3. Deformierbare Medien
3.1. Eigenschaften deformierbarer fester Körper
3.1.1. Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz
Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene KörperAllgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”)
Def.: Zugspannung
Relative Dehnung
AFσ
LLΔε
A
Feste Wand
L F
A Querschnitt F
Hookesches Gesetz: εEσ E Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E 1 N m2
... Druck, ,Temperaturε,EE unabhängig von Geometrie (A und L)
ε
σ
ProportionalitätsbereichProportionalitätsbereich
Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)
Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)
Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)
Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)
ReißenReißen
Hookesches Gesetz: εEσ gültig im elastischen Bereich
.constεE0ε Taylor-
Entwicklung Proportionalbereich
Beispiel: Kerbspannung
F
ΔL / L groß
Kerbspannung
Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung:
ε
σ
elastische Nachwirkung dεσFläche dεσFläche
Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen
Tafelrechnung
3.1.2. Querkontraktion
L
D
L dL
D dD
Def.: Poissonzahl
LLd
DDdμ
0,5μ0μ21εV
Vd
Volumenzunahme:D
Dd2
L
Ld
V
VdDLV 2
ε ε2μ
Zugspannung
3.1.3. Kompressionsmodul
F p dA
F p dA
F p dA
dANormalkraft
FlächeDef.: Druck p
Pascal1Pa1mN1p 2
Def.: Kompressibilität
Kompressionsmodul
pd
Vd
V
1 κ
κ
1K
Zusammenhang zwischen E, und K:
μ21E
3
K
1 κ
Beweis:
dFdF
A
μ21AE
Fdμ21
E
σμ21ε
V
dV
μ21E
pd3μ21
AE
Fd3
V
dV dFdF
dF
dFdF
dF pd AFd
μ21E
3
pd
Vd
V
1κ q.e.d.
3.1.4. Scherung und Torsionsmodul
Tangentialkräfte ScherungFFläche A
αDef.: Schub- / Scherspannung
AFτ
αGτ
Hookesches Gesetz:
(für hinreichend kleine )
G Schub- / Scher- / Torsionsmodul , G 1 N m2 rad1
EGEμ12
EG 3
121
Beweis: Bergmann Schaefer
L
r
Feste Einspannung
dünnes, langes Drahtseil
φ
dφ dr
α
Fd
3.1.5. Torsionsschwingung Messung von G(vgl. Tafelrechnung)
Rücktreibendes Drehmoment
DMel
Richtmoment
GL2
rπD
4
mit
FdrMd
Realisierung als Drehpendel:
ωJL ω
z
ωJL ω
z
Bewegungsgleichung der Drehbewegung: (vgl. Kap. 4.2.)
eltdLd Mz eltdLd Mz
Def.:
Tafelrechnung Schwingungperiode T
2r
π2GπLJ2T 2r
π2GπLJ2T
Draht
Trägheitsmoment J
φ
z
L
Beispiel: Einseitig eigespannter Balken Querschnitt A( unabhängig von s )
x
y
homogen
s
gedehntgedehnt
gestauchtgestaucht
yN
0
feste Einspannung
Neutrale Faser: f(s)
Neutrale Faser: f(s)
F
Steigung: a f ´(L)
0 L
b Biegepfeil
3.1.6. Biegung Messung von E
Näherung kleiner Biegung: sf,1sf sρ1
neutrale Faserneutrale Faser
s s Δs
ρ(s)
Δs
Δs Δℓ
gedehnte Faser
gedehnte Faser
y – yN
sρ
ΔsΔ sρ
ΔsΔ
dx·dy
elFd
elastische Gegenkraft
elastische Gegenkraft
zur Tafelrechnung:
feste Einspannung
Querschnitt A( unabhängig von s )
x
y
homogen
s
gedehntgedehnt
gestauchtgestaucht
yN
0
Neutrale Faser: f(s)
Neutrale Faser: f(s)
F
Steigung: a f ´(L)
0 L
b Biegepfeil
sδsγsβαsf0sf 324 sδsγsβαsf0sf 324
3
2
2
2
el
22
332
L
b3
L
ba3
L
aIE2V
s L
b3
L
as
L
b2
L
asf
3
2
2
2
el
22
332
L
b3
L
ba3
L
aIE2V
s L
b3
L
as
L
b2
L
asf
Randbedingungen Biegekurve:
3.2. Hydro- und Aerostatik
• Statik Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig
• ideale Flüssigkeit ohne Arbeit verformbar bei Volumen const.
