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Zur Theorie der SelekttafelnEugen Lukacs aa BaltimorePublished online: 22 Dec 2011.

To cite this article: Eugen Lukacs (1939) Zur Theorie der Selekttafeln, Scandinavian Actuarial Journal, 1939:1, 223-236, DOI:10.1080/03461238.1939.10419266

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Zur Theorie der Selekttafeln.

Von Eugen Lukacs (BaItimore).

Die Untersuchung der Sterblichkeit einer Bevölkerung zeigt,dass die Sterblichkeitsfunktionen (Sterbenswahrscheinlichkeit,Erlebenswahrscheinlichkeit, Sterblichkeitsintensität u. a. m.) nurvon einer Veränderlichen, dem Alter abhängen. Im Gegensatzbiezu zeigen bekanntlich die Sterblichkeitsuntersuchungen, diean versicherten 'Personen vorgenommen wurden, eine Abhängig­keit der Sterblichkeitsfunktionen von zwei Parametern, demAlter und der seit Versicherungsbeginn abgelaufenen Dauer.Diese Untersuchungen lehren, dass die Sterblichkeit der Neu­eingetretenen weitaus geringer ist als die Sterblichkeit vonPersonen, die bereits längere Zeit hindurch versichert sind unddass die Sterblichkeit der Neueingetretenen erst im Laufe-einiger Jahre dieses Mass erreicht. Quantitativ wird dieseAbhängigkeit der Sterblichkeit von der seit Versicherungsbe­ginn abgelaufenen Dauer durch die Selektionstafeln beschrieben,als Erklärung für diese Erscheinung wird teils die Auslese derVersicherungsgesellschaften, teils die Selbstauslese der Ver­sicherten angeführt.

Von dieser Erklärung ausgehend werden wir eine Theorieder Selekttafeln aufstellen, die es gestattet auch die Versicherten­sterblichkeit mit Hilfe von Funktionen zu beschreiben, die nurvon einer Veränderlichen, dem Alter, abhängen. Dabei werdenwir folgende Tatsache beachten: Unmittelbar nach Abschlussder Versicherung befinden sich alle Versicherten in einem gutenGesundheitszustand; wenn wir eine Gruppe von Neueingetre­tenen während ihrer ferneren Lebensdauer beobachten, sehenwir, dass diese Gruppe in zwei Teile zerfällt. Und zwar in

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eine Gruppe von Personen deren Gesundheitszustand den An­sprüchen einer neuerlichen Selektion genügen würde, wir nennensie die »Selekten» und in eine zweite Gruppe von Personen,deren Gesundheitszustand diesen Ansprüchen nicht mehr ge­nügt, wir nennen sie die »Defekten»: Die Sterblichkeit derDefekten ist offenbar höher als die der Selekten.

In der vorliegenden Arbeit gehen wir von der Hypotheseaus, dass ein jeder" Versicherungsbestand; an dem man dasPhänomen der Selektion beobachten kann, sich aus zwei ver­schiedenen Gruppen mit verschiedener Sterblichkeit zusammen­setzt, den Selekten und den Defekten. Wir setzen ferner voraus, dass sich eine jede Gesamtheit von selekten Personen im~

Lauf der Zeit aus zwei Gründen verringert, einerseits durchdas Ableben selekter Personen im selekten Zustand, anderer­seits durch den Übergang vom selekten in den defekten Zu­stand. Wir werden ferner annehmen, dass die Gruppe derDefekten sich nur durch Ableben im defekten Zustand ver­ringert, Heilungen werden wir also nicht in Betracht ziehen.

Der Gedanke, dass die Inhomogeneität des Beobachtungs­materials die Erscheinung der Selektion verursachen könnestammt von W. P. ELDERTON1

• Er zeigt, dass durch Ver­einigung des Materials von zwei Aggregattafeln mit verschiedenerSterblichkeit eine Tafel entstehen kann, deren Sterbenswahr­scheinlichkeiten vom Alter und der abgelaufenen Dauer ab­hängen, die also das Phänomen der Selektion zeigt. BJ. DRACH­MANN! nimmt an, dass die Selektion dadurch verursacht wird,dass durch die ärztliche Untersuchung einer Gruppe von»Kranken» mit einer Sterblichkeit, die über dem Durchschnittliegt, die Aufnahme in den Versichertenbestand verwehrt wird.Demgemäss stellt er die Versichertensterblichkeit dar alsDifferenz zwischen der durchschnittlichen Sterblichkeit undder Sterblichkeit der »Kranken» ,

