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Zur Berechnung der Vierendeeltrgers

Autor(en): Stssi, Fritz

Objekttyp: Article

Zeitschrift: IABSE publications = Mmoires AIPC = IVBH Abhandlungen

Band (Jahr): 10 (1950)

Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-10589

PDF erstellt am: 28.05.2015

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200

F. Stssi

Gurtung

gebildete

einfache

Balken

als

Grundsystem;

durch

zweckmige

Wahl

der

Angriffspunkte

der

berzhligen

kann

unsere

zweite

Forderung

(Verschwinden

einer

mglichst

groen

Zahl

von

Verschiebungsgren

aik)

erfllt

werden (Fig.

1)

und

die

Auflsung

des

Systems der

Elastizittsglei

chungen

ist

verhltnismig

einfach.

Dagegen

besitzt

dieses

Grundsystem

den

V

MM

MM

M

MM

M

j

Fig.

1

Nachteil,

da

unsere

erste

Forderung

nicht erfllt

ist;

da sich

Grundsystem

und

wirkliches

Tragwerk

extrem

verschieden

verhalten,

mu eine

groe

Rech

nungsgenauigkeit

bei

der

Bestimmung

der

berzhligen

verlangt

werden.

Allerdings

besitzt

das

Grundsystem

der

Abbildung

1

den

an

sich

willkommenen

Vorteil,

da

sein

Krftespiel

sehr

einfach

ist.

Dieser

Vorteil

sollte

jedoch

nicht

durch

den

Nachteil

einer

stark

empfindlichen

Berechnung

erkauft

werden

mssen.

Fig.

2

Andererseits

ist

schon

wiederholt

vorgeschlagen

worden,

den

Vierendeel-

trger

nherungsweise

als

Rahmentrger

mit 3n

Zwischengelenken

nach

Fig.

2

zu berechnen.

Dagegen

fehlt

meines

Wissens (ohne da

ich

allerdings behaupten

wollte,

alle

bisher

erschienenen

Arbeiten

ber

den

Vierendeeltrger zu

kennen)

bis

heute der

Vorschlag,

dieses

Gelenksystem

als

Grundsystem

fr

die

genaue

Berechnung

des

Vierendeeltrgers

zu

whlen.

Wenn

wir

allerdings

als

ber

zhlige

einfach

die

Gelenkmomente

in

jedem

eingefhrten

Gelenk

einfhren

wrden,

wrde

unsere

zweite

Forderung

(Verschwinden

mglichst

vieler

aik)

nicht

erfllt

und

das

Berechnungsverfahren

wre

unzweckmig.

Dagegen

gelingt

es

leicht,

auch

diese

zweite

Forderung

zu

erfllen,

wenn

wir

als

ber

zhlige

nicht

die einzelnen

Gelenkmomente,

sondern

passend

gewhlte

Kom

binationen

davon einfhren. Das sich

damit

ergebende

Berechnungs

verfahren

soll

nachstehend

skizziert und

diskutiert

werden.

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Zur

Berechnung

des

Vierendeeltrgers

201

2. Das

Grundsystem

Wir

untersuchen

zunchst

das

Krftespiel

im

Grundsystem,

das

dadurch

entsteht,

da

wir

in

3

n

Stben

des

normalerweise

aus

3n+l

Stben

bestehen

den

Tragwerkes

je

in

Stabmitte

Gelenke

einschalten.

Ist

das

Tragwerk

sym

metrisch, so

ist

es

zweckmig,

auch

das

Grundsystem

symmetrisch

zu

whlen,

um

die

Untersuchung

beliebiger

Belastungszustnde

in

die

Berechnung

sym

metrischer

und

antimetrischer

Belastungsanteile

aufspalten

und damit

die

Auflsung

des

Systems

der

Elastizittsgleichungen

abkrzen

zu

knnen.

Fr

Trger

mit

gerader

Felderzahl

ergibt

sich

somit

ein

Grundsystem

mit

gelenk

losem

Pfosten

in

Trgermitte.

Wir

beschrnken

uns

hier

auf

die

Untersuchung

eines

nur

durch

lotrechte

Einzellasten

in

den

Knotenpunkten

belasteten

Trgers;

die

Untersuchung allgemeiner

Belastungszustnde

bietet

keine

zustz

lichen

Schwierigkeiten.

