Math. Nachr. 118 (1984) 271-284

Zur Klassenzahl nieht galoisscher Korper in Diedererweiterungen iiber Q mit besonderer Beriicksichtigung kubischer Korper, I

Von REINHARD B o m a in Berlin

(Eingegangen am 26.6.1983)

A h Anwendung seiner Untersuchungen uber die Teilkorper K abelscher Erweite- rungen von imaginiir-quadratischen Zahlkorpern k mit k Q K erhalt R. SOHERTZ [23] Satz 3.3, eine Teilbarkeitsaussage fur die Klassenzahl des Kompositums K F eines ein- fach reellen kubischen Korpers K mit einer quadratischen Erweiterung F/Q ( K ist eine nicht galoissche kubische Enveiterung iiber dem Korper Q der rationalen Zahlen, der- art, dab die beiden von K verschiedenen zu K konjugierten Korper komplex sind (die Diskriminante von K/Q ist also negativ)). Im ersten Abschnitt dieser Arbeit e rh l ten wir eine Teilbarkeitsaussage fur die Klassenzahl des Kompositums KF, worin K nun- mehr eine beliebige Erweiterung ungeraden Grades uber Q sein kann. Im Spezialfall eines einfach reellen kubischen Korpers K ergibt sich damit ein algebraischer Beweis des SoHERTzschen Result,ates, der zudem schneller als [23] zum Ziele fuhrt.

Den AnstoD zu dieser Arbeit gaben die letzten Resultate von R. SCHEBTZ uber die Klassenzahl einfach reeller kubischer Zahlkorper [24]. Zum Hauptergebnis jener Arbeit gehort folgende Aussage ([24], Satz l), die durch Anwendung einer mit analytischen Hilfsmitteln gewonnenen Klassenzahlformel von H. €€ASSE und C. MEYER erhalten wid .

Es sei N die normale AbschlieBung eines einfach reellen kubischen Zahlkorpers K. Dann ist N das Kompositum von K mit einem iniaginar-quadratischen Zahlkorper k. Bezeichnen DK bzw. Dk die Diskriminanten von K , bzw. k so gilt DK = DkA, worin das k-Ideal (fK) der Fuhrer der kubischen Erweiterung Nlk ist. Wenn Dk < -4 und f K einen Primzahlteiler p besitzt mit p + 1 = & 3 (mod 9), p trage in k, so gilt fur jedes Vielfache f von f K mit p2 f

Hierin bezeichnet hK (bzw. hk) die Klassenzahl von K (bzw. k) (das Produkt auf der rechten Seite ist gleich der Ordnung der Ringdivisorenklassengruppe Clf modulo f von k) und cK( f ) berechnet sich wie folgt: es sei ffE' = n @ die Primfaktorenzerlegung. Dann ist 0

C d f ) = n Q

falls q ] f K , e 2 1

I19 falls e = 0

272

und

Balling, Zur Klassenzahl

wobei q = qij die Primidealzerlegung in k bedeutet und xK einen kubischen Charakter der Ringdivisorenklassengruppe modulo f vom Fuhrer f K bezeichnet, welcher die der kubischen Erweiterung N / k klassenkorpertheoretisch zugeordnete Charaktergruppe erzeugt.

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir nach einigen Anmerkungen uber die Faktoren cK( / ) allgemeiner einfach reelle 1-Kiirper K fur eine Primzahl 1 2. Damit bezeichnen wir Erweiterungen vom Grade 1 uber Q, deren normale AbschlieBung die Diedergruppe der Ordnung 21 als Galoisgruppe uber Q besitzt und deren (einzige) quadratische Teilerweitemng uber Q imaginar-quadratisch ist. Wir geben eine Teil- barkeitsaussage fur die Klassenzahl hK an (Abschnitt 3, Satz 2). Im Spezialfall der einfach reellen kubischen K (d. h. fur 1 = 3) wird eine von den Faktoren c K ( / ) freie Aussage erhalten, aus der insbesondere die obige Teilbarkeitsaussage (*) von R. SOHERTZ folgt und die insofern (durch den Wegfall der c&)) den eigentlichen Inhalt von (*) deutlicher hervortreten laat. Wir geben einen algebraischen Beweis, der neben einer kurzeren Herleitung fur (*) auch allgemeinere Resultate ermoglicht. Zum AbschluD werden reine kubische Erweiterungen betrachtet.

Der zweite Teil des SoHEBTzschen Hauptresultates (loc. cit.) legt die Existenz ,,kleiner" 3-Klassengruppen unter gewissen Voraussetzungen fur einfach reelle kubische Zahlkorper nahe. Derartige ,,Kleinheits"-Aussagen lassen sich allgemein fur bestimmte einfach reelle I-Korper beweisen. Darauf gehe ich in einer weiteren Arbeit ein.

1. h d b I hm R. SCHEETZ [23], Satz 3.3, beweist auf analytischem Wege folgende Teilbarkeits-

aussage fur Klassenzahlen. Es sei K ein einfach reeller kubischer Zahlkorper mit der Diskriminante DK und der Klassenzahl hK und F ein quadratischer Zahlkorper mit F $; &(fE) und der Klassenzahl I+. Dann gilt fur die Klassenzahl hKF des Komposi- turns K F

hKhF I hKF, hKhF I 3hKF, falls F reell ist.

falls F imaginar ist ,

Eine Verallgemeinerung und Verscharfung dieses Resultates gibt der folgende Satz 1. Es sei K/Q eine Erweiterung ungeraden Grades und F/Q quudratischer Zahl-

k6rper mit K F n H ( F ) = F fur den HILsERTschen Klassenkhper H ( F ) von F . Dann gilt fur die Klassenzahlen

h ~ h ~ I hjiF*

Balling, Zur Kleaaenzahl 273

Bemerkung. Die Voraussetzung F $. Q ( i 5 ) bei R. SUHERTZ bedeutet, daB die kubische Erweiterung KFIF nicht normal ist und insofern K F n H ( F ) = F stets zu- trifft,.

