Kapitel 8 Supraleitung - Goethe-Universitätgros/Vorlesungen/FKT/FKT_8.pdf · 8.3 Cooper-Paare Die London’sche Theorie beschreibt die Supraleitung ph¨anomenologisch. Sie liefert

Kapitel 8

Supraleitung

8.1 Einleitung

8.1.1 Historische Enwicklung

1911 H. Kamerling Onnes: Entdeckung der Supraleitung in Quecksilber, TC = 4.2 K.Nobelpreis 1913.

1938 Pyotr Kapitsa: Entdeckung der Suprafluiditat in 4He, TC = 2 K. Nobelpreis 1978.

1950 Vitaly L. Ginzburg und Lev Landau: Phanomenologische Theorie der Supraleitung.Nobelpreise 1962 fur Lev Landau und 2003 fur V. Ginzburg.

1957 Alexei A. Abrikosov: Vorhersage von magnetischen Flussschlauchen in Supraleiter.Nobelpreis 2003.

1957 John Bardeen, Leon Cooper und Robert Schrieffer: Mikroskopische Theorie derSupraleitung. Nobelpreis 1972.

1962 Brian Josephson: Vorhersage des ‘Josephson Effektes’. Nobelpreis 1973.

1972 D. Lee, D. Osheroff und R. Richardson: Entdeckung der Suprafluiditat in 3He,TC = 2.7 mK. Nobelpreis 1996.

1972 Anthony J. Leggett: Theorie fur die Suprafluiditat in 3He. Nobelpreis 2003.

1986 G. Bednorz und A. Muller, Entdeckung der Hoch-Tc Supraleitung. Nobelpreis 1987.

8.1.2 Makroskopische Elektrodynamik

Die Supraleitung ist ein Phanomen, welche die elekrodynamischen Eigenschaften einesFestkorpers dramatisch beeinflusst. Wir wiederholen daher kurz die allgemeine Formu-lierung der Elektrodynamik von Feldern in Festkorpern und verwenden dabei Gauss-Einheiten.

153

154 KAPITEL 8. SUPRALEITUNG

��

��

��

��

1910 1930 1950 1970 1990 2010 2030

0

20

40

60

80

100

120

140

277

K

Year

Room temperature

O Hg

Liquid

Liquid

nitrogen

O PbO NbC

O Nb3Sn

O Nb3Ga

O YBaCuO

O BiCaSrCuO

O LaSrCuOO LaBaCuO

O HgCaBaCuO

O NbO NbN

O TlCaBaCuO

??

hydrogen

Abbildung 8.1: Historische Entwicklung der Sprung-Temperatur von Supraleiter.

Makroskopische Maxwellgleichungen

Man teilt die Ladungstrager in einem Festkorper in freie (Index f) und gebundene Anteileauf und erhalt auf diese Weise die makroskopischen Maxwellgleichungen.

• Homogene Gleichungen

∇ · B = 0; ∇×E +1

c

∂B

∂t= 0

• Inhomogene Gleichungen

∇ · D = 4πρf ; ∇×H − 1

c

∂D

∂t=

4π

cjf

• Verknupfungen

D = E + 4πP; H = B − 4πM .

Dabei sind die E und B diejenigen (mikroskopischen) Felder, welche physikalisch via derLorentz-Kraft

K = q(

E +1

cv ×B

)

auf ein Teilchen mit der Ladung q wirkt.

8.1. EINLEITUNG 155

C (J/mol°K)

TTc

CS

C ∼ γTn

C

S

Superconductor

Abbildung 8.2: Links: Spezifische Warme im supraleitenden (CS) und im normal-leitenden(Cn) Zustand. Unterhalb der Sprungtemperatur zeigt Cs ein aktiviertes Verhalten, da esin einem s-Wellen-Supraleiter eine Energielucke gibt.Rechts: Ein geschlossener Pfad C innerhalb eines Supraleiters und die gerichtete Ober-flache S.

Materialgleichungen

Fur die elektrischen Grossen bezeichnet man

• D = ǫE: dielektrische Verschiebung

• P = χeE: dielektrische Polarization

• ǫ = 1 + 4πχe: Dielektrizitats-Konstante

• χe: dielektrische Suszeptibilitat

und analog fur die magnetischen Grossen

• H: makroskopisches Magnetfeld, B = µH

• M = χmH: Magnetisierung

• µ = 1 + 4πχm: magnetische Permeabilitat

• χm: magnetische Suszeptibilitat

Die Abhangigkeit von ǫ und χ, bzw. von χe und χm (welche wir als raumlich isotrop ange-nommen haben) von den Eigenschaften des Festkorpers nennt man Materialgleichungen.


Zero-Field Cooled Field Cooled

B = 0

B = 0

B = 0

B ≠ 0

B ≠ 0

B ≠ 0

T < Tc

T < TcT < Tc

T < Tc

T > Tc T > Tc

Ideal Conductor

Abbildung 8.3: Fur einen idealen Leiter macht es (im Gegensatz zu einem Supraleiter!)einen Unterschied, ob dieser im Feld oder ohne ein ausseres magnetisches Feld gekuhltwird.

8.1.3 Phasenubergang

Ein eindeutiger Hinweis auf einen Phasenubergang ist dem Verhalten der spezifischenWarme zu entnehmen, siehe Fig. 8.2. Der Sprung deutet auf ein Fehlen einer latentenWarme hin, also auf einen Phasenubergang zweiter Ordnung. Zudem zeigt die spezifischeWarme Cs fur T < Tc ein aktiviertes Verhalten

Cs ∼ e−β∆ . (8.1)

Dieses deutet auf eine Energielucke ∆ fur thermische Anregungen im supraleitenden Zu-stand hin.

8.1.4 Meissner-Effekt

Ein Supraleiter verdrangt ein ausseres Magnetfeld vollstandig aus dem Supraleiter, wieWalter Meissner und Robert Ochsenfeld 1933 herausfanden. Im Inneren eines Supraleitersist also B = 0. Dieses Phanomen existiert nicht in einem idealen Leiter mit verschwin-dendem elektrischen Widerstand (ρ = 0). Fur diesen gilt nur B = 0, da das Integral

0 = IR = V =∮

E · dλ =∫

S

(

~∇× E)

· dS = −1

c

∫

S

∂B

∂t· dS , (8.2)

8.1. EINLEITUNG 157

∼∼ ∼∼

0T

χ

Tc

χ ∝ D(E )Pauli F

4π-1

H

M

js

Abbildung 8.4: Links: Sketch der magnetischen Suszeptibilitat eines Supraleiters, der diag-magentische Response ist um Grossenordnungen starker als die paramagentische Pauli-Suszeptibilitat des Normalleiters.Rechts: In einem Supraleiter werden spontan Oberflachenstrome induziert, welche denmagnetischen Fluss aus dem Inneren des Supraleiters verdrangen.

uber jeden geschlossenen Pfad verschwindet. Dabei sind C und S beliebig, also

0 = −1

cB · S ⇒ B = 0 . (8.3)

Fur einen idealen Leiter ist der Widerstand ρ > 0 bei endlichen Temperaturen und dasMagnetfeld dringt ein. Wenn man den idealen Leiter nun in Anwesenheit eines Magnet-feldes abkuhlt, dann wird wegen B = 0 das Magnetfeld auch nicht aktiv verdrangt, imGegensatz zum Supraleiter.

Idealer Diamagnetismus

Ein Supraleiter ist ein idealer, thermodynamisch stabiler Diamagnet:

B = µH = 0 ⇒ µ = 0, χm =µ− 1

4π, (8.4)

und damit

χSC = − 1

4π.

