Download pdf - Bildbasierte Algorithmen zur Metall-Artefakt Reduktion in ... Dreier.pdf · Bildbasierte Algorithmen zur Metall-Artefakt Reduktion in der Computertomographie Bachelorarbeit zur Erlangung

Bildbasierte Algorithmen zur

Metall-Artefakt Reduktion in

der Computertomographie

Bachelorarbeitzur Erlangung des akademischen Grades

Bachelor of Science

Westfalische Wilhelms-Universitat Munster

Fachbereich Mathematik und Informatik

Institut fur Numerische und Angewandte Mathematik

Betreuung:

Dr. Frank Wubbeling

Prof. Dr. Martin Burger

Eingereicht von:

Nils-Arne DreierEmail: [email protected]

Munster, September 2014

i

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Arte-

fakte 3

2.1 Aufbau und Funktionsweise eines Computertomographen . . . . . . . . 3

2.2 Das Problem der Metall-Artefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruk-

tion 8

3.1 Radon-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Modellierung und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Gefilterte Ruckprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Algebraic-Reconstruction-Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Regularisierungsmethoden 16

4.1 Tikhonov-Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Total-Variation-Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduk-

tion 35

5.1 Lineare Interpolation und gefilterte Ruckprojektion . . . . . . . . . . . 35

5.2 Algebraic-Reconstruction-Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


5.4 Total-Variation-Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Vergleich der Methoden 40

7 Fazit und Ausblick 56

Abbildungsverzeichnis 58

Tabellenverzeichnis 59

Literaturverzeichnis 60

1

1 Einleitung

Die Computertomographie ermoglicht es, Schnittbilder eines menschlichen Korpers zu

erstellen und auf diese Weise Tumore, Knochen, Gewebe oder Blutgefaße sichtbar zu

machen sowie dessen Position und Form zu erkennen. Neben der Medizin gibt es zahl-

reiche weitere Einsatzgebiete der Computertomographie, wie etwa die Untersuchung

von Baumen oder der industriellen Materialuberprufung. Die Mathematik spielt bei

der Erstellung des Bildes eine wesentliche Rolle. Es gibt Situationen, in denen das re-

sultierende Bild Artefakte aufweist, das heißt, dass es im Bild Bereiche gibt, die gestort

sind - also nicht der Wahrheit entsprechen. Es besteht die Gefahr, dass aus dem Bild

keine, beziehungsweise eine falsche medizinische Diagnose gestellt wird.

Grunde dafur konnen Metallobjekte, wie etwa Zahnimplantate, Herzschrittmacher,

Prothesen oder Schrauben sein, die sich im Bildbereich befinden. Rontgenstrahlung

wird von Metall weitaus starker abgeschwacht als von Gewebe oder Knochen, sodass

die Intensitat der Rontgenstrahlen nach dem Durchdringen des Objekts so klein ist,

dass eine prazise Messung nicht mehr moglich ist.

Ziel dieser Arbeit ist es, verschiedene bildbasierte Methoden zur Rekonstruktion von

Daten eines Computertomographen zu erarbeiten und diese so zu verandern, dass

Metall-Artefakte reduziert werden.”Bildbasiert“ heißt dabei, dass die Reduktion der

Metall-Artefakte wahrend der Rekonstruktion auf Grundlage des Bildes geschieht. Im

Gegensatz dazu gibt es datenbasierte Algorithmen, welche die gemessenen Daten auf-

bereiten, um die Artefakte zu reduzieren.

Ein aktuelles Thema in der mathematischen Bildbearbeitung ist die Methode der Total-

Variation. Diese lasst sich dazu verwenden, Metall-Artefakte zu reduzieren, wie bei-

spielsweise von Schiffer und Bredies [SB14] aufgezeigt wird. Ein großer Teil dieser Ar-

beit wird sich damit beschaftigen, diese Methode zu untersuchen und auf das Problem

der Metall-Artefakt Reduktion anzuwenden.

Im Rahmen dieser Arbeit werden wir in Kapitel 2 die Grundlagen der Computerto-

mographie untersuchen und uns die Eigenarten der Metall-Artefakte genauer ansehen.

1 Einleitung 2

Im Anschluss daran beschaftigen wir uns mit der mathematischen Modellierung sowie

mit zwei klassischen Rekonstruktionsverfahren. Im vierten Kapitel werden wir uns wei-

tere Rekonstruktionsverfahren erarbeiten, welche das resultierende Bild glatten. Wir

erhoffen uns hiervon, die Metall-Artefakte reduzieren zu konnen. Das anschließende

Kapitel 5 untersucht, inwiefern sich die Verfahren auf das Problem der Metall-Artefakt

Reduktion anpassen lassen. Abschließend wollen wir in Kapitel 6 einen Vergleich der

Methoden aufstellen. Dabei erzeugen wir kunstlich Daten von relevanten Situationen

und vergleichen die Ergebnisse der Verfahren. Am Ende der Arbeit steht ein Fazit, wel-

ches auf die Ergebnisse des Vergleichs eingeht und die Vor- und Nachteile der Methoden

herausstellt.

3

2 Grundlagen der

Computertomographie und das

Problem der Metall-Artefakte

In diesem einfuhrenden Kapitel soll die Funktionsweise eines Computertomographen

bundig erklart und das Problem der Metall-Artefakte dargelegt werden. Außerdem wer-

den erste Modellannahmen getroffen, bevor wir im nachsten Kapitel das mathematische

Modell entwickeln.

2.1 Aufbau und Funktionsweise eines

Computertomographen

Ein Computertomograph dient der Aufnahme von Schnittbildern eines Objekts. Dazu

wird die Abschwachung von Rontgenstrahlen gemessen, die das Objekt durchleuch-

ten. Aus den gemessenen Daten kann mit einem Computer schließlich ein Schnittbild

errechnet werden. Ublicherweise werden mehrere Schnittbilder aufgenommen und zu

einem dreidimensionalen Bild zusammengesetzt. Im Gegensatz zu einer Rontgenauf-

nahme, sind die Bilder eines Computertomographen uberlagerungsfrei, das heißt, dass

sich Bereiche im Objekt auf dem Bild nicht uberlagern.

Ein Computertomograph besteht aus einer Rontgenquelle und einem Rontgendetektor,

welche sich gegenuberliegend um das zu durchleuchtende Objekt drehen. Dabei wer-

den Projektionen des Objekts erstellt, indem der Rontgendetektor die Intensitat der

Rontgenstrahlen misst, welche das Objekt durchdringen. Es gibt verschiedene Vor-

gehensweisen, die Projektionen zu erstellen – in dieser Arbeit mochten wir nur die

Parallelstrahlgeometrie (Parallel-Scanning) untersuchen. Bei anderen Geometrien sind

die Methoden ebenfalls anwendbar und wir wurden ahnliche Ergebnisse erwarten. Bei

der Parallelstrahlgeometrie verlaufen die Rontgenstrahlen, aus denen die Projektionen

2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Artefakte 4

erstellt werden, parallel zueinander. Dies entspricht einer unendlich weit entfernten

Rontgenquelle, oder die Rontgenquelle und der Detektor mussten transversal in jedem

Winkelschritt verschoben werden. Dieses Vorgehen wurde bei den ersten Computerto-

mographen so praktiziert. Heutzutage wird mit mehreren Detektoren gearbeitet, welche

die Strahlung von einer Rontgenquelle messen, das heißt, dass die Strahlen facherformig

verlaufen.

Die gemessenen Daten konnen in einem sogenannten Sinogramm dargestellt werden:

Auf der X-Achse werden die Winkel und auf der Y-Achse der Radialabstand des ge-

messenen Rontgenstrahls aufgetragen (vgl. Abbildung 2.1).

(a) Shepp-Logan Phantom (b) Sinogramm des Shepp-Logan Phantoms

Abbildung 2.1: Shepp-Logan Phantom und dessen Sinogramm

Die Abschwachung von Rontgenstrahlen durch eine Substanz mit dem Abschwachungs-

koeffizienten µ wird beschrieben durch

I(s) = I(0) exp

− s∫0

µ(η) dη

. (2.1)

Dabei beschreibt I(0) die Anfangsintensitat und I(s) die am Detektor gemessene In-

tensitat. Das Ziel der Computertomographie ist es, den Abschwachungskoeffizienten

µ als Bild darzustellen. Diese Problemstellung wird auch als Inverses Problem be-

zeichnet. Es soll also von einer Wirkung (Abschwachung der Rontgenstrahlen bei dem

Durchleuchten des Objekts) auf eine Ursache (Absorptionskoeffizienten innerhalb des

Objekts) geschlossen werden. Fur die Berechnung wird hingegen das Integral uber die


Absorptionskoeffizienten verwendet, welches durch Umstellen der Gleichung (2.1) aus

den gemessenen Daten errechnet werden kann.

s∫0

µ(η) dη = − ln(I(s)

I(0))

Dies ermoglicht uns die Modellierung mithilfe der Radon-Transformation (vgl. Kapitel

3).

2.2 Das Problem der Metall-Artefakte

Als Artefakt bezeichnet man einen Fehler im rekonstruierten Bild. Artefakte konnen zur

Folge haben, dass das Bild seine Aussagekraft verliert oder im medizinischen Bereich

falsche Diagnosen gestellt werden. Neben Metall-Artefakten gibt es viele weitere Arten

von Artefakten. Metall-Artefakte kennzeichnen sich durch helle und dunkle Streifen,

die vom Metallobjekt ausgehen, aus (vgl. Abbildung 2.2).

Metallobjekte, wie beispielsweise Zahnimplantate, Schrauben oder Herzschrittmacher,

haben einen deutlich hoheren Abschwachungskoeffizienten als ihn etwa Wasser, Kno-

chen oder Gewebe besitzen. Daher kann es ab einer bestimmten Metalldicke zu einer

sogenannten Totalabsorption kommen. Das heißt, dass die Strahlungsintensitat, die am

Detektor gemessen wird, unterhalb der Rauschschwelle liegt. Unter Betrachtung von

Gleichung (2.1) bedeutet das

I(0) exp

− s∫0

µ(η) dη

= 0

⇒s∫

0

µ(η) dη =∞.

