Zur Klassifikation topologischer Ebenen. II

Zur Klassiflkation topologischer Ebenen. H

KURT REIDEMEIST~.R zum 70. Geburtstag gewidmet

Von HELMUT SALZM~N in Frankfurt am Main

In der Kollineationsgruppe F einer zur reeUen projektiven Ebene hom~omorphen topologischen projektiven Ebene, kurz einer ,,ebenen Ebene", ist die Topologie der gleichm~Bigen Konvergenz gleichwertig mit der Topologie der Konvergenz auf irgendeinem festen Viereck. In dieser natiirlichen Topologie ist F eine h~chstens 8-dimensionale Lie- gruppe (SALZMAN~ [62a]1), Satz 3.2. und 4. 1.). Insbesondere folgt aus dem ersten dieser beiden S~tze, dab die Dimension einer Untergruppe yon r, die einige Ecken oder Seiten eines Vierecks fest l~13t, h~chstens gleich der Anzahl der ,,Freiheitsgrade" f'fir die Wahl der restlichen Ecken des Vierecks ist. In SALZMAn~ [63], im folgenden als I zitiert, waren alle ebenen Ebenen mit einer mindestens vierdimensionalen Kolli- neationsgruppe bestimmt worden: Es sind dies genau die klassischen MoULTo~-Ebenen fiber dem reellen Zahlk~rper (HILBEI~T [56], w 23). Abgesehen yon der desarguesschen Ebene haben diese Ebenen alle ein nicht inzidentes Pnnkt-Geraden-Paar, das unter allen Kollineationen fest bleibt; die Dimension ihrer Kollineationsgruppe ist also nach der obigen Bemerkung nlcht gr~Ber als 4, d.h. jede ebene Ebene mit einer mindestens 5-dlmensionalen Gruppe yon Kollineationen ist schon desarguessch. L~Bt die Zusammenhangskomponente A der Kollineations- gruppe F einer nicht desarguesschen ebenen Ebene keinen Punkt lest, so ist A ~ F ~ PSL2(R) einfach und dreidimensional (I, Satz 1.3 und SAT~..MANN [62b]). In der zuletzt genannten Arbeit wurden die ebenen Ebenen mit einfacher Kollineationsgruppe vollst/indig bestimmt.

Wir wollen nun die/ibrigen ebenen Ebenen mit einer dreidimensionalen Gruppe A yon Kollineationen untersuchen. Dabei sell A eine in der nat/Jr- lichen Topologie abgeschlossene Untergruppe der vollen Kollineations- gruppe F der Ebene P sein. Dann ist auch die Zusammenhangskompo- nente yon A dreidlmensional und abgeschlossen in F; es geniigt also,

*) I)iese Arbeit entstand mit freundlieher Unterstiitzung dutch das European Research Office des US I)epartment of Army, Programm Nr. I)A---91--591--EUC-- 2777 OI--360323--B.

x) Namen in Kapit/ilchen verweisen auf das Literaturverzeichnis, die Zahlen in eckigen J~lRmmern geben das Erscheinungsjahr der zitierten Arbeit an. 10 7808 ] tog, MAth. Abh., Bd. ~ V I I

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zusammenhKngende Gruppen A zu betrachten. Da A nicht einfach sein sell, hat A dann einen Fixpunkt und eine Fixgerade (I, Satz 1.3). Andererseits kann die Konfiguration der Fixelemente yon A nach der eingangs gemachten Bemerkung weder ein I)reieck noch drei koUineare Punkte und zwei Geraden oder die dazu duale Figur enthalten, da sonst A h6ehstens zweidimensional sein k6nnte (vgl. SALZMA~ [62a], Satz 3.2). Ffir die Koniiguration der Fixelemente yon A bleiben also nur die folgenden MSglichkeiten:

(1 a) mindestens 3 kollineare Fixpunkte und ihre Verbindungsgerade,

(1 b) ein Punkt und mindestens 3 durch ihn gehende Geraden,

(2) 2 Punkte und 2 Geraden,

(3a) 2 Punkte und ihre Verbindungsgerade,

(3b) 2 Geraden und ihr Sehnlttpnnkt,

(4) ein Punkt und eine nicht mit ihm inzidente Gerade,

(5) ein inzidentes Punkt-Geraden-Paar.

Die F~lle (a) und (b) sind dabei jeweils dual zueinander, so dab man sich auf die Betrachtung yon (1 a) und (3 a) beschr~nken kann. Wir werden zeigen:

Im Fall (1) ist P desarguessch und A eine Gruppe zentraler Kollinea- tionen mit der Fixgeraden als Achse bzw. dem Fixpunkt als Zentrum. Im Fall (2) erhKlt man eine yon drei reeUen Parametem abh~ngige Schar verschiedener Ebenen mit einer transitiven Translationsgruppe und einer semitransitiven Streckungsgruppe. Die Moulton-Ebenen sind hierin als Spezialfall enthalten. In Satz 2.1, 2.4 und 2.8 werden alle diese Ebenen vollst~ndig beschrieben. Im Fall (3) ist P desarguessch und A enthKlt die voile Translationsgruppe bezfiglich des einen Fix- elementes. Im Fall (4) ist P eine Moulton-Ebene und A ihre ldeine projektive Gruppe, falls P nicht desarguessch ist. Insbesondere ist jede ebene Ebene veto LE~z-Typ (III) eine Moulton-Ebene; es gibt also keine ebenen Ebenen veto B~'~LOTT,-Typ (III, 1) (vgl. auoh I, Hauptsatz 2.6). Der verh~ltnlsm~Sig komplizierteste Fall (5) soil in Tell I I I dieser Arbeit behandelt werden. Damit ist dann eine vollst~indige ~bersicht fiber alle ebenen Ebenen mit einer mindestens dreidimensionalen KoUineations- gruppe gewonnen. Wesentliches Hilfsmittel ist dabei der Satz yon BBO~wE~ [09], der alle lokal kompakten, zusammenh~ngenden und transitiven Transformationsgruppen der eindimensionalen Mannigfaltig- keiten angibt, siehe I, Hflfssatz 1.9.

Bezeiehnungen und Vorbemerkungen. Eine topologische projektive Ebene, die zur reellen Ebene hom6omorph ist, nennen wir eine ebone Ebene und bezeichnen sie ,nit P = (P, (~). Dabei bedeutet P die Menge

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der Punkte, die also als topologischer Raum zur Punktmenge der reellen projektiven Ebene homSomorph ist, und @ die Menge der Geraden, aufgefaBt als Teilmengen yon P. Die Verbindungsgerade b der beiden Punkte p, q wird mit ~q bezeichnet. Unter einem Viereck verstehen wir vier Punkte, yon denen keine drei auf einer Geraden liegen, ein ausgeartetes Viereck soil aus drei Punkten einer Gera~len L und einem Punkt auBerhalb L bestehen. Ein inzidentes Punkt-Geraden-Paar heiBt auch kurz eine Fahne. Die zu P duale Ebene ((~ P) ist ebenfalls eine ebene Ebene. Jede Kollineation yon P ist auch ein HomSomorphismus, also ein Automorphismus der topologlschen Struktur (P, ~) (SALz- MANN [59]). Die Gruppe aller Kollineationen yon P wird stets mit [" bezeichnet. Eine Kollineation, die alIe Punkte einer Geraden b lest l~Bt, l~Bt auch alle Geraden durch einen Punkt iv fest und heiBt zentrale KoUineation mit der Achse L und dem Zentrum Iv, im Fall IV e L auch Translation, sonst Streckung. Ist A ~ [" eine Untergruppe yon [', so bedeute A M bzw. A[L] die Gruppe aller zentralen KoUineationen ~ e A mit dem Zentrum p bzw. der Achse b und A[~, L] den Durchschnitt A M c~ A[L]. SchlieBlich sei A[K.L] die Vereinigung aller Gruppen A[~, L] mit IV e K. Wohl davon zu unterscheiden sind die ,,Standunter- gruppen" A~ bzw. AL, die aus allen Kollineationen 6 E A mit dem Fix- punkt IV bzw. der Fixgeraden L bestehen. Is t He ine Gerade mit IV e H ~= L, so heiB~ fiir p ~ L die Translationsgruppe 1"[2,, L] transitiv, wenn sie auf H--{iv} transitiv operiert; ftir iv r L heiBt die Streckungsgruppe V[~, L] transitiv oder semitransitiv, je nachdem ob sie transitiv auf der Menge H - - {iv, H c~ L} oder auf jeder der beiden zusammenh~ngenden Kom- ponenten dieser Menge ist. Die ebene Ebene P wird dann auch [p, L]- transitiv oder -semitransitiv genannt.