Die gemessene Suszeptibilitat χ, siehe Fig. 8.4 ist im supraleitenden Zustand also sehrgross und negativ (diamagnetisch).Physikalisch ruhrt der ideale Diamagnetismus von den induzierten Oberflachenstromenher, welche eine Magnetisierug

M = − 1

4πHext (8.5)

im Inneren des Supraleiters aufrecht erhalten. Hierzu wird eine Energie benotigt, wel-che mit steigendem Hext ansteigt. Ab einem bestimmten Punkt wird der supraleitendeZustand dann energetisch ungunstig. Es existiert daher ein oberes kritisches Feld Hc.


Normal

S.C.

Tc

Hc

T

H

d l

ΛL

S r0 j0

j = j e0

0(r - r )/ΛL

H⊗•

H

Abbildung 8.5: Links: Die Supraleitung wird durch ein starkes ausseres Magnetfeld oderdurch genugend starke thermische Fluktuationen unterdruckt.Rechts: Ein langer, dicker, supraleitenden Draht. Ein ausseres Feld H dringt nur dieDistanz ΛL ein.

8.2 London-Gleichungen

F. London und H. London haben 1935 eine phanomenologische Theorie entwickelt, wel-che den Meissner-Effekt erklart. Sie machten die Annahme, dass es eine Dichte ns vonsupraleitenden Elektronen gibt, welche sich ohne Reibung im Metall bewegen konnen:

mv = −eE, ∂j

∂t= −ensv . (8.6)

Damit erhalten wir die erste London-Gleichung

∂js∂t

=e2ns

mE .

Wir verwenden nun die Maxwell-Gleichung

~∇×E = −1

c

∂B

∂t

und erhalten

m

nse2~∇× ∂js

∂t+

1

c

∂B

∂t= 0 =

∂

∂t

(

m

nse2~∇× js +

1

cB

)

(8.7)

Diese Gleichung beschreibt einen idealen Leiter mit verschwindenem Widerstand ρ = 0).Um den Meissner-Effekt zu erhalten muss die Klammer identisch verschwinden:

~∇× js = −nse2

mcB , λ =

m

nse2. (8.8)

8.2. LONDON-GLEICHUNGEN 159

B

SC

x

y zj

0 1 2 3z/λL

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Bx(z)

Abbildung 8.6: Eine supraleitende Halbebene in einem magnetischen Feld parallel zurOberflache. Das aussere Feld dringt bis zu einer Tiefe von λL ein.

Dies ist die zweite London-Gleichung. Die Bedeutung des Parameters λ2 werden wir nunbetrachten.

Feldgleichungen

Wir wollen nun die physikalische Bedeutung der Grosse λ = m/nse2 herausarbeiten. Beide

London-Gleichungen lassen sich durch λ parametrisieren:

B

c= −λ ~∇× js, E = λ

∂js∂t

. (8.9)

Diese konnen wir mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen

~∇× H =4π

cj, ~∇× B =

4π

cµ j

gleichzeitig losen:

~∇× (~∇× B) =4π

cµ~∇× j = −4πµ

c2λB , (8.10)

bzw.~∇× (~∇× j) = − 1

λc~∇× B = −4πµ

c2λj . (8.11)

Mit ~∇× (~∇× a) = ~∇(~∇ · a) − ~∇2a und

~∇ · B = 0, ~∇ · j =1

c

∂ρ

∂t= 0

(Maxwell und Kontinuitatsgleichung) erhalten wir allgemein

~∇2B − 4πµ

c2λB = 0 ~∇2j− 4πµ

c2λj = 0 . (8.12)

Diese beiden Feldgleichungen zeigen uns, dass√λ proportional zu einer charakterischen

Langenskala ist.


London’sche Eindringtiefe

Wir betrachten nun eine supraleitende Halbebene, wie in Fig. 8.6 illustriert, mit B =(Bx(z), 0, 0). Wegen ~∇× B = 4π

cµj sind B und j orthogonal, also j = (0, jy(z), 0).

Die London-Gleichungen (8.12) werden damit zu

∂2Bx

∂z2− 1

λ2L

Bx = 0,∂2jy

∂z2− 2

λ2L

jy = 0 , (8.13)

wobei wir mit

λL =

√

c2λ

4πµ=

√

mc2

4πnse2µ

die London’sche Eindringtiefe definiert haben. Die Losungen fallen im Inneren exponentiellab,

Bx = B0x e

−z/λL, jy = j0y e−z/λL , (8.14)

daher die Bezeichung Eindringtiefe.

Kritisches Feld

Wir betrachten nun einen langen, dicken Draht mit Radius r0 ≫ ΛL, wie in der Abb. 8.5illustriert. Mit Hilfe der Maxwell-Gleichung

~∇× H =4π

cj (8.15)

finden wir fur das Kontour-Integral∫

H · dl =∫

~∇× H · dS =4π

c

∫

j · dS . (8.16)

Wir beachten, dass das Magnetfeld nur bis zu einer Tiefe von λL eindringt. Innerhalbdieser Eindringtiefe sei der mittlere Strom jo:

2πr0H =4π

c2πr0λLj0 . (8.17)

Der supraleitende Zustand kann keine beliebig hohen Strome unterstutzen, es gibt alsoeine maximale Stromdichte jc und damit ein kritisches Feld Hc:

Hc =4π

cλL jc . (8.18)

8.3 Cooper-Paare

Die London’sche Theorie beschreibt die Supraleitung phanomenologisch. Sie liefert kei-ne Erklarung fur die mikroskopische Ursache der Supraleitung. Um diese zu verstehenbetrachten wir zunachst Wechselwirkung zweier Elektronen im Hintergrund eines Fermi-Sees, das sogn. Cooper Problem.

8.3. COOPER-PAARE 161

v ∼ 10 cm/sF

8

+

+ + ++

+ +

+

+

+

+region of positive charge attracts a second electron

ions

+ +

+

+

e-e-

Abbildung 8.7: Illustration: Die negativ geladenen Elektronen an der Fermi-Kante bewegensich mit der (hohen) Geschwindigkeit vF durch das Kristall. Die positiv geladenen Ionenbewegen sich langsam zum vorbeifliegenden Elektron hin und bilden eine leicht erhohteLadungsdichte, welche weitere Elektronen anzieht.

8.3.1 Retardiertes Paarungs-Potential

Im supraleitenden Zustand gibt es eine attraktive Wechselwirkung zwischen Elektronenauf der Fermi-Flache, welche zur Bildung von Cooper-Paaren fuhrt. In den normalenSupraleitern wird die attraktive Elektron-Elektron-Wechselwirkung durch den Austauschvon Phononen erreicht.Die Deformation des Gitters von Ionen erfolgt auf einer Zeitskala von

τ ∼ 2π

ωD∼ 10−13 s

In dieser Zeitspanne hat ein Leitungselektron den Weg

vF τ ∼ 108 cm

s· 10−13s ∼ 1000A◦

zuruckgelegt. Ein zweites Elektron kann also retardiert die Anziehung des ersten Elek-trons spuren, ohne dass dabei die abstossende Coulomb-Wechselwirkung zwischen denElektronen eine Rolle spielt, siehe Fig. 8.7.

8.3.2 Cooper-Instabilitat des Fermi-Sees

Wir betrachten nun zwei Elektronen ausserhalb des Fermi-Flache in Anwesenheit einesattraktiven Potentials V (r1, r2). Die Schrodinger-Gleichung ist

− h2

2m

(

~∇21 + ~∇2

2

)

ψ(r1r2) + V (r1, r2)ψ(r1r2) = (ǫ + 2EF )ψ(r1r2) . (8.19)

Fur ein verschwindendes Potential V = 0 ist die Bindungsenergie ǫ = 0 und die (nichtsymmetrisierte) 2-Teilchen Wellenfunkion ist

ψV =0(r1r2) =1

L3/2eik1·r1

1

L3/2e−ik2·r2 =

1

L3eik·(r1−r2) , (8.20)


e

e

ξ ∼ 1000Α°

k↑

- k↓

Abbildung 8.8: Die attraktive, Phononen-induzierte Wechselwirkung ist im Ortsraum imwesentlichen isotrop und Spin-unabhangig. Dieses fuhrt zu einer Paarwellenfunktion, wel-che als Funktion der Relativ-Koordinate gerade, und im Spin-Sektor ein Singlet ist. Aqui-valent hierzu ist eine Paarung von (k, ↑) und (−k, ↓) im Impulsraum.

wobei wir k1 = −k2 = k angenommen haben. Wir nehmen nun an, dass die Paar-Wellenfunktion ψ(r1, r2) fur eine kleine Storung V als Linearkombination der Basisfunk-tionen (8.20) dargestellt werden kann:

ψ(r1, r2) =1

L3

∑

k

g(k) eik·(r1−r2) . (8.21)

Die k-Summe in (8.21) ist auf einen kleinen Bereich uber der Fermi-Schale beschrankt,mit

EF <h2k2

2m< EF + hωD

(8.22)

oder

g(k) = 0 fur

{

k < kF

k >√

2m(EF + hωD)/h(8.23)

da die Debye-Frequenz ωD viel kleiner als die typische Fermi-Energie ist.

