Zur Theorie der Gruppen mit Untergruppentopologie

Zur Theorie der Gruppen mit Untergruppentopologie*)

Von WOLFGANG KRULL in Bonn

Einleitung

Den Ausgangspunkt ffir die vorliegende Arbeit bildeten gewisse Unter- suchungen, fiber die ich 1962 gelegentlich in Vortr/~gen beriehtete. Es handelte sieh damals um einen besonders einfaehen Weg zur t~bertragung der ffir endliche Gruppen gtiltigen Sylows/~tze auf kompakte Gruppen mit Untergruppentopologie ~). Im folgenden ist der Rahmen wesentlich erweitert. Es werden Methoden entwickelt, die sieh unter verh/fltnism/~Big sehwachen Voraussetzungen auch auf niehtkompakte Gruppen mit Untergruppentopologie anwenden lassen, wobei es wesentlich ist, dab die Anwendung meistens rein mechanisch gemacht werden kann, sobald nur einmal die zu beweisenden S/ttze ,,riehtig" formuliert sin& Die Grundgedanken seien kurz angedeutet, wobei aber hinsichtlich aller Einzelheiten, insbesondere der exakten Formulierung der wesentlichen Definitionen auf den Haupttext verwiesen werden muB.

Eine Gruppe (G*, T) mit Untergruppentopologie T wird im Sinne der Topologie Ggn~rale BOURBAKIs ~) aufgefaBt als inverser Limes (Grenzgruppe) einer projektiven Gruppenfamilie {G, I I}. Die verh~ltnis- m/~Big sehwaehe Forderung, die an (G*, T) bzw. {G, ]/} gestellt wird, ist die, dab {G, 1I} M-vollstandig bzw. stark-M-voUsUSndig sein soll. Die starke M-Vollst/~ndigkeit ist gesichert, a) wenn G hinsiehtlich T kompakt, b) wenn die Indexmenge I abz~hlbar ist. (Vgl. hierzu w 1 und w 2, wo beliebige projektive Mengenfamilien {M, I1} betraehtet werden, sowie w 3 mit der speziellen Anwendung auf projektive Gruppenfamilien.) Der

*) Als Vortrag gehalten in der Universit~t Hamburg auf einer Gedenkfeier an- ltii31ich des Todestages yon Emil Art in am 19. Dezember 1963.

1) Zun/ichst beschr/inkte ich reich auf kompakte Gruppen mit Abz/ihlbarkeits- axiom, sp/iter machte ich reich yon der Abz/ihlbarkeitsbedingung frei. Die Sylow- s/itze f'tir kompakte Gruppen mit Untergruppentopologie wurden zuerst von H. SCH6~r~BOI~N formuliert und bewiesen ([15] des Literaturverzeichnlsses), und zwar ganz allgemein, bis auf den Konjugiortensatz, bei dem ein Abz/ihlbarkeits- axiom zu$/itzlich eingefiihrt wurde. - - Man vgl. auch die Arbei t [1] des Li teratur- verzeichnisses, die mir erst nach ihrem Erscheinen 1963 in die H/~nde kam. Sie ist yon SCH6N~BORN und mir v611ig unabh/ingig und aus einem anderen Gedanken- kreis heraus entstanden. Im folgenden wird auf sie nicht mehr Bezug genommen.

2) Vgl. [2], Kap. 3, w 7, 3), S. 92, Prop. 2.

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leitende Grundgedanke ist nun der: Fiir jede Spezialuntersuehung ist eine Kategorie k von diskreten Gruppen zugrunde zu legen, die hinsiehtlieh der Bildung von Untergruppen und Quotientengruppen abgesehlossen ist, und es ist dann die Kategorie k* aller der stark-M-vollst~ndigen Grenzgruppen (G*, T) zu studieren, bei denen eine definierende projektive Gruppenfamilie {G~ II} mit durehweg zu k geh6rigen Gruppen G~ existiert. Die Hauptfrage lautet: Welehe in k tibliehen Definitionen und Si~tze lassen sieh sinnvoll auf k* erweitern ? Hier ist der entseheidende Sehritt die Einftihrung der Begriffe ,,projektive" und ,,s-projektive" De- finition, wobei es sieh noch als zweckm~Big erweist, zwischen ,,Element-" und ,,Mengendefinitionen" zu unterseheiden. Die Antwort auf die I-Iaupt- frage l~Bt sieh kurz so fassen: Alle die in k bekannten S~tze kommen fiir eine sinnvolle Obertragung in Betracht, die sich auf s-projektive De- finitionen stiitzen. Als Hauptaufgabe bei der Entwieklung der Kategorie k* hat man also die Aufsuchung aller praktisch wiehtigen s-projektiven Definitionen in der Kategorie k anzusehen. (Vgl. hierzu die Entwieklung der allgemeinen Grundprinzipien in w 4 und w 5 sowie die auf beliebige Kategorien k beziigliehen Anwendungen in w 6.)

Der zweite Teil der Arbeit (w 6 bis w 11) gilt der Untersuchung spe- zieller Kategorien k. Es wird stets gefordert, dab jede zu k gehSrige Gruppe nur Elemente endlieher Ordnung enth~lt. Dementspreehend stehen Begriffe wie p-Element, p-Gruppe, Faktorisierung in p-Gruppen, Sylows~tze im Vordergrund. In w 5 und w 8 wird gezeigt, wie raseh mit Hilfe der allgemeinen Methoden des ersten Teils die Theorie der kompakten Gruppen mit Untergruppentopologie (Ausgangskategorie k: alle endlichen Gruppen) entwiekelt werden kann. w 9 bis w 11 gelten der Kategorie k aller lokal endlichen Gruppen und ihrer zugehSrigen Grenz- gruppenkategorie k*. Hier sind nicht nur die gewonnenen Ergebnisse von Interesse, sondern auch die im Zusammenhang damit auftretenden, bisher anseheinend ungelSsten Fragen. (Zu dem letzten Punkt siehe w 11.)

Der SchluBparagraph 12 weist auf zwei MSglichkeiten zur Weiter- arbeit hin, die sieh nicht auf spezielle Kategorien beziehen.

w I. Projektive Famflien und ihre Potenzfamilien

Es sei I eine geordnete (aber i .a. nicht totalgeordnete) Menge, die gleiehzeitig mit 31, 32 stets aueh ein 3~ mit 3a _~ 31, 33 ~ 32 enth~lt. {M, I I} sei eine mit Hilfe von I indizierte Familie yon paarweise elemente- fremden Mengen; m i t a , , b, . . . . sollen die Elemente yon M, bezeiehnet werden. Wir nennen die Familie {Mr II} projektiv, wenn ftir jedes Paar 31 ~ 32 aus I eine Abbildung (32 +- 31) yon M n a u / M ~ (also eine Sur- jektion im Sinne BOURBAKIS) definiert ist, derart dab (31 ~-31) stets 4*

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die identische Abbildung darstellt, und dab fiir T1 ~ T, ~ vs immer das Transitivitgtsgesetz gilt:

(1)

Is t L,, C M,, bzw. a,~ e M,,, so verstehen wir unter (z2 <- v,)L,, bzw. (v~ <-v~)a,, die Bildmenge yon L,, bzw. das Bild yon a,, hinsiehtlieh ( ~ <- zl)- Ein Faden ] in {M, I I ) ist eine Familie ( / (z) I I}, derart da~ stets l (T) = a, ein Element aus M, und dab immer l (z~) = (z~ ~- Z l ) / ( r l ) fiir "q ~_ z~. Die Menge aller Fdden / bildet die zu (M, I I ) gehSrige Grenz- menge M*. Fiir jedes v e I wird eine Abbildung (z ~ - , ) yon M* in M, definiert durch die Festsetzung:

( 2 ) =

Offenbar gilt fiir zl ~ z~ das transitive Gesetz:

*) = ,).

Wir wollen sagen, (M, [I} sei surjektiv, wenn M, = (v < - , ) M * ftir a l l e v gilt. Grundsgtzlieh interessieren uns nur surjektive Familien; doch werden wit mehrfaeh die Frage zu diskutieren haben, ob (M, II} unter best immten Bedingungen sieher surjektiv ist. Im tibrigen nehmen wir immer (M, I I ) stillsehweigend als surjektiv an. - - Ist L, C M, bzw. a, ~ M, , so soil unter {L,}* bzw. {a,}* die Menge aller ] ~ M* mit / (r} ~ L, bzw. / ( r ) = a, verstanden werden. Es ist wohlbekanntS):

Lemma 1. Die Menge M* wird zu einem Hausdorftsehen topologischen Raum, wenn man jedem / ~ M* als Umgebungsbasis die Familie {{/(r}}* [I} zuordnet. Hinsichtlich der so festgelegten Topologie T* sind die Mengen (a~}* gleichzeitig often und abgeschlossen.

(Die letztgenannte Eigenschaft der (a,}* folgt im wesentlichen aus der Tatsache, dab {a,}* n {b,}* = 0 fiir a, ~ b,.)

Die Topologie T* soil im folgenden als die triviale Topologie yon M* bezeiehnet werden; in Zukunf t werden in M* nur noch solche Unter- mengen L* betraehtet , die hinsichtlich T* abgeschlossen sind. - - Eine Famine {L, II} mit r ~= L, __C M, sell Unter/amilie bzw. Teil/amilie yon {M,]I} heil]en, wenn ftir T1 _~ z~ stets gilt:

(4) (zz <- v,) L, 1 ----- L,~ (Unterfamilie); (z~ <- Zl) L,~ C L,2 (Teflfamilie).

Is t L* =C M*, so wird dureh L, ----- {](T) i ] e L*} eine Unteffamilie {L, ii} yon (M, [I} definiert, aus der rtiekw~rts L* wiedergewonnen werden

a) Vgl. [2], Kap. 1, w 4,4), S. 52.

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kann" L* = ~ {L,}*. - - Geht man dagegen von einer beliebigen Unter-

familie {L, I I} aus, und setzt man 57*---= O{L,}*, so gilt zwar stets

<3 ~- , ) 57* C L,, aber es braucht nieht (3 ~- , ) 57* ---- L~ zu werden; man muf~ sogar mit der M6glichkeit 5 7 * = ~ reehnen. Nur im Falle L, ={a ,} ( 3 e I ) wird stets N* ={ /} mit < v ~ - , > / = / ( ~ ) = a t (3e I ) naeh Definition yon M*; vom topologischen Standpunkt aus bedeutet das hier, wo offensiehtlich eine ,,uniforme Struktur" vorliegt, einfaeh die Vollstandigkeit yon M* hinsiehtlieh T*. Wir definieren nun: Die Grenzmenge M* und die Familie {M, I I} sollen M-vollstandig (relativ T*) heillen, wenn bei jeder Unterfamilie {L, [I} ftir L* = ~ {L,}* immer

<z ~ , )L* = L, (z z I) gilt, wenn also die Unterfamilien yon {M, ] I} umkehrbar eindeutig den (hinsiehtlieh T* abgesehlossenen) Untermengen yon M* entsprechen.

Die Untersuehung tier Frage, unter welehen Bedingungen {M, l I} M-vollst/~ndig ist, wiirde fiir unsere Zweeke ausreiehen, wenn es in der Praxis der Grenzmengen M* projektiver Familien nur darauf ank/~me, in M* die Existenz einzelner ausgezeiehneter Untermengen L* nach- zuweisen. H/~ufig stSf~t man abet auf eine allgemeinere Aufgabe: Man kennt in jedem M, ein ausgezeiehnetes Untermengensystem und soll aus dieser Kenntnis heraus auf die Existenz eines entspreehenden Untermengensystems in M* sehlie•en. Um hier einen Ansatzpunkt zu gewinnen, ordnen wir jeder Menge M, die Potenzmenge JT[, aller Unter- mengen (ausschliefllich der leerer~ Menge) zu und beaehten: Die Familie {M, ]I}, die als die Potenz]amilie von {M, II} bezeichnet werden soll, ist ebenso wie {M, I I} selbst projektiv; denn es wirken ja die transitiven Abbildungen <~2 ~-vl) nach Definition nieht nur auf die Elemente, sondern auch auf die Untermengen der M, und man hat ersiehtlieh ftir 31 ~ T~ immer <~2~-~1)2~, 1 = ~ . Fiir die Grenzmenge M* von {217/, ]I} ergibt sieh aus den einsehl//gigen Definitionen unmittelbar: Die F/~den yon J;/* sind identisch mit den Unterfamilien yon {M, I I}. AuBerdem erh/~lt man leieht:

Satz 1. { ~ ]I} ist ebenso wie {M, ] I} surjektiv.

Satz 2. Die Fdden yon 2J7I * entsprechen genau dann umkehrbar eindeuti 9 den Untermengen L* von M*, wertn {M, 1I} M-vollst~ndig ist.

t Zum Beweis yon Satz 1 beachte man: Es sei r 0 und L, o E-~,o lest gegeben und es werde L, = (v +-*> {L',.}* gesetzt. Dann ist {L, l I} = f ein Faden yon _)~* und aus der Surjektivit/it yon {M, II } folgt (r0 ~- *> {L',o}* = L',, = (~o ~- *>f. Satz 2 ergibt sieh unmittelbar aus der Definition der M-Vollst//ndigkeit und aus den vor ihrer Einfiihrung gemachten Bemerkungen.

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Definition. und (_~, [I}

Satz 3. Ist theorem:

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(M, [I} soll stark-M-vollstdndig heiBen, wenn {M, ]I} beide M-vollstiindig sind.

(M, [I} stark-M-vollst4ndig, so gilt das ]olgende Existenz-

Es sei {L~ [I} eine Familie, bei der ]J, jeweils eine Menge yon Unter- mengen yon M,, und es sei immer (r2 ~ vl) L~ t = [~_ /~r v 1 ~ v2. Dann gibt es eine Menge L* yon Untermengen L* yon M*, derart daft (v <-*)L* -~ L, ]ar ]edes v.

Satz 3 ist eine triviale Folgerung aus der Definition der starken M-Vollstiindigkeit und aus Satz 2. Trotzdem wird er - - teilweise passend modifiziert - - im folgenden die Grundlage ftir die meisten Existenz- beweise bilden.

Zusatz zu Satz 3. Ist {_M, [I} M-vollstandig, so ist es auch {M, II}. - - Man lcann also auch definieren: {M, I I} ist stark-M-vollstandig, wenn {2~, ]I} M-vollstandig ist.

Beweis . Es sei {L, ]I} ein projektives Untersystem von {M, II}, und es sei L, die Menge aller einelementigen Mengen {a,} yon M, , bei denen a, e L,. Dann ist {/~, [ I} ein projektives Untersystem yon { ~ , I I}. Ist nun (2I~r, II} M-vollst/~ndig, so gibt es eine abgesehlossene Unter- menge/ ,* yon 2I~*, derart dab (~ ~- ,)/~* --- L, fiir jedes v. Jeder Faden d* yon L* hat die Gestalt {{a,} [ I} mit {a,} e L, ; er definiert eindeutig einen Faden (a, I I} aus M*, und die Menge L* aller dieser F/iden gentigt der Bedingung (v ~ - , ) L * ----L, fiir alle 3.

Definition. Ist I ' eine Untermenge yon I, die zu jedem v e I ein v' ~ v enth~It, so soll {M,, II '} als Auswahl/amilie yon {M, [I} bezeiehnet werden. Aus gel~ufigen Oberlegungen der Topologie Gdn~rale folgt:

Lemma 2. a) Die F~den bzw. die Unterfamilien yon {M, i i} lassen sich in kanoniseher Weise umkehrbar eindeutig den F~den bzw. Unter- familien der Auswahlfamilie (M~, I I'} zuordnen, b) Die Auswahlfamilie {M,, [ 1'} ist genau dann M-vollst~ndig, wenn {M, I I} M-vollst~ndig ist.

B e w e i s a n d e u t u n g . a) Natiirlich ist der Unterfamilie (L, II} von (M, I I} die Unterfamilie (L,, I I'} yon {M,, II '} zuzuordnen. Ist andererseits (L,, II '} eine Unterfamilie von (M,, I I'}, so gewinnt man die zugehSrige Unterfamilie {L~ I I} yon {M~ I I} durch folgende Vor- sehrift: Ist v beliebig aus I und 3' ~ v aus I ' , so sei L~ ---- (3 ~- v') L,,. (Man reehnet mtihelos naeh, daft diese Vorschrift ein eindeutiges L, liefert.) b) Die Behauptung folgt sofort aus der Art der in a) besehriebenen Zuordnung.

Lemma 2 wird erst in w 3 beniitzt werden.


w 2. Abziihlbare und endlichartige Familien

Die projektive Familie {M, l I} sell abz~hlbar bzw. endliohartig genannt werden, wenn I abz/~hlbar ist bzw. wenn alle M, endlieh sind. Bei einer abz~hlbaren Familie kann man durch routinem~flige Ober- legungen die Betrachtung auf den Fall zuriickftihren, da~ I = N die Menge der nattirliehen Zahlen ist. Dementspreehend wollen wir im folgenden unter einer abz~hlbaren Familie immer gleieh eine Familie {M~ IN} verstehen.

Satz 4. Eine abzdhlbare projektive Familie {M, IN} ist immer M-vollst~ndig.

Bewei s . Es sei {Ln IN} eine Unterfamilie yon {M~ IN} und es seien t no sowie a~ e L% fest gew/~hlt. Um Satz 4 zu beweisen, brauchen wir nur

zu zeigen : Es gibt stets ein / e M*, derart dab / (n) = an e Ln ftir a l len r und dab insbesondere /(no) = a" 0. Wir setzen nun a,, ----(n <- no)a% fiir

n ~ no und nehmen an, es seien die Elemente a~+~ (i = 1 . . . . . N) bereits so bestimmt, dab allgemein a,~+i ~ L,~+~ und ( i - - 1 <- i) a~+, = a~+i_l . Dann gibt es wegen (n o -~ N <-n o ~- N Jr 1)L~+N+I ---- L,~+N sieher ein a%+N+ 1 ~L%+N+ 1 mit (n o -k N<- n o + N q- 1)a~o+N+ 1 = a~o+lv, und indem wir ein solehes a ~ . ~ + 1 dazunehmen, haben wir die zu kon- struierende a~-Folge um ein Glied verl/ingert. (Der SehluB gilt nattirlich auch fiir N = 0, a~ + N = a~ ---- a~o.) Damit ist dureh triviale Induktion gezeigt, dab eine Familie {an IN} existiert, die ein / der gewiinschten Art definiert.

Wie man sieht, ergibt sich aus den beim Beweis bentitzten (~berlegungen gleichzeitig die Surjektivit/it yon {M, IN}, d.h.: Bei einer abz~hlbaren Familie ist die Surjektivit/~tsbedingung immer erftillt.

Satz 5. Bei einer abz~hlbaren Familie {M,~ ] N} ist immer auch {2~1~ I N} M-vollsti~ndig, es sind also stets die Voraussetzungen /ar die Anwendung der Sdtze 2 und 3 von w I er]~tllt.

Trivial, da Satz 4 auf {2~ n IN} angewandt werden kann. - - Fiir die n~here Untersuchung der endlichartigen Familien brauehen wir den Kompaktheitsbegriff der Topologie. Wir wollen ein System ~ yon abgeschlossenen Untermengen des topologischen Raumes M* kurz eine FiIterbasis nennen, wenn fiir endlich viele Mengen L* . . . . , L~v aus /~ stets L* r ~ . . . (~ L* ~= O gilt. Dann lautet eine der gebr~uehliehen (untereinander s bel~nntlieh: M* ist genau dann kompakt, wenn bei jeder Filterbasis i0 der Dureh- schnitt aller Mengen L* E P nieht leer ist. - - Die Familie {M, I I} m6ge kompakt heiBen, wenn sie surjektiv und die Grenzmenge hinsiohtlieh

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der trivialen Topologie kompakt ist. Der Topologie Gdn~rale kOnnen wir dann den folgenden Hilfssatz entnehmen4):

Lemma 3. Die projektive Familie {M, [ I ) ist genau dann kompakt, wenn sie endliehartig ist, wenn also alle M, endlieh sind.

Da gleichzeitig mit M, immer auch die Potenzmenge 21~r, endlieh ist, so folgt aus Lemma 3 sofort:

Satz 6. Ist die Familie {M, ] I} kompakt, so ist es auch die Potenz/amilie {i, [I}.

Satz 7~). Eine kompalcte Familie {M, [I} ist stets M-vollst~ndig.

