Analytische GeometrieAufgaben und Lösungen
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©Klemens Fersch
15. Januar 2014
Inhaltsverzeichnis1 2 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt 3
1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 2 Vektoren: Skalarprodukt - FlÀche - Winkel 62.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 2 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt 93.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit 134.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 3 Vektoren: Spatprodukt - lineare AbhÀngigkeit - Basisvektoren - KomplanaritÀt 205.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Gerade aus 2 Punkten 236.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Ebenengleichung aufstellen 257.1 3 Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 Punkt und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3 Parallele Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Parameterform - Koordinatenform 368.1 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9 Koordinatenform - Hessesche Normalenform 509.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1
INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS
10 Punkt - Gerade 5210.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11 Gerade - Gerade 6011.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6011.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
12 Punkt - Ebene (Koordinatenform) 7312.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7312.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13 Gerade - Ebene (Koordinatenform) 7813.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7813.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14 Ebene - Ebene 8114.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8214.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
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2 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt
1 2 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6â1
A(-1/3)
5
-2
B(4/1)
vâ1
vâ2
vâ3
vâ4
vâ5
b
b
b
M
Vektor - Steigung - Ortsvektor
Die Menge aller parallelgleicher Pfeile heiĂt Vektor vâ.
vâ =
(xy
)Ein Vektors zwischen einem Punkt A und Koordinaten-ursprung, heiĂt Ortsvektor.A(xa/ya)
Aâ =
(xa
ya
)
Vektoren: AâB = vâ3 = vâ4 = vâ5
Ortsvektor: Aâ = vâ1 =
(â12
)Ortsvektor: Bâ = vâ2 =
(41
)
Vektor zwischen 2 Punkten
2 Punkte: A(xa/ya) B(xb/yb)
AâB =
(xb â xa
yb â ya
)=
(xc
yc
)Punkte: A(â1/3) B(4/1)Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
(4 + 11 â 3
)=
(5â2
)
LĂ€nge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei PunktenâŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = âx2
c + y2câŁâŁâŁââAB
âŁâŁâŁ = â(xb â xa)2 + (yb â ya)2)
âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â52 + (â2)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
29âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 5, 39
Steigung der Graden AB
AâB =
(xy
)Steigung der Graden ABm =
yx
Steigng der Geraden ABm =
â25
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2 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Aufgaben
Mittelpunkt der Strecke AB
Mâ = 12
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
((xa
ya
)+
(xb
yb
))M( xa+xb
2 / ya+yb2 )
Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
((â13
)+
(41
))Mâ =
(1 1
22
)M(1 1
2 /2)
1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Punkte:A(xa/ya) B(xb/yb)
Gesucht:Vektor zwischen 2 PunktenLĂ€nge des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten - Mittelpunkt einer Strecke
keine Aufgaben
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2 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Lösungen
1.2 Lösungen
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2 Vektoren: Skalarprodukt - FlÀche - Winkel
2 2 Vektoren: Skalarprodukt - FlÀche - Winkel
1
2
3
4
1 2 3 4 5
aâ
bâ
aâ =
(xa
ya
)bâ =
(xb
yb
)aâ =
(3â1
)bâ =
(12
)
Steigung der Vektoren
ma =ya
xama =
ybxb
ma = mb â Vektoren sind parallel
Steigungms =
ya
xa=
â13
= â 13
mb =ybxb
=21= 2
Skalarprodukt
aâ ⊠bâ =
(xa
ya
)âŠ(
xb
yb
)= xa · xb + ya · yb
Senkrechte Vektoren:aâ ⊠bâ = 0 â aâ â„ bâ
aâ ⊠bâ ==
(3â1
)âŠ(
12
)= 3 · 1 +â1 · 2 = 1
FlÀche aus 2 Vektoren
FlĂ€che des Parallelogramms aus aâ, bâ
A =
âŁâŁâŁâŁâŁ xa xb
ya yb
âŁâŁâŁâŁâŁ = xa · yb â ya · xb
FlĂ€che des Dreiecks aus aâ, bâ
A = 12
âŁâŁâŁâŁâŁ xa xb
ya yb
âŁâŁâŁâŁâŁ = 12 (xa · yb â ya · xb)
FlĂ€che des Parallelogramms aus aâ, bâ
A =
âŁâŁâŁâŁ 3 1â1 2
âŁâŁâŁâŁ = 3 · 2 ââ1 · 1 = 7
FlĂ€che des Dreiecks aus aâ, bâ
A = 12
âŁâŁâŁâŁ 3 1â1 2
âŁâŁâŁâŁ = 12 (3 · 2 â (â1) · 1) = 3 1
2
Winkel zwischen Vektoren
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =xa · xb + ya · ybâ
x2a + y2
a ·â
x2b + y2
b
Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =3 · 1 +â1 · 2â
32 + (â1)2 ·â
12 + 22
cos α =
âŁâŁâŁâŁ 13, 16 · 2, 24
âŁâŁâŁâŁcos α = |0, 141|α = 81, 9
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2 Vektoren: Skalarprodukt - FlÀche - Winkel Aufgaben
2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Vektoren: Aâ =
(xaya
)Bâ =
(xbyb
)Gesucht:LÀnge der Vektoren:FlÀche des ParallelogrammsSkalarprodukt
keine Aufgaben
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2 Vektoren: Skalarprodukt - FlÀche - Winkel Lösungen
2.2 Lösungen
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2 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt
3 2 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt
x1
x2
x3
A(-2/2/1)
-2 2
1
B(2/-1/5)
2-1
5 vâ1
vâ2
vâ3
vâ4
vâ5
Vektor - Ortsvektor
Die Menge aller parallelgleicher Pfeile heiĂt Vektor vâ.
vâ =
x1
x2
x3
Ein Vektor zwischen einem Punkt A und Koordinaten-ursprung, heiĂt Ortsvektor.A(a1/a2/a3)
Aâ =
a1
a2
a3
Vektoren: AâB = vâ3 = vâ4 = vâ5Ortsvektor: Aâ = vâ1Ortsvektor: Bâ = vâ2
Vektor zwischen 2 Punkten
2 Punkte: A(a1/a2/a3) B(b1/b2/b3)
AâB =
b1 â a1
b2 â a2
b3 â a2
=
c1
c2
c3
Punkte: A(â2/2/1) B(2/ â 1/5)Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
2 + 2â1 â 25 â 1
=
4â34
LĂ€nge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei PunktenâŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁââAB
âŁâŁâŁ = â(b1 â a1)2 + (b2 â a2)2 + (b3 â a3)2
âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = âc2
1 + c22 + c2
3âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â42 + (â3)2 + 42âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
41âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 6, 4
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2 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt Aufgaben
Mittelpunkt der Strecke AB
Mâ = 12
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
a1
a2
a3
+
b1
b2
b3
M( a1+b12 / a2+b2
2 / a3+b32 )
Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
â221
+
2â15
Mâ =
0123
M(0/ 1
2 /3)
3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Punkte:A(a1/a2/a3) B(b1/b2/b3)
Gesucht:Vektor zwischen 2 PunktenLĂ€nge des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten - Mittelpunkt einer Strecke
(1) Punkte: A(4/3/7) B(6/4/5)(2) Punkte: A(8/3/ â 8) B(4/ â 7/2)(3) Punkte: A(2/3/45) B(5/6/7)(4) Punkte: A(2/4/ â 8) B(6/7/ â 9)(5) Punkte: A(â1/2/5) B(â4/5/4)
(6) Punkte: A(2 35 /1 1
2 / 59 ) B(4/1 1
9 /1 115 )
(7) Punkte: A(2 35 / â 4
5 / â 1 19 ) B(â5 1
8 /0/ â 1)(8) Punkte: A(â2/2/1) B(2/ â 1/5)
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2 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt Lösungen
3.2 LösungenAufgabe (1)
Punkte: A(4/3/7) B(6/4/5)âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
6 â 44 â 35 â 7
=
21â2
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â22 + 12 + (â2)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
9âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 3
âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
437
+
645
Mâ =
53 1
26
M(5/3 1
2 /6)
Aufgabe (2)
Punkte: A(8/3/ â 8) B(4/ â 7/2)âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
4 â 8â7 â 32 + 8
=
â4â1010
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â(â4)2 + (â10)2 + 102âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
216âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 14, 7
âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
83â8
+
4â72
Mâ =
6â2â3
M(6/ â 2/ â 3)
Aufgabe (3)
Punkte: A(2/3/45) B(5/6/7)âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
5 â 26 â 37 â 45
=
33
â38
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â32 + 32 + (â38)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â1, 46 · 103âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 38, 2
âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
2345
+
567
Mâ =
3 12
4 12
26
M(3 1
2 /4 12 /26)
Aufgabe (4)
Punkte: A(2/4/ â 8) B(6/7/ â 9)âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
6 â 27 â 4â9 + 8
=
43â1
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â42 + 32 + (â1)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
26âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 5, 1
âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
24â8
+
67â9
Mâ =
45 1
2â8 1
2
M(4/5 1
2 / â 8 12 )
Aufgabe (5)
Punkte: A(â1/2/5) B(â4/5/4)âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
â4 + 15 â 24 â 5
=
â33â1
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23
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2 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt Lösungen
âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â(â3)2 + 32 + (â1)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
19âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 4, 36
âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
â125
+
â454
Mâ =
â2 12
3 12
4 12
M(â2 1
2 /3 12 /4 1
2 )
Aufgabe (6)
Punkte: A(2 35 /1 1
2 / 59 ) B(4/1 1
9 /1 115 )
âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
4 â 2 35
1 19 â 1 1
21 1
15 â 59
=
1 25
â 718
2345
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â1 25
2+(â 7
18)2
+ 2345
2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
2, 37âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 1, 54
âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
2 35
1 12
59
+
41 1
91 1
15
Mâ =
3 310
1 1136
7390
M(3 3
10 /1 1136 / 73
90 )
Aufgabe (7)
Punkte: A(2 35 / â 4
5 / â 1 19 ) B(â5 1
8 /0/ â 1)âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
â5 18 â 2 3
50 + 4
5â1 + 1 1
9
=
â7 2940
4519
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â(â7 2940)2
+ 45
2+ 1
92âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â60, 3âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = 7, 77âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
2 35
â 45
â1 19
+
â5 18
0â1
Mâ =
â1 2180
â 25
â1 118
M(â1 21
80 / â 25 / â 1 1
18 )
Aufgabe (8)
Punkte: A(â2/2/1) B(2/ â 1/5)âą Vektor zwischen zwei Punkten
AâB =
2 + 2â1 â 25 â 1
=
4â34
âą Abstand von 2 Punkten (Betrag des Vektors)âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = âc21 + c2
2 + c23âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = â42 + (â3)2 + 42âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = â
41âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 6, 4
âą Mittelpunkt der Strecke ABMâ = 1
2
(Aâ + Bâ
)Mâ = 1
2
â221
+
2â15
Mâ =
0123
M(0/ 1
2 /3)
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2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit
4 2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit
-ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*
6
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*-
p p α
bâ
aâ
aâĂâb
A
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*
bâ aâ
aâ =
a1
a2
a3
bâ =
b1
b2
b3
aâ =
212
bâ =
â21â2
LĂ€nge der Vektoren
|âa| =â
a21 + a2
2 + a23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb2
1 + b22 + b2
3
LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
22 + 12 + 22
|âa| = 3âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â(â2)2 + 12 + (â2)2âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 3
Skalarprodukt
aâ ⊠bâ =
a1
a2
a3
âŠ
b1
b2
b3
=
a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
Senkrechte Vektoren:aâ ⊠bâ = 0 â aâ â„ bâ
Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 2 · â2 + 1 · 1 + 2 · â2 = â7
Vektorprodukt - FlÀche des Parallelogramms
câ â„ aâ und câ â„ bâ
câ = aâ Ă bâ =
a2 · b3 â a3 · b2
a3 · b1 â b3 · a1
a1 · b2 â a2 · b1
câ = aâ Ă bâ =
c1
c2
c3
FlÀche des Parallelogramms:A =
âŁâŁâŁâa Ă bââŁâŁâŁ
A = |âc| =â
c21 + c2
2 + c23
FlĂ€che des Dreiecks aus aâ, bâ
A = 12
âŁâŁâŁâa Ă bââŁâŁâŁ
Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
1 · (â2)â 2 · 12 · (â2)â (â2) · 2
2 · 1 â 1 · (â2)
câ = aâ Ă bâ =
â404
FlĂ€che des Parallelogramms:|âc| =
â(â4)2 + 02 + 42
|âc| = 5, 657
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2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit Aufgaben
Winkel zwischen Vektoren
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =a1b1 + a2b2 + a3b3â
a21 + a2
2 + a23 ·â
b21 + b2
2 + b23
Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ â73 · 3
âŁâŁâŁâŁcos α =
âŁâŁâŁâ 79
âŁâŁâŁÎ± = 38, 942
Lineare AbhÀngigkeit von 2 Vektoren
a1 = b1k / : b1 â k1
a2 = b2k / : b2 â k2
a3 = b3k / : b3 â k3
k1 = k2 = k3 âVekoren sind linear abhĂ€ngig - parallelnicht alle k gleich âVektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Lineare AbhÀngigkeit von 2 Vektoren 212
= k ·
â21â2
2 = â2k / : â2 â k = â11 = 1k / : 1 â k = 12 = â2k / : â2 â k = â1
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
4.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
Vektoren: Aâ =
a1a2a3
Bâ =
b1b2b3
Gesucht:LÀnge der Vektoren:FlÀche des ParallelogrammsVektorproduktSkalarproduktLineare AbhÀngigkeit von 2 Vektoren
(1) Vektor: Aâ =
212
Bâ =
â21â2
(2) Vektor: Aâ =
21â4
Bâ =
â2â14
(3) Vektor: Aâ =
264
Bâ =
â8â1â3
(4) Vektor: Aâ =
134
Bâ =
â2â6â8
(5) Vektor: Aâ =
859
Bâ =
902
(6) Vektor: Aâ =
266
Bâ =
801
(7) Vektor: Aâ =
337
Bâ =
092
(8) Vektor: Aâ =
653
Bâ =
191
(9) Vektor: Aâ =
210
Bâ =
04 1
21 1
2
(10) Vektor: Aâ =
589
Bâ =
662
(11) Vektor: Aâ =
231
Bâ =
462
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2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit Lösungen
4.2 LösungenAufgabe (1)
Vektoren: aâ =
212
bâ =
â21â2
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
22 + 12 + 22
|âa| = 3âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â(â2)2 + 12 + (â2)2âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 3
âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 2 · â2 + 1 · 1 + 2 · â2 = â7âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
1 · (â2)â 2 · 12 · (â2)â (â2) · 2
2 · 1 â 1 · (â2)
câ = aâ Ă bâ =
â404
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â(â4)2 + 02 + 42
|âc| = 5, 66âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ â73 · 3
âŁâŁâŁâŁcos α =
âŁâŁâŁâŁâ79
âŁâŁâŁâŁÎ± = 38, 9âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 2
12
= k ·
â21â2
2 = â2k / : â2 â k = â11 = 1k / : 1 â k = 12 = â2k / : â2 â k = â1
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (2)
Vektoren: aâ =
21â4
bâ =
â2â14
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
22 + 12 + (â4)2
|âa| = 4, 58
âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â(â2)2 + (â1)2 + 42âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 4, 58
âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 2 · â2 + 1 · â1 â 4 · 4 = â21âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
1 · 4 â (â4) · (â1)â4 · (â2)â 4 · 2
2 · (â1)â 1 · (â2)
câ = aâ Ă bâ =
000
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â02 + 02 + 02
|âc| = 0âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ â214, 58 · 4, 58
âŁâŁâŁâŁcos α = |â1|α = 0âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 2
1â4
= k ·
â2â14
2 = â2k / : â2 â k = â11 = â1k / : â1 â k = â1â4 = 4k / : 4 â k = â1
â Vektoren sind linear abhĂ€ngig - parallel
Aufgabe (3)
Vektoren: aâ =
264
bâ =
â8â1â3
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
22 + 62 + 42
|âa| = 7, 48âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â(â8)2 + (â1)2 + (â3)2âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 8, 6
âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 2 · â8 + 6 · â1 + 4 · â3 = â34âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
6 · (â3)â 4 · (â1)4 · (â8)â (â3) · 22 · (â1)â 6 · (â8)
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2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit Lösungen
câ = aâ Ă bâ =
â14â2646
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â(â14)2 + (â26)2 + 462
|âc| = 54, 7âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ â347, 48 · 8, 6
âŁâŁâŁâŁcos α = |â0, 528|α = 58, 1âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 2
64
= k ·
â8â1â3
2 = â8k / : â8 â k = â 1
46 = â1k / : â1 â k = â64 = â3k / : â3 â k = â1 1
3
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (4)
Vektoren: aâ =
134
bâ =
â2â6â8
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
12 + 32 + 42
|âa| = 5, 1âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â(â2)2 + (â6)2 + (â8)2âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 10, 2
âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 1 · â2 + 3 · â6 + 4 · â8 = â52âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
3 · (â8)â 4 · (â6)4 · (â2)â (â8) · 11 · (â6)â 3 · (â2)
câ = aâ Ă bâ =
000
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â02 + 02 + 02
|âc| = 0âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ â525, 1 · 10, 2
âŁâŁâŁâŁcos α = |â1|α = NaN
⹠Lineare AbhÀngigkeit von 2 Vektoren 134
= k ·
â2â6â8
1 = â2k / : â2 â k = â 1
23 = â6k / : â6 â k = â 1
24 = â8k / : â8 â k = â 1
2
â Vektoren sind linear abhĂ€ngig - parallel
Aufgabe (5)
Vektoren: aâ =
859
bâ =
902
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
82 + 52 + 92
|âa| = 13âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â
92 + 02 + 22âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 9, 22âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 8 · 9 + 5 · 0 + 9 · 2 = 90âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
5 · 2 â 9 · 09 · 9 â 2 · 88 · 0 â 5 · 9
câ = aâ Ă bâ =
1065â45
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â102 + 652 + (â45)2
|âc| = 79, 7âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ 9013 · 9, 22
âŁâŁâŁâŁcos α = |0, 749|α = 41, 5âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 8
59
= k ·
902
8 = 9k / : 9 â k = 8
95 = 0k / : 0 â k = +unendlich9 = 2k / : 2 â k = 4 1
2
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (6)
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2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit Lösungen
Vektoren: aâ =
266
bâ =
801
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
22 + 62 + 62
|âa| = 8, 72âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â
82 + 02 + 12âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 8, 06âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 2 · 8 + 6 · 0 + 6 · 1 = 22âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
6 · 1 â 6 · 06 · 8 â 1 · 22 · 0 â 6 · 8
câ = aâ Ă bâ =
646â48
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â62 + 462 + (â48)2
|âc| = 66, 8âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ 228, 72 · 8, 06
âŁâŁâŁâŁcos α = |0, 313|α = 71, 8âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 2
66
= k ·
801
2 = 8k / : 8 â k = 1
46 = 0k / : 0 â k = +unendlich6 = 1k / : 1 â k = 6
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (7)
Vektoren: aâ =
337
bâ =
092
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
32 + 32 + 72
|âa| = 8, 19âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â
02 + 92 + 22âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 9, 22âą Skalarprodukt:
aâ ⊠bâ = 3 · 0 + 3 · 9 + 7 · 2 = 41âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
3 · 2 â 7 · 97 · 0 â 2 · 33 · 9 â 3 · 0
câ = aâ Ă bâ =
â57â627
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â(â57)2 + (â6)2 + 272
|âc| = 63, 4âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ 418, 19 · 9, 22
âŁâŁâŁâŁcos α = |0, 543|α = 57, 1âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 3
37
= k ·
092
3 = 0k / : 0 â k = +unendlich3 = 9k / : 9 â k = 1
37 = 2k / : 2 â k = 3 1
2
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (8)
Vektoren: aâ =
653
bâ =
191
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
62 + 52 + 32
|âa| = 8, 37âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â
12 + 92 + 12âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 9, 11âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 6 · 1 + 5 · 9 + 3 · 1 = 54âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
5 · 1 â 3 · 93 · 1 â 1 · 66 · 9 â 5 · 1
câ = aâ Ă bâ =
â22â349
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â(â22)2 + (â3)2 + 492
|âc| = 53, 8âą Schnittwinkel:
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2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit Lösungen
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ 548, 37 · 9, 11
âŁâŁâŁâŁcos α = |0, 708|α = 44, 9âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 6
53
= k ·
191
6 = 1k / : 1 â k = 65 = 9k / : 9 â k = 5
93 = 1k / : 1 â k = 3
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (9)
Vektoren: aâ =
210
bâ =
04 1
21 1
2
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
22 + 12 + 02
|âa| = 2, 24âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â02 + 4 1
22+ 1 1
22âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 4, 74
âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 2 · 0 + 1 · 4 1
2 + 0 · 1 12 = 4 1
2âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
1 · 1 12 â 0 · 4 1
20 · 0 â 1 1
2 · 22 · 4 1
2 â 1 · 0
câ = aâ Ă bâ =
1 12
â39
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â1 1
22+ (â3)2 + 92
|âc| = 9, 6âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁâŁ 4 12
2, 24 · 4, 74
âŁâŁâŁâŁâŁcos α = |0, 424|α = 64, 9âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 2
10
= k ·
04 1
21 1
2
2 = 0k / : 0 â k = +unendlich1 = 4 1
2 k / : 4 12 â k = 2
90 = 1 1
2 k / : 1 12 â k = 0
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (10)
Vektoren: aâ =
589
bâ =
662
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
52 + 82 + 92
|âa| = 13âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â
62 + 62 + 22âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 8, 72âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 5 · 6 + 8 · 6 + 9 · 2 = 96âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
8 · 2 â 9 · 69 · 6 â 2 · 55 · 6 â 8 · 6
câ = aâ Ă bâ =
â3844â18
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â(â38)2 + 442 + (â18)2
|âc| = 60, 9âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ 9613 · 8, 72
âŁâŁâŁâŁcos α = |0, 845|α = 32, 4âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 5
89
= k ·
662
5 = 6k / : 6 â k = 5
68 = 6k / : 6 â k = 1 1
39 = 2k / : 2 â k = 4 1
2
â Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - nicht parallel
Aufgabe (11)
Vektoren: aâ =
231
bâ =
462
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2 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - AbhÀngigkeit Lösungen
âą LĂ€nge der Vektoren:|âa| =
âa2
1 + a22 + a2
3
|âa| =â
22 + 32 + 12
|âa| = 3, 74âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = âb21 + b2
2 + b23âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = â
42 + 62 + 22âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ = 7, 48âą Skalarprodukt:aâ ⊠bâ = 2 · 4 + 3 · 6 + 1 · 2 = 28âą Vektorprodukt:
aâ Ă bâ =
3 · 2 â 1 · 61 · 4 â 2 · 22 · 6 â 3 · 4
câ = aâ Ă bâ =
000
âą FlĂ€che des Parallelogramms|âc| =
â02 + 02 + 02
|âc| = 0âą Schnittwinkel:
cos α =aâ ⊠bâ
|âa| ·âŁâŁâŁâbâŁâŁâŁ
cos α =
âŁâŁâŁâŁ 283, 74 · 7, 48
âŁâŁâŁâŁcos α = |1|α = 0âą Lineare AbhĂ€ngigkeit von 2 Vektoren 2
31
= k ·
462
2 = 4k / : 4 â k = 1
23 = 6k / : 6 â k = 1
21 = 2k / : 2 â k = 1
2
â Vektoren sind linear abhĂ€ngig - parallel
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3 Vektoren: Spatprodukt - lineare AbhÀngigkeit - Basisvektoren - KomplanaritÀt
5 3 Vektoren: Spatprodukt - lineare AbhÀngigkeit - Basisvektoren -KomplanaritÀt
-ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*-
6-ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*-
6
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœ
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœ
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœ
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœ
aâĂâb
câ
aâ
bâ
V
-ïżœïżœïżœïżœïżœïżœ*
ïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœïżœ1câ
aâ
bâ
aâ =
a1
a2
a3
bâ =
b1
b2
b3
câ =
c1
c2
c3
V = (âa Ă bâ) · câ =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
V = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3
âc1 · b2 · a3 â a1 · c2 · b3 â b1 · a2 · c3
Spatprodukt (âa, bâ, câ) =Vektorprodukt von aâ, bâ skalar multipliziert mit câ =Wert der Determinante (âa, bâ, câ) =Volumen des Spatsâą V = 0 â Die 3 Vektoren sind linear abhĂ€ngig -komplanar
âą V Ìž= 0 â Die 3 Vektoren sind linear unabhĂ€n-gig - Basisvektoren
aâ =
3â34
bâ =
â4â72
câ =
722
D =
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ3 â4 7â3 â7 24 2 2
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ3 â4â3 â74 2
D = 3 · (â7) · 2 + (â4) · 2 · 4 + 7 · (â3) · 2â7 · (â7) · 4 â 3 · 2 · 2 â (â4) · (â3) · 2D = 44Die 3 Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - Basisvektoren
5.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
aâ =
a1a2a3
bâ =
b1b2b3
câ =
c1c2c3
Gesucht:Spatprodukt,lineare AbhÀngigkeit,Basisvektoren
(1) aâ =
550
bâ =
060
câ =
078
(2) aâ =
3â47
bâ =
â372
câ =
422
(3) aâ =
3â47
bâ =
â3â72
câ =
422
(4) aâ =
210
bâ =
â340
câ =
1â52
(5) aâ =
101
bâ =
020
câ =
4â64
(6) aâ =
2â11
bâ =
12â2
câ =
3â33
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3 Vektoren: Spatprodukt - lineare AbhÀngigkeit - Basisvektoren - KomplanaritÀt Lösungen
5.2 LösungenAufgabe (1)
aâ =
550
bâ =
060
câ =
078
V =
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ5 0 05 6 70 0 8
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ5 05 60 0
V = 5 · 6 · 8 + 0 · 7 · 0 + 0 · 5 · 0â 0 · 6 · 0 â 5 · 7 · 0 â 0 · 5 · 8V = 240Die 3 Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - Basisvektoren
Aufgabe (2)
aâ =
3â47
bâ =
â372
câ =
422
V =
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ3 â3 4â4 7 27 2 2
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ3 â3â4 77 2
V = 3 · 7 · 2 + (â3) · 2 · 7 + 4 · (â4) · 2â 4 · 7 · 7 â 3 · 2 · 2 â (â3) · (â4) · 2V = â264Die 3 Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - Basisvektoren
Aufgabe (3)
aâ =
3â47
bâ =
â3â72
câ =
422
V =
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ3 â3 4â4 â7 27 2 2
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ3 â3â4 â77 2
V = 3 · (â7) · 2 + (â3) · 2 · 7 + 4 · (â4) · 2â 4 · (â7) · 7 â 3 · 2 · 2 â (â3) · (â4) · 2V = 44Die 3 Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - Basisvektoren
Aufgabe (4)
aâ =
210
bâ =
â340
câ =
1â52
V =
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ2 â3 11 4 â50 0 2
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ2 â31 40 0
V = 2 · 4 · 2 + (â3) · (â5) · 0 + 1 · 1 · 0â 1 · 4 · 0 â 2 · (â5) · 0 â (â3) · 1 · 2V = 22Die 3 Vektoren sind linear unabhĂ€ngig - Basisvektoren
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3 Vektoren: Spatprodukt - lineare AbhÀngigkeit - Basisvektoren - KomplanaritÀt Lösungen
Aufgabe (5)
aâ =
101
bâ =
020
câ =
4â64
V =
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ1 0 40 2 â61 0 4
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ1 00 21 0
V = 1 · 2 · 4 + 0 · (â6) · 1 + 4 · 0 · 0â 4 · 2 · 1 â 1 · (â6) · 0 â 0 · 0 · 4V = 0Die 3 Vektoren sind linear abhĂ€ngig - komplanar
Aufgabe (6)
aâ =
2â11
bâ =
12â2
câ =
3â33
V =
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ2 1 3â1 2 â31 â2 3
âŁâŁâŁâŁâŁâŁ2 1â1 21 â2
V = 2 · 2 · 3 + 1 · (â3) · 1 + 3 · (â1) · (â2)â 3 · 2 · 1 â 2 · (â3) · (â2)â 1 · (â1) · 3V = 0Die 3 Vektoren sind linear abhĂ€ngig - komplanar
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Gerade aus 2 Punkten
6 Gerade aus 2 Punkten
x1
x2
x3
A(1/-2/3)
B(1/2/5)
g
b
b
Punkte: A(a1/a2/a3) B(b1/b2/b3)
Richtungsvektor
AâB =
b1 â a1
b2 â a2
b3 â a2
=
c1
c2
c3
Punkt A oder B als Aufpunkt wÀhlen
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
c1
c2
c3
Punkte: A(1/ â 3/3) B(1/2/5)Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
1 â 12 + 35 â 3
=
052
xâ =
1â33
+ λ
052
Besondere Geraden
x1 â Achse x2 â Achse x3 â Achse
xâ = λ
100
xâ = λ
010
xâ = λ
001
6.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Punkte:A(a1/a2/a3) B(b1/b2/b3)
Gesucht:Gerade aus zwei Punkten
(1) Punkte: A(2/6/8) B(8/3/5)(2) Punkte: A(7/8/6) B(3/1/5)(3) Punkte: A(3/ â 4 1
2 /4) B(5/ â 5/1)(4) Punkte: A(2/ â 4/ â 5) B(6/7/8)
(5) Punkte: A(2/3/0) B(0/ â 4/5)(6) Punkte: A(3/4/ â 3) B(2/ â 3/1)(7) Punkte: A(1/ â 3/3) B(1/2/5)
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Gerade aus 2 Punkten Lösungen
6.2 LösungenAufgabe (1)
Punkte: A(2/6/8) B(8/3/5)Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
8 â 23 â 65 â 8
=
6â3â3
xâ =
268
+ λ
6â3â3
Aufgabe (2)
Punkte: A(7/8/6) B(3/1/5)Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
3 â 71 â 85 â 6
=
â4â7â1
xâ =
786
+ λ
â4â7â1
Aufgabe (3)
Punkte: A(3/ â 4 12 /4) B(5/ â 5/1)
Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
5 â 3â5 + 4 1
21 â 4
=
2â 1
2â3
xâ =
3â4 1
24
+ λ
2â 1
2â3
Aufgabe (4)
Punkte: A(2/ â 4/ â 5) B(6/7/8)Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
6 â 27 + 48 + 5
=
41113
xâ =
2â4â5
+ λ
41113
Aufgabe (5)
Punkte: A(2/3/0) B(0/ â 4/5)Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
0 â 2â4 â 35 â 0
=
â2â75
xâ =
230
+ λ
â2â75
Aufgabe (6)
Punkte: A(3/4/ â 3) B(2/ â 3/1)Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
2 â 3â3 â 41 + 3
=
â1â74
xâ =
34â3
+ λ
â1â74
Aufgabe (7)
Punkte: A(1/ â 3/3) B(1/2/5)Gerade aus zwei Punkten:
AâB =
1 â 12 + 35 â 3
=
052
xâ =
1â33
+ λ
052
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Ebenengleichung aufstellen
7 Ebenengleichung aufstellen
x1
x2
x3
A(2/-1/3)
B(1/2/5)
C(3/2/3)
Ebene Eb
b
b
Ebene aus 3 Punkten
Punkte: A(a1/a2/a3) B(b1/b2/b3) C(c1/c2/c3)
Die 3 Punkte dĂŒrfen nicht auf einer Geraden liegen.Ebene aus drei Punkten:
Richtungsvektor: AâB =
b1 â a1
b2 â a2
b3 â a3
=
d1
d2
d3
Richtungsvektor: AâC =
c1 â a1
c2 â a2
c3 â a2
=
e1
e2
e3
Ebenengleichung aus Aufpunkt und den Richtungsvek-toren.