Wir notieren noch, daB die obige Teilbarkeitsaussage ohne zusiitzliche Annahmen im allgemeinen erwartungsgemal3 jedenfalls nicht gilt : es sei F ein imaginiir-quadrati- scher Zahlkorper, dessen 3-Klassengruppe vom Rang eins ist ; die einzige zyklisch- kubische unverzweigte Erweiterung N von F entsteht als Kompositum von F mit einem einfach reellen kubischen Korper K ; dann steckt in hF/3 und hKF jeweils dieselbe 3-Potenz (aus [25] oder [3] oder den1 Abschnitt 3 unten zu entnehmen).

Be weis des Satzes. Die Behauptung folgt aus vier Teilaussagen, die nacheinander gezeigt werden. Fur einen endlichen algebraischen Zahlkorper M bezeichne H ( k f ) den HnBERTschen Klassenkorper und h&f die Klassenzahl.

(i) fur keine quadratische Erweiterung L/Q ist die Erweiterung KL/K unverzweGt. Es sei p eine in L verzweigte Primzahl. Dann ist ( p ) Idealquadrat in KL. Ware

KLIK unverzweigt, so miiBte ( p ) auch Idealquadrat in K sein, was wegen 2 % [ K : Q] unmoglich ist.

(ii) [H(K)F : K B ] = hK. Da K F wegen (i) nicht in H ( K ) liegt, folgt B ( K ) n K F = K . (iii) [H(F)K : K F ] = 5. Da das Kompositum H ( F ) K mit Hilfe einer galoisschen Erweiterung von F gebildet

wird, folgt

[ H ( B ) K : K F ] = [H(F) : K F n H ( F ) ] .

(iv) H ( K ) F n H(F)K = K F . Fur den Nachweis nehmen wir an, daB es eine zyklische Erweiterung L vom Prim-

zahlgrad p uber K F in der abelschen Erweiterung H ( K ) F n H(F)K/KF gibt. Da H(F)K Kompositum der Korper L and H ( F ) ist, von denen wenigstens einer galoissch uber L n H ( K ) ist, gilt [ H ( F ) K : L] = [H(F) : L n H(F)] . Also ist L n H ( F ) eine zy- klische unverzweigte Erweiterung vom Grad p iiber F. Es bezeichne u den nichttrivialen Automorphismus von F/Q. Da C" = C-l fur alle C E CZF (= Idealklassengruppe von F ) gilt, ist die der Erweiterung L n H(F) /F klassenkorpertheoretisch zugeordnete Unter- gruppe H 2 elF ein Gal(F/Q)-Modul. Nach der Klassenkijrpertheorie ist damit die Erweiterung L n H(F)/Q normal. Im Falle p $; 2 operiert Gal (F/Q) wegen C-1 + C nicht trivial auf Gal ( L n H ( P ) / F ) CZF/H. Fur p =+ 2 ist damit Gal ( L :i H(F)/Q) eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 2p und damit Diedergruppe. Fur p = 2 schlieot man so: wiire L n H(F) /Q zyklisch, so miiBte der Triigheitskorper zu einer Prim- zahl, die in F/Q verzweigt ist, mit Q identisch sein. Drtnach ware diese Primzahl in L n H(F)/Q voll verzweigt und insbesondere L n H(F) /F nicht unverzweigt. Aus diesem Widerspruch folgt, daB L n H(F)/Q fur p = 2 eine Erweiterung mit KLEmscher Vierer- gruppe ist (damit haben wir zugleich ein Resultat von C. HERZ ([14], Theorem 5 ) er- halten).

Da H ( K ) F das Kompositum der Korper L und H ( K ) ist, von denen wenigstens einer galoissch uber L n H ( K ) ist, gilt [H(K)F : L] = [ H ( K ) : L n H ( K ) ] . Also ist L n H ( K ) eine zyklische unverzweigte Erweiterung vom Grade p uber K . Mithin ist die Erweiterung L / K als Kompositum der abelschen Erweiterungen L n H(K) /K und

18 Math. Nachr. Bd. 118

274 Balling, Zur Klassenzahl

KF/K abelsch. Andererseits ist, wie wir oben sahen, L = K ( L n H ( F ) ) und Gal ( L / K ) Gal (L n H(P)/Q) eine Diedergruppe der Ordnung 2p. Fur p + 2 erhalten wir damit

einen Widerspruch und also die Nichtexistenz von L. Fur p = 2 ist, wie wir oben sahen, L n H ( 6 ) das Kompositum zweier quadratischer Erweiterungen PJQ und P*/Q. Damit ist L = KE%*. Mithin wird die unverzweigte quadratische Erweiterung L n H ( K ) / K als Kompositum von K mit einem quadratischen Zahlkorper (aus FF*) erhalten. Das kann aber nach (i) nicht sein. Damit ist die Nichtexistenz von L auch fur p = 2 be- wiesen und insgesamt (iv) gezeigt.

Aus (ii), (iii) und (iv) folgt offenbar

[H(K)FH(P)K : K P ] = hKhF,

womit wegen H ( K ) H ( P ) K F 5 H ( K P ) der Satz 1 bewiesen ist.

2. Die Faktoren c ~ ( f )

Die eingangs zitierte Klassenzahlaussage (*) sol1 von den dort auftretenden c,'( f ) befreit werden. Dazu dienen die nachfolgenden Bemerkungen. Es wird sich zeigen, da13 (*) Spezialfall einer allgemeineren Teilbarkeitsaussage fur Klassenzahlen ist (Abschnitt 3, Satz 2).

