Zur Thermodynamik der Supraleitung

31. v. Laue. Zur Thermodynamik der Supraleitung 71

Zur l'herrnodynarndk der Suprale$tung Von 211.u. L a u e

(Mit 1 Abbildung)

5 1. Einleitung

Thermodynamische Studien l), den nbergang vom supraleitenden zum normalen Zustande und den EinfluB des Magnetismus darauf betreffend, sind nicht neu. Wenn diese Veroffentlichung die Frage wieder aufnimmt, so geschieht es nicht, weil dabei uber den fjber- gang eines zylindrischen Korpers im longitudinalen Felde Neues herauskame, sondern, weil sie vielleicht auf den Fall eines beliebig geformten Korpers in einem beliebigen Magnetfeld ein klareres Licht wirft, und weil sie wohl die Bedingungen, unter denen alle derartigen Betrachtungen stehen, deutlicher hervorhebt. SchlieBlich kann sie auch unter Riickgriff auf Londons Elektrodynamik der Supraleitung die Messungen von P o n t i u s 9 an diinnsten Blei- drahten uber den Anstieg des magnetischen Schwellenwertes mit abnehmender Dicke deuten. Dies mag das Unterfangen recht- fertigen.

Es handelt sich hier um das Gleichgewicht zwischen festen, beliebige Spannungen enthaltenden Phasen. Durch die ortliche Veranderlichkeit der Krafte zwischen diesen unterscheidet sich das Problem von jenem oft behandelten, bei welchem zwei Festkorper, jeder unter allseitig gleichem Druck stehend, sich vermittels einer sie losenden Flussigkeit oder einer Gasphase ineinander umwandeln konnen. Unser Problem habe ich in der thermodynamischen Lite- ratur bis auf Lord Kelv in zuruck vergeblich gesucht. Das beruht

1) Die erste thermodynsmische Bemerkung zur Supraleitung stammt wohl aus einer Anmerkung von K. u t g e r s zu einer VerSffentlichung von P. E h r e n f e s t , Comm. Leiden Suppl. 75b. 1933. Einen wirklichen Beweis der , ,Rutgermhen Gleichtmg" gab erst C. J. G o r t e r , Arch. Musee Teyler (3) 7. S. 378. 1933 und Nature 132. S. 931. 1933. Vgl. auch C. J. G o r t e r u. H. C a s i m i r , Physica 1. S. 306. 1934; C. J. G o r t e r , Arch. Musee Teyler (3) 8. S. 115. 1936, sowie Anm 2.

2) F. L o n d on , Une conception nouvelle de la supraconductibilit6, Paris 1937; F. L o n d o n , Nature 140. S. 796 u. 834. 1937; uber die Vor- geschichte dieser Theorie vgl. auch F. L o n d o n , Physica 3. S. 450. 1036. Anm. auf S. 452.

3) R. B. P o n t i u s , Kature 139. S. 1065. 1937, benutzt Bleidrahte yon einigen p Dicke bei 4,2OK im longitudinalen Feld.

72 Annakn der Physik. 5. Folge. Band 32. 1938

jedenfalls auf einer sachlichen Schwierigkeit, auf die wir weiter unten stoSen werden , und die im Supraleitungsfalle zufallig fortzufallen scheint. Der F'rage am nbhsten kommt noch Gibbs') in einer Abhandlung , welche den thermodynamischen Einfln6 beliebiger Spannungen in einem Festkarper behandelt , den eine fliissige oder Gasphase beriihrt. Ihr kann das Folgende manchen Zug entlehnen; z. B. auch den Riickgriff anf die allgemeine Gleich- gewichtsbedingung :

[T die rilumlich konstante Temperatur, S die Entropie des Systems, U die Energie und A die Arbeit, welche dem System bei der Zu- standsilnderung 6 zuflieSt 73.

Dabei bringt es uns wesentliche Erleichternng, da8 die magnetischen Eigenschaften der in Frage kommenden Substanzen tempe- raturunabhilngig sind. Normalleitend haben sie mit der hier erforderlichen Qenauigkeit die Permeabilitat 1, supraleitend enthalten sie iiberhaupt kein Magnetfeld 9. Die schon genannte Elektrodynamik Londons fiihrt nun eine neue, den Supraleiter kennzeichnende Konstante ein; von ihr wissen wir bisher kaum die GraSenordnung. Wir setzen sie hier willkiirlich als ebenfalls unabhangig von der Temperatur voraus. Ob sich dies und Londons Theorie uberhaupt bewilhrt, ist Zuknnftsfiage.