Aus den Daten kann also nur die Information geschlossen werden, dass auf der Gera-

den ein Material mit sehr hohem Absorptionskoeffizienten liegt. Die Daten enthalten

aber keine Information uber die Absorptionskoeffizienten der Materialien, die vor so-

wie hinter dem Metallobjekt liegen. Insbesondere werden die Daten inkonsistent ge-

genuber Daten aus anderen Projektionen – dies stellt die Hauptursache fur Metall-

Artefakte dar. Andere Grunde fur die Artefakte sind Compton-Streuung, Rauschen


oder Detektor-Unterabtastung und auch Bewegungen des Objekts wahrend der Auf-

nahme wirken sich starker aus, wenn Metall anwesend ist (vgl. [DMND+98]). Fur die

Rekonstruktion bedeutet das, dass die Methode diese Daten anders behandeln muss.

Die Standardmethode, die gefilterte Ruckprojektion, kann das nicht ohne Weiteres. Da-

her versucht man stattdessen die Daten, die durch das Metall verloren gegangen sind,

durch moglichst passende Daten zu ersetzen, um die Methode trotzdem anwenden zu

konnen. Dies geschieht etwa durch Interpolation der gestorten Daten in den einzel-

nen Projektionen oder durch Inpainting im Sinogramm. Solche Methoden nennen wir

datenbasiert. In Abschnitt 5.1 werden wir den einfachsten Fall, den der linearen In-

terpolation der Projektionen, ansehen und in Kapitel 6 mit den anderen bildbasierten

Methoden vergleichen.


(a) Als Vergleich: Rekonstruktion vonungestorten Daten mit gefilterterRuckprojektion.

(b) Rekonstruktion von gestorten Daten mitgefilterter Ruckprojektion.

(c) Rekonstruktion mittels gefilterterRuckprojektion von gestorten Daten,die mit linearer Interpolation aufbereitetwurden.

(d) Rekonstruktion durch ein iteratives Ver-fahren, welches die gestorten Daten igno-riert.

Abbildung 2.2: Metall-Artefakte im Shepp-Logan Phantom. 180 Projektionen.

8

3 Mathematische Modellierung und

klassische Algorithmen zur

Rekonstruktion

3.1 Radon-Transformation

In diesem Abschnitt mochten wir uns kurz mit der Radon-Transformation beschaftigen.

Sie ermoglicht uns die mathematische Modellierung der Computertomographie. Wir

orientieren uns dabei an dem Buch von Natterer und Wubbeling [NW01, Kapitel 2.1]

sowie an dem Skript der Vorlesung uber Inverse Probleme von Wubbeling und Pietsch-

mann [PW12].

Einsteigen wollen wir mit der Definition eines Funktionen-Raumes, welche wir fur die

Definition der Radon-Transformation benotigen.

Definition 3.1.1 (Schwartzraum). Es sei Ω ⊂ Rd. Eine Funktion f ∈ C∞0 (Ω) heißt

Schwartzfunktion, falls gilt

supx∈Ω

∣∣∣∣xl · ∂k

∂xkf(x)

∣∣∣∣ <∞ ∀k, l ∈ N0.

Der Raum aller Schwartzfunktionen auf Ω heißt Schwartzraum und wird mit S(Ω)bezeichnet.

Definition 3.1.2 (Radon-Transformation). Sei C := S1×R der unendlich lange Ein-

heitszylinder im R3 und f ∈ S(R2) eine Schwartzfunktion auf R2. Dann ist die Radon-

Transformation Rf ∈ S(C) definiert durch

Rf(θ, s) :=∫

x·θ=s

f(x) dσ(x). (3.1)

Bemerkung 3.1.3.

• R ist linear.

3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 9

• Die Daten eines Computertomographen entsprechen einer Funktion g ∈ S(C).

Fur das zu errechnende Bild f ∈ S(R2) gilt also Rf = g.

• Das dσ(x) in der Definition soll andeuten, dass wir das Linienintegral meinen.

Wir werden das σ aber auch weglassen.

Als Nachstes wollen wir die L2-Adjungierte der Radon-Transformation einfuhren, wel-

che spater fur einige iterative Verfahren benotigt wird.

Lemma 3.1.4 (Die L2-Adjungierte der Radon-Transformation). Die ungefilterte Ruck-

projektion R∗ : S(C)→ S(R2)

R∗g(x) :=

∫S1

g(θ, x · θ)dθ (3.2)

ist L2-adjungiert zu der Radon-Transformation.

Beweis.

(Rf, g)L2(C) =

∫S1

∫R

Rf(θ, s)g(θ, s) ds dθ

=

∫S1

∫R

∫x·θ=s

f(x) dx g(θ, s) ds dθ

=

∫S1

∫R2

f(x) g(θ, x · θ) dx dθ

=

∫R2

f(x)

∫S1

g(θ, x · θ) dθ dx

=

∫R2

f(x)R∗g dx = (f,R∗g)L2(R2)

Der Name”Ruckprojektion“ lasst schon ahnen, was der Operator macht: Er weist jedem

Punkt die Projektionswerte zu, die durch ihn entstanden sind und integriert diese auf.

Das Adjektiv”ungefiltert“ wird verwendet, um es von der gefilterten Ruckprojektion,

welcher wir uns im Abschnitt 3.3 zuwenden wollen, abzugrenzen. Wenn klar ist, von

welcher Ruckprojektion die Rede ist, werden wir auch nur”Ruckprojektion“ sagen.


An dieser Stelle wollen wir noch das Fourier-Slice-Theorem, welches eine Grundlage

fur die gefilterte Ruckprojektion bildet, anfuhren. Dafur wollen wir zunachst festlegen

was wir unter der Fourier-Transformation verstehen.

Definition 3.1.5 (Fourier-Transformation). Fur eine Funktion f ∈ S(Rn) definieren

wir die Fourier-Transformation f ∈ S(Rn) von f durch

f(ξ) := (2π)−n2

∫Rn

f(x)e−iξ·x dx.

Analog dazu definieren wir die inverse Fourier-Transformation f ∈ S(Rn) von f durch

f(x) := (2π)−n2

∫Rn

f(ξ)eiξ·x dξ.

Satz 3.1.6 (Fourier-Slice-Theorem (vgl. [NW01, Theorem 2.1])). Sei f ∈ S(R2), θ ∈S1 und σ ∈ R. Dann gilt

(Rf)(θ, σ) =√2πf(σθ).

Auf der linken Seite ist dabei a priori nicht klar, wie die Fourier-Transformation einer

Funktion auf C zu verstehen ist. Wir wollen vereinbaren, dass wir in so einem Fall die

Fourier-Transformation nur in der zweiten Variable anwenden, also Rf(θ, ·)(σ).

Beweis.

Rf(θ, σ) = 1√2π

∫R

Rf(θ, s)e−isσ ds

=1√2π

∫R

∫x·θ=s

f(x) dx e−isσ ds

=1√2π

∫R2

f(x)e−i(x·θ)σ dx

=√2πf(σθ).

Mit der Invertierbarkeit der Fourier-Transformation folgt aus diesem Satz insbesondere

die Invertierbarkeit der Radon-Transformation.


3.2 Modellierung und Diskretisierung

Nachdem wir im vorherigen Abschnitt einige mathematische Grundlagen erarbeitet

haben, wollen wir in diesem Abschnitt darlegen, wie wir diese nutzen konnen. Dazu

wollen wir zunachst zwischen zwei Bildmodellen unterscheiden:

Im kontinuierlichen Bildmodell wird ein Bild durch eine Funktion f ∈ S(Ω) auf demBildgebiet Ω ⊂ R2 reprasentiert. Dabei ordnet f jedem Bildpunkt p ∈ Ω einen Grau-

wert f(p) zu. Um mit solchen Funktionen auf einem Computer arbeiten zu konnen,

muss man sie in ein diskretes Bildmodell uberfuhren. Dafur wahlen wir ein endliches,

linear unabhangiges System von Ansatzfunktionen Φ = φ1, . . . , φn ⊂ S(Ω). Der vonΦ aufgespannte Unterraum ist unser diskreter Bildraum. Nach den Erkenntnissen der

linearen Algebra lasst sich jedes Bild im diskreten Bildraum durch einen Koordinaten-

vektor zur Basis Φ darstellen. Diesen konnen wir, weil er endlich viele Eintrage hat,

auf einem Computer speichern und verarbeiten.

Fur die Wahl der Ansatzfunktionen teilen wir das Bildgebiet Ω durch ein Gitter Ω =

x1, . . . , xn × y1, . . . , ym auf und wahlen fur jeden Gitterpunkt (xi, yj) ∈ Ω eine

Ansatzfunktion φi,j ∈ S(Ω) mit

φi,j(xk, yl) =

1 , falls i = k und j = l

0 , falls i = k oder j = l,

etwa abgeschnittene Gaußglocken, Hutchenfunktionen oder Polynome. So konnen wir

eine Approximation an ein kontinuierliches Bild erstellen, indem wir sie an den Gitter-

punkten abtasten und erhalten so den Koordinatenvektor.

In unseren Implementationen der Algorithmen werden wir stets auf die in MAT-

LAB bereitgestellten Funktionen radon und iradon zuruckgreifen, um eine Radon-

Transformation oder eine ungefilterte Ruckprojektion zu berechnen. Fur eine detail-

liertere Auseinandersetzung mit kontinuierlichen und diskreten Bildern sei an dieser

Stelle auf das Buch von Bredies und Lorenz verwiesen [BL10, Kapitel 3.1].

Wir wollen davon ausgehen, dass uns bekannt ist wo sich das Metallobjekt befindet, um

unsere Algorithmen dem Problem anpassen zu konnen. Wir setzen also voraus, dass uns

eine Menge Ω0 ⊂ Ω bekannt ist, die das Metallobjekt reprasentiert. Außerdem konnen

wir damit ausrechnen, welche Daten von dem Metallobjekt gestort werden, indem wir


die Menge Λ ⊂ C betrachten.

Λ := (θ, s) ∈ C∣∣RIΩ0(θ, s) = 0 mit IΩ0(x) =

1 , falls x ∈ Ω0

0 , sonst

In der Praxis kann die Region Ω0, in der sich das Metall befindet, bestimmt werden,

indem auf die Daten g ∈ S(C) die ungefilterte Ruckprojektion angewandt wird. Alle

Punkte, fur die R∗g einen Grenzwert c ∈ R uberschreiten, werden zu Ω0 gezahlt (vgl.

[PKBK09, Abschnitt 2.2]).

Ω0 =x ∈ Ω

∣∣R∗g(x) > c

3.3 Gefilterte Ruckprojektion

An dieser Stelle wollen wir uns der Standardmethode zur Rekonstruktion widmen.

