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Zur Berechnung der Vierendeeltrgers
Autor(en): Stssi, Fritz
Objekttyp: Article
Zeitschrift: IABSE publications = Mmoires AIPC = IVBH Abhandlungen
Band (Jahr): 10 (1950)
Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-10589
PDF erstellt am: 28.05.2015
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200
F. Stssi
Gurtung
gebildete
einfache
Balken
als
Grundsystem;
durch
zweckmige
Wahl
der
Angriffspunkte
der
berzhligen
kann
unsere
zweite
Forderung
(Verschwinden
einer
mglichst
groen
Zahl
von
Verschiebungsgren
aik)
erfllt
werden (Fig.
1)
und
die
Auflsung
des
Systems der
Elastizittsglei
chungen
ist
verhltnismig
einfach.
Dagegen
besitzt
dieses
Grundsystem
den
V
MM
MM
M
MM
M
j
Fig.
1
Nachteil,
da
unsere
erste
Forderung
nicht erfllt
ist;
da sich
Grundsystem
und
wirkliches
Tragwerk
extrem
verschieden
verhalten,
mu eine
groe
Rech
nungsgenauigkeit
bei
der
Bestimmung
der
berzhligen
verlangt
werden.
Allerdings
besitzt
das
Grundsystem
der
Abbildung
1
den
an
sich
willkommenen
Vorteil,
da
sein
Krftespiel
sehr
einfach
ist.
Dieser
Vorteil
sollte
jedoch
nicht
durch
den
Nachteil
einer
stark
empfindlichen
Berechnung
erkauft
werden
mssen.
Fig.
2
Andererseits
ist
schon
wiederholt
vorgeschlagen
worden,
den
Vierendeel-
trger
nherungsweise
als
Rahmentrger
mit 3n
Zwischengelenken
nach
Fig.
2
zu berechnen.
Dagegen
fehlt
meines
Wissens (ohne da
ich
allerdings behaupten
wollte,
alle
bisher
erschienenen
Arbeiten
ber
den
Vierendeeltrger zu
kennen)
bis
heute der
Vorschlag,
dieses
Gelenksystem
als
Grundsystem
fr
die
genaue
Berechnung
des
Vierendeeltrgers
zu
whlen.
Wenn
wir
allerdings
als
ber
zhlige
einfach
die
Gelenkmomente
in
jedem
eingefhrten
Gelenk
einfhren
wrden,
wrde
unsere
zweite
Forderung
(Verschwinden
mglichst
vieler
aik)
nicht
erfllt
und
das
Berechnungsverfahren
wre
unzweckmig.
Dagegen
gelingt
es
leicht,
auch
diese
zweite
Forderung
zu
erfllen,
wenn
wir
als
ber
zhlige
nicht
die einzelnen
Gelenkmomente,
sondern
passend
gewhlte
Kom
binationen
davon einfhren. Das sich
damit
ergebende
Berechnungs
verfahren
soll
nachstehend
skizziert und
diskutiert
werden.
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Zur
Berechnung
des
Vierendeeltrgers
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2. Das
Grundsystem
Wir
untersuchen
zunchst
das
Krftespiel
im
Grundsystem,
das
dadurch
entsteht,
da
wir
in
3
n
Stben
des
normalerweise
aus
3n+l
Stben
bestehen
den
Tragwerkes
je
in
Stabmitte
Gelenke
einschalten.
Ist
das
Tragwerk
sym
metrisch, so
ist
es
zweckmig,
auch
das
Grundsystem
symmetrisch
zu
whlen,
um
die
Untersuchung
beliebiger
Belastungszustnde
in
die
Berechnung
sym
metrischer
und
antimetrischer
Belastungsanteile
aufspalten
und damit
die
Auflsung
des
Systems
der
Elastizittsgleichungen
abkrzen
zu
knnen.
Fr
Trger
mit
gerader
Felderzahl
ergibt
sich
somit
ein
Grundsystem
mit
gelenk
losem
Pfosten
in
Trgermitte.
Wir
beschrnken
uns
hier
auf
die
Untersuchung
eines
nur
durch
lotrechte
Einzellasten
in
den
Knotenpunkten
belasteten
Trgers;
die
Untersuchung allgemeiner
Belastungszustnde
bietet
keine
zustz
lichen
Schwierigkeiten.
