W.B. Kratzig • R. Harte • K. Meskouris • U. Wittek

Tragwerke 2

Wilfried B. Kratzig • Reinhard HarteKonstantin Meskouris • Udo Wittek

Tragwerke 2Theorie und Berechnungsmethodenstatisch unbestimmter Stabtragwerke

4., uberarbeitete und erweiterte Auflage

Mit 78 Tafeln und 177 Abbildungen

4y Springer

Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Wilfried B. Kratzig Prof. Dr.-Ing. Reinhard Harte

Ruhr-Universitat BochumFakultat fiir BauingenieurwesenLehrstuhl fur Statik und DynamikUniversitatsstr. 15044780 Bochum

Bergische Universitat WuppertalFB 11/BautechnikLehrstuhl fur Statik und DynamikPauluskirchstr. 742285 Wuppertal

Prof. Dr.-Ing Konstantin MeskourisRWTH AachenLehrstuhl fur Baustatik und BaudynamikMies-Van-der-Rohe-Str. 152056 Aachen

Prof. Dr.-Ing. Udo WittekUniversitat KaiserslauternLehrstuhl fiir BaustatikPaul-Ehrlich-Str. 1467663 Kaiserslautern

Ursprunglich erschienen in der Springer Lehrbuch Reihe

Bibliografische Information Der Deutschen BibliothekDie Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet fiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.

ISBN 3-540-67636-8 Springer Berlin Heidelberg New York

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Umschlaggestaltung: Struve & Partner, HeidelbergHerstellung: PTP-Berlin Protago-TeX-Production GmbH, GermanySatz: Reproduktionsfertige Vorlage der AutorenGedruckt auf saurefreiem Papier 68/3020/Yu - 5 4 3 2 1 0

Den Protagonisten eines neuen DenkensJohn H. Argyris, F.R.S. und Ray W. Clough, NAE, NAS

in Bewunderung gewidmet

Vorwort zur erweiterten vierten Auflage

Tragwerke 2 hat als Lehrbuch der Statik bereits in seinen bisherigen drei Aufla-gen die klassisch-anschaulichen Ingenieurkonzepte und die modern-abstraktenComputerverfahren zur linearen Analyse von Stabtragwerken in einer integriertenDarstellung vereinigt. Die hiermit vorliegende vierte Auflage ist um eine hierzukonsistente Einfuhrung in geometrisch- und werkstofflich-nichtlineare Tragver-haltensphanomene erweitert worden.Das gesamte Buch ist in seiner vierten Auflage erheblich starker auf die heute beijedem Leser verfugbaren Berechnungsmoglichkeiten auf PC's hin orientiert wor-den. Die meisten Algorithmen kann der Leser daher auch alle selbst auf seineTragwerksbeispiele anwenden:

• Im Anhang erlauterte und auf CD-ROM beigefiigte Maple-Worksheets gestattendie Ausfiihrung verschiedener hergeleiteter Matrizenoperationen. Dies setzt natiir-lich den Zugang zu Maple voraus; andere Computer-Algebra-Programme lassensich analog einsetzen.

• Kleine abgeschlossene, ebenfalls im Anhang erlauterte FORTRAN-Programmefur beliebige ebene Rahmensysteme auf der beigefiigten CD-ROM gestatten dasSelbststudium der Algorithmen des linearen und nichtlinearen (Theorie 2. Ord-nung) WeggroBenverfahrens in der Form der direkten Steifigkeitsmethode.

• Ebenfalls auf der beigefiigten CD-ROM befmdet sich das ProgrammsystemSSt-micro® der INIT GmbH, Bochum; es ermoglicht - mit geringfiigigen Restrik-tionen - eine professionelle Tragwerksberechnung beliebiger ebener und raumli-cher Stabtragwerke nach Theorie 1. und 2. Ordnung. Notwendige Erlauterungenfmden sich im Anhang 5.

Die Autoren danken ihren Mitarbeitern Werner Drilling, Dipl.-Ing. Ines Kalker,Dipl.-Ing. Stefan Holler und Dr.-Ing. Ulrich Montag fur ihre Mithilfe bei Korrek-turen und bei der Erstellung von Neubearbeitungen. Ein ganz besonderer Dankgilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Burkhard Weber von der INIT GmbH fur die Verfiig-barmachung von SSt-micro® und Herrn Dipl.-Ing. Georg Terfloth, ebenfalls INITGmbH, fur die Ausarbeitung von Anhang 5. Dem Verlag gilt unser Dank fur seinBemiihen um eine anspruchsvolle Buchgestaltung.