Beweis . Es sei {L, t I ) eine Unterfamilie yon {M, I I ) , und es sei 30 sowie a, o �9 L,0 lest vorgegeben. I' sei die Menge aller 3 ~ 3o. Schliefllich setzen wir (N*),, = {L,,}* (~ {%0}* (3 ' �9 I'). Dann gilt: 1. (N*), I n . . . n (N*),~v ~ 0 (3~ �9 i = 1 , . . . , N). Denn zungohst haben wir (N*), i n . . . (~ (N*),k ~ (N*)4, falls 30, was sieher m6glieh, in I ' so gewghlt wird, dab 3o ~ 3'~ (i = 1 . . . . . N). Weiter ist sicher (N*) 4 ~ 0. Denn nach Voraussetzung gibt es in L 4 stets ein a,~, derart dab (3o +- 3~} a, 6 -- a, o und zu a 4 ein l �9 M* mit 1(3~ = a~. - - 2. Alle (N*),, sind abgesehlossen. Denn es ist {a,o}* abgeschlossen, und die Ab- gesehlossenheit der {L,,}* kann sogar ohne Riiekgriff auf die Endliehkeit der Mengen L,, folgendermal3en bewiesen werden: Es sei L', = M,, - - L,,. Dann haben wir {L,,}* = M* - - (a,,9~i, {b,,}*) ; hier aber ist die Sub-

trahendenmenge often, weil alle {b,,}* n a c h w 1 nicht nut abgeschlossen, sondern such often sind. - - Nach 1. und 2. bfldet die Familie ((N*),, [ I'} in M* eine Filterbasis. Wegen der vorausgesetzten Kompakthei t yon M* existiert also ein t �9 ~ (N*),,, das zungehst den Bedingungen l (3') eL,,

(3' �9 I'), 1(3o) -~ a, o geniigt. [st ferner 3 beliebig aus I, so gibt es jedenfalls ein 3' ~ 3 in I ' und wir haben t (3) ----- (3 <- 3') / (3') �9 L, wegen / (3') �9 L,, und L, ---- (3 ~- 3'} L,,.

Satz 8. Ist {M, [1} endlichartig, so sind die Voraussetzungen tar die Anwendung der Siitze 2 und 3 yon w 1 stets er]llllt.

Denn nach Lemma 2 ist {M, [ I} kompakt und naeh Satz 7 und Satz 6 sind sowohl {M, I I} als auch {2~r, II} M-vollstgndig.

Satz 9. Ist {M, [I} kompakt und {L, [ I} eine beliebige TeillamiIie von {M, ]I}, so ist stets ~ {L,}* ~= 0.

Die Behauptung ist trivial; denn nach den beim Beweis von Satz 7 benutzten Oberlegungen bildet die Familie {{L,}* II} eine Filterbasis in

~) Vgl. [2], Kap. 1, w 9,6), S. 102, Prop. 8 trod w 9,4), S. 100, Th. 2.


M*. Bei einer abz~hlbaren Familie {Mn IN} l ~ t sich Satz 9 leieht umkehren:

Satz 10. Bei einer abz~hlbaren Familie {M,, IN} gilt genau dann (Ln}* :4: ~ /~r jede Teil/amilie (Ln IN}, wenn (Mn IN} kompakt ist.

Zum Beweis haben wir angesiehts yon Satz 9 und Lemma 3 nur zu zeigen: Ist eine der Mengen M. , etwa M ~ , unendlieh, so existiert stets eine Teilfamilie ( i , IN} mit ~ (L.}* ---- 0. Ss seien nun a~2 (i ---- 1, 2 . . . . )

abz~hlbar unendlich viele verschiedene Elemente aus Mn o, es sei /(i) jeweils ein Element aus M* mit ](~)(no) : a~ ) - - zur Existenz der f(~) vgl. eine im Anschlul~ an Satz 4 gemachte Bemerkung - - , und es werde gesetzt: L~ = {/(1)(m), /(2)(m) . . . . } ftir m ~ no; Ln0+~ ---- {f(k+l)(no ~- k), ](k+~) (no ~- k), . . .} fiir k = 1, 2 . . . . . Dann ist {L, IN} ersiehtlich eine Teilfamilie mit ~ {L~}* : 0.

DaB sich jedenfalls die zum Beweis yon Satz 10 benutzte Methode nieht bei iiberabz~hlbaren Familien {M~ II} anwenden l~l~t, ist klar. Denn in die Definition der Teilfamilie {L~ II} war ja ausdriicklieh die Bedingung L~ ~ 0 (3 e I) aufgenommen worden. Fiir uns ist Satz 10 deshalb wiehtig, weil er zeigt, dal3 jedenfalls bei den abz~ihlbaren Fa- milien, wo die Bedingung der M-Vollst~ndigkeit immer erfiillt ist, es schwer sein diirfte, in einfaeher Weise axiomatiseh eine Klasse yon Familien auszuzeichnen, die sich nicht auf die immerhin sehr spezielle Klasse der kompakten Familien reduziert, bei der aber seh~rfere Exi- stenzaussagen mSglich sind als im allgemeinsten Fall.

w 3. Gruppen mit Untergruppentopologie. Die Kategorien K.~ und Km, m

Bei einer topologischen Gruppe G* bezeichnen wir ihre Topologie T als Untergruppentopologie, wenn in G* eine Familie (J,* II} (mit einer wie in w 1 geordneten Menge I) existiert, die den folgenden Bedingungen geniigt: 1. Die J* sind invariante Untergruppen von G*. - - 2. Ftir 3, ~ v~ ist stets Jr* C Jr*. - - 3. ~ J* = (e*}. - - 4. Die J* bilden eine

Filterbasis fiir die hinsichtlieh T offenen Umgebungen des Einselementes e*. (Es zeigt sich sofort, dab die J* hinsiehtlich T nieht nur often, sondern aueh abgesehlossen sind.) - - Wit wollen eine Familie (J* II} kurz eine zu T gehSrige Gruppen-Filterbasis yon G* nennen. Eine Gruppe G* mit der Gruppen-Filterbasis (J* II} ist genau dann hinsiehtlieh ihrer Topologie T im tibliehen Sinne vollsts wenn zu jeder Familie {a~. J* I I} (a* e G*), die der Bedingung a~ . g~* C a~*. g~* fiir alle Paare v 1 ~ v~ geniigt, ein a* ~ G* existiert, derart dal3 a* �9 J* = a* �9 J* ftir alle 3. Daraus folgt leicht: Bildet man bei vollst~ndigem G* zu

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{J* I I} die Familie {G~ I I}, wobei G~ = {a*. J* [ a* ~ G*} jeweils die Quotientengruppe G*/J* bedeutet, und macht man {G~II } zu einer projektiven Familie im Sinne yon w 1, indem man fiir 31 ~ 32 die Ab- bildung (32 ~-rl) dureh den kanonischen Homomorphismus yon G*/J~ auf G*/J*, also dureh (r2 ~ r l ) ( a* . J~) = a* . J*~, definiert, so ist {G, I I} surjektiv, und es wird G* umkehrbar eindeutig auf die Grenz- menge G~* yon (G, II } dadurch abgebildet, dab man a* e G* jeweils den Fnden {a*. J*[I} aus G~ zuordnet. Die Abbildung wird ein topologischer Gruppenisomorphismus, wenn man in G~' die Multi- plikation zweier F~den durch {a*. J* I1}. {b*. J* [I} = {a*. b*. J* 1I} einfiihrt und ftir G* die triviale Topologie im Sinne yon w 1 zugrunde legt.

Es sei jetzt umgekehrt eine projektive Gruppen/amilie gegeben, d.h. eine surjektive Familie (G~ ]I} im Sinne yon w 1, bei der die G~ (diskrete) Gruppen sind, und bei der (33 ~-31) stets einen Gruppenhomomorphis- mus yon G, 1 auf G~ bedeutet; e~ sei das Einselement yon G,. Definieren wir dann die Fadenmult ipl ikat ion genau so wie soeben, so wird die mit der trivialen Topologie T versehene Grenzmenge G~ zu einer voUstandigen topologischen Gruppe, und man sieht sofort: T ist eine Untergruppen- topologie. Eine zugehSrige Gruppen-Filterbasis wird yon der Familie {{e,}* [ 1} gebildet, wenn man {e,}* wie in w 1 erkl/irt. Man kann (v2 +- 31~

mit dem kanonisehen Homomorphismus yon G*/{%}* auf G*/{%}* identifizieren.

Das (ira wesentliehen bekannte) Endergebnis unserer Betrachtungen 1/il]t sieh kurz so zusammenfassen: ,, Vollstandige topologische Gruppen mit Untergruppentopologie" und ,,Grenzgruppen projektiver Gruppen- /amilien, mit trivialer Topologie" sind gleiehwertige Begriffe. Is t G* eine vollst/indige Gruppe mit Untergruppentopologie T und (J*lI} eine zu T 9ehSrige Gruppen-Filterbasis, so ist {G*/J* ---- G, [ I} eine zu (G*, T) gehSrige pro]ektive Gruppen/amilie, d.h. eine projektive Gruppenfamilie, deren trivialtopologisierte Grenzgruppe als Darstellung der topologisehen Gruppe G* interpretiert, beziehungsweise, wie w i r e s tun wollen, geradezu mit G* identifiziert werden kann.

Zwei Familien {J* I I} und (J,*,' I I '} mit den Eigensehaften 1.--4. yon oben sind bekanntlieh genau dann iiquivalent, d.h. Gruppen-Filterbasen fiir die gleiehe Topologie T von G*, wenn es zu jedem J* ein J*,' __C J* und zu jedem J* ' ein J* C= J*/ gibt. Unter allen zu einer best immten Topologie T yon G* gehSrigen Gruppen-Filterbasen gibt es eine grSBte Basis {J~* [/max} ; sie besteht einfaeh aus allen invarianten Untergruppen J * yon G*, die in irgendeiner zu T gehSrigen Gruppen-Filterbasis auftreten. Daraus folgt: Ist {J* [I} irgendeine Gruppen-Filterbasis zu T, so ist die projektive Gruppenfamilie {G*/J* ~= G~ I I} im Sinne yon w 1


eine Auswahlfamilie yon (G*/J* -~ G, [ Imax}" Aus diesen Bemerkungen und Lemma 2 von w 1 ergibt sich weiter:

Lemma 4. Ist eine einzige zu (G*, T) geh6rige projektive Gruppen- familie {G~ I I} M-vollst~ndig bzw. stark-M-vollst~ndig, so sind es alle zu (G*, T) gehSrigen Familien.

Wir diirfen daher definieren: Eine vollst~ndige topologische Gruppe G* mit Untergruppentopologie T soil M-vollstdndig bzw. 8tark-M-vollst~ndig heiflen, wenn eine zu (G*, T) geh6rige projektive Gruppenfamilie (G, ti} M-voltst~ndig bzw. stark-M-vollstgndig ist. Es sei jetzt Km bzw. Km, m die Gesamtheit aller der topologischen Gruppen G* mit Untergruppentopologie T, die M-vollst~ndig bzw. stark-M-vollstgndig sind. Dann gilt:

8atz I I . Es sei (G*, T) eine vollstdndige Gruppe mit Untergruppen- topologie; (H*, Ti) bzw. (G*/N*, T~) sei eine abgeschlossene Untergruppe yon G* bzw. die Quotientengruppe yon G* hinsichtlich einer abgeschlossenen, invarianten Untergruppe N*, versehen mit der durch T induzierten Topo- logie T~ bzw. T~. GehSrt dann (G*, T) zu K,~ bzw. K,,,. ,~, so gilt das gleiche far (H*, T~) und (G*/N*, 7'i).

Beweis. Die (H*, T~) beziigliche Behauptung ist trivial. Man beachte nur, dal~ die Vollstgndigkeit von (H*, T~), wegen der Abgeschlossenheit von H*, sehon aus der Vollstgndigkeit yon (G*, T) folgt. Dagegen kann die Vollstgndigkeit von (G*/N*, T~) aus der Vollstgndigkeit von (G*, T) allein nieht erschlossen werden. Wir nehmen also von vornherein (G*, T) M-vollst~ndig an. Es sei jetzt {J* !I} eine zu (G*, T) gehSrige Gruppen- Filterbasis; {G~ I I} sei die entsprechende projektive Gruppenfamilie, es sei also G, : (a* �9 J* I a* ~ G*} die Quotientengruppe G*/J*. Unter

�9 $ $ NT ---- (3 ~- *) N* verstehen wir die Quotientengruppe N* J,/J~ und unter G~ ---- (a*(N* �9 J*) l a* eG*} die Quotientengruppe G*/N* �9 J*

G,~/N~. Dann kSmmn wir (G*/N*, Ti)nach der fiir vollstiindige Gruppen zu Beginn vonw 3 beschriebenen Methode topologisch isomorph auf die trivialtopologisierte Grenzgruppe G~ der projektiven Gruppen- familie (G,[I} abbilden. Die ,,Injektivit~t" der Abbildung folgt aus der Abgeschlossenheit yon N*, die ,,Surjektivit~t" dagegen aus der M-Vollstiindigkeit yon (G*, T). (Man beachte, dab einem Faden aus ~G,/N~II } eine Unterfamilie yon {G~ I I} entspricht.) i i t {G~lI } ist dann auch {G~ [I} M-vollstiindig bzw. stark-M-vollst~ndig.

Entnehmen wir von BOU~BAKI den Begriff der Kategorie, so kSnnen wit den wesentlichen Inhalt yon Satz 11 kurz so formulieren:

K,~ und K,~,,,, sind Kategorien von topologischen Gruppen. Sie enthalten mitG* immer auch jede abgeschlossene Untergruppe und jede Quotienten-

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gruppe nach einer abgeschlossenen, invarianten Untergruppe. Die zu den Kategorien Kin, Kin, m geh6rigen ,,Morphismen" sind topologische Gruppenhomomorphismen.

Zur Wfirdigung dieses Resultats beachte man: Die Gesamtheit aller vollst~ndigen Gruppen mit Untergruppentopologie bildet keine Kategorie in unserem Sinne, weil wir nicht zeigen kSnnen, dab aus der Vollst~ndigkeit yon (G*, T) immer auch die von (G*/J*, T~) folgt. Es sei noeh auf die MSglichkeit hingewiesen, an Stelle der M-Vollsti~ndigkeit eine schwiiehere Bedingung zu setzen, die es ebenfalls gestattet, aus der Vollst~indigkeit yon (G*, T) auf die yon (G*/J*, T~) zu schlieBen. Doeh ist es fraglich, ob sich eine in diese Riehtung gehende Untersuehung lohnt, da die M-Vollsts eine einfaehe Bedingung ist, aus der, wie wir sehen werden, vielfach praktisch wichtige Folgerungen gezogen werden k6nnen.

Zur Einffihrung der Kategorie K~. ~ beachte man, daft in den Fiillen, in denen (G*, T) nach den Siitzen 4 und 7 yon w 2 zu Km gehSrt, (G*, T) immer sogar in Kin. ~ liegt. Die Anwendungen, die wir von den Begriffen ,,M-vollstiindig" und ,,stark-M-vollst~ndig" machen werden, legen die Frage nahe, ob nicht grSBere Klassen M-vollst~ndiger bzw. stark-M- vollst~ndiger Gruppen, die die in w 2 behandelten Spezialfiflle umfassen, axiomatiseh in plausibler Weise eharakterisiert werden kSnnen. Auf eine in dieser Richtung liegende MSglichkeit weist das Beispiel der Galois- gruppen beliebiger unendlieher Normalk6rper hin. Denn hier kSnnte man, ohne auf die Kompaktheit zurfickzugreifen, die M-Vollst~indigkeit beweisen, wenn man die Tatsaehe ausnutzt, dab ein unend- licher NormalkSrper mit Hilfe einer wohlgeordneten Folge von endlichen algebraischen Erweiterungen aufgebaut werden kann. Indessen ffihren diese ~berlegungen fiber den Rahmen der vorliegenden Arbeit, in der die Wohlordnung nirgends eine Rolle spielt, wesentlich hinaus. Wir kSnnen daher auf sie nieht nigher eingehen, auch nicht andeutungsweise.

Mit K~ mSge die Gesamtheit aller kompakten (und damit automatisch vollst~ndigen) Gruppen (G*, T) mit Untergruppentopologie bezeiehnet werden.

Satz 12. K~ ist eine Kategorie im gleichen Sinne wie K,,, und Km.,~, und zwar ist Ke Unterkategorie yon K,,,,~. Die Gruppe (G*, T) gehSrt genau dann zu Ke, wenn bei einer und damit bei jeder zugehSrigen pro]ek- riven Gruppen]amilie (G, II} alle G~ endlich sind.

Der zweite Teil der Behauptung folgt sofort aus w 2, Lemma 3. Beim ersten Tell beachte man Satz 6 und Satz 7 von w 2 sowie die Tatsaehe, dab gleichzeitig mit den Gruppen G~ der zu (G*, T) gehSrigen Familie


{G, [I} auch die Gruppen H, (als Untergruppen yon G~) bzw. G, (als Faktorgruppen yon G~) der zu (H*, T~) bzw. (G*/J*, T~) gehSrigen Familie {H, ]1} bzw. (G, I I} alle endlich sind. (Bezeichnungen wie beim Beweis yon Satz 11.)

w 4. Spezielle Kategorien. Methodisehe Uberlegungen. Existenzs~tze

Will man zu tieferen S/itzen kommen, so muff man in den Kategorien K~, K~,m und eventuell auch in der Kategorie K, passende Unter- kategorien auszeichnen. Wir gehen dabei nach folgenden l~ichtlinien vor. Es sei k eine Kategorie von Gruppen mit diskreter Topologie, die mit G immer auch jede Untergruppe H und jedes homomorphe Bild G enth~lt. Die ,,Morphismen" von k seien die Gruppenhomomorphismen. Mit k* bzw. * km,~ bezeichnen wir die Gesamtheit aller der Gruppen (G*, T), die zu K~ bzw. K,,. m gehSren und mindestens eine projektive Gruppen- familie {G, I I} besitzen, bei der alle G, in k liegen. Aus den Betrachtungen v o n w 3 folgt sofort:

Lemma 5. a) Liegen bei einer zu (G*, T) gehSrigen projektiven Gruppen- familie {G, [1} alle G~ in k, so ist diese Bedingung bei jeder zu (G*, T) geh5rigen projektiven Gruppenfamilie erfiillt, b) k* bzw. * k~,~ ist eine topologische Unterkategorie der topologischen Gruppenkategorie K~ bzw. K~.~ im Sinne yon w 3.

Lemma 6. Ist k eine Kategorie yon endlichen Gruppen, so ist k* * eine topologische Unterkategorie yon K,.

Wir wollen im Falle yon Lemma 6 statt k* oder k*~ einfach k* (k, start k) schreiben und yon einer kompakten Kategorie k* sprechen. Die grSflte kompakte Kategorie ist offenbar K e . Man beachte noch: Zu k* und k* ~ gehSren auch die mit der diskreten Topologie versehenen Gruppen der Kategorie k. Denn eine Gruppenfamilie {G, II} liefert immer dann eine diskrete Gruppe von k als Grenzgruppe, wenn ein r o E I existiert, derart daft fiir jedes T~ ~ TO die Abbildung (To ~- TI> einen Gruppenisomorphismus von G,~ auf G, o definiert. Natiirlich sind aber nur die nichtdiskreten Gruppen aus k* und/c* ~ ftir uns interessant.

Die Eigenart einer speziellen Kategorie /c zeigt sich darin, dab es in den Gruppen yon ]c ausgezeichnete Elemente, Untermengen, Untergruppen gibt, ftir die gewisse Haupts~tze gelten. Es fragt sich nun: Gibt es in den Gruppen G* yon k* bzw. k * ~ entsprechende Elemente, (abgeschlossene) Untermengen, (abgeschlossene) Untergruppen, ftir die sich ~hnliche Haupts~tze formulieren lassen ? Bedenkt man die Art der Kopp- lung, die bei einer projektiven Gruppenfamilie {G, I I} und ihrer Grenz-

62 Wolfgang Krull

gruppe G* zwisehen G* und den G, bzw. zwisehen den G, untereinander dureh die Abbildungen (~ ~ , ) bzw. <r~ +- r~> hergestellt wird, so sieht man, dab nur unter ganz bestimmten Bedingungen mit einer befriedi- genden Antwort auf die gestellte Frage gereehnet werden daft, und man kommt zwanglos zu dem folgenden l~bertragungsprinzip:

Es sei, um zun/iehst so allgemein wie mfglieh zu bleiben, k* die Ge- samtheit aller der topologischen Gruppen, die sieh als Grenzgruppen projektiver Familien {G, ] 1} mit G, e k darstellen lassen. Eine in k giiltige Definition D, die in jeder Gruppe G e k eine bestimmte Menge /3(G) von Untermengen auszeichnet, soll projektiv bzw. s-projektiv (surjektiv- projektiv) hei6en, wenn bei jedem Homomorphismus G->G stets /3(G) in bzw. au]/3((~) abgebildet wird. Das Ubertragungsprinzip lautet dann: Jeder in k projektiven Definition/3 (G) wird in k* eine entspreehende Definition/3" (G*) zugeordnet durch die Festsetzung: Die abgesehlossene Untermenge M* yon G* soll genau dann zu /3*(G*) gehSren, wenn (~ ~- . ) M* fiir jedes v in/3 (G,) liegt. Unter den betraehteten Definitionen sind fiir uns au6er den Gruppendefinitionen, die jedem G e k eine Menge b(G) yon Untergruppen zuordnen, vor allem die Elementdefinitionen wiehtig. Bei einer Elementdefinition sind die ausgezeichneten Unter- mengen yon G alle einelementig, so da6 wir uns zweckm/~lliger auf den Standpunkt stellen, es werde durch sie einfaeh eine einzige Menge von Elementen yon G hervorgehoben. Im folgenden bedeutet, soweit nieht etwas anderes ausdrtieklieh bemerkt wird, stets D bzw./3 eine Element- bzw. eine Gruppendefinition. - - Wichtig ftir die Anwendung des l~ber- tragungsprinzips sind folgende Bemerkungen:

1. Eine Gruppendefinition i3 (und ebenso eine Elementdefinition) kann sowohl absoluten als auch relativen Charakter haben, d.h. die Gruppen H der Klasse b(G) kSnnen entweder ausgezeichnet sein durch eine Eigenschaft, die ihnen an sich zukommt (z.B. ,,p-Gruppe", ,,endliche, auflfsbare Gruppe") oder durch eine Eigenschaft, die ihr Verh/fltnis zu G kennzeichnet (z.B. ,,p-Sylowgruppe von G"). Im ersten Fall wird durch/3 eine Unterklasse kl von k gekennzeiehnet - - die allerdings nicht notwendig mit H aueh alle Unter- und Faktorgruppen von H enthalten mull -- , und es eharakterisiert dementsprechend auch/)* eine Unterklasse k~* yon k*. Beispiel: k besteht aus allen endlichen, kl aus allen endlichen, auflSsbaren Gruppen. k* besteht aus allen Grenzgruppen, die hinsichtlich der trivialen Topologie kompakt sind. k* wird yon allen den kompakten Grenzgruppen gebildet, bei denen (T ~- . ) G* fiir alle T auflSsbar ist.