Die Erleichternng besteht nun darin, dab dann - und nur dann - die Entropie vom Magnetfeld unbeeinflnfh bleibt'). Zwar bringt dies zur Energie einen Zusatz, aber rein additiv. LilSt man ihn fort, versteht somit unter Energie den Wert ohne Magnetfeld, so besteht die einzige Feldwirkung, die zu betrachten ist, in ponderomotorischen Kraften und deren Arbeit A. Neben unseren Betrachtungen einher geht dann noch eine Energiebilanz des Magnet- feldes fur sich, die uns dabei ebensowenig angeht, wie die Energie-

(1) T 6 S - 6 U + A s 0

1) J. W illar d G i b b s, Thermodynamische Studien, deutech von W. 0 s t - w a1 d , Leipzig 1892. 8.219 usf. ,,Die Bedingungen inneren und tiuBeren Gleich- gewichte fur feste Korper in Beriihrung mit Fliissigkeiten unter Beriick- sichtigung aller moglichen Zwangszustlinde des festen Korpers". Die G i b b a sche Form der Gleichgewichtsbedingung etellt nur eine leichte Abwandlung von 1) dar.

Berlin u. Leipzig 1930. G1. (70); dort handelt es sich urn wirklich eintretende Vorgiinge, daher der Unterschied, daB dort T d S - d U + A 2 0 steht.

3) W . M e i s s n e r u. R. O c h s e n f e l d , Naturw. 21. 8. 787. 1933; Ztschr. f. techn. Phys. 16. S. 507. 1934; W. M e i s s n e r , Phys. Ztschr. 35. S. 931. 1934; W. M e i s s n e r u. F. H e i d e n r e i c h , Phys. Ztschr. 37. S. 449. 1936.

4) Vgl. z. B. M. A b r a h a m , Theorie der Elektrizittit, ueubearbeitet von R. B e c k e r , Bd. I. Leipzig 1932, 5 75.

2) M. P l a n c k , Thermodynamik.

M. v. Law. Zur T h d y n a m i k der Supraleitung 73

bilanz des Schwerefeldes, falls wir dessen EinfluS auf thermodynamische Vorgiinge untersnchten.

Selbstverstandlich kann man anch anders verfahren und die magnetische Energie in die Betrachtnng einbeziehen. Im Geltnngs- bereich der Maxwellschen Theorie denkt man sich zweckmi2Big das Feld als zu dem betmhteten System gehiirend und dnrch Strame erzeugt und verwendet den Satz, daS dann die vom Felde geleistete Arbeit A gleich der Zunahme SU der magnetischen Energie 0, des gesamten Feldes (nicht nur des im betrachteten Kiirper liegenden Teils) ist. Die Voraussetzung dafiir , Konstanz der Stromstiirke in jedem Stromfaden, oder bei FlachenstrBmen fiir jedes Stromband, ist erfiillt, wenn wir wie in 0 2 die Grenz- flilchen beider Phasen bei der Umwandlung unverandert verriickt denken. Beide Energiebetriige, A und 6 U,, miissen bekanntlich die elektromotorischen Krafte, welche die Strome konstant halten, als Arbeit 2 A aufbringen. Angewandt auf das materielle System und das ganze Magnetfeld tritt also an die Stelle von (1): (la) T 6 S - 6(U + U,,,) + 2 A s O oder T 6 S - 6 U + 6 U , S O , was wegen A = SU, auf dasselbe hinans kommt wie (1) l).

Fiir Lon dons Elektrodynamik ist dieser Satz nicht bewiesen. Er beruht ja auf dem Ansatz [i, Q] fiir die ponderomotorische Kraft des Magnetfeldes 8 anf den Strom der Dichte i; diese &aft wirkt im Inneren des Supraleiters nach London nicht8). Deswegen miissen wir in 0 3 auf (1) zuriickgreifeng

1

Q 2. Die C)lelchgewichtebedingungen ohm Riickeicht auf eine ~bergmgeechicht

Grenzt ein Supraleiter (Phase 1) an einen normalen Leiter (Phase 2) oder den leeren b u m , so hat er selbstverstandlich eine

1) Es gibt drittens noch die Moglichkeit, zwar die magnetische Energie, re lche im materiellen System liegt, dessen Energie zuzurechnen, das en be- trachtende System aber durch eine mit der Oberflliche der Korper zusammen- fallende Htille gedanklich abzuschlie8en. Der so ausgeschlossene Teil des Magneffeldes gilt d u n als iiuflerer, Mechanismus, der am System Arbeit leistet; dieee ist ale Poin t ingscher Energiestrom durch die Hnlle zu berechnen. Aber dieser Weg erfordert Kenntnis des elektriechen Feldes, welches bei Anderungen im System und in der magnetischen Feldverteilung entsteht, und scheint mir deshalb nicht leicht gangbar zu sein.