Im Juni 2004 Wilfried B. Kratzig Reinhard HarteKonstantin Meskouris Udo Wittek

Vorwort zur ersten Auflage

Nichts ist so stark wie eine Idee,deren Zeit gekommen ist.

Victor Marie Hugo, 1802-1885

Die Statik der Tragwerke vermittelt Kenntnisse und Methoden zur sicherenDimensionierung von Tragwerken. Als Bindeglied zwischen den Naturwissen-schaften und der Kunst des Konstruierens (ibersetzt sie die Grundlagen dertechnischen Mechanik in Berechnungskonzepte, welche Einblicke in das Tragver-halten von Strukturen und Aussagen uber deren Tragfahigkeit ermoglichen. DasVerstehen grundlegender Tragverhaltensphanomene sowie die Beherrschung derhierzu erforderlichen Analysetechniken bilden ihre vorrangigen Ziele.

In ihrer mehr als 150-jahrigen Geschichte hat die Statik der Tragwerke ihreMethoden immer wieder nicht nur den zu bewaltigenden Bauaufgaben, sonderninsbesondere den verfugbaren Werkzeugen der Ingenieure anpassen mussen. Bei-spielsweise belegt dies der historische Begriff der ,,Graphischen Statik". Das rascheVordringen der Computer in die Welt der Technik hat diese urspriingliche undwesentliche Einheit gestort. Dabei entstand der falsche Eindruck, als existiere einevorwiegend auf der Anschauung basierende ,,Baustatik", deren manuell handhab-bare Verfahren freilich kaum noch angewendet werden, neben einer weitgehendabstrakten ,,Computerstatik", welche von der Konstruktionspraxis zwar ausgiebiggenutzt wird, dabei jedoch letztlich unverstanden bleiben darf.

Einer derartigen Auffassung kann insbesondere im Zeitalter allseits verfugbarerMikroelektronik iiberhaupt nicht energisch genug widersprochen werden, denn dieStatik der Tragwerke selbst verbindet als ingenieurwissenschaftliche Methodikgerade die Tragwerkstheorien durch einsetzbare, vom Anwender verstandene undverantwortbare Analyseverfahren mit den Konstruktionsprozessen. Bewahrtebildhafte Anschaulichkeit einerseits und abstrakte Denkweisen andererseitskonnen daher keinen Widerspruch darstellen, sondern bilden - je nach Aufgaben-stellung-die unterschiedlich stark hervortretenden Aspekte eines modernenGesamtkonzeptes der Statik. Bauingenieure mussen zur Beherrschung derComputermethoden abstrakt denken, aber sie diirfen nicht die Fahigkeit verlieren,die gewonnenen Ergebnisse in die Anschauungswelt ihrer Entwiirfe und Kon-struktionen zu iibertragen sowie dort nachvollziehen zu konnen. Diese Wesensein-heit gilt es besonders bei den verfahrensintensiven statisch unbestimmten Tragwer-ken herauszuheben; sie darzustellen, ist das Bestreben des vorliegenden Buches.

Sucht man nach einer hierfiir geeigneten Darstellungsform, so iiberragen diePionierarbeiten von J. H. ARGYRIS zur ,,Matrizentheorie der Statik" alle themenver-wandten Publikationen seit der Jahrhundertmitte in ganz ungewohnlichem MaBe.

Vorwort zur ersten Auflage IX

Der algebraische Charakter heutiger Computer macht die von ihm verwendetenVektoren und Matrizen zu naturlichen Variablen, um Sachverhalte der Mechanikkurz, iibersichtlich und computernah zu beschreiben. Noch als Student hatte ich1956 das Gliick, den von J. H. ARGYRIS auf der GAMM-Tagung in Stuttgart iiberdieses Thema gehaltenen Vortrag zu horen. Seither hat mich die damalige Faszi-nation seines Konzeptes nicht verlassen, das auch diesem Buch zugrundeliegt.