Das

Krftespiel ist vollstndig bestimmt,

sobald

wir

alle

in

den

Zwischengelenken

wirkenden

Gelenkkrfte

kennen.

Zeichnerische

Bestimmung

der

Gelenkkrfte

Das

Grundsystem

sei

durch

eine

lotrechte

Einzellast

P

an

irgend

einem

Knoten

belastet

(Fig.

3

a).

Wir

bezeichnen die Gelenke

sowie die

zugehrigen

Gelenkkrfte

mit

1,

2,

3

usw.,

bzw.

mit

G1?

G2,

G3

usw.

Wohl

das

einfachste

Vorgehen

zur

zeichnerischen

Bestimmung

der

Gelenk

krfte

drfte

darin

bestehen,

da

wir

unser

Grundsystem

vorbergehend

durch

einen

rautenfrmigen

Fachwerktrger

mit

gleicher

Gelenkanordnung

(Fig.

3

b)

ersetzt

denken.

Die

Stabkrfte

dieses

Ersatzfachwerkes knnen

nun

leicht

durch

einen

Cremonaplan, je

von

beiden

Auflagern

A

und

B

her

beginnend,

gezeichnet

werden;

in

diesem

Krfteplan

knnen

nun

auch

direkt

die

Gelenk

krfte

G

je

als

Resultierende zweier

Stabkrfte

eingetragen

werden.

In

Fig.

4

ist

dieser

Krfteplan

dargestellt1),

der

bersichtlichkeit

wegen

fr

die

linke

und

rechte

Trgerhlfte

getrennt.

Rechnerische

Bestimmung

der

Gelenkkrfte

Wir

zerlegen

die

unbekannten Gelenkkrfte

G

in

waagrechte

und

senk

rechte

Komponenten

U

und V

und

betrachten

das

in

Fig.

5

skizzierte

Doppelelement.

Wir

setzen

die

an

den

Gelenkpunkten

k

und

l

angreifenden

Gelenkkrfte

als

bekannt

voraus

und erhalten

aus

einer

Momentengleich-

gewichtsbedingung

bezglich

o

die

Unbekannte

Un:

Un'hm+1=Uk(hm

+ el

+

e0)-Ul(el

+

e0)

+

(Vk

+

Vl)'(am

+

am+1)-Pm'am+1

(1)

2)

Mein

Assistent,

Herr

Dipl.

Ing.

H.

R.

Fietz,

untersttzte

mich

durch die

Aus

fhrung

der

vorkommenden

numerischen

Berechnungen.

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202

F.

Stssi

70'

12

Fig.

3

a

A--

\

v

/

\

^/

*

4

\4

1

'

^

y^

>.

v

Kl

Fig.

11

X

w

Y

)/

x'

?[

Fig.

12

/^pTTTrrtw

-mg

A/;

X/f

Zur

Bestimmung

der

Gelenkkrfte

Gs,

Gt,

Gu

im

Mittelfeld,

bzw.

ihrer

Komponenten

U und

V

nehmen

wir

die

von

beiden Seiten

her

bestimmbaren

Gelenkkrfte

Ur,

Vr,

Uw

und

Vw

als

gegeben

an

und

finden

aus

einer

Momenten-

gleichgewichtsbedingung

(Ms

0)

fr

das

in

Fig.

11

skizzierte

Doppelelement

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11/13

208

F.

Stssi

at

und

durch

Betrachtung

des

Einzelelementes

t

u

w

mit

Mt

0

Uu

j

[Vw(at

+

aw)-Vu'at+Uw'ew]

Die

Krfte

Us

und

Vs

ergeben

sich

analog,

whrend

die

Krfte

Ut

und

Vt

nun

aus

Komponentengleichgewichtsbedingungen

bestimmt

werden

knnen.

Die

fr

das

Mittelfeld

einzufhrenden

berzhligen

Gren

sind

in

Fig.

12

skizziert;

sie

entsprechen

denjenigen

der

Fig.

7.

Beim

in

Fig.

