Zur Konstruktion yon Minimalfolgen fiir das Funktional des ebenen elsstisch-plrtstischen Spannungszustandes

Ton HERBERT GAJEWSKI und ARNO LANGENB.4CH in Berlin

(Eingegangen am 15.4.1964)

I.

Das der Airyschen Funktion entsprechende Potential des ebeneii elastisch-plastischen Spannungszustandes kann als Losung cles Minimum- Problems fiir ein nicht quadratisches Funktional erniittelt werden [ I], [ a ] . Erfolgt die Konstruktion einer Bfinimalfolge nach dem Ritzschen Verfahren, so miissen die Niiherungslosungen aus einem n i c h t li n ear e n algebraischen Gleichungssystem bestimmt werden. L. M. KATSCHANOW [3] gab ein Ver- fahren an, bei dem die Naherungslosungen des Ritzschen Verfahrens suk- zessiv aus linearen Gleichungssystemen bestimmt werden. Die von S. N. ROSE [4] veroffentlichten Konvergenzbedingungen reichen jedoch nicht aus, mie sich an Beispielen zeigen 1LI3t.

In der vorliegenden Arbeit wird zunachst gezeigt, daB die Losung des Minimum-Problems mit Hilfe yon kontrahierenden Abbildungen erfolgen kann. Ein endlichdimensionales Analogon dieses Iterationsverfahrens liefert dann ein dem Ritzschen ahnliches Verfahren, wobei die Naherungslosungen aus 1 ine a r en algebraischen Gleichungssystemen bestimmt werden. Dieses Naherungsverfahren kann auch auf andere Minimum-Probleme fiir nicht quadratische Funktionale iibertragen werden.

Wir betrachten eine Platte, deren Mittelebene 9 ein endliches Gebiet der xy-Ebene ist. Wird diese Platte nur durch Krafte in der Mittelebene belastet, so stellt sich ein annahernd ebener Spannungszustand ein, der durc h folgende Annahmen charakterisiert ist :

(1.1) Is, = tz. = zyr = 0.

or, uy , zzy aind Funktionen von x und y. Die verbleibenden Gleichgewichts- bedingungen sind bei fehlenden Massenkraften

166 Gajenski, Langenbach, Zur Konstruktion von Minimalfolgen

Setzt man 2 2 u a? u u a 92 %x ay

gz=-, g=---- Y a x ? 3 'ZY = - - I (1.3)

so sind die Bedingungen (1.2) fiir jede in Q dreimal stetig differenzierbare Funktion U (x, y) erfullt. Aus dem Henckyschen Stoffgesetz

~ , = f ( T ) ( ~ ~ - - - ~ ) f k 5 = ( k - f ( T ) ) ~ + f ( T ) g ,

+ f ( T ) gy = f ( T ) (ay .- a) + k 5 = ( k - f (T) )

Yzy = 2f(T) rzy.

a t L a v au a v , E l = - , y r y = - + - ay ax 2x a Y

(1.5)

Xus den Beziehuilgen

E, = -

ersieht man die Vertriiglichkeitsbeclingung

8% &, Ey a:! ZY --. V+G- a x a y

Hieraus und atis (1.5) erhiilt man die Gleichung des ebenen Spannungs- zustandes

k d 3 3

(1.6) .+ -A?U - - [ f ( T ) nu] = 0.

