Zur Komposition von Raumfachwerken von Föppl bis Mengeringhausen

603

Fachthemen

© Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · Stahlbau 73 (2004), Heft 8

„Architektur ist gefrorene Musik“. Trifft dieses einschlägig oft zitierte Wort des PhilosophenArthur Schopenhauer (1788–1860) auch für Bauwerke des Konstruktiven Ingenieurs zu,dann kann sein Tragwerksentwurf als strukturale Komposition begriffen werden. Dieswird im folgenden begrifflich präzisiert und am Beispiel der historischen Entwicklung derRaumfachwerke aufgezeigt.

The composition of spatial frameworks – synopsis of the development from Föppl toMengeringhausen. „Architecture is frozen music“. This phrase coined by the philosopherArthur Schopenhauer (1788–1860) is often quoted in the relevant literature. If it alsoapplies to structural engineering objects, the design work of structural engineers can be regarded as structural composition. This article elaborates this proposition andillustrates it using the example of the historic development of spatial frameworks.

trie zum Ausdruck kommen – zumwahren Wissen schreitend. Selbst dievom Computer gezeichneten recht-winkligen Dreiecke (Bild 1a), aus de-nen Platon in „Timaios“ die nach ihmbenannten regulären Vielflächner zu-sammensetzte [3, S. 55–57], wärenihm nur unvollkommene Abbildereiner ewigen, in sich ruhenden Idee,bei der nur die geometrischen Sätzedes Dreiecks Anspruch auf Realitätbesäßen. Interessant ist hier Platonsimplizites mathematisches Baugesetz.Da jedes Dreieck aus rechtwinkligenDreiecken besteht, wählt er aus jenerMenge zwei Dreiecke aus: „Von denbeiden Dreiecken hat nun das gleich-schenklige nur eine Art (Bild 1a/rechts), das ungleichschenklige aberunzählige. Von diesen zahllosen müs-sen wir nun ferner das schönste aus-wählen (...). Wir nehmen (...) von denvielen Dreiecken eins als das schönstean, aus welchen drittens das gleich-seitige entstand (...) (Bild 1a/links)[3, S. 55–56]. Platon konstruierte aus dem „schönsten“, dem ungleich-schenkligen rechtwinkligen Dreieck(Bild 1a/links)– das Tetraeder, bestehend aus 24Grunddreiecken, das Element Feuerdefinierend– das Oktaeder, bestehend aus 48Grunddreiecken, das Element Luftdefinierend– und das Ikosaeder, bestehend aus120 Grunddreiecken, das ElementWasser definierend.

Das für das Element Erde ste-hende Hexaeder bildete Platon aus24 gleichschenklig rechtwinkligenDreiecken (Bild 1a/rechts). BeimDodekaeder als dem fünften Rad amWagen der Elemente (Bild 1b) fandPlaton keine Zusammenfügung ausGrunddreiecken: „so benutzte Gott

Karl-Eugen Kurrer

Zur Komposition von Raumfachwerkenvon Föppl bis MengeringhausenHerrn Dr.-Ing. Herbert Klimke zur Vollendung seines 65. Lebensjahres gewidmet

1 Die fünf platonischen Körper

Existierte das mathematische Gesetzhistorisch vor uns und außer uns, wirdes uns überleben, oder ist es bloßesMenschenwerk wie Technik, Kunstund Wissenschaft?

Platon (427–348 v. u. Z.) teilte dasmenschliche Erkenntnisvermögen inSinnlichkeit, Verstand und Vernunftein. Empfindungen, Wahrnehmungenund Vorstellungen jedoch überschrei-ten nicht den Bezirk des subjektivenMeinens, können nie und nimmerWissen erzeugen. Nach Platon gelan-gen wir nur über die die Erkenntnisverdunkelnde Sinnlichkeit zu denäußeren Gegenständen. Das Lichtdes mathematischen Gesetzes scheintuns nicht in den äußeren Gegenstän-den, sondern in uns selbst auf – ist esdoch schon in der unsterblichen undoft wiedererstandenen Seele, die alleDinge auf Erden und im Hades ge-schaut hat, enthalten. So ist nach Pla-ton „das Suchen und Lernen (...)durchweg Wiedererinnerung“ (zit. n.[1, S. 220]).

Gegenstand des mathematischenVerstandes sind die von Sinnlichkeitgereinigten Zahlen und Zahlenver-hältnisse, wie sie etwa in der Geome-

Bild 1. Implizites mathematisches Bau-gesetz Platons; a) Grunddreiecke, b) diefünf platonischen Körper (n. [2, S. 49])Fig. 1. Plato’s implicit mathematicalconstruction law; a) Base triangles, b)the five Platonic bodies (after [2, p. 49])

a)

b)

Platonische Körper

Tetraeder

Oktaeder

Dodekaeder

Ikosaeder

Hexaeder

diese für das Weltganze“ [3, S. 57]. Schon bei Platons Erklärung des

Übergangs der vier Elemente ineinan-der verblaßt die Aussagekraft seinerPolyeder-Idee und verliert sich alsbaldim Dunkel seiner Naturbeschreibungim „Timaios“. Nur seine Polyeder-Ideesollte sich erhalten, wie ein Blick aufJohannes Keplers (1571–1630) Dar-stellung der Weltordnung im 1596 er-schienenen „Mysterium Cosmogra-phicum“ zeigt. Dort deutete Keplerdie Abstandsverhältnisse der Planetenvon der Sonne durch ineinander ge-schachtelte platonische Körper (vgl.[4, S. 240]). 1758 sollte Leonhard Eu-lers (1707–1783) Polyedersatz

e + f = k + 2 (1)

mit e Anzahl der Ecken, f Anzahl derFlächen und k Anzahl der Kantenden aparten Dodekaeder Platons ausden himmlischen Sphären an dasProkrustesbett des mathematischenGesetzes binden. Der sich mit Gottes-beweisen abmühende gottgläubigeEuler vertrieb Gott aus dem Paradiesder platonischen Körper.

2 Anmut und Gesetz

Platon verwies in seinem Werk der„Der Staat“ („Politeia“) die Kunsthinter die Wissenschaft und maß er-stere an der Schönheit, welche dasGute und dem Staat Nützliche ist,nicht aber an der Geschicklichkeitder Künstler oder Nachahmung desExistierenden. Dagegen bricht seingroßer Schüler und spätere LehrerAlexander des Großen, Aristoteles(384–322 v. u. Z.), eine Lanze für dieKunst, ist doch „techné“ der Inbegriffaller menschlichen Fähigkeiten, etwaszu bewirken: durch Arbeit, Kunst-fertigkeit und Geschicklichkeit (vgl.[5, S. 919–920]). Damit rückte Aristo-teles die Tätigkeit in Technik, Kunstund Wissenschaft erstmals in dieMitte des Philosophierens. Da dieZeichnung die Sprache des Ingenieursist, soll hier das Tetraeder Platons zurVeranschaulichung wichtiger Begriffegenutzt werden. Bild 2a zeigt das Te-traeder der vier Reiche Natur, Tech-nik, Kunst und Wissenschaft in ihremZusammenspiel:– Technik und Kunst verbinden sichdurch Gestaltung;– Technik und Wissenschaft verbin-den sich durch Modellierung;

604

K.-E. Kurrer · Zur Komposition von Raumfachwerken von Föppl bis Mengeringhausen

Stahlbau 73 (2004), Heft 8

– Kunst ahmt die Natur nach;– Wissenschaft begreift Kunst und – erkennt die Natur. Natur, Wissenschaft und Kunst bildendas Grunddreieck, die Basis der mo-dernen Technik.

Freilich sind in der Praxis dieKräfte zwischen den vier Reichen un-terschiedlich groß, so daß die Kan-tenlängen unterschiedlich ausfallenund das Tetraeder affin zu einem irre-gulären Vierflächner verzerrt wird.

Ähnliches läßt sich vom Tetra-eder der Baukunst sagen, welches dasGleichgewicht zwischen Festigkeit,Anmut, Zweckmäßigkeit und Bau-kunst illustriert (Bild 2b):– Baukunst bringt im Entwurf An-mut zur Geltung;– Baukunst realisiert die Zweck-mäßigkeit über Funktion;– Baukunst erreicht Festigkeit durchKonstruktion.

Wohingegen– Anmut über die Kunstform mit derZweckmäßigkeit,– diese über die Statik mit der Festig-keit und – jene über die Naturform mit derAnmut

verbunden ist. Auch hier gilt, daß dassymbolisch belegte Tetraeder Platonsdie Praxis nur idealtypisch widerspie-gelt.

In der Bauästhetik seiner „ZehnBücher über Architektur“ geht Vitruvauf Platons Kunsttheorie zurück, dasMenschliche als Signum des Göttli-chen begreifend. Seine Bauästhetikist Maßästhetik, welche die ewigeOrdnung widerspiegelt [6, S. 37–43].

Nach Vitruv zerfällt die Bau-kunst in die Ausführung von Bauten,Uhren- und Maschinenbau. Die Aus-führung von Bauten wiederum be-steht im Bau öffentlicher Gebäudeund Anlagen sowie Privatgebäuden.Öffentliche Gebäude dienen der Ver-teidigung, Gottesverehrung und demallgemeinen Nutzen. „Diese Anlagenmüssen so gebaut werden, daß aufFestigkeit, Zweckmäßigkeit und An-mut Rücksicht genommen wird. AufFestigkeit wird Rücksicht genommensein, wenn die Einsenkung der Fun-damente bis zum festen Untergrundreicht und die Baustoffe, welcher Artsie auch sind, sorgfältig ohne Knause-rei ausgesucht werden; auf Zweck-mäßigkeit, wenn die Anordnung derRäume fehlerfrei ist und ohne Behin-derung für die Benutzung und dieLage eines jeden Raumes nach seinerArt den Himmelsrichtungen ange-paßt und zweckmäßig ist; auf Anmutaber, wenn das Bauwerk ein angeneh-mes und gefälliges Aussehen hat unddie Symmetrie der Glieder die richti-gen Berechnungen der Symmetrienhat“ [6, S. 45].

Seine Maßästhetik wurde mitder Entdeckung der Persönlichkeit inder Renaissance von Leon BattistaAlberti (1404–1472) u. a. säkularisiert:Der Architekt verwirklicht nicht mehrdie göttliche Ordnung, sondern plantkraft empirischen und theoretischenWissens Bauwerke, die erfolgreichund würdig menschliche Bedürfnissebefriedigen. Charakteristisch hierfürsind die in geometrischen Propor-tionsregeln gefaßten Erfahrungen derBaubeflissenen bei der Abstimmungder Dimensionen der Bauglieder mitder gesamten strukturalen Erschei-nung des Bauwerks, wie beispiels-weise Albertis geometrische Propor-tionsregel für Gewölbebrücken (vgl.[7, S. 129]). Daraus sollte sich spätereine auf Geometrie fußende Kon-struktionslehre in Gestalt der geo-metrischen Kompositionslehre ent-wickeln, deren Legitimation von der

Bild 2. a) Das Tetraeder der vier Rei-che und b) das Tetraeder der BaukunstFig. 2. a) The tetrahedron of the fourempires and b) the tetrahedron of archi-tecture

605Stahlbau 73 (2004), Heft 8

im 19. Jahrhundert entstandenen Bau-statik erfolgreich bestritten wurde.

Seit der Renaissance wurde dieWelt eine sinnliche Welt und derKünstler, Architekt und Ingenieur ihrtätiger Hervorbringer, mithin Subjektseiner Profession. Nach Jacob undWilhelm Grimms Wörterbuch ist seitEnde des 17. Jahrhunderts auch inder deutschen Sprache Anmut „nichtmehr das begehrende, sondern dasbegier anregende und befriedigende,die grazie: anmut des lebens (...); daswas wir sinnliche schönheit (...) nen-nen“ [8, Sp. 409–410]. Mit der Erin-nerung an den Wechsel vom sprach-historisch älteren männlichen zumsprachhistorisch jüngeren weiblichenSubstantiv „Anmut“ sei zum Gesetzin der Baukunst übergeleitet.

Im philosophischen Sinn drücktdas Gesetz die Notwendigkeit des Ge-schehensablaufes aus. Naturgesetzebeispielsweise sind objektive gesetz-mäßige Zusammenhänge, mit denendie Unausweichlichkeit von Ereignis-sen und die Wiederholbarkeit vonProzessen erfaßt wird, wohingegenGesetzesaussagen wissenschaftlicheEinsichten in die gesetzmäßigen Zu-sammenhänge formulieren. Zu letzte-ren gehören beispielsweise das stati-sche Gesetz des Gleichgewichts derKräfte im Raum, die Bildungsgesetzeder Fachwerktheorie und die Bauge-setze für Raumfachwerke.

Statisches Gesetz, Bildungsgesetzund Baugesetz stehen in einem objek-tiven Zusammenhang (s. Bild 2b):– Das statische Gesetz wird von denPunkten Baukunst, Zweckmäßigkeitund Festigkeit sowie den KantenFunktion, Statik und Konstruktioneingeschlossen.– Das Bildungsgesetz wird von denPunkten Baukunst, Festigkeit undAnmut sowie den Kanten Konstruk-tion, Naturform und Entwurf einge-schlossen.– Das Baugesetz wird von den Punk-ten Baukunst, Anmut und Zweck-mäßigkeit sowie den Kanten Ent-wurf, Kunstform und Funktion einge-schlossen.

