Zusammenfassung: Wigner-Eckart-Theorem

Clebsch-Gordan-

Reihe:

Def. vonTensor -

Algebraische Version,

(via infinitesimaler

Rotation):

Clebsch-Gordan-

Reihe für Tensoren:

Wigner-Eckart-

Theorem:Geometrie Dynamik

4. Symmetrien in der Quanten-Mechanik (Sakurai, Kap. 4)

4.1 Symmetrien, Erhaltungssätze, Entartungen

4.1.1 Symmetrien in klassischer Physik:

invariant unter

Euler-Lagrange-Gl:

kanonischer Impuls

erhalten:

Hamiltonsche

Formulierung:

Hamiltonsche

Bewegungsgleichung:

Falls

invariant unterFalls

4.1.2 Symmetrien in d. Quantenmechanik: sei unitärer Operator ("Symmetrie-Op.")

Schreibe infinite-

simale Version als:

Sei invariant

unter :

Heisenberg's

Bewegungsgleichung:

Beispiele: Invarianz unterTranslationen

G ist erhalten

-Eigenkets bleiben

unter Zeitentwick-

lung -Eigenkets:

Sei

dann

4.1.3 Entartungen: Sei und

ist auch

Energie-Eigenket mit

gleichem Eigenwert:

Falls sind und "entartet"

Beispiel: Rotationen

Eigenbasis v. sind alle entartet

Rotation mischt entar-

tete Basisvektoren:

zB: Zentralpotential:-fache

Entartung

zusätzliches bricht Entartung, verursacht (2j+1)-fache Energie-AufspaltungE-oder(Details: Kapitel 5)

4.2 Diskrete Symmetrien: Parität (=Rauminversion) (Sakurai, 4.2)

4.2.1 Definition v. unitärem Paritätsop. mit

gilt für alle

(x, anti-vertauschen)

Ortseigenket

beliebiger Phasefaktor

per Konvention

nochmalige

Anwendung:

ist hermitesch,

mit Eigenwerten

4.2.2 Impuls:

Translation+Parität =

Parität +(-Translation)Forderung:

Operator-Identität:

p, anti-

vertauschen:

4.2.3 Drehimpuls:

Check:

für infinitesimale

4.2.4 Rotationen

für 3D Rotationen gilt:

Fordere dasselbe

für infinitesimale

und vertauschen:

Definitionen: "Polarvektoren" sind ungerade unter Parität

"Axial-" (oder "Pseudo-)Vektoren sind gerade unter Parität

"Skalare" sind gerade unter Parität

"Pseudoskalare sind ungerade unter Parität

das gilt insbesondere

auch für Spin:

4.2.5 Wellenfunktionen: Betrachte spinloses Teilchen:

WF von paritäts-

invertiertem Ket:

sei Paritätseigenket:

entsprechende WF

ist gerade/ungerade

unter Pariträt:

Beispiel: Kugelflächen-

Funktionen:(folgt aus expliziter Form von Y )

alle Mitglieder des

Multiplets haben

dieselbe Parität:

4.2.5 Theorem Sei Dann sind die nicht-entarteten

Energie-Eigenkets auch Paritäts-Eigenkets.

Beweis: Gegeben: nicht entartet.

Betrachte Paritäts-

Eigenket,

mit Eigenwerten Check:

ist auch

Energie-Eigenket

Aber ist nicht-entartet:

ist Paritäts-Eigenket (siehe S8.3), mit Eigenwerten

mit demselben

Bemerkung: Für schwache Wechselwirkung gilt "Paritätsverletzung",

denn hängt zB ab von

Beispiel:

also nicht Eigenket

Konsistent mit Theorem, denn und sind entartet.

Eigenkets:

Check:

Wellenfunktionen:

Beispiel:

Unendlich tiefer Topf: ansonsten

Wellenfunktionen sind

Paritätseigenfktn:für n=ungerade

für n = gerade

aber

Beispiel: Doppemuldenpotential- selber lesen (Sakurai, Abschnitt 4.2)

4.2.6 Paritäts-auswahlregel:

Matrixelemente von Paritäts-ungeraden Operatoren

zwischen zwei Paritätseigenzuständen sind nur dann 0,

wenn diese unterschiedliche Parität haben.

Beweis:

seien zwei Paritätseigenkets, mit

Dann:

entweder oder

A sei Paritäts-ungerade,

und

Bereits bekannt aus

der Wellenmechanik:

falls und dieselbe Parität haben

4.3 Gittersymmetrie als diskrete Symmetrie: selber lesen (Sakurai, 4.3)

4.4 Zeitumkehrinvarianz: "Bewegungsumkehr" (Sakurai,

4.4.1 Klassisch: Wenn Lösung ist von

dann ist auch eine Lösung:Stop bei

und Umkehr

Newton 2:

Maxwell-Gl, und

Lorentz-Kraft:

sind invariant unter:

4.4.2 Schrödinger-Gl:

ist keine Lösung, wegen 1.ste Ordnung Zeitabltng:

ist eine Lösung von

also ist

eine Lösung von

zunächst:

Expliziter Check mittels

Energie-Eigenket:

4.4.3 Bemerkungen zuSymmetrie-Operatoren

Betrachte Symmetrie-

Operation:

Falls unitär ist:

Allgemein reicht es

allerdings, zu fordern:

was auch folgende

Möglichkeit zuläßt:

4.4.4 Definition einer "anti-unitären"

Transformation:mit

und

folgende "Zerlegung"

ist immer möglich: unitärer "komplex-

Konjugator"

Wirkung von K:

Entwicklung von

in einer Basis:

Für Basiskets gilt: denn keine

komplexen

Zahlen

vorhandenWirkung von K ist

basisabhängig:Basis-

transformation:

In -Basis:

In -Basis:

anti-unitärer

Operator

Check: erfüllt die Eigenschaften eines anti-unitären Operators?

Berechne Wirkung auf

Bra lieber via Wirkung

auf Ket:

( nicht definiert)

Skalarprodukt:

:

4.4.5 Zeitumkehr-Operator

Zeitumkehr- anti-unitärer

Zeitumgekehrter Zustand

(genauer: Bewegungsumgekehrter Zustand)

Wir erwarten: etc.

Zeitentwicklung von

Zeitentwicklung von

zeitumgekehrtem

Forderung, falls Bewegung

symmetrisch unter

Zeitumkehr verläuft:

gilt für

beliebige Kets:

kann nicht

unitär sein:Wäre dann folgte aus

Das ist unsinnig, denn Spektrum wäre nicht von unten begrenzt.

ist auch Eigenenergie!Für freies Teilchen

würde das bedeuten:

Für Energieeigenket:

würde liefern: anstatt erwartetem

Postulat:

ist anti-unitär.

Folgerung: falls

Bewegung symmetrisch

unter Zeitumkehr

abläuft, gilt:

dann:

Bemerkung:

und nicht denn ist nicht

Formale Eigenschaften

von Matrixelementen

linearer Operatoren: Sei

dann gilt:Identität:

Beweis: Sei

Für hermitesche

Beispiel: Impuls

A ist "gerade/ungerade"

unter Zeitumkehr, falls

entsprechende

und Erwartungswerte:

Forderung:

Folglich identifizieren wir:

Eigenwertgleichung:

Analoges Beispiel:

OrtsoperatorForderung:

Invarianz der

Vertauschungsrelation:

Analog: Invarianz der

Drehimpulsrelationen

erfordert

(S21.4) folgt auch aus

Zeitumkehrsymmetrie

von Rotationen: Forderung