Dazu fuhren wir mithilfe der Fourier-Transformation das Riesz-Potential ein.

Definition 3.3.1 (Riesz-Potential). Sei f ∈ S(Rn) eine Schwartzfunktion und α ∈ R.Dann ist das Riesz-Potential Iαf von f definiert durch

Iαf(ξ) = |ξ|−αf(ξ).

Bemerkung 3.3.2. Aus der Definition folgt, dass IβIαf = Iβ+αf und I0f = f

gilt. Außerdem definieren wir das Riesz-Potential fur Funktionen in S(C) analog zur

Fourier-Transformation, nur auf dem zweiten Argument.

Satz 3.3.3 (vgl. [NW01, Theorem 2.5]). Es sei f ∈ S(R2) und g = Rf . Dann gilt

f =1

2(2π)−1I−αR∗Iα−1g.

Beweis. Wir betrachten das Riesz-Potential von f mithilfe der inversen Fourier-Trans-

formation und wenden die Transformation auf Polarkoordinaten an.

Iαf(x) = (2π)−1

∫R2

eiξ·x|ξ|−αf(ξ) dξ

=1

2(2π)−1

∫S1

∫R

eirθ·x|r|1−αf(rθ) dr dθ


Mit dem Fourier-Slice-Theorem 3.1.6 folgt nun

=1

2(2π)−1

∫S1

∫R

eirθ·x(2π)−12 |r|1−αRf(θ, r) dr dθ

=1

2(2π)−1

∫S1

∫R

eirθ·x(2π)−12 (Iα−1Rf)(θ, r) dr dθ

=1

2(2π)−1

∫S1

Iα−1Rf(θ, θ · x) dθ

=1

2(2π)−1R∗Iα−1g.

Mit der Anwendung von I−α folgt f = 12(2π)−1I−αR∗Iα−1g.

Wir erhalten hier eine ganze Familie von Rekonstruktionsformeln. Die Anwendung der

Formel im Fall α = 0 wird gefilterte Ruckprojektion genannt:

f =1

2(2π)−1R∗I−1g

3.4 Algebraic-Reconstruction-Technique

Als Algebraic-Reconstruction-Technique (ART) bezeichnet man das Losen des end-

lich-dimensionalen Gleichungssystems Rf = g anhand der Kaczmarz-Methode, wel-

che ein iteratives Losungsverfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme darstellt.

Fur unsere Gleichung bedeutet das, dass die Projektionen sukzessive auf das Bild

zuruckprojiziert werden, sodass alle Gleichungen zu der Projektion erfullt werden. Wie

der Name schon vermuten lasst, handelt es sich dabei um eine algebraische Methode,

das heißt, dass fur die Entwicklung der Methode schon von Daten in diskreter Form

ausgegangen wird. Als Grundlage fur dieses Kapitel dient das Buch von Natterer und

Wubbeling [NW01, Kapitel 5.3.1].

Es sei H = S(R2) und Θ = θ1, . . . , θp ⊂ S1 die Menge der Projektionswinkel. Dann

betrachten wir die Radon-Transformation in eine feste Richtung θ ∈ Θ

Rθf(s) := Rf(θ, s) =∫

x·θ=s

f(x) dx.


Sei eine rechte Seite g ∈ S(C) gegeben. Von unserer Losung f ∈ S(R2) erwarten wir

dann, dass fur alle θ ∈ Θ gilt

Rθf = g(θ, ·).

Fur θ ∈ Θ konnen wir die affin-linearen Unterraume Hθ := f ∈ S(R2)∣∣Rθf = g(θ, ·)

und die orthogonalen Projektionen Pθ von S(R2) auf Hθ betrachten. Fur eine Losung

f gilt dann

f ∈∩θ∈Θ

Hθ.

Wir wollen die Projektionen sukzessive anwenden. Um die Ungleichheiten bezuglich

der Reihenfolge der Anwendungen auszugleichen, fuhren wir einen Relaxionsparameter

ω ∈ (0, 2) ein und setzen

P ωθ = (1− ω)I + ωPθ.

Wir definieren dann P ω := P ωθp · · · P ω

θ1und die Kaczmarz-Methode durch

fk = P ωfk−1 mit beliebigem f 0 ∈ S(R2).

Fur die Berechnung mussen wir die P ωθ angeben. Die orthogonalen Projektionen Pθ

sind gegeben durch

Pθf = f +R∗θ(RθR∗

θ)−1(g(θ, ·)−Rθf).

Es stellt sich die Frage, wie R∗θ aussieht und ob R∗

θ berechenbar ist. Wie auch bei

der Radon-Transformation stellt sich heraus, dass die Adjungierte eine sehr einfache

Darstellung besitzt. Es gilt (R∗θφ)(x) = φ(x · θ), denn es gilt

(Rθf, φ)R =

∫R

∫x·θ=s

f(x) dxφ(s) ds

=

∫R2

f(x)φ(θ · x) dx = (f,R∗φ)R2 .

Nehmen wir an, dass Ω ein Kreis mit Radius ρ ist, so gilt

(RθR∗θ)φ(s) =

∫x·θ=s

R∗θφ(x) dx =

∫x·θ=s

φ(s) dx = 2√

ρ2 − s2φ(s).


Dabei ist 2√

ρ2 − s2 die Lange der Geraden x · θ = s durch den Kreis Ω. Und somit

ergibt sich

Pθf(x) =f(x) +R∗θhf (x)

hf (s) :=1

2√

ρ2 − s2(g(θ, s)−Rθf(s)).

16

4 Regularisierungsmethoden

Regularisierungsmethoden stellen ein Werkzeug dar, um mit schlecht gestellten inversen

Problemen umgehen zu konnen.”Schlecht gestellt“ meint dabei, dass die Existenz oder

Eindeutigkeit der Losung nicht gegeben ist beziehungsweise die Losung nicht stetig von

den Anfangsdaten abhangt. Dabei lost die regularisierte Losung nicht das Problem, son-

dern ist eine Approximation der Losung, welche allerdings weniger storungsanfallig ist.

In der Bildverarbeitung bedeutet Regularisierung meist, dass das Bild geglattet wird.

Die Standardmethode zur Regularisierung eines linearen Problems ist die Tikhonov-

Regularisierung, welche wir uns im ersten Abschnitt diesen Kapitels ansehen wollen.

Im Anschluss daran untersuchen wir die Total-Variation-Regularisierung.

4.1 Tikhonov-Regularisierung

Diesem Abschnitt liegt das System Rf = g zugrunde, welches wir als lineares Glei-

chungssystem losen und mithilfe der Tikhonov-Regularisierung regularisieren wollen.

Wir wollen unsere Ergebnisse aber in allgemeiner Form fur ein System Ax = b formulie-

ren. Wir orientieren uns dabei an Muller und Siltanen [MS12] sowie an der Masterarbeit

von Koskela [Kos12].

Definition 4.1.1 (Tikhonov-Regularisierung). Sei A : Rn → Rm eine lineare Abbil-

dung, b ∈ Rm eine rechte Seite und L : Rn → Rp eine lineare Abbildung. Dann heißt

ein Minimierer x ∈ Rn von

Φα(x) = ∥Ax−m∥22 + α∥Lx∥22 (4.1)

Tikhonov-Regularisierung von Ax = b bezuglich des Regularisierungsparameters α.

Eine Tikhonov-Regularisierung lost also nicht die Gleichung Ax = b, sondern stellt

vielmehr einen Kompromiss zwischen kleinem Residuum ∥Ax − b∥ und kleiner Norm

∥Lx∥ dar. Dabei ist das L noch frei wahlbar.


Folgendes Lemma gibt uns ein notwendiges Kriterium fur eine Tikhonov-Regularisie-

rung, welches wir im Anschluss weiterentwickeln (vgl. [MS12, Kapitel 5]).

Lemma 4.1.2 (Notwendiges Kriterium fur eine Tikhonov-Regularisierung). Seien alle

Bezeichnungen wie in Def. 4.1.1. Dann gilt fur eine Tikhonov-Regularisierung x ∈ Rn

(ATA+ αLTL)x = AT b. (4.2)

Beweis. Da x ein Minimierer von Φα ist, gilt

∇Φα(x) = 0.

Also gilt fur beliebiges w ∈ Rn

0 =∂

∂t

(∥A(x+ tw)− b∥2 + α∥L(x+ tw)∥2

)∣∣∣∣t=0

.

Wir berechnen die Summanden einzeln:

∂

∂t

(∥A(x+ tw)− b∥2

)∣∣∣∣t=0

=∂

∂t⟨Ax+ Atw − b, Ax+ Atw − b⟩

∣∣∣∣t=0

=∂

∂t

(∥Ax∥2 + 2t ⟨Ax,Aw⟩+ t2∥Aw∥2 − 2t ⟨b, Aw⟩ − 2 ⟨Ax, b⟩+ ∥b∥2

)∣∣∣∣t=0

=2 ⟨Ax,Aw⟩ − 2 ⟨b, Aw⟩

und

∂

∂tα ⟨L(x+ tw), L(x+ tw)⟩

∣∣∣∣t=0

= α∂

∂t

(∥Lx∥2 + 2t ⟨Lx, Lw⟩+ t2∥Lw∥2

)∣∣∣∣t=0

=α(2 ⟨Lx, Lw⟩+ 2t∥Lw∥2

)∣∣t=0

= 2α ⟨Lx, Lw⟩ .

Zusammen gilt ⟨Ax− b, Aw⟩+ α ⟨Lx, Lw⟩ = 0, also

0 =⟨ATAx− AT b, w

⟩+ α

⟨LTLx, w

⟩=⟨(ATA+ αLTL)x− AT b, w

⟩.

Da w ∈ Rn beliebig war, muss gelten

(ATA+ αLTL)x− AT b = 0.

Lemma 4.1.3. Fur α > 0 ist R∗R+αLTL symmetrisch positiv definit, also insbeson-

dere invertierbar.


Beweis. Die Symmetrie folgt aus der Darstellung, da R∗R und αLTL symmetrisch

sind. Fur x = 0 gilt

⟨(R∗R+ αLTL)x, x

⟩= ⟨R∗Rx, x⟩+

⟨αLTLx, x

⟩= ⟨Rx,Rx⟩+ α ⟨Lx, Lx⟩ = ∥Rx∥2 + α∥Lx∥2 > 0.

