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Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich?
Fortschritte und weitere Entwicklungsfelder nach gut zehn
Jahren SINUS
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Leserbrief Badische Zeitung 2005
Bruchrechnen erweist sich in derPraxis als sinnlos
„Schüler wissen wohl, wie man Brüche multipliziert, sie können mit diesem Wissen aber nichts, ganz und gar nichts anfangen.“
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Rückblick
TIMSS 1996: Bei Aufgaben in Einzel-, Partner- oder
Gruppenarbeitsphasen 89 % Üben von Routineprozeduren 6 % Anwendung mathematischer Konzepte 5 % Problemlöse- und Denkaufgaben
Kein Platz für individuelle Zugänge
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Offene Baustellen nach Heymann 1996
Schüler kommunizieren vorwiegend mit dem Lehrer bzw. über den Lehrer miteinander
Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben
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Das Beherrschen eines mathematischen Gebiets wird über das Einfordern konkreter Lösungen zu vorgegebenen Aufgaben kontrolliert
Fehler werden sofort korrigiert Es gibt nur richtige und falsche Antworten Fehler werden als Indikatoren für Misserfolg
gedeutet
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Schülergedanken, die aus Sicht des Lehrers vom offiziellen Thema wegführen, werden nicht weitergeführt
Es gibt immer nur einen zugelassenen Lösungsweg
Mathematiklernen wird von den Schülern als das Nachvollziehen vom Lehrer vorgegebener Wege erlebt
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Im wesentlichen werden nur die Ergebnisse des Denkens mitgeteilt und für die anderen Unterrichtsteilnehmer „veröffentlicht“
Die im Unterricht gestellten mathematischen Aufgaben und Probleme sind eindeutig und nur auf eine Weise lösbar
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Fragen nach Sinn und Bedeutung der Mathematik sind nicht Gegenstand des Mathematikunterrichts
Jedes mathematische Teilgebiet steht im wesentlichen isoliert für sich
Der Unterschied zwischen mathematischen Konventionen und Notwendigkeiten wird nicht thematisiert
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Verantwortlich für das Lernen der Schüler ist der Lehrer
Der Mitschüler wird im wesentlichen als Konkurrent betrachtet
Die allermeisten Baustellen sind in der Zwischenzeit deutlich und auf vielfache Art bearbeitet worden
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Vielleicht noch zu wenig: Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt
sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben
Das Beherrschen eines mathematischen Gebiets wird über das Einfordern konkreter Lösungen zu vorgegebenen Aufgaben kontrolliert
Schülergedanken, die aus Sicht des Lehrers vom offiziellen Thema wegführen, werden nicht weitergeführt
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Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben
Schüleraktivierung auch durch komplexere Probleme
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Wie sieht die fehlende Figur aus?
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Zwischen Parallelen sind gleichseitige Dreiecke gezeichnet.Wie groß ist jeweils der grau gefärbte Anteil am ganzen Dreieck?
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Das Märchen vom Teufel und dem armen Manne
Der Teufel sagte zu einem armen Manne: „Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen.“ Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr.
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Diese Aufgabe eignet sich gut zum produktiven Üben
Variation der Aufgabenstellung: Was wäre, wenn... Wie viele Taler müsste der Mann am Anfang
haben, dass er der „Gewinner“ ist? Schreibe die Geschichte mit einem anderen
Ende! Diskutiert den letzten Satz! Könnte er nach
dem dritten Brückengang auch Schulden haben?
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Mögliches Vorgehen im Unterricht
Einstimmung, Gewöhnung Wie bist du vorgegangen? Was hat dir geholfen die Aufgabe zu lösen?
Bewusstmachung einzelner Strategien an typischen Beispielen
(selbstständiges) Bearbeiten von Analogieaufgaben
Kontexterweiterung, Transfer Wahl der Strategie, Begründen der Wahl
Eigene Problemlöseverhalten reflektieren (aufschreiben)
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Zum Problemlösen gehört auch
Fragen stellen und formulieren üben Selbstbeobachtung beim Problemlösen Selbsteinschätzung: Was kann ich gut? Was
kann ich weniger gut? Verschiedene Lösungswege kennen lernen,
um die eigenen Vorlieben und Talente zu entwickeln oder zu lernen, in verschiedene Richtungen zu denken
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Prinzipien und Strategien
Analogieprinzip Zerlegungsprinzip Rückführungsprinzip Reduktionsprinzip
Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten
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Algorithmen und Heurismen
Prozedurales Wissen Konzeptuelles Wissen (nach Hiebert)
„Zuerst müssen die Techniken beherrscht werden!“
Müssen sie das wirklich immer?