Eine abgeschlossene Untergruppe A yon V 1st in der nattirlichen Topologie yon ]- stets eine Liegruppe. A operiert effektiv bzw. frei auf der Menge M, wenn [ ' ] , ~ A a - 1 bzw. A, ~ 1 fiir alle a e M gilt. Is t das Transitivit~tsgebiet a n des Punkte~ a unter A lokal kompakt, so ist a ~ hom6omorph zu dem Restklassenraum A : A, (siehe MONTGO~ERu ZrPPItr [55], p. 65 und FR~UDmcTHAT, [36], p. 53). Is t insbesondere A zusammenh~ngend und a a =~= a eine echte Teilmenge einer Geraden L, so 1st A : A, hom6omorph zu einem offenen Intervall, also A, zusammen- h~ngend und dim A - dim A, ~ 1. Von den beiden letzten Tatsachen wird sta'ndig Gebrauch gemacht, ohne dab dies besonders hervor- gehoben wird.

Welter werden folgende Symbole verwendet:

A 1 ---- Zusammenhangskomponente yon A,

= einfach zusammenh~ngende Cberlagerungsgruppe yon A, 10"

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0 <~ A - - 0 ist echter Normalteiler yon A,

�9 o * ~ Kommutatorgruppe yon r und *,

A' ~ A o A = Kommutatorgruppe yon A,

Z (A) = Zentrum yon A,

Zs (A) ~ Zentralisator yon A in r,

R+ = additive Gruppe der reellen Zahlen,

SO~ ~ R + rood 1 ~ eindimensionale Torusgruppe,

L~ = lineare Gruppe {x --> a x + b; a e (0, oo), b, x e R},

SL2 -~ spezielle lineare Gruppe fiber R,

II -~ PSLz(R) ~- projektive spezielle lineare Gruppe fiber R ---- 9~(R, / ) = Kommutatorgruppe der orthogonalen Gruppe einer Form / vom Index 1,

1~ = einfach zusammenh~ngende t?berlagerungsgruppe yon II.

Stiindigen Gebrauch werden wit yon den folgenden einfachen Be- merkungen maehen:

HilIssatz 1. Operiert die zusammenhdngende Gruppe �9 als Trans- formationsgruppe au/ einem zur reellen Zahlengerader~ oder zur Kreislinie hom6omorphen topologischen Raum X, und liiflt r beinen Punlct van X feat, so ist r transitiv au/ X.

]:)enn jedes Transitivit~tsgebiet x | ist eine zusammenh~ngende ho- mogene Tei!menge yon X, die aus mehr als einem Punkt besteht, also often ist. Vgl. auch S~LLZMA~ [62b], Hilfssatz 4.

Als einfache Folgerung aus dem Satz yon BROUWE~ hat man

HilIssatz 2. Operiert die dreidimensionale, zusammenMingende Liegruppe A au/ der Zahlengeraden R transitiv und ist der , , T r d g h e ~ I t e i l e r "

a~r auf R die Ide~ be~rke~n E~me~e v~ A nul~i~~l, 8o ~t �9 -~ I, d.h. A o~riert eBebtiv au/ R, u~ A ~t ~ph zur einfm~h z~am~n~e~n Uber~e~sg~ ~ v~ PSL~(R). I~b~re hat A ein une~lieh~ zy~l~ch~ Ze~m, ~ frei au~ R ~e~.

B e w e i s . Nach Voraussetzung ist die yon A auf R bewirkte effektive Transformationsgruppe A/@ dreidimensional. Nach dem Satz won B~ovwE~ gilt A/r ~ ~. Als nulldimensionale Liegruppe ist �9 diskret. Daher ist A lokal isomorph zu 1~, also isomorph zu einer Faktorgruppe yon ~ nach einem diskreten zentralen Normalteiler, d. h. zu einer ~ber - lagerungsgruppe yon PSL~(R), vgl. etwa PoN~J~Gra [58], w167 51~57.


AUe echten Faktorgruppen ~= 1 yon fl sind nicht einfach zusammenhgngend. Daher folgt �9 = 1 und b ~ ~i. Ist ~ e Z (b) und a t = a ffir ein a ~ R , so ist # r 1 6 2 fiir alle ~}~A, also ~ O wegen der Transitivitgt yon A auf R. t

Hil/ssatz 3. Eine einparametrige Grul~e I zentraler KoUineationen ist eine transitive Translationsgrutrpe oder eine 8emitransitive Str~kungsgruppe ; aUe Elemente yon I ha, ben also das gleiche Zentrum und die gleiche Achse.

B e w eis. Als Einparametergruppe enth/ilt X eine dichte lokal zykliache Untergruppe P. Lokal zykliache Gruppen zentraler Kollineationen kiinnen aber keine Elemente mit verschiedenen Zentren oder verschiedenen Achsen enthalten, d. h. P liegt ganz in einer Gruppe I'b, L]. Wegen der Abgeschlossenheit yon I'b, LI {siehe S ~ z M a ~ [62a], Lemma 3.6) folgt dann auch I g I'[~, LI. Da jede Gruppe I'[~, LI hSchstens eindimensional ist, gilt fiir p e L stets X = Fb, L] ; ffir p ~ L i s t X = I'~, L]. Die Streckungsgruppe I'b, L] kann darm eventuell noch eine Spiegelung a enthaIten, die nicht zu I gehSrt, vgI. auoh S~zMxlr [62a], Satz 5.1 und5 .3 . I

w 1. Gruppen mit 3 kollinearen Fixpunkten

Es sei P eine ebene Ebene und A eine in der natiirlichen Topologie abgeschlossene, dreidimensionale, zusammenhgngende Untergruppe der vollen Kollineationsgruppe r yon P, die mindestens 3 Punkte auf einer Geraden W yon P fest lgflt. Dann liegen nach dem in der Einleitung Festgestellten alle Fixpunkte yon A auf W und A hat auller W keine Fixgerade. Ist v A - - - - v ~ W ein solcher Fixpunkt, so operiert A nach Hilfssatz 1 transitiv auf dem Biisehel.

~ = { K e @ ; v e K #- W}

der yon W versehiedenen Geraden dutch v. Die abgesoMossene Unter- gruppe A[,l derjenigen Abbildungen aus A, die ~ elementweise lest lassen, besteht aus zentralen Kollineationen mit dem Zentrum v, die noch zwei weitere Punkte yon W fast lassen, also die Aohse W haben, d .h . A[, J ist in der hSchstens eindimensionalen Translationsgruppe rb, w I enthalten. Die yon A auf ~ bewirkte effektive Trausformationsgruppe A/Ab] ist daher mindestens zweidimensional. Nach dem Satz yon BRouw~R gilt also

A/A[~] ----- ~ oder dim A/AIr ] = 2.

Im ersten Fall hgtte A nach Hilf~satz 2 ein unendliche6 zylrli~ohes Zentrum, das frei auf ~ operiert. Ist I =~ ~ EZ(A) und K eine Gemde

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aus ~, so miiflte die zweidimensionale St~nduntergruppe Ag auch die Gerade K~ :~ K fest lassen und die eindimensionale Standuntergruppe Ao eines Punktes o e K - W lieBe ein Viereck fest im Widerspruch zu Fo]gerung 2.3 aus SALZMX~ [62a]. Dieser Widersprueh beweist dim A[~] ---- 1. Die Translationsgruppe I-[~, w~ enth/ilt also eine Einpara- metergruppe und ist daher transitiv, und es 1st I'[~, w] ~ A[~1, vgl. Hilfssatz 3, sowie SALZMA~ [58], p. 450, Zusatz. Dies gilt f i i r jeden Fixpunkt v yon A. Daher ist P eine Translationsebene und I'[w, w] ~ A. Wegen w 12 aus SALZMA~ [57] gilt in P der desarguessche Satz.

Da in der reellen Ebene jede Kollineation mit 3 kollinearen Fixpunkten deren Tr~igergerade als Achse hat, besteht A nur aus zentralen Kolli- neationen mit der Achse W. Die Standuntergruppe eines Pnnl~tes o ~ W ist die Zusammenhangskomponente der Streckungsgruppe V[o, w], also die Untergruppe der Streckungen mit positivem Faktor,

A = r t w ' wj r[to. ~ = r[twj.