Festigkeit, Statik, Zweckmäßig-keit, Kunstform, Anmut und Natur-form bilden das Grunddreieck, dieBasis der Baukunst.

Über die Konstruktion wechsel-wirkt das statische Gesetz mit demBildungsgesetz, die Funktion ver-knüpft das statische Gesetz mit dem

Baugesetz, und letzteres hängt überden Entwurf mit dem Bildungsgesetzzusammen. So bilden das statischeGesetz, das Bildungsgesetz und Bau-gesetz auch bei Raumfachwerken einehöhere Einheit in Gestalt des Kom-positionsgesetzes von Raumfachwer-ken wie es Max Mengeringhausen(1903–1988) erkannte und bauprak-tisch umsetzte.

2.1 Baugesetz

Schon bei Platon findet sich ein im-plizites mathematisches Baugesetz,setzt er doch das Tetraeder, Hexaeder,Oktaeder und Ikosaeder aus zweiGrunddreiecken zusammen (s. Bild 1).Ausgehend von den genannten Poly-edern formulierte Mengeringhausen1940 acht Baugesetze für Raumfach-werke. Sein erstes Baugesetz erinnertmethodisch an Platon und lautet:„Raum-Tragwerke (räumliche Fach-werke) werden am vollkommenstenaus gleichseitigen und (oder) gleich-

schenklig rechtwinkligen Dreieckenso zusammengesetzt, daß regelmäßigeVielflache (Polyeder) in Form vonTetraedern, Würfeln, Oktaedern undOktaeder- bzw. Würfelstumpfen oderderen Teile entstehen“ [9, S. 114].

Bild 3a veranschaulicht das ersteBaugesetz von Mengeringhausen. Daselementare Tetraeder der Kanten-länge 1/m (Bild 3a/links) kann derartzu einer Raumpackung gestapelt wer-den, daß ein tetraederförmig begrenz-ter Raum entsteht, der vollständigausgefüllt ist (Bild 3a/rechts). Mathe-matisch ist dieser auf 1 normierteRaum durch vier in Geraden undPunkten sich schneidenden Scharenvon ebenen Koordinatenflächen ge-kennzeichnet, so daß jeder Punktdurch vier Koordinatenzahlen festge-legt wird, deren Summe immer 1 erge-ben muß. Werden die Geraden zuStäben und die Punkte zu Knotenmaterialisiert, entsteht ein Raumfach-werk. Ein solches Raumfachwerk ent-stand 1971 als Pavillon der Firma Sie-


Bild 3. Elemente des Kompositionsgesetzes am Beispiel des Tetraederfachwerks;a) erstes Baugesetz von Mengeringhausen, b) statisches Gesetz des Gleichge-wichts und c) erstes Bildungsgesetz für RaumfachwerkeFig. 3. Elements of the law of composition, illustrated using the example of thetetrahedron framework; a) Mengeringhausen’s first construction law, b) structurallaw of equilibrium, and c) first formation law for spatial frameworks

mens auf der Deutschen Industrie-Ausstellung in Sao Paulo, Brasilien(Bild 4) mit dem Unterschied, daßdas durch Mengeringhausens erstesBaugesetz entstandene Raumfach-werk nach Bild 3a/rechts innen aus-gespart bleibt und so drei zweilagigeTetraederfachwerke entstehen.

2.2 Statisches Gesetz

Das statische Gesetz für Raumfach-werke kommt in elementarster Formals freies Gleichgewichtssystem amgeschlossenen Tetraederfachwerk zurGeltung, welches in den vier Symme-trieachsen durch Zugkräfte F bean-sprucht wird und mit sechs innerenZugkräften S in den Stäben „antwor-tet“ (Bild 3b).

2.3 Bildungsgesetz

Ein solches Gleichgewichtssystemwird sich in zusammengesetztenRaumfachwerken wie jenem in SaoPaulo (s. Bild 4) praktisch nie einstel-len. Dies lehrt schon ein rascherBlick auf das einfachste Bildungsge-setz von Raumfachwerken (Bild 3c).Es besagt, daß ausgehend von denstabil gelagerten Kugelgelenken desGrunddreiecks ABD mit drei Stäbendas Gelenk G stabil angeschlossenwerden kann, sofern G nicht in diedurch das Grunddreieck ABD aufge-spannte Ebene fällt; dasselbe Verfah-ren kann auf die Grunddreiecke BEC

606



und DEF angewandt werden. Ent-standen sind drei unabhängige stabileTetraederfachwerke mit den SpitzenG, H und K. Werden nun zwischenden Hochpunkten G zusätzliche Ver-bindungen eingeführt, so entsteht einOktaeder, das den Raum zwischenden drei Tetraedern ausfüllt: Das soaus drei Tetraedern entstandene ge-samte Raumfachwerk ist dreifach sta-tisch unbestimmt und kann nurdurch Lösung der Elastizitätsglei-chungen berechnet werden. DiesesSpiel mit dem Bildungsgesetz kannweiter betrieben werden bis einRaumfachwerk nach Bild 4 entsteht.Am Ende ergeben sich n überzähligeStäbe, welche die Lösung von n Elasti-zitätsgleichungen mit n unbekanntenStabkräften erfordern. Da n hoff-nungslos groß sein wird, ist die Be-rechnung der n statisch unbestimm-ten Stabkräfte mit den händischenMitteln der klassischen Baustatikpraktisch unmöglich. Damit ist dieungleichzeitige Entwicklung vonTheorie und Realisation hochgradigstatisch unbestimmter Raumfach-werke evident.

Anmut und Gesetz beim Bauvon Raumfachwerken drücken sichim Kompositionsgesetz aus, das ausdem Bildungs- und Baugesetz sowiedem statischen Gesetz gefügt ist. Wieaber entwickelten sich die Erkenntnisdes statischen Gesetzes und Bildungs-gesetzes von Raumfachwerken histo-risch und logisch?

3 Die Entstehung der Theorie desRaumfachwerks

Die Entwicklung der sich seit 1850herausbildenden Fachwerktheorie be-schränkte sich bis in das letzte Dezen-nium des 19. Jahrhunderts auf ebeneSysteme; in diesem Jahrzehnt nahmauch die klassische Baustatik als insich geschlossene Theorie statisch be-stimmter und unbestimmter ebenerelastischer Stabwerke entgültig Ge-stalt an. Räumliche Tragsysteme vonBauwerken wie etwa Industriehallen,Bahnhöfe und Brücken besaßen eineorthogonale Struktur, so daß eineZerlegung in ebene Systeme i. d. R.ausreichte. Hinzu kam, daß das räum-liche Ingenieurdenken seit Beginn des19. Jahrhunderts durch das die Dar-stellende Geometrie beherrschendeVerfahren der orthogonalen Projek-tion in Form der technischen Zeich-nung geschult war.

Auch bei Kuppelbauten fand dieräumliche Lastabtragung zunächstkeine Berücksichtigung, da die radialangeordneten Binder mit Hilfe derebenen Statik analysiert wurden.Eine solche Kuppel über dem Gas-behälter der Imperial-Continental-Gas-Association in Berlin (HellwegNr. 8) stürzte 1860 während der Mon-tage ein. Der damit befaßte IngenieurJohann Wilhelm Schwedler (1823–1894) verbesserte die ein Jahr späterwiedererrichtete Kuppelkonstruktion,beschritt aber den konventionellenWeg. Für denselben Auftraggeber voll-zog er 1863 mit der Kuppel über demGasbehälter in der Holzmarktstraße28, Berlin, als erster Ingenieur denÜbergang zur räumlich wirkendenKuppel, die als Schwedler-Kuppel indie Fachliteratur eingehen sollte. DreiJahre später berichtete er in der „Zeit-schrift für Bauwesen“ über fünfweitere Schwedler-Kuppeln und ent-wickelte nicht nur ihre Theorie, son-dern gab ein vereinfachtes baustati-sches Rechenverfahren an [11]: „Beider bisherigen Theorie der Kuppelge-wölbe und Kuppelconstructionenwurde stets nur auf radiale Wider-stände gerücksichtigt (…). Man wirdauf die richtige Anschauung für dasGleichgewicht der Kuppeln kommen,wenn man, anstatt von der Betrach-tung eines elastischen Stabes auszu-gehen, die Betrachtung einer elasti-schen dünnen Platte doppelter Krüm-mung zu Grunde legt“ [11, Sp. 8].Schwedler entwickelte die Membran-

Bild 4. Ausstellungs-Pavillon in Tetraeder-Form der Fa. Siemens auf der Deut-schen Industrie-Ausstellung Sao Paulo 1971 [10, S. 37]Fig. 4. Siemens exhibition pavilion in the shape of a tetrahedron at the GermanIndustry Exhibition at Sao Paulo in 1971 [10, p. 37]


theorie für axialsymmetrisch geformteund belastete Schalen und rechnetedie Membrankräfte auf die Längen-und Breitenkreise um. Bild 5 zeigtdas 1875 als Schwedler-Kuppel er-baute Dach der städtischen Gasanstaltin der Fichtestraße, Berlin-Kreuzberg[12, Tafel 7]. Die heute noch erhal-tene eiserne Tragstruktur besitzt ei-nen Kuppeldurchmesser von 54,9 mund einen Stich von 12,2 m. Das räum-liche System ist hochgradig statischunbestimmt und kann mit der klassi-schen Stabstatik praktisch nichtberechnet werden; deshalb mußteSchwedler seine Kuppel zu einemzweidimensional gekrümmten elasti-schen Kontinuum „verschmieren“und danach diskretisieren – ein Ver-fahren, das August Föppl (1854–1924)1892 auch für andere schalenförmige

Fachwerke methodisierte [13] underst mit dem Einsatz des Computersbei der Analyse von Raumfachwerkenseit Ende der 1960er obsolet wurde.So verlief die Theorie der Raumfach-werke bis in das dritte Jahrzehnt desvorigen Jahrhunderts in drei Richtun-gen:

ErstensStatisch-konstruktive Entwicklungvon mit der klassischen Baustatikpraktisch berechenbaren räumlichenFachwerken. Prominentes Beispielhierfür ist die 1889 von HermannZimmermann (1845–1935) erfun-dene und berechnete, statisch be-stimmte Kuppel zur Überdachung desSitzungssaales des Reichstagsgebäu-des in Berlin [14]: die Zimmermann-Kuppel.

ZweitensHerausbildung derTheorie des Raum-fachwerks und Konzeption von scha-lenförmigen Raumfachwerken durchAugust Föppl im Anschluß an Schwed-lers Kuppelsystem im Jahr 1892 [13].

DrittensIntegration der Theorie des Raum-fachwerks in die klassische Baustatikdurch – Heinrich Müller-Breslau (1851–1925) 1891/92 [15], 1898 [16], 1899[17], [18], 1902 [19] und 1903 [20] bis[22],– Otto Mohr (1835–1918) 1876 [23],1902 [24], [25] und 1903 [26],– Lebrecht Henneberg (1850–1933)1886 [27], 1894 [28], 1902 [29], 1903[30] und 1911 [31] sowie– Wilhelm Schlink (1875–1968) 1904[32] und 1907 [33], [34].

3.1 Die Reichstagskuppel

Am Mittwoch, dem 17. Februar 1993,veröffentlichte die Berliner Tageszei-tung „Der Tagesspiegel“ im Feuilletoneinen Artikel über den „Realisie-rungswettbewerb Umbau Reichstags-gebäude zum Deutschen Bundestag“,dessen Ergebnis zwei Tage später vonder damaligen BundestagspräsidentinRita Süssmuth verkündet wurde.Dieser Artikel trug den Titel „WallotsKuppel kommt nicht wieder“ [35,S. 19]. Darauf verfaßte derAutor einenLeserbrief, in dem es hieß: „WallotsKuppel kann gewiß nicht wiederkom-men, da sie nie gebaut wurde. Wennder Feuilletonist die Reichstagskup-pel meint, hätte er schreiben müssen:‚Zimmermanns Kuppel kommt nichtwieder. (...) Wer kennt den Schöpferder Reichstagskuppel? Worin bestehtdas Verdienst Zimmermanns?“ [36,S. II] (Bild 6).

Danach suchte der Verfasser denstatischen Witz von ZimmermannsRaumfachwerk-Erfindung zu erläutern,die 1889/90 den Architekten PaulWallot aus großer Not befreite undwahrscheinlich Zimmermann andert-halb Jahre später zum höchsten Bau-beamten im preußischen Ministeriumder öffentlichen Arbeiten avancierenließ. Der statische Witz, also das Bil-dungsgesetz und statische Gesetz derZimmermann-Kuppel, besteht in Fol-gendem (Bild 7):– Die Vertikalkräfte AI bis AIV und BIbis BIV werden in die vier Pfeiler im


Bild 5. 1875 errichtete Schwedler-Kuppel über dem Gasbehälter der StädtischenGasanstalt in der Fichtestraße, Berlin-Kreuzberg [12, Tafel 7] Fig. 5. Schwedler dome above the gasometer of the municipal gas works at Fich-testraße, Berlin-Kreuzberg, constructed in 1875 [12, Plate 7]

608



bedingungen, in Summe 36 Gleichge-wichtsbedingungen, aufstellen; durchspezielle Anordnung der vier Lager ina und b kommen vier Gleichgewichts-bedingungen dazu, so daß die 40unbekannten Stabkräfte des Raum-fachwerks allein mit Hilfe der 40Gleichgewichtsbedingungen ermitteltwerden können: Die Zimmermann-Kuppel ist statisch bestimmt.

