch

(vZ:p - V A U i g + V i - d a V i g + dgTt - gp, h ) = 0 , (4.3')

oder (4.4) durch

(Ti - x i fT i + vi,D,T, - 4, h3) = 0 . (4.4')

ersetzt und bei der nunierischen ltealisierung entsprechend niit der Losung von (4.4) oder (4.3) beginnt. An Hand des Beweises von Satz 4.1 und Bemerkung 4.1 uberzeugt man sich leicht von der Gultigkeit der

Fo lge rung 4.1. B i e durch (4.3'), (4.4) und (4.5) (bzw. (4.3), (4.4') und (4.5)) definierte Folge ( ( v , ~ , vi3, T,)) konvergiert bei beliebigem Startelement der Form (uol, vo2, 16) = uo + r mit uo E W in C(S ; (L2(G))3) und L2(S; Y ) gegen die (schwache) Losung von (2.1).

Die GALERKIN-Gleichung (3.2) stellt, wie bereits erwahnt wurde, ein System nichtlinearer gewohnlicher Differentialgleichungen zur Ermittlung des Koeffizientenvektors an in der Darstellung (3.1) dar. Im folgenden Satz begriinden wir ein Iterationsverfahren zur Losung von (3.2), bei dessen Realisierung in jedem Schritt ein System linearer gewohnlicher Differentialgleichungen zu losen ist.

S a t z 4.2. Bei beliebigem Startelement uno E W konvergiert die durch

(u;li(t) + Auni(t) + (&-(%ni-l, uni)) ( t ) , hi) =z ( f ( t ) , h3) > j = 1, ... , n

uni E H1(S; vn) > U n i ( 0 ) = Uun 9 i = 1 , 2 , . . . definierte Folge ( ~ , i ) i = l , ~ . . . in C ( S ; H ) und U stark gegen die n-te Galerkin-Losung u,.

niit der Norm Beweis. Analog unsereiii Vorgehen beim Beweis von Satz 4.1, versehen wir den Rauni X = U n C ( S ; H )

Il&,kn = Ilzl12Lkn + a, IIWll2U,k,* *

Dabei ist t

kn = kn(t) = q .f ( I u ~ ( s ) + r(s)14 + y ds , n = 1, 2, . . . . 0

Indem wir in1 Beweis von Satz 4.1 iiberall u durch un und x , durch zni = u,i - un ersetzen, erhalten wir die (4.2) analoge Abschiitzung

IIZniIIX,kn 5 + IIZni-lI/x,ka 5 *.* 5 IIznOIIX,kn >

die Satz 4.3 beweist.

6. Projektions-Iterationsverfahren

In diesem Abschnitt kombinieren wir das GALEREIN-Verfahren (3.2) rnit dem Iterationsverfahren (4.1) zu dem folgenden Projektions-Iterationsverfahren :

( 5 4 (wh(t) + Awn(t) + (Br(u7n-19 wn)) ( t ) , k3) = ( f ( t ) , h,) j = 1, ... , n , w, E HI(&'; V,) , ~ ~ ( 0 ) = u,, , n = 1, 2, . . . , w, E U n C(S; H ) beliebig.

Lemma 5.1. Mit von n unabhangiger Konstante C gilt

l l ~ n l I C ( S : ~ ) + I lWnl Iu 5 c *

13 ewe i s. Wir setzen

mit einem freien Parameter q, uber den wir unten verfugen. Analog (3.3) finden wir die Abschltzung t t 1

mit geeigneten, nicht von n und q abhangenden Konstanten c1 und c2. Unter Verwendung der Normen l l . I I C , k , und I l . ( I U , k e (vgl. die DefinitionderentsprechendenNormen ( ( . j / ~ , k und \ l . I ( ~ , k imBeweis vonSatz 4.1) erhalten

39"

580 H. GAJEWSKI: Zur iterat#iven Losung der zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungen

I t \

Sabz 5.1. Die durch (5.1) defiT&rte Projektions-Iterutioiisfollre (w,) konvergiert in U und C ( S ; €I) stark

Be w ei s. Sei (yn) eine Folge mit

gege?L dic Liisung u von (2.15).