Die einzige nioht znsammenh/ingende dreidimensionale Kollineations- gruppe mit 3 kollinearen Fixpunkten ist die Oruppe r[w], in der ~w] den Index 2 hat. Damit haben wir bewiesen:

Satz 1. I~flt die abgeschlossene, dreicIimensionale Grulrpe A yon Kolli- neationen der ebenen Ebene P mindestens 3 Punkte auf einer Geraden W /est, so ist P desarguessch und A die Gruppe aUer zentralen KoUineationen mit der Achse W oder deren Zusammenhangskamponente.

w 2. Gruppen mit 2 Fixpunkten und 2 Fixgeraden

L~l~t die abgeschlossene, dreidimensionale, zusammenh/ingende Gruppe A yon Kollineationen der ebenen Ebene P die beiden Punkte u, v und die beiden Geraden ov und uv fest, so operiert A wegen Hilfssatz 1 transitiv auf K ~ ov - - (v}. Wiire der Normalteiler AtK] der auf K die Identitiit induzierenden zentralen KoUineationen mit der Achse K nuU- dimensional, so h~tte A naeh Hilfssatz 2 ein auf K frei operierendes Zentrum ~= 1. Die zweidimensionale Standuntergruppe eines Punktes o e K miiBte dann noeh weitere Pu~kte yon K und damit wenigstens ein ausgeartetes Viereck lest lassen, kSnnte also nur eindimensional sein. Aus diesem Widersprueh folgt, dat~ A[~] positive Dimension hat. Wegen u a - - u ist AtK] in der hSehstens eindimensionalen Streckungsgruppe I-[~,K] enthalten, und I'[,.K] ist semitransitiv, vgl. Hilfssatz 3. Da die zusammenh~ngende Gruppe A die beiden Seiten yon K nieht vertausehen kann (sonst h~tte A eine Untergruppe yore Index 2, w~ire also nicht zusammenh~ingend), gilt ArK ] ~ ~,. KI ~ I . Ist w ein beliebiger, yon u und v verschiedener Punkt der Geraden W ~ uv, so 1st die Stand-

Zur Klassifikation topologiseher Ebenen 151

untergruppe A~ zweidimensional und zusammenh~ngend. Da keine Streckung a ~= 1 aus X einen Punkt w ~ W - {u, v} lest lassen kann, ist A~ n X ---- 1 und A~ effektiv auf K. Aus Dimensionsgriinden hat A~ keinen Fixpunkt auf K und operiert daher wegen Hflfssatz 1 transitiv auf K. Nach dem Satz yon BRouwm~ ist A~ isomorph zur linearen Gruppe L2. Die Standuntergruppen h , . o mit o e K sind also die Kom- plemente des eindimensionalen, auf K schaff transitiven Normalteilers T yon A~ und erzeugen A~, vgl. I, Hilfssatz 1.10. Fiir o e K l~Bt die zusammenh~ngende, zweidimensionale Gruppe Ao das Dreieck o, u, v fest und ist daher nach I, Hilfa~atz 1. I1, kommutativ. Daraus folgt Ao = X • Ao,~, d .h . I zentralisiert a]le Gruppen Ao,~ mit o e K, also auch ihr Erzeugnis Aw. Wegen der Semitransitivit~t yon F[~,K] ist I transitiv auf den beiden zusammenh~ngenden Komponenten yon W - - { u , v } und es gilt w a - - w ~. Zusammen mit AwN I----1 und I ~ Zs (A~) ergibt sich A = I • h~ und I = Z(A). GehSren w und z den beiden verschiedenen zusammenh~ingenden Komponenten yon W - - {u, v} an, ist also W ---- w r" u z z u {u, v}, so 1/~l]t die mlndestens eindimensionale Gruppe A~, ~ alle Punkte yon W fest; denn ffir alle a e X ist A~,~---- A~.~ ---- A~,~o. Daher ist A~,~-~ AIW]___A~, ims- besondere liegt der einzige eindimensionale Normaltefler T ~ A~ yon A~ in A[w]. Da T frei auf K operiert, haben alle Elemente yon T das Zentrum K n W ~ v, d .h . T---- I'[~.w] ist eindimensional und dsher transitiv. Zusammenfassend haben wit damit bewiesen

Satz 2.1. La'flt die abgeschlossene, dreidimensionale, zusammenhanqende Gruppe A yon Kollineationen der ebenen Ebene P zwei P u n ~ e u und v und zwei Geraden ov und uv /est, so ist die Kommutatorgruppe A' die transitive Translationsgruppe F[~, ~,1, das Zentrum yon A ist die 8erai- transitive Strecbunflegruppe X-~ ~[~, o~1, und A ist da~ direbte Produ~ yon ][ mit einer nicht bommuta2iven, zweidimen~ionalen I_~gruTTe , d.h.

a ;) ,o ,} _~ ; a, b e , oo .

Umgekehrt gilt

Satz 2. 2. Operiert die zur Gruppe D aller reeUen Dreiecbsmatriz~n mit ~s i t iven Diagonaldementen i.somorphe Gruppe A ala Kollineation~grulrpe au/ der ebenen Ebene P, ~o l~flt A minde~tens zwei Punkte oder zwei Ge- raden, abet heine drei kollinearen Elemente /est, d.h. es liegt der Fall (2) oder (3) vor; insbesondere kann A i m Fall (5) nivht izomorph zu D sein.

B e w e i s . Da in der desargueaschen Ebene die GrupIm ~w] kein Zentrum hat, kann A nach Satz 1 keine drei kolllnearen Fixelement~ haben. Ist 1 ~= ~ ~ Z -~ Z(A), so hat ~ als Hom6omorphismus der ~ m ~ t -

152 Helmut Salzmann

menge der reellen projektiven Ebene einen Fixpunlrt •. Mit p ist auch jeder Punkt aus der zusammenh/ingenden Menge p~ Fixpunkt yon (. Daher kann ~a wegen Folgerung 2.3 aus SALzma~ [62a] kein Viereck enthalten, y~ liegt also ganz in einer Geraden L. Ist p~ :~ 10, so 1st L ~ = L. Nach Hilfssatz 1 1/iBt dann A entweder einen l~mtrt q yon L lest, oder A ist transitiv auf L. Im zweiten Fall ist aber ~ eine zentrale KoUineation mit der Achse L u n d A 1/iflt wegen ~ = ~ das Zentrum yon ~ fest. Es gibt also stets einen Fixpunkt und aus Dualit/itsgriinden auch eine Fixgerade von A, auch wenn P desarguesseh ist; fox nicht desarguessche Ebenen war die Existenz der Fixelemente auch schon in I, Satz 1.3, gezeigt worden.

Angenommen nun, A habe genau einen Fixpnnl~t v und genau eine Fixgerade W. L/ige v nicht auf W, so miiflte A nach Hilfasatz 1 transitiv auf W operieren. Nach dem Satz yon BRo~wEz w/ire dann die yon A auf W bewirkte effektive Transformationsgruppe A/A[w] isomorph zu SO~ oder lokal isomorph zu P~L~ (R). Wegen ~ = v ist A[w] ~ r[~, w], also hGehstens eindimensional. Daher ist A/A[w] nicht isomorph zu 80s. Da A ein eindimensionales Zentrum hat, kann aber auch keine Faktor- gruppe yon A isomorph zu der dreidimensionalen einfachen Gruppe PSL~(R) sein.

Es folgt v ~ W. Wegen Hilfssatz 1 operiert A dann transitiv auf W - - {v} und auf der Menge v - - { W} der yon W verschiedenen Get ,den durch v. Nach dem Satz yon BROUWER ist A/A[w] isomorph zu R oder L2, da ~ nicht in Frage kommt. Liegt der eindimensionale Normalteiler 0 yon A in A[w], so haben nach Hilfssatz 3 alle Elemente yon 0 das gleiche Zentrum 19, und aus 0 4 = 0 folgt pa----10, also 0 = rE~,w J. Dual dazu ist I'[~.wl der einzige eindimensionale Normaltefler yon A in A[~ 1 .

Ist A/AEw I ~ R kommutativ, so ist A' <~ Atwl und A' = rt~ ' w], also auch A' <~ A[o I . Daher liegt dann Z, der andere eindimensionale Normal- tefler yon A, weder in Atw ~ noch in Aid , ist also soharf transitiv auf W - {v} und v - {W}, und kein Element ~ + 1 aus Z 1/iBt einen pnnl~t l~ * v fest. Eine zu A' komplement/ire Einparameter-Untergruppe M yon A[w] ist wegen Hilfssatz 3 in einer Gruppe r[~,w] mit i~ ~ v enthalten. Es folgt

M c = M rt , .w] = r{ , .w] = r[,c. =1 = rE,. 1 =1= z .