Selbstkonsistenz-Gleichung

Eine Fourier-Transformation der Schrodinger-Gleichung ergibt zusammen mit dem Ansatz(8.21)

2h2k2

2mg(k) +

1

L3

∑

k′

Vk,k′ g(k′) =(

ǫ + 2EF

)

g(k) , (8.24)

wobeiVk−k′ =

∫

V (r) e−i(k −k′)·r d3r

nun die Streuung von Paaren von Elektronen von (k,−k) nach (k′,−k′) beschreibt. Wirnahern Vk−k′ durch eine attraktive Konstante:

Vk,k′ =

{

−V0 EF < h2k2

2m, h2k′

2

2m< EF + hωD

0 sonst.(8.25)

8.3. COOPER-PAARE 163

Damit wird (8.24) zu

(

− h2k2

m+ ǫ + 2EF

)

g(k) = −V0

L3

∑

k′

g(k′) ≡ −A , (8.26)

bzw.

g(k) =−A

− h2k2

m+ ǫ + 2EF

. (8.27)

Wir setzen g(k) nun wieder in (8.26) ein und erhalten mit

V0

L3

∑

k

Ah2k2

m− ǫ − 2EF

= +A, 1 =V0

L3

∑

k

1h2k2

m− ǫ − 2EF

(8.28)

eine Bestimmungsgleichung fur die Bindungsenergie ǫ.

Bindungs-Energie

Wir konnen die Bestimmungsgleichung (8.28) mit Hilfe der Zustandsdichte N(ω) ≈N(EF ) pro Spin in ein Integral umwandeln:

1 = V0

∫ EF +hωD

EF

N(EF )dE

2E − ǫ − 2EF=

1

2V0N(EF ) ln

(

ǫ − 2hωD

ǫ

)

, (8.29)

mit der Losung

ǫ =2hωD

1 − e2/(V0N(EF ))≃ −2hωD e

−2/(V0N(EF )) < 0 , (8.30)

fur V0/EF → 0. Wir erhalten also einen exponentiell-kleinen Energiegewinn fur alle V0 > 0,welcher nicht-analytisch in V0 ist. Das Resultat (8.30) lasst sich daher nicht in Storungs-theorie herleiten.

Instabilitat des Fermi-Sees

Aus der Theorie der Potentialstreung wissen wir, dass zwei Teilchen mit einer attraktivenWechselwirkung in drei Dimensionen nur dann einen gebungenen Zustand bilden (ǫ < 0),wenn das Bindungspotential stark genug ist. Fur kleine Attraktive Wechselwirkung gibtes dagegen nur Streuzustande.

Das Resultat von Cooper lehrt uns, dass in Anwesenheit eines Fermi-Sees zwei Elektronenschon bei einer infinitesimal kleinen attraktiven Wechselwirkung binden. Dabei ist derFermi-See passiv. Sein Einfluss ist rein passiv, er beschrankt aufgrund des Pauli-Prinzipdie erlaubten Streuzustande, d.h. das Phasenraumvolumen.


8.4 BCS-Theorie

Das Cooper-Problem behandelt das Problem von zwei zusatzlichen Elektronen in derNahe der Fermi-Kante. Da aber Elektronen ununterscheidbare Teilchen sind, mussen wirnun eine echte Vielteilchen-Wellenfunktion aufschreiben, fur alle Leitungselektronen, wel-che die Supraleitung beschreibt. Dazu schreiben wir den Hamilton-Operator nochmals inzweiter Quantisierung auf:

H =∑

kσ

ξk c†k,σck,σ +

1

L3

∑

kk′q

∑

σσ′

Vq c†k+q,σc

†k′−q,σ′ck′,σ′ckσ , (8.31)

mit dem Potential (8.25) und ξk = ǫk − EF . Das Volumen des Kristalls wurde dabei mitL3 bezeichnet.

BCS-Hamiltonian

Die Supraleitung wird durch die Terme ∼ (−V0) mit k′ = −k und σ′ = −σ im Potential-Term von (8.31) vermittelt,

HBCS =∑

kσ

ξk c†k,σck,σ − V0

L3

∑

kp

∑

σ

c†p,σc†−k′,−σ c−k′,−σckσ .

Dieser Hamilton-Operator wird auch BCS-Hamiltonian genannt, die k-Summationen sinddabei implizit auf die Fermischale begrenzt.

8.4.1 BCS-Wellenfunktion

Aus dem Cooper-Problem haben wir gelernt, dass Elektronen mit k und −k Paare bilden,wegen der Symmetrie des Wechselwirkungs-Potentials vorzugsweise mit entgegengesetz-tem Spin. Die BCS-Wellenfunktion ist daher

|Ψ〉 =∏

k

(

uk + vkc†k,↑c

†−k,↓

)

|0〉 , (8.32)

wobei vk/uk ∼ g(k) einen Zusammenhang mit dem Cooper-Ansatz (8.21) liefert. DieBCS-Wellenfunktion hat keine feste Teilchenzahl, dafur eine feste Phase.Die Normierung u2

k + v2k = 1 wird durch die Parametrisierung

u2k =

1

2

(

1 +ξkEk

)

, v2k =

1

2

(

1 − ξkEk

)

(8.33)

erfullt, wobei sich der zunachst noch freie Parameter Ek spater als die Energie der ele-mentaren Anregungen herausstellen wird.

Bogoliubov-Transformation

Wir nehmen erst einmal an, dass (8.32) ein guter Ansatz fur den Grundzustand ist. Wiesehen dann die Anregungen aus? Wir betrachen

c†k,↑|Ψ〉 = uk c†k,↑

∏

p6=k

(

up + vpc†p,↑c

†−p,↓

)

|0〉 (8.34)

8.4. BCS-THEORIE 165

undc−k,↓|Ψ〉 = −vk c†k,↑

∏

p6=k

(

up + vpc†p,↑c

†−p,↓

)

|0〉 . (8.35)

Es liegt daher nahe, die Bogoliubov-Transformation

γ†k,↑ = uk c†k,↑ − vk c−k,↓

γ−k,↓ = vk c†k,↑ + uk c−k,↓

(8.36)

zu definieren. Man kann sich leicht uberzeugen, dass die γ und γ† antikommutieren.

Bogoliubov Vakuum

Aus (8.34) und (8.35) folgt sofort, dass die γ den BCS-Grundzustand vernichten:

γ−k,↓|Ψ〉 = 0 ,

und analog fur γk,↑. Die BCS-Wellenfuktion ist also das Vakuum fur die Bogoliubov-Quasi-Teilchen γ†.