In den Jahren 1968-70 lernte ich als Gastprofessor an der University ofCalifornia in Berkeley die Vorlesungen zur Statik der Tragwerke von R. W.CLOUGH kennen, einem der Schopfer der Methode der finiten Elemente. Wahrenddie europaische Fachwelt die erwahnten Gedanken von J. H. ARGYRIS nur zogerndzur Kenntnis nahm, hatte R. W. CLOUGH diese in seine Lehrveranstaltungen bereitsso iiberzeugend eingefugt und fortentwickelt, daB sein damaliges Lehrkonzeptnoch heute in mehreren Lehrbuchern seiner Schiller fortlebt. Wahrend der eigen-standigen Weiterentwicklung dieses Konzeptes, insbesondere der Einbindung indas klassische Wissensgut der Statik, verdanke ich R. W. CLOUGH entscheidendeAnregungen. In den 20 Jahren meiner Leitung des Instituts fur Statik und Dyna-mik der Ruhr-Universitat Bochum ist das hieraus entstandene, klassische undmoderne Verfahren der Statik integrierende Lehrkonzept immer wieder durch-dacht und iiberarbeitet worden. Kritische Anmerkungen meiner Mitarbeiter undStudenten haben es in vielen Lehrjahren stetig verbessert. Im weiterbildendenStudium hat es sich dariiber hinaus an Ingenieuren bewahrt, die nach langerBerufspraxis den Wunsch nach einer Modernisierung ihrer Statikkenntnisseverspiirten.

Das hieraus entstandene Buch beginnt-in Fortfiihrung der Gedanken desBandes Tragwerke 1 - mit einem AbriB des KraftgroBenverfahrens in klassischerDarstellung, da das Tragverhalten statisch unbestimmter Strukturen dem An-fanger auf diesem iiberwiegend anschaulichen Weg eben uniibertroffen einpragsamvermittelt werden kann. Das 2. Kapitel enthalt die Einfiihrung in das Konzeptdiskreter Tragstrukturen in der heute iiberwiegend gebrauchlichen Matrizen-schreibweise durch Definition der Gleichgewichtstransformationen und derStrukturnachgiebigkeiten. Hierauf aufbauend wird sodann, ebenfalls in dieserSchreibweise, der KraftgroBenalgorithmus statisch unbestimmter Tragwerke for-muliert, an den sich seine wichtigsten Verallgemeinerungen - von unterschiedlichmanipulierten Last- und Einheitszustanden bis zur automatischen Wahl vonHauptsystemen - anschlieBen. Dariiber hinaus finden sich in diesem Kapitel viel-faltige Querverweise auf klassische Fragestellungen des KraftgroBenverfahrens.

Den groBten Teil des Buches nimmt die Darstellung der verschiedenen Weg-groBen- oder FormanderungsgroBenverfahren im 3. Kapitel ein, wobei selbstver-standlich erneut die Matrizenschreibweise dominiert. Zunachst erfolgt die Her-leitung der Verfahrensvariante in unabhangigen Element variablen, in welche dasklassische Drehwinkelverfahren sowie die Momentenausgleichsverfahren vonCROSS und KANI eingeordnet sind. Sodann leitet die Darstellung der Verfahrensva-riante in vollstandigen Variablen unmittelbar auf die direkte Steifigkeitsmethodeiiber, die heute der iiberwiegenden Mehrheit aller professionellen Computerpro-gramme zur Methode der finiten Elemente zugrundeliegt. Mit der Erlauterung derStruktur derartiger Programmsysteme, einiger zugeordneter Techniken sowie der

X Vorwort zur ersten Auflage

Aufzahlung der Fehler- und Kontrollmoglichkeiten bei ihrem Einsatz endet dasBuch. Sein Inhalt wird durch eine sorgfaltige Auswahl detailliert dokumentierter,vom Leser nachrechenbarer Beispiele abgerundet. Ebenso wie in den theoretischenHerleitungen wurden hierbei ebene und raumliche Stabwerke parallel behandelt,wie es von einem modernen Lehrbuch der Statik erwartet werden darf.