Dieser Widerspruch zeigt, dab A/A[w] nicht kommutat iv sein kann. Dual dazu kann A' auch nicht in A[~] liegen.

Ist aber A/A[w]-----L2 nicht kommutativ, so ist

A [ W ] = Z = I ' l l , w] ----- A[~,] ,


da A' und Z die beiden einzigen eindimensionalen Normaltefler yon A sind. Sei o ~ W. Wegen Z < Ao~ ist die zweidimensionale Standunter- gruppe Ao~ kommutativ. Auf Grund des Satzes yon BROUWER folgt, dab A[o~] eindimensional ist, und nach Hiffssatz 3 liegt Aloe] in einer Gruppe r[u, o~] mit ~ ~ W. Wegen A[~] ~ r[~,w] ist u ~ v und A[~ ----- r[~, o~] -- I eine semitransitive Streckungsgruppe. Weiter ist A = A' I fremd zu Z, well A' schaff transitiv auf W - - {v} ist, also ist A = Z • A und A ~ L2. Die Konjugierten yon I unter A' sind genau die Stand- untergruppen A= mit w ~ W - - {v}, siehe I, ~lilf~satz 1.10. Sind a, b, u drei verschiedene Punkte yon W - {v}, so haben die Streckungsgruppen I ---- Au, Aa und Ab auch paarweise verschiedene Achsen, da A' scharf transitiv auf v - {W} ist. Nun gibt es stets a ~ Aa und fl ~ A b Init 1 =~ ~ - ~ E I . Fiir den Punkt o der Achse yon I folgt daraus o ~-~ ---- o u n d o ~ = o ~ ~ oa (~ ob ---- o, was unm6glich ist. Damit ist die Annahme, A habe nur zwei Fixelemente, in allen F~llen widerlegt. !

Satz 2.3. L~flt die abgeschlassene, dreidimen~ivnale, zu~aramenh4ngende Untergruppe A der vollen Kollineationsgruppe r der vbenen Ebene P die beiden Punkte u, v und die beiden (Teraden ov, uv /est, ~o gibt es genau die/olgenden M6glichkeiten:

(a) r ist dreidimen~ional und hat die selben Fixelemente wie A und

Ir:al<4. (b) r izt vierdimenvional und hat die Fixelemente u und ov und P ~t

eine Moulton-Ebene.

(c) r ist achtdimen~ional und P i~t desarguesach.

Beweis . (a) Ist dim r = 3, so ist A = r 1. Die nulldlmensionale Lie- gruppe r /h ist diskret und operiert auf der Figur der Fixelemente yon A. Da diese Figur als inzidenztreue Permutation nur die Identi t~t gestattet, l~Bt r alle Fixelemente yon A lest. Nach Satz 2.1 und Hiffssatz 1 ist A transitiv auf ov - - {v} und Ao transitiv auf dem Innern jedes der vier durch o, u, v bestimmten Dreiecke. Fiir jeden Punkt e aus einem der Dreiecke ist h , . , = 1 (Folgerung 2.3 aus SAr.z~tAl~ [62a]). Jedes Element 7 ~ ro l~i~t die vier Dreiecke fest oder vertauseht sie paarweise. Wegen F/A ~ ro/Ao folgt daher

(r/A) 2 = 1 nnd ]r/a[ ~ 4.

(b) Ist dim r ----- 4, so ist P naeh I, Hauptsatz 2.6, eine Moulton-Ebene. In einer Moulton-Ebene liegt der einzige Fixpunkt nicht auf der Fix- geraden und ist nieht Zentrum einer Translation . 1. Daraus folgt U r = ~ V r = O r .

(e) folgt unmittelbar aus I, Satz 1.13, der besagt, dab eine ebene Ebene mit dim r ~ 5 desargue~eh ist. m

154 Helmur Salzmann

Wir wollen nun mittels Satz 2.1 alle ebenen Ebenen konstruieren, bei denen der Fall (2) auftreten kann. Dazu erweist es sich als zwecl~m~flig, die Gruppe A so darzustellen, wie sie im Fall (2) auf der desarguesschen Ebene operiert:

a = g ( t , ~ , y l =

Dann ist

('. :) z = z ( a ) = { g ( i , ~ , o ) } ,

| t, x e (0, oo), y e R / .

a ' = {g(1, 1, y)}

und jede einparametrige Untergruppe yon A hat die Form

{g(es, b~,c(e~--l)); s ~ R } oder {g(l ,@,ct); t ~ R } .

Zwei zu A' • Z komplemen~'re Einparameter-Untergruppen

{g(e s, a', c ( e ' - - 1))} und (g(e', b ~, d(e ~ - 1))}

sind genau dann in A konjugiert, wenn a = b ist, und sie zentralisieren sich genau dann, wenn c = d i s t . Die Abbildungen

g(t , ~ , y) - + g(t , t ~ . , p y - - q(t - - 1))

mit reellon m, n, p, q und n p ~ 0 sind Automorphismen yon A. Daraus folgt, dab die Automorphismengruppe A (A) transitiv ist auf der Menge

der Paare nicht konjugierter und einander nicht zentralisierender, zu A' • Z komplemen~rer Einparameter-Untergruppen yon A, ebenso auf der Menge der Paare sich zentralisierender solcher Untergruppen.

Die Gerade K ~ ov zerlegt die Punktmenge P - W in zwei zusammenh~ngende Teile P+ und P_; dual dazu zeff~llt die Menge der weder durch u noch durch v gehenden Geraden in zwei zusammen- h~ngende Geradenmengen (~+ und (~_, dabei gehiiren zwei Geraden genau dann zur gleichen Teilmenge, wenn ihre Schnittpunkte mit W in der gleichen Zusammenhangs-Komponente yon W - - { u , v} liegen. Nach Satz 2.1 ist A' • Z auf jeder der Mengen P+ mad P_, (~+ und •_ scharf transitiv. Die projektive Ebene P setzt sich dann aus den vier Bloclrpli~nen ( = Inzidenz-Strukturen)

B~, ~ = (P+, ~ ) ,

sowie den Geraden durch u und v zusammen. Wir werden zeigen, dab jeder dieser vier Blockplfine fiir sich allein desarguessch ist, d.h. isomorph zu der aus der desarguessehen Ebene entsprechend gewonnenen Unter- struktur, daft die Blockpl~ine aber anders als in der desarguesschen Ebene zusammengefiigt sein kSnnen.

Sei B einer der vier Blockpl~ne, etwa B ~ B+. +. Dann ist also A' • Z schaff transitiv auf den Punkten und den Geraden yon B. Ist (7 eine


Gerade aus (~+, etwa die Gerade k w mit k ~ K, w ~ W, so ist A~ ---- Ak, w eine eindimensionale, zu A ' • Z komplement~ire Untergruppe yon A. Ist weiter p ein Punkt yon P+, so li~I]t jede Kollineation aus Aa (~ A~ das Viereck k, pv (~ kw, u, v lest; Folgerung 2.3 aus SALZMANN [62a] ergibt A~ (~ A~ ~ 1. Wegen A~ ---- A~ folgt, dab die Gruppen Aa und A~ niemals konjugiert sein kSnnen. Weil das Zentrum Z transitiv auf p u (~ P+ ist, ist A~ die gemeinsame Standuntergruppe aller Punkte x ~ p u n P+. Daher gilt Ac o A~ ---- 1 dann und nur dann, wenn Aa und A~ ein und denselben Punkt o ~ K - - {v} lest lassen, d.h. wenn G n p u ~ K . Ffir p E G kSnnen sich A~ und A~ also nicht zentralisieren, d .h . die beiden Gruppen bflden dann ein Paar aus der oben betrachteten Menge ~). Welter folgt, dal~ die Einparametergruppe Aa keinen p,ml~t yon G n P+ lest lassen kann, also nach Hilfssatz 1 scharf transitiv auf G n P+ ist; daher ist A scharf transitiv auf den Fahnen (~-- inzidenten Punkt-Geraden-Paaren) yon B. Setzt man zur Abkfirzung A----Aa, I1 ~ A~ mit T ~ G, so erh/flt man einen zu B isomorphen Blockplan B* auf die folgende Weise: Punkte yon B* sind die Nebenldassen fl ~ mit

~ A, B15cke (---- Geraden) yon B* sind die Nebenklassen A T mit ~ ~ A, und I1 ~ inzidiert mit A T dann und nur dann, wenn fl ~ n A T ~ r ist, d .h . genau die Paare der Form fl ~, A~ sind inzident (vgl. H/GMAI~- McLAuGHLI~ [61]). Da die Automorphismengruppe A(A), wie vorhin bemerkt wurde, transitiv auf der Menge ~ der mSgliehen Paare (11, A) ist, zeigt ein Vergleich mit der desarguesschen Ebene, daft B desaguessch ist. Auf dem Block A liegen genau die Punkte rl~ mit ~ ~ A. Da A' • Z schaff transitiv auf P+ ist, gibt es zu jedem ~ ~ A genau ein ~ ~ A' • Z mit I1~---- I1~ oder ~5 - ~ f l .