8.4.2 BCS-Theorie fur T = 0

Die Bogoliubov-Transformation (8.36) lasst sich invertieren und in den BCS-Hamilton-Operator (8.31) einsetzen. Die Rechnung verlauft analog zur Bogoliubov-Transformation,welche wir zur Berechnung der Dispersionsrelation der Spinwellen in Antiferromagneteneingesetzt haben, siehe Kap. 6.5.4.Wir erhalten

H = WBCS +∑

k,σ

Ek γ†k,σγk,σ , (8.37)

mit der BCS-Energie-Relation

Ek =√

ξ2k + ∆2 ukvk =

∆

2Ek

(8.38)

fur die Bogoliubov-Quasiteilchen, der BCS-Selbstkonsistenz-Gleichung

∆ =V0

L3

∑

k

ukvk =V0

2L3

∑

k

∆

Ek,

1

V0

=1

2L3

∑

k

1√

ξ2k + ∆2

(8.39)

fur die Energielucke ∆ und der BCS-Grundzustands-Energie

WBCS = 〈ψ|HBCS|ψ〉 = 2∑

k

ξkv2k − 2V0

L3

(

∑

p

upvp

)(

∑

k

ukvk

)

= 2∑

k

(

ξkv2k − ukvk∆

)

.


k0

1

vk

2

kF

Abbildung 8.9: Sketch der Paar-Verteilungsfunktion im BCS-Grundzustand. Die gestri-chelte Linie ist die lineare Approximation um die Fermi-Energie, der Fermi-See ist ge-punktet.

BCS-Grundzustands-Energie

Wir mochten die BCS-Grundzustands-Energie WBCS mit der Energie

Wn =∑

|k|<kF

2ξk = 2∑

k

ξk(

1 − θ(ξk))

(8.40)

des Normalleiters und vergleichen. Fur eine Abschatzung nahern wir fur kleine ∆

v2ξ =

1 fur ξ < ∆12

(

1 − ξ∆

)

fur ξ ∈ [−∆,∆]

0 fur ξ > ∆

Dabei haben wir berucksichtigt, dass v2|k=kF

= 1/2 und ∂v2ξ/∂ξ = 1/(2∆) an der Fermi-

Kante, vergleich Abb. 8.9.Mit der Zustandsdichte N(EF ) pro Spin and der Fermi-Kante erhalten wir somit

WBCS −Wn

L3≈ 2N(EF )

∫ ∆

−∆dξξ

2

(

1 − ξ

∆

)

− 2N(EF )∫ ∆

−∆dξ

∆

2

√

1 − ξ2

∆2

− 2N(EF )∫ 0

−∆dξ ξ

∼ −N(EF )∆2 .

Der Energiegewinn ist also quadratisch im BCS-Ordnungsparameter ∆, was man durcheine einfache Reskalierung ξ = ∆x in den Integralen ersieht.

BCS-Zustandsdichte

Wir berechnen nun fur die Dispersionsrelation Ek =√

ξ2k + ∆2 der angeregten Zustande

die Zustandsdichte Ns(ω) via

Ns(Ek)dEk = Nn(ξk)dξk . (8.41)


∆

1

E

Ds Dn

Density of additional

electron states only!

sinh x

x

∼ ex

Abbildung 8.10: Links: Die BCS-Zustandsdichte.Rechts: Illustration von sinh.

Diese Gleichung druckt die Konstanz der Gesamt-Anzahl der Zustande aus. In der Nahe

der Fermi-Kante konnen wir Nn(ξk) ≈ Nn(EF ) setzen. Mit Ek =√

ξ2k + ∆2 erhalten wir

dann fur (8.41) und Ek > ∆

Ns(Ek)

Nn(EF )=

dξxdEk

=d

dEk

√

E2k − ∆2 =

Ek√

E2k − ∆2

. (8.42)

Fur Ek < ∆ gibt es keine Zustande, ∆ ist die Energielucke. Oberhalb von ∆ hat dieZustands-Dichte eine Divergenz, siehe Fig. 8.10.

BCS-Gap-Gleichung

Wir losen nun die Bestimmungsgleichung (8.39) fur den Ordnungsparameter ∆,

∆ =V0

L3

∑

k

ukvk =V0

L3

∑

k

∆

2Ek=

1

2

V0

L3

∑

k

∆√

ξ2k + ∆2

. (8.43)

Wir fuhren den Kontinuum-Limes durch und beachten, dass bei T = 0 alle Zustande mitξ < 0 besetzt sind:

1 =V0

2

∫ hωD

−hωD

N(EF + ξ)dξ√ξ2 + ∆2

, (8.44)

und erhalten mit

1

V0N(EF )=

∫ hωD

0

dξ√ξ2 + ∆2

= sinh−1

(

hωD

∆

)

(8.45)

die BCS-gap-Gleichung. Fur kleine ∆, vergleiche Fig. 8.10, hat (8.45) die Losung

hωD

∆∼ e

1V0N(EF ) ∆ ≃ hωD e

− 1V0N(EF ) . (8.46)

Man beachte die bemerkenswerte Ahnlichkeit von (8.46) mit der Losung (8.30) fur dieBindungsenergie im Cooper-Problem. Bis auf einen Faktor 2 stimmen die Exponentenuberein.


k′↑

-k′↓e

e

kT ∼ 2∆

Abbildung 8.11: Um die Cooper-Paare aufzubrechen wird eine Mindestenergie von ∆benotigt, was fur T > 0 durch thermische Anregungen geschehen kann.

8.4.3 Paar-Wellenfunktion

Die Supraleitung ist schlussendlich eine Konsequenz der Paarung von Elektronen. Wirwollen daher die Eigenschaften der Paar-Wellenfunktion untersuchen.

Groß-kanonische BCS-Wellenfunktion

Die BCS-Wellenfunktion (8.32) hat keine feste Teilchenzahl, lebt also im groß-kanonischemEnsemble,

|Ψ〉 =∏

k

(

uk + vk c†k↑c

†−k↓

)

|0〉 ∼∏

k

(

1 + ak c†k↑c

†−k↓

)

|0〉 = exp

(

∑

k

ak c†k↑c

†−k↓

)

|0〉

wobei ak = vk/uk ist. Dabei ist der letzte Schritt aufgrund der Fermi-Statistik der Elek-tronen exakt.

Kanonische BCS-Wellenfunktion

Aus der Thermodynamik wissen wir, dass im thermodynamischen Limes die kanonischeund die groß-kanonische Formulierung aquivalent sind. Dies muss auch fur die BCS-Wellenfunktion gelten. Wir definieren mit

PN , |ψN 〉 = PN |ψ〉

einen Projektionsoperator, welcher auf den Unterraum im Fockraum mit fester Teilchen-zahl N projiziert, damit hat |ψN 〉 eine feste Teilchenzahl,

|ΨN〉 ∼(

∑

k

ak c†k↑c

†−k↓

)N/2

|0〉 ∼(

∑

x,y

ax−y c†x↑c

†y↓

)N/2

|0〉 (8.47)

und hat die Form einer Bose-Einsteinkondensation von Elektronenpaaren mit der Paar-wellefunktion ar, wobei r der relative Abstand der beiden Elektronen ist.

Koharenzlange

Der mittlere Abstand ξ der Elektronen, der Radius der Paar-Wellenfunktion, ist durch

ξ2 =

∑

r a2r|r|2

∑

r a2r

=

∑

k (∇kak)2

∑

k a2k

, ak =vkuk

=vkuk

u2k

=∆

√

ξ2k + ∆2 + ξk


gegeben. Wir fuhren nun die Reskalierung

k =k

kF, q2 =

h2k2F

2m∆

k2

k2F

=mv2

F

2∆k2, ∇k =

mv2F

2∆∇q

durch und erhalten damit

ξ2 ∼ mv2F

2∆

1

k2F

(8.48)

fur die typische Ausdehnung eines Cooper-Paars. Diese Lange wird auch Koharenzlangegenannt, da sie gleichzeitig die typische Langenskala fur die Koharenz supraleitender Fluk-tuationen angibt.

Koharenzlange und Molekularfeld-Naherung

Typische Werte fur die Koharenzlange ξ sind

ξ ∼(

103 − 104)

A◦ .