Das vorliegende Buch dient verschiedenen didaktischen Zielen. Sein Hauptzielist zweifellos die umfassende, grundlegende Einfuhrung in ein modernes Konzeptstatisch unbestimmter Stabwerke. Eine Reihe von berufserfahrenen Lesern aberdiirfte ein Interesse an einer schnellstmoglichen Hinfiihrung auf die den heutigenFE-Programmsystemen zugrundeliegende direkte Steifigkeitsmethode im 3.Kapitel haben. Sofern diesem Leserkreis die Grundlagen des klassischen Kraft-groBenverfahrens vertraut sind, kann die Lektiire des 2. Kapitels auf die Abschnitte2.1.1 bis 2.1.3, 2.1.5 und 2.1.6, 2.1.8 und 2.1.9 sowie 2.2.1 bis 2.2.4 beschranktbleiben. Der gesamte Rest des 2. Kapitels kann iiberschlagen werden. Wird dariiberhinaus ein Kurziiberblick iiber das matrizielle KraftgroBenverfahren angestrebt,sollten mindestens zusatzlich die Abschnitte 2.1.7, 2.2.5 sowie 2.3.1 bis 2.3.3 durch-gearbeitet werden.

Bei der Erstellung des gesamten Manuskripts waren mir Frau Beate Seide-mann, bei der Anfertigung aller Bilder und Tafeln Herr Werner Drilling eineunersetzliche Hilfe. Meinen Mitarbeitern, den Diplomingenieuren Dr.-Ing. C. Eller,K. Gruber, H. Metz, P. Nawrotzki, R. Quante und K. Sasse bin ich wegen ihrerHilfe bei den umfangreichen Korrekturen der Beispiele zu groBem Dank ver-pflichtet. Dem Springer-Verlag danke ich fiir die verstandnisvolle Zusammenarbeitbeim Satz und Druck des Buches.

Bochum, im Juni 1990 Wilfried B. Kratzig

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis XV

1 Das KraftgroBenverfahren 1

1.1 Vorbemerkungen 1

1.1.1 Tragwerksmodellierung und Aufgaben der Statik 11.1.2 Statisch unbestimmte Tragstrukturen 21.1.3 Tragverhalten bei statischer Unbestimmtheit 4

1.2 Herleitung des Verfahrens 61.2.1 Einfuhrung: 2-fach statisch unbestimmtes Tragwerk 61.2.2 Verallgemeinerung auf n-fach statisch unbestimmte Tragwerke 111.2.3 Fehlermdglichkeiten, Rechenkontrollen und Fehlerdiagnose 151.2.4 Beispiel: Ebenes Rahmentragwerk 181.2.5 Beispiel: Modifiziertes statisch bestimmtes Hauptsystem und

Zwangungszustande 191.2.6 Beispiel: Raumliches Rahmentragwerk 26

1.3 Das System der Elastizitatsgleichungen 261.3.1 Elastizitatsmatrix 261.3.2 MaBeinheiten 291.3.3 Interpretation als Minimalaussage 301.3.4 Gleichungsauflosung 321.3.5 Matrix der /ik-Zahlen 351.3.6 Losungsstabilitat und statisch bestimmte Hauptsysteme 36

1.4 Verformungen statisch unbestimmter Tragwerke 391.4.1 Prinzip der virtuellen Krafte 391.4.2 Reduktionssatz 401.4.3 Beispiel 421.4.4 Erweiterung des Reduktionssatzes 431.4.5 Biegelinienermittlung 44

1.5 EinfluBlinien statisch unbestimmter Tragwerke 441.5.1 EinfluBlinien fur auBere WeggroBen 441.5.2 KraftgroBen-EinfluBlinien als Biegelinien am (n — l)-fach statisch

unbestimmten Hauptsystem 471.5.3 KraftgroBen-EinfluBlinien unter Benutzung des statisch

bestimmten Hauptsystems 501.5.4 EinfluBlinien fur statisch Uberzahlige 53

XII Inhaltsverzeichnis

2 Das KraftgroBenverfahren in matrizieller Darstellung 58

2.1 Das diskretisierte Tragwerksmodell 582.1.1 Tragwerksdefinition . 582.1.2 AuBere ZustandsgroBen 592.1.3 Knotengleichgewicht und innere KraftgroBen 632.1.4 Verwendung vollstandiger und globaler StabendkraftgroBen 682.1.5 Innere kinematische Variablen 732.1.6 Element-Nachgiebigkeitsbeziehung 772.1.7 Beriicksichtigung von Stabeinwirkungen 822.1.8 Energieaussagen und kinematische Transformation 862.1.9 Zusammenfassung und Uberblick 91

2.2 Statisch bestimmte Tragwerke 932.2.1 Varianten der Gleichgewichtsformulierung 932.2.2 Einfuhrende Beispiele 942.2.3 Standardaufgaben 992.2.4 Beispiel: Ebenes Rahmentragwerk 1032.2.5 Beispiel: Tragerrost 1032.2.6 Beispiel: Ebenes Fachwerk 106