Im ersten Teil dieser Arbeit werden wir zeigen, dass dreiIntensitäten, nämlich die Sterblichkeitsintensität der Selekten,

1 w. P. ELDERTON: On a form of Spurious Selection, which may arisewhen Mortality Tables are amalgamated. Journal of the Institute of Ac­tuo.ries, voI. XL (1906).

I BJ. DRACHMANN: On the elements of the select mortality table.Skandinavisk Aktuarietidskrift 1922.

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die Defektisierungsintensität und die Sterbensintensität derDefekten eine Selekttafel bestimmen. Die Umkehrung dieserBehauptung gilt jedoch nicht uneingeschränkt, im zweiten Teilder vorliegenden Arbeit werden wir untersuchen unter welchenVoraussetzungen eine gegebene Selekttafel diese drei Irrten­sitäten bestimmt.

I.

Wir bezeichnen mit. ft~8 die Sterblichkeitsintensität der:Selekten, mit ,u~d die Defektisierungsintensität, ferner mit ft~

die Sterblichkeitsintensität der Defekten.Wir definieren durch

(1 a)

t-f{ 88.'I'l8- 1'",+,,+1'8~ )dtrx -e 0 x.,." "

die totale Verbleibswahrscheinlichkeit der Selekten,

(1 b)

t

-f dtP~ = e 0 I'x+"d"

die Erlebenswahrscheinlichkeit der Defekten.Wir können ferner zwei Ausscheideordnungen konstruieren,

und zwar

(1 c)-l. 881

88_1881'" +I'Rd)d"

x - a e a "

die Ausscheideordnung der Selekten und

(1 d)

x

-f dld_d I'"d"x -la e a

die Ausscheideordnung der Defekten. Es gilt dann

(1 e) Pd _l~+t

tx- --ld:r.

undlR8

})88 = x+t

t x -.188·x

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Wir bestimmen nun die Wahrscheinlichkeit tPx, dass ein x­jähriger Selekter das Alter x+ t, sei es im selekten, sei es imdefekten Zustand erlebt,

Es ist

(2)

t

-" - 88+f 88 8d pd d,,;tpx - tPx ",Px I'x+",'t-" x+"

ooder wegen (1e)

(2')

Es ist nun

z-H

- _ tx~t + t;+tf t..:8

8d dtpx - 1~8 1~8 1~ 1'" ,,;,

x

d (-,88) __ 188 (IL88 + U 8d)d,,; L" - "r- '" • " nnd d (1) fL~

d,,; ~ = 1~ .

Durch partielle Integration erhalten wir daher

fXH

t 8Z~ (fL~8 +

X "

oder wegen

x+t[8 8 188 f ZU.• d) d - ~ _ x+t + ~ dd

!L" ,,; - d d d 1'" ,,;t: Zx+t Z"x

(3)

x+t x+t z+t

f Z88 f t 8 f Z88~u8dd,,;= ~(U88 + IL8(!.) d-z - ~,t8' d,,;Z~·", Z~·", r-" l~r-",

x x x

x~t z+t

r"(.8 Z88 ["8 f "(.8~fL8d d,,;= -=-- - -=-:!:! + --'!"'(fLd - 118 8) d-t,Zd '" Zd Zd Zd '" ''''

'" " x x+t '"x x

Wenn wir dies in (2') einsetzen ergibt sich

(4)

x+t

- -{1+ 1~ f1';:( d_ '8)d 1 dtpx - [~8 l~ 1'", 1'", -z JtPx,x

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Wir bezeichnen nun mit tP~d die Wahrscheinlichkeit, dass einx-jähriger Selekter das Alter x + t im defekten Zustand erlebt.Es ist dann

(5)J

t Zd Jz+tt 88d_ 88 8d d _ :r+t .. 8d

tPz - ..p z !Lz+'t·t-.:Pz+r: d ,,; - l88 (f!L.. a«.o x X ..