2) Vgl. in der angefuhrten Broschure L o n d o n s Q 6. Wir kommen in Q 3 nochmals darauf zuriick.

3) Unsere Untereuchung zeigt Beriihrungspunkte, jedoch nicht Uber- einstimmung in den Einzelheiten mit F. L o n d o n , Phyeica (3) 6. S. 450. 1936, somie mit K. M e n d e l e s o h n u. J.R. M o o r e , Phil. Mag. 21. S. 532. 1936.

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ubergangsschicht , in welcher das Magnetfeld allmayich abklingt und die Strome raumlich verteilt flieflen, welche sein Inneres vor dem Felde bewahren. Maxwells Elektrodynamik erlaubt dariiber keine Aussage, wohl aber die Londonsche Theorie. In diesem Paragraphen schalten wir alle Erwbungen dariiber durch die Fest- setzung aus, daB die Grenzschicht sich ohne h d e r u n g ihrer GroBe bei der Phasenumwandlung verschiebt. Dann liefert sie namlich zum S S und S U der Bedingung (1) keinen Beitrag, und die Arbeit A der etwa in ihr angreifenden Krafte erhalten wir richtig, indem wir sie als Fliichenkrafte in Rechnung setzen. Obwohl diese Krafte fu r* uuseren Fall in einem Druck senkrecht zur Oberfliiche vom Be- trage ' I p H bestehen, sofern H die magiietische Feldstiirke un- mittelbar an der Oberfiache bezeichnet, setzen wir znnachst eine Obedachenkraft beliebiger Richtung vom Betrage 9 pro Flachen- einheit voraus, die aber nun auf Phase 1 wirkt. AuBerdem fiihren wir Volumenkriifte P ein, obwohl in den Anwendungen P = 0 ist.

Die Zustandsvariationen, von denen (1) spricht, sollen nun be: stehen

1. in Verriickungen, welche einen Massenpunkt, der sich ur- spriinglich am Ode xi (i = 1, 2, 3) befand und spater nach xi + ti gelangt ist, nach xi + Ei + S t , bringen; die Ei fassen wir zum Vektor r zusammen, die S ti dementsprechend zu Sr. Der urspriingliche oder, um mit Gi bbs zu reden, Beziehungszustand braucht dabei nicht spannungsfrei zu sein, er kann Eigenspannungen enthalten, die in den unten einzufiihrenden pi, mitenthalten sind. An der Phasen- grenze mussen die Verriickungsvektoren Sr, und Srs iibereinstimmen, sofern die Korper nicht gegeneinander gleiten und keine Liicke zwischen ihnen entstehen soll. Verstehen wir unter n1 und n2 die jeweils innere Normale der Phase, unter t eine Tangentialrichtung, so driickt sich dies in den Gleichungen aus

(2) Stll = 8 x 2 1 ; 8r1, = - &an.

Dies gilt zunachst nur bei Fortfall der Pbasenumwandlung, d. h. bei Erhaltung der Massen beider Phasen. An der Grenze zwischen dem Normalleiter und dem leeren Raum mag Sr2 Null sein, weil uns die daselbst herrschenden Bedingungen nicht interessieren.

2. in einer Verruckung der Grenzflache infolge der Phasen- umwandlung. Die Vorstellung einer solchen Verriickung macht nicht die mindeste Schwierigkeit , falls eine der angrenzenden Phasen fliissig oder gasformig ist. Dann bestimmt der feste Korper das Vorriicken, und die andere Phase weicht ihm eben aus. Bei zwei festen Korpern liegt es anders. Im allgemeinen werden sich

M : v . Law. Zur Themodynamik der Supraleilung 75

zwei feste Phasen im Raumgitter, mindestens aber i n der GroBe der Gittertranslationen nnterscheiden. Wie sie dann unter Wahrung der Stetigkeit ihres Zusammenhanges ineinander ubergehen sollen, ist unvorstellbar. Hier liegt die in 8 1 angedeutete Schwierigkeit, welche die Behandlung des Problems im allgemeinen unmoglich macht ; bei einer solchen Umwandlung muS Zersplitterung in kleine Teile auftreten.