Das
Krftespiel ist vollstndig bestimmt,
sobald
wir
alle
in
den
Zwischengelenken
wirkenden
Gelenkkrfte
kennen.
Zeichnerische
Bestimmung
der
Gelenkkrfte
Das
Grundsystem
sei
durch
eine
lotrechte
Einzellast
P
an
irgend
einem
Knoten
belastet
(Fig.
3
a).
Wir
bezeichnen die Gelenke
sowie die
zugehrigen
Gelenkkrfte
mit
1,
2,
3
usw.,
bzw.
mit
G1?
G2,
G3
usw.
Wohl
das
einfachste
Vorgehen
zur
zeichnerischen
Bestimmung
der
Gelenk
krfte
drfte
darin
bestehen,
da
wir
unser
Grundsystem
vorbergehend
durch
einen
rautenfrmigen
Fachwerktrger
mit
gleicher
Gelenkanordnung
(Fig.
3
b)
ersetzt
denken.
Die
Stabkrfte
dieses
Ersatzfachwerkes knnen
nun
leicht
durch
einen
Cremonaplan, je
von
beiden
Auflagern
A
und
B
her
beginnend,
gezeichnet
werden;
in
diesem
Krfteplan
knnen
nun
auch
direkt
die
Gelenk
krfte
G
je
als
Resultierende zweier
Stabkrfte
eingetragen
werden.
In
Fig.
4
ist
dieser
Krfteplan
dargestellt1),
der
bersichtlichkeit
wegen
fr
die
linke
und
rechte
Trgerhlfte
getrennt.
Rechnerische
Bestimmung
der
Gelenkkrfte
Wir
zerlegen
die
unbekannten Gelenkkrfte
G
in
waagrechte
und
senk
rechte
Komponenten
U
und V
und
betrachten
das
in
Fig.
5
skizzierte
Doppelelement.
Wir
setzen
die
an
den
Gelenkpunkten
k
und
l
angreifenden
Gelenkkrfte
als
bekannt
voraus
und erhalten
aus
einer
Momentengleich-
gewichtsbedingung
bezglich
o
die
Unbekannte
Un:
Un'hm+1=Uk(hm
+ el
+
e0)-Ul(el
+
e0)
+
(Vk
+
Vl)'(am
+
am+1)-Pm'am+1
(1)
2)
Mein
Assistent,
Herr
Dipl.
Ing.
H.
R.
Fietz,
untersttzte
mich
durch die
Aus
fhrung
der
vorkommenden
numerischen
Berechnungen.
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202
F.
Stssi
70'
12
Fig.
3
a
A--
\
v
/
\
^/
*
4
\4
1
'
^
y^
>.
v
Kl
Fig.
11
X
w
Y
)/
x'
?[
Fig.
12
/^pTTTrrtw
-mg
A/;
X/f
Zur
Bestimmung
der
Gelenkkrfte
Gs,
Gt,
Gu
im
Mittelfeld,
bzw.
ihrer
Komponenten
U und
V
nehmen
wir
die
von
beiden Seiten
her
bestimmbaren
Gelenkkrfte
Ur,
Vr,
Uw
und
Vw
als
gegeben
an
und
finden
aus
einer
Momenten-
gleichgewichtsbedingung
(Ms
0)
fr
das
in
Fig.
11
skizzierte
Doppelelement
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208
F.
Stssi
at
und
durch
Betrachtung
des
Einzelelementes
t
u
w
mit
Mt
0
Uu
j
[Vw(at
+
aw)-Vu'at+Uw'ew]
Die
Krfte
Us
und
Vs
ergeben
sich
analog,
whrend
die
Krfte
Ut
und
Vt
nun
aus
Komponentengleichgewichtsbedingungen
bestimmt
werden
knnen.
Die
fr
das
Mittelfeld
einzufhrenden
berzhligen
Gren
sind
in
Fig.
12
skizziert;
sie
entsprechen
denjenigen
der
Fig.
7.
Beim
in
Fig.
