1
5. Energetik der Elektronen5.1 Elektrische Leitfähigkeit kondensierter Materie
FlüssigkeitenElektrolyte
Isolatoren
s
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10+6
10+3
110-3
W-1cm-1
PVCBernstein,TeflonGlimmer, Diamant
LuftGlas
NaCl
GeSi
Graphit
CuBi
Salz-schmelzen
ReinesWasser
Metalle
FesteHalbleiter
Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe bei Raumtemperatur
2
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
Ionenrümpfe
Leitungselektronen+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
-
-
-
--
- - -
--
-
-
-
E
Valenzelektronen der Atome werden bei Metallen zu den Leitungselektronen· Bildung eines „Sees“ aus freien Elektronen· Elektronische Bindung, Elektronenleitung
Anteil der Ionenrümpfeam Kristallvolumen:Alkalimetalle: 10-20%Edelmetalle: 80-95%
Kraft F auf Leitungselektronen imElektrischen Feld E:
F = me·dv/dt = - eoE
dv = - eoE·dt/me
3
5.2 Streuung der Elektronen im Kristall
streuendes Elektron
Kaum Elektron-ElektronStreuung!!!Pauli-PrinzipOber-
fläche
Versetzung Isotopenschwankung
Elektron-Phonon-Streuung
Konzentrations-schwankung
Leerstelle Zwischen-gitteratom
Mittlere freie Weglänge:Stromdichte j im elektrischen Feld: j = s EIn der Zeit ∆t zurückgelegte Wegstrecke: l = vF ∆tDefinition der elektrischen Stromdichte: j = - eo (N/V)∆v ∆v = - eo E l / (mevF)
Elektrische Leitfähigkeit:
†
s =Neo
2 lV me vF
Cu:l = 4·10-8 m (T=300 K)l = 0,4 cm (T=4 K)
4
Bestimmung derLadungsträgerkonzentration N
Hall-Effekt in Metallen:
+ + + ++++
jx Ey
Bz
jx
Lorentz-Kraft:F = eo (v x B)
Hallfeld:Ey = Rh jx Bz
Hallkonstante:Rh = - (eo N / V)-1
+ 1,1351 Loch+ 1,136Al
+ 1,7801 Loch+ 1,774In
- 0,821 Elektron- 0,6Cu
- 2,6031 Elektron- 2,619Na
- 1,481 Elektron- 1,89Li
Rh(ber.) [10-24
CGS Einheiten]Ladungsträger/Atom
Rh(exp.) [10-24
CGS Einheiten]Metall
5
5.3 Fermiverteilung der Elektronen
Freie Energie F des Elektronensystems:
Zahl der Permutationen bei der Besetzung der Zustände durch die Elektronen:
Chemisches Potential µ:
:
Elektronen: halbzahliger SpinPauli-Prinzip: jeder Energiezustand ist einfach besetzt.
System mit Einteilchenenergieniveaus Ei, Entartungsgrad gi für jedes Niveauund Besetzungszahl ni (ni ≤ gi)
Thermisches Gleichgewicht:
†
dF =∂F∂nii
 dni
Teilchenzahlerhaltung:
†
dnii
 = 0
†
F = U - TS; U = nii
 Ei; S = kB ln P
†
P =gi!
ni!(gi - ni)!i’ ; S = kB lngi!- lnni!- ln(gi- ni)![ ]
iÂ
†
m =∂F∂ni
= Ei + kB T ln ni
gi-ni
6
Gilt nur für Fermiteilchenmit halbzahligem Spin
T = 0K: µ = EF
EF: “Fermi-Energie”
Fermi-Dirac Verteilung
1 2 3 4 5 6 E/kB
f (E
,T) TF = EF/kB = 5·104 K
0 K 300 K5000 K
2 T1
†
f (E,T) =1
exp E-mkBT
+1
7
5.4 Fermikante und Fermienergie
1
2
3
fE
de
de
fE
f(E,T
)
EEF
1
T = 0K: Alle Zustände E < EF besetzt.
Große mittlere freie Weglänge l und hohe Fermi-Temperatur TF ≈ 50 000 Knur quantenphysikalisch erklärbar.