• reale Flüssigkeit Oberflächenkräfte und innere Reibung
• Gase Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand
3.2.1. Oberfläche der idealen Flüssigkeit
Ideale Flüssigkeit
dV an Oberfläche
NF
TF
F
Tangentialkraft entlang der Oberfläche
VerschiebungTF
Statik 0F T
Beispiel: Rotationsparaboloid
z
ω
z0
r m
F
mω2r
mg
α
α
rd
zd
g
rω
gm
rωmαtan
22
22
0 rg2
ωzrz
3.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft) Äußere Kraft
A
F
A
Fp :Druck
Fd dV
dx
p(x) p(x dx)
dA
VdAdxd
AdxdxpAdxpFd
xp
xp
x
dVpgradFd
dVpgradFd
Druckkraft:
pgradf VdFd
pgradf VdFd
Kraftdichte:
Statik: 0f
.constp .constp
2s
Anwendung: Hydraulische Presse
1F
1A 1s2A
2F
Externe Kraft
Interne Kraft
11AA
2AF
AF FFFp
1
2
2
2
1
1 aber 11AA
2 sss2
1
3.2.3. Kompressibilität
pd
Vd
V
1 κ in Flüssigkeiten i.a. sehr klein:
Nm105 κ 1210OH2
Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h.
Dichte .constpρ Vdmd
Anwendung: Schweredruck
0
z
H
dA
F
ρ
dA HgρF dA HgρF 0dVpedVgρ z
ρg
0
zp
yp
xp
p const. bei konstanter Tauchtiefe
zHgρzp Tauchtiefe
Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon
Identische Bodendrücke
ρρρ ρ
Anwendung: Kommunizierende Röhren Demo-Exp.
h1
h2
h~ρ1
ρ2
Anwendung: Dichtewaage
AF1 F2
F1 = F2F1 = F2
h~
hgρh~
gρhgρ 22111
h~
h
h~
h
ρ
ρ
1
2
2
1
h~
h
h~
h
ρ
ρ
1
2
2
1
3.2.4. Auftrieb
Archimedisches Prinzip:Die Auftriebskraft ist gleich
dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases
gmK
AFAuftriebskraft
ρFl
ρKmK
Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt
GF FlA
dA
Beweis: ( hier für kleinen Quader )( allgemein Gaußscher Integralsatz )
ze
dz
dV dmFl
p(zdz)
p(z)
zA edAdzzpzpFd
dzzρg Fl
zFl edVzρg
Fldm
.d.e.q,GdedmgFd FlzFlA
Folgerung:
K Fl Körper sinkt zu Boden
K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen)
K Fl Körper schwebt
Beispiel: Eisberg
T = 0 ºC
Eisberg10 %
lkg1,05ρ
lkg0,95ρ
Salzwasser
Eis
lkg1,05ρ
lkg0,95ρ
Salzwasser
Eis
3.2.5. GasdruckGase sind komprimierbar p
(Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte
p V const. bei konstanter Temperatur T
x
Druck p Volumen V x
Experiment:
p x1
T.constVp Folgerungen:
• Kompressibilität
p
V
p
Vp
p
.const
dp
dV22
T
p
1
pd
Vd
V
1κ
• Dichte
pV
1
V
Mρ
TTT
ppρ bei T const.
• Barometrische Höhenformel ( Tafelrechnung )
zexp0pzp 0p
g0ρ zexp0ρzρ 0p
g0ρ
3.2.6. Luftdruck
ρ
Luftdruck p
Vakuum
gρ
pΔh
Messung mit Quecksilbersäule:
Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule
Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa
Def.: Der Normaldruck von
wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet
Pa101325Torr760
3.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit
0FR
EE InnenpotOberflächepot
Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt
spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.