Wie sein Vorgänger Schwedlerim preußischen Ministerium der öf-fentlichen Arbeiten beherrschte Zim-mermann noch die Konstruktions-sprache des Maschinenbauingenieursund des Bauingenieurs: Die Zimmer-mann-Kuppel ist eine geniale Trag-werksmaschine.

Erst elf Jahre nach Errichtungseiner Kuppel über dem Sitzungssaaldes Reichstagsgebäudes teilte Zimmer-mann die elegante statische Berech-nung mit [14, S. 1–46], erweiterte sein

Konzept auf Raumfachwerke von vierEcken im oberen Ring auf Raumfach-werke mit beliebiger Eckenzahl [14,S. 46–67] und gab abgeleitete Raum-fachwerkformen an [14, S. 67–93].Durch Strukturierung des Elimina-tionsprozesses der 40 Gleichgewichts-beziehungen gelingt ihm der Aufweisdes Zusammenhangs mit der Topolo-gie dieser Klasse von Raumfachwer-ken in seltener Klarheit: StatischesGesetz und Bildungsgesetz gehen aufmathematisch anschaulicher Ebenevermittelst konkreter räumlicherStrukturformen ineinander über. Sonimmt das statische Rechnen beiZimmermann ästhetischen Eigenwertan.

3.2 Die Grundlegung der Theorie desRaumfachwerks durch August Föppl

August Föppls (Bild 8) 1892 publi-ziertes Buch „Das Fachwerk imRaume“ (Bild 9) [13] ist die Fruchtseiner 1880 [38] anhebenden synthe-tischen Erforschung des Baugesetzes,statischen Gesetzes und des Bildungs-gesetzes von Raumfachwerken in Ge-stalt des Kompositionsgesetzes vonRaumfachwerken. Knapp 50 Jahre

Bild 6. 1890 errichtete Reichstagskuppel nach dem Raumfachwerkkonzept vonZimmermann [37, Atlas, Blatt 63]Fig. 6. Reichstag dome constructed in 1890 according to Zimmermann’s spatialframework concept [37, Atlas, Sheet 63]

Eckbereich des im Grundriß recht-eckigen Tambourmauerwerks derAußenmaße 38,74 ¥ 34,73 m abgetra-gen (Bild 7a). – Die Horizontalkräfte werdendurch ein raffiniertes Lagersystem sogesteuert, daß die Tambourmauernstatisch ihre Scheibenwirkung entfal-ten, d. h. nur Schubkräfte T in Wand-richtung wirken: Damit löste Zim-mermann den seit über 2000 Jahrenvon den Baumeistern gefürchtetenorthogonalen Horizontalschub in sei-nem Raumfachwerk auf. – Das Raumfachwerk besitzt vierStäbe im oberen Ring, zwölf im unte-ren, zwölf in den Wandgliedern, achtsenkrechte und vier horizontale paral-lel zum Tambourmauerwerk wirkendeAuflagerkräfte – insgesamt also 40unbekannte Kraftgrößen (Bild 7b).Demgegenüber lassen sich für jedender 12 Knoten drei Gleichgewichts-

a)

b)

Bild 7. a) Isometrische Darstellung desstatischen Systems der Zimmermann-Kuppel [14, S. 6]; b) Draufsicht derAuflager- und Stabkräfte [14, S. 9]Fig. 7. a) Isometric view of the structu-ral system of the Zimmermann dome[14, p. 6]; b) top view of the supportand member forces [14, p. 9]


tet“ [42, S. 95]. Im nächsten Paragraphdefinierte Föppl die statisch bestimmteStabschale und bewies das Bildungs-gesetz mit Hilfe des Eulerschen Poly-edersatzes (1): „Jedes geschlosseneeinmantelige Fachwerk ohne Fül-lungsstäbe, dessen Seitenflächendurch Dreiecke gebildet werden, diealle in verschiedenen Ebenen liegen,ist im Allgemeinen ein Flechtwerk“[42, S. 96] (s. Bild 9). Abschließendwies Föppl auf die Vorzüge des neuenSystems der Stabschale gegenüberdem klassischen Bindersystem hin, erschrieb: „Die Materialersparnis wirdbeträchtlich und auch in ästhetischerBeziehung dürfte der Vortheil ent-schieden auf seiner Seite sein“ [42,S. 96].

Knapp zwei Monate nachdemFöppl diese Worte formulierte,schockierte am 14. Juni 1891 der Ein-sturz der Eisenbahnfachwerkbrückeüber die Birs bei Mönchenstein(heute: Münchenstein) unweit vonBasel die Weltöffentlichkeit. 73 Men-schen starben, über 100 Menschenwurden verletzt. Die „SchweizerischeBauzeitung“ publizierte im zweitenHalbjahr 1891 und 1892 fast wöchent-lich über diese Brückenkatastrophe.Föppl schaltete sich als erster auslän-discher Fachmann schon am 18. Juli1891 in die Diskussion um die Ein-sturzursachen ein: „Die Brücke istnämlich deshalb eingestürzt, weil sie –als räumliches Fachwerk betrachtet –labil war“. Es sei ungerechtfertigt, fol-gerte er, „bei der Behandlung der Fach-werkstheorie sich fast ausschließlichauf die ebenen Fachwerke zu be-schränken. In den Lehrbüchern wirddas räumliche Fachwerk, wenn über-haupt, immer nur nebenbei behandeltund mit wenigen Ausnahmen hatman bisher nirgends ein besonderesGewicht auf die Forderungen derLehre von räumlichen Fachwerkengelegt. Dieses Verfahren hat sich jetztin Mönchenstein in welterschüttern-derWeise gerächt“ [43, S. 15]. JoachimScheer erachtet in seiner Fallanalysedes im Jahre 2000 veröffentlichten er-sten Bandes seines Werks „Versagenvon Bauwerken. Ursachen, Lehren“Föppls Ursachenanalyse als wichtig[44, S. 113]. Föppls Auffassung zumBrückeneinsturz wurde in der Diskus-sion um die Versagensursachen nuram Rande gewürdigt, so daß er sichentschloß, ein Buchmanuskript zurTheorie der Raumfachwerke abzufas-


Bild 8. August Föppl (1854–1924)Fig. 8. August Föppl (1854–1924)

später legte Mengeringhausen diesesWerk, das bis in die 1960er Jahre un-übertroffenen war, seinen Arbeitenüber Raumfachwerke zugrunde. Soziert das Titelblatt des FöpplschenWerks eine einsinnig gekrümmteStabschale (Bild 9), von ihm „Flecht-werk“ genannt, dessen Erfindungs-wert 1890 vom Kaiserlichen Patent-amt in Berlin in Abrede gestelltwurde, weil auch die gängigen Füh-rungsgerüste von Gasbehältern Flecht-werke seien [13, S. 56].

Schon 1883 schlug Föppl einneues Kuppeldachsystem vor – dieNetzwerk-Kuppel – für welche er am5. Mai 1888 in der „SchweizerischenBauzeitung“ das Berechnungsverfah-ren angab [39]. Damit nahm er dieseit fünf Jahren unterbrochenen For-schungsarbeiten zurTheorie der Raum-fachwerke wieder auf. Hierzu wurdeFöppl von einer kurz zuvor veröffent-lichten Arbeit Hackers [40] angeregt,wo dieser die Schwedler-Kuppel kon-sequent aus Grunddreiecken auf-baute und die Stabkräfte – ohne Um-weg über die Membrantheorie – auchfür asymmetrische Lasten allein mitHilfe der Knotengleichgewichtsbe-dingungen der Fachwerkstatik be-stimmte. Am 28. März 1891 berich-tete Föppl über die erste Anwendungder Netzwerk-Kuppel für die Überda-chung der LeipzigerZentralmarkthalle[41] (Bild 10). Diese im Grundriß alsungleichseitiges Fünfeck ausgebildeteNetzwerk-Kuppel überspannt ca. 20 m,ist 6,80 m hoch und gibt über fünf4,40 m hohe Fachwerkscheiben dieLasten in fünf feste Auflagergelenkeab; das statische System besteht aus42 Stäben mit 42 unbekannten Stab-kräften, 14 freien Knoten mit jeweilsdrei Gleichgewichtsbedingungen – ins-gesamt also 14 ¥ 3 = 42 Knotengleich-gewichtsbedingungen: Die LeipzigerNetzwerk-Kuppel ist statisch be-stimmt, so daß die 42 unbekanntenStabkräfte durch Kräftepläne gra-phostatisch ermittelt werden können.

Der ablehnende Bescheid desPatentamtes hatte zur Folge, daßFöppl am 18. April 1891 seine Gedan-ken über das Flechtwerk in der„Schweizerischen Bauzeitung“ publi-zierte [42]. Föppl gliederte diesenAufsatz in 13 Paragraphen, die sichallerWahrscheinlichkeit nach mit denvon ihm geltend gemachten Patentan-sprüchen decken. Die platonischenKörper deutete er als einfachste

Flechtwerkformen: „Von den regel-mässigen Körpern sind das Tetraeder,das Octaeder und das IkosaederFlechtwerke; die Berechnung der inden beiden letzten auftretenden Stab-spannungen ist allerdings nicht im-mer von einfacherArt, aber stets ohneZuhülfenahme der Elasticitätstheoriedurchführbar. Das Hexaeder und dasDodekaeder lassen sich in Flecht-werke umwandeln, wenn man bei je-nem auf jeder Seitenfläche eine, beidiesem je zwei Diagonalen einschal-

Bild 9. Titelblatt der ersten Monogra-phie über Raumfachwerke [13]Fig. 9. Title page of the first mono-graph about spatial frameworks [13]

sen; dieses entstand vom 21. Juni 1891bis 22. September 1891 und konnteaufgrund eines Druckerstreiks erstAnfang 1892 unter dem Titel „DasFachwerk im Raume“ (s. Bild 9) er-scheinen.

Dort nahm Föppl seine Defini-tion des Fachwerks aus dem Jahr1880 [38, S. 3] wieder auf. Danach istein Fachwerk „ein System, das ausmateriellen Punkten und gewissenVerbindungslinien derselben so zu-sammengesetzt ist, dass keine relativeBewegung der Theile des Systems ge-gen einander möglich ist, ohne dassdie Länge dieser Verbindungsliniengeändert würde“ [13, S. 2]. Als Bei-spiel der gebräuchlichen Definitiondes Fachwerks zitierte Föppl jene vonWilhelm Ritter (1847–1906) [13, S. 3]:„Ein Fachwerk ist ein starres, ausgradlinigen Stäben zusammengesetz-tes und zum Tragen von Lasten be-

610



stimmtes Bauwerk“ [45, S. 1]. GingRitter vom Bauwerk aus, so abstra-hierte Föppl das Fachwerk auf derEbene des mathematisch-physikali-schen Modells. Dies war aber wesent-liche Voraussetzung der Grundlegungder Theorie des Raumfachwerks.Nachdem Föppl das freie Fachwerk(= „Fachwerk“) vom an die Erde ge-bundenen Fachwerk (= „Fachwerk-träger“) unterscheidet, faßt er die Sta-bilitätskriterien freier räumlicherFachwerke mathematisch. Diese hatteer schon 1880 für ebene Fachwerkeformuliert [38, S. 7–11] und 1887 be-wiesen [46]. Die Abzählbedingung ei-nes freien räumlichen Fachwerks mits Stäben und k Knoten nach Föppl

s ≥–– 3 · k – 6 (2)

ist für die Stabilität oder Starrheitnotwendig, aber nicht hinreichend

(Bild 11). Nach Föppl ist ein freiesräumliches Fachwerk dann und nurdann stabil, also starr bzw. nicht kine-matisch, wenn die Jacobi-Funktional-determinante der Ordnung s = 3 ¥ k – 6für die impliziten Funktionen der Ab-standsquadrate der durch Stäbe ver-bundenen Knoten fr(xi, xk, yi, yk, zi, zk)nicht verschwindet [13, S. 6–11]. Die-ses hinreichende Kriterium für dieStabilität von freien Raumfachwerkenist „praktisch ziemlich werthlos“ [13,S. 9], wie Föppl bemerkte, diente ihmaber zur Ableitung eines sehr wichti-gen Satzes über statisch bestimmteFachwerke, für welche die Unglei-chung (2) in die Gleichung

s = 3 · k – 6 (3)

übergeht: „Ein Fachwerk, das nur dienothwendige Zahl von Stäben besitzt(d. h. Gl. (3) erfüllt – d. Verf.) und

Bild 10. Föppls graphostatische Untersuchung der Netzwerk-Kuppel der Leipziger Zentralmarkthalle [41, Tafel]Fig. 10. Föppl’s „graphostatic“ examination of the network dome of the central market hall at Leipzig [41, Plate]


stabil ist, ist auch statisch bestimmtund umgekehrt es ist stabil, wenn esfür alle vorkommenden Belastungenstatisch bestimmt ist“ [13, S. 30]. Dar-aus entwickelte Föppl eine in sich ge-schlossene Theorie statisch bestimm-ter Raumfachwerke. Anschließendformulierte er den Grundriß der

Theorie statisch unbestimmter Raum-fachwerke.