2. Bezeichnungsteehnisch ist es bequem, falls die Elemente bzw. Gruppen der Mengen D(G) bzw. /3(O) dureh ein kurzes Wort gekennzeichnet werden kfnnen, das gleiche Wort auch zur Kennzeichnung der

Zur Theorie der Gruppen mit Untergruppontopologie 63

Elemente bzw. Gruppen der D* (G*) bzw. ~* (G*) zu verwenden. Beispiel : ] e G* heiBt p-Element genau dann, wenn / (~) fiir jedes �9 ein p-Element im iibliehen Sinne ist. Doeh muB man bei diesem Sprachgebraueh vorsiehtig sein. So kann in dem eben angeftihrten Beispiel das ,,p- Element" / durchaus unendliehe Ordnung haben, so dab / nieht mehr als p-Element bezeichnet werden darf, wenn G* als Gruppe schleehthin und nieht mehr als Grenzgruppe einer bestimmten Familie {G, II} betraehtet wird.

3. Bei einer beliebigen projektiven Definition b , bei der nieht alle/~ (G) leer sind - - trivialer, auszuschlieBender Fall - - , mul3 bei einer nur aus e bestehenden Gruppe G ---- {e} notwendig/) (G) nieht leer, also/) (G) ---- {{e}} sein. (Man w~hle H so, d a b / ) ( H ) nicht leer, und beaehte, dab bei dem Homomorphismus H--> H/H nach Voraussetzung /~(H) in I)(H/H) abgebildet wird.) - - Aus dieser Bemerkung folgt weiter: Bei einer s- projektiven Definition /~ ist LS(G) niemals leer.

4. Bei einer Gruppendefinition Li(G) wird die Projektivit~t - - falls tiberhaupt vorhanden - - meistens leieht zu erkennen sein. Dagegen ist es oft niebt einfaeh, zu beweisen, d a b / ) (G) sogar s-projektiv ist. Mall hat ja zu zeigen: Sei G aus k und G = ~G homomorphes Bild von G. Dann 1/i~t sieh jede Gruppe H eD(G) zu einer Gruppe H ~ ( G ) erweitern, die ihrerseits durch ~ a u f / I abgebildet wird. - - Dementspreehend stehen Erweiterungsprobleme in der Kategorie k im folgenden oft im Vordergrund.

5. Auf ein Erweiterungsproblem st6Bt man aueh, wenn Grenzgruppen mit passenden Eigensehaften gebildet werden sollen. Hier liegt folgendes Konstruktionssehema nahe: Man geht yon einer Gruppe G~ e k aus und erweitert sie zu einer Gruppe G2 e k, die eine invariante Untergruppe J2 von bestimmten Typ und die Gruppe G~ als Faktorgruppe G,/J2 besitzt. Weiter konstruiert man G a e k so, dal3 G a eine invariante Unter- gruppe Ja von bestimmtem Typ und die Gruppe G 2 als Faktorgruppe G3/J a besitzt usw. Man kommt so zu einer projektiven Familie (G. IN}, bei der (v .~-r ,+l ) der kanonisehe Homomorphismus yon G,+l auf

ist. - - Man beaehte, dab hier nieht genau das iibliehe Erweiterungs- problem vorliegt, bei dem regelmttBig eine /este Untergruppe mit einer Faktorgruppe yon bestimmtem Typ erweitert wird. Es sind diesmal die Rollen vou Unter- und Faktorgruppe gerade vertauscht. In der vorliegenden Arbeit, bei der die eben besehriebene Konstruktionsmethode nur gelegentlich beniitzt wird, spielt dieser Untersehied keine Rolle. Be- deutsam aber wird er bei gewissen Untersuehungen der Galoissehen Theorie, worauf wir aUerdings hier nieht niiher eingehen kSnnen.

64 Wolfgang Krull

6. Obwohl, wie in 4. und 5. gezeigt wurde, ftir uns Erweiterungspro- bleme /iullerst wichtig sind, brauehen wir uns nicht auf Kategorien zu beschr/~nken, die Ext-abgeschlossen sind, bei denen also G stets zu k geh5rt, wenn J und G/J in k liegen. Doeh werden wir bei den sp/~ter auf- t re tenden Kategorien regelm/~13ig diskutieren, ob sie Ext-abgesehlossen sind oder nicht.

7. Entseheidend fiir das Arbeiten mit dem l~bertragungsprinzip sind die folgenden Existenzs/~tze:

Satz 13. Ist D bzw. I) eine s-projektive Element- bzw. Gruppendefinition, so ist jar G* e k* bzw. G* e k * , , niemals D*(G*) bzw,/~*(G*) leer. Es wird sogar D*(G*) bzw. /)*(G*) dutch <v<- , ) stets au / D(G,) bzw. D (G,) abgebildet.

Satz 14. Ist D bzw. ]) pro]ektiv und k* kompakt, so ist bei der Grenzgruppe G* yon {G, II} 9enau dann D*(G*) bzw. /)*(G*) leer, wenn D(G) bzw. I) (G) l~tr ein passendes Vo ~tnd damit 1•r ~edes �9 > T o leer ist.

Satz 13 und Satz 14 folgen sofort aus den Ergebnissen yon w 1 und w 2. Etwas genauer miissen wir auf die Beweise der beiden n/~ehsten S/itze eingehen, obwohl es sieh auch dort um typisehe fJberlegungen aus der Topologie G6n6rale handelt .

Satz 15. Ist die beliebige Definition 1~ in k pro]ektiv, so ist es auch die zugehSrige Definition D* in k*.

B e w e i s . Es sei G* e k*; t* sei der kanonisehe Homomorphismus yon G* auf (~* = G*/J*. Ferner sei {G, ] I} eine zu G* gehSrige projektive Gruppenfamilie, und es sei die zu G* gehSrige projektive Gruppenfamilie {(~, I I} aus {G, ] I} genauso abgeleitet wie beim Beweis yon Satz 11, so dab wir ftir jedes v einen kanonisehen Homomorphismus t, yon G, auf

(~, zur Verftigung haben. SehlieBlieh sei <v <- ,> bzw. <v <- *) der Homo- morphismus von G* bzw. (~* auf G, bzw. G,, der den Zusammenhang von G* bzw. G* mit {G, II} bzw. {G, II} kennzeiehnet. Dann gilt, wie sofort zu sehen :

(1) + , ) =

Es sei nun M* e J~* (G*), M* = t ' M * , M, = <~ ~- ,>M*, 111, = <~ <- ,>-~*. Dann ist {M, I I} bzw. {_~1~, I I} eine projektive Familie mit der Grenz- menge M* bzw. _M*. Wegen M* e/)*(G*) gilt M, eD(G,) ftir jedes T,

u n d aus der Projektivitt~t yon J~ sowie aus (1) folgt 117, e/)((~,) fiir jedes T, also JT* e J~* (G*), w. z. b. w.

Satz 16. Ist die beliebige Definition yD in k, s-pro]ektiv, so ist auch 1)* in k* s-pro]ektiv.


Beim Beweis beschr~nken wir uns auf den Fall einer Elementdefinition D, da der Fall einer beliebigen Definition J~ grunds~tzlieh genauso behandelt werden kann. Wir bentitzen die gleiehen Bezeiehnungen wie bei Satz 15. Dartiber hinaus ziehen wir die in der Familie (G, {I} bzw.

{(~, [1} wirkenden Homomorphismen < T ~ ~1> bzw. <~2 ~"'~1> heran (~1 ~ T2). Neben (1) tr i t t dann die Formel:

(2) =

In Anbetracht der durch Satz 15 bereits gesicherten Projektivit/it yon D* ist nur noch zu zeigen: Zu jedem 5* ~ D* (G*) gibt es ein a* E D* (G*), derart dab t 'a* = ~*. Es sei 3, ----<v <-,)3*. Mit Da, bezeiehnen wir die Menge aller der a, E D (G,), ftir die e, a, = ~, gilt. Aus der s-Proj ektivit~t yon D, aus 3~ ~ D (G,), sowie ans (2) ergibt sieh mtihelos: Da~ ist niemals leer und man hat ftir T 1 ~ T$ stets <T~<-TI>Da,~ C Da~. Es ist also {Da, {I} eine projektive Teilfamilie von (G, ]I}. Nach Satz 9 aus w 2 ist dann D** = ~ {Da~}* ~= 0. Jedes a* e D~** liegt in D* (G*), und man

hat t, ((v ~ , )a*) = 3, = (~ ~- . )~* fiir jedes v, woraus t ' a* = ~* folgt.

(Beim letzten SchluB beaehte man: Es ist j edenfalls (v ~ .)(~*a*) ----3~ ftir jedes ~ wegen (1), und es gibt nur ein einziges Element, n~mlich ~*, das diesen Bedingungen gentigt.)

w 5. Beispiele zum Ubertragungsprinzip

Um die in w 4 skizzierten Methoden an einigen nicht ganz trivialen Beispielen zu erl/~utern, an denen sieh insbesondere der Untersehied zwisehen kompakten und nut M- bzw. stark-M-vollst/~ndigen Katego- rien herausarbeiten l~Bt, gehen wir aus yon irgendeiner Gruppendefinition J~ in k. Wir wollen sagen, es gelte f t i r /3 der Konjugiertensatz, wenn bei jeder Gruppe G E k zwei beliebige Untergruppen H1, H2 aus/~(G) stets in G konjugiert sind.

Satz 17. Ist in einer Kategorie k~ von endlichen Gruppen ~ eine proje]~tive Definition, ]fer die der Kon]ugiertensatz gilt, so gilt der Kon]ugiertensatz stets auch /fir die Definition I)* in der zugehSrigen kompakten Kategorie k*.

B e w ei s. Aus der Gruppendefinition/~ leiten wit in k, auf Grund der Gtiltigkeit des Konjugiertensatzes eine Elementdefinition Dm, H 2 ab dutch die Festsetzung: Sind H1, H2 zwei beliebige Gruppen aus/ ) (G) , so sei DH1, H2 (G) (lie nieht leere Menge aller der a e G, die der Bedingung a- lHla = H~ gentigen. Die Definition DH1. H 2 ist dann im folgenden Sinne projektiv: Bei jedem Homomorphismus G -> G gehen nach Voraus- setzung H1, H~ in zwei Gruppen H1, H2 aus/~ (G) tiber und es folgt aus a -1Hla = H~ natiirlich ~-1 H13 = H~, es wird also DHI. H a (G) in D~I ' ~ ((~) 5 7808 Hbg. Math. Abh., Bd. XXVII I

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abgebildet. Ist nun G* die Grenzgruppe yon {G, I I}, und sind H*, H* zwei Gruppen aus 1)*(G*), so gehSren (3 ~ - . )H* ----H,i (i ---- 1, 2) zu 1) (G,) fiir jedes T, und es ist die Familie {DH~I. H~2 (G,) ] 1} eine Teilfamilie von {G, I I}. Da G* kompakt ist, gibt es mindestens ein / e G* fiir das / ( ~ e DH, 1,ti, 2 (G,) (~ e I). Ist h ~1~ beliebig aus H* und h (a) = / - 1 h~l~/, so gilt h(2'(T) = ([(T)) -1. (h(l'(T}) . ([(T)) e H , , ftir alle ~, und daraus folgt h ~2~ e l l * wegen der Abgeschlossenheit yon H*. Genauso zeigt man, dab [h(a~/-leH * ftir jedes h(a~eH *, d.h. man hat / - 1 H * / C H * , [H*/ - 1 C=H*, /-1H*[ = H*. - - Wie man sieht, konnte nieht einfach Satz 14 herangezogen werden, weil eine Defnition wie DH1,H2(G), bei der auBer G noeh zwei Untergruppen von G auftreten, in w 4 nieht in Betraeht gezogen wurde. Aber es w~re pedantiseh und unnStig umst~ndlieh gewesen, in w 4 gleieh alle Definitionsmodifikationen, die sieh gegebenenfalls leieht einordnen lassen, mit zu berticksiehtigen. - - DaB wir uns bei Satz 17 auf kompakte Gruppen besehr~nken muflten, kam nattirlieh daher, dal~ die zu seinem Beweis benStigte Definition DH, H, nut projektiv, aber nicht s-projektiv ist. Fragt man sieh, wie der Kon- jugiertensatz versch~rft werden mug, wenn er yon einer nichtkompakten Kategorie k auf k* iibertragbar sein soll, so kommt man zwanglos zu folgender Begriffsbildung:

Es soll heiBen, ftir die projektive Gruppendefinition 1) in k gelte der e-Konjugiertensatz, wenn zwei Gruppen H 1, H a aus 1)(G) stets in G konjugiert sind, und wenn aui3erdem noeh die Zusatzbedingung erftillt ist: Ist in k die Gruppe G -----~G homomorphes Bild yon G, und sind H~, H2 zwei Gruppen aus ~ (G), die dutch den Homomorphismus ~ in die Gruppen H1, H a aus 1)(G) iibergehen, so gibt es zu jedem der Be- dingung ~-~TTt~ = / 7 a geniigenden Element ~ aus G ein Urbfld a yon hinsiehtlieh 7, das der Bedingung a- lHta ----- H2 geniigt. Oder kurz gesagt: Jeder innere, / t t in H a iiberfiihrende Automorphismus von 0 kann zu einem inneren, H~ in H a tiberfiihrenden Automorphismus yon G erweitert werden. Es ergibt sich nun sofort:

Satz 18. Gilt /ar die Gruppendefinition 1) in k der e-Kon]ugiertensatz, so gilt der Kon]ugiertensatz [itr die zugehSrige Definition 1)* in k*.

Der Beweis ergibt sieh aus den gleiehen 13berlegungen wie bei Satz 17. Man hat nur zu beaehten, daft diesmal {DH,1,H~(G,)II } eine Unter- und nieht nur eine Teilfamilie von {G, II} wird.

Der folgende Satz gibt ebenso wie Satz 17 einer Behauptung, die sp~iter fiir die Theorie der Sylowgruppen wichtig werden wird, eine m6gliehst allgemeine Fassung. Aus irgendeiner Gruppendefinition 1) in k kann sofort eine neue Definition 1),~ abgeleitet werden durch die Fest- setzung: 1)~(G) sei die Menge aller der H e1)(G), die in 1)(G) mengen-


theoretisch maximal sind. Im allgemeinen kann aus der Projektivi t~t oder s-Projektivit~t von 1) keine Aussage fiber das projektive Verhalten von b " gewonnen werden. Setzen wir aber voraus, dab 1) und 1)" beide projektiv sind, so gehSren in k* zu 1) und b " die Definitionen b * und (1)')*; auBerdem kann (ebenso wie 1)~ aus 1)) die Definition (1)*)" aus 1)* abgeleitet werden. Es gilt dann sieher:

(1)')* C (1)*)', d.h. (1)')* (G*) =C (1)*)'(G*) ffir jedes G* e k*.

Is t n/~mlieh H* aus (b,,)*(G*) und F* aus b*(G*), so folgt aus H* C=F* sofort H* = F*. Denn es ist jedenfalls <3 ~- ,>H* C <3 <-- , ) F * ffir jedes

im Falle H* C F * , und wegen <~ <- ,>H* E1)'(G,), <~ ~ - , ) F * ~/)(G,) muB ( v < - , > H * = <~<-,>F* ftir alle ~ gelten. - - Der Beweis der umgekehrten Beziehung (1)m)* ~ (1)*),, dtirfte ohne eine Annahme fiber die Natur von {G, I I} nicht zu erbringen sein. Wit zeigen:

Satz 19. Sind I) und 1)" beide pro]ektiv, so gilt im Falle einer kompakten Kategorie k* stets (Din)* = (1)*),,.

B e w e i s . Es sei H* E1)* (G*) ; dann mfissen wir die Existenz eines F* ~ (1)~)* (G*) nachweisen, das der Bedingung F* ~ H* oder, was auf das- selbe herauskommt, den Bedingungen F, = <v +- ,>F* ~ <v ~- ,> H* = H~ ftir alle ~ gentigt. Es sei nun/ ,3 = {L~ I L, ~/)m (G,), L~ ~= H,} (3 ~ I). Dann ist L, wegen H, el)(G~) niemals leer. Au[~erdem hat man ffir vx > ~ stets <T2 +- Tx> L~ 1 =C/~% wegen (~2 ~ v~> H,~ = HT~ und <~ ~ ~> 1)" (G,~) __C~" (G,~). D.h. es ist {L, I I} eine Teilfamilie yon {G~ I I} und wegen der Kompakt- heit von {0r [ I} gibt es ein F* mit <v +- , ) F * e/~, (3 z I), F* z (1)')* (G*), F* ~ H*.

Fragt man sich, wie bei Satz 17, naeh Voraussetzungen fiber D ' , unter denen man fiber die kompakten Kategorien hinauskommen kann, so wird man natfirlich 1) und 1)~ s-projektiv annehmen. Im iibrigen kommt man, Khnlieh wie im friiheren Fall, zu folgender Begriffsbildung: Die zu 1) gehSrige Definition 1)m soll erweiterbar hei$en, wenn in k bei einer Gruppe G und ihrem homomorphen Bild 0 = ~G zu jedem Gruppen- tripel H e / ) (G), / t --~ ~ H ~ 1) (G), / ) " (G) ~ F ~ / 7 stets eine Gruppe F E 1)'(G) mit F ~ H, ~F =- F existiert, wenn also jede Obergruppe _F von /7 aus 1)~(G) zu einer 0bergruppe F yon H aus 1)'(G) erweitert werden kann. Man sieht nun, da$ bei s-projektivem 1) und s-projektivem, erweiterbarem 1)~, die beim Beweis von Satz 19 konstruierte Familie ( ~ [I} nieht nur eine Teilfamilie, sondern sogar eine Unterfamilie yon { ~ I1} wird, und daraus ergibt sieh sofort:

satz 20. Bedeutet ~ eine s-projektive Definition in der Kategorie k, bei der 1)" nicht nur s-pro]ektiv, sondern sogar erweiterbar ist, so gilt stets (i),,,)* = (1)*)" in k * , ' . 5*

68 Wolfgang Krull

Es sei jetzt G* eine beliebige vollst~ndige Gruppe mit Untergruppen- topologie; (G, I I} sei eine zugehSrige projektive Gruppenfamilie. Wir fragen naeh Bedingungen, unter denen das Komplexprodukt M * . . . M* ~ M* von endlich vielen abgesehlossenen Untermengen M* ( i - - - - 1 , . . . , n) von G* selbst abgeschlossen ist. Dabei setzen wir M r - - - - ( v ~ , ) M * , M~ ---- (~ ~- ,~M* (i ---- 1 . . . . . n). Bei den Beweisen besehr~nken wir uns auf den Fall n ---- 2, da dann jedesmal Induktion mSglich ist. Sind M~ (i ---- 1 . . . . . n) Untermengen einer beliebigen Gruppe G, so soll das Komplexprodukt M 1 . . . M,,----M eindeutig hei~en, wenn ftir jedes m e M nur eine einzige Faktorisierung m ---- m ~ - . . m . (m~eM~) existiert.

Satz 21. Ist ]t~r ]edes �9 das Komplexprodukt M~I . " M, , ~ M, eindeutig, so ist auch das Komplexprodukt M* . . . M* ~ M* eindeutig, und es ist M* abgeschlossen.

Die Eindeutigkeit von M * . M* : M* ist selbstverst~ndlich. Ist m* Hiiufungspunkt yon M*, und setzen wir m, ---- (~ ~- , )m*, so gilt fiir jedes ~ eine Gleichung mr ---- m~l �9 m~2 mit m~ e M,i, und wir haben fiir �9 1 > ~ stets ((~2 ~- ~ m , , 1 ) �9 ((~., ~ ~1~m~,2) = (~2 ~- ~l)m~, = m~, wobei (~2 ~- r l )m~i e ( ~ ~- ~l)M~li ----- M~2~. Wegen der Eindeutigkeit des Produktes M~I �9 M,2~ ---- M, 2 folgt daraus (~2 ~- ~l)m~, ---- m~i. D.h. aber: Die Familien (m~i (I} (i ---- 1, 2) sind F~den in den projektiven Unterfamilien (Mrs [I} (i ---- 1, 2) yon {G, I I}. Ihnen entspreehen daher zwei Elemente m*, m* in den abgeschlossenen Mengen MI*, M*, die ersiehtlieh der Gleichung m*. m~* ----m* geniigen.

