Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-1
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Mehrteilige ebene Tragwerke bestehen aus mehreren ge-lenkig miteinander verbundenen Teiltragwerken.
● Zusätzlich zu den Lagerreaktionen müssen die Kräfte in den Gelenken bestimmt werden.
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-2
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Beispiel:
– Gegeben:● Kraft F = 10 kN● Abmessungen a = 2 m,
b = 3 m, c = 5 m, h = 1 m– Gesucht:
● Reaktionskräfte in den Lagern A und B
● Kräfte im Gelenk C
aF
b
c
A
B
h
C
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-3
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Freischneiden:● 4 unbekannte Lagerkräfte● 3 Gleichgewichtsbedingun-
gen● zusätzliche Bedingung: Ge-
lenk überträgt kein Moment
aF
b
c
A
B h
C
x
y
Ax
✄
Ay
BxB
y
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-4
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Freischneiden der einzelnen Bauteile:
A C
x
y
Cy
Cx
Träger AC: ✄a
F
b
Ax
Ay
c - b
B h
C
x
y
✄
BxB
y
Cx
Cy
Träger BC:
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-5
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Beim Freischneiden ist das Wechselwirkungsgesetz zu beachten:
● Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und haben die gleiche Wir-kungslinie.
– Für das betrachtete Beispiel verlangt das Wechselwirkungs- gesetz:
● Die Kräfte, die der Träger AC auf den Träger BC ausübt, sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet, wie die Kräfte, die der Träger BC auf den Träger AC ausübt.
● Werden die Träger wieder zum Gesamttragwerk zusammen-gebaut, so heben sich die Kräfte im Gelenk C auf.
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-6
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Mit den Gelenkkräften Cx und Cy treten 2 weitere unbekann-te Kräfte auf. Diese Kräfte werden als Zwischenreaktionen bezeichnet.
– Damit sind insgesamt 6 unbekannte Kräfte zu bestimmen.
– Für jeden der beiden Träger müssen 3 Gleichgewichts-bedingungen erfüllt sein.
– Damit stehen 6 Gleichungen zur Verfügung.
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-7
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewichtsbedingun-gen für Träger BC:
c - b
B h
C
x
y
✄
Bx
By
Cx
Cy∑ F x=0 : C x−B x=0
→ C x=B x
∑ F y=0 : −C y+By=0→ C y=B y
∑ M C=0 : (c−b ) By−h B x=0
→B y
B x=
hc−b= tan (ϕ)
c - b
h B
x
By
Bx
ByB
B
ϕϕ
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-8
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewichtsbedingungen für Träger AC:
∑ F x=0 : Ax−B x=0 → Ax=B x
∑ F y=0 : Ay+By−F=0 → Ay=F−By=(1−ab )F
∑ M A=0 : −a F +b By=0
→ B y=ab F
By
B x=
hc−b
→ B x=c−b
h B y=c−b
hab F
A C
x
y By
Bxa
F
b
Ax
Ay
✄
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-9
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Zahlenwerte:
B y=2 m3 m⋅10 kN=6,67 kN
B x=5 m−3 m
1 m2 m3 m⋅10 kN=13,33 kN
C y=6,67 kN
C x=13,33 kN
Ax=13,33 kN
Ay=3 m−2 m
3 m ⋅10 kN=3,33 kN
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-10
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Pendelstütze:
– Ein Träger ist eine Pendelstütze, wenn gilt:● Er ist in genau zwei Punkten gelenkig angeschlossen.● Eingeprägte Kräfte greifen nur in den Gelenken an.
– Bei einer Pendelstütze verläuft die Wirkungslinie der Ge-lenkkräfte durch die beiden Gelenke.
F
FF
F
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-11
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Äußere und innere Lasten:
– Eingeprägte Lasten und Reaktionslasten sind äußere Las-ten. Sie wirken von außen auf das Tragwerk ein.
– Zwischenreaktionen gehören zu den inneren Lasten. Innere Lasten treten zwischen Teilen eines Tragwerks auf.
– Reaktionslasten werden im Freischnitt sichtbar, wenn das Gesamttragwerk freigeschnitten wird.
– Zwischenreaktionen werden im Freischnitt sichtbar, wenn aus dem Gesamttragwerk einzelne Teiltragwerke herausge-schnitten werden.
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-12
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Statisch bestimmte Tragwerke:
– Ein aus starren Körpern zusammengesetztes Tragwerk heißt statisch bestimmt, wenn sich alle Lagerreaktionen und Zwischenreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen.
– Regel:● Ein ebenes Tragwerk aus N starren Körpern mit L Lagerreak-
tionen und Z Zwischenreaktionen ist statisch bestimmt, wenn gilt:
L + Z = 3NL + Z = 3N
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-13
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Beispiel: Hebebühne
a
a
a a 2a
a
2a
A
B
C
D E
H
F
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-14
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Überprüfung auf statische Bestimmtheit:● Die Lager in den Punkten A und H sind Festlager.● Die Lagerung besteht aus zwei 2-wertigen Lagern. Damit tre-
ten 4 unbekannte Lagerreaktionen auf: L = 4● In den 4 Gelenken B, C, D und E treten je 2 unbekannte Zwi-
schenreaktionen auf: Z = 4 · 2 = 8● Das Tragwerk besteht aus 4 starren Körpern: N = 4● Die Beziehung L + Z = 3N ist erfüllt. Das Tragwerk ist statisch
bestimmt.
– Identifikation von Pendelstützen:● Die Träger CD und EH sind Pendelstützen.