13
skizzierten
Grundsystem
des
hufig
verwendeten
Vierendeeltrgers
ohne
Endpfosten,
bei dem
die
Knotenpunkte
einer
oder
beider
Gurtungen
auf
einer
Parabel
liegen,
fallen
im
Endfeld
die
Wirkungs
linien
der
Gelenkkrfte
mit
den
Gurtstabaxen
zusammen;
die
Bestimmung
der
Gelenkkrfte
selbst
bietet
somit
keine
Besonderheit.
Die
im Endfeld
einzu
fhrenden
berzhligen
sind
in
Fig.
14
skizziert.
Fig.
13
X
Q.
fcfc
x,
m
Wl,
\xA
^
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Zur
Berechnung
des
Vierendeeltrgers
209
5.
Schlubemerkungen
Mit
dem hier
vorgeschlagenen Berechnungs
verfahren,
das
bekannte Grund
stze
der
Baustatik
und
an sich
bekannte
Elemente
der
Berechnungsverfahren
zu
vereinigen
sucht,
drfte
der
Zeitaufwand
fr
die
Berechnung
von
Vierendeel
-
trgern
allgemeiner
Formgebung
auf
ein
ertrgliches
Ma
reduziert
werden
knnen.
Der
Vierendeeltrger
entspricht
in
seiner
Gesamtkonzeption
der
allgemeinen
Entwicklungstendenz
des
Stahlbaues nach
einfachen
Bauformen.
Es
ist
wohl
anzunehmen,
da diese
Trgerart
deshalb auch
vermehrt
ange
wendet werden
wird,
sobald
Berechnungs
verfahren
zur Verfgung
stehen,
die
gegenber
frheren
Verfahren
weniger
zeitraubend
und
in
der
rechnerischen
Genauigkeit
weniger
empfindlich
sind.
Eine
Unannehmlichkeit
der
statisch
unbestimmten
Tragwerke
besteht
darin,
da
die
Abmessungen
der
Bauteile
schon zu
Beginn
der Berechnung
einigermaen
bekannt
sein mssen;
dadurch,
da
bei dem
vorgeschlagenen
Berechnungs
verfahren
das
Krftespiel
im
Grund
system
schon
eine
recht
gute
Annherung an
das
wirkliche
Krftespiel
darstellt,
knnen
diese
Abmessungen
durch
eine
Vorberechnung am
fr
die
genaue
Berechnung
selbst
verwendeten statisch
bestimmten
Grundsystem
berechnet
werden.
Zusammenfassung
Als
Grundsystem
zur
Berechnung
des
bei
n
Feldern
3r
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210
F.
Stssi
statiquement
indeterminees
sont
d'importance
secondaire;
la valeur
effective
et
la
precision
du calcul
en
sont favorablement
influencees.
Le choix
des
grandeurs
indeterminees
se
porte
sur
des
combinaisons
de
moments
aux
arti-
culations,
dans
des
conditions
telles
qu'un
nombre
aussi
grand
que
possible
de
coefficients
aik
disparaisse
des
equations
d'elasticite. Cette maniere
de
proceder permet
de
reduire
le
temps
necessaire
la
resolution
du
Systeme
de
ces
equations
d'elasticite.
Summary
As
basic
System
for
calculating
a
Vierendeel
girder
with
n
panels
3
n-times
statically
indeterminate, a
hinged
frame
girder
with
3n
intermediate
hinges
as
shown
in
fig.
2
is
proposed.
The
action
of
the
forces
in
this
basic
System,
which
has
already
been
repeatedly
proposed
for
the
approximate
calculation
of
a
Vierendeel
girder,
represents
a
really
good
approximation
of
the actual
action
of
the
forces, so
that
the
redundant
magnitudes
are
of
subordinate
importance;
in
this
way
the
reliability
and
accuracy
of
the
calculation
will
be
favourably
affected.
As
redundant
magnitudes,
combinations
of
Joint
moments
are
selected
in
such
a
way
that
as
many
coefficients
aik
as
possible
of
the
equations
of
elasticity
vanish;
this
leads
to
a
reduetion
in
the
amount
of time
required
for
solving
the
System
of
equations
of
elasticity.