2.3 Statisch unbestimmte Tragwerke 1102.3.1 Statische Unbestimmtheit und Zeilendefizit von g* 1102.3.2 Standard-KraftgroBenalgorithmus I l l2.3.3 Einfuhrungsbeispiel 1142.3.4 Reduzierter Algorithmus und Rechenhilfsmittel 1182.3.5 Ubertragung des Reduktionssatzes 1252.3.6 Standardaufgaben 126

2.4 Erganzungen und Verallgemeinerungen 1302.4.1 Vom konjugierten Gesamtpotential zur Nachgiebigkeitsbeziehung 1302.4.2 Innere Zwangsbedingungen und reduzierte Freiheitsgrade 1322.4.3 Verallgemeinerte Last- und Einheitszustande 1352.4.4 Gruppen von Einheitszustanden sowie unterschiedliche Hauptsysteme . . 1372.4.5 Orthogonale Einheitszustande 1402.4.6 Statisch unbestimmte Hauptsysteme 1442.4.7 Automatische Wahl des Hauptsystems 149

3 Das WeggrdBenverfahren 159

3.1 Formulierung in unabhangigen Stabendvariablen 159

.1 Diskretisiertes Tragwerksmodell und Zustandsvariablen 159

.2 Element-Steiflgkeitsbeziehung in unabhangigen Variablen 162

.3 Beriicksichtigung von Stabeinwirkungen 167

.4 Kinematische Kompatibilitat 169

.5 Knotengleichgewicht und Kontragredienzeigenschaft 174

.6 Gesamtiiberblick und Zusammenfassung 178

.7 Algorithmus des WeggroBenverfahrens 180

.8 Beispiele: Ebene Rahmensysteme und ebenes Fachwerk 1871.9 Nichtprismatische Stabelemente 190

3.2 Das Drehwinkelverfahren 1973.2.1 Stabendmomentenbeziehungen 1973.2.2 Tragwerke mit unverschieblichem Knotennetz 201

Inhaltsverzeichnis XIII

3.2.3 EinfluBlinienermittlung 2033.2.4 Knotengleichungen und Knotensteifigkeiten 2093.2.5 Tragwerke mit verschieblichem Knotennetz 2123.2.6 Iterationstechniken beim Drehwinkelverfahren 2173.2.7 Das Momentanausgleichsverfahren von G. KANI 2203.2.8 Das Momentenausgleichverfahren von H. GROSS 225

3.3 Verwendung vollstandiger Stabendvariablen 2303.3.1 Vom Gesamtpotential zur Element- Steifigkeitsbeziehung 2303.3.2 Einfiihrung vollstandiger Stabendvariablen 2343.3.3 Vollstandige Element-Steifigkeitsmatrizen 2393.3.4 Das diskretisierte Tragwerksmoddell 2433.3.5 Einfuhrungsbeispiel 2453.3.6 Berucksichtigung von Stabenwirkungen 2503.3.7 Beispiel: Ebenes Rahmentragwerk mit schragem Stiel 2523.3.8 Beispiel: Tragerrost 256

3.4 Die direkte Steifigkeitsmethode 2603.4.1 Gesamt-Steifigkeisbeziehung und Lagerreaktionen 2603.4.2 Gesamt-Steifigkeitsmatrizen durch Inzidenzen 2633.4.3 Globale Elementsteifigketen und VolleinspannkraftgroBen 2653.4.4 Das Tragwerksmodel der direkten Steifigkeitsmethode 272

3.4.5 Beispiel: Aufbau von K fur ein ebenes Rahmentragwerk 2763.4.6 Beispiel: Tragerrost 280

3.5 Computerbasierte Tragwerksanalysen 2823.5.1 Algorithmisierung der direkten Steifigketsmethode 2823.5.2 Stabweise ZustandsgroBenermittlungnachdem Ubertragungsverfahren .2863.5.3 Zur Struktur von Programmsystemen 2913.5.4 Bandstruktur und Bandweitenreduktion der Gesamt-Steifigkeitsmatrix... 2943.3.5 Makroelemente und Strukturtechniken 2973.3.6 Fehlermoglichkeiten, Fehlerkontrollen und Ergebniszuverlassigkeit ..299