Wenn wir in dieser Formel t + h an Stelle von t schreiben,erhalten wir

x+t+h

8d - t;+t+h f l~8 8d d -h-hPx -.,B8 ld!L.. 'f, -

"x . ~zz+t z+t+h

ld ld J l88 l88 ld }'l88= z+t+h.~ . ....!.- t8d d« + x+t. z+t+h. ....!.- t 8d d c

ld l88 ld !.. t: l88 Zd ! 'tx+t x x 't X z+t z+t 't

'also wegen (5)

(6) PRa _ 8d d + p88 p8d

t+h z -tPx hPx+t t z • h z-tt'

Wegen (2) ist nun

P = p 88 + p8d

tz tx tx und - _ p88 + 8dhPx+t - h z+t "Px+ t.

Wenn wir diese beiden Gleichungen miteinander multiplizierenund beachten, dass

tP~8 . hP~~t = t+hP~8

ist, erhalten wir

(7) - - - 88 + 8d - + 88 8dtPz· ,.pz+t - t+hPz tPz· hPz+t tPz hPz+t'

Wegen (4) ist nun tPz > tP~ falls für alle x !L~ > !L~8 ist

und tPz = tP~ falls für alle x !L~ = !L~8 ist.

Wenn wir nun auf der rechten Seite der Gleichung (7)hP~+t an Stelle von ,.Pz+t schreiben und den so erhaltenen

Ausdruck gemäss (6) vereinfachen, sehen wir

(8 a) tPz . hPx+t > t+hPx

sobald für alle x !L~ > !L~8 ist,

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(8b) tPx • hPzH = t+hPz

sobald für alle x P-~ = p-~8 ist.

Gleichung (8 b) ist für die Erlebenswahrscheinlichkeiten vonAggregattafeln charakteristisch, während die Ungleichung (8 a)die Selekttafeln kennzeichnet; wir sehen also:

Wenn die Sterblichkeitsintensität der Defekten g"öss&r ist alsdie Sterblichkeitsintensität der Selekten, dann bestimmen diesezwei Iniensitdien zusammen mit der Defektieierwnqsintensität eineSe1ekttafel.

Wir werden im folgenden annehmen, dass die betrachteteGruppe selekter Personen eine Gruppe von Neueintretendenist, dann können wir statt tPz die ErlebenswahrscheinlichkeittP[z] der Selekttafel schreiben nnd erhalten so die Formeln

(9 a)

(9b)

t

- 88 + Jp 88 8d pd cl,,; -tP[x]- tP", .,; z P-x+.,;· t-« z+.,; -

o z+tl88 Id Jl88= z+t + ,,,,+t ..!- 8d d,,;Z~8 tx 8 1~ P-.,;

z

zH

{Zd Jl88 1

tp[z] = 1 + Z~8' z; (p-~ - p-~8)d,,;rp : ,

z

Bezeichnen wir mit

cl.%:]+t = - clt [ln tP[:r]],

durch logarithmische Differentiation erhalten wir dann ans (9 b)nach einfacher Umformung

(10)lJ.d _ ,,88r: zH rrz+t tp[z]

d = p88 •P-:rH - p-[z] +t t z

Für t = 0 folgt hieraus

(11) p-~8 = P-[z].

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II.

Wir haben gesehen, dass die drei Intensitäten fL~8, fL~d undfL~ eine Selekttafel gemäss (9 a) beziehungsweise (9 b) bestimmen.Bei willkürlicher Wahl dieser drei Funktionen können aberdie Funktionen tpex] einen Verlauf zeigen, der nicht dem Ver­lauf entspricht, den wir auf Grund unserer Erfahrungen vonErlebenswahrscheinlichkeiten von Selekttafeln erwarten.

Überdies bieten uns die bisher abgeleiteten Formeln nochnicht die Möglichkeit die Intensitäten fL~d und fL~ zu bestimmen,lediglich die Intensität fL~8 kann gemäss (11) aus Sterblichkeits­erfahrungen ermittelt werden.