T ist eine Invariante des Spannungstensors, die wir in der Form

7 1 3

T = T:, + t S z $- t i a + - [(az- ay)% + (ay - a,)? + (o2 - a,)?] (1.7)

wahlen. Im ebenen Spannungszustand ist

Gajewski, Lsngenbach, Zur Konstruktion von Ninimalfolgen 167

T = T [ U , U ] ist eine positive quadratische Form in clen Komponenteri a? u a? u a? u ax?' dy" axay' __ - --

au au ax a y Anf dem Rand S werden gewohnlich U , -, - vorgegeben. Sei w (x, y)

eine hinreichencl glatte Funktion, die den Randbedingungen genugt, etwa die Airysche Funktion des ebenen Spannungszustandes in1 el a s t is c he 11 Problem. Wir setzen

(1.9) woraus sich fur u (x, y) homogene Randbedingungen

U(x, y) = w(x, y) + u(x, y) ,

Aus (1.6) folgt die Gleichung

(1.10)

ergeben.

t 2 1 ) I

d 3

- - { f ( T [ w + 21, ZU +u]) d (.to + u ) } = 0 ,

mit c'en Randbedingungen

Besitzt das Ranclwertproblem (1. LO), (1.11) eine Losung ~ ( x , y), so realisiert cliese fur geeignete Funktionen f ( 6 ) das Minimum des Funktionals

T [ W + U , w t u l

(1.12) @(u) = J[ T[ll f ( 6 ) dE + ; A (w + iZ') d .j CZQ.

R

Dies folgt BUS einem allgemeinen Variatioflsprinzip [I], [2]. Andererseits erhalt man das Funktional 1.12 direkt aus einem Variationsprinzip der Plastizitatstheorie [5]. Wir konnen daher auf die genauen Bedingungen der Aquivalenz verzichten und wenden uns der Losung des Minimum- Problems f i i r das Funktional (1.12) zu.

11. LSsung des Minimum-Problems

SZ sei ein endliches Gebiet mit stiickweise glattem Rand S, Vereinigung von endlich vielen sternformigen Gebieten nach S. L. SOBOLEW [6]. f i t

168 Gajewski, Langenbuch, Zur Konstruktion von JIinimalfolgen

C(k) (a) bezeichnen wir den Raum der in 9 = Q + S k-ma1 stetig differen- zierbareii Funktionen. Das Funktional

I T T W . W l . ,

C = --[I n o R

betrachten wir zunffchst f i i r ein festes w E C(’) (0) uncl u E N C C(3) (O), wobei N linear sei und gemiiI3 den Bedingungen (1.11) solche Funktionen aus Cf3) (0) enthalt, die mit ihren ersten Ableitungen auf Sverschwinden 1).

Wie man sich durch partielle Integration uberzeugt, gilt fiir beliebige u E N, v E Cf?) (0)

T [ Z L , V] dQ == - A U A V d Q , (2.1) s 3 ‘J’ R

R

und aus der Friedrichsschen Ungleichung folgt

? P Q fur eine geeignete Bonstante b, die nur von Q abhiingt. Auf N ist also

(2.3) [u, V] = J’ A Z L A V d 9 R

ein Skalarprodukt. SchlieBt man nT in der durch dieses Skalarprodukt erzeugten Metrik ab, so erhalt man einen vollstandigen HILBEm-Raum H , der als Teilraum des SoBoLEwschen Raumes W p ) (Q) betrachtet merden darf .

Die empirische Funktion f ( E ) sei fur t 2 0 erkliirt, rech tsse i t ig s t e t i g und n ich t fa l lend. oberdies sei

(2.4) 0 Zf(E) 5 fV <: m.

@(u) besitrt eine untere Schranke auf N , denn es gilt @(u) 2 C. Es liegt daher nahe, das Minimurn.-Problem durch Minimalfolgen zu losen. Sei

d = inf @(u) . U E l V

Dann existiert mindestens eine Folge (un} C N , lim @ (u,) = d . n+Oa

i) Unseren Voraussetzungen gemLl3 kann N auch endlichdimensional sein; dann ist die AbschlieBung in der Metrik (2.3) ein Ennmischer Raum, fiir den wir die Bezeichnung Hilbert-Raum ebenfab anwenden wollen.