Bei der Umwandlung Supra- in Normalleiter scheint diese Schwierigkeit dadurch fortzufallen, daS beide iu Art und GroSe der Raumgitter ubereinstimmen. Beim Blei wenigstens hat Keesom l) dies rontgenographisch nachgewiesen und mit einer Genauigkeit von 3~10-~ haben es am Blei und einer Legierung M c L e n n a n und Mitarbeiter 9 mittels einer Kapazitiltsmessung bestitigt; letztere untersuchen gerade den nbergang im Magnetfeld. Wir nehmen dies als allgemeingiiltig an und miissen dann flir die Ver- schiebung S N , der Oberflache von 1 in Richtung der inneren Normalen Itl und die der Oberflache von 2 in Richtung na, SN,, fordern :

Nun verlangt aber die vorausgesetzte Unveranderlichkeit der Dichte:

also bleiben auch jetzt die G1. (2) in Kraft. Laut Definition der Entropie ist ihre h d e r n n g Ss, bezogen auf

Masseneinheit, und die Energieilndernng Su durch die Beziehung verkniipft :

dlcl,+ 8N1= - (&an+ a&).

(3) 8 N , = - SN, ,

(4)

u bedeutet hier das spezifische Volumen im Beziehungszustand, nach Voranssetzung beiden Phasen gemeinsam, d r in den folgenden Gleichungen ein Volumenelement im gleichen Zustand, d o ein Ober- flachenelement. Die gesamte Entropie des Systems setzt sich ans diesen hderungen zusammen ; jedoch kommen hinzn Xnderungen wegen Phasennmwandlung:

Die Raumintegrale sind, wie der Index 1 + 2 andeutet, iiber beide Phasen auszudehnen, das OberfI&chenintegral iiber die Oberfkachen heider Phasen, d. h. iiber die gemeinsame sowohl als liber die

1) W. El. Keeeom u. H. Kamerl ingh-Onnes , Comm. Leiden 174b. 1924. 2) J . C . M c L e n n a n , J . F . A l l e n u. J.O. W i l h e l m , Traneact.Roy.Soc.

of Canada (3) %. Sect. HI. 8. 1. 1931.


Grenze der Phase 1 gegen leeren Raum'). die Xndernng der Gesamtenergie:

xhnlich berechnet sich

+S[Rn(Srn$. S N ) + R,artl+7. I 1

Die Fliichenintegrale mit dem Index 1 beziehen sich nur auf die Obedache des Supraleiters ; an der Flache des Normalleiters greift, wie gesagt, keine Kraft an.

Die bekannte partielle Integration verwandelt nun das h u m - integral in ein anderes, wobei das Oberflachenintegral mitentsteht :

= - J ( ~ n , a r : + gnnarn)do, 1 + 2

in welchem die den Spannungen entsprechende Oberflachenkraft Vn mit der tangentiellen Komponente pnr und der Normalkomponente pn, auftritt. Unter Beriicksichtigung der Grenzbedingnngen (2) und (3) findet man so:

1) Fiir die Grenze des Normalleiters gegen leeren b u m flillt es fort.

M. v. Laue. Zur Thennodynamik der Suprdedtung 77

Die Gleichgewichtsbedingng (1) verlangt nun, da die Verriickungen 6r iiberall jeder Richtung fahig sind, die d & also jedes Vorzeichen haben kannen, das Verschwinden der mit einer Komponente von 6r multiplizierten Ansdriicke. Das ergibt die bekannten Grund- gleichungen und Qrenzbedingnngen der Elastizitiltslehre l). Fiir die Phasenumwandlnng wichtig ist nur das Flachenintegral mit 6 N , . Wo der Supraleiter an Normalleiter stiiSt, ist dN, ebenfalls beider Vorzeichen fiihig, so daS (2) verlangt:

Wo aber der Supraleiter an leeren Raum stiiSt, ist SN, notwendig positiv, da ein negativer Wert Wachstum a d Kosten der anderen Phase bedeutet.

Setzen wir nun noch gems der Maxwellschen Theorie den Druck Sn a d den Supraleiter

(10) (us- Ts, ) - (u, - T s , ) = uR,,.

