Hydrate der Sake. 233

bei 93O gefuhrt worden, und auoh Mi t sche r l i ch und H a i - d inge r hatten es dargestellt." Ich erlaube mir, darauf auf- merksam zu machen, dass bereits nach Hrn. E. Wiedemann das von ihm gefundene Salz sich durch eine grossere Dichte von dem jener beiden Forscher ganz wesentlich unterscheidet. Hr. E. W i e d e m a n n sagt'): ,,Aus den obigen Analysen aber geht hervor, dass auch ein bei 93O ltrystallisirendes Salz existirt, das sechs Molecule Wasser enthalt. Die Volumenbestimmungen zeigen, dass diese beiden Salze eine wesentlich verschiedene Dichte besitzen. Es existiren daher zwei Modificationen des Salzes MgSO,' + 6H,O."

Zum Schlusse erfulle ich die a.ngenehme Pflicht, den Hrn. Professoren G. und E. Wiedemann fur die Unterstiitzung, welche sie mir bei meinen Arbeiten in cler liebenswurdigsten Weise haben zu Theil werden lassen, meinen aufrichtigsten Dank zu sagen.

Physika1.-chem. Laborat. d. Univ. L eipzig, Wirz 1887.

IV. Zur Theorie dev L.2chte.v f u c aBsorWende isotrope H e d i e n ; uon W. V o i y t .

Im Nachstehenden werde ich einige Nachtrage zu meiner vor drei Jahren mitgetheilten Theorie der absorbirenden isotropen Medien 2, geben, die hauptsachlich eine Klarstellung einiger dort unberiicksichtigt gelassener Punkte und eine Vereinfachung der Formeln der Metallreflexion fur die nume- rische Berechnung enthalten.

I. Die entwickelte Theorie wendet fur die zwischen Aether und Materie wirkenden absorbirenden KrBfte nur solche an, welche eine unter allen Umsthden negative Arbeit ergeben, d. h. solche, welche die Functionen:

!PI = Au' + Bv' + Cw' oder: ___._ ~-

1) E. Wiedemann, Wied. Ann. 17. p. 572. 1882. 2) W. Voigt , Wied. Ann. 23. p. 104. 1884.

234 W. Voigt

a a w' a w'

a? Y + c, ---- + c, -a- + c, a.-- 1

morin :

gesetzt iat, zu einer negativen Summe von Quadraten machen. Far isotrope Medien muss daher !PI und VJ2 die Form

haben : VI 1- - - b (ZP + 1;z + 10'2),

Hierzu bemerke ich zuniichst, dass sich in meiner fruhe- ren Abliandlung') das letzte Glied mit e nicht findet, da es mit dem vorhergehenden, mit c' multiplicirten bei allen An- wendungen auf ebene Wellen mit periodischen Schwingungen (also den einzigen in Betracht kommenden) vBllig zusammen- fillt. Es wiire indessen vielleicht besser gewesen, ausser dem ersten, welches wegen der Incompressibilitiitsbedingung stets verschwindet, bei den Anwendungen mit den1 Factor b zusam- nien den Factor c' gleich Null zu setzen, und damit die Krafte, die bei Verschiebung oder Drehung eines Volumen- elementes als Ganzen erregt werden , zugleich verschwinden zu lassen, also nur das letzte Glied beizubehalten, aus wel- chem dann folgt:

A , = - 2c:rZ', By = - 2~'?/yl, C, = - ~ c z , ' .

A, = B, = - c;c;, B, = (;I = - cyZ', CY, = A, = - C Z S . '

Dies ist nur eine formelle Aenderung. 11. Die Resultate der Theorie fiir das Problem der

Reflexion an einem absorbirenden Medium liabe ich aus- . -. __

1) W. I'oigt, 1. C . p. 108.