Wir werden daher im Folgenden die Freiheit in der Wahlder fL~d und fL~ so einzuschränken trachten, dass der Verlaufder Erlebenawahracheinlichkeiten der Selekttafel unseren Er­wartungen entspricht. Es wird uns schliesslich auch möglichsein, die drei fundamentalen Intensitäten fL~8, fL~d und fL~ ausSterblichkeitsfunktionen der Selekttafel zu berechnen. Einedirekte Bestimmung der beiden letzten Intensitäten aus denBeobachtungen kommt ja nicht in Frage, da es hiezu not­wendig wäre alle Versicherten periodisch vorzunehmenden ärzt­lichen Untersuchungen zuzuführen.

Die erste einschränkende Voraussetzung soll folgende Beob­achtung wiedergeben:

Wenn wir die Sterblichkeitsfunktionen einer Selekttafel ­etwa die Sterblichkeitsintensität oder die Erlebenswahrschein­lichkeit - in ihrer Abhängigkeit vom Beobachtungsalter undvom Eintrittsalter betrachten, sehen wir, dass bei festem Beob­achtungsalter und abnehmendem Eintrittsalter sich diese Funk­tionen immer mehr einer Grenze nähern.

Unsere erste Voraussetzung wird also die Konvergenz derSelekttafel gegen eine Schlusstafel ausdrücken und lautet:

(V1) Die Funktion fL[y]+x-y konvergiert bei abnehmendem ygleichmäs8'l·g gegen eine Grenzfunktion !-Lx •

Wenn wir also mit

(12 a)16-39589.

x+h

-J~lYJ+~_yd"hP[yJ+x-y = e x

S1candinavi81c A1ctuarietid81cri/t 1939.

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bezeichnen, so gilt zugleich mit

(12 b) lim fL[yl+:t-y = fLxy=-'"

auch

(13) lim hP[y]+x-y = hpxy=-'"

wobei

(14)

x+1I

- f I"'"d"

"px=e x

Wegen (12 a) ist nun

h+x-yP[y].hP[y]+x-y - x-yP[y]

Wenn wir hier für h+x-yP[y] und für x-vP[y] die Werte gemäss(9 b) einsetzen, erhalten wir

x+1I

{ldJZ88 11 + 2 ...!- (pd - fL88) d7:J 1Ip dZ881u" 't xy 1/ '"

xhP[y]+x-y = Zd JZ~8 ( d _ 11.88) d c

"/ - !t r-"1 + 1~8 Z~ "y 11

oder

(15) "P[V]+x-lI =

x x+1I

{t: 8 J Z88 }-lJ Z88"pd + l pd . ..J!.... + ...!- ( ..d _ 11.88) d 7: • ...!- (11.'1 - 11.88)d 7:x I x Zd Z~ IJ-"" r-" ~ r:« r-" .

11 11 ~:

Bezeichnen wir mit

(16) W(x,y)= Z~8. X-VP[II]

so wird wegen (9 b)x

Zd f -a J18 8

}88 X t11 eW (x y)= z, . - t1 + --'- . - (1I.tT. - 11.88)d7:

, .1 Zd ZS8 1d r-" r:«11 11 11 ,"

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alsox

{ ZS' Jr: }(16') W(x, y) = ~ l~ + l; (fL~ - fL~') d~ .y

Es folgt daher aus (15)

(17)d

d + d lJ:hP[y]+x-y = hPx hPx . -==--:-

x+h

JZ"• ....!.... d 8't: (fL", - fL", ) d».x '"

Da wir aus Gleichung (13) sehen, dass die Funktion hP[II]+X-y

bei abnehmendem y konvergiert, so muss wegen (17) auch dieFunktion W(x, y) bei abnehmendem y konvergieren; die Grenz­funktion bezeichnen wir mit le, so dass

(18)

Nun ist wegen (16)

lx = lim l'y' . x-yP[y] •y=-'"

hP[y]+x-y= h+x-yP[y] = W(x+ h, y)x-yp[y] W(x, y)

also ist

(19) "px = l:r+hlx .

Die Funktion lx kann also gewissermassen als eine mit Hilfe derFunktion "p", abgeleitete Dekremententafel betrachtet werden.