Im letzten Schritt gilt =, da die Radon-Transformation nach Satz 3.1.6 invertierbar ist

und somit Rx = 0 gilt.

Lemma 4.1.4 (Hinreichendes Kriterium fur eine Tikhonov-Regularisierung). Eine

Losung von (ATA + αLTL)x = AT b ist ein Minimum von Φα aus Definition 4.1.1

und somit eine Tikhonov-Regularisierung.

Beweis. Es sei x ∈ Rn und es gelte (ATA + αLTL)x = AT b. Wir zeigen, dass fur alle

x = x ∈ Rn gilt Φα(x) ≤ Φα(x).

Φα(x)− Φα(x) =∥Ax− b∥2 + α∥Lx∥2 − ∥Ax− b∥2 − α∥Lx∥2

=⟨Ax− b, Ax− b⟩+ α⟨Lx, Lx⟩ − ⟨Ax− b, Ax− b⟩ − α⟨Lx, Lx⟩

=⟨Ax,Ax⟩ − 2⟨Ax, b⟩+ α⟨Lx,Lx⟩ − ⟨Ax,Ax⟩+ 2⟨Ax, b⟩ − α⟨Lx, Lx⟩

=2⟨Ax, b⟩ − 2⟨Ax, b⟩+ ⟨x, (ATA+ αLTL)x⟩ − ⟨x, (ATA+ αLTL)x⟩

=⟨Ax, b⟩ − ⟨Ax, b⟩+ ⟨x, (ATA+ αLTL)x− AT b⟩

− ⟨x, (ATA+ αLTL)x− AT b⟩

Einsetzen liefert:

=⟨x− x,AT b⟩+ ⟨x, (ATA+ αLTL)(x− x)⟩

=⟨x− x, (ATA+ αLTL)(x− x)⟩ = ∥A(x− x)∥2 + α∥L(x− x)∥2 ≥ 0

Bemerkung 4.1.5. Wahlen wir A = R in Lemma 4.1.4, so gilt im letzten Schritt des

Beweises sogar > 0, wie in Lemma 4.1.3. Hieraus folgt die Eindeutigkeit der Tikhonov-

Regularisierung fur unser Problem.

In den Lemmata 4.1.2 bis 4.1.4 haben wir gezeigt, dass es fur ein g ∈ S(C) genau

eine Tikhonov-Regularisierung gibt. Diese ist durch die Losung eines linearen Glei-

chungssystems gegeben, dessen Systemmatrix symmetrisch positiv definit ist. Fur ein

numerisches Losungsverfahren zeigen wir noch die Aquivalenz zu einer Least-Squares

Losung, um dann die richtige Implementation des Conjugate-Gradient-Verfahren zu

wahlen.


Korollar 4.1.6 (Aquivalenz zu einer Least-Squares Losung). Die Losung des Glei-

chungssystems (ATA + αLTL)x = AT b ist eine Least-Squares Losung des Gleichungs-

systems [A√αL

]=

[b

0

]. (4.3)

Dabei hat die 0 genau so viele Zeilen wie L.

Beweis. Wir betrachten die Normalengleichung.

[AT

√αLT

] [ A√αL

]x =

[AT

√αLT

] [ b

0

]⇔ (ATA+ αLTL)x = AT b

Wir wollen nun also eine Least-Squares Losung zu der Gleichung (4.3) finden. Wir

verwenden die CGLS-Methode aus dem Buch von Bjorck [Bjo96, Algorithmus 7.4.2]

und setzen unser Problem ein. Das L wollen wir als Differentialoperator wahlen: Sind

Dx und Dy diskrete Richtungsableitungen, so setzen wir L =

[Dx

Dy

]und es folgt

∥Lf∥22 = ∥Dxf∥22 + ∥Dyf∥22.

Dadurch wollen wir vermeiden, dass sich strahlenformige Artefakte bilden, welche einen

großen Gradienten haben.


Algorithm 1 CGLS-Methode fur Least-Squares Losungen Vgl. [Bjo96, Algorithmus7.4.2]

Initialize:

p← s←R∗(g −Rx)− αLTLx, γ ← ∥s∥22for k = 1, 2, . . . und solange γk > tol do

q1 ←Rpq2 ←

√αLp

δ ← γ/(∥q1∥22 + ∥q2∥22)x← x+ δp

s← s− δ(R∗q1 +√αLT q2)

γ ← ∥s∥22β ← γ/γ

p← s+ βp

γ ← γ

end for

(a) α = 30 (b) α = 700

Abbildung 4.1: Rekonstruktionen mit der Tikhonov-Regularisierungsmethode. Manbeachte, dass mit hohem Regularisierungparameter Kanten verlorengehen.


4.2 Total-Variation-Regularisierung

Nachdem wir uns im vorherigen Abschnitt die Tikhonov-Regularisierung angesehen

haben, werden wir uns in diesem Abschnitt mit der Total-Variation-Regularisierung

(TV-Regularisierung) beschaftigen. Wir haben festgestellt, dass bei der Tikhonov-

Regularisierung die Kanten im Bild verloren gehen. Wir erhoffen uns von der TV-

Regularisierung, dass die Kanten erhalten bleiben, wir aber trotzdem eine Glattung

erzielen. Vorgestellt wurde die TV-Regularisierung 1992 von Rudin, Osher und Fatemi

[ROF92] zur Reduzierung von Rauschen in Bildern. Dazu definieren wir die Total-

Variation eines Bildes.

Definition 4.2.1 (Total-Variation). Es sei u ∈ L1(Ω). Die Total-Variation ist definiert

durch

|u|BV (Ω) := sup

∫Ω

u divφ dx∣∣φ ∈ C1

0(Ω,Rd), ∥φ∥∞ ≤ 1

.

Bemerkung 4.2.2.

• Ist u schwach differenzierbar, so gilt nach der mehrdimensionalen partiellen In-

tegration ∫Ω

u divφ dx = −∫Ω

∇uφ dx

und damit

|u|BV (Ω) =

∫Ω

|∇u| dx. (4.4)

• Im diskreten Bildmodell sind unsere Ansatzfunktionen schwach differenzierbar,

daher konnen wir die Formulierung (4.4) verwenden.

Die regularisierte Variante v eines verrauschten Bildes v ist dann der Minimierer eines

Funktionals.

v = argminu

1

2∥u− v∥22 + λ|u|BV (Ω) (4.5)

Diese Problemstellung wird auch als ROF-Modell bezeichnet. Nun konnen wir nicht

analog zur Tikhonov-Regularisierung vorgehen, da unser Funktional nicht differenzier-

bar ist. Wir wollen deshalb das Arrow-Hurwicz-Verfahren herleiten und damit eine


TV-Regularisierung errechnen. Die Methode ist auch unter dem Namen Chambolle-

Pock bekannt (vgl. [CP11]). Wir orientieren uns an einem Paper von Sidky, Jørgensen

und Pan [SJP12]. Fur einige Grundlagen der konvexen Funktionale und der Fenchel-

Rockafellar-Dualitat ziehen wir außerdem das Buch von Bredies und Lorenz [BL10,

Kapitel 6.2] heran. Weiter sei auf das Paper von Schiffer und Bredies [SB14] verwie-

sen, in dem die TV-Regularisierung auf das Problem der Metall-Artefakte angewendet

wird.

Eine Alternative zu unserem Vorgehen ware, das Funktional durch eine differenzierbare

Approximation zu ersetzen und dieses, ahnlich wie bei der Tikhonov-Regularisierung,

durch ein Gradienten-Verfahren zu minimieren (vgl. [DV97]). Dieses Vorgehen birgt

allerdings einige Probleme, so muss man etwa zwischen einer starken Approximati-

on und einer glatten Approximation abwagen. Eine glatte Approximation fuhrt dazu,

dass Kanten verschwimmen, ahnlich wie bei der Tikhonov-Regularisierung. Eine star-

ke Approximation fuhrt zu Schwierigkeiten mit der Differenzierbarkeit, sodass es zu

Problemen mit der Konvergenz kommen kann (vgl. [BO13, Abschnitt 8.3]).

Bemerkung 4.2.3. Wir werden in diesem Abschnitt Funktionale mit Wertebereich

R∞ = R ∪ ∞ verwenden, dabei bedienen wir folgende Arithmetik:

t ≤ ∞ ∀t ∈ R∞

a+∞ =∞ ∀a ∈ R∞

a · ∞ =∞ ∀a > 0

0 · ∞ = 0.

Alle anderen Operationen gelten als nicht definiert. Ein Funktional nennen wir ei-

gentlich, falls es nicht konstant ∞ ist. Wir wollen im Folgenden annehmen, dass alle

Funktionale eigentlich sind.

Um in die Theorie der konvexen Funktionale einzusteigen, werden wir, nach Bredies

und Lorenz [BL10, Kapitel 6.2], zunachst einige Definitionen heranziehen.

Definition 4.2.4 (Konvexes Funktional). Ein Funktional F : X → R∞ auf einem

normierten Vektorraum X heißt konvex, falls fur alle u, v ∈ X und λ ∈ (0, 1) gilt

F (λu+ (1− λ)v) ≤ λF (u) + (1− λ)F (v)

und strikt konvex, falls fur u = v sogar < gilt.


Definition 4.2.5 (Unterhalbstetigkeit). Ein Funktional F : X → R∞ auf einem to-

pologischen Raum X heißt (folgen-)unterhalbstetig, falls fur jede Folge (un) und u ∈ X

mit limn→∞

un = u folgt

F (u) ≤ lim infn→∞

F (un).

Definition 4.2.6 (Duales Funktional). Es sei F : X → R∞ ein Funktional auf dem

reellen Banachraum X. Dann ist das duale Funktional F ∗ : X∗ → R∞ definiert durch

F ∗(ω) = supu∈X⟨ω, u⟩X∗×X − F (u).

Bemerkung 4.2.7.

• Das Supremum geht nur uber diejenigen Elemente u ∈ X, fur die F (u) = ∞gilt, da die Subtraktion von ∞ nicht definiert ist. Da wir aber annehmen, dass F

eigentlich ist, gibt es mindestens ein Element u ∈ X, fur welches F (u) =∞ gilt.

Somit nimmt das Supremum einen Wert in R∞ an. F ∗ ist damit wohldefiniert.