Wir fiihren nun in der affinen Ebene P - W Koordinaten ein. Dazu w/~hlen wir p e P+, q e P_ mit p, q e o u . Der Punkt ~(~,*,~) sell dann die Koordinaten (x, y), der Punkt q~(~,*,*~ die Koordinaten ( - -x , y) und der Punkt o~1, ~,~ die Koordinaten (0, y) bekommen. In diesem Koordinatensystem stellen sich die Translationen aus A' ~ls

(x, y) --> (x, y ~- b),

die Streekungen aus �9 als

(x, y) --> (ax, y) mit a e (0, o~)

dar. Weiter sei G e(~+, H e(~_ und o eG, H. Naeh den obigen Be- merkungen fiber die Gruppe h und die Bloekpl~ine B~, + zentr~lisieren sieh dann die vier Standuntergruppen A~, Aq, Aa, AH paarweise und man kann annehmen, dal~ sie die Form haben

A ~_ {g( t , l , 0); t > 0 } , Aq -~ {g(t , t ~-~,0); t > 0 } ,

a ~ = {g(~, s, o); s > o) , a ~ = {g(~, ~, o); ~ > o ) .

156 Helmut Salzmann

Wegen der Transitivit~t der Translationsgruppe A' gibt es ein ~ ~ A' mit p ~ G ~. Mittels eines Automorphismus

g if, x, y) -~ g if, x, c y)

kann man Aa~ ---- A~ auf die Form {g(s, s, s - - 1)} bringen. Die vorher gegebene Beschreibung von B mit I1 = A~ und A ---- A~ zeigt nun, daft die Koordinaten (x, y) der in P+ gelegenen Punkte yon G ~ durch

g(8, ~, 8 - - l ) g ( 1 , ~5 "-1, - - y ) : g (a , 8~ff -1, 8 - - 1 - - y) e q

best immt sind, also der Bedingung y ~- x - 1 geniigen. Wendet man hierauf die Abbildungen aus A' • Z an, so sieht man, dab B aus allen Punkten mit x > 0 und allen Halbgeraden mit der Gleichung

y = a x ~ b , a>O

besteht. Insbesondere hat man y ---- x f'tir die Punkte yon O (~ P+. Entsprechend kann man die iibrigen drei Blockpl~ine darstellen. Wir

betrachten zuerst B+, _. Sei

peH , 8>0}.

Fiir die Koordinaten (x, y) der Punkte yon H~ (~ p+ gilt dann

g(s, aqx - 1 , b ( s - 1 ) - y ) e 1 1 , x-- - -~ , y - - - - b ( s - - 1 ) .

Da die Gerade H~ die Gerade K in einem Punkt ~= v schneidet, kann H~ n P+ nicht K als Asymptote haben. Hieraus folgt ~ > 0. Da femer H~ jeden Block yon B in h~Schstens einem Punkt schneider, mul} dann b < 0 sein. Bei passender Wahl yon H kann man b ---- - - 1 erreichen. Die Kurve H n P+ hat dann die Gleichung

y - - - - - - x ~-~ mit Q > 0 ,

und alle anderen B15cke yon B+,_ sind hierzu konjugiert. Analog sind die B18cke durch q durch die Bedingungen

g(S, 8(--X) -1, c ( s - - 1 ) - - y ) e ~ bzw. 9(s, sq( - -x) - ' , d(s--1)- -y)e~

gckennzeichnet. Sie haben also die Koordinatendarstellung

- - x = s ~ y = v ( s - - 1 ) bzw. - -x - - - -~+~ y__ d (s__ l) .

Weil wiedcr K kcine Asymptote sein kann, mfia~en ~ und a der Ein- schrgnkung

# ,q A- ~ - - 1 > 0

geniigen, und weil zwei Geraden hSchstens einen Schnit tpunkt haben diiffcn, mull c < 0 < d sein.


Ersetzt man die Koordinatenwerte x < 0 dutch --(v-~ x) ~ so erh/ilt die Gerade G nach dieser Koordinaten-Transformation die Gleichung y ---- x, und H c~ P die Gleichung

y ~ k x ~ mit ~ = Q + ~ - - I und k = d~ -~

Wendet man hierauf noch aUe Streekungen aus Z an, so erh~lt man zusammenfassend

Satz 2.4. Eine ebene Ebene P mit einer abgeschlo~senen, dreidimensionalen Gruppe A yon KoUineationen, die zwei Punkte u, v und zwei Geraden or, uv ]est ldflt, kann man tgoer einem cartesisvhen Koordinatenbereich M = M(k, e, a) mit den Bezugspun~en o, u, v darstellen (PmK~.RT [55], p. 90), dessen additive Grutrpe die der re.ellen Zahlen und dessen Multipli- ]cation ]olqenderma~en definiert ist :

a o x = a x (0_~a ,x) , a o x = a x ~-~ ( a < O < x ) ,

a o x = a~ (x .< 0 < a), a o x = k(--a)o~-l(--x)~ (a, x < 0),

mit T = ~ - o - - 1 , k , ~ , ~ , v > 0 .

Nach Konstruktion lie[err umgekehrt ]eder 8olehe carteaische K6rper eine ebene Ebene mit einer CrruTpe A der angegebenen Eigenscha[ten.

Bemerkung 2.5. Je nachdem, welchen der Blockpl~ne B~, ~ man im vorigen Beweis als B auszeichnet (d. h. je nachdem, in welchem Qua- dranten man den Einheitspunkt e = (1,1) des Koordinatensystems w/ihlt), erh/flt man zu einer Ebene vier ,,verwandte" cartesische KSrper M,(i = 1, . . . . 4) mit im allgemeinen verschiedenen Tripeln (b, Q, 0) yon Parameterwerten. Wegen der Transitivi~t yon Ao auf jedem der vier durch o bestimmten Quadranten kann man zwei isomorphe Ebenen tiber cartesischen KSrpern M und M1 der in Satz 2.4 beschriebene Art nach eventuellem l~bergang yon Mt zu einem verwandten cartesischen K6rper M, so isomorph aufeinander abbflden, dag die Bezugspunkte o, u, v, e der beiden Koordinatensysteme einander entsprechen. Daraus folgt die Isomorphie yon M und M, (vgl. etwa PIOXEttT [55], p. 37). Da die Iden- tit/it der einzige Automorphismus der additiven Gruppe der reeUen Zahlen ist, der die 1 lest 1/~Bt, mug die Isomorphie yon M und M, dutch die identische Abbfldung bewirkt werden. Betrachtung der Produkte (--1) o2, 2 o ( - - 1 ) und (--1) o(- -1) zeigt nun, dab M und M, die selben Parameterwerte k, ~, 0 haben mtissen. Das bedeutet: Es lie/ern ]eweils hiicJustens vier verschiedene vartesisehe K6rper M(Ir ~, 0) bi.s au[ Isomorphie glei~he Ebenen; man hat also eine Schar paarweise nicht isomorpher Ebenen gewonnen, die yon drei reellen Parametern abhanfft. Ohne Beweis sei vermerkt, dag jeder der betrachteten cartesischen KSrper verwandt ist zu einem M(b, Q, 0) mit Q, o ~ 1.

158 Helmut Salzmann

Satz 2.6. Unter den in Satz 2.4 beschriebenen Ebenen sind die Moulton- Ebenen durch die Existenz einer Spiegelung in r[~,o~] gelcennzeichnet. Gleichwertig dam# ist die Bedingung Q = ~ = 1 / a t den cartesischen K6rper M. In~besondere ist die Ebene t~ber M (#, e, a) nur /a t k = e = a = 1 desarguessch.