8
Zahl der Elektronen, die miteinander wechselwirken:
Fermi-Energie und -Geschwindigkeit des freien Elektronengases bei T = 0K.
WW nur mit jedem200 000 st Elektron!
de/EF ≈ eo|E| l /EF|E| = 1000 V/mEF = 10-18 Jl = 4·10-8 m
de/EF = 5·10-6
Beispiel: Cu
n = 8,5·1022 cm-3
kF = 1,36 ·108 cm-1
vF = 1,57 ·108 cm/sEF = 7,0 eVTF = 81 600 K
Ekin = p2/2 me
p = h k = me v
EF = h2
2 me
(3 #2 n)2/3
vF = h kF/me
9
5.5 Zustandsdichte freier Elektronen
Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im 3-dimensionalen Raum:
Periodische Randbedingungen
Lösung der Schrödinger-Gleichung: laufende ebene Wellen
Hohe Fermi-Energie:1.) Fermiteilchen (Pauli-Prinzip)2.) kleine Elektronenmasse3.) Elektronenzahldichte
†
-h2
2me
⋅∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ ⋅yk ( r ) = Ekyk ( r )
†
yk ( r + L, y, z ) =yk ( x, y , z )
yk = exp (i k·r) kx = 0; ±2π/L; ±4π/L
10
kx
ky
kz
kF
F
Fermi-Fläche beider Energie EF
Zustandsdichte der Elektronen:
Energieeigenwerte:
Zahl der Zustände E ≤ EF
D(E)
E
T=0K
T>0K
EF
†
Ek =h2
2me
k 2 =h2
2me
( kx2 + k y
2 + kz2 )
†
N = 2 ⋅4p kF
3
3( 2p / L )3=
V
3p 2⋅ kF
3
†
D( E ) =dNdE
=V
2p 2⋅
2me
h2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
3 / 2
⋅ E1 / 2
11
5.6 Elektronenwellen
Periodisches Gitterpotential0
U
r
Vakuum
Austrittsarbeita
LVakuum
x
y-2
x
y+2
y+
xkonstruktiv
destruktivl = 2a
a
x
y- ~ cos(p x/a)
y+
x~ sin(p x/a)
Elektronen-Interferenz
Laufende Welle
Aufenthaltswahrscheinschlichkeit
Verschiedene Energien für |y+|2 und |y-|2
· Energielücke bei k = n#/a (n=0,1,2..) · erlaubte Zonen (Energiebänder)· verbotene Zonen (Bandlücken)
12
5.6 Brillouin-Zonen und Elektronenwellen
Brillouinzonen im dreidimensionalen Gitter:Streuung der Elektronenwellen am Rand der Brillouin-ZonenResonanz-Stellen l = 2 a/n oder |k| = n#/a
y+
2pa
pa
pa
2pa0
k1. Brillouin-Zone
2. Brillouin-Zone
3. Brillouin-Zone
E
∆E1 {
∆E2 { y-
y+
y-
a
E(k): Dispersionsrelation:Weit weg von ResonanzstellenE ~ k2 (freie Elektronen)In der Nähe der ResonanzstellenE(k) hängt vom GitterpotentialU(r) ab.Energielücke ∆E an den Resonanzstellen k = n#/a
13
Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter
[111]
[110]
[100]
Kubisch raumzentriertes Gittermit drei markierten Richtungen
Bloch-Funktionen in den dreiausgezeichneten Richtungen
Die gestrichelten Kurven entsprechen denZuständen freier Elektronen yk
(f) , die rot
durchgezogenen Kurven den für einbestimmtes Gitterpotential berechnetenZuständen der Elektronen yk = yk
(f) uk.
Wellenfunktion eines Elektronsim Gitter yk setzt sich zusammenaus freiem Elektronen-Anteil yk
(f)
und dem Gitterpotential uk:yk (r) = yk
(f) (r)· uk(r) =A·exp(ikr)· uk(r)yk (r): „Bloch-Funktionen“
14
Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter
[111]
[110]
[100]
Kubisch raumzentriertes Gittermit drei markierten Richtungen
Bloch-Funktionen in den dreiausgezeichneten Richtungen
Die gestrichelten Kurven entsprechen denZuständen freier Elektronen yk
(f) , die rot
durchgezogenen Kurven den für einbestimmtes Gitterpotential berechnetenZuständen der Elektronen yk = yk
(f) uk.