Ein Cooper-Paar hat in normalen oder typischen Supraleitern daher Kontakt mit

4πn

3

(

ξ

2

)3

∼ 108 (8.49)

anderen Paaren. Daher ist die Molekularfeld-Naherung der BCS-Theorie i.A. auch sehrgut.

8.4.4 BCS-Theorie fur T > 0

Um die Vorhersagen der BCS-Theorie fur T > 0 zu berechnen, mussen wir die T = 0Gap-Gleichung (8.45) fur endliche Temperaturen verallgemeinern.

Gap-Gleichung bei endlichen Temperaturen

Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im ungepaarten Zustand, also ausserhalb des Kon-densats, zu finden ist

f (Ek + EF , T ) =1

exp(βEk) + 1.

Zur Selbstkonsitenz-Gleichung (8.45) tragen jedoch nur die Cooper-Paare bei. Damit ha-ben wir

1

V0N(EF )=

∫ hωD

0

dξ√ξ2 + ∆2

{

1 − 2f (Ek + EF , T )}

(8.50)

fur T 6= 0. Dabei ist Ek =√

ξ2k + ∆2 ≥ 0. Fur β → ∞ erhalten wir naturlich wieder das

T = 0 Resultat.Gleichung (8.50) bestimmt ∆(T ), siehe Fig. 8.12.

Bestimmung von Tc

Am Phasen-Ubergang, also fur T = Tc, verschwindet der Ordnungsparameter, also ∆(T →Tc−) → 0+. Damit wird die gap-Gleichung (8.50) zu

1

V0N(EF )=

∫ hωD

0

dξ

ξtanh

(

ξ

2kTc

)

, (8.51)


∆(T)∆(0)

T/Tc1

InSn

Pb

Real SC data (reflectivity)

Abbildung 8.12: Die Temperatur-Abhangigkeit der Energielucke ∆(T ) im Vergleich mitexperimentellen Daten (aus Relektivitats-Messungen) und der Vorhersage der BCS-Nahe-rung (8.50).

mit der numerischen Losung

1 = V0N(EF ) ln1.14hωD

kTc, kTc = 1.14 hωD e

−1/{V0N(EF )} . (8.52)

Wir vergleichen nun Tc mit der Energielucke bei T = 0, ∆ = 2hωDe−1/{V0N(EF )}, und

erhalten mit

∆(0)

kTc=

2

1.14= 1.764 (8.53)

das universelle BCS-Verhaltnis, vgl. die Tabelle 8.4.4.

8.4.5 Green-Funktionen

Selbstredend lassen sich Supraleiter auch diagrammatisch beschreiben und dieser Zugangist von grosser Bedeutung wenn man kompilierte Situation wie der Eifluss von Unordnungetc. betrachtet.Supraleitung entspricht der Paar-Kondensation von Elektronen und spiegelt sich daher inder Zweiteilchen-Green-Funktion im Teilchen-Teilchen-Kanal (Leiter-Diagramme) wieder.

Metal Tc◦K N(EF )V0 ∆(0)/kTc

Zn 0.9 0.18 1.6Al 1.2 0.18 1.7Pb 7.22 0.39 2.15

Tabelle 8.1: Der experimentelle Wert von 2.15 fur ∆(0)/kTc ist fur Blei grosser als dieBCS-Vorhersage von 1.76. Solche Systeme werden auch stark-Kopplungs-Supraleiter ge-nannt und durch die Eliashberg-Migdal-Theorie beschrieben.


Hier untersuchen wir die Auswirkungen der Supraleitung auf die Einteilchen-Green-Funktion.

BCS Hamiltonian

Der BCS-Hamiltonian lasst sich entkoppeln,

H =∑

k,σ

ξkc†k,σck,σ − V

(

∑

k′

c†k′,↑c†−k′,↓

)(

∑

k

c−k,↓ck,↓

)

(8.54)

≈∑

k,σ

ξkc†k,σck,σ − ∆∗

∑

k

c−k,↓ck,↓ − ∆∑

k

c†k,↑c†−k,↓ + |∆|/V ,

mit den molekularen Feldern

∆ = V∑

k′

〈c−k′,↓ck′,↓〉, ∆∗ = V∑

k′

〈c†k′,σck′,σ〉 . (8.55)

Normale und anormale Green-Funktion

Wir betrachten nun mit

Gk↑(t) = −iΘ(t)〈[

ck,↑(t), c†k,↑

]

+〉, Fk↑(t) = −iΘ(t)〈

[

c†−k,↓(t), c†k,↑

]

+〉 (8.56)

die normale retardierte Green-Funktion Gk↑(t), sowie den anormalen Anteil Fk↑(t), vgl.Kapitel 4.3.

Bewegungsgleichungen

Die Einteilchen-Greenfunktionen gehorchen den Bewegungsgleichungen

d

dtGk↑(t) = −iδ(t) − Θ(t)〈

[

ck,↑(t), c†k,↑

]

+〉, d

dtFk↑(t) = −iΘ(t)〈

[

c†−k,↓(t), c†k,↑

]

+〉 ,

wobei c = i[H, c]− und c† = i[H, c†]−. Analog zum Abs. 4.3.7 finden wir fur den BCS-Hamiltonian (8.54) die Kommutator-Relationen

ck,↑ = −iξkck,↑ + i∆ c†−k,↓

c†−k,↓ = iξkc†−k,↓ + i∆∗ck,↑

fur die zeitabhangigen Operatoren. Im Frequenzraum wird hieraus

ωGk↑(ω) = 1 + ξkGk↑(ω) − ∆Fk↑(ω)

Fk↑(ω) = −ξkFk↑(ω) − ∆∗Gk↑(ω) ,

mit der Losung(

ω − ξk −∆∆∗

ω + ξk

)

Gk↑(ω) = 1, Gk↑(ω) =ω + ξk

ω2 − ξ2k − |∆|2 .

Wir finden also mit

Ek =√

ξ2k + |∆|2, u2

k =1

2

(

1 +ξkEk

)

, v2k =

1

2

(

1 − ξkEk

)


die Losung

Gk↑(ω) =u2

k

ω −Ek

+v2k

ω + Ek

, (8.57)

wie zu erwarten war.

8.5 Anwendungen der BCS-Theorie

8.5.1 Die Energielucke im Experiment

Spezifische Warme

Die elementare Anregung eines BCS-Supraleiters, die Aufbrechung eines Cooper-Paares,hat die Energie 2∆. Fur kleine Temperaturen hat daher die innere Energie die asympto-tische Gestalt

E(T ) ≈ E(T = 0) + 2∆ e−β2∆, T ≪ Tc . (8.58)

Fur die spezifische Warme finden wir damit

C =∂E(T )

∂β

∂β

∂T≈ 4∆2

T 2e−β2∆ . (8.59)

Mikrowellen-Absorption und Reflektion

Durch Absorbtions- und Reflexions-Experimente kann der Gap direkt gemessen werden.Wenn dass einfallende Licht eine Energie hω < 2∆ hat, dann konnen die Cooper-Paarenicht aufgebrochen werden und das Licht wird weder reflektiert noch absorbiert. Furhω = 2∆ ergibt sich eine Resonanz.

8.5.2 Isotopen-Effekt

Die effektive Elektron-Elektron-Anziehung Vk,k′ resultiert aus dem Austausch virtuellerPhononen. Wenn wir die Masse (Isotop) eines der vibrierenden Atome ersetzen, dannbleiben die elektronischen Eigenschaften des Materials unverandert, insbesondere auchdie Zustandsdichte N(EF ), welche in die BCS-Formel (8.52) fur die kritische Temperatureingeht. Die Frequenz der Phononen ist dagegen

ωD ∼√

k

M∼ M− 1

2 . (8.60)

invers proportional zur atomaren Masse und damit auch Tc ∼ M− 12 . Diese Vorhersage

wird durch die meisten “normalen” Supraleiter erfullt.