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
d1
d2
d3
+ Ï
e1
e2
e3
Punkte: A(2,â1, 3) B(1, 2, 5) C(3, 2, 3)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
1 â 22 + 15 â 3
=
â132
AâC =
3 â 22 + 13 â 3
=
130
xâ =
2â13
+ λ
â132
+ Ï
130
Ebene aus Gerade und Punkt
Der Punkte darf nicht auf der Geraden liegen.
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
Punkt: C(c1/c2/c3)
Richtungsvektor zwischen
Aufpunkt A und dem Punkt C
AâC =
c1 â a1
c2 â a2
c3 â a2
=
e1
e2
e3
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
+ Ï
e1
e2
e3
Gerade: xâ =
13â4
+ λ
23â3
Punkt: C(2/0/1)
AâC =
2 â 10 â 31 â 3
=
1â35
xâ =
13â4
+ λ
23â3
+ Ï
1â35
www.fersch.de 25
Ebenengleichung aufstellen
Ebene aus zwei parallelen Geraden
Gerade 1: xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
Gerade 2: xâ =
c1
c2
c3
+ Ï
d1
d2
d3
Bei parallelen Geraden sind Richtungsvektoren linearabhĂ€ngig. FĂŒr die Ebenengleichung muĂ ein 2. Rich-tungsvektor erstellt werden. 2. Richtungsvektor zwi-schen den Aufpunkten A und C.Ebenengleichung in Parameterform
AâC =
c1 â a1
c2 â a2
c3 â a2
=
e1
e2
e3
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
+ Ï
e1
e2
e3
Gerade 1: xâ =
130
+ λ
20â1
Gerade 2: xâ =
345
+ Ï
40â2
Richtungsvektoren: 2
0â1
= k ·
40â2
2 = +4k / : 4 â k = 1
20 = +0k / : 0 â k = beliebigâ1 = â2k / : â2 â k = 1
2
â Geraden sind parallelAufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1
xâ =
130
+ λ
20â1
Punkt: A(3/4/5)
3 = 1 +2λ / â 14 = 3 +0λ / â 35 = 0 â1λ / â 02 = 2λ / : 2 â λ = 11 = 0λ â falsch5 = â1λ / : â1 â λ = â5
âGeraden sind echt parallel2. Richtungsvektor zwischen den Aufpunkten A und C
AâC =
3 â 14 â 35 â 0
=
215
Ebenengleichung in Parameterform
xâ =
130
+ λ
20â1
+ Ï
215
Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden
Gerade 1: xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
Gerade 2: xâ =
c1
c2
c3
+ Ï
d1
d2
d3
Bei sich schneidenden Geraden sind Richtungsvektorenlinear unabhÀngig.Ebenengleichung in Parameterform
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
+ Ï
d1
d2
d3
Gerade 1: xâ =
1â28
+ λ
4â7â8
Gerade 2: xâ =
9â53
+ Ï
â4â4â3
Die Geraden schneiden sich im Punkt S(5,â9, 0)Ebenengleichung in Parameterform
xâ =
1â28
+ λ
4â7â8
+ Ï
â4â4â3
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Ebenengleichung aufstellen 3 Punkte
7.1 3 Punkte7.1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Punkte: A(a1, a2, a3) B(b1, b2, b3) C(c1, c2, c3)Gesucht:Ebene in Parameterform.
(1) Punkte: A(4, 1, 5) B(1, 3, 4) C(6, 3, 5)(2) Punkte: A(3, 6, 6) B(1, 6, 6) C(7, 1, 2)(3) Punkte: A(2, 3, 0) B(0, 0, 5) C(5, 4, 6)(4) Punkte: A(1, 3,â3) B(5,â3, 6) C(â6, 3, 4)(5) Punkte: A(1, 9,â5) B(â3, 6, 3) C(4, 5, 3)
(6) Punkte: A(7, 9, 6) B(7, 8, 4) C(8, 7, 7)(7) Punkte: A(9, 6, 9) B(1, 4, 4) C(1, 5, 4)(8) Punkte: A(2,â1, 3) B(1, 2, 5) C(3, 2, 3)
www.fersch.de 27
Ebenengleichung aufstellen 3 Punkte
7.1.2 Lösungen
Aufgabe (1)
Punkte: A(4, 1, 5) B(1, 3, 4) C(6, 3, 5)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
1 â 43 â 14 â 5
=
â32â1
AâC =
6 â 43 â 15 â 5
=
220
xâ =
415
+ λ
â32â1
+ Ï
220
Aufgabe (2)
Punkte: A(3, 6, 6) B(1, 6, 6) C(7, 1, 2)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
1 â 36 â 66 â 6
=
â200
AâC =
7 â 31 â 62 â 6
=
4â5â4
xâ =
366
+ λ
â200
+ Ï
4â5â4
Aufgabe (3)
Punkte: A(2, 3, 0) B(0, 0, 5) C(5, 4, 6)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
0 â 20 â 35 â 0
=
â2â35
AâC =
5 â 24 â 36 â 0
=
316
xâ =
230
+ λ
â2â35
+ Ï
316
Aufgabe (4)
Punkte: A(1, 3,â3) B(5,â3, 6) C(â6, 3, 4)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
5 â 1â3 â 36 + 3
=
4â69
AâC =
â6 â 13 â 34 + 3
=
â707
xâ =
13â3
+ λ
4â69
+ Ï
â707
Aufgabe (5)
Punkte: A(1, 9,â5) B(â3, 6, 3) C(4, 5, 3)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
â3 â 16 â 93 + 5
=
â4â38
AâC =
4 â 15 â 93 + 5
=
3â48
xâ =
19â5
+ λ
â4â38
+ Ï
3â48
Aufgabe (6)
Punkte: A(7, 9, 6) B(7, 8, 4) C(8, 7, 7)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
7 â 78 â 94 â 6
=
0â1â2
AâC =
8 â 77 â 97 â 6
=
1â21
xâ =
796
+ λ
0â1â2
+ Ï
1â21
Aufgabe (7)
Punkte: A(9, 6, 9) B(1, 4, 4) C(1, 5, 4)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
1 â 94 â 64 â 9
=
â8â2â5
AâC =
1 â 95 â 64 â 9
=
â8â1â5
xâ =
969
+ λ
â8â2â5
+ Ï
â8â1â5
www.fersch.de 28
Ebenengleichung aufstellen 3 Punkte
Aufgabe (8)
Punkte: A(2,â1, 3) B(1, 2, 5) C(3, 2, 3)Ebene aus drei Punkten:
AâB =
1 â 22 + 15 â 3
=
â132
AâC =
3 â 22 + 13 â 3
=
130
xâ =
2â13
+ λ
â132
+ Ï
130
www.fersch.de 29
Ebenengleichung aufstellen Punkt und Gerade
7.2 Punkt und Gerade7.2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung
Gegeben:âx =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
Punkt: C(c1/c2/c3)Gesucht:Ebene aus Punkt und Gerade
(1) Gerade: xâ =
004
+ λ
035
Punkt: C(6/7/8)
(2) Gerade: xâ =
355
+ λ
445
Punkt: C(4/4/4)
(3) Gerade: xâ =
135
+ λ
246
Punkt: C(7/8/3)
(4) Gerade: xâ =
13â4
+ λ
23â3
Punkt: C(2/0/1)
www.fersch.de 30
Ebenengleichung aufstellen Punkt und Gerade
7.2.2 LösungenAufgabe (1)
Gerade: xâ =
004
+ λ
035
Punkt: C(6/7/8)
AâC =
6 â 07 â 08 â 4
=
674
xâ =
004
+ λ
035
+ Ï
674
Aufgabe (2)
Gerade: xâ =
355
+ λ
445
Punkt: C(4/4/4)
AâC =
4 â 34 â 54 â 5
=
1â1â1
xâ =
355
+ λ
445
+ Ï
1â1â1
Aufgabe (3)
Gerade: xâ =
135
+ λ
246
Punkt: C(7/8/3)
AâC =
7 â 18 â 33 â 5
=
65â2
xâ =
135
+ λ
246
+ Ï
65â2
Aufgabe (4)
Gerade: xâ =
13â4
+ λ
23â3
Punkt: C(2/0/1)
AâC =
2 â 10 â 31 + 4
=
1â35
www.fersch.de 31
Ebenengleichung aufstellen Punkt und Gerade
xâ =
13â4
+ λ
23â3
+ Ï
1â35
www.fersch.de 32
Ebenengleichung aufstellen Parallele Geraden
7.3 Parallele Geraden7.3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Zwei parallele Geraden
Gerade 1: xâ =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
Gerade 2: xâ =
c1c2c3
+ Ï
d1d2d3
Gesucht:Ebene aus zwei Geraden
(1)
Gerade1:
xâ =
072
+ λ
064
Gerade2:
xâ =
023
+ λ
01â2
(2)
Gerade1:
xâ =
072
+ λ
064
Gerade2:
xâ =
023
+ λ
01â2
(3)
Gerade1:
xâ =
072
+ λ
064
Gerade2:
xâ =
023
+ λ
01â2
(4)
Gerade1:
xâ =
040
+ λ
404
Gerade2:
xâ =
13â3
+ λ
â351
(5)
Gerade1:
xâ =
â580
+ λ
4â60
Gerade2:
xâ =
53â3
+ λ
231
(6)
Gerade1:
xâ =
130
+ λ
20â1
Gerade2:
xâ =
345
+ λ
40â2
www.fersch.de 33
Ebenengleichung aufstellen Parallele Geraden
7.3.2 LösungenAufgabe (1)
Gerade1:
xâ =
072
+ λ
064
Gerade2:
xâ =
023
+ λ
01â2
AâC =
0 â 02 â 73 â 2
=
0â51
xâ =
072
+ λ
064
+ Ï
0â51
Aufgabe (2)
Gerade1:
xâ =
072
+ λ
064
Gerade2:
xâ =
023
+ λ
01â2
AâC =
0 â 02 â 73 â 2
=
0â51
xâ =
072
+ λ
064
+ Ï
0â51
Aufgabe (3)
Gerade1:
xâ =
072
+ λ
064
Gerade2:
xâ =
023
+ λ
01â2
AâC =
0 â 02 â 73 â 2
=
0â51
xâ =
072
+ λ
064
+ Ï
0â51
Aufgabe (4)
www.fersch.de 34
Ebenengleichung aufstellen Parallele Geraden
Gerade1:
xâ =
040
+ λ
404
Gerade2:
xâ =
13â3
+ λ
â351
AâC =
1 â 03 â 4â3 â 0
=
1â1â3
xâ =
040
+ λ
404
+ Ï
1â1â3
Aufgabe (5)
Gerade1:
xâ =
â580
+ λ
4â60
Gerade2:
xâ =
53â3
+ λ
231
AâC =
5 + 53 â 8â3 â 0
=
10â5â3
xâ =
â580
+ λ
4â60
+ Ï
10â5â3
Aufgabe (6)
Gerade1:
xâ =
130
+ λ
20â1
Gerade2:
xâ =
345
+ λ
40â2
AâC =
3 â 14 â 35 â 0
=
215
xâ =
130
+ λ
20â1
+ Ï
215
www.fersch.de 35
Parameterform - Koordinatenform
8 Parameterform - Koordinatenform1. Methode: Determinante
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
+ Ï
c1
c2
c3
D =
x1 â a1 b1 c1
x2 â a2 b2 c2
x3 â a3 b3 c3
x1 â a1 b1
x2 â a2 b2
x3 â a3 b3
= 0
(x1 â a1) · b2 · c3 + b1 · c2 · (x3 â a3)+
c1 · (x2 â a2) · b3 â c1 · b2 · (x3 â a3)â(x1 â a1) · c2 · b3 â b1 · (x2 â a2) · c3 = 0Koordinatenform:n1x1 + n2x2 + n3x3 + k = 0
xâ =
1â32
+ λ
â243
+ Ï
2â50
D =
x1 â 1 â2 2x2 + 3 4 â5x3 â 2 3 0
x1 â 1 â2x2 + 3 4x3 â 2 3
= 0
(x1 â 1) · 4 · 0 + (â2) · (â5) · (x3 â 2) + 2 · (x2 + 3) · 3â2 · 4 · (x3 â 2)â (x1 â 1) · (â5) · 3 â (â2) · (x2 + 3) · 0 = 015x1 + 6x2 + 2x3 â 1 = 0
Koordinatenform:15x1 + 6x2 + 2x3 â 1 = 0
2. Methode: Vektorprodukt
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
+ Ï
c1
c2
c3
Normalenvektor der Ebene mit dem Vektorprodukt
nâ =
b1
b2
b3
Ă
c1
c2
c3
=
b2 · c3 â b3 · c2
b3 · c1 â c3 · b1
b1 · c2 â b2 · c1
nâ =
n1
n2
n3
Normalenvektor der Ebene und Aufpunkt der Geradenin die Koordinatenform einsetzen.