Fur jeden Primteiler q I f K , q + 3, ist im Fall Dk + -3 bekannt, daf3 q in Q(fq) zerlegt ist ([13], Satz 6, oder [21], Satz 3; vgl. auch (3.1) unten). Damit sind die Prim- teiler p I f K der Form p = -1 (mod 3) triige in Q(6). Eine diesbezugliche Bedingung braucht also nicht in die Vorausset,zungen zu (*) aufgenommen werden. Fur die Prim- teiler q 1 f K , q + 3, gilt uberdies stets qa + f K (wegen der zahmen Verzweigung, [13], [21]), so da13 fur f = f K die entsprechende Forderung entbehrlich ist. Tatsachlich kommt es auch nur auf den Fall f = f K an, da die Berucksichtigung der Vielfachen f von fK

keine weitere Information uber die allein interessierenden Klassenzahlen hK bzw. hk liefert, wie wir sogleich sehen werden.

Es sei

ci( / ) := n a K ( q " ) ; := n a K ( q " ) , 4 t h Pl fK

was zur Zerlegung cK(f) = cb(f) c",f) fuhrt. Von den Eigenschaften der gK wird lediglich die Kongruenz

verwendet, die aus der Definition abzulesen ist.

Bemerkung 2.1. E8 gilt

Beweis. (3): aus 3 I Q K ( q e ) folgt - E q (mod 3) oder q = 3 und e 2 2. el

Bolling, Zur Kleesenzehl 275

1 I rlJ q (e) : Wir unterscheiden zwei Falle. Sollte erstens 3 - n - gelten, so wurde 32 I f

(mit 3 % jK) sein und mittels (2.1) damit QK(3') = g K 0 (mod 3) folgen. Sollte

schliel3lich 3 I q -

mit,tels (2.1) erhalten wird. Damit ist der Beweis beendet.

gelten, so beachtet man GK(qe) = [ q - e)] pd-l(mod 3), was

Bemerkung 2.2. Wenn (*) fur f = f K gilt, jolgt die Implikation: 3 I c$(f) + 3 I hK.

Beweis. Aus 3 I GK(q') fur einen Primteiler q I jK folgt q $; 3 und q $; p (fur p

aus (a)). Da q in Q ( i q ) zerlegt ist, gilt q= (mod 3). Mithin gilt 9 I card CtJK und daher 3 I hK, was zu beweisen war.

Bemerkung 2.3. Wenn (*) jiir f = jK gilt, YO gilt (*) auch fur alle j = 0 (mod jK).

Beweis. (+): Fur 3 1 hK hefert (*) fur f = jK das Gewunschte. Fur 3 hK folgt nach der Bemerkung 2.2 sofort 3 I cb( j ) und daher schliel3lich 9 I card CIJ unter Verwen- dung der Bemerkung 2.1.

(+): Fur 9 ] card CIJx liefert (*) fur j = f K das Gewunschte. Fur 9 card CIJK folgt

3 - n 1 - - - und daher schlieBlich 3 I c i ( j ) nach der Bemerkung 2.1. Damit ist l ; q l J ( 9kJx ( q ) q )

der Beweis beendet.

Dk

3. Klassenzahl einfach reeller I-Korper

Allgemeiner als ini vorangegangenen Abschnitt beschiiftigen wir uns jetzt mit Diedererweiterungen N uber Q, so daB N eine galoissche Erweiterung uber Q mit der Diedergruppe der Ordnung 21 fur eine Primzahl 1 + 2 als Galoisgruppe ist. N besitzt genau eine quadratische Erweiterung k/Q als Teilkorper und genau 1 zueinander kon- jugierte nicht galoissche Erweiterungen KIQ vom Grad 1. Abgesehen von Q sind dies alle echten Teilkorper von N . \'on den arithmetischen Eigenschaften solcher Erweite- rungen halten wir folgende fest (J. MARTINET [19], speziell Theoreme 111.1) :

Der Fuhrer der zyklischen Erweiterung N / k ist ein Hauptideal ( jK) mit jK E 2. Bezeichnet DK (bzw. Dk) die Diskriminante der Erweiterung K / Q (bzw. k/Q), so gilt

D - 0(1-1)/2 1 1. K - k j i

Fur j K + 1 ist f K ein Produkt von Primzahlen p , die fur p + 1 der Kongruenz

(3.1) (mod 1)

geniigen und in jK zur ersten Potenz aufgehen (die Primzahl 1 kann in jK maximal zur zweiten Potenz aufgehen).

Wir werden im weiteren stet.s voraussetzen, daB k imaginar-quadratisch ist. Dann gibt es unter den I konjugierten Korpern K genau eirien reellen. Diesen wollen wir als einjach reellen 1-Ko'rper bezeichnen.

18*

276 Bolling, Zur Klaeeenzahl

Die Klassenzahlen fur solche k, K , N hiingen miteinander uber die Klawenzahl- produktformel

(3.2) h N = C N h & i

zusammen, wobei CN E (1 , l - l} gilt (N. MOSER [20] mit analytischem, F. U T E R - K O C H [ 111 mit algebraischem Beweis).

Wir beweisen nun den folgenden Satz, der die Aussage (*) von R. SCHERTZ als Spezialfall enthalt und durch den Wegfall der Faktoren cK(f) den eigentlichen Inhalt von (*) deutlicher hervortreten lafit.

Satz 2. Es sei K ein einfach reeller 1-Korper, dessen normale AbschliePung uber der quadratischen Teilerweiterung klQ den Fuhrer ( f K ) besitzt. 1st k imaginar-quadratisch und fur 1 = 3 uberdies k + Q (m) , 80 gilt

(i) wenn f K wen@stens zwei verschiedene Primidealteder in k besitzt :

1 I h K ;

(ii) wenn f K genau einen Primgealteiler in k besitzt :

l l h ~ ~ l l h k ;

(iii) wenn / K = 1 :

1 i h K @ (1-Rang von k) > 1 .