Theorie des Lichtes. 236

gedrtickt durch gewisse Htilfswinkel ,usl we und p p , vp, welche eine einfache physikalische Bedeutung besitzen. Es ist niim- lich und ,up die Verzogerung, welche die Componenten parallel der Grenze bei der Brechnung in der Trennungs- flache erfahren, ,pa + v,, ,up + up die Verzagerung bei der Refiexion.

Bei der Anwendung auf numerische Rechnungen machen diese Formeln eine gewisse Vorsicht nathig, iiber die ich jetzt das Nothige entwickeln will. Ich kntipfe diese Bemer- kung an die Untersuchung der Reflexion und Brechung an der Grenze zweier isotroper absorbirender Medien an, weil dies Problem jene 8chwierigkeit besonders hervortreten llsst.

Sei also das erste Medium definirt durch die Constan- ten M, A und c, das zweite durch M,, A, und c, , indem wir, wie unter I. ausgefiihrt ist, die Constanten b und b, gleich Null setzen. Die Grenze sei wie frtiher die XY-Ebene, die Einfallsebene fdle in die X Z - Ebene.

F u r beide Medien gelten dann die Formeln far die Fort- pflanzungsgeschwindigkeit OJ, den Absorptionscoefficienten x l) :

Mo’= A ( l - x 2 ) + ~ x C , 0 = 2 x A - C(1 - x’),

M1wla= A, (1 - x12) + 2x1C11 0 = 2x1 A, - C, (1 - xl’), (1) {

MI ist nach dem fruher Entwickelten gleich M zu setzen, wenn die Grenzgleichungen fiir die Verrtickungen in der Neumann’schen Form benutzt werden sollen; C ist fur c/z, C, fur c , / t gesetzt, falls 2 n t = T die Schwingungsdauer der Oscillation bedeutet.

1. Betrachten wir zuniichst die Componente normal zur Einfallsebene. Es sei:

1) W. Voigt, 1. c. p. 108.

236 W. Voigt.

Hierbei ist 3 der Sinus des gegebenen Einfallswinkels und’): 1 - x 2 = a B - p 2 + y a , 1 - x , ~ = aI2- P l 2 + y I 2 ,

Die Grenzbedingungen sind fiir z = 0:

x = p y , xl= @ , y l .

(2 ) {

Theorie des Lichtes. 237

Das Einsetzen in die obigen Formeln gibt dann: E, sin (pa + Y,) sin pa R,’=- _. -

D,‘ = -. -- .

, R,”= - - ~ _ _ _ _ _ _ - B, cos (pa + Y,) sin pa

E, sin (pa + v,) COB pa sin v8

- Di‘ . sin Y, sin vI

woraus sogleich folgt:

R,‘

2. Pur die Componenten parallel der Einfallsebene setzen wir:

+ p C 0 8 - - ( t - *z+r . - ) ) , --- 0

Die Grenzbedingungen sind fur z = 0:

238 w. voigt. (10) u, + u, = ua, wr + w, = wa.

Setzt man:

BP" Dp" [ - - a d . = t g 4 , = t g ( , u p + Y , I , -- DP' = tgap= tgPs

238

(10)

(11)

Setzt man:

so lautet dae Resultat:

w. voigt.

Auch hier sei wieder eingefilhrt:

wobei t g& beliebig gleich dp/cp oder gleicb Jp,/cp, gesetzt werden kann. Es folat d a m stets:

ferner:

(

Theorie des Lichtes. 239

Diese Zusammenstellung zeigt, dass sich das Problem der Reflexion und Brechung an der Grenze zweier isotroper absorbirender Medien ebenso einfach und anschaulich lost, als wenn das erste vollkommen durchsichtig ist.