4 Einfiihrung in nichtlineares Verhalten von Stabtragwerken 306

4.1 Lineares und nichtlineares Tragverhalten 3064.2 Geometrische Nichtlinearitat nach Theorie 2. Ordnung 310

4.2.1 Einfuhrende Bemerkungen 3104.2.2 Ein erster Schritt zur Theorie 2.Ordnung: EuLER-Stabilitat 3124.2.3 Imperfektionen und Stabilitatsverhalten 3144.2.4 Stabsteifigkeitsbeziehung nach Theorie 2. Ordnung 3184.2.5 Stabsteifigkeiten fur Gelankstabe 3264.2.6 VolleinspannkraftgroBen nach Theorie 2. Ordnung 3264.2.7 Tragwerksanalysen nach Theorie 2. Ordnung 3294.2.8 Zwei Einfuhrungsbeispiele 332

4.3 Physikalische Nichtlinearitat nach dem FlieBgelenkverfahren 3354.3.1 Vorbemerkungen zur Werkstoffplastizitat 3354.3.2 Elasto-plastische Querschnittsmodelle fur Stahl 3404.3.3 Elasto-plastische Modelle fur Stahlbetonquerschnitte 3454.3.4 Traglastsatze und inkrementell-elastische FlieBgelenkanalyse 350

XIV Inhaltsverzeichnis

4.3.5 Einfiihrungsbeispiel 352

4.3.6 Fortfiihrendes Beispiel 356

Anhang 1: Matrizenalgebra 360

Anhang2: Computerprogramme 372

Anhang 3: Berechnung einer hdlzernen Fachwerkbriicke 393

Anhang 4: Berechnung des stahlernen Binders eines Ausstellungspavillons. 404

Anhang 5: Das Programmsystem SSt-micro® 414

Namenverzeichnis 419

Sachverzeichnis 421

Symbolverzeichnis

Allgemeine Symbole

N NormalkraftQy Querkraft in y-RichtungQ, Qz Querkraft in z-RichtungMT TorsionsmomentM, My Biegemoment um die y-AchseMz Biegemoment um die z-AchseH, Px Einzellast in x-RichtungP, Pz Einzellast in z-RichtungM Einzelmomentqx achsiale Streckenlastqz transversale Streckenlast in z-Richtungm Streckenmomentw, ux achsiale Verschiebunguy Verschiebung in y-Richtungw, uz Verschiebung in z-Richtungcpx Ve rd rehung u m die x-Achsecp, q>y Verdrehung um die y-Achsecpz Verdrehung um die z-AchseW Formanderungsarbeitjy-(*\ w{{) auBere, innere Formanderungsarbeit{x, y, z) lokale Basis{X, Y, Z) globale BasisA Querschnittsflache^ Q = CLQA efTektive Schubflache/, /y Flachentragheitsmoment um die y-AchseIz Flachentragheitsmoment um die z-AchseIT TorsionstragheitsmomentIc Vergleichstragheitsmomentc Federsteifigkeith Querschnittshohe

E ElastizitatsmodulG Schubmodulv QuerdehnungszahlaT WarmedehnzahlT gleichmaBige Temperaturanderung

XVI Symbolverzeichnis

AT Temperaturdifferenzcpt Kriechzahles gleichmaBige Schwinddehnung (SchwindmaB)Aes Schwinddehnungsdifferenzfi Nachgiebigkeitsanteile der Schubdeformationen$ Steifigkeitsanteile der Schubdeformationen

Symbole fiir Stabkontinua:

p Spalte der Stablasten, z.B. {qx qz m}a Spalte der SchnittgroBen, z.B. {N Q M)u Spalte der VerschiebungsgroBen, z.B. {u w cp}c Spalte der VerzerrungsgroBen, z.B. {e y K)t Spalte der RandkraftgroBenr Spalte der RandverschiebungsgroBenDe GleichgewichtsoperatorDk kinematischer OperatorRt, Rr RandoperatorenE Elastizitatsmatrixn(u), n(u) PotentialIT(<y), n(a) konjugiertes Potential0e Matrix der dynamischen Formfunktionenn e Matrix der kinematischen Formfunktionen

Symbole fiir das KraftgroBenverfahren

X{ s t a t i s c h u n b e s t i m m t e K r a f t g r o B en G r a d der statischen Unbes t immthei t , auch als linker oberer IndexSik DeformationsgroBe im P u n k t i infolge Ursache kS{ result ierende DeformationsgroBe im P u n k t ifiik Steifigkeit des Punk tes i hinsichtlich der Ursache kX Spalte der statisch Unbes t immten X{