ΔA
ΔWε mJ1ε 2
σL2
Fε
L
s
F
Flüssigkeitshaut
Messung der spezifischen Oberflächenenergie:
dAεdsFdW
dsL2dA
2 Oberflächen
εL2F
Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche
F
Wasserhaut
hr
Beispiel: Messung der Zerreißfestigkeit einer Wasserhaut
σrπ22F (Gewicht der Haut vernachlässigt)
Minimalflächen:Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (relativ) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.
http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf1.htm
http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf2.htm
Seifenblasen:
r
p p
p
Seifenblase
Aufblähen: rdrr
rdrπ16rπ42ddA 2
rdεrπ16AdεdWOb
rdrπ4pΔdW 2pΔ
dWp dWOb: Blase expandiert
dWp dWOb: Blase schrumpft
dWp dWOb: Blase stationär r
1
r
ε4pΔ
Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf
3.2.8. Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien
Medium i
Medium k
Kohäsionskräfte
Kohäsionskräfte
Adhäsionskräfte
Def.: Grenzflächenspannung
εσ kiki
ik Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung
Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf
1Wand
2 Flüssigkeit
3 Dampf
σ13Achse
σ12Achse
σ23Achseφ
23 23 0 (sonst Verdampfung)12 0 Adhäsion12 Kohäsion2
12 0 Adhäsion12 Kohäsion2
• analog für 13
Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf
1Wand
2 Flüssigkeit
3 Dampf
σ13Achse
σ12Achse
σ23Achseφ
Grenzwinkel:
cosσσσ 231213
23
1213
σ
σσcos
23
1213
σ
σσcos
Def.: 13 12 Adhäsionsspannung 23 cos
13 12 0 90º
13 12 0 90º
13 12 23 vollständige Benetzung
3.2.9. Kapillaren
φ
benetzende Flüssigkeit
2r
Kapillareh
φ
dF = σ · dl
Kapillare enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich)
Kraft nach oben: cosσrπ2
Adhäsionsspannung
Kraft nach unten: hrπgρ 2
Gleichgewicht:
r
1
rgρ
cosσ2h
Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten:
nicht-benetzende Flüssigkeit
2r
Kapillare
h
r
1
rgρ
cosσ2h
0h90
h
Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand)
L
d
hdLgρcosσL2
d
1
dgρ
cosσ2h
2α
Folgerung: Flüssigkeit im Keil
Platten
x0
tanα2xxd
dgρ
cosσ2h
x
1
αtangρ
cosσh
Hyperbel
3.3. Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen
Bewegungslinien der Volumenelemente
Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung
Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung
Def.: Laminare (schlichte) Strömung
Gegensatz: Turbulente Strömung
dVdAdx
x
vηFdFdFd
2
2
12R
dAx
vηFd
1,2x1,2
rv
dV
1Fd
2Fd
xx1 x2 = x1+dx
dA
Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : rv
Reibungskräfte zwischen den Randschichten
1,2Fd
allgemein rvΔηf
dVrvΔηFd
R
R
Viskosität (Zähigkeit)
msN1η 2
Anwendung: Kapillarviskosimeter
Rp1
p2
L
rv
Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft
4η
rR
|p|
L
ppr v
2221
4η
rR
|p|
L
ppr v
2221
Parabel
Durchfluss: rdrπ2rvIR
0tdVd
Hagen-Poiseulle-Gesetz
ηR
η8Rπ 44
pI
ρfl η
Ruhende Flüssigkeitssäule
2rρK
v0
Gleichgewichts-Geschwindigkeit
Anwendung: Kugelfallviskosimeter
Schwerkraft: gρρπrF flK3
34
g
Auftrieb
Reibungskraft (kleine Kugeln):
0R vrηπ6F Stokessches Gesetz:
Kräfte-Gleichgewicht
ηr
flKηr
92
0
22
ρρgv
3.4. Strömungen in idealen und realen Flüssigkeiten(gilt auch für Gase)
3.4.1. Grundbegriffe
Stromröhre:
Stromlinie(Stromfaden)
t,rv
t,rv
Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt
Strömungsfeld:
Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant) Stromlinien entlang
rv
rv
Stromlinie(Stromfaden)
t,rv
Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander.