• Fur F : X → R und (u∗, ω∗) ∈ X ×X∗ mit F (u∗) =∞ gilt

F ∗(ω∗) = supu∈X⟨ω∗, u⟩X∗×X − F (u) ≥ ⟨ω∗, u∗⟩X∗×X − F (u∗) (4.6)

und damit F ∗(ω∗) + F (u∗) ≥ ⟨ω∗, u∗⟩. Diese Ungleichung nennen wir Fenchel-

Ungleichung.

Definition 4.2.8 (Subgradient, Subdifferential). Es sei X ein reeller normierter Vek-

torraum und F : X → R∞ ein konvexes Funktional. Ein ω ∈ X∗ wird ein Subgradient

von F in u ∈ X genannt, falls

F (u) + ⟨ω, v − u⟩ ≤ F (v) ∀v ∈ X (4.7)

gilt. Die Menge ∂F (u) := ω ∈ X∗|ω ist Subgradient von F in u wird Subdifferential

genannt.

Bemerkung 4.2.9.

• Geometrisch entsprechen die Subgradienten in u ∈ X den Steigungen der Gera-

den, welche durch den Punkt (u, F (u)) gehen und uberall unterhalb des Graphen

von F liegen. Das bedeutet auch, dass ∂F an differenzierbaren Stellen u maximal

einelementig ist. Dann gilt ∂F (u) = DF (u).


• Es gilt 0 ∈ ∂F (u) genau dann, wenn u ein Minimum von F ist, denn

F (u) ≤ F (v) ∀v ∈ X ⇔ F (u) + ⟨0, v − u⟩ ≤ F (v) ∀v ∈ X.

• Es gilt ∂(F + G) = ∂F + ∂G, falls F an einem Punkt u ∈ X stetig ist, fur den

G(u) = ∞ = F (u) gilt. Einen Beweis dafur finden wir in Bredies und Lorenz

[BL10, Satz 6.51].

Mit diesen Definitionen konnen wir den folgenden Satz formulieren.

Satz 4.2.10 (Fenchel-Rockafellar-Dualitat vgl. [BL10, Satz 6.68]). Es seien F : X →R∞, G : Y → R∞ zwei konvexe und unterhalbstetige Funktionale auf den reellen Ba-

nachraumen X und Y . Weiter sei K : X → Y eine lineare, stetige Abbildung und das

Minimierungsproblem

minu∈X

F (u) +G(Ku) (4.8)

besitze eine Losung. Dann gilt

maxω∈Y ∗

−F ∗(−K∗ω)−G∗(ω) = minu∈X

F (u) +G(Ku).

Einen Beweis finden wir im Buch von Bredies und Lorenz [BL10, Satz 6.68].

Das Maximierungsproblem

maxω∈Y ∗

−F ∗(−K∗ω)−G∗(ω)

nennen wir das duale Problem zu (4.8). Unter dem primal-dualen Problem, verstehen

wir die simultane Losung beider Probleme.

Lemma 4.2.11. Es seien F : X → R∞ und G : Y → R∞ konvexe unterhalbstetige

Funktionale auf reellen Banachraumen X und Y . Das Paar (u∗, ω∗) ∈ X×Y ist genau

dann Losung des primal-dualen Problems, falls (u∗, ω∗) Sattelpunkt der Funktion

L : X × Y ∗ → R L(u, ω) := ⟨ω,Ku⟩+ F (u)−G∗(ω)

ist. Das heißt, falls L(u∗, ω∗) ≥ L(u∗, ω) fur alle ω ∈ Y ∗ und L(u∗, ω∗) ≤ L(u, ω∗) fur

alle u ∈ X gilt.


Beweis. Ist u∗ ∈ X eine Losung des primalen Problems und ω∗ ∈ Y ∗ eine Losung des

dualen Problems, so gilt einerseits

L(u∗, ω∗) ≤ supω∈Y ∗

L(u∗, ω) = supω∈Y ∗⟨ω,Ku∗⟩+ F (u∗) +G∗(ω) = F (u∗) +G(Ku∗)

und andererseits

L(u∗, ω∗) ≥ infu∈X

L(u, ω∗) = − supu∈X−L(u, ω∗) = − sup

u∈X−⟨ω∗, Ku⟩ − F (u)−G∗(ω∗)

= −F ∗(−K∗ω∗)−G∗(ω∗).

Nach Satz 4.2.10 sind jedoch die rechten Seiten beider Gleichungen gleich und somit

gilt anstatt ≤ und ≥ jeweils =. Insbesondere gilt

L(u∗, ω) ≤ supω∈Y ∗

L(u∗, ω∗) = L(u∗, ω∗) = infu∈X

L(u, ω∗) ≤ L(u, ω∗) ∀u ∈ X und ω ∈ Y ∗.

Also ist (u∗, ω∗) ein Sattelpunkt von L.

Zeigen wir nun die andere Richtung: Ist (u∗, ω∗) ∈ X ×Y ein Sattelpunkt von L, dann

gilt mit der Fenchel-Ungleichung fur beliebige u ∈ X und ω ∈ Y :

F (u) +G(Ku) ≥ ⟨ω∗, Ku⟩+ F (u)−G∗(ω∗) = L(u, ω∗) ≥ L(u∗, ω∗)

= supω∈Y ∗

L(u∗, ω) = supω∈Y ∗⟨ω,Ku∗⟩+ F (u∗)−G∗(ω) = F (u∗) +G(Ku∗)

und

−F ∗(−K∗ω)−G∗(ω) ≤ ⟨ω,Ku∗⟩+ F (u∗)−G∗(ω) = L(u∗, ω) ≤ L(u∗, ω∗)

= infu∈x

L(u, ω∗) = − supu∈X−L(u, ω∗)

= − supu∈X−⟨ω∗, Ku⟩ − F (u) +G∗(ω∗) = −F ∗(−K∗ω∗)−G∗(ω∗).

Bemerkung 4.2.12. Wir benutzen in dem Beweis, dass fur das biduale Funktional

G∗∗ = G gilt. Dies folgt aus der Annahme, dass G konvex und unterhalbstetig ist (vgl.

[BL10, Korollar 6.58 und Lemma 6.63]).

Das Arrow-Hurwicz-Verfahren wird eine Folge von Punkten in X × Y ∗ berechnen, die

gegen den Sattelpunkt von L konvergieren. Dafur fuhren wir die Resolvente ein.


Definition 4.2.13 (Resolvente). Es sei F : X → R∞ ein konvexes Funktional. Die

Abbildung (id+ σ∂F )−1 : X → X, die u ∈ X den eindeutigen Minimierer

argminv∈X

∥v − u∥2X2

+ σF (v) =: (id+ σ∂F )−1(u)

zuordnet, heißt Resolvente von F zu σ > 0.

Die Wohldefiniertheit der Resolvente ist hier a priori nicht klar, da die Existenz und

Eindeutigkeit des Minimums nicht offensichtlich ist. Das zu minimierende Funktional

ist jedoch strikt konvex und koerziv, woraus die Eindeutigkeit und Existenz folgt. Fur

eine detaillierte Auseinandersetzung sei auf Bredies und Lorenz [BL10] verwiesen.

Wir wollen nun noch die Bezeichnung der Resolvente rechtfertigen.

Lemma 4.2.14. Es gilt (id+ σ∂F )−1(u) = w genau dann, wenn u ∈ w + σ∂F (w).

Beweis.

(id+ σ∂F )−1(u) = w ⇔ w = argminξ∈X

∥u− ξ∥222

+ σF (ξ)

⇔ 0 ∈ ∂

(∥u− ·∥22

2+ σF

)(w)

⇔ 0 ∈ w − u+ σ∂F (w)

⇔ u ∈ w + σ∂F (w)

Lemma 4.2.15 (Einige Rechenregeln fur die Resolvente). Es sei F1 : X → R∞ ein

konvexes unterhalbstetiges Funktional. Dann gilt

1. fur α ∈ RF2 = F1 + α⇒ (id+ σ∂F2)

−1 = (id+ σ∂F1)−1.

2. fur beliebiges ω0 ∈ X

F2(u) = F1(u) + ⟨ω0, u⟩ ⇒ (id+ σ∂F2)−1(u) = (id+ σ∂F1)

−1(u− σω0).


3. Ist F2 : Y → R∞ ebenfalls ein konvexes, unterhalbstetiges Funktional, so gilt

F3(u, v) = F1(u) + F2(v)⇒ (id+ σ∂F3)−1(u, v) =

((id+ σ∂F1)

−1(u)

(id+ σ∂F2)−1(v)

).

Beweis. 1. Folgt aus der Gleichheit argmin f(x) + α = argmin f(x).

2. Wir rechnen die Behauptung nach, dabei bedienen wir uns ebenfalls daran, Kon-

stanten zu addieren ohne das Minimum zu andern.

(id+ σ∂F2)−1(u) = argmin

v∈X

∥v − u∥222

+ σ(F1(v) + ⟨ω0, v⟩)

= argminv∈X

⟨v − u, v − u⟩+ 2⟨σω0, v⟩2

+ σF1(v)

= argminv∈X

⟨v − u, v − u⟩+ 2⟨σω0, v − u⟩+ ⟨σω0, σω0⟩2

+ σF1(v)

= argminv∈X

∥v − (u− σω0)∥222

+ σF1(v)

=(id+ σ∂F1)−1(u− σω0)

3. Bei einer Summe konnen wir die Summanden einzeln minimieren.

(id+ σ∂F3)−1(u, v) = argmin

(w,x)∈X×Y

∥u− w∥222

+ F1(w) +∥v − x∥22

2+ F2(x)

=

(argminw∈X

∥u−w∥222

+ F1(w)

argminx∈Y∥v−x∥22

2+ F2(x)

)

=

((id+ σ∂F1)

−1(u)

(id+ σ∂F2)−1(v)

)

Wir wollen nun mithilfe der Resolvente das Arrow-Hurwicz-Verfahren herleiten. Dazu

betrachten wir fur einen beliebigen Startwert (u0, ω0) ∈ X × Y ∗ die Einschrankungen

von L.

Lω0(u) = L(u, ω0) = ⟨ω0, u⟩+ F (u)−G∗(ω0)

Lu0(ω) = L(u0, ω) = ⟨ω, u0⟩+ F (u0)−G∗(ω)


Wir wollen L bezuglich der u-Variable minimieren und bezuglich der ω-Variable ma-

ximieren, daher sehen wir uns die Resolventen von Lω0 und −Lu0 an. Dabei hilft uns

Lemma 4.2.15.