Folglich verlangt die Ungleichnng (1) hier : (11) ( u ~ - Ts,)-(u,- T S J Z V R ~ .

so haben wir in (10) die bekannte Gleichgewichtsbedingnng. Wir wiederholen nicht. alle Schliisse, welche Q o r t e r und Casimir

oder London aus ihr gezogen haben, weisen aber darauf hin, daS sie die vom Verf. fiiiher einmal geLu6erte Vermutung widerlegt, der magnetische Schwellenwert kiinne von der kristallographischen Richtung abhhgen, in welcher die tangentielle Feldstiirke liegt ; a.nf der linken Seita von (10) stehen nilmlioh Skalare? Dies steht im Einklang zu Messnngen von d e H a a s und Mitarbeitern9). Hin- gegen bestiitigt diese thermodynamische Betrachtung, daS Verletzung jener Bedingung an auch nur einer Stelle der OberfXache dnrch ein zu groSes H den Supraleiter instabil macht, wie ich das ffiher aus den Versuchen an Drahten im transversalen Felde geschlossen hatte 3, und wie es inzwischen zahlreiche weitere Versuche dargetan haben 9.

Die Werte 8 , u , v beziehen sich hier anf den durch die Ver- riicknngen gegebenen Zustand und sind somit Funktionen der pi , .

1) Wegen dervorseichen bedenke man, d d p:; und 4:; eich auf die gleiche Richtnng t, aber auf entgegengeaetzte Richtungen A besiehen, und daI3 eie ihr Vorseichen mit der Umkehrung jeder Richtung wecheeln; hingegen bedeutete bei p . . Umkehrung der n-Richtung Erhaltung dee Voneichene.

2) M. v. L a u e , Phye. Ztechr. 33. 8. 793. 1932. 3) W. J. d e H a a e , J .Voogd u. J.M. J o n k e r , Phyeica 1. 8.281. 1934;

Comm. Leiden 229c. 1935. 4) Vgl. die vorhergehende Anmerkung, aowie W. J. d e Haas u. J. M.

C a s i m i r - J o n k e r , Physical. 6.291. 1934; Comm.Leiden229d; J.W. d e H a a e , 0. k a u i n a u u. J.M.Caeimir-Jonker,Comm. LeidenSupplement82d.1936.


Diese wiederum stehen wegen der aus (9) folgenden Gleichgewichts- bedingung

und nach (12) mit H in Zusammenhang. Jedoch sind die Krafte ' la H 2 vie1 zu gering, um bei Korpern von der Starrheit der Metalle Energie und Entropie wesentlich zu beeinflussen 1). Darum setzen wir u, s, v als von H unabhiingig voraus. Hingegen sind sie abhangig von einem etwaigen gemeinsamen erheblicheren Druck p, der etwa auf dem ganzen System lastet und der nach (10) das Gleichgewicht verschiebta). In diesem Falle fuhrt man zweckmL6ig in (10) die thermodynamischen Potentiale

~1 ~ 1 - Ts, + P V , Va = ug - Tsa + p v ein und erhalt unter Rucksicht auf (12):

Durch Differentiation nach T bei konstantem p folgt daraus:

Multiplikation .mit T und Einfuhrung der Wiirmetiinung q des Q)ber- gangs Supraleiter --t Normalleiter macht daraus:

Q = - 5 ' T H [ - + V - (;?)A . Hier diirfte das zweite Glied rechts uberwiegen; da es negativ ist, wird, in fjbereinstimmung mit der Erfahrung, q positiv. Fiir H = 0 jedoch wird q = 0, weil erfahrnngsgemaS aH/aT fur diesen Fall endlich bleibt. Da gleichzeitig die Volumenbderung verschwindet, so liegt hier ohne jeden Zweifel ein Gleichgewicht dritter Art3) vor. 1st H nicht Null, so haben wir den ungewfihnlichen Fall, daS die Warmetonung nicht Null ist, wohl aber die Volumenbderung. Man darf aber daraus nicht mittels der Claus ius - Clapeyron schen Gleichung auf unendlich gro6en Wert von d p l d T schlieben. Denn diese folgte aus der Gleichgewichtsbedingung ya - y, = 0, melche nach (13) nicht gilt; freilich ist (13) wegen der darin steckenden Vernachlissigung nicht geeignet, einen Ersatz dafur ,zu liefern.

1) In einem Felde von 1000 Gauss ist ZP gleich 108/8n dyn/cm*, also rund 'Is6 Ah.

2) Beobachtungen dariiber bei G. J. Sizoo, Diss. Leiden 1926, ferner bei G. J. Siroo u. H. Kamerlingh-Onnee, Leiden Comm. 180b und c. 1926.

3) E. Justi u. M. v. Laue, Bed. Gibber. 1934. 6.237; Phye. Ztschr. 35. S. 945. 1934.