B e w e i s . Ist P eine Moulton-Ebene, so hat die Kollineationsgruppe r yon P naeh Satz 2.3 die Fixelemente u und or, und F[,, o~] ist dann transitiv, enth~,lt also eine Spiegelung, vgl. etwa I, Bedingung (2) des Hauptsatzes. Gibt es umgekehrt in der Streekungsgruppe F[,.o~] eine Spiegelung, so folgt wegen Satz 2.1 die Transitivit~it dieser Streekungs- gruppe. Naeh PICKEtt' [55], p. 102 unten, ist die Transitivit~t yon r[,,o~] gleiehwertig mit der Assoziativit~t der Multiplikation. Wegen Satz 2.9 aus SAT,ZMXN~ [62a] ist die Multiplikation dann aueh kommutativ. Hieraus folgt unmittelbar ~ = a. Betraehtung des Produktes (--1) o (--1) o x mit x > 0 liefert kx = / ~ x ~-1~ also ~ ---- 1, s ---- ~ ---- 1. Die Ebene fiber dem Koordinatenbereich M(k, 1, 1) ist aber nach Defini- tion eine Moulton-Ebene, und genau f'tir k---- 1 desarguessch. !

Dutch Kombination der S/~tze 2.3 und 2.6 erh~It man

Zusatz 2.7, Ist r die volle Kollineation~grulrl~ der Ebene abet dem cartesischen K6rper M(Ir Q, ~), so gilt entwedez ~ = a -~ 1 oder dim r ~ 3.

Satz 2.8. Is t die ebene Ebene P aber dem cartesischen K6rper M = M (]r ~, a) keine. Moulton-Ebene, und ist F die voile Kollineationsgruppe yon P und A = r ~ ihre zusammenh~ngende dreidimensionale Untergruppe, so ist entweder r = A zusammen.&angend oder IF/A]----2, und zwar ist F ~ A genau in den beiden /olgenden F~dlen:

(~) Es gibt eine Spiegelung in F[~, o,]; gleivl~wertig damit ist ]~----~ = 1 =4= a.

(fl) Es gibt eine Spiegelung in rio, ,,]; gleichwertig damit i.st k = a = 1 4 e.

Dabei bedeuten u, v, ov wie bisher Fixelemente van A.

B e w e i s . Is t A < r, so gibt es wegen der Transitivit~t yon Ao auf den durch o bestimmten Quadranten eine KoUineation 7 e Fo mit (1, 1)~ ---- ( • 1, 4- 1). Wegen A' <~ r induziert 7 in A' und daher in der additiven Gruppe M + yon M einen Automorphismus. Im Fall (1, 1)r _-- ( - -1 , 1) w~re dieser Automorphismus die Identit/~t, also 7 e r[~, oo]. Dann w/~re aber F[~, o~] transitiv und P nach Satz 2.6 eine Moulton-Ebene. Daher ist (1, 1)~ = (4- 1, - -1) , und 7 induziert in M + den involutorlschen Auto- morphismus, d. h. 7 hat die Form

(x, y) -~ (x', - - y ) mi t t ' = 4-1 .

Zur Klassifii~ation topologischer Ebenen 159

Hieraus folgt ?~ ~- 1; denn 72 E r[~. o,] und ? l~Bt entweder die Gerade x ~- 1 oder die Gerade y ~ x fest. Nach Folgerung 2.4 aus SAT.ZMA~ [62a] ist also r eine Spiegelung.

(a) Im ersten Fall hat 7 das Zentrum v und die Aehse ou und ist daher yon der Form (x, y) -~ (x, - - y ) . Diese Abbildnng ist aber dann und nur dann eine Kollineation, wenn stets

- - ( a o x) = ( - - a ) o x

gilt. Aus der Definition der Multiplikation folgt unmittelbar, dab die letzte Bedingung mit /r ~ Q ~ 1 ~quivalent ist.

(fl) Ha t ~ die Fixgerade y ---- x, so ist o das Zentrum und uv die Achse yon ~ und r hat die Form (x, y) -~ ( - -x , - - y ) . Diese Abbildung ist dann und nut dann eine Kollineation, wenu stets

- - ( a o x) = a o ( - - x )

gilt. Die letzte" Bedingung ist gleiehwertig mit k ---- a = 1. m

Bemerkung 2.9. Mit den Bezeie, hnunoen yon Satz 2.4 und 2.8 ist = 1 (a = 1) O.quivalent mit der SemitransitivitAt van r[o,~] (r[~,o~l).

Diese beiden Falle lie/era die in I, Fuflnote 3 zu ~atz 2.1 ancjelcandigten Beispiele.

Zum Beweis braueht man nur zu beachten, daI3 die Semitransitivit/it yon r[o,,~l mit der Gfiltigkeit yon

( a o x q-b) o c = a o ( x o c ) + b o c fiir a l l e v > O

gleichwertig ist. Die Abbfldung x - > x o c muff also der eindeutig best immte Automorphismus yon M + sein, der 1 in c tiberffihrt. Daraus folgt x o c = xc und Q---- 1. Der zweite Fall ergibt sich hieraus durch Vertauschen der Reihenfolge der Faktoren bei der Multiplikation. !

Bemerkung 2.10. Die jar ~, a < 1 und beliebi4je$ k > 0 ~,arweise nicht isomorphen Ebenen abet M (K, ~, ~) haben nach Satz 2.1 und 2.8 ~ eine zur Gruppe D isomorphe KoUineationsgrutrpe.

w 3. Gruppen mit 2 Fixpunkten und einer Fixgeraden

Hat die abgeschlossene, dreidimensionale, zusammenhs Gruppe A yon Kolllneationen der ebenen Ebene P a l s einzige Fixelemente die beiden Punkte u, v und ihre Verbindungsgerade W, so operiert A nach Hilfssatz 1 transitiv auf den beiden Geradenbiischeln u - {W} und v ~ (W). Bewirkte A auf einem der beiden Geradenbiischel eine dreidimensionale Transformationsgruppe (d.h. w~re A[,] oder A[~] nullo dimensional), so w/~xe A nach Hilfssatz 2 isomorph zu fl und daher frei

160 Helmut Salzmann

yon echten Normalteilern positiver Dimension. Hieraus folgt, wieder nach ~ilf~satz 2, weiter, dab A dann auf beiden Geradenbfischein effektiv operieren mfiBte. Der mindestens eindimensionale Durchschnitt Ao der beiden Standuntergruppen Ao~ und bo, mfiflte dann unendlich viele Geraden dutch u und v fest lassen, weft das unendliche zyklische Zentrum yon A frei auf u - - {W} und v - - {W} operiert und Ao in sich transformiert. Dieser Widerspruch gegen Folgerung 2.3 aus S~LZMA~ [62a] beweist, dab A[~] und A[~ 1 positive Dimension haben. Eine Ein- parameter-Untergruppe I yon A[~] liegt dann nach Hilfssatz 3 ganz in einer gewissen Gruppe I'[~, L]mit u ~ L. Ist L = W, so ist i'~, w] transi- t ie; ist aber L ~= W, so folgt die Semitransitivit~it yon I'[~, L] und damit jeder Streckungsgruppe I'[~. x] mit u e X =~ W. Die Gruppe Aid ist dann also zweidlmensional mad effektiv auf einer durch v gehenden Geraden K ~ W. Daher hat A[~] einen auf K - - (v} frei operierenden eindimen- siona]en Normalteiler T ~ I'[~,w] und I'[~,w] ist wieder transitiv. Ebenso folgt die Transitivit~it yon I'[,.w]. Damit ist gezeigt, dab P eine Translationsebene ist, und w 12 aus S ~ z ~ A ~ [57] liefert

Satz 3.1. I ~ t die aboeachlossene, dreidimeneional~, zusaramenl~ngende Gruppe A vo~ Kollineationen der ebene~ Ebene P genau die beiden Punlde u, v und ihre Verbindungsgerade W lest, so ist P desarguessch und A entI~lt die volle Translationsgruppe rtw, w] als Normalteiler.