(id+ σ∂Lω0)−1(u) = (id+ σ∂F )−1(u− σA∗ω0)

(id+ σ∂(−Lu0))−1(ω) = (id+ σ∂G∗)−1(ω + σAu0)

Die Aussage (u∗, ω∗) ∈ X×Y ∗ ist Sattelpunkt von L konnen wir nun durch Aquivalenz-

umformungen in eine Fixpunktgleichung umformen, um daraus das Arrow-Hurwicz-

Verfahren zu gewinnen.

(u∗, ω∗) ist Sattelpunkt von L⇔

0 ∈ ∂Lω∗(u∗)

0 ∈ ∂(−Lu∗)(ω∗)

⇔

u∗ ∈ u∗ + σ∂Lω∗(u∗)

ω∗ ∈ ω∗ + τ∂(−Lu∗)(ω∗)

⇔

u∗ = (id+ σ∂F )−1(u∗ − σA∗ω∗)

ω∗ = (id+ τ∂G∗)−1(ω∗ + τAu∗)

Aus dieser Fixpunktgleichung konnen wir nun den Algorithmus entwickeln, indem wir

zusatzlich die Variablen (u∗, ω∗) einfuhren. Außerdem fuhren wir am Ende eines Itera-

tionsschrittes noch eine Extrapolation in der primalen Variable u durch. Fur genauere

Informationen siehe Bredies und Lorenz [BL10].

Algorithm 2 Arrow-Hurwicz-Verfahren mit linearem primalen Extragradienten. (vgl.[BL10, S. 388])

u∗0 ← 0

for k = 1, 2, 3, . . . do

ω∗ ← (id+ τ∂G∗)−1(ω∗ + τKu∗)

u∗k ← (id+ σ∂F )−1(u∗ − σK∗ω∗)

u∗ ← 2u∗k − uk−1

end for

Der Algorithmus konvergiert unter der Voraussetzung τσ∥K∥2 < 1 fur k → ∞ gegen

den Sattelpunkt von L (vgl. [CP11]). Eine Frage, die sich nun noch stellt, ist, wie sich die


Resolventen berechnen lassen. Dafur schauen wir uns zunachst das ROF-Modell (4.5)

an, welches wir spater mit der ART-Rekonstruktion kombinieren werden (ART+TV),

indem wir sukzessive ART-Schritte ausfuhren und die Zwischenergebnisse mit dem

ROF-Modell regularisieren (vgl. [SP08]).

Wir wenden die Theorie nun auf das ROF-Modell an. Dafur sei X = Rm×n der diskrete

Bildraum und Ω = 1, 2, . . . ,m×1, 2, . . . , n. Weiter sei ein verrauschtes Bild u0 ∈ X

gegeben. Wir setzen dann

F : X → R∞ F (u) =1

2∥u0 − u∥22 =

∑(i,j)∈Ω

(u0i,j − ui,j)

2

und

G : X2 → R∞ G(v) = λ|v|1 = λ∑

(i,j)∈Ω

|(v1)i,j|+ |(v2)i,j|,

sowie

K : X → X2 K = ∇h =

(Dx

Dy

)wobei Dx und Dy diskrete Richtungsableitungen nach x und y sind.

Wir berechnen (id+ σ∂F )−1:

(id+ σ∂F )−1(u) = argminv∈X

∥v − u∥222

+ σ1

2∥u0 − v∥22

Der Term ist differenzierbar mit Maximum v = u+σu0

1+σund somit gilt

(id+ σ∂F )−1(u) =u+ σu0

1 + σ.

Zur Berechnung von (id+ τ∂G∗)−1 bestimmen wir zunachst G∗:

G∗(ω) = supv∈X2

⟨ω, v⟩ −G(v) = supv∈X2

⟨ω, v⟩ − λ∑

(i,j)∈Ω

|(v1)i,j|+ |(v2)i,j|

Dazu unterscheiden wir zwei Falle:

1. Ist |ωi,j|∞ ≤ λ fur alle (i, j) ∈ Ω, so gilt G∗(ω) = 0.

2. Ist |ωi,j|∞ > λ fur ein (i, j) ∈ Ω, so gilt G∗(ω) =∞.


Zusammen gilt also

G∗(ω) = I|ω|∞≤λ(ω) =

0 , falls |ω|∞ ≤ λ

∞ , sonst.

Damit konnen wir nun die Resolvente berechnen:

(id+ τ∂G∗)−1(ω) = argminξ∈X2∗

∥ξ − ω∥222

+ τG∗(ξ) = argminξ∈X2∗

∥ξ − ω∥222

+ τI∥ξ∥∞≤λ(ξ)

Der Term nimmt nur einen endlichen Wert an, falls |ξi,j|∞ ≤ λ fur alle (i, j) ∈ Ω und

ist am kleinsten, wenn ∥ξ − ω∥22 klein ist. Das heißt die Resolvente (id + τ∂G∗)−1 ist

die Projektion auf die Menge ω ∈ X2∗∣∣|ωi,j|∞ ≤ λ ∀(i, j) ∈ Ω.

(id+ τ∂G∗2)

−1(ω)i,j = P∞λ (ω)i,j =

ωi,j

max1, λ−1|ωi,j|

Der Algorithmus zur Losung des ROF-Modells sieht dann wie folgt aus:

Algorithm 3 Arrow-Hurwicz-Verfahren mit linearem primalen Extragradienten furdas ROF-Modell

Require: στ < ∥∇∥−2

for k = 1, 2, 3, . . . do

ωk+1 ← Pλ(ω + τ∇u)uk+1 ← uk+σ(−div(ω)+u0)

1+σ

u← 2uk+1 − uk

end for


(a) λ = 10−4 (b) λ = 10−1

Abbildung 4.2: ART+TV Rekonstruktionen. Man beachte, dass Kanten erhalten blei-ben, insbesondere aber kleine Details ineinander ubergehen (mittlerer,unterer Bereich).

Nachdem wir das Standardmodell betrachtet haben, werden wir noch einen zweiten

Weg wahlen und das Modell auf die Radon-Transformation anpassen. Dabei orientieren

wir uns an dem Paper von Schiffer und Bredies [SB14].

Das ROF-Modell setzt sich aus zwei Funktionalen zusammen: Auf der einen Seite

aus dem Regularisierungsterm λ|u|BV (Ω) und auf der anderen Seite aus dem Daten-

term 12∥u0 − u∥22. Nach dem Studium der Tikhonov-Regularisierung liegt es nahe, im

Datenterm den Abstand im Datenraum zu messen. Auf diese Weise wird neben der

Minimierung des Regularisierungsterms auch das Bild aus den Daten rekonstruiert.

Dafur sei Y := RM×N der diskrete Datenraum zu X. Wir betrachten also fur gegebene

Daten g ∈ Y

argminf∈X

1

2∥Rf − g∥22 + λ∥∇f∥1.

Wir legen nun wieder die Funktionale fest, um die Theorie anwenden zu konnen. Dies

wollen wir auf folgende Weise tun:

F : X → R∞ F (u) = 0


Fur η ∈ R setzen wir

G : Y ×X2 → R∞

G(p, v) =1

2∥η−1p− g∥22 + λ|v|1 =

∑(i,j)∈Ω

1

2(η−1pi,j − gi,j)

2 + λ(|(v1)i,j|+ |(v2)i,j|)

sowie

K : X → Y ×X2 K =

[ηR∇h

].

Das η ermoglicht es uns, das Verhaltnis der Normen von ηR und ∇ zu kontrollieren,

was uns Vorteile hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit bringt.

Es gilt (id+ σ∂F )−1 = id, denn

(id+ σ∂F )−1(u) = argminv∈Rm×n

∥v − u∥222

− 0 = u.

Nach Lemma 4.2.15 kann die Resolvente von G∗ komponentenweise ausgerechnet wer-

den:

(id+ τ∂G∗)−1(p, v) =

((id+ τ∂G∗

1)−1(p)

(id+ τ∂G∗2)

−1(v)

)Dabei ist G1(p) =

12∥η−1p− g∥22 und damit

G∗1(ξ) = sup

p∈Y⟨ξ, p⟩ − 1

2∥η−1p− g∥22 = (η2 − 1

2η)∥ξ∥22 + η⟨ξ, g⟩.

Die Resolvente berechnet sich nun wie folgt:

(id+ τ∂G∗1)

−1(ξ) = argminχ∈RM×N

∥χ− ξ∥222

+ τ

((η2 − 1

2η)∥χ∥22 + η⟨χ, g⟩

)und wir konnen durch Differenzieren wieder das Minimum bestimmen:

(id+ τ∂G∗1)

−1(ξ) =ξ − τηg

1 + τ(2η2 − η)

Fur G2(ω) = λ∥ω∥1 konnen wir analog zum ROF-Modell vorgehen. Die Resolvente

(id+ τ∂G∗2)

−1 ist also die Projektion auf die Menge |ω|∞ ≤ λ:

(id+ τ∂G∗2)

−1(ω)i,j = P∞λ (ω)i,j =

ωi,j

max1, λ−1|ωi,j|


Mit den Resolventen konnen wir nun das Arrow-Hurwicz-Verfahren formulieren.

Algorithm 4 Arrow-Hurwicz-Verfahren mit linearem primalen Extragradienten furdie TV-Rekonstruktion.

Require: στ < (η2∥R∥2 + ∥∇∥2)−1

for k = 1, 2, 3, . . . do

ωk+1 ← Pλ(ω + τ∇u)vk+1 ← vk + τη(Ru− g))/(1 + τ(2η2 − η))

uk+1 ← uk − σ(−div(ω) +R∗v)

u← 2uk+1 − uk

end for

(a) λ = 10−4 (b) λ = 10−1

Abbildung 4.3: TV-Regularisierungen

Der Unterschied der Bilder wird klar, wenn man die Hohenlinen eines Schnitts des

Bildes betrachtet.


0 50 100 150 200 250−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

λ = 10−1

λ = 10−4

Abbildung 4.4: Hohenlinien von TV-Regularisierungen mit verschiedenen Regularisie-rungsparametern.