ZusamniengefaBt gilt also: Wenn fK genau v verschiedene Prim2ealteiler in k besitzt, 80 gilt

1 I h K W (1-Rangvonk) 2 2 - v .

Dem Beweis seien einige Bemerkungen vorangestellt. Dieser Satz enthiilt Teilbarkeitsaussagen verschiedener Autoren uber die Klassen-

zahlen hK. Durch die hier gegebene Form wird eine einheitliche und ubersichtliche Dar- stellung erreicht. T. CALLAHAN [a] beweist ein Kriterium fur 1 I hK, indem er ein Kri- terium dafur angibt, daB mindestens zwei einfach reelle I-Korper bei fixiertem k und g K

existieren. F. GERTH [ 101 hat die Diskriminanten aller nicht galoisschen kubischen Er- weiterungen von Q bestimmt, deren Klassenzahlen nicht durch 3 teilbar sind. Daraus lassen sich die Aussagen des Satzes fur 1 = 3 herausziehen. Zugleich verallgemeinern fur 1 = 3 die Aussagen (i), (ii) das Ergebnis (*) von R. SCHERTZ (man beachte die Be- nierkungen 2.1-2.3), fur 1 = 3 verallgemeinert die Aussage (ii, +) ein Teilbarkeits- resultat von R. SCHERTZ ([22], Satz 3.2). Die Aussage (iii) wurde fur 1 = 3 von T. CALLA- EIAN [3] bewiesen, der weiter fur f K = 1 (im Fall 1 = 3) die Vermutung

3-Rang von K = (3-Rang won k) - 1

aufstellte, die von F. GERTH [9] und G. GRAS (einer Mitteilung in [4] zufolge) bewiesen wurde. Allgemeiner hssen sich unter Verwendung der Resultate von I. R. SCHAFSE- WITSCH uber Erweiterungen mit vorgegebenen Verzweigungsstellen weitere Aussagen uber den 3-Rang von K beweisen, aus denen auch die Vermutung von T. CALLAHAN folgt. Beispielsweise wird

3-Rang von K = 3-Rang von k

B8lling, Zur Klassenzahl 277

fur IK = p und Prinizahlen p 3 -1 (mod 3) erhalten. Darauf gehe ich in [2] ein. Eine Verallgemeinerung der Ergebnisse von F. GERTH auf I 2 5 hat K . IDKURA [17] durch- gefuhrt. Daraus konnen die Aussagen des Satzes fur I 2 5 herausgezogen werden.

Der Fall (ii) tritt genau dann ein, wenn

gilt ( p = Primzahl; fur f i i

p = - 1 (mod I) = I ist I in k notwendig verzweigt ([19], Theoreme 111.1,

fur 1 = 3 zum Beispiel auch [13], [21]) ; fur fK = 12 und I 2 5 kann I in k nicht verzweigt sein, fur I = 3 hingegen tritt dieser Fall tatsachlich auf (zum Beispiel fur DK = -3 159,

Der nachfolgende Be w e i s enthalt gegenuber den genannten Arbeiten Vereinfachun- gen und gilt fur alle ungeraden Primzahlen I gleichermden. Insbesondere wird die Klaasenzahlproduktformel (3.2) nicht benotigt. Der Nachweis beruht auf Grundaus- sagen der Klassenkorpertheorie, wie sie im Klassenkorperbericht von H. mssE [ 121 gegeben sind.

Dk = -39)).

Es liegt folgende Situation vor :

Gal (HI&) = (a, t), ut = t-la, I J ~ = tl = 1 .

Dem Teilkorper K (bzw. k ) von N sei im Sinne der Galoistheorie die Untergruppe (a) (bzw. (t)) zugeordnet. Es bezeichne CIF die I-Idealklassengruppe (die I-Sylowgruppe der Idealklassengruppe) eines endlichen algebraischen Zahlkorpers F . Wegen (2, I ) = 1 liefert die Operation von u auf CIN die direkte Zerlegung

(3.3) (u operiert auf dem ersten Summanden als Identitlit, auf dem zweiten als Invertierung). Weiter gilt bekanntlich

ClN = c1y @ c1,

C l K g Cllyo’

(folgt unniittelbar &us der Klassenkorpertheorie nebst (2 , l ) = 1).

Beweis von (i). Es werden zwei Falle unterschieden. 1. Fall (fur spatere Belange weisen wir darauf hin, daB fur 1 = 3 hier auch Dk = -3

zugelassen ist) : es gibt wenigstens eine Primzahl p , die in k zerlegt ist und IK teilt. Dann ist notwendig p = 1 (mod I) oder p = I (nach (3.1)). Fur p 5 1 (mod I ) sei L die einzige zyklische Erweiterung uber Q voni Grade I im Korper Q(Cp) der p-ten Einheitswurzeh. Fur p = 1 sei L die einzige zyklische Erweiterung uber Q vom Grade 1 im Korper &( tp )

der &ten Einheitswurzeln. Wir iiberzeugen uns davon, daB die galoissche Erweiterung LKIK unverzweigt ist

(und also I I h~ gilt). Dazu geniigt es, zu zeigen, daB die Erweiterung LNIN unverzweigt ist. Eine eventuelle Verzweigung kame nur fur Stellen in Betracht, die uber p liegen. In diesem Fall hatte jedes Priinideal uber p von LN den absoluten Verzweigungsindex e = l2 und den absoluten Tragheitsindex f = 1. Durch Ubergang zu den entsprechenden lokalen Korpern entstande eine galoissche Erweiterung des p-adischen Zahlkorpers QP mit einer Galoisgruppe vom Typ ( I , I) (= direkte Summe zweier zyklischer Gruppen der