Yn 6 C ( S ; Vn) > YA E C ( S ; Vn) 2 yn -+ u in W . (5.6) Die Existenz einer solchen Polge wird in [3] (Lemma 1.5, Kap. VI) bewiesen. Mit der Abkiirzung zn = wn - u, ?L = 1, 2, . . . , finden wir aus (5.1) und (2.15) unter Benutzung von Lemnia 5.1

t 0 = s (21 + A278 + B,(%&-l, U L l ) - &(u, u), w,t - Yn) ds

0

1

= J'(G + + Br(wn-1, w n - 1 ) - Br(u, u), zn) ds + 0

t + S (4 + Azn + Br(wn-1, ~ n - 1 ) - u.), u - yn) da 0

t 2 J'(G + A z n + BY(ujn-1, ~ ' n - 1 ) - Br(u, u), 2,) ds - c1 IIu - YnIIw

0 t

= f Izn(t)I2 + J (Azn + a(s) (2s-1, + r ) , zn) ds - + Ivm - aa12 - cz IIu - YnIIw 0

1

= .: Izn(t)I2 + f (Ax, + B(s) (zB-1, u + T ) , 2%) ds - en 0

Daraus ergibt tiich wie. bciiii Beweis von Satz 4.1 rriit dcn dort eingefiihrten Bezeichnuugen

oder IIznIILy,k 2 5 f Il2n-1II%,k + 2 ~ n 7

ll~nIl.Y,k 5 f l lzn - l l l x ,k + r/G s * * . 5 (+I7' l l ~ o I l X , k + 2 (f)"-j r/2gq j = 1

Wegen E, = + /uUn - u,/ + c1 (ju - yn(lw - t o fur ?L 3 0 0 ,

folgt daraus die Behauptung.

definierte Folge. Dann konvergiert die durch

tlna = wna + r a ,

Bemerkung 5.1. Auf Grund von Definition 2.1 kann man Satz 5.1 auch wie folgt formulieren: Sei (w,) dic durch (5.1)

T, = ~ n 3 + ~ 3 , A = 0, 1, . . . definierte Bolge ((vnl, Vn3, T,)) in C(S; (L2(G))3) und L2(S; Y ) stark gegen die (schwache) Losung von (2.1).

H. GAJEWSKI : Zur iterativen Losung der zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungen 581

(5.7) (5 .8 )

(6.9)

In Folgerung 4.1 wurden ,,Einzelschrittverianten" des Iterationsverfahrens (4.8) angegeben. Vollig analog dazu kann man auch ,,Einzelschrittvarianten" des Verfahrens (5.1) begriinden. Dazu betrachten wir nehen (5.7) bzw. (5.8) die Gleichungen

bZW.

An Hand der Beweise der Siitze 4.1 und 5.1 uberzeugt man sich von der Gultigkeit der

Fo lge rung 5.1. Die durch (5.7')) (5.8)) (5.9) (bzw. (5.7), (5.8')) (5.9)) definierte Folge ( ( ~ ~ 1 , vn2, T n ) ) kon- vergiert bei beliebigern Startvektor der Form (vol, vo2, To) = uo + r , uo E W , in C ( S ; L2(G))3) und L2(S; Y ) stark gegen die (scAzuache) Losung von (2.1).

(v& - ~ A u n + vn-davnp + dpTn - 9~3 hjp) = 0 9

(Tk - % A T n + vn,D,Tn - q) hj3) = 0 . / 9 = 1 , 3 , (5.7')

(5.8')

Literatur 1 BIELECRI, A,, Une remarque Bur la mkthode de BANACE-CACCIOPOLI-TIKHONOW, Bull. Acad. Polon. Sci. 4,261-268 (1956). 2 CEANDRASEKHAR, S., Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford 1961. 3 GAJEWSKI, H., GROCER, K., ZACHARIAS, K., Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, Berlin

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6 -, URALZEW-4, N. N., Lineare und quasilineare Gleichungen elliptischen Typs, Moskau 1964 (russ.). 7 LIONS, J. L., Quelques mkthodes de resolution des problbmes aux limites non linbaires, Paris 1969 (russ. Ubs. Moskau 1972). 8 -, MAGENES, E., Problbmes aux limites non homogbnes et applications. I, Paris 1968 (russ. abs. Moskau 1971). 9 NE~AS, J., Lea methodes directes en theorie des equations elliptiques, Prag 1967.

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(russ.).

Army, Univ. Wisc., Madison 1962.

Eingereicht: 18.4. 1975

Anschrift: Dr. H. GAJEWSKI, ZIMM der AdW, DDR-108 Berlin, MohrenstraSe 39