n1a1 + n2a2 + n3a3 + k = 0k berechnenn1x1 + n2x2 + n3x3 + k = 0
xâ =
12â7
+ λ
1â10
+ Ï
â101
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
1â10
Ă
â101
=
â1 · 1 â 0 · 00 · (â1)â 1 · 1
1 · 0 â (â1) · (â1)
nâ =
â1â1â1
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.â1x1 â 1x2 â 1x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.â1 · 1 â 1 · 2 â 1 · 1 + k = 0k = â4Koordinatenformâ1x1 â 1x2 â 1x3 â 4 = 0
8.1 Determinante8.1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
Ebene: xâ =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
+ Ï
c1c2c3
Gesucht:Ebene in Koordinatenform: n1x1 + n2x2 + n3x3 + k = 0
(1) xâ =
0â22
+ λ
04â9
+ Ï
0â38
(2) xâ =
1â42
+ λ
â43â2
+ Ï
322
(3) xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
236
(4) xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
230
www.fersch.de 36
Parameterform - Koordinatenform Determinante
(5) xâ =
12â7
+ λ
1â10
+ Ï
â101
(6) xâ =
2â1â3
+ λ
010
+ Ï
â45â2
(7) xâ =
050
+ λ
4â2â3
+ Ï
â562
(8) xâ =
5â12
+ λ
302
+ Ï
03â1
(9) xâ =
302
+ λ
5â28
+ Ï
204
www.fersch.de 37
Parameterform - Koordinatenform Determinante
8.1.2 LösungenAufgabe (1)
xâ =
0â22
+ λ
04â9
+ Ï
0â38
D =
x1 â 0 0 0x2 + 2 4 â3x3 â 2 â9 8
x1 â 0 0x2 + 2 4x3 â 2 â9
= 0
(x1 â 0) · 4 · 8 + 0 · (â3) · (x3 â 2) + 0 · (x2 + 2) · (â9)â 0 · 4 · (x3 â 2)â (x1 â 0) · (â3) · (â9)â 0 · (x2 + 2) · 8 = 05x1 + 0x2 + 0x3 + 0 = 05x1 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF5x1 + 0x2 + 0x3 + 0 = 0
nâ =
500
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
52 + 02 + 02
|ân| = 5
HNF:5x1 + 0x2 + 0x3 + 05
= 0
Aufgabe (2)
xâ =
1â42
+ λ
â43â2
+ Ï
322
D =
x1 â 1 â4 3x2 + 4 3 2x3 â 2 â2 2
x1 â 1 â4x2 + 4 3x3 â 2 â2
= 0
(x1 â 1) · 3 · 2 + (â4) · 2 · (x3 â 2) + 3 · (x2 + 4) · (â2)â 3 · 3 · (x3 â 2)â (x1 â 1) · 2 · (â2)â (â4) · (x2 + 4) · 2 = 010x1 + 2x2 â 17x3 + 32 = 010x1 + 2x2 â 17x3 + 32 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF10x1 + 2x2 â 17x3 + 32 = 0
nâ =
102
â17
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
102 + 22 + (â17)2
|ân| = 19, 8
HNF:10x1 + 2x2 â 17x3 + 32â19, 8
= 0
Aufgabe (3)
www.fersch.de 38
Parameterform - Koordinatenform Determinante
xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
236
D =
x1 â 1 â3 2x2 + 2 4 3x3 â 2 â5 6
x1 â 1 â3x2 + 2 4x3 â 2 â5
= 0
(x1 â 1) · 4 · 6 + (â3) · 3 · (x3 â 2) + 2 · (x2 + 2) · (â5)â 2 · 4 · (x3 â 2)â (x1 â 1) · 3 · (â5)â (â3) · (x2 + 2) · 6 = 039x1 + 8x2 â 17x3 + 11 = 039x1 + 8x2 â 17x3 + 11 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF39x1 + 8x2 â 17x3 + 11 = 0
nâ =
398
â17
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
392 + 82 + (â17)2
|ân| = 43, 3
HNF:39x1 + 8x2 â 17x3 + 11â43, 3
= 0
Aufgabe (4)
xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
230
D =
x1 â 1 â3 2x2 + 2 4 3x3 â 2 â5 0
x1 â 1 â3x2 + 2 4x3 â 2 â5
= 0
(x1 â 1) · 4 · 0 + (â3) · 3 · (x3 â 2) + 2 · (x2 + 2) · (â5)â 2 · 4 · (x3 â 2)â (x1 â 1) · 3 · (â5)â (â3) · (x2 + 2) · 0 = 015x1 â 10x2 â 17x3 â 1 = 015x1 â 10x2 â 17x3 â 1 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF15x1 â 10x2 â 17x3 â 1 = 0
nâ =
15â10â17
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
152 + (â10)2 + (â17)2
|ân| = 24, 8
HNF:15x1 â 10x2 â 17x3 â 124, 8
= 0
Aufgabe (5)
xâ =
12â7
+ λ
1â10
+ Ï
â101
www.fersch.de 39
Parameterform - Koordinatenform Determinante
D =x1 â 1 1 â1x2 â 2 â1 0x3 + 7 0 1
x1 â 1 1x2 â 2 â1x3 + 7 0
= 0
(x1 â 1) · (â1) · 1 + 1 · 0 · (x3 + 7) + (â1) · (x2 â 2) · 0â (â1) · (â1) · (x3 + 7)â (x1 â 1) · 0 · 0 â 1 · (x2 â 2) · 1 = 0â 1x1 â 1x2 â 1x3 â 4 = 0â 1x1 â 1x2 â 1x3 â 4 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 1x1 â 1x2 â 1x3 â 4 = 0
nâ =
â1â1â1
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â1)2 + (â1)2 + (â1)2
|ân| = 1, 73
HNF:â1x1 â 1x2 â 1x3 â 41, 73
= 0
Aufgabe (6)
xâ =
2â1â3
+ λ
010
+ Ï
â45â2
D =
x1 â 2 0 â4x2 + 1 1 5x3 + 3 0 â2
x1 â 2 0x2 + 1 1x3 + 3 0
= 0
(x1 â 2) · 1 · (â2) + 0 · 5 · (x3 + 3) + (â4) · (x2 + 1) · 0â (â4) · 1 · (x3 + 3)â (x1 â 2) · 5 · 0 â 0 · (x2 + 1) · (â2) = 0â 2x1 + 0x2 + 4x3 + 16 = 0â 2x1 + 4x3 + 16 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 2x1 + 0x2 + 4x3 + 16 = 0
nâ =
â204
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â2)2 + 02 + 42
|ân| = 4, 47
HNF:â2x1 + 0x2 + 4x3 + 16â4, 47
= 0
Aufgabe (7)
xâ =
050
+ λ
4â2â3
+ Ï
â562
D =
x1 â 0 4 â5x2 â 5 â2 6x3 â 0 â3 2
x1 â 0 4x2 â 5 â2x3 â 0 â3
= 0
(x1 â 0) · (â2) · 2 + 4 · 6 · (x3 â 0) + (â5) · (x2 â 5) · (â3)
www.fersch.de 40
Parameterform - Koordinatenform Determinante
â (â5) · (â2) · (x3 â 0)â (x1 â 0) · 6 · (â3)â 4 · (x2 â 5) · 2 = 014x1 + 7x2 + 14x3 â 35 = 014x1 + 7x2 + 14x3 â 35 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF14x1 + 7x2 + 14x3 â 35 = 0
nâ =
14714
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
142 + 72 + 142
|ân| = 21
HNF:14x1 + 7x2 + 14x3 â 3521
= 0
Aufgabe (8)
xâ =
5â12
+ λ
302
+ Ï
03â1
D =
x1 â 5 3 0x2 + 1 0 3x3 â 2 2 â1
x1 â 5 3x2 + 1 0x3 â 2 2
= 0
(x1 â 5) · 0 · (â1) + 3 · 3 · (x3 â 2) + 0 · (x2 + 1) · 2â 0 · 0 · (x3 â 2)â (x1 â 5) · 3 · 2 â 3 · (x2 + 1) · (â1) = 0â 6x1 + 3x2 + 9x3 + 15 = 0â 6x1 + 3x2 + 9x3 + 15 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 6x1 + 3x2 + 9x3 + 15 = 0
nâ =
â639
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â6)2 + 32 + 92
|ân| = 11, 2
HNF:â6x1 + 3x2 + 9x3 + 15â11, 2
= 0
Aufgabe (9)
xâ =
302
+ λ
5â28
+ Ï
204
D =
x1 â 3 5 2x2 â 0 â2 0x3 â 2 8 4
x1 â 3 5x2 â 0 â2x3 â 2 8
= 0
(x1 â 3) · (â2) · 4 + 5 · 0 · (x3 â 2) + 2 · (x2 â 0) · 8â 2 · (â2) · (x3 â 2)â (x1 â 3) · 0 · 8 â 5 · (x2 â 0) · 4 = 0â 8x1 â 4x2 + 4x3 + 16 = 0â 8x1 â 4x2 + 4x3 + 16 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF
www.fersch.de 41
Parameterform - Koordinatenform Determinante
â 8x1 â 4x2 + 4x3 + 16 = 0
nâ =
â8â44
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â8)2 + (â4)2 + 42
|ân| = 9, 8
HNF:â8x1 â 4x2 + 4x3 + 16â9, 8
= 0
www.fersch.de 42
Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt
8.2 Vektorprodukt8.2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
Ebene: xâ =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
+ Ï
c1c2c3
Gesucht:Ebene in Koordinatenform: n1x1 + n2x2 + n3x3 + k = 0
(1) xâ =
0â22
+ λ
04â9
+ Ï
0â38
(2) xâ =
1â42
+ λ
â43â2
+ Ï
322
(3) xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
236
(4) xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
230
(5) xâ =
12â7
+ λ
1â10
+ Ï
â101
(6) xâ =
2â1â3
+ λ
010
+ Ï
â45â2
(7) xâ =
050
+ λ
4â2â3
+ Ï
â562
(8) xâ =
5â12
+ λ
302
+ Ï
03â1
(9) xâ =
302
+ λ
5â28
+ Ï
204
www.fersch.de 43
Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt
8.2.2 LösungenAufgabe (1)
xâ =
0â22
+ λ
04â9
+ Ï
0â38
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
04â9
Ă
0â38
=
4 · 8 â (â9) · (â3)â9 · 0 â 8 · 0
0 · (â3)â 4 · 0
nâ =
500
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.5x1 + 0x2 + 0x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.5 · 0 + 0 · â2 + 0 · 0 + k = 0k = 0Koordinatenform5x1 + 0x2 + 0x3 + 0 = 0
5x1 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF5x1 + 0x2 + 0x3 + 0 = 0
nâ =
500
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
52 + 02 + 02
|ân| = 5
HNF:5x1 + 0x2 + 0x3 + 05
= 0
Aufgabe (2)
xâ =
1â42
+ λ
â43â2
+ Ï
322
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
â43â2
Ă
322
=
3 · 2 â (â2) · 2â2 · 3 â 2 · (â4)â4 · 2 â 3 · 3
nâ =
102
â17
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.10x1 + 2x2 â 17x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.10 · 1 + 2 · â4 â 17 · 1 + k = 0
www.fersch.de 44
Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt
k = 32Koordinatenform10x1 + 2x2 â 17x3 + 32 = 0
10x1 + 2x2 â 17x3 + 32 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF10x1 + 2x2 â 17x3 + 32 = 0
nâ =
102
â17
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
102 + 22 + (â17)2
|ân| = 19, 8
HNF:10x1 + 2x2 â 17x3 + 32â19, 8
= 0
Aufgabe (3)
xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
236
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
â34â5
Ă
236
=
4 · 6 â (â5) · 3â5 · 2 â 6 · (â3)â3 · 3 â 4 · 2
nâ =
398
â17
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.39x1 + 8x2 â 17x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.39 · 1 + 8 · â2 â 17 · 1 + k = 0k = 11Koordinatenform39x1 + 8x2 â 17x3 + 11 = 0
39x1 + 8x2 â 17x3 + 11 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF39x1 + 8x2 â 17x3 + 11 = 0
nâ =
398
â17
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
392 + 82 + (â17)2
|ân| = 43, 3
HNF:39x1 + 8x2 â 17x3 + 11â43, 3
= 0
www.fersch.de 45
Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt
Aufgabe (4)
xâ =
1â22
+ λ
â34â5
+ Ï
230
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
â34â5
Ă
230
=
4 · 0 â (â5) · 3â5 · 2 â 0 · (â3)â3 · 3 â 4 · 2
nâ =
15â10â17
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.15x1 â 10x2 â 17x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.15 · 1 â 10 · â2 â 17 · 1 + k = 0k = â1Koordinatenform15x1 â 10x2 â 17x3 â 1 = 0
15x1 â 10x2 â 17x3 â 1 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF15x1 â 10x2 â 17x3 â 1 = 0
nâ =
15â10â17
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
152 + (â10)2 + (â17)2
|ân| = 24, 8
HNF:15x1 â 10x2 â 17x3 â 124, 8
= 0
Aufgabe (5)
xâ =
12â7
+ λ
1â10
+ Ï
â101
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
1â10
Ă
â101
=
â1 · 1 â 0 · 00 · (â1)â 1 · 1
1 · 0 â (â1) · (â1)
nâ =
â1â1â1
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.â 1x1 â 1x2 â 1x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.â 1 · 1 â 1 · 2 â 1 · 1 + k = 0k = â4
www.fersch.de 46
Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt
Koordinatenformâ 1x1 â 1x2 â 1x3 â 4 = 0
â 1x1 â 1x2 â 1x3 â 4 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 1x1 â 1x2 â 1x3 â 4 = 0
nâ =
â1â1â1
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â1)2 + (â1)2 + (â1)2
|ân| = 1, 73
HNF:â1x1 â 1x2 â 1x3 â 41, 73
= 0
Aufgabe (6)
xâ =
2â1â3
+ λ
010
+ Ï
â45â2
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
010
Ă
â45â2
=
1 · (â2)â 0 · 50 · (â4)â (â2) · 0
0 · 5 â 1 · (â4)
nâ =
â204
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.â 2x1 + 0x2 + 4x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.â 2 · 2 + 0 · â1 + 4 · 2 + k = 0k = 16Koordinatenformâ 2x1 + 0x2 + 4x3 + 16 = 0
â 2x1 + 4x3 + 16 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 2x1 + 0x2 + 4x3 + 16 = 0
nâ =
â204
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â2)2 + 02 + 42
|ân| = 4, 47
HNF:â2x1 + 0x2 + 4x3 + 16â4, 47
= 0
Aufgabe (7)
www.fersch.de 47
Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt
xâ =
050
+ λ
4â2â3
+ Ï
â562
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
4â2â3
Ă
â562
=
â2 · 2 â (â3) · 6â3 · (â5)â 2 · 4
4 · 6 â (â2) · (â5)
nâ =
14714
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.14x1 + 7x2 + 14x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.14 · 0 + 7 · 5 + 14 · 0 + k = 0k = â35Koordinatenform14x1 + 7x2 + 14x3 â 35 = 0
14x1 + 7x2 + 14x3 â 35 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF14x1 + 7x2 + 14x3 â 35 = 0
nâ =
14714
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
142 + 72 + 142
|ân| = 21
HNF:14x1 + 7x2 + 14x3 â 3521
= 0
Aufgabe (8)
xâ =
5â12
+ λ
302
+ Ï
03â1
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
302
Ă
03â1
=
0 · (â1)â 2 · 32 · 0 â (â1) · 3
3 · 3 â 0 · 0
nâ =
â639
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.â 6x1 + 3x2 + 9x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.â 6 · 5 + 3 · â1 + 9 · 5 + k = 0k = 15Koordinatenformâ 6x1 + 3x2 + 9x3 + 15 = 0
www.fersch.de 48
Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt
â 6x1 + 3x2 + 9x3 + 15 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 6x1 + 3x2 + 9x3 + 15 = 0
nâ =
â639
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â6)2 + 32 + 92
|ân| = 11, 2
HNF:â6x1 + 3x2 + 9x3 + 15â11, 2
= 0
Aufgabe (9)
xâ =
302
+ λ
5â28
+ Ï
204
Vektorprodukt:
nâ = bâ Ă câ =
5â28
Ă
204
=
â2 · 4 â 8 · 08 · 2 â 4 · 5
5 · 0 â (â2) · 2
nâ =
â8â44
Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen.â 8x1 â 4x2 + 4x3 + k = 0Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen.â 8 · 3 â 4 · 0 + 4 · 3 + k = 0k = 16Koordinatenformâ 8x1 â 4x2 + 4x3 + 16 = 0
â 8x1 â 4x2 + 4x3 + 16 = 0Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 8x1 â 4x2 + 4x3 + 16 = 0
nâ =
â8â44
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â8)2 + (â4)2 + 42
|ân| = 9, 8
HNF:â8x1 â 4x2 + 4x3 + 16â9, 8
= 0
www.fersch.de 49
Koordinatenform - Hessesche Normalenform
9 Koordinatenform - Hessesche NormalenformKoordinatenform:n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1 = 0Normalenvektor
nâ =
n1
n2
n3
LĂ€nge des Normalenvektors:|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
Hessesche Normalenform:k1 < 0HNF: n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1â
n21 + n2
2 + n23
= 0
k1 > 0HNF: n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1
ââ
n21 + n2
2 + n23
= 0
Koordinatenform:15x1 + 6x2 + 2x3 â 1 = 0
nâ =
1562
LĂ€nge des Normalenvektors:|ân| =
âx2
1 + x22 + x2
3
|ân| =â
152 + 62 + 22
|ân| = 16, 3Hessesche Normalenform:
HNF: 15x1 + 6x2 + 2x3 â 116, 3
= 0
9.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Ebene in Koordinatenform: n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1 = 0Gesucht:Hessesche Normalenformk1 < 0
HNF:n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1ân2
1 + n22 + n2
3
= 0
k1 > 0
HNF:n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1
ââ
n21 + n2
2 + n23
= 0
(1) Ebene: 3x1 + 4x2 + 6x3 + 7 = 0(2) Ebene: 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2 = 0
(3) Ebene: 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5 = 0
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Koordinatenform - Hessesche Normalenform Lösungen
9.2 LösungenAufgabe (1)
Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF3x1 + 4x2 + 6x3 + 7 = 0
nâ =
346
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
32 + 42 + 62
|ân| = 7, 81
HNF:3x1 + 4x2 + 6x3 + 7â7, 81