278 BBlling, Zur Klassenxahl

Ordnung I ; N und LK sind zwei verschiedene zyklische Erweiterungen von k in LN), insbesondere also einer nicht zyklischen Gruppe. Das jedoch ist nicht moglich. Wir fiigen dazu ein kurzes klassenkorpertheoretisches Argument an : einer solchen abelschen Erweiterung ware nach der lokalen Klassenkorpertheorie eine Untergruppe H & Q; (die Normengruppe) zugeordnet. Wegen f = 1 gilt p E H . Bezeichnet U t die Unter- gruppe der Einseinheiten von Z, (= Ring der ganzen p-adischen Zahlen), so gilt die direkte Zerlegung Q: ( p ) @ (5p-1) @ U:. Da UA eine 2,-Modulstruktur besitzt, ist fur p + 1 jede Einseinheit zum Beispiel eine 12-te Potenz, und damit gilt ( p , U;) 5 H . Danach ware die Faktorgruppe Q:/H zyklisch, was jedoch nicht der Fall ist. Fur p = 1 bezeichne (U;)l' die Untergruppe der 12-ten Potenz der Elemente von Ui. Da die Ein- heitswurzeln von zu I primer Ordnung Z2-te Potenzen sind, folgt ( I , 51-lJ (U:)") H . Danach wiire die Faktorgruppe Q:/H homomorphes Bild der zyklischen Faktorgruppe Uj/( U;)l', also ebenfalla zyklisch, was nicht der Fall ist.

2. Fall: Es gibt wenigstens zwei Primzahlen pi , i = 1,2, die in k nicht zerlegt sind und f K teilen.

Die Gruppe der stark-ambigen Idealklassen von N / k wird durch das kanonische Bild der Idealklassen von k in N und durch die Klassen der Primideale 3 erzeugt, die zu den in N verzweigten Primidealen p = 3' von k gehoren ([12], Ia, § 13; unendliche Primstellen spielen naturlich keine Rolle (wegen Dk < 0 oder auch 1 $; 2)). Die Anzahl der stark-ambigen Idealklassen ist bekannt ([12], Ia, § 13, (7)), und wir erhalten in unserem Fall hkl'-' derartige Klassen, worin t die Anzahl der in N verzweigten Prim- ideale von k bezeichnet (man beachte D, < -3 fur 1 = 3). Es sei p1 (bzw. p2) das Prim- ideal von k uber p1 (bzw. p 2 ) . Es gilt pi = qf, i = 1,2, in N , wobei aus der letzten Be- merkung folgt, daB ohne Beschrankung der Allgemeinheit die Klasse von bl nicht im kanonischen Bild der Idealklasse von k in N liegt. Wegen 3: = p1 ist dann die Ordnung der Idealklasse von ';pl durch 1 teilbar. Aus '$3; = folgt schlieBlich, daB (71%) nicht- trivial ist.

Beweis von (ii), (+). Mit den Bezeichnungen von (i) liegt der Fall t = 1 vor, und es gibt genau hk schwach-ambige Idealklassen von Nlk ([12], Ia , 13, Satz 13; jede schwach-ambige Idealklasse ist also schon stark-ambig). Wegen der exakten Sequenz

1 --f cz$) ClN % Cli-' --f 1

(in offensichtlicher Bezeichnungsweise) wurde aus der Annahine 1 % hk

(3.4) CZN =

folgen. Da in dem fur die zyklische Gruppe (t) gebildeten Gruppenring Z[(t)] offenbar (1 - t)' E lZ[(t)] gilt, kann nur noch CZN = (1) sein. Erst recht gilt also C 1 K = {l}, was der Voraussetzung widerspricht.

Beweis von (ii), (G). Wir nehmen an, daB Cl$) = {1} gilt. Hiernach ist

3 . 5 ) CZN = a$), was daraus folgt, daB a auf CZ," als Invertierung operiert und UT = t-la gilt.

Wie bereits unter (+) bemerkt, gibt es genau hk schwach-ambige Idealklassen in Nlk, die samtlich zugleich stark-ambig sind. Diese werden daher durch die kanonischen Bilder der Idealklassen von k in N und die Klasse des einzigen Primideals aus N , das in f K aufgeht, erzeugt. Wegen 3" = 3 folgt aus unserer Annahme zusammen mit,

Bolling, Zur Klaasenzahl 279

(3.5), daB der kanonische Homomorphismus

(3.6) elk "L ClN

ein Isomorphismus sein niuB.

Ililfssatz 3.1. Fur eine zyklische verzweigte Erweiterung MIL algebraischer Zahlk6rper con Primzahlgrnd ist der Normhomomorphismus

surjektiv (CIM (bzw. Cl,) bezeichnet die volle Idealkhsengruppe con M (bzw. L)) . Beweis des Hilfssatzes. Die Erweiterung MIL hat nach Voraussetzung einen nicht-

trivialen Fuhrer f. Im Sinne cler Klassenkorpertheorie ist ihr eine Idealgruppe H ( f ) in der Gruppe I d ( L ) ( f ) der zu f primen Ideale von L zugeordnet. Offenbar gilt fur die Untergruppe E'f) der Hauptideale in I d ( L ) ( f )

E'f' Q H'f , .

Denn aus E'f) E H'f) wiirde folgen, dal3 der Fuhrer von H'f) den Fuhrer von E ( f ) teilt. Letzterer ist jedoch gleich (1). Da der Index von H'f) in Id(L)(f) eine Primzahl ist, niuB demnach

(3.7) @i)E( f ) = I d ( L ) ( f )

gelten. Da H'f ) modulo dem Strahl inodulo f in L von den Kormen Norm,,,,(A) fur A E I d ( M ) ( f ) erzeugt wird, ist nach (3.7) jedes Ideal aus I d ( L ) ( f ) bis auf ein Hauptideal eine solche Norm, was zu beweisen war.

h s (3.6) und dem Hilfssatz folgt nun Clk = (elk)' (zuletzt steht die Gruppe der I-ten Potenzen der Elemente von C#!k). Das ist aber nur fur elk = {I} nioglich, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also gilt Cl$) + {1} und daher 1 I hK.