Was die eingefdhrten Hiilfswinkel I , ,u und u angeht, so sind dieselben zunilchst durch (6) und (13) definirt. Hierin mag Mund N die stets positive Wurzel aus den Ausdriicken (ccyd + u1y16)2 + ( u y ~ r - c c ~ y , ~ , ) ~ u. 8. w. bedeuten. Es ist dann der Quadrant vollig bestimmt, in dem p + 1, Y - 1 zu rechnen ist , da aber 1 nur durch den Werth von tg 1 defi- nirt ist ; so ist dasselbe bis auf ein Vielfaches von n unbe- stimmt, und gilt Gleiches von den p und Y selbst. Hier- durch kommt bei manchen Anwendungen (namentlich auf das Verhalten diinner Schichten absorbirender Medien) eine Schwierigkeit.

Sie heben sich aber durch die Beobachtung folgender Regeln.

Wegen sin u /sin u = N/M sind iiberall, wo die sin p und sinu statt der proportionalen, stets positiven M und N ein- gefilhrt sind, i h r e a b s o l u t e n W e r t h e zu nehmen, oder p und v zwischen 0 und n. Das Vorzeichen von tgp , cos(p+v) und sin (p+u), wird nach den Eormeln (7) und (14) beurtheilt. Die Gleichungen fur 0,' und DpI werden zur Beurtheilung des Vorzeichens am besten geschrieben:

sin pa D,' 5 f?# sin (pa + u,) ctg p, sin -;, ;

sin pp 0;- Ep 2 sin (pp + up) ctg p p

Y l

111. Die Formen, welche ich im Vorstehenden wie auch in friiheren Arbeiten den Gesetzen filr die reflectirten und gebrochenen Amplituden gegeben habe, bieten den Vortheil grosser Kiirze und Anschaulichkeit, insofern sie einen eigen- thiimlichen Zusammenhang dieser Grossen mit den Phasen- verzogerungen ergeben, die bei der Reflexion und Brechung in der Grenze eintreten. Ebenso geben sie die am meisten der Beobachtung unterworfenen Grossen: die Differenz d der Verzbgerungen der Componente senkrecht und parallel der

240 W. Voiyt.

Grenze hei der Reflexion und das Amplitudenverhgltniss 8 = R,/Rp = tgy, fur den Fall E, = Ep ist in sehr einfacher Weise. Denn es gilt:

(17) sin p a . sin Y P = PP + VP - P8 - v.4 Q = sin-pP;& Yg

Aber diese Form hatte den Nachtheil, dass es nicht moglich war, bei der gewohnlichen Metallreflexion die Con- stanten des absorbirenden Mediums, also etwa n und x , in endlicher Form durch den Haupteinfallvwinkel @ (fur wel- chen d = n l2 ist) und das entsprechende Hauptazimuth auszudrucken, ein Nachtheil, der meine Theorie fur die An- wendung vie1 unbequemer machte, als z. B. die Cauchy'sche.

Meine Bemuhungen, andere Pormen zu gewinnen, welche eine directe Bestimmung von n und x durch die Beobacb- tungen gestatten, fuhrten zu keinem Resultat, weil ioh bei ihnen die volle Allgemeinheit meiner Formeln zu wahren suchte.

Ich verdanke meinem Assistenten, Hrn. P. D r u d e , der sich auf meinen Rath mit der Ableitung der Gesetze der Reflexion ftir absorbirende Krystalle in der Weise beschhf- tigt, dass Krafte, welche die Arbeit !PI (siehe unter I) zu einer negativen Summe von Quadraten machen, n i c h t ein- gefiihrt werden, die wichtige Entdeckung, dass bei de r se l - b e n Specialisirung, d. h. beim Nullsetzen der Constanten d - was ich schliesslich bei numerischen Berechnungen fruher auch stets gethan habe -, die Formeln fur d und g bei der Metallreflexion in der That die Auflosung nach n und il gestatten, und dlcmit die Gewinnung des Vorzuges, den bis- her die Cauchy'sche Theorie vor der meinigen voraus hatte.