Ohne Formeln komponierte Föpplim zweiten Teil seines Buches zahlrei-che Strukturformen von Raumfach-werken wie Stabschalen, Netzwerk-Kuppeln, räumliche Brückensystemesowie räumlich ausgesteifte Binder-

systeme und analysierte bekannteSysteme wie die Schwedler-Kuppelneu, die dritte Dimension für die Bau-statik systematisch erschließend. SeinWerk ist ein seltenes Beispiel dergroßen heuristischen Kraft des theo-retischen Denkens der Baustatik, des-sen Horizont uns vor gar nicht allzulanger Zeit erst erreichte. Gleichwohlging es nicht in der Baustatik auf.Föppl drang historisch-logisch bis zumimpliziten mathematischen Bauge-setz eines Platon vor, verschmolz die-ses mit dem von ihm entwickeltenstatischen Gesetz und Bildungsgesetzzum Kompositionsgesetz des Raum-fachwerks. So scheinen Anmut undGesetz bei Föppl auf in der ästheti-schen Aneignung möglicher Kunst-formen von Raumfachwerken quamathematisch-physikalischer Erkennt-nis ihres Kompositionsgesetzes.

3.3 Integration der Theorie des Raum-fachwerks in die klassische Bau-statik

Als Beratender Ingenieur prüfte Mül-ler-Breslau die 1890 vollendete Zim-mermann-Kuppel über dem Sitzungs-saal des Berliner Reichstages statisch-konstruktiv. Zwei Jahre zuvor folgteer Emil Winkler (1835–1888) auf denLehrstuhl für Statik der Baukonstruk-tionen und Brückenbau der TH Ber-lin. Dort baute Müller-Breslau seine1886 [47] und 1887 [48] monogra-phisch zusammengefaßten baustati-schen Verfahren zur allgemeinenTheorie linear-elastischer Stabwerkeaus. Damit setzte er den Schlußsteinder sich von 1825 bis 1900 er-streckenden Disziplinbildungsperiodeder Baustatik. Ein Moment der Voll-endung jener Entwicklungsperiodezur klassischen Baustatik ist die me-thodisch an der Theorie des ebenenFachwerks sich orientierende Ausar-beitung der Theorie des Raumfach-werks durch Müller-Breslau 1891/92[15]. Sie unterscheidet sich wesent-lich von der Föpplschen Darstellung[13], bewegt sich doch Müller-Bres-lau im disziplinären Rahmen derklassischen Baustatik, deren symboli-sche Sprache er erfand. Müller-Bres-lau arbeitete nicht deduktiv, sondernentfaltet die Theorie der Raumfach-werke am Beispiel – also induktiv.Die induktive Methode sollte dieBaustatik bis weit in die zweite Hälftedes 20. Jahrhunderts prägen.


Bild 11. Notwendiges und hinreichendes Stabilitätskriterium Föppls am Beispieleines freien TetraederfachwerksFig. 11. Föppl’s stability criterion illustrated using the example of a free tetrahe-dron framework

Nachdem Müller-Breslau amBeispiel von statisch bestimmten Kup-peln und eines Brückenträgers das rä-umliche Kräftespiel verdeutlichte,schlägt er mit dem Stabtauschverfah-ren ein allgemeines Verfahren zur Be-rechnung der Stabkräfte von statischbestimmten Raumfachwerken vor [15,S. 439–440]. Das Stabtauschverfah-ren führt auch dann zum Ziel, wenndie Zerlegung einer Kraft in drei- bissechsstäbigen Knoten unmittelbarnicht möglich ist. „Man verwandledas Fachwerk durch Beseitigung vonStäben und Hinzufügung von ebenso-viel neuen Stäben, welche kurz Er-satzstäbe genannt werden sollen, inein thunlichst einfaches Gebilde,womöglich in ein solches, dessenSpannkräfte sich durch wiederholteLösung der Aufgabe bestimmen las-

612



sen: eine gegebene Kraft nach dreiRichtungen zu zerlegen“ [15, S. 439].

Das Stabtauschverfahren vonMüller-Breslau, auf welches er schon1887 in zwei Beispielen hinwies [48,S. 207–208 u. S. 213–214], entsprichtstrukturell dem von ihm formuliertenKraftgrößenverfahren zur Analysestatisch unbestimmter Systeme: Stab-tauschverfahren und Kraftgrößenver-fahren sind formäquivalent (Bild 12).Mit dem Stabtauschverfahren kön-nen erstens die Stabkräfte von un-übersichtlichen statisch bestimmtenSystemen an übersichtlicheren Er-satzsystemen berechnet und zweitensdie Stabilität der Ausgangssystemenachgewiesen werden. Für letzteregibt Müller-Breslau das hinreichendeStabilitätskriterium an [15, S. 439],das unmittelbar – und mit wesentlich

geringerem Aufwand als bei Föppl –überprüft werden kann: Hier zeigtsich die Überlegenheit des auf der li-nearen Algebra fußenden baustati-schen Verfahrens gegenüber dem rei-nen mathematischen Verfahren inGestalt der Jacobi-Funktionaldeter-minante. Müller-Breslaus Stabtausch-verfahren eignet sich in besondererWeise zur Analyse verwickelter sta-tisch bestimmter Raumfachwerke. Erversäumte es nicht, auf das von Hen-neberg 1886 angegebene Verfahrenaufmerksam zu machen [15, S. 440],wo ein statisch bestimmtes freies ebe-nes oder freies räumliches Fachwerkmit k Knoten in ein Ersatzsystem mitk – 1 Knoten und schließlich in einDreieck [27, S. 213–222 u. S. 228–235]bzw. Tetraeder [27, S. 247–268] über-führt wird. Allerdings beschränkteHenneberg sein Verfahren auf freieFachwerke, wohingegen sich Müller-Breslaus Stabtauschverfahren auchfür an die Erde gebundene Systemeeignet. So präformierte zwar Henne-berg das Stabtauschverfahren Müller-Breslaus methodisch, verblieb aberauf der Ebene der Starrkörpermecha-nik, da es Henneberg mehr um dieReduktion komplizierter Fachwerk-systeme auf einfachere ging, d. h. umdie mathematisch-physikalische Ab-leitung des Bildungsgesetzes vonFachwerken; Müller-Breslau dagegenzielte mit dem Stabtauschverfahrenauf die übersichtliche und rationellebaustatische Analyse von komplizier-ten Fachwerken.

Gleichwohl erschöpfte sich Mül-ler-Breslaus Beitrag zur Theorie derRaumfachwerke nicht auf das Stab-tauschverfahren. Nach der statischenDurchrechnung der Schwedler-Kup-pel verallgemeinerte er die kinemati-sche Theorie des statisch bestimmtenebenen Fachwerks auf Raumfach-werke. Am Beispiel der statischen Be-rechnung eines regelmäßigen, acht-eckigen, zweifach statisch unbestimm-ten Pyramidenstumpfes schließlichüberzeugte Müller-Breslau die Leservon der Praktikabilität des Kraft-größenverfahrens bei der Analyse sta-tisch unbestimmter Raumfachwerke.Damit gelingt es ihm, mit den fürebene linear-elastische Stabwerkeentwickelten Methoden der klassi-schen Baustatik Raumfachwerke zuberechnen.

Auf die 1901 erfolgte Publikationzur statischen Berechnung der Kup-

Stabtauschverfahren

Bild 12. Formäquivalenz des Stabtausch- und Kraftgrößenverfahrens nach Mül-ler-BreslauFig. 12. Form equivalence of the member replacement method and force methodaccording to Müller-Breslau


pel des Reichstagsgebäudes in Berlindurch Zimmermann [14], [49] unddie außerordentlich umständlichenRechnungen Zschetzsches [50] rea-gierte Föppl noch im selben Jahr, diegraphostatische Analyse vermissend[51]. Darauf schaltete sich Müller-Breslau ein, erinnerte an seine 1891/92 veröffentlichten Beiträge zurTheo-rie des Raumfachwerks und erläu-terte sie nochmals am Beispiel derReichstagskuppel [19, S. 49–51 u.S. 61–63]. Im Laufe der AufsatzserieMüller-Breslaus publizierte OttoMohr seine direkt mittels des Prinzipsder virtuellen Verschiebungen ange-stellte Berechnung der Stabkräfte desgenannten Bauwerks und der Schwed-ler-Kuppel [24]. Nachdem Müller-Breslau seine Aufsatzserie mit der ki-nematischen Theorie des Raumfach-werks fortsetzte [19, S. 429–439 u.S. 501–503], warf Mohr ihm vor,darin sein kurz zuvor veröffentlichtesVerfahren abgeschrieben zu haben[25, S. 634]. Damit hebt die Kontro-verse zwischen Mohr [26] und Mül-ler-Breslau [20], [21], [22] um dieGrundlegung der Theorie der Raum-fachwerke an. Letztlich zieh Mohr vorder Folie der Theorie des Raumfach-werks Müller-Breslau des Plagiats –zuerst im Fall des Stabtauschverfah-rens an Henneberg und dann im Fallder kinematischen Fachwerktheoriean ihm selbst [26]: „Wenn bei so ein-fachen Dingen von einem wissen-schaftlichen Verdienste überhauptdie Rede sein kann, so ist es nicht inder Lösung, sondern in der Stellungder Aufgabe zu suchen, d. h. in derErkenntnis, daß sie zu weiter gehen-den Schlüssen verwandt werdenkann“ [26, S. 238]. Genau hierin un-terschied sich Mohr von Müller-Bres-lau. Während Mohr problem- undgrundlagenorientiert forscht, gehtMüller-Breslau verfahrens- und an-wendungsorientiert vor – Methodi-ken, deren Wissenschaftlichkeit Mohrvehement bestreitet. Damit nimmtdas auch in anderen Technikwissen-schaften virulente Methodenproblem[52] in der Auseinandersetzung zwi-schen Mohr und Müller-Breslau kon-krete Gestalt an: sie weitete sich inden ersten Jahren nach 1900 zu einerWiederaufnahme des Streits um dieGrundlegung der klassischen Bausta-tik in den 1880er Jahren aus, wo esnunmehr um Prioritätsansprüchegrundlegender Sätze der Baustatik

ging [22], [26] und nicht mehr um dieTheorie des Raumfachwerks.

Henneberg gliederte die Theoriedes Raumfachwerks als Teil einer ma-thematisch begriffenen graphischenStatik in das Lehrgebäude der Starr-körpermechanik ein [28] bis [31].Praktisch stieß die graphische Statikbei der Analyse von Raumfachwerkenwie auch bei statisch unbestimmtenSystemen an ihre Grenzen. SeinSchüler Schlink knüpfte an FöpplsFlechtwerk-Idee an und entwickeltemehrfache Flechtwerke – also Stab-schalen, die einen oder mehrere Hohl-räume umschließen [34]. 1946 er-schien die zweite Auflage seines Wer-kes „Technische Statik. Ein Lehrbuchzur Einführung in das technischeDenken“ [53], wo Schlink das vonMayor [54], [55], v. Mises [56], Prager[57], [58] und Sauer [59] entwickelteVerfahren der zugeordneten ebenenAbbildung referierte, welches räum-liche Kräfteaufgaben auf ebene zu-rückführt [53, S. 305–314].

Über diesen Erkenntnisstand derBaustatik in der Theorie der Raum-fachwerke sollte die Baustatik bis indie zweite Hälfte des vorigen Jahr-hunderts nicht hinausgelangen. Prak-tisch zehrte hiervon das statischeRechnen im Kuppel-, Kran- und Turm-bau, beim Bau von Abraumförder-brücken sowie vereinzelt im Brücken-und Flugzeugbau.

So ging der Baustatik in der Kon-solidierungsperiode von 1900 bis 1950die sich hoffnungsvoll bei Föppl 1892ankündigende Einheit von statischemGesetz, Bildungs- und Baugesetz inForm des Kompositionsgesetzes desRaumfachwerkes verloren, da sich ihrErkenntnisinteresse primär auf dasstatische Gesetz fokussierte.

4 Das Raumfachwerk im Zeitalter sei-ner technischen Reproduzierbarkeit

Walter Benjamin (1892–1940) zu-folge verliert das Kunstwerk im Zeit-alter seiner Reproduzierbarkeit durchLithographie, Photographie und Filmseine Aura, indem diese Medientech-nologien das Hier und Jetzt desKunstwerks entwerten, ist doch seineEchtheit der Inbegriff alles vom Ur-sprung her an ihm Tradierbaren, vonseiner materiellen Dauer bis zu seinergeschichtlichen Zeugenschaft. Da-durch gerät „die geschichtliche Zeu-genschaft der Sache ins Wanken“ [60,

S. 353]. Benjamin versteht unterAuraein „sonderbares Gespinst aus Raumund Zeit: einmalige Erscheinung einerFerne, so nah sie sein mag. An einemSommernachmittag ruhend einemGebirgszug am Horizont oder einemZweig folgen, der seinen Schatten aufden Ruhenden wirft – das heißt dieAura dieser Berge, dieses Zweiges at-men“ [60, S. 355].