Um den allgemeinen Fall in unseren systematischen Rahmen ein- zuordnen, bilden wit die Familie (Mr• II}, wobei M, x M , das kartesische Produkt yon Mr mit sieh selbst, also die Menge aller Paare ((m(~ 1), m(~ 2)) I m~ ~) e M,; i ---- 1, 2} bedeutet. Offenbar ist {M, • M~ I I} projektiv mit der Abbildung (v2 ~- vl), und es ist (Mr • M~ t I} sieher kompakt bzw. M-vollst/indig, wenn {G, I I } es ist. Wir erkl~ren nun: Fiir jedes m, E M, bedeute D~,~ (Mr • Mr) die Menge aller Paare (mr D mr ~), die den Bedingungen m,~ e Mr,. (i ---- 1, 2), m,1 �9 m,~ ---- mr gentigen. Man sieht dann sofort: D~, (M, • M,) kann in folgendem Sinne als projektive Elementdefinition interpretiert werden : Is t ~ ~ v2 und (T~ ~- ~)m,~----m,~, so wird D,~,I(M,~xM~) durch ( ~ - ~ 1 ) stets in D,,~2(M,~• abgebildet. Diese Tatsaehe gentigt aber, um Satz 14 yon w 4 sinngemii[~ anzuwenden. Wir erhalten so:

Satz 22. GehSrt G* einer kompakten Kategorie k* an, so ist das Komplex- produkt M* . . . M* ~ M* der abgeschlossenen Mengen M* immer selbst abgeschlossen.


Ist n~mlieh m* ein H~ufungspunkt von M* und (T ~ , )m* ~ m, e M, fiir alle T, so kann man aus Satz 14 die Existenz eines Paares (m*, m*) erschlieflen, derart dab (r ~- ,} ((m*, m*}) �9 D , ~ ( M , • M, ) ftir jedes T.

Man hat dann offenbar m* e M* (i -- 1, 2), m* �9 m* ~ m*. - - Satz 22 ist natiirlieh nieht neu. Wiehtig fiir uns ist nur die Tatsache, dab die benutzte Beweismethode uns zeigt, unter welchen Bedingungen die Ab- gesehlossenheit yon M* . - . M* auch bei nur M-vollst~tndigem G* noch gesiehert ist. Offenbar ist das nach Satz 13 yon w 4 dann der Fall, wenn die Definition D,,:(M~ • M:) in dem welter oben pr/izisierten Sinne nicht nur projektiv, sondern sogar s-pro]ektiv ist. Bedenkt man, was s-Pro- jektivits in unserem Fall bedeutet, so erh~lt man leicht:

Satz 23. GehSrt G* zu Kin, so ergibt M * (i ---- 1 . . . . . n) immer die von M*

Bedingung er]allt ist : Sei /~r T1 ~ T2 etwa Dann l~Bt sich jede Faktorisierung m,~i ~ M ~ zu einer Faktorisierung m,~

sich aus der Abgeschlossenheit yon

�9 .. M* = M*, wenn die [olgende

m~l e My1 , (r2 <-- vl)m,1 : m , 2 e M , z .

m~2 = m~21. . , m~ n yon m~ mi$

mr11 �9 �9 �9 m~l n v o ~ m~ L erweitern, bei der m,li E M,~i und (v2 +- v l )m, l i = m~i (i = i, . . . , n).

Das Endergebnis unserer Analyse kSnnen wir so zusammenfassen: Will man gewisse S~tze, die fiir kompakte Kategorien sehon unter ver- h~ltnism~Big einfachen Projektionsbedingungen (Homomorphiebedin- gungen) gelten, auf Kategorien iibertragen, die nur M-vollst~ndig (bzw. starkrM-vollst~ndig) sind, so hat man regelm$i3ig auBer den Projektions- bedingungen noch Extensionsbedingungen (Erweiterungsbedingungen) zu fordern, die als ausgesprochen seharf angesehen werden miissen. Andererseits kann man natiirlich aus den sch~rferen Voraussetzungen aueh weitergehende Folgerungen ziehen, als sie unter den alleinigen Projektionsbedingungen (auch im kompakten Fall) mSglich sind.

w 6. Die Kategorie (t) der Torsionsgruppen

Im zweiten Tell (w 6~w 10) werden systematisch spezielle Kategorien k untersucht, und zwar unter einem etwas anderen Gesiehtspunkt als in w 3--w 5. Bisher dachten wir uns primer eine Gruppe (G*, T) gegeben, fiir die S~tze formuliert wurden. Erst bei den Beweisen wurde eine zu- gehSrige projektive Familie {G~ I I} herangezogen, wobei Gewieht darauf gelegt wurde, d~B das Endresult~t nicht yon der speziellen Wahl von {G, ]I} abhing. Jetz t gehen wir yon einer festen Familie {G, I1} aus und schlie~en yon ihr a u f die zugehSrige Grenzgruppe (G*, T). Die (regel- m~Big triviale) Aufgabe, bei den fiir (G*, T) formulierten Definitionen und S~tzen die Unabh~ngigkeit v o n d e r Wahl der Ausgangsfamilie nachzukontrollieren, wird dem Leser iiberlassen.

70 Wolfgang Krult

Die betraehteten Kategorien werden anders bezeiehnet als bisher. (e) bedeutet die Kategorie aller endlichen Gruppen, (le) die aller lokal-

endlichen Gruppen, d.h. aller der Gruppen, bei denen jede endlieh erzeugte Untergruppe endlich ist. Mit (t) bezeichnen wir die Kategorie aller Torsionsgruppen, bei denen jedes Element eine endliehe Untergruppe erzeugt. Unterkategorien werden dureh Zusatzbuehstaben gekennzeichnet. Beispiel : (t, a) Kategorie der Abelschen Torsionsgruppen. . und,~ haben die gleiche Bedeutung wie bisher. Beipsiel: * (t),~,m Kategorie der zu (t) gehSrigen, stark-M-vollst~ndigen Grenzgruppen.

p bedeutet stets eine Primzahl, zt-----{P~I, P;2 . . . . } eine Menge von Primzahlen, die naeh waehsender GrSl~e geordnet sind. Soll betont werden, dab die betraehtete Menge ~ endlich ist, so sehreiben wir :t, ; :~o----(Pl,P2,P3 . . . . } ist die Menge aller Primzahlen. - - Mit (a) bezeiehnen wir die durch das Element a der Gruppe G erzeugte Unter- gruppe. Bei einer topologisehen Gruppe (G*, T) bedeutet (a*)* die abgeschlossene Hiille yon (a*) in G*. - - lal ist die Ordnung yon a im iiblichen Sinne, also die M/~chtigkeit von (a). Beachte, daI~ l al entweder gleich n ~ N oder gleieh ~o! Ist lal = n ~ ~o und n = ]--[p~ (Produkt fiber alle Primzahlen, fast alle ri gleich 0), so definieren wir den , ,Wef t" von a dureh wa ---- (r l , r 2 . . . . ); w~a =- r~ heiBt der ,,Wert von a bei Pi" .

Den weiteren Betraehtungen legen wir die Kategorie (t) zugrunde, in der wa ffir jedes a definiert ist. Wir kSnnen dann in der Menge (t)* der zu (t) gehSrigen vollst/indigen Grenzgruppen (G*, T) den Wert w ' a * folgendermaBen einfiihren: Sei {G, ]I} eine zu (G*, T) gehSrige projektive Familie, a* e G* und (v ~- . ) a* ---- a,; sei ferner wa, -~ (r,i). Dann werde w ' a * = (r*) mit w ' a * ---- r* :- sup r~i gesetzt (0 ~_ r* ~ ~ ) . Man sieht sofort:

Is t [a* ] = n endlieh, so ist la, [ = n ffir �9 ~ 30, und es wird w ' a * = wa,. Das gilt insbesondere; wenn G* zu (t) gehSrt und T die diskrete Topologie ist. - - l a*[ ist genau dann endlieh, wenn fast alle r* gleieh 0 und alle r* endlieh sind.

Wir ftihren weiter in (t) bzw. (t)* eine Elementdefinition D bzw. D* ein durch die Festsetzung: a e G bzw. a * e G* heil~t n-Element, wenn wk a = 0 bzw. w* a* ---- 0 ist, falls p , nieht zu ~ = (Ptl, P~, . . . . ) gehSrt. Offenbar ist die Definition des ~-Elements in (t) projektiv und es ge- hSren die Definitionen D und D* im Sinne v o n w 4 zusammen. Ist ]a*[ endlich, so ist a* in (~bereinstimmung mit dem iibliehen Spraeh- gebraueh genau dann :~-Element, wenn jeder Primteiler yon [a*[ zu gehSrt.

Satz 24. Die Definition des ~-Elements ist in (t) s-pro]ektiv.


Bewe i s . Sei G aus (t) und G = ~G homomorphes Bild yon G; sei ferner 5 ein z-Element aus G und a e G ein Repriisentant yon ~. Dann ist [ a [ = I~l 'q "r, wobei q nur durch P r i m z a h l e n a u s ~ und r durch keine einzige Primzahl aus z teilbar ist, so da6 ]51 �9 q und r teilerfremd sind. Die zyklische Gruppe (a) besitzt eine ausschlieBlieh aus ~z-Elementen bestehende Untergruppe (c) der Ordnung 1~I. q. Der Kern (d) des dutch

induzierten Homomorphismus (a)-~ (~) hat die Ordnung q. r und q ist die Ordnung yon (c) r (d). Daraus folgt, dab ~ ---- ~e die Ordnung I~[ besitzt, dab also (9) = (5) wird, und dab somit (c) einen Repri~sentanten yon 5 enth~ilt. - - Aus Satz 13 yon w 4 folgt sofort:

Korollar zu Satz 24. GehSrt G* mit der zugehSrigen projektiven Familie {G, II} zu (t)*, so wird die Menge M* aller ~-Elemente aus G* ftir jedes v durch (3 <- , ) aufdie Menge aller ~-Elemente aus G, abgebildet.

Besteht u nur aus einer einzigen Primzahl p~ ----p, so spreehen wit s ta t t yon einem ~-Element von einem p-Element. Bei einem p-Element f* aus G* yon endlicher Ordnung ist (/*)* = (/*) die kleinste /* enthaltende abgesehlossene Untergruppe yon G*. Ist aber I ] * 1 = ~0, so sei {G, I I} eine zu G* gehSrige projektive Familie, g* ein beliebiges Element aus (/*)*, /, = ( 3 ~ - * ) / * , 9~ ---- (3 ~- , )g* und P ~ = [ / , I . Dann ist r~ ~ r~ fiir 31 ~ 32, sup r~ : ~ , g~ : f~ mit eindeutig be-

t stimmten, der Ungleichung 0 ~ s~ < p~ geniigenden Exponenten s~, und die Bedingung (32 <-vl)g,~ = g,~ ftir v 1 ~_ 3~ ist gleiehwertig mit sr~ ~ s~ (p~,,). Daraus folgt aber: Die Familie {sT [I} definiert eine wohl- bestimmte ganze p-adisehe Zahl P~,. Weiter tiberlegt man sich ohne Sehwierigkeit:

Satz 25. Durch die Zuordnung g*-> Po* wird (/*)* isomorph au/ die additive Gruppe Z* aller ganzen p-adisehen Zahlen abgebildet. Der Iso- morphismus ist topologiseh, d.h. eine Folge (g*) aus (f*)* Iconvergiert genau dann gegen g* im Sinne der Topologie yon G*, wenn die zugeordnete Folge (PgT) im Sinne der p-adischen Topologie gegen Pg, bonvergiert.

Auf Einzelheiten brauehen wir nicht einzugehen, da es sich um wohlbekannte Dinge handelt. Die (nattirlich gleichfalls bekannte) Struktur der Gruppe (/*)* bei einem beliebigen /* ~G* ergibt sieh aus unseren Bemerkungen tiber den Fall der p-Elemente und aus Satz 27 yon w 7.

Nach der Einfiihrung der g-Elemente liegt es auf der Hand, weiter zu definieren: Die Untergruppe H yon G e (t) bzw. die abgesehlossene Untergruppe H* yon (G*, T ) e (t)* sell z-Gruppe heiBen, wenn alle Elemente aus H bzw. H* ~-Elemente sind. Analog wie bei den ~-Ele- menten ist es klar, dab man im Sinne yon w 4 zusammengehSrige Gruppen-

72 Wolfgang Krull

definitionen b , / ) * vor sieh hat, und dal3 die Definition der n-Gruppe in (t) projektiv ist. Dagegen werden wir nur fiir ziemlieh spezielle Kate- gorien zeigen kSnnen, da~ die Definition ,,g-Gruppe" bzw. wenigstens die Definition ,,p-Gruppe" s-projektiv ist.

w 7. Direkte Produktzerlegungen und Faktorisierungen

Die Grundlage ftir die n~chsten Untersuchungen bildet die folgende Bemerkung :

Es sei (G, I I} eine beliebige projektive Gruppenfamilie mit der Grenz- gruppe (G*, T) und es sei (/*) eine Folge yon Elementen aus G*, also yon Fdden {/~, II}. Frage: Warm kann das formal ausgesehriebene unendliche Produkt /*. ]* . /* . . . in sinnvoller Weise in G* definiert werden? Antwort: Jedenfalls dann, wenn die folgende Endlichkeits- bedingung erfiillt ist: Fiir jedes 3 sind fast alle/~, gleieh dem Einselement e~ von G,. Denn in diesem Fall ist fiir jedes ~ das formal unendliehe Produkt / z , ' / 2 , ' / a ~ " " in Wirklichkeit endlieh, man kann also /1,"/2,"/3~ . . . . /3 bilden, und man sieht sofort : /* ---- (]~ I I} ist ein Faden, also ein Element aus G*, und es ist sinnvoll, ]* . ]*./3* . . . . ]* zu setzen; denn fiir j edes T0 gibt es ein no (3o), derart dab (30 <-- *)((/*)-1. ( / , . . . / , ) ) = e, ~ ftir alle n ~ no(Vo), die Folge {/* . . . ]*} konvergiert also gegen ]* im Sinne der Topologie T. �9 Im folgenden denken wir uns stets die Multiplikation in (G*, T)

dadurch erweitert, dal3 alle auf Grund der Endliehkeitsbedingung bildbaren unendlichen Produkte ] * - ] * . ] * " " zugelassen werden. In- dessen wird uns yon solehen Produkten nur ein ganz bestimmter Typ wirklieh interessieren, n~mlieh der, bei d e m / * jeweils ein p~-Element im Sinne vonw 6 ist. (Die Primzahlen seien dabei wie in w 6 nach waehsender GrSBe geordnet; die Wirkung einer Umordnung wird von Fall zu Fall diskutiert.) - - Wir besehr~nken uns yon j etzt ab dauernd auf die Kategorie (t) und ihre Unterkategorien und fragen: Wann ist in einer Gruppe (G*, T) aus (t)* das Produkt / * . / * . ] * . . . immer bildbar, wenn ftir /* ein beliebiges pi-Element aus G* gewi~hlt wird? Die Antwort lautet, wie miihelos einzusehen: Genau dann, wenn es bei einer zu (G*, T) gehSrigen Gruppenfamilie (G, I I} fiir jedes vein endliches ~(,') = (P~), �9 �9 �9 ~,N,~,/-(') \ gibt, derart dab G, eine ~(~)-Gruppe im Sinne yon w 6 darstellt, dab also alle a, eG, z~')-Elemente sind. Wir beaehten nun, dal3 die Menge aller Gruppen G, die g(J)-Gruppen mit passendem yon der j eweiligen Gruppe abh~ngigem :~) sind, eine Unterlcatefforie yon (t) bildet. Bezeiehnen wir diese Unterkategorie mit (t, g,), so wissen wir:

Lemma 7. Ist (G*, T) aus (t, ~ )* und bedeutet/* ein beliebiges p~-Element aus G*, so ist da~ Produkt / * . / * . / * . . . in G* stets bildbar.


(Man beaehte, daB bei der Definition der Kategorie (t, ~ ) und dementsprechend auch bei Lemma 7 es vSllig gleichgiiltig ist, welehe An- ordnung wir ffir die Menge aller Primzahlen w~hlen.) Wir bezeichnen weiter mit (t, a) die Kategorie aller Abelschen Torsionsgruppen, mit (t, np) die Kategorie a|ler der Torsionsgruppen G, bei denen fiir jedes p die Untermenge M~ aller p-Elemente eine Gruppe bildet. DaB es sieh sowohl bei (t, a) als auch bei (t, np) tats~ehlich um Kategorien handelt, ist trivial. (t, np) ist eine Oberkategorie von (t, a). Andererseits umfaBt (t, rip) aber aueh die Kategorie aller endlichen, nilpotenten Gruppen; daher die Wahl der Bezeichnung (t, np). Bei einer Gruppe G e (t, rip} ist M~- -Q~ immer eine invariante Untergruppe, und wir haben Q~lnQ~2={e}, so dab ftir q~eQ~, ( i = 1,2) mit p l ~ P ~ immer ql"q2 = q~'ql gilt. Ist (G*, T) eine Gruppe aus (t, np)* mit der zu- gehSrigen projektiven Familie {G, II}, so ist (Q~ I I} fiir jedes p eine Unterfamilie von (G~ ] I} naeh Satz 24 und die zugehSrige Grenzgruppe Q* ist gleich der Menge aller p-Elemente aus G*, es ist also Q* in G* invariant, wir haben (3 ~- .)Q* -- Q~, fiir jedes v, und es wird fiir Pl ~= P2, q* e Q*i stets Q* n Q* -- {e*}, q* �9 q* -- q* �9 q*. - - Wir interessieren uns jetzt fiir direkte Produktzerlegungen in p-Gruppen, wobei es sieh bei einer unendlichen Faktorenzahl stets um das Tychano~-Produkt handeln soll. Um dieses Produkt bilden zu kSnnen, miissen wir uns, wie sofort zu sehen, auf die Kategorie (t, ~ ) und auf (t, ~,)* beschr~nken. Sei also (t, np, ~ ) die Kategorie aller der Gruppen, die gleichzeitig zu (t, np) und (t, ~ ) gehSren. Dann gilt zun~chst: G gehSrt genau dann zu (t, np, ~) , wenn G eine (nur formal unendliehe) direkte Produktzerlegung G ---- Q~I | Q~ | Q~3 (~ "'" besitzt, bei der Q~ jeweils eine pi-Gruppe darstellt und fast immer Q~ = {e} ist. (Man beachte, dab im Fall der Existenz einer solehen Zerlegung Q~ stets alle p~-Elemente von G ent- h~lt.) - - Gehen wir zu den Grenzgruppen fiber, so folgt aus den bisherige~l Betrachtungen ohne alle Schwierigkeit:

Satz 26. Eine Gruppe (G*, T) aus (t)* besitzt genau dann eine direkte Produlctzerlegung G* ----Q*, Q Q*2 Q Q*3 ~) " " ", bei der Q*, ]eweils eine p~-Gruppe ist, wenn (G*, T) zu (t, np, ~ )* gehSrt. Q*~ um/aflt in diesem Falle alle p~-Elemente yon G*.

Es sei jetzt (G*, T) beliebig aus (t)* und (a*)* ---- Z* die dutch ein a* erzeugte abgesehlossene Untergruppe. Dann gehSrt Z* jedenfalls zu (t, rip, ~)*. Ist {G, I I} eine zu G* gehSrige projektive Familie und a, ---- (v ~ , )a* , so besitzt a~ in (a~) eine (nur formal unendliehe) Produkt- zerlegung a, -= q~ 1 �9 q, ~ �9 q, 3 �9 �9 �9 bei der q,~ ein pi-Element, u n d e s wird (a~) = (q,1) Q (q~2) | (q~3) ~ "" ". Weiter ist ( v ~ - v l ) q , ~ -----q,~ fiir �9 ~ ~ ~2 wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung der a~; es ist also

74 Wolfgang Krull

q* -~ {q,~ I I} ein pi-Element aus Z*, und es stellt, wie sofort zu sehen, Z* = (q*)* (2) (q*)* (D " '" die Zerlegung yon Z* im Sinne yon Satz 26 dar. Beachten wir noch Satz 25 sowie die Definition des Wertes w'a* in w 6, so erhalten wir:

Satz 275). E8 sei (G*, T) e (t)*, a * e G * , w'a* = (r*>. Dann besitzt (a*)* eine direlcte Produktzerlegung (a*)* ~ (q*)* Q (q2*)* Q " " , bei der q* ]eweils ein p~-Element bedeutet. (q*)* ist eine endliche Gruppe der Ord- nung p[*' oder topologisch isomorph zur Additionsgruppe aller ganzen p~-adischen Zahlen, ]e nachdem ob r* ~ oo oder r* ----- oo.

