Annette Eicker APMG 1
1
11.04.23
Annette Eicker01.12.2011
Energieerhaltung
Annette Eicker APMG 1
2
11.04.23
GRACE
Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen
Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen
Welche Düse muss zum Überholen gezündet werden?
imaginäre Steuerdüsen (Rückstoß)
3
4
12
5
Annette Eicker APMG 1
3
Wiederholung: Umrechnungen
11.04.23
KeplerelementeKeplerelemente
a e
i
Orts- und Geschwindigkeitsvektor
Orts- und Geschwindigkeitsvektor
r r
Annette Eicker APMG 1
4
11.04.23
Wiederholung: Position und Geschwindigkeit
Exzentrische AnomalieExzentrische AnomalieMEeE sin
Wahre AnomalieWahre Anomalie
Ee
Ee
Ee
eE
cos1
sin1sin
cos1
coscos
2
Position und GeschwindigkeitPosition und Geschwindigkeit
QPr sincos rr
QPr )(cossin ep
GM
p
GM
AbstandAbstand
cos1 e
pr
KeplerelementeKeplerelemente a e i
Mittlere AnomalieMittlere Anomalie
ta
GMM 3
)1( 2eap
BahnsystemBahnsystem
i
i
i
sinsin
cossincoscossin
cossinsincoscos
P
i
i
i
sincos
coscoscossinsin
coscossinsincos
Q
Annette Eicker APMG 1
5
Wiederholung: Umrechnungen
11.04.23
KeplerelementeKeplerelemente
a e
i
Orts- und Geschwindigkeitsvektor
Orts- und Geschwindigkeitsvektor
r r
Annette Eicker APMG 1
6
11.04.23
Wiederholung: Keplerelemente
Gegeben: zum Zeitpunkt tGegeben: zum Zeitpunkt t
GM
Cp
2
rr ,
Große HalbachseGroße Halbachse122
GMr
ar
ExzentrizitätExzentrizität
a
pae
i
i
i
cos
sincos
sinsin
0CCrr
,i
Wahre AnomalieWahre Anomalie
er
rp cos
GMre
C rr sin
Exzentrische AnomalieExzentrische Anomalie
ea
rE cos
cos
21
sinsin
ea
rE
PerigäumsdurchgangszeitPerigäumsdurchgangszeit
GM
aMt
3
Mittlere AnomalieMittlere Anomalie
EeEM sin
BahnsystemBahnsystem
r
r
Q
P
C
r
p
C
r
p
e
cossin
sincos
Arg. des PerigäumsArg. des Perigäums
QK
PK
sin
cos
KnotenlinieKnotenlinieyx eeK sincos
Annette Eicker APMG 1
7
11.04.23
EnergieerhaltungEnergieerhaltung
Annette Eicker APMG 1
8
11.04.23
1. Es existiert eine Potentialfunktion1. Es existiert eine Potentialfunktion
Wiederholung: Konservatives Kraftfeld
Ein Kraftfeld
ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten:
Ein Kraftfeld
ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten:
rrK Vm
rK
3. Das Feld ist wirbelfrei3. Das Feld ist wirbelfrei
0rK
2. Das Schleifenintegral verschwindet
Die Arbeit ist wegunabhängig:
2. Das Schleifenintegral verschwindet
Die Arbeit ist wegunabhängig:
0 rrK d
)()( AE mVmVdE
A
rrrrKr
r
Die Bedingungen sind gleichwertig:
=> Aus einer Bed. folgen die anderen
Die Bedingungen sind gleichwertig:
=> Aus einer Bed. folgen die anderen
Annette Eicker APMG 1
9
Wiederholung: Potential
11.04.23
Potential Höhe
Feldstärke Steigung
rrK Vm
große Höhe, kaum Steigung
große Höhe, kaum Steigung
schnelle Höhenänderung, starke Steigung
schnelle Höhenänderung, starke Steigung
kleine Höhe, kaum Steigung
kleine Höhe, kaum Steigung
Annette Eicker APMG 1
10
11.04.23
Wiederholung: Energieerhaltung
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
Kr m m r r K r 2
2
d m
dt r K r
T (Kinetische Energie)
2 2
1 1
t t
t t
dTdt dt
dt K r
2
1
2 1( ) ( ) ( )T t T t d r
r
K r r
d dtr r
(nur vom Ort abh.)