Bauwerke entziehen sich kraftihrer Natur technischer Reproduktion,weil sie i. d. R. ortsgebunden sind. Anihrem Hier und Jetzt vollzog sich dieGeschichte der das Bauwerk imLaufe seines Bestehens unterworfenwar. Auch Bauwerke mit industriellproduzierten Raumfachwerken kön-nen seiner Aura nichts anhaben. Istdas neugestaltete British Museum mitseiner transparenten Stahl-Glas-Schalenicht ein „sonderbares Gespinst ausRaum und Zeit“, eine Membran, wel-che das ferne Licht der Geschichteatmen läßt? Es ist die im Dienste ei-nes Rituals stehende, durch den Kultausgedrückte Einbettung des Bau-werks in den Traditionszusammen-hang, das seine Aura ausmacht. Nurder heilige Ort – der genius loci – ver-mag Anmut durch Aura zu stiften.Nicht traf dies zu für die von Londonin die USA translozierte alte LondonBridge, den in Westafrika maßstabs-gerecht errichteten Petersdom oderdie von der JU 52 irgendwohin geflo-genen MERO-Raumfachwerke. Zwei-felsohne ist aber dem künstlichenGarten Eden auf Cornwall eine Auraeigen, gaben doch damit die Projekt-entwickler, Architekten und Ingeni-eure das verloren gegangene Paradiesan die Nachkommen von Adam undEva zurück. So verbinden sich auchbei Raumfachwerken Kunst undTechnik nur über Gestaltung, Anmutund Gesetz aber über Entwurf, Kon-struktion und Funktion.

Schwedler-Kuppeln (Bild 13a),Netzwerk-Kuppeln (Bild 13b), Zim-mermann-Kuppeln (Bild 13c) und die Schlinkschen Scheibenkuppeln(Bild 13d) bestanden aus unter-schiedlich langen, gewalzten Stahl-profilen, die in den Knoten vernietetwaren. Obwohl industriell herge-stellte Stahlprofile eingesetzt wurden,stellte jede Kuppel ein Unikat dar.Erst die Einführung des Schweißenssowie die Typisierung der Knoten undStäbe bahnte den Weg zur seriellenProduktion von Raumfachwerken.


Gleichwohl deutete sich zwischender Fertigung und der Montage vonBauelementen einerseits und demstatischen Rechnen andererseits schonin der Periode der Hochindustrialisie-rung von 1890 bis 1914 ein Wider-spruch an, der in der Zwischenkriegs-zeit ins zeitgenössische Bewußtseindrang: Während die wissenschaftli-che Entwicklung der Baustatik zumVerfahrensmäßigen, Syntaktischenund zum operativen Symbolgebrauchtendierte – mithin eine spezielle Gei-stestechnologie schuf – verharrte diePraxis des statischen Rechnens imHandwerklichen, obwohl auch sievon der seit Ende des I. Weltkriegesum sich greifenden Rationalisie-rungsbewegung erfaßt wurde. ImRahmen dieser Rationalisierungsbe-wegung automatisierte der Bauinge-nieur Konrad Zuse (1910–1995) dasstatische Rechnen und entwickeltevon 1936 bis 1941 den ersten funk-tionsfähigen Computer; erst Ende der1960er Jahre fanden Computer beider Berechnung von Raumfachwer-ken Anwendung. Dem gegenüber voll-zogen Erfinder wie Alexander Gra-ham Bell (1847–1922), Konstruk-

614



teure wie Wladimir GrigorjewitschSchuchow (1853–1939), Autodidak-ten wie Richard Buckminster Fuller(1895–1983) sowie Erfinder und Un-ternehmer-Ingenieure wie Max Men-geringhausen (1903–1988) schon Jahr-zehnte zuvor erste Schritte zur seriel-len Fertigung von Raumfachwerken.

4.1 Alexander Graham Bell

Das erste vorgefertigte Raumfach-werk konzipierte Alexander GrahamBell Anfang 1907 (Bild 14). Es be-steht aus relativ kleinen Tetraedern.

Der Erfinder des Telephons beschäf-tigte sich mit Flugzeug- und Schiff-bau, Medizin, Elektrotechnik, Biolo-gie und Technikwissenschaften. Sokonstruierte Bell ein mit Leinwandbespanntes Raumfachwerk als Dra-chen-Flugmodell. Später entwickelteer Drachen, die einen Menschen inder Luft tragen konnten. Bell stan-dardisierte die Stab- und Knotenele-mente, ließ die Einheitstetraeder seriellfertigen (vgl. [62, S. 31]) und fügtediese nach dem ersten Bildungsgesetzzu komplexen Raumfachwerken zu-sammen. Bildungs- und Baugesetzvon Raumfachwerken bilden bei Bellim Montageprozeß eine materiali-sierte technologische Einheit, welchedurch Funktion, Konstruktion, Na-tur- und Kunstform bestimmt wird.Damit nahm der Arbeitsprozeß aufder Baustelle tendenziell gesetz-mäßige Formen an und entwickeltesich zum wissenschaftlichen Gegen-stand der in den 1920er Jahren imZuge der umfassenden Rationalisie-rungsbewegung entstehenden Baube-triebslehre.

4.2 Wladimir Grigorjewitsch Schuchow

„Die Ingenieurkunst ist deshalb un-dankbar“, sagte Schuchow seinemEnkel, „weil man Wissen besitzenmuß um ihre Schönheiten zu verste-hen“ [63, S, 21]. Schuchow erfand,entwarf, berechnete und konstruierteräumliche Tragwerke von atemberau-bender Schönheit. 1894 meldete erseine Netzdächer zum Patent an (vgl.[64, S. 175]). Diese zugbeanspruchtenKonstruktionen bestehen aus netz-förmig angeordneten Band- und Win-keleisen. Mit Föppls Flechtwerkensind Schuchows Gitterschalen ver-gleichbar, mit dem Unterschied, daßSchuchow das Fachwerkprinzip ver-

Bild 13. Kuppeltypen; a) Schwedler-Kuppel, b) Netzwerk-Kuppel, c) Zimmer-mann-Kuppel, d) Schlink-KuppelFig. 13. Dome types; a) Schwedler dome, b) Network dome, c) Zimmermanndome, d) Schlink dome

Bild 14. Erstes vorgefertigtes Raumfachwerk aus Tetraedern von Bell [61, S. 36] Fig. 14. First prefabricated spatial tetrahedron framework by Bell [61, p. 36]


läßt. Sowohl die Netzdächer als auchdie Gitterschalen werden aus durch-weg gleichen Teilen hergestellt undan den Knotenpunkten vernietet oderverschraubt. In seinen Patentanträ-gen hob Schuchow die Vorteile seinerräumlichen Tragstrukturen hervor[65, S. 28]:– beträchtliche Gewichtseinsparunggegenüber gewöhnlichen Dachkon-struktionen,– Beanspruchung der Netzelementebei Netzdächern nur auf Zug und beiGitterschalen nur auf Druck,– hohe Tragfähigkeit der Netzflächenauch bei konzentrierten Lasten,– Vereinfachung von Fertigung undMontage durch Gleichheit sämtlicherKonstruktionselemente.

Als Chefingenieur der MoskauerFirma Bari konnte Schuchow 1896 aufder Allrussischen Ausstellung in Nis-hni Nowgorod acht Hallen mit seinenneuen Dächern ausstatten. Dort zeigteer auch eine Turmkonstruktion inForm eines Hyperboloids; diese Trags-truktur sollte sich beim Bau von Was-sertürmen, Funktürmen und Stromlei-tungsmasten verbreiten. Bild 15 zeigtdas als Teleskopverfahren bezeichneteMontageprinzip einer solchen Turm-konstruktion am Beispiel des 1929 fer-tiggestellten 120 m hohen, fünfstöcki-gen NIGRÉS-Stromleitungsmastes ander Oka: die hyperbolischen Turm-schüsse werden im Turminnern vorge-fertigt und durch fünf hölzerne Kran-böcke hochgezogen.

Schuchows wirtschaftliche wieanmutige Ingenieurkonstruktionen be-gleiteten die Industrialisierung Ruß-lands bis in die Zeit des ersten Fünf-jahresplanes Sowjetrußlands. Folgtman Herbert Ricken, so gelang esSchuchow wie Eiffel, Maillart undFreyssinet „auf der Grundlage präzi-ser mathematischer Näherung mit ei-nem offensichtlichen Gefühl für dieSchönheit der Konstruktion und derdurch sie gebildeten Räume kühne,materialsparende Konstruktionen zuentwickeln und auf wirtschaftlicheWeise mittels einer effektiven Arbeits-organisation zu verwirklichen“ [67,S. 546].

4.3 Richard Buckminster Fuller

1954 erhielt Richard BuckminsterFuller ein US-amerikanisches Patentauf die Konstruktion von geodäti-schen Kuppeln. Er projizierte dortdas in eine Kugel einbeschriebeneIkosaeder auf die Kugeloberfläche(Bild 16). Die so entstandenen 20gleichseitigen sphärischen Dreieckekönnen jeweils durch die drei Mittel-senkrechten – welche auf Großkrei-sen liegen – in sechs Dreiecke zerlegtwerden. Diese erste Unterteilung be-sitzt die Frequenz n = 2, weil die Seitedes Grunddreiecks in zwei gleicheAbschnitte geteilt wird. Für weitge-spannte Kuppeln muß weiter unter-teilt werden mit n = 4, n = 8, n = 16usw., da sonst der Schlankheitsgradder Stäbe zu groß würde; dennoch er-hält man auch für höhere Frequenzennur eine relativ geringe Anzahl unter-schiedlicher Stablängen. Läßt sichdie Kugeloberfläche in höchstens 20gleichseitige sphärische Dreiecke tei-len, so ist eine vollständige Teilung inSechsecke nicht mehr möglich; esmüssen wenigstens 12 Fünfecke ein-geschaltet werden; der Fußball als ge-treues Abbild einer Fuller-Kuppelmöge diesen Sachverhalt der Kugel-geometrie veranschaulichen.

Bild 17a zeigt die 1959 fertigge-stellte 115 m weitgespannte geodäti-sche Stahlkuppel in Baton Rouge,Louisiana. Die zweilagige Konstruk-tion mit einem Lagenabstand von1,20 m ist dadurch gekennzeichnet,daß die Dachhaut mit dem hexagona-len Fachwerkskelett kraftschlüssigverbunden ist, also ein Faltwerk-Stab-rost vorliegt. Die Kuppel besteht aus321 hexagonalen zusammengeschweiß-


Bild 15. Fertigung und Montage des 120 m hohen, fünfstöckigen NIGRÉS-Strom-leitungsmastes von Schuchow an der Oka, 1927–1929 [66, S. 99]Fig. 15. Production and assembly of the 120 m high, five-storey NIGRÉSelectricity mast by Schuchow on the river Oka, 1927–1929 [66, p. 99]

ten Stahlpaneelen, an welche die ausStahlrohren bestehende, äußere he-xagonale Lage über Zugdiagonalenund vertikale Eckstäbe angeschlossenist (Bild 17b).

Fullers geodätische Kuppeln setz-ten sich in den späten 1950er Jahrenals Einhausungen für Radargeräte –Radome – entlang der ca. 5000 kmlangen Linie des US-amerikanischenFrühwarnsystems zwischen Polar-kreis und 60 Grad nördlicher Breitedurch [68, S. 462]. Höhepunkt beimBau geodätischer Kuppeln bildete dieDreiviertelkuppel (Durchmesser 76 m)

616



des US-amerikanischen Pavillons aufder EXPO 1967 in Montreal.

Mit Fullers geodätischem Kup-pelsystem zog die nichteuklidischeGeometrie in Gestalt der Kugelgeo-metrie beim Bau von Raumfachwer-ken ein. Auf dieser Ebene erforschteer das Zusammenwirken von Bil-dungs- und Baugesetz von Raum-fachwerken. So schuf Fuller industri-ell gefertigte „sonderbare Gespinsteaus Raum und Zeit“ [60, S. 355]. ErstMengeringhausen sollte mit seinemKompositionsgesetz für Raumfach-werke und den damit eng zusammen-

hängenden Arbeiten von HelmutEberlein, Helmut Emde und HerbertKlimke das Raumfachwerk von deran die Kugel gebundenen Raum-Zeitbefreien.