13

skizzierten

Grundsystem

des

hufig

verwendeten

Vierendeeltrgers

ohne

Endpfosten,

bei dem

die

Knotenpunkte

einer

oder

beider

Gurtungen

auf

einer

Parabel

liegen,

fallen

im

Endfeld

die

Wirkungs

linien

der

Gelenkkrfte

mit

den

Gurtstabaxen

zusammen;

die

Bestimmung

der

Gelenkkrfte

selbst

bietet

somit

keine

Besonderheit.

Die

im Endfeld

einzu

fhrenden

berzhligen

sind

in

Fig.

14

skizziert.

Fig.

13

X

Q.

fcfc

x,

m

Wl,

\xA

^

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Zur

Berechnung

des

Vierendeeltrgers

209

5.

Schlubemerkungen

Mit

dem hier

vorgeschlagenen Berechnungs

verfahren,

das

bekannte Grund

stze

der

Baustatik

und

an sich

bekannte

Elemente

der

Berechnungsverfahren

zu

vereinigen

sucht,

drfte

der

Zeitaufwand

fr

die

Berechnung

von

Vierendeel

-

trgern

allgemeiner

Formgebung

auf

ein

ertrgliches

Ma

reduziert

werden

knnen.

Der

Vierendeeltrger

entspricht

in

seiner

Gesamtkonzeption

der

allgemeinen

Entwicklungstendenz

des

Stahlbaues nach

einfachen

Bauformen.

Es

ist

wohl

anzunehmen,

da diese

Trgerart

deshalb auch

vermehrt

ange

wendet werden

wird,

sobald

Berechnungs

verfahren

zur Verfgung

stehen,

die

gegenber

frheren

Verfahren

weniger

zeitraubend

und

in

der

rechnerischen

Genauigkeit

weniger

empfindlich

sind.

Eine

Unannehmlichkeit

der

statisch

unbestimmten

Tragwerke

besteht

darin,

da

die

Abmessungen

der

Bauteile

schon zu

Beginn

der Berechnung

einigermaen

bekannt

sein mssen;

dadurch,

da

bei dem

vorgeschlagenen

Berechnungs

verfahren

das

Krftespiel

im

Grund

system

schon

eine

recht

gute

Annherung an

das

wirkliche

Krftespiel

darstellt,

knnen

diese

Abmessungen

durch

eine

Vorberechnung am

fr

die

genaue

Berechnung

selbst

verwendeten statisch

bestimmten

Grundsystem

berechnet

werden.

Zusammenfassung

Als

Grundsystem

zur

Berechnung

des

bei

n

Feldern

3r

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210

F.

Stssi

statiquement

indeterminees

sont

d'importance

secondaire;

la valeur

effective

et

la

precision

du calcul

en

sont favorablement

influencees.

Le choix

des

grandeurs

indeterminees

se

porte

sur

des

combinaisons

de

moments

aux

arti-

culations,

dans

des

conditions

telles

qu'un

nombre

aussi

grand

que

possible

de

coefficients

aik

disparaisse

des

equations

d'elasticite. Cette maniere

de

proceder permet

de

reduire

le

temps

necessaire

la

resolution

du

Systeme

de

ces

equations

d'elasticite.

Summary

As

basic

System

for

calculating

a

Vierendeel

girder

with

n

panels

3

n-times

statically

indeterminate, a

hinged

frame

girder

with

3n

intermediate

hinges

as

shown

in

fig.

2

is

proposed.

The

action

of

the

forces

in

this

basic

System,

which

has

already

been

repeatedly

proposed

for

the

approximate

calculation

of

a

Vierendeel

girder,

represents

a

really

good

approximation

of

the actual

action

of

the

forces, so

that

the

redundant

magnitudes

are

of

subordinate

importance;

in

this

way

the

reliability

and

accuracy

of

the

calculation

will

be

favourably

affected.

As

redundant

magnitudes,

combinations

of

Joint

moments

are

selected

in

such

a

way

that

as

many

coefficients

aik

as

possible

of

the

equations

of

elasticity

vanish;

this

leads

to

a

reduetion

in

the

amount

of time

required

for

solving

the

System

of

equations

of

elasticity.