35

5 Anpassung der Algorithmen auf das

Problem der Metall-Artefakt

Reduktion

In diesem Kapitel wollen wir die von uns in Kapitel 3 und 4 untersuchten Algorithmen

auf das Problem der Metall-Artefakte anpassen. Dabei nehmen wir stets an, dass uns

die Menge Ω0 ⊂ Ω ⊂ R2, in der sich das Metall befindet, bekannt ist. Da wir Ω0

kennen, wissen wir auch, welche Daten im Sinogramm gestort sind, indem wir Λ :=

(θ, s) ∈ C∣∣RIΩ0(θ, s) = 0 betrachten. In diesem Kapitel soll Λθ = s ∈ R

∣∣(θ, s) ∈ Λdie Einschrankung von Λ auf θ × R bezeichnen. Grundidee wird es sein, im Sinne des

Themas dieser Arbeit, die gestorten Daten zu ignorieren und zu sehen, wie sich die

bildbasierten Regularisierungsmethoden auswirken. Wir wollen aber mit dem in der

Einleitung angekundigten datenbasierten Algorithmus starten.

5.1 Lineare Interpolation und gefilterte Ruckprojektion

Bei der gefilterten Ruckprojektion ersetzen wir die vom Metall gestorten Daten im

Sinogramm, indem wir sie durch umgebende Werte interpolieren. Sind also Daten g ∈S(C) gegeben, so erstellen wir g ∈ S(C), indem wir fur jedes θ ∈ S1 die Projektion

g(θ, ·) durch g(θ, ·) ersetzen. Dabei ist g(θ, ·)∣∣Λθauf jedem Intervall von Λθ linear, sodass

g(θ, ·) und g(θ, ·) auf dem Rand von Λθ ubereinstimmen. Auf g wenden wir dann die

gefilterte Ruckprojektion an.

Dieses Vorgehen ist datenbasiert, da wir die Daten andern und dann ein normales Re-

konstruktionsverfahren anwenden. Die meisten Verfahren, die in der Praxis eingesetzt

werden, sind datenbasiert.

5 Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion 36

(a) Gefilterte Ruckprojektion von durch lineare

Interpolation aufbereiteten Daten

200 220 240 260 2800

10

20

30

40

50

60

70

80

(b) Graph einer interpolierten Projektion

Abbildung 5.1: Lineare Interpolation und gefilterte Ruckprojektion.

5.2 Algebraic-Reconstruction-Technique

Bei der Algebraic-Reconstruction-Technique konnen wir die gestorten Daten ignorieren,

dazu streichen wir die entsprechenden Zeilen aus dem Gleichungssystem. Dies hat zur

Folge, dass die affin-linearen Unterraume Hθ, auf die wir sukzessive projizieren, großer

werden.

Hθ :=

f ∈ S(R2)

∣∣Rθf∣∣R\Λθ= g(θ, ·)∣∣R\Λθ

Auf die Projektionen Pθ wirkt sich das folgendermaßen aus:

Pθf = f +R∗θ(RθR∗

θ)−1hf

hf (s) :=

g(θ, ·)−Rθf , falls s ∈ λθ

0 , sonst

Anschaulich betrachtet ignorieren wir bei dem Zuruckprojizieren der Projektionen die

vom Metall gestorten Daten. Wir lassen also den Bereich des Bildes, auf den sich die

Daten auswirken wurden, unangetastet.

Wir erhoffen uns von der Kombination aus ART und der TV-Regularisierung eine Re-


(a) Ohne TV-Regularisierung (b) Mit TV-Regularisierung

Abbildung 5.2: Rekonstrunktion mit ART+TV

duktion der Artefakte. In Abbildung 5.2 sehen wir Ergebnisse der ART-Rekonstruktion

mit und ohne TV-Regularisierung.

5.3 Tikhonov-Regularisierung

Um die Tikhonov-Regularisierung anzupassen, betrachten wir das Funktional, welches

wir minimieren wollen:

Φα(x) = ∥Ax− g∥22 + α∥Lx∥22

Wir wissen nun, welche Daten wir im Funktional nicht beachten wollen, das heißt, wir

passen den Datenterm ∥Ax−g∥22 an. Schauen wir uns daher die Situation im diskreten

Fall an:

Sei Λ ⊂ 1, 2, . . . ,m × 1, 2, . . . , n. Dann ersetzen wir

∥Ax− g∥22 =∑

(i,j)∈Ω

((Ax)i,j − gi,j)2

durch

∥Ax− g∥2Ω\Λ =∑

(i,j)∈Ω\Λ

((Ax)i,j − gi,j)2.

Wir lassen die gestorten Daten in der Summierung also aus.


(a) α = 30 (b) α = 500

Abbildung 5.3: Tikhonov-Regularisierung mit unterschiedlichen Regularisierungspara-metern. Wir stellen fest, dass bei zu kleinem Regularisierungsparameternoch Artefakte vorhanden sind, bei zu großem das Bild unscharf wird.

Fur das Least-Squares Problem bedeutet das, dass in der Matrix A und den Daten

g entsprechende Zeilen gestrichen werden. In der Implementierung konnen wir analog

dazu in Algorithmus 1 auch q1∣∣Λ = 0 setzen. Ergebnisse der Tikhonov-Regularisierung

sind der Abbildung 5.3 zu entnehmen.

5.4 Total-Variation-Regularisierung

Bei der TV-Regularisierung konnen wir im Ansatz analog zur Tikhonov-Regularisie-

rung vorgehen. Das heißt, wir ersetzen den Datenterm ∥Rx− g∥22 durch ∥Rx− g∥2Ω\Λ.

Fur den Algorithmus mussen wir folglich die Resolvente (id+ τ∂G∗1)

−1 anpassen.

G∗1(ξ) = sup

p∈Y⟨ξ, p⟩ − ∥η−1p− g∥2Ω\Λ

= supp∈Y

∑(i,j)∈Ω

ξi,jpi,j −∑

(i,j)∈Ω\Λ

(η−1pi,j − gi,j)2


Falls ξi,j = 0 fur ein (i, j) ∈ Λ gilt, so giltG∗1(ξ) =∞, ansonstenG∗

1(ξ) = (η2− 12η)∥ξ∥22+

η⟨ξ, g⟩, wie in Abschnitt 4.2. Daraus konnen wir nun die Resolvente berechnen:

(id+ τ∂G∗1)

−1(ξ) = argminχ∈RM×N

∥χ− ξ∥222

+ τ

(η2 − 12η)∥χ∥22 + η⟨χ, g⟩ , falls χi,j = 0 ∀(i, j) ∈ Λ

∞ , sonst

Betrachten wir die Gleichung koeffizientenweise, so konnen wir das Minimum analytisch

berechnen.

(id+ τ∂G∗1)

−1(ξ)i,j =

(ξi,j − τηgi,j)/(1 + τ(2η2 − η)) , falls (i, j) ∈ Ω \ Λ

0 , falls (i, j) ∈ Λ

Mit dieser Resolvente wenden wir nun wieder das Arrow-Hurwicz-Verfahren an. Abbil-

dung 5.4 zeigt Ergebnisse mit und ohne Regularisierung.

(a) λ = 0 (b) λ = 10−4

Abbildung 5.4: TV-Rekonstruktion aus gestorten Daten. Das Bild kann exakt rekon-struiert werden.

40

6 Vergleich der Methoden

In diesem Kapitel wollen wir alle im Rahmen der Arbeit behandelten Methoden in

verschiedenen Situationen miteinander vergleichen. Grundlage hierfur bietet das Shepp-

Logan Phantom sowie ein Bild, welches realistischere Eigenschaften besitzt, da das

Shepp-Logan Phantom stuckweise-konstant und somit wie gemacht fur die Total-Vari-

ation ist. Wir verwenden das originale Shepp-Logan Phantom mit starken Kontrasten.

Die außere Ellipse in dem Phantom hat eine Intensitat von 1, wahrend die Intensitaten

im Rest des Bildes zwischen 0 und 0, 05 liegen. Dies wirkt sich auf die Rekonstruktionen

aus, da Bilder mit starken Kontrasten storungsanfalliger sind. Besonders bei Metall-

Artefakten spielt der Kontrast eine wesentliche Rolle, diese bilden sich starker aus, wenn

das Metall einen Kontrast abdeckt (vgl. Test 2). In unseren Darstellungen werden wir

Intensitaten, die großer als 0, 1 sind, weiß und solche, die zwischen 0 und 0, 1 liegen, in

Grauwerten darstellen.

1

0

0,03

Abbildung 6.1: Intensitaten des Shepp-Logan Phantoms

Beginnen wollen wir mit Vergleichen von verschiedenen Platzierung des Metalls inner-

halb des Bildes. Spater werden wir die Methoden auf ihr Verhalten im Falle mehrerer

Metallobjekte im Bild untersuchen und prufen wie sich Details, die nah am Metall

liegen, rekonstruieren lassen. Bei den Regularisierungsmethoden bestimmen wir den

Regularisierungsparameter moglichst so, dass sich keine Artefakte bilden, das Bild aber


nicht zu stark geglattet wird.

Als Vergleichsmaß zwischen dem Originalbild u und dem Ergebnis der Methode v dient,

wie auch in der Masterarbeit von Koskela [Kos12], eine optische Begutachtung, sowie

der folgende relative Fehler:

ε2 :=∥u− v∥2Ω\Ω0

∥u∥2Ω\Ω0

Des Weiteren wollen wir den Fehler dicht am Metallobjekt beurteilen. Dafur sei eine

Umgebung ΩROI ⊂ Ω (Region of Interest) des Metallobjekts gegeben. Dann betrachten

wir

εROI2 :=

∥u− v∥2ΩROI\Ω0

∥u∥2ΩROI\Ω0

.

In den Ergebnissen wird der Bereich, in dem sich das Metall befindet, rot gekennzeich-

net. Als erstes Bild wird immer das Ausgangsbild gemeinsam mit dem Metallbereich

und ΩROI dargestellt.


Test 1

Wir starten mit dem Beispiel aus Kapitel 5. Dabei liegt das Metallstuck im Inneren

des Phantoms, es stehen 180 Projektionen zur Verfugung und 2.3% der Daten werden

vom Metall verdeckt.

Die lineare Interpolation der Daten erzeugt schwache linienformige Artefakte. Bei der

Tikhonov-Regularisierung fallt auf, dass der Rand des Phantoms deutlich breiter ge-

worden ist. Als Begrundung ist hier die Intensitat des Randes zu nennen, welcher uber

dem maximal dargestellten Grauwert liegt. Die Glattung sorgt infolgedessen fur einen

breiter erscheinenden Rand. Beide TV-Methoden konnen das Ausgangsbild fast fehler-

frei wiederherstellen.