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Probleme können zu Begriffen führen
Wie viel zusammen? Summe
Wie groß der Unterschied? Differenz
Wie gerecht verteilt? Quotient
Welcher Preis ist angemessen? Zuordnung
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Beispiel aus der Geometrie
Die Karte zeigt ein Stück Land. Es gibt fünf Brunnen in diesem Gebiet. Stelle dir vor, du stehst bei X mit einer Herde von Schafen, die Durst haben. Zu welchem Brunnen gehst du?
Die Wahl war natürlich nicht schwierig. Du gehst zum nächstgelegenen Brunnen. Entwickle nun eine Einteilung des Landes in fünf Gebiete, so dass zu jedem Ort in einem Gebiet der Brunnen in diesem Gebiet der nächstgelegene ist.
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Bedenken und Erfahrungen Haben die Schüler die Ausdauer, um an den
Problemen „dranzubleiben“? Meistens ja
Können die Schüler die Ergebnisse adäquat darstellen? Meistens ja
Werden Ergebnisse kritisch reflektiert und systematisch validiert? Meistens nein
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Wann ist eine Lösung eine sinnvolle Lösung?
Die Antwort erscheint einfach:Wenn sie „passt“.
Aber das heißt oft nicht oder nicht nur, dass sie „objektiv richtig“ ist.
Daher ist es wichtig, grundsätzlich mehrere Alternativen zu prüfen und gegeneinander abzuwägen
Die Lehrkraft kann auch ganz bewusst suboptimale Lösungen anbieten
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Fehlerhafte Flächen bei drei „Brunnen“
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Was „passt“ ist kontextabhängig
Steckdosenaufgabe
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Das Beherrschen eines mathematischen Gebiets wird über das Einfordern konkreter Lösungen zu vorgegebenen Aufgaben kontrolliert
Diagnostisches Unterrichten
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Selbstdiagnose
Standortbestimmungen – Leistungsfeststellung als Grundlage individueller Förderung (3. – 7. Klasse)Stephan Hußmann und Christoph Selter
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Wann ist eine Aufgabe eine „gute“ Diagnoseaufgabe?
auf Kompetenzaspekte konzentrieren Bearbeitung auf verschiedenen Niveaus
(z.B. durch offene Aufgaben) zur Produktion (d. h. zur Erklärung, Beschreibung
des Lösungsweges usw.) auffordern Eine Aufgabe wird dann zu einer brauchbaren
diagnostischen Aufgabe, wenn sie Denkwege sichtbar machen kann
Sie sollte valide und niveaudifferenzierend seinBüchter/Leuders
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Konzeptuelle Analyse (1) Diagnose in Mathematik benötigt als Grundlage
detailliertes und gründliches Wissen über kognitive Prozesse beim Erwerb von mathematischem Verständnis. Dieses Wissen sollte die wichtigsten Konzepte und Fertigkeiten der mathematischen Inhaltsbereiche umfassen und etwas über die Prozesse sagen, durch die dessen Verständnis in diesem Bereich wächst.
Man kann dabei von einer konzeptuellen Analyse sprechen. Sie geht davon aus, dass das Verhalten eines Kindes – gemessen an seinem Verständnis – stets vernünftig und begründet ist.
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Konzeptuelle Analyse (2) Dem mathematischen Verständnis eines Erwachsenen
ist es aber oft unverständlich. Um das kindliche Vorgehen zu verstehen, muss der Erwachsene sein eigenes mathematisches Verständnis beiseite stellen und sich darum bemühen zu verstehen, wie die Dinge aus der Sicht des Kindes wohl aussehen, wenn es so vorgeht, wie es vorgeht.