= 0
Aufgabe (2)
Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF2x1 + 3x2 + 4x3 + 2 = 0
nâ =
234
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
22 + 32 + 42
|ân| = 5, 39
HNF:2x1 + 3x2 + 4x3 + 2â5, 39
= 0
Aufgabe (3)
Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF2x1 + 3x2 + 4x3 + 5 = 0
nâ =
234
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
22 + 32 + 42
|ân| = 5, 39
HNF:2x1 + 3x2 + 4x3 + 5â5, 39
= 0
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Punkt - Gerade
10 Punkt - Gerade
g1g2
Punkt C1 liegt auf der Geraden g1 Abstand d des Punktes C2 von der Geraden g2
d
Ebene E
b
C1
b
L
bC2
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
Punkt: C(c1/c2/c3)
c1 = a1 + b1λ1 â λ1
c1 = a2 + b2λ2 â λ2
c1 = a3 + b3λ3 â λ3
λ1 = λ2 = λ3 âPunkt liegt auf der Geradennicht alle λ gleich â
Punkt liegt nicht auf der Geraden
LotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berech-nen.Die Koordinatenform der Ebenengleichung aufstellen,die senkrecht zur Geraden ist und den Punkt C enthĂ€lt.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor derEbene. Der LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischenGerade und Ebene.Abstand des Punktes, ist die LĂ€nge des Vektors LâC
xâ =
13â3
+ λ
â2â22
Punkt: C(7, 9,â6)
7 = 1 â2λ / â 19 = 3 â2λ / â 3â6 = â3 +2λ / + 36 = â2λ / : â2 â λ = â36 = â2λ / : â2 â λ = â3â3 = 2λ / : 2 â λ = â1 1
2
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktens berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.â2x1 â 2x2 + 2x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebeneâ2 · 7 â 2 · 9 + 2 · 7 + k = 0k = 44â2x1 â 2x2 + 2x3 + 44 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 1 â2λx2 = 3 â2λx3 = â3 +2λ
â2(1 â 2λ)â 2(3 â 2λ) + 2(â3 + 2λ) + 44 = 012λ + 30 = 0λ = â30
12λ = â2 1
2
xâ =
13â3
â 2 12 ·
â2â22
LotfuĂpunkt: L(6, 8,â8)
CâL =
12 â 730 â 9â2 1
2 + 6
=
â1â1â2
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â1)2 + (â1)2 + (â2)2
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Punkt - Gerade Aufgaben
10.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung
Gegeben:âx =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
Punkt: C(c1/c2/c3)Gesucht:Liegt der Punkt auf der Geraden
(1) Gerade: xâ =
144
+ λ
275
Punkt: C(3/11/9)
(2) Gerade: xâ =
629
+ λ
367
Punkt: C(3/ â 4/2)
(3) Gerade: xâ =
133
+ λ
2104
Punkt: C(3/0/7)
(4) Gerade: xâ =
356
+ λ
407
Punkt: C(8/8/0)
(5) Gerade: xâ =
356
+ λ
â41â4
Punkt: C(5/7/2)
(6) Gerade: xâ =
356
+ λ
â41â4
Punkt: C(â5/7/ â 2)
(7) Gerade: xâ =
121
+ λ
043
Punkt: C(â3/ â 1/ â 1)
(8) Gerade: xâ =
333
+ λ
444
Punkt: C(5/5/0)
(9) Gerade: xâ =
570
+ λ
689
Punkt: C(9/9/0)
(10) Gerade: xâ =
467
+ λ
567
Punkt: C(8/8/6)
(11) Gerade: xâ =
11â3
+ λ
221
Punkt: C(3/3/2)
(12) Gerade: xâ =
11â3
+ λ
221
Punkt: C(3/3/ â 2)
(13) Gerade: xâ =
â4â41
+ λ
52â4
Punkt: C(6/0/ â 7)
(14) Gerade: xâ =
13â3
+ λ
â2â22
Punkt: C(7/9/ â 6)
(15) Gerade: xâ =
201
+ λ
â411
Punkt: C(0/5/6)
(16) Gerade: xâ =
201
+ λ
â411
Punkt: C(4/2/ â 4)
(17) Gerade: xâ =
02â2
+ λ
20â1
Punkt: C(5/1/ â 2)
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Punkt - Gerade Lösungen
10.2 LösungenAufgabe (1)
Punkt - Gerade
xâ =
144
+ λ
275
Punkt: C(3, 11, 9)
3 = 1 +2λ / â 111 = 4 +7λ / â 49 = 4 +5λ / â 42 = 2λ / : 2 â λ = 17 = 7λ / : 7 â λ = 15 = 5λ / : 5 â λ = 1
â Punkt liegt auf der Geraden
Aufgabe (2)
Punkt - Gerade
xâ =
629
+ λ
367
Punkt: C(3,â4, 2)
3 = 6 +3λ / â 6â4 = 2 +6λ / â 22 = 9 +7λ / â 9â3 = 3λ / : 3 â λ = â1â6 = 6λ / : 6 â λ = â1â7 = 7λ / : 7 â λ = â1
â Punkt liegt auf der Geraden
Aufgabe (3)
Punkt - Gerade
xâ =
133
+ λ
2104
Punkt: C(3, 0, 7)3 = 1 +2λ / â 10 = 3 +10λ / â 37 = 3 +4λ / â 32 = 2λ / : 2 â λ = 1â3 = 10λ / : 10 â λ = â 3
104 = 4λ / : 4 â λ = 1
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.2x1 + 10x2 + 4x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
2 · 3 + 10 · 0 + 4 · 3 + k = 0k = â34Koordinatenform2x1 + 10x2 + 4x3 â 34 = 02x1 + 10x2 + 4x3 â 34 = 0
LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.x1 = 1 +2λx2 = 3 +10λx3 = 3 +4λ
2(1 + 2λ) + 10(3 + 10λ) + 4(3 + 4λ)â 34 = 0120λ + 10 = 0λ = â10
120λ = â 1
12
xâ =
133
â 112 ·
2104
LotfuĂpunkt: L( 5
6 , 2 16 , 2 2
3 )
CâL =
120 â 310 â 0â 1
12 â 7
=
â2 16
2 16
â4 13
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â2 16
)2+ 2 1
62+(â4 1
3
)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 5, 31
Aufgabe (4)
Punkt - Gerade
xâ =
356
+ λ
407
Punkt: C(8, 8, 0)8 = 3 +4λ / â 38 = 5 +0λ / â 50 = 6 +7λ / â 65 = 4λ / : 4 â λ = 1 1
43 = 0λ / : 0 â λ = +unendlichâ6 = 7λ / : 7 â λ = â 6
7
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.4x1 + 0x2 + 7x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
4 · 8 + 0 · 8 + 7 · 8 + k = 0k = â32Koordinatenform4x1 + 0x2 + 7x3 â 32 = 04x1 + 7x3 â 32 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 3 +4λx2 = 5 +0λx3 = 6 +7λ
4(3 + 4λ) + 0(5 + 0λ) + 7(6 + 7λ)â 32 = 065λ + 22 = 0λ = â22
65λ = â 22
65
xâ =
356
â 2265 ·
407
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Punkt - Gerade Lösungen
LotfuĂpunkt: L(1 4265 , 5, 3 41
65 )
CâL =
65 â 822 â 8â 22
65 â 0
=
â6 2365
â33 41
65
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â6 2365)2
+ (â3)2 + 3 4165
2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 7, 91
Aufgabe (5)
Punkt - Gerade
xâ =
356
+ λ
â41â4
Punkt: C(5, 7, 2)5 = 3 â4λ / â 37 = 5 +1λ / â 52 = 6 â4λ / â 62 = â4λ / : â4 â λ = â 1
22 = 1λ / : 1 â λ = 2â4 = â4λ / : â4 â λ = 1
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.â 4x1 + 1x2 â 4x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebeneâ 4 · 5 + 1 · 7 â 4 · 5 + k = 0k = 21Koordinatenformâ 4x1 + 1x2 â 4x3 + 21 = 0â 4x1 + 1x2 â 4x3 + 21 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 3 â4λx2 = 5 +1λx3 = 6 â4λâ 4(3 â 4λ) + 1(5 + 1λ)â 4(6 â 4λ) + 21 = 033λ â 10 = 0λ = +10
33λ = 10
33
xâ =
356
+ 1033 ·
â41â4
LotfuĂpunkt: L(1 26
33 , 5 1033 , 4 26
33 )
CâL =
33 â 5â10 â 7
1033 â 2
=
â3 733
â1 2333
2 2633
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â3 733)2
+(â1 23
33)2
+ 2 2633
2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 4, 58
Aufgabe (6)
Punkt - Gerade
xâ =
356
+ λ
â41â4
Punkt: C(â5, 7,â2)â5 = 3 â4λ / â 37 = 5 +1λ / â 5â2 = 6 â4λ / â 6â8 = â4λ / : â4 â λ = 22 = 1λ / : 1 â λ = 2â8 = â4λ / : â4 â λ = 2
â Punkt liegt auf der Geraden
Aufgabe (7)
Punkt - Gerade
xâ =
121
+ λ
043
Punkt: C(â3,â1,â1)â3 = 1 +0λ / â 1â1 = 2 +4λ / â 2â1 = 1 +3λ / â 1â4 = 0λ / : 0 â λ = âunendlichâ3 = 4λ / : 4 â λ = â 3
4â2 = 3λ / : 3 â λ = â 2
3
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.0x1 + 4x2 + 3x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
0 · â3 + 4 · â1 + 3 · â3 + k = 0k = 7Koordinatenform0x1 + 4x2 + 3x3 + 7 = 0+ 4x2 + 3x3 + 7 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 1 +0λx2 = 2 +4λx3 = 1 +3λ
0(1 + 0λ) + 4(2 + 4λ) + 3(1 + 3λ) + 7 = 025λ + 18 = 0λ = â18
25λ = â 18
25
xâ =
121
â 1825 ·
043
LotfuĂpunkt: L(1,â 22
25 ,â1 425 )
CâL =
25 + 318 + 1â 18
25 + 1
=
4325
â 425
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â42 + 325
2+(â 4
25
)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 4
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Punkt - Gerade Lösungen
Aufgabe (8)
Punkt - Gerade
xâ =
333
+ λ
444
Punkt: C(5, 5, 0)5 = 3 +4λ / â 35 = 3 +4λ / â 30 = 3 +4λ / â 32 = 4λ / : 4 â λ = 1
22 = 4λ / : 4 â λ = 1
2â3 = 4λ / : 4 â λ = â 3
4
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.4x1 + 4x2 + 4x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
4 · 5 + 4 · 5 + 4 · 5 + k = 0k = â40Koordinatenform4x1 + 4x2 + 4x3 â 40 = 04x1 + 4x2 + 4x3 â 40 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 3 +4λx2 = 3 +4λx3 = 3 +4λ
4(3 + 4λ) + 4(3 + 4λ) + 4(3 + 4λ)â 40 = 048λ â 4 = 0λ = +4
48λ = 1
12
xâ =
333
+ 112 ·
444
LotfuĂpunkt: L(3 1
3 , 3 13 , 3 1
3 )
CâL =
48 â 5â4 â 5
112 â 0
=
â1 23
â1 23
3 13
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â1 23)2
+(â1 2
3)2
+ 3 13
2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 4, 08
Aufgabe (9)
Punkt - Gerade
xâ =
570
+ λ
689
Punkt: C(9, 9, 0)9 = 5 +6λ / â 59 = 7 +8λ / â 70 = 0 +9λ / â 0
4 = 6λ / : 6 â λ = 23
2 = 8λ / : 8 â λ = 14
0 = 9λ / : 9 â λ = 0
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.6x1 + 8x2 + 9x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
6 · 9 + 8 · 9 + 9 · 9 + k = 0k = â126Koordinatenform6x1 + 8x2 + 9x3 â 126 = 06x1 + 8x2 + 9x3 â 126 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 5 +6λx2 = 7 +8λx3 = 0 +9λ
6(5 + 6λ) + 8(7 + 8λ) + 9(0 + 9λ)â 126 = 0181λ â 40 = 0λ = +40
181λ = 0, 221
xâ =
570
+ 0, 221 ·
689
LotfuĂpunkt: L(6, 33, 8, 77, 1, 99)
CâL =
181 â 9â40 â 9
0, 221 â 0
=
â2, 67â0, 232
1, 99
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â2, 67)2 + (â0, 232)2 + 1, 992âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 3, 34
Aufgabe (10)
Punkt - Gerade
xâ =
467
+ λ
567
Punkt: C(8, 8, 6)8 = 4 +5λ / â 48 = 6 +6λ / â 66 = 7 +7λ / â 74 = 5λ / : 5 â λ = 4
52 = 6λ / : 6 â λ = 1
3â1 = 7λ / : 7 â λ = â 1
7
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.5x1 + 6x2 + 7x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
5 · 8 + 6 · 8 + 7 · 8 + k = 0k = â130Koordinatenform5x1 + 6x2 + 7x3 â 130 = 05x1 + 6x2 + 7x3 â 130 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
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Punkt - Gerade Lösungen
x1 = 4 +5λx2 = 6 +6λx3 = 7 +7λ
5(4 + 5λ) + 6(6 + 6λ) + 7(7 + 7λ)â 130 = 0110λ â 25 = 0λ = +25
110λ = 5
22
xâ =
467
+ 522 ·
567
LotfuĂpunkt: L(5 3
22 , 7 411 , 8 13
22 )
CâL =
110 â 8â25 â 8
522 â 6
=
â2 1922
â 711
2 1322
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â2 1922
)2+(â 7
11)2
+ 2 1322
2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 3, 91
Aufgabe (11)
Punkt - Gerade
xâ =
11â3
+ λ
221
Punkt: C(3, 3, 2)3 = 1 +2λ / â 13 = 1 +2λ / â 12 = â3 +1λ / + 32 = 2λ / : 2 â λ = 12 = 2λ / : 2 â λ = 15 = 1λ / : 1 â λ = 5
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.2x1 + 2x2 + 1x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
2 · 3 + 2 · 3 + 1 · 3 + k = 0k = â14Koordinatenform2x1 + 2x2 + 1x3 â 14 = 02x1 + 2x2 + 1x3 â 14 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 1 +2λx2 = 1 +2λx3 = â3 +1λ
2(1 + 2λ) + 2(1 + 2λ) + 1(â3 + 1λ)â 14 = 09λ â 13 = 0λ = +13
9λ = 1 4
9
xâ =
11â3
+ 1 49 ·
221
LotfuĂpunkt: L(3 8
9 , 3 89 ,â1 5
9 )
CâL =
9 â 3â13 â 31 4
9 â 2
=
8989
â3 59
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â 89
2+ 8
92+(â3 5
9)2âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = 3, 77
Aufgabe (12)
Punkt - Gerade
xâ =
11â3
+ λ
221
Punkt: C(3, 3,â2)
3 = 1 +2λ / â 13 = 1 +2λ / â 1â2 = â3 +1λ / + 32 = 2λ / : 2 â λ = 12 = 2λ / : 2 â λ = 11 = 1λ / : 1 â λ = 1
â Punkt liegt auf der Geraden
Aufgabe (13)
Punkt - Gerade
xâ =
â4â41
+ λ
52â4
Punkt: C(6, 0,â7)
6 = â4 +5λ / + 40 = â4 +2λ / + 4â7 = 1 â4λ / â 110 = 5λ / : 5 â λ = 24 = 2λ / : 2 â λ = 2â8 = â4λ / : â4 â λ = 2
â Punkt liegt auf der Geraden
Aufgabe (14)
Punkt - Gerade
xâ =
13â3
+ λ
â2â22
Punkt: C(7, 9,â6)
7 = 1 â2λ / â 19 = 3 â2λ / â 3â6 = â3 +2λ / + 36 = â2λ / : â2 â λ = â36 = â2λ / : â2 â λ = â3â3 = 2λ / : 2 â λ = â1 1
2
â Punkt liegt nicht auf der Geraden
www.fersch.de 57
Punkt - Gerade Lösungen
LotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.â 2x1 â 2x2 + 2x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebeneâ 2 · 7 â 2 · 9 + 2 · 7 + k = 0k = 44Koordinatenformâ 2x1 â 2x2 + 2x3 + 44 = 0â 2x1 â 2x2 + 2x3 + 44 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 1 â2λx2 = 3 â2λx3 = â3 +2λâ 2(1 â 2λ)â 2(3 â 2λ) + 2(â3 + 2λ) + 44 = 012λ + 30 = 0λ = â30
12λ = â2 1
2
xâ =
13â3
â 2 12 ·
â2â22
LotfuĂpunkt: L(6, 8,â8)
CâL =
12 â 730 â 9â2 1
2 + 6
=
â1â1â2
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â1)2 + (â1)2 + (â2)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 2, 45
Aufgabe (15)
Punkt - Gerade
xâ =
201
+ λ
â411
Punkt: C(0, 5, 6)0 = 2 â4λ / â 25 = 0 +1λ / â 06 = 1 +1λ / â 1â2 = â4λ / : â4 â λ = 1
25 = 1λ / : 1 â λ = 55 = 1λ / : 1 â λ = 5
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.â 4x1 + 1x2 + 1x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebeneâ 4 · 0 + 1 · 5 + 1 · 0 + k = 0k = â11Koordinatenformâ 4x1 + 1x2 + 1x3 â 11 = 0â 4x1 + 1x2 + 1x3 â 11 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 2 â4λx2 = 0 +1λx3 = 1 +1λâ 4(2 â 4λ) + 1(0 + 1λ) + 1(1 + 1λ)â 11 = 0
18λ â 18 = 0λ = +18
18λ = 1
xâ =
201
+ 1 ·
â411
LotfuĂpunkt: L(â2, 1, 2)
CâL =
18 â 0â18 â 5
1 â 6
=
â2â4â4
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â2)2 + (â4)2 + (â4)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 6
Aufgabe (16)
Punkt - Gerade
xâ =
201
+ λ
â411
Punkt: C(4, 2,â4)
4 = 2 â4λ / â 22 = 0 +1λ / â 0â4 = 1 +1λ / â 12 = â4λ / : â4 â λ = â 1
22 = 1λ / : 1 â λ = 2â5 = 1λ / : 1 â λ = â5
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.â 4x1 + 1x2 + 1x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebeneâ 4 · 4 + 1 · 2 + 1 · 4 + k = 0k = 18Koordinatenformâ 4x1 + 1x2 + 1x3 + 18 = 0â 4x1 + 1x2 + 1x3 + 18 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 2 â4λx2 = 0 +1λx3 = 1 +1λâ 4(2 â 4λ) + 1(0 + 1λ) + 1(1 + 1λ) + 18 = 018λ + 11 = 0λ = â11
18λ = â 11
18
xâ =
201
â 1118 ·
â411
LotfuĂpunkt: L(4 4
9 ,â 1118 , 7
18 )
CâL =
18 â 411 â 2â 11
18 + 4
=
49
â2 1118
4 718
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â 49
2+(â2 11
18
)2+ 4 7
182âŁâŁâŁAâB
âŁâŁâŁ = 5, 13
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Punkt - Gerade Lösungen
Aufgabe (17)
Punkt - Gerade
xâ =
02â2
+ λ
20â1
Punkt: C(5, 1,â2)
5 = 0 +2λ / â 01 = 2 +0λ / â 2â2 = â2 â1λ / + 25 = 2λ / : 2 â λ = 2 1
2â1 = 0λ / : 0 â λ = âunendlich0 = â1λ / : â1 â λ = 0
â Punkt liegt nicht auf der GeradenLotfuĂpunkt und Abstand des Punktes berechnen.Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene.2x1 + 0x2 â 1x3 + k = 0C ist Punkt in der Ebene
2 · 5 + 0 · 1 â 1 · 5 + k = 0k = â12
Koordinatenform2x1 + 0x2 â 1x3 â 12 = 02x1 â 1x3 â 12 = 0LotfuĂpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.