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-15
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewicht am Gesamtsystem:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger EH eine Pendelstütze ist.
a
a
a a 2a
a
2a
A
B
C
D E
H
F
x
y
Ay
Ax
H
45°
✄
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-16
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
∑ M A=0 : −a F+4 a √2
2 H=0 → H=F
2 √2=√24 F
∑ F x=0 : Ax−√22 H =0 → Ax=
√22 H=
14 F
∑ F y=0 : Ay+√22 H−F=0 → Ay=F−
√22 H =
34 F
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-17
30.04.21
4a
2a
B D E
F
x
y
3a
HD
By
Bx
H
H
E
H
✄
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewicht am Träger BE:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger CD eine Pendelstütze
ist.
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-18
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
∑ M B=0 :
2 a √22 D−3 a F +4 a √2
2 H=0
→ D=3√2 F−2 H
=(3 √22 −
√22 )F=√2 F
∑ F x=0 : B x+√22 D−
√22 H=0
→ B x=√22 ( H−D )=−
√22 ⋅3 √2
4 F=−34 F
∑ F y=0 :By+
√22 D−F +
√22 H=0
→ B y=F−√22 ( H +D )
=F−√22 ( √2
4 +√2)F
=(1− 14 −1)F=−
F4
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-19
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Probe am Träger AB:
a
a
a a
A
B
C
x
y
Ay
Ax
C
D
D
D
By
Bx
✄ ∑ F x=−B x+Ax−√22 D
=(34 +
14−1)F=0
∑ F y=−B y−√22 D+Ay
=(14 −1+
34 )F=0
∑ M C=a ( B x+B y+Ax+Ay )=a (−3
4 −14 +
14 +
34 )F=0 ✔
✔
✔
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-20
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Beispiel: Tragwerk mit Streckenlast
– Gegeben:● q0 , a
– Gesucht:● Kräfte in den
Gelenken Bbis E
a
a a a
q0
A
B
C D
E
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-21
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Träger DE:
● Die Streckenlast wird durch die im Kräftemittelpunkt angrei-fende Resultierende ersetzt.
a/3
a
q0 /3
D E Ey
Dy
Dx
a
D E Ey
Dy
Dx
q0 a/6
x
y
✄
∑ F x=0 : D x=0
∑ M D=0 : a E y−
a3
16 q0 a=0 → E y=
118 q0 a
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-22
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Träger BD:● Träger AC ist eine Pendelstütze.● Die Streckenlast wird durch zwei in den Kräftemittelpunkten
angreifende Resultierende ersetzt.
∑ F y=0 : Dy−16 q0 a+E y=0 → Dy=( 1
6−1
18 )q0 a=19 q0 a
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-23
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
2a/3
a a
q0
B C DCB
y
Bx D
y
a a
B C DCB
y
Bx D
y
q0 /3
2q0 a/32q
0 a/3
x
y✄
45°
∑ M B=0 : −2 a Dy−(1+
23 )a⋅2
3 q0 a+a √22 C=0
→√22 C=2 D y+
109 q0 a=( 2
9 +109 )q0 a=
43 q0 a
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-24
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
∑ F x=0 : −B x+√22 C=0 → B x=
√22 C=
43 q0 a
∑ F y=0 : B y+√22 C−2⋅2
3 q0 a−Dy=0
→ By=−( 43 −
43 −
19 )q0 a=
19 q0 a
– Ergebnis:
B x=43 q0 a , By=
19 q0 a , C x=C y=
43 q0 a
D x=0 , Dy=19 q0 a , E y=
118 q0 a
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-25
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Probe am Gesamttragwerk:
2a
a
a
A
B E
Cy
Cx
By
Bx
Ey
x
y
3q0 a/2✄
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-26
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Regel:
– Eine Streckenlast darf erst nach dem Freischneiden durch eine Einzelkraft ersetzt werden.
∑ F y=B y+C y+E y−32 q0 a=(1
9 +43 +
118−
32 )q0 a=0
∑ F x=−B x+C x=(− 43 +
43 )q0 a=0
∑ M B=a C x−a⋅3
2 q0 a+3 a E y=a( 43 −
32 +
318 )q0 a=0
✔
✔
✔
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-27
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Beispiel: Tragwerk mit Rolle
– Die Masse m hängt an einem Seil, das über eine im Punkt C reibungsfrei gelenkig gelagerte Rolle läuft.
– Gegeben: ● m, b, h, α
– Gesucht: ● Kräfte in den Lagern A und B
und im Gelenk C
α
m
A
B
C
D
h
b
g
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-28
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Die Seilkraft kann auf das Gelenk C übertragen werden.
– Die im Gelenk C angreifenden Kräfte können entweder im Frei-schnitt des Trägers AC oder des Trägers BC berücksichtigt wer-den.
– Beide Träger sind Pendelstützen.
A
B
C
h
b
α
S
S
S
S
S
S
C
S = mg
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-29
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
– Träger BC:
B
C
h
b
α
S
S
C
By
Bx
x
y
✄∑ M B=0 :
h (C−S cos(α))−b S (1−sin (α))=0→ C=S (cos(α)+
bh (1−sin (α)))
∑ F x=0 : −B x+C−S cos(α)=0→ B x=C−S cos(α)=S b
h (1−sin (α))
∑ F y=0 : B y−S (1−sin (α))=0 → B y=S (1−sin (α))
Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-30
30.04.21
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
● Regel:
– Die Seilkräfte an einer reibungsfrei gelenkig gelagerten Rol-le dürfen auf das Gelenk übertragen werden, in dem die Rolle gelagert ist.