Damit ist die (an sich wohlbekannte) Theorie der Gruppenelemente in (t)* in unseren systematisehen Rahmen eingeordnet. - - Es sei jetzt (G*, T) eine zu (t, np)*, aber nicht zu (t, g~)* gehSrige Gruppe mit der zugehSrigen projektiven Familie (G, I I). Ferner sei Q*~ die invariante Untergruppe aller p~-Elemente und Q,~ = (v~-*)Q*,. Dann kSnnen wir natiirlieh formal die direkten Produkte Q*I | Q*~ | . . . . G**, Q,~I | Q,~2 Q . . . . G* bilden und G* bzw. G, in kanoniseher Weise isomorph in G** bzw. G* einbetten. Aueh kann man G** als Grenzgruppe der projektiven Familie {G*]I} auffassen. Aber man mull zweierlei beachten: 1. Es handelt sieh bei G** und ebenso ffir v ~ ~0 (,,hinreiehend grebes ~") bei den G* nur um eine echte Einbettunff in, nieht um eine Abbildung au/. - - 2. Ffir v ~ v0 sind die Gruppen G* keine diskreten Gruppen mehr, sondern als unendliehe direkte Summen topologische Gruppen mit der Tychanoff-Topologie. G** als Grenzgruppe einer projektiven Familie yon echt topologisehen Gruppen f~llt also aus unserem Rahmen heraus.

Diese Bemerkung ist vor allem ffir Abelsche Torsionsgruppen yon Interesse. Hier kann man sieh in dem klassischen Spezialfall der Kategorie (a, rain) aller Abelschen Gruppen mit Minimalbedingung, den PRi~F~.B (natfirlich in anderer Terminologie) seiner bahnbreehenden Arbeit fiber Abelsehe Gruppen mit VoUst~ndigkeitsbedingung zugrunde legte und dessen Untersuehung dementsprechend heute am weitesten fort- gesehritten ist6), naeh PROFER auf die Betraehtung yon Abelsehen p-Gruppen besehr~nken. Unsere Analyse zeigt nun allgemein, dab diese Reduktion bei einer beliebigen Kategorie yon Abelsehen Torsions- gruppen ohne Sprengung des Rahmens nieht immer mSglieh ist, sondern

a) Die S~itze fiber die Struktur der von einem Element erzeugten abgeschlossenen Untergruppe (a*)* gehen auf SCHSI~OR~ zuriiek ([13]). Dal3 bei ihm nur Abels~h~ Gruppen bohandelt werden, bedoutet koine Einsehriinkung, da ja (a*)* immer A~.Lsch ist. Vgl. im fibrigen auch die grtmdlegende Arbeit [12] yon l~i i~R.

6) PI~OI~R [ll]. Zu den Abelschen Gruppen vgl. weiter KRv~z~ [6], [7] sowie SeH51~r~OR~ [13], [14].

Zur Theorie der Grulapen mit Untergruppentopologie 75

dann und nur dann, wenn die be t rachte te Kategorie eine Unterka tegor ie von (t, np , ~ ) darstel l t ; fiir die Einordnung des Priifersehen Spezial- falls b rauch t man nur die Bemerkung, dab jede Abelsche Gruppe mi t Minimalbedingung zu (t, np, g~) geh6rt.

Da bei einer direkten Produktzer legung die Faktoren immer element- weise ver tauschbar sind, war es bisher vSllig unwesentlieh, dab wir fiir die Menge ~t 0 -~ (P l , P2 . . . . ) aller Pr imzahlen stillsehweigend eine ausgezeichnete Anordnung, n/~mlich die naeh waehsender GrSBe, zugrunde gelegt hat ten. Bei den folgenden Bet raehtungen dagegen ist es wiehtig, daft zwar wieder mit einer/esten Anordnung (4oi, p~ . . . . ) der Primzahlen gearbei te t wird, dab aber diese Anordnung vSll ig w i l l k a r l i c h gew/~hlt werden kann. Wir setzen ~----(Pr+I,P~+2 . . . . ) und definieren: Von einer p - F a k t o r i s i e r u n g G* : Q*~ �9 Q*~ . . . der Gruppe (G*, T) aus (t, ~,)* sell gesprochen werden, wenn 1. jedes Q* eine abgeschlossene p~-Unter-

�9 $ gruppe yon G*, 2. jedes (Tyehanoff- )Produkt Q~,+~ .Q~,+~.-. eine abgesehlossene ~ - U n t e r g r u p p e von G* darstellt , und wenn 3. (im Sinne des Tyehanoff-Produktes) G* ---- Q * . Q*2 " �9 �9 wird.

Lemma 8. Is t G*----Q*~. Q*~. . . eine p-Faktor is ierung von G*, so ist fiir a* E G* die Zerlegung a* = q* �9 q* �9 q~ �9 �9 �9 (q* ~ Q*,) faktoren- weise eindeutig bes t immt.

Beweis durch Indukt ion : Es sei die Eindeut igkei t von q* . . . . . q*-i bereits gesiehert und es sei a * - - - - q * . . , q * - l " q * ' q * + l " q * + ~ ' ' " = q* q*-i q*) *) *) . . . . . q~+l ' q,+~ " '" ; ferner werde q*+t �9 q*+~- . . . . st*, ,) ,) . . . s*) . = q*) qr+i'qr+~ ---- gesetzt. Dann haben wir q* s* �9 s*); q* und

q*) in Q*, s* und s *) in Q~,+~.Q~,+~... , und daraus folgt q* q*), $ * weil die z~-Gruppe Q~r+~ "Q~,+2 " " " mit der pr-Gruppe Q* nur das Einsele-

ment zum Durchschni t t hat. (Man beachte, dab beim Beweis yon dem in unserem Fall trivialerweise giiltigen Assoziativgesetz fiir unendliche P roduk te Gebrauch gemaeht wurde.)

Korollar zu Lemma 8. Es sei (G*, T) E (t, ~ ) * und {G, I I} eine zu G* gehSrige projekt ive Familie. Ferner sei (Q*, Q* . . . . ) eine Folge yon abgesehlossenen Untergruppen von G* und (~ ~- , )Q* -- Q~. Dann gilt: Is t G, ----Q,x" Q,2 " '" ftir jedes v eine (natiirlieh nur formal unendliehe) p-Faktor is ierung von G~, so ist G* ---- Q* �9 Q* �9 �9 �9 eine p-Faktor is ierung yon G*.

DaB Q* bzw. Q*+I -Q*+~- . s te ts eine pr- bzw. ~r-Gruppe ist, folgt sofort aus der Tatsaehe, dab diese Behaup tung ftir jedes v fiir Q,, bzw. Q,,~+I" Q,.~+2 " '" gilt. Ebenso ist klar, dab G* die abgeschlossene Htille des Tyehanoff -Produktes Q * - Q * - - . darstellt . Es bleibt also noeh die Abgesehlossenheit der P roduk te Q*. Q*+~ . . . fiir r -- I, 2 . . . . zu be-

76 Wolfgang Krull

weisen. Diese folgt aber sofort aus Satz 21 v o n w 5. (DaB in unserem Fall unendlich viele Faktoren auftreten, wi~hrend bei Satz 21 nut endlich viele Faktoren vorhanden waren, erfordert keine nennenswerte Modifi- kation der (~berlegungen.)

Es sei jetzt (t, u, n,) eine Unterkategorie yon (t, :~,), in der jede Gruppe G eine p-Faktorisierung besitzt. Wit fragen, unter welehen Bedingungen wit auf die Existenz entsprechender Faktorisierungen bei den Gruppen (G*, T) der zugeh6rigen Grenzkategorie (t, u, :~)* ~ schliel~en kSnnen. Zun/~chst ist klar: Ist G eine Gruppe mit der p-Faktorisierung G ---- Q~ .Q2 "'" und 0 ---- ~G homomorphes Bitd von G, so ist G ---- ~G ----(~Q1) " (~TQ~) " " " eine p-Faktorisierung yon G, d.h. der Begriff ,,p- Faktorisierunit" ist projektiv. Er wird aber i. a. nicht s-pro]ektiv sein, d.h. es braucht nicht die Erweiterungsbedinguncj erfiillt zu sein: Zu jeder p-Faktorisierung G = ~)1" ~)~" ~)3 "'" von G = ~G gibt es eine p-Fak- torisierung G : Q1 �9 Q2 �9 Q3 "'" yon G, derart dab ~)~ : ~/Q~ (i = 1, 2 . . . . ). Wohl aber werden wir Kategorien (t, u, g,) kennenlernen, in denen jede Gruppe G gewisse ausgezeichnete p-Faktorisierungen besitzt, wir wollen von S-p-Faktorisierungen reden, derart dab fiir die S-p-Faktorisierungen die Erweiterungsbedingung erfiillt ist, dab also der Begriff ,,S-p-Faktori- sierung" s-pro]ektiv ist. Wir sagen in diesem Fall kurz, es sei (t, u, ~,) eine Kategorie mit S-p-Faktorisierun 9.

Satz 28. Ist ( t ,u ,n , ) eine Kategorie mit S-p-Faktorisierung, so besitzt in der Grenzkategorie (t, u, :~)*.m jede Guppe (G*, T) mi~wIestens eine p-Faktorisierung G*----Q*. Q*. Q * . . . , derart daft in einer zu- gehSrigen projektiven Familie {G, [ I} immer G, -: Q,1 �9 Q,2 " �9 �9 eine S-p- Faktorisierung yon G~ wird, ]alls man Q~ : (v <- *)Q* (i -- 1, 2 . . . . ) setzt.

Zum Beweis mtissen wir etwas welter ausholen. Wie in w 1 sei ~ die Menge aller nichtleeren Untermengen yon G; mit ~ - = (~, ~, ~ . . . . ) bezeiehnen wir das kartesische Produkt yon abz/~hlbar unendlieh vielen Faktoren ~. Ist {G, ]I} eine projektive Familie, so bilden wir in der gleiehen Weise wie die Potenzfamilie {~, II} yon w 1 die weitere projek- rive Familie {0~' I I}.

Lemma 9. Es werde in einer beliebigen Kategorie k durch eine 8-projektive Definition /) jedem G E k eine Untermenge /)(G) yon ~ zugeordnet; dabei gebe es zu jedem G e k einen (yon G abh/ingigen) Index ng, derart dal3 bei jedem Element (U1, U~. . . . . ) aus /)(G) fiir n ~ ng stets U, ---- {e} wird. Dann ist I)*(G*) in k*.~ niemals leer.

B e w e i s . Es sei {G~ I I} eine zu G* gehSrige projektive Familie, und es seien UI* . . . . . U,* so bestimmt, dab ftir (T <-,} U* ---- (U~*)~ fiir jedes

Zur Theorie der Gruppen mit Untorgruppentopologio 77

i n / ) ( G , ) ein Element ((U*) . . . . . . (U*),, U~+ 1 . . . . . . > vorkommt . Wir setzen t~, gleich der Menge aller der U~+I,,, die in einem ((U*) . . . . . . (U*), , U,+~, , , . . .> aus /~(G,) an (r + 1)-ter Stelle stehen. Dann ist { ~ , I I} eine projekt ive Unterfamil ie yon {G, I I}, und wegen G* ~ k*~.m gibt es ein U*+I C G*, derar t dab (U*+t), ~ g r fiir alle 3. Die Folge < U* . . . . . U*, U*+I > ha t also die gleiche Eigensehaft wie die Ausgangsfolge <U* . . . . . U*) , und dureh Indukt ion ergibt sich: Es existiert eine Folge (U* IN>, derar t dab fiir jedes z und jedes n immer in /~(G,) ein < ( U * ) , , . . . , (U,*),, U,+t . . . . . . > vorkommt . Nun ist aber bei festem �9 naeh Voraussetzung fiir n > ng, sieher U~+I,, = U,+~.., = . . . . {e,} bei jedem Element yon b (G, ) und nach Kons t ruk t ion yon <U* IN> mug aueh (U*+I), ---- (U*+~), . . . . . {e,} werden. Daraus folgt abschlie~lend : Es gilt ((U*)~, (U*) . . . . . ) = (~ <-*) (U* , U * , . . . ) e D ( G , ) ftir alle 3.

Zum Beweis yon Satz 28 hat man je tz t nur noch zu beachten: De- finieren wir in ( t ,u ,u~): ,,/:i(G) soil aus der Menge aller der Folgen (Q1, Q2 . . . . ) bestehen, bei denen G = Q~ �9 Q~ �9 �9 �9 eine S-p-Faktori- sierung yon G darstel l t" , so i s t / ) eine s-projekt ive Definition im Sinne yon L e m m a 9. Es gibt also zu der Gruppe (G*, T) aus (t, u, n~)*,~ stets eine Folge (Q*, Q* . . . . ), derar t dab G, = (Q*),. (Q*)~ - . . ftir jedes eine S-p-Faktor is ierung von G, ist, und daraus folgt nach dem Korollar zu L e m m a 8, dab G* = Q*. Q* �9 �9 eine p-Faktor is ierung yon G* sein mul~. - - Im Sinne von w 4 wird man die ausgezeiehneten Faktoris ierungen, deren Existenz dureh Satz 28 gesiehert ist, als S*-p-Faktorisierungen bezeiehnen. Aus dem Beweis yon Satz 28 und aus Satz 13 yon w 4 ergibt sieh noch:

Korollar zu Satz 28. Is t G, = Q,I �9 Q,2 �9 �9 �9 (bei festem 3) irgendeine S-p-Faktoris ierung yon G,, so besi tzt G* stets eine S*-p-Faktoris ierung G* = Q*. Q * . . . mit <v~- .>Q* = Q,,.

(Das Prob lem der p-Faktor is ierung in kompakten Kategor ien wird in w 8 behandel t werden.)

Angesiehts yon Satz 28 brauehen wir uns im folgenden prakt iseh nicht mehr mit unendliehen Produkten zu beseh/~ftigen. Denn tiberall dort , wo in einer Kategorie (t, u, ~t,)*.m die Existenz yon p-Faktor is ierungen bewiesen werden soll, haben wir nur zu zeigen, dall (t, u, ~t,) eine Kategor ie mit S-p-Faktor is ierung ist, und in (t, u, ~t,) haben wir nur endliehe P roduk te zu betrachten. - - SehlieBlieh sei noeh bemerkt :

In allen speziellen F/illen, in denen p-Faktor is ierungen eine Rolle spielen, wird sieh regelm/~Big die Existenz yon solehen Faktor is ierungen /~r ~ede beliebige Anordnung <T1, P~ . . . . > d e r Menge aller Pr imzahlen ergeben. Auch wird sieh zeigen, dab das Resu l ta t das gleiehe bleibt,

78 Wolfgang Krull

wenn wir statt der bisher immer betrachteten Faktorisierungen G* ~ Q* �9 Q* �9 � 9 die pr~zis als Links/alctorisierungen bezeichnet werden kSnnten, entsprechende Rechts/aktorisierungen G* . . . . Q* . Q* ins Auge fassen.

w 8. Kompakte Kategorien

Wir untersuehen jetzt die naeh w 3 grSBte kompakte Kategorie (e) aller endlichen Gruppen und ihre Unterkategorien. Man beaehte, daft (e) seinerseits Unterkategorie yon (t, ~ ) ist. Der Durehsehnitt (e, np) yon (e) und (t, np) ist die Kategorie aller nilpotenten endlichen Gruppen im tibliehen Sinne (vgl. weiter unten). Mit (e, au) bezeiehnen wit die Kate- gorie aller auflSsbaren endlichen Gruppen. Eine ganze Zahl n soll zu der Primzahlmenge u fremd heiflen, wenn n durch kein p e ~ teilbar ist. Die Untergruppe H yon G wird wie iiblieh n-Sylowgruppe yon G genannt, wenn H e i n e ~-Gruppe und der Quotient I GI. I HI -1 der Gruppen- ordnungen I GI und I H[ zu ~ fremd ist. Im Falle g ---- {p} spreehen wir yon einer p-Sylowgruppe. Bekanntlich gelten fiir p- und ~z-Sylowgruppen die folgenden Hil/ssatze:

Jede Gruppe G aus k, besitzt ftir jedes p p-Sylowgruppen. Die p-Sylowgruppen von G sind gerade die maximalen p-Untergruppen von G. Alle p-Sylowgruppen von G sind in G konjugiert.

Eine Gruppe G aus k, ist genau dann auflSsbar, wenn es fiir jedes z-Sylowgruppen yon G gibt (Satz yon HALLT)). - - Bei einer auflSsbaren Gruppe sind ftir jedes u die u-Sylowgruppen gerade die maximalen z~-Untergruppen yon G, und alle ~-Sylowgruppen yon G sind in G konjugiert.

Man beaehte, dab wit die p-Sylowgruppen nicht einfaeh als ,,maximale p-Untergruppen" eingefiihrt haben, dab vielmehr die Gleiehwertigkeit der Begriffe ,,p-Sylowgruppe" und ,,maximale p-Untergruppe" in der Kategorie (e) bei uns als wiehtiger Hilfssatz erseheint. Sparer (beim Studium der Kategorie (le)) wird es ftir uns ~uBerst wiehtig sein, vom iibliehen Spraehgebraueh abweiehend, seharf zwischen bloflen ,,maximalen p-Untergruppen" und ,,p-Sylowgruppen" zu unterseheiden.

Satz 29. Die Definition ,,p-Sylowgruppe" bzw. ,,rc-Sylowgruppe" ist in (e) bzw. (e, au) s-pro]ektiv.

Beim Beweis diirfen wir uns auf den p-Fall besehr/~nken, da die ~berlegungen im n-Fall genau die gleiehen sind, abgesehen davon, daft

7) zu einer Hiilfte des Satzes (Giiltigkeit der Behauptung ftir (e, au)) vgl. HALL [4]; SPECHT [16], S. 387, Kap. 3.2, Satz 19; KUROSH [8], Vol. II, w 60, S. 194. Zur Umkehrung vgl. HALL [5].


Potenzprodukte p~l . . . p~g:0 (p~, aus n) an Stelle der Primzahlpotenzen pg treten. Sei G ---- ~ G homomorphes Bild von G; wir dtirfen und wollen annehmen, dab ~ gerade der kanonisehe Homomorphismus yon G mit dem Kern K auf die Faktorgruppe (~ ~ G/K ist. Es sei [G I ----pg. n, {K I = ph. m, also I GI = pg-h. l, wobei n, m und l = n . m -1 dureh p unteilbar sind. - - a) Es sei P eine sieher vorhandene p-Sylowgruppe vonG. Dann ist IP] = IK (~ Pl" ](P/K n P)] = pg, und da I(P/K (~ P)I wegen der Isomorphie yon P . K / K und P / K t~ P hSehstens dutch die ( g - h)-te, I K (~ P I dagegen hSehstens dutch die h-te Potenz yon p teilbar sein kann, folgt sofort: I P n K I = pa, i (p /K n P) t = I( P" U/K)i = p0-h. Es ist also P • K eine p-Sylowgruppe von K und das homomorphe Bild P . K / K = P yon P eine p-Sylowgruppe yon G. - - b) Es sei P eine p-Sylowgruppe yon G und H ~ ~' P die Gruppe der Urbilder aller Elemente von P. Dann ist H ~ K und [H I dutch po teilbar; es ist also eine - - sieher vorhandene - - p-Sylowgruppe P yon H aueh p-Sylowgruppe yon G, und es wird P dutch ~ naeh a) auf eine p-Sylow- gruppe yon P, d.h. wegen I P t = pg-h auf P selbst abgebildet. - - Ist P nieht notwendig eine p-Sylowgruppe, sondern eine beliebige p-Unter- gruppe von G und setzt man wieder H ---- ~ 'P , so ergibt sieh wie eben, dab eine p-Sylowgruppe P yon H, also eine p-Untergruppe yon G, dureh ~ homomorph auf P abgebildet wird. - - Wir erhalten also aueh ftir die immer projektiven Definitionen ,,p-Untergruppe" und ,,~r- Untergruppe" :

Satz 30. Die Definition ,,p-Untergruppe" bzw. ,,x-Untergruppe" ist in (e) bzw. (e, au) s-pro/ektiv.

l~bertragen wir nun die Definitionen ,,p-Untergruppe", ,,z~-Unter- gruppe", ,,p-Sylowgruppe", ,,~r-Sylowgruppe" naeh den Riehtlinien yon w 4 auf k~* und bertieksiehtigen wir Satz 29 und 30, die oben zusammen- gestellten Hilfss~tze tiber endliehe Gruppen, Satz 13 und 14 v o n w 4 sowie Satz 17 und 19 und w 5, so ergibt sieh unmittelbar:

Satz 31. Es sei die Gruppe (G*, T) aus (e)* Grenzgruppe der Familie {G~ [I}. Dann gilt

a) Zu jedem To und jeder p-Untergruppe P,o yon G:. gibt es eine p-Unter- gruppe P* von G* mit (v o +- . )P* =- P:..

b) Zu ]edem ~o und ]eder p-Sylowgruppe S,o von G,o gibt es eine p-Sylow- gruppe S* yon G* mit (~o +- . )S* = S,o.

e) Alle p-Sylowgruppen von G* sind in G* konjugiert.

d) Die Klasse der p-Sylowgruppen yon G* ist identisch mit der Klasse der maximalen p-Untergruppen yon G*.

80 Wolfgang Krull

Satz 32. Eine Gruppe (G*, T) aus (e)* ist genau dann auflOsbar, wenn sie ]tlr jedes ~ ~-Sylowgruppen besitzt. Bei den Gruppen (G*, T) aus (e, au)* bleiben die Behauptungen a)- -d) yon Satz 31 richtig, wenn man t~berall p dutch ~ ersetzt.

Satz 33. Der Begri~ ,,p-Faktorisierung" ist in (e, au) s-pro]ektiv.