x1 = 0 +2λx2 = 2 +0λx3 = â2 â1λ
2(0 + 2λ) + 0(2 + 0λ)â 1(â2 â 1λ)â 12 = 05λ â 10 = 0λ = +10
5λ = 2
xâ =
02â2
+ 2 ·
20â1
LotfuĂpunkt: L(4, 2,â4)
CâL =
5 â 5â10 â 1
2 + 2
=
â11â2
Abstand Punkt GeradeâŁâŁâŁCâL
âŁâŁâŁ = â(â1)2 + 12 + (â2)2âŁâŁâŁAâBâŁâŁâŁ = 2, 45
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Gerade - Gerade
11 Gerade - Gerade
g1
g1
S
g1
g1g2g2
g2g2
Geraden schneiden sich Geraden sind parallel Geraden sind windschief Geraden sind identisch
Gerade 1: xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
Gerade 2: xâ =
c1
c2
c3
+ Ï
d1
d2
d3
Richtungsvektoren linear abhÀngig (parallel) ?
Aufpunkt von g1 auf g2?
Ja
b
identisch
Ja
b
echt paralllel
Nein
Geraden gleichsetzen
Nein
b
windschief
keine Lösung
b
schneiden sich
Lösung
Gerade 1: xâ =
1â28
+ λ
4â7â8
Gerade 2: xâ =
9â53
+ Ï
â4â4â3
Richtungsvektoren: 4
â7â8
= k ·
â4â4â3
4 = â4k / : â4 â k = â1â7 = â4k / : â4 â k = 1 3
4â8 = â3k / : â3 â k = 2 2
3
â Geraden sind nicht parallel 1â28
+ λ
4â7â8
=
9â53
+ Ï
â4â4â3
1 +4λ = 9 â4Ï / â 1 / + 4Ïâ2 â7λ = â5 â4Ï / + 2 / + 4Ï8 â8λ = 3 â3Ï / â 8 / + 3Ï
I 4λ + 4Ï = 8I I â 7λ + 4Ï = â3I I I â 8λ â 3Ï = â5
Aus den Gleichungen I und II λ und Ï berechnenÏ = 1λ = 1λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 8 + 1 · (â8) = 3 + 1 · (â3)0 = 0λ oder Ï in die Geradengleichung einsetzen
xâ =
1â28
+ 1 ·
4â7â8
Schnittpunkt: S(5,â9, 0)
11.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung
Gegeben:Gerade 1: xâ =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
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Gerade - Gerade Aufgaben
Gerade 2: xâ =
c1c2c3
+ Ï
d1d2d3
Gesucht:Die Lage der Geraden zueinander.
(1)
Gerade 1: xâ =
4â12
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â42
(2)
Gerade 1: xâ =
1â12
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â42
(3)
Gerade 1: xâ =
5â13
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â42
(4)
Gerade 1: xâ =
842
+ λ
137
Gerade 2: xâ =
778
+ Ï
514
(5)
Gerade 1: xâ =
111
+ λ
23â5
Gerade 2: xâ =
111
+ Ï
443
(6)
Gerade 1: xâ =
1â28
+ λ
4â7â8
Gerade 2: xâ =
9â53
+ Ï
â4â4â3
(7)
Gerade 1: xâ =
â315
+ λ
12â3
Gerade 2: xâ =
15â3
+ Ï
54â1
(8)
Gerade 1: xâ =
127
+ λ
268
Gerade 2: xâ =
978
+ Ï
533
(9)
Gerade 1: xâ =
842
+ λ
137
Gerade 2: xâ =
778
+ Ï
514
(10)
Gerade 1: xâ =
157
+ λ
266
Gerade 2: xâ =
375
+ Ï
484
(11)
Gerade 1: xâ =
1â12
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â71
(12)
Gerade 1: xâ =
103
+ λ
2â31
Gerade 2: xâ =
4â4â2
+ Ï
â462
(13)
Gerade 1: xâ =
103
+ λ
2â31
Gerade 2: xâ =
4â4â2
+ Ï
â46â2
(14)
Gerade 1: xâ =
130
+ λ
20â1
Gerade 2: xâ =
345
+ Ï
40â2
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Gerade - Gerade Lösungen
11.2 LösungenAufgabe (1)
Gerade 1: xâ =
4â12
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â42
Richtungsvektoren: 3
â42
= k ·
3â42
3 = +3k / : 3 â k = 1â4 = â4k / : â4 â k = 12 = +2k / : 2 â k = 1
â Geraden sind parallelAufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1
xâ =
4â12
+ λ
3â42
Punkt: A(1/ â 1/2)
1 = 4 +3λ / â 4â1 = â1 â4λ / + 12 = 2 +2λ / â 2â3 = 3λ / : 3 â λ = â10 = â4λ / : â4 â λ = 00 = 2λ / : 2 â λ = 0
âGeraden sind echt parallel
Aufgabe (2)
Gerade 1: xâ =
1â12
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â42
Richtungsvektoren: 3
â42
= k ·
3â42
3 = +3k / : 3 â k = 1â4 = â4k / : â4 â k = 12 = +2k / : 2 â k = 1
â Geraden sind parallelAufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1
xâ =
1â12
+ λ
3â42
Punkt: A(1/ â 1/2)
1 = 1 +3λ / â 1â1 = â1 â4λ / + 12 = 2 +2λ / â 2
www.fersch.de 62
Gerade - Gerade Lösungen
0 = 3λ / : 3 â λ = 00 = â4λ / : â4 â λ = 00 = 2λ / : 2 â λ = 0
âGeraden sind identisch
Aufgabe (3)
Gerade 1: xâ =
5â13
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â42
Richtungsvektoren: 3
â42
= k ·
3â42
3 = +3k / : 3 â k = 1â4 = â4k / : â4 â k = 12 = +2k / : 2 â k = 1
â Geraden sind parallelAufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1
xâ =
5â13
+ λ
3â42
Punkt: A(1/ â 1/2)
1 = 5 +3λ / â 5â1 = â1 â4λ / + 12 = 3 +2λ / â 3â4 = 3λ / : 3 â λ = â1 1
30 = â4λ / : â4 â λ = 0â1 = 2λ / : 2 â λ = â 1
2
âGeraden sind echt parallel
Aufgabe (4)
Gerade 1: xâ =
842
+ λ
137
Gerade 2: xâ =
778
+ Ï
514
Richtungsvektoren: 1
37
= k ·
514
1 = +5k / : 5 â k = 1
53 = +1k / : 1 â k = 37 = +4k / : 4 â k = 1 3
4
â Geraden sind nicht parallel
www.fersch.de 63
Gerade - Gerade Lösungen
842
+ λ
137
=
778
+ Ï
514
8 +1λ = 7 +5Ï / â 8 / â 5Ï4 +3λ = 7 +1Ï / â 4 / â 1Ï2 +7λ = 8 +4Ï / â 2 / â 4Ï
I 1λ â 5Ï = â1I I 3λ â 1Ï = 3I I I 7λ + 4Ï = 6
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 1λ â 5Ï = â1 / · 3I I 3λ â 1Ï = 3 / · (â1)I 3λ â 15Ï = â3I I â 3λ + 1Ï = â3I + III 3λ â 3λ â 15Ï + 1Ï = â3 â 3â 14Ï = â6 / : (â14)Ï = â6
â14Ï = 3
7Ï in II 3λ â 15 · 3
7 = â33λ â 6 3
7 = â3 / + 6 37
3λ = â3 + 6 37
3λ = 3 37 / : 3
λ =3 3
73
λ = 1 17
λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 2 + 1 1
7 · 7 = 8 + 37 · 4
10 = 9 57
Geraden sind windschief
Aufgabe (5)
Gerade 1: xâ =
111
+ λ
23â5
Gerade 2: xâ =
111
+ Ï
443
Richtungsvektoren: 2
3â5
= k ·
443
2 = +4k / : 4 â k = 1
23 = +4k / : 4 â k = 3
4â5 = +3k / : 3 â k = â1 2
3
â Geraden sind nicht parallel 111
+ λ
23â5
=
111
+ Ï
443
1 +2λ = 1 +4Ï / â 1 / â 4Ï1 +3λ = 1 +4Ï / â 1 / â 4Ï1 â5λ = 1 +3Ï / â 1 / â 3Ï
I 2λ â 4Ï = 0
www.fersch.de 64
Gerade - Gerade Lösungen
I I 3λ â 4Ï = 0I I I â 5λ + 3Ï = 0
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 2λ â 4Ï = 0 / · 3I I 3λ â 4Ï = 0 / · (â2)I 6λ â 12Ï = 0I I â 6λ + 8Ï = 0I + III 6λ â 6λ â 12Ï + 8Ï = 0 + 0â 4Ï = 0 / : (â4)Ï = 0
â4Ï = 0Ï in II 6λ â 12 · 0 = 06λ + 0 = 0 / â 06λ = 0 â 06λ = 0 / : 6λ = 0
6λ = 0λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 1 + 0 · (â5) = 1 + 0 · 31 = 1λ oder Ï in die Geradengleichung einsetzen
xâ =
111
+ 0 ·
23â5
Schnittpunkt: S(1, 1, 1)
Aufgabe (6)
Gerade 1: xâ =
1â28
+ λ
4â7â8
Gerade 2: xâ =
9â53
+ Ï
â4â4â3
Richtungsvektoren: 4
â7â8
= k ·
â4â4â3
4 = â4k / : â4 â k = â1â7 = â4k / : â4 â k = 1 3
4â8 = â3k / : â3 â k = 2 2
3
â Geraden sind nicht parallel 1â28
+ λ
4â7â8
=
9â53
+ Ï
â4â4â3
1 +4λ = 9 â4Ï / â 1 / + 4Ïâ2 â7λ = â5 â4Ï / + 2 / + 4Ï8 â8λ = 3 â3Ï / â 8 / + 3Ï
I 4λ + 4Ï = 8I I â 7λ + 4Ï = â3I I I â 8λ â 3Ï = â5
www.fersch.de 65
Gerade - Gerade Lösungen
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 4λ + 4Ï = 8 / · (â7)I I â 7λ + 4Ï = â3 / · (â4)I â 28λ â 28Ï = â56I I 28λ â 16Ï = 12I + III â 28λ + 28λ â 28Ï â 16Ï = â56 + 12â 44Ï = â44 / : (â44)Ï = â44
â44Ï = 1Ï in II â 28λ â 28 · 1 = â56â 28λ â 28 = â56 / + 28â 28λ = â56 + 28â 28λ = â28 / : (â28)λ = â28
â28λ = 1λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 8 + 1 · (â8) = 3 + 1 · (â3)0 = 0λ oder Ï in die Geradengleichung einsetzen
xâ =
1â28
+ 1 ·
4â7â8
Schnittpunkt: S(5,â9, 0)
Aufgabe (7)
Gerade 1: xâ =
â315
+ λ
12â3
Gerade 2: xâ =
15â3
+ Ï
54â1
Richtungsvektoren: 1
2â3
= k ·
54â1
1 = +5k / : 5 â k = 1
52 = +4k / : 4 â k = 1
2â3 = â1k / : â1 â k = 3
â Geraden sind nicht parallel â315
+ λ
12â3
=
15â3
+ Ï
54â1
â3 +1λ = 1 +5Ï / + 3 / â 5Ï1 +2λ = 5 +4Ï / â 1 / â 4Ï5 â3λ = â3 â1Ï / â 5 / + 1Ï
I 1λ â 5Ï = 4I I 2λ â 4Ï = 4I I I â 3λ â 1Ï = â8
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 1λ â 5Ï = 4 / · 2I I 2λ â 4Ï = 4 / · (â1)
www.fersch.de 66
Gerade - Gerade Lösungen
I 2λ â 10Ï = 8I I â 2λ + 4Ï = â4I + III 2λ â 2λ â 10Ï + 4Ï = 8 â 4â 6Ï = 4 / : (â6)Ï = 4
â6Ï = â 2
3Ï in II 2λ â 10 ·
(â 2
3)= 8
2λ + 6 23 = 8 / â 6 2
32λ = 8 â 6 2
32λ = 1 1
3 / : 2
λ =1 1
32
λ = 23
λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 5 + 2
3 · (â3) = â3 â 23 · (â1)
3 = â2 13
Geraden sind windschief
Aufgabe (8)
Gerade 1: xâ =
127
+ λ
268
Gerade 2: xâ =
978
+ Ï
533
Richtungsvektoren: 2
68
= k ·
533
2 = +5k / : 5 â k = 2
56 = +3k / : 3 â k = 28 = +3k / : 3 â k = 2 2
3
â Geraden sind nicht parallel 127
+ λ
268
=
978
+ Ï
533
1 +2λ = 9 +5Ï / â 1 / â 5Ï2 +6λ = 7 +3Ï / â 2 / â 3Ï7 +8λ = 8 +3Ï / â 7 / â 3Ï
I 2λ â 5Ï = 8I I 6λ â 3Ï = 5I I I 8λ + 3Ï = 1
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 2λ â 5Ï = 8 / · 3I I 6λ â 3Ï = 5 / · (â1)I 6λ â 15Ï = 24I I â 6λ + 3Ï = â5I + III 6λ â 6λ â 15Ï + 3Ï = 24 â 5â 12Ï = 19 / : (â12)Ï = 19
â12Ï = â1 7
12
www.fersch.de 67
Gerade - Gerade Lösungen
Ï in II 6λ â 15 ·
(â1 7
12)= 24
6λ + 23 34 = 24 / â 23 3
46λ = 24 â 23 3
46λ = 1
4 / : 6
λ =146
λ = 124
λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 7 + 1
24 · 8 = 8 â 1 712 · 3
7 13 = 3 1
4Geraden sind windschief
Aufgabe (9)
Gerade 1: xâ =
842
+ λ
137
Gerade 2: xâ =
778
+ Ï
514
Richtungsvektoren: 1
37
= k ·
514
1 = +5k / : 5 â k = 1
53 = +1k / : 1 â k = 37 = +4k / : 4 â k = 1 3
4
â Geraden sind nicht parallel 842
+ λ
137
=
778
+ Ï
514
8 +1λ = 7 +5Ï / â 8 / â 5Ï4 +3λ = 7 +1Ï / â 4 / â 1Ï2 +7λ = 8 +4Ï / â 2 / â 4Ï
I 1λ â 5Ï = â1I I 3λ â 1Ï = 3I I I 7λ + 4Ï = 6
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 1λ â 5Ï = â1 / · 3I I 3λ â 1Ï = 3 / · (â1)I 3λ â 15Ï = â3I I â 3λ + 1Ï = â3I + III 3λ â 3λ â 15Ï + 1Ï = â3 â 3â 14Ï = â6 / : (â14)Ï = â6
â14Ï = 3
7Ï in II 3λ â 15 · 3
7 = â33λ â 6 3
7 = â3 / + 6 37
3λ = â3 + 6 37
3λ = 3 37 / : 3
λ =3 3
73
λ = 1 17
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Gerade - Gerade Lösungen
λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 2 + 1 1
7 · 7 = 8 + 37 · 4
10 = 9 57
Geraden sind windschief
Aufgabe (10)
Gerade 1: xâ =
157
+ λ
266
Gerade 2: xâ =
375
+ Ï
484
Richtungsvektoren: 2
66
= k ·
484
2 = +4k / : 4 â k = 1
26 = +8k / : 8 â k = 3
46 = +4k / : 4 â k = 1 1
2
â Geraden sind nicht parallel 157
+ λ
266
=
375
+ Ï
484
1 +2λ = 3 +4Ï / â 1 / â 4Ï5 +6λ = 7 +8Ï / â 5 / â 8Ï7 +6λ = 5 +4Ï / â 7 / â 4Ï
I 2λ â 4Ï = 2I I 6λ â 8Ï = 2I I I 6λ + 4Ï = â2