Bemerkung 3.2. Unter den Voraussetzungen yon Satz 3.1 ist h e i n e Erweiterung des direkten Produktes der beiden Normalteilvr I'[~.w] und F[~,w] mit einer Einparametergruppe. Daher l~iflt sich A in folgender Form darstellen:

A-~ a ~ ; t , x , y ~ R mit a , b > 0 , a ~ l oder b=4=l. b ~

Umgekehrt effiillt jede solche Matrizengruppe mit a . b die fiber A gemachten Voraussetzungen. Fiir verschiedene Werte yon In a : I n b erh~ilt man nicht isomorphe Gruppen, da ihre Lie-Algebren verschieden sind (siehe etwa JXCOBSO~ [62], p. 13). Es gibt also eine kontinuierliche Schar nicht isomorpher Gruppen, die in der in Satz 3.1 beschriebenen Weise auf der desarguesschen Ebene operieren kSnnen. Vgl. demgegen- fiber Bemerkung 2.10.

w 4. Gruppen mit nicht inzidentem Fixelementpaar

Hat die abgeschlosseno, dreidimensionale, zusammenh/ingendo Gruppe A yon Kollineationen der ebenen Ebene P genau eine Fixgerade W und genau einen Fixpunkt o ~ W, so operiert A nach Hilfssatz 1 transitiv auf W.


Da Atw ] in d e r eindimensionalen Streckungsgruppe I-to, w ] liegt, ist die yon A auf W bewirkte Transformationsgruppe A/Atw] mindestens zweidimensional. Nach dem Satz yon BROUWE~ ist dann A/Atw] isomorph zu einer Faktorgruppe yon ~ nach einem von 1 verschiedenen diskreten, zentralen Normaltefler, Atw ] ist also nulldimensional und diskret und A ist lokal isomorph zu 2, also selbst zu einer Faktorgruppe yon 1~ isomorph. Der Normalteiler At~ ] 1st dann in dem zykliachen Zentrum Z yon A enthalten, weft A/Z ~-~ fl einfach ist.

Da die Standuntergruppe eines Pnnktes v e W nieht zusammenh//ngend zu sein braucht, betrachten wir ihre Zusammenhangskomponente I ----- A~. Sie ist eine zweidimensionale, nicht kommutative Liegruppe, also isomorph zu L2; denn fl enthglt keine kommutativen zweidimensionalen Untergruppen. Wegen Z ( I ) = 1 ist I (~ Atw] = 1 und X effektiv auf W. Liel3e X noch einen weiteren Punkt u yon W lest, so miiBte I nach I, Hilfssatz 1.11 kommutat iv sein. Daher operiert I wegen Hilfssatz 1 transitiv auf W - {v}. Der eindimensionale Normalteiler I ' yon X ist dann schaff transitiv auf W - {v} und seine Komplemente in I sind genau die Standuntergruppen I~ mit v ~ u e W (vgl. I, Hilfssatz 1.10). Weft I zusammenhgngend ist, operiert X auf jeder der beiden zusammen- h/~ngenden Komponenten K• yon o v - {o, v}, ebenso auf jeder der beiden zusammenhiingenden Komponenten ~ , in die alas Biiscbel der Geraden mit dem Tr~ger v dutch W und ov zerlegt wird. Operivrt X auf einer dieser vier Mengen effektiv, so kann man aus Duatitgtsgr~inden annehmen, daft X effektiv auf K+ ist. Die S~anduntergruppe Z~ mull dann wegen I, Hilfssatz t. 10 einen Punkt p e K+ lest lassen, kann also keine Fixgerade in ~ haben. Aus I, Hilfssatz 1.10 folgt weiter, daft X weder auf ~+ noch auf ~t_ effektiv sein kann. Daher liegt der eindeutig bestimmte eindimensionale Normalteiler I ' yon I in At, ]. Nach I=Iilfs- satz 3 gibt es eine Gerade L mit I ' ~ V[~. L]. Da X' den Punkt o fest lgBt und auf W - (v} scharf transitiv ist, folgt L ---- ov und I i s t doch nicht effektiv auf K+. Die Gruppe I i s t also auf keiner der Mengen K~ und ~ effektiv und I ' induziert auf jeder dieser Mengen die Identlt~t, d .h . X' ~ F[~. o~]. Wegen Hilf~atz 3 ist dann sogar I ' = F[~, o~1 eine transitive Translationsgruppe. Damit haben wit bewiesen:

8atz 4.1. IA~t die a~geschlossem, dreidimensionale, zusammenh~n~ende Gru~rpe A yon Kollineationen der ebenen Ebene P genau die Gerade W und den P u n ~ o r W/est , so Bind alle Tran~lationsgrul~pen i-[~. o~l mit v e W tran,itiv und in A entha~en.

Eine projektive Ebene hat den L~Nz-Typ (III), wenn es eine Gerade W und einen l~mkt o r W gibt so dal3 genau die Translationsgruppen FE~, o~1 mit v e W transitiv sind, und sie hat den B~aLOTTI-Typ (III2) ~ 78os Hbg. ~ t ~ Ahb., ~d. XXV~

162 Helmut Sal~.mann

oder (III1), je nachdem, ob auBerdem die Streckungsgruppe transitiv ist oder nicht. Damit lgBt sich der letzte Satz etwas schiixfer formulieren:

Satz 4.1". Eine ebene Ebene P hat dann und nut dann den Lenz-Typ ( I I I ) , wenn sic nioht desargueasch iat und ea eine abgesohloasene, drei- dimenaionale GrupTe A yon KoUine~ionen gibt, die ein nicht inzidentea Punk't-Geraden-Paar ale einzige Fixelemente hat.

Beweis . Hat P den Lenz-Typ (III), so bleiben die Tr/~gergerade W der Zentren aller Translationen trod der Schnittpunkt o der Achsen yon Translationen unter allen Kollineationen fest. Die volle Kollineations- gruppe r yon P ist also hSchstens vierdimensional. Die von den Trans- lationen erzeugte kleine projektive Gruppe A ist nach Voraussetzung zweifach transitiv auf W, ihre AbschlieBung • in r bewirkt also auf W eine lokal kompakte, zweifach transitive Transformationsgruppe. Nach dem Satz yon BROUWER ist nun dim A ~ 3. Ist dim r ___ 4, so ist P nach dem Hauptsatz aus I eine Moulton-Ebene, und ihre kleine pro- ]ektive Gruppe ist dreidimensional. Ist aber dim r = 3, so e ~ n f ~ d i m A = 3.

Umgekehrt folgt aus der Existenz der dreidimensionalen Gruppe nach Satz 4.1 die Transitivit/~t der Translationsgruppen r[~.o,] mit v e W. G/ibe es noch eine weitere Translation, so h/itte P sogar den Lenz-Typ (VII) mad w/ire desarguessch (vgl. PmX~.RT [55], p. 70). !

Lemma 4.2. Unter den Vorau~setzungen yon Satz 4.1 ist die (Trupl~e A lahnentranaitlv au] der Inzidenzatrulr.tur F, die aua P durch Weglaasen der Elemente o und W und aUer mit ihnen inzidenten Elemvnte entste.ht. Zwei solche Ebenen Px und P , sind dann und nur dann iaomarph, wenn ihre Unterstru~uren Fx und F2 isomorph sind. Ist (p, L) eine Fahne au~ F und ist fl = A,, A = AL, so bilden die Nebenklassen yon fl als Punkte und die Nebenklassen yon A als (Teraden eine zu F isomorphe Inzldenz- stru]ctur, wenn man zwei Neben]claasen genau dann inzident nennt, wenn sie nicht leeren Durohschnitt haben.

Beweis . Ist L eine Gorade aus F u n d v = L (~ W, so ist die Trans- lationsgruppe I'[, ' ~] naeh Satz 4.1 tranaitiv auf L - - {v}. Daher ist die Menge der Produkto je zweier Tranalationen aus A traxmitiv auf den l~mkten arm F mad dual auoh auf den Geraden yon F. Damit ist die Fahnentransitivit/it bewie~en.