Beweis von (iii), (+). Es sei L die maximale unverzweigte Erweiterung von N mit einer elementar-abelschen I-Gruppe als Galoisgruppe. Aus der Klassenkorpertheorie folgt, daB die Erweiterung Llk galoissch ist. Wir setzen

c f = Gal ( L l k ) , V = Gal ( L / N ) .

V ist nicht zyklisch: andernfalls ist Z2 1 h,, weil Llk als Erweiterung vom Grad Z2 abelsch ist. Klassenkorpertheorie ([12], Ia , S 13, Satz 13) liefert

(3.8) 1 I

card cli) = - card ct!k,

wonach das Bild fiir den kanonischen Homomorphisnius Clk -+ c1N nichttrivial ist. Dieses Bild liegt aber in CZ,, so daB Cl; $. (1) gilt. Wegen 1 1 hK gilt (21%) $; (l), so daB CIN nicht zyklisch ist (s. (3.3)). Mithin ist V nicht zyklisch. Erst recht ist also die I-Gruppe cf nicht zyklisch. Nach dem BURNsIDEschen Basissatz ([16], 111, 7.1) ist dann sogar die Konimutatorfaktorgruppe c f /Q nicht zyklisch. Folglich besitzt k eine abelsche und nicht zyklische Erweiterung in L . Da die Erweiterung Llk unverzweigt ist, ist elk nicht zyklisch.

280 Bolling, Zur Klaesenzahl

Beweis von (iii), (G). Wir nehmen 1 hK an. Dann gilt (3.5). Unter unseren Vor- aussetzungen ist nach der Klassenkorpertheorie die Sequenz

-b elk 1 3 Cli-‘ 3 cf!N - N O r m N l k

exakt ([12], I, Q 6, (B””); men beachte, daB hier der Kern des Normhomomorphismus mit den vom Hauptgeschlecht von N gelieferten Idealklassen ubereinstimmt, was wegen der Unverzweigtheit von Nlk direkt aus der Definition des Hauptgeschlechtes abzu- lesen ist). Wegen (3.6) ist also der Normhomomorphismus injektiv. CZN wird als kano- nisches Bild von elk erhalten, weil dies hier fur Cl$) zutrifft und (3.5) gilt (vgl. Beweis von (i), 2. Fall). Da card CZi) bekannt ist (3.8), hat man die exakte Sequenz

(3.9) 1 --f $ -+elk% ClN --f 1, worin 9 zyklisch der Ordnung 1 ist. Fur jedes Element C E ctk der Ordnung 1 ist aber p(C) = 1, da der Nornihomomorphismus injektiv ist. Also ist C E R. 9 ist damit die einzige Untergruppe der Ordnung 1 in c&, wonach ci!k zyklisch sein muB. Das wider- spricht aber der Voraussetzung.

Damit ist insgesamt der Satz bewiesen. Als Ergiinzung hierzu ist noch der Fall Dk = -3 bei kubischen Enveiterungen

nachzutragen, also der Fall reiner kubischer Erweiterungen K = Q &), a E 2. In diesem Fall hat man die

Behauptung 3.1. Fur K = Q (fi), a E 2, gilt 3 + hK genuu dunn, wenn einer der folgenden Falle vorliegt:

Q (7;) jiir eine Primzuhl p = - 1 (mod 3),

w d e i p l $; p , Primzahlen der Form pi = (mod 9) sind ( i = 1, 2). 61 Ein Beweis hierfur ist von T. HONDA [16] gegeben worden (P. BARRUCAND und

H. COHN [l] erhielten, daB unter den oben angegebenen alle reinen kubischen K tnit 3 % hK vorkommen. Notwendige Bedingungen fiir 3 # hK fur reine kubische K konnen bereits aus den Ergebnissen von E. SELMER [26] entnommen werden (a. such A. &OH-

LICH [6]) ; sie sind jedoch nicht hinreichend). F. GERTH [ 101 bestimmt die Diskriminan- ten aller nicht galoisschen kubischen Zahlkorper iiber Q, deren Klassenzahl nicht durch 3 teilbar ist, so daB die oben aufgeziihlten Korper darunter vorkommen. Sein Beweis ver- wendet Ergebnisse uber den 3-Rang solcher Zahlkorper aus [9]. Fur die spezjellen reinen kubischen K, deren Diskriminanten keinen Primzahlteiler der Form p = 1 (mod 3) besitzen, erhalten S. KOBAYASHI [18] und F. GERTH [7], [8] fur den 3-Rang d - 1 oder d - 2, worin d die Anzahl der in K voll verzweigten Primzahlen bezeichnet. Der Beweis

von T. HONDA beruht auf dem Nachweis, daB hN = hg oder hN = - h; gilt (durch 1 3

Bdlling, Zur Kleesenzahl 28 1

Berechnung der entsprechenden Regulatoren). Das ist ein Spezialfall der Klassenzahl- produktformel (3.2), die fur den hier vorliegenden Fall 1 = 3 bereits von A. SCHOLZ [25] mit analytischen Methoden bewiesen wurde. Einen algebraischen Beweis des ScHoLzschen Resultates hat T. CALLAHAN [4] gegeben, der jedoch fur den hier benotig- ten Fall k = Q (m) eine Inkorrektheit enthalt (im Beweis von Lemma 4.14 wird ver- wendet, daB unter den fur alle Primidealteiler '$ (aus N ) von f K gebildeten Idealklassen dN( P'$'') hochstens eine einzige Relation bestehen kann (die durch das Hauptideal (yi) geliefert wird); das muB jedoch nicht zutreffen: man wahle K = Q (7;) derart, daB 3 % hK gilt und f K zwei verschiedene Primzahlteiler besitzt (niehr Teiler sind nicht nioglich, 8. Behauptung 3.1), dann folgt 3 % hN und alle Ideale '$P" sind daher Haupt- ideale ( K = Q (7s) ist ein erstes Beispiel)). Nachfolgend geben wir einen algebraischen adhoc-Beweis fur die obige Behauptung, der ohne Verwendung der Klassenzahl- produktformel auskommt. Dem Beweis stellen wir zwei Hilfssatze voran.