ε2 εROI2

Lineare Interpolation und

gefilterte Ruckprojektion0.0494 0.2625

Tikhonov-Regularisierung 0.1338 0.0278

ART+TV 2.0798 · 10−6 0.0166

TV-Regularisierung 8.2533 · 10−9 1.8895 · 10−4

Tabelle 6.1: Relative Fehler zu Test 1.


(a) Metallobjekt und ROI

(b) Gefilterte Ruckprojektion (c) Tikhonov-Regularisierung

(d) ART+TV (e) TV-Regularisierung

Abbildung 6.2: Ergebnisse von Test 1.


Test 2

Ein Fall, bei dem sich das Problem besonders auswirkt, ist wenn das Metallobjekt einen

Kontrast abdeckt beziehungsweise wenn Kontraste nah am Metallobjekt auftreten.

Auch hier fehlen 2.3% der Daten. Wir stellen fest, dass der datenbasierte Algorithmus

schlechtere Ergebnisse liefert als die bildbasierten. Bei der TV-Regularisierung wirkt

sich das Metall nur noch lokal und sehr schwach aus.

Die Ergebnisse unterscheiden sich stark von denen des ersten Tests. Besonders der

relative Fehler der gefilterten Ruckprojektion ist hier auf 45% gestiegen. Auch die TV-

Regularisierung kann das Bild nicht mehr exakt rekonstruieren.

ε2 εROI2




ART+TV 0.0067 0.1855

TV-Regularisierung 1.7290 · 10−3 0.1032








Test 3

In diesem Test wollen wir uberprufen, ob sich Details, die nah am Metallobjekt liegen,

rekonstruieren lassen. In diesem Fall stehen weniger Daten uber die Bereiche nah am

Metall zur Verfugung. Daher erwarten wir, dass nicht alles rekonstruiert werden kann.

Hier liegt der Anteil an fehlenden Daten bei 4.2%.

Unsere Vermutung bestatigt sich, allerdings unterscheiden sich die Ergebnisse der Me-

thoden. Auch in diesem Test produziert die TV-Regularisierung das beste Ergebnis.

Wahrend die lineare Interpolation sowie die Tikhonov-Regularisierung Artefakte auf-

weisen, schaffen es die TV-basierten Verfahren diese vollstandig zu eliminieren. Jedoch

weisen alle Ergebnisse den Fehler auf, dass die linke Ellipse, die das Metallobjekt schnei-

det, nicht richtig rekonstruiert wird.

ε2 εROI2




ART+TV 8.0637 · 10−7 0.0206









Test 4

Nun werden wir untersuchen wie sich die Verfahren verhalten, wenn sich mehrere

Metall-Objekte im Bild befinden. Es werden 6.7% der Daten vom Metall uberdeckt.

Besonders bei der Tikhonov-Regularisierung und der ART-Rekonstruktion mit TV-

Regularisierung bilden sich nah am Metallobjekt Artefakte in Richtung der anderen

Metallobjekte. Dies liegt an der Rekonstruktionsart: Da in diese Richtungen die Daten

fehlen, werden sie – wie etwa bei der ART-Methode – auch nicht dahin zuruckprojiziert.

Die TV-Rekonstruktionsmethode ist hier unanfallig.

ε2 εROI2




ART+TV 0.0101 0.2045









Test 5

In Test 5 versuchen wir realistischere Bedingungen zu schaffen. Dafur verwenden wir

ein echtes Bild aus einem Computertomographen. Trotzdem sind die Ergebnisse auch

hier nur mit Einschrankungen zu bewerten. Das Bild hat nun ahnlichere Eigenschaften

wie ein echtes CT-Bild. Allerdings sind die Daten immer noch kunstlich aus dem Bild

erzeugt. Insbesondere betrachten wir das Bild auf dem gesamten Kontrastbereich, das

heißt es gibt vergleichsweise nur schwache Kontraste. 2.3% der Daten fehlen.

In der linken unteren Ecke sehen wir eine Vergroßerung von ΩROI . Wir bemerken, dass

die Details von den TV-Methoden am besten rekonstruiert werden konnen. Typischer-

weise wirkt die Tikhonov-Regularisierung unscharf.

ε2 εROI2




ART+TV 0.0022 0.0190

TV-Regularisierung 0.0019 0.0045








Test 6

In den bisherigen Tests bestanden die Daten immer aus 180 Projektionen. Diese wollen

wir nun auf 360 erhohen und uns die entsprechenden Ergebnisse ansehen. Auch hier

fehlen 2.3% der Daten. Die Ergebnisse sind hier ahnlich zu denen aus Test 2, wobei

auch die Metallplatzierung die gleiche ist. Bei der gefilterten Ruckprojektion fallt auf,

dass das Rauschen verschwunden ist, daher sind die Metall-Artefakte noch deutlicher

zu erkennen.

ε2 εROI2




ART+TV 0.0157 0.2559

TV-Regularisierung 0.0035 0.1517








Test 7

Der letzte Test zeigt auf, dass Metallobjekte im Bild trotz relativ guter Rekonstrukti-

onsverfahren ein Problem bleiben. Das Metallobjekt im Zentrum des Bildes wirkt sich

bis in den oberen Bereich des Bildes aus. Dies liegt vor allem darin begrundet, dass

sich die Kontraste, welche nicht rekonstruiert werden konnen, mit dem Metallobjekt

auf einer Linie befinden. Auf diese Weise ist der Teil der Projektion, in welchem der

Kontrast enthalten ist, vom Metall abgedeckt. Dadurch entsteht ein qualitativer Fehler

im Bild. Insgesamt fehlen 6% der Daten.

ε2 εROI2




ART+TV 6.1789 · 10−3 0.0470




(a) Ausgangsbild (b) Metallobjekt und ROI

(c) Gefilterte Ruckprojektion (d) Tikhonov-Regularisierung

(e) ART+TV (f) TV-Regularisierung


56

7 Fazit und Ausblick

Wir haben uns in dieser Arbeit mit der Thematik der Metall-Artefakt Reduktion aus-

einandergesetzt. Dabei haben wir zunachst die Funktionsweise eines Computertomo-

graphen studiert, um die Ursachen der Metall-Artefakte zu verstehen. Im Folgenden

haben wir uns die meist genutzten Methoden zur Rekonstruktion erarbeitet und diese

auf das Problem der Metall-Artefakte angepasst. Weiterhin wurde ein Verfahren herge-

leitet, welches die Rekonstruktion und die TV-Glattung simultan herstellt. Im Rahmen

eines Vergleichs konnten wir die Unterschiede in den Ergebnissen der Methoden her-

ausstellen.

Die Ergebnisse der TV-Regularisierung weisen die kleinsten Fehler in Bezug auf das

Ausgangsbild auf. Auch aus der optischen Begutachtung der resultierenden Bilder geht

hervor, dass die TV-basierten Methoden die besseren Ergebnisse liefern. Weiterhin hat

die TV-Regularisierung sich als robust gegenuber mehrerer Metallobjekte erwiesen.

Inwiefern die Methode allerdings Anwendung in der Praxis finden kann bleibt offen,

da die Berechnungszeiten dieser Methode mit Abstand die langsten sind. Des Weite-

ren konnten wir die Methoden nicht an echten Daten testen, was uns noch weitere

Moglichkeiten zur Beurteilung der Methoden gegeben hatte.

Eine wichtige Erkenntnis daruber hinaus ist, dass die auf die Problematik angepassten

Methoden viel bessere Ergebnisse liefern als etwa die gefilterte Ruckprojektion ohne

vorherige Aufbereitung der Daten. Das heißt, dass die Wahl der Methode zur Metall-

Artefakt Reduktion eine untergeordnete Rolle spielt – viel wichtiger ist es, dass eine

Methode angewandt wird.

Weiterhin konnten wir feststellen, dass Details, die in der Nahe des Metall-Objekts lie-

gen, mit keiner Methode wirklich sichtbar gemacht werden konnen. Dies liegt mutmaß-

lich in dem Fehlen vieler Daten uber die Details begrundet. Allerdings ist es moglich,

die strahlenformigen Artefakte, welche sich uber das gesamte Bild erstreckten, zu elimi-

nieren. Dafur eignen sich die bildbasierten Algorithmen deutlich besser als die lineare

Interpolation der gestorten Daten, wie wir es dem Test 2 entnommen haben. Der letzte

Test hat uns gezeigt, dass sich in allen Ergebnissen das Metall auch auf Regionen, die

7 Fazit und Ausblick 57

weit vom Metall entfernt liegen, auswirken und dort qualitative Unterschiede ausma-

chen konnen.

Um das Verfahren der TV-Regularisierung in der Praxis einsetzen zu konnen, mussten

weitere Tests mit echten Daten aus einem Computertomographen durchgefuhrt werden.

Insgesamt ist es uns jedoch gelungen, die Bildqualitat gegenuber der des Standardver-

fahrens deutlich zu erhohen.

58

Abbildungsverzeichnis

2.1 Shepp-Logan Phantom und dessen Sinogramm . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Metall-Artefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1 Tikhonov-Regularisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 ART-TV Rekonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 TV-Regularisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Hohenlinien von TV-Regularisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1 Lineare Interpolation und gefilterte Ruckprojektion . . . . . . . . . . . 36

5.2 Rekonstrunktion mit ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


5.4 TV-Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.1 Intensitaten des Shepp-Logan Phantoms . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2 Ergebnisse von Test 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43







59

Tabellenverzeichnis

6.1 Relative Fehler zu Test 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42







60

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63

Plagiatserklarung des Studierenden

Hiermit versichere ich, dass die vorliegende Arbeit uber

Bildbasierte Algorithmen zur Metall-Artefakt Reduktion in der Computer-

tomographie

selbststandig verfasst worden ist, dass keine anderen Quellen und Hilfsmittel als die an-

gegebenen benutzt worden sind und dass die Stellen der Arbeit, die anderen Werken —

auch elektronischen Medien — dem Wortlaut oder Sinn nach entnommen wurden, auf

jeden Fall unter Angabe der Quelle als Entlehnung kenntlich gemacht worden sind.

(Datum, Unterschrift)

Ich erklare mich mit einem Abgleich der Arbeit mit anderen Texten zwecks Auffindung

von Ubereinstimmungen sowie mit einer zu diesem Zweck vorzunehmenden Speicherung

der Arbeit in eine Datenbank einverstanden.

(Datum, Unterschrift)