(entlang der Bahn)2 1( ) ( )mV mV r r
ArbeitArbeit 2
1
1 2( , , ) ( )A C dr
r
r r K r r
(längs der Kurve C) 2 1( ) ( )mV mV r r
Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld( )K r
Annette Eicker APMG 1
11
11.04.23
Energieerhaltung
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
Kr m m r r K r 2
2
d m
dt r K r
T (Kinetische Energie)
2 2
1 1
t t
t t
dTdt dt
dt K r
2
1
2 1( ) ( ) ( )T t T t d r
r
K r r
d dtr r
(nur vom Ort abh.)
(entlang der Bahn)2 1( ) ( )mV mV r r
ArbeitArbeit 2
1
1 2( , , ) ( )A C dr
r
r r K r r
(längs der Kurve C) 2 1( ) ( )mV mV r r
2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )T t T t mV mV r r
2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r r
Annette Eicker APMG 1
12
11.04.23
2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r rˆ( ) ( )V mVr r
Potentielle Energie Potential
potentielle Energie
ˆE T V
Gesamtenergie2 2 1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )T t V T t V r r
1 2( ) ( ) .E t E t const
Die Gesamtenergie der Teilchen ist bei Einwirkung konservativer Kräfte zeitlich konstant
Annette Eicker APMG 1
13
11.04.23
Energie bei der Keplerbahn
BewegungsgleichungBewegungsgleichung mit der Gravitationskraftmit der Gravitationskraft
rK 3r
GMmKr m
Aus einer Potentialfunktion
mit
Aus einer Potentialfunktion
mit
r
GMV
VmK
Gravitations-potential
nächste Folie
Annette Eicker APMG 1
14
11.04.23
GMrxGM
GM rVr y
GMrz
2 2 2
GM GM
x r x x y z
32 2 2 2 2 22
2
GM GMx
x x y z x y z
32 2 2
32 2 2
32 2 2
GMx
x y z
GMV y
x y z
GMz
x y z
3
GMV
r r
Annette Eicker APMG 1
15
11.04.23
Energie bei der Keplerbahn
Die Bahnenergie bleibt erhaltenDie Bahnenergie bleibt erhalten
21
2mr
BewegungsgleichungBewegungsgleichung mit der Gravitationskraftmit der Gravitationskraft
rK 3r
GMm
Aus einer Potentialfunktion
mit
Aus einer Potentialfunktion
mit
r
GMV
VmKKr m
arGM
122r
Die Gesamtenergie hängt nur von der großen Halbachse ab
Die Gesamtenergie hängt nur von der großen Halbachse ab
a
GMmE2
EnergieerhaltungEnergieerhaltung
constEVT ~Potentielle EnergiePotentielle Energie
r
GMmmVV ~
GMm
r E const
Annette Eicker APMG 1
16
11.04.23
Anwendung:Fluchtgeschwindigkeit
Anwendung:Fluchtgeschwindigkeit
Annette Eicker APMG 1
17
11.04.23
Fluchtgeschwindigkeit
BahnenergieBahnenergie
a
GMm
r
GMmm
22
1 2 r
Einflussbereich der Erde verlassenEinflussbereich der Erde verlassena
Daraus folgt für die BahnenergieDaraus folgt für die Bahnenergie
02
1 2 r
GMr
FluchtgeschwindigkeitFluchtgeschwindigkeit
r
GM2r
Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche (R=6378km)
Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche (R=6378km)
11.200 / 40.320 / 11.2 /m s km h km s r
(2. kosmische Geschwindigkgeit)
Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem von der Erdoberfläche aus
Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem von der Erdoberfläche aus
42.1 /km sr
(3. kosmische Geschwindigkgeit)
1. kosmische Geschwindigkgeit
2. kosmische Geschwindigkgeit
Annette Eicker APMG 1
18
11.04.23
Anwendung:Veränderung der Bahn von Satelliten
Anwendung:Veränderung der Bahn von Satelliten
Annette Eicker APMG 1
19
11.04.23
GRACE
Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen
Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen
Welche Düse muss zum Überholen gezündet werden?
imaginäre Steuerdüsen (Rückstoß)
3
4
12
5
Annette Eicker APMG 1
20
11.04.23
BahnenergieBahnenergie
Satellitenparadoxon
Änderung der GeschwindigkeitÄnderung der Geschwindigkeit
a
GMm
r
GMmmE
22
1 2 r
Satellitenparadoxon:
Eine Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu einer größeren Umlaufzeit.