B e w e i s . Es sei G = ~G homomorphes Bild von G und G = Q1 �9 Q~ �9 �9 ' eine p-Faktoris ierung von G. (Die Existenz einer solehen Faktor is ierung dar f vorausgesetzt werden, da sie fiir G = {g} trivial ist.) Nach Definition der p-Zerlegung ist ~)1 eine pl -Untergruppe und /~1 = Q," Q3" "" eine ~l-Untergruppe yon G. Aus G = ~)1 �9 R1, Q1 ( ~ / ~ -- {e} folgt welter, dab sogar ~)1 bzw./~1 eine pt- bzw. ~t-Sylowgruppe yon G sein muB, und nach Satz 29 gibt es eine p~- bzw. ~ -Sy lowgruppe Q1 bzw. R~ von G, derart dab ( ~ t = ~ / Q , , / ~ I = ~ R ~ - Da nun Q ~ c ~ R t = { e } , [Q~[.{R~] = [GI, ist notwendig G = Q~ �9 R 1. Indem wir die gleiehen Sehliisse wie soeben auf R 1 und ~/R~ ----/~1 : 02 �9 03" " " anwenden, erkennen wir die Existenz einer P2- bzw. n~-Sylowgruppe Q~ bzw. R , yon R1, derar t daft ,/Q, = ~)~, ~ R , : Q3" Q~" �9 ", R~ = Q~. R, . Beaehten wir noeh, dais Q, bzw. R, offenbar aueh eine p~- bzw. ,~-Sylowgruppe von G ist, und dab G fiir hinreichend grol~es N eine (p l , . . . , pN)-Gruppe darstellt , so sehen wir, dal~ die Fortsetzung unseres Verfahrens eine der Bedingung yQ,- -~)~ (i = 1, 2 , . . . ) geniigende p-Faktor is ierung G : Qt . Q, �9 Q3" �9 �9 von G liefert. - - Aus Satz 33 sowie Satz 28 und seinem Korol lar ergibt sieh:

Satz 34. Ist (G*, T) eine Gruppe aus (e, au)* mit der zuf]ehSrigen pro- ]ektiven Familie (G, [ I}, so gibt es ]ar ]edes ~o ~ I und ]ede p-Faktorisierung G,o : Q,ot " Q,o~ " " " von G,o stets eine p-Falctorisierung G* = Q* �9 Q* . �9 �9 von G*, die der Bedingung (Vo~- . )Q * = Q,o~ (i = 1, 2 , . . . ) geni~9ta).

(Man berticksichtige, dal~ wegen der Kompak the i t der Kategorie (e, au) sieher (e, au)* = (e, au)*. m gilt.) Dureh Satz 33 und Satz 34 ist das Problem der p-Faktor is ierung in kompakten Kategorien ftir uns vSllig erledigt. Denn der oben unter den Hilfss/~tzen angefiihrte Satz von HALL zeigt ja, dab (e, au) die 9rSflte Unterkategorie yon (e) darstellt , in der jede Gruppe eine p-Faktor is ierung besitzt. Man beachte im tibrigen hier noch die SehluBbemerkungen yon w 7.

s) Fiir die Kategorie (e, au) gilt noeh ein schKrferer Faktorisiertmgssatz. G e (e, au) besitzt stets eine Faktorisierung G = Ql "Q2 "'" Qr, bei dot fiir 1 ~ i 1 < i 2 < - . - < i ,_~r das Produkt Qq.Q~.. .Q~, stets v o n d e r Reihen- folge der Faktoren unabh~ingig ist und eine {pq . . . . . p~,}-Sylowgruppe von G darstellt. (Kann aus [17] herauspr~pariert werden.) Auch dieser Satz l~i~t sieh leicht auf (e, au)* iibertragen. Andererseits ist es sehr zweifelhaft, ob sich der verseh~rfte Faktorisiertmgssatz aueh ftir lokal endliche Gruppen beweisen lgBt.


Es soll jetzt welter gezeigt werden, da8 in der Kategorie (e)* die Gruppen der Kategorien (e, au)* und (e, np)* ohne Riiekgriff auf zu- gehSrige projektive Familien in gel/iufiger Weise mit Hilfe yon Kommu- tatorreihen gekennzeichnet werden kSnneng). Es sei zun/~chst die Gruppe G ganz beliebig. Dann setzen wir ftir a, b eG wie iiblieh [a, b] ---- a . b. a -1. b -~ unddefinieren: [G1] = [G'] : {[a, b] I a, beG}; [G~] ---- {[a, b] [a, b e G~_I} ( i - - - -2 ,3 , . . . ) ; [G ~ ] - - { [ a , b ] [ a e G ~-1, beG} ( i = 2 , 3 . . . . ). Dagegen weiehen wir bei der Einfiihrung der Kommutatorgruppen etwas vom iiblichen ab. Wir definieren n/~mlich fiir eine topologische Gruppe (G*, T): Die zu (G*, T) gehSrige i-te Kommutatorgruppe (Ks(G*), T) bzw. (K ~ (G*), T) ist die kleinste [(G*)i] bzw. [(G*) i] enthaltende, hinsichtlich T abgeschlossene Untergruppe von G*, versehen mit der dureh die Topo- logie von G* induzierten Topologie. Im tibrigen schreiben wir kurz K, (G*), K'(G*) stat t (K, (G*), T), (K'(G*), T). - - Im Fall der diskreten Topologie decken sich unsere Definitionen natiirlieh mit den allgemein gebr/~uehlichen.

Lemma 10. Es sei (G*, T) Grenzgruppe einer M-vollst/~ndigen projektiven Familie {G, I I}. Dann sind {[G,,] [I}, {[G'~] [I} sowie {K,(G,) I I}, {K'(G,)II } (i : 1, 2 , . . . ) projektive Unterfamilien yon {G, [I}, und es gilt: a) Die zu {[G,i][I} bzw. {[G~]lI } geh5rige Grenzmenge [Gi]* bzw. [G']* ist die abgesehlossene Hiille yon [(G*)s] bzw. [(G*)S]. 1 b) Die Grenzgruppe von {K~(G,)II} bzw. {K~(G~)]I} ist Ki(G*) bzw. K~(G*).

Die Verifikation der Behauptung a) ist trivial. Bei b) hat man nur zu beachten, dab man sieh auf a) stiitzen kann. Aus der Definition yon K,(G*), KS(G *) folgt sofort Kx(G*) D= K~(G*) D= K3(G*) D=... und K 1 (G*) D= K ~ (G*) D= K a (G*) D= �9 �9 .. Bekanntlieh ist eine endliehe Gruppe G genau dann aufl6sbar, also Element yon (e, au), wenn Ks(G) ftir hinreiehend groBes i gleieh {e} wird. Andererseits definiert man: ,,Ge (e) heii3t nilpotent, wenn K~(G)= {e} ftir hinreiehend groBes i", und man beweist ansehlieBend, dag G genau dann nilpotent ist, wenn G fiir jedes p nur eine einzige p-Sylowgruppe besitzt, was, wie sofort zu sehen, niehts anderes bedeutet als die Zugeh6rigkeit von G zu (e, np). Fiir (e)* folgt daraus leieht:

Satz 35. (G*, T) aus (e)* gehSrt genau dann zu (e, au)* bzw. (e, np)*, 0 Ks(a*) = b w. 0 K'(a*) =

Wir brauehen den Beweis nur ftir (e, au)* zu fiihren. Bei der (~bertragung auf (e, np)* ist nut iiberall K~ dureh K ~ zu ersetzen. Es sei

9) Zu den benutzten Kommutatorreihen im Falle diskreter Gruppon vgl. [8], [ 16]. Die Reihe K tl~, K t2~ . . . . heii]t iiblicherweise aueh die absteiffende Zentralr6ihe. 6 7808 Hbg. Math. Abh., Bd. x x v n I

82 Wolfgaag Krull

{G, [I} eine zu (G*, T) gehSrige projektive Familie. a) Ist G* e (e, au)*, so ist G, e (e, au) ftir jedes 3 und damit K~ (G,) = {e,} fiir hinreiehend grebes i. Ist nun a* e 0 K, (G*), so haben wir (3 ~ ,) a* e 0 K, (G~), also

(3 ~- , ) a* = e, ftir alle 3, d.h. es ist a* ---- e*. b) Is t G* ~ (e, au)*, so gibt es ein 30, derart dal] G,o ~ (e, au), dal3 also Ki (G, o) D {e,o } fiir alle i, und wegen K~(G~o)D = Ki+z(G,o) und der Endliehkeit von G, o folgt daraus K~o(G,o) = K,o+l(G,o) = g,o+2(G~o) . . . . D {e,o} fiir passendes io, d.h. es gibt ein a, o ~ e, o in ~ K~(G,o ). Es werde nun M* ---- (a* I a* E K~(G*);

(3o*- , ) a* ---- a,o} (i = 1, 2 . . . . ) gesetzt. Dann ist M*+I~ = M*, und es ist wegen (3 o ~- , ) K~ (G*) ---- Kt (G, o) keine der abgesehlossenen Mengen M* leer. Es gibt also wegen der Kompakthei t yon (G*, T) ein a* �9 0 M*, und wegen (30 ~ - , ) a* = a,o =~ e,o ist a* ~= e*.

Bekanntlieh kann man die endliehen, nilpotenten Gruppen nicht nur mit Hilfe der absteigenden Kommutatorreihe K~(G), sondern aueh mit Hilfe der aufsteigenden, mit dem Gruppenzentrum beginnenden Zentral- reihe, charakterisieren. Ftir die Kategorie (e, np)* dagegen ist eine Charakterisierung durch die Zentralreihe nicht mehr mSglieh, denn es gilt:

Satz 36. Es gibt in (e, np)* Gruppen (G*, T), sogar p-Gruppen, die {e*} zum Zentrum haben.

B e w ei s ski z z e. Man zeigt mit Hilfe der Erweiterungstheorie endlieher Gruppen leieht: Es gibt in (e) Gruppenfolgen Q1 -- {el} C Q, C Qa C . . �9 die den folgenden Bedingungen gentigen: 1. Alle Gruppen Q~ sind p- Gruppen. 2. Qi+z ist eine Erweiterung der Quotientengruppe Qi mit einer invarianten Untergruppe J~+l. 3. Ftir alle i i s t das (sicher von {e~+z} versehiedene) Zentrum von Q~+z Untergruppe von J~+z. Aus der Folge Qz C Q, C Qa C . �9 �9 leiten wir nun eine projektive Gruppenfamilie {Qi ] N} mit der Grenzgruppe (Q*, T) ab - - vgl. Bemerkung 5 yon w 4 - - und behaupten: Das Zentrum der p-Gruppe (Q*, T) ist gleieh e*. - - In der Tat, gentigt a* �9 G* der Bedingung a*. b* ----- b* �9 a* fiir alle b* �9 G*, so muB aueh (i ~- 1 ~ ,} a* ---- at+l der Bedingung ai+z. b~+l = b~+l .a~+z ftir alle b~+z �9 Q~+I gentigen, und daraus folgt wegen der fiir die Q~ geforderten Bedingung 3 sofort (i ~ , ) a* = (i <- i ~- 1) ((i + 1 ~- , ) a*) ---- e~. Da i beliebig war, ergibt sieh somit a* = e*.

Den inneren Grund fiir das Versagen der Zentralreihe kann man darin sehen, dal3 in der Kategorie (e) die Elementdefiniton D (G) ~- {a[ a. b ---- b. a fiir alle b �9 G}, dureh die die Elemente des Zentrums besehrieben werden, zwar projektiv, aber nicht s-projektiv ist, - - ein bemerkenswerter Beleg daftir, dab sogar in kompakten Kategorien eine nur projektive, abet nieht s-prokjetive Definition beim ~bergang zur Grenzkategorie wertlos werden kann.

Zur Theorie der Grup.pen mit Untergruppentopologie 83

w 9. Die Kategorie (/e)

Will man fiber die Kategorie (e) hinausgehen, dabei aber so weit wie mSglich den Zusammenhang mi t der bekannten Theorie der endliehen Gruppen wahren, so wird man zweekmiii~ig abzdhlbare Gruppen be- t rachten, die gleichzeitig lokal endlich sind, d.h. die Eigensehaft besitzen,

dab ~ede endlich erzeugte Untergruppe endlich ist. Mit (/e) bzw. (le) mSge die Gesamtheit aller bzw. aller abz~hlbaren, lokal endliehen Gruppen bezeiehnet werden.

Satz 37. ([e) und (le) sind Kategorien, die nicht nu t hinsichtlich der Untergruppenbildung, sondern auch hinsichtlich der Erweiterungsoperation Ex t abgeschlossen sin&

Abgesehen von der auf Ext bezfiglichen Behauptung, ist Satz 37

trivial. Im folgenden wird die Ext-Abgesehlossenheit von (/~) und (le) von uns nicht beniitzt. Sie kann aber vielleieht sparer wiehtig werden, wenn es sieh um die Kons t ruk t ion gewisser Gegenbeispiele handel t (vgl. hierzu w 11). Wir ffihren daher den einsehli~gigen Beweis aus.

Es sei J invariante Untergruppe von G, und es seien J sowie G ~ G/J lokal endlieh. Is t null H : (a 1 . . . . . aL) eine endlieh erzeugte Untergruppe von G, so ist H ---- H/(H n J) zu H �9 J / J isomorph und endlieh erzeugt, also endlieh, e twa / 7 - ~ (bl . . . . . bM}. Bedeute t weiter bQ einen festen Repr~sentanten der Klasse bo, wobei etwa bl -~ e sein mSge, und bezeiehnet ] durehweg ein Element aus H (~ J , so gelten gewisse Gleiehungen :

o!

aQ ~--?0.b,~ (~---- 1 . . . . , L ) ; b~ -1 : ? ' o .b~e (~---- 1 . . . . . M);

b o �9 b~ ---- ?'0o " b~q~ (~, a = 1 . . . . . M) .

Is t ferner J1 die durch die Menge der Elemente . t

b71.?Q.b, (~ = 1 . . . . . L ; v : 1 . . . . . M); b7 ~ . ] 0 . b , ( q , v : 1 , . . . , M ) ;

b71 �9 ]Q,. b~ (Q, a, T ---- 1 . . . . . M)

erzeugte, naeh Voraussetzung endliche Untergruppe von H (~ J , so verifiziert man miihelos, dab H' -~ J~ �9 b~ u �9 �9 �9 u J1 " bM eine Gruppe darstellt , fiir die sowohl H ' C H als auch H' ~= H gilt. (Man beachte

, t

dabei, dab H' wegen b 1 ---- e alle ~Q (~ ----- 1, . . . , L), ~0 (Q : 1 . . . . . M), ]~, (q, a ---- 1 , . . . , M) enthiflt.)

Von je tz t ab besehr~nken wir uns auf die Kategorie (le); die Methoden von w 9 und w 10 stfitzen sieh ganz wesentlieh auf die Abz~hlbarkeit aller bet raehte ten Gruppen G ~ (le). Unter einer Basis B von G wollen wir eine abz~hlbar unendliche, monoton zunehmende (E~+ID__ E~) Folge (E l , E2 . . . . ) yon endliehen Gruppen verstehen, die der Bedingung 6*

84 Wolfgang Krull

G = y E, geniigt. Eine Basismenge ~B Y O n Gis t die Menge aller (paar-

weise versehiedenen) Untergruppen von G, die in einer Basis B auftreten. - - Aus unseren Definitionen folgt sofort:

Bildet die Folge (El , E2, �9 �9 .) eine Basis yon G, so gilt das gleiche ftir jede unendliche Teilfolge (Eq, E~, . . . . ). Die Gruppe G mit der Basis (El , E2, . . . ) ist genau dann endlich, wenn E~0 ---- E'0+l ---- E,0+2 . . . . ftir passendes io gilt. Eine Untermenge/gr der Potenzmenge ~ yon G i s t genau dann eine Basismenge, wenn folgende Bedingungen erfiillt sind: 1. Alle Elemente yon ~ sind endliche Gruppen. 2. Hinsichtlieh der In- klusion ist X') eine totalgeordnete Menge mit einer Ordnungszah] ~ w. (2gr ist also endlich oder abz/ihlbar.) 3. Es gilt G = LI.E. - - Einer

E E M

Basis yon G entspricht eindeutig eine Basismenge; doeh ist die Zu- ordnung zwischen Basen und Basismengen nicht umkehrbar eindeutig, weil in einer Basis (El , E2 . . . . ) die Ei nieht alle versehieden sein mtissen.

DaB die scheinbar umst~ndliche Einfiihrung der Basismengen neben den Basen niitzlich ist, wird sieh beim ~bergang von (le) zu (le)*.,~ zeigen.

Satz 38. In (le) sind die Definitionen ,,Basis yon G" und ,,Basismenge von G" s-projektiv.

Man iiberzeugt sich ohne Sehwierigkeit, dab es nur darauf ankommt zu zeigen: Es sei G ----~G homomorphes Bild yon G, J der Kern des (kanoniseh angenommenen) Homomorphismus ~ und (El , E 2 . . . . ) eine Basis yon G; dann gibt es stets eine Basis (E 1, E~ . . . . ) yon G mit ~]E~ ~--E~ (i ~-- 1, 2 , . . . ) . Zum Beweis w//hlen wir fiir J eine beliebige Basis (J1, J~ , - �9 .) und nehmen an, es seien die endliehen Untergruppen E1 . . . . . E~r yon G bereits so bestimmt, dal3 E~+ID E~ (i ---- 1 . . . . . N - - l ) , ~E~----L'~, J~CE~ ( i = 1 . . . . . N). Es sei nun Elv+l----{bl . . . . . bM} und bi ein Reprgsentant yon b~. Dann ist die kleinste Obergruppe Etr yon Ely, die J~+l sowie {b 1 . . . . . bM} enth/ilt, endlieh erzeugt und damit endlieh, und es wird ~E2v+I ----Elv+l. Durch vollst/gndige Induktion erhalten wir also: Es gibt eine monoton waehsende Folge (El , E2 . . . . ) yon endliehen Untergruppen yon G, derart dal] ~]E~ = E~, J~ C E~ (i ---- 1, 2 . . . . ). Ftir G' ----- L]. E~ gilt dann G' �9 J / J = G/J, J C G', G' = G.

Es ist also (E~, E z , . . . ) eine Basis yon G, die dureh ,/ auf die Basis (El , E 2 . . . . ) v o n G projiziert wird. - - Wit betraehten nun neben (le) die Kategorie (le)* und definieren : Die monoton waehsende unendliehe Folge (E*, E~* . . . . ) v o n abgesehlossenen Untergruppen E* yon (G*, T) ~ (le)* heiBt eine Basis von (G*, T), wenn 1. E* �9 (e)* (i ---- 1, 2 . . . . ) und 2. G* die abgeschlossene Hiille von U E* ist. - - Man beaehte: Im allgemeinen gilt


nieht G* = U E*. Auch braueh t bei einer (abgeschlossenen) Unte rg ruppe

H* yon G* nieht notwendig H* die abgeschlossene Htille yon U (H* c~ E~*) $

zu sein. Dagegen gilt:

Lemma I I . (E*, E* . . . . ) ist genau dann Basis yon (G*, T), wenn bei einer beliebigen, zu (G*, T) geh6rigen projekt iven Gruppenfamil ie {G~II } stets (E , 1, E,~ . . . . ) eine Basis yon G, darstellt , falls allgemein E,~ : (3 ~ *~ E~* gesetzt wird.

Der Beweis ist im wesentliehen trivial. Man beaehte: a) Es sei die angegebene Bediagung erfiiIlt, a* �9 G* und v beliebig. Dann gibt es ein i, derar t dal3 (3 ~- , ) a * ---- a,~ �9 E,i und ein b* �9 E* mit (v ~- ,~ b* : a,~. - - b) I s t die Bedingung nicht erfiillt, so gibt es ein v und ein a* �9 G*, derar t dab ( ~ - , ) a * : a, ~E, i fiir al]e i; dann aber kann ~E~* kein b* mit

(v~- ;* )b* : a, enthal ten. - - Genau wie in der Kategorie (le)gilt nattirlieh :

I s t (E*, E~* . . . . ) eine Basis yon (G*, T), so ist aueh jede unendliehe Teilfolge (E~, E.*,,,.. .) eine Basis.

Satz 39. In (le)*,,, besitzt ]ede Gruppe (G*, T) eine Basis.

B e w e i s . Es sei {G, t I} eine zu G* gehSrige projekt ive Familie; E,~, 2~t, bedeu te t im folgenden soviel wie ( T ~ , ) E * , ( ~ - , ) 2 ~ / * . Sind alle Gruppen G, endlich, so gehSrt G* = E* zu (e)*, und es ist (E*, E* . . . . ) eine Basis von G*. Wir sehliel3en diesen Fall aus. Dann kSnnen und woUen wir annehmen, da~ I ein kleinstes Element 0 enth~lt , und dab sehon Go unendlieh ist. - - Da die Definition , ,Basismenge" in (le) s-projekt iv ist, gibt es zu (G*, T) jedenfalls eine Menge _1~* von abgeschlossenen Untergruppen, derar t dal3 3;/~ fiir jedes v eine Basismenge von G~ ist. Daraus folgt weiter, unter Berticksichtigung der Unendlichkei t yon Go: Es l~Bt sieh aus ~ * eine Folge (E*, E* . . . . ) so ausw~hlen, dab (Eo, i, Eo. 2 . . . . ) echt monoton waehsend ist und eine Basis von G o darstellt. Wir behaupten nun:

(E*, E* . . . . ) ist eine Basis von (G*, T) .