8.6. SUPRALEITER IM MAGNETFELD 173

8.5.3 Kritischer Strom und kritisches Feld

Kritisches Feld

Der Energiegewinn (8.41) des supraleitenden Zustandes relativ zum normal-leitenden Zu-stand,

1

2N(0)∆2 =

1

L3(Wn −WBCS) , (8.61)

muss genugend gross sein, um den Verlust an magnetischer Feldenergie H2/(8π) auszu-gleichen. Das klappt bis zu einem kritischen Feld Hc:

1

2N(0)∆2 =

1

8πH2

c , (8.62)

alsoHc = 2∆

√

πN(0) . (8.63)

Kritischer Strom

Mit Hilfe der London-Gleichungen hatten wir, siehe (8.18), die Beziehung jc = c4πΛL

Hc

zwischen dem kritischen Strom jc und dem kritischen Feld Hc hergeleitet. Mit Hilfe von(8.63) erhalten wir

jc =c

4πΛL2∆√

πN(0), ΛL =

√

mc2

4πne2µ. (8.64)

Nehmen wir eine konstante Zustandsdichte N(E) ≈ N(0) an, dann ist

N(0) ≃ n

EF(8.65)

und wir finden mit einer magnetischen Permeabilitat µ = 1

jc =c

4π

√

4πne2

mc22∆

√

πn2m

h2k2F

=√

2∆ne

hkF. (8.66)

8.6 Supraleiter im Magnetfeld

8.6.1 Koharenz und Meissner-Effekt

Der Meissner Effekt ist die zentrale Eigenschaft eines Supraleiters und sollte daher auchaus der BCS-Theorie ableitbar sein.

Strom-tragende Wellenfunktion

Wir betrachten ein Strom-tragendes Cooper-Paar,

ψ†Q(r1, r2) =

1

L3

∑

k

g(k) eiQ·(r1+r2)/2eik·(r1−r2) c†k+Q/2,↑c†−k+Q/2,↓ (8.67)


SC

Normal Metal

φ BCS

2

ξ > ξcpcoh

Abbildung 8.13: Links: Innerhalb des Volumens einer Cooper-Paar-Wellenfuktion haltensich viele Elektronen auf und tragen damit zur Robustheit der Wellenfunktion bei.Rechts: Der Durchmesser eines Cooper-Paares, ξc wird i.A. kleiner als die Koharenzlangeξcoh sein.

in Analogie zu (8.21) und (8.47). Dabei ist Q die Wellenzahl der Schwerpunkts-KoordinateR = (r1 + r2)/2. Insbesondere impliziert (8.67) die Annahme, dass die g(k) unabhangigvom Impuls hQ des Cooper-Paares sind (Robustheit der Wellenfunktion). Dieses ist nurdann der Fall, wenn alle anderen Cooper-Paare den selben Impuls haben:

ψQ(r1, r2) = ψQ=0(r1, r2) eiQ·R .

Robustheit der Wellenfunktion

Wir nehmen nur an, dass alle Cooper-Paare den gleichen Impuls hQ haben. Diese Annah-me ist in Anbetracht des hohen gegenseitigen Uberlapps der Cooper-Paare gerechtfertigt.Somit ist dann

ΦBCS(Q) = eiϕ ΦBCS(Q = 0) = eiϕ ΦBCS(0) , (8.68)

fur die Gesamtwellenfunktion ΦBCS in erster Quantisierung, mit der (Gesamt-) Phase

ϕ = Q · (R1 + R2 + ...) .

Supra-Strom

Der Stromoperator fur ein einzelnes Cooper-Paar ist

j = − 2e

4m

{

ψp∗ψ∗ + ψ∗pψ}

. (8.69)

Dieses ist der normale Stromoperator mit der Masse des Paares 2m und der Paar-Ladung−2e. Aufgrund der Robustheit (8.67) der Paar-Wellenfunktion konnen wir

p = −ih~∇ − 2e

cA, ~∇ = ~∇R + ~∇r ≈ ~∇R (8.70)


X

X

XX

XXX

X

X

XX

X

X

X

XX

XB

ΛL

C

superconducting loop

Abbildung 8.14: Der magnetische Fluss, welcher einen supraleitenden Ring durchdringt,ist quantisiert.

setzen. Damit erhalten wir fur die Suprastrom-Dichte js:

js ≈ 2e

4m

∑

ν

{

Φ∗BCS

(

−ih~∇Rν− 2eA

c

)

ΦBCS

+ ΦBCS

(

−ih~∇Rν− 2eA

c

)∗

Φ∗BCS

}

,

bzw.

js = − 2e

2m

{

|ΦBCS(0)|2 4eA

c+ 2h |ΦBCS(0)|2

∑

ν

~∇Rνφ

}

. (8.71)

London-Gleichung

Nun gilt ~∇ × ~∇φ = 0 fur alle φ, und damit wird (8.71) zu

~∇× js = −2e2

mc|ΦBCS(0)|2 ~∇× A . (8.72)

Wenn wir nun mit |ΦBCS(0)|2 = ns/2 die Dichte ns der supraleitenden Elektronen iden-tifizieren, dann erhalten wir die zweite London-Gleichung (8.8):

~∇× js = −nse2

mcB, |Φ(0)|2 =

ns

2 . (8.73)

8.6.2 Magnetische Flussquanten

Die Quanten-Koharenz der Wellenfunktion eines Supraleiters hat auch zur Folge, dassder magnetische Fluss von Flussschlauchen quantisiert ist. Wir betrachten den Ausdruck( 8.71)

js = −e2ns

mcA− ehns

2m

∑

ν

~∇Rνφ (8.74)


a b c

V0

metal insulator metal

d ψdx

2

22m

2h+ Eψ = 0

dx2d ψ2 2m

2h+ (E - V )ψ0

d ψdx

2

22m

2h+ Eψ = 0

V

x0 d

Abbildung 8.15: Eine Tunnelbarriere zwischen zwei normal-leitenden Metallen.

fur den supraleitenden Strom und berechnen das Kontour-Integral

∮

js · dl = −e2ns

mc

∮

A · dl − ehns

2m

∑

ν

∮

~∇Rνφ · dl (8.75)

innerhalb des supraleitenden Ringes, siehe Fig. 8.6.1, und weit genug von der Oberflacheentfernt, so dass kein Magnetfeld mehr vorhanden ist. Demnach ist auch js = 0 entlangdes Kontours und ∮

j · dl = 0 . (8.76)

Eindeutigkeit der Phase

Die Phase φ der Wellenfunktion ΦBCS = eiφΦ(0) ist eineindeutig, also

∑

ν

∮

~∇Rνφ · dl = 2πN, N ∈ Z .

Damit wird das Kontour-Integral (8.75) fur den Supra-Strom zu

−e2ns

mc

∮

A · dl = −e2ns

mc

∫

B · ds = 2Nπehns

2m,

bzw.

Φ =∫

B · ds = Nhc

2e≡ NΦ0 , (8.77)

mit dem Flussquantum Φ0 = hc/(2e) fur den Supraleiter. Wichtig ist hierbei die Ladung2e im Nenner des Flussquantums. Der totale magnetische Fluss Φ durch den Ring ist alsoquantisiert.

8.6.3 Energie eines isolierten Flussschlauchs

Typ-II Supraleiter

In Absch. 8.2 hatten wir gesehen, dass Supraleiter externe Magnetfelder aus ihrem Inneren


verdrangt, solange die dafur notwendigen diamagnetischen Strome nicht zu gross sind,siehe (8.18). Diese Magnetfeld nennt man Hc1

Allerdings bricht die Supraleitung fur H > Hc1 nicht notwendigerweise zusammen. Un-ter bestimmten Umstanden ist es fur das System energisch gustiger den SupraleitendenZustand beizubehalten, dafur aber das Magnetfeld partiell in der Form von quantisiertenVortizes, auch Flusschlauche genannt, eindringen zu lassen. Man spricht dann vom Typ-IISupraleiter.