Hilfssatz 3.2. Es eei k = Q(m), N = k ( v ) , a E 2, a frei von dritten Potenzen. Dann gilt fur eine primitive dritte Einheitsmrzel e

f u r alle Primteiler p von a, p =/= 3, gilt p = f 1 (mod 9).

e E NormNlk N* CJ

Der Beweis folgt aus der Anwendung des HassEschen Normenstctzes auf die zyklische Erweiterung Nlk (Lokal-Global-Prinzip).

(+). Es sei angenommen, daB eine Primzahl p I a, p + 3 niit p f A1 (mod 9) existiert. Da nach Voraussetzung e Norm bezuglich Nlk ist, existieren t = a + P O + ye2, 03 = a, a, P, y, to E Qk mit e = normNlk(t/&,) (Qk = Ring der ganzen Elemente von k). Es sei (n) ein Primidealteiler von p in Qk. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit sei (n) kein gemeinsamer Teiler von u, P, y. Es sei xm die genaue Potenz von n, die in to auf- geht. Drt wir jetzt modulo nSmf1 rechnen, konnen wir ohne Beschrankung der Allgemein- heit to = nm annehmen. Es folgt

(3.10)

Wir unterscheiden zwei Falle.

613 + /?% + y3u2 - 3auPy = ensm (mod $m+l) .

1. Fall: m = 0. Wir erhalten as = e (mod n) und a ist modulo n damit eine primi- tive 9-te Einheitswurzel. Da die multiplikative Gruppe des Restklassenkorpera modulo (n) die Ordnung Norm ((n)) - 1 hat, also stets ein Teiler von p 2 - 1 ist, folgt 9 I p2 - 1, was unmoglich ist.

2. Fall: m 2 1. Es folgt n I a und weiter n2 1 /Paa. Wurde n % ,!? gelten, so hatte die linke Seite von (3.10) den n-Betrag zwei, was nicht sein kann. Also ist n I /?, und daher a 9 I yaa2, also 39 I u2, und damit hat a den n-Betrag zwei. Fur m = 1 folgt

= e (mod n), was auf den Fall m = 0 zuruckfiihrt. Fur m 2 2 folgt n2 1 a, wonach die linke Seite von (3.10) den n-Betrag vier hatte, was unmoglich ist. (e). Fur einen Primidealteiler (n) von p , p + 3, sei k(z) die Vervollstandigung be-

zuglich (n). Da k ( x ) die (Norm((n)) - 1)-ten Einheitswurzeln enthalt und unsere Vor- aussetzungen stets 9 1 Norm((n)) - 1 garantieren, ist e eine dritte Potenz in k(n) und also Norm. Damit ist e nach der lokalen Klassenkorpertheorie fur alle nicht uber (3) liegenden Primstellen lokale Norm und damit (Produktsatz) uberall eine lokale Norm

282 Bolling, Zur Klaseenzahl

und also (HAssEscher Norniensatz) eine (globale) Norm fur die zyklische Erweiterung Nlk.

Damit ist der Hilfssatz 3.2 bewiesen.

Hilfssatr 3.3. Mit den Bezeichnungen des Hilpsatzes 3.2 gi l t : Cl$) n C l j enthrilt nur

Beweis. Es sei angenommen, daB C1$) n Cl; eine nicht stark-ambige Idealklasse

stark-ambige Idealklassen beziiglich Nlk .

enthiilt, und es sei 'i!l irgendein Ideal derselben. Wir haben

(3.11) W=(y) ' i ! l , Y E N * ,

wonach normN,k ( y ) eine Einheit aus k ist. Ware dies bis aufs Vorzeichen keine primitive dritte Einheitswurzel, so erhiilt man mit Hilfe von HILBEBTS Satz 90 die Existenz eines t-invarianten Ideals in der Klasse von 'i!l, was nicht sein darf. Ohne BeschSnkung der Allgemeinheit sei normN/k ( y ) = e. Nach Annahnie existiert ein it 6 N* mit

(3.12) %W = (it).

(3.13) ( y ) 'i!lW* = (A'). Daraus folgt niit (3.11)

Weiter gilt

g u r = g.'. = ( y ' U y " ) W,

und mit (3.12) folgt &us (3.13) dann

yy'"y"I = $'

fur eine gewisse Einheit 11 aus N. ubergang zur Norm beziiglich Nlk liefert

ee-le-l = normArlk ( q ) . Daher wird normNjk ( v y ) = 1, was niit ( vy ) = ( y ) wie zu Beginn des Beweises darauf fuhrt, da13 die Klasse von stark-ambig ist, im Widerspruch zur Annahme. Damit ist der Hilfssatz 3.3 bewiesen.

Wir kommen nun zum

Beweis der Behauptung 3.1. Nachweis von (+). Wir haben

(3.14) card Cl$) = 3lfe-a

([12], loc. cit.), worin t die Anzahl der in N verzweigten Primideale von k bezeichnet und

3' = (NormN,, N* n uk : uk3)

iiiit der Einheitengruppe U, von k gilt. Wegen 3 % hK ist hier wieder (3.5) CIN = cl$). Nach dem Beweis des Satzes 2 (i), 1. Fall (fur I = 3), ist a durch keine Primzahl p = 1 (mod 3) teilbar. Die Anzahl der stark-ambigen Idealklassen berechnet sich ([la], loc. cit.) zu 3f+e'--2 mit

3e' = (NOrmN/k UN : ( u k ) 3 )

Bolling, Zur Klassenzahl 283

niit der Einheitengruppe UN von N . Da diese Idealklassen alle nunmehr in 171%) liegen, 1llUW

(3.15)

sein. Jnsbesondere muO t Kiirpern erfiillen noch die Korper

t + e* - 2 = 0

2 sein. AuDer den in der Behauptung 3.1 aufgezahlten

fur X'rimzahlen p , q niit p 3 q 3 -1 (mod 9) diese Bedingung (und keine weiteren Kiirper).

