. , uneigenthichen Riemann - Integraten "
bono tiger wir :
wenn gilt :
" nom Lebesgue - Map Null in IR "
.
( ii ) t Re Co , N ) : vote ( I At An ) n Iplo)) mistiest far alle KEN und
this ,
Bsp . i o Far A .
- IR "
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- fee IR "
ausgeschcipft .
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- integrierbar ist , dawn her
• Wenn f -
- ft - f wit ft , f. so , dann ist das uueig .
R .
- Int . definivt
Is If Les de :-. faftle) de - ! f. Les de E Rutt -} so fern beside
Integrate als unrig .
.
damn hipt A

Bein wie die Def . schon suggvivt ist / field unable . von der ausschipf . Folger .
Bsp.io A- = to , o ) '
.
Satz Sei Ju :-. f A EIR "
/ A beschroinkt und IA von Lebesgue - Map Null } . Die Abbildung vol : 3h → IR
, Ats fade besitzt folgende Eigeuschaften : V-A.BE In the IR
"
:
( i ) not LA) s . O Nicht negalinitat
÷÷:::÷÷÷÷÷÷:÷÷::i::m.m:÷÷÷::.( r ) vol ( [ 0,75 ) = 1 Normie rung
( ri ) vole ( UA ) = rot ( A ) t U : Oln) : -- f UE IR ""
/ UTU = I } Rotations invariant
" -s IR
; e ; ,
s;) holla ) .
-
"
"
wir importeren ein uuitzhiohes Werkzeug ans do tin . Algebra.
Satz : ( Singularwertzerlegung )
gibt es orthogonal Transformationeh Ue Oh) , VE 0cm )
miufn , m ) und s c Ryo
, so dass M = UAV wobei Am:=Ski Sr. .
.
"
Eigeuwerte von MTM .
→ IR "
vol ( MA ) = ldet L M ) I uol.LA )
Beweisi Sei M -
- vol ( AVA ) = vote ( VA ) II.sr. = uol.LA ) II ,
su .
(vi ) C vii ) Lui )
Zudem gilt ldet I M) I = I det I u) detlr ) det Lv) / = ldetlr ) / = ITso, A
k -- I
l
U E Olu) ⇒ det LU) e f±7 } , da 1 -- det ( Utu) :
: Iet tht .
"
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l
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1st Us IR "
, IR "
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Beweis : Foyt unni Hel bar ans dem Satz vibes die Lohan Umkehrbwkit
( Analysis 2) . D
Bsp . : ( Polarkoordinaten )
^
.
,( sinf roost ) I !
-
ein C ? Diffeomorphismus .
Satz ( TransformationsSatz )
Sei UE IR "
"
ein C ' - Diffeomorphisms und
-
-
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ist ein Quacker unit Zerlegung A - - th Q ; ,
Q ; -
- Qotxi ,
glQ; )
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Far immer feiner werden de Zoleguugeu gilt wegen R- integrin bwkeit non fi
1¥, fly) dy - ¥ ,
roll gla; )) = not ( guilt Dglx ; ) Q . ) = vol ( Doyle; ) Qo )
Transl . invasahz &
lumen eine ,
D
•
Beweisi Losing durch Rickfihrung auf ein 2-dim . Integral .
Kpi -- I Lay) EIR's.o I x't y ' E R ') E Qr :-. to.RS
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wie im folyendeu Dsp . :
, an ) UT
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Bsp . : ( Volumen cines Rotations korpers ) Sei F : : iz ( y,z ) e 1122 / ze [ zaz . ]
, ye [al⇒.ba '] } ein Normalbereich unit z
, > . zo
der church Rotation um die z . Achse eutsteht ist
vollk) = Zity. If /
wobei IFI := ¥ diz ) §#§§ .
Floichenihalt und yo
.
×
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