Führen wir nun in Gleichung (17) mit y den Grenzüberganggegeu minus Unendlich durch, so wird

(20) {

1dJx+~" )

hpx = "p~ 1 + i Z; (!t~- !t~8) d7; Jx

beziehungsweise

hpx = 1hP~

x+h

ldJ t 8

+.2: ....!.... (!td - !t") d»l« l~ '" '" .

x

Wenn wir die letzte Gleichung nach h differentieren und dabei(14) berücksichtigen, so ergibt sich

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Id 188hP., ( d ) _ x x+h ( d 88 )d {Lx+h ~ {Lx+h - T . -,d {Lx+h - fLx+ hhPx x .+h

oder wegen (19)

1 ( d ) - , 8 8( d 88 )

x+h {Lx+h - {Lx+h - 'x+h {Lx+h - {Lx+h •

Wenn wir hieraus {L~+h berechnen, so ergibt sich

1 18 8 88d _ x+h fLx+h - x+h {Lx+h

{Lx+h - 1 l88x+h - x+h

oder

(21 )1 lRB 88

d _ x {Lx - x {Lx(Lx - 1 18 8

X - X

Setzen wir in (21) lx{Lx =-l~, so wird (21) zu einer linearenDifferentialgleichung

(21') t: =-l.lId + t 8 (II.d _ 11.8 8)X X r-x IV r-x rre t :

Diese Gleichung hat die Lösung

(22)

x

1 IdJ1~8 (d 88) d + t; zd·x =., d Il.,; - {L.,; ,,; d ·x·1.,; la

a

Berechnen wir nun nach der gleichen Formel 1y für einenWert '!J < x, so wird

0:

I r; Id J1~8 ( A )- -1 =.' - 11" - 11.8$ d,,;x d Y 0: d r'.,; r'.,; •ly 1.,;

y

Wegen (9 b) ist nun

'"IdJ ~8( d 88) d 188 ( ~)x l~ .U.,; - {L.,; ,,; = Y o:-yP[yJ - l~

y

wenn wir dies in die letzte Gleichung einsetzen, erhalten wir

d

lx = ~ (ly- 1~8) + tv 8• x-yP[y]

ty

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oder

(23') t: ~ (1'11 - l~~)x-yPIy] = l88 -ld t8 .

'11 'Y '11

Substituieren wir nun schliesslich für x=y+ t, so wird dies zu

(23) tp[y] = ly+t_ pd ly_~8l88 t· .'11 '11 l88

'11

Wenn wir nun noch die Gleichung (23) nach der Veränder­lichen t differentieren erhalten wir

_ ly+t !-tl/+t d d (l'll _ ~8)-tP[y]!-t[y]+t-- 1~8 +tPy!-ty+t~

und nach einigen ganz einfachen Umformungen

(24)(

t8)tP~ !-t~+t 1 - t - tPy !-ty +t

!-tly]H = (1~8) •tP~ 1- y -tPy

'11

Wir wollen nun noch zeigen, dass für die durch (18)definierte Funktion lx die Ungleichung

(25) i; > ~8

gilt.Wenn wir in Gleichung (16') die Funktion W(x, y) partiell

nach y differentieren, erhalten wir

aw__ _ d188oY - - x-yPy '11 !-t~d

also istaw-,;;- < O.vy

Das heisst, dass die Funktion W (x, y) bei abnehmenden y wächst.Nun ist

lim W(x,y) = lx'11--<»

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und gemäss (16)

W(x,y) = l~B .:r-vp[y].

Für jedes y ist also 10: > l~B. a~vp[vl' Wenn wir hier ins­besondere für y = x setzen, sehen wir 10: > l~B q. e. d.

Unsere erste Voraussetzung (V1) liefert uns im wesentlichendie Gleichung (21), die einen Zusammenhang zwischen derSterblichkeitsintensität der Defekten, den Funktionen der Grenz­tafel und der Defektiaierungsintensität! herstellt.

Die Grenztafel können wir in guter Approximation durcheine abgestutzte Tafel ersetzen; wenn wir also für eine derbeiden Funktionen, nämlich entweder für die .Defektisierungs­intensität oder für die Sterblichkeitsintensität der Defekten,die Möglichkeit einer empirischen Ermittlung finden, könnenwir die zweite dieser Funktionen mit Hilfe der Relation (21)bestimmen.