Reibungskräfte ≫ beschleunigende Kräfte.
Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei.Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung.
v
v
3.4.2. Kontinuitätsgleichung
Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet
Massenbilanz während dt (nur x-Richtung):
x x dx
dV t,rρ
dA
tz,y,x,vx tz,y,dx,xvx
xxin dAdtvρdm dxxxaus dAdtvρdm
dt dV
dAdxvρx
dmdmdm xausinx
dt
dVdAdxvρ
xdmdmdm xausinx
dt dV
dAdxvρx
dmdmdm xausinx
dt
dVdAdxvρ
xdmdmdm xausinx
Gesamtmassenbilanz für dV während dt:
dt dVvρdmdmdmdm zyx
Folge:
tdvρtρVd
mdtρ tdtρtd
td
ρdtρ
0vρtd
ρd Kontinuitätsgleichung:
vρdivvρ
0vρtd
ρd
Kontinuitätsgleichung:
Def: Stromdichte t,rvt,rρj
Massenfluss durch Fläche v
0jtd
ρd
Kontinuitätsgleichung:
Folgerung:
Wenn die Masse in dV abnimmt, ... fließt Masse aus dV hinaus
Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt:
A1
A2
Strömung
ideale Flüssigkeit
1v
2v
Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. 0vdiv
Äquivalent: Während dt gilt dVein dVaus
dtvA 11 dtvA 22
A
A
v
v
1
2
2
1 A
A
v
v
1
2
2
1
Anders ausgedrückt: MtdMd
tdVd
tdd IρAρAvρ.const
Die Massenstromstärke IM ist konstant.
3.4.3. Die Bernoullische Gleichung
ρv
Lokaler Druck p(hydrodynamischer Druck)
Annahmen:
1. ideale Flüssigkeit η 0 v const. entlang Rohrquerschnitt
2. inkompressible Flüssigkeit ρ const.
3. Keine Schwerkraft ( kein Rohrgefälle )
Energiedichten: dV
dEε
dV
dEε
dxdA
dV dA·dx
F(x) F(xdx)v
dVdxdx
dp
dxdAxpdxxp
dxxFdxxFdVdεp
Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )
Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )
221
kin v
dm
dVρdVε Kinetische Energiedichte: Kinetische Energiedichte: 221
kin vρε
const.εε kinp
Bernoulli-Gleichung:
const.pvρp 02
21
Beispiel: Pitot-Rohr
p
p0
vρ
h p ρ g h
Statischer Druck
Statischer Druck
Gesamtdruck ( Staudruck )
Gesamtdruck ( Staudruck )
ρvpp 221
0 ρvpp 221
0
v
Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld
z
x
g z(x)
const. xzgρρvp 221 const. xzgρρvp 221
Potentielle Energiedichte im Schwerefeld
Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks
Kinetische Energiedichte der Strömung
Anwendung: Druckverteilung in Rohren
ρ
v
hhh Δh
221 vΔρΔhgρΔp
Reibung zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle
Anwendung: Zerstäuber
Luft
Unterdruck
Anwendung: Wasserstrahlpumpe
Rohr
VakuumgefäßAnsaugstutzen
p0
Luft
0pp 0pp
Wasser, sehrlangsam bewegt
Wasser, sehrschnell bewegt Außenluftdruck p
Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon
d
Luft, v1
v2
222
1 vρΔp
d 0 v2 Unterdruck überwiegt
Schwerkraft
Chladnische Pfeife
Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb
Flügel
Zirkulationsströmung
Luftströmung (Fahrtwind)
v1 v2
v2
Auftrieb
Anwendung: Magnus-Effekt
Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung
Auftrieb
v2
v1 v2
Anwendung: Prandtlsches Staurohr
Luftströmung (Fahrtwind)
ρ
v
p
p0
Flüssigkeit
221
0 vρpp
3.4.4. Die reale viskose Flüssigkeit
Navier-Stokes-Gleichung
vΔηgρpvvρ t
Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte
Schwerkraft-dichte
Reibungs-kraftdichte
Spezialfall 0 Euler-Gleichung
Interessanter Term: vvvvv 221
Geschwindig-keitsänderung
Wirbelbildung und Dynamik
Wirbelfreie (laminare) Strömung 0v
Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung großvΔ
v kleinkeine Reibung
laminar
v großOberflächenreibung
turbulent
S1 S2
QS1 S2
W Δp
S1: v 0 p(S1) = p0
Q: v max p(Q) = min p0
S2: v 0 p(S2) = p0
• Reibung v(W) 0
• Vakuum bei S2 Wirbel
• v groß in Wirbeln p bei S2 p bei S1 „Druckwiderstand“
Beispiel: Umströmter Kreiszylinder
Beispiel: Kantenwirbel
Rohr Kantenwirbel
Membran
runde, scharfkantige Öffnung
Wirbelring
Wirbelstärke:Wirbelfläche A
Winkelgeschwindigkeit
Definition: Die Größe
Ω·A bzw.