Magnetischer Vortex

Der qualitative Verlauf des Magnetfeldes H(r) und der supraleitenden WellenfunktionΨ(r) ist in Abb. 8.16 fur den Fall

λL ≫ ξ

veranschaulicht. Im Kern des Vortex ist normal-leitend, denn hier bricht die Supraleitungzusammen. Ausserhalb des Kernes dringt das Magnetfeld bis zu einer Tiefe ein, welchedurch die London’sche Eindringtiefe λL gegeben ist.

Magnetisches Fluss eines Vortex

Wir betrachten nun zunachst die magnetische Feldenergie eines Vortex. Die freie London-Gleichung (8.12) hat die Form

~∇2B − 1

λ2L

B = 0 .

Wir nahern nun den Vortex-Kern durch eine δ-Funktion und verallgemeinern die London-Gleichung zu

B − λ2L ∆B = ~φ0 δ(x) , (8.78)

wobei ~φ0 entlang der Vortex-Linie zeigt. Wir integieren uber eine Flache senkrecht zumVortex und erhalten

φ0 =∫

B · d~σ − λ2L

∮

(~∇× B) · dl ≈∫

B · d~σ ,

wenn wir berucksichtigen, dass ein Magnetfeld im Supraleiter nach (8.14) exponentiell

abfallt und damit ~∇× B fur r ≫ λL vernachlassigbar ist.Damit ist φ0 nach (8.77) ein Vielfaches des magnetische Flussquantums hc/2e.

Energie eines Vortex

Die Energie eines Vortex setzt sich aus der Feldenergie

EH =1

8π

∫

d3xH · B =µ

8π

∫

d3xH2

und er kinetischen Energie

Ekin =∫

d3xmv2

2ns =

µ

8π

∫

d3x8π

µ

c2

c2(4π)2

(4π)2

m(evns)2

2e2ns

=µ

8π

∫

d3xmc2

4πe2µns

(

(4π)2

c2j2s

)

ns =µ

8π

∫

d3xλ2L

(

~∇×H)2


0 r

|H(r)|2

|Ψ(r)|2

2 λ L

2 ξ

Abbildung 8.16: Der Verlauf des Magnetfeldes H(r) = (0, 0, H) und der makroskopischenWellenfunktion Ψ(r) in einem Vortex als Funktion des Abstandes r =

√x2 + y2 in der

x− y Ebene. Entlang der z-Axis ist der Vortex translationsinvariant.

wobei ns die Dichte der supraleitenden Elektronen (nicht der von Cooper-Paaren) ist, undwir

js = evns, λL =

√

mc2

4πe2µns, ~∇× H =

4π

cjs

verwendet haben. Mit (8.78) lasst sich die Energie eines isolierten Vortex damit zu

Ev =µ

8π

∫

d3x(

H2 + λ2L

(

~∇× H)2)

=

(

φ0

4πλL

)2

log(λL/ξ) (8.79)

ausrechen.

• Die Energie ist quadratisch im Fluss φ0. Zwei Flussschlauche mit je einem Fluss φ0

sind daher energetisch gunstiger als einer mit Fluss 2φ0.

• Der Ausdruck (8.79) gilt fur eine Flussschlauch mit einem Radius ξ fur den normal-leitenden Kern. Da die Energie nur sehr schwach, logarithmisch, von der Koharenzlangeξ abhangt, ist dieses eine vertretbare Approximation.

8.6.4 Untere kritische Feld Hc1

Wir kommen nun auf die Eingangs gestellte Frage zuruck: Wann ist es energetisch gunstigwenn einzelne Flussschlauche in den Supraleiter eindringen?

Energiebilanz

Mit einer Querschnittsflache πξ2 fur den normalleitenden Kern ergibt sich die Energiebi-lanz zu

∆E = Ev −πξ2

4πB · H = φ0

(

Ev

φ0

− H

4π

)

. (8.80)


Dabei ist der zweite Term die magnetische Feldenergie des normalleitenden Kernes, welcheman gewinnt. Zudem haben wir

πξ2B = φ0 =hc

2e

verwendet. Die Energiebilanz wird fur

Hc1 =4πEv

φ0

=φ0

4πλ2L

log(λL/ξ) (8.81)

negativ.

Hc1 ≪ Hc, Hc = 2∆√

πN(0) .

Typ I und Typ II Supraleiter

Wenn wir (8.47) benutzen, und die Zustandsdichte N(0) durch kF parametrisieren erhaltenwir

Hc1

Hc

=π√24

ξ

λL

log(λL/ξ) (8.82)

fur das Verhaltnis Hc1/Hc.Fur die meisten Supraleiter ist die Koharenzlange ξ in der Grossenordnung von einigenzehn Angstrom und die Eindringtiefe λL in der Grossenordnung von einigen tausendAngstrom. Damit ist i.A. Hc1 deutlich kleiner als das thermodynamische kritische Feld(8.63). In diesem Fall spricht man von Typ-II Supraleiter, ansonsten von Typ-I Supraleiter.

Typ-II Supraleiter

Wenn das Magnetfeld in den Supraleiter in der Form von Flussschlauchen eindringenkann, dass bricht die Supraleitung auch nicht fur H > Hc zusammen, sondern erst beieinem hoheren Feld, welches Hc2 genannt wird, vgl. Abb. 8.17.

8.6.5 Magnetische Flussgitter

Im vorangehenden Abschnitt haben wir die Eigenschaften einzelner Flussschlauche furden Fall H > Hc1 mit H ≃ Hc1 betrachtet. Im allgemeinen mussen wir jedoch fur

Hc1 < H < Hc2

damit rechnen, dass es eine endliche Dichte von Vortizes gibt und diese miteinander wech-selwirken.

Abrikosov Gitter

In der gemischen oder Meisner-Ochsenfeld-Phases eines Typ-II Supraleiters ordnen sich


H

c2H c1 H c

Typ −II

Typ −I−M

H

Abbildung 8.17: Die Magnetisierungs-Kurven fur Typ-I und Typ-II supraleiter.

die magnetischen Flusslinien zu einem Gitter an, dem Abrikosov-Gitter. Die Flusschlauchehaben eine repulsive Wechselwirkung und das Gitter ist ein Dreiecksgitter.

Hochtemperatur-Supraleitern

Die Hochtemperatur-Supraleitern sind ausgesprochene Typ-II Supraleiter, ξ ist in derGrossenordnung von wenigen Angstrom.

Die kritische Temperatur Tc ist in den Hochtemperatur-Supraleitern ist so hoch, dass dasAbrikosov-Gitter aufgrund termischer Anregungen schmelzen kann. Es kommt zu einemPhasenubergang fest-flussig fur die Flusslinien.

Supraleitung und Dissipation

Typ-II Supraleitung haben weiterhin einen verschwindenden elektrischen Wiederstand,solang sich die Flussschlauche nicht bewegen konnen. Diese ist im Abrikosov-Gitter derFall, denn das Gitter als Ganzes ist starr.

Dissipation, und damit ein endlicher elektrischer Wiederstand, tritt auf sobald sich dieFlussschlauche zu bewegen beginnen, denn die Vortizes haben ja einen normalleitendenKern.Daher versucht man in technischen Anwendungen Verunreinigungen gezielt in die Supra-leiter einzubringen, an welchen die Flusslinien festgehalten werden (gepinnt).

8.7 Tunnel-Kontakte

8.7.1 Tunneln in einen Supraleiter

Wir betrachten als Einfuhrung den Tunnelkontakt zwischen zwei normal-leitenden Metal-len, siehe Fig. 8.15, z.B. durch eine dunne Oxidschicht.

Potentialbarriere

Die von links einfallende Wellenfunktion ψa trifft auf die Tunnelbarriere, ψb, und propa-giert dann nach rechts weiter, ψc:

ψa = A1eikx +B1e

−ik·x ψb = A2eik′·x +B2e

−ik′·x

ψc = B3e−ik·x . (8.83)

8.7. TUNNEL-KONTAKTE 181

XeV

S I N

N(E)

E

Abbildung 8.18: Illustration eines Tunnelkontaktes zwischen einem Normal-Leiter undeinem Supraleiter in der Anwesenheit einer angelegten Spannung V .