M . v . Laue. ZUT Thermodynamik der Supraleitung 79

nberhaupt geniigt es hier nicht, den Zustand durch p und T zu kennzeichnen.

Will man die thermodynamische Gleichgewichtsbedingng in der Form (la) benutzen, so fallen alle von den Kriiften P und 9 her- riihrenden Summanden in der bisherigen Rechnung fort. Dafiir ist in (la)

durn=- 2 JQVN,da - 1

einzusetzen. Man iiberzeugt sich leicht, dal3 dies wie die obige Rechnung [vgl. G1. (9)] auf die Forderung

und weiter auf (10) und (11) fiihrt.

8 3. Supralefter nit OberfllCohenkrummung

Die Betrachtungen von Q 2 versagen, wenn die Grenzflache und damit auch die Grenzschicht stark gekrilmmt sind. Dann md3 man iiber die Verhiiltnisse in ihr Bescheid wissen; die einzige Theorie dafiir ist die von London. Nach ihr bestehen im stationaren Fall zwei die magnetische Feldstarke 8 und die elektrische Stromdichte i verkniipfende, gleichwertige Gleichungssysteme:

Ai - p i = 0, div i = 0,

rot i = - -@. 1 C A

I jrsb) i

A @ - pa@ = 0,

div Sj I 0, i rot $j = - c '

a p v = 1 ,

I (16 a)

Die Konstanten f3 und 3, stehen dabei in der Beziehung:

in der c die Lichtgeschwindigkeit bedentet. London sch(ifzt 3, auf 10-82 seca, d. h. ,!l auf lo6 bis 106 cm-I; eine Messung liegt bisher nicht vor. Ein statisches elektrisches Feld dringt in den Supraleiter nicht ein.

Wie bei Maxwell leiten sich hier die ponderomotorischen Wiifte aus einem Spannungstensor P,,') ab; bezeichnen wir mit % einen beliebigen Vektor nnd definieren au8 ihm den Tensor T[%)

(17)

1 (1 8) Tik(%) p 8 2 ~ i k - Niak, so ist (19) p i k = - Tgk(i) '

1) 5 6 bei F. London.


D. h. der Londonsche Tensor setzt sich additiv zusammen aus dem Maxwellschen fur das Magnetfeld und einem ebenso aus der Strom- dichte gebildeten. Aber das negative Zeichen in (19) besagt, daB kings einer Stromlinie Druck und senkrecht dazu Zug herrschen, beide vom Betrag il is, wahrend langs einer Kraftlinie bekanntlich Zug, senkrecht dazu Druck vom Betrage l/, Hz herrscht.

Der Tensor PIk ist im stationken Felde grnndsiltzlich divergenz- frei; ea gibt keine Volumenkraft PI). An der Oberflilche aber hat Tik (@) keine Flilchendivergenz wegen der grundsiitzlichen Stetigkeit der Feldstbke 8. Folglich ist die Flachenkraft L durch die Di- vergenz von Tik(i) bestimmt; wo, wie in den hier zu betrachtenden Beispielen, i zur Flache tangentiell verliluft, ergibt sich ein nach innen gerichteter Zug 'la ilia, so daS

ist. Auf die tangentialen Komponenten der Flichenkraft, hervor- gerufen durch den Drnck rang8 der Stromlinie und den Zug in der dazu senkrechten Tangentialrichtung, kommt es fur das thermodynamische Problem nicht an; sie sind aber mitentscheidend, will man etwa das Drehmoment berechnen, welches ein Ring mit Dauer- strom im auSeren Magnetfelde erfiihrta). Da nun an einer ebenen OberfIache, wenn der Snpraleiter den Halbraum 5 > 0 erfullt, die einfachste einem homogenen Magnetfeld Ha im AuSenraum entsprechende Losung von (16a) oder (16b)

QZ = Hae-@=; i, = cpHae-Bz

lautet, so ist [vgl. auch (17)]

wie wir es in (12) ansetzten. Dies gilt streng nur, falls Ha langs der Obemache konstant ist; veranderte es sich auf Strecken der GroSenordnung /?-l, so erhielte $tn einen anderen Wert.

Aber fur einen Kreiszylinder vom Radius R im longitndinalen Yagnetfelde H lautet die Losung der G1. (16a), sofern wir die

1) Die Oleichung P = 0 gilt nach (34) bei F. L o n d o n auch im zeitlich verhderlichen Felde.