4.4 Max Mengeringhausen

Angeregt durch August Föppls 1892veröffentlichtes Grundlagenwerk „DasFachwerk im Raume“ [13] sowiedurch Walter Porstmanns Grundle-gung der Normenlehre (1917) [70]und in kritischer Auseinandersetzungmit Ernst Neuferts „Bau-Entwurfs-lehre“ (1936) [71] formulierte Menge-ringhausen (Bild 18) 1940 acht Bau-gesetze für Raumfachwerke [9, S. 114–115], aus denen er bis 1942 dieMERO-Bauweise [72] entwickelte.Dabei steht das Akronym MERO fürMEngeringhausen ROhrbauweise.Am 12. März 1943 erhielt Mengering-hausen ein deutsches Patent aufseine „Verbindung von Rohrstäbenund knotenbildenden Verbindungs-stücken, insbesondere für zerlegbareFachwerkkonstruktionen“ (Bild 19).In klarer Sprache formulierte Menge-ringhausen seinen ersten Patentan-spruch: „Verbindung von Rohrstäbenund knotenbildenden Verbindungs-stücken, insbesondere für zerlegbareFachwerkkonstruktionen, dadurch ge-kennzeichnet, daß der Rohrstab (2)einen Gewindebolzen (5) mit nur ei-nem Gewinde (6) aufweist, auf demeine Muffe (9) mit einem Längsschlitz(12) angeordnet ist, in welchen einauf dem Gewindebolzen (5) befestig-ter Mitnehmerstift (13) eingreift, wo-durch beim Drehen der Muffe, z. B.mittels eines Schraubenschlüssels,der Gewindebolzen (5) bei stillste-hendem Knotenpunkt (3) und Rohr-stab (2) zwecks Herstellung oder Lö-sung der Verbindung in beiden Rich-tungen gedreht werden kann“ [73,S. 2]. Insgesamt formulierte Menge-ringhausen fünf Patentansprüche.Noch im selben Jahr gründete Menge-ringhausen in Berlin die FirmaMERO. Mengeringhausens genialeErfindung wurde am 12. März 1953für das Gebiet der BR Deutschland –also genau zehn Jahre nach seinemReichspatent – patentrechtlich ge-schützt. Diese Jahrhunderterfindungdes Stahlbaus sollte den Bau vonRaumfachwerken nach konstruktiver,technologischer und gestalterischerSeite revolutionieren und Mengering-

Dreiläufige Großkreisaufteilungder Kugeloberfläche

Bild 16. Geodätische Kuppeln nach Richard Buckminster FullerFig. 16. Geodetic domes after Richard Buckminster Fuller


hausens Firma weltweit an die Spitzedieses Marktsegments bringen.

Wie kam Mengeringhausen zuMERO? Max Mengeringhausen undErnst Udet begegneten sich kurz vordem Tode August Föppls im Jahre1924 an der TH München, wo sie inStatikvorlesungen von Raumfachwer-ken hörten. Udet bastelte aus sechsStreichhölzern und vier Brotkugeln

die Elementarform des räumlichenFachwerks: das Tetraeder. Udet stiegspäter zu Göhrings Reichsluftfahrt-zeugmeister auf, Mengeringhausenhingegen erwarb sich einen Namenals Erfinder – beide waren zeitweisearbeitslos. Nach dem Verlust des Fa-milienvermögens durch die Inflation1923 mußte sich Mengeringhausenals Werkstudent durchschlagen. Er

wählte den ehrlichen Weg und wider-stand später der politischen Versu-chung der NSDAP. Zunächst be-tätigte sich Mengeringhausen alstechnischer Schriftsteller. So über-setzte er auf Anregung Gustav Lilien-thals das Werk des Renaissanceinge-nieurs Borelli „De motu animalum“(Die Bewegung der Tiere) vom Latei-nischen ins Deutsche [74].

Nach seiner Diplomprüfung alsMaschinenbauer promovierte er sich1928 an der TH München mit derDissertation „Die Entwicklung derSchienenfabrikation in Deutschland“[75] zum Dr.-Ing. Im selben Jahr sie-delte er auf Anregung der VDI-Direk-toren Waldemar Helmich und ConradMatschoß in das Mekka des genossen-schaftlich organisierten Siedlungsbausnach Berlin über und gründete dortein Ingenieurbüro für Haustechnik.An seinem Geburtstag am 3. Oktober1928 hielt der 25jährige Mengering-hausen seinen vom Berliner VDI-Be-zirksverein veranstalteten Einführungs-vortrag an der TH Berlin. Aus derBearbeitung kleinerVDI-Aufträge ent-stand schließlich der jahrzehntelangvon ihm geleitete „Fachausschuß fürHaustechnik“, aus dem später dieVDI-Gesellschaft für Technische Ge-bäudeausrüstung hervorgehen sollte.Seit 1931 baute Mengeringhausen an


a)

b)

Bild 17. a) 1959 errichtete Kuppel von Baton Rouge, Louisiana [61, S. 133],b) Konstruktionsdetail [61, S. 134]Fig. 17. a) Dome at Baton Rouge, Louisiana, constructed in 1959 [61, p. 133],b) structural detail [61, p. 134]

Bild 18. Max Mengeringhausen(1903–1988) mit einer Anzahl vonMERO-Knotenstücken [10, S. 70]Fig. 18. Max Mengeringhausen(1903–1988) with a number of MEROnode components [10, p. 70]

der Staatsbauschule in Berlin-Neu-kölln die Abteilung Haustechnik aufund wirkte dort als Dozent bis 1943.1937/38 erfand er eine einfacheSteckverbindung für gußeiserne Ab-flußrohre mittels Gummiringen, dieMengering-Doppeldichtung, welcheerst Mitte der 1960er Jahre erfolg-reich in den Sanitärmarkt diffun-dierte. Zu dieser Erfindung solltensich aus seinen über 200 Patentennoch die MERO-Doppelboden-Bau-weise, der MERO-Vorwandinstalla-tionsblock und die schon erwähnteMERO-Raumfachwerk-Bauweise ge-sellen, die sich wirtschaftlich alsaußerordentlich erfolgreich erwiesen.

Buchstäblich tragend jedoch warMERO, also Mengeringhausens genia-

618



les wie einfaches Raumfachwerkkon-zept – bestehend aus zwei Konstruk-tionselementen, den Knotenstückenund Rohrstäben (s. Bild 19). Damitsetzte er sich kühn über den Bauinge-nieurgrundsatz „Eine Schraube istkeine Schraube“ hinweg. Diese zuBeginn der 1940er Jahre einsetzendeEntwicklung erfolgte im Rahmen vonKriegsaufträgen des Reichsluftfahrt-ministeriums unter der Schirmherr-schaft Udets zur Luftfracht von inhandlichen Kisten zusammengefaß-ten Bausätzen für Portalkrane, Be-helfsbrücken, Antennensysteme undmobile Hallenbauten. Gleichwohl er-kannte Mengeringhausen alsbald dieUniversalität von MERO-Raumfach-werken; so schrieb er 1944: „DieMERO-Bauweise dient der Herstel-lung von Geräten, Gerüsten, Häusernund Bauwerken aller Art. Ihre wich-tigsten Vorzüge sind: Einfachheit undSchnelligkeit des Aufbaues aus weni-gen Einzelteilen; Möglichkeit derschnellen Zerlegung und geringstesGewicht, daher günstigste Vorausset-zungen für den Transport in beliebigkleinen oder großen Einzellastendurch Mensch, Tier, Bahn, Schiff,Kraftwagen und Flugzeug; vielseitigeAnwendung und unbegrenzte Anpas-sungsfähigkeit der Gestalt für jedeAufgabe; leichte Auswechselbarkeitbeschädigter Teile, einfacher Nach-schub und geringe Lagerung von Er-satzteilen“ [76, S. 2]. Mengeringhau-sen bot Stahlrohre 30 ¥ 1 bzw. 60 ¥1,5 mm mit sechs unterschiedlichenLängen (von Knotenmitte zu Knoten-mitte) an: 0,5 m, 0,5 ¥ ÷––

2 m, 1,0 m,÷––

2 m, 2,0 m und 2,0 ¥ ÷––2 m. Die Stab-

längen bilden eine geometrischeReihe des natürlichen Wachstums mitdem Faktor ÷––

2 (Bild 20). Mengering-hausen sah nur Bolzen mit Gewin-den M 12 und M 20 vor. Von dieserTypisierung rückte er erst mit demEinzug des Computers bei der Pla-nung von Raumfachwerken Ende der1960er Jahre nach und nach ab.

5 Dialektische Synthese von individu-eller Baugestaltung und serieller Fertigung

Was den progressiven Meistern desBauhauses im Stahlbau – insbeson-dere den von ihm verehrten WalterGropius (1883–1969) – praktisch niegelang, sollte Mengeringhausen inden späten 1950er Jahren gelingen:

die Synthese von individueller Bauge-staltung und serieller Fertigung. Not-wendige Bedingung dieser dialekti-schen Synthese war seine Erkenntnisund systematische Anwendung desKompositionsgesetzes von Raumfach-werken in Gestalt der höheren Ein-heit von statischen Gesetz sowie Bil-dungs- und Baugesetz.

Die MERO-Bauweise ist diepraktische Umsetzung der 1940 vonMengeringhausen formulierten achtBaugesetze für Raumfachwerke [9,S. 114–115]:

Erstens:Regelmäßige Raumfachwerke werdenaus gleichseitigen und/oder recht-winkligen Dreiecken so zusammen-gesetzt, daß platonische Körper bzw.davon abgeleitete Formen entstehen(s. Bild 1).

Zweitens:Wegen ihres regelmäßigen Aufbaussind Raumfachwerke statisch optimal;die einheitlichen Knoten und wenigverschiedenen Stablängen gestattenindustrielle Serienfertigung.

Drittens:Die Stablängen des Raumfachwerksbilden eine geometrische Reihe desnatürlichen Wachstums mit dem Fak-tor ÷––

2 (s. Bild 20).

Viertens:Mit n verschiedenen Stablängen dergeometrischen Reihe des natürlichenWachstums können Reihen von ähn-lichen Polyedern gebaut werden.

Fünftens:Bei den ähnlichen Polyedern bildendie Größen der Oberflächen einegeometrische Reihe mit dem Faktor 2und die der Rauminhalte eine geome-trische Reihe mit dem Faktor 2 ¥ ÷––

2.

Sechstens:Alle genannten Elementarkörper undAbkömmlinge sowie die daraus zu-sammengesetzten Raumpackungenkönnen aus einem einzigen Univer-salknoten und Stäben der geometri-schen Reihe des natürlichen Wachs-tums zusammengesetzt werden.

Siebtens:Der Universalknoten ist ein 26-Fläch-ner aus der Reihe der halbregulärenarchimedischen Körper (s. Bild 19),

Bild 19. Zeichnung aus dem MERO-Patent vom 12. März 1943 [73]Fig. 19. Drawing from the MERO pa-tent dated 12 March 1943 [73]

Bild 20. Geometrische Reihe der Stab-längen mit dem Faktor ÷––

2 und dasnatürliche Vorbild für geometrischeReihen: Gehäuse von Ammoniten (n.[9, S. 25])Fig. 20. Geometric series of memberlengths with the factor ÷––

2 and thenatural model for geometric series:ammonite shells (after [9, p. 25])


dessen 18 Quadrate denselben Ab-stand zur Körpermitte besitzen unddie mit konzentrischen Bohrungenversehen sind.

Achtens:Für den Bau regelmäßiger Raumfach-werke genügt der Universalknotenmit 18 Anschlüssen in Gestalt desMERO-Normknotens (s. Bild 19).

Der Durchbruch des MERO-Raumfachwerks für weitgespannteDachkonstruktionen gelang Menge-ringhausen 1957 auf der Interbau inBerlin, wo er mit dem Architekt Pro-fessor Karl Otto ein aus halben Okta-edern und Tetraedern aufgebautesräumliches Fachwerkrost schuf (Bild 21).Die rechteckige Fachwerkplatte über-deckte eine Grundfläche von 52 ¥100 m, die ausschließlich aus MERO-Normknoten und einer einzigen Artvon Normstäben mit 2 m Systemmaßsowie Bolzen mit Gewinden M 20 be-stand. Das Baugesetz entspricht derhexagonal-dichtesten Kugelpackung;die Tetraeder werden auf die stehen-den Halboktaeder von oben einge-fügt, so daß eine rechteckige Fach-werkplatte entsteht (Bild 22). Derar-tige plattenförmige Raumfachwerkesind hochgradig statisch unbestimmtund konnten nicht mit der Stabstatikberechnet werden; deshalb mußtensich die Ingenieure bis zu Beginn der1970er Jahre beispielsweise mit demauf die Plattentheorie angewandtenDifferenzenverfahren behelfen (vgl.[77]). Diese Finitisierung des räum-

lichen elastischen Kontinuums durchdas Raumfachwerk findet sich imGrundsatz schon 1868 bei Kirsch[78], 1941 bei Hrennikoff [79] undsollte zur Herausbildung der Finite-Element-Methode in den 1950er Jah-ren beitragen. Die Finite-Element-Methode spielte in der statischenAnalyse von Raumfachwerken erst inden 1970er Jahren eine Rolle. Soblieb das Verhältnis von statischemGesetz und Baugesetz von Raum-fachwerken vorerst äußerlich.

Zur Deubau Essen veröffentlichteMengeringhausen 1962 die Broschüre„komposition im raum“ [80], wo erden Versuch unternahm, seine Bauge-setze, das Bildungsgesetz und stati-sche Gesetz von Raumfachwerken sy-stematisch aufeinander zu beziehen.Erst 1966 konnte Mengeringhausenauf der „International Conference onSpace Structures“ in London eine„Kompositionslehre räumlicher Stab-Fachwerke“ vorlegen [81]. Dort ko-dierte er die Elementarkörper vonRaumfachwerken analog zur Symbol-sprache der Kristallographie und Che-mie (Bild 23), um daraus zusammen-gesetzte Raumfachwerke mit Struktur-formeln zu klassifizieren (s. Bild 22).Bei derVerallgemeinerung seiner Bau-gesetze zum Kompositionsgesetz vonRaumfachwerken standen die 1849veröffentlichen „Abhandlungen übersymmetrische Polyeder“ [82] von Bra-vais, des Mitbegründers der Kristallo-graphie, Pate; auch Fritz Kesselrings1954 erschienenes Buch über „Tech-nische Kompositionslehre“ [83] mag

Mengeringhausen hierin angeregt ha-ben. In seiner 1970 abgeschlossenenDissertation zur geometrischen Ablei-tung der zweilagigen Stabwerkrosteaus dem kubischen Gitter vertiefteund erweiterte Helmut Eberlein mitBegrifflichkeiten der Kristallographiedas Klassifikationssystem Mengering-hausens für Raumfachwerke wesent-lich [84].