Zwei pnnkte yon F sind genau dazm in F nieht dutch eine Gera~le ver- bunden, wenn aie in P a u f einer Geraden dutch o liegen. Dutch ttinzu- f'figen der maximalen Mengen pa~rweise unverbundener pnnkt~ als neuen Geraden und eines gemeinsamen pnnktes o dieser Gera~len kann

Zur Klassifikation topologischor Ebonen 163

man daher F eindeutig zu einer affinen Ebene erweitern, die sich dann in iiblicher Weise eindeutig projektiv abschlieBen l~Bt. FOr das Weitere vgl. HIGMAN-I~CLAUGHI~N [61]. I

Nach dem am Anfang yon w 4 Hergeleiteten gib~ es nun f'tir die zu II lokalisomorphe Gruppe A zwei MSglichkeiten:

(I) A ist nicht einfach zusammenh~ngend. Dann ist Z ~ Z(A) eine endliche zyldische Gruppe, die A[w] enth~lt. Da in der angeordneten Ebene P jede nicht involu~rische Streckung unendliehe Ordnung hat und A[w] in rio ,w] liegt, folgt [A[w][ ~ 2. Da andererseits die endlieh- bl~ttrige ~berlagerungsgruppe A yon 12 als maximale kompakte Unter- gruppen eindimensionale Torusuntergruppen enth~lt, gibt es in A eine Spiegelung a mit der Achse W und dem Zentrum o (siehe SALZMX~N [62b], Lemma 6). Daher ist [A[w][ = 2. W~re A[w] < Z, so g~be es in der zyklisehen Gruppe Z ein Element ~ mit r = a. Ist dann p ein Punkt mit o =~ p ~ W, so bflden die vier Punkte pC (i = 0, 1, 2, 3) ein Vier- eck; denn die Gerade L -~ op wird durch das Zentrum o und die Aehse W der Spiegelung a in zwei zusammenh~ngende Komponenten zerlegt, die yon a ~ r vertauscht werden, also yon ~ weder festgelassen, noch vertauscht werden kSnnen, woraus L ~ ~= L folgt. Die miudestens ein- climensionale Standuntergruppe A, = A t ~ A~ miiBte dann alle Ecken des Viereeks pc' (i = 0 . . . . . 3) lest lassen, was nnmSglich ist. Dieser Widerspruch beweist A[w] = Z. Daher ist A eine zweibl~ttrige ~berlagerungsgruppe yon 12, also ist A isomorph zur Gruppe SL2 der fl~chen- treuen Affinita'ten der desarguesschen Ebene, die einen Punkt fest lassen. In dieser Gmppe sind die maximalen zweidimensionalen Untergruppen direktes Produkt ihrer Zusammenhangskomponente mit dem Zentrum der Gruppe, und die innere Automorphismengruppe ist zweifach transitiv auf der Menge solcher Untergruppen. Ist (p, L) eine Fahne der in Lemma 4.2 beschriebenen Inzidenzstruktur F, und ist v = op (~ W, u = L ~ W, so gilt

r[~, o~] "~ A~ ~ A~ = A~ X Z.

Da A, transitiv auf op - - {o, v} operiert, ist A~ = r[~. o~] der eindeutig bestimmte zusammenh~ngende eindimensionale Normalteiler yon A~. Dual dazu ist ALder zusammenh~ngende eindimensionale Normalteiler yon Au =~ A~. Nach der oben gemachten Bemerkung transformiert aber A die Paare verschiedener zusammenh~ngender eindimensionaler Normal- teiler zweidimensionaler Untergruppen transitiv unter sich. Vergleich mit der desarguesschen Ebene D zeigt daher nach Lemma 4.2, daft P isomorph zu D ist, d .h .

Sa~ 4. 3. Ge#en die Voraussetzungen yon Satz 4.1 und ist A nicht einfach zusammenh4ngend, so ist P desargueesch und A ~-- SL2. 11"

164 Helmut Salzmann

(II) A ist einfach zusammenh~ngend. Dann ist A ~ D und Z ---- Z (A) eine unendliche zybli~che Gruppe, die AEw ] enth~lt. WKre A[w] < Z, so g/~be es ~ e Z und v e W mit v c . v. Im Widersprueh zu I, Hilfssatz 1.11 mtiBte dann die zweidimensionale nicht kommutat ive Gruppe A~ das Dreieck o, v, v c fest lassen. Daher ist AEw I ---- Z.

Auch in der Gruppe ~ sind die maTimaJen zweidimensionalen Unter- gruppen direktes Produkt ihrer Zusammenhangskomponente mit dem Zentrum yon ~, und D transformiert die Menge dieser Untergruppen zweifaeh transitiv unter sich. Is t wieder (p, L) wie in Lemma 4.2 eine Fahne aus F, und ist

v = o p n W , u = L A W und M----A~,~,

so gilt wie oben

a', = rE,. ~ ~ a , ~ a , = (a', x ) x z .

Die Gruppe M operiert scharf transitiv auf jeder der beiden zusammen- hKngenden Komponenten K~ yon o v - - { o , v}. Wegen der Fahnen- transitivitKt yon A auf F i s t A, transitiv auf K+ u K_. Daher vertauscht das erzeugende Element ~ yon Z die Komponenten K+ und K_, und es gibt ein eindeutig bestimmtes Element /~ e M mit / ~ l ~ A~. Wegen u~ = u ist dann aueh / ~ e AL. Weft die kommutat ive Gruppe M • Z auf K+ U K_ transitiv ist, f o l g t / ~ e F[,, o~]. Nun ist

t 2 P 2 A, = a , {~ C }. a,. = a. {~ ~ } und {~} = A, n aL.

Is t (q, M) eine Fahne aus F m i t q ~ ou und v e M, so gibt es wegen der Fahnentransitivit~it yon A ein Element Q e A mit pq = q und L q = M. Die Abbildung ~ vertauscht u und v und transformiert daher M in sich. In der Faktorgruppe M Z/Z induziert e den involutorischen Automorphis- mus, wie man durch Nachrechnen in der Gruppe PSLa(R) ,mmittelbar besC~tigt. Deshalb ist #~ Z =/~-~Z u n d / ~ = #-~, also

Ist das Paar (A,, A~) maximaler zweidimensionaler Untergruppen von A gegeben, so ist/~ eindeutig durch den in A~ bewirkten Automorphismus m bestimmt. Erzeugt u eine Untergruppe yore Index 2 in Z und setzt man

n = ~ 4 { ~ } , h = ~ . ~ } ,

so erh~lt man nach Lemma 4.2 eine zu P isomorphe oder duale Ebene, je naehdem, ob u ---- ~ ist, und P is~ durch Angabe yon m bis auf Iso- morphie oder Dualit~t festgelegt. Wit wollen zeigen, daft P zu der Moul- ton-Ebene P~ mit dem Knickungsfaktor ]r mit 1~ = m ~z isomorph ist.


Da nach dem Hauptsatz aus I die kleine projektive Gruppe einer echten Moulton-Ebene zu ~ isomorph ist, gelten alle obigen ~ r l e g u n g e n insbesondere ftir P~.

Vertauscht man gegeniiber dem Bisherigen die Rollen yon o und u und ffihrt dann in P~ wie in I Koordinaten beziiglioh des Dreiecks o, u, vein , so erhalten die Geraden die Gleichungen

mit

y = a o x + b bzw. x = c

a o x = a k - l x ffir a , x < 0 und a o x = a x sonst.

Insbesondere ist (--k) o (--k) =/r Ein erzeugendes Element yon Z hat nach I, Beweis des Hauptsatzes, die Form

: y) - , ( ( - - k ) o x, v ) .

Es gibt nun genau eine Kollineation p, die den Bedingungen

C" e rio,..] l ind pC-2 e r [ . , . ]

gentigt, niimlich

p : (x, y) -+ (k o x, k ' o y ) ,

und naeh dem Vorausgehenden muff p zur kleinen projektiven Gruppe yon P~ gehSren. In I'[,. ~,1 induziert p den Automorphiamus k s, also muB k ~-- m gelten. Ersetzt man in den definierenden Bedingungen ftir p das Element ~2 durch sein Inverses, so erh/ilt man start dessen k -s ---- m. Damit kommen in den kleinen projektiven Gruppen den Moulton- Ebenen alle mSglichen Paaxe yon Standuntergruppen vor und naeh ~emma 4.2 folgt

Satz 4. 4. Gelten die Voraussetzungen you Satz 4.1 und i~t A ein/ach zu~ammenhan~end, so ist P eine echte Moulton-Ebene und A ihre kleine projelaive G r u t ~ .

Da nach I, Satz 2.7, die Moulton-Ebenen P~ und P~-I isomorph sind, folgt aus dem Beweis noch

Zusatz 4. 5. Jede Maulton-Ebene ist zu sich 8elbst dual.

Nach SPE~IC~.I~-YXQVB [60/61] hat jede echte Moulton-Ebene den Barlotti-Typ (III2). Daraus ergibt sich zusammen mit Satz 4. 1' und Satz 4.4 die folgende Ergiinzung des Hauptsatzes aus I:

Satz 4. 6. Eine ebene Ebene ist genau dann eine evhte Moulton-Eber, e, wenn ~ie den Lenz-Typ ( I l l ) hat.

166 Helmut Salzmann, Zur Klassifikation ~opologischer Ebenen

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Eingegangen am 29. 3. 1963

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Zur Klassifikation topologischer Ebenen. II