2) Ob man dieeee Drehmoment mittele der Oberfllchenkr&fte oder mittele

der Lorentsschen Kraft - [i, 8: berechnet, macht im Ergebnie keinen Unter-

echied, weil beide Krafteyateme mit dem Tenaor T,, (i) eueammenblingen; daa eine mit deaaen Fliichendivergenz, dae andere mit der riiumlichen Divergeus. Fiir einen aterren Kiirper eind beide Krafteyeteme iiberhaupt gleichwertig.

1 C

M. v. Laue. Zur Themdynamilc der Suprdeitung 81

Zylinderachse zur 2-Achse machen, mit r den Abstand von ihr und mit 6 den zugehorigen Azimutwinkel bezeichnen:

Folglich ist nach (20):

Dies haben wir in (10) einzusetzen, um den Schwellenwert Ha zu ermitteln. Nennen wir den friiher berechneten, fiir dicke Zylinder giiltigen Schwellenwert Hk, so liiSt sich das Ergebnis schreiben:

(23)

Zum quantitativen Vergleich mit den Meeaungen von Pon t ius (a. a. 0.) setzen wir

i J d ( i x ) d Jo (i 4 Jo(ix) d x = = - J , (i z) - i JI (i X )

und d 1

J,(i z) = ~ (1 + ...) ; V/2nz so wird

Nach dieser Formel und mit den Werten Hk = 537 Gauss, @ = 4,78 104 cm-1 ist in der Abbildung die Kurve berechnet, wiihrend die Kreuze die Messungen angeben. Die fjbereinstimmung scheint durchaus befriedigend; bestiitigt sie sich, so liegt hier die erste Messung von /I vor. Nach (17) wird

A = 4,a. 10-8' seca. Aber dieser Schwellenwert gilt n u fiir ein Iongitudinales Feld.

Erregen wir ein zirkulares Feld, indem wir durch den Draht einen Strom schicken, so gilt im Innern, wie man an (16b) leicht bestatigt:

Der Quotient der beiden Besselfunktionen tritt in der Gleichung fiir die Stromdichte jetzt reziprok auf, wie in (21). Folglich gilt statt (24):

1) J, ( i x ) und J1 ( i x ) aind die ereten heiden Beeeelechen Funktionen mit imaginiirem Argument. Stete gilt: 0 < - i J1 ( i x ) < Jo ( i x ) . (Jahnke- Emde, Funktionentafeln,'Leipzig u. Berlin 1909, Abb. 47.) Fiir die im Text benutzte Reihenentwicklung vgl. daeelbet S. 100.

AnMlen der PhysiL. 5. Bolge. S2. 6

a2 Annalen der Physik. 5. Folge. B a d 32. 1938

Die fiir Supraleitung gerade noch ertragliche Stromstlirke ist somit bei dunnen Drahten kleiner, ah Si l sbees Hypothese entspricht.

Das Qegensttick zur Beobachtung von P o n t i u s mu4 sich bei einem Supraleiter finden, der eine zylindrische Bohrung vom Radius R enthdt. Fuhrt durch diese, was durchaus moglich ist,

H I

I I I 1 I I - 5 4 I5 29 25 38

Abb. 1. Abhtingigkeit des magnetischen Schwellenwertes H (in Gauee) vom Drahtradiue R (in p) an Blei bei 4,2O K.

Theoretieche Kurve nach (24) und von P o n t i u s beobachtete Punkte

eine Kraftlinie, so gilt fur die anschlieflenden Teile des Supra- leiters nach (16a):

mit den wie e-2 abklingenden Hankelschen Funktionen Ht) und Hf), so daB nach (20):

wird. Der Faktor von 1/8Ha2 ist hier griiber als 1, der Schwellenwert liegt daher unter der durch (10) gegebenen Grenze Hk; mit ab- nehmendem R muB er, so weit diese Theorie reicht, zu Null ab- nehmenl). Als Analogie zu (24) gilt fur den Schwellenwert:

(-.%)2= 1 + - 1 + . . . Gliedern -. 1 BR (B R)*

Hat man also einen supraleitenden Zylinder mit einer achsenparallelen Bohrung durch Steigerung eines longitudinalen Feldes normalleitend gemacht, und senkt man nun wieder die Feldstarke, so ist die

1) Nach J a hn k e - Em d e , Funktionentafeln, Leipzig u. Berlin 1909, Abb. 36 ist

- i Y p (i 2) > i Hp (i 2) > 0 . In der Niihe von x = 0 aber gilt nach S. 95 u. 96 daselbst:

M. u. Law. Zur Thermodynamik der Supraleitung 83

Wandung dieser Bohrnng auch noch unterhalb Hk gegen die Riick- verwandlung stabil.