Ende der 1960er Jahre schließ-lich gab Mengeringhausen die auf Ba-sis der geometrischen Reihe des natür-lichen Wachstums festgelegten Stab-längen mit dem Faktor ÷––

2 (s. Bild 20)frei und überwand die Fixierung aufBolzengewinde M 12 und M 20, sodaß räumliche Fachwerke bei Anpas-sung an gegebene Bauwerksabmes-sungen als affine Verzerrungen darge-stellt und statisch-konstruktiv reali-siert werden konnten. Zwischen 1969und 1971 verfaßten Joachim Scheerund sein früherer Mitarbeiter UweUllrich zahlreiche gutachtliche Stel-lungnahmen zur Verwendung der inder bauaufsichtlichen Zulassung derMERO-Bauart von 1963 nicht erfaß-ten Bauteile im Vorgriff auf Regeln inder in Beratung befindlichen neuenZulassung, die schließlich 1971 erteiltwurde [85]. 1978 entwickelte das von1976 bis 1992 von Joachim Scheer ge-leitete Institut für Stahlbau der TUBraunschweig ein auf dem Traglast-verfahren fußendes und durch Versu-che abgesichertes Bemessungsverfah-ren für die MERO-Bauweise.

Der Einsatz des Computers lei-tete Ende der 1960er Jahre eine Um-wälzung in der theoretischen wiepraktischen Komposition von Raum-fachwerken ein, die sichtbar durchden Bau der Konzert-Kuppel der


Bild 21. Halle der „stadt von morgen“ auf der Interbau Berlin 1957 mit sichtba-rem Raumfachwerk als Gestaltungselement [10, S. 129]Fig. 21. Hall of the „town of the future“ at Interbau Berlin 1957 with visible spa-tial framework as a design element [10, p. 129]

Bild 22. Zusammensetzung eines plat-tenförmigen, rechteckigen Raumfach-werks aus Halboktaedern (1/2O) undTetraedern (T): 1/2O + T [9, S. 72] Fig. 22. Composition of a slab-shaped,rectangular spatial framework consi-sting of semi-octahedrons (1/2O) andtetrahedrons (T): 1/2O + T [9, p. 72]

Bundesrepublik Deutschland auf derEXPO 1970 in Osaka eingeleitetwurde (Bild 24) und sich 1979 mitdem Bau der 200 m weitgespannten,schalenförmigen Überdachung derTribüne des Sportstadions in derdalmatinischen Küstenstadt Split voll-endete (Bild 25). 839 verschiedeneKnoten bei insgesamt 3460 Knotenund 1143 unterschiedliche Stäbe beiinsgesamt 12382 Stäben konntennicht mehr händisch beherrscht wer-den. Aus dem Handwerker des stati-schen Rechnens, der eindrucksvolle,intellektuell geschaffene Kunstfor-men hinterließ, entwickelte sich der

620



„Geistwerker“ (Wortschöpfung Men-geringhausens), der die systemischeIntegration von Entwurf, Berech-nung, Konstruktion und Fertigungvon abgeleiteten Raumfachwerkendurch den Computer vorantrieb; hierseien Helmut Emde und HerbertKlimke genannt. Während HelmutEmde [86] die Geometrie von ebeneauf gekrümmte Raumfachwerke aus-weitete, computergestützte Fach-werktopologien generierte, mithinabgeleitete Raumfachwerkgeometrienper Computer erfaßte, gelang HerbertKlimke nach Übernahme der Leitungdes Rechenzentrums der Firma

MERO am 1. Januar 1974 die Bre-chung der Herrschaft des Linearenbei der baustatischen Analyse vonRaumfachwerken, indem er die Er-kenntnisse seiner Dissertation [87]nutzte und das Finite-Element-Pro-gramm-System „Structural AnalysisProgram“ (SAP) so modifizierte, daßnichtlineare Effekte aus TheorieII. Ordnung und ideal-elastisches,ideal-plastisches Materialverhaltenberücksichtigt werden konnten. Fürnicht standardisierte Netze beschrie-ben Jaime Sanchez [88], Martin Ruhund Herbert Klimke [89] die topolo-gischen Beziehungen von Raumfach-werken in einem ganzzahligen Raster-feld und die Metrik durch eine Koor-dinatentransformation [90, S. 258–259]: sie setzten damit die Arbeitenvon Helmut Emde konsequent fort.

Mit der Einführung der NC-ge-steuerten Fertigung von Stäben undKnoten sowie der automatischen Er-zeugung von Positionsplänen u. ä.schloß die Firma MERO die systemi-sche Verknüpfung von Entwurf, Be-rechnung, Konstruktion und Ferti-gung von abgeleiteten Raumfachwer-ken durch den Computer: Damitnahm sie die Rolle des Schrittma-chers im Bauwesen – speziell imStahlbau – ein. So vollendete Menge-ringhausen die dialektische Synthesevon individueller Baugestaltung undserieller Fertigung bei Raumfachwer-ken.

Das in seinen Büchern 1975 [10]und 1983 [9] umfassend dargestellteKompositionsgesetz für Raumfach-werke (s. Bild 2b) kann dahingehendgedeutet werden,– daß das Bildungsgesetz von Raum-fachwerken s = 3 · k – 6 aufgrund dergroßen Anzahl der Stäbe s und derKnoten k nicht mehr an den Fingernabgezählt werden kann.– daß vielmehr das Bildungsgesetzvon Raumfachwerken sich in der Com-puterstatik als reine mathematischeTransformation darstellt.– daß also das Bildungsgesetz im com-putergestützten Entwurf im Baugesetzaufgeht, mithin die Differenz von Geo-metrie und Statik verschwindet.– daß das statische Gesetz nicht mehrin Gestalt von Kräfteplänen oder Ela-stizitätsbedingungen erscheint, son-dern untrennbarer Bestandteil der Tri-nität von Material-, Verschiebungs-und Gleichgewichtsgesetz der finitenStabelemente ist.

Bild 23. Elementar-Körper nach Mengeringhausen zur Klassifizierung regelmäßi-ger Raumfachwerke [10, S. 45]Fig. 23. Elementary body according to Mengeringhausen for the classification ofregular spatial frameworks [10, p. 45]


– daß das Bildungsgesetz, Baugesetzund statische Gesetz von Raumfach-werken erst über die Verkettung vonEntwurf, Berechnung, Konstruktionund Fertigung durch die symbolischeMaschine Computer sich zur höheren

Einheit des Kompositionsgesetzes ent-wickelte.

So materialisiert sich das Kompo-sitionsgesetz nicht nur als Möglichkeitder Anmut im fertiggestellten Raum-fachwerk, sondern birgt sie auch im

zu ihm führenden Bildungsprozeß,der durch menschliche Tätigkeit be-lebt wird; auch in diesem Bildungs-prozeß kann das Begier anregendeund befriedigende, die Grazie odersinnliche Schönheit entdeckt werden.

Literatur

[1] Seidel, H.: Von Thales bis Platon.Vorlesungen zur Geschichte der Philo-sophie. Köln: Pahl-Rugenstein Verlag1980.

[2] Falter, H.: Untersuchungen histori-scher Wölbkonstruktionen – Herstell-verfahren und Werkstoffe. Stuttgart:Dissertation Universität Stuttgart 1999.

[3] Platon: Sämtliche Werke. Band 4: Ti-maios, Kritias, Minos, Nomoi. Übers. v.H. Müller u. F. Schleiermacher. Rein-bek b. Hamburg: Rowohlt Taschen-buch Verlag 1994.

[4] Wußing, H. (Hrsg.): Geschichte derNaturwissenschaften. Köln: Aulis-Ver-lag Deubner 1983.

[5] Friemert, Ch.: Kunst, Künste. In:Europäische Enzyklopädie zu Philoso-phie und Wissenschaften, Band 2,hrsgn. v. H. J. Sandkühler, S. 919–939.Hamburg: Felix Meiner 1990.

[6] Vitruvius, P. M.: Zehn Bücher überArchitektur. Übers. u. mit Anm. vers. v.Curt Fensterbusch. 3. Aufl. Darmstadt:Wissenschaftliche Buchgesellschaft1981.

[7] Straub, H.: Die Geschichte derBauingenieurkunst. 4., überarb. u. erw.Aufl. hrsgn. v. Peter Zimmermann. Ba-sel: Birkhäuser 1992.

[8] Grimm, J., Grimm, W.: Anmut. In:Deutsches Wörterbuch. Erster Band,hrsgn. v. J. Grimm u. W. Grimm,Sp. 409–410. Leipzig: Verlag von S. Hir-zel 1854.

[9] Mengeringhausen, M.: Kompositionim Raum. Die Kunst individueller Bau-gestaltung mit Serienelementen. Gü-tersloh: Bertelsmann-Fachzeitschrif-ten 1983.

[10] Mengeringhausen, M.: Kompositionim Raum. Raumfachwerke aus Stäbenund Knoten. Wiesbaden: Bauverlag1975.

[11] Schwedler, J. W.: Die Constructionder Kuppeldächer. Zeitschrift für Bau-wesen 16 (1866), Sp. 7–34.

[12] Hertwig, A.: Johann WilhelmSchwedler. Berlin: Verlag von WilhelmErnst & Sohn 1930.

[13] Föppl, A.: Das Fachwerk im Raume.Leipzig: Verlag von B. G. Teubner1892.

[14] Zimmermann, H.: Über Raumfach-werke. Neue Formen und Berech-nungsweisen für Kuppeln und sonstigeDachbauten. Berlin: Verlag von Wil-helm Ernst & Sohn 1901.


Bild 24. Konzert-Kuppel der Bundesrepublik Deutschland auf der EXPO 1970 inOsaka [10, S. 293]Fig. 24. Concert dome of the Federal Republic of Germany at EXPO 1970 inOsaka [10, p. 293]

Bild 25. Tribünenüberdachung des Stadions in der dalmatinischen KüstenstadtSplitFig. 25. Stadium grandstand roof at the Dalmatian coastal town of Split

[15] Müller-Breslau, H.: Beitrag zurTheorie des räumlichen Fachwerks.Zentralblatt der Bauverwaltung 11(1891), H. 44, S. 437–440, 12 (1892),H. 19, S. 201–207, H. 21, S. 225–227,H. 23, S. 244–246 u. H. 24, S. 256–259.

[16] Müller-Breslau, H.: Zur Theorie derKuppel- und Turmdächer und ver-wandter Konstruktionen. Zeitschriftdes Vereines deutscher Ingenieure 42(1898), H. 44, S. 1205–1213 u. H. 45,S. 1233–1241.

[17] Müller-Breslau, H.: Zur Theorie derKuppel- und Turmdächer. Zeitschriftdes Vereines deutscher Ingenieure 43(1899), H. 14, S. 385–389.

[18] Müller-Breslau, H.: Die Berech-nung achtseitiger Turmpyramiden.Zeitschrift des Vereines deutscher In-genieure 43 (1899), H. 37, S. 1126–1134.

[19] Müller-Breslau, H.: Über räumlicheFachwerke. Zentralblatt der Bauver-waltung 22 (1902), H. 8, S. 49–51,H. 10, S. 61–63, H. 70, S. 429–432 u.H. 82, S. 501–503.

[20] Müller-Breslau, H.: Bemerkungenzur Berechnung des Raumfachwerks.Zentralblatt der Bauverwaltung 23(1903), H. 10, S. 65–66.

[21] Müller-Breslau, H.: Zur Berech-nung räumlicher Fachwerke. Zen-tralblatt der Bauverwaltung 23 (1903),H. 48, S. 298–300.

[22] Müller-Breslau, H.: Zur Berech-nung der Raumfachwerke. Zentralblattder Bauverwaltung 23 (1903), H. 82,S. 509–512, H. 84, S. 523-524 u. H. 102,S. 642–643.

[23] Mohr, O.: Über die Zusammenset-zung der Kräfte im Raume. Zivilinge-nieur 30 (Neue Folge Bd. 22) (1876),Sp. 121–130.

[24] Mohr, O.: Beitrag zur Theorie desRaumfachwerkes. Zentralblatt der Bau-verwaltung 22 (1902), H. 34, S. 205–208.

[25] Mohr, O.: Zur Berechnung derRaumfachwerke. Zentralblatt der Bau-verwaltung 22 (1902), H. 102, S. 634–636.

[26] Mohr, O.: Zur Berechnung derRaumfachwerke. Zentralblatt der Bau-verwaltung 23 (1903), H. 38, S. 237–239, H. 64, S. 402–403 u. H. 102,S. 641–642.

[27] Henneberg, L.: Lehrbuch der tech-nischen Mechanik. 1. Teil: Statik derstarren Systeme. Darmstadt: Verlagvon Arnold Bergsträsser 1886.