8, F x x Elast izi tatsmatrix der <3ik

So Spalte der DeformationsgroBen Sio

P = - 6 " 1 Mat r ix der £ i k -ZahlenCjk Lagerreakt ion im Lager / infolge Ursache kM m k E i n s p a n n m o m e n t im Widerlager m infolge Ursache kc{ Lagerverschiebung im Lager /cpm Verdrehung im Widerlager m

uA Stablangung

cpl9 cpr linker und rechter KnotendrehwinkelT,, i r linker und rechter Stabendtangentenwinkel\jf S t a b d r e h w i n k e l

P Spalte der auBeren Knotenkraf tgroBen P-V Spalte der wesentlichen Knotenfreihei tsgrade Vi

C Spalte der Lagerreakt ionen Ci

se Spalte der unabhangigen StabendkraftgroBens e Spalte der vollstandigen StabendkraftgroBenve Spalte der unabhangigen StabendweggroBenve Spalte der vollstandigen StabendweggroBenve Spalte der unabhangigen StabendweggroBen infolge Elementeinwirkungen

Symbolverzeichnis XVII

fe Element-Nachgiebigkeitsmatrixce Drehtransformationsmatrix eines Elementesee Transformationsmatrix vollstandiger in unabhangige Stabendvariablens Spalte der unabhangigen StabendkraftgroBen se aller Elementev Spalte der unabhangigen StabendweggroBen ve aller Elementev Spalte der unabhangigen StabendweggroBen ve infolge Elementeinwirkungen

aller Elementef Nachgiebigkeitsmatrix aller Elementeg Matrix der Knotengleichgewichtsbedingungenb Gleichgewichtsmatrix, dynamische Vertraglichkeitsmatrixbo, bx Anteile der Lastzustande, EinheitszustandeF Gesamt-Nachgiebigkeitsmatrix

Eiganzende Symbole fiir das WeggroBenverfahren

lg Spalte der vollstandigen, auf die globale Basis bezogenen StabendkraftgroBen"g Spalte der vollstandigen, auf die globale Basis bezogenen StabendweggroBense Spalte der unabhangigen VolleinspannkraftgroBen"se Spalte der vollstandigen VolleinspannkraftgroBen

"s J Spalte der vollstandigen, auf die globale Basis bezogenen Volleinspannkraft-groBen

ke = ( F ) " 1 unabhangige (reduzierte) Element-Steifigkeitsmatrix•

ke vollstandige Element-SteifigkeitsmatrixB

kg vollstandige, auf die globale Basis bezogene Element-Steifigkeitsmatrixk, k, kg reduzierte, vollstandige, vollstandige und globale Steifigkeitsmatrix aller Ele-

mentes, s, sg Spalten der StabendkraftgroBen se, se, Sg aller Elementev, ", "g Spalten der StabendweggroBen ve, "e, "* aller Elementes, "s, "sg Spalten der VolleinspannkraftgroBen se, "se, *Sg aller Elementec Drehtransformationsmatrix aller Elementea (a) kinematische Transformationsmatrix fiir unabhangige (vollstandige) Stab-

endweggroBenag kinematische Transformationsmatrix fur vollstandige, auf die globale Basis

bezogene StabendweggroBenK reduzierte Gesamt-Steifigkeitsmatrix (regular)K Gesamt-Steifigkeitsmatrix unter EinschluB von Starrkorper-Freiheitsgraden

(singular)z} Spalte der ZustandsgroBen im Punkt iue Ubertragungsmatrix des Stababschnittes eMlr Stabendmoment am Stabende / des Stabes (/ — r)Mlr Volleinspannmoment am Stabende / des Stabes (/ — r)Mir Stabendmoment am Stabende / des Gelenkstabes (/ — r)M[r Volleinspannmoment am Stabende / des Gelenkstabes (/ — r)klr Steifigkeit des Stabes (/ - r)/cjr Steifigkeit des Gelenkstabes (/ — r)fiik Verteilungszahlen des CROSS-Verfahrensy Fortleitungszahlen des CROSS-VerfahrensAMik Momenfeninkremente beim CROSS-Verfahrenfi*k Drehungsfaktoren des KANI-Verfahrens

Mik Drehungsanteile des KANI-Verfahrens