Mit diesem Ansatz ist die Schrodinger-Gleichung zu losen, falls

k =

√2mE

hin a & c (8.84)

k′ =

√

2m(E − V0)

hin b (8.85)

Die Koeffizienten A1, 2 und B1,2,3 werden durch die Stetigkeitsbedingungen fur ψ, ψ′ undx = 0,x = d bestimmt. Fur E < V0, also fur

k′ = iκ =√

2m(E − V0)/h (8.86)

finden wir fur die Tunnelwahrscheinlichkeit

Pl→r =|B1|2|B1|2

=

1

2− 1

8

(

k

κ− κ

k

)2

+1

8

(

k

κ+κ

k

)2

cosh 2κd

−1

. (8.87)

Fur grosse Werte von κd vereinfacht sich die Tunnelwahrscheinlichkeit zu

Pl→r ∝ 8

(

k

κ+κ

k

)−2

e−2κd (8.88)

= 8

(

k

κ+κ

k

)−2

exp

−2d√

2m(V0 − E)

h

. (8.89)

Die Wahrscheinlichkeit durch die Potentialbarriere zu tunneln fallt also exponentiell ab.

N-S Kontakt

Wir betrachten nun die Tunnelrate fur einen N-S Kontakt, also die Injektion von Elek-tronen aus einem Normalleiter in einen Supraleiter, siehe Fig. 8.18, bei einer angelegtenSpannung V .Sei f(ǫ) die Fermi-Verteilungsfunktion und Nn(ǫ) und Ns(ǫ) die jeweiligen Zustandsdich-ten des normal- bzw. des supreleitenden Kontaktes.


∆/e

I

VV

∆/e

dIdV

Abbildung 8.19: Bei tiefen Temperaturen sind N-S Tunnel Kontakte sehr gut geeignet um,via der differentiellen Leitfahigkeit, die quasi-Teilchen Zustandsdichte im Supraleiter zumessen.

Der Tunnelstrom ist mit

I ∝ P∫

dǫ f(ǫ− eV )Nn(EF )Ns(ǫ)(1 − f(ǫ))

− P∫

dǫ f(ǫ)Ns(ǫ)Nn(EF )(1 − f(ǫ− eV ))

proportional zur Differenz der Tunnelwahrscheinlichkeiten P (n→ s) und P (s→ n). Ohneeine aussere Spannung (eV = 0) verschwindet der Tunnelstrom (I = 0).

Differentieller Tunnelstrom

Sei nun eV > 0 und kT ≪ ∆. Wegen der Energielucke in Ns(ǫ) ist P (s→ n) unterdrucktund

I ∼ PNn(EF )∫

dǫ f(ǫ− eV )Ns(ǫ) .

Der differenzielle Tunnelstrom

dI

dV∼ PNn(EF )

∫

dǫ∂f(ǫ− eV )

∂VNs(ǫ)

nimmt daher fur tiefe Temperaturen,

∂f

∂V∼ eδ(ǫ− eV −EF ), (T ≪ EF )

die Form

dI

dV≃ PNn(EF )Ns(eV + EF ) (8.90)

an. Mit dIdV

lasst sich also die Zustandsdichte Ns(ǫ) im Supraleiter als Funktion der ange-legten Spannung V direkt messen, vgl. Fig. 8.19.

8.7. TUNNEL-KONTAKTE 183

8.7.2 Josephson-Effekt

In Abs. 8.7.1 haben wir das Tunneln von einzelnen Elektronen von einem Normaleiterin einen Supraleiter betrachtet. Es stellt sich nun die Frage, ob bei Kontakt von zweiSupraleiter auch das Tunneln von Cooperpaaren moglich ist, und welche Auswirkungenein solcher Tunnelprozess hat.

Phanomenologischer Wellenfunktion

Nach (8.68) und (8.73) schreiben wir

Ψ = ΦBCS =√

ns/2 eiϕ = |Ψ| eiϕ

fur die supraleitende Wellenfunktion, wobei ns die Dichte von Cooper-Paaren ist, und ϕdie Phase.

Phanomenologische Schrodingergleichung

Fur zwei Supraleiter Ψ1 und Ψ2 im Kontakt gilt demnach die phanomenologische Schrodin-gergleichung

ih ∂∂t

Ψ1 = E1Ψ1 + KΨ2

ih ∂∂t

Ψ2 = E2Ψ2 + KΨ1(8.91)

wobei E1/2 die jeweiligen Grundzustands-Energien sind und K die (Paartunnel-) Kop-plungskonstante.

Tunnelstrom von Cooper-Paaren

Der Strom I1→2 von tunnelnden Cooper-Paaren ist durch

I1→2 = e∂

∂t

∣

∣

∣Ψ1

∣

∣

∣

2= eΨ∗

1

∂Ψ1

∂t+ e

∂Ψ∗1

∂tΨ1 (8.92)

=e

ih

(

E1|Ψ1|2 +KΨ∗1Ψ2 −E1|Ψ1|2 −KΨ∗

2Ψ1

)

=eK

ih

(

Ψ∗1Ψ2 − Ψ∗

2Ψ1

)

=eK

ih|Ψ1||Ψ2|

(

ei(ϕ2−ϕ1) − ei(ϕ1−ϕ2))

=2eK

h|Ψ1||Ψ2| sin(ϕ2 − ϕ1)

gegeben. Wir erhalten also einen Gleichstrom von Cooper-Paaren wann immer eine Pha-sendifferenz ∆ϕ zwichen den beiden Supraleitern existiert.

Gleichstrom Josephson Effekt

Um die zeitabhangigkeit der Phasendifferent in (8.92) zu berechnen, trennen wir Real-und Imaginarteil in der die makroskopische Schrodinger-Gleichung (8.91),

ih∂

∂t|ψ1| − hϕ1 = E1|ψ1| +K|ψ2|ei(ϕ2−ϕ1)

ih∂

∂t|ψ2| − hϕ2 = E2|ψ2| +K|ψ1|ei(ϕ1−ϕ2)

was uns zu

ϕ1 = −E1

h− K

h

|ψ2||ψ1|

cos(ϕ2 − ϕ1)

ϕ2 = −E2

h− K

h

|ψ1||ψ2|

cos(ϕ1 − ϕ2)


fuhrt. Fur naherngsweise gleiche Dichte von Cooper-Paaren |Ψ1|2 = |Ψ2|2 in den beidenSupraleitern erhalten wir damit

ϕ1 − ϕ2 =E2 − E1

h≡ eU

h, ϕ1 − ϕ2 =

eU

ht . (8.93)

Dabei haben wir eine angelegte Spannung von U angenommen, welche ja den respektivenNullpunkt der Energieskalen um eU verschiebt. Damit erhalten wir mit

I =eK

hns sin

(

eU

ht)

(8.94)

einen (hochfrequent-) oszillierenden Strom bei anlegen einer Gleichspannung, der (Gleichspannungs-) Josephson-Effekt.

SQUIDS

Der Josephon-Effekt ist auch die Grundlage fur eine ganze Reihe von Anwendungen,insbesondere fur die SQUIDS, den ‘Superconducting Quantum Interference Devices’. EinSQUID besteht aus einem supraleitenden Ring, der an einer oder zwei Stellen durchJosephson-Kontakte unterbrochen ist. Zusammen mit der in Abschn. 8.6.2 besprochenenFlussquantisierung im Ring erlaubt das SQUID hochprazise Magnetfeld-Messungen.

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Kapitel 8 Supraleitung - Goethe-Universitätgros/Vorlesungen/FKT/FKT_8.pdf · 8.3 Cooper-Paare Die London’sche Theorie beschreibt die Supraleitung ph¨anomenologisch. Sie liefert