Zwei Klassen charakteristischer Untergruppen und ihre Faktorgruppen

Zwei Klassen charakteristischer Untergruppen und ihre Faktorgruppen.

ERHARD SCHMIDT zum 76. Geburtstag.

Von BERNHARD H. NEUMANN in Manchester und HANNA NEUMANN in Hull (England).

(Eingegangen am 16.6.1950.)

K a p i t e l I. ubercharakteristische und ultracharakteristische Untergruppen.

1. Einleitung. In der Gruppentheorie zeichnet man gewisse Klassen von Untergruppen 8

einer Gruppe @ durch die von 8 zugelassenen Operatoren von @ aus. 60 heil3t 8 invariante, charakteristische, streng charakteristischel), vollinvariante Unter- gruppe von ($5, wenn 80 2 8 fur alle 8 gilt, wo 0 die Menge aller inneren Auto- morphismen bzw. aller Automorphismen bzw. aller Endomorphismen mit 638 = @ bzw. aller Endomorphismen durchliiuft. In der vorliegenden Arbeit fiihren wir zwei durch andersartige Eigenschaften ausgezeichnete, eng miteinander ver- wandte Klassen von Untergruppen ein: Die invariante Untergruppe 8 von 8 heil3e ,,iibercharakteristisch(' bzw. , ,ultracharakteristisch", wenn fur eine beliebige invariante Untergruppe Q von @ ELUS @/a s @/$ stets 9 2 8 bzw. @E; $j folgt. Man beweist leicht, daB jede ultracharakteristische Untergruppe ubercharakteristisch und jede ubercharakteristische Untergruppe charakteristisch ist, nieht aber umgekehrt. Kin einfaches Beispiel wird zeigen, daB eine vollinvariante Untergruppe im allgemeinen nicht iibercharakteristisch, also erst recht nicht ultracharakteristisch zu sein braucht. In einer freien Gruppe mit unendlich vielen Erzeugenden ist nicht einmal die Einheitsgruppe ultracharakteristisch ; dagegen sind alle vollinvarianten Untergruppen einer freien Gruppe (mit beliebiger Er- zeugendenzahl) iibercharakteristisch. Ob in endlich erzeugbaren freien Gruppen jede ubercharakteristische Untergruppe auch ultracharakteristisch ist, ist ein ungelostes Problem.

Es sei nun G eine Gruppe, die sich von n Elementen erzeugen la& ; dann liiBt sich B in der Form 1.1 8tllrnII

l) Vgl. R. BAER[~]*) (,,strictly characteristic"); dort auch ein Beispiel fiir eine charakteristische, aber nicht streng charakteriatkche Untergruppe. Zwei weitere Begriffe iihnlicher Arf (,,completely characteristic", ,&characteristic") werden von Baer in [2] eingefuhrt.

*) Die Zahlen in eckigen Klammern verweisen auf das Literaturvereeichnie S. 125.

B. H. und H. Neumann, Charekbrietische Untergruppen. 107

darstellen, wo s,, die freie Gruppe von n Erzeugenden, 8, eine geeignete in. variante Untergruppe von sn ist. Es mogen ferner 'X,, , U,, 23, die groBte in 8% enthaltene charakteristische bzw. iibercharakteristische bzw. vollinvariante Untergruppe von 3% bedeuten. Dann gilt

Die Gruppe B lii& sich (bei festem n) im allgemeinen auf verschiedene Weisen in der Gestalt 1.1 darstellen, so da8 also %, durch G nicht eindeutig bestimmt ist. Auch Z,, wird sich noch als von der speziellen Darstellung 1.1 abhiingig er- weisen. n,, und B,, dagegen sind durch CT (und n) eindeutig festgelegt; daher sind insbesondere die Faktorgruppen

un = S n / n n , K = 8nl% Invarianten der Gruppe B. Die Gruppen V, (die ,,V-Gruppen" von CT) sind an anderer Stelle [9, 101 behandelt worden; die vorliegende Untersuchung gilt in der Hauptsache den Gruppen U,,, die wir die ,,U-Gruppen" von CT nennen werden. In einer Reihe von interessanten Spezialfiillen hat zuerst P. HALL [S] diese Grup- pen, anliiBlich einer AbzZihIung von Erzeugendensystemen gewisser (insbesondere einfacher) Gruppen, bestirnmt. Wir schlieoen uns allerdings in erster Linie an die Dissertation [9] an'), in der die meisten hiar behandelten Fragen zuerst aufgeworfen wurden.

Der hier angeschnittene Fragenkomplex ist insbesondere daduroh bemerkens- wert, deS hooh so viele Probleme der %sung harren. Auf einige davon werden wir hier hinweisen. Auch sei bemerkt, daD sich die hier eingefiihrten Begriffs- bildungen auf vie1 allgemeinere algebraische Systeme ausdehnen lassen, worauf wir jedoch nicht niiher eingehen wollen.

# 2. Allgemeine Resultate.

2.1. Definition. Die invariante Untergruppe Q von 8 heiPt iibercharakteristisch in @, wenn aw,

In diesem Paragraphen sei @ eine beliebige Gruppe.

2.11 @/a = @I@

2.12 92Q

2.13 $28 folgt.

2.21 R = 8.

(far irgedine invariante Untergruppe R von (3) ateta

folgt. 8 heipt dtrac?~xrakte&tdch in @, wenn aus 2.11 stete

2.2. Satz. Iat 8 ultracharakteriatiach in @, 80 folgt aus 2.11 sogar

IwbesoncEere. ist @ ale0 dann auch .iiberchalulckteristisch in @.

l) Bisher iqt nur der erste Teil [lo] vertiffentlicht.

108 B. H. und H. Neumann, Charakteristische Untergruppen.

Beweis. Bei einer isomdrphen Abbildung von 819 auf a/@ geht @Iff in eine gewisse Gruppe uber. Nun ist

@/$I (@,1@)1(~1/8) = (@/fv/(@/@ = 818, daher, nach Voraussetzung 2.13, el wie ,behauptet.

2.3. Sat% 1st 8 uberchrakteristisch in 8, so ist @ charakteristisch in 8.

und

also wegen 2.12

8. Also ist 9, = @ und somit auch Q = @,

Beweis. Es sei 6 ein beliebiger Automorphismus von @; dann ist ($59 = @

@/@6 = 86/@6 zz @/a,

2.31 @62@.

@6-' 1.8.

82 a@)

Ebenso gilt fur den zu 8 inversen Automorphismus

Anwendung von 6 hierauf ergibt

also unter Beriicksichtigung von 2.31 : 8 = $9. Da dies tiir d l e Automorphismen von @ der Fall ist, folgt die Behauptung.

DaB nicht umgekehrt jede charakteristische Untergruppe auch ubercharakteristisch ist, zeigt das folgende Beispiel :

Es sei @ das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung 4, von einem Element a erzeugt, und einer Gruppe der Ordnung 2, von einem Element b erzeugt. 8 sei die Untergruppe, die aus allen Losungen der Gleichung 9 = 1 in @ besteht, d. h. ,o wird von a2 und b erzeugt. D a m ist 8 offenbar vollinvariant, und somit insbesondere charakteristisch in 63, aber nicht ubercharakteristisch und daher auch nicht ultracharakteristisch. Denn bezeichnet R die von a erzeugte Untergruppe von @, so ist @/R @lo, aber 2.12 (und 2.13) gilt nicht.

2.4. Satz. Ist $j ultrclcharakteristisch in @ und $ ultracharakteristisch (iibercharak- ferbtisch) in 8 , 80 iet 9 ultracharakteristisch (ubercharakteristisch) in @.

Beweis. Ala charakteristische Untergruppe einer charakteristischen Unter- gruppe von @ ist 9 charakteristische Untergruppe, also insbesondere invariante Untergruppe von (3. 1st nun 9, eine invariante Untergruppe von (3 derart, da13

@/$I = @I$, 80 entspricht bei einer isomorphen Abbildung von @/$ auf @/Rl der Gruppe 8 zwiaohen (3 und 8 eine gewisse Gruppe zwischen 8 und $,; und zwar ist

wegen 2.2 alao = 8, und ferner

@l/f4 = 81% = @/a, also L, L (bzw. $tl 1 R), und die Behauptung folgt. Ob auch die Beziehung, iibercharakteristische Untergruppe zu sein, trmsitiv ist, ist ein ungelostes Problem.

B. H. und H. Neumann, Charakteristische Untergruppen. 109

2.5. Satz. Der Durchschnitt einer beliebigen Menge von iibercharakteristischen bzw. ultracharakteristischen Untergruppen von 8 ist iibercharakteristisch bzw. ultracharakteristisch.

Bewei s. Es seien Sj,, ubercharakteristische bzw. ultracharakteristische Untergruppen von 8, wobei CT irgendeine Indexmenge 2 durchliiuft, und es sei

n = 8. O E Z

@ ist, als Durchschnitt invarianter Untergruppen von @, selbst invariant in @. Sei nun 9 invariante Untergruppe von 8, und

@/a = @/a. Bei einer isomorphen Abbildung von 8/Sj auf a/$ Gruppe R a / 9 entsprechen. Dnnn ist

moge der Gruppe Qa/Q die

also

Da ferner die isoniorphe Abbildung

~ U E Z

nach sich zieht, folgt

und somit die Behauptung. Ob auch das Erzeugnis einer Menge von uber- (oder ultra-) charakteristischen

Untergruppen von 8 wiederum notwendig iiber- (oder ultra-) charakteristisch in 8 ist, ist ein noch ungelostes Problem.

D x folgende Sutz, dessen Beweis dem von Satz 2.5 iihnlich verliiuft, gibt eine Methode zur Herstellung von iibercharakteristischen Untergruppen.

2.6. S i tz . Es sei { Sj,} die Nenge aller der invarianten Untergruppen von 8, deren Faktmgruppe einer faten Gruppe C, is0morp.k ist :

!22Q bzw. R L S j

8 l S j o = a<,; u m6ge dabei eine geeignete Indexmenge .Z durchlaufen. Dann ist der Durchschnitt

eine ubercharakteristische’) Untergruppe von @ ,

@/a. Bei einer isomorphen Abbildung von @/$ auf @/a moge dei Gruppe Q0/@ die Gruppe $,/a entsprechen. Dann ist

Beweis. 8 ist offenbar invariant in 8. Essei einvariant in 8 und @/R

@/Po z 8/@,, z G o ,

also 9, = Sjz fur ein gewisses z E Z. Da ferner die isomorphe Abbildung

n ea = R O € Z

l) P. HALL[^] bemerkt, daR der Durchschnitt in (3 charakteristisch ist.


nach sich zieht, so ist 9 Durchschnitt gewisser @*; also folgt 92 8 und die Be- hauptung.

Bei diesem Beweise ist die Beziehung zwischen !&, und 8, = & natiirlich ein- eindeutig. Trotzdem kann man daraus nicht allgernein schlieBen, da13 ft = li, und somit .$j ultracharakteristisch ist; denn wenn C unendlich ist, konnen die Qr sehr wohl eine echte Teilmenge aller bilden und einen echt gro13eren Durch- schnitt haben. 1st aber C endlich, so ist notwendig SU = $j, und wir haben somit die etwas weiter gehende Tatsache:

2.61, Horollar. Wenn unter den Voraussetzungen von Satz 2.6 nur endlich viek der @a untereinander verschieden sind, so ist ihr Durchsohnitt @ sogar ultracharakteristisch in 8.

Die Unterscheidung zwischen ubercharakteristischen und ultracharakteristischen Untergruppen ergibt sich &us dem folgenden, nahezu trivialen Kriterium :

2.7. Hat?. Die ubercharakteristische Untergmppe .$j urn 8 iat dann und nur dann ultracharakterislisch, wenn S/sj keiner echten Faktorgruppe v m sich selbst isomorph ist.

Beweis. 1st 8/@ einer echten Faktorgruppe von sich selbst isomorph, so gibt es also eine invariante Untergruppe 9 von 8, die ,Q als echte Untergruppe ent- h d t derart, daB

@la = (@/@)/(W@) ZE @lR*

.Q ist dtlher nicht ultracharakteristisch. 1st umgekehrt Q ubercharakteristisch, aber nicht ultracharakteristisch: so gibt es eine invariante Untergruppe 9 von @ derart, daB 9 $. sj und

Da R z 8, folgt @/R = @I@.

@I@ = (@lsj)/(w3;

also ist @/a echtes homomorphes Bild von sich selbst, und die Behauptung folgt. Offenbar ist die nur aus dem Einheitselernent bestehende Untergruppe Q

stets ubercharakteristisch in 8. (5: ist also genau dann ultracharakteristisch in 8, wenn (Y keiner echten Faktorgruppe von sich isomorph istl). Man kann also leicht Reispiele von Gruppen bilden, in denen die Begriffe ,,ubercharakteristisch" und ,,ultsacharakteristisch" sich nicht decken. Aus Satz 2.7 folgt unmittelbar :

2.71, Horollar. Ist @ iibercharakteristische Untergruppe uon endlichem Index in 8, so ist ,@ ultracharakteristisch.

Wie wir bereits an einem Beispiel gesehen haben, braucht eine vollinvariante Untergruppe nicht iibercharakteristisch zu sein. Fur freie Gruppen 8 beweisen wie aber:

2.8. Satz. 1st % vollinvariant in der freien Ghppe 5 , dann ist % Ubercharakteristisch in '13..

') Solche Gruppen nennt R. BAEH [2] ,,Q-Cruppen".

R. H. und H. Neuniann, Charakteristische Untergruppen. 111

Beweis. Es sei 23 invariante Untergruppe von 8 , und 3/%? gS/%. 1st v(au, a,, . . .) €8, wo a,, a,, . . . Erzeugende von 8 sind und v(au, a,, . . .) ein Wort in ihnen bedeutet, so ist v ( x , , sz, . . .) = 1 Regell) in 8/28) also such in 8/23. Daher mu13 auch v(a,, a, , . . .) E TL? sein, somit 23 C 23, und die Be- hauptung folgt.

Wird 3 insbesondere von endlich vielen Elementen erzeugt, so wird man er- wwten, da13 eine vollinvariante Untergruppe sogar ultracharakteristisch sei. Ob dies der Fall ist oder nicht, hiingt von der Losung des folgenden Problems ab:

2.9. Problem. Es ssi 8,t freie Gru.ppe mit endlich vielen Erzeugenden und 8 vollinvariant in g,,. Kann dann einer echten Faktorgruppe von sich selbst isomorph sein?

F~ eine gewisse Klasse vollinvarianter Untergruppen hat W. MAGNUS diese Fritge im erwarteten Sinne, d. h. negativ, beantwortet 2).

K a p i t e l 11. Erzeugendensystenie, Relntionengruppen und U- Gruppen.

§ 3. Vektoren. uber einer Gruppe. Wir betrachten eine Gruppe G und - fur eine feste naturliche3) Zahl n -

die geordneten n-tupel von Elementen (g,, . :. , g,!) in G. Solche n-tupel werden Vektoren iiber G genannt und kurz niit kleinen deutschen Buchstaben bezeichnet :

6 = ( 9 , , . . . , S n ) . I hre Gesamt,heit bildet den n-dimensionalen. Vektorraum iiber G. Die Elemente g l , . . . , g,, heieen die Konipocenten von 0. Man fuhrt leicht eine Multiplikation der Vektoren, niiinlich die komponentcnweise Multiplikation, der Vektoraddition ini gewohnlichen 1GiIle eirier abelschen, additivpeschriebenen Gruppe entsprechend, ein, womit dann der Vektorrauni selhst zur Gruppe, niimlich z u r n-ten direkten Potenz von G, wird. Jedoch ist diese Multiplikation fur unsere Zwecke nicht von grol3er Bedeutung. Wichtiger fiir u n s ist die Operation, der im Falle eines gewiihnlichen Vektorraums die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar entspricht: Ist 9 eine Abbildung von G in sich, so setzen wir

98 z' CgiQ,. . . , gnQ).

Die von den Komponenten von g erzeugte Unterpuppe von G nennen wir voni Vektor g selbst erzeugt; sie werde mit {p) bezeichnet.

:[st w ( q , . . . , z,) ein Wort in den ,,Unbestimmten" zl, . . . , z,,, also ein Element der von g = (zl, . . . , z,~) erzeugten freien Gruppe gn, so bilden wir den ,,Wert" von W ( F ) fur den Vektor g :

f U ( 0 ) = Wg*, . . . > g,J; di,es ist ein F~lenient \-on G und sogar von (9). Haben wir n solche Worte w , ( ~ ) , . . . , I . , < ( X ) , d. h. tilso einen Vektor

' U ( F ) = (w,(;), . . ' > w,&)) I) ,,Identical relation": [lo]. Der Satz ist auch einfache Folge von [lo], Theorem 12.9. *) W. MAQNUS [7]; fur den Fall, daD %? die Einhcitsgruppe ist, ist dieses Rcsultat bercits

') Man kann die Betrachtungen lvirht auf den Fall unendlicher Ordinalzahlen ausdehnen. in F. w. LEVX [S] enthalten ; vgl. auch H. FEnERER und B. J ~ N S S O N [3].

112 B. H. und H. Ncumann, Charakteristische Untergruppen.

uber 8%) so konnen wir entsprechend den ,,Wert"

B(9) = (W), - - * I . I n @ ) )

bilden; dann ist m ( g ) wieder ein Vektor iiber G (und sogar uber {p}). Hierfur fiihren wir noch eine andere Bezeichnungsweise ein. Die Zuordnung F -+ k (F) erzeugt niimlich eine homomorphe Abbildung von {x} = 3,, auf {ku(g)} 5 Sn, d. h, einen Endomorphismus von S,,. Nennen wir diesen Endomorphismus etwa 8, so konnen wir

setzen. Wir def inieren nun die Wirkung yon 8 auf den Vektorraum uber G

m(E) = be

durch

Ein wichtiger Spezialfall ist der, dal3 8 ein Automorphismus, also (m((~)} = {g} ist ; Automorphismen der freien Gruppe seien mit a, a,, a', . . . bezeichnet, die Automorphismengruppe von 8n mit A,,.

3.1. Satz. Ist a ein Audomorphismua von S,,, so gilt fur alle Vektoren 9

3.11 { 4 4 = {.I.

3.12 { g ) Q g o } . Beweis. Offenbar gilt fur beliebige Endomorphismen 8 von Sn

Daher ist

und die Behauptung folgt unmittelbar. 1st g insbesondere ein Vektor, der G erzeugtl), so haben wir in den Elementen a

von A,, ein Mittel zur Herstellung anderer solcher Vektoren. Wir bezeichnen rnit B die Automorphismengruppe von G, mit @, &, @', . . . ihre Elemente. Diese fuhren ebenfalls stets von einem Vektor g, der G erzeugt, zu einem anderen solchen Vektor g@. Wir kiinnen auch mehrmals hintereinander Elemente aEA, und BEB auf g anwenden und erhalten dann stets wieder einen 0 erzeugenden Vektor.

(9) = {gaa-'>E. {su} C {a),

Q 4. Erzeugende Vektoren. Es sei nun angenommen, daB G sich von n Elementen erzeugen lafit, und

g sei ein Vektor, der G erzeugt. Dann erzeugt die Zuordnung x-+ g eine homomorphe Abbildung von Sn auf G , deren Kern2) mit %(g) bezeichnet sei. Dann ist

G = % m / W g ) - %(g) besteht aus denjenigen Worten r ( ~ ) , die als linke Seiten von Relationen zwischen den Komponenten von g auftreten:

r ( g ) = 1 . ______ *) Ein solcher Vektor existiert, wenn G sich von n Elementen erzeugen llifit. *) Das ist die invariante Untergruppe von $,,, die &us den Urbildern des Einheitselements

von G besteht. (Englisch : ,,kernel" of a homomorphic mapping ; diese Bezeichnungsweise findet nicht nur in der Gruppentheorie .Anwendung.)

H. H. und H. Neumann, Charakteristischc Untergruppen. 113

%(g) wird daher auch die .,Relationengruppe" von g genannt. 1st gt ein anderer erzeugender Vektor von C , so ist % ( g t ) im allgemeinen von %(g) verschieden. Die beiden Relationengruppen fallen genau dann zusammen, wenn gt a u s g tlurch einen Automorphismus /3 von (8 entsteht; d. h. also gt = g p und

% ( g B ) = %@). Uni die Wirkung eines Automorphismus a der freien Gruppe Sn, angewandt

auf g und also mittelbar auf 'ill(@), festzustellen, betrachten wir ein Wort w(x) als Element in Sn und dasselbe Element ausgedriickt in dem Erzeugenden- system ~ a . Es sei dafiir die Bezeichnung wa eingefiihrt, so daB also

4.11 w(z) = W l ( b " )

gilt. Man erhalt wa, indem nim in w fur F den entsprechenden Ausdruck in xu, niimlich z = (za)a-'

einsetzt. Man kann also 4.11 auch in der aquivalenten Form

4.12 2ut(x) = w(ga-1)

iiussprechen, d s j s die Benennung der Unbestimmten unwesentlich ist. Es ist zu bemerken, dnI3

ist, so dab wir aus 4.12 endlich

4.13 w"(g) = u>(,t.)a-*

erhalten. Damit wird die Bezeichnung wa eigentlich iiberfliissig; sie sei jedoch bei- behalten, da sie hier besser palit, wo es sich urn das Analogon einer ,,Koordinaten- transformation", nicht das einer ,,AbbiIdung" handelt.

Bei der homomorphen Abbildung Sn -+ G, die von F -+ g erzeugt wird, geht die Identitiit 4.11 in die Gleichung

4.2 w(a) = w"(g4

iiber, die es gestattet, ein beliebiges Element von G, das durch g ausgedriickt ist, statt dessen durch ga auszudriicken. Die Identitat 4.13 mag dabei als Defi- nition des Wortes wa aufgefaBt werden.

lnsbesondere ergeben die Relationen

4.31 r (s ) = 1

nuf diese Weise Relationen fur ga, nanilich

4.32 ra(ga) = 1 ;

und zwar erhalt man so, wie man leicht einsieht, alle fur ga giiltigen Relationen, wenn man von der Gesamtheit der Relationen von g auspeht. Bilden die Worte r(x) die Reiationengruppe % = %(g), so bezeichnen wir die aus den r"(g) bestehende Gruppe mit '$3" = %(ga). Dabei ist zu bemerken, daB F sich aus % mit Hilfe von a berechnen I&Bt und von der speziellen Wahl des Vektors g nicht abhiingt. Denn wegen 4.13 ist ja 4.4 = %acw-'

Math. Nachr. 1950/51. Bd.,4, H 1-0 8


einfach das Bild von 8 bei dem zu a inversen Automorphismus von &. Hieraus folgt aber nun, wenn j3 E B , 4.5 %(ga-'/?a) = 8 ( g ) .

Denn wir erhalten nacheinander

%(g a-1) = %(g)e,

W B a-'P, = %i(B & - I ) ,

%(ga-'/?a) = '.r(ga-'p) ;Y-'

und da.mit 4.5. Aber wie wir bereits festgestellt haben, folgt aus 8 ( g r ) = '%(g), da13 gi aus g durch einen Automorphismus von G hervorgeht. Also haben wir die folgende Tatsache bewiesen :

4.6. Satz. Zu dem B erzeugenden Vektor g, dem Automorphismus a der freien Gruppe 8% und dem Automorphismus ,4 von giht es einen Automorphismus p' von G derart, dap 4.61 ga-1por = gp'.

Q G. Vektorenklassen und ihre Permutationen. Die Gesamtheit der G erzeugenden Vektoren sei kurz mit I' bezeichnet .

Wie wir in 5 3 gesehen haben, wird r von den a E A und den p E B in sioh abgebildet, und zwar sind diese Abbildungen offenbar sogar Permutationen von r, da sie ja (beiderseitige) Inverse besitzenl). Sie erzeugen zusammen eine gewisse Permutationsgruppe P von F. Die Automorphismengruppe A der freien Gruppe s,, und die Automorphismengruppe B von G werden also homomorph durch gewisse Untergruppen von P dargestellt (die Darstellung von B ist sogar notwendig treu).

Die Menge der Vektoren, in die P einen gewissen Vektor g aus r iiberfiihrt, werde das ,,Transitivitatssystem" oder kurz ,,T-System" von (1 genannt und mit g P bezeichnet. Dann zerfiillt I' offenbar in eine Menge von T-Systemen, deren jedes von P transitiv permutiert wird.

Die Menge der Vektoren, in die B einen gewissen Vektor g aus I' iiberfiihrt, sei die ,,B-Klasse" von g genannt' und mit g B bezeichnet. Dann zerfiillt das T-System g P offenbar in eine Menge von B-Klassen, deren jede von R transitiv perniutiert wird.

5.1. Satz. Beskht ein T-System g P a w mehr a h einer B-Klasse, xo bilden die B-Klassen urn gP ein Imprimitivitatssystem fiir die Gruppe P. Die Elemente u E A fuhren stets B-Klassen in B-Klassen uber und permutieren die B-Khssen eines T-Systems transitiv.

Beweis Gehoren g und 9' derselben B-Klasse an, ist also 0' = gp fur eiii geeignetes P E B , so gehijren auch ga und gru = gpa derselben B-Klasse an ; denn wegen 4.6 gibt es ein B'E B so, dnlj

9'" = gpa = (ga)a-'/?a = g u p ' E g a B

1 ) All dies ist zwar auch auf den ganzcrl Vektclrraum uhcr G anwenchar, aber wir sind hicr nur an P interessiert.

B. H . und H . Neumann, Charakteristischc Untergruppcw. 115

1st. p a die Elemente von B naturgemLB die B-Klassen invariant lassen und da P von den von A und B induzierten Permutationen erzeugt wird, kann die transitive Wirkung von P auf das T-System nur dadurch zustande komnien, dal3 A die B-Klassen transitiv permutiert. Auch ist nun klar, daB die B-Klassen von allen Permutationen in P wieder in B-Klassen ubergefiihrt werden, also ein Imprimitivitiitssystem bilden, und die Behauptung folgt.

Wir kiinnen also P durch eine Gruppe von Permutationen der B-Klassen darstellen; diese Gruppe’sei mit 17 bezeichnet. Die Parstellung yon P durch 17 liefert mittelbar auch Darstellungen von A und B durch Untergruppen von’n . Dabei wird B offenbar trivial, d. h. nur durch die Einheitsgruppe, dargestellt, wiihrend das Rild von A die ganze Gruppe 17 ist.

5.2. Satz. Der Kern der homomorphen Abbildung von A auf enthiilt die Gruppe I der inneren Automorphismen der freien Gruppe; n stellt daher die Gruppe A* = A / I der Automorphismnklassen der freien Gruppel) dar.

Beweis. Ein innerer Automorphismus L von & wird durch

F L = ~ ( E ) - ’ F ~ ( F ) (w(z) €?in)

gegebeii .

und die Zuordnung g + g i wird durch einen inneren Automorphismus von C , niimlich durch Transformation mit w(g), vermittelt. Daher ist

gB1= g iB= 0 B ; also iiiBt i jede B-Klasse invariant, und die Behauptunp folgt.

Q 6. Die Aiitomorphismenklassengruppe der freicn Uruppen. Wir schieben eine Betrachtung der Gruppe A* der Automorphismenklasserl

der freien Gruppe mit n Erzeugenden kin. Die Automorphismengruppe A selbst l&Ot sich durch vier Elemente p, v , z, e erzeugen2), die wie folpt definiert sind:

6.11 x lp = x2, x2p = zl, x i p = zi (i = 3, . . . , n); 6.12 X I V = X I , x n v = x2, x i - i v = q (i = 3 , . . . , n); 6.13 xlTC = XI, X2TC = 2;1, : i J t = xi (i = 3, . . . , n); 6.14 x l e = x,, xze = x1x2, x i e = q (i = 3 , . . . , n) .

Fur n = 2 ist dabei v einfach dem identischen Automorphismus gleichzusetzen. Der Fall n = 1 ist nicht von Interesse. Zwischen diesen Erzeugenden gelten gewisse definierende Relationen3), die uns vorerst nicht beschaf tigen.

Betrachten wir insbesondere das Element

L ( ( e z ) 2 v ) n - 1 ,

’) Im allgemeinen nicht treu. 2, Nach J. NIELSEN [ll]; die Anzahl 1aDt sich verringern, siehe [8]. Die hier benutzten

Erzeugenden sind, auf unsere speziellen Zweclie passend zugesehnitten, von den Nielsen- schen abweichend gewiihlt.

s, Siehe J . NIELSEN [ll]. Wie Herr Nielsen im Referat der Arbeit [8], Zbl. Math. 5 (1933), 244 festgestellt hat, ist auf S. 373 die Formel (17c) falsch; wenn sie (durch Einfiigung von 9’ vor 8” auf der rechten Seite) richtiggestellt wird, so wird sie nicht mehr iiberflussig und muB in Satz 2 (S. 373) mit aufgefuhrt werden.

8*

116 H. H. und H. Neumann, Charakteristische Untergruppen.

so ist 2,1 = x,, q i = xlxix;l (i = 3 , . , . , n ) ,

also L innerer Automorphismus, namlich Transformation mit xT1. Da man jedes xi"' durch einen geeigneten Automorphismus in A in 5' iiberfiihren kann, so kann man die Transformation mit xf' als in A zu L Konjugierte darstellen. Diese Transformationen erzeugen aber alle inneren Au tomorphismen der freien Gruype; daher ergibt sich die folgende Tatsnche:

6.2. Satz. Die Gruppe I der inneren Automorphisnzen uon Sn wird uon dem Element 6.21 i = ((en)2jp)1L-L

und seinen Konjugierten in der ganzen Automorphismengruppe A erzeugt. Bie Gruppe A* = A / I der Automorphismenklassen wird a m A durch Hinzufugung der einen definierenden Relation

6.22 ( (err )2v)"- ' = I erhalten.

Der Fall n = 2 , der fur unsere Anwendungen am wichtigsten ist, gestaltet sich besonders einfach und sei daher ausfiihrlicher behandelt. I n diesem Fall wird A von p , z, e erzeugt, da. ja 11 = 1 ist; die definierenden Relationen sind

6.31

6.32

6.33

6.34

6.35

8.36

1)ie Relation 6.22, deren Hinzunahme A* ergibt, ist jetzt einfach

6.37 (en)2 = 1.

Nun folgt 6.34 nus 6.32 und 6.37, wird also iiberfliissip. Ferner kann man n durch ,u und e ausdriicken:

6.4 JT = #~@lue- ' lCe .

Dies kann nian entweder dadurch bestiitigen, daB nian die linke und rechte $eite in A mittels der Definition 6.1 ausrechnet und vergleicht, wobei sich ergibt, da13 sie bis auf einen inneren Automorphismus, namlich Transformation mit z2, ubereinstimmen; oder aher man rechnet es sich formal aus den Relationen 6.3

Nun kann man noch 6.4 fur rr in den iibrigbleibenden Relationen einsetzeri. &US.

Wir haben dann (da 6.34 sich schon als uberfliissig erwiesen hat):

6.51 12 = 1 .

6.52

6.53

6.54

B. H. und H. Keurnann, Charakterietische Untergruppen. 117

6.55 (e2pp- ' ,ug,4~ = 1 ,

6% (epepe- 'pd2 = 1. Setzen wir zur Abkiirzung

so ist z = (pp)- 'p(pp) zu ;u konjugiert, also wegen 6.51 ist t2 = 1 . 6.52 ergibt dann

t p = @ - I ,

worau s

folgt. Aber dies ist der Relation 6.55 aquivalent, die also bereits aus 6.51, 6.52 folgt und iiberfliissig ist. Ferner ist die linke Seite von 6.56

w-lpep = z,

t @ Z t = e - 2 , (@?# = 1

(epev)' = (ewe-'iu)' = (Cceiue-llu)' = W $ ) - ' p ( e - ' p V = 1 , d. h. also, auch 6.56 folgt a m 6.51, 6.52 und ist nun uberflussig. Piihren wir weiterhin an Stelle von p eine neue Erzeugende

6.61 p-'p = a, p e = a-' ein, so da13 also 6.62 ,u = ea wird, so wird aus 6.51 6.71 (pa)? = 1.

Da nun wegen 6.71 pa = u-'e-' und a e = e-'a-' ist, so wird dies 2 - 2 - 1 '2 -

(0- e a 1 - 1 ,

6.72 (@ZU3)2 =- 1 .

oder, nach geeigneter Transformation und ne rgang zur Reziproken,

Aus 6.53 wird

oder nach Transformation niit e 6.73 ( @ 3 2 ) 4 = 1. Endlich wird 6.54 xu

(@a2 @)3 = 1 , oder 6.74 ( ~ ~ 2 ) ~ = 1 .

Damit haben wir also nun die folgende einfache Gestalt von A* in1 h l l e n = 2 gewonnen :

6.7. Satz. Die Gruppe A* der Automorphismenklassen der freien Gruppe von zwei Erzeugenden kann von zwei Elernenten e, CT erzeugt werden, zwischen denen die definierenden Relationen

6.71 (eaY = 1 >

6.72 (p2a3)Z = 1 , 6.73 (e3a2)4 = 1 , 6.74 ( ~ ~ 0 ~ ) ~ = 1

118

bestehen. Dabei bedeuten e, G die Automorphismenklussen, die durch

B . H. und H. Neumann, Charakteristische Untergruppen.

xle = q, XIU = 22,

x2e = xlx2, x2u = x2&z1

.(modulo der Gruppe I der inneren Automorphismen) definiert e i d . An Stelle von e, u konnen auch e und 11 = e u zur Erzeugung der Gruppe verwendet werden.

fj 7. Die T-Uruppen und U-Uruppen einer Gruppe.

Wir kehren zu der in 3 6 betrachteten eachlage zuriick. Die zu dem Vektor g iiber CT gehorende Relationengruppe %(g) hilngt 'nicht eigentljch von g selbst, sondern von der B-Klasse g B ab; denn dieselbe Relationengruppe gehort ja zu jedem Vektor gp, der aus g durch einen Automorphjsmus ,9 E B entsteht. Wir erhalten andere Relationengruppen fur G genau dann, wenn wir Vektoren 9' in anderen B-Klassen benutzen. Wir betrachten insbesondere den Durchschnitt von solchen Relationengruppen.

7.1. Safz. Der Durchschnitt w = n w g i ) n ' e n P

ist eine charakteristische Untergruppe von 3,, , und mar die groate in % (g) enthaztene charakteristische Untergruppe von Sn .

Beweis. Es sei kurz

gesetzt. Da d le g' E g P von der Form

g'= gpa @EB, a E - 4

sind, erhiilt man alle in den Durchschnitt S (9) eingehenden Relationengruppen in der Form (vgl. 4.4)

%(g') = w = !xu-*,

iiiid diese Gruppen treten nuch alle in dem Durchschnitt auf. Also ist

~ ( 9 ) = n 'a& u e A

Wendet man bier auf den Durchschnitt einen Automorphismus von & an, so werden die Relationengruppen nur permutiert, der Durchschnitt bleibt un- geandert. Also ist Z(g) charakteristisoh in s,,. 1st nun 2' eine in 'a enthaltene charakteristische Untergruppe von s,,, so ist auch

21 Is0

LaBt man LY die game Automorphismengruppe A durchlaufen, so ist

si C n = x ( g ) , U€d

wonlit auch die behauptete Maximalitat von S(g) bewiesen ist.

H. H. und H. Neumann, Charaiiteristieche Untergruppen. 119

Offenbar hiingt S(g) nicht von g selbst, sondern nur von dem T-System ab, in dem g enthalten ist. Um schlieBlich eine von der speziellen Erzeugungl) von B panz unabhiingige Bildung zu erhalten, betrachten wir den entsprechenden Durchschnitt, wenn g die Menge r aller G erzeugenden Vektoren durchliiuft.

7.2 . Satz. Der Durchschnitt u, = u,(c) = n %(g)

a e r

ist eine iibercharakteristische Untergruppe von 3,. Beweis. Die Gruppen %(g) bilden die Gesamtheit aller invarianten Unter-

gruppen von s,l, deren Faktorgruppe zu G isomorph ist. Denn ist B invariant in s,, und

und wird bei einer isomorphen Abbildung 6 auf go abgebildet, so mu13 {go} = G, also gcET Sein, und

Der Satz ist nun unmittelbare Folge von Satz 2.6. Es driingt sich hier die Vermutung auf, dalj U, die groate in !I3 enthaltene

iibercharakteristische Untergruppe von 8, ist ; dies wiire sicher dann richtig, wenn die Antwort auf die folgende, noch ungeloste Frage positiv ausfallen wiirde :

7.31. Problem. ES seien '8 und 6 zwei invariante Untergruppen von 8, und 8 s B, 80 dap also H = &,JS homomorphes Bild von # = BnJ% ist; nzUp dann notwendig auch U(a) & U(H) sein ?

Dieses Problem kann auch anders gefal3t werden, was hier ohne nlhere Er- iirterung angegeben sei :

7.32. Problem. Ea seien G und H Gruppen, die aich durch n EEemente erzeugen kcmen, und H sei homomorphes Bi2d von G . Gibt es dann zu j&m H erzeugenden Vektor (stets mit n Komponenten) eine homomorphe Abbildung 9 von B auf H 7cnd einen G erzeugenden Vektor 'g, der dabei auf f) abgebildet wird, so dap ako

(5 = %(go).

gilt '1

Ueht rnnn noch einen Schritt weiter und betrachtet den Durchschnitt der Helationengruppeii %(g) fur a l le Vektoren uber G , aIso auch diejenigen, die echte Untergruppen von G erzeugen, so erhiilt man eine vollinvariante Unter- gruppe !&(G) von 3,t, die nebst ihrer Faktorgruppe in 8% schon friiher ([lo], insbesondere 5 11) untersucht worden ist. Nun ist also offenbar

7.4

Es sei noch dartiuf hinpewiesen, daB wir hier n stets festgehalten haben und dabei tingenomnien haben, daB G von n Elementen erzeugt werden kann; diese Be- schrlnkung ist nicht erforderlich, wenn man nur die vollinvarianten Gruppen Bz,(G) untersucht. In dem hier behandelten Fall kann man jedoch die Gruppe %,(G) als die piiBte in %(g) enthaltene vollinvariante Untergruppo von charnkterisieren ([lo], Theorem 11.3). Mit Hilfe dieser 'I'tltsache heweisen wir :

s n 2 W g ) 2 a g ) 1 Utb(G) 2,%l(G).

l) Wicht ;Iher von tler Iheugentlenxahl n , die frstgchaltcw wird.


7.5. Satz. 1s t G abelsch (und von n Elementen erzeugbar), so fallen S(g), U,(G) und Bn(G) zusammen.

Beweis . Nach einem Satz von F. W. LEVI ([6], Satz 2) ist jede charakteristische Untergruppe einer freien Gruppe &, die die Kommutatorgruppe 8,: enthalt, vollinvariant in der freien Gruppe. 1st G abelsch, also &', E, %?(g), so ist auch offenbar SLL Z(g). Da Z(g) die grofite charakteristische Untergruppe von %n in %(g) und nach dem zitierten Satz von Levi vollinvitriant ist und d;i Sn(G) diegrofitevollinvariante Untergruppevon7jn in R(g) ist, soist S(g)=%n(G), und wegen 7.4 folgt die Behauptung.

Da die in 7.4 aufgefiihrten Gruppen alle invariant in Sn sind, konnen wir ihw Paktorgruppen bilden, fiir die wir die folgenden Bezeichnungen benutzen :

Sn/S(g) = T(g)> Sn/Un(G) = u n ( G ) > 3JBn(G) K(G) . Offenbar ist U,, (G) homomorphes Bild von V, (G) , T(g) homomorphes l 3 i I t l von U,&(G) und G homomorphes Bild von T(g). Insbesondere ergibt sich: 7.6. Satx. Ist G endlich von der Ordnung [GI , so ist nuch U,,(G) endlich, und die Ordnung von U,, (G) teilt I al'"". 7.61. Korollar. Ist a endlich, so ist U,(G) hltracharakteristisch in 5,.

KorolIar 2.7 1.

qruppen kann inan auch dual ihre Erzeugnisse

Der Satz ist unmittelbare Folge von [lo], Theorem 14.2, das Korollur VOII

An $telle der hier untersuchten Durchschnitte Z(g), Un(GZ) von Relationen-

7.71 D(O) = u %((B')>

7.72 %,(G)= u RFt(Er) Il'enP

R e l -

betrachtenl). Dann zeigt man leicht, daR Q(g) die kleinste %(@ enthaltende charakteristische Untergruppe von ist und daB auch p n ( G ) in SW charakteristisch ist. Ob P,L(G) etwn notwendig ultrnchnralrteristisch ist, ist wiedernm ein noch nngelijstes Problem.

($ 8. Mcthode zur Bereehniing der T- und U-Gruppen. Nach dem Gesagten ist es nicht schwer, eine Methode anzugeben, urn die

Gruppen T(g) und U,,(G) zu berechnen, wenn G und g gegeben sind; eine solche entspringt nuturgemLI3 a u s einer in [lo], Q 14 fur die Berechnring von V,(G) her- geleiteten Methode.

I n der Menge I' aller G erzeugenden Vektoren wahlen wir uus jeder B-Klasse gennu einen Rcprasentnnten g1 tius, wobei CT eine geeignete Indexmenge Z durchlnufen moge. Dann wahlen wir zu jedem cr E 2 eine Gruppe G, isomorph zu G und bilden das direkte Produkt2) d e r dieser Crruppen G,. Schliel3lich be-

I) Das %,, (G) entspreclicnde Erzcugnis der zii allen Vektoren gehBreiidcri Relntionrn- gruppen ist offenbar stcts Sn.

*) 1st 2 uncndlich, so bilden wir das ,,unbeschrankte" direkte Produkt der a,, d. 11. wir lassen Elemente zu, in dcnen uncndlich vide Koinponcnten von dcm Einheitselement vcrscliicdcn sind. Das bcscltrankte dirckte Produkt, das nur &us dcnjcnigcn I3lemcnten bc- stclit, dic in endlich viclcn Komponcntcn =b1 sind, w i d von den Komponentcn erzeugt und wird clcshalb von manchrn Autoren schlcclltliin d i ~ s direkte Produkt, gennnnt.

H. H. und H. Neumann, Charnktcristisrhe LJntergruppen. 121

trachten wir in dieseni direkten Produkt n Elemente ~ 1 , . . , , u , ~ derart, da13 die Koinponente von ui in G , die i-te Komponente g,i des Vektors gu ist.

8.1. Sat,z. Die von dem Vektor u = (q, . . . , u,) erxeugte Gruppe ist U,, (G) isomorph.

Beweis. 1st w ( ~ ) ein Wort, so ist die Komponente von w(u) in G , offenbar w(g,); also ist dann und nur dann r ( u ) = 1 eine Relation in {<}, wenn r (g , ) = I fur nlIe 0 E Z, also

r ( ~ ) E n w,) U € E

ist. Aber dn unter den go aus jeder B-Klasse ein Repriisentant vorkommt, so ist

n w g u ) = n w g ) = ~ m . U E Z O E r

Bei der durch -+ u verniittelten homomorphen Abbildung von Sn auf {u} ist also der Kern gerade U,(G) , und die Behauptung folgt.

Es seien nun unter den g, diejenigen ausgesondert, die zuin T-System gP eines festen Vektors g gehoren. Ihre Indizes mogen die Teilmenge ZlcZ bilden. Nun betrachten wir das direkte Produktl) der G, mit u E Zl und dariri n Ele- mente 4 , . . . , t,,, die wie vorher die ui definiert sind; die Komponente von ti in G ist also die i-te Komponente gui von gu; der einzige Unterschied ist, dal3 u hier nur Zl durchlauft.

8.2. Satz. Die von dem Vektor t = ( t l , . . . , tn) erzeugle Gruppe ist T(g) isomorph.

Der Beweis verliiuft den1 von Satz 5.1 ganz analog und sei hier ubergangen. Satz 5.1 zeigt nebenbei, daB die in Satz 7.6 fur die Ordnung von U,(G) an-

gegebene Schranke in1 sllgemeinen vie1 zu grol3 ist. Denn ist 121 die Kardind- zahl von Z, IBI die Ordnung von B, \GI die Ordnung von G , so i s t

und die Ordnung von U,,(G) sicher ein Teiler von IG[l"l.

Kapi t e l 111.

Anwendungen und Ueispicle. 5 9. Die nicht-akelschen (druppen der Ordnung 8.

ln den Beispielen, mit denen wir die allgemeine Theorie illustrieren, wLhlen wir durchweg n = 2 . Zur Vereinfachung der Rchreibweise koinnien wir uberein, zl, z2 durch 5, y zu ersetzen, gl, g2 durch g , h, ferner t , , t , durch s, t und schlieB- lich ul , u2 durch u, v. Auch werden wir bei Gruppen niit nur eineni T-System, bei denen dso r ( g ) u n d T(g) gar nicht von dem erzeugenden Vektor. $1, sondern nur von G abhiingen, statt tlessen X(G) und T(G) schreiben.

Abelsche Gruppen ergeben, wie wir bereits wissen, nichts I ritercssantes (Satz 7.5; vgl. auch LEVI [6], Satz 2 ; ferner [lo], Theorem 19.1). Wir wenden uns den beiden nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8 zu.

Es sei Q die Quaternionengruppe; sie liifit sich von g, h erzeiigen Init den definierenden Relntionen 9.1 y - ' h g h = 1 , h-'ghg = 1 .

122 B. H. und H. Ncuniann, C harakteristische I'ntorgruppen.

Sie besitzt 24 emeugende Vektoren und 24 Automorphismen: daher bilden die erzeugenden Vektoren eine einzige B-Klasse. Also ist fur die Quaternionengruppe

9.2

niit den definierenden Relationen

w3) = 2(&) = %(S) . Es sei D, die Diedergruppe der Ordnung 8; sie l&Bt sich von g, h erzeugen

9.3 g4 = .I, h2 = 1 , ( g h ) 2 = 1 .

$ie besitzt ebenfalls 24 erzeugende Vektoren, aber nur 8 Automorphismen, daher also 3 B-Klassen. Diese werden von den Vektoren

91 = (9, h ) , 9 2 = (h , 9 ) ) 93 = (4 hg) repriisentiert. Diese gehen durch A ineinander iiber, indem niimlich

92 = SIP, 93 = S2@

ist. Daher bilden alle erzeugenden Vektoren nur ein T-System. GemiiB der Methode von f 8 setzen wir

ZL = s = g1 x h2 x h,, v = t = h , X g2Xh3g,

( ~ o b e i sich die Indizes tluf die drei in das direkte Produkt eingehenden Exemplare von D, beziehen). Zwischen u und v bestehen die Relationen')

9.4

DaB 9.4 ein vollstandiges System von definierenden Relationen ist, sieht man so ein: Die Ordnung der durch 9.4 definierten Gruppe ist 32, da die Kommutator- gruppe offenbar die Ordnung 2 und ihre Faktorgruppe die Ordnung 16 hat. Die Ordnung von U2(D,) mu8 also 32 teilen. Andererseits hat %(gl) den Index 8 in '&; %(g2) ist von %(gl) verschieden, also hat %(g,) n %(g2) mindestens den Index 16 in S2; und %(gl) n %(g,) ist nicht in %(g3) enthalten, da z. B. ( ~ y ) ~ in %(g,)n%(g2), nicht aber in %(g3) liegt. Also ist der Index von

u4 = u4 = [u, V]Z = [u, u, u] = [u, v , v] = 1.

u2(D8) = %(gI) n8(g2)n%(g3) nnndestens 32. Mit dem oben Gesagten ergibt sich, daB U,(D,) genau von der Ordnung 32 und durch 9.4 definiert ist.

Die Relationen 9.4 gelten nicht nur fiir die Ereeugenden u, v, sondern fur slle Elemente bzw Elementepaare der Gruppe U 2 ( D , ) ; d. h. in U2(D,) gelten die Regeln2) 9.51 X 4 Z 1 , y"= 1 ;

9.52 Ts, Y12 = 1; 1

0.53 rx, Y, 21 = 1 , rZ, Y, YI = 1. Nach [lo,] 3 12 mu13 daher U,(D,) eine V-Gruppe, d. i. die Faktorgruppe

einer vollinvarianten Untergruppe der freien Gruppe, sein. Also ist U,(D,) = V2(D8). Man iiberzeugt sich auch unschwer, daB die Regeln 9.6 auch in der Quaternionengruype gelten und daB V2(Q) mindestens die Ordniinp 32 haben

I ) MTir lwnutzen die iiblichen Ahkiirzungen

2 , Die heiden Regdn 9.51 sind &qiiivaIrnt; ebenso dic. beiden Rtxgrln 9.63. [z,y1= "-'y-'zy, [5, y , z l -- "z ,y l , z ] , usw.

B. H. und H. Neumann, Charakterietische Untergruppen. 113

muD, also genau die Ordnung 32 hat und mit V,(D,) zusammenfallt. Zusummen- fassend haben wir so: 9.6. Sntz. Fur die Quaternionengruppe Q und die Diedergruppe D, der Ordnung 8 gilt

9.61 9.62

Das Beispiel dieser beiden Gruppen zeigt also insbesondere, daB die U- Gruppen tcttsilchlich, wie man ja erwarten sollte, eine feinere Unterscheidung der Gruppen erlauben a h die V-Gruppen.

Q IP. Die Ikosaedergruppe.

10.1

Um die Unterscheidung zwischen T-Gruppen und U-Gruppen, also zwischen charakteristischen und ubercharakteristischen Untergruppen der freien Gruppen, zu rechtfertigen und genauer zu beleuchten, betrachten wir die alternierende Gruppe '21s vom Grade 5 (die Isokaedergruppe).

'215 hst- 19 B-Klassen'), fur die die folgenden Vektoren ein Reprasentanten- Jyatem bildeng) :

gl = ( ( 1 2 3 4 5 ) , ( 1 2 3 5 4 ) ) , Qa = ( ( 1 2 3 4 5 ) , (13)(26)) , g3 = ( ( 1 2 3 4 5 ) , ( 1 5 3 4 2 ) ) , 94 = ((1 2 3 4 51, (2 4 3)), 9s = ((1 2 3 4 5 ) , (I 4 5 ) ) >

Pa = ( (123) , ( 1 2 3 4 5 ) ) , 67 = ((1 2 3)) (1 3 2 4 5 ) ) >

go = ((1 2) (3 4), (1 3 5 2 a,), g i n = ( ( 1 2 3 4 5 ) , ( 1 3 4 2 5 ) ) , 911 = ((1 23451, (1 5 3 2 4 ) ) , Sia = ((1 2 3 4 5 ) , (143)) , 61s = ( ( 1 2 3 4 5 ) , (12) (45) ) ,

BlS = ((1 2 3), (1 3 5 2 4)) 9

917=((123) , ( 1 5 2 3 4 ) ) ,

SlO = ((1 2) (3 4), (1 3 5 ) ) .

66 =( (123) , (145)),

914 = ((l 2 3 4 5 ) , '(235)),

916 = ( ( 1 2 3 ) , (14)(25)) ,

S18 = ( (I 2, (3 4), (l 5 ) ) 9

l) Vgl. P. HALL [61, § 1.6, I4.2. z, Die von SOPHXIC PICCARD [13], S. 134-136 aufgeziihlten 22 ,,Baaen" aind ungeordnete

Paare von Erzeugenden, die nicht volle B-Klassen, sondern nur Klassen in ?I6 konjugierter Bawn reprasentieren. Dadurch erklaren sich die Unterechiede zwischen ihrer Abziihlung und der von P. HALL[^]. Man erhiilt Halla Anzahl d , (unser IZl), indem man von Mme. Piccards Reprasentantenanzahl die Halfte der representants indbpendants de seconde espkce abzieht und im Falle von 9Y8 noch uberdies durch 2 dividiert (wegen der Existenz auBerer Automorphismen der symmetrischen Gruppe E6 vom Grade 6). Wir haben zum Teil von den Piccardschen abweichende Reprasentanten gewiihlt.

124 B. H. und H. Neumann,. Chqrakteristisehe Untergruppen.

Die Gruppe 17 der Permutationen der 19 B-Klassen (vgl. 8 5 ) wird von den folgenden beiden Permutationen p', e', den Erzeugenden p und e von A* (vgl. Satz 6.7) entsprechend, erzeugtl) :

10.2 ,d = (2 9) (4 7) (5 6) (12 15) (13 18) (14 17) (16 19), ef = (1 2 3 4 5 ) (6 7 8) (10 11 12 13 14) (15 16 17) (18 19).

Man sieht sofort, daf3 17 intransitiv ist, und zwar werden die Indizes 1 , . . . , 9 und die Indizes 10,. . . , 19 je unter sich permutiert. Es liegen hier also zwei T-Systeme vor, und es is+

9 10.31

10.32

Da q5 einfach ist, sind die Faktorgruppen direkte Produkte von zu '9X5 isomorphen Gruppen, und zwar 9 im Fall von T(gl), 10 im Fall von T(gl0). Aus dem gleichen Grunde mu13 10.4

also direktes Produkt von 19 Gruppen N5 sein, wie bereits P. Hall [5] gezeigt hat. Zusammenfassend haben wir :

10.5. Satz. Die Ikosaedergruppe besitzt zwei T-Xysteme von Erzeugendenpaaren ; das eine enthalt 9, das andere 10 B-Klassen, Ist Ikosaedergruppe, so ist die Faktorgruppe der gropten in 8 enthaltenen in & charakteristischen Gruppe direkt es Produkt von 9 oder 10 Ikosaedergruppen.

Es sei noch darauf hingewiesen, da13 es in & genau ('9") Relationengruppen gibt, deren Faktorgruppe direktes Produkt von 9 Ikosaedergruppen ist, und von diesen Relationengruppen ist genau eine charakteristisch. Es gibt auch ebenso viele, namlich (i:) Relationengruppen, die das direkte Produkt von 10 Ikosaeder- gruppen definieren, und auch von diesen ist geneu eine charakteristisch. Da- gegen gibt es nur eine Relationengruppe in g2) die das direkte Produkt von 19 Ikosaedergruppen definiert : diese ist ultracharakteristisch.

ist dns direkte Produkt

U2(%) = T(gJ x T(%o),

Die Gruppe

n = Eg x El(), wobei die symmetrisehen Gruppen Gg und GI,, die Indizes I, . . . ) 9 bzw. 10, . . . , 19 permutieren. Jedoch ist der Nachweis dieser Tatsache miihsam und sei daher hier nicht gefuhrt.

Xbenfalls ohne Beweis sei angegeben, daB die syinmetrische Gruppe 6, 57 5 ! verschiedene (geordnete) Pmre von Erzeugenden2), also 57 B-Klassen

-) Wir fassen 17 ah Gruppe von Permutationen drr Indexmenge Z, d. 11. also einfach der Zahlen 1 , 2 , . . . , 19 auf.

2, Die von SOPHIE PICCARD [l2], S. 98 aufgezahlten 31 ,,Basen" sind ungeordnete Paare von Erzeugenden, die nicht volle R-Klassen, sondern nur Klassen in (36 konjugierter Basen repriisentieren. Die Anzahl der R-Klsssen der symmetriachen Gruppe 6, ist Mme. P iccards K, ([12], S. 88), auDer im Falle von Ge, wo K , noch zu halbieren ist, um der Existenz der W h e n Automorpliismenklasse von G6 Rechnung zu tragen.

B. H. und H. Neumann, Charakteristische Untergruppen. 125

bes i tz t ; diese zerfallen in drei T-Systeme m i t 15 bzw. 18 bzw. 24 B-Klassen. D i e Gruppe 11 perniut ier t die B-Klassen jedes T-Systems imprimitiv, und zwar wirkt I7 RIS e ice Untergruppe vom I n d e x 16 des ,,Gruppenkranees"l\

G3(G;5 x G6 x (5.e) iind h a t daher die Ordnung k 3 ! (Fi! 6 ! 8!)3.

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Zwei Klassen charakteristischer Untergruppen und ihre Faktorgruppen