[28] Henneberg, L.: Über die Entwick-lung und die Hauptaufgaben der Theo-rie der einfachen Fachwerke. In: Jah-resbericht der Deutschen Mathema-tiker-Vereinigung, 3. Bd., S. 567–599.Berlin: Verlag von Georg Reimer 1894.

[29] Henneberg, L.: Die sog. Methodedes Ersatzstabes. Zentralblatt der Bau-verwaltung 23 (1902), H. 60, S. 377–378.

622



[30] Henneberg, L.: Die graphische Sta-tik der starren Körper. In: Enzyklopä-die der mathematischen Wissenschaf-ten. Vierter Band: Mechanik, ersterTeilband hrsgn. v. F. Klein u. C. Müller,S. 345–434. Leipzig: Verlag von B. G.Teubner 1903.

[31] Henneberg, L.: Die graphische Sta-tik der starren Systeme. Leipzig: Verlagvon B. G. Teubner 1911.

[32] Schlink, W.: Über räumliche Dach-fachwerke. Zeitschrift für Arch.- u.Ing.-wesen 50 (9. Bd. d. neuen Folge)(1904), Sp. 183–198.

[33] Schlink, W.: Über Stabilitätsunter-suchungen von Raumfachwerken. In:Jahresbericht der Deutschen Mathe-matiker-Vereinigung, 16. Bd., S. 46–53.Leipzig: Verlag von B. G. Teubner 1907.

[34] Schlink, W.: Statik der Raumfach-werke. Leipzig: Verlag von B. G. Teub-ner 1907.

[35] Schulz, B.: Wallots Kuppel kommtnicht wieder. In: Der Tagesspiegel,Mittwoch, 17. Februar 1993, Nr. 14472,S. 19.

[36] Kurrer, K.-E.: Reichstagskuppelkommt nicht wieder. In: Der Tages-spiegel, Sonntag, 7. März 1993,Nr. 14490, S. II.

[37] Lodemann: Das Kuppeldach überdem Sitzungssaale des Reichtagshau-ses in Berlin. Zeitschrift für Bauwesen47 (1897), Sp. 511–516.

[38] Föppl; A.: Theorie des Fachwerks.Leipzig: Verlag von Arthur Felix 1880.

[39] Föppl, A.: Über das räumliche Fach-werk. Schweizerische Bauzeitung Bd. 11(1888), H. 17, S. 115–117.

[40] Hacker: Statische Bestimmung derSpannungen des Fachwerks im Raumebei schiefer Belastung. Zeitschrift fürBauwesen 38 (1888), Sp. 43–82.

[41] Föppl, A.: Über das räumliche Fach-werk. Schweizerische BauzeitungBd. 17 (1891), H. 13, S. 77–80.

[42] Föppl, A.: Über das Flechtwerk.Schweizerische Bauzeitung Bd. 17(1891), H. 16, S. 95–96.

[43] Föppl, A.: Die Theorie des räumli-chen Fachwerks und der Brückenein-sturz bei Mönchenstein. Schweizeri-sche Bauzeitung Bd. 18 (1891), H. 3,S. 15–17.

[44] Scheer, J.: Versagen von Bauwerken.Ursachen, Lehren. Band 1: Brücken.Berlin: Verlag Ernst & Sohn 2000.

[45] Ritter, W.: Anwendungen der gra-phischen Statik. Zweiter Teil: DasFachwerk. Zürich: Verlag von Meyer &Zeller 1890.

[46] Föppl, A.: Zur Fachwerkstheorie.Schweizerische Bauzeitung Bd. 9 (1887),H. 7, S. 42–43.

[47] Müller-Breslau, H.: Die neuerenMethoden der Festigkeitslehre und derStatik der Baukonstruktionen. Leipzig:Baumgärtner’s Buchhandlung 1886.

[48] Müller-Breslau, H.: Die graphischeStatik der Baukonstruktionen. Band I.2., vollst. umgearb. u. wesentl. verm.Aufl. Leipzig: Baumgärtner’s Buch-handlung 1887.

[49] Zimmermann, H.: Das Raumfach-werk der Kuppel des Reichstagshauses.Zentralblatt der Bauverwaltung 21(1901), H. 33, S. 201–203 u. H. 34,S. 209–214.

[50] Zschetzsche, A. F.: Die Kuppel desReichstagshauses. Zeitschrift des Österr.Ing.- u. Arch.-Vereines 53 (1901), H. 4,S. 52–60, H. 5, S. 65–70 u. H. 6, S. 81–87.

[51] Föppl, A.: Zeichnerische Behand-lung der Zimmermannschen Kuppel.Zentralblatt der Bauverwaltung 21(1901), H. 79, S. 487–488.

[52] Braun, H.-J.: Methodenproblemeder Ingenieurwissenschaft, 1850 bis1900. Technikgeschichte 44 (1977), H. 1,S. 1–18.

[53] Schlink, W., Dietz, H.: TechnischeStatik. Ein Lehrbuch zur Einführungins technische Denken. 2. u. 3., erw.Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1946.

[54] Mayor, B.: Statique graphique dessystèmes de l’espace. Lausanne: F.Rouge & Cie, Librairie und Paris: Li-brairie Gauthier-Villars 1910.

[55]Mayor, B.: Introduction à la statiquegraphique des systèmes de l’espace.Lausanne: Librairie Payot & Cie 1926.

[56] v. Mises, R.: Graphische Statikräumlicher Kräftesysteme. Zeitschriftfür Mathematik und Physik 64 (1917),S. 209–232.

[57] Prager, W.: Beitrag zur Kinematikdes Raumfachwerkes. Zeitschrift fürangewandte Mathematik und Mecha-nik 6 (1926), H. 5, S. 341–355.

[58] Prager, W.: Die Formänderungenvon Raumfachwerken. Zeitschrift fürangewandte Mathematik und Mecha-nik 7 (1927), H. 6, S. 421–424.

[59] Sauer, R.: Graphische Statik räum-licher Kräftesysteme mit Hilfe der dua-len Kräfteabbildung. Zeitschrift für an-gewandte Mathematik und Mechanik20 (1940), H. 3, S. 174–180.

[60] Benjamin, W.: Das Kunstwerk imZeitalter seiner technischen Reprodu-zierbarkeit. In: Walter Benjamin. Ge-sammelte Schriften, Band VII/1(Nachträge), hrsgn. v. R. Tiedemann u.H. Schweppenhäuser. Frankfurt/M:Suhrkamp 1989.

[61] Makowski, Z. S.: Räumliche Stab-werke aus Stahl. Düsseldorf: VerlagStahleisen 1963.

[62] Wachsmann, K.: Wendepunkt imBauen. Reprint der 1959 im Krauss-kopf-Verlag, Wiesbaden erschienenenAusgabe mit einem Vorwort von O. Patzelt. Dresden: VEB Verlag derKunst 1989.

[63] Schuchow, F. V.: Erinnerungen anmeinen Großvater V. G. Suchov. In:


Vladimir G. Suchov, 1853–1939. DieKunst der sparsamen Konstruktion.Bearb. v. R. Graefe, M. Gapo’ev, M. u.O. Pertschi, S. 20–21. Stuttgart: Deut-sche Verlagsanstalt 1990.

[64] Schuchow, V. G.: Schriften. In: Vla-dimir G. Suchov, 1853–1939. DieKunst der sparsamen Konstruktion.Bearb. v. R. Graefe, M. Gapo’ev, M. u.O. Pertschi, S. 174–183. Stuttgart:Deutsche Verlagsanstalt 1990.

[65] Graefe, R.: Netzdächer, Hänge-dächer und Gitterschalen. In: VladimirG. Suchov, 1853–1939. Die Kunst dersparsamen Konstruktion. Bearb. v. R.Graefe, M. Gapo’ev, M. u. O. Pertschi,S. 28–53. Stuttgart: Deutsche Verlags-anstalt 1990.

[66] Petropavlovskaja, I. A.: Der Sende-turm für die Radiostation Sabolovka inMoskau. In: Vladimir G. Suchov,1853–1939. Die Kunst der sparsamenKonstruktion. Bearb. v. R. Graefe, M.Gapo’ev, M. u. O. Pertschi, S. 92–103.Stuttgart: Deutsche Verlagsanstalt 1990.

[67] Ricken, H.: Erinnerungen an Wla-dimir Grigorjewitsch Schuchow (1853–1939) Bautechnik 80 (2003), H. 8,S. 542–547.

[68] Marks, R. W.: The Dymaxion Worldof Buckminster Fuller. New York:Reinhold Publishing Corporation1960.

[69] Ricken, H.: Erinnerungen an RichardBuckminster Fuller (1895–1983) Bau-technik 72 (1995), H. 7, S. 460–466.

[70] Porstmann, W.: Normenlehre.Grundlagen, Reform und Organisationder Maß- und Normensysteme darge-stellt für Wissenschaft, Unterricht undWirtschaft. Leipzig: Schulwissenschaft-licherVerlag A. Haase 1917.

[71] Neufert, E.: Bau-Entwurfslehre.Berlin: Bauwelt-Verlag 1936.

[72] Mengeringhausen, M.: Die MERO-Bauweise. Berlin: Eigenverlag 1942.

[73] Mengeringhausen, M.: Verbindungvon Rohrstäben und knotenbildendenVerbindungsstücken, insbesondere fürzerlegbare Fachwerkkonstruktionen.Deutsches Reichspatent v. 12. März1943 und Deutsches Bundespatent v.12. 3. 1953 (DBP Nr. 874 657).

[74] Borelli, J. A.: Die Bewegung derTiere. Übers. u. mit Anmerk. vers. v.Max Mengeringhausen. Ostwald’sKlassiker der exakten WissenschaftenNr. 221. Leipzig: Akademische Verlags-gesellschaft 1927.

[75] Mengeringhausen, M.: Die Ent-wicklung der Schienenfabrikation inDeutschland. München: DissertationTH München 1928.

[76] Mengeringhausen, M.: Die MERO-Bauweise. 2. Aufl. Berlin: Eigenverlag1944.

[77] Lederer, F.: Fachwerk- und Rost-platten. Düsseldorf: Werner-Verlag1972.

[78] Kirsch: Die Fundamentalgleichun-gen der Theorie der Elasticität festerKörper, hergeleitet aus der Betrachtungeines Systems von Punkten, welchedurch elastische Streben verbundensind. Zeitschrift des Vereines deutscherIngenieure 12 (1868), H. 8, Sp. 481–488,H. 9, Sp. 553–570 u. H. 10, Sp. 631–638.

[79] Hrennikoff, A.: Solution of pro-blems in elasticity by the frameworkmethod. Journal of applied mechanicsVol. 8, 1941.

[80] Mengeringhausen, M.: Komposi-tion im Raum. Einführung in die Kon-struktion und Anwendung von Raum-Fachwerken für das Bauwesen. Würz-burg: MERO Rohrkonstruktionen undGeräte (Eigenverlag) 1962.

[81] Mengeringhausen, M.: Komposi-tionslehre räumlicher Stab-Fachwerke.In: Proceedings of the InternationalConference on Space Structures editedby R. M. Davies, Paper R 7. Oxford/

Edinburgh: Blackwell Scientific Publi-cations 1967.

[82] Bravais, A.: Abhandlungen übersymmetrische Polyeder. Übers. u. inGemeinschaft mit P. Groth hrsgn. v. C.u. E. Blasius. Ostwald’s Klassiker derexakten Wissenschaften Nr. 17. Leip-zig: Verlag von Wilhelm Engelmann1890.

[83] Kesselring, F.: Technische Kompo-sitionslehre. Berlin: Springer-Verlag1954.

[84] Eberlein, H.: Beitrag zur geometri-schen Ableitung der zweilagigen Stab-werkroste aus dem cubischen Gitter.Berlin: Dissertation TU Berlin 1970.

[85] Scheer, J.: Einige Informationen zurEntwicklung des MERO-Raumtrag-werkes. Briefl. Mitt. an den Verf. v.9. August 2003.

[86] Emde, H.: Geometrie der Knoten-Stab-Tragwerke. Würzburg: Struktur-forschungszentrum e. V. 1977.

[87] Klimke, H.: Berechnung der Trag-last statisch unbestimmter räumlicherGelenkfachwerke unter Berücksichti-gung der überkritischen Reserve derDruckstäbe. Karlsruhe: DissertationUniversität Karlsruhe 1976.

[88] Sanchez, J.: FORMEX Formulationof Structural Configurations. PhD-Thesis, University of Surrey, Dept. ofCivil Engineering, Sept. 1980.

[89] Ruh, M., Klimke, H.: Darstellungeines Konstruktions-Systems zur Er-zeugung der Geometrie von Knoten-Stab-Tragwerken. In: IKOSS – Intern.FEM-Kongreß, S. 107–122. Baden-Ba-den: 1981.

[90] Klimke, H.: Zum Stand der Ent-wicklung der Stabwerkskuppeln. DerStahlbau 52 (1983), H. 9, S. 257–262.

Autor dieses Beitrages:Dr.-Ing. Karl-Eugen Kurrer, Verlag Ernst undSohn, Bühringstraße 10, 13086 Berlin


Documents

Zur Komposition von Raumfachwerken von Föppl bis Mengeringhausen