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 2λ â 4Ï = 2 / · 3I I 6λ â 8Ï = 2 / · (â1)I 6λ â 12Ï = 6I I â 6λ + 8Ï = â2I + III 6λ â 6λ â 12Ï + 8Ï = 6 â 2â 4Ï = 4 / : (â4)Ï = 4
â4Ï = â1Ï in II 6λ â 12 · (â1) = 66λ + 12 = 6 / â 126λ = 6 â 126λ = â6 / : 6λ = â6
6λ = â1λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 7 â 1 · 6 = 5 â 1 · 41 = 1λ oder Ï in die Geradengleichung einsetzen
xâ =
157
â 1 ·
266
Schnittpunkt: S(â1,â1, 1)
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Gerade - Gerade Lösungen
Aufgabe (11)
Gerade 1: xâ =
1â12
+ λ
3â42
Gerade 2: xâ =
1â12
+ Ï
3â71
Richtungsvektoren: 3
â42
= k ·
3â71
3 = +3k / : 3 â k = 1â4 = â7k / : â7 â k = 4
72 = +1k / : 1 â k = 2
â Geraden sind nicht parallel 1â12
+ λ
3â42
=
1â12
+ Ï
3â71
1 +3λ = 1 +3Ï / â 1 / â 3Ïâ1 â4λ = â1 â7Ï / + 1 / + 7Ï2 +2λ = 2 +1Ï / â 2 / â 1Ï
I 3λ â 3Ï = 0I I â 4λ + 7Ï = 0I I I 2λ + 1Ï = 0
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 3λ â 3Ï = 0 / · (â4)I I â 4λ + 7Ï = 0 / · (â3)I â 12λ + 12Ï = 0I I 12λ â 21Ï = 0I + III â 12λ + 12λ + 12Ï â 21Ï = 0 + 0â 9Ï = 0 / : (â9)Ï = 0
â9Ï = 0Ï in II â 12λ + 12 · 0 = 0â 12λ + 0 = 0 / â 0â 12λ = 0 â 0â 12λ = 0 / : (â12)λ = 0
â12λ = 0λ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 2 + 0 · 2 = 2 + 0 · 12 = 2λ oder Ï in die Geradengleichung einsetzen
xâ =
1â12
+ 0 ·
3â42
Schnittpunkt: S(1,â1, 2)
www.fersch.de 70
Gerade - Gerade Lösungen
Aufgabe (12)
Gerade 1: xâ =
103
+ λ
2â31
Gerade 2: xâ =
4â4â2
+ Ï
â462
Richtungsvektoren: 2
â31
= k ·
â462
2 = â4k / : â4 â k = â 1
2â3 = +6k / : 6 â k = â 1
21 = +2k / : 2 â k = 1
2
â Geraden sind nicht parallel 103
+ λ
2â31
=
4â4â2
+ Ï
â462
1 +2λ = 4 â4Ï / â 1 / + 4Ï0 â3λ = â4 +6Ï / â 0 / â 6Ï3 +1λ = â2 +2Ï / â 3 / â 2Ï
I 2λ + 4Ï = 3I I â 3λ â 6Ï = â4I I I 1λ + 2Ï = â5
Aus 2 Gleichungen λ und Ï berechnenI 2λ + 4Ï = 3 / · (â3)I I â 3λ â 6Ï = â4 / · (â2)I â 6λ â 12Ï = â9I I 6λ + 12Ï = 8I + III â 6λ + 6λ â 12Ï + 12Ï = â9 + 80Ï = â1 / : 0Ï = â1
0Ï = âunendlichÏ in II â 6λ â 12 · (âunendlich) = â9â 6λ ++unendlich = â9 / â+unendlichâ 6λ = â9 â+unendlichâ 6λ = âunendlich / : (â6)λ = âunendlich
â6λ = +unendlichλ und Ï in die verbleibende Gleichung einsetzenI I I 3 ++unendlich · 1 = â2 â+unendlich · 2+ unendlich = âunendlichGeraden sind windschief
Aufgabe (13)
Gerade 1: xâ =
103
+ λ
2â31
Gerade 2: xâ =
4â4â2
+ Ï
â46â2
www.fersch.de 71
Gerade - Gerade Lösungen
Richtungsvektoren: 2â31
= k ·
â46â2
2 = â4k / : â4 â k = â 1
2â3 = +6k / : 6 â k = â 1
21 = â2k / : â2 â k = â 1
2
â Geraden sind parallelAufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1
xâ =
103
+ λ
2â31
Punkt: A(4/ â 4/ â 2)
4 = 1 +2λ / â 1â4 = 0 â3λ / â 0â2 = 3 +1λ / â 33 = 2λ / : 2 â λ = 1 1
2â4 = â3λ / : â3 â λ = 1 1
3â5 = 1λ / : 1 â λ = â5
âGeraden sind echt parallel
Aufgabe (14)
Gerade 1: xâ =
130
+ λ
20â1
Gerade 2: xâ =
345
+ Ï
40â2
Richtungsvektoren: 2
0â1
= k ·
40â2
2 = +4k / : 4 â k = 1
20 = +0k / : 0 â k = NaNâ1 = â2k / : â2 â k = 1
2
â Geraden sind parallelAufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1
xâ =
130
+ λ
20â1
Punkt: A(3/4/5)3 = 1 +2λ / â 14 = 3 +0λ / â 35 = 0 â1λ / â 02 = 2λ / : 2 â λ = 11 = 0λ / : 0 â λ = +unendlich5 = â1λ / : â1 â λ = â5
âGeraden sind echt parallel
www.fersch.de 72
Punkt - Ebene (Koordinatenform)
12 Punkt - Ebene (Koordinatenform)
b P
Punkt liegt in der Ebene
b P
b L
d
Punkt liegt nicht in der Ebene
Punkt: A(a1/a2/a3)
Ebene: n1x1 + n2x2 + n3x3 + c1 = 0n1 · a1 + n2 · a2 + n3 · a3 + c1 = 0âą Liegt der Punkt in der Ebene?Punkt in die Ebene einsetzen.Gleichung nach Umformung: 0 = 0 â Punkt liegt inder Ebeneâą Abstand Punkt - EbenePunkt in die HNF einsetzen.
Punkt: A(1/2/0)Ebene: â 1x1 â 3x2 + 1x3 + 7 = 0â1 · 1 â 3 · 2 + 1 · 0 + 7 = 00 = 0Punkt liegt in der Ebene
Punkt: A(2/ â 4/3)Ebene: â 1x1 â 3x2 + 1x3 + 7 = 0â1 · 2 â 3 · (â4) + 1 · 3 + 7 = 020 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ1x1 â 3x2 + 1x3 + 7 = 0
nâ =
â1â31
LĂ€nge des Normalenvektors:|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â1)2 + (â3)2 + 12
|ân| = 3, 32HNF:â1x1â3x2+1x3+7
â3,32 = 0Punkt in HNF:
d = |â1 · 2 â 3 · (â4) + 1 · 3 + 7â3, 32
|d = | â 6, 03|d = 6, 03
12.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Punkt: A(a1/a2/a3)Ebene: n1x1 + n2x2 + n3x3 + c1 = 0
Gesucht:Lagebeziehung Punkt - Ebene
(1) Punkt: A(1/1/ â 2)Ebene: 7x1 + 3x2 + 6x3 + 2 = 0
(2) Punkt: A(2/ â 2/1)Ebene: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 1 = 0
(3) Punkt: A(2/4/6)Ebene: 7x1 + 8x2 + 9x3 â 7 = 0
(4) Punkt: A(1/2/0)Ebene: â 1x1 â 3x2 + 1x3 â 6 = 0
(5) Punkt: A(4/5/4)Ebene: 6x1 + 7x2 + 6x3 + 5 = 0
(6) Punkt: A(3/ â 2/2)Ebene: 1x1 â 1x2 + 2x3 + 1 = 0
www.fersch.de 73
Punkt - Ebene (Koordinatenform) Aufgaben
(7) Punkt: A(1/3/ â 1)Ebene: 3x1 + 2x2 + 3x3 + 1 = 0
(8) Punkt: A(4/5/6)Ebene: 7x1 + 7x2 + 8x3 + 9 = 0
(9) Punkt: A(1/2/3)Ebene: â 1x1 â 3x2 + 1x3 + 7 = 0
www.fersch.de 74
Punkt - Ebene (Koordinatenform) Lösungen
12.2 LösungenAufgabe (1)
Punkt: A(1/1/ â 2)Ebene: 7x1 + 3x2 + 6x3 + 2 = 07 · 1 + 3 · 1 + 6 · (â2) + 2 = 00 = 0Punkt liegt in der Ebnene
Aufgabe (2)
Punkt: A(2/ â 2/1)Ebene: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 1 = 06 · 2 + 3 · (â2) + 5 · 1 + 1 = 012 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNF6x1 + 3x2 + 5x3 + 1 = 0
nâ =
635
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
62 + 32 + 52
|ân| = 8, 37HNF:6x1 + 3x2 + 5x3 + 1
â8, 37= 0
Punkt in HNF:d = |6 · 2 + 3 · (â2) + 5 · 1 + 1
â8, 37|
d = | â 1, 43|d = 1, 43
Aufgabe (3)
Punkt: A(2/4/6)Ebene: 7x1 + 8x2 + 9x3 â 7 = 07 · 2 + 8 · 4 + 9 · 6 â 7 = 093 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNF7x1 + 8x2 + 9x3 â 7 = 0
nâ =
789
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
72 + 82 + 92
|ân| = 13, 9HNF:7x1 + 8x2 + 9x3 â 7
13, 9= 0
Punkt in HNF:d = |7 · 2 + 8 · 4 + 9 · 6 â 7
13, 9|
d = |6, 68|d = 6, 68
Aufgabe (4)
Punkt: A(1/2/0)Ebene: â 1x1 â 3x2 + 1x3 â 6 = 0â 1 · 1 â 3 · 2 + 1 · 0 â 6 = 0â 13 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 1x1 â 3x2 + 1x3 â 6 = 0
nâ =
â1â31
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â1)2 + (â3)2 + 12
|ân| = 3, 32HNF:â1x1 â 3x2 + 1x3 â 6
3, 32= 0
Punkt in HNF:d = |â1 · 1 â 3 · 2 + 1 · 0 â 6
3, 32|
d = | â 3, 92|d = 3, 92
Aufgabe (5)
Punkt: A(4/5/4)Ebene: 6x1 + 7x2 + 6x3 + 5 = 06 · 4 + 7 · 5 + 6 · 4 + 5 = 088 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNF6x1 + 7x2 + 6x3 + 5 = 0
nâ =
676
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
62 + 72 + 62
www.fersch.de 75
Punkt - Ebene (Koordinatenform) Lösungen
|ân| = 11HNF:6x1 + 7x2 + 6x3 + 5
â11= 0
Punkt in HNF:d = |6 · 4 + 7 · 5 + 6 · 4 + 5
â11|
d = | â 8|d = 8
Aufgabe (6)
Punkt: A(3/ â 2/2)Ebene: 1x1 â 1x2 + 2x3 + 1 = 01 · 3 â 1 · (â2) + 2 · 2 + 1 = 010 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNF1x1 â 1x2 + 2x3 + 1 = 0
nâ =
1â12
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
12 + (â1)2 + 22
|ân| = 2, 45HNF:1x1 â 1x2 + 2x3 + 1
â2, 45= 0
Punkt in HNF:d = |1 · 3 â 1 · (â2) + 2 · 2 + 1
â2, 45|
d = | â 4, 08|d = 4, 08
Aufgabe (7)
Punkt: A(1/3/ â 1)Ebene: 3x1 + 2x2 + 3x3 + 1 = 03 · 1 + 2 · 3 + 3 · (â1) + 1 = 07 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNF3x1 + 2x2 + 3x3 + 1 = 0
nâ =
323
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
32 + 22 + 32
|ân| = 4, 69HNF:
3x1 + 2x2 + 3x3 + 1â4, 69
= 0
Punkt in HNF:d = |3 · 1 + 2 · 3 + 3 · (â1) + 1
â4, 69|
d = | â 1, 49|d = 1, 49
Aufgabe (8)
Punkt: A(4/5/6)Ebene: 7x1 + 7x2 + 8x3 + 9 = 07 · 4 + 7 · 5 + 8 · 6 + 9 = 0120 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNF7x1 + 7x2 + 8x3 + 9 = 0
nâ =
778
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â
72 + 72 + 82
|ân| = 12, 7HNF:7x1 + 7x2 + 8x3 + 9
â12, 7= 0
Punkt in HNF:d = |7 · 4 + 7 · 5 + 8 · 6 + 9
â12, 7|
d = | â 9, 43|d = 9, 43
Aufgabe (9)
Punkt: A(1/2/3)Ebene: â 1x1 â 3x2 + 1x3 + 7 = 0â 1 · 1 â 3 · 2 + 1 · 3 + 7 = 03 = 0Punkt liegt nicht in der EbeneAbstand des Punktes von der EbeneKoordinatenform in Hessesche Normalenform HNFâ 1x1 â 3x2 + 1x3 + 7 = 0
nâ =
â1â31
LĂ€nge des Normalenvektors|ân| =
ân2
1 + n22 + n2
3
|ân| =â(â1)2 + (â3)2 + 12
|ân| = 3, 32HNF:â1x1 â 3x2 + 1x3 + 7
â3, 32= 0
Punkt in HNF:
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Punkt - Ebene (Koordinatenform) Lösungen
d = |â1 · 1 â 3 · 2 + 1 · 3 + 7â3, 32
|d = | â 0, 905|d = 0, 905
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Gerade - Ebene (Koordinatenform)
13 Gerade - Ebene (Koordinatenform)
b
E
g
Gerade schneidet Ebene
E
g
Gerade ist parallel zur Ebene
gE
Gerade liegt in der Ebene
Gerade: xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
Ebene: n1x1 + n2x2 + n3x3 + c1 = 0
Gerade1 in Punktdarstellungx1 = a1 + b1λ
x2 = a2 + b2λ
x3 = a3 + b3λ
x1, x2, x3 in die Ebenengleichung einsetzenn1(a1 + b1λ) + n2(a2 + b2λ) + n3(a3 + b3λ) + c1 = 0
Die Gleichung nach der Variablen auflösen.⹠Schnittpunkt zwischen Gerade und EbeneAuflösung nach einer Variablen ist möglich. Variablein die Gerade einsetzen⹠Geraden und Ebene sind parallelAuflösung nach der Variablen ist nicht möglich. λ
heben sich auf.Gleichung nach Umformung: Konstante = 0⹠Gerade liegt in der EbeneAuflösung nach der Variablen ist nicht möglich. λ
heben sich auf.Gleichung nach Umformung:0 = 0
Gerade: xâ =
357
+ λ
455
Ebene: 1x1 â 2x2 + 5x3 + 10 = 0
x1 = 3 +4λx2 = 5 +5λx3 = 7 +5λ
1(3 + 4λ)â 2(5 + 5λ) + 5(7 + 5λ) + 10 = 019λ + 38 = 0
λ = â3819
λ = â2
xâ =
357
â 2 ·
455
Schnittpunkt: S(â5,â5,â3)
13.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
Gerade 1: xâ =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
Ebene: n1x1 + n2x2 + n3x3 + c1 = 0
Gesucht:
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Gerade - Ebene (Koordinatenform) Aufgaben
Lage der Geraden zur Ebene.