Unsere zweite Voraussetzung wird uns letzten Endes diesenAnschluss an die Erfahrung bieten, dennoch handelt es sichbei ihr nicht um eine Voraussetzung, die einer Erfahrungs­tatsache entspricht, sondern vielmehr um eine engere Fassungunserer fundamentalen Hypothese. Unsere zweite Voraussetzungbesagt nämlich, dass die Ausscheideordnung der Defekten beiwachsendem Alter stärker abnimmt als die Ausscheideordnungder Selekten, dass also

(V2). l~

hm 88=O.0:='" 10:

Wenn wir in Gleichung (3) für x = a und für t = x - asetzen wird

x x

Jr: ZS8 Z88 J188

-i- (fL~ - fL~B) d,,; + ~ - ~ = ~fL~d d».1.. . lal;,; 1..

a a

1 Die Defektisierungsintensität kommt in (21) insoferne vor, als ja dieAusscheideordnung der Selekten durch die Defektisierungsintensität und diebereits empirisch ermittelbare Sterblichkeitsintensität der Selekten bestimmtwird.

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Setzen wir dies in (22) ein, so erhalten wir

x

1 .,88 I 88-= _ tx l" _ 88d-~+ _fl-8d d ,& + la lat: tx c ": lda a

und

l~(26)

l~

1x = IX l8 8 1 l·8.,88 +.,cl ...!- 8d d + ld a - atx tx l~ fl-" '& X fa

a

l~

l88X

x

1 + l~ {I l~8 8dd'& + la- l~8}l~8 l~ fl-" l~.

a

Wegen (25) ist nun l« > [~8, der Nenner des Bruches in (26)ist also stets grösser als 1; aus (V2) folgt also

(27) lim (;lx = o.2:=00 ·x

Aus (23) folgtlx+t+h d lx - l~8

t+hp[x] = --88- - t+hPx [88lx X

beziehungsweise_lx+t+h d lX+h - l~~h

tp[x+h] - -l88 - tPx+h l88x+h x+h

Hieraus ergibt sich durch Division

1 -.: (lx -: 1~8) l~+t+ht+hP[x] t: lx+t+h--- = hP88 .tp[x+hl x 1- (lx+h ;; l~~h) l~+t+h

lX+h lx+t+h

oder

(28)

t+ hP[x] = fxR+ h •

tp[x+hj l~8

a1 - lx+t+ h (l _ 188)'x+t+h l~ x x

l~+t+h 88lx+t+h - ~ (lx+h - lx+h)

lx+h

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Wenn wir in der letzten Gleichung mit t den Grenzüberganggegen Unendlich vollziehen, so folgt hieraus wegen (27)

(29) hP~8 = lim t+hP[x]t=", tp[:t+h] •

(30)

Die bisherigen Resultate ermöglichen es uns den Zusammen­hang zwischen unserer Theorie und Sterblichkeitserfahrungenherzustellen.

Formel (29) angewendet auf eine Selektionstafel, die ineine Schlusstafel einmündet ergibt

hP88 = lim t+hP[:r] = Z[:t+h] •

:t t=", tp[:t+h] Zrx]

Es werde mit a das Anfangsalter bezeichnet, wählen wir nunl~

8 = l[al so wird allgemein

(30 a)

Nun sahen wir

(11)

also ist wegen

(30 b)

Z~8 = l[:t].

ft~8 = P,[x]

(30 a)d

p,~d = - dx {Inl[:tl} - P,[:t].

(3D c)

Wenn wir noch die Annahme treffen, dass die Grenztafel durchdie Schlusstafel ersetzt werden kann, haben wir schliesslichbei Berücksichtigung von (21), (30 a) und (11)

cl l:t fJ-x - l[:t] fJ-[:t]fJ- =

:t l:t-l[:t]

Die Formeln (11), (30 b) und (30 c) drücken nun unsere dreifundamentalen Intensitäten durch Funktionen aus, die ausSterblichkeitserfahrungen ermittelt werden können.

Damit ist die theoretische Aufgabe, die wir uns in dieserArbeit gestellt haben erschöpfend behandelt, wir behalten unsvor auf die praktische Auswertung dieser Theorie später zuriick­zukommen.

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