Wellenfunktion eines Elektronsim Gitter yk setzt sich zusammenaus freiem Elektronen-Anteil yk
(f)
und dem Gitterpotential uk:yk (r) = yk
(f) (r)· uk(r) =A·exp(ikr)· uk(r)yk (r): „Bloch-Funktionen“
15
5.7 Energieniveaus, Zustandsdichte und Fermiverteilung
Emax
EF
E
Grund-zustand
w*, D, fF 0
fF(E,T = 0 K)
w*(Ei)
D(E)
fF = 1
Ei
fF(E,T > 0K)
Fermienergie:EF = h2(3#2n)2/3/me
EF = mevF2/2
Fermiverteilung:fF(E,T) = 1/(exp(E-µ)/kBT + 1)T = 0K: µ = EF
fF << 1 bzw. E >> kBT
BoltzmannverteilungfB (E,T) = 1/exp(E/kBT)
Emax: Bindungsenergie derElektronen im Kristall
16
5.8 Spezifische Wärme der Elektronen
Analog zum Verfahren zur Bestimmung der spezifischen Wärme des Gitters
T << TF:
Zustandsdichte eines freien Elektronengases:
†
CVe =
dEe
dT
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
V
ªd
dTE ⋅ fF ( E,T ) ⋅ D( E ) dE
0
Emax
ÚÊ
Ë Á Á
ˆ
¯ ˜ ˜
V
†
D( E ) =( 2me )3 / 2
p 2 h3⋅ E
†
CVe ª
p 2
3D( EF )kB
2 T ªp 2
2nkB ⋅
TTF
≡ gT
Aus Messungen der spezifischen Wärme als Funktion der Temperatur beitiefen Temperaturen wird die elektronische Zustandsadichte D(EF) bestimmt.
17
Beiträge der Elektronen undPhononen zur spezifischen Wärme;Zusätzliche Beiträge in:• amorphen Metallen• magnetischen Metallen
Gesamte spezifische Wärme eines kristallinen Metalls bei tiefen Temperaturen:
CV = gT + bT3; CV/T = g + bT2
g
LiNaKCuAgAlFeCoNi
1.71.72.00,690,661,354,984.987,02
2,31,51,11,371,021,610,010,315,3
Metall g exp g expg fEl(10-3 J mol-1K-2)
18
5.9 Magnonen
Magnetische Überstruktur, durch elastische Neutronenbeugung nachgewiesen.
Strukturelle und magnetische OrdnungBeispiel: krz Eisen
parallele Ausrichtungen permanenter Spins
FerromagnetismusMagnetische Überstrukturen:
Beispiel: Antiferromagnetisches MnO
(311)
(311)
80 K, T < TN
293 K, T > TN
k' = k + G
19
Wechselwirkung von N Spins S:
.(Heisenberg-Modell)
Grundzustand:
Uo = - 2 N J S2
Anregung von Spinwellenniederenergetisch
Magnetische Anregungen
Angeregter Zustand
U1 = Uo + 4 J S2
Quantelung der Spinanregungen:
Magnonen
†
U = - 2J S pp=1
N
 S p+1
20
Zustandsdichte:
Quantisierung der Spinwellen:
Dispersionsrelation:
ka << 1
Bestimmung der Dispersionsrelation, Zustandsdichte und Energie analog zu Phononen:
†
hw = 2J S z - cos( k ⋅d )d
ÂÈ
Î Í
˘
˚ ˙ ; hw = ( 2J Sa2 )k 2
†
Ek = nk +12
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ ⋅ hwk ; nk = 0,1,2.......
†
g(w ) =1
4p 2⋅
h
2J Sa2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
3 / 2
⋅ w1 / 2
Verteilungsfunktion:
†
f ( E,T ) =1
exp( hw / kBT )-1
†
Magnonen sind Bosonen undgehorschen der Bose-Einstein Statistik!