(1) Gerade: xâ =
612
+ λ
168
Ebene: 7x1 + 1x2 + 4x3 + 8 = 0
(2) Gerade: xâ =
935
+ λ
524
Ebene: 1x1 + 9x2 + 3x3 + 8 = 0
keine Aufgaben
www.fersch.de 79
Gerade - Ebene (Koordinatenform) Lösungen
13.2 LösungenAufgabe (1)
Gerade: xâ =
612
+ λ
168
Ebene: 7x1 + 1x2 + 4x3 + 8 = 0
x1 = 6 +1λx2 = 1 +6λx3 = 2 +8λ
7(6 + 1λ) + 1(1 + 6λ) + 4(2 + 8λ) + 8 = 045λ + 59 = 0λ = â59
45λ = â1 14
45
xâ =
612
â 1 1445 ·
168
Schnittpunkt: S(4 31
45 ,â6 1315 ,â8 22
45 )
Aufgabe (2)
Gerade: xâ =
935
+ λ
524
Ebene: 1x1 + 9x2 + 3x3 + 8 = 0
x1 = 9 +5λx2 = 3 +2λx3 = 5 +4λ
1(9 + 5λ) + 9(3 + 2λ) + 3(5 + 4λ) + 8 = 035λ + 59 = 0λ = â59
35λ = â1 24
35
xâ =
935
â 1 2435 ·
524
Schnittpunkt: S( 4
7 ,â 1335 ,â1 26
35 )
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Ebene - Ebene
14 Ebene - Ebene
E1
E2
Ebenen sind parallel
E1 = E2
Ebenen sind identisch
gE1
E2
Ebenen schneiden sich
Parameterform - Koordinatenform
Parameterform - Ebene1
xâ =
a1
a2
a3
+ λ
b1
b2
b3
+ Ï
c1
c2
c3
Koordinatenform - Ebene2n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1 = 0
Ebene1 in Punktdarstellungx1 = a1 + b1λ + c1Ï
x2 = a2 + b2λ + c2Ï
x3 = a3 + b3λ + c2Ï
x1, x2, x3 in die Ebenengleichung einsetzenn1(a1 + b1λ + c1Ï)+
n2(a2 + b2λ + c2Ï)+
n3(a3 + b3λ + c2Ï) + k1 = 0
Die Gleichung nach einer Variablen auflösenâą Schnittgerade zwischen den EbenenAuflösung nach einer Variablen ist möglich. λ oder Ï
in die Parameterform einsetzen⹠Ebenen sind parallelAuflösung nach einer Variablen ist nicht möglich. λ
und Ï heben sich aufGleichung nach Umformung: Konstante = 0âą Ebenen sind identischAuflösung nach einer Variablen ist nicht möglich. λ
und Ï heben sich aufGleichung nach Umformung: 0 = 0
Ebene1: xâ =
232
+ λ
1â21
+ Ï
531
Ebene2: â 5x1 + 4x2 â 13x3 â 28 = 0
x1 = 2 +1λ +5Ïx2 = 3 â2λ +3Ïx3 = 2 +1λ +3Ï
â5(2 + 1λ + 5Ï) + 4(3 â 2λ + 3Ï)â 13(2 + 1λ + 1Ï)â 28 = 0â26λ â 26Ï â 52 = 0
λ = +26Ï+52â26
λ = â1Ï â 2
xâ =
232
+ λ ·
1â21
+ (â1λ â 2) ·
531
Schnittgerade: xâ =
â8â30
+ λ
â4â50
Parameterform - Parameterform
Eine Ebene in die Koordinatenform umrechnen
Koordinatenform - Koordinatenform
Eine Ebene in die Parameterform umrechnen
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Ebene - Ebene Aufgaben
14.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
Ebene1: xâ =
a1a2a3
+ λ
b1b2b3
+ Ï
c1c2c3
Ebene2: n1x1 + n2x2 + n3x3 + k1 = 0
Gesucht:Lage der Ebenen zueinander
(1) Ebene1: xâ =
195
+ λ
145
+ Ï
599
Ebene2: 4x1 + 3x2 + 4x3 + 1 = 0
(2) Ebene1: xâ =
449
+ λ
545
+ Ï
897
Ebene2: 2x1 + 3x2 + 7x3 + 7 = 0
(3) Ebene1: xâ =
360
+ λ
406
+ Ï
500
Ebene2: 5x1 + 0x2 + 6x3 + 5 = 0
(4) Ebene1: xâ =
232
+ λ
1â21
+ Ï
531
Ebene2: 5x1 â 4x2 â 13x3 + 28 = 0
(5) Ebene1: xâ =
232
+ λ
1â21
+ Ï
531
Ebene2: â 5x1 + 4x2 â 13x3 â 28 = 0
(6) Ebene1: xâ =
232
+ λ
1â21
+ Ï
531
Ebene2: â 5x1 + 4x2 â 13x3 â 28 = 0
(7) Ebene1: xâ =
143
+ λ
041
+ Ï
â20â 1
2
Ebene2: 1x1 + 1x2 â 4x3 + 4 = 0
(8) Ebene1: xâ =
143
+ λ
041
+ Ï
â20â 1
2
Ebene2: 1x1 + 1x2 â 4x3 + 7 = 0
(9) Ebene1: xâ =
â2â42
+ λ
122
+ Ï
0â1â2
Ebene2: 1x1 + 1x2 + 0x3 + 0 = 0
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Ebene - Ebene Lösungen
14.2 LösungenAufgabe (1)
Gerade: xâ =
195
+ λ
145
+ Ï
599
Ebene: 4x1 + 3x2 + 4x3 + 1 = 0
x1 = 1 +1λ +5Ïx2 = 9 +4λ +9Ïx3 = 5 +5λ +9Ï
4(1 + 1λ + 5Ï) + 3(9 + 4λ + 9Ï) + 4(5 + 5λ + 9Ï) + 1 = 036λ + 83Ï + 52 = 0
Ï = â36λâ5283
Ï = â 3683 λ â 52
83
xâ =
195
+ λ ·
145
+ (â 3683 λ â 52
83 ) ·
599
Schnittgerade: xâ =
â2 1183
3 3083
â 5383
+ λ
â1 1483
883
1 883
Aufgabe (2)
Gerade: xâ =
449
+ λ
545
+ Ï
897
Ebene: 2x1 + 3x2 + 7x3 + 7 = 0
x1 = 4 +5λ +8Ïx2 = 4 +4λ +9Ïx3 = 9 +5λ +9Ï
2(4 + 5λ + 8Ï) + 3(4 + 4λ + 9Ï) + 7(9 + 5λ + 7Ï) + 7 = 057λ + 92Ï + 90 = 0
Ï = â57λâ9092
Ï = â 5792 λ â 45
46
xâ =
449
+ λ ·
545
+ (â 5792 λ â 45
46 ) ·
897
Schnittgerade: xâ =
â3 1923
â4 3746
2 746
+ λ
123
â1 5392
6192
Aufgabe (3)
Gerade: xâ =
360
+ λ
406
+ Ï
500
Ebene: 5x1 + 0x2 + 6x3 + 5 = 0
x1 = 3 +4λ +5Ïx2 = 6 +0λ +0Ïx3 = 0 +6λ +0Ï
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Ebene - Ebene Lösungen
5(3 + 4λ + 5Ï) + 0(6 + 0λ + 0Ï) + 6(0 + 6λ + 0Ï) + 5 = 056λ + 25Ï + 20 = 0
Ï = â56λâ2025
Ï = â2 625 λ â 4
5
xâ =
360
+ λ ·
406
+ (â2 625 λ â 4
5 ) ·
500
Schnittgerade: xâ =
â160
+ λ
â7 15
06
Aufgabe (4)
Gerade: xâ =
232
+ λ
1â21
+ Ï
531
Ebene: 5x1 â 4x2 â 13x3 + 28 = 0
x1 = 2 +1λ +5Ïx2 = 3 â2λ +3Ïx3 = 2 +1λ +3Ï
5(2 + 1λ + 5Ï)â 4(3 â 2λ + 3Ï)â 13(2 + 1λ + 1Ï) + 28 = 00λ + 0Ï + 0 = 0
0 = 0
Ebenen sind identisch
Aufgabe (5)
Gerade: xâ =
232
+ λ
1â21
+ Ï
531
Ebene: â 5x1 + 4x2 â 13x3 â 28 = 0
x1 = 2 +1λ +5Ïx2 = 3 â2λ +3Ïx3 = 2 +1λ +3Ïâ 5(2 + 1λ + 5Ï) + 4(3 â 2λ + 3Ï)â 13(2 + 1λ + 1Ï)â 28 = 0â 26λ â 26Ï â 52 = 0
Ï = +26λ+52â26
Ï = â1λ â 2
xâ =
232
+ λ ·
1â21
+ (â1λ â 2) ·
531
Schnittgerade: xâ =
â8â30
+ λ
â4â50
Aufgabe (6)
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Ebene - Ebene Lösungen
Gerade: xâ =
232
+ λ
1â21
+ Ï
531
Ebene: â 5x1 + 4x2 â 13x3 â 28 = 0
x1 = 2 +1λ +5Ïx2 = 3 â2λ +3Ïx3 = 2 +1λ +3Ïâ 5(2 + 1λ + 5Ï) + 4(3 â 2λ + 3Ï)â 13(2 + 1λ + 1Ï)â 28 = 0â 26λ â 26Ï â 52 = 0
Ï = +26λ+52â26
Ï = â1λ â 2
xâ =
232
+ λ ·
1â21
+ (â1λ â 2) ·
531
Schnittgerade: xâ =
â8â30
+ λ
â4â50
Aufgabe (7)
Gerade: xâ =
143
+ λ
041
+ Ï
â20â 1
2
Ebene: 1x1 + 1x2 â 4x3 + 4 = 0
x1 = 1 +0λ â2Ïx2 = 4 +4λ +0Ïx3 = 3 +1λ +0Ï
1(1 + 0λ â 2Ï) + 1(4 + 4λ + 0Ï)â 4(3 + 1λ â 12 Ï) + 4 = 0
0λ + 0Ï â 3 = 0
â 3 = 0
Ebenen sind parallel
Aufgabe (8)
Gerade: xâ =
143
+ λ
041
+ Ï
â20â 1
2
Ebene: 1x1 + 1x2 â 4x3 + 7 = 0
x1 = 1 +0λ â2Ïx2 = 4 +4λ +0Ïx3 = 3 +1λ +0Ï
1(1 + 0λ â 2Ï) + 1(4 + 4λ + 0Ï)â 4(3 + 1λ â 12 Ï) + 7 = 0
0λ + 0Ï + 0 = 0
0 = 0
Ebenen sind identisch
Aufgabe (9)
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Ebene - Ebene Lösungen
Gerade: xâ =
â2â42
+ λ
122
+ Ï
0â1â2
Ebene: 1x1 + 1x2 + 0x3 + 0 = 0
x1 = â2 +1λ +0Ïx2 = â4 +2λ â1Ïx3 = 2 +2λ â1Ï
1(â2 + 1λ + 0Ï) + 1(â4 + 2λ â 1Ï) + 0(2 + 2λ â 2Ï) + 0 = 03λ â 1Ï â 6 = 0
Ï = â3λ+6â1
Ï = 3λ â 6
xâ =
â2â42
+ λ ·
122
+ (3λ â 6) ·
0â1â2
Schnittgerade: xâ =
â2214
+ λ
1â1â4
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