In diesen Beispielen lieS sich daa au6ere Feld aus Symmetrie- griinden fiir sich allein bestimmen, so da6 wir das Feld im Supra- leiter nur nachtraglich ihm anznpassen hatten. Im allgemeinen muS man inneres und iiuhres Feld gleichzeitig ermitteln, was die Rechnnng etwas weniger leicht gestaltet.

Q 4. Dunne Supraleiter

Das letzte Beispiel von 8 3 zeigt, daS die Kriimmung der Ober- flache allein, auch bei einem beliebig dicken Korper, den magnetischen Schwellenwert nach der Londonschen Theorie beeinflu&. Es gibt aber auch einen EinfluS der Dicke de in . Denken wir eine Platte von der Dicke 2d in einem homogenen, tangential ver- laufenden, auf beiden Seiten gleichstarken Felde, 80 stellen, falls wir den Grenzflichen die Gleichungen x = f d geben nnd der Feld- richtung die z-Achse zuordnen, die folgenden Gleichungen den Zu- stand dar:

Der Oberflachendruck wird nach (20): 1 (31) B,, = ~ S g a ( @ ~ H a a .

Der Faktor von ’lo HaS ist immer kleiner als 1, daher der Schwellen- wert von Ha gro6er als der fur dicke Platten geltende, nach (10) zu berechnende Schwellenwert Hk . Als genkherte Darstellung der Abweichung kann man schreiben:

Das Korrektionsglied ist hier wesentlich kleiner, als in (24), (26) oder (29), gleiche Werte von d und R vorausgesetzt.

95. -tfber den Ablmf der Urnwandlung

Man hort manchmal iiber den Ablauf der Umwandlung eines Drahtes im anwachsenden transversalen Felde die Ansicht, es bilde sich, sobald die Bedingung (11) an einer Stelle verletzt ist, inner- halb einer normalleitenden Hulle ein supraleitender Kern von ovalem Querschnitt mit der langeren Achse parallel zu den Kraftlinien, wie sie in gro6em Abstande verlaufen. Als Begrandung gibt man an, damit sanke bei in gro6em ilbstande konstant erhdtener Fe lds t ike die Grenzfeldstkke bis auf das nach (11) ertragliche MaB. Unsere

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Betrachtung widerspricht dem ; denn wie man auch die Grenzflache legt, notwendig gibt es an ihr Stellen, an denen sich der magnetische Kraftfld teilt und wieder zusammenschlie6t; dort .aber ist H = 0, in Widerspruch zu (10)l). Eher konnte man die Grenze der supraleitenden Phase, soweit H an ihr zu klein ist, als Begrenzung gegen den leeren Raum denken, wilhrend sie da, wo H den Grenz- wert erreicht, ins Iunere des Korpers abbiegt. Aber dies bediirfte wohl der niiheren Untersuchung.

Im longitudinalen Felde fiihrt der ffbergang sicher nicht iiber Gleichgewichtszustande, sondern verliiuft, hat er einmal eingesetzt, tumultuarisch bis zu Ende. Fiihrte er namlich dicht an Gleich- gewichten voriiber, so muJ3te ein dicker Zylinder, sobald die Feld- stiirke den kritischen Wert etwas uberschreitet, zwar mit der Um- wandlung beginnen, aber nach den Messungen von Pon t ius einen zylindrischen supraleitenden Kern von einigen p Dicke iibrig- lassen; d d dieser Kern konnte, soweit Londons Theorie gilt, nie ganz verschwinden, weil nach (23) der Schwellenwert mit abnehmen- dem Radius fiber alle Grenzen wachst3. So lange er aber noch da wiire, hiitte das Game keinen elektrischen Widerstand. Und so ist es in Wirklichkeit nicht.

1) Nach der Londonechen Theorie, der zufolge einige Kraftlinien in den Supraleiter auf geringe Tiefe eindringen, wiire Ii dort nicht genau, aber eehr angenghert gleich Null. Der Text eetzt geringe Krummung voraue, so dafl man mit den Vorstellungen der Maxwellechen Theorie auekommt.

2) Denn J, (0) = 0, J, (0) = 1.

Be r l i n - D a hl em, Kaiser Wilhelm-Institut fur Ph ysik.

(Eingegangen 21. Januar 1938)

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Zur Thermodynamik der Supraleitung