21
Änderung der Magnetisierung:
Blochsche T3/2 - Gesetz
Anzahl der bei der Temperatur T angeregten Magnonen:
†
nkk
 =1
4p 2
h
2J Sa2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
3 / 2w1 / 2
exp( hw / kBT )-10
•
Ú
†
nk
N Sk
 =DM( T )DM( 0 )
;DM( T )DM( 0 )
=0,0587
SQ⋅
kB T2J S
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
3 / 2
Verteilungsfunktion
Energie einer Mode
Zustandsdichte
†
U M = E ⋅ f ( E,T ) ⋅ g( E ) dE0
Emax
ÚEnergie der Magnonen UM
†
U M =N 3
4p 2⋅
( kB T )5 / 2
( 2J S )3 / 2⋅
x1 / 2
exp( x )-10
•
Ú ⋅ dx
22
,
,
Inelastische Neutronenstruktur: · Dispersionskurven
Erhaltungssätze für Energie und Wellenvektor
†
h2 k 2
2 M n
=h2 k'2
2 M n
± hwk
†
k` = k+G±K
Akustische Phononen:K(w=0)=0Gleichphasige Schwingungenbenachbarter AtomeOptische Phononen:Gegenphasige Schwingungen Longitudinal Transversal
23
5.10 Spezifische Wärme der Magnonen
experimentelle Bestimmung von a:· Austauschwechselwirkung J
†
CVM =
dU M
dT= 0,113kB ⋅
kBT
2J sa2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
3 / 2 Spezifische Wärme isolierenderferromagnetischer Kristalle:
CV = CVM + CV
G
CVT-3/2 = a + bT3/2
0
40
80
120
160
200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CVT
3/2
[erg
/cm
3/2 ]
T3/2 [K3/2]
Y3Fe5O12
Ni: J = 2,14·10-2 eV
J etwa um Faktor 2,4höher als in derMolekularfeld-Theorie(lokale Momente)berechnet · Modell desitineranten Magnetismus(Bänder-Modell)
24
5.11 Niederenergetische Anregungen in amorphen MetallenP
oten
tial
U
verallgemeinerte Koordinate q
Zwei-Niveau-Systeme/Tunnelsysteme
|y|2
∆ V
-d
|1> |2>
+d
Eo
x0
y1 ≈ exp -a2(x+d)2
y1 ≈ exp -a2(x-d)2
Bei Überlappung der Wellenfunktionen:· Tunnelprozesse
†
y1-•
+•
Ú ⋅y2 dx = exp( -l ) ≠ 0
†
Eo = hwo ; Vo =1/ 2 mwo d 2
Tunnelparameter:l= (2m Vo d2/h2)1/2
Tunnelaufspaltung:∆ = hwo exp(-l)
25
Beispiel: m = 100 AME, d = 0,5Å, ∆/kB = 100 mK, ∆/h = 2ns
Asymmetrisches Doppelmuldenpotential
e
Zwei-Niveau-System mit den Energien:E1/2 = ±(e2+∆2)1/2
Dichte der ZNS mit konstanterZustandsdichte P:
†
n( E,t ) = P( E,t ) =P 2t min
t max
Ú ln4t
t min
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
Jedes ZNS trägt mit einer Schootky-Anomalie zur spezifischen Wärme bei
†
CZNS ( T ,t ) =kB
rd
EkBT
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
0
•
Ú2
⋅exp( -E / kBT )
exp( -E / kBT )+1( )2
n( E,t )dE
=p 2
12kB
2 P ln4t
t min
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ ⋅ T ª
p 2
6kB
2 no ⋅ T
Amorphe Metalle: CV = Cvel + CV
ZNS + CVG = gT + aT + bT3
26
5.12 Amorphe Supraleiter
T << TC: Kondensation der Quasi-Teilchen (Elektronen) in den supraleitendenGrundzustand · Elektronen sind vom Energieaustausch entkoppelt
Spezifische WärmeWärmeleitfähigkeit im Nullfeldund im Magnetfeld B
27
5.13 Kalorimeter