Satellitenparadoxon:
Eine Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu einer größeren Umlaufzeit.
21
2 2
GM GMm m m
r a r
Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu Vergrößerung der Halbachse.
Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu Vergrößerung der Halbachse.
UmlaufzeitUmlaufzeit
GM
aT
3
2 (3. Keplersches Gesetz)
Annette Eicker APMG 1
21
11.04.23
Anwendung:Gravitationsfeldbestimmung
Anwendung:Gravitationsfeldbestimmung
Annette Eicker APMG 1
22
11.04.23
CHAMP
Launch:
• 15 Juli 2000 von Plesetsk, Russland
Orbit:
• Kreisbahn
• Inklination: 87°
• Höhe: 450 km
Aktueller Status:
• Zeit: >3000 Tage
• Umläufe: ca. 47.300
Launch:
• 15 Juli 2000 von Plesetsk, Russland
Orbit:
• Kreisbahn
• Inklination: 87°
• Höhe: 450 km
Aktueller Status:
• Zeit: >3000 Tage
• Umläufe: ca. 47.300
Annette Eicker APMG 1
23
11.04.23
Bahnbestimmung
GPS-AntenneGPS-Antenne
Annette Eicker APMG 1
24
11.04.23
Bahnenergie CHAMP
Stunden
m²/s²
r
GMmE 2
2
1/ rVerlauf der Bahnenergie
Annette Eicker APMG 1
25
11.04.23
CHAMP
Energieverlust durch AtmossphärenreibungEnergieverlust durch Atmossphärenreibung
Annette Eicker APMG 1
26
Energieverlust durch AtmossphärenreibungEnergieverlust durch Atmossphärenreibung
CHAMP
11.04.23
Annette Eicker APMG 1
27
Energieverlust durch AtmossphärenreibungEnergieverlust durch Atmossphärenreibung
CHAMP
11.04.23
Beschleunigungsmesser (Akzelerometer)Beschleunigungsmesser (Akzelerometer)
Annette Eicker APMG 1
28
11.04.23
Bahnenergie CHAMP
m²/s²
r
GMmE 2
2
1/ rVerlauf der Bahnenergie
Stunden
Die abgeplattete ErdeDie abgeplattete Erde
Annette Eicker APMG 1
29
11.04.23
Bahnenergie CHAMP
m²/s²
r
GMmE 2
2
1/ rVerlauf der Bahnenergie
Stunden
Annette Eicker APMG 1
30
11.04.23
Bahnenergie CHAMP
m²/s²
r
GMmE 2
2
1/ rVerlauf der Bahnenergie
reduziert um Trendund periodischen Anteil (2 Zyklen pro Umlauf)
Stunden
Annette Eicker APMG 1
31
11.04.23
Energie
Annette Eicker APMG 1
32
11.04.23
Gravitationspotential
Annette Eicker APMG 1
33
11.04.23
Erinnerung: Feldstärke aus Dichteverteilung
3
P QP Q
P Q
Gm
r rg r
r r
Feldstärke (Punktmasse):
)()(3 QQ
QP
QPP dG rr
rr
rrrg
Feldstärke (aus Dichteverteilung):
)()(3 QQP dl
G rrl
rg
oder
mit
3 3
P Q
P Ql
r r l
r r
Annette Eicker APMG 1
34
11.04.23
Potential aus Dichteverteilung
3
P QP Q
P Q
Gm
r rg r
r r
Feldstärke (Punktmasse):
)()(3 QQ
QP
QPP dG rr
rr
rrrg
Feldstärke (aus Dichteverteilung):
)()(3 QQP dl
G rrl
rg
oder
mit
3 3
P Q
P Ql
r r l
r r
3
GM
rg r
r
GMV
Feldstärke Potential(Erde als Punktmasse)
Feldstärke Potential
1( ) ( )P Q QV G d
l
r r r
Potential (aus Dichteverteilung):
Annette Eicker APMG 1
35
11.04.23
Potential aus Dichteverteilung?
Annette Eicker APMG 1
36
11.04.23
Gravitationspotential
Annette Eicker APMG 1
37
11.04.23
Gravitationspotential
BahnenergieBahnenergie
EmVT
Kraftfeld ist nur konservativ, wenn essich zeitlich nicht ändert
=> Transformation in ein (mitrotierendes) erdfestes System
Kraftfeld ist nur konservativ, wenn essich zeitlich nicht ändert
=> Transformation in ein (mitrotierendes) erdfestes System