Da bis ziir Veroffentlichung der Untersuchung des Hrn. D r u de noch geraume Zeit vergelien durfte, die gewonnenen Resultate fur unkrystallinische Medien aber die Anwendung meiner Theorie bedeutend erleichtert, so gebe ich im Nach- folgenden einige beztigliche li'ormeln, die wir beide gefunden haben, indem ich fiir die Ableitung auf die Abhandliing von Hrn. D r u d e verweise und nur bemerke, dass, so lange es sich allein um die Bestimmung der Grossen d und 8 han- delt, die Losung des Problems einfacher durch Exponential- grossen mit complexen Exponenten stattfindet , als durch

Theorie des Lichtes. 24 1

trigonometrische Functionen, dass dieselben aber zur Bestim- mung der R, Rp iYP 3, selber wenig Vortheii bringen.

Fur das oben auf anderem Wege abgeleitete Problem der Reflexion an der Grenze zweier absorbirender Medien kann man in denselben Bezeichnungen und unter Einfiihrung zweier Hillfswinkel e und die Formeln filr Q und d fol- gendermassen schreiben.

Es sei gesetzt:

(18)1 2x1=<12s in4~1 , 1 - u ~ 2 - x 1 2 = ~ 1 2 c o s 4 ~ l ,

dann wird nach (2): y = c c o s 2 e , / ? = ( s i n 2 ~ , y 1 = < 1 c o s 2 ~ l , /?,=&sin2e, und:

2x = C2sin4 E ,

also: i4 = 4x2 + (1 - u2- x ~ ) ~ , 1 - a8 - x2 = ~ " C O S ~ E ,

also: 5,' = 4x12 + (1 - a12 - x12)2;

Diese Formeln sind in u, 5, E und a l , &, symmetrisch, A und Q bleiben also ungeandert, wenn die beiden absorbi- renden Medien vertauscht werden.

Es folgt noch:

2 a a , <cl cos(e + el) oder einfacher: Setzt man hierin noch:

COB 2 q = -~ i 2 c 1 2 + a'a,' '

8 tg 2, (21) i r;,

-9% =

wobei 5 und [1 wie oben uberall die positiven Wurzeln aus (18) bedeuten m8gen, so folgt schliesslich : (22) tg A = tg S sin 2 ( ~ + E ~ ) ,

Hierin ist ul = eln und: cos 2 y = sin 6 cos 2( E + el).

Ann. d. Phgs. u, Cham. N. F. XXXI. 1 G

242 w. vo2j.t.

1st das erste Medium durchsichtig, so gilt einfacher wegen x und c = 0, 1 - u2 = y 2 , a = sing,: (24) t g d = tgSsin2el, cos2y = s i n 6 c o s 2 ~ ~ , wobei 6 und el definirt ist durch:

Hiernach berechnet sich bequem y und A aus gegebe- nen n, x fur jedes 'p.

Man kann aber auch umgekehrt aus den fur be l i eb iges q beobachteten 9 und A die Constanten n und x berechnen.

Denn man hat zuniichst aus (24): c 0 s 2 2 y - + tg2A COB 2* s in26= + t g 2 A - , C O S ~ S , = (26) s ins '

d. h. fur jeden Einfall die entsprechenden 6 und E , , - und aus (25): . .

s in4y s i n 4 ~ ~ = 2x, na cosz'p tg2- S 2

S sin2cp tg2- + tg2 'p G0s4e1) = n2 (1 - x12) tg2-3 i : 2 d. h. zwei Gleichungen zur Bestimmung,von 12 und xl, welche als in x1n2 und (1-xx,2)n2 linear, die Berechnung d i e s e r Grossen nach der Methode der kleinsten Quadrate bequem gestatten.

Das Resultat druckt sich am einfachsten aus durch die Einfuhrung :

. . sin 4y,

S Ctg2'p.tgaT + c o S 4 ~ t g2x = ~ 1 (28)

dann ist:

Fur den Haupteinfallswinkel @ ist d = az, also nach (24) auch Y = $p,-und = y, also:

Dies sind die Werthe n und x, ausgedruckt durch Haupt.

G o t t i n g e n , im Marz 1887. einfallswinkel und Hauptazimuth ~ j .