heißt Wirbelstärke
A
AdΩ
Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen.Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.
3.4.5. Turbulente Strömung und StrömungswiderstandLuftströmung (Fahrtwind)
ρ
v
A
Wirbelstraße
Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße
Druckwiderstand Reibungswiderstand
Bernoulli-Gleichung 2
2ρ vΔp
AvcF 22ρ
WW ParametrisierungFW Widerstandskraft
cW Widerstandsbeiwert
3.4.6. Ähnlichkeitsgesetze
Längenskala L , Zeitskala T
dimensionslose Größen:
ppLvvt 2
LT
ρ1
LT
Tt
Navier-Stokes-Gleichung: vRe
1pvv
t
v
Tη
LρRe
2
mit Reynoldsche Zahl
Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind.
Anwendung: Modelltests im Windkanal
3.5. Reibung zwischen festen Körpern3.5.1. Haftreibung reale, rauhe
OberflächeF
NF
Normalkraft
F FH Körper haftet
F FH Körper gleitet
Empirisch: FμF NHH H HaftreibungskoeffizientExperimenteller Test:
HFF
NF
HFF
NF
NF2
HF2F
Messung von μH :
αH
m
gm
HF
NF
αH
αH Winkel beim
Losrutschen
NHHNH FμαtanFF !
HH αtanμ
BF
Bremskraft ( Seilspannung )
Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils
Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ...
n Windungen
Seil
F
Kraft durch Last am Stab
Stabquerschnitt
Infinitesimales Seilstück
F(φ) F(φ)Spannung
φ
dφ
Nachbarseilstück:
F(φ dφ) F(φ) dF
Nachbarseilstück:
F(φ dφ) F(φ) dF
φ dφ
Tafelrechnung Hμnπ2
B eFF
3.5.2. Gleitreibung
Empirisch: FμF NGG
G Gleitreibungskoeffizient
reale, rauhe Oberflächev
NF
Normalkraft
GF
vμμ GG HG μμ
•Stokes-Reibung: G v (für kleine, langsame Körper)
•Newton-Reibung: G v2 (für große, schnelle Körper)
bzgl. Drehung um Finger 1
Experiment: Stock auf zwei Fingern
Stockm S
Finger 1 Finger 2
a b
F mg M a·F
F1
F2 M2 ( a b )·F2
Gleichgewicht:gmF,gmF ba
b1ba
a2
a b ① rutschtb a ② rutscht
Treffpunkt im Schwerpunkt
3.5.3. Rollreibung
Empirisch: FμM NRR
R Rollreibungskoeffizient
Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment
NF
αR Winkel beim
Losrollen
αR
m
gm
RF
NF
αR
r
i) Haftung:
RRNR
RR
RR
αcosgmμFμαsinrgmM
αsingmF
RR αtanrμ
Beobachtung: R ≪ H
ii) Rollvorgang: vμμ RR Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen:
1rμ
μ
rM
F
F
F
R
G
R
G
R
G
Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen,
GF
m
r
Gleiten
m
r
Rollen
RF