Gajewski, Langenbach, Znr Konstruktion yon Minimnlfolgen 169

Satz 1. Jede Minimalfolge {u,) C N des FzLnEtioncds (1.12) konvergiert

Beweis. Sei (zL,} C N eine Minimalfolge. Wir setzen w, = w + u,, stark in H .

n = 1 , 2 , . . . , und

0 (ZLn) = PI (vn) + P? (vn) + c ,

wobei die Funktionale F L ) P, suf 0'') (a) erkliirt sincl. Ferner erklaren wir das Funktional Q , ~

ebenso die Funktionale eP,, eF2. D a m ist

(2.6) ~9 (urn) un) == Q F , (vm t vn) + (vm 9 vn).

F, ist ein quadratisches Funktiorial; es gilt dalier

F , ist gleichmafiig konvex . TI u m - u i--" . 11,- -1 u I

R 0

denn f(t) ist eine nicht fdlencle Funktion ; daher geniigt die Funktion 72

= J f ( E ) dE 0

den Bedingungen

2.10) g(r:) + g ( i i ) - g(r: + r i ) 5 0.

Fiir die quadratische Form T finden wir

(2.11)

12 Math. Nachr. 1065, Bd. 30, H. 3/11

170 Gajewski, Langenbach, Zur Konstruktion von 3linimalfolgen

In (2.9) setzen wir

r? = T [v,, v,], T i = T[v,, vJ:

woraus mit Hilfe von (2.10), (2.11) nach Integration iiber Q die Ungleichung (2.8) folgt. Da {un} Minimalfolge, erhalt man fur ein beliebiges E > 0 und geeignetes no

Q@ (urn, un) < E , falls m, n > no.

Aus (2.6), (2.7) folgt damit: {u~) ist Fundamentalfolge beziiglich der Metrik (2.3), d. h. in H, w. z. b. w.

Man folgert aus Satz 1, daB alle Minimalfolgen des Funktionals (1.12) den gleichen Grenzwert u* E H haben'). U* braucht jedoch nicht dem Definitionsbereich N anzugehoren.

Wir erweitern nun den Definitionsbereich des Funktionals (1.12) dercrt, daB wir w E F J ' f ) ( Q ) und u E H zulassen. Wegen (2.4) existieren die @(u) darstellenden Integrale im Sinre von LEBESGUE. cberdies gilt

Satz 2. Fur j e d e s w E l V f ) ( Q ) ist @(u) stet ig in H. Beweis. Wir setzen wieder

@ ( u ) = F,(w + U) + F,(w + U ) + C.

Sei 22 E H beliebig, 6 = w + 6, v = w + u. Es gilt k 6f2

F 2 ( v ) - P,(G) = - J [ ( d ~ ) 2 - ( ~ l 5 ) ~ l d Q .

1st nun t[pl, pl] eine beliebige positive quadratische Form in den Kompo- renten des Vektors pl, so gilt

Daher ist k

k

/ B ~ ( V ) - FZ(5) I 5 g J 1 d (V + G) 1 Id (V - 5) I d Q R

- 5 - /i f [ A (v + 7 3 1 2 IIu - & I l l H , -- 6 I!

Fixieren wir eine Kugel 11 u - 4 11, < E , so konnen wir f i i r J [ A (v + 5)]2 dQ

eine obere Schranke angeben; die Stetigkeit von F , wird damit sichtbar. R

2) Dieser Grenzwert wird in [i] verallgemeinerte Losmg genannt; dort wird auch das Funktional (1.12) betrachtet, jedoch unter anderen, fur das gegenwirtige Ziel weniger ge- eigneten Voraussetzungen iiber die Materialfunktion f ( E ) .