Fur die Korper (3.16) gilt e = 1. Das folgt aus dem Hilfssatz 3.2. Wegen 3 + hK folgt, aus dem Hilfssatz 3.3 ferner e = e*, was im Widerspruch zu (3.15) steht, so daB die Korper (3.16) ausgeschlossen werden konnen.

Nachweis von (e). Wir zeigen, daB fur die in der Behauptung 3.1 aufgezahlten Kijrper t + e = 2 gilt. Nach (3.14) ist damit CZ$) = {1) , und daher CIN = CZi-', woraus wie nach (3.4) ClN = (1) und also 3 # hK folgt.

Fur t = 1 ist nichts zu beweisen ( t + e 2 2 gilt in jedeni Fall (vgl. (3.14)), so daB e = 1 sein muB. Andererseits ist bei genau einer Verzweigungsstelle fur N / k ohnehin klar, dab e dann auch fur diese Stelle lokale Norm ist (Produktsatz fur das entsprechende Normenrestsynibol)). Fiir die in der Behauptung 3.1 aufgefiihrten Korper mit t = 2 gilt nun tatsachlich e = 0, was sofort den1 Hilfssatz 3.2 entnonimen wird. Damit ist die Behauptung 3.1 bewiesen.

Literatur

[l] P. BARRUOAND and H. COIIN, A Rational Genus, Class Number Divisibility, and Unit

121 R. B~LLINO, On 3-class groups of complex cubic number fields (erscheint demniichst in

[3] T. CALLAHAN, The 3-class groups of non-Galois cubic fields I. Mathematika 21 (1974) 72-89 [43 -, The 3-class groups of non-Galois cubic fields 11. Mathematika 21 (1974) 168-188 [5 ] -, Dihedral field extensions of order 2p whose class numbers are multiples of p. Can. J.

[(i] A. FROHLICH, On the l-classgroup of the field P (&). J. London Math. SOC. 37 (1962) 189-192 [7] F. GERTH, Ranks of Sylow 3-subgroups of ideals class groups of certain cubic fields. Bull.

[8] -, On 3-class groups of pure cubic fields. J. reine angew. Math. 278/279 (1975) 52-G2 [9] -, Ranks of 3-class groups of non-Galois cubic fields. Acta Arith. 30 (1976) 307-322

Theory for Pure Cubic Fields. J. Number Theory 2 (1970) 7-21

Math. Nachr.)

Math. XXVIII, No 2 (1976) 429-439

Amer. Math. SOC. 79 (1973) 521-525

[lo] -, Cubic fields whose class numbers are not divisible by 3. Illinois J. Math. 20 (1976) 486-493 [ 1 1 1 F. HALTER-KOCH, Einheiten und Divisorenklassen in Galois'schen algebraischen Zahlkorpern

mit Diedergruppe der Ordnung 22 fur eine ungerade Primzahl 1 . Acta Arith. 33 (1977)

[la] H. HASSE, Bericht uber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebra- ischen Zahlkorper. Teil 1. Jber. DMV 85, 1-55 (1926); Teil l a . Jber. DMV 36 (1927) 233 bis 311

[ 131 -, Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkorper auf klassenkorpertheoretischer Grund- Iage. Math. Zeitschr. 31 (1930) 665-682

[14] C. S. HERZ, Construction of class fields. Seminar on complex multiplication. Springer Lecture Notes in Math. 21 (1966)

[15] T. HONDA, Pure cubic fields whose class numbers are multiples of three. J. Number Theory 3

353-364

1971) 7-12

284 Bolling, Zur Klassenzahl

[l6] B. HUPPERT, Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1967 [17] K. IIMURA, Dihedral extensions of Q of degree 21 which contain non-Galois extension with

[18] S. KOBAYASEI, On the 3-rank of the ideal class groups of certain pure cubic fields. J. Fac.

[19] J. MARTINET, Sur I’arithmetique des extensions Galoisiennes il groupe de Galois dibdral

[a01 N. MOSER, Unit& et nombre de classes d‘une extension galoisienne dibdrale de &. Asterisque

[21] H. REIOEARDT, Arithmetische Theorie der kubischen K6rper als Radialkorper. Monatshefte

[22] R. SCHERTZ, Arithmetische Ausdeutung der Klassenzahlformel fiir einfach reelk kubische

[23] - , Die Klassenzahl der Teilkorper abelscher Erweiterungen imaginiir-quadratischer Zahl-

[24] -, Uber die Klassenzahl einfech reeller kubischer Zahlkorper. Acta Arith. 89 (1981) 369

[25] A. SOEOLZ, Idealklassen und Einheiten in kubischen Korpern. Monatshefte Math. Phys. 40

[26] E. S. SELMER, Tables for the purely cubic field K r6). Avh. Norske Vid. Akad., Mat. Naturv.

class number not divisible by 1. Acta Arith. 36 (1979) 385-394

Sci. Univ. Tokyo, Sec. IA 20 (1973) 209-216

d’ordre 2p. Ann. Inst. Fourier 19/1 (1969) 1-80

24/25 (1975) 29-35

Math. Phys. 40 (1933) 323-360

Zahlkorper. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 41 (1974) 211-223

korper 11. J. rehe ttngew. Math. 296 (1977) 58-79

bis 379

(1933) 211-222

KI., NO 6 (1966) 1-38

Akademie &r Wiueenac?uz/ten der DDR Imtitut fur Mathemtik DDR- 1086 Berlin Mohrenetrabe 39