B e w e i s . a) Nach Definition von 2~* ist E,~ fiir a l l e v und i endlieh, es ist also E* �9 (e)* (i ---- l, 2 . . . . ). - - b) Da _~, hinsichtlieh der Inklusion to ta lgeordnet ist, und da E,.~,I $ E~i wegen (0 ~- v)E,.~+l ---- E0.,+l D Eo,~ ---- (0 ~- v)E,~, muB stets E,, ~§ D E,~ gelten. - - c) Ordnen wir die (paarweise versehiedenen) Mengen yon _~r durch Inklusion, so ents teh t eine Basis von G, ; da (E,~, E,2 . . . . ) eine unendliche Teilfolge dieser Basis .ist, ist (E~ 1, E, 2, �9 �9 .) selbst eine Basis von G,. - - d) Nach a ) - -c ) 1/~t sich Lemma I 1 anwenden.

86 Wolfgang Krull

w 10. Die Kategorien (/e) und (le, au). Sylows~tze

Im folgenden betrachten wir neben der Kategorie (/e) die Unter- kategorie (le, au) aller der abziihlbaren, lokal endlichen Gruppen, bei denen jede endliche Untergruppe auflSsbar ist. Die Bezeichnung ,,auf- 15sbare, lokal endliche Gruppen" wird bewuBt vermieden, da sonst der Zusammenhang mit anderen, bei nichtendlichen Gruppen tiblichen Definitionen der AuflSsbarkeit n~her untersucht werden miiBte. - - Bei den sp~teren Induktionsbeweisen sttitzen wir uns auf eine Verschirfung von Satz 29 yon w 8.

Satz 40. Es sei G 1 eine Untergruppe yon G c (e) bzw. G e (e, au), und es sei ~ der Icanonische Homomorphismus von G a u / G : G/J. Ferner sei eine p- bzw. zr-Sylowgruppe yon G, die der (nichttrivialen) Bedingung geni;egt, daft auch Q n G1 : Qi eine p- bzw. Jr-Sylowgruppe yon G1 darsteUt. Schliefllich sei Q1 eine nach Satz 29 existierende ?- bzw. zr-Sylowgruppe yon G1, /at die ~Q1 -- 0~1. Dann gibt e8 stets eine p- bzw. ~r-Sylowgruppe Q yon G , / a t die Q n G1 = Qi und ~Q -~ O~ wird.

Beweis . Es sei H die Urbildgruppe von Q hinsichtlich ~. Dann ist H D__ Q1 wegen ~Q~ c ~). Zu Qi gibt es nach einem der ,,Hilfss~tze" yon w 8 in H e i n e p- bzw. :r-Sylowgruppe Q ~ Q~. Aus Q c~ G1 ~ Q~ folgt Q n Gi----Q1 wegen der Syloweigenschaft von Qi in G~. Andererseits haben wir ~Q =c ~/H----~), und daraus folgt ~Q = r weil Q durch auf eine p- bzw. :r-Sylowgruppe d.er p- bzw. ~r-Gruppe ~) abgebildet wird. Aus Ordnungsgriinden mug schlieBlich Q auch in G eine p- bzw. :r-Sylow- gruppe sein.

Dal~ in Satz 40 keine der Voraussetzungen iiberfliissig ist, zeigt die folgende Bemerkung:

Ist Q eine p- bzw. zr-Sylowgruppe in G e (e) und G~ C G, so braucht Q n G1 keine p- bzw. ~r-Sylowgruppe in G~ zu sein. Beipsiel: Man w/ihle G so, dab in G mindestens zwei verschiedene p- bzw. ~r-Sylowgruppen Q1, Q2 existieren und setze Qi --Q, Q~ - -Gl .

Ankniipfend an unsere letzte Beobachtung definieren wir jetzt, vom iiblichen Sprachgebrauch abweichend, bei dem ,,~r-Sylowgruppe" und ,,maximale :r-Untergruppe" ganz allgemein Synonyme sind:

Unter einer ~r-Sylowgruppe Q yon G e (le) soll eine ~r-Gruppe Q C G verstanden werden, die der folgenden Bedingung geniigt: Zu jeder endlichen Untergruppe E von G gibt es in G eine endliche Obergruppe E', derart dab Q n E' im Sinne yon w 8 ~r-Sylowgruppe yon E' ist. - - Ist B -- (El, E2 . . . . > eine gegebene Basis von G, so soll Q =C G eine B-~r- Sylowgruppe yon G heiflen, wenn Q (~ E~ ftir jedes i eine ~r-Sylowgruppe yon E~ ist. - - Da jede endliche Untergruppe yon G in einer der Basis-

Zur Theorie der Gruppen mit Untergruppen$opologie 87

gruppen E~ von G enthalten ist, ist jede B-~-Sylowgruppe von G auch ~-Sylowgruppe sehlechthin. Ferner gilt:

Satz 41. a) Jede :t-Sylowgruppe von G ist eine maximale zt-Unter- gruppe von G. - - b) Zu ]eder zt-Sylowgruppe Q von G gibt es eine Basis B ----(El, E2 . . . . ~, derart daft Q sogar B-~-Sylowgruppe von G.

Beweis . a) Es seien Q und Q' ~r-Untergruppen yon G und Q' D Q, ferner sei E eine endliche Untergruppe von G, die ein nieht zu Q gehSriges Element aus Q' enth/ilt. Dann ist Q ' n E1 D Q n E1 fiir jede endliehe Obergruppe E 1 von E, es kann also niemals Q (3 E1 eine ~-Sylowgruppe yon E1 sein. b) Ist (El , E' . 2 , �9 .) irgendeine Basis yon G, so sehlieBt man aus der Definition der :~-Sylowgruppen sowie aus der Bemerkung, dal~ in (le) die Vereinigungsgruppe zweier endlicher Gruppen stets selbst endlich ist, dureh triviale Induktion: Es gibt eine monoton waehsende Folge (El , E2 . . . . ) v o n endliehen Untergruppen von G, derart dab E~ ~ E'i und Q (3 Ei z-Sylowgruppe von E~ ftir jedes i. Es ist dann (El , E2 . . . . ) = B eine Basis und Q eine B-u-Sylowgruppe yon G.

Wir definieren weiter: Ist B ---- (El , E2, �9 �9 .) eine Basis von G, so soU unter einer B-zt-Sylow]olge eine monoton zunehmende Folge (Q1, Q2 . . . . ) verstanden werden, bei der Q~ jeweils eine ~t-Sylowgruppe von E~ ist. Eine B-~t-Sylowmenge J7lS ist die Menge aller der (paarweise verschiedenen) Gruppen, die in einer B-~-Sylowfolge auftreten.

Lemma 12. Sowohl die B-u-Sylowfolgen als auch die B-:t-Sylowmengen lassen sich umkehrbar eindeutig den B-~-Sylowgruppen yon G zuordnen.

Beweis . a) Man ordne der B-~r-Sylowgruppe Q der B-~t-Sylowfolge (Q1, Q2 . . . . ) die Folge (Q (3 El , Q n E2 . . . . ~ bzw. die Gruppe Q = ~ Q~

zu (B---= (El, E2 . . . . )). - - b) Die in einer B-z-Sylowmenge ~r~ enthaltenen Gruppen lassen sieh durch Inklusion totalordnen, so dab eine eeht monoton zunehmende (endliehe oder unendliehe) Folge (QI, Q2,. �9 .) entsteht. Aus (Qt, Q~ . . . . ) aber l/~Bt sieh die zugehSrige B-~t-Sylowfolge eindeutig rekonstruieren, denn es gilt, wie miihelos einzusehen: Q~ tr i t t in der zu (QI, Q2 . . . . ) gehSrigen B-~-Sylowfolge genau n~-mal auf, wenn es in der Folge (El , E2 . . . . ) genau n~ Gruppen E~ gibt, bei denen der Ordnungsquotient l e v i . IQ, I -~ ganz, aber dureh keine zu :t gehSrige Primzahl p teilbar ist. (Im Falle einer endliehen Folge (Q1 . . . . , QM) miissen natiirlieh fiir k > io alle Quotienten I E~ l " ] QM 1-1 ganz und dureh kein p aus z teilbar sein.) Man beaehte, wie hier die Tatsache ausgeniitzt wird, dab in (e) die :~-Sylowgruppen nieht einfaeh als maximale z-Unter- gruppen definiert sind.

Bei den folgenden S/itzen bedeutet natiirlieh ,,p-Sylowgruppe" sovie] wie ,,~-Sylowgruppe mit ~ = {p}".

88 Wolfgang Krull

Satz 42. Die Definition ,,B-p-Sylow/oIge" bzw. ,,B-~-Sylow/olge" ist in (le ) bzw. ( le, au ) im /olgenden schar/en Sinne s-pro]ektiv : Ist B = (El , E~ . . . . ) eine Basis von G und ~ B ---- B ~ (~E1, ~E2, �9 . .) die Basis van G : ~G, au/ die B durch den Homomorphismus ~ abgebildet wird, so entsteht a) aus jeder B-p- bzw. B-~-Sylow/olge (Q1, Q~ . . . . ) von G durch ~ eine B-p- bzw. B-~-Sylow/olge (~Q1, ~Q~ . . . . ) van G, und es gibt b) zu ]eder B-p- bzw. B-~-Sylow/olge (Q~, Q~, . . .) von G eine B-p- bzw. B-z-Sylow- /olge (Q1, Q~ . . . . ) von G, derart daft Q, = ~Q~ (i --- 1, 2, ...).

Behauptung a) ist trivial, und man sieht sofort, dab sie auch in (le) allgemein (mit ~ stat t p) gilt. Bei Behauptung b) beachte man, dab aus ihr speziell die Existenz yon B-p- bzw. B-~-Sylowgruppen /at beliebiges G e (le) bzw. G e (le, au) folgt. (Man w~hle fiir V den Homomorphismus auf G----G/G mit der Basis /~----(G/G, G/G . . . . )). Der Beweis yon b) braucht nur fiir p und (le) gefiihrt zu werden. Bei der ~bertragung auf

und (le, au) hat man nur zu beachten, dal3 Satz 29 und Satz 40 zwar in (e) nur ftir p, aber in (e, au) fiir beliebiges ~ gelten. Es sei also zu der /~-Basis (E l, E~ . . . . ) yon G die p-Sylowfolge (Q1, Q~ . . . . ) gegeben (E~ ----~E~), und es werde angenommen, es seien die p-Sylowgruppen Qi von Et fiir i = 1 . . . . . N bereits so bestimmt, daI3 Q~+~ n E~ ----Q~ (i -- 1 . . . . . N - - 1) und ~Qi --- ~)~ (i -- 1 , . . . , N). Dann gibt es naeh Satz 40 eine p-Sylowgruppe QN+I von EN+I, die den Bedingungen Q ~ + ~ E ~ - - Q ~ , vQ~+~--~)~§ geniigt. D.h. aber: Behauptung b) kann durch triviale Induktion bewiesen werden. Eine triviale Folgerung aus Satz 42 und Lemma 12 lautet:

KoroUar zu Satz 42. Die Definitionen B-p-Sylowmenge und B-p-Sylow- gruppe bzw. B-g-Sylowmenge und B-~-Sylowgruppe sind in (le) bzw. (le, au) in dem gleichen scharfen Sinne s-projektiv wie die Definitionen B-p- bzw. B-~-Sylowfolge.

Es sei jetzt ~) eine beliebige p-Untergruppe von G ---- ~G und H die Menge aller Urbilder von ~) hinsichtlich ~. Ferner sei (E 1 , E~ . . . . ) = B eine Basis von H; dann ist (El • J , E~ n J , . . . ) ---- B ~ eine Basis des in H enthaltenen Kernes J yon 7, und wir haben in (~E1 : ~)1, ~E~ ---- ~)~ . . . . eine Basis von ~ H ---- ~), wobei die ~)i alle p-Gruppen sind. Nach Satz 42 existiert zu B eine B-p-Sylowfolge (Q1, Q2, �9 �9 .) yon H mit ~ Qi : ~)~, also vQ = ~) fiir Q : y Qi. Es ist somit sicher ~) ~-Bild einer p-Unter-

gruppe Q von G. - - Weiter gilt: ( E l n J n Q , E ~ n J n Q , . . . ) = ( J n Q1, J ~ Q2 . . . . ), und da Qi eine p-Sylowgruppe yon E~ ist, mui3 auch J n Q~ eine p-Sylowgruppe der invarianten Untergruppe Ei n J von E~ sein (vgl. w 8). Es ist also J n Q -- y (J n Q~) eine B~-p-Sylow -

gruppe und damit eine maximale p-Untergruppe yon J . Daraus folgt


speziell: Ist ~) ---- ~ Q eine maximale p-Untergruppe von G, so ist auch Q maximale p-Untergruppe von G. Berficksichtigen wir noch die frfiheren Bemerkungen fiber ,,p" und ,,~", so erhalten wir:

Satz 43. a) Die Definition p-Untergruppe bzw. n-Untergruppe ist in (le) bzw. (le, au) s-projektiv. - - b) Zu jeder maximalen p- bzw. n-Unter- gruppe Q yon G ~ ~G gibt es bei G ~ (le) bzw. G ~ (le, au) stets eine maximale p- bzw. n-Untergruppe Q von G mit ~Q = Q.

Ist also die Definition ,,maximale p-Untergruppe" in (le) projektiv, so ist sie nach Satz 43b) auch s-projektiv. Aber gerade der Projektiviti~ts- bereich maeht Schwierigkeiten. Wir mfiBten offenbar zeigen: Ist Q eine p-Untergruppe von G und gibt es in G ~ ~G eine p-Untergruppe ~)' D ~) ~ ~Q, so gibt es auch in G eine p-Untergruppe Q' D Q. Natfirlieh w~re hierbei Q' so zu konstruieren, daft ~Q' = ~)' (die Voraussetzung muff ja ausgenfitzt werden!), andererseits mfiflte aber aueh Q' ~=Q gemacht werden. Die bei Satz 42 und Satz 43 benutzten Konstruktions- methoden reiehen nun offenbar nicht aus, um diese beiden Bedingungen gleiehzeitig zu befriedigen.

Wir mfissen uns also mit dem Studium yon p- und ~-Sylowgruppen begnfigen. Gehen wir von (le) zu (le)*, so liegen die folgenden Defini- tionen auf der Hand: Die (abgeschlossene) n-Untergruppe Q* von (G*, T) heifft ~-Sylowgruppe, wenn die folgende Bedingung erffillt ist: Zu jeder Untergruppe E * e (e)* yon G* gibt es eine gleiehfalls zu (e)* gehSrige Untergruppe E*' ~= E*, derart dab Q* n E*' eine ~-Sylowgruppe yon E*' darstellt. Ist B*----(E*, E* . . . . ~ eine Basis yon (G*, T), so heifft die n-Gruppe Q* eine B*-~-Sylowgruppe yon G*, wenn Q* • E* eine n-Sylowgruppe von E* ist. Unter einer B*-n-Sylowfolge von G* versteht man eine monoton wachsende Gruppenfolge (Q*, Q*, . . .}, bei der Q* jeweils eine ~-Sylowgruppe yon E* darstellt. Ebenso wie im Fall der Kategorie (le) zeigt man, daft jede n-Sylowgruppe von G* auch B*-n-Sylowgruppe ffir eine passende Basis B* von G* darstellt. Man hat nur zu beachten, dab die abgeschlossene Hfille der kleinsten gemeinsamen Obergruppe yon E* und E*' gleichzeitig mit E* und E*' selbst zu (e)* gehSrt. Etwas sorgf~ltigere Beweisiiberlegungen erfordert:

Satz 44. a) Jede B*-~-Sylowgruppe van (G*, T) ist eine maximale ~-Untergruppe yon G*. - - b) Die B*-zc-Sylowgruppen und die B*-n-Sylow- /olgen yon (G*, T) entsprechen einander umkehrbar eindeutiff.

Ist (G, I I} eine zu G* gehSrige projektive Familie, so sieht man sofort: {QI*, Q* .... } ist genau dann eine B*-~- Sylowfolge von G*, wenn (Q, 1, Q, 2,...} ftir jedes v eine B~-g-Sylowfolge yon G, ist (B, = (E,1, E,2 . . . . )). Man hat nur alle einsehl~gigen Definitionen, insbesondere die der ~-Sylow-

90 Wolfgang Krull

gruppen in (e)* zu beachten. Die abgesehlossene Hfille [ y Q * ] * = Q*

yon U Q* ist eine ~-Gruppe und es ist Q* r~ E* ----Q*, weft einerseits t

Q* (5 E* D__ Q* und andererseits Q* als n-Sylowgruppe maximale ~-Unter- gruppe yon E*. Ist R* D Q*, so ist auch R, D Q, ftir passendes r. Fiir Q, abet gilt Q, -- U Q,i; es ist also Q, eine B,-~-Sylowgruppe yon

G,, und es kann somit R, und damit auch R* keine n-Untergruppe mehr sein. D.h. : Gehen wir yon einer B*-n-Sylowfolge (QI*, Q* . . . . ) aus, so wird [U Q*]* eine maximale ~-Untergruppe yon G*. Ist andererseiCs Q*

eine gegebene B*-n-Sylowgruppe yon G* und Q* -- Q* r~ E*, so haben wir Q* ~ [U Q*]*, und daraus folgt Q* = [y Q*]* wegen der Maximal-

eigenschaft yon [L] Q*]*. - - Damit ist Satz 44 bewiesen. Man sieht,

dab Vorsieht deshalb n6tig war, weil man bei der Herstellung des Zu- sammenhangs zwischen Sylowfolgen und Sylowgruppen der Folge (Q1, Q~ . . . . ) nieht einfach [J Q*, sondern [y Q*]* zuordnen mul3, und

weft die Formel [U Q* n E*]* ---- Q* nicht fiir beliebiges Q* gilt (vgl. w 9).

Satz 45. In (le)* m bzw. (le, au)* ,, gibt es zu ]eder Basis B* yon (G*, T)

stets B*-p- bzw. B*-ze-Sylowgruppen.

Beim Beweis beschrs wit uns wieder auf den ,,p-Fall", such beniitzen wir die gleiehen Bezeichnungen wie bei Satz 42 und 44. Da die Definition ,,p-Sylowmenge" naeh dem Korollar zu Satz 42 s-projektiv ist, gibt es zu (G*, T) ~ (le)*, me ine Menge ~ , von (abgesehlossenen) Untergruppen, derart dal~ (v ~-,)_~/~. = M ~ fiir jedes v eine B,-p- Sylowmenge yon G~ ist. Zu M~, gehSrt eindeutig eine B,-p-Sylowfolge (Q,I, Q~ . . . . ) v o n G, und wir haben ftir ~i ~ ~ stets ( ~ <- ~l) Q,~i = Q,2i fiir jedes i. Die Familie (Q,~II} ist also jeweils eine projektive Unter- familie yon {E~i II}, und da jedes Q~i eine p-Sylowgruppe yon E,~ darstellt, wird die zu {Q,i [ I} geh6rige Grenzgruppe Q* eine p-Sylowgruppe yon E*. Es ist also (Q*, Q* . . . . ) eine B*-p-Sylowfolge und [y Q*]* = Q* B*-p-Sylowgruppe yon G*.

Satz 46. Ee seien ~ und ~ komplementi~re Primzahlmengen, also ~ U ~ = x~ o und ~ r~ ~ = r Ferner sei Q* bzw. 0~* je eine B*-~- bzw. B*-5~-Sylowgruppe

yon (G*, T) ~ (le)*. Dann ist stets G* = Q* �9 Q* = Q* �9 Q*.

Beweis . a) Es sei G* = G ~ (le) und T die diskrete Topologie, B* = B = (El , E2, Ea . . . . ). Dann ist Qi - Q n E~ bzw. ~)~ ---- ~) n Ei eine ~- bzw. ~-Sylowgruppe yon E~, und es wird aus Gradgrtinden E~ = Q~ �9 O~ fiir jedes i, woraus sofort Q �9 Q -- G folgt. - - b) Ist (G*, T) Grenzgruppe von {G, II}, so wird Q,. ~), = G, ftir jedes �9 n~eh a), es ist also G* die abgeschlossene Hiille von Q*. ~)*. Da ferner Q, r~ Q, = {e,} fiir jedes �9 ist, muff Q*. Q* nachw 5 abgeschlossen sein, d.h. es gilt sogar Q* �9 ~)* = G*. - -


Man beaehte: Bei a) wurde wesentlieh benutzt, dab Q und ~) Sylow- gruppen fiir dieselbe Basis B yon G sind; wit haben also aueh nicht gezeigt, dab immer G* = Q* �9 ~)* sein muB, wenn Q* bzw. (~* irffendeine ~- bzw. ~-Sylowgruppe von (G*, T) darstellt.

Wit definieren nun : (le, au, ~ ) sei die Durehsehnittskategorie yon (le, an) und (t, ~,). Eine p-Faktorisierung G = Q~I "Q~2" " "yon G ~ (le, au, :~,) soil B-p-Faktorisierung heiBen, wenn Q~k jeweils eine B-p~-Sylowgruppe yon G fiir eine feste Basis B = (Et , E~ . . . . ) ist (k ---- I, 2 . . . . ). Aus Satz 42 und Satz 46a) folgt dann:

Satz 47. I n (le, au, ~ ) ist die Definition B-p-Faktorisierung im sehar/en Sinne s-pro~ektiv. Ist B : ( E l , E2 . . . . ) eine Basis von G und G : ~G, Ei = ~]Ei, n - ~ - ( E l , E2 . . . . 7, so gibt es zu jeder B-p-Faktorisierunq

= Q~ " Q~2" " " yon G eine B-p-Faktorisierung G = Q~I �9 Q=. �9 �9 yon G

Der Beweis kann iibergangen werden, da die 0berlegungen denen yon Satz 33 in w 8 parallel laufen. Fiihrt man sehlie~lieh in (le, an, ~)~, ,~ die B*-p-Faktorisierung analog wie die B-p-Faktorisierung in (/e, au, ~,) ein, so erh~lt man auf Grund der allgemeinen Resultate als Gegenstiiek zu Satz 34 von w 8:

Satz 48. I n (le, an, ~ ) * , , , gibt es zu ]eder Basis B* yon (G*, T) stets B*-p-Faktorisierungen.

w 11. Fragen tmd Vermutungen

I. Nichtabziihlbare, iokal endliche Gruppen. Die Methoden, mit denen die Ergebnisse yon w 9 und w 10 gewonnen wurden, sind aussehlieBlieh bei abz~hlbaren, lokal endliehen Gruppen anwendbar. Ehe man naeh einem Weg sucht, um zum mindesten einen Teil der bewiesenen S~tze auf niehtabz~hlbare Gruppen zu tibertragen, wird man sieh fragen, ob es nieht zweckm~Biger ist, an die Bildung von Gegenbeispielen im iiberabz~hlbaren Fall zu denken. Es sei kurz darauf hingewiesen, dab gewisse Ergebnisse yon PI~ffrER tats~chiich ein Vorgehen in der zweiten Riehtung nahelegen.

Wit betraehten die Kategorie (a, p) der Abelschen p-Gruppen, also eine Unterkategorie der Kategorie aller lokal endlichen Gruppen, und fragen naeh zyklischen direkten Zerlegungen (Produktzerlegungen in zyklische direkte Faktoren), wobei die Zahl der Faktoren i.a. unendlich sein wird, aber natiirlieh, dem diskreten Charakter unserer Kategorie entsprechend, bei jedem Element immer fast alle Elementfaktoren gleich e sein miissen. Wie iiblich definieren wir bei G e (a, p) die HShe h~(c) eines Elementes e 4: c e G als das Supremum a]]er natiirlichen Zahlen n,

92 Wolfgang Krull

fiir die die Gleichung ~p" ~-- e in G 15sbar ist (1 ~ ha (c) ~ ~ ) . Es gilt dann nach PReFEr:

Hat in G jedes c ~ e eine endliche HShe ha (c), so gibt es zu jeder endlichen Untergruppe E yon G eine direkte Zerlegung G ~ Z 1 Q Z 2 | Q ZN | H, bei der die Faktoren Z~ zyklisch sind und E =C Z 1 | �9 �9 . | ZN gilt.

Aus diesem allgemeinen Resultat folgt routinemi~Big:

Hat in der abz~,hlbaren Gruppe G e (a, p) jedes Element c =~ e eine endliche HShe, so ist G zykliseh direkt zerlegbar, G ~-- Z1 | Z~ | �9 �9 ..

Trotz dieses Satzes hat aber PRiiFER durch ein kunstvoll konstruiertes, richtungsweisendes Beispiel gezeigtl~

Es gibt in (a, p) niehtabzi~hlbare Gruppen G, die nicht zyklisch direkt zerlegbar sind, obwohl in G jedes c ~= e eine endliche HShe hat. Be- traehten wir nun angesichts des Priifersehen Beispiels etwa die Methode, mit der in w 10 fiir die abz~hlbare Kategorie (le) die s-Projektivit~t der Definition ,,p-Untergruppe" bewiesen wurde, so sehen wir, daB unser Ergebnis die Vermutung, es mtisse auch in der Kategorie aller lokal endlichen Gruppen die Definition ,,p-Untergruppe" s-projektiv sein, in keiner Weise plausibel macht. Man wird im Gegenteil sogar fragen: L~Bt sieh nicht eine (nichtabzi~hibare) lokal endliche Gruppe G finden, die eine invariante Untergruppe J besitzt, derart dab zwar G/J ~-- eine p-Gruppe darstellt, dab aber keine p-Untergruppe Q yon G existiert, fiir die Q. J - - G und damit Q. J / J - - G wird?

Allerdings kann hier kein Weg angegeben werden, der mSglieherweise zur Konstruktion eines solchen Beispiels fiihrt. Es ist aber in jedem Fall wichtig, sich klarzumachen, dab die Annahme, es miisse wenigstens ein Teil der fiir abz~hlbare, lokal endliche Gruppen bewiesenen Si~tze auch ohne die Abzi~hlbarkeitsvoraussetzung allgemein gelten, durehaus nieht als irgendwie plausibel bezeiehnet werden kann.

II. Fragen iiber die abziihlbare Kategorie (/e). (Die Kategorie (le, au) soll hier der Einfaehheit halber beiseite gelassen werden.) Die Hauptfrage, die dutch die Untersuehungen yon w 10 nahegelegt wird, lautet natiirlieh :

Sind in der Kategorie (le) die p-Sylowgruppen in dem in w 10 pr~zisier- ten Sinne die einzigen maximalen p-Untergruppen?

Oder anders ausgedrtickt: L~Bt sich keine lokal endliche Gruppe G mit einer maximalen p-Untergruppe Q und einer endliehen Untergruppe E so konstruieren, dab bei jeder E umfassenden endlichen Untergruppe E1 von G der Durchschnitt Q n El Iceine p-Sylowgruppe von E~ ist? Bis jetzt konnte anscheinend die Identit~t der Begriffe ,,p-Sylowgruppe im

10) Das zitierte Priifersche Beispiel fmdet sich (in noch etwas allgemeinerer Fassung) in w 26 seiner Dissertation [9]. Vgl. auch ULM [18].


Sinne des Textes" und ,,maximale p-Untergruppe" nur fiir spezielle Klassen von lokal endlichen Gruppen bewiesen werden11), die ver- h~ltnism/i~ig seharfen zus~tzlichen Endliehkeitsbedingungen gentigen.

Nehmen wir zungchst an, es g~be in (le) tats'~ehlieh auBer den p-Sylow- gruppen keine weiteren maximalen p-Untergruppen, so dr~ngt sieh die Frage naeh einer Klassifizierung der Menge aller p-Sylowgruppen einer gegebenen Gruppe G auf. Nattirlich wird man dabei yon der Tat- sache ausgehen, dab jede p-Sylowgruppe yon G eine B-p-Sylowgruppe ftir eine passende Basis B yon Gist . Es ware nun folgende MSgliehkeit denkbar: Ist Q eine B-p-Sylowgruppe yon G hinsiehtlieh einer bestimmten Basis B = (El , E~ , . . .~ , so ist jede andere p-Sylowgruppe Q' wenigstens B'-p-Sylowgruppe hinsichtlich einer Basis B ' - ~ (En, E~+I . . . . ~, die aus B durch Weglassung yon endlich vielen Anfangsgliedern entsteht. (DaB man mehr unter keinen Umst~nden erwarten darf, ist yon vornherein klar.) Indessen liegen die Verh~ltnisse in Wirkliehkeit sieher nieht so einfach. Es diirfte n~mlich zwar mtihsam, aber grunds~tzlieh nieht sehwierig sein, eine echt monoton wachsende Folge (E~, E~, E~, E 2, E ! , I a, Ea , . .) yon endliehen Gruppen E~, Ei zu konstruieren, die den folgenden Bedingungen geniigt:

1. I E~ [ und I E, 1 sind stets dutch dieselbe p-Potenz teilbar, es besitzt aber stets Ei mehr p-Sylowgruppen als E~. - - 2. [E'~+l I i s t stets dureh eine hShere p-Potenz teilbar als I E~ [. - - 3. Es gibt zu E~ jeweils eine nicht in E~ enthaltene p-Sylowgruppe Q~, derart dab Q1 C Q2 C Qs C. �9 .. Es ist dann sowohl B' = (E'I E' . , ~,. . ) a l s a u c h B = ( E 1 , E ~ , . . ) e ine Basis yon G =- (J, E~, und es stellt Q -~ U. Q~ eine B-p-Sylowgruppe yon

G dar, die mit keiner der Gruppen E~ aus der Basis B' eine p-Sylow- gruppe zum Durchschnitt hat.

Man wird also mit sehr komplizierten Verh~ltnissen rechnen miissen, wenn man jeder p-Sylowgruppe Q yon G die Menge M~ aller der Basen B zuordnet, fiir die Q eine B-p-Sylowgruppe ist, und naeh mSgliehen Aussagen zwischen den s~mtlichen so definierten Mengen M~ fragt. Eines ist natiirlieh klar:

Der bei einer endliehen Gruppe G immer gtiltige Satz, dab alle p-Sylowgruppen in G konjugiert sind, kann bei einer unendlichen Gruppe G ~ (le) nur dann gelten, wenn alle Mengen M~ in G konjugiert sind.

Aber an diese triviale Feststellung kniipfen sieh sofort weitere Fragen: Kann man die Mengen M~ beniitzen, um Beispiele ftir lokal endliehe

11) Ftir lokal-normale Gruppea wei~ man, da~ aUe maximalen p-Untergruppen p-Sylowgruppen im Sinne des Textes sind. (Das Resultat kann z.B. aus den S~tzen KtrRos~ [8], Vol. II, w 55, Seite 169 bzw. SI'~c~T [16] Kap. 3,2, Satz 22, herauspr~pariert werden.)

94 Wolfgang Krull

Gruppen zu konstruieren, in denen nicht alle p-Sylowgruppen konjugiert sind? Kann man umgekehrt zeigen: Zwei p-Sylowgruppen Q, Q' yon G ~ (le) sind sieher konjugiert, wenn Mg zu Mg, konjugiert ist?

Vet allem die zweite, positive Frage diirfte eine n~here Untersuehung lohnen. Zu der ersten, negativen dagegen ist zu bemerken: Es dtirfte kaum daran zu zweifeln sein, dab in (le) eine Gruppe G mit zwei nieht- konjugierten p-Sylowgruppen existiert. Bei der expliziten Konstruktion einer solehen Gruppe aber wird man wohl am besten nieht yon einer systematisehen Untersuehung der Mengen Mg, sondern yon der Betraehtung irgendweleher speziellen Klassen yon lokal endliehen Gruppen ausgehen.

Gibt es in (/e) eine Gruppe G mit maximalen p-Untergruppen, die keine p-Sylowgruppen sind, so liefert eine solehe Gruppe jedenfalls ein Beispiel daftir, dab in (le) nieht immer alle maximalen p-Untergruppen konjugiert sind. Unter den Gesiehtspunkten yon w 10 lautet die Haupt- frage im Fall der Existenz derartiger Gruppen nattirlich: Ist wenigstens in (le) die Definition ,,maximale p-Untergruppe" projektiv? - - Da wir dieses Problem und seine Sehwierigkeiten sehon in w 10 n/~her diskutiert haben, brauehen wir hier nicht mehr genauer darauf einzugehen.

Dagegen sei noeh kurz darauf hingewiesen, dab die n/~here Unter- suehung der Kategorie (/e, min) aller lokal endliehen Gruppen mit Minimalbedinflung und der Gesamtheit (le, min)* aller zugeh6rigen Grenzgruppen eine lohnende Aufgabe for die Zukunft sein dtirfte. Denn im Spezialfall (a, min) der Abelschen Gruppen mit Minimalbedingung konnten ja ftir (a, rain)* sehr weitgehende Strukturs/~tze bewiesen werden, - - vgl. einige Bemerkungen in w 7. Doeh diirften, wenn man sieh am Vorbild der Abelsehen Gruppen orientieren will, bei (le, rain) neue Fragestellungen ins Auge zu fassen sein, die aus dem Rahmen der hier im Text behandelten Sylowgruppentheorie weit hinausftihren.

w 12. Schlul~bemerkungen

Unsere Untersuchungen haben gezeigt: I. Es ist in der Theorie der Gruppen mit Untergruppentopologie sinnvoll, sxstematisch solehe Gruppen zu untersuchen, die sieh als Grenzgruppen M-vollst~ndiger bzw. stark-M-vollst/~ndiger projektiver Gruppenfamilien darstellen lassen. - - II. Besonders einfache und elegante S/itze kann man haupts/ichlieh im Falle kompakter Gruppen erwarten. Diese Ergebnisse weisen fiir die Weiterarbeit zwei Wege:

I. Im niehtkompakten Fall konnte ftir eine projektive Familie {G~ I I} die M-Vollst/indigkeit (und dann gleieh aueh die starke M-Vollst~ndigkeit) elementar nur unter der Voraussetzung bewiesen werden, dab I abz/~hlbar war. Man wird nun naeh Kriterien fiir M-Vollst/~ndigkeit


bzw. starke M-Vollst~ndigkeit bei niehtkompakten Familien mit nieht- abzs I fragen. Hier kSnnte die Betrachtung der Galoisgruppe G* eines unendliehen separablen NormaloberkSrpers N fiber einem beliebigen GrundkSrper K einen Ansatz liefern. FaBt man N als VereinigungskSrper aller endlichen NormaloberkSrper E~ C N yon K auf, so erh~ilt man ftir G* die Darstellung als Grenzgruppe einer kompakten Familie (G, I I} (wobei nattirlich G, jeweils die Gruppe yon E, tiber K). Man kann aber auch N mit Hilfe einer durch Inklusion wohlgeordneten KSrperfamilie {N~[ W} fiber K-~ N O aufbauen, wobei N~ ftir eine Nichtlimeszahl ein endlicher NormaloberkSrper yon N~_ 1 ist, w~hrend N~ ~ [3 N~ fiir

~<~ eine Limeszahl ~ gilt. Falls nun dieser Aufbau bentitzt werden kSnnte, um zum mindesten die M-Vollst~ndigkeit yon G* zu beweisen, ohne die Endliehkeit aller G, und damit die Kompaktheit auszunfitzen, so wfirde diese Beobaehtung den folgenden Ansatz nahelegen:

Es sei k eine gegebene Gruppenkategorie und (G*, T) eine Gruppe aus der Gesamtheit /c*. Es werde weiter angenommen, dab (G*, T) zwei Darstellungen als Grenzgruppe projektiver Familien besitzt. Die eine Familie hat die Gestalt (G~ 1 I} mit G~ E ]c, entspreehend der ZugehSrigkeit yon G* zu It*. Die andere Familie {(G~*, T~) I W} ist wohlgeordnet; es sind die (G*, T~) Gruppen aus k* und es ist bei einer Niehtlimeszahl der Kern des Homomorphismus ( ~ - 1 <--~) stets eine abgeschlossene Untergruppe yon (G*, T~) mit diskreter Topologie, wiihrend (G~*, T~) ftir eine Limeszah[ ~ stets gleieh der Menge aller F~den {a* [ W~} ist (W~ = (~ I~ < ~}; (~2 <- ~ ) a * ---- a*~2 ftir v22 _~ v2~ ). Dabei muff noeh angenommen werden, dab die Homomorphismen (~2 ~ ~1) (G*~, T~) -- (G*~, T~) fiir ~2 ~ ~ alle topologiseh sind (vgl. II), und daft auch im Fall einer Limeszahl ~-~ ~ immer die Surjektivithtsbedingung erffillt ist. - - Es fragt sieh nun: Kann unter den angegebenen Voraus- setzungen (eventuell unter Hinzunahme yon geeigneten Zusatzbedingun- gen, die aber in jedem Fall einfaeh und plausibel sein mtissen), die M-Voll- st~ndigkeit bzw. starke M-Vollstgndigkeit yon (G*, T) bewiesen werden ?

Vielleieht w/~re bei einer dahin zielenden Untersuehung an gewisse Arbeiten von H. SCHSNEBORN ~2) fiber ,,linear-kompakte" Abelsehe Gruppen anzukntipfen? Denn bei der ,,Linear-Kompaktheit" im Sinne SehSneborns handelt es sich weniger um eine abgeschw~ehte Kompakt- heit als um eine verseh~rfte Vollst~ndigkeitsbedingung in dem Sinne wie wir auch bei einer Limeszahl ~ soeben ausdrtieklieh die Surjektiviti/t des Homomorphismus (~2 ~- ~ ) forderten.

II. Es sei {(G~, T,) l I} eine projektive Familie yon kompakten topologisehen Gruppen, und es sei fiir v~ ~ ~ der Homomorphismus (v~ <- zl)

12) SCH~NEBOBN [13l, [14].

96 Wolfgang Krull

von (G,1 , T,1 ) auf (G,~, T,2) stets ein topologischer; sein Kern sei also eine abgeschlossene Untergruppe von (G,1, T,I) , und es sei T, 2 die durch T, 1 induzierte Topologie von G,,. Dann weil~ man nach der Topologie G6n~rale 13): In der Grenzgruppe G* von {G~ ] 1} wird durch die Topologie T, eine Topologie T* induziert, die eine VergrSberung der trivialen Topologie darstelIt, die sieh fiir G* ergibt, wenn wir die G~ als diskrete Gruppen auffassen. Aus der Voraussetzung, daft alle Gruppen (G~, T~) kompakt sind, folgt die Kompaktheit von (G*, T*). Aus der Kompakt- heit von (G*, T*) wiederum folgt die M-Vollst~ndigkeit der topologischen projektiven Familie {(G~, T,) ] I}, wenn man nur solche Unterfamilien {(M,, T~) ]I} betraehtet, bei denen (M,, T,) jeweils eine abgeschlossene und damit kompakte Untermenge yon (G,, T,) ist (,,k-M-Vollstdndig- keit"). Angesiehts der Hautprolle, die bei unseren Untersuchungen die starke M-Vollsti~ndigkeit spielte, wird man nun sofort weiterfragen, ob nieht aueh dieser Begriff in unseren neuen, erweiterten Rahmen ein- geftihrt werden kann?

Es liegt naeh dem Bisherigen auf der Hand, daft als Potenzmenge 0, von (G~, T,) nieht die Menge aller niehtleeren, sondern die Menge aller nichtleeren, ]~ompakten Untermengen yon G, gewiihlt werden mug, und das Hauptproblem, dem man gegeniibersteht, 1/iBt sieh so formulieren: Kann man jede Potenzmenge 0, so zu einem kompakten topologisehen Raum (~,, ~,) maehen, dab {(~,, ~ ) ]I} mit den yon {(G,, T,) [I} tibernommenen Abbildungen (v~ ~-vl) zu einer topologisehen projektiven Familie wird ? - - Sind die Potenzmengen 0, erst einmal in der ge- wtinsehten Weise zu (~,, ~ ) topologisiert, so ist die Potenzfamilie (((~,, ~, ]I} im gleiehen Sinne k-M-vollst~ndig wie die Ausgangsfamilie ((G,, T,) [I}, und man sieht sofort, dab man yon einer starken /c-M- Vollst~ndigkeit yon ((G~, T,) II} reden darf, wobei der Begriff ,,stark- k-M-voUstdndig" als die naturgegebene VerMlgemeinerung des Begriffes ,,stark-M-vollst~ndig" anzusehen ist, wie er in w 1 im Falle diskreter projektiver Familien eingefiihrt wurde.

O. ENDLER x~) hat nun gezeigt, dab das Hauptproblem tats~chlieh mit den yon der Topologie G6n~rale gelieferten Hilfsmitteln in sinnvoller und im wesentlichen eindeutiger Weise gelSst werden kann. Allerdings handelt es sieh bei ihm haupts/iehlieh um systematisehe Untersuehun- gen zur Theorie des inversen Limes, wiihrend der Frage naeh der Be- deutung der so gewonnenen starken ]c-M-Vollst~ndigkeit kompakter Gruppenfamilien fiir spezielle Kategorien nieht naehgegangen wird. Aber es ist klar, dab hier ein Weg zu weitergehenden Untersuehungen frei- gemaeht ist.

la) Vgl. [2], Kap. 1, w 9,6), S. 102, Prop. 8. t~,) ENDI~R [3].


L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

[1] ETHAN D. BOLKER, Inverse limits of solvable groups. Prec. of the Am. Math. Soc. 14, 147--152 (1963).

[2] N. BOV~BAXI, Topologie G6ndrale. Kap. 1 und 3, 3. Auflage. [3] O. ENDL~, Inverse Limites yon Funktoren auf Kategorien kompakter

R~ume. Existenz- und Konjugiertens~tze f'tir kompakte Gruppen. Erscheint demn~chst.

[4] P. ItALL, A note on soluble groups. J. London Math. Soc. 3, 98--105 (1928). [5] P. HALL, A characteristic property of soluble groups. J. London Math. Soc.

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Mit einer Anwendung auf die Galoissehe Theorie. J. f. Math. 184, 19--48 (1942).

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Eingegangen am 28.4. 1964

7 7808 Hbg. Math. Abh., Bd. XXVIII

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Zur Theorie der Gruppen mit Untergruppentopologie