Gajewuki, LangenbaTh, Zur Konstruktion von Minimalfolgen 171

Ahnlich 1a8t sich die Stetigkeit von PI zeigen. Wir erhalten die Kette von

wobei wir (2.4), (2.12) und die ScHwARzsche Ungleichung benutzt haben. Auf w - 6 = u - 6, E H 1aBt sich die auf 11 erweiterte Beziehung (2.1) an- wenden :

Hiermit ist Satz 2 bewiesen. Bus Satz 2 ersieht man, daB sich die untere Grenze des Funktionals

(1.12) bei der Erweiterung nicht andert. Der Grenzwert u der in Satz 1 betrachteten Minimalfolge realisiert also das Ninimum des Funktionals (1.12) auf as).

111. Das Ritzsche Verfahren

Bisher haben wir den Definitionsbereich N des Funktionals (1.12) und seine Erweiterung H allgemein gewahlt. Es gibt einen maximalen De- finitionsbereich, den wir M o nennen wollen. Seine Erweiterung sei H , . M , enthalt also al le Funktionen von C("(a), die mit iliren ersten Ab- leitungen auf S verschwinden. Mit Wf) (a) ist auch H , separabel, es existiert also ein vollstandiges System linear unabhangiger Funktionen v1, v2 , . . . , die wir augenscheinlich als Elemente von 310 auffassen konnen und die den Raum H , aufspannen.

Wir wahlen nun die ersten n dieser ,,Koordinatenfunktionen" ; ihie abgeschlossene lineare Hiille bildet eine Menge ME), die mit der Metiilr (2.3) den HILBERT-Raum Hr' bildet. Die Satze (1.2) gelten bezuglich .&IF): zu jedem n gibt es genau eine Losung u t ) des Minimum-Problems fur das Funktional (1.12) auf H$" . Offensichtlich gilt

n

u p = Ca!")pl,, V - I

(3.1)

mit reellen a?), . . . , a:).

3) Jede Minimalfolge {vn} C H kann wegen der Stetigkeit des Funktionals 0 (u) durch eine Minimalfolge {un) C N approximiert werden; vn konvergiert also ebenfalls gegen u*. 12.

172 Gajewski, Langenbach, Zur Konstruktion von Minimalfolgen

Satz 3. Unter d e n bisherigen Voraussetzungen beztiglich f(t) gilt fur jedes w E wp (Q)

Iim u t ) = uo, n+m

wobei wir rnit Z L , die Losung des Hinimzrm-Problem,s fiir @(u) auf H , be- zeichnen.

Beweis. Fur jedes 6 > 0 konnen wir Koeffizienten ciI, a?, . . . , un finden, mit denen die Ungleichung

erfullt ist. Wegen der Stetigkeit des Funktionels @(u) auf H , gibt es zu jedem E > 0 ein 6 derart, claf3

Daher ist CP (v) < @ (u,) + E = d + E , falls I I v - 21" llHo < 6.

I R \

und erst recht

GemaB Satz 1 konvergiert die Minimalfolge {ur ) } gegen Z L , , w. z. b. w. Man nennt up) ,,n-te Ritzsche Naherungslosung" fiir uu 4 ) .

Das Ritzsche Verfahren kann also zur Konstruktion von Minimalfolgen benutzt werden. 1st @ (u) differenzierbar, so genugen die Koeffizienten a?) Y = 1,. . . , n einem algebraischen Gleichungssystem.

Satz 4. f ( f ) seifiir f 2 0 wie bisher nicht fallend, fiberdies stetig und genuge

Dann besitzt CP (u) das Richtztngsdifferential (2.4); w E W f ) ( Q ) .

und up), u, - die 1Vinimalelernente des Funktionals @ (u) auf HF) bzw. H , - geniigen der Gleichung

v = uy, u, fur alle h E Hf) bzzo. H,.

4) Gewohnlich mird das Ritzsche Verfahren fiir Merenzierbare Funktionale erklgrt, vgl. [71.

Gajemski, Langenbach, Zur Koristruktion von Minimalfolgen 173

Hierin bezeichnet

1 1 6

- -- u,, h,, - s u,, h,,

die der quadratischen Form T [ U, U ] entsprechende Bitinearform. Beweis: Sei /t,l < a und lim t, = 0 ; u, h E Ho beliebig. Mit p = (5, y)

n+-

bezeichnen wir einen beliebigen Punkt von Q. Sei ferner

ist fur jedes reelle t Element von L2(Q) und daher beschriinkt fiir fast alle p E Q und alle t , It I < a. Fiir fast alle p E Q gilt daher

(3.4) fi,(p) = 2 f (T [w + ZL + z,h, zv + u + z,h]) T[w + u + t,h, h l ,

I L I 5 Itnl < a ,

mit

urid somit fur fast alle p E 9

limQn(p) = 2 f ( T [ w + u , w + u ] ) T [ w + h , h ] . n-tm

Nach (3.4) gilt wegen (5.4) fur fast alle p E i2

Iin(p)I 5 2 W I T [ w + u , h l I + I t n I T [ h , h I } 5 2 N { I T [ w + u , h ] / + ~ T [ h , h ] } = S ( p ) .

Aus dem Satz von LEBESGUE folgt schliel3lich wegen der Summierbarkeit von s (PI

k 3

+ - A ( w + U ) d h } d Q .

Nach einem allgemeinen Satz gilt daher

V ( v , h ) = 0 ;

fur die Minimalelemente v = ur), h E H p ) bzw. Ho, was (3.3) ergibt.

und entsprechende ,,Variationen”

174 Gajewski, Langenbach, Zur Konstruktion von Minimalfolgen

n

Setzen wir in (3.3) v = u!) = 2 ap’cp,, h = cpe ,LL = 1, . . . , n, 80 erhal- V = - 1

ten wir zur Bestimmung der Koeffizienten a:) das Gleichungssystem

k 3

+ - A ( w + u ~ ’ ) A Q ) , ) ~ L ’ = 0 . ,/A = 1 , . . .,m.

Fiir numerische Zwecke ist die Konstruktion einer Minimalfolge des Funktionals (1.12) nach dem. Rnzschen Verfahren schwierig, da eine exakte Bestimmung der Konstanten a?’ aus dem Minimum-Problem auf HF) oder den Gleichungen (3.6) in geschlossener Form nur in Susnahmefallen moglich ist, wobei uberdies noch zu prufen ist, ob das System (3.6) keine weiteren LGsungen besitzt.

IV. Hontrahierende Abbildungen

Wir betrachten nun die Gleichung (3.3) auf den Raumen HI;) bzw. H o . Dabei bemerken wir, da13 diese Gleichung fur w E C(4) (a) und

v , h ~ C ( ~ ) ( l 2 ) n M , ,

(P u, h) = 0

in der Form

(4.1) geschrieben werden kann, wobei (u, v ) das Skalarprodukt des Raumes L2(Q) bezeichnet. Aus (4.1) folgt dann die Gleichung (1.10). Wir konnen also die Gleichung (3.3) direkt aus (1.10) und den Randbedingungen (1.11) ableiten, indem wir durch Miiltiplikation in L, (Q) mit h die Gleichung (4.1) erhalten, die in der Form (3.3) auch f i i r w 6 Wp) (Q) und v, TL E EI , erklart ist. Hierdurch sind wir unabhiingig von dem P‘inimum-Problem. Speziali- siert man diese Gleichung auf v, h E HI;’, so entspricht dies der Anwendung des Galer kin-Verfahrens.

Die Materialfunktion T(6) = f ( E 2 ) t sei fur E 2 0 stetig differenzierbar,

(2.4) 0 5 f (6) 5

Zunachst setzen wir

(4.3) f (62) = N - f?J (62). 5) Monotonie der Funktion f (2:) wird an dieser Stelle nicht verlangt.

Gajewski, Langenbrtch, Zur Konstruktion von Xinimslfolgen 17.5

(3.3) erhalt dann die Form

( k + 2 a) [uo* h] = 6 Js) (T [W + u", w + 4) T [W + 2'0, h] d 9 R

(4.4)

- ( k + 2171) J ' r l w d h d Q , h E H , , R

n

bzw. fur ug) = a?) v V , v = 1

( k + 2 Lug), v,] = 6 J v (T [w + u!', w + ug'] T [w + ub")7 v,] - ( !k+2ik!)JL3wdplrdQ. p = l , ..., n .

Fur ein w E t V r ) (9) und u, € H o ist die rechte Seite der Gleichung (4.4) ein lineares Funktional beziiglich h E H,. Denn es gilt z. B.

1 6 s S) (T[w f uo7 W f %I) T[w + Uo, h] dQ1

R (4.5)

R

R

5 2 rz M yd' T [w + uo, w + u,,]df;) I/ h Ilq;

wegen (2.4) und der CAUCHY-Ungleichung

Nach dem Rmszschen Satz uber die Darstellung linearer Funktionale ist

- J d w L l h d 9 = [Au,,h], R

fur ein eindeutig bestimmtes Element A uo E H,. Die Gleichung (4.4) erhalt damit die Form eines Fixpunktprinzips

(4-6) u0 = A uO.

Satz 5. Unter den Bedingungen (2.4), (4.2) ist A ein Kontraktions-

Be w eis : Wir betrachten das Funktional

operator in Ho .

176 Gajewski, Langenbach, Zur Konstruktion von BIinimdfoIgen

~ ( t ) ist fur alle t E [O, 11 erklart und differenzierbar. Sei

g ( P l 4 = 91 (T[u, , url) T [ur, h11 l imt ,=O, t + t n E I O , l ] , n = l , 2 , . . .

n+oo

und g @, * + t n ) - (P, z) P (P, t) = ______

t7I

Die Funktion T Cur, urf ist wieder fur fast alle p f Q und alle t E lo, 11 endlich und daher

(4.7) O n (2% 7) = p (Trz%+,n> %rnl) T[u, - 262, hl + + 2 P'('Cur+ zbr+r,,l) ' [ ~ r + r , , UI - uql T[zbr+Tn: h]

fur fast alle p E 9 und z + z, E [0, I], n = 1, 2 , . . . Fur diese p existiert auch der Grenzwert

lim On ( ~ t t); n+=

uberdies gilt die AbschGtzung

mit

fur beliebiges 5 wegeii (4.2). Aus dem Satz von LEBESGUE folgt daher

0 I

Aus (4.8) erhalten wir schliel3lich die Abschatzung

Gajewski, Langenbach, Zur Konstruktion von Ninirnalfolgen

und folglich 2 &l

k + 2 M I I A u1 - A u211Ho 5 u IIu1 - u211Ho mit a = -___

177

< 1 .

Die Gleichnng (4.6) - und damit die Gleichung (4.4) - besitzt also eine ein- deutig bestimmte Losung ug E H,, die durch das Iterationsverfahren

(4.9) ZL, = A U , - ~ , n = 1, 3 , . . .,

mit beliebigem Anfangswert Die folgende Folgerung aus Satz 5 zeigt einen Zusammenhang zwischen

dem Minimum-Problem fur das Funktional (1.12) und dem Iterations- verfaliren (4.9) auf: r(6) = f ( P ) 6 sei fur 6 2 0 stetig differenzierbar,

E H,, ermittelt werden kann.

clr T(5) c lc =. 6 (4.10) o g f ( E ) s M , f ( t ) Z O , - < 2

Dann liefert das Iterationsverfahren (4.9) eine I\Iinimalfolge des Funktionals (1.12). Denn der Grenzwert ZL, der aus (4.9) erniittelten Folge (zL,,} ist Losung der Gleichung (3.3) in H,. Da dieser Gleichung auch die Losung des Mini- mum-Problems fur das Funktional (1.12) geniigt, und die Gleichung (3 .3 ) nur eine Losung in H,, besitzt, folgt die Behauptung ails cler Stetigkeit des Funktionals @ (u) auf H,.

Wir betrachten nun das Gleichuiigssysteni (4 .5) , welches wir in der Form

(4.11)

schreiben konnen. Bezeichnet man den Projektionsoperator veil H o auf H c ) mit P,, so kann man das System (4.11) auch als Gleichung in H!' schreiben :

[uy, cop] = [ A @), YpI7 p = 1, . . . , n,

(4.13) u p = P,AuS").

Da P, linear und IIPnII = 1, ist P, A fur jedes n Kontraktionsoperator in H r ) mit der LIPscHITz-Konstanten

2 &I u =

k + 2 M ' Die Gleichung (4.11) besitzt also genau eine Losung, die durch das Iterationsverf ahren

(4.13)

bei beliebigem Anfangswert uf') gelost werden kann. (4.3) ist eine Polge linearer algebraischer Gleichungssysteme ; setzt man namlich

(4.14) u;) = ~ a ~ ~ y , ,

248) = P,,AU&-~), m = 2, 3, . . . ,

n

v = i

175 Gejewski, Langenbach, Zur Konstrulition von Minimalfolgen

so kann man 4.13 in der Form n

(4.15) a:,! avp = b m - j., 3 P = 1, * * * 7

V - i

schreiben, worin

avp = rep,, Fpl

und

x T[w + z ~ ~ ! ~ , y J d Q - ~ A w A c ~ ~ ~ R , , u = l , . . . , n R

gegebene Zahlen sind. Die Determinante des Systems (4.15) ist die GRAiMsche Determinante der Elemente y v v = 1, . . . , n in H o und kann daher nur bei linearer Abhangigkeit der yv verschwinden.

Unter den Bedingungen (4.10) liefert das Iterationsverfahren (4.13) eine Minimalfolge des Funktionals (1.12) auf H r ) . Da der Grenzwert dieser Folge dann einzige Losung der Gleichung (3.3) auf HI"' ist, konnen wir die zum SchluB des vorigen Abschnitts gestellte Frage jetzt positiv beantworten.

V. Das Diagonalverfahren

Wir definieren ein neues Iterationsverfahren :

Sei n

w(n) = c p!"' 9" Y=. I

(5.1)

und

n , n = 2, 5 , . . .1 wU(n) = p A $-I) (5.2)

bei beliebigem Anfangswert d*) .

eine Jlinimalfolge des Funktionals (1.12) auf H,. Satz 6. Unter den Bedingungen (4.10) liefert das Iterationsverfahren (5.2)

Beweis : Sei (d"] die durch das RITzsche Verfahren erzeugte Minimal- folge des Funktionals (1.12). Es genugt zu zeigen, daB fur ein beliebiges E > O

IIu@) - d") l l H o < E f f r n > no.

Gajewski, Langenbaoh, Zur Konstruktion von Ninirnalfolgen 179

Da die Polge {u(")} konvergiert, gibt es ein K und ein nl derart, dal3

p= 1

und

Ferner gibt es ein n2 niit

und ein n3 mit

Damit erhalten wir fur n > no = max {nL, n2, n3):

n

w. z. b. w.

Nach dem Diagonalverfahren werden die NLherungslosungen dn) aus einem linearen algebraischen Gleichungssystem bestimmt :

n

C 8 ! ' " ~ v p = Cn- i , ,u ' ,u = 1,. . ., n, v - I

(5.3)

1 so Gajewski, Langenbach, Zur Konstruktion von &Iinirnolfolgen

- / ' A w A q p d S Z , ,LL = 1 , . . . , n. R

Die Determinante des Systems (5.3) ist wieder die GRaiMsche Determinante der Elemente qv v = 1, . . . , n.

Literatur

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Deutsehe Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Forschungsgemeinschaf t , Institut fur Angewandte Matlcematik und Meehanik