Sie unterscheidet sich von einer logischen Aufgaben-Analyse, die das Verständnis des Erwachsenen voraussetzt und nicht berücksichtigt, dass das in der Entwicklung befindliche Kind vieles von seinem Wissen nicht zum Gegenstand seiner Betrachtung machen kann. (Gerster)
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Niveaustufen
Kennen Können Verstehen
Innerhalb JEDER Niveaustufe
Kein Verständnis ohne Kenntnis, keine Kenntnis ohne Verständnis
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Beispiel: Brüche addieren
Niveaustufe 1:Einfache Brüche addieren können
Niveaustufe 2:Auch schwierigere Brüche addieren können
Niveaustufe 3:Beliebige Brüche addieren können
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So?
1. Berechne:
2. Berechne:
3. Berechne:8
3
5
1
11
3
23
7
8
1
4
1
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Oder besser so?
a) Freunde haben 2 Pizzas bestellt. Sie teilen eine Pizza in vier gleiche Stücke, die andere in acht gleiche Stücke. Zeichne eine Skizze!
b) Gib als Bruch an: Wie groß ist jeweils ein Pizzateil?
c) Schreibe eine Rechenaufgabe mit Brüchen und löse:
(1) Zwei Stücke der einen Pizza zusammen(2) Zwei Stücke der anderen Pizza zusammen(3) Ein Stück der einen und eins der anderen Pizza
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(Fortsetzung)
d) Schreibe eine Rechnung und löse:(1) Ein Stück einer Pizza und zwei Stücke der anderen
Pizza zusammen*(2) Von jeder Pizza zwei Stücke zusammen
e) Löse die Aufgaben aus c) und d), wenn eine Pizza in fünf Teile und die andere in sechs Teile geteilt wird.
f) Probiere weitere „Teilungen“ aus und schreibe Rechnungen dazu auf.
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Niveaustufen
Stufe 1:a), b), c) und d) mit einer Lösung
Stufe 2:d) mit Variationen und e)
Stufe 3:f)
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Bedingungen
Diagnose ist vorläufig und unsicher braucht fachdidaktische Theoriekenntnis benötigt die Bereitschaft von Lehrerseite, sich
auf offene Situationen einzulassen
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Didaktische Kompetenz
Diagnostische Kompetenz
Welche Voraus-setzungen
sind notwendig? sind vorhanden?
Welche Konzepte
sind hilfreich? sind ausgebildet?
Kompetenzen der Schüler
erfassen
+ Sachkompetenz + Führungskompetenz (Weinert)
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Schülergedanken, die aus Sicht des Lehrers vom offiziellen Thema wegführen, werden nicht weitergeführt
Permanente Weiterentwicklung der Unterrichtskultur
Individualisierung und Differenzierung als Grundprinzip, nicht als „Extra“
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Episode aus „Kinder und Mathematik“
Jimmy, die gute Lehrerin und die falschen Lösungen
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Beispiele für individuelle Lösungen
Sabine macht mit ihren Freundinnen eine Schneeballschlacht. Sie hat schon viele Schneebälle für ihre Mannschaft vorbereitet. Die Hälfte davon gibt sie Mira, weil die besonders gut trifft. Zwei Drittel vom Rest gibt sie Lea, auch die trifft ziemlich gut. 6 Stück behält sie selbst.
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Schülerlösung 1
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Schülerlösung 2
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Schülerlösung 3
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Schülerlösung 4
Antwort: Sie hat 11 Schneebälle vorbereitet.
Rechnung:
Frage: Wie viele Schneebälle hat Susi vorbereitet?
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Individuelle Begriffsbildung Peter Bardy: Eine Aufgabe – viele Lösungen.
Grundschule 3/2002
Ein Seeschiff ging auf große Fahrt. Als es 180 Seemeilen von der Küste entfernt war, flog ihm ein Wasserflugzeug nach. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs war zehnmal so groß wie die des Schiffes.In welcher Entfernung von der Küste holte das Flugzeug das Schiff ein?
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Eine Aufgabe…
Regina Bruder in mathematik lehren, Heft 115
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…mehrere Lösungen
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Aber bitte nicht…
Kartoffeln
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Individualisierte Kartoffelaufgabe 2009
Ermittle Deinen individuellen Kalorienbedarf und erstelle einen individuellen Ernährungsplan mit deiner individuell bevorzugten Kartoffelsorte. Ermittle mit einer individuellen Methode den individuellen Einkaufspreis und setze ihn in Bezug